APOSTILA DE MODELAGEM FÍSICA E MATEMÁTICA PARA

ELETRICIDADE

WILLI PENDL JUNIOR

REVISÃOPotência: é representação simplificada de uma multiplicação de fatores iguais.

Notação: an a é a base, n o expoente; a e n não podem ser simultaneamente nulos.Significado: an =

n vêzes

a.a.a......a

Exemplos numéricos: 34 = 3.3.3.3 = 81; 23 = 2.2.2 = 8; 23

3= 2

3 . 23 . 2

3 = 827

Propriedades:

1-) a1 = a2-) 0n = 0; n ≠ 03-) 1n = 14-) anm = amn = an.m

5-) an.am = an+m

6-) am

an = am−n; a ≠ 07-) a−n = 1

an ; a ≠ 0 (Obs.: Este é um caso particular da propriedade 6 quando m = 0).8-) a.bm = am.bm; Vale também: a

b

m; desde que b ≠ 0

9-) amn = n am

Consequências:

1-) a0 = 1 se a ≠ 02-) Se am = an ⇒ m = n; a ≠ 0 e a ≠ 1

3-) Se a > 0, b > 0 e am = bm ⇒a = b se m é ímpar

a = ±b se m é par

4-) Se a > 0 e am > an ⇒m > n se a > 1

m < n se 0 < a < 1

Monômios e PolinômiosMonômio: expressão matemática de um único termo, não possui operação de adição ou

subtração.Polinômio: expressão matemática que apresenta termos combinados em adição e subtração.Operações entre monômios: A adição ou subtração só pode ser efetuada quando se tem

termos semelhantes.Exemplos:m.n2 + m2.n = m.n2 + m2.n (não é possível efetuar, os termos não são semelhantes)a + b2 + c + a + 2b2 + 3c = 2a + 3b2 + 4c (observe que os termos que foram agrupados

possuem o mesmo expoente, por isso são chamados de semelhantes)Multiplicação: Só pode ser efetuada multiplicando os termos numéricos e aplicar

propriedades de potências na parte algébrica.

Exemplos:2x.3a = 6xa (a parte algébrica não foi efetuada, não são termos semelhantes)5x2.y.4y2.3x.z = 60x3y3z (foi efetuado o produto nos termos numéricos e na parte algébrica

utilizou-se propriedades de potência para efetuar a multiplicação).Operações entre monômios e polinômios

Adição: é idêntica a adição entre monômios, isto é, só podemos reduzir os termossemelhantes.

Exemplo:3x + x2 + 5x + 6 = 3x + x2 + 5x + 6 = x2 + 8x + 6Multiplicação: é a aplicação da propriedade distributiva.Exemplo:3x.x2 − 5x + 2 = 3x3 − 15x2 + 6xa : a2 − 5a + 6 = a. 1

a2−5a+6= a

a2−5a+6

a2 − 7a + 2 : 3a = a2 − 7a + 2. 13a

= a2

3a− 7a

3a+ 2

3a= a

3 − 73 + 2

3a

Multiplicação entre polinômios: aplica-se a propriedade distributivaExemplo:x2 + 3x + 1.x2 − 5x − 3 = x2 + 3x + 1x2 − x2 + 3x + 15x − x2 + 3x + 13 =x4 + 3x3 + x2 − 5x3 − 15x2 − 5x − 3x2 − 9x − 3 =x4 − 2x3 − 17x2 − 14x − 3

Produtos NotáveisAlguns produtos envolvendo expressões algébricas apresentam um padrão, uma

regularidade, uma forma comum em seus resultados. Por isso são conhecidos como produtosnotáveis.

Abaixo estão relacionadas as formas mais usuais de produtos notáveis.

a + b2 = a2 + 2ab + b2 (quadrado da soma)a − b2 = a2 − 2ab + b2 (quadrado da diferença)a + b ∗ a − b = a2 − b2 (diferença entre dois quadrados)a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (cubo da soma)a − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 (cubo da diferença)a + b ∗ a2 − ab + b2 = a3 + b3 (soma de dois cubos)a − b ∗ a2 + ab + b2 = a3 − b3 (diferença de dois cubos)x + a ∗ x + b = x2 + xb + ax + ab = x2 + a + bx + ab

Exercícios1-) Desenvolver os produtos notáveis.a-) 2x3 + 52 =b-) 2x

3 − 72=

c-) 3x5 − 4 ∗ 3x5 + 4 =d-) x + 2 ∗ x + 4 =e-) x + 2 ∗ x − 4 =f-) 5x + 33 =g-) x2 − 33 =h-) x + 1 ∗ x2 − x + 1 =i-) x − 4 ∗ x2 + 4x + 16 =j-) x − 2

3

2=

Fração

Propriedade Fundamental: Se em uma fração multiplicarmos ou dividirmos o numerador eo denominador por um mesmo número, o valor não se altera.

Exemplos:

25 = 4

10 = 615 = 8

20 = 1025 = ...

x2+xx2 = 2x+2

2x= 3x3+3x2

3x3 = x+1x−1xx−1

= ...

Simplificar uma fração significa determinar a fração mais simples equivalente à fração dada.Podemos dizer que a fração simplificada tem como numerador e denominador, fatores primosentre si.

Fatores primos entre si são aqueles cujo divisor comum é o número 1.Operações com frações

Adição ou subtração: para somar ou subtrair uma fração com denominadores diferentes énecessário reduzir ao mesmo denominador. A redução ao mesmo denominador é obtida atravésdo mínimo múltiplo comum (mmc). Em seguida divide o valor comum pelo denominador daprimeira fração e multiplica o resultado obtido pelo numerador. Esse processo deve ser efetuadopara todas as frações.

Exemplos:

23 + 1

5 = 2∗5+1∗315 = 10+3

15 = 1315

32 − 2

5 + 14 = 3∗10−2∗4+1∗5

20 = 30−8+520 = 27

20Multiplicação: para multiplicar uma fração por outra basta efetuar o produto do numerador

da primeira pelo numerador da segunda fração e o produto do denominador da primeira pelodenominador da segunda fração.

Exemplos:23 ∗ 1

5 = 2∗13∗5 = 2

1532 ∗ 3

7 ∗ 14 = 3∗3∗1

2∗7∗4 = 956

45 ∗ 6 = 4∗6

5∗1 = 245 (observe que o denominador da segunda fração é 1)

Divisão: para dividir uma fração por outra fração deve-se conservar a primeira e multiplicarpelo inverso da segunda fração.

Exemplos:

3457

= 34 ∗ 7

5 = 3∗74∗5 = 21

20

56

1311

= 56 ∗ 11

13 = 5∗116∗13 = 55

78

Fatoração

Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação (produto). Destacamosa seguir os principais casos de fatoração que devem ser utilizados de acordo com ascaracterísticas da expressão algébrica a ser fatorada.

1-) Fator comum: é um fator comum em todos os termos da expressão

Exemplos:

ax + bx + cx = xa + b + c4x3 − 12x2 + 8x = 4xx − 1x − 22-) Agrupamento: é agrupar termos semelhantes que aparecem na expressão. Termos

semelhantes são as expressões que apresentam as mesmas variáveis com os mesmos expoentes.

Exemplos:

ax + bx + ay + by = xa + b + ya + b = x + ya + bx3 + 2x2 − 9x − 18 = x2x + 2 − 9x + 2 = x + 2x2 − 93-) Diferença entre dois quadrados: na fatoração teremos o produto da soma pela diferença

dos mesmos termos.

Exemplos:

a2 − b2 = a − ba + bx2 − 9 = x − 3x + 3x2 − 3 = x − 3 x + 34-) Trinômio do quadrado perfeito: na fatoração teremos a soma ou a diferença de uma

expressão elevada a um expoente n.

Exemplos:

a2 − 2ab + b2 = a − b2

a2 + 2ab + b2 = a + b2

9x2 + 12x + 4 = 3x + 22

25x6

4 − 5x3 + 1 = 5x3

2 − 12= 1

4 5x3 − 22

5-) Trinômio do segundo grau: a forma geral do trinômio do segundo grau éax2 + bx + c = ax − x1x − x2, onde x1 e x2 são raízes da equação ax2 + bx + c = 0

Exemplos:

x2 + 6x + 8 = x + 4x + 2x2 − 7x + 10 = x − 2x − 52x2 + 12x + 16 = 2x + 4x + 26-) Soma de cubos: a soma de cubos pode ser fatorada pela fórmula:a3 + b3 = a + ba2 − ba + b2Exemplos:x3 + 27 = x + 3x2 − 3x + 9x3 + 8 = x + 2x2 − 2x + 47-) Diferença de cubos: para fatorar uma diferença de cubos usamos a fórmula:a3 − b3 = a − bb2 + ba + a2Exemplos:x3 − 27 = x − 3x2 + 3x + 9x3 − 8 = x − 2x2 + 2x + 4

Exercícios1-) Fatorar as expressões:a-) a3x + a2y =b-) 15x2y − 20xy2 + 10x2y2 =c-) mx + mb + xy + by =d-) 6axy2 + 9y2 − 2ax − 3 =e-) 2ax − 3bx + 6ay − 9by =f-) m2 + 14am + 49a2 =g-) n2 − 10n + 25 =h-) y2 − 2 3 y + 3 =i-) 2x2 − 2x − 24 =j-) x3 + 27 =k-) x3 − 125 =

l-) 6x2y2 − 8x2y + 15xy2 =m-) xx − 4 + 6x − 4 =n-) sinx + cosx + sinx ∗ cosx + 1

SimplificaçãoÉ escrever uma expressão, um número de uma forma mais simples.Exemplo: 6x

3 = 2x ⇒neste exemplo tanto o numerador como o denominador foramsimplificados por 3.

3x2+9x3x

= 3xx+33x

= x + 3 ⇒ neste exemplo foi feita a fatoração no numerador e em seguidatanto o numerador como o denominador foram simplificados por 3x.

x2−4x2−7x+10

= x+2x−2x−2x−5

= x+2x−5 ⇒ agora a fatoração foi feita tanto no numerador como no

denominador aparecendo o termo comum x − 2 que permitiu a simplificação.Obs.: Para simplificar uma expressão primeiramente efetuar a fatoração no termo que for

necessário para em seguida simplificar o termo comum.Exercícios

1-) Simplificar as expressões abaixo.a-) 3x4−10x2

x5−x2 = j-) 6x2−9x15x

b-) x2−16x+4 = k-) x2−25

x2+10x+25

c-) x2−9x2−6x+9

= m-) 20x3yz2

35xy2z2

d-) x+32

x2−9= n-) x2+2xy+y2

x2+xy−3x−3y

e-) 2x−2x−12 = o-) x+6

x3−36x

f-) 41−x

+ 51+x

= p-) 5x−10x2−2x

g-) x3−x

+ 10x3−x2 =

h-) x−1x+1 + x+1

x−1 =

i-) y−zx+w ÷ y2−z2

x2−w2 =

2-) (UFRGS) Se a = x+y2 , b = x−y

2 e c = xy , onde x e y são números reais tais que xy>0,então uma relação entre a2, b2 e c2 é:

a-) a2 + b2 − c2 = 0.b-) a2 − b2 − c2 = 0.c-) a2 + b2 + c2 = 0.d-) a2 − b2 + c2 = 0.e-) a2 = b2 = c2.

Matrizes, Determinantes e Sistemas LinearesIntrodução:

Nos computadores são utilizados programas que auxiliam na realização das mais diversasatividades. Entre os programas instalados no computador podemos destacar as planilhaseletrônicas como, por exemplo, o Excel.

Essas planilhas possibilitam organizar as informações, realizar cálculos, escrever fórmulas,além de oferecer recursos avançados para a construção de gráficos e tabelas. A organização dosdados nestas planilhas é feita através de tabelas compostas por linhas e colunas quedenominamos de MATRIZ, que pode ser representada de duas maneiras:

−1 4 2 12

10 7 −5 7

8 36 9 −11

ou

−1 4 2 12

10 7 −5 7

8 36 9 −11

Cada número que compõe uma matriz é chamado elemento ou termo. No exemplo acima amatriz é do tipo 3x4, ou de ordem 3x4 e lê-se matriz três por quatro.

Definição de MatrizUma matriz de ordem (ou tipo) mxn é toda tabela numérica com m ∗ n elementos dispostos

em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais e diferentes de zero.Exemplos:

•9 −3 4

5 7 6matriz de ordem 2x3 (lê-se dois por três)

•15

−4

19

matriz de ordem 3x1 (lê-se três por um)

• 1 19 −3 51 matriz de ordem 1x4 (lê-se um por quatro).

Representação genérica de uma matrizPara indicar cada elemento da matriz, utilizamos uma letra minúscula acompanhada de dois

índices. Na matriz A =

−1 4 2 12

10 7 −5 7

8 36 9 −11

, por exemplo:

• O 4 está na primeira linha na segunda coluna, indicamos por: a12 (lê-se a um dois).

• O −5 está na segunda linha na terceira coluna, indicamos por: a23 (lê-se a dois três).Genericamente, uma matriz A com m linhas e n colunas pode ser representada por:

A =

a11 a12 a13 a14 ... a1j ... a1n

a21 a22 a23 a24 ... a2j ... a2n

a31 a32 a33 a34 ... a3j ... a3n

: : : : : : : :

ai1 ai2 ai3 ai4 ... aij ... ain

: : : : : : : :

am1 am2 am3 am4 ... amj ... amn

com m ∈ N∗ e n ∈ N∗

De maneira abreviada, a matriz A pode ser escrita da seguinte maneira: A = aijmxn ouA = aij, i ∈ 1, 2, 3, ...., m e j ∈ 1, 2, 3, ...n.

Matriz QuadradaUma matriz de ordem mxn é quadrada quando o número de linhas é igual ao de colunas, isto

é, m = n. Nesse caso, diz-es que a matriz é do tipo nxn ou, simplesmente, quadrada de ordem n.Exemplo:Matriz quadrada de ordem 3.

2 3 5

−3 9 4

0 2 −1

Nesse caso, m = n = 3.Em uma matiz quadrada A de ordem n, os elementos:

• a11, a22, a33, a44, ...., ann, ou seja, aqueles em que i = j formam a diagonal principal.

• aij tal que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.

