Modelagem Matemática IV

Modelagem Matemática IV Aula 02

1) Derivação Parcial2) Classificação de ED’s quanto à Ordem e ao Tipo de Derivada3) Problemas de Crescimento / Decaimento Exponencial4) Equações Separáveis - Datação por Carbono-14

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Derivação Parcial

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Derivadas Parciais – Funções de Múltiplas Variáveis

3

• Se uma função é do tipo z=f(x,y) é possível indagarmos como os valores de z variam se “x” for mantido fixo e “y” for permitido variar.

• Essa variação de “y” com “x” mantido como uma constante é chamada “Derivada Parcial de z em relação a y”

𝑧 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2𝑦4 + 10𝑥 − 5𝑦

Exemplos:𝜕𝑧 𝑥, 𝑦

𝜕𝑦= 2𝑥24𝑦3 − 5 = 8𝑥2𝑦3 − 5

z 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥𝑦) − 𝑒𝑦𝜕𝑧 𝑥, 𝑦

𝜕𝑦= cos 2𝑥𝑦 . 2𝑥 − 𝑒𝑦

Derivadas Parciais – Funções de Múltiplas Variáveis

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• Se uma função é do tipo z=f(x,y) é possível indagarmos como os valores de z variam se “x” for permitido variar e “y” for mantido fixo.

• Essa variação de “x” com “y” mantido como uma constante é chamada “Derivada Parcial de z em relação a x”

𝑧 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2𝑦4 + 10𝑥 − 5𝑦

Exemplos:𝜕𝑧 𝑥, 𝑦

𝜕𝑥= 4𝑥𝑦4 + 10

z 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥𝑦) − 𝑒𝑦𝜕𝑧 𝑥, 𝑦

𝜕𝑥= cos 2𝑥𝑦 . 2𝑦

Derivadas Parciais – Outros Exemplos

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𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 1𝜕𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝜕𝑥= 2𝑥

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥4𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦3)

𝜕𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝜕𝑦= 2𝑦

𝜕𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝜕𝑧= 2𝑧

𝜕𝑓 𝑥, 𝑦

𝜕𝑥= 𝑥4

𝜕[𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦3 ]

𝜕𝑥+𝜕[ 𝑥4]

𝜕𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦3)

= 𝑥4cos(𝑥𝑦3)𝑦3 + 4𝑥3𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦3)

𝜕𝑓 𝑥, 𝑦

𝜕𝑦= 𝑥4

𝜕[𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦3 ]

𝜕𝑦+𝜕[ 𝑥4]

𝜕𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦3)

= 𝑥4 cos 𝑥𝑦3 3𝑥𝑦2 + 0. 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦3) = 𝑥4 cos 𝑥𝑦3 3𝑥𝑦2

Regra do Produto :(uv)’ = uv’ + u’v

Classificação de ED’squanto à Ordem e ao Tipo de Derivada

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Classificação das ED’s pela Ordem (Relembrando)

7

• Equações Diferenciais são classificadas quanto à maior “Ordem” de derivada que aparece na expressão;

𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡= 5𝑦 𝑡 + 2

𝑑2𝑦 𝑡

𝑑𝑡2− 5

𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡− 25𝑦 𝑡 = 10

𝑑4𝑦 𝑥

𝑑𝑥4=5

3𝑥5 − 2𝑥𝑦(𝑥)

Equação Diferencial de 1ª Ordem



Classificação das ED’s pelo “Tipo de Derivada”

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• Equações Diferenciais também são classificadas conforme o Tipo de Derivadas que delas participam.

• Se a ED possui derivadas de funções de apenas “1 variável independente” a derivação é chamada de “Ordinária” e a ED passa ser chamada de EDO – Equação Diferencial Ordinária

• Se a ED possui derivadas de funções de “2 ou mais variáveis independentes” a derivação é chamada de “Parcial” e a ED passa ser chamada de EDP – Equação Diferencial Parcial

𝜕2𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦2= 0

𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2+ 16𝑥(𝑡) = 0

EDO – Equação Diferencial Ordinária EDP – Equação Diferencial Parcial

Exemplos de Classificação

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𝑑4𝑦 𝑥

𝑑𝑥4=5

3𝑥5 − 2𝑥𝑦(𝑥)

Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem ( EDO2 )

Equação Diferencial Parcial de 2ª Ordem ( EDP2 )

𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2+ 16𝑥(𝑡) = 0

Equação Diferencial Ordinária de 4ª Ordem ( EDO4 )

𝜕2𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦2= 0

Equação Diferencial Parcial de 1ª Ordem ( EDP1 )𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡+ 5

𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= 0

Observações quanto à Modelagem Matemática IV

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• Equações Diferenciais Parciais (EDPs) representam um grau de dificuldade que excede o escopo da disciplina e também de um curso de graduação.

