Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Ciencias Exatas e da Terra

Pos-Graduacao em Matematica Aplicada e Estatıstica

Rafaela Horacina Silva Rocha

Modelo de Risco controlado por Resseguro eDesigualdades para a Probabilidade de

Ruına

Dissertacao de Mestrado

Natal - RN2013

Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Ciencias Exatas e da Terra

Pos-Graduacao em Matematica Aplicada e Estatıstica

Rafaela Horacina Silva Rocha

Modelo de Risco controlado por Resseguro eDesigualdades para a Probabilidade de

Ruına

Dissertacao apresentada ao corpo docentedo Programa de Pos-Graduacao em Ma-tematica Aplicada e Estatıstica - CCET -UFRN, como requisito parcial para obtencaodo tıtulo de Mestre em Matematica Aplicadae Estatıstica.

Orientadora:Profa. Dra. Debora Borges Ferreira

Co-Orientador:Prof. Dr. Ronaldo Dias

Natal - RN2013

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial

Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Rocha, Rafaela Horacina Silva.

Modelo de risco controlado por resseguro e desigualdades para a probabilidade de

ruína / Rafaela Horacina Silva Rocha. - Natal, 2013.

83 f. : il.

Orientadora: Profa. Dra. Débora Borges Ferreira.

Co-orientador: Prof. Dr. Ronaldo Dias.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro

de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Matemática

Aplicada e Estatística.

1. Probabilidade estatística – Dissertação. 2. Probabilidade de ruína –

Dissertação. 3. Modelo de risco – Dissertação. 4. Resseguro – Dissertação. 5.

Estimação de densidade – Dissertação. I. Ferreira, Débora Borges. II. Dias,

Ronaldo. III. Título.

RN/UF/BSE-CCET CDU: 519.2

A minha mae Maria Luzinete daSilva Rocha e a memoria do meu paiAlcebıades de Carvalho Rocha.

Agradecimentos

Agradeco primeiramente ao meu Deus, meu refugio e fortaleza que me concedeu maisque o necessario ao longo da vida e que me sustentou ate aqui. A Ele seja toda a gloria!

Agradeco a minha querida orientadora Professora Debora Borges Ferreira por se dispora me conduzir por essa jornada. Agradeco pela paciencia, pela confianca, pelas oportuni-dades e pela amizade que desenvolvemos ao longo do trabalho.

Aos professores Andre Gustavo Campos e Viviane Simiole Campos que cumpriramum papel importantıssimo na minha formacao desde a graduacao me ajudando a mantersempre os pes no chao e a cabeca na matematica. Meu muito obrigada por me fazeremuma aluna e uma pessoa melhor.

Aos professores da banca que fizeram observacoes valiosıssimas para o enriquecimentodo meu trabalho: Juan Rojas, que me acompanhou desde o inıcio, e Catia ReginaGoncalves, que deu grandes contribuicoes para a versao final deste trabalho.

Ao professor Ronaldo Dias que me recebeu na UNICAMP e por tres meses encontroutempo pra me orientar em meio a tantos afazeres.

A professora Dione Maria Valenca por, alem de me ensinar um pouco de estatıstica,me indicar para a oportunidade de estudar ao lado do professor Ronaldo.

Agradeco aos meus colegas do tempo de graduacao Rainelly, Laıs, Otto, Romildo,Dayvid, Fellipe, Igor que sempre me ajudaram a manter o foco. Aos colegas do PPGMAEturma de 2011: Elizangela, Josemir, Jucimeire, Aldemir, Marcio, Alex, Fabio, Ivanildo,Joao, Paulinho. Sozinhos nao conseguirıamos nada!

Aos meus amigos/irmaos que sao minha segunda famılia. Agradeco por cada oracao,pela torcida e por entenderem minhas ausencias.

Ao meu grande amor, grande amigo e esposo. Agradeco sobretudo pela compreensao.Por entender o que e importante pra mim e me apoiar incondicionalmente, mesmo quandoisso significa passar meses sem mim pra que agarre uma oportunidade. Te amo muito,meu prıncipe!

A minha famılia. Meu irmao que sempre se mostrou orgulhoso de minhas conquistas.Minhas cunhadas Jessyca e Querzia que sao pra mim as irmas que nao tive. E princi-palmente a minha mae que, guerreira como e, criou e educou a mim e ao meu irmao naausencia do meu pai e fez sempre o melhor pra nos. Que sempre se orgulhou de mimmas sem demonstrar muito pra que eu nao me envaidecesse. Que me deu apoio e suportepsicologico, emocional e ate mesmo financeiro pra que eu atingisse meus objetivos. E e amaior responsavel pela pessoa que eu sou hoje. Te amo muito, dona Luzinete!

A CAPES pelo auxılio financeiro.

Resumo

Neste trabalho apresentamos resultados teoricos e numericos referentes a um Modelode Risco com Taxa de Juros e Resseguro Proporcional baseados no artigo Inequalitiesfor the ruin probability in a controlled discrete-time risk process de Rosario Romera eMaikol Diasparra (veja [5]). Equacoes recursivas e integrais para a Probabilidade deRuına sao obtidas bem como cotas superiores para a mesma por diferentes abordagens, asaber, pela classica desigualdade de Lundberg, pela abordagem Indutiva e pela abordagemMartingale. Tecnicas de estimacao de densidade (nao-parametricas) sao utilizadas para aobtencao das cotas para a Probabilidade de Ruına e os algoritmos utilizados na simulacaosao apresentados.Palavras Chave: Probabilidade de Ruına, Modelo de Risco, Resseguro, Estimacao deDensidade.

Abstract

In the work reported here we present theoretical and numerical results about a RiskModel with Interest Rate and Proportional Reinsurance based on the article Inequalitiesfor the ruin probability in a controlled discrete-time risk process by Rosario Romera andMaikol Diasparra (see [5]). Recursive and integral equations as well as upper bounds forthe Ruin Probability are given considering three different approaches, namely, classicalLundberg inequality, Inductive approach and Martingale approach. Density estimationtechniques (non-parametrics) are used to derive upper bounds for the Ruin Probabilityand the algorithms used in the simulation are presented.Key-words: Ruin Probability, Risk Models, Reinsurance, Density Estimation.

Sumario

Introducao 1

1 Modelos de Risco 31.1 Modelo de Risco Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Modelo de Risco com Taxa de Juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Desigualdades para a Probabilidade de Ruına 92.1 Desigualdades para a Probabilidade de Ruına no Modelo de Risco Classico 92.2 Modelo de Risco com Taxa de Juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Uma abordagem via Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Resultados Numericos 283.1 Estimacao de Densidade do Tipo Nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Indenizacoes Exponencialmente Distribuıdas . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1 Desigualdade de Lundberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.2 Cota Superior Indutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3 Cota Superior Obtida via Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Indenizacoes com Distribuicao do Tipo Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1 Uma Breve Introducao sobre Distribuicoes do Tipo Fase . . . . . . 333.3.2 Desigualdade de Lundberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.3 Cota Superior Indutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.4 Cota Superior Obtida via Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Algoritmos de Simulacao 434.1 Comandos Maple 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Comandos R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Observacoes Finais 70

A Calculo de R1 71

Introducao

A Ciencia Atuarial e a aplicacao de metodos matematicos e estatısticos no desen-volvimento de modelos numericos usados mais frequentemente para acessar ou conhecera possibilidade de risco. Modelos atuariais sao mais frequentemente usados no ramo deseguros, mas tambem em pensoes, bem estar e outras areas relacionadas com pessoas.

A Teoria do Risco e uma sub-area da ciencia atuarial que estuda modelos matematicospara transacoes financeiras de companhias de seguros de nao-vida. Esses modelos ma-tematicos sao conhecidos como Modelos de Risco e analisam a evolucao do capital exce-dente de uma seguradora com o passar do tempo.

Poderıamos simplificar o processo de seguros da seguinte forma: para cada contratode seguro uma empresa seguradora cobra um certa quantidade de dinheiro, por unidadede tempo, que chamamos de premio. Os segurados, por sua vez, tem o dever de pagar ospremios a seguradora, o que lhes assegura o direito de receber uma indenizacao quando daocorrencia de um evento (ou serie de eventos resultantes de uma mesma causa) susceptıvelde fazer funcionar as garantias de um ou mais contratos de seguro, evento este chamadode sinistro. O valor dos premios e das indenizacoes sao pre-determinados em contrato,bem como os tipos de ocorrencia que geram o pagamento da indenizacao. No entanto,e impossıvel prever quando se dara a ocorrencia de um sinistro, fato do qual resulta anatureza aleatoria de um Modelo de Risco.

Varios desses modelos foram propostos ao longo do tempo e se tornaram objeto deestudo de Matematicos e Estatısticos do comeco do Seculo XX ate o presente. Umadas informacoes mais importantes para a seguradora e a Probabilidade de Ruına, isto e,a probabilidade de, em algum momento, o capital da empresa tornar-se negativo. Emalguns casos ha certa dificuldade de determinar qual e a exata probabilidade de ocorrer aruına. Por isso desenvolveu-se, paralelamente aos modelos, maneiras de encontrar cotassuperiores para a Probabilidade de Ruına. Para cada modelo apresentado neste trabalhoapresentamos tambem uma ou mais maneiras de encontrarmos cotas superiores para aProbabilidade de Ruına do modelo.

Este trabalho e, em grande parte, baseado no artigo Inequalities for the ruin probabilityin a controlled dicrete-time risk process de Rosario Romera e Maikol Diasparra (veja [5])e trata dos resultados referentes ao Modelo de Risco com Taxa Juros e Resseguro, noqual consideramos que o processo da taxa de juros se comporta como uma Cadeia deMarkov. Por resseguro entenda-se atividade pela qual uma empresa seguradora repassaparte de um contrato de seguro para uma segunda empresa, pagando a esta parte dopremio recebido. Quando da ocorrencia de um sinistro, a segunda empresa seguradoraarca com parte da indenizacao a ser paga ao segurado. Essa atividade e adotada a fim dediminuir a Probabilidade de Ruına da seguradora.

Em Inequalities for the ruin probability in a controlled dicrete-time risk process, Di-asparra e Romera apresentam dois exemplos numericos para ilustrar os resultados teoricosapresentados ao longo do texto, supondo conhecidas as distribuicoes das variaveis aleatorias

1

envolvidas no processo. No entanto, ao longo do desenvolvimento deste trabalho foramnotadas algumas divergencias entre os resultados teoricos apresentados no artigo supra-citado e os seus resultados numericos. Procuramos, entao, fazer as correcoes cabıveis e iralem. Abdicando da suposicao de que sao conhecidas as distribuicoes envolvidas, apresen-tamos estimativas para as cotas superiores para a Probabilidade de Ruına, obtidas com oauxılio de tecnicas de estimacao de densidades do tipo Nucleo e utilizacao dos SoftwaresMaple e R.

No Capıtulo 1 abordamos o desenvolvimento dos modelos de risco desde o Modelo deRisco Classico, proposto por Filip Lundberg em 1903, passando pelos modelos com Taxade Juros propostos por Jun Cai em 2002 e chegando ao nosso objeto de estudo, o Modelode Risco com Taxa de Juros e Resseguro. Ainda no primeiro capıtulo introduzimos oconceito de Probabilidade de Ruına para cada um dos modelos apresentados.

No Capıtulo 2 apresentamos resultados teoricos concernentes aos modelos de riscoenunciados, com enfase nos resultados que se referem ao Modelo de Risco com Taxade Juros e Resseguro. Equacoes integrais recursivas para a probabilidade de ruına domodelo sao obtidas. Apresentamos desigualdades para a probabilidade de ruına por tresabordagens distintas: a classica Desigualdade de Lundberg, que pode ser obtida em todosos modelos enunciados, uma generalizacao por abordagem indutiva e uma por abordagemvia Martingales, ambas levando em consideracao a informacao trazida pela Cadeia deMarkov do processo da taxa de juros do modelo.

No Capıtulo 3 apresentamos resultados numericos em duas etapas: primeiro, supondoconhecidas as distribuicoes das variaveis aleatorias envolvidas no processo, calculamos ascotas superiores fornecidas pelos resultados do capıtulo anterior. Posteriormente, sem taissuposicoes, lancando mao de tecnicas (nao-parametricas) de estimacao de densidade, cal-culamos as mesmas cotas apresentadas de maneira que possamos comparar os resultadosobtidos.