DeterminantesDada uma matriz quadrada A de ordem n, podemos associar a ela um número, chamado

determinante, obtido a partir de operações envolvendo todos os elementos de A.Indicamos o determinante da matriz quadrada A, abaixo, por detA:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

detA=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Observe que a notação de matriz é diferente da notação para o determinante de uma dadamatriz. A matriz pode ser escrita com ou , enquanto que o determinante é escrito entreduas barras | |.

OBS.: NÃO CONFUNDIR COM A REPRESENTAÇÃO DE MÓDULO.Determinantes de algumas matrizes

Determinante de uma matriz de ordem 1:O determinante de uma matriz de ordem 1, ou seja, A = a111x1, é o próprio elemento a11.

Indicamos esse determinante por detA=|a11 | = a11.Exemplos:

• B = 7, então detB = 7

• C = − 15 , então detC = − 1

5

Determinante de uma matriz de ordem 2:

O determinante de uma matriz quadrada A =a11 a12

a21 a22

é igual à diferença entre o

produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

detA =a11 a12

a21 a22

= a11 ∗ a22 − a21 ∗ a12

Exemplo:

Dada a matriz A =9 2

5 −1, determine o valor do detA.

detA =9 2

5 −1= 9 ∗ −1 − 5 ∗ 2 = −9 − 10 = −19

Determinante de uma matriz de ordem 3

Dada a matriz A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, podemos obter o detA por meio do seguinte

cálculo:detA

= a11 ∗ a22 ∗ a33 + a12 ∗ a23 ∗ a31 + a13 ∗ a32 ∗ a21 − a13 ∗ a22 ∗ a31 − a11 ∗ a23 ∗ a32 − a12 ∗ a21

Para obter os produtos acima, utilizamos uma regra prática conhecida como regra de Sarrus:• repetimos a 1ª e a 2ª coluna à direita da matriz. Em seguida, efetuamos as multiplicações

conforme as indicações das setas no esquema:

a11↘ a12↘ ↙a13↘ ↙a11 a12

a21 ↙a22↘ ↙a23↘ ↙↘a21↘ a22

↙a31 a32↙ a33↘↙

↘a31↘↘a32↘

a13 ∗ a22 ∗ a31↙ a11 ∗ a23 ∗ a32

↙ a12 ∗ a21 ∗ a33↙ ↘a11 ∗ a22 ∗ a33

↘a12 ∗ a23 ∗ a31↘a13 ∗ a21

• o sinal do produto dos elementos indicados pelas setas que vão da esquerda para direita émantido.

• o sinal do produto dos elementos indicados pelas setas que vão da direita para a esquerda étrocado.

• o determinante é a soma dos resultados obtidos.Exemplo:

Utilizando a regra de Sarrus, obtenha o determinante da matriz A =

1 0 4

7 −2 10

1 5 6

.

Solução:

detA=

8

1 ↘ 0 ↘ ↙ 4 ↘ ↙ 1 ↙ 0

7 ↙ −2 ↘ ↙ 10 ↘ ↙ 7 ↘ −2

↙ 1 ↙ 5 ↙ 6 ↘ 1 ↘ 5 ↘

−50 0 −12 0 140

= −12 + 0 + 140 + 8 − 50 + 0 =

Exercícios:1-) Utilizando a regra de Sarrus, calcule os determinantes a seguir:

a-)

−4 −2 3

7 0 1

8 −5 3

b-)

3 5 −1

−3 2 12

1 1 1

c-)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

d-)

1 a −1

−5 + a a2 2

3 2 5

Respostas: a-) -99; b-) 50; c-) 1; d-) 3a2 + 29a + 6

2-) Sejam a =

5 3 −1

0 −2 1

5 1 1

, b =

1 0 0

2 5 −74

7 12 −3

e c = |23|, determine o valor de:

a-) a + b − cb-) b2 − 4ac

c-)

a 2 −7

1 b −60

2 −5 c

Respostas: a-) -11; b-) 1404; c-) -2003

3-) Sabendo que A = aij é uma matriz quadrada de ordem 3 e aij =1 + i, se i = j

21 − j2, se i ≠ j,

calcule detA.Resposta: 181

4-) Encontre o conjunto solução da equação

x 2 −1

−3 6 1

9 x −5

= 14

Resposta: S = −28, 1

5-) Sejam as matrizes A =5 2

y −3e B =

0 2 −2

y 5 12

−2y 5 4

. Para qual valor de y

detA=detB?Resposta: y = 15

386-) (Fatec-SP) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal

principal. Se os números x e y são tais que a matriz

2 1 0

3 x 4

1 1 y

tem traço igual a 4 e

determinante igual a -19, determine o valor do produto xy.Resposta: -3.

Sistemas lineares

As equações escritas na forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + .... + anxn = b, em que a1, a2, a3, ..., an

são números reais, são chamadas equações lineares. Nessas equações:• a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes das incógnitas;

• x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;

• b é o termo independente.No caso particular, quando b = 0, temos uma equação linear homogênea.Exemplo:Na equação: 5x − 4y + z − 1

2 t = 2 temos:

• 5, −4, 1 e − 12 são os coeficientes;

• x, y, z e t são as incógnitas;

• 2 é o termo independente.Obs.: Em uma equação linear não há termos do tipo: xy, x2, xyz, etc..., ou seja, cada termo

tem apenas uma incógnita, cujo expoente é 1.

Denominamos de sistema linear m x n, o conjunto S de equações lineares de m equaçõescom n incógnitas. Representamos esse conjunto genericamente da seguinte forma:

S =

a11x1 + a12x2 + a13x3 + .... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + .... + a2nxn = b2

................................................................

am1x1 + am2x2 + am3x3 + .... + amnxn = bm

onde:• a11, a12, ....., a1n, a21, a22, ...., a2n, ..., am1, am2, ...., amn são os coeficiente das incógnitas;

• x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;

• b1, b2, b3, ..., bm são os termos independentes.Exemplos:

x − y = 12

x + 3y = 0sistema linear 2x2, com duas equações lineares e duas incógnitas (x e y).

x + y + z = 6

2x − y + 2z = 15

x + 4y − z = −7

sistema linear 3x3, com três equações lineares e três incógnitas (x, y e

z).

2x − y + 3z = 9

4y − 5z = 22sistema linear 2x3, com duas equações lineares e três incógnitas (x, y e

z).Solução de um sistema linear

Dado o sistemax + y = 7

x − 3y = −5determine a sua solução.

Encontrar a solução de um sistema linear significa encontrar um valor de x e um valor para yque satisfaça simultâneamente as duas equações do sistema dado.

Para resolver o sistema existem algumas técnicas de solução.Método da Substituição: consiste em substituir uma variável na outra equação, ficando

assim com uma equação linear a uma única incógnita, por exemplo, vamos isolar x da primeiraequação e substituí-lo na segunda.

x = 7 − y substituindo na segunda equação temos:7 − y − 3y = −5 −4y = −5 − 7 −4y = −12 logo o valor de y = 3.Agora que encontramos o valo de uma das variáveis, no caso y, substituímos este valor em

uma das equações dadas para encontrar o valor da outra variável, neste caso temos: x + y = 7 x + 3 = 7, portanto o valor de x = 4. A solução do sistema então fica: S = 4, 3.

Método da adição: consiste em eliminar uma das variáveis somando as duas equações dosistema. A maioria das situações essa eliminação não pode ser feita diretamente, é necessáriopreparar o sistema, multiplicando-se uma linha por um fator para que seja possível ocancelamento.

x + y = 7

x − 3y = −5

x + y = 7 ∗ 3

x − 3y = −5A primeira linha foi multiplicada por 3

3x + 3y = 21

x − 3y = −5somando agora membro a membro temos:

3x + 3y = 21

x − 3y = −5

___________

4x = 16

x = 4

Para encontrar o valor de y vamos proceder da mesma maneira, porém iremos multiplicar asegunda linha por −1.

x + y = 7

x − 3y = −5

x + y = 7 ∗ −1

x − 3y = −5A segunda linha foi multiplicada por (-1)

x + y = 7

−x + 3y = 5somando agora membro a membro temos:

x + y = 7

−x + 3y = 5

___________

4y = 12

y = 3

Logo a solução do sistema dado é: S = 4, 3.

Resolução de sistemas lineares pela regra de CramerA regra de Cramer, uma das regras mais tradicionais para resolver sistemas de equações

lineares, apresenta vantagens e desvantagens sobre outros métodos. A grande vantagem é que elafornece os valores das incógnitas diretamente como quociente de dois determinantes.

Considere o sistema de três equações lineares com três incógnitas:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Para aplicar a regra de Cramer primeiro devemos calcular o determinante da matriz doscoeficientes do sistema:

D =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

• Se D ≠ 0, podemos prosseguir, pois o sistema é possível e determinado.

• Se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.

Em seguida, para cada incógnita que se quer determinar, calcula-se um novo determinante,que é o determinante da matriz obtida, substiuindo-se, na matriz dos coeficientes a coluna doscoeficientes da incógnita a ser determinada pela outra coluna dos termos independentes:

Dx (para determinar x) =

d1 b1 c1

d2 b2 c2

d3 b3 c3

, Dy (para determinar y) =

a1 d1 c1

a2 d2 c2

a3 d3 c3

,

Dz (para determinar z) =

a1 b1 d1

a2 b2 d2

a3 b3 d3

O valor de cada incógnita é o quociente de cada um desses determinantes por D, ou seja:x = Dx

D y = Dy

D z = Dz

DA regra de Cramer pode ser usada para qualquer sistema n x n, com D ≠ 0.

Exemplo: Resolva o sistema2x − 5y = −2

3x + 2y = 16pela regra de Cramer:

a-) Encontrar o determinante da matriz dos coeficientes do sistema:

D =2 −5

3 2= 19 ≠ 0

b-) Encontrar o determinante da matriz da incógnitas, substituindo os termos independentes:

Dx =−2 −5

16 2= 76 Dy =

2 −2

3 16= 38

O valor de x é obtido por: x = Dx

D = 7619 = 4

O valor de y é obtido por: y = Dy

D = 3819 = 2

O conjunto solução é: S = 4, 2.

Exercícios1-) Usando a regra de Cramer, resolva os sistemas lineares abaixo:

a-)3x − y = 1

5x + 2y = 4Resposta: S = 6

11 , 711 .

b-)x − y = 4

2x + 5y = 1Resposta: S = 3,−1.

c-)3x − 4y = 1

x + 3y = 9Resposta: S = 3, 2.

d-)2x + y = 4

3x − 2y = −1Resposta: S = 1, 2.

e-)

2x − y + z = 3

x + y + z = 6

x − y + 2z = 3

Resposta: S = 95 , 12

5 , 95 .

f-)

x − 2y − 2z = −1

x − y + z = −2

2x + y + 3z = 1

Resposta: S = 1, 2,−1.

g-)

2x + 3y + 3z = 18

3x + 2y + 5z = 23

5x + 4y + 2z = 27

Resposta: S = 3, 2, 2.

h-)

x + y + z = 7

2x − 3y − 2z = 4

3x + 4y − z = −1

Resposta: S = 4,−2, 5.

Exemplo:

Resolva o sistema1x + 1

y = 32x − 3

y = 1usando a regra de Cramer.

Resolução:O sistema dado não é sistema linear. Fazendo 1

x = m e 1y = n, o sistema toma a forma de

um sistema linear 2 x 2 nas incógnitas m e n:

m + n = 3

2m − 3n = 1 D =

1 1

2 −3= −5

Dm =3 1

1 −3= −10

Dn =1 3

2 1= −5 m = Dm

D = −10−5 = 2 e n = Dn

D = −5−5 = 1

Então:1x = m 1

x = 2 ∴ x = 12 e 1

y = n 1y = 1 ∴ y = 1, logo a solução é:

S = 12 , 1.

2-) Resolva usando a regra de Cramer:

a-)1x + 1

y = 43x + 2

y = 9Resposta: S = 1, 1

3 .

b-)3x − 2

y = −36x + 3

y = 8Resposta: S = 3, 1

2 .

Radicaisn am ⇒ n é denominado índice e am é o radicando lembrar que: n am = a

mn

Operações: adição e diferença; deve ser efetuada somente para termos idênticos.Exemplos:adição: a + 3 a + 5 a = 1 + 3 + 5 a = 9 adiferença: ab − 4 ab − 7 ab = 1 − 4 − 7 ab = −10 abmultiplicação: aplica-se a seguinte regra:

n a .m b = m.n am.bn

RacionalizaçãoRacionalizar é tornar racional, isto é, retirar a raiz. Normalmente racionaliza-se o

denominador de uma fração para podermos trabalhar com denominadores inteiros. O princípiousado para a eliminação das raízes é fazer com que o expoente do radicando fique igual aoíndice, pois n an = a. Alguns tipos de racionalização:

1-) a

b= a

b

b

b= a b

b

2-) Se n > p, an bp

= an bp

n bn−p

n bn−p= a n bn−p

b

3-) ab c +d

= ab c +d

b c −d

b c −d=

a b c −d

b c 2−d2=

a b c −d

b2c−d2

4-) ab c +d e

= ab c +d e

b c −d e

b c −d e=

a b c −d e

b c 2− d e 2 =a b c −d e

b2c−d2e

5-) a3 b +1

= a3 b +1

3 b2 − 3 b +1

3 b2 − 3 b +1=

a 3 b2 − 3 b +1

3 b3+ 13

=a 3 b2 − 3 b +1

b + 1

6-) a3 b2 + 3 b +1

=a 3 b −1

3 b2 + 3 b +1 3 b −1=

a 3 b −1

3 b3 −13=

a 3 b −1

b−1

Exercícios1-) Racionalizar o denominador.a-) 3

5=

b-) 35 22

=

c-) 2

2 3 − 2=

d-) 3

3 2 −3=

e-) 5

5+ 3 3=

f-) 23 9 −2 3 3 +4

=

2-) Simplifique as expressões:a-) 80 + 20 =b-) 3 5 + 45 − 2 20 =c-) 2 150 − 4 54 + 6 24 =

d-)3 24 − 3 81

3 9 + 3 3=

e-) 5 16 4 18 − 3 5 + 9 =

f-) 2+ 3

1− 5+ 2− 3

1+ 5=

g-) 1

1− 2− 1

2 +1=

h-) 1

2+ 1

18− 1

8=

ConjuntosConceito e notações: Um dos conceitos da Matemática é o de conjuntos. No entanto, é um

conceito primitivo, isto é, tem o sentido usual de coleção ou totalidade de elementos. Portanto,não precisa ser definido a partir de outros conceitos matemáticos.

