Dados Internacionais de Catalogao-na-Publicao Diviso Biblioteca Central do ITA/CTA Silvestre, Flvio Jos Modelagem da Mecnica do Vo de Aeronaves Flexveis e Aplicaes de Controle / Flvio Jos Silvestre. So Jos dos Campos, 2007. 115f. Tese de Mestrado Curso de Ps-graduao em Mecnica e Controle de Vo, rea de Engenharia Aeronutica e Mecnica Instituto Tecnolgico de Aeronutica, 2007. Orientadores: Prof. Dr. Pedro Paglione. 1. Aeronaves Flexveis. 2. Teoria das Faixas. 3. Controle de Vo. I. Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial. Instituto Tecnolgico de Aeronutica. Diviso de Engenharia Aeronutica. II. Modelagem da Mecnica do Vo de Aeronaves Flexveis e Aplicaes de Controle

REFERNCIA BIBLIOGRFICA

SILVESTRE, Flvio Jos. Modelagem da Mecnica do Vo de Aeronaves Flexveis e Aplicaes de Controle. 2007. 115f. Tese de Mestrado Instituto Tecnolgico de Aeronutica, So Jos dos Campos.

CESSO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Flvio Jos Silvestre TTULO DO TRABALHO: Modelagem da Mecnica do Vo de Aeronaves Flexveis e Aplicaes de Controle TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese de Mestrado/ 2007 concedida ao Instituto Tecnolgico de Aeronutica permisso para reproduzir cpias desta tese e para emprestar ou vender cpias somente para propsitos acadmicos e cientficos. O autor reserva outros direitos de publicao e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem a sua autorizao (do autor).

___________________________ Flvio Jos Silvestre CTA-ITA, Diviso de Engenharia Aeronutica. Pa. Mal. Eduardo Gomes, 50, Vila das Accias. CEP: 12228-900. So Jos dos Campos, S.P. Brasil.

iii

MODELAGEM DA MECNICA DO VO DE AERONAVES

FLEXVEIS E APLICAES DE CONTROLE

Flvio Jos Silvestre

Composio da Banca Examinadora: Prof. Dr. Luiz Carlos Sandoval Ges Presidente ITA Prof. Dr. Pedro Paglione Orientador ITA Prof. Dr. Paulo Afonso de Oliveira Soviero ITA Prof. Dr. Maher Nasr Bismarck-Nasr ITA Dr. Roberto Gil Annes da Silva CTA/IAE

ITA

iv

Dedicatria

Dedico este trabalho s pessoas mais importantes da minha vida:

minha famlia.

v

Agradecimentos

A Deus, que to sabiamente conduz as pessoas. minha famlia, minha motivao de todos os dias. Ao Prof. Paglione, pela sua impagvel orientao, no somente desta dissertao de

mestrado, mas durante o incio e o exerccio da carreira de docncia e de pesquisa. Aos meus colegas, devo dizer amigos, da Diviso de Engenharia Aeronutica e do

ITA, pela convivncia e por tornarem meu ambiente de trabalho to produtivo e agradvel. Especialmente, s minhas queridas Simone e Ana Maria.

Aos meus amigos, pelo companheirismo e pelas palavras de apoio. Em especial ao

colega de turma, colega de trabalho e grande amigo Andr Cavalieri, pelo incentivo, principalmente nestes momentos finais de dissertao.

vi

A importncia das coisas no est no tempo que elas duram, mas na

intensidade com que acontecem. Por isso existem momentos inesquecveis,

coisas inexplicveis e pessoas incomparveis.

(Fernando Sabino)

vii

Resumo

medida que a separao de freqncias entre os modos de corpo rgido da aeronave e os

modos de vibrao estrutural torna-se mais estreita, o tratamento tradicional da mecnica do

vo da aeronave considerada como corpo rgido pode no ser eficiente. Neste trabalho

apresentado um panorama sobre o tratamento da aeronave como corpo deformvel, tanto em

termos da dinmica do vo como do projeto de sistemas de controle. As equaes do

movimento tridimensional da aeronave so determinadas atravs do enfoque da mecnica

lagrangeana. As cargas aerodinmicas incrementais que aparecem devido vibrao so

modeladas atravs da teoria das faixas, com hiptese quase-esttica e em regime

incompressvel. A dinmica estrutural determinada atravs da tcnica de decomposio

modal. Desta forma, a influncia da vibrao sobre o carregamento aerodinmico

determinada em termos de derivadas de estabilidade estruturais generalizadas. O projeto de

sistemas de aumento de controle para aeronaves flexveis ento abordado. A dinmica

estrutural considerada como incerteza da planta nominal de corpo rgido ou como

perturbao de entrada. A aplicao do mtodo H para o projeto de controladores de

estrutura fixa ento estudada segundo duas diferentes metodologias. Os projetos tambm

contemplam a rejeio a entradas de rajada, segundo modelo estocstico de Dryden.

viii

Abstract

As the frequency separation between the rigid body modes and the structural dynamics

becomes tighter, the traditional aircraft flight mechanics treatment, there is, the rigid body

approximation, may be not efficient. This work presents an overview of the effects of treating

the aircraft as a flexible body, in the dynamics determination and in control applications. The

equations of the three-dimensional flexible aircraft motion are stated using Lagranges

equations. The incompressible quasi-steady strip theory aerodynamics approximation is used

for modeling the incremental aerodynamic loads due to structural vibration, which dynamics

is modeled through the modal decomposition technique. Doing so, the structural vibration

influence on the aircraft flight mechanics is evaluated in terms of generalized structural

stability derivatives. The general control augmentation problem for a flexible aircraft is then

discussed. Based on the rigid body approximation and modeling the flexible modes as

uncertainty of the plant or input disturbances, control augmentation systems are designed

applying the H approach to fixed structure output feedback controls, under two different

methodologies. The wind gust rejection is also imposed and the stochastic wind Dryden

model is assumed.

ix

Sumrio

LISTA DE FIGURAS................................................................................................. XI

LISTA DE TABELAS ............................................................................................... XII

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS................................................................. XIII

LISTA DE SMBOLOS............................................................................................XIV

1 INTRODUO...................................................................................................15

1.1 Ambientao .......................................................................................................................................... 15

1.2 Estado da arte........................................................................................................................................ 19

1.3 Objetivo.................................................................................................................................................. 23

2 FORMULAO .................................................................................................25

2.1 Sistemas de referncia........................................................................................................................... 25

2.2 Modelagem da dinmica estrutural..................................................................................................... 28 2.2.1 Construo da base modal .................................................................................................................. 30 2.2.2 Problema geral de vibrao ................................................................................................................ 31 2.2.3 Caso considerado................................................................................................................................ 32

2.3 Modelo aerodinmico incremental ...................................................................................................... 34 2.3.1 Determinao das cargas aerodinmicas incrementais ....................................................................... 35 2.3.2 Limitaes do modelo ........................................................................................................................ 40

2.4 Equaes do Movimento da Aeronave Elstica.................................................................................. 41 2.4.1 Determinao da lagrangeana e do funcional de dissipao............................................................... 41 2.4.2 Aplicao das equaes de Lagrange ................................................................................................. 47 2.4.3 Determinao das cargas generalizadas ............................................................................................. 48 2.4.4 Simplificao das equaes................................................................................................................ 52

2.5 Determinao das cargas generalizadas nos graus de liberdade das amplitudes modais, em termos de derivadas de estabilidade ............................................................................................................................... 52

2.5.1 Tratamento de asa e empenagem horizontal....................................................................................... 52 2.5.2 Tratamento da empenagem vertical.................................................................................................... 54

3 APLICAO NUMRICA..................................................................................56

3.1 Determinao numrica dos coeficientes de influncia...................................................................... 56

3.2 Avaliao fsica do sinal das derivadas de estabilidade estruturais.................................................. 70

x

3.3 Avaliao do deslocamento do eixo elstico ........................................................................................ 76

4 CONTROLE DE AERONAVES FLEXVEIS ......................................................79

4.1 Problema de controle geral................................................................................................................... 80

4.2 Mtodo da otimizao direta para controlador de estrutura fixa..................................................... 84 4.2.1 Rastreamento de taxa de arfagem comandada.................................................................................... 85

4.3 Mtodo H para controlador de estrutura fixa [9].............................................................................. 95 4.3.1 Rastreamento de taxa de arfagem comandada.................................................................................... 97

5 CONCLUSO ..................................................................................................101

5.1 Dificuldades encontradas e deficincias do trabalho ....................................................................... 103

5.2 Sugesto para trabalhos futuros ........................................................................................................ 104

5.3 Publicaes em decorrncia................................................................................................................ 106

REFERNCIAS.......................................................................................................107

APNDICE A RELAES FUNDAMENTAIS DA MECNICA DO VO ...........110

A.1 Matrizes de Transformao....................................................................................................................... 110

A.2 Relaes entre velocidades e velocidades angulares ................................................................................ 110

APNDICE B CARACTERIZAO DAS FORMAS MODAIS DA AERONAVE.112

xi

Lista de Figuras

FIGURA 1.1- (A) INTERAO TRADICIONAL ENTRE A MECNICA DE VO E A AEROELASTICIDADE; (B) TRATAMENTO INTEGRADO................................................................................................................................................... 17

FIGURA 1.2- MODELO INTEGRADO ESQUEMTICO DA MECNICA DO VO COM INFLUNCIA DA AEROELASTICIDADE..................................................................................................................................................................... 18

FIGURA 2.1- SISTEMAS DE REFERNCIA INERCIAL E DO CORPO .............................................................................. 25 FIGURA 3.1- GEOMETRIA DA AERONAVE: (A) FORMA EM PLANTA DA ASA E EMPENAGEM HORIZONTAL; (B) FORMA

EM PLANTA DA EMPENAGEM VERTICAL; E (C) VISO ESPACIAL..................................................................... 57 FIGURA 3.2- DOIS PRIMEIROS MODOS DE VIBRAO DA AERONAVE....................................................................... 59 FIGURA 3.3- COMPARAO DA CAPACIDADE DE ADAPTAO DAS DUAS FORMAS DE INTERPOLAO ESTUDADAS 60 FIGURA 3.4- COMPARAO DAS POSIES DOS PLOS CARACTERSTICOS, ............................................................ 63 FIGURA 3.5- COMPARAO DAS POSIES DOS PLOS CARACTERSTICOS, ............................................................ 64 FIGURA 3.6- RESPOSTA DA AERONAVE A UMA EXCITAO DO TIPO DOUBL NO PROFUNDOR (EXCITAO DE