No Capıtulo 4 apresentamos detalhadamente os algoritmos utilizados para a obtencaodos resultados numericos. Este capıtulo e dividido em duas partes sendo a primeira delasreferente aos comandos utilizados no software Maple 13 para a obtencao do valor dascotas e a segunda referente aos comandos utilizados no software R para a obtencao dasestimativas para as cotas superiores para a probabilidade de ruına.

Apresentamos algumas observacoes finais e conclusoes obtidas neste trabalho no quintoe ultimo capıtulo.

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Capıtulo 1

Modelos de Risco

Modelos de Risco sao modelos matematicos para transacoes financeiras de companhiasde seguros de nao-vida que analisam a evolucao do seu capital excedente com o passar dotempo.

Ao longo da historia, a Teoria do Risco desenvolveu-se na direcao da elaboracao demodelos de risco cada vez mais realısticos, incluindo em suas equacoes taxas de juros ea possibilidade de resseguro, por exemplo. Apresentamos, a seguir, alguns dos princi-pais modelos de risco desenvolvidos ate o presente. Os modelos apresentados podem serencontrados em Cai [3], Cai e Dickson [2], Asmussen [1] e Disparra e Romera [5].

1.1 Modelo de Risco Classico

De maneira simples e informal uma seguradora poderia modelar seu capital no tempot da seguinte forma:

excedente(t)= capital inicial + premios recebidos ate t - pagamento de indenizacoes atet.

Partindo dessa ideia, em 1903 Filip Lundberg desenvolveu um modelo que descrevea equacao acima mais precisamente (ver Asmussen [1]), o que ficou conhecido como Mo-delo de Risco Classico. Em seu modelo, considera-se que o numero de pagamentos deindenizacoes ate o tempo t, t ≥ 0, e um processo de Poisson Nt com parametro λ ≥ 0.Podemos escrever Nt = max n;Tn < t , onde Tn e o tempo do pagamento da n-esimaindenizacao. O tamanho ou valor do n-esimo pagamento de indenizacao e uma variavelaleatoria nao negativa Yi que e independente de Nt; consideramos que Yii≥1 e umasequencia de variaveis aleatorias (v.a.) independentes e identicamente distribuıdas (i.i.d.)com funcao de distribuicao F (y) = P (Yi ≤ y) e media comum µ =

∫∞0

1− F (y)dy ≥ 0.Assim, o total de indenizacoes pagas pela seguradora ate o tempo t e um Processo dePoisson Composto.

Suponha que uma seguradora recebe os premios a uma taxa constante c. Entao, sobas condicoes acima descritas, o capital excedente da seguradora no tempo t ≥ 0, comcapital inicial x ≥ 0, e dado por

Xt = x+ ct−Nt∑i=1

Yi, (1.1)

onde t ≥ 0 e Nt = 0 implica em∑Nt

i=1 Yi = 0.

3

Note que ate o tempo t, o total de entradas da seguradora e dado por ct e o totalde saıdas e dado por

∑Nt

i=1 Yi. Como podemos ver em Schmidli [14](p.p. 21), o processoXt tera uma probabilidade estritamente positiva de Xt ser nao negativo para todo t sect > E[

∑Nt

i=1 Yi]. Pela Equacao de Wald temos E[∑Nt

i=1 Yi] = µλt, ou seja, para t > 0,

ct > E[∑Nt

i=1 Yi] se, e somente se, c > µλ. Um dos mais populares princıpios usados nocalculo da taxa de premio c e o Princıpio do Valor Esperado, segundo o qual devemos terc = (1 + θ)E[

∑Nt

i=1 Yi], onde θ e uma constante estritamente positiva que chamamos decarga de seguranca da seguradora.

Uma quantidade de interesse nos modelos de risco que serve para medir a confiabilidadede uma empresa seguradora e a Probabilidade de Ruına, denotada por ψ(x) como funcaodo capital inicial x ≥ 0, que e a probabilidade do capital da seguradora tornar-se menorque zero em algum momento. Podemos tambem definir o tempo da ruına, denotadopor τ(x), como funcao de x ≥ 0 onde x e o capital inicial da seguradora, dado porτ(x) = inf t ≥ 0;Xt < 0. Note que, apesar de o capital inicial x da seguradora naoaparecer explicitamente na definicao de τ(x), dele dependem os valores de Xt, fazendosentido entao dizer que o tempo da ruına e funcao do capital inicial da seguradora.

Definimos, entao, a probabilidade de ruına como:

ψ(x) = P (τ(x) <∞) = P (inft≥0Xt < 0). (1.2)

O modelo a tempo contınuo descrito em (1.1) pode tambem ser representado a tempodiscreto. Basta apenas considerarmos o capital em instantes especıficos, como, por exem-plo, mensalmente quando e feito o caixa da empresa seguradora.

Considere o intervalo de tempo (n − 1, n], n ≥ 1. Sejam Yn e Pn variaveis aleatoriasque representam as quantias totais de indenizacoes pagas e premios recebidos no intervalode tempo (n− 1, n], respectivamente. Assumimos que Ynn≥1 e Pnn≥1 sao sequenciasde v.a.’s nao negativas, i.i.d. e independentes entre si.

Assim, o capital da seguradora no tempo n e dado por

Xn = x+n∑i=1

(Pi − Yi), (1.3)

para n = 1, 2, 3, ..., e X0 = x e o capital inicial da seguradora.Entao, para o modelo de risco a tempo discreto definimos o tempo da ruına, em funcao

do capital inicial x da seguradora, como τ(x) = min n ≥ 0;Xn < 0 e a probabilidadede ruına como

P (Xn < 0 para algum n <∞) = P (∪∞n=1(Xn < 0)). (1.4)

Se Xn ≥ 0 para todo n, entao, dizemos que τ(x) = +∞.Assim, a probabilidade de ruına e dada por

ψ(x) = P (τ(x) < +∞|X0 = x).

Para simplificar a notacao escreve-se

ψ(x) = P (τ(x) < +∞).

Note que se E[P1] > E[Y1] entao (Xn/n)→ E[P1− Y1] > 0 quase certamente pela Leidos Grandes Numeros e ψ(x) < 1 para X0 = x suficientemente grande. A demonstracaodeste fato pode ser encontrada em Grisi[7].

4

1.2 Modelo de Risco com Taxa de Juros

Em 2002, Jun Cai propos mudancas ao modelo de risco classico a tempo discreto,adicionando a ele taxas de juros (ver Cai [3] e Cai e Dickson [2]). Para inserir nesse modelouma componente de juros e necessario especificar quando ocorrem as entradas dos premiose quando ocorrem os pagamentos de indenizacoes. Neste trabalho vamos considerar quea seguradora recebe os premios e paga a indenizacao Yn ao final do perıodo (n − 1, n).Sob tais condicoes, a equacao recursiva que descreve o modelo proposto por Jun Cai e

Xn = Xn−1(1 + In) + Pn − Yn, (1.5)

onde X0 = x (o capital inicial da seguradora), n = 1, 2, 3, ... e, assim como no Modelo deRisco Classico, Xn e o capital excedente da seguradora ao final do n-esimo perıodo, Pne o total de premios recebidos e Yn o total de indenizacoes pagas no perıodo (n − 1, n].In e a v.a. que representa a taxa de juros que incidira sobre o capital da seguradora peloperıodo (n− 1, n].

Assumimos que Ynn≥0 e Xnn≥0 sao sequencias de v.a’s nao negativas, i.i.d. eindependentes entre si. Como em Cai e Dickson [2], consideramos o caso em que Inn≥0

e uma Cadeia de Markov com espaco de estados I. Ao final do artigo citado sao feitasobservacoes para o caso em que In pode ser negativo. Neste trabalho, no entanto, nosdeteremos no caso em que In > 0 para todo n.

Analisemos a equacao (1.5) em detalhes.Para n = 1 temos,

X1 = X0(1 + I1) + P1 − Y1,

isto e, o capital inicial X0 foi investido a uma taxa de juros I1 pelo perıodo de tempo(0, 1] e ao final desse perıodo foram recebidos os premios P1 e pagas as indenizacoes Y1.

No perıodo de tempo (1, 2] o capital X1 sera investido a uma taxa de juros I2 e aeste serao somados os premios do perıodo e subtraıdos os pagamentos de indenizacoes doperıodo, ou seja,

X2 = X1(1 + I2) + P2 − Y2 = [X0(1 + I1) + P1 − Y1](1 + I2) + P2 − Y2.

Para n ≥ 1, entao,

Xn = X0

n∏k=1

(1 + Ik) + (P1 − Y1)n∏k=2

(1 + Ik) + (P2 − Y2)n∏k=3

(1 + Ik) + ...+ (Pn − Yn).

Logo, pela iteracao de (1.5), segue que para n ≥ 1, Xn satisfaz

Xn = xn∏k=1

(1 + Ik) +n∑k=1

((Pk − Yk(1 + Ik))

n∏t=k+1

(1 + It)

), (1.6)

onde∏b

k=a (1 + Ik) = 1 se a > b.Fazendo Sn = Yn − Pn temos

Xn = x

n∏k=1

(1 + Ik)−n∑k=1

(Sk(1 + Ik)

n∏t=k+1

(1 + It)

),

onde∏b

k=a (1 + Ik) = 1 se a > b. Portanto, quando In = 0 para todo n o modelo acimareduz-se ao Modelo Classico descrito em (1.3).

5

Podemos definir a probabilidade de ruına do modelo de maneira semelhante ao modeloanterior, ou seja, ψ(x) = P (∪∞k=1(Xn < 0)). Dessa forma nao estamos levando em consi-deracao a informacao adicional trazida pelo processo da taxa de juros. Podemos entao,levando em consideracao essa informacao, definir a probabilidade de ruına do modelo,dados o capital inicial x e a taxa de juros inicial i como

ψ(x, i) = P

(∞⋃k=1

(Xn < 0)|X0 = x, I0 = i

).

1.3 Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro

O resseguro tornou-se uma atividade primordial para a maioria das empresas segu-radoras. Tal atividade consiste em negociar um contrato de seguro com uma segundaseguradora, passando esta a ser responsavel por parte do pagamento da indenizacao de-vida quando da ocorrencia de um sinistro. Para tanto, a segunda empresa seguradorarecebe parte do premio pago pelo segurado. O artigo Inequalities for the ruin probabilityin a controlled discrete-time risk process de Rosario Romera e Maikol Diasparra (veja [5])trata de um modelo de risco que leva em consideracao essa atividade.

Dois dos principais motivos que levam uma seguradora a considerar necessario o usodo resseguro sao o surgimento de indenizacoes excessivamente grandes a serem pagas e/ouo surgimento de varias indenizacoes a serem pagas em um curto perıodo de tempo. Aempresa, entao, usa desse artifıcio buscando reduzir a probabilidade de sofrer grandesperdas que possam comprometer sua posicao e leva-la a ruına.

Pequenas empresas tambem utilizam essa ferramenta para aumentar sua capacidadede atender ao mercado, uma vez que, aliando-se a outras empresas seguradoras podemoferecer mais servicos aos seus clientes e cobrar uma taxa de premio mais competitiva.

O modelo de risco que enunciaremos a seguir, previamente discutido em Schmidli [15],leva em consideracao o uso de resseguro e o investimento do capital da seguradora a umacerta taxa de juros em cada perıodo de tempo.

Seja Yn a n-esima indenizacao paga e seja Zn o tempo entre a ocorrencia dasindenizacoes Yn−1 e Yn. Assumimos que Ynn≥1 e Znn≥1 sao sequencias de variaveisaleatorias i.i.d. com funcoes de distribuicao de probabilidade comuns F e G, respectiva-mente. Alem disso, supomos que Yn e Zn sao independentes entre si.

O processo de risco pode ser controlado por resseguro, isto e, com o premio recebidopelo contrato a seguradora pode comprar um novo seguro em outra empresa. A seguradorapode ainda controlar a parte do seguro que sera contratada com a outra seguradora. Issoe feito atraves da escolha do nıvel de retencao (ou fator de proporcionalidade) b ∈ B (ondeB := (bmin, 1] e bmin sera introduzido abaixo) para um perıodo de tempo. O valor de b eo que determina quanto de uma indenizacao Y e pago pela seguradora e quanto e pagopela resseguradora como veremos adiante.

Seja Inn≥1 o processo da taxa de juros, ou seja, a taxa In estara incidindo sobre ocapital da seguradora no n-esimo perıodo de tempo. Supomos que In evolui como umaCadeia de Markov com espaco de estados I enumeravel e possivelmente finito consistindode numeros nao negativos.