• Assim sendo, o foco da disciplina Modelagem Matemática IV está fixado no trabalho com EDOs – Equações Diferenciais Ordinárias

Problemas de Crescimento / Decaimento Exponencial

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Crescimento / DecaimentoExponencial

Talvez o tipo de equação diferencial mais comum nas ciências seja :

Este tipo de equação é chamado de“equação do crescimento natural” e é a forma básica para vários fenômenos em que a taxa de

variação de uma quantidade em certo tempo( dy(t)/dt ) é afetada por esta mesma quantidade ( y(t) ) no referido tempo.

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𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑘𝑦(𝑡)

EDO1

Enunciado do Problema P02A:

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Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente.

Após 1 hora, observaram-se 1.000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, observaram-se 3000 núcleos.

Determinar expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t e calcular quantos núcleos havia no tempo “zero” e quantos serão observados após 6 horas.

Enunciado do Problema P02A:

14

Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente.

Após 1 hora, observaram-se 1.000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, observaram-se 3000 núcleos.


𝑑𝑦(𝑡)


y(t) : quantidade de núcleos em determinado tempo (t)

k : “constante de crescimento”

y( t =1h ) = 1000 núcleos

y( t =4h ) = 3000 núcleos

Revisão: Tabela de Derivadas e Integrais

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𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 =

1

𝑥. 𝑙𝑛(𝑏)

𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛 𝑥 =

1

𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑏𝑥 = 𝑏𝑥 . 𝑙𝑛(𝑏)

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

න1

𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶

න𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶

න𝑏𝑢 𝑑𝑢 =𝑏𝑢

𝑙𝑛(𝑏)+ 𝐶

න 𝑙𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑢. ln 𝑢 − 𝑢 + 𝐶

Solução Geral da Equação:

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𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑘𝑦(𝑡) Técnica : Reorganizar os termos e proceder uma integração

Passo 1 : 𝑑𝑦(𝑡) = 𝑘𝑦 𝑡 𝑑𝑡 Passo 2 : 1

𝑦 𝑡𝑑𝑦(𝑡) = 𝑘𝑑𝑡

1

𝑦𝑑𝑦 = 𝑘𝑑𝑡

Passo 3 (integrando ambos os lados): න1

𝑦𝑑𝑦 = න𝑘𝑑𝑡 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑘𝑡 + 𝐶1

𝑙𝑛 𝑦 = 𝑘𝑡 + 𝐶1 E agora ??? O que fazer para isolar “y”???

Revisão:

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Identidades Logarítmicas:

Propriedades de Funções Exponenciais:

(1) 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦

(2) 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥

𝑦= 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦

(3) 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥𝑐 = 𝑐. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥

(1) 𝑎𝑥+𝑦 = 𝑎𝑥 . 𝑎𝑦

(3) 𝑎0 = 1

(4) 𝑎−1 = 1

𝑎

(5) 𝑎𝑝

𝑛 =𝑛𝑎𝑝

(2) 𝑎𝑥.𝑦 = (𝑎𝑥)𝑦 *** cuidado, é diferente de 𝑎𝑥𝑦

Revisão:

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Logo:

Ex. 1 : 𝑦 = 23 = 8

Conclusão: - Função Logarítmica é o INVERSO da Função Exponencial;- Função Exponencial é o INVERSO da Função Logarítmica;

𝑙𝑛 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦 = 𝑏𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑦)

𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2(8) = 3

Ex. 2 : 𝑦 = 𝑒2 = 7.389056… 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 7.389056… = 𝑙𝑛 (7.389056…) = 2

Função LogarítmicaFunção Exponencial

𝑦 = 𝑒𝑓(𝑥)

Solução Geral da Equação:

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Técnica : Reorganizar os termos e proceder uma integração

Passo 1 : 𝑑𝑦(𝑡) = 𝑘𝑦 𝑡 𝑑𝑡 Passo 2 : 1

𝑦 𝑡𝑑𝑦(𝑡) = 𝑘𝑑𝑡

1

𝑦𝑑𝑦 = 𝑘𝑑𝑡

Passo 3 (integrando ambos os lados): න1

𝑦𝑑𝑦 = න𝑘𝑑𝑡 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑘𝑡 + 𝐶1

𝑦(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡+𝐶1Passo 4 (isolando “y(t)” ): 𝑦 𝑡 = 𝑒𝑘𝑡. 𝑒𝐶1 𝑦 𝑡 = 𝑒𝑘𝑡. 𝑦𝑜

SOLUÇÃO GERAL :

𝑑𝑦(𝑡)


𝑦 𝑡 = 𝑦𝑜. 𝑒𝑘𝑡

Analisando a Solução Geral da Equação para o Problema P02A:

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y(t) : quantidade de núcleos de bactérias em determinado tempo (t)

k : “constante de crescimento” Se k > 0 a quantidade de núcleos cresce com o tempo

Se k < 0 a quantidade de núcleos decai com o tempo

y0 : é a quantidade de núcleos de bactérias no tempo inicial, ou seja, em t = 0(é a constante a ser definida por condições de contorno)

Solução do Problema P02A (1):

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(a) y( t = 1h ) = 1000 núcleos(b) y( t = 4h ) = 3000 núcleos

𝑦 𝑡 = 𝑒𝑘𝑡. 𝑦𝑜

𝑑𝑦(𝑡)


- É preciso determinar a Solução Particular do Problema, para tanto vamos substituir os valores conhecidos conforme (a) e (b);

- OBS: como são 2 termos incógnitos ( “k” e “yo” ) são necessárias 2 condições para resolver o problema ( no caso obviamente (a) e (b) );

SOLUÇÃO GERAL


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(a) y( t = 1h ) = 1000 núcleos(b) y( t = 4h ) = 3000 núcleos


𝑑𝑦(𝑡)


SOLUÇÃO GERAL

(i) 𝑦 1 = 𝑦𝑜 . 𝑒𝑘.1 = 1000

(ii) 𝑦 4 = 𝑦𝑜 . 𝑒𝑘.4 = 3000

Isolando yo em (i) : (iii) 𝑦𝑜 = 1000. 𝑒−𝑘

Substituindo (iii) em (ii) : (iii) 𝑒4𝑘 . 1000. 𝑒−𝑘= 3000 𝑒3𝑘 = 3

Manipulando (iii) : 𝑙𝑛(𝑒3𝑘) = 𝑙𝑛(3) 3𝑘 = 𝑙𝑛(3) 𝑘 = ൗ𝑙𝑛(3)3


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(i) 𝑦 1 = 𝑦𝑜 . 𝑒𝑘 = 1000

(ii) 𝑦 4 = 𝑦𝑜 . 𝑒4𝑘 = 3000

Conhecendo o valor de “k” podemos substitui-lo em (i) ou (ii) para obter yo (qtd. de núcleos em t = 0):

𝒌 =𝒍𝒏(𝟑)

𝟑= 𝟎, 𝟑𝟔𝟔𝟐

𝑦𝑜 = 1000. 𝑒−𝑘 = 1000. 𝑒−𝑙𝑛(3)3 ≅ 693

𝑦𝑜 = 3000. 𝑒−4.𝑘 = 3000. 𝑒−4𝑙𝑛(3)3 ≅ 693

𝑦 𝑡 = 693. 𝑒𝑙𝑛(3)3

.𝑡SOLUÇÃO PARTICULAR :


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Calculando a quantidade de núcleos para 6 horas:

𝒌 =𝒍𝒏(𝟑)

𝟑= 𝟎, 𝟑𝟔𝟔𝟐

𝑦 6 = 693. 𝑒𝑙𝑛(3)3

.6 = 6237𝒚𝒐 ≅ 𝟔𝟗𝟑

Respostas Finais :

𝒚(𝟔) ≅ 𝟔𝟐𝟑𝟕

Equações Separáveis:Datação por Carbono-14

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EDO1 Separáveis

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• Muitas equações diferenciais de primeira ordem podem ser escritas na forma: 𝑔 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥

• Tais equações podem se reescritas na forma: 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

• Equações deste tipo são chamadas de SEPARÁVEIS e podem ser resolvidas por meio da integração em ambos os lados.

න𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = න𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶

OBS: os problemas apresentados na Aula 02 são todos de EDO1 separáveis.

Datação por Carbono-14 : Conceito

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• O carbono-14 é um isótopo radioativo natural do elemento carbono presente em todos os organismos vivos.

• Enquanto um organismo permanece vivo a relação quantitativa entre o carbono-14 e o carbono-12 permanece constante.

• O químico norte-americano Willard Libbs descobriu nos anos 50 que, a partir da morte do organismo, o carbono-14 se transforma em carbono-12 a uma taxa proporcional à quantidade de carbono-14 existente.

• O carbono-14 é, dentre os isótopos estáveis do carbono, aquele que possui a maior meia-vida: 5730 anos.

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Atividade Prática

Enunciado do Problema P02BMB:

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Em 1988, cientistas do Museu Britânico tiveram acesso ao corte de tecido de linho chamado de “Santo Sudário” e constataram que o tecido conservava ainda 92% de sua quantidade original de carbono-14.

Determine a partir destes dados o ano em que o tecido foi confeccionado.

Meia-Vida do Carbono-14: 5730 anos

Enunciado do Problema P02CMB

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Em 2008, cientistas ingleses constataram que o material orgânico em torno de Stonehenge, o misterioso monumento erigido no sul da Inglaterra, continha 59% de sua quantidade original de carbono-14.

Determine o possível ano da construção de Stonehenge.

Meia-Vida do Carbono-14: 5730 anos

FIM

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Documents

Modelagem Matemática IV