Os objetos que constituem um conjunto são chamados elementos do conjunto. Os conjuntossão indicados em geral pelas letras maiúsculas do alfabeto latino. A notação usual para umconjunto consiste em escrever seus elementos separados por vírgula e entre chaves. Assim, oconjunto A cujos elementos são as letras a, b, c, é indicado por:

A = a, b, cPara expressar o fato de que a letra a é elemento do conjunto A, escrevemos:

a ∈ A (a pertence a A)Da mesma forma, a notação d ∉A (d não pertence a A), significa que a letra d não é

elemento do conjunto A.Subconjunto: Dados dois A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento

de A é elemento de B.A notação,

A ⊂ B ( A está contido em B),indica que A é um subconjunto de B. Se A não é subconjunto de B, escrevemos:A ⊈ B ( A não está contido em B)Exemplos:Se A = 1, 2, 3 e B = 0, 1, 2, 4, 3, então A ⊂ B, pois todo elemento de A é elemento de B.

Por outro lado, se A = 2, 4, 5 e B = 1, 4, 5, então A ⊈ B, pois 2 ∈ A e 2 ∉ B.Operações com conjuntos

Considere os subconjuntos A e B de um mesmo conjunto E. Podemos considerar as seguintesoperações: união, intersecção, diferença, complementação e produto.

União: Também chamada de reunião de A e B é o conjunto dos elementos E que pertencem aA ou a B.

A união de A e B será indicada pela notação: A ∪ B (lê-se A união B). Assim escrevemos:A ∪ B = x ∈ E/x ∈ A ou x ∈ B

Exemplos:A = 4, 5, 3 e B = 0, 3, 1 ⇒ A ∪ B = 4, 5, 3, 0, 1A = 2, 0,−1 e B = −1, 0, 5 ⇒ A ∪ B = 2, 0,−1, 5Intersecção: A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto dos elementos de E que

pertencem simultaneamente aos dois conjuntos. A intersecção de A e B será indicada pelanotação: A ∩ B (lê-se A intersecção B). Assim escrevemos:

A ∩ B = x ∈ E/x ∈ A e x ∈ BDiferença: A diferença A − B é o conjunto dos elementos de E, que pertencem a A e não

pertencem a B. A diferença é indicada pela notação:A − B = x ∈ E/x ∈ A e x ∉ B

Exemplos:A = 4, 5, 3, 1 e B = 2, 4, 1 ⇒ A − B = 5, 3A = 0, 1,−1, 1

2 e B = 2, 4, 0, 12 ⇒ A − B = 1,−1

Complementação: Se A está contido em B, a diferença B − A recebe o nome de

complementar de A em relação a B. A notação CBA indica o complementar de A em relação a B.Assim escrevemos:

CBA = B − A = x ∈ E/x ∈ B e x ∉ AExemplos:A = 4, 5, 6 e B = 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7 ⇒ CBA = B − A = 0, 1, 2, 7A = 1, 2, 3 e B = 0, 1, 4, 3, 6, 2 ⇒ CBA = B − A = 0, 4, 6

Conjuntos numéricosDentre os conjuntos numéricos destacamos:

N = 0, 1, 2, 3, 4, ... conjunto dos números inteiros naturais.N∗ = 1, 2, 3, 4, ... conjunto dos números inteiros naturais sem o zero.Z = 0,±1,±2,±3,±4, ... conjunto dos números inteiros.Z∗ = ±1,±2,±3,±4, ... conjunto dos números inteiros sem o zero.Z += 0, 1, 2, 3, 4, ... conjunto dos números inteiros não negativos.Z −= 0,−1,−2,−3,−4, ... conjunto dos números inteiros não positivos.Z+∗ = 1, 2, 3, 4, ... conjunto dos números inteiros positivos.

Q = ab

/ a ∈ Z, b ∈ Z∗ conjunto dos números racionais, isto é, o conjunto de todos osnúmeros da forma a

bonde a e b são números inteiros, com b ≠ 0.

Obs.: um número é chamado de racional desde que possa ser escrito na forma de fração.Uma dízima periódica é um número racional, um número decimal finito também é um númeroracional.

I = conjunto dos números irracionais, números que não podem ser escritos na forma defração.

Exemplos:π = 3, 1415...

2 = 1, 41...e = 2, 718...R = Q ∪ I conjunto dos números reais, isto é, a união do conjunto Q dos números racionais e

do conjunto I dos números irracionais.Considere os conjuntos:A = x ∈ Z/ − 2 ≤ x ≤ 2 e B = x ∈ R/ − 2 ≤ x < 2Escreve os elementos dos conjuntos A e B.A = −2,−1, 0, 1, 2O conjunto B não pode ser escrito da mesma maneira que o conjunto A, pois existem

infinitos números entre -2 e 2. Como representar B?O conjunto B é denominado conjunto denso, representa um intervalo. B pode ser escrito de

três maneiras:1-) Notação simbólica ou conjunto:B = x ∈ R/ − 2 ≤ x < 2

2-) Notação na reta real

-2 2

∙ “bola cheia” significa que o ponto pertence ao conjunto.∘ “bola vazia” significa que o ponto não pertence ao conjunto.

3-) Notação de colchetes, colchete fechando no extremo significa que o ponto pertence ao conjunto., colchete aberto no extremo significa que o ponto não pertence ao conjunto.

Obs.: Se o extremo for +∞ ou −∞ o extremo é sempre colchete aberto.

portanto temos:B = −2, 2Exercícios

1-) Representar os conjuntos nas três notações.A = x ∈ R / − 1 ≤ x ≤ 4B = x ∈ R / − 4 < x ≤ 0C = x ∈ R / x ≤ −1 ou x > 2D = − ∞,−1 ∪ 2,+∞E = − ∞,−3∪1,+∞G = x ∈ R / x ≥ 2

Par OrdenadoConjunto formado por elementos em que cada elemento é um par e estão em uma ordem

determinada.Notação: a, b elemento onde a é o primeiro termo e b é o segundo termo.Consequência da definição: a, b = c, d a = c e b = d

Plano Cartesiano

É formado por duas retas perpendiculares entre si, no cruzamento entre elas, denominamosorigem do sistema cartesiano. A reta vertical recebe o nome de eixo das ordenadas ousimplesmente eixo y, a reta horizontal recebe o nome de eixo das abscissas ou eixo x.

(a,b)

a x

b

y

Produto cartesiano: O conjunto de todos os pares ordenados a, b com a ∈ A e b ∈ Brecebe o nome de produto cartesiano de A por B, nesta ordem. Indicamos o protuto cartesiano deA e B pela notação: AxB (lê-se A cartesiano B ou A vezes B). Assim:

AxB = a, b/a ∈ A e b ∈ BExemplos:A = 0, 1 e B = 3, 4 ⇒ AxB = 0, 3, 0, 4, 1, 3, 1, 4A = 5, 1 e B = 4 ⇒ AxB = 5, 4, 1, 4

Valor absoluto de um número real

Seja x um número real. O valor absoluto ou módulo de x é o número |x| tal que:

|x| =x, se x ≥ 0

−x, se x < 0

Exemplos:a-) |4| = 4b-) |−5| = −−5 = 5c-) |0| = 0d-) − 1

2 = − − 12 = 1

2

Propriedades:

Sejam x e y dois números reais quaisquer. São válidas as seguintes propriedades:1-) |x| ≥ 02-) |x| ≥ x3-) −|x| ≤ x4-) |x| ≥ a x ≤ −a ou x ≥ a5-) |x| ≤ a −a ≤ x ≤ a, a > 06-) |x + y| ≤ |x| + |y|7-) |x ∗ y| = |x| ∗ |y|8-) |x − y| ≥ ||x| − |y||Equações do 1∘ grau: uma equação do primeiro grau tem a forma geral dada por:

ax + b = 0 a ≠ 0, a solução geral é obtida isolando-se a variável x.ax + b = 0 ⇒ x = − b

a , a ≠ 0Exemplos:a-) 4x − 8 = 0 ⇒ 4x = 8 ⇒ x = 8

4 = 2b-) x+1

3 − x−59 = 0 ⇒ x+1

3 = x−59 ⇒ 9x + 1 = 3x − 5

9x + 9 = 3x − 15 ⇒ 9x − 3x = −15 − 9 ⇒ 6x = −24 ⇒ x = − 246 = −4

Inequações do 1∘ grau: uma inequação do primeiro grau é uma expressão que tem a formadada por: ax + b ≥ 0, ou ax + b ≤ 0, a ≠ 0. Neste caso temos uma desigualdade, ou seja asolução desta inequação será um intervalo. A solução destas desigualdades podem ser resumidas:

ax ≥ b ⇒x ≥ b

a se a > 0

x ≤ ba se a < 0

ax ≤ b ⇒x ≤ b

a se a > 0

x ≥ ba se a < 0

Obs.: quando o coeficiente de x é negativo o sinal da desigualdade muda.

Exemplos:a-) 4x − 8 ≥ 0 ⇒ 4x ≥ 8 ⇒ x ≥ 8

4 ⇒ x ≥ 2 . . . S = x ∈ R/x ≥ 2b-) −5x − 3 ≥ 0 ⇒ −5x ≥ 3 ⇒ x ≤ − 3

5 ⇒ x ≤ − 35 . . . S = x ∈ R/x ≤ − 3

5c-) 4x + 1 ≥ 0 ⇒ 4x ≥ −1 ⇒ x ≥ − 1

4 ⇒ x ≥ − 14 . . . S = x ∈ R/x ≥ − 1

4d-) −5x + 3 ≥ 0 ⇒ −5x ≥ −3 ⇒ x ≤ 3

5 ⇒ x ≤ 35 . . . S = x ∈ R/x ≤ 3

5Exercícios

1-) Resolver cada uma das desigualdades abaixo:a-) |2x + 1| > 5 f-) −2 < 4x+1

3 ≤ 0b-) |x + 2| < 1 g-) 2

2x+3 < 1x−5

c-) |x + 1| > 8 h-) x + 3x − 2 > 0d-) 3x−2

2x+7 ≥ 0 i-) x2 − 9x + 14x2 − 9 > 0e-) x−2

3x+5≤ 4 j-) x − 23 − xx + 1x + 2 < 0

Relações

Relações são subconjuntos de produtos cartesianos, cujos elementos satisfazem a uma certasentença matemática.

Símbolo: T : A → B (lê-se: relação de nome T de A em B)Exemplos:

a-) Dados A = 0, 1, 2 e B = 4, 6, representar o produto cartisiano dos pares ordenadosque satisfaçam a sentença matemática: x + y > 5, onde x ∈ A e y ∈ B.

AxB = 0, 4, 0, 6, 1, 4, 1, 6, 2, 4, 2, 6Os pares ordenados que satisfazem x + y > 5 são: 0, 6, 1, 6, 2, 4, 2, 6Estas soluções formam uma relação entre A e B, que se indica por:R = x, y/x + y > 5, x, y ∈ AxB

b-) Dados os conjuntos A = B = 2, 3, 4, pede-se:b1-) determinar o produto cartesiano AxBAxB = 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 2, 4, 3, 4, 4

b2-) representar o produto cartesiano acima que satisfaz a relação:R = x, y/x = y − 1, x, y ∈ AxB

Os pares ordenados que satisfazem R são: 2, 3, 3, 4.Exercícios

1-) Determine os pares que formam a relação:a-) R1 = x, y ∈ NxN/ y = 15 − 2xb-) R2 = x, y ∈ NxN/ y = 13−x

2c-) R3 = x, y ∈ NxN/ y = 12−x

x

d-) R4 = x, y ∈ NxN/ y = 50 − xe-) R5 = x, y ∈ ZxZ/ x2 + y2 = 25

FunçõesSejam X e Y dois conjuntos reais não vazios. Diz-se função de X em Y ao conjunto de pares

ordenados x, y, tal que x ∈ X e y ∈ Y, e que cada x ∈ X esteja em um e somente um parordenado. O conjunto X é chamado Domínio e o conjunto Y Contra domínio da função.

Um dos conceitos mais importantes, e mais difíceis de assimilar no estudo das funções, é oconceito de domínio da função, porém normalmente o estudante faz confusão com o conceito deconjunto imagem e contradomínio. Para entender os três conceitos vamos considerar o seguinteexemplo:

Dados os conjuntos A = −2,−1, 0, 1, 2 e B = −2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 e a função f : A → B,definida por fx = x + 1.

-2

-10

12

-2

-10

123

45

A B

f(x)=x+1

A figura acima mostra a relação entre os dois conjuntos através do diagrama de flechas,também chamado de diagrama de Venn.

Domínio: são os possíveis valores de x, que fazem com que a função exista.A partir da figura é fácil observar que na notação de flechas o domínio da função é o

conjunto de partida das flechas, ou seja:Domfx = A

Contra domínio: o conjunto B é denominado contra domínio da função, ou seja:

CDfx = BNa representação de flechas é o conjunto de chegada.Imagem: o conjunto B apresenta alguns elementos que estão diretamente relacionados com

elementos do conjunto A, estes elementos formam o conjunto imagem, ou seja:Imfx = −1, 0, 1, 2, 3

Na representação de flechas, o conjunto imagem é formado pelos elementos atingidos pelasflechas.

Relações métricas e trigonométricas em um triângulo retângulo

Considere o triângulo de vértices ABC.

B

C

A

a

b

c

n

m

h

onde:a = hipotenusab = catetoc = catetoh = alturam = projeção do cateto b na hipotenusan = projeção do cateto c na hipotenusaRelação de Pitágoras:

a2 = b2 + c2

É possível mostrar que:b2 = a ∗ mc2 = a ∗ nh2 = m ∗ n

Considere agora o triângulo retângulo de lados a, b e c, conforme mostra a figura:

ββββ

αααα

a

b

B

C A

c

Chamamos:• seno de um ângulo: quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Assim:

senα = ca e senβ = b

a

• cosseno de um ângulo: quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. Assim:

cosα = ba e cosβ = c

a

• tangente de um ângulo: quociente entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.Assim:

tgα = cb

e tgβ = bc

• cotangente de um ângulo: quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e o cateto oposto.Assim:

cotgα = bc e cotgβ = c

b

• cossecante de um ângulo: quociente entre a hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo. Assim:

cossecα = ac e cossecβ = a

b

• secante de um ângulo: quociente entre a hipotenusa e o cateto adajacente ao ângulo. Assim:

secα = ab

e secβ = ac

Comparando as relações anteriores é possível concluir:senα = cosβcosα = senβtgα = cotgβtgβ = cotgαtgα = 1

cotgα

secα = cossecβsecβ = cossecαA soma dos ângulos internos de um triângulo é 180∘, ou seja:α + β +  = 180 como  = 90∘ vem: α + β = 90

Exercícios1-) Dado um triângulo equilátero de lado l, determinar:sen30∘ =cos30∘ =tg30∘ =cot30∘ =cossec30∘ =sec30∘ =sen60∘ =cos60∘ =tg60∘ =2-) Dado um triângulo retângulo isóceles de cateto igual a l, Determinar:sen45∘ =cos45∘ =tg45∘ =Monte a tabela abaixo com os resultados obtidos anteriormente:

seno cosseno tangente

30∘

45∘

60∘

3-) Mostre que:sen2α + cos2α = 1tgα = senα

cosαcogtα = cosα

senα

secα = 1cosα

cossecα = 1senα

cotgα = 1tgα

1 + tg2α = sec2α

1 + cotg2α = cossec2α

cos2α = 11+tg2α

sen2α = tg2α

1+tg2α

Funções Trigonométricas: Considere a circunferência de centro O e raio r = 1. Ocomprimento da circunferência é 2π.

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

C

D

A' A

360o=2π

270o=3π / 2

180

o=

π

Y 90o=π / 2

X0

o

tgα

sen

α

O Bcosα

αααα

Função seno: Dado um número real α, seja A sua imagem no ciclo. Denominamos seno de α( e indicamos senα) a ordenada OA

′do ponto A em relação ao sistema XOY. Denominamos

função seno a função f : R → R que associa a cada real α o real OA′= senα, isto é:

fα = senαPropriedades:

• A imagem da função seno é o intervalo −1, 1, isto é, −1 ≤ senα ≤ 1 para todo α real.

• Se α é do primeiro ou segundo quadrante, então senα é positivo.

• Se α é do terceiro ou quarto quadrante, então senα é negativo.

• A função seno é periódica e seu período é 2π. É imediato que, se senα = OA′e k ∈ Z, então

senα + k ∗ 2π = OA′pois α e α + k ∗ 2π têm a mesma imagem A no ciclo. Temos, então,

para todo α real:senα = senα + k ∗ 2π

e, portanto, a função seno é periódica. Seu período é o menor valor positivo de k ∗ 2π, isto é,2π.

Representação gráfica:

-1-0.5

0

0.51

2 4 6 8 10

fα = senαExercícios

1-) Determinar o período e a imagem e fazer o gráfico de um período completo das funçõesdadas.

a-) f : R → R dada por fx = −senxb-) f : R → R dada por fx = 2senxc-) f : R → R dada por fx = sen2xd-) f : R → R dada por fx = sen x

2e-) f : R → R dada por fx = 1 + senxf-) f : R → R dada por fx = sen x − π

4g-) f : R → R dada por fx = sen 2x − π

3Função cosseno: Dado um número real α, seja A sua imagem no ciclo. Denominamos

cosseno de α ( e indicamos cosα) a abscissa OB do ponto A em relação ao sistema XOY.Denominamos função cosseno a função f : R → R que associa a cada real α o real OB = cosα,isto é:

fα = cosαPropriedades:

• A imagem da função cosseno é o intervalo −1, 1, isto é, −1 ≤ cosα ≤ 1 para todo α real.

• Se α é do primeiro ou quarto quadrante, então cosα é positivo.

• Se α é do segundo ou terceiro quadrante, então cosα é negativo.

• A função cosseno é periódica e seu período é 2π. É imediato que, se cosα = OB e k ∈ Z,então cosα + k ∗ 2π = OB pois α e α + k ∗ 2π têm a mesma imagem A no ciclo. Temos,então, para todo α real:

cosα = cosα + k ∗ 2πe, portanto, a função cosseno é periódica. Seu período é o menor valor positivo de k ∗ 2π,

isto é, 2π.Representação gráfica:

-1-0.5

0

0.51

2 4 6 8 10

fα = cosα

Exercícios1-) Determinar o período e a imagem e fazer o gráfico de um período completo das funções

dadas.a-) f : R → R dada por fx = |cosx|b-) f : R → R dada por fx = cos2xc-) f : R → R dada por fx = 1 + 2cos3xd-) f : R → R dada por fx = 2cos x − π

3Função tangente:Dado um número real α, α ≠ π

2 + kπ, seja A sua imagem no ciclo.Consideremos a reta OA e seja D sua intersecção com o eixo das tangentes. Denominamostangente de α ( e indicamos tgα) a medida algébrica do segmento CD.

Denominamos função tangente a função f : R → R que associa a cada real α, α ≠ π2 + kπ o

real CD = tgα, isto é:fα = tgα

Note que, para α = π2 + kπ, o ponto A está em α = 90∘ π

2 ou α = 270∘ 3π2 e, então, a

reta OA fica paralela ao eixo das tangentes, e neste caso não existe o ponto D, a tgα não édefinida.

Propriedades:• O domínio da função tangente é Domtgα = α ∈ R / α ≠ π

2 + kπ

• A imagem da função tangente é R, isto é, para todo y real existe um α real tal que y = tgα.

• Se α é do primeiro ou terceiro quadrante, então tgα é positiva.

• Se α é do segundo ou quarto quadrante, então tgα é negativa.

• A função tangente é periódica e seu período é π. É imediato que, se tgα = CD e k ∈ Z, entãotgα + k ∗ π = CD pois α e α + k ∗ π têm imagens coincidentes ou diametralmente opostasno ciclo trigonométrico, assim, para todo α real e α ≠ π

2 + kπ:tgα = tgα + k ∗ π

e, portanto, a função tangente é periódica. Seu período é o menor valor positivo de k ∗ π, istoé, π.

Representação gráfica:

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 2 4 6

fα = tgα

NÚMEROS COMPLEXOS

Introdução: A solução da equação x2 = −1 no conjunto dos números reais é o conjuntovazio. Durante o século XV interpretar o resultado da raiz quadrada de um número negativo foium grande obstáculo para os matemáticos da época.

Raffaele Brambeli foi um dos primeiros a expor uma teoria sobre as raízes quadradas de

números negativos, em seu tratado de álgebra, publicado em 1572 na cidade de Bologna.Raffaele mostrou que tratava-se de um novo ente matemático.

Conjunto dos números complexos: Chama-se conjunto dos números complexos, o conjuntodos pares ordenados x, y de números reais e indicado por C = x, y/x, y ∈ R para os quaisvalem as seguintes definições:• Igualdade: dois pares ordenados são iguais, se e somente se, apresentam primeiros termos

iguais e segundos termos iguais.a, b = c, d ⇔ a = c e b = d

• Adição: chama-se soma de dois pares ordenados a um novo par ordenado cujos primeiros esegundos termos são, respectivamente, a soma dos primeiros termos e a soma dos segundostermos dos pares dados.

a, b + c, d = a + c, b + d• Multiplicação: chama-se produto de dois pares ordenados a um novo par ordenado cujo

primeiro termo é a diferença do produto dos primeiros termos menos o produto dossegundos termos dos pares dados e cujos segundo termo é a soma dos produtos do primeirotermo de cada par pelo segundo do outro.

a, b ∗ c, d = a ∗ c − b ∗ d, a ∗ d + c ∗ bO conjunto dos números complexos será indicado por C. Cada elemento x, y ∈ C será

indicado por z, onde x = parte real de z = Rez, y = parte imaginária de z = Imz.Exemplos1-) Dados z1 = 3, 2 e z2 = 1, 4 calcular:a-) z1 + z2 = 3, 2 + 1, 4 = 4, 6b-) z1 ∗ z2 = 3, 2 ∗ 1, 4 = 3 ∗ 1 − 2 ∗ 4, 3 ∗ 4 + 2 ∗ 1 = −5, 14c) z2 − z1 = 1, 4 + −3,−2 = −2, 2

Exercícios1-) Determinar x ∈ R e y ∈ R para que se tenha:a-) 2x, 4 = 3, 4yb-) x − 1, y + 2 = 2, 02-) Dados z1 = 1, 2 e z2 = −2,−1 calcular:a-) z1 + z2

b-) z1 ∗ −z2c-) z2 − z1

d-) z1 ∗ z2

Forma AlgébricaO elemento neutro da multiplicação no conjunto dos números reais é o número 1, ou seja:

1 ∗ x = x ∗ 1 = x ∀x ∈ RO número complexo 1, 0 é o elemento neutro da multiplicação no conjunto dos números

complexos.Exemplo:1, 0 ∗ x, y = 1 ∗ x − 0 ∗ y, x ∗ 0 + 1 ∗ y = x, y ∀x, y ∈ Cx, y ∗ 1, 0 = x ∗ 1 − y ∗ 0, y ∗ 1 + x ∗ 0 = x, y ∀x, y ∈ CSendo k ∈ R e x, y ∈ C, definimos:

k ∗ x, y = kx, kyEm particular:

0 ∗ x, y = 0 ∗ x, 0 ∗ y = 0, 01 ∗ x, y = 1 ∗ x, 1 ∗ y = x, y

Notando que 1, 0 ∗ x, y = x, y e 1 ∗ x, y = x, y, vamos identificar o númerocomplexo 1, 0 com a unidade real 1, ou seja:

1, 0 = 1Chama-se unidade imaginária o número complexo 0, 1 que indicamos por i. Assim:

0, 1 = iNote que:

i2 = i ∗ i = 0, 1 ∗ 0, 1 = 0 ∗ 0 − 1 ∗ 1, 0 ∗ 1 + 1 ∗ 0 = −1, 0= −11, 0 = −1 ∗ 1 = −1

ou seja, a propriedade básica da unidade imaginária é:i2 = −1

Assim, um número cuja raiz quadrada é −1 é i = 0, 1.Dado um número complexo qualquer z = x, y, temos:z = x, y = x + 0, 0 + y = x, 0 + 0, y = x1, 0 + y0, 1 = x ∗ 1 + y ∗ i = x + i ∗ yAssim, todo número complexo z = x, y pode ser escrito sob a forma:

z = x + i ∗ ychamada forma algébrica onde:x = parte real de zy = parte imaginária de z.Se y = 0 temos z = x + i ∗ 0 = x, ou seja, z é real R ⊂ C.Se x = 0 e y ≠ 0 temos z = 0 + i ∗ y = i ∗ y e dizemos que z é imaginário puro.Igualdade: a + bi = c + di a = c e b = dAdição: a + bi + c + di = a + c + b + diMultiplicação: a + bi ∗ c + di = ac + di + bic + di

= ac + adi + bci + bdi2

= ac + adi + bci − bd= ac − bd + ad + bci

Exemplos:Colocar na forma algébricaa-) 3 ∗ 1, 2 = 3, 6 = 3 + 6ib-) −2 ∗ −1, 4 = 2,−8 = 2 − 8ic-) − 1

2 ∗ 3,−5 = − 32 , 5

2 = − 32 + 5

2 iExercícios

1-) Dados z1 = 3 + 2i e z2 = 1 − 4i, calcular:a-) z1 + z2 =b-) z1 − z2 =c-) z1 ∗ z2 =2-) Determinar x ∈ R e y ∈ R de modo que: x + 2i + 3 − yi = 5 − i3-) Determinar k ∈ R de modo que o número complexo z = k + i ∗ 2 − ki seja:a-) número realb-) imaginário puro4-) Efetuar:a-) 3 − i + 2 − i ∗ 1 + 2i =b-) 2 + 3i ∗ i + 1 − i ∗ i2 =c-) 2 + 3i2 =d-) 3 − i2 =e-) −i2 =f-) 1 + 2i + 3 − 5i =g-) 5 − 2i + 2 + 8i =h-) 1 + 2i ∗ 3 − 5i =i-) 2 − 3i ∗ 3 + i =5-) Determinar x ∈ R e y ∈ R de modo que:a-) 3 + 5xi = y − 15ib-) 3 + yi + x − 2i = 7 − 5ic-) x + yi2 = −5 − 12i

Conjugado de um número complexoChama-se conjugado do número complexo z = x + yi ao número complexo z = x − yi, isto

é,z = x + yi z = x − yi

Exercícios

1-) Sendo z = x + yi, mostrar que z + z = 2x.2-) Provar que se z1 e z2 são dois números complexos quaisquer, então z1 + z2 = z1 + z2.3-) Determinar z ∈ C tal que z + 2zi = i − 1.4-) Determinar o número complexo z, tal que 2z + iz + 1 − i = 0.5-) Sendo z = x + yi, mostrar que z ∗ z = x2 + y2.6-) Determinar os números complexos z, tais que: z ∗ z + z − z = 13 + 6i.

• Divisão: Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di ≠ 0, vamos obter o númerocomplexo z = x + yi tal que z = z1

z2.

Devemos ter z ∗ z2 = z1, isto é:x + yi ∗ c + di = a + bicx − dy + dx + cyi = a + biDa definição de igualdade temos:

cx − dy = a ⇒ x = a+dyc

dx + cy = b ⇒ y = b−dxc

d ∗ a+dyc + cy = b

da + d2y + c2y = cby ∗ c2 + d2 = cb − da

y = cb−dac2+d2

Analogamente temos:cx − d ∗ b−dx

c = ac2x − bd + d2x = acx ∗ c2 + d2 = ac + bd

x = ac+bdc2+d2 onde c2 + d2 ≠ 0

Portanto:z = ac+bd

c2+d2 + cb−dac2+d2 ∗ i

Observar que:• z é chamado quociente de z1 por z2.

• z existe e é único.ExemploCalcule z tal que z = 2+3i

1+i.

Solução:fazendo z = x + yi temos:x + yi ∗ 1 + i = 2 + 3ix + xi + yi − y = 2 + 3ix − y + x + yi = 2 + 3i

x − y = 2

x + y = 3⇒somando membro a membro vem: x = 5

2 e y = 12 portanto:

z = 52 + 1

2 iObs.:Sabendo que z = x + yi e z ∗ z = x + yi ∗ x − yi = x2 + y2

Podemos efetuar a divisão de z1 por z2 ≠ 0, de um modo mais prático:multiplicamos o numerador z1 e o denominador z2 pelo conjugado do denominador, isto

é:z1z2

= z1∗z2

z2∗z2

Exemplo:Encontre z = 2+3i

1+i

Solução:z = 2+3i

1+i= 2+3i

1+i∗ 1−i

1−i= 2−2i+3i+3

12+12 = 5+i2 = 5

2 + 12 i, portanto:

z = 52 + 1

2 iExercícios

1-) Dado z ≠ 0, chama-se inverso multiplicativo de z, o número complexo 1z . Assim, dado

z = 2 + 3i, obter o inverso multiplicativo de z.2-) Colocar na forma algébrica o número complexo: 11+2i

2−i.

3-) Dado z = 1+ii

, obter z.4-) Determinar x ∈ R de modo que o número complexo z = 2−xi

1+2xiseja imaginário puro.

5-) Determinar a ∈ R de modo que o número complexo z = 1+2i2+ai

seja real.6-) Sendo u e v dois números complexos tais que u2 − v2 = 2 + 16i e u + v = 5 + i, calcular

u − v?Plano Argand-Gauss

A cada número complexo z = x, y associamos o vetor z = x i + y j , onde i , j é uma

base otonormal do R2. O conjunto C dos números complexos é um espaço vetorial sobre C esobre R.

O plano cartesiano XOY, conjunto dos vetores z = x i + y j é o plano Argand-Gauss. Cadaponto P = x, y é a extremidade do vetor P − O do complexo. Os vetores z = x i + y j ,associados a z, são os vetores cartesianos ou raio-vetores.

O

P(a,b)

a

b

ρ

X

Y

onde:OX - eixo realOY - eixo imaginário

Módulo de um número complexo:z = a + bi é definido como:

|z| = ρ = a2 + b2

Exemplos:Se z = 2 + i, calcule |z|.|z| = |2 + i| = 22 + 12 = 5Se z = 3 − i, calcule |z|.

|z| = 3 − i = 32+ −12 = 2

Argumento: chama-se argumento de um número complexo z = a + bi, não nulo a medida θ0 ≤ θ < 2π do ângulo formado por OP com o eixo real OX.

θ

O

P

a

b

z = a + biX

Y

P

θ

O-a

b

z = -a + bi

X

Y

P

θ

O-a

-b

z = -a - bi

X

Y

P

θ

Oa

-b

z = a - bi

X

Y

Observe que:cosθ = a

ρ e senθ = bρ

onde ρ = |z| e 0 ≤ θ < 2πExemplos:1-) Sendo z = 3 + i calcule o valor de θ.temos: a = 3 e b = 1ρ = |z| = 2cosθ = 3

2 senθ = 12 portanto θ = argz = π

62-) Sendo z = −1 + i calcule o valor de θ.temos: a = −1 e b = 1ρ = |z| = 2cosθ = − 1

2= − 2

2 senθ = 1

2= 2

2 portanto θ = argz = 3π4

Note que:• A condição z ≠ 0, garante ρ ≠ 0.

• A restrição 0 ≤ θ < 2π elimina a congruência e as relações cosθ e senθ fixam o quadranteao qual θ pertence.

Exercícios1-) Determinar o módulo, o argumento e represente graficamente os seguintes números

complexos.a-) z = 2 + 2 3 ib-) z = 3ic-) z = −2 + 2id-) z = −3e-) z = − 6 − 2 i2-) Provar que se z1 e z2 são dois números complexos quaisquer, então |z1 ∗ z2 | = |z1 | ∗ |z2 |3-) Determinar o módulo dos seguintes números complexos:a-) z = 2 − i1 + ib-) z = 2+3i

1−i

c-) z = 1−2i2

−i

4-) Dado z = 1 − 3 i, representar no plano Argand-Gauss o complexo z. Qual o argumento

z?Forma Trigonométrica

Consideremos um númerocomplexo z = a + bi, não nulo. Temos:|z| = ρ = a2 + b2

a = ρcosθb = ρsenθPortanto podemos escrever z = ρcosθ + iρsenθou

z = ρcosθ + isenθque é denominada forma trigonométrica (ou polar) de z.Exemplos:1-) Escrever na forma trigonométrica os seguintes números complexos:a-) z = 3 + iSolução:

ρ = |z| = 32+ 12 = 2

cosθ = 32

senθ = 12

θ = π6 . .. z = 2 cos π

6 + isen π6

b-) z = 2iSolução:ρ = |z| = 02 + 22 = 2

cosθ = 0

senθ = 12

θ = π2 . .. z = 2 cos π

2 + isen π2

c-) z = 2Solução:ρ = |z| = 22 = 2

cosθ = 1

senθ = 0θ = 0 . .. z = 2cos0 + isen0

d-) z = −2Solução:ρ = |z| = −22 = 2

cosθ = −1

senθ = 0θ = π . .. z = 2cosπ + isenπ

Exercícios1-) Escrever na forma algébrica os seguintes números complexos:a-) z = 2 cos 3π

4 + isen 3π4

b-) z = cos 11π6 + isen 11π

6c-) z = 4 cos π

4 + isen π4

d-) z = 2 cos 5π6 + isen 5π

6e-) z = 2 cos 4π

3 + isen 4π3

2-) Escrever na forma trigonométrica os seguintes números complexos:a-) z = 1 + 3 ib-) z = −2 + 2ic-) z = 2 − 6 id-) z = 1 + iif-) z = 1

2 − 32 i

g-) z = 5+5i2−2i

3-) Sendo z = ρcosθ + isenθ, mostrar que:a-) z

z2+ρ2 é real.

b-) ρ−izρ+iz

é imaginário puro.

Forma exponencial de um número complexoDado o número complexo z = ρcosθ + isenθ na forma trigonométrica, e lembrando da

identidade de Euler:e iθ = cosθ + isenθ

podemos escrever então:z = ρe iθ

Dados os números complexos: z1 = ρ1e iθ1 e z2 = ρ2e iθ2

• igualdade de complexos:

z1 = z2 ⇒ ρ1e iθ1 = ρ2e iθ2 ⇒ ρ1 = ρ2 e θ1 = θ2 ou θ1 = θ2 + 2kπ; k ∈ Z.

• adição de complexos:

z1 + z2 = ρ1e iθ1 + ρ2e iθ2

• multiplicação de complexos:

z1 ∗ z2 = ρ1e iθ1 ∗ ρ2e iθ2 = ρ1 ∗ ρ2e iθ1+θ2

• divisão de complexos:z1z2

= ρ1eiθ1

ρ2eiθ2= ρ1

ρ2e iθ1−θ2

• conjugado de complexos:

z1 = ρ1e i−θ1 = ρ1e−iθ1

PotenciaçãoDados os números complexos:z1 = ρ1cosθ1 + isenθ1z2 = ρ2cosθ2 + isenθ2calcular o número complexo: z = z1 ∗ z2

Solução:z = z1 ∗ z2 = ρ1cosθ1 + isenθ1 ∗ ρ2cosθ2 + isenθ2

= ρ1ρ2cosθ1 ∗ cosθ2 + isenθ2 ∗ cosθ1 + isenθ1 ∗ cosθ2 − senθ1 ∗ senθ2= ρ1ρ2cosθ1 ∗ cosθ2 − senθ1 ∗ senθ2 + isenθ1 ∗ cosθ2 + senθ2 ∗ cosθ1= ρ1ρ2cosθ1 + θ2 + isenθ1 + θ2

Note que o módulo de z = z1 ∗ z2 é ρ1ρ2 e a expressão acima é a forma trigonométrica dez = z1 ∗ z2, e 0 ≤ θ1 + θ2 < 2π.

Exemplos:1-) Sendo z1 = 2 cos π

6 + isen π6 e z2 = 2 cos π

4 + isen π4 , calcule z = z1 ∗ z2.

Solução:temos: ρ1ρ2 = 2 2 , θ1 + θ2 = π

6 + π4 = 5π

12Assim: z = z1 ∗ z2 = 2 2 cos 5π

12 + isen 5π12

2-) Sendo z1 = 3 cos 4π3 + isen 4π

3 e z2 = 2 cos 11π6 + isen 11π

6 , calcule z = z1 ∗ z2.Solução:temos: ρ1ρ2 = 6, θ1 + θ2 = 4π

3 + 11π6 = 19π

6Assim: z = z1 ∗ z2 = 6 cos 19π

6 + isen 19π6 = 6 cos 7π

6 + isen 7π6

Obs.:A resposta deve estar no intervalo: 0 ≤ θ1 + θ2 < 2π.Em geral, dados z1, z2, z3, ...zn, temos:z = z1 ∗ z2 ∗ z3 ∗ ...zn

= ρ1 ∗ ρ2 ∗ ρ3 ∗ ...ρn ∗ cosθ1 + θ2 + θ3 + ...θn + isenθ1 + θ2 + θ3 + ...θn1ª Fórmula de Moivre

Sendo z = ρcosθ + isenθ um número complexo, não nulo, e n um número natural,

então:zn = ρncosnθ + isennθ

zn =

n fatores

z.z.z...z =

n fatores

ρ.ρ.ρ...ρ = cos

n parcelas

θ + θ + θ + ...θ + isen

n parcelas

θ + θ + θ + ...θ

e portanto:zn = ρncosnθ + isennθ

Observe que:• se n = 0, temos: z0 = ρ0cos0 ∗ θ + isen0 ∗ θ = 1cos0 = isen0 = 1

Exemplo:Calcular todas as potências de i de expoentes não negativos.temos: ρ = |i| = 1; θ = argi = π

2 , assim:i0 = 10 cos 0 ∗ π

2 + isen 0 ∗ π2 = 1cos0 + isen0 = 1

i1 = 11 cos 1 ∗ π2 + isen 1 ∗ π

2 = 1 cos π2 + isen π

2 = ii2 = 12 cos 2 ∗ π

2 + isen 2 ∗ π2 = 1cosπ + isenπ = −1

i3 = 13 cos 3 ∗ π2 + isen 3 ∗ π

2 = 1 cos 3π2 + isen 3π

2 = −ii4 = 14 cos 4 ∗ π

2 + isen 4 ∗ π2 = 1cos2π + isen2π = 1

Daqui em diante as potencias se repetem:i5 = i4 ∗ i = ii6 = i4 ∗ i2 = −1i7 = i4 ∗ i3 = −ii8 = i4 ∗ i4 = 1De um modo geral temos:i4n = 1i4n+1 = ii4n+2 = −1i4n+3 = −i, onde n ∈ N.Exemplos:1-) Calcular: i239

i239 = i59∗4+3 = i3 = −i2-) Calcular: 1 + i2

Solução:ρ = |1 + i| = 2

cosθ = aρ = 1

2= 2

2

senθ = bρ = 1

2= 2

2

⇒ θ = π4

z = 2 cos π4 + isen π

4

1 + i2 = 22∗ cos2 ∗ π

4 + isen2 ∗ π4 = 2 cos π

2 + isen π2 = 2i

3-) Calcular: 1 − i2

Solução:ρ = |1 − i| = 2

cosθ = aρ = 1

2= 2

2

senθ = bρ = −1

2= − 2

2

⇒ θ = 7π4

z = 2 cos 7π4 + isen 7π

4

1 − i2 = 22∗ cos2 ∗ 7π

4 + isen2 ∗ 7π4 = 2 cos 7π

2 + isen 7π2 =

= 2 cos 3π2 + isen 3π

2 = −2iExercícios

1-) Calcular z5, sendo z = 1 + 3 i

2-) Calcular z100, sendo z = − 12 + 3

2 i3-) Calcular z12, sendo z = 3 − 3i4-) Calcular i173

5-) Calcular i1007

6-) Calcular 1 + i13

7-) Calcular 1 − i11

8-) Calcular i147+i136

i98

9-) Calcular 3i30−i13

2i−1− 3

i3

10-) Calcular 2+i2

1−i

1004

2ª Fórmula de MoivreDado o número complexo z = ρcosθ + isenθ, não nulo, e n um número natural, n ≥ 2,

então existem n raízes enésimas de z que são da forma:uk = n ρ cos θ

n + 2kπn + isen θ

n + 2kπn

onde:n ρ ∈ Z+

∗ e k ∈ 0, 1, 2, 3, ..., n − 1Portanto é possível determinar todos os números complexos u tais que un = z. Se

u = rcosw + isenw as incognitas são r e w. De acordo com a 1ª fórmula de Moivre, temos:un = rncosnw + isennw = ρcosθ + isenθ

Para que essa condição seja válida, é necessário que:• rn = ρ ⇒ r = n ρ

•cosnw = cosθ

sennw = senθnw = θ + 2kπ ⇒ w = θ

n + 2kπn

Exemplo:Determinar os valores de k para os quais, resultam valores compreendidos entre 0 e 2π, isto

é, 0 ≤ w < 2π.k = 0 ⇒ w = θ

n

k = 1 ⇒ w = θn + 2π

n

k = 2 ⇒ w = θn + 2 ∗ 2π

n

. . . . .k = n − 1 ⇒ w = θ

n + n − 1 2πn

Estes n valores de w não são congruentes por serem distintos e estarem todos no intervalo0, 2π, portanto, dão origem a n valores distintos para u.

Considere agora o valor de w obtido para k = n.k = n ⇒ w = θ

n + n ∗ 2πn = θ

n + 2πEste valor é dispensável por ser congruente ao valor obtido para k = 0.Conclusão:Todo número complexo z, não nulo, admite n raízes enésimas distintas as quais têm todas o

mesmo módulo n |z| e argumentos formando uma progressão aritmética de primeiro termo θn

e razão 2πn .

Exemplos:1-) Calcular as raízes quadradas de −4.Solução:temos z = −4|z| = ρ = |−4| = 4

cosθ = −44 = −1

senθ = 0⇒ θ = π e n = 2 (raízes quadradas)

uk = 4 cos π2 + 2kπ

2 + isen π2 + 2kπ

2

= 2 cos π2 + kπ + isen π

2 + kπAssim:u0 = 2 cos π

2 + isen π2 = 2i

u1 = 2 cos 3π2 + isen 3π

2 = −2i2-) Calcular as raízes cúbicas de 8i.Solução:temos z = 8i|z| = ρ = |8| = 8

cosθ = 08 = 0

senθ = 88 = 1

⇒ θ = π2 e n = 3 (raízes cúbicas)

uk = 3 8 cosπ2

3 + 2kπ3 + isen

π2

3 + 2kπ3

= 2 cos π6 + 2kπ

3 + isen π6 + 2kπ

3Assim: k ∈ Z = 0, 1, 2u0 = 2 cos π

6 + isen π6 = 2 3

2 + 12 i = 3 + i

u1 = 2 cos 5π6 + isen 5π

6 = 2 − 32 + 1

2 i = − 3 + i

u2 = 2 cos 9π6 + isen 9π

6 = 2 cos 3π2 + isen 3π

2 = 20 − i = −2i3-) Calcular as raízes quartas de −8 + 8 3 i..Solução:temos z = −8 + 8 3 i

|z| = ρ = −82 + 8 32= 16

cosθ = −816 = − 1

2

senθ = 8 316 = 3

2

⇒ θ = 2π3 e n = 4 (raízes quartas)

uk = 4 16 cos 2π12 + 2kπ

4 + isen 2π12 + 2kπ

4= 2 cos π

6 + kπ2 + isen π

6 + kπ2

Assim: k ∈ Z = 0, 1, 2, 3u0 = 2 cos π

6 + isen π6 = 2 3

2 + 12 i = 3 + i

u1 = 2 cos π6 + π

2 + isen π6 + π

2 = 2 cos 2π3 + isen 2π

3 = −1 + 3 iu2 = 2 cos π

6 + π + isen π6 + π = 2 cos 7π

6 + isen 7π6 = − 3 − i

u3 = 2 cos π6 + 3π

2 + isen π6 + 3π

2 = 2 cos 10π6 + isen 10π

6

= 2 cos 5π3 + isen 5π

3 = 2 12 − 3

2 i = 1 − 3 i

Exercícios1-) Calcular as raízes quadradas dos seguintes números complexos:a-) −9b-) −ic-) 1 + 3 i2-) Calcular as raízes cúbicas de: 27i.3-) Calcular as raízes quartas de: −1 + 3 i

Funções trigonométricas - continuaçãoFunção cotangente: Dado um número real α, α ≠ kπ, seja A sua imagem no ciclo.

Consideremos a reta OA e seja C sua intersecção com o eixo das cotangentes. Denominamoscotangente de α ( e indicamos cotgα) a medida algébrica do segmento BC.

Denominamos função cotangente a função f : R → R que associa a cada real α, α ≠ kπ oreal BC = cotgα, isto é:

fα = cotgα

Note que, para α = kπ, o ponto A está em α = 0∘ ou α = 180∘ π e, então, a reta OA ficaparalela ao eixo das cotangentes, e neste caso não existe o ponto C, a cotgα não é definida.

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

CA

360o=2π

270o=3π / 2

180

o=

π

Y90o=π / 2

X0

o

O

B

αααα

Propriedades:• O domínio da função cotangente é Domcotgα = α ∈ R / α ≠ kπ

• A imagem da função cotangente é R, isto é, para todo y real existe um α real tal quey = cotgα.

• Se α é do primeiro ou terceiro quadrante, então cotgα é positiva.

• Se α é do segundo ou quarto quadrante, então cotgα é negativa.

• A função cotangente é periódica e seu período é π.Representação gráfica:

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 2 4 6

fα = cotαFunção secante: Dado um número real α, α ≠ π

2 + kπ, seja A sua imagem no ciclo.Consideremos a reta s tangente ao ciclo em A e seja S sua intersecção com o eixo dos cossenos.Denominamos secante de α ( e indicamos secα) a abscissa OS do ponto S.

Denominamos função secante a função f : R → R que associa a cada real α, α ≠ π2 + kπ o

real OS = secα, isto é:fα = secα

Note que, para α = π2 + kπ, o ponto A está em α = 90∘ π

2 ou α = 270∘ 3π2 e, então, a

reta s fica paralela ao eixo dos cossenos, e neste caso não existe o ponto S, a secα não édefinida.

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

s

A

360o=2π

270o=3π / 2

180

o=

π

90o=π / 2

0o

O

αααα

Propriedades:• O domínio da função secante é Domsecα = α ∈ R / α ≠ π

2 + kπ

• A imagem da função secante é R − −1, 1, isto é, para todo real y, com y ≤ −1 ou y ≥ 1,existe um α real tal que y = secα.

• Se α é do primeiro ou quarto quadrante, então secα é positiva.

• Se α é do segundo ou terceiro quadrante, então secα é negativa.

• A função cotangente é periódica e seu período é 2π.Representação gráfica:

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 2 4 6

fα = secαFunção cossecante: Dado um número real α, α ≠ kπ, seja A sua imagem no ciclo.

Consideremos a reta s tangente ao ciclo em A e seja C sua intersecção com o eixo dos senos.Denominamos cossecante de α ( e indicamos cossecα) a ordenada OC do ponto C.

Denominamos função cossecante a função f : R → R que associa a cada real α, α ≠ kπ o realOC = cossecα, isto é:

fα = cossecαNote que, para α = kπ, o ponto A está em α = 0∘ ou α = 180∘ π e, então, a reta s fica

paralela ao eixo dos senos, e neste caso não existe o ponto C, a cossecα não é definida.

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

C

s

A

360o=2π

270o=3π / 2

180

o=

π

90o=π / 2

0o

O

αααα

Propriedades:• O domínio da função cossecante é Domcossecα = α ∈ R / α ≠ kπ

• A imagem da função cossecante é R − −1, 1, isto é, para todo real y, com y ≤ −1 ou y ≥ 1,existe um α real tal que y = cossecα.

• Se α é do primeiro ou segundo quadrante, então cossecα é positiva.

• Se α é do terceiro ou quarto quadrante, então cossecα é negativa.

• A função cossecante é periódica e seu período é 2π.Representação gráfica:

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 2 4 6

fα = cossecαExercícios

1-) Sabendo que senx = 45 e π

2 < x < π, calcular as demais funções circulares de x.2-) Sendo senx = 1

3 e 0 < x < π2 , calcular o valor da expressão:

y = tgx∗cosx1+cosx1−cosx

3-) Calcular senx e cosx sabendo que 5secx − 3tg2x = 1.

Identidades: Sejam f e g duas funções de domínios D1 e D2, respectivamente. Dizemos que fé idêntica a g, e indicamos f ≡ g, se, e somente se, fx = gx para todo x em que ambas asfunções estão definidas. Colocando em símbolos:

f ≡ g fx = gx,∀x ∈ D1 ∩ D2

Demonstração de identidade: Para demonstrar uma identidade trigonométrica podemosaplicar qualquer uma das fórmulas estabelecidas na teoria, a saber: as relações fundamentais, asfórmulas de redução, as de adição, as de multiplicação, as de divisão e as de transformação emproduto.

Existem basicamente três processos para provar uma identidade. Conforme a dificuldade dademonstração escolhemos o método mais adequado entre os seguintes:• partimos de um dos membros (geralmente o mais complicado) da identidade e o

tranformamos no outro.

• transformamos o 1∘ membro e, separadamente o 2∘ chegando com ambos na mesmaexpressão.

• construímos a função h = f − g e provamos que h ≡ 0.Exercícios

1-) Provar que 1 + cot g2x1 − cos2x = 1 para todo x real, x ≠ kπ.2-) Provar que 2 ∗ sec x ∗ tgx = 1

cossecx−1 + 1cossecx+1 para todo x real x ≠ π

2 + kπ3-) Provar que 1 − tgx2 + 1 − cot gx2 = sec x − cossecx2 para todo x real, x ≠ kπ

24-) Provar que 1−cos x

senx∗cos x+ senx = 1−cos x

tgx + tgx para todo x real, x ≠ kπ2

5-) Prove que: cos4x + sen4x + 2 ∗ senx ∗ cosx2 = 16-) Prove que: senx

cossecx + cosxsecx = 1

7-) Prove que: 2 ∗ senx + tgxcosx + cotgx = 1 + senx + cosx2

8-) Prove que: cosx+cotgxtgx+secx = cosx ∗ cotgx

Determinação do domínio de uma função

Quando estudamos funções é importante saber o seu domínio, ou seja, qual é o campo devalidade da sentença. Para isso não podemos deixar de observar:

1-) não existe divisão por zero ⇒ denominador ≠ 0Neste caso os valores de x que fazem com que o denominador seja nulo devem ser

“eliminados”, ou melhor, não pertencem ao domínio da função.Exemplo:Determine o domínio da função: fx = x+1

x+3Para encontrar o domínio da função, impor o denominador igual do denominador ser zero,

resolver a equação.x + 3 = 0 ⇒ x = −3 (este valor de x deve ser excluído do domínio da função). Assim,

Domfx = x ∈ R/ x ≠ −3

2-) em R não existe raiz de índice par de um número negativo, portanto o radicando deveser maior ou igual a zero.

Exemplo:a-) Determine o domínio da função: R → R : fx = x + 1Impondo a condição que o radicando deve ser maior ou igual a zero vem:x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1 (qualquer valor maior ou igual a −1, satisfaz a condição do radicando

ser maior ou igual a zero). Assim,Domfx = x ∈ R/ x ≥ −1

b-) Determine o domínio da função: R → R : fx = 3 x + 1Neste exemplo o índice do radical é ímpar, ou seja não existe nenhuma restrição quanto a

obter a raiz cúbica de um número negativo, sendo assim temos:Domfx = R

De um modo geral é possível escrever:fx = n px

Se n for par: Domfx = x ∈ R/ px ≥ 0Se n for ímpar: Domfx = R

3-) combinação do caso 1 e caso 2: neste tipo de função é necessário analisar as duassituações.

Exemplo:Determine o domínio da função: R → R : fx = x+1

x−2Para facilitar o entendimento primeiro será analisado o numerador da fração e em seguida o

denominador. Após encontrar cada uma das soluções será feita a intersecção dos dois conjuntos.Numerador: x + 1x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1 (qualquer número maior ou igual a −1 é solução)Denominador: x − 2 = 0 ⇒ x = 2 (qualquer número diferente de 2 é solução)Desta forma o domínio da função será dado por:

Domfx = x ∈ R/ x ≥ −1 e x ≠ 2Exercícios

1-) Determine o domínio das funções abaixo:a-) fx = 2x − 3 g-) fx = −2x + 3b-) fx = 3 x − 4 h-) fx = x − 1 + x+2

x+3

c-) fx = 3x2x−1 i-) fx = x+2

x2+9

d-) fx = 1

x+3k-) fx = −x+4

−x+4

e-) fx = 1x+2 + 4

x+5 f-) fx = 3x+13 2x−5

Funções usuais e seus gráficos

Chamamos gráfico de uma função f o conjunto de todos os pontos x, fx do planocartesiano para qualquer x pertencente ao domínio de fx.

Função constante: uma função f de R em R é constante se fx = k (x ∈ R, k é um númeroreal positivo, negativo ou nulo).

representação gráfica:

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-3 -2 -1 1 2 3x

fx = k, k > 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-3 -2 -1 1 2 3x

fx = k, k < 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-3 -2 -1 1 2 3x

fx = k, k = 0Na função fx = k, temos:

Domfx = RImfx = k

Função afim ou do 1∘grau: uma função f de R em R é função do 1∘ grau ou afim se, a cadax ∈ R, associa o elemento ax + b ∈ R, com a ≠ 0, e pode ser representada por o fx = ax + b.

representação gráfica:

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-3 -2 -1 1 2 3x

fx = ax + b, se a > 0 fx é crescente

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-3 -2 -1 1 2 3x

fx = ax + b, se a < 0 fx é decrescenteNa função do primeiro grau temos:

Domfx = RImfx = R

O coeficiente a da função fx = ax + b é denominado coeficiente angular, e b é denominadocoeficiente linear. Os interceptos nos eixos x e y podem ser encontrados da seguinte maneira:

Se x = 0 temos: f0 = a.0 + b ⇒ f0 = b, ou seja, o par ordenado 0, b é o ponto onde o

gráfico corta o eixo y.Quando fx = 0 temos: 0 = ax + b ⇒ ax = −b ⇒ x = − b

a , ou seja, o par ordenado − ba , 0

é o ponto onde o gráfico corta o eixo x.

∆x=x2-x

1

∆y=y2-y

1

α

y2

y1

x2x

1(-b/a,0)

(0,b)

Se Ax1, y1 e Bx2, y2 são pontos conhecidos, então o coeficiente angular da reta ax + b quecontém A e Bé dado por:

a = ΔyΔx = y2−y1

x2−x1

O valor de a mede a inclinação da reta ax + b.Exercícios

1-) Em cada função, determine: (a) o ponto onde a reta corta o eixo x e eixo y, (b) esboçar ográfico a partir da solução de (a).

a-) fx = 2x + 4b-) fx = 3x − 2c-) fx = 4 − 2xd-) y = 5 − xe-) fx = 2x2-) Dê os valores de x que satisfazem as desigualdades abaixoa-) x + 3x − 2 > 0b-) x2 − 9x + 14x2 − 9 > 0c-) x − 23 − xx + 1x + 2 ≤ 0Função quadrática ou do 2∘ grau: uma função f de R em R é função do 2∘ grau ou

quadrática se, a cada x ∈ R, associa o elemento ax2 + bx + c ∈ R, com a ≠ 0, e pode serrepresentada por o fx = ax2 + bx + c.

onde:a = coeficiente de x2

b = coeficiente de xc = termo independente de xrepresentação gráfica:

-4

-2

0

2

4

y

-4 -3 -2 -1 1 2x

gráfico da função fx = x2 + 2x − 3, a > 0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

y

-2 -1 1 2 3x

gráfico da função fx = −x2 + x + 2, a < 0Os gráficos acima mostram que a concavidade depende do sinal de a, ou seja, se a > 0 a

concavidade é voltada para cima, porém quando a < 0 a concavidade é voltada para baixo.A função quadrática fx = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, pode anular para valores convenientes

de x ∈ R. Os valores para os quais fx = 0 recebem o nome de zeros da função quadrática, ousimplesmente raízes.

Considere a função fx = ax2 + bx + c, para encontrar as raízes devemos imporax2 + bx + c = 0. Esta é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida através da fórmulade Bháskara:

x = −b± Δ2a

, onde Δ = b2 − 4 ∗ a ∗ cLogo, os zeros da função quadrática são as raízes da equação do segundo grau. Assim:a-) quando Δ > 0, fx = ax2 + bx + c possui duas raízes reais e distintas.b-) quando Δ = 0, fx = ax2 + bx + c possui duas raízes reais e iguais.c-) quando Δ < 0, fx = ax2 + bx + c não possui raízes reais.A parábola que representa a função do segundo grau é dividida em duas partes simétricas por

uma reta perpendicular ao eixo das abscissas: eixo de simetria. A intersecção da parábola com oeixo de simetria recebe o nome de vértice V da parábola. Considere a figura abaixo:

-4

-2

0

2

4

y

-4 -3 -2 -1 1 2x

O vértice da parábola é dado pelas coordenadas xv e yv do ponto V. Como o eixo de simetriadivide o gráfico em duas partes simétricas é fácil perceber que a abscissa do vértice xv é amédia aritmética das raízes:

xv = x1+x2

2 = − b2a

A ordenada yv é obtida substituindo xv na expressão: fx = ax2 + bx + c, o que resulta:yv = − Δ

4aPortanto:

V = − b2a

,− Δ4a

Desta forma é fácil concluir que o vértice assume o valor mínimo da função quadráticaquando a > 0, por outro lado tem valor máximo quando a < 0. Portanto temos:

Domfx = RImfx = y ∈ R/ y ≥ − Δ

4a, se a > 0 ou

Imfx = y ∈ R/ y ≤ − Δ4a

, se a < 0Exercícios

1-) Em cada função encontre: (a) as coordenadas do vértice xv, yv, (b) os pontos onde aparábola corta o eixo x e o eixo y, (c) esboce o gráfico de fx, (d) os valores de x para os quaisfx > 0, (e) domínio e conjunto imagem

a-) fx = x2 − 5x + 4 b-) fx = −x2 + 2x + 3c-) fx = x2 − 4x + 4 d-) fx = −x2 − 42-) Encontre o valor de x que satisfaz as desigualdades abaixo:

a-) x2 − 5x + 4 ≥ 0 b-) −x2 + 2x + 3 ≤ 0c-) x2 − 4x + 4 > 0 d-) x2 + 4 < 0Obs.: a função quadrática possui um eixo de simetria, desta forma dizemos que a função é

simétrica.Se f é uma função par, isto é, se f−x = fx para todo x no domínio de f, então o gráfico de

f é simétrico em relação ao eixo y. Se f é uma função ímpar, isto é, se f−x = −fx para todo xno domínio de f, então o gráfico de f é simétrico em relação à origem. Grande parte das funçõesno cálculo não são pares nem ímpares.

Função modular: uma função f de R em R é modular se, a cada x ∈ R associa o número |x|, epode ser representada por fx = |x|, onde:

|x| =x, se x ≥ 0

−x, se x < 0

Obs.: x2 = |x|Duas funções definem a função fx = |x|:

1-) fx = x, se x ≥ 0 2-) fx = −x, se x < 0

representação gráfica: representação gráfica:

0

1

2

3

4

5

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5x

gráfico de fx = x, se x ≥ 0

0

1

2

3

4

5

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3x

gráfico de fx = −x, se x < 0Construindo os dois gráficos em um único plano cartesiano, obtemos o gráfico de fx = |x|.

0

1

2

3

4

5

y

-4 -2 2 4x

gráfico de fx = |x|Observando o gráfico da função modular, verifica-se que ele representa a reunião de duas

semi-retas de mesma origem: o ponto 0, 0. Assim temos:Domfx = RImfx = R+

Equação modular: uma equação é modular quando a incógnita (ou variável) se apresenta emmódulo. A equação |x| = a, a ∈ R+ é modular, logo:

|x| = a ⇒

x = a

ou

x = −a

Exemplos:a-) |x − 1| = 3Para resolver uma equação modular é necessário aplicar a definição acima:x − 1 = 3 ou x − 1 = −3x = 4 x = −2

S = −2, 4b-) |2x − 1| = 1

22x − 1 = 1

2 ou 2x − 1 = − 12

x = 34 x = 1

4S = 1

4 , 34

c-) |x − 3| = 2x + 1Neste exemplo a variável x aparece no módulo e fora do módulo. Para resolver esta equação

modular é necessário colocar a condição de existência: 2x + 1 ≥ 0, uma vez que o módulo de umnúmero é sempre positivo. Resolvendo a condição de existência temos:

2x + 1 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ −1 ⇒ x ≥ − 12

A equação modular só vai ter solução para valores de x ≥ − 12 .

x − 3 = 2x + 1 ou x − 3 = −2x + 1−x = 4 3x = 2x = −4 x = 2

3S = 2

3Exercícios

1-) Resolver as equações modulares em R.a-) |2x + 3| = 9 b-) |3x − 7| = 1

2c-) 2|x − 1| = 3

2 d-) |1 − x| = 1 − xe-) |x + 1| = |2x − 3| f-) |x2 − 5x| = 14g-) |x|2 − 10|x| + 21 = 0 h-) |x2 + 2x − 15| = 02-) Determine o domínio, conjunto imagem e esboçe o gráfico das funções abaixo:a-) fx = |2x + 3| b-) fx = |x − 3|c-) fx = |x − 1| + 1 d-) fx = |x + 2| − 1Função exponencial: dado um número a, tal que 1 ≠ a > 0, a função f : R → R, definida

por fx = ax, é chamada função exponencial de base a, onde x é o expoente:fx = ax, a ∈ R+

∗ e a ≠ 1Obs.: Ao definirmos uma função exponencial de base a, impomos que a ∈ R+

∗ e a ≠ 1porque:

1-) Se a = 1 ⇒ fx = 1x = 1, para todo x ∈ R. Então fx = 1 é uma função constante de Rem R.

2-) Se a = 0 ⇒ fx = 0x, o que não existe para determinados valores de x, como porexemplo:

Se x = −2 ⇒ fx = 0−2 = 102 , que não existe

3-) Se a < 0 ⇒ fx = ax nem sempre existe, como por exemplo:Se a = −4 e x = 1

2 ⇒ fx = −412 = −4 ∉ R

Representação gráfica1-) fx = 2x, neste exemplo a > 1 2-) fx = 1

2

x, neste exemplo 0 < a < 1

0

2

4

6

8

10

y

-4 -2 2 4x0

2

4

6

8

10

y

-4 -2 2 4x

Obs.: Se a > 1 a função é crescente, enquanto que para 0 < a < 1 a função é decrescente.Domfx = RImfx = R+

∗

Equações e inequações exponenciais: são equações onde a incógnita é parte do expoente. Asolução é obtida através das propriedades de potênciação. A primeira preocupação é obterpotências de mesma base, assim é possível igualar os expoentes, obtendo assim uma equaçãoconhecida.

Exemplos:a-) 2x = 32 ⇒ 2x = 25 ⇒ x = 5 ⇒ S = 5b-) 45x−3 = 32 ⇒ 225x−3 = 25 ⇒ 10x − 6 = 5 ⇒ x = 11

10 ⇒ S = 1110

c-) 92x−3 > 243 ⇒ 322x−3 > 35 ⇒ 34x−6 > 35 ⇒ 4x − 6 > 5

4x > 11 ⇒ x > 114 ⇒ S = x ∈ R / x > 11

4 Exercícios

1-) Resolver as equações e inequações abaixoa-) 5 4x = 1

8b-) 5 4 2x = 160

c-) 83x =3 32x

4x−1 d-) 4x = 0, 25

e-) 916

2x−1= 4

3

−x+1f-) 9x+1x−1 = 3x2+x+4

g-) 5x−1x−2 x+1> 1 h-) 93−xx−2 x−1

≤ 1

i-) 0, 5x2−4 x−1≥ 0, 54−x j-) 22x − 5 ∗ 2x + 4 = 0 k-) 2x = 10

Logarítmos: Sendo a e b números reais tais que a > 0, b > 0 e b ≠ 1, chamamos delogarítmo de a na base b o expoente real x ao qual se eleva a base b para se obter a:

notação: logba = x ⇔ bx = a, a > 0, b > 0 e b ≠ 1a é o logaritmandob é a basex é o logarítmoObs.:1-) se b = 10, dizemos que x é o logarítmo decimal de a e neste caso, escrevemos:

x = logaOs logarítmos decimais podem ser calculados com o auxílio de uma tábua de logarítmos,

porém esses cálculos são obtidos através de uma calculadora científica.2-) se b = e e ≅ 2, 718281, dizemos que x é o logarítmo natural de a e escrevemos:

x = ln aExemplos:log216 = x ⇔ 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4 ⇒ S = 4log 1

28 = x ⇔ 1

2

x= 8 ⇒ 2−x = 23 ⇒ x = −3 ⇒ S = −3

Consequências da definição:1-) logb1 = 0 ⇔ b0 = 12-) logbb = 1 ⇔ b1 = b3-) logbbm = m ⇔ bm = bm

4-) blogba = aPropriedades:1-) logarítmo do produto: sendo a, b e c números reais positivos e a ≠ 1, temos:logab ∗ c = logab + logac2-) logarímo do quociente: sendo a, b e c números reais positivos e a ≠ 1, temos:loga

bc = logab − logac

3-) logarítmo da potência: sendo a e b números reais positivos, a ≠ 1 e um número real m,temos:

logabm = m logab4-) mudança de base: sendo a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 e c ≠ 1, temos:logab = logcb

logca

Obs.: logab > logac ⇒b > c se a > 1

b < c se 0 < a < 1

ExercíciosAplicando as propriedades de logarítmos resolver os exercícios abaixo1-) Se log2 = x, calcule log50 em função de x.2-) Sendo loga + b = m e a − b = 100, calcule loga2 − b2 em função de m.3-) Sendo log2 = a e log3 = b, calcule em função de a e b:a-) log16 =

b-) log40 =c-) log25, 6 =d-) log654 =e-) log5 =f-) log 3 12 =

g-) log89

3 25=

4-) Utilizando o conceito de logarítmo e com auxílio de uma calculadora, resolver asseguintes equações:

a-) 2x = 10b-) 2x = 30c-) 32x = 125d-) 102x = 25x

e-) 121 + x30 = 20f-) log2x ∗ ln 2 = 1g-) ln 4 x = 1

2 ln 15 − 116 lnx + 24

h-) 23x+1

32x−1 = 5x

i-) 7 ∗ 32x+1 = 43x−2

j-) xx2−7x = 1Função logarítmica: chamamos de função logarítmica de base a 0 < a ≠ 1 a função que

associa cada elemento x ∈ R+∗ ao seu logarítmo nessa base:

f : R+∗ → R / y = logax, e pela definição de logarítmo vem: ay = x.

Representação gráfica1-) fx = log2x, neste exemplo a > 1 2-) fx = log 1

2x, neste exemplo 0 < a < 1

-4

-2

0

2

4

y

-2 2 4 6 8x

-4

-2

0

2

4

y

-2 2 4 6 8x

Os gráficos da função logarítmica mostram que:Se a base > 1, a função é crescente, enquanto que 0 < base < 1 a função é decrescente.

Domfx = R+∗

Imfx = RExercícios

1-) Esboçar o gráfico de fx nos seguintes casos:a-) fx = ax, com a > 1b-) fx = k + ax, com a > 1c-) fx = k ∗ ax, com a > 1d-) fx = b + k ∗ ax, com a > 1e-) fx = ax2 + bx + c, com Δ > 0, a > 0, c > 0 e x1 < 0f-) fx = ax2 + bx + c, com Δ > 0, a < 0 e b = 0g-) fx = |ax2 + bx + c|, com Δ > 0, a > 0, e x1 ∗ x2 < 02-) Calcule:

a-)x2−5x 3−x

4−xx−2≥ 0

b-) |x2 − 5x + 2| > 2

c-) |x2 − 7x + 8| < 2Função inversa: sendo f uma de A → B, a função de B → A, representada por gx = f−1x,

é chamada inversa de f. A função inversa mais usual é y = 1x

Representação gráfica

-4

-2

0

2

4

y

-4 -2 2 4x

Domfx = R∗

Imfx = R∗

Para saber se uma função possui inversa é necessário verificar se a função é biunívoca, ouseja: Imfx = Cdfx e qualquer x1 ≠ x2 fx1 ≠ fx2. Desta forma conclui-se que:

Domfx = Imf−1xDomf−1x = Imfx

Obs.: para obter a função inversa de fx, basta reescrever a função trocando de lugar asvariáveis x e y, e em seguida expressar y em função de x.

Exemplo:Se fx = 2x + 1, encontre f−1x.Domfx = R e a Imfx = Ry = 2x + 1 ⇒ x = 2y + 1 ⇒ 2y = x − 1 ⇒ y = x−1

2 . .. f−1x = x−12

Representação gráfica

-4

-2

0

2

4

y

-4 -2 2 4x

Exercícios1-) Dada uma função de R+ → R+, definida por fx = x2.a-) Determinar f−1x.b-) Esboçar os gráficos de fx e f−1x em um mesmo plano cartesiano.

2-) Determinar o domínio e o conjunto imagem da função real fx = 3x−1x+2 .

3-) Dada a função fx = 5−2xx+1 , determine:

a-) Domínio de fxb-) f−1xc-) Domínio de f−1xd-) Imagem de fx

4-) Esboce em um mesmo plano cartesiano as funções: fx = 2x e gx = log2x, o que sepode concluir?

Função composta: a função composta f ∘ g é definida como f ∘ gx = fgx. O domíniode f ∘ g é o conjunto de todos os x do domínio de g tal que gx está no domínio de f.

Note que, para x no domínio de g, primeiro determinamos gx (que deve estar no domíniode f) e então, em segundo lugar, determinamos fgx.

Para a função composta g ∘ f, invertemos a ordem, determinando primeiro fx e, em seguidagfx. O domínio de g ∘ f é o conjunto de todos os x no domínio de f tais que fx está nodomínio de g.

Exemplos:a-) Se fx = x2 − 1 e gx = 3x + 5, determine:f ∘ gx e o domínio de f ∘ g.f ∘ gx = fgx ⇒definição de f ∘ g

= f3x + 5 ⇒definição de g= 3x + 52 − 1 ⇒definição de f= 9x2 + 30x + 24

O domínio tanto de f como de g é R. Como para cada x em R (o domínio de g) o valor gxestá em R (domínio de f), o domínio de f ∘ g é também R.

b-) Se fx = x2 − 16 e gx = x , determine:b1-) f ∘ gx e o domínio de f ∘ g.b2-) g ∘ fx e o domínio de g ∘ f.Primeiramente vamos determinar o domínio da funão f e da função g.Domfx = R, e Domgx = x ∈ R / x ≥ 0b1-) f ∘ gx = fgx ⇒definição de f ∘ g

= f x ⇒definição de g= x 2

− 16 ⇒definição de f= x − 16

Se considerarmos apenas a expressão final (x − 16), poderíamos ser levados a crer que odomínio de f ∘ g é R, pois x − 16, é definida para todo real x. Todavia, pela definição da funçãocomposta f ∘ g o domínio é o conjunto de todos os x que estão no domínio de g, ou seja:

Domf ∘ gx = x ∈ R / x ≥ 0

b2-) g ∘ fx = gfx ⇒definição de g ∘ f= gx2 − 16 ⇒definição de f= x2 − 16 ⇒definição de g

Pela definição da função composta g ∘ f o domínio é o conjunto de todos os x que estão nodomínio de f, tal que fx = x2 − 16 está em 0,+∞ é equivalente à desigualdade:

x2 − 16 ≥ 0 ⇒ x − 4x + 4 ≥ 0 ou seja,x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ −4Montando o varal temos:

−4 4

- + +

- - +

+ - +

Portando temos:Domg ∘ fx = x ∈ R / x ≤ −4 ou x ≥ 4

Exercícios

(a) Determine f ∘ gx e o domínio de f ∘ gx. (b) Determine g ∘ fx e o domínio deg ∘ fx.

a-) fx = x2 − 3x gx = x + 2b-) fx = x − 2 gx = x + 5c-) fx = 25 − x2 gx = x − 3d-) fx = x

3x+2 gx = 2x

Relações métricas e trigonométricas em um triângulo retânguloConsidere o triângulo de vértices ABC.

B

C

A

a

b

c

n

m

h

onde:a = hipotenusab = catetoc = catetoh = alturam = projeção do cateto b na hipotenusan = projeção do cateto c na hipotenusaRelação de Pitágoras:

a2 = b2 + c2

É possível mostrar que:b2 = a ∗ mc2 = a ∗ nh2 = m ∗ n

Considere agora o triângulo retângulo de lados a, b e c, conforme mostra a figura:

ββββ

αααα

a

b

B

C A

c

Chamamos:• seno de um ângulo: quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Assim:

senα = ca e senβ = b

a

• cosseno de um ângulo: quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. Assim:

cosα = ba e cosβ = c

a

• tangente de um ângulo: quociente entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.Assim:

tgα = cb

e tgβ = bc

• cotangente de um ângulo: quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e o cateto oposto.Assim:

cotgα = bc e cotgβ = c

b

• cossecante de um ângulo: quociente entre a hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo. Assim:

cossecα = ac e cossecβ = a

b

• secante de um ângulo: quociente entre a hipotenusa e o cateto adajacente ao ângulo. Assim:

secα = ab

e secβ = ac

Comparando as relações anteriores é possível concluir:senα = cosβcosα = senβtgα = cotgβtgβ = cotgαtgα = 1

cotgα

secα = cossecβsecβ = cossecαA soma dos ângulos internos de um triângulo é 180∘, ou seja:α + β +  = 180 como  = 90∘ vem: α + β = 90

Exercícios1-) Dado um triângulo equilátero de lado l, determinar:sen30∘ =cos30∘ =tg30∘ =cot30∘ =cossec30∘ =sec30∘ =sen60∘ =cos60∘ =tg60∘ =2-) Dado um triângulo retângulo isóceles de cateto igual a l, Determinar:sen45∘ =cos45∘ =tg45∘ =Monte a tabela abaixo com os resultados obtidos anteriormente:

seno cosseno tangente

30∘

45∘

60∘

3-) Mostre que:sen2α + cos2α = 1tgα = senα

cosαcogtα = cosα

senα

secα = 1cosα

cossecα = 1senα

cotgα = 1tgα

1 + tg2α = sec2α

1 + cotg2α = cossec2α

cos2α = 11+tg2α

sen2α = tg2α

1+tg2α

Funções Trigonométricas: Considere a circunferência de centro O e raio r = 1. Ocomprimento da circunferência é 2π.

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

C

D

A' A

360o=2π

270o=3π / 2

180

o=

π

Y 90o=π / 2

X0

o

tgα

sen

α

O Bcosα

αααα

Função seno: Dado um número real α, seja A sua imagem no ciclo. Denominamos seno de α( e indicamos senα) a ordenada OA

′do ponto A em relação ao sistema XOY. Denominamos

função seno a função f : R → R que associa a cada real α o real OA′= senα, isto é:

fα = senαPropriedades:

• A imagem da função seno é o intervalo −1, 1, isto é, −1 ≤ senα ≤ 1 para todo α real.

• Se α é do primeiro ou segundo quadrante, então senα é positivo.

• Se α é do terceiro ou quarto quadrante, então senα é negativo.

• A função seno é periódica e seu período é 2π. É imediato que, se senα = OA′e k ∈ Z, então

senα + k ∗ 2π = OA′pois α e α + k ∗ 2π têm a mesma imagem A no ciclo. Temos, então,

para todo α real:senα = senα + k ∗ 2π

e, portanto, a função seno é periódica. Seu período é o menor valor positivo de k ∗ 2π, isto é,2π.

Representação gráfica:

-1-0.5

0

0.51

2 4 6 8 10

fα = senαExercícios

1-) Determinar o período e a imagem e fazer o gráfico de um período completo das funçõesdadas.

a-) f : R → R dada por fx = −senxb-) f : R → R dada por fx = 2senxc-) f : R → R dada por fx = sen2xd-) f : R → R dada por fx = sen x

2e-) f : R → R dada por fx = 1 + senxf-) f : R → R dada por fx = sen x − π

4g-) f : R → R dada por fx = sen 2x − π

3Função cosseno: Dado um número real α, seja A sua imagem no ciclo. Denominamos

cosseno de α ( e indicamos cosα) a abscissa OB do ponto A em relação ao sistema XOY.Denominamos função cosseno a função f : R → R que associa a cada real α o real OB = cosα,isto é:

fα = cosαPropriedades:

• A imagem da função cosseno é o intervalo −1, 1, isto é, −1 ≤ cosα ≤ 1 para todo α real.

• Se α é do primeiro ou quarto quadrante, então cosα é positivo.

• Se α é do segundo ou terceiro quadrante, então cosα é negativo.

• A função cosseno é periódica e seu período é 2π. É imediato que, se cosα = OB e k ∈ Z,então cosα + k ∗ 2π = OB pois α e α + k ∗ 2π têm a mesma imagem A no ciclo. Temos,então, para todo α real:

cosα = cosα + k ∗ 2πe, portanto, a função cosseno é periódica. Seu período é o menor valor positivo de k ∗ 2π,

isto é, 2π.Representação gráfica:

-1-0.5

0

0.51

2 4 6 8 10

fα = cosα

Exercícios1-) Determinar o período e a imagem e fazer o gráfico de um período completo das funções

dadas.a-) f : R → R dada por fx = |cosx|b-) f : R → R dada por fx = cos2xc-) f : R → R dada por fx = 1 + 2cos3xd-) f : R → R dada por fx = 2cos x − π

3Função tangente:Dado um número real α, α ≠ π

2 + kπ, seja A sua imagem no ciclo.Consideremos a reta OA e seja D sua intersecção com o eixo das tangentes. Denominamostangente de α ( e indicamos tgα) a medida algébrica do segmento CD.

Denominamos função tangente a função f : R → R que associa a cada real α, α ≠ π2 + kπ o

real CD = tgα, isto é:fα = tgα

Note que, para α = π2 + kπ, o ponto A está em α = 90∘ π

2 ou α = 270∘ 3π2 e, então, a

reta OA fica paralela ao eixo das tangentes, e neste caso não existe o ponto D, a tgα não édefinida.

Propriedades:• O domínio da função tangente é Domtgα = α ∈ R / α ≠ π

2 + kπ

• A imagem da função tangente é R, isto é, para todo y real existe um α real tal que y = tgα.

• Se α é do primeiro ou terceiro quadrante, então tgα é positiva.

• Se α é do segundo ou quarto quadrante, então tgα é negativa.

• A função tangente é periódica e seu período é π. É imediato que, se tgα = CD e k ∈ Z, entãotgα + k ∗ π = CD pois α e α + k ∗ π têm imagens coincidentes ou diametralmente opostasno ciclo trigonométrico, assim, para todo α real e α ≠ π

2 + kπ:tgα = tgα + k ∗ π

e, portanto, a função tangente é periódica. Seu período é o menor valor positivo de k ∗ π, istoé, π.

Representação gráfica:

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 2 4 6

fα = tgαFunção cotangente: Dado um número real α, α ≠ kπ, seja A sua imagem no ciclo.

Consideremos a reta OA e seja C sua intersecção com o eixo das cotangentes. Denominamoscotangente de α ( e indicamos cotgα) a medida algébrica do segmento BC.

Denominamos função cotangente a função f : R → R que associa a cada real α, α ≠ kπ oreal BC = cotgα, isto é:

fα = cotgαNote que, para α = kπ, o ponto A está em α = 0∘ ou α = 180∘ π e, então, a reta OA fica

paralela ao eixo das cotangentes, e neste caso não existe o ponto C, a cotgα não é definida.

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

CA

360o=2π

270o=3π / 2

180

o=

π

Y90o=π / 2

X0

o

O

B

αααα

Propriedades:• O domínio da função cotangente é Domcotgα = α ∈ R / α ≠ kπ

• A imagem da função cotangente é R, isto é, para todo y real existe um α real tal quey = cotgα.

• Se α é do primeiro ou terceiro quadrante, então cotgα é positiva.

• Se α é do segundo ou quarto quadrante, então cotgα é negativa.

• A função cotangente é periódica e seu período é π.Representação gráfica:

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 2 4 6

fα = cotαFunção secante: Dado um número real α, α ≠ π

2 + kπ, seja A sua imagem no ciclo.Consideremos a reta s tangente ao ciclo em A e seja S sua intersecção com o eixo dos cossenos.Denominamos secante de α ( e indicamos secα) a abscissa OS do ponto S.

Denominamos função secante a função f : R → R que associa a cada real α, α ≠ π2 + kπ o

real OS = secα, isto é:fα = secα

Note que, para α = π2 + kπ, o ponto A está em α = 90∘ π

2 ou α = 270∘ 3π2 e, então, a

reta s fica paralela ao eixo dos cossenos, e neste caso não existe o ponto S, a secα não édefinida.

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

s

A

360o=2π

270o=3π / 2

180

o=

π

90o=π / 2

0o

O

αααα

Propriedades:• O domínio da função secante é Domsecα = α ∈ R / α ≠ π

2 + kπ

• A imagem da função secante é R − −1, 1, isto é, para todo real y, com y ≤ −1 ou y ≥ 1,existe um α real tal que y = secα.

• Se α é do primeiro ou quarto quadrante, então secα é positiva.

• Se α é do segundo ou terceiro quadrante, então secα é negativa.

• A função cotangente é periódica e seu período é 2π.Representação gráfica:

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 2 4 6

fα = secαFunção cossecante: Dado um número real α, α ≠ kπ, seja A sua imagem no ciclo.

Consideremos a reta s tangente ao ciclo em A e seja C sua intersecção com o eixo dos senos.Denominamos cossecante de α ( e indicamos cossecα) a ordenada OC do ponto C.

Denominamos função cossecante a função f : R → R que associa a cada real α, α ≠ kπ o realOC = cossecα, isto é:

fα = cossecαNote que, para α = kπ, o ponto A está em α = 0∘ ou α = 180∘ π e, então, a reta s fica

paralela ao eixo dos senos, e neste caso não existe o ponto C, a cossecα não é definida.

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

C

s

A

360o=2π

270o=3π / 2

180

o=

π

90o=π / 2

0o

O

αααα

Propriedades:• O domínio da função cossecante é Domcossecα = α ∈ R / α ≠ kπ

• A imagem da função cossecante é R − −1, 1, isto é, para todo real y, com y ≤ −1 ou y ≥ 1,existe um α real tal que y = cossecα.

• Se α é do primeiro ou segundo quadrante, então cossecα é positiva.

• Se α é do terceiro ou quarto quadrante, então cossecα é negativa.

• A função cossecante é periódica e seu período é 2π.Representação gráfica:

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 2 4 6

fα = cossecαExercícios

1-) Sabendo que senx = 45 e π

2 < x < π, calcular as demais funções circulares de x.2-) Sendo senx = 1

3 e 0 < x < π2 , calcular o valor da expressão:

y = tgx∗cosx1+cosx1−cosx

3-) Calcular senx e cosx sabendo que 5secx − 3tg2x = 1.

Identidades: Sejam f e g duas funções de domínios D1 e D2, respectivamente. Dizemos que fé idêntica a g, e indicamos f ≡ g, se, e somente se, fx = gx para todo x em que ambas asfunções estão definidas. Colocando em símbolos:

f ≡ g fx = gx,∀x ∈ D1 ∩ D2

Demonstração de identidade: Para demonstrar uma identidade trigonométrica podemosaplicar qualquer uma das fórmulas estabelecidas na teoria, a saber: as relações fundamentais, asfórmulas de redução, as de adição, as de multiplicação, as de divisão e as de transformação emproduto.

Existem basicamente três processos para provar uma identidade. Conforme a dificuldade dademonstração escolhemos o método mais adequado entre os seguintes:• partimos de um dos membros (geralmente o mais complicado) da identidade e o

tranformamos no outro.

• transformamos o 1∘ membro e, separadamente o 2∘ chegando com ambos na mesmaexpressão.

• construímos a função h = f − g e provamos que h ≡ 0.Exercícios

1-) Provar que 1 + cot g2x1 − cos2x = 1 para todo x real, x ≠ kπ.2-) Provar que 2 ∗ sec x ∗ tgx = 1

cossecx−1 + 1cossecx+1 para todo x real x ≠ π

2 + kπ3-) Provar que 1 − tgx2 + 1 − cot gx2 = sec x − cossecx2 para todo x real, x ≠ kπ

24-) Provar que 1−cos x

senx∗cos x+ senx = 1−cos x

tgx + tgx para todo x real, x ≠ kπ2

5-) Prove que: cos4x + sen4x + 2 ∗ senx ∗ cosx2 = 16-) Prove que: senx

cossecx + cosxsecx = 1

7-) Prove que: 2 ∗ senx + tgxcosx + cotgx = 1 + senx + cosx2

8-) Prove que: cosx+cotgxtgx+secx = cosx ∗ cotgx