PERODO CURTO)........................................................................................................................................... 66 FIGURA 3.7- RESPOSTA DA AERONAVE A UMA EXCITAO DO TIPO DOUBL NA MANETE DE COMBUSTVEL

(EXCITAO DE PERODO LONGO)................................................................................................................. 67 FIGURA 3.8- RESPOSTA DA AERONAVE A UMA EXCITAO DO TIPO DOUBL ACOPLADA NOS AILERONS E NO LEME

DE DIREO (I) ............................................................................................................................................. 68 FIGURA 3.9- RESPOSTA DA AERONAVE A UMA EXCITAO DO TIPO DOUBL ACOPLADA NOS AILERONS E NO LEME

DE DIREO (II) ............................................................................................................................................ 69 FIGURA 3.10- RESPOSTA DA AERONAVE A UMA EXCITAO DO TIPO DOUBL ACOPLADA NOS AILERONS E NO LEME

DE DIREO (III)........................................................................................................................................... 69 FIGURA 3.11- MAPEAMENTO DO LUGAR GEOMTRICO DAS RAZES PARA N DO PRIMEIRO MODO CRESCENTE ....... 70 FIGURA 3.12- FORMAS MODAIS FICTCIAS DE TORO PURA E FLEXO PURA ........................................................ 72 FIGURA 3.13- CONJUNTO DE TRANSFORMAES QUE LEVAM O SISTEMA DO CORPO AO SISTEMA DO EIXO MDIO . 76 FIGURA 4.1- DIAGRAMA DE BLOCOS DO PROBLEMA GERAL DE CONTROLE............................................................. 80 FIGURA 4.2- REPRESENTAO DA PLANTA REAL, EM TERMOS DE INCERTEZA MULTIPLICATIVA ............................ 82 FIGURA 4.3- APLICAO GRFICA DO CRITRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST ................................................... 83 FIGURA 4.4- DIAGRAMA DE BLOCOS DO SISTEMA EM MALHA FECHADA................................................................. 86 FIGURA 4.5- BARREIRAS DE REJEIO PERTURBAO E ROBUSTEZ DA ESTABILIDADE ....................................... 89 FIGURA 4.6- CARACTERSTICAS DO SISTEMA PARA GANHO INICIAL ESTABILIZANTE .............................................. 90 FIGURA 4.7- CARACTERSTICAS DO SISTEMA APS IMPOSIO DA BARREIRA DE REJEIO RAJADA................... 91 FIGURA 4.8- CARACTERSTICAS DO SISTEMA PARA GANHOS QUE MINIMIZAM JP.................................................... 92 FIGURA 4.9- RESPOSTA DE MALHA FECHADA PARA ENTRADA DE RAJADA ESTOCSTICA ....................................... 93 FIGURA 4.10- MODIFICAO DAS RESPOSTAS EM FREQNCIA DA AERONAVE CONTROLADA ............................... 94 FIGURA 4.11- MODIFICAO DA RESPOSTA TEMPORAL DA AERONAVE CONTROLADA DEVIDO ........................... 95 FIGURA 4.12- PLANTA DO PROBLEMA DE CONTROLE ............................................................................................. 96 FIGURA 4.13- COMPARAO ENTRE AS RESPOSTAS PARA DIFERENTES GANHOS RAJADA ESTOCSTICA VERTICAL

..................................................................................................................................................................... 99

xii

Lista de Tabelas

TABELA 3.1: PROPRIEDADES GERAIS DA AERONAVE .............................................................................................. 57 TABELA 3.2- CARACTERSTICAS AERODINMICAS POR UNIDADE DE ENVERGADURA DAS SUPERFICIES

SUSTENTADORAS .......................................................................................................................................... 58 TABELA 3.3- TIPOS DE INTERPOLAO ESTUDADOS............................................................................................... 60 TABELA 3.4- APLICAO DOS POLINMIOS INTERPOLANTES E RESPECTIVOS ERROS.............................................. 60 TABELA 3.5- DERIVADAS DE ESTABILIDADE E CONTROLE DE CORPO RGIDO (I)..................................................... 61 TABELA 3.6- DERIVADAS DE ESTABILIDADE E CONTROLE DE CORPO RGIDO (II) ................................................... 61 TABELA 3.7- DERIVADAS DE ESTABILIDADE ESTRUTURAIS .................................................................................... 62 TABELA 3.8- DERIVADAS DE ESTABILIDADE E CONTROLE DAS FORAS GENERALIZADAS (I) ................................. 62 TABELA 3.9- DERIVADAS DE ESTABILIDADE E CONTROLE DAS FORAS GENERALIZADAS (II) ................................ 62 TABELA 3.10- CARACTERSTICAS DA AERONAVE EM VO EQUILIBRADO ............................................................... 63 TABELA 3.11- PLOS CARACTERSTICOS PARA APROXIMAO DE CORPO RGIDO.................................................. 64 TABELA 3.12- PLOS CARACTERSTICOS PARA MODELO FLEXVEL ........................................................................ 64 TABELA 3.13- DERIVADAS DE ESTABILIDADE DE FORAS E MOMENTOS, CALCULADAS COM AS FORMAS MODAIS

FICTCIAS ...................................................................................................................................................... 74 TABELA 3.14- DERIVADAS DE ESTABILIDADE DE FORAS GENERALIZADAS, CALCULADAS COM AS FORMAS MODAIS

FICTCIAS ...................................................................................................................................................... 75 TABELA 4.1- GANHOS ENCONTRADOS NA SEQNCIA DE PROJETO ........................................................................ 94 TABELA 4.2- DETERMINAO DAS MATRIZES DE PONDERAO DE ESTADO E CONTROLE...................................... 98 TABELA 4.3- GANHOS ENCONTRADOS PARA DIFERENTES PONDERAES............................................................... 99 TABELA B. 1- PROPRIEDADES DAS FORMAS MODAIS ............................................................................................ 112 TABELA B. 2- FORMAS MODAIS SIMTRICA E ASSIMTRICA DA ASA .................................................................... 112 TABELA B. 3- FORMAS MODAIS SIMTRICA E ASSIMTRICA DA EMPENAGEM HORIZONTAL ................................. 113 TABELA B. 4- FORMAS MODAIS SIMTRICA E ASSIMTRICA DA EMPENAGEM VERTICAL ...................................... 114

xiii

Lista de abreviaturas e siglas

CA Centro Aerodinmico CG Centro de Gravidade (assumido na mesma posio do centro de massa) MIMO Sistemas de mltiplas entradas e mltiplas sadas (multiple input multiple

output) RA Referencial Aerodinmico RB Referencial do Corpo RI Referencial Inercial RM Referencial do Eixo Mdio SISO Sistemas de uma entrada e uma sada (single input single output)

xiv

Lista de Smbolos

Ae estado A calculado no equilbrio / propriedade A calculada no eixo elstico c corda c corda mdia aerodinmica

CAb coeficiente de influncia da fora generalizada A devido ao parmetro b D* matriz diagonal, com diagonal principal [ ]c b c D** matriz diagonal, com diagonal principal [ ]b c b F forma vetorial ou matricial K freqncia reduzida, definida por (c/2)/V, onde a freqncia de

vibrao, c/2 a semi-corda da seo, e V o mdulo da velocidade da aeronave

, d distribuio de sustentao e arrasto por unidade de envergadura em uma superfcie sustentadora, respectivamente

L, M, N componentes do momento das foras aerodinmica e propulsiva no CG da aeronave, escritas no RB

LB/A matriz de transformao do RA para o RB M(:,k)/M(k,:) k-sima coluna da matriz M / k-sima linha da matriz M mAC distribuio de momento aerodinmico por unidade de envergadura em torno

do CA da superfcie sustentadora

p, q, r componentes da velocidade angular da aeronave, escritas no RB Q fora generalizada u, v, w componentes da velocidade da aeronave, escritas no RB x, y, z componentes da posio de um ponto qualquer da aeronave em relao ao

CG, escritas no RB

X, Y, Z componentes da resultante das foras aerodinmica e propulsiva, escritas no RB

xCA posio longitudinal do centro aerodinmico no RB, para cada estao da envergadura

xCG, yCG, zCG componentes da posio do CG em relao ao RI, escritas no RB i amplitude do i-simo modo de vibrao

i campo escalar da i-sima forma modal, em uma direo

i campo vetorial da i-sima forma modal

ie deslocamento do eixo elstico segundo a i-sima forma modal

15

1 Introduo

1.1 Ambientao

Antes que qualquer discusso detalhada sobre o estado da arte das pesquisas na rea

de mecnica do vo de aeronaves flexveis seja iniciada, necessrio entender de que trata o

assunto e o que motiva seu estudo. A mecnica do vo e a dinmica estrutural devido

solicitao aerodinmica, ou a chamada aeroelasticidade, so assuntos tradicionalmente

tratados em separado [2], [8], [20]. De um lado, a mecnica de vo fornece as condies crticas

de vo equilibrado e em manobra, a partir das quais o envelope de vo da aeronave pode ser

determinado no sentido da preveno de fenmenos aeroelsticos; a aeroelasticidade, por sua

vez, prov limitantes de velocidade de operao e carregamento, que entram como batentes na

simulao da dinmica da aeronave e no clculo do seu desempenho (vide representao

esquemtica da Figura 1.1-(a)). Neste tratamento clssico, no entanto, do ponto de vista da

mecnica do vo, nenhuma influncia da dinmica estrutural durante o vo levada em

considerao na dinmica da aeronave, configurando o que se costuma chamar de

aproximao de corpo rgido. Do lado da aeroelasticidade, apesar de alguns graus de liberdade

de corpo rgido serem includos no estudo da vibrao estrutural, a determinao das

caractersticas de manobra de uma aeronave flexvel ainda no acontece[18].

O tratamento acima descrito se justifica sempre que a faixa de separao de

freqncias entre os modos caractersticos da resposta de corpo rgido e os modos de vibrao

estrutural for extensa, isto , quando a dinmica estrutural for caracterizada por altas

freqncias. Esta garantia, entretanto, tem perdido validade nos ltimos anos por algumas

razes. Uma delas diz respeito s especificaes de projeto das aeronaves modernas.

Procurando reduzir o custo do produto final e o custo de operao, a indstria aeronutica tem

16

optado por estruturas leves, materiais de baixa densidade e critrios apertados de projeto

estrutural. A demanda pelo aumento da quantidade de assentos necessita de fuselagens longas.

A reduo de arrasto impe a preferncia por superfcies sustentadoras de espessura reduzida

e fuselagens delgadas. Conseqentemente a aeronave aumenta suas propores, torna-se leve,

e um aumento de sua flexibilidade pode ser observado [30]. O aumento da flexibilidade

estrutural acompanhado de uma reduo da separao da faixa de freqncias entre as

freqncias caractersticas de resposta de corpo rgido e de vibrao estrutural, o que significa

que desprezar a influncia da dinmica estrutural sobre a mecnica do vo da aeronave pode

no ser uma boa aproximao. Neste caso, anlises de desempenho e qualidade de vo, e

projeto de sistemas de controle podem ser comprometidos, tornando necessrio o

desenvolvimento de um modelo integrado, esquematicamente representado na Figura 1.1-(b).

Outra razo para a preocupao com os efeitos da dinmica estrutural o surgimento

de uma nova categoria de aeronaves, as aeronaves no-tripuladas, que podem ser projetadas

para executar manobras de alto fator de carga, bastante em excesso ao que os pilotos humanos

podem suportar [14]. As manobras de alto fator de carga causam deslocamentos estruturais que

podem ser no desprezveis. O clculo da interao entre estes deslocamentos e a dinmica da

aeronave deve, neste caso, ser realizado durante a simulao do vo, o que tambm exige um

modelo integrado entre a mecnica de vo e a dinmica estrutural.

17

Figura 1.1- (a) Interao tradicional entre a mecnica de vo e a aeroelasticidade; (b) tratamento integrado

A pergunta agora concerne em como se processam estas interaes, e a resposta est

principalmente no carregamento aerodinmico e nas propriedades de distribuio de massa.

As manobras durante o vo causam modificao do carregamento aerodinmico, que por sua

vez provocam variao dos deslocamentos estruturais. Esta variao acompanhada por uma

redistribuio de massa e, portanto, por alteraes nos momentos de inrcia e na localizao

do CG da aeronave, parmetros fundamentais para a determinao do seu movimento. A

modificao destes parmetros d novas caractersticas manobra em realizao, resultando

em alterao do carregamento e fechando o ciclo de dependncia. O outro efeito da variao

dos deslocamentos estruturais a modificao direta do carregamento aerodinmico atravs

da alterao das caractersticas de forma do corpo e da induo de carregamento pelo

movimento. Por exemplo, a vibrao de uma asa pode alterar o carregamento aerodinmico

atravs da variao de sua forma (toro) bem como da induo de ngulo de ataque em cada

Aeroelasticidade Mecnica do Vo

Limite de envelope de vo

Condies crticas de operao

Aeroelasticidade Mecnica do Vo

Influncia mtua

(b)

(a)

18

seo da envergadura pelo movimento de flexo. Uma representao esquemtica das

interaes entre as duas grandes rea no modelo integrado apresentada na Figura 1.2.

Figura 1.2- Modelo integrado esquemtico da mecnica do vo com influncia da aeroelasticidade

Muito embora a apresentao do problema tenha sido bastante geral, importante

observar que outros efeitos ainda podem contribuir com esta interao, como, por exemplo, a

modificao do ngulo do eixo de ao da trao devido toro estrutural da asa, para

aeronaves onde a se localizam os beros dos motores. A influncia de cada efeito deve ser

tratada caso a caso. Oportunamente, os efeitos que sero considerados neste trabalho sero

elucidados.

Uma vez entendido o conceito da mecnica de vo de aeronaves flexveis, a seo

seguinte faz um apanhado geral do grau de desenvolvimento deste tema.

Manobra

Variao do carregamento aerodinmico

Dinmica

Dinmica estrutural

Distribuio de massa

Aproximao de corpo rgido

19

1.2 Estado da arte

A preocupao com um modelo integrado entre a mecnica de vo e a dinmica

estrutural no to recente. Um dos pioneiros na formalizao das idias e na proposta de um

modelo integrado foi Milne [19]. Em [19], Milne apresenta o problema de trs graus de

liberdade do movimento longitudinal (u, w, e ), linearizado em torno de uma condio de

equilbrio (condio de operao). Para representar as cargas aerodinmicas incrementais, a

teoria das faixas utilizada, com incorporao da hiptese de rigidez das sees ao longo da

envergadura. A dinmica estrutural obtida atravs da imposio direta, em pontos de

controle, das relaes entre tenses e deformaes no volume e das relaes de

compatibilidade de deslocamentos. A condio de vo equilibrado obtida atravs da soluo

analtica das equaes integradas e o estudo da estabilidade feito atravs da teoria de

pequenas perturbaes. Milne tambm aborda em seu trabalho a problemtica na seleo de

um sistema de referncia para corpo deformvel. Assim como a grande maioria dos trabalhos,

ele aborda o sistema de referncia do eixo mdio, que ser apresentado na seo 2.1, j que as

relaes que definem este sistema de referncia simplificam bastante as equaes do

movimento, pois reduzem consideravelmente o acoplamento entre os graus de liberdade

elsticos e de corpo rgido.

Seguindo a mesma escolha do sistema de referncia do eixo mdio, Cavin III e Dusto

[5] deduzem a partir do Princpio de Hamilton as equaes gerais do movimento da aeronave

flexvel, e tratam a dinmica estrutural atravs de uma aproximao de elementos finitos.

Seguindo a mesma abordagem para a deduo das equaes do movimento, em [29]

Waszak e Schimidt apresentam as equaes da aeronave elstica tambm simplificadas pela

adoo do sistema de referncia do eixo mdio, e pela hiptese de que o eixo mdio pode ser

considerado coincidente com o sistema de referncia do corpo, fixo na aeronave no-

deformada. Desta forma, o acoplamento entre os graus de liberdade elsticos e de corpo rgido

20

se d exclusivamente atravs do carregamento aerodinmico. A dinmica estrutural

modelada atravs da tcnica de decomposio modal e da mesma forma que Milne, as cargas

aerodinmicas incrementais so determinadas atravs da teoria das faixas, com abordagem

quase-estacionria. A grande contribuio de Waszak e Schmidt foi o desenvolvimento de um

modelo bastante similar ao modelo de corpo rgido, com a influncia estrutural tratada atravs

de coeficientes de influncia, em analogia s derivadas de estabilidade e controle

convencionais[8], [20]. Apesar da deduo geral, os resultados so aplicados apenas para o

movimento longitudinal, utilizando os quatro primeiros modos de vibrao. A mesma

metodologia tambm est presente nos trabalhos de Schmidt e Raney[21] e deriva dos

relatrios tcnicos de Waszak et al. [28].

Paralelamente ao trabalho de Waszak et al., Buttrill et al.[4], buscando um modelo

mais preciso, eliminaram a simplificao de considerar o sistema de referncia do eixo mdio

coincidente com o sistema de referncia do corpo, abrindo mo da similaridade com o modelo

de corpo rgido. Consideraram em seu estudo, portanto, a variao de inrcias causada pelo

movimento do RM em relao ao RB, alm das aceleraes que advm deste movimento. As

principais concluses mostram que a influncia do acoplamento inercial se torna importante

quando as cargas aerodinmicas so pequenas ou se as taxas angulares forem de mesma

ordem de grandeza das freqncias de vibrao. Uma excelente comparao entre os estudos

de Waszak et al. e Buttrill et al. apresentada por Waszak, Buttrill e Schmidt em [27].

Em [26] Vink e Jonge estudam o movimento de dois graus de liberdade (H e ) de

uma aeronave simples, atravs da deduo das equaes no RB. Novamente a teoria das

faixas empregada na determinao das cargas aerodinmicas incrementais. A novidade est

na incluso do atraso da resposta aerodinmica no estacionria, atravs da aplicao da

funo de Theodorsen. Rajadas de vento tambm so includas no modelo. A estrutura

21

representada por um conjunto de vigas, e a dinmica estrutural determinada atravs de

modos assumidos. A mesma metodologia descrita em detalhes por Koops[12].

Wu [30] tambm trata a dinmica da aeronave deformvel, desenvolvendo as equaes

linearizadas do movimento longitudinal utilizando o mtodo da resposta indicial para a

modelagem das cargas aerodinmicas incrementais, em regime compressvel e

incompressvel.

Em [16], Meirovitch e Tuzcu discutem as vantagens e desvantagens da utilizao do

eixo mdio na deduo das equaes do movimento da aeronave elstica. No caso da adoo

do RM sem as devidas transformaes das foras ou modificaes nas inrcias durante o vo

(Waszak et al.[27], [28], [29]), questionam a validade do resultado final. Desta forma, em [14],

[15] e [16], Meirovitch e Tuzcu apresentam a deduo das equaes do movimento integrado

no referencial do corpo, fixo, portanto, na aeronave no deformada. A modelagem

aerodinmica incremental tambm feita via teoria das faixas. Focando a aplicao de

controle, dividem o modelo integrado atravs da teoria de perturbaes, nas variveis de

corpo rgido sem influncia estrutural e uma parcela aditiva devido a esta influncia. Desta

forma, o modelo integrado d origem a dois sistemas de equaes de diferentes ordens de

grandeza. Assumindo que controle seja aplicado no sentido de supresso dos efeitos

estruturais sobre as variveis de corpo rgido, o primeiro sistema de equaes torna-se

independente, e fornece entradas para o segundo problema, para o qual leis de controle

precisam ser determinadas.

At agora, apenas o estgio de desenvolvimento da dinmica de aeronaves incluindo

a flexibilidade foi comentada, pouco tendo sido falado a respeito das aplicaes de controle

para este novo tipo de aeronave. Uma das preocupaes refere-se degradao das

qualidades de vo pela influncia da vibrao estrutural, e neste sentido, estudos tm sido

desenvolvidos visando a supresso destes efeitos. Em [15] e [16], Meirovitch e Tuzcu

22

preocupam-se com a lei de controle para a dinmica perturbada, atravs do mtodo LQR. Em

[1], Alazard desenvolve um sistema de aumento de controle lateral para uma aeronave

flexvel, sendo o projeto dividido em duas partes: a primeira considera a dinmica de corpo

rgido e garante desempenho para aproximao de corpo rgido e robustez da estabilidade, na

presena de modos flexveis; a segunda se preocupa com controle para aumento do

amortecimento dos modos de vibrao, isto , para a melhoria das qualidades de vo. O

projeto feito atravs de realimentao dinmica de sada, combinando alocao de plos,

sntese H2 e especificao de robustez no domnio da freqncia e a eficincia verificada

atravs de exemplo numrico.

Para realimentao de sada via controladores de estrutura fixa, Gadewadikar et al. [9]

demonstram condies necessrias e suficientes para garantia da minimizao da norma H

da razo sada/distrbio. A partir de seus resultados, desenvolvem um algoritmo simples para

o projeto do controlador H de estrutura fixa, sem a necessidade da determinao de ganhos

inicias estabilizantes para garantir a convergncia. Este procedimento pode ser utilizado para

projeto de controle de aeronaves flexveis, utilizando aproximao de corpo rgido e

modelando a dinmica estrutural como distrbio, sendo que neste caso, a preocupao com

a resposta de corpo rgido da aeronave, ou seja, h garantia de robustez da estabilidade e do

desempenho, mas nada se pode afirmar sobre a supresso do nvel de vibrao.

A preocupao com a robustez dos projetos de sistemas de controle em relao

dinmica estrutural j est presente em livros clssicos da mecnica de vo. Em [23], Stevens

e Lewis assumem um modelo bastante simplificado da variao da planta (dinmica da

aeronave) com a incluso de um modo flexvel e verificam, para o controlador desenvolvido

sob aproximao de corpo rgido, se a barreira de robustez da estabilidade garantida. A

mesma preocupao pode ser encontrada em livros tradicionais de controle [13], [22].

23

Encerrando a apresentao do estado de desenvolvimento sobre o tema, em [11]

Joshi e Kelkar desenvolvem aplicao de controle no movimento longitudinal, tratando os

modos estruturais no modelados como incerteza da planta. Encontrou melhores resultados

para dinmica aumentada com dois primeiros modos, em comparao com a aproximao de

corpo rgido e todos os modos no modelados.

1.3 Objetivo

Parte importante deste trabalho dedicada ao desenvolvimento de um modelo

integrado mais geral possvel entre a dinmica das variveis de corpo rgido e a influncia da

dinmica estrutural, sem que, no entanto, a generalidade faa perder: a simplicidade do

equacionamento; a similaridade do modelo com a aproximao clssica de corpo rgido; e,

talvez mais importante, a noo fsica desta influncia.

A partir das equaes de Lagrange [10], no captulo 2 as equaes gerais do

movimento da aeronave flexvel so determinadas. O eixo mdio escolhido como sistema de

referncia e a hiptese de pequenas perturbaes assumida para consider-lo coincidente

com o sistema de referncia do corpo, fixo na aeronave no deformada. As cargas

generalizadas so determinadas a partir das relaes de transformao das coordenadas

cartesianas para as coordenadas generalizadas [10]. Emprega-se a teoria das faixas, sob

hiptese quase-estacionria e regime incompressvel na modelagem das cargas aerodinmicas

incrementais devido dinmica estrutural, negligenciando, desta forma, a inrcia de resposta

do carregamento aerodinmico incremental. A influncia da fuselagem na gerao de

carregamento aerodinmico incremental devido sua capacidade aerodinmica desprezada.

A dinmica estrutural, por sua vez, modelada atravs da decomposio modal. Apenas os

deslocamentos perpendiculares s superfcies sustentadoras so considerados e as formas

modais so linearizadas em torno do eixo elstico da superfcie, resultando em um

24

deslocamento e uma toro equivalentes em cada faixa. Desta forma, as cargas generalizadas

incrementais em cada um dos graus de liberdade (seis de corpo rgido e um a mais para cada

modo considerado) so determinadas em funo de coeficientes de influncia, similares s

conhecidas derivadas de estabilidade e de controle.

Neste sentido, este trabalho uma extenso do trabalho desenvolvido por Waszak et

al. [27], [28], [29],com a incluso da influncia da dinmica estrutural no movimento ltero-

direcional da aeronave. Na ausncia de modelo mais completo e adequado, no captulo 3 a

mesma aeronave apresentada em [28] utilizada, bem como as duas formas modais

disponveis.

Duas discusses so ainda acrescentadas: a interpretao fsica dos novos

coeficientes de influncia bem como a avaliao de sinal; e a avaliao do deslocamento do

eixo mdio em relao ao RB, durante o vo, para validar a hiptese na qual se baseia toda a

deduo.

Obtida a dinmica da aeronave flexvel, no captulo 4 o problema geral de controle

para tal aeronave estudado. A planta nominal considera a dinmica de corpo rgido e a

influncia da dinmica estrutural modelada como incerteza multiplicativa do modelo ou

como entrada de distrbio. Atravs de dois exemplos, duas diferentes tcnicas de projeto

mostram a imposio de barreiras de robustez da estabilidade e do desempenho e a obteno

de sistemas de aumento de controle projetados sob a aproximao de corpo rgido, e que

continuam eficientes apesar da influncia da dinmica estrutural. O estudo da influncia das

perturbaes, em forma de vento estocstico, tambm modelado e estudado.

Finalmente no captulo 5, um panorama geral do estudo desenvolvido traado,

levantando vantagens, contribuies, falhas e possveis problemas da formulao/aplicao.

Para o leitor interessado em continuar o desenvolvimento deste tema, uma sugesto para

trabalhos futuros completa o escopo do trabalho.

25

2 Formulao

2.1 Sistemas de referncia

Na deduo das equaes que governam o movimento da aeronave, importante

saber quais so os sistemas de referncia utilizados e a relao entre eles.

Os trs primeiros sistemas de referncia so bastante conhecidos na literatura e

usados corriqueiramente na mecnica do vo [20], a saber: sistema inercial, solidrio Terra,

assumida, portanto, plana e sem rotao; sistema de referncia do corpo, fixo no CG da

aeronave, com eixo xB na direo do eixo de simetria da fuselagem, vista em planta, eixo yB

perpendicular a xB e apontando no sentido da asa direita, e eixo zB na direo e sentido de

xByB; e o sistema de referncia aerodinmico, tambm localizado no CG da aeronave, com

eixo xA orientado segundo direo e sentido do vetor velocidade relativa da aeronave em

relao ao vento (escoamento no perturbado), eixo zA perpendicular a xA e contido no plano

de simetria da aeronave, apontando para o piso, e eixo yA com direo e sentido de zAxA.

Vetores escritos no sistema aerodinmico (foras aerodinmicas) podem ser levados ao

sistema do corpo atravs da matriz de transformao LB/A, da mesma forma que do sistema do

corpo para o sistema inercial atravs da matriz de transformao LI/B [23].

A Figura 2.1 apresenta o sistema de referncia do corpo e o sistema inercial, bem

como a localizao de um elemento de massa qualquer da aeronave.

Figura 2.1- Sistemas de referncia inercial e do corpo

xB

yB

zB

xI

yI Referencial Inercial (RI)

0RG

pG

RG

Referencial do Corpo (RB)

zI

26

Para o caso da aeronave considerada como corpo rgido, os referenciais

aerodinmico e do corpo esto bem definidos e podem ser utilizados sem ambigidade.

Considerando a aeronave como corpo flexvel, no entanto, deve ser observado que a vibrao

estrutural modifica a distribuio de massa, e conseqentemente, a localizao do CG. Os

referenciais aerodinmico e do corpo sero definidos, neste caso, a partir da aeronave no

deformada.

Um outro sistema de referncia, no entanto, bastante til na deduo das equaes

do movimento da aeronave elstica por simplificar a expresso da energia cintica, como ser

visto oportunamente. Trata-se do sistema do eixo mdio [19], [29], [14], definido como o

referencial no qual os momentos linear e angular causados pelos deslocamentos estruturais se

anulam, isto :

0V

RM

dp dVdt

=G

(2.1)

0V

RM

dpp dVdt

=GG (2.2)

Portanto, o eixo mdio se localiza na aeronave, sem estar fixo a algum de seus

pontos, e sua posio varia de acordo com a dinmica estrutural.

Escrevendo a posio de um elemento de massa qualquer em relao ao CG da

aeronave no deformada como:

e dp p p= +G G G (2.3)

onde epG a parcela esttica, portanto de corpo rgido, e dpG a parcela de deslocamento

elstico, as equaes (2.1) e (2.2) podem ser reescritas[29]:

27

0dV

RM

dp dVdt

=G

(2.4)

( ) 0de dVRM

dpp p dVdt

+ =GG G (2.5)

Em geral, as deflexes mais importantes, durante a vibrao, so perpendiculares

superfcie sustentadora, isto , os movimentos de avano/ atraso e de alongamento/

compresso das superfcies so desprezveis. Neste caso, dpG e d

RM

dpdt

G so colineares.

Considerando ainda que o movimento estrutural no altera a densidade em cada ponto, as

equaes (2.4) e (2.5) podem ser simplificadas [29]:

0dVRM

d p dVdt

= G (2.6)

0e dVRM

d p p dVdt

= G G (2.7)As equaes (2.6) e (2.7) governam, respectivamente, a posio da origem e o

conjunto de rotaes que definem o eixo mdio em relao ao sistema do corpo, fixo na

aeronave no deformada. A equao (2.6), em especial, mostra que o sistema de referncia do

eixo mdio tem sua origem no CG instantneo da aeronave.

Conforme ser visto na deduo das equaes do movimento da aeronave flexvel, a

adoo do eixo mdio simplifica a expresso da energia cintica, reduzindo os termos devido

ao acoplamento entre a cintica de corpo rgido e o movimento estrutural. No tratamento da

dinmica estrutural de pequenas amplitudes de oscilao, o eixo mdio move-se muito pouco

em relao ao sistema de referncia do corpo. Neste caso, pode ser aproximado pelo RB para

as demais aplicaes. Portanto, durante a deduo das equaes, estes dois sistemas de

referncia sero confundidos e usados indistintamente. Esta ultima hiptese anula os termos

de acoplamento entre os graus de liberdade elsticos e de corpo rgido restantes.

28

2.2 Modelagem da dinmica estrutural

A modelagem da parcela de deformao dpG de cada ponto da aeronave, quando

submetida a um carregamento externo, bastante simplificada atravs da utilizao da

transformao em base modal, mtodo que provou ser eficiente na soluo de problemas

aeroelsticos [2]. A base modal construda atravs da soluo do problema de vibrao livre

da estrutura, e a descrio do processo desenvolvida por Bismarck [2] ser resumidamente

repetida aqui.

Para pequenas perturbaes, faz-se a hiptese de que o comportamento elstico da

estrutura da aeronave linear. Discretizando a estrutura da aeronave em n pontos de controle

Pj, o deslocamento ( ), ,dp x y zG em qualquer ponto da aeronave pode ser escrito em funo das suas 3n coordenadas cartesianas, escolhidas como as coordenadas generalizadas qi do

problema:

( )

( )

1

2

1 2 3

3

, , ...

, ,

d d dd

n

n

di

i

qqp p pp x y z

q q qq

x y zp qq

= = = ==

N q

G G GG#

G

(2.8)

onde ( ), ,x y zN a matriz de transformao dos deslocamentos para as coordenadas generalizadas.

Desta forma, o funcional de energia cintica pode ser determinado com se segue:

29

( ) ( ) ( )

,

, , , ,1 , , .21 .2

1 .21212

d d

V

d dk iV

k i

d dk iV

k i

k k i i

T

p x y z p x y zT x y z dV

t tp pq q dVq q

p pq dV qq q

q M q

= = =

= = =

=

q Mq

G G

G G G G

(2.9)

onde M denominada de matriz de massa do sistema mecnico.

Da mesma maneira, recordando as relaes de tenses e deformaes, e de

deformaes e descolamentos, o funcional de energia potencial de deformao tambm pode

ser determinado:

( )( ) ( )

( ) ( )

1212121212

T

V

T

V

T T

V

TT T

V

T

U dV

dV

dV

dV

= =

= =

= = = =

=

C

dNq C dNq

q dN C dN q

q Kq

(2.10)

onde o tensor de tenses; o tensor de deformaes; C a matriz constitutiva do

material; d o operador diferencial que relaciona o tensor de deformaes com o vetor de

descolamentos; e finalmente K a matriz de rigidez do sistema.

As foras de dissipao estrutural DFG

so idealizadas de natureza viscosa e

linearmente dependentes das velocidades generalizadas. Atravs do clculo do trabalho

realizado por estas foras quando um deslocamento virtual ocorre, a funo de dissipao de

Rayleigh [10] pode ser determinada, de forma que:

30

12

TD = q Bq (2.11)

onde B a matriz de dissipao, ou de amortecimento viscoso, e seus termos so calculados

como mostrado a seguir:

,dD

k i Vi k

pFB dVq q

= G G (2.12)

A dinmica estrutural obtida ento atravs da aplicao das equaes de

Lagrange[10] do movimento:

ii i i

d L L D Qdt q q q + =

(2.13)

onde L = T U a lagrangeana do sistema, e Qi representa a carga generalizada no grau de

liberdade i, que pode ser obtida atravs de:

i Vi

pQ f dVq= GG

(2.14)

sendo fG

a fora por unidade de volume que atua em cada ponto da estrutura da aeronave, e

que no deriva de um potencial generalizado, como na modelagem anterior.

Substituindo na equao (2.13) as expresses de L e D, a equao diferencial que

governa a dinmica estrutural pode ser finalmente encontrada.

+ + =M q Bq K q Q (2.15)

2.2.1 Construo da base modal

A base modal obtida atravs da soluo do problema de vibrao livre no-

amortecida, que simplifica a equao (2.15) para:

31

{ }0+ =M q K q (2.16)Assumindo soluo na forma 0 i

Pte=q q , com 2i iP = , a equao (2.16) se transforma no problema de autovalor:

[ ] { }0 0i =K M q (2.17)Bismarck [2] mostra que os auto-valores i so todos reais positivos, e que os auto-

vetores correspondentes i so vetores reais e ortogonais com relao s matrizes de massa e

de rigidez, isto :

0, 0,0, 0,

T Tk i k j k i k j

k j k j

= = = =

K M (2.18)

i representam 3n formas independentes a partir da superposio das quais a forma

geral da estrutura em considerao obtida no problema de vibrao livre no-amortecida.

Estes auto-vetores, tambm conhecidos como formas modais da estrutura, podem ser obtidos

de maneira experimental, ou a partir de uma modelagem de elementos finitos.

As relaes de (2.18) motivam ento o uso dos auto-vetores i como base para a

escrita da soluo do problema geral de vibrao (2.15), uma vez que trazem grande

simplificao ao problema, como ser visto a seguir.

2.2.2 Problema geral de vibrao

Sendo o vetor que coleta as amplitudes i de cada um dos modos, e a matriz

cujas colunas so os auto-vetores i , a soluo do problema de vibrao pode ser

transformada para a forma:

=q (2.19)e (2.15) pode ser ento reescrita como:

32

N NT T T T+ + =

+ + =

+ + =

M B K Q M B K Q

(2.20)

As matrizes e so matrizes diagonais devido propriedade de ortogonalidade

dos auto-vetores (2.18), conforme demonstrado por Bismarck [2], e so denominadas matriz

de massa e matriz de rigidez generalizadas. Para estruturas aeronuticas, de acordo com

Bismarck [2], o efeito do amortecimento estrutural pequeno comparado aos termos de

inrcia e rigidez. Neste caso, o problema simplificado ao assumir-se que a matriz de

amortecimento generalizada tambm diagonal. Logo a equao vetorial de dimenso 3n,

diferencial de segunda ordem, desacoplada em 3n equaes diferenciais escalares, de

segunda ordem.

2, ,

( )( ) 1, 2,...,3

( )2

ii i ii i ii i i

ii ii ii i i

ii ii ii

ii i n i i n i i

ii

tt i n

t

+ + = + + = =

+ + =

(2.21)

2.2.3 Caso considerado

Na seo anterior, os trs deslocamentos possveis em cada ponto da estrutura foram

considerados no estudo do problema de vibrao. No entanto, as seguintes consideraes

podem ser assumidas:

(i) os deslocamentos em xB e yB da asa e empenagem horizontal so desprezveis

em relao aos deslocamentos em zB;

(ii) os deslocamentos em xB e zB da empenagem vertical so desprezveis em

relao aos deslocamentos em yB;

33

(iii) alm de os deslocamentos da fuselagem serem pequenos em relao aos

deslocamentos das superfcies sustentadoras, sua capacidade de sustentao

reduzida.

Com base nestas consideraes, tratam-se neste trabalho apenas os deslocamentos

elsticos das superfcies sustentadoras, e neste caso, apenas as deflexes verticais (asa e

empenagem horizontal) e laterais (empenagem vertical). Como o processo de obteno,

descrito na seo anterior, baseia-se em um modelo discreto da estrutura, faz-se necessria a

interpolao das formas modais, que passam a ser representadas por componentes escalares

no domnio de cada superfcie. Da expresso (2.8), para deslocamentos escalares, pode-se

escrever ento:

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( )

, ,

1

21 2

1

, , , , ,

, ,

, , , , , ,

, ,

d

x y z

n

n

n

i ii

p x y z t N x y z t

N x y z t

tt

x y z x y z x y z

t

x y z t

=

= == =

= = =

q

# (2.22)

onde i so as componentes escalares das formas modais interpoladas.

Na aplicao da teoria das faixas, procedimento que ser esclarecido na seo 2.3 a

seguir, os incrementos de foras e momentos aerodinmicos baseiam-se em variaes dos

ngulos de ataque de cada faixa, causadas pelo movimento de flexo e toro da superfcie.

Esses movimentos so obtidos atravs da linearizao das formas modais em torno do eixo

elstico da estrutura da superfcie considerada. Desta forma, o deslocamento linearizado pode

ser escrito como:

34

( ) ( ) ( )

N N( )

1 flexotoro

, , , , , , , , ,dd d e e

ene i

i ii

pp x y z t p x y z t x y z t xx

x tx

=

= + = = +

(2.23)

2.3 Modelo aerodinmico incremental

Para o estudo integrado de aeronaves flexveis, necessrio adotar um modelo que

represente a variao das cargas aerodinmicas, isto , as cargas incrementais, devido

dinmica estrutural. A exemplo do que foi desenvolvido por Waszak [29] para o movimento

longitudinal, esta variao ser calculada em termos de coeficientes de influncia,

equivalentes s derivadas de estabilidade da mecnica do vo tradicional de corpo rgido [20],

que sero superpostos ao modelo de corpo rgido da aeronave-modelo, descrita

oportunamente nas sees seguintes.

Um modelo que permite tal tratamento baseado na teoria das faixas (1), com

abordagem quase-estacionria (2) e em regime incompressvel (3). (1) A aproximao da

teoria das faixas consiste em dividir a superfcie geradora de sustentao em faixas e em

assumir que, em cada faixa, o escoamento bidimensional e, portanto, no interage com o

escoamento das outras faixas [3], [6], [7]. Efeitos de ponta de asa no so, portanto, considerados

nesta formulao. De acordo com Silva [6], a teoria das faixas constitui-se em um boa

aproximao para asas de alongamento elevado e cujas propriedades das sees tenham pouca

variao ao longo da envergadura. (2) A adoo da aproximao quase-esttica implica em

considerar que as cargas aerodinmicas incrementais, a cada instante de tempo, dependem

apenas do movimento do aeroflio naquele instante, isto , o histrico do movimento

negligenciado quanto sua influncia na variao das cargas aerodinmicas [7]. Esta ltima

35

aproximao equivalente a assumir valor unitrio para a funo C(k) de Theodorsen, no caso

do perfil, e, portanto, que a freqncia reduzida dos modos de vibrao, k, tende a zero [3]. (3)

Fenmenos relacionados compressibilidade do ar devido vibrao estrutural no so

estudados, nem tampouco contabilizados. A considerao destes efeitos, apesar de no fazer

parte deste trabalho, seria bastante simples atravs da correo das caractersticas das

superfcies sustentadoras pelas relaes de Prandtl-Glauert.

Alm das duas aproximaes discutidas acima, uma outra ser ainda assumida: a de

que a influncia da flexo e toro de cada faixa nas cargas aerodinmicas levada em conta

apenas em termos de modificao do ngulo de ataque da respectiva faixa da superfcie

sustentadora, no modificando, portanto, a sua capacidade de gerar sustentao. Em outras

palavras, despreza-se a modificao geomtrica do perfil (arqueamento e espessura) causada

pela deformao do corpo. A mesma aproximao est presente nos trabalhos da mesma linha

de Waszak e Schmidt [29], e Meirovitch e Tuzcu [14], e j fora assumida por Yates [31] na

determinao de fenmenos aeroelsticos de asas.

2.3.1 Determinao das cargas aerodinmicas incrementais

2.3.1.1 Tratamento da asa e da empenagem horizontal

A variao do ngulo de ataque em cada seo da superfcie sustentadora, baseado na

aproximao quase-estacionria, pode ser definida como:

,,

1flexo

toro

1 en z iez i i is

i s

s u x

=

= (2.24)

onde ficam explcitas as parcelas geradas pela flexo e toro equivalentes em torno do eixo

elstico. O subscrito s denota uma seo qualquer da superfcie sustentadora, u a

velocidade em xB do escoamento no perturbado, e n o nmero de modos assumidos. O

36

ngulo de ataque de uma faixa pode ser determinado atravs da mdia dos valores de suas

duas sees das extremidades.

A variao do ngulo de ataque local de cada seo provoca variaes no arrasto e na

sustentao por unidade de envergadura na seo, que podem ser calculadas, com base na

teoria das faixas, por:

212s s ss

V c C = AA (2.25)

212s s d ss

d V c C = (2.26)

Logo, sendo jy a largura da faixa j, a variao de sustentao e arrasto da faixa j

pode ser calculada como:

212j j j jj

L V c C y = A (2.27)

212j j d j jj

D V c C y = (2.28)

onde, novamente, as propriedades da faixa j podem ser obtidas atravs da mdia das

propriedades de suas duas sees extremas.

Considerando infinitesimais as larguras das faixas, as variaes nas foras

aerodinmicas, escritas no referencial do corpo, podem ser determinadas por:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

/ 2 / 22

/ // 2 / 2

,

1 10 02

b b d

B A B Ab b

A EH

X d y c y C y yY dy V S dy

SZ y c y C y y

= = L L

AA (2.29)

onde /B AL a matriz de transformao do referencial aerodinmico para o referencial do

corpo.

Recuperando a expresso (2.24), a contribuio do i-simo modo de vibrao pode

ser encontrada, como se segue:

37

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

/ 2,2

// 2

,

/ 2*2 * 1

/ ,/ 2

1 1 02

1 12 ( ) 02 2

b ei dz i

i B A ibi A EH

b de

e B A z i ie b

X C yY V S c y y dy

S xZ C y

C yV S V c y y dy

V SuC y

= + +

L

D D L

A

A

(2.30)

onde *D a matriz diagonal, cuja diagonal principal dada por c b c .

Da expresso (2.30), podem ser determinados os coeficientes de influncia das foras

X, Y e Z com relao amplitude modal do i-simo modo de vibrao e sua derivada,

utilizando a analogia abaixo.

*2

,, ,

12 2

X Xi ii

i Y i Y ii ie

i A EH Z Zi iA EH A EH

C CXY V S C C

VZ C C

= +

D (2.31)

A alterao da distribuio do carregamento da superfcie sustentadora causa

tambm uma variao nos momentos que solicitam a aeronave no centro de massa. A seguir,

essas variaes sero determinadas, igualmente no referencial do corpo. Seja ( )yrG a posio do centro aerodinmico do perfil de cada estao da envergadura. A variao dos momentos

aerodinmicos em relao ao CG determinada atravs de:

( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

/ 2

// 2

,

/ 2** 12 **

// 2

0

1 ( ) 02

b

B Ab

A EH

b d

B Ab

L d yM r y dyN y

c y C y yV S r y dy

Sc y C y y

= =

L

DD L

A

GA

G (2.32)

onde **D a matriz diagonal, cuja diagonal principal dada por b c b .

Novamente, utilizando a expresso (2.24), a contribuio do i-simo modo de

vibrao pode ser determinada.

38

( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )( )( )

( )

/ 2** 1,2 **

// 2

,

/**2 ** ** 2 1

/ ,/ 2

1 ( ) 02

1 12 (( ) ) 02 2

i b edz i

i B A ibi A EH

b de

e B A z ie b

L C yM V S r y c y y dy

S xN C y

C yV S V r y c y y dy

V SuC y

= + +

DD L

DD D L

A

A

G

G2i

(2.33)

Da expresso (2.33), podem ser determinados os coeficientes de influncia dos

momentos L, M e N com relao amplitude modal do i-simo modo de vibrao e sua

derivada, utilizando a analogia abaixo.

**2 **

,, ,

12 2

L Li i i

i M i M ii ie

i N NA EH i iA EH A EH

C CL

M V S C CV

N C C

= +

DD (2.34)

As expresses (2.35), (2.36), (2.37) e (2.38) a seguir resumem as expresses finais

das parcelas dos coeficientes de influncia devidas tanto asa quanto empenagem

horizontal:

39

( )( )( )

( )/ 2

,/

/ 2

,

1 0X i b ed

z iY B Ai

bZ i A EH

C C yC c y y dy

S xC yC

= L

A

(2.35)

( ) ( ) ( )( )

( )/ 2

* 1/ ,

/ 2

,

12 ( ) 0X i b d

eY e B A z ii

bZ i A EH

C C yC V c y y dy

SuC yC

= D L

A

(2.36)

( ) ( )( )( )

( )/ 2** 1

,/

/ 2

,

( ) 0L i b ed

z iM B Ai

bN i A EH

C C yC r y c y y dy

S xC yC

= D L

A

G (2.37)

( ) ( )( )( )

( )/ 2

** 2 1/ ,

/ 2

,

12 (( ) ) 0L i b d

eM e B A z ii

bN i A EH

C C yC V r y c y y dy

SuC yC

= D L

A

G (2.38)

2.3.1.2 Tratamento da empenagem vertical

O tratamento da empenagem vertical quanto contribuio de sua vibrao nas

cargas aerodinmicas incrementais formalmente o mesmo apresentado anteriormente.

Considera-se, sem perda de generalidade, que a empenagem vertical est acima do CG e tem

envergadura b/2.

A variao do ngulo de ataque da empenagem vertical pode ser escrita

analogamente expresso (2.24):

,,

1flexo

torso

1 en y iey i i is

i s

s u x

=

= (2.39)

Como a variao da sustentao da empenagem vertical, no entanto, est na direo

do eixo yA, os coeficientes de influncia da seo anterior ficam modificados por:

40

( )( )( ) ( )

0,

// 2

1

0

X i edy i

Y B Aib

Z i EV

C C zC c z C z z dz

S xC

= L A (2.40)

( ) ( ) ( )( ) ( )0* 1 / ,/ 2

12 ( )0

X i de

Y e B A y iib

Z i EV

C C zC V c z C z z dz

SuC

= D L A (2.41)

( ) ( )( )( ) ( )

0** 1,

// 2

( )

0

L i edy i

M B Aib

N i EV

C C zC r z c z C z z dz

S xC

= D L AG (2.42)

( ) ( )( )( ) ( )

0** 2 1

/ ,/ 2

1 2 (( ) )0

L i de

M e B A y iib

N i EV

C C zC V r z c z C z z dz

SuC

= D L AG (2.43)

2.3.2 Limitaes do modelo

A aproximao quase-estacionria restringe o uso da metodologia adotada para

modos de vibrao estrutural com baixa freqncia reduzida k. medida que o valor de k

aumenta, o valor da parte real da funo de Theodorsen diminui, enquanto que a parte

imaginria da mesma funo aumenta, traduzindo-se no aumento da importncia do efeito de

memria nas cargas incrementais. Yates [31] encontrou bons resultados com o seu modelo,

baseado na mesma aproximao, para valores de k at 0.2, para freqncia reduzida definida

como k = (c/2)/V.

Por outro lado, lanar mo da teoria das faixas, e da aproximao de ausncia de

deformao do perfil, em termos de arqueamento, pressupe o tratamento de superfcies

sustentadoras de alto alongamento e pouco afiladas, o que exclui o tratamento de asas delta,

por exemplo.

41

Oportunamente, ser mostrado que a aeronave-modelo escolhida viola algumas

destas hipteses, e as razes de sua escolha sero apresentadas.

2.4 Equaes do Movimento da Aeronave Elstica

Nesta seo sero deduzidas as equaes que governam a dinmica da aeronave

flexvel atravs das equaes de Lagrange do movimento [10]. Seguindo a metodologia

proposta por Waszak [29], o referencial do eixo mdio ser utilizado por simplificar a

expresso de energia cintica, reduzindo termos de acoplamento entre a cintica de corpo

rgido e a cintica de deformao. No entanto, luz da hiptese de pequenas perturbaes,

pode-se negligenciar o movimento do RM em relao ao RB, de forma que, como colocado

em 2.1, possam ser utilizados indistintamente. Portanto, a partir de agora, o termo referencial

do corpo servir para designar ambos os referenciais, a menos que sejam especificados de

outra forma.

As coordenadas generalizadas escolhidas so as componentes da posio do centro

de massa da aeronave em relao ao sistema inercial, 0RG

, escrito no sistema do corpo: xCG,

yCG, zCG; os ngulos de rotao de Euler [20]: , , ; e as n amplitudes modais: i, 1,...,i n= . A seguir, sero determinadas: as expresses de energia cintica e de energia potencial,

determinando, portanto, a forma da lagrangeana do sistema; a funo de dissipao de

Rayleigh; e as expresses das cargas generalizadas em cada grau de liberdade.

2.4.1 Determinao da lagrangeana e do funcional de dissipao

De acordo com a Figura 2.1, a posio de um elemento diferencial de massa dV da aeronave, em relao ao referencial inercial, pode ser calculada em funo da posio deste

42

elemento de massa em relao ao referencial do corpo e da posio deste referencial em

relao ao referencial inercial, isto :

0R R p= +G G G (2.44)

A energia cintica da aeronave pode ser ento escrita como:

12 V

dR dRT dVdt dt

= G G

(2.45)

E considerando que o referencial do corpo se move com velocidade angular G em relao ao referencial inercial, a velocidade do elemento de massa pode ser ento determinada

atravs de:

0 0

RB

dR dRdR dp dp pdt dt dt dt dt

= + = + + G GG G G G G (2.46)

onde RB

dpdt

G representa a variao temporal de pG em relao ao referencial do corpo.

Substituindo (2.46) em (2.45):

0 012 V RB RB

dR dRdp dpT p p dVdt dt dt dt

= + + + + G GG GG GG G (2.47)

Expandindo a equao (2.47), temos:

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

1 1 12 2 2V V V RB RB

V V VRB RB

BA C

ED F

dR dR dp dpT dV p p dV dVdt dt dt dt

dR dRdp dpdV p dV p dVdt dt dt dt

= + + +

+ + +

G G G GG GG G

G GG GG GG G

(2.48)

Os termos A, B, C, D, E, e F sero discutidos separadamente, como se segue.

Sejam u, v e w as componentes do vetor velocidade da aeronave, quando escrito no

sistema do corpo. Ento:

43

( )0 0

2 2 2

1212

V

dR dRA dVdt dt

m u v w

= =

= + +

G G

(2.49)

onde m a massa total da aeronave.

Sejam p, q, e r as componentes de G , quando escrito no sistema do corpo. Ento:

[ ] [ ] [ ] [ ]0 0

0RB

T T T TCG CG CG CG CG CG

CG CG CG

CG CG CG

CG CG CG

dR dR Rdt dt

u v w x y z p q r x y z

u x qz ryv y rx pzw z py qx

= +

= + = + = + = +

G G GG

(2.50)

Das relaes de transformao dos referenciais onde so definidos os ngulos de

Euler para o referencial do corpo [20], temos que:

0 00 0

0 0

sincos sin coscos cos sin

pqr

pqr

= + + = = + =

T T T T T T

(2.51)

onde as matrizes de transformao so apresentadas, por convenincia, no Apndice A.

De posse das relaes (2.50) e (2.51), o primeiro termo (2.49) da expresso de

energia cintica pode ser colocado como funo das coordenadas generalizadas e suas

derivadas.

Da definio da didica de inrcia [20] I, e sendo x, y, e z as componentes do vetor pG ,

quando escrito no sistema do corpo, temos que:

44

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2 2

12

12

121 22

V

T

V

T

xx yy zz xy xz yz

B p p dV

y z xy xzxy x z yz dVxz yz x y

I p I q I r I pq I pr I qr

= + = + = +

= =

= + + + +

I

G GG G

(2.52)

onde a forma matricial de G . Assume-se que, para pequenas perturbaes, a didica de inrcia no sofre variaes sensveis devido ao movimento estrutural.

De (2.51), B tambm pode ser escrito em funo das coordenadas generalizadas e

suas derivadas.

Relembrando que e dp p p= +G G G , onde epG a parcela esttica, e partindo de (2.9) e da

transformao modal (2.19), C pode ser reescrito em termos das amplitudes modais:

( )2

1

121212

d dV

RB RB

T T

n

ii ii

dp dpC dVdt dt

=

= =

= =

=

M

G G

(2.53)

Da equao (2.4), temos:.

0

0

VRB

dV

RB

dR dpD dVdt dt

dR dp dVdt dt

= =

=

G G

G G

0= (2.54)

Como o sistema de referncia do corpo se localiza no seu centro de massa, temos

que:

45

( )( )

0

0

0

V

V

V

dRE p dVdt

dR p dVdt

dR p dVdt

= =

= =

=

G G GG G GG G G

0

=

(2.55)

E finalmente, da identidade vetorial ( ) ( )a b c c a b = G GG G G G , segue que: ( )

VRB

VRB

VRB

dpF p dVdt

dpp dVdt

dpp dVdt

= = = = =

G G G

G GG

GG

0

==

G (2.56)

A expresso de energia cintica assume ento sua forma final:

( ) ( )2 2 2 2 2 22

1

1 1 22 2

12

xx yy zz xy xz yz

n

ii ii

T m u v w I p I q I r I pq I pr I qr

=

= + + + + + + + +

(2.57)

onde (2.50) e (2.51) so empregados para deix-la em funo das coordenadas generalizadas e

suas derivadas temporais.

A energia potencial do sistema corresponde soma da energia potencial

gravitacional e da energia potencial de deformao:

G SU U U= + (2.58)

Sendo CGz a coordenada em zI da posio do CG da aeronave escrita no RI, a sua

energia potencial gravitacional pode ser determinada por:

46

( )[ ]

( )

/

/

(3,:)

(:,3)

sin cos sin cos cos

G

TI B CG CG CG

TTB I CG CG CG

CG CG CG

U mgz

mg x y z

mg x y z

mg x y z

= = = = = =

L

L (2.59)

onde a expresso / (3,:)I BL designa a terceira linha da matriz /I BL , assim como / (:,3)B IL , a

terceira coluna da matriz /B IL .

De (2.10), e da transformao modal (2.19), a energia potencial de deformao pode

ser escrita como:

2

1

2 2,

1

12121212

TS V

T T

n

ii iin

ii n i ii

U dV

=

=

= =

= = =

=

K (2.60)

Logo:

( ) 2 2,1

1sin cos sin cos cos2

n

CG CG CG ii n i ii

U mg x y z =

= + (2.61)A lagrangeana do sistema fica determinada, a partir de (2.57) e (2.61), por:

L T U= (2.62)A funo de dissipao estrutural pode ser obtida atravs de (2.11) e da

transformao modal (2.19):

2

1

2,

1

1212

T T

n

ii ii

n

ii i n i ii

D

=

=

= = =

=

B

(2.63)

47

2.4.2 Aplicao das equaes de Lagrange

As equaes do movimento de Lagrange sero mais uma vez utilizadas para a

deduo das equaes que governam o movimento da aeronave flexvel. Ento, para a k-

sima coordenada generalizada, temos:

kk k k

d L L D Qdt q q q + =

(2.64)

Devido s intensas manipulaes analticas que resultam da aplicao da equao

acima, as derivaes e simplificaes foram feitas com a ajuda do programa Mathematica.

Nesta seo, apenas as formas j simplificadas sero apresentadas.

(a) Grau de liberdade xCG:

( )sinXQ m u rv qw g = + + (2.65)(b) Grau de liberdade yCG:

( )cos sinYQ m v ru pw g = + (2.66)(c) Grau de liberdade zCG:

( )cos cosZQ m w qu pv g = + (2.67)(d) Grau de liberdade :

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2

cos cos

cos sin

xx yy zz xy xz yz

CG

CG

Q I p I I qr I pr q I pq r I q r

my w pv qu g

mz v pw ru g

= + + + + ++ + ++ + +

(2.68)

(e) Grau de liberdade :

48

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

cos sin cos sin cos sin

cos sin cos sin

cos sin

cos sin cos

si

xx yy zz

xy xz

yz

CG

CG

Q I pr pq I q pq I pr r

I p qr p q I p r p qr

I r pq q pr

mx w pv qu v pw ru g

my u qw rv g

= + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + +

( )

( )n sin

sin cosCGmz u qw rv g

+ + + +

(2.69)

(f) Grau de liberdade :

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )

2 2

2 2

2 2

sin cos sin cos

sin cos sin cos

sin cos sin cos

sin sin cos cos

sin sin cos cos

xx

yy

zz

xy

xz

yz

Q I p pq pr

I qr pq q

I qr r pr

I q pr p qr p q

I r pq p r p qr

I q r

= + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

sin sin cos cos

sin cos cos

sin cos cos

sin sin cos

CG

CG

CG

r pq q pr

mx w pv qu v pw ru

my w pv qu u qw rv

mz v pw ru u qw rv

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

(2.70)

(g) Grau de liberdade i :

( )2, ,2ii i i n i i n i iiQ = + + (2.71)Para a soluo das equaes de (2.65) a (2.71), necessrio conhecer as cargas

generalizadas, que sero determinadas a seguir.

2.4.3 Determinao das cargas generalizadas

Para a k-sima coordenada generalizada, a carga generalizada Qk pode ser

determinada, como em (2.14) para a dinmica estrutural, a partir de:

49

k Vk

RQ f dVq= GG

(2.72)

onde fG

designa a fora distribuda atuante na aeronave, por unidade de volume, que no

deriva de um potencial, como o caso da fora peso e das foras de dissipao estrutural.

Logo fG

representa os efeitos das foras aerodinmica e propulsiva.

Sendo fx, fy e fz as componentes de fG

escritas no RB, temos:

(a) Grau de liberdade xCG:

( ) [ ]( )/ /T TX I B x y z I B CG CG CGVCG

Q f f f x x y y z z dVx

X

= + + + = = L L (2.73)

(b) Grau de liberdade yCG:

( ) [ ]( )/ /T TY I B x y z I B CG CG CGVCG

Q f f f x x y y z z dVy

Y

= + + + = = L L (2.74)

(c) Grau de liberdade zCG:

( ) [ ]( )/ /T TZ I B x y z I B CG CG CGVCG

Q f f f x x y y z z dVz

Z

= + + + = = L L (2.75)

(d) Grau de liberdade :

( ) [ ]( )/ /T TI B x y z I B CG CG CGVCG CG

Q f f f x x y y z z dV

Yz Zy L

= + + + =

= + + L L (2.76)

(e) Grau de liberdade :

( ) [ ]( )( ) ( )

/ /

sin cos

T TI B x y z I B CG CG CGV

CG CG CG CG

Q f f f x x y y z z dV

Xy Yx N Xz Zx M

= + + + = = + L L (2.77)

(f) Grau de liberdade :

50

( ) [ ]( )[ ]( ) ( )

/ /

sin

sin cos cos

T TI B x y z I B CG CG CGV

CG CG

CG CG CG CG

Q f f f x x y y z z dV

Yz Zy L

Xz Zx M Yx Xy N

= + + + = =

+ + + +

L L (2.78)

(g) Grau de liberdade i : Neste caso, necessrio expressar a posio dos pontos da aeronave em funo das

amplitudes modais. Com base em (2.3):

e d

e d

e d

x x xy y yz z z

= + = + = + (2.79)

Como visto na seo 2.2.3, apenas o movimento estrutural das superfcies

sustentadoras ser considerado. As contribuies da asa e empenagem horizontal, e da

empenagem vertical, sero tratadas separadamente.

(g.1) Contribuio da asa e da empenagem horizontal:

De (2.22) podemos escrever:

1

d d

d dn

d i ii

x zy z

z =

=

(2.80)

E a partir da aproximao (2.23):

( )1

1

n

d i ii

ene ei

i ii

z

x xx

=

=

= = = +

(2.81)

Logo a parcela da carga generalizada no grau de liberdade i contribuda pela asa e empenagem horizontal pode ser encontrada a partir da expresso a seguir:

51

( ) [ ]( )( )

( )[ ]( )[ ] ( )

/ /,

/ 2

// 2

/

3,: 0

3,: 0

T TI B x y z I B e CG e CG e d CGi V

iA EH

ee e i

z i zV

ebT e i

B A i CAb

eT e i

B A CA

Q f f f x x y y z z z dV

f f x x dVx

L d mx

L d x x dyx

= + + + + = = + = = +

+

L L

A

A

(2.82)

(g.2) Contribuio da empenagem vertical:

De (2.22) podemos escrever:

1

d dn

d i ii

d d

x y

y

z y

=

=

(2.83)

E a partir da aproximao (2.23):

( )1

1

n

d i ii

ene ei

i ii

y

x xx

=

=

= = = +

(2.84)

Logo a parcela da carga generalizada no grau de liberdade i contribuda pela empenagem vertical dada por:

( ) [ ]( )( )

( )[ ]( )[ ] ( )

/ /

/ 2

/0

/

2,: 0

2,: 0

T TI B x y z I B e CG e d CG e CGi V

iEV

ee e i

y i yV

bT e

B A i

eT e i

B A CA

Q f f f x x y y y z z dV

f f x x dVx

L d

L d x x dzx

= + + + + =

= + = = +

+

L L

A

A

(2.85)

Aqui, o perfil da empenagem vertical foi considerado simtrico, portanto o momento

em torno do seu centro aerodinmico nulo.

52

2.4.4 Simplificao das equaes

Substituindo as expresses de (2.73) a (2.78) respectivamente nas equaes de (2.65)

a (2.70), as seis equaes do movimento em funo das foras e momentos no referencial do

corpo podem ser finalmente encontradas:

sinXu rv qw gm

= + (2.86)

cos sinYv ru pw gm

= + + (2.87)

cos cosZw qu pv gm

= + + (2.88)

( ) ( ) ( )2 2xx xy xz yz yy zz xz xyI p I q I r I q r I I qr p I q I r L = (2.89)( ) ( ) ( )2 2xy yy yz xz zz xx xy yzI p I q I r I r p I I pr q I r I p M + = (2.90)( ) ( ) ( )2 2xz yz zz xy xx yy yz xzI p I q I r I p q I I pq r I p I q N + = (2.91)

Somam-se a estas equaes as equaes dos graus de liberdade da dinmica

estrutural, isto , as equaes das amplitudes modais:

2 ,, ,2

i iA EH EV

i i n i i n i iii

Q Q

++ + = (2.92)

2.5 Determinao das cargas generalizadas nos graus de liberdade das amplitudes modais, em termos de derivadas de estabilidade

2.5.1 Tratamento de asa e empenagem horizontal

Assumindo a hiptese quase-estacionria, o ngulo de ataque local em cada

superfcie sustentadora pode ser escrito como:

53

CAs s s

qx pyiu u

= + + + (2.93)

onde s deve-se dinmica estrutural, e pode ser calculado a partir da expresso (2.24).

Assumindo comportamento linear para os coeficientes de arrasto e sustentao, e

considerando ainda que o escoamento em cada faixa bidimensional, isto , desprezando a

interferncia entre as faixas, o termo [ ]0 Td A da expresso (2.82) pode ser escrito como: 0

2

0

02

0

02

0

02

10 02

1 0 02

1 0 02

1 02

d d s

s

d d

s

d dCA

s s

d d s

d C CV c

C C

C CV c

C C

C Cqx pyV c i

u uC C

C C iV c

C

+ = = + = + = = + + + + =

+=

A A

A A

A A

A

0

1

0 0 0

10 0

d d dCA

s

d dn eek

k k kk

C C Cxy p q

u uC i C C C

C C

x uC C

=

+ + + + + +

A A A A A

A A

(2.94)

Substituindo (2.94) em (2.82), chega-se expresso final da contribuio de asa e

empenagem para a carga generalizada nos graus de liberdade estruturais, em forma de

derivadas de estabilidade:

2

, 1 1, , , ,,0 ,

12 2

n n

kieA EH k k

p qi i i ii ik kcQ V Sc C C C C p C q CV = =

= + + + + + (2.95)Tais derivadas podem ser obtidas pelas expresses seguintes:

54

( ) ( )/ 2 0// 2 0

,01 3,: 0

b d d se ee e i i

i CA B A CAb s

i m

C C iC c x x L c c dy

Sc x xC C i

+ = + +

A A (2.96)

( ) ( )/ 2 // 2

,1 3,: 0

b dee e i

i CA B Ab

i

CC c x x L dy

Sc xC

= +

A (2.97)

( ) ( )/ 2 /2/ 2

,2 3,: 0

b dee ee i

i CA B Ab

pi

CV yC c x x L dy

x uSc C

= +

A (2.98)

( ) ( )/ 2 /2/ 2

,2 3,: 0

b dee ee i CA

i CA B Ab

qi

CV xC c x x L dy

x uSc C

= +

A (2.99)

( ) ( )/ 2 // 2

,1 3,: 0

b de ee e i k

i CA B Ab

i k

CC c x x L dy

Sc x xC

= +

A (2.100)

( ) ( )/ 2 /2/ 2

,2 13,: 0

b dee eee i

i CA B A kb

i k

CVC c x x L dy

x uSc C

= +

A (2.101)

2.5.2 Tratamento da empenagem vertical

Analogamente, o ngulo de ataque em cada faixa da empenagem vertical pode ser

escrito como:

CAs s

r x p zu u

= + + (2.102)

onde s determinado pela expresso (2.39).

A resultante aerodinmica em cada seo da empenagem vertical pode ser escrita,

portanto, como:

55

2

1

12

0 0 0 0

1

0 0

d d dCA

d dn eek

k k kk

d C C CxzV c C C p C r

u u

C CC C

x u

=

= + + + +

A A A

A A

A

(2.103)

Logo, a contribuio da empenagem vertical para a fora generalizada nos graus de

liberdade estruturais pode ser escrita da mesma forma que (2.95):

2

1 1, , ,, ,

12 2

n n

kieEV k k

p ri i ii ik kcQ V Sc C C C p C r CV = =

= + + + + (2.104)onde:

( ) ( )0 // 2

,1 2,:

0

dee e i

i CA B Ab

i

CC c x x L C dz

Sc x

= + A (2.105)

( ) ( )0 /2/ 2

,2 2,:

0

dee ee i

i CA B Ab

pi

CV zC c x x L C dz

x uSc

= + A (2.106)

( ) ( )0 /2/ 2

,2 2,:

0

dee ee i CA

i CA B Ab

ri

CV xC c x x L C dz

x uSc

= + A (2.107)

( ) ( )0 // 2

,1 2,:

0

de ee e i k

i CA B Ab

i k

CC c x x L C dz

Sc x x

= + A (2.108)

( ) ( )0 /2/ 2

,2 12,:

0

dee eee i

i CA B A kb

i k

CVC c x x L C dz

x uSc

= + A (2.109)

56

3 Aplicao numrica

3.1 Determinao numrica dos coeficientes de influncia

Para aplicao numrica do modelo desenvolvido para a mecnica de vo de

aeronaves flexveis, necessrio que sejam conhecidos, alm dos seus parmetros

geomtricos e de distribuio de massa:

as propriedades aerodinmicas das suas superfcies sustentadoras; a sua decomposio modal, ou suas propriedades estruturais que permitam

uma modelagem de elementos finitos.

Encontrar um modelo de aeronave com todas estas informaes uma tarefa bastante

rdua fora de uma indstria aeronutica, ou de um ambiente onde haja um projeto de

desenvolvimento de uma aeronave em andamento ou concludo.

Neste sentido, este captulo aborda uma aeronave semelhante a discutida nas

referncias [29] e [28], uma vez que a ltima referncia apresenta dois modos, um simtrico e

outro assimtrico, para asa e empenagens, bem como as derivadas de estabilidade de corpo

rgido. Ainda assim, alguns parmetros no so explicitamente fornecidos, mas podem ser

estimados. Por exemplo, a partir das derivadas de estabilidade de corpo rgido da aeronave,

assumindo comportamento linear para as foras e momentos aerodinmicos nas superfcies

sustentadoras, distribuio uniforme de presso e, portanto, ignorando efeitos tridimensionais

do escoamento, as propriedades de cada seo da superfcie sustentadora podem ser

estimadas. Outros parmetros, no entanto, no so fornecidos e nem podem ser estimados.

Neste caso, arbitr-los de acordo com dados histricos.

A aeronave abordada pelas referncias [29] e [28] semelhante ao bombardeiro

americano B-1 Lancer, cujas propriedades mais gerais so apresentadas na Tabela 3.1.

57

Tabela 3.1: Propriedades gerais da aeronave

Propriedades Valor Unidade m (massa) 130640 kg Ixx 1.29106 kg.m2 Iyy 8.67106 kg.m2 Izz 9.62106 kg.m2 Ixz

momentos eprodutosde inrcia

-7.14104 kg.m2 b (envergadura da asa) 22.71 m cm (corda mdia aerodinmica) 4.66 m S (rea de referncia) 180.80 m2

Condio de Vo V (velocidade de cruzeiro) 200.40 m/s H (altitude) 1500 m

A Figura 3.1, por sua vez, mostra a geometria da aeronave em duas vistas planares e

uma espacial.

Figura 3.1- Geometria da aeronave: (a) forma em planta da asa e empenagem horizontal; (b) forma em

planta da empenagem vertical; e (c) viso espacial

(a) (b)

(c)

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Na ausncia de um modelo mais completo, e sem perda de generalidade, assumiu-se

que, para todas as superfcies sustentadoras, a distribuio de coeficiente de sustentao por

unidade de envergadura constante, bem como a distribuio de coeficiente de arrasto e de

coeficiente de momento em torno do centro aerodinmico, na condio de ausncia de toro

estrutural. Neste caso, o conhecimento das propriedades aerodinmicas destas superfcies fica

completo atravs da tabela. O coeficiente de arrasto e o coeficiente de momento em torno do

CA foram desprezados para as empenagens, j que o arrasto e o momento em torno do CA

gerados por estas superfcies so desprezveis em relao aos gerados pela asa. A Tabela 3.2

traz as caractersticas aerodinmicas das superfcies sustentadoras, estimadas a partir dos

resultados apresentados em [29].

Tabela 3.2- Caractersticas aerodinmicas por unidade de envergadura das superficies sustentadoras

Superfcie ,0CA ,C A ,0dC ,dC ,m CAC ASA 0.239 1.200 0.028 0.200 0.000

EMPENAGEM HORIZONTAL 0.035 5.020 0.000 0.000 0.000

EMPENAGEM VERTICAL 0.000 5.5437 0.000 0.000 0.000

Para a dinmica estrutural, conforme j mencionado, foram considerados os dois

primeiros modos de vibrao da aeronave, um simtrico e outro assimtrico, disponveis em

[28] e repetidos no Apndice B. Ambos os