Seja h(b, y) uma funcao com valores em [0, y] (onde b e o nıvel de retencao no comecodo perıodo) que especifica a parte do pagamento da indenizacao y paga pela seguradora.Consideramos o caso de resseguro proporcional, o que significa que

h(b, y) := by, (1.7)

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com nıvel de retencao b ∈ B.Considere o premio (entrada) a taxa fixa c. Para fazer o resseguro a seguradora paga

a resseguradora uma taxa de premio Cr que depende do nıvel de retencao b. Denotamos,entao, por C(b) a diferenca entre c e Cr. Assim como no modelo de risco classico, Cr ecalculado pelo Princıpio do Valor Esperado, ou seja, levando em consideracao o valor quese espera pagar de indenizacoes em determinado perıodo de tempo. Note que esse valoresperado para a resseguradora e dado por (1− b)E[Y1]/E[Z1], onde b e o nıvel de retencaopara o perıodo. Logo, a parte do premio total c que fica na seguradora e dada por

C(b) = c− (1 + θ)(1− b)E[Y1]/E[Z1], (1.8)

onde θ e a carga de seguranca da resseguradora e b ∈ B.Note que C(b) e uma funcao crescente, ou seja, quanto maior o nıvel de retencao b,

maior a parte do premio c que permanece na seguradora. Definimos, entao, o ja citadobmin da seguinte forma: bmin := inf b ∈ [0, 1]|C(b) ≥ 0. Sob estas condicoes descritasacima, consideramos um modelo de risco a tempo discreto no qual o capital excedentevaria de acordo com a equacao

Xn = Xn−1(1 + In) + C(bn−1)Zn − h(bn−1, Yn), (1.9)

para n ≥ 1, onde X0 = x ≥ 0 e o capital inicial da seguradora e C(bn−1)Zn−h(bn−1, Yn)e a diferenca entre entradas e saıdas do perıodo.

Para cada intervalo de tempo (n − 1, n) e escolhido um nıvel de retencao bn−1 parao resseguro que depende apenas do capital da seguradora no tempo n− 1. Chamamos asequencia π = ann≥1, onde an(Xn) = bn de Polıtica de Controle Markoviana.

Considere um estado inicial arbitrario X0 = x ≥ 0 (note que o valor inicial nao eestocastico) e uma polıtica de controle π = ann≥1. Entao, pela iteracao de (1.9) eassumindo (1.7), segue que para n ≥ 1, Xn satisfaz

Xn = xn∏k=1

(1 + Ik) +n∑k=1

((C(bk−1)Zk − (bk−1Yk))

n∏l=k+1

(1 + Il)

). (1.10)

A probabilidade de ruına quando usamos a polıtica de controle π, dado o valor docapital inicial x e a taxa de juros inicial I0 = i e definida como

ψπ(x, i) := P π(∪∞k=1 Xk < 0 |X0 = x, I0 = i) = P π(Xk < 0 para algum k ≥ 1|X0 = x, I0 = i).(1.11)

Podemos tambem definir a probabilidade de ruına no horizonte finito, ou seja, a pro-babilidade de ocorrer a ruına ate o tempo n como

ψπn(x, i) := P π(∪nk=1 Xk < 0 |X0 = x, I0 = i). (1.12)

Logo,ψπ1 (x, i) ≤ ψπ2 (x, i) ≤ ψπ3 (x, i) ≤ ... ≤ ψπn(x, i) ≤ ... ,

e

limn→∞ ψπn(x, i) = ψπ(x, i).

Podemos nos referir a probabilidade de ruına ψπ(x, i) como probabilidade de ruına nohorizonte infinito.

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Neste trabalho consideramos apenas polıticas de controle estacionarias, ou seja, bn = b0

para todo n. Para tanto assumimos que P (bY > C(b)Z) > 0 para todo b ∈ B, pois seexistisse bε ∈ B tal que P (bεY > C(bε)Z) = 0, bastaria fazer bn = bε para todo n ≥ 1 ea ruına seria evitada, deixando-nos, assim, com um processo de risco trivial. Alem disso,assumimos tambem que bE[Y1] < C(b)E[Z1] pois, caso contrario nao poderıamos evitar aruına visto que, pela Lei dos Grandes Numeros temos

1

n

n∑i=1

[C(b)Zi − bYi]→ E[C(b)Z − bY ],

donde

E[C(b)Z − bY ] < 0⇒n∑i=1

[C(b)Zi − bYi]→ −∞.

Como no Modelo de Risco Classico a condicao c > λµ garante que a probabilidadeP (inft≥0Xt ≥ 0) e estritamente positiva, essa condicao nos garante que ψπ(x, i) < 1,ou seja, a ruına e incerta.

8

Capıtulo 2

Desigualdades para a Probabilidadede Ruına

A Probabilidade de Ruına nem sempre e facil de ser calculada. De fato, sao poucas asdistribuicoes envolvidas nos modelos para as quais e possıvel calcular o seu valor exato.Por isso, o proprio Lundberg que havia em 1905 proposto o Modelo de Risco Classico,encontrou em 1930 uma cota superior para a Probabilidade de Ruına para o caso maisgeral em que seu valor exato nao pode ser determinado. Mais precisamente, temos

ψ(x) ≤ e−Rx,

onde R e uma constante conhecida como coeficiente de Lundberg e depende basicamenteda distribuicao das indenizacoes. Este resultado foi tao importante que muitos autoresate hoje se referem a desigualdades semelhantes como Desigualdades do Tipo Lundberg.

Posteriormente outras maneiras de se obter desigualdades para a Probabilidade deRuına foram desenvolvidas por diferentes abordagens. Neste capıtulo apresentaremosalguns resultados que nos permitem obter cotas superiores para a Probabilidade de Ruınapara cada um dos modelos citados no capıtulo anterior. Nos limitaremos a apresentaras demonstracoes para os resultados referentes ao Modelo de Risco com Taxa de Juros eResseguro dado em (1.10) que podem ser encontrados em Diasparra e Romera [5]. Paraos demais modelos indicaremos onde podem ser encontradas as devidas demonstracoes.

2.1 Desigualdades para a Probabilidade de Ruına no

Modelo de Risco Classico

Nesta secao apresentaremos resultados usados para obter cotas superiores para aprobabilidade de ruına no Modelo de Risco Classico proposto por Lundberg, segundo oqual o capital da seguradora no tempo t e dado pela equacao (1.1) abaixo

Xt = x+ ct−Nt∑i=0

Yi,

onde x e o capital inicial da seguradora, t ≥ 0, Yi e a n-esima indenizacao paga e Nt eo processo de Poisson que conta o numero de indenizacoes pagas ate o tempo t.

Vimos que esse processo pode ser discretizado considerando o capital da empresaseguradora em alguns momentos especıficos, mensalmente, por exemplo. Nesse caso temos

9

que o capital da seguradora e dado pela equacao (1.3) abaixo

Xn = x+n∑i=1

(Pi − Yi),

onde Pi e Yi sao os totais de premios recebidos e indenizacoes pagas no perıodo de tempo(i− 1, i], respectivamente.

Usado por Lundberg para obter cotas superiores para a Probabilidade de Ruına, o co-nhecido coeficiente de Lundberg nem sempre tem existencia garantida. Algumas hipotesesdevem ser adicionadas ao problema para garantir sua existencia.

Os lemas abaixo trazem condicoes suficientes para a existencia do coeficiente de Lund-berg e suas demonstracoes detalhadas podem ser encontradas em Grisi [7].

Lema 2.1.1 Seja Xt o modelo de risco a tempo contınuo definido em (1.1). Suponha queλE[Y1] = λµ < c, e que existe t0 tal que MY1(t) = E[etY1 ] < ∞ para todo t < t0, comt0 > 0 e MY1(t0) =∞. Entao existe um unico R > 0 tal que

MY1(R) = E[eRY1 ] = 1 +c

λR = 1 +

(1 + θ)µλ

λR = 1 + (1 + θ)µR,

onde E[Y1] = µ, E[Nt] = λ e θ e a carga de seguranca da seguradora.

Lema 2.1.2 Seja Xn o modelo de risco a tempo discreto definido em (1.3). Suponha queE[P1 − Y1] > 0 e que existem t0 e t1 tais que MP1−Y1(t) = E[et(P1−Y1)] < ∞ para todot1 < t < t0, com t1 < 0 < t0 e P (P1 − Y1 < 0) > 0. Entao existe um unico R > 0 tal que

MP1−Y1(−R) = E[e−R(P1−Y1)] = 1.

Os Teoremas abaixo trazem um dos resultados mais importantes e conhecidos da Te-oria do Risco: a conhecida Desigualdade de Lundberg, que define uma cota superior paraa probabilidade de ruına fazendo uso do coeficiente de Lundberg que pode ser encontradocom auxılio dos lemas enunciados acima. As demonstracoes detalhadas dos dois teoremasabaixo podem ser encontradas em Grisi [7].

Teorema 2.1.3 Modelo de Risco Classico a tempo contınuo: Seja Xt o modelo de riscodescrito em (1.1). Suponha que existe R satisfazendo E[eRY1 ] = 1 + c

λR. Entao

ψ(x) ≤ e−Rx,

onde x e o capital inicial da seguradora.

10

Teorema 2.1.4 Modelo de Risco Classico a tempo discreto: Seja Xn o modelo de riscodescrito em (1.3). Suponha que existe R satisfazendo E[e−R(P1−Y1)] = 1. Entao

ψ(x) ≤ e−Rx,

onde x e o capital inicial da seguradora.

E importante ressaltar que no modelo classico a tempo contınuo existe ainda umaequacao do tipo renovacao para a probabilidade de ruına que nos permite, em muitoscasos, o calculo exato dessa probabilidade. A equacao e dada por:

ψ(x) =1

µ(1 + θ)

∫ ∞x

(1− F (y))dy +1

µ(1 + θ)

∫ x

0

ψ(y − x)(1− F (y))dy,

onde θ e a carga de seguranca, µ = E[Y1] e F (y) = P (Y1 ≤ y). A demonstracao desse fatopode ser encontrada em Asmunssen [1] e em Kaas e Goovaerts [10].

2.2 Modelo de Risco com Taxa de Juros

Seja Xn o modelo de risco descrito em (1.6), ou seja,

Xn = Xn−1(1 + In) + Pn − Yn,

onde X0 = x e o capital inicial da seguradora, Pn e o total de premios recebidos e Yn ototal de indenizacoes pagas no perıodo (n− 1, n] e In e a taxa de juros que incidira sobreo capital da seguradora pelo perıodo (n− 1, n]. Seja ainda Sn = Yn − Pn.

Note que

Xn = Xn−1(1 + In) + Pn − Yn ≥ Xn−1 + Pn − Yn := X ′n,

e que X ′n e equivalente ao modelo classico discretizado. Sendo assim, a probabilidade deruına de Xn e menor ou igual a probabilidade de ruına do modelo classico discreto e aDesigualdade de Lundberg pode ser aplicada a esse modelo.

Entao, como ja visto, se E[S1] < 0 e existe uma constante R0 > 0 satisfazendoE[eR0S1 ] = 1,

ψ(x) ≤ e−R0x,

onde x e o capital inicial da seguradora.O proximo teorema nos permitira obter uma desigualdade para a probabilidade de

ruına do modelo em (1.6) por uma abordagem indutiva levando em conta a informacaoda taxa de juros, o que nos fornecera uma cota mais precisa. Nao nos deteremos nosdetalhes e demonstracoes que podem ser encontrados em Cai e Dickson [2].

Teorema 2.2.1 Seja R0 > 0 uma constante que satisfaz E[eR0S1 ] = 1. Entao, para todox > 0 e i ∈ I

ψπ(x, i) ≤ βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i], (2.1)

onde β e dado por

β−1 = inft≥0

∫∞teR0sdG(s)

eR0tG(t),

e G(s) e a funcao de distribuicao de S1.

11

Outra ferramenta usada para obter cotas superiores para a probabilidade de ruına ea abordagem via Martingales, da qual apresentaremos mais detalhes na proxima secao.Por meio dessa abordagem temos os resultados apresentados na proposicao e teorema aseguir, cujas demonstracoes podem ser consultadas em Cai e Dickson [2].

Proposicao 2.2.2 Suponha que E[S1] < 0 e para cada i ∈ I existe ρi satisfazendo

Eπ[e−ρiS1(1+I1)−1|I0 = i] = 1. (2.2)

Entao,R1 := mini∈I ρi ≥ R0, (2.3)

e, alem disso, para todo i ∈ I

Eπ[e−R1S1(1+I1)−1 |I0 = i] ≤ 1. (2.4)

Teorema 2.2.3 Sob as hipoteses da Proposicao 2.2.2, para todo i ∈ I e x ≥ 0,

ψπ(x, i) ≤ e−R1x. (2.5)

2.3 Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro

Nesta secao nos ateremos aos resultados referentes ao Modelo de Risco com Taxa deJuros e Resseguro, nosso principal objeto de estudo, segundo o qual o capital da empresaseguradora e dado pela equacao (1.9) reescrita abaixo

Xn = xn∏k=1

(1 + Ik) +n∑k=1

((C(bk−1)Zk − (bk−1Yk))

n∏l=k+1

(1 + Il)

),

onde Yn e a n-esima indenizacao paga, Zn e o tempo entre a ocorrencia das indenizacoesn−1 e n, In e a taxa de juros para o n-esimo perıodo, C(b) e a parte dos premios que ficamna seguradora apos o pagamento do premio do resseguro e bk−1Yk e a parte da k-esimaindenizacao paga pela seguradora.

O lema abaixo nos mostra que ao investir o capital da empresa seguradora a uma certataxa de juros diminuımos a probabilidade da ruına do modelo.

Lema 2.3.1 Para toda Polıtica de Controle π dada existe uma funcao ψπ(x) tal que

ψπ(x, i) ≤ ψπ(x)

para todo estado (ou capital) inicial x e taxa de juros inicial I0 = i.

Demonstracao:O modelo de risco e dado por

Xn = Xn−1(1 + In) + C(bn−1)Zn − bn−1Yn.

Note que se Xn−1 < 0 a ruına ja ocorreu, ou seja, ψπn−1(x, i) = 1 ⇒ ψπ(x, i) = 1 e oresultado torna-se obsoleto. Como In ≥ 0, se Xn−1 ≥ 0 temos Xn ≥ Xn−1 +C(bn−1)Zn−bn−1Yn.

12

Defina recursivamente

X ′n := X ′n−1 + C(bn−1)Zn − bn−1Yn,

com X ′0 = X0 = x. Entao Xn ≥ X ′n para todo n ∈ N. Logo, se Xn < 0 entao X ′n < 0.Sejam

ε1 = ω ∈ Ω;Xn(ω) < 0 para algum ne

ε2 = ω ∈ Ω;X ′n(ω) < 0 para algum nTome ω ∈ ε1. Existe n0 ∈ N tal que Xn0(ω) < 0. Como X ′n ≤ Xn para todo n ∈ N,

X ′n0(ω) ≤ Xn0(ω) < 0, donde ω ∈ ε2. Portanto ε1 ⊂ ε2.Disto segue que

P π

(∞⋃n=1

Xn < 0|I0 = i

)≤ P π

(∞⋃n=1

X ′n < 0|I0 = i

)

⇒ P π

(∞⋃n=1

Xn < 0|I0 = i,X0 = x

)≤ P π

(∞⋃n=1

X ′n < 0|I0 = i,X0 = x

)

⇒ ψπ(x, i) ≤ P π

(∞⋃n=1

X ′n < 0|X0 = x

),

pois X ′n e In sao independentes.Basta entao fazermos ψπ(x) := P π(

⋃∞n=1 X ′n < 0|X0 = x) para obtermos o resultado.

Seja Sn uma variavel aleatoria definida da seguinte forma:

S := C(bn−1)Zn − bn−1Yn,

e S1 := S. Note que X ′n do lema anterior pode ser escrito de maneira iterada como

X ′n = x+n∑k=1

Sk

e e equivalente ao modelo de risco classico a tempo discreto.O Lema abaixo nos traz um resultado analogo ao do Lema 2.1.2 aplicado ao modelo

com resseguro. Considerando o resultado que acabamos de obter, a demonstracao eimediata.

Lema 2.3.2 Seja Xn o modelo de risco a tempo discreto definido em (1.9). Suponhaque E[S] > 0, ou seja, C(b0)E[Z1] > b0E[Y1] e que existem t0 e t1 tais que MS(t) =E[et(C(b0)Z1−b0Y1)] <∞ para todo t1 < t < t0, com t1 < 0 < t0 e P (S < 0) = P (C(b0)Z1 −b0Y1 < 0) > 0. Entao existe um unico R0 > 0 tal que

MS(−R0) = E[e−R0(C(b0)Z1−b0Y1)] = 1.

13

Demonstracao:Do Lema 2.3.1 temos que

Xn ≥ X ′n = x+n∑k=1

Sk,

ou seja, a probabilidade de ruına do modelo Xn e menor que a probabilidade de ruınado modelo X ′n, que por sua vez e equivalente ao modelo classico a tempo discreto. Logo,pelo Lema 2.1.2, o resultado segue.

Assim como nos modelos anteriores podemos obter para o modelo descrito em (1.9)uma Desigualdade do tipo Lundberg, dada pelo teorema a seguir.

Teorema 2.3.3 Seja Xn o modelo de risco descrito em (1.9) e (1.10). Suponha queexista R0 > 0 satisfazendo

E[e−R0(C(b0Z1−b0Y1))] = 1. (2.6)

Entaoψ(x) ≤ e−R0x, (2.7)

para x ≥ 0.

Demonstracao:Note que

Xn = xn∏k=1

(1 + Ik)+n∑k=1

((C(b0)Zk − (b0Yk))

n∏l=k+1

(1 + Il)

)≥ x+

n∑k=1

(C(b0)Zk − b0Yk) := X ′n,

pois In ≥ 0 para todo n ≥ 1. Note ainda que a equacao de X ′n e equivalente a equacaodo modelo classico a tempo discreto dada em (1.3). Do Teorema 2.1.4 temos que, para ocapital inicial x ≥ 0

P (∪∞n=1(X ′n < 0)) ≤ e−R0x.

Mas Xn > X ′n para todo n ≥ 1, ou seja, Xn < 0 implica em X ′n < 0. Portanto

P (∪∞n=1(Xn < 0)) ≤ P (∪∞n=1(X ′n < 0)) ≤ e−R0x,

o que completa a demonstracao.

A seguir avancaremos no sentido de apresentar outras cotas superiores para a Proba-bilidade de Ruına do Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro.

O primeiro resultado nos permite obter uma equacao recursiva para ψπn(x, i), umaequacao para a Probabilidade de Ruına com horizonte finito n = 1 e, finalmente, umaequacao integral para ψπ(x, i). Este resultado, valido para qualquer taxa de juros inicial,esta resumido no lema a seguir que pode ser encontrado em Diasparra e Romera [5].

Observacao: Dada uma funcao de distribuicao F , denotamos a cauda de F por F ,ou seja, F (x) := 1− F (x).

14

Lema 2.3.4 Seja u(y, z) := b0y − C(b0)z, onde b0 e o nıvel de retencao inicial. Seja

τj(z) := x(1+j)+C(b0)zb0

, X0 = x ≥ 0, e pij = P (In+1 = j|In = i). Entao

ψπ1 (x, i) =∑j∈I

pij

∫ ∞0

F (τj(z))dG(z), (2.8)

e, para n=1, 2, ...

ψπn+1(x, i) =∑j∈I

pij

∫ ∞0

∫ τj(z)

0

ψπn(x(1 + j)− u(z, y), j)dF (y)dG(z)+∑j∈I

pij

∫ ∞0

F (τj(z))dG(z).

(2.9)Alem disso,

ψπ(x, i) =∑j∈I

pij

∫ ∞0

∫ τj(z)

0

ψπ(x(1 + j)− u(z, y), j)dF (y)dG(z)+∑j∈I

pij

∫ ∞0

F (τj(z))dG(z).

(2.10)

Demonstracao:Dados Y1 = y, Z1 = z, a Polıtica de Controle π e I1 = j, da equacao do modelo

Xn = xn∏k=1

(1 + Ik) +n∑k=1

((C(bk−1)Zk − bk−1Yk)n∏

t=k+1

(1 + It))

temos queX1 = x(1 + I1) + C(b0)Z1 − b0Y1 = h1 − u(y, z),

onde h1 = x(1 + j).Seja A o evento A = Y1 = y, Z1 = z, I1 = j,X0 = x, I0 = i. Se u(y, z) > h1, entao

h1 − u(y, z) < 0, ou seja, X1 < 0. Logo

P π(X1 < 0|A) = 1

⇒ 1 = P π(X1 < 0|A) ≤ P π

(n+1⋃k=1

Xk < 0|A

)≤ 1

⇒ P π

(n+1⋃k=1

Xk < 0|A

)= 1 (2.11)

Por outro lado, se 0 ≤ u(y, z) ≤ h1, entao X1 ≥ 0 e

P π(X1 < 0|A) = 0. (2.12)

Sejam I ′n, Y ′n e Z ′n copias independentes de In, Yn e Zn, respectivamente.Para 0 ≤ u(y, z) ≤ h1 temos:

P π

(n+1⋃k=1

Xk < 0 |A

)= P π

(n+1⋃k=2

Xk < 0 |A

)por (2.12). Entao

15

P π

(n+1⋃k=2

Xk < 0 |A

)= P π

(n+1⋃k=2

Xk < 0 |Y1 = y, Z1 = z, I1 = j,X0 = x, I0 = i

)

⇒ P π

(n+1⋃k=2

Xk < 0 |A

)= P π

(n+1⋃k=2

Xk < 0 |I1 = j,X0 = x

), (2.13)

sendo que a ultima igualdade decorre da propriedade de Markov e do fato de que Yn eZn sao sequencias de variaveis aleatorias i.i.d.. Voltando a equacao do modelo,

Xn = x

n∏k=1

(1 + Ik) +n∑k=1

((C(bk−1)Zk − bk−1Yk)n∏

t=k+1

(1 + It))

= x(1 + I1)n∏k=2

(1 + Ik)−n∑k=1

((bk−1Yk − C(bk−1)Zk)n∏

t=k+1

(1 + It))

= x(1+I1)n∏k=2

(1 + Ik)−u(Y1, Z1)n∏

m=2

(1 + Im)−n∑k=2

((bk−1Yk − C(bk−1)Zk)n∏

t=k+1

(1 + It))

= (x(1 + j)− u(Y1, Z1))n∏k=2

(1 + Ik)−n∑k=2

((bk−1Yk − C(bk−1)Zk)n∏

t=k+1

(1 + It))

= (h1 − u(y, z))n∏k=2

(1 + Ik)−n∑k=2

((bk−1Yk − C(bk−1)Zk)n∏

t=k+1

(1 + It)).

Assim, temos que

k+1⋃n=2

Xn < 0 =k+1⋃n=2

(h1 − u(y, z))

n∏l=2

(1 + Ik)−n∑l=2

((bl−1Yl − C(bl−1)Zl)n∏

t=l+1

(1 + It)) < 0

=k⋃

n=1

(h1 − u(y, z))

n∏l=1

(1 + I ′l)−n∑l=1

((bl−1Y′l − C(bl−1)Z ′l)

n∏t=l+1

(1 + I ′t)) < 0

⇒ P π(k+1⋃n=2

Xn < 0 |X0 = x, I1 = j) =

P π

(k⋃

n=1

(h1 − u(y, z))

n∏l=1

(1 + I ′l)−n∑l=1

((bl−1Y′l − C(bl−1)Z ′k)

n∏t=l+1

(1 + I ′t)) < 0

|X0 = x, I ′0 = j

)= ψπk ((h1 − u(y, z), j) = ψπk ((x(1 + j)− u(y, z), j)

⇒ P π(k+1⋃n=2

Xn < 0 |A) = ψπk ((x(1 + j)− u(y, z), j), (2.14)

pela equacao (2.13).A probabilidade de ruına no horizonte finito dados X0 = x e I0 = i e dada por

ψπn+1(x, i) = P π (∪nk=1 Xk < 0 |X0 = x, I0 = i) .

16

Note que, considerando o evento A definido anteriormente, podemos expressar ψπn+1

da seguinte forma:

ψπk+1(x, i) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

P π(∪nk=1 Xk < 0 |A)dF (y)dG(z)dH(j), (2.15)

onde F , G e H sao as funcoes de distribuicao de Yn, Zn e In, respectivamente. Como Ine discreta e Yn e Zn sao nao negativas, podemos reescrever (2.15) da seguinte forma:

ψπk+1(x, i) =∑j∈I

P (I1 = j|I0 = i)

∫ ∞0

∫ ∞0

P π(∪nk=1 Xk < 0 |A)dF (y)dG(z)

ψπk+1(x, i) =∑j∈I

pij

∫ ∞0

∫ ∞0

P π(∪nk=1 Xk < 0 |A)dF (y)dG(z)

=∑j∈I

pij

[∫ ∞0

∫ τj(z)

0

P π(∪nk=1 Xk < 0 |A)dF (y)dG(z)

]

+∑j∈I

pij

[∫ ∞0

∫ ∞τj(z)

P π(∪nk=1 Xk < 0 |A)dF (y)dG(z)

]

=∑j∈I

pij

[∫ ∞0

∫ τj(z)

0

ψπk ((x(1 + j)− u(y, z), j)dF (y)dG(z)

]

+∑j∈I

pij

[∫ ∞0

∫ ∞τj(z)

ψπk ((x(1 + j)− u(y, z), j)dF (y)dG(z)

](2.16)

pela equacao (2.14), onde τj(z) = x(1+j)+C(b0)zb0

.Note ainda que

y > τj(z)⇒ u(y, z) = b0y − C(b0)z > b0x(1 + j) + C(b0)z

b0

− C(b0)z = x(1 + j) = h1.

Ou seja, pela equacao (2.11) temos que

P π

(k+1⋃n=2

Xn < 0 |A

)= ψπk ((x(1 + j)− u(y, z), j) = 1

para y no intervalo (τj(z),∞). Podemos entao reescrever a equacao integral da seguinteforma:

ψπk+1(x, i) =∑j∈I

pij

[∫ ∞0

∫ τj(z)

0

ψπk ((x(1 + j)− u(y, z), j)dF (y)dG(z) +

∫ ∞0

∫ ∞τj(z)

1dF (y)dG(z)

]

=∑j∈I

pij

[∫ ∞0

∫ τj(z)

0

ψπk ((x(1 + j)− u(y, z), j)dF (y)dG(z) +

∫ ∞0

[F (∞)− F (τj(z))]dG(z)

]

=∑j∈I

pij

[∫ ∞0

∫ τj(z)

0

ψπk ((x(1 + j)− u(y, z), j)dF (y)dG(z) +

∫ ∞0

[F (τj(z))]dG(z)

],

17

o que nos da a equacao (2.9).Em particular,

ψπ1 (x, i) =∑j∈I

pij

[∫ ∞0

∫ τj(z)

0

ψπ0 ((x(1 + j)− u(y, z), j)dF (y)dG(z) +

∫ ∞0

[F (τj(z))]dG(z)

]

=∑j∈I

pij

∫ ∞0

[F (τj(z))]dG(z),

pois ψπ0 (x(1 + j) − u(y, z), j) = P π(X0 < 0|X0 = x(1 + j) − u(y, z)) = 0 uma vez quex(1 + j)− u(y, z) > 0 para y ∈ (0, τj(z)). Obtemos, assim, a equacao (2.8).

Por fim, basta fazer k →∞ em

ψπk+1(x, i) =∑j∈I

pij

[∫ ∞0

∫ τj(z)

0

ψπk ((x(1 + j)− u(y, z), j)dF (y)dG(z) +

∫ ∞0

[F (τj(z))]dG(z)

]

que, pelo Teorema da Convergencia Monotona, obtemos a equacao (2.10).

Se considerarmos o modelo de risco sem resseguro, ou seja, bn = 1 para todo n, obte-mos resultados similares aos apresentados em [2].

Utilizaremos os resultados obtidos no Lema 2.3.4 para encontrar cotas superiores paraa Probabilidade de Ruına no horizonte infinito levando em conta a informacao dada pelacadeia de Markov do processo da taxa de juros. Apresentamos a seguir a cota superiorobtida indutivamente. Este resultado pode ser encontrado em [5].

Teorema 2.3.5 Seja R0 > 0 uma constante que satisfaz Eπ[eR0(C(b0)Z1−b0Y1)] = 1. Entao,para todo x > 0 e i ∈ I

ψπ(x, i) ≤ β∑j∈I

pijEπ[e−R0x(1+j)] = βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i], (2.17)

onde β ≡ β(b0) e dado por

β−1 = inft≥0

∫∞teR0b0ydF (y)

eR0b0tF (t).

Demonstracao:E suficiente mostrar que o termo da direita na equacao (2.17) e cota superior para

ψπn(x, i) para todo n ≥ 1, o que sera feito por inducao sobre n.Primeiro, note que, para v ≥ 0

F (v) = F (v)

(∫∞veR0b0ydF (y)

eR0b0v

)−1(∫∞veR0b0ydF (y)

eR0b0v

)18

=

(∫∞veR0b0ydF (y)

eR0b0vF (v)

)−1

e−R0b0v

∫ ∞v

eR0b0ydF (y).

Como 1β≤

∫∞t eR0b0ydF (y)

eR0b0tF (t)para todo t ≥ 0, β ≥

(∫∞v eR0b0ydF (y)

eR0b0vF (v)

)−1

, donde

F (v) ≤ βe−R0b0v

∫ ∞v

eR0b0ydF (y) ≤ βe−R0b0v

∫ ∞0

eR0b0ydF (y) = βe−R0b0vEπ[eR0b0Y1 ]

para todo v ≥ 0.Sabendo que τj(z) = x(1+j)+C(b0)z

b0, do Lema 2.3.4 temos

ψπ1 (x, i) =∑j∈I

pij

∫ ∞0

F (τj(z))dG(z) ≤∑j∈I

pij

∫ ∞0

βe−R0b0τj(z)Eπ[eR0b0Y1 ]dG(z)

=∑j∈I

pijβEπ[eR0b0Y1 ]

∫ ∞0

e−R0b0

x(1+j)+C(b0)zb0 dG(z) = βEπ[eR0b0Y1 ]

∑j∈I

pijEπ[e−R0[x(1+j)+C(b0)Z1]].

Entaoψπ1 (x, i) ≤ βEπ[eR0b0Y1 ]

∑j∈I

pijEπ[e−R0[x(1+j)+C(b0)Z1]]

= βEπ[eR0b0Y1 ]∑j∈I

pijEπ[e−R0x(1+j)]Eπ[e−R0C(b0)Z1 ]

= βEπ[eR0b0Y1 ]∑j∈I

(e−R0x(1+j)P (I1 = j|I0 = i)

)Eπ[e−R0C(b0)Z1 ],

pois pij e a probabilidade da Cadeia de Markov I dos juros mover-se do estado i para oestado j em uma etapa. Logo

ψπ1 (x, i) ≤ βEπ[eR0b0Y1 ]Eπ[e−R0C(b0)Z1 ]∑j∈I

(e−R0x(1+j)P (I1 = j|I0 = i)

)= βEπ[eR0b0Y1 ]Eπ[e−R0C(b0)Z1 ]Eπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i]

= βEπ[e−R0[C(b0)Z1−b0Y1]]Eπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i]

⇒ ψπ1 (x, i) ≤ βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i],

pela escolha de R0. O resultado enunciado vale, entao, para n = 1.Suponha que para algum k ≥ 1 o resultado e verdadeiro, ou seja, para todo x ≥ 0 e

i ∈ Iψπk (x, i) ≤ βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i]. (2.18)

Seja 0 ≤ y ≤ τj(z) = x(1+j)+C(b0)zb0

. Entao

x(1 + j) + C(b0)z

b0

≥ y ⇒ x(1 + j) + C(b0)z ≥ b0y ⇒ x(1 + j) + C(b0)z − b0y ≥ 0.

19

Como a equacao (2.18) vale para todo x ≥ 0 e i ∈ I, vale tambem para x(1 + j) +C(b0)z − b0y e j ∈ I, ou seja

ψπk (x(1+j)+C(b0)z−b0y, j) ≤ βEπ[e−R0[x(1+j)+C(b0)z−b0y](1+I1)|I0 = j] ≤ βe−R0[x(1+j)+C(b0)z−b0y]

Substituindo o resultado acima na equacao (2.9), pela equacao (2.16) temos que

ψπk+1(x, i) ≤∑j∈I

pij

∫ ∞0

∫ ∞0

βe−R0[x(1+j)+C(b0)z−b0y]dF (y)dG(z)

= β∑j∈I

pij

∫ ∞0

e−R0[x(1+j)+C(b0)z]dG(z)

∫ ∞0

eR0b0ydF (y)

= β∑j∈I

pijEπ[eR0b0Y1 ]

∫ ∞0

e−R0x(1+j)e−R0C(b0)zdG(z)

= βEπ[eR0b0Y1 ]∑j∈I

pije−R0x(1+j)

∫ ∞0

e−R0C(b0)zdG(z)

= βEπ[eR0b0Y1 ]∑j∈I

P π(I1 = j|I0 = i)e−R0x(1+j)Eπ[e−R0C(b0)Z1 ]

= βEπ[eR0b0Y1 ]Eπ[e−R0C(b0)Z1 ]Eπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i]

= βEπ[e−R0[C(b0)Z1−b0Y1]]Eπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i] = βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i],

pois R0 e tal que Eπ[e−R0[C(b0)Z1−b0Y1]] = 1.Portanto

ψπk+1(x, i) ≤ βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i],

e, pelo princıpio da inducao, o resultado e valido para todo n ∈ N, ou seja,

ψπn(x, i) ≤ βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i],

para todo n ≥ 1 e ainda, fazendo n→∞, temos

ψπ(x, i) ≤ βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i]

como querıamos demonstrar.

Definicao: Uma distribuicao F concentrada em (0,∞) e dita Nova Pior que Usadaem ordem Convexa (NPUC) se, para todo x, y ≥ 0∫ ∞

x+y

F (z)dz ≥ F (y)

∫ ∞x

F (z)dz.

A distribuicao Exponencial e a Weibull sao exemplos de distribuicoes NPUC.

20

O corolario abaixo nos da um resultado particular do teorema anterior aplicado asdistribuicoes do tipo NPUC. Este resultado nos auxiliara facilitando o calculo da cotasuperior indutiva em um dos exemplos numericos abordados no proximo capıtulo por setratar de uma expressao que nao envolve a otimizacao de uma funcao para encontrar ovalor de β.

Corolario 2.3.6 Sob as hipoteses do Teorema 2.3.5, assumindo que E[eR0b0Y1 ] <∞ paratodo b ∈ B e que F e uma distribuicao Nova Pior que a Usada de ordem Convexa (NPUC),temos que

ψπ(x, i) ≤ (Eπ[eR0b0Y1 ])−1Eπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i]. (2.19)

Demonstracao:Devemos mostrar a seguinte igualdade:

β = (E[erY1 ])−1,

onde r = R0b0 > 0, ou seja,

inft≥0

∫∞teR0b0ydF (y)

eR0b0tF (t)= E[erY1 ] =

∫ ∞0

erydF (y).

Para tanto, seja Tt uma variavel aleatoria definida da seguinte forma:

Tt = Y1 − t

condicionado a Y1 > t, com t > 0 (Tt nao esta definida para t > Y1). Dessa forma, Tt euma v.a. que assume apenas valores positivos e

P (Tt > x) = P (Y1 − t > x|Y1 > t) = P (Y1 > x+ t|Y1 > t)

P (Tt > x) =P (Y1 > x+ t)

P (Y1 > t),

para x ≥ 0, donde Tt tem funcao de distribuicao dada por

P (Tt ≤ x) = 1− P (Tt > x) = 1− F (x+ t)

F (t), t > 0 (2.20)

Assim, ∫∞terydF (y)

ertF (t)=

∫∞terydP (Y1 ≤ y)

ertF (t)=

∫∞0er(y+t)dP (Y1 ≤ y + t)

ertF (t)

=ert∫∞

0erydP (Y1 ≤ y + t)

ertF (t)=

∫ ∞0

ery1

F (t)dP (Y1 ≤ y + t)

Note que

P (Y1−t ≤ y) = P (Y1−t ≤ y, Y1 > t)+P (Y1−t ≤ y, Y1 ≤ t) = P (Y1−t ≤ y|Y1 > t)P (Y1 > t)+P (Y1 ≤ t)

21

⇒ dP (Y1 − t ≤ y) = dP (Y1 − t ≤ y|Y1 > t)P (Y1 > t)

⇒ 1

P (Y1 > t)dP (Y1 − t ≤ y) = dP (Tt ≤ y).

Entao, ∫ ∞0

ery1

F (t)dP (Y1 ≤ y + t) =

∫ ∞0

erydP (Tt ≤ y)

⇒∫∞terydF (y)

ertF (t)= E[erTt ].

Como F e NPUC, F satisfaz∫ ∞x+t

F (z)dz ≥ F (t)

∫ ∞x

F (z)dz

⇒∫ ∞x+t

P (Y1 > z)dz ≥ P (Y1 > t)

∫ ∞x

P (Y1 > z)dz

⇒∫ ∞x

P (Y1 > z + t)dz ≥ P (Y1 > t)

∫ ∞x

P (Y1 > z)dz

⇒∫∞xP (Y1 > z + t)dz

P (Y1 > t)≥∫ ∞x

P (Y1 > z)dz

⇒∫ ∞x

F (z + t)

F (t)dz ≥

∫ ∞x

F (z)dz,

para todo x, t ≥ 0.Usando a equacao (2.20) no lado esquerdo da desigualdade temos∫ ∞

x

P (Tt > z)dz ≥∫ ∞x

P (Y1 > z)dz.

Como ery e uma funcao convexa, segue de Shaked e Shanthikumar [16] (1994, p.p.83-85) que

E[erTt ] ≥ E[erY1 ].

Assim,

inft≥0E[erTt ] ≥ E[erY1 ].

Note que, quando t=0 temos

P (Tt ≤ x) = F (x),

ou seja, T0 e Y1 tem a mesma distribuicao. Portanto E[erT0 ] = E[erY1 ].

Mostramos que E[erY1 ] e cota inferior para∫∞t erydF (y)

ertF (t)= E[erTt ] e que e atingida em

t = 0. Portanto

inft≥0

∫∞terydF (y)

ertF (t)= E[erY1 ]

como querıamos demonstrar.

22

2.3.1 Uma abordagem via Martingales

Outra maneira de obter cotas superiores para a probabilidade de ruına e via Martin-gales. Introduziremos, a seguir, o conceito de Martingales e um resultado importante quesera usado na demonstracao do teorema que nos da cotas superiores para a Probabilidadede Ruına por esta abordagem.

Considere um jogador que esta fazendo uma sequencia de apostas nas quais a proba-bilidade de ele ganhar e de 1

2e de perder e de 1

2. Seja Yn, n ≥ 1, uma sequencia de v.a.

i.i.d. que representa o resultado de cada aposta, tal que

P (Yn = 1) = 1/2 = P (Yn = −1).

Aqui Yn = 1 quando o apostador ganha e Yn = −1 quando ele perde a n-esima aposta.Se ele aposta levando em consideracao os resultados anteriores, suas apostas sucessivaspodem ser descritas como uma sequencia bn de v.a.’s onde

bn = bn(Y1, ..., Yn−1), n ≥ 2.

Seja V0 o capital inicial do apostador e Vn seu capital apos a n-esima jogada. Entao

Vn = V0 +n∑i=1

biYi

Afirmamos que E[Vn+1|Y1, ..., Yn] = Vn. Para provarmos este fato note que Vn+1 = Vn +bn+1Yn+1. Logo

E[Vn+1|Y1, ..., Yn] = E[Vn|Y1, ..., Yn] + E[bnYn+1|Y1, ..., Yn]

= Vn + bn+1E[Yn+1|Y1, ..., Yn],

pois Vn e bn+1 sao determinados por Y1, ..., Yn;

Vn + bn+1E[Yn+1|Y1, ..., Yn] = Vn + bn+1E[Yn+1],

pois as Yn’s sao independentes. Assim,

E[Vn+1|Y1, ..., Yn] = Vn + bn+1E[Yn+1] = Vn + bn+1((1)1/2 + (−1)1/2) = Vn

Vn e, entao, dita uma martingale com relacao a Yn. Se Yn = Vn para todo n dizemossimplesmente que Vn e uma martingale pois satisfaz E[Vn+1|V1, ..., Vn] = Vn.

Uma martingale e, entao, a representacao matematica de um jogo justo, isto e, umjogo onde a probabilidade de ganhar em uma jogada e igual a probabilidade de perder.No entanto, nao devemos restringir a teoria de martingales a essa particular situacao poistrata-se de uma poderosa ferramenta na Teoria da Probabilidade.

Definicao 1: Um processo estocastico Vnn≥0 e dito ser um martingale em relacaoao processo Ynn≥0 se E[|Vn|] <∞, para todo n, e

E[Vn+1|Y1, Y2, ..., Yn] = Vn. (2.21)

23

Se interpretamos Vn como a quantidade de dinheiro de um jogador apos o n-esimo jogo,entao a definicao acima diz que o valor esperado da quantidade de dinheiro do jogadordepois do (n+ 1)-esimo jogo e igual ao valor apos o n-esimo jogo, nao importando o quetenha ocorrido previamente. Assim, aplicando o valor esperado a ambos os membros daequacao (2.21), temos:

E[E[Vn+1|Y1, Y2, ..., Yn]] = E[Vn]⇔ E[Vn+1] = E[Vn]⇔ E[Vn] = E[V1],

para todo n.Definicao 2: Um processo estocastico Vnn≥0 e dito ser um submartingale com

relacao a Yn se E[V +n ] <∞, para todo n, e

E[Vn+1|Y1, Y2, ..., Yn] ≥ Vn, (2.22)

onde V +n = max 0, Vn .

Vnn≥0 e dito ser um supermartingale com relacao a Yn se E[V −n ] <∞, para todo n,e

E[Vn+1|Y1, Y2, ..., Yn] ≤ Vn, (2.23)

onde V −n = −min 0, Vn .Enquanto uma martingale descreve um jogo justo, as submartingales e supermartingale

descrevem jogos favoraveis e desfavoraveis para o jogador, respectivamente.Enunciaremos, a seguir, o Teorema da Parada Opcional para martingales que sera

usado na demonstracao do resultado que nos da uma cota superior para a probabilidadede ruına pela abordagem Martingale. Para tanto precisamos introduzir o conceito detempo de parada:

Definicao 3: Um tempo de parada T com relacao ao processo estocastico Vn euma variavel aleatoria que assume valores inteiros positivos tal que, para cada n, o eventoT = n depende somente de V1, ..., Vn .

Teorema 2.3.7 Teorema da parada opcionalSeja Vn uma martingale e T um tempo de parada finito. Se:

• E[|VT |] <∞; e

• limn→∞E[VnIT>n] = 0, onde IT>n = 1 se T > n e IT>n = 0 se T ≤ n,

entao E[VT ] = E[V0].Analogamente, se Vn e um submartingale ou um supermartingale e as condicoes

acima sao verdadeiras, temosE[VT ] ≥ E[V0],

se Vn e supermartingale eE[VT ] ≤ E[V0],

se Vn e submartingale.

Com a finalidade de obter cotas superiores para a probabilidade de ruına via Martin-gales, considere o processo de risco descontado

Vn := Xn

n∏l=1

(1 + Il

−1),

24

com n ≥ 1. As probabilidades de ruına no horizonte finito em (1.12) associadas ao processoVn, n = 1, 2, ... sao

ψπn(x, i) := P π(∪nk=1 Vk < 0 |X0 = x, I0 = i).

No Modelo de Risco Classico,e−R0Xn

n≥1

e um Martingale. No entanto, para o

modelo (1.9), nao existe constante r > 0 tal quee−rXn

n≥1

seja um Martingale. Mas

existe uma constante r > 0 tal quee−rVn

n≥1

e um supermartingale, o que nos permitiraobter cotas superiores para a Probabilidade de Ruına pelo Teorema da Parada Opcional.Tal constante e definida na Proposicao a seguir, que pode ser encontrada em [5].

Proposicao 2.3.8 Suponha que para cada i ∈ I existe ρi satisfazendo

Eπ[e−ρi(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1|I0 = i] = 1. (2.24)

Entao,R1 := mini∈I ρi ≥ R0, (2.25)

e, alem disso, para todo i ∈ I

Eπ[e−R1(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1|I0 = i] ≤ 1. (2.26)

Demonstracao:Para cada i ∈ I e r > 0, seja

li(r) := Eπ[e−r(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1 |I0 = i]− 1. (2.27)

Entao a primeira derivada de li(r) em r = 0 e

l′i(r) := Eπ[−(C(b)Z1− bY1)(1 + I1)−1|I0 = i] = −Eπ[(C(b)Z1− bY1)]E[(1 + I1)−1|I0 = i].

Como Eπ[(C(b)Z1 − bY1)] > 0 e E[(1 + I1)−1|I0 = i], l′i(0) < 0 para todo i ∈ I.

A segunda derivada de li(r) e dada por

l′′i (r) = Eπ[[(C(b)Z1 − bY1)(1 + I1)−1]2e−r(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1|I0 = i] ≥ 0,

para todo i ∈ I, ou seja, li(r) e uma funcao convexa com uma raiz em r = 0 e uma unicaraiz positiva.

Seja ρi a unica raiz positiva da equacao li(r) = 0. Entao li(ρ) ≤ 0 se, e somente se,0 ≤ ρ ≤ ρi. Note que

Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1 |I0 = i] =∑j∈I

P (I1 = j|I0 = i)Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+j)−1

]

=∑j∈I

pijEπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+j)−1

]

≤∑j∈I

pijEπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)](1+j)−1

,

25

pela desigualdade de Jensen.Como R0 satisfaz Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)] = 1 e

∑j∈I pij = 1, temos que

li(R0) = Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1|I0 = i]− 1 ≤ 0.

Isso implica que R0 < ρi para todo i ∈ I e, entao,

R1 := miniρi ≥ R0.

Como R1 ≤ ρi para todo i ∈ I, temos que

li(R1) ≤ 1,

para todo i ∈ I, e o resultado fica demonstrado.

Teorema 2.3.9 Sob as hipoteses da Proposicao 2.3.8, para todo i ∈ I e x ≥ 0,

ψπ(x, i) ≤ e−R1x. (2.28)

Demonstracao:Pela equacao (1.10), o processo de risco descontado Vn := Xn

∏nl=1

(1 + Il

−1)

satisfaz:

Vn = x+n∑k=1

((C(b0)Zk − b0Yk)

k∏l=1

(1 + Il)−1

). (2.29)

Seja Sn = e−R1Vn . Entao

Sn = e−R1Vn ⇒ Sn+1 = e−R1Vn+1 ⇒ Sn+1 = Sne−R1((C(b0)Zn+1−b0Yn+1)

∏n+1l=1 (1+Il)

−1).

Assim, para todo n ≥ 1,

E[Sn+1|Y1, ..., Yn, Z1, ..., Zn, I1, ..., In] =

= SnE[e−R1((C(b0)Zn+1−b0Yn+1)∏n+1

l=1 (1+Il)−1)|Y1, ..., Yn, Z1, ..., Zn, I1, ..., In]

= SnE[e−R1((C(b0)Zn+1−b0Yn+1)(1+In+1)−1∏n

l=1(1+Il)−1)|I1, ..., In]

≤ SnE[e−R1(C(b0)Zn+1−b0Yn+1)(1+In+1)−1|I1, ..., In]∏n

l=1(1+Il)−1 ≤ Sn,

ou seja, Sn e um supermartingale.Seja Ti = min n : Vn < 0|I0 = i, onde Vn e dado por (2.29). Entao Ti e um tempo

de parada e n ∧ Ti := min n, Ti e um tempo de parada finito. Assim, pelo teorema daparada opcional enunciado anteriormente, temos:

E[Sn∧Ti ] ≤ E[S0] = e−R1x.

Por isso,

26

e−R1x ≥ E[Sn∧Ti ] ≥ Eπ[Sn∧TiI(Ti≤n)] ≥ Eπ[STiI(Ti≤n)] =

= Eπ[e−R1VT1I(Ti≤n)] ≥ Eπ[I(Ti≤n)] = ψπn(x, i),

o que ocorre pelo fato de VTi < 0. Assim, fazendo n→∞ obtemos o resultado.

27

Capıtulo 3

Resultados Numericos

Para ilustrar os resultados enunciados no capıtulo anterior reproduzimos dois exemplosnumericos apresentados no artigo de Diasparra e Romera [5], usando, no entanto, duasabordagens diferentes. Inicialmente supomos conhecida a distribuicao das indenizacoes(Yn) e do tempo entre elas (Zn) como foi feito no artigo. Posteriormente, sem tal suposicao,lancamos mao de tecnicas de estimacao de densidades para, a partir de um conjuntode dados, encontrarmos as estimativas para as cotas superiores para a probabilidadede ruına. Ao final de cada exemplo podemos comparar os resultados provenientes dasduas abordagens e constatar se ha grande discrepancia entre eles. Foram utilizados ossoftwares Maple 13 e R como ferramentas para chegar aos resultados aqui apresentados.Os comandos utilizados sao apresentados detalhadamente no proximo capıtulo.

Antes de apresentar os resultados numericos propriamente ditos vamos introduzir oconceito de estimacao de densidade.

3.1 Estimacao de Densidade do Tipo Nucleo

Seja X1, X2,...,Xn uma amostra aleatoria de X com densidade f em R desconhecida.Desejamos estimar f(x) onde x e um ponto de continuidade de f . Sabemos que

f(x) = F ′(x) = limh→0F (x+ h)− F (x− h)

2h= limh→0

1

2h(P (X ≤ x+h)−P (X ≤ x−h))

= limh→01

2hP (x− h < X ≤ x+ h)

e, de modo natural, P (x− h < X ≤ x+ h) = limn→∞#Xi;Xi∈(x−h,x+h]

n.

Entao um estimador intuitivo para f(x) e

fn(x) =1

2nh# Xi;Xi ∈ (x− h, x+ h] ,

onde h = hn → 0 quando n→∞. Note que

Xi ∈ (x− h, x+ h]⇔ Xi − x ∈ (−h, h]⇔ Xi − xh

∈ (−1, 1],

ou seja, podemos rescrever o estimador como sendo

fn(x) =1

2nh

n∑i=1

I(−1,1]

(Xi − xh

),

28

onde I(−1,1](x) = 1, se x ∈ (−1, 1] e 0, caso contrario.

E facil ver que fn(x) depende fortemente da escolha de h, chamado parametro desuavizacao.

Esta e a ideia motivadora do metodo conhecido como Histograma, um dos metodosnao parametricos mais usados em estimacao de densidades, que consiste basicamente emcontar o numero de observacoes que caem em cada intervalo de raio h. As ideias e mo-tivacoes do Histograma sugerem, naturalmente, uma generalizacao considerando funcoesK chamadas de Kernel (ou Nucleo) em substituicao a funcao I que aparece no estimador.Temos entao um estimador dado por

fn(x) =1

nh

n∑i=1

K

(Xi − xh

).

A suavidade do estimador, nesse caso, dependera nao somente da escolha do parametrode suavizacao h mas tambem da escolha da propria funcao K. Podemos assumir, porexemplo, que K e uma funcao de densidade de probabilidade, em particular, uma Gaus-siana, o que nos garantira um estimador suave e com derivadas de todas as ordens.

Por conveniencia, todos os estimadores usados neste trabalho foram obtidos a partirde um Kernel (ou nucleo) Gaussiano, ou seja, consideramos

K(x) =1√2π

e−x2

2 .

Existem varias maneiras de obter um parametro de suavizacao otimo como podemosver em Dias [4] nas quais nao vamos nos deter pois o software utilizado para as simulacoestem pacotes implementados que encontram o parametro de suavizacao otimo de acordocom a amostra gerada.

Em cada um dos exemplos a seguir calculamos os tres tipos de cotas superiores paraa Probabilidade de Ruına que foram enunciados neste trabalho, a saber, Desigualdadede Lundberg, cota superior Indutiva e cota superior obtida via Martingales para algunsvalores de b. Consideramos, sem perda de generalidade, a unidade monetaria igual a E[Y ]em ambos os exemplos.

3.2 Indenizacoes Exponencialmente Distribuıdas

Num primeiro momento consideramos que a distribuicao das indenizacoes Yn e expo-nencial de parametro 1/2 e a distribuicao do tempo entre elas, ou seja, de Zn e tambemexponencial de parametro 1. Alem disso, consideramos o modelo da taxa de juros com oespaco de estados

I = 6%, 8%, 10%

e matriz de transicao 0.2 0.8 00.15 0.7 0.15

0 0.8 0.2

.

Consideramos a taxa fixa dos premios c = 4, o capital inicial x = 1, e o nıvel deretencao b0 = 1. Veja que estes valores satisfazem a condicao de seguranca C(b0)E[Z] =cE[Z] = 4 > b0E[Y ] = 2.

29

3.2.1 Desigualdade de Lundberg

No Teorema 2.3.3 vimos que a Desigualdade de Lundberg para a Probabilidade deRuına e dada por ψ(x) ≤ e−R0x onde R0 e o valor que satisfaz a equacao

E[e−R0(C(b0)Z−b0Y )] = 1,

onde Y e Z sao v.a.’s com funcoes de distribuicao F e G, respectivamente.Seja S uma v.a. dada por S := C(b0)Z − b0Y . Entao,

E[e−R0(C(b0)Z−b0Y )] = 1⇔ E[e−R0S] = 1⇔MS(−R0) = 1,

onde MS(t) e a funcao geradora de momentos de S.Devemos verificar se as hipoteses do Lema 2.3.2 sao satisfeitas. Devemos, entao veri-

ficar se

• E[S] > 0;

• existem t0 e t1 tais que MS(t) = E[et(C(b0)Z1−b0Y1)] < ∞ para todo t1 < t < t0, comt1 < 0 < t0;e

• P (S < 0) = P (C(b0)Z1 − b0Y1 < 0) > 0.

Note que

E[S] = E[C(b0)Z − b0Y ] = cE[Z]− E[Y ] = 4 · 1− 2 = 2 > 0,

e a primeira hipotese esta satisfeita.Sabendo que S = 4Z − Y e, portanto, a funcao geradora de momentos de S e dada

por MS(t) = MZ(4t)MY (−t), encontramos

MS(t) = − 1

(2t+ 1)(4t− 1),

ou seja, MS(t) < ∞ para todo t no intervalo em torno da origem(−1

2, 1

4

)e a segunda

hipotese esta satisfeita.Alem disso, encontramos a densidade de S, que denotaremos por h(x), e calculamos

a seguinte probabilidade: P (S < 0) =∫ 0

−∞ h(x)dx = 13> 0, e a terceira hipotese esta

satisfeita. Podemos, entao, garantir a existencia de um unico R0 > 0 que satisfaz aequacao

MS(−R0) = 1.

EncontramosR0 = 0.25 .

Pelo Teorema 2.3.3, temos a seguinte desigualdade e considerando x = 1 temos:

ψ(1) ≤ e−R0 = 0.7788 .

Desconhecendo a distribuicao das indenizacoes (Y ), do tempo entre elas (Z) e, por-tanto, da v.a. S := C(b0)Z − b0Y , usamos um estimador do tipo nucleo para suasdensidades e pudemos obter uma estimativa para R0. Seja esse estimador

fh(x) =1

nh

n∑i=1

K

(x−Xi

h

),

30

onde X1,...,Xn e uma amostra aleatoria da v.a. para a qual desejamos estimar a densidadee K e o Kernel (ou nucleo) Gaussiano, ou seja, a densidade de uma normal padrao.

Para o calculo de R0 nos interessa conhecer o estimador para a funcao geradora demomentos de S partindo do estimador de sua densidade.

Seja S1, ..., Sn uma amostra aleatoria de S. Sob certas condicoes de regularidade (verdetalhes em Watson [18]), satisfeitas por nosso exemplo, podemos provar que o estimadorpara a funcao geradora de momentos da v.a. S e dado por

MS(t) = E[etS] =

∫ ∞−∞

etsf(s)ds =

∫ ∞−∞

ets1

nh

n∑i=1

K

(s− Sih

)ds.

Como usamos o kernel gaussiano, temos:

MS(t) = E[etS] =

∫ ∞−∞

ets1

n

n∑i=1

1

h√

2πe

(−(s−Si)

2

2h2

)ds

=1

n

n∑i=1

∫ ∞−∞

ets1

h√

2πe

(−(s−Si)

2

2h2

)ds.

Note que na ultima linha temos a soma de funcoes geradoras de momentos de v.a.com distribuicao Normal(Si, h

2)(lembrando que Si e um valor observado). Sabendo que,se A tem distribuicao Normal(µ, σ2) a funcao geradora de momentos de A e dada por

MA(s) = eµs+12s2σ2

, temos que,

MS(t) =1

n

n∑i=1

eSit+12t2h2 =

1

n

n∑i=1

eSite12t2h2

⇒ MS(t) =1

ne

12t2h2

n∑i=1

eSit.

De maneira analoga podemos obter um estimador para a funcao geradora de momentosde Z ou de Y . Basta que consideremos para esse calculo uma amostra da v.a. em questao.

Podemos obter uma estimativa para R0 com o auxilio do software R resolvendo amesma equacao que resolvemos anteriormente substituindo apenas a funcao geradora demomentos por seu estimador. Devemos entao resolver

MS(−R0) = 1.

Fizemos esse processo com amostras de tamanho 100, 1000 e 10000 e o replicamos1000 vezes para cada tamanho de amostra. Os resultados obtidos encontram-se na tabelaabaixo:

Tamanho das Amostras Media dos Valores de R0 Cota superior estimada100 0.2791 0.75641000 0.2539 0.775810000 0.2492 0.7794

31

3.2.2 Cota Superior Indutiva

A cota superior indutiva pode ser obtida pelo Teorema 2.3.5. Devemos calcular o βdado por

β−1 = inft≥0

∫∞teR0b0ydF (y)

eR0b0tF (t).

Com R0 = 0.25 e b0 = 1, se Y tem distribuicao exponencial com parametro 1/2 temos

β−1 = inft≥0

∫∞teR0b0ydF (y)

eR0b0tF (t)= inft≥0

∫∞te0.25y0.5e−0.5y

e0.25te−0.5t

= inft≥0

∫∞t

0.5e−0.25y

e−0.25t= inft≥0

2e−0.25t

e−0.25t= 2

⇒ β = 1/2 = 0.5 .

Pelo Teorema 2.3.5,

ψπ(x, i) ≤ βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i].

Fazendo I0 = 8%, temos

ψπ(x, i) ≤ βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = 0.08] = 0.5∑j∈I

pije−0.25(1+j) = 0.3817

⇒ ψπ(1, 0.08) ≤ 0.3817

Note que∫∞teR0b0ydF (y)

eR0b0tF (t)=

∫∞−∞ e

R0b0ydF (y)−∫ t−∞ e

R0b0ydF (y)

eR0b0tF (t)=MY (R0b0)−

∫ t−∞ e

R0b0ydF (y)

eR0b0t(1− F (t)),

(3.1)o que facilita o calculo de β usando o estimador de densidade f pois ja conhecemosa expressao para a funcao geradora de momentos de uma v.a. e, por Y se tratar deuma v.a. positiva, a expressao

∫ t−∞ e

R0b0ydF (y) pode ser reescrita como∫ t

0eR0b0ydF (y).

Precisamos agora de uma expressao computavel para F (y).

F (y) =

∫ y

−∞f(t)dt =

∫ y

−∞

1

n

n∑i=1

1

h√

2πe

(−(t−Yi)

2

2h2

)dt

=1

n

n∑i=1

∫ y

−∞

1

h√

2πe

(−(t−Yi)

2

2h2

)dt

=1

n

n∑i=1

Φ[Yi,h2](y),

onde Φ[Yi,h2](y) e a funcao de distribuicao acumulada de uma v.a. Normal(Yi, h2) (lem-

brando que Yi e um valor observado).Usando esses resultados, com o auxılio do software R chegamos a seguinte estimativa

para o limitante da probabilidade de ruına obtido indutivamente:

ψπ(1, 0.08) ≤ 0.3952 .

32

3.2.3 Cota Superior Obtida via Martingales

A cota superior para a Probabilidade de Ruına pode ser obtida atraves do Teorema2.3.9. Para tanto devemos encontrar, para todo i ∈ I, ρi que satisfaca

Eπ[e−ρi[C(b)Z−bY ](1+I1)−1|I0 = i] = 1

e tomar como R1 o mınimo entre eles.Note que

Eπ[e−ρi[C(b)Z−bY ](1+I1)−1 |I0 = i] = 1⇔∑j∈I

pijEπ[e−ρiS(1+j)−1

] = 1

⇔∑j∈I

pijMS

(−ρi

1 + j

)= 1.

Podemos, entao, calcular o real valor de R1 e tambem uma estimativa para esse valor.Para facilitar a visualizacao dos resultados obtidos vamos observar a tabela abaixo,

que foi construıda com estimativas obtidas a partir de amostras de tamanho n = 1000.

- Lundberg R0 Indutivo Martingale R1

Real 0.7788 0.2500 0.3817 0.7641 0.2690Estimado 0.7758 0.2539 0.3952 0.7564 0.2792

Os resultados numericos da tabela mostram que a cota superior obtida indutivamenteem (2.17) pode ser melhor que a obtida via Martingales em (2.28). Alem disso, podemosver que essas duas sao ambas melhores que a cota superior da desigualdade de Lundberg(2.7).

Fica claro tambem o bom comportamento dos estimadores que resultaram em cotasbastante proximas das reais.

3.3 Indenizacoes com Distribuicao do Tipo Fase

Consideramos agora o caso em que as indenizacoes tem distribuicao do tipo fase. Talcaso e interessante de ser observado pois os momentos dessas distribuicoes podem ser es-critos de uma forma fechada sendo, portanto, computacionalmente trataveis. Alem disso,o conjunto das distribuicoes do tipo fase e denso no conjunto de todas as distribuicoes comsuporte em [0,∞), ou seja, podemos usa-lo para obter aproximacoes para a distribuicaode qualquer v.a. nao-negativa.

3.3.1 Uma Breve Introducao sobre Distribuicoes do Tipo Fase

Considere um processo de Markov a tempo contınuo com m+ 1 estados, m ≥ 1, ondeos estados 1, 2, ..., m sao transientes e o 0 e absorvente. Suponha que o processo assumaapenas valores nao-negativos e que suas taxas de transicao sejam homogeneas no tempo.

Seja X a v.a. que descreve o tempo gasto pelo processo ate atingir o estado absorvente.A distribuicao de X e dita do Tipo Fase, pois cada um dos estados transientes do processode Markov representa uma das fases.

Denotamos a distribuicao do tipo fase por PH(~α, T ), onde ~α e o vetor da distribuicaoinicial das probabilidades, ~α = (αi)i=1,...,m e T e a matriz de intensidade de transicao dosestados transientes, T = (Tij)1≤i,j≤m.

33

A matriz de intensidade de transicao do processo sera na forma(T ~t0 0

),

onde ~t = −T~e com ~e = (1, 1, ..., 1)t. Cada um dos estados transientes representam umafase do processo. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1

Suponha que o nosso processo possua apenas uma fase. Podemos representa-lo pelodiagrama a seguir:

Para α = 1 e chamando t11 = −β temos, pelas Equacoes de Kolmogorov:

P ′10(t) = t10P01(t) + t11P10(t)

P ′10(t) = −βP10(t)

P10(t) = e−βt

Assim, temos que o tempo gasto ate o processo atingir o estado absorvente 0 temdistribuicao exponencial com parametro β = −t11. Na notacao, PH(1,−β).

Exemplo 2: Distribuicao com m fases

De um modo semelhante ao exemplo anterior, podemos obter uma distribuicao com mfases com o diagrama abaixo:

Considere ~α = (1, 0, 0, 0, ..., 0) e ti i+1 = β, i = 1,...,m − 1 e tm = β, e os demais ti jnulos. Note que este processo possui m fases identicas. Entao o tempo de absorcao, ouseja, o tempo necessario pra que o processo chegue no estado absorvente 0 correspondea soma dos tempos de transicao entre os estados i, i + 1 partindo do 1 ate o 0. Assim,a distribuicao correspondente ao tempo de absorcao sera a Gama com parametro m (ouErlang, pois m e inteiro) e densidade

βmxm−1

(m− 1)!e−βx,

que e a convolucao de m exponenciais.Outro exemplo de distribuicao do tipo fase e a Hiperexponential que pode ser carac-

terizada pela existencia de duas ou mais fases distintas.

34

Propriedades de uma distribuicao do tipo fase

Seja X uma v.a. cuja distribuicao e do tipo fase com representacao PH(~α, T ). Entao

1. A funcao de distribuicao de X e F (x) = 1− ~αeTx~1;

2. A funcao geradora de momentos de X e MX(s) = E[esX] = ~α(−sI − T )−1~t, onde Ie a matriz identidade;

3. A densidade de X e f(x) = ~αeTx~t, onde ~t = −T~1 e eT = I +∑∞

n=1Tn

n!.

As propriedades acima nos possibilitam trabalhar com as distribuicoes do tipo fase,uma vez que todas as funcoes que caracterizam a distribuicao possuem forma fechada.Suas demonstracoes serao omitidas mas podem ser encontradas em Asmussen [1].

Suponha entao que, no modelo de risco descrito em (1.9), as indenizacoes Y tem umadistribuicao do tipo fase com parametros (α, T ) onde

T =

(−1 00 −2

), e α = (1/2, 1/2)

.Seja

I =

(1 00 1

), ~1 = (1, 1) e t = −T ·~1 =

(12

).

Temos que a funcao geradora de momentos da variavel Y e

MY (s) = E[ssY ] = α(−sI − T )−1t

Assim,

E[Y ] =d

dsMy(s)|s=0 = 0.75 .

Gostarıamos de visualizar a influencia da matriz de transicao do processo da taxa dejuros nas cotas finais. Para tanto consideramos o espaco de estados I = 6%, 8%, 10% eduas matrizes de transicao diferentes,

P1 =

0 0.9 0.10.8 0.2 00.9 0.1 0

e

P2 =

0.3 0.7 00 0.2 0.80 0.1 0.9

Calculamos, a seguir, os limitantes superiores para a probabilidade de ruına sob as

condicoes acima descritas. Para o calculo das cotas assumimos que sao praticados osvalores c = 0.975, θ = 0.1 e x = 5. Note que, nesse caso, C(b) = 0.975 − (1 + 0.1)(1 −b)0.75 = 0.15 + 0, 825b e C(b)E[Z] = 0.15 + 0.825b > 0.75b = bE[Y ], donde os valoressatisfazem a condicao de seguranca bE[Y ] < C(b)E[Z].

35

3.3.2 Desigualdade de Lundberg

Para encontrarmos o coeficiente de Lundberg precisamos garantir a existencia de R0 > 0que satisfaz a equacao

MS(−R0) = 1,

onde MS(s) e a funcao geradora de momentos de S := C(b0)Z − b0Y .Como ja citado acima, a funcao geradora de momentos de Y e dada por

MY (s) = E[esY ] = α(−sI − T )−1t =−1

2(s− 1)− 1

s− 2

⇒M ′Y (s) =

2

(2s− 2)2+

1

(s− 2)2⇒ E[Y ] = M ′

Y (0) =3

4.

Considerando Z com distribuicao exponencial com parametro 1 e os valores c = 0.975,θ = 0.1 e x = 5 e sabendo que

C(b) = c− (1 + θ)(1− b)E[Y ]

E[Z]= 0.975− (1.1)(1− b)0.75 = 0.15 + 0.825b,

podemos calcular E[S], ou seja, E[C(b0)Z − b0Y ]. Temos:

E[C(b0)Z − b0Y ] = C(b0)E[Z]− b0E[Y ] = 0.15 + 0.825b0 − 0.75b0 = 0.15 + 0.075b0 > 0.

Note ainda que C(0) = 0.15 > 0, donde bmin = 0 e podemos calcular as cotas superiorespara a probabilidade de ruına para todo b ∈ (0, 1] . Entao, para cada nıvel de retencaob ∈ B devemos encontrar uma funcao geradora de momentos de S = C(b)Z − bY .

Com o auxılio do software Maple 13 pudemos escrever a funcao geradora de momentosde S em funcao do nıvel de retencao b, o que denotamos como segue:

MS(t, b) :=−20(3tb+ 4)

(6t+ 33tb− 40)(tb+ 1)(tb+ 2)<∞

para todo t ∈ (−1b, 40

6+33b). No proximo capıtulo detalhamos como a expressao acima foi

obtida e porque esta limita-se ao intervalo a valores de s no intervalo dado.Pelo Lema 2.3.2 podemos, entao, garantir a existencia de um unico R0 ≡ R0(b) > 0

para cada nıvel de retencao b que satisfaz a equacao

MS(−R0, b) = 1.

Com a ajuda do software Maple resolvemos a equacao acima de modo a encontrarR0 = R0(b), chegamos as seguinte solucoes:

0,18 + 59b+

√(36 + 396b+ 2689b2)

6(2 + 11b)b,18 + 59b−

√(36 + 396b+ 2689b2)

6(2 + 11b)b.

As duas solucoes nao nulas sao positivas para todo b ∈ (0, 1]. Vamos, por ora, adotara seguinte nomenclatura:

R+(b) :=18 + 59b+

√(36 + 396b+ 2689b2)

6(2 + 11b)b

36

e

R−(b) :=18 + 59b−

√(36 + 396b+ 2689b2)

6(2 + 11b)b.

Em Diasparra e Romera [5] os valores apresentados sao provenientes da equacao queresulta no maior valor para R0 a partir de um mesmo nıvel de retencao b. E facil veranalıtica e graficamente (abaixo) que trata-se da funcao R+(b).

No entanto, quando encontramos uma expressao para a funcao geradora de momentosde S (em funcao do nıvel de retencao b) ficou claro que tal expressao so e valida para t emuma vizinhanca do zero, a saber, para valores de t no intervalo (−1

b, 40

6+33b). Analisando

os valores apresentados em Diasparra e Romera [5] observamos que tais valores nao per-tencem a este intervalo onde a funcao MS(t, b) esta bem definida. O grafico abaixo nosmostra que os valores encontrados para R0(b) em [5] nao satisfazem a desigualdade

−1

b< −R0(b).

37

Para este trabalho, entao,

R0(b) :=18 + 59b−

√(36 + 396b+ 2689b2)

6(2 + 11b)b.

O grafico a seguir (3.1) mostra a relacao entre a escolha de b e o valor da cota superiorde Lundberg para a probabilidade de ruına

Figura 3.1: Relacao entre a Cota Superior de Lundberg e o nıvel de retencao b

Na tabela apresentada no final da secao veremos os valores de cada uma das cotas apre-sentadas calculados para alguns valores particulares de b. Ao longo da secao apresentamosos resultados encontrados para b = 0.5. Temos os seguinte resultados:

R0(0.5) = 0.7732

e

ψ(5) ≤ e−5R0(0.5) = 0.0209 .

Supondo que nao conhecemos a distribuicao de Y podemos usar os resultados obtidosno exemplo anterior para obter as seguinte estimativas:

R0(0.5) = 0.7703

38

e

ψ(5) ≤ e−5R0(0.5) = 0.0212 .

O grafico abaixo, obtido atraves do software R, mostra a relacao entre o nıvel deretencao b e os valores reais e estimados de R0.

Figura 3.2: R0(b) e R0(b)

Alem de comparar os valores reais e estimados de R0 podemos tambem comparar osvalores das cotas, ou seja, de e−R0x para R0 real e estimado.

Figura 3.3: e−5R0(b) e e−5R0(b)

39

Para a amostra usada na obtencao desses graficos podemos afirmar que o resultadoda a cota estimada e bastante satisfatorio visto que apresenta-se bastante proxima dosvalores reais.

3.3.3 Cota Superior Indutiva

Como vimos no inıcio desta secao, a funcao de distribuicao de Y e dada por

F (x) = 1− ~αeTx~1.Com o auxılio do Maple 13 encontramos a seguinte expressao:

F (x) = −1

2e−x − 1

2e−2x + 1⇒ F (x) =

1

2e−x +

1

2e−2x.

Mostraremos, a seguir, que a distribuicao de Y e NPUC.

F (y) =1

2e−y +

1

2e−2y

e ∫ ∞x

F (z)dz =1

2

∫ ∞x

e−z + e−2zdz,

⇒ F (y)

∫ ∞x

F (z)dz =1

4(e−x−y + e−x−2y +

1

2e−2x−y +

1

2e−2x−2y)

Para x > 0 e y > 0 temos

e−x−2y ≤ e−x−y ⇒ 1

4(e−x−y + e−x−2y) ≤ 1

2e−x−y

e

e−2x−y ≤ e−2x−2y ⇒ 1

8e−2x−y +

1

8e−2x−2y ≤ 1

4e−2x−2y.

Entao

F (y)

∫ ∞x

F (z)dz ≤ 1

2e−x−y +

1

4e−2x−2y =

∫ ∞x+y

F (z)dz,

e F e NPUC.Podemos, entao, usar o resultado do Corolario 2.3.6 e calcular a cota superior indutiva

segundo a equacao

ψπ(x, i) ≤ (Eπ[eR0bY1 ])−1Eπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i].

Para x = 5, i = 8%, b = 0.5 e a matriz de transicao P1 obtivemos o seguinte resultado:

ψπ(x, i) ≤ 0.0114.

O valor estimado para a cota nao pode levar em consideracao a equacao dada pelocorolario, uma vez que a distribuicao e desconhecida. Portando o calculo dessa cota foifeito de modo semelhante ao do exemplo anterior. O valor obtido para b = 0.5 e a matrizP1 foi

ψπ(x, i) ≤ 0.0127.

Repetindo os procedