Modelo de Probabilidade_distribuiçoes_completo

5/14/2018 Modelo de Probabilidade_distribui oes_completo - slidepdf.com

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Modelo de Probabilidade

Definição de Modelo de Probabilidade

Valor médio eVariância Populacional



Modelo de Probabilidade• É um modelo que descreve matematicamente

um fenómeno aleatório em duas partes:primeiro, identifica os valores da variável

, ,deles o valor da respetiva probabilidade. Cadauma destas probabilidades tem que estar

entre 0 e 1 (ou 0% e 100%) e a soma de todasas probabilidades é 1 (ou 100%).




Experiência Aleatória – Identificação

do espaço de Resultados

Correspondência entre oselementos do Espaço de resultadose um valor (quantitativo)

Atribuição, a cada um dos valoresanteriores, a respetiva

probabilidade.



Exemplo:

X: “lançamento de duas moeda e observação das facesvoltadas para cima”

E = {(N,N), (N,C), (C,N), (C,C)}

Correspondência:“Número de faces N observadas”:

xi = 0, 1, 2

xi

0 1 2

pi 1/4 1/2 1/4



População Amostra

Valor Médio

e Variância Populacional

Valor MédioE(X) ou µ

VariânciaPopulacional

Var(X) = σ2

a

VariânciaAmostral

Var = s2

x



PopulaçãoE(X) = µ =

Amostra

∑=

×=

ii f x x

Valor Médio

e Variância Populacional

=

Var(X) = σ2

==

Var = s2 ==

∑ ×= ii fr x N ∑ × ii p x

2)( µ −×∑ ii x p 2)( x x fr ii −×∑



Exemplo:

X: “lançamento de duas moeda e observação das facesvoltadas para cima”

xi

0 1 2

pi 1/4 1/2 1/4

E(X) = µ = 1422140 =×+×+×=× ii p

Var(X) = σ2 =

( ) ( ) ( )

707,05,0

5,0124111

2110

41)( 2222

≅=

=−+−+−=−×=∑

σ

µ ii x p




Modelos discretos/Modelos contínuos

Modelos finitos/Modelos infinitos



Modelo Discreto• Associado a uma variável aleatória discreta.

– Exemplos:• N.º de faces Nacionais observadas no lançamento de

duas moedas (modelo finito);

• N.º de telefonemas atendidos por hora na centraltelefónica da EBSO (modelo infinito – modelo dePoisson).



Modelo Contínuo• Associado a uma variável aleatória contínua.

– Exemplos:• Tempo até ser atendido na fila supermercado (modelo

infinito – modelo Exponencial);

• Duração de um anuncio publicitário (modelo infinito –modelo Uniforme);

• Altura dos rapazes aos 18 anos (modelo infinito –

modelo normal).



Modelos finitos e

Modelos infinitos

Modelos

Finitos - Definidos com auxílio de diagramas ouobservações. Apresentam-se em tabelas.

Infinitos – Funções obtidas por modelação. Podemapresentar-se por meio de uma expressão algébrica.

o caso o mo e o ra a a o an er ormen e.

Discretos

Uniforme Poisson Geométrico Binomial

Contínuos

Uniforme Exponencial Normal



Modelos teóricos (infinitos)• Modelos discretos:

–

Modelo uniforme – todos os acontecimentos do espaçotêm a mesma probabilidade.

– Modelo de Poisson – determina a probabilidade se

acontecimento de uma experiência num determinadoperíodo de tempo.

– Modelo Geométrico – determina a probabilidade de onúmero de realizações de dada experiência até se obter

um valor dado ser igual a k. – Modelo Binomial – Determina a probabilidade de, em n

repetições de uma certa experiência em iguais condições,se observar exactamente k vezes o acontecimento x

i

.



Modelos teóricos (infinitos)• Modelos contínuos:

–

Modelo Uniforme – a probabilidade distribui-se deigual forma num dado intervalo de tempo.

– Modelo Exponencial – determina a probabilidade de o

acontecimento se situar num determinado intervalo. – Modelo Normal – Modela a maioria das distribuições

contínuas e aproxima de forma adequada as

distribuições discretas quando o número derealizações da experiência que lhes está associada égrande (>20).



Modelos teóricos (infinitos)• Para cada uma das variáveis aleatórias

caracterizadas pelos modelos referidos vamosestudar: – A Ex ressão do modelo se X ∩ … então

P(X=k)=…) – O valor médio (E(X)=µ=…)

– A variância e o desvio padrão populacional

(Var(X)=… e σ=…) – Como usar a calculadora para calcular

probabilidades com base em cada um dos

modelos.



Modelos infinitos discretos:

Modelo Uniforme• Seja X uma variável aleatória cujo o espaço de

resultados é composto por n acontecimentoselementares equiprováveis. Então:

– = =

– O valor médio (E(X)=µ= média entre o maior e omenor valor da v.a.)

–

A variância e o desvio padrão populacionalcalculam-se usando as listas e o “varstat” do menuSTAT da calculadora.




Modelo de Poisson• Seja X uma variável aleatória que descreve o número

de realizações de um dado acontecimento num

determinado período de tempo, sobre a qual se sabeque a média de realizações é λ. Então, X é modeladapor uma distribuição de Poisson:

– X ∩ P PP P (λ) e P(X=k) =

– O valor médio é E(X)=µ=λ

–

A variância é Var(X)=λ – Calculadora: Seja X ∩ P PP P (5); então, P(X=6) = 0,146

(2nd/distr/poissonpdf(5,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤ 6)-P(X≤1) = 0.7621-0.0404 =0.7217 (poissoncdf(5,6)-

poissoncdf(5,1)/enter)

,...3,2,1,0 ,!

=×− k k

ek

λ λ




Modelo Geométrico• Seja X uma variável aleatória que modela o número de

repetições de uma determinada experiência necessárias

até que se obtenha o resultado xi, em que a probabilidadede ocorrer xi é p (entre 0 e 1) e de não ocorrer é 1-p. Então,X é modelada por uma distribuição Geométrica de

arâmetro :

– X ∩ Geom Geom Geom Geom (p) e P(X=k) =

– O valor médio é E(X)=µ= 1/p –

A variância é Var(X)= (1-p)/p2

– Calculadora: Seja X ∩ Geom Geom Geom Geom (0.3); então, P(X=6) = 0.75x0.3 =0.05 (ou 2nd/distr/Geometpdf(0.3,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤6)-P(X ≤1) = Geometcdf(0.3,6)-Geometcdf(0.3,1)/enter=0.5824

p p k ×−

−1)1(




Modelo Binomial• Seja X uma variável aleatória que modela a

probabilidade de um acontecimento xi se realizar k

vezes em n realizações de uma dada experiência. Aprobabilidade de xi é p (entre 0 e 1) e de não acontecerxi é q = 1-p. Então, X é modelada por uma distribuição

nom a e par me ros n e p: – X ∩ Bi Bi Bi Bi (n,p) e P(X=k) =

–

O valor médio é E(X)=µ= n x p – A variância é Var(X)= n x p x (1- p) = n x p x q

– Calculadora: Seja X ∩ Bi Bi Bi Bi (5, 0.3); então, P(X=3) = 0.1323(2nd/distr/Binompdf(5,0.3,3)/enter); P(2≤X≤4) = P(X ≤ 4)-P(X

≤1) = Binomcdf(5,0.3,4)-Binomcdf(5,0.3,1)/enter=0.4694

k nk n

k p pC −−×× )1(



Modelos infinitos contínuos

• Um modelo de probabilidades diz-se contínuo selhe está associada uma v. a. Contínua. Neste caso, o

domínio do modelo será o intervalo ou intervalosonde está definida a variável. À função modelo

-se completamente acima do eixo dos xx.



Modelos discretos vs Modelos contínuos

Soma dasprobabilidadesassociadas a cada valorda v.a. é 1

Discretos

Área totalcompreendida entre ográfico da funçãodensidade e o eixo dosxx é 1

Contínuos

P(a≤X≤b) = P(X=a) +P(X=a+1) + (…) +P(X=b)

P(a≤X≤b) = áreacompreendida entre ográfico e o eixo dos xxna barracorrespondente ao

intervalo [a , b].



Modelos infinitos contínuos:

Modelo Uniforme• Associado a v.a. contínuas que se encontram

uniformemente distribuídas num intervalo [a,b], isto é,

uma v.a. em que, dados quaisquer dois valores dointervalo, a probabilidade que lhes está associada éexatamente a mesma. Seja X uma v.a. Uniforme em

a, . n o: – X ∩ U UU U [a,b] e P(c ≤ X ≤ d) =

(área do retângulo de lados d-c e b-a)

– O valor médio é E(X)=µ= (a+b)/2 – Obs.: P(a ≤ X ≤ b) = 1.

bdca , ≤≤≤−

−

ab

cd




Modelo Exponencial• Seja X uma variável aleatória que modela a probabilidade de

o tempo de espera (entre chegadas numa fila de espera,

entre falhas num dispositivo eletrónico, entre chegadas deum pedido a um servidor de Internet, etc.) se situar numdado intervalo, então X é modelada por uma distribuiçãoEx onencial de arâmetro λ:

– X ∩ Exp Exp Exp Exp (λ) e P(a ≤ X ≤ b) =

– O valor médio é E(X)=µ=1/λ

– Não existe esta distribuição na calculadora. Assim, seja X∩Exp Exp Exp Exp (0.2)

(significa que, por exemplo, o tempo médio de espera é 1/0.2 = 5);

então, P(2 ≤ X ≤ 6) =

ba ee λ λ −−−

369.062.022.0

=−×−×−

ee




Modelo Normal

• Baseia-se na distribuição Normal, que é a maisimportante distribuição contínua, já estudada no10.º ano (características no manual).

•

e ∩ µ,σ , en o: – O valor médio é E(X)=µ

– A variância é Var(X)= σ2;

–σ é o desvio-padrão populacional

– Calculadora: P(a≤X≤b) = normalcdf(a,b,µ,σ).Exemplo:

Seja X ∩ N(5, 0.7); então, P(4≤X≤6) = normalcdf(4,6,5,0.7)=0.8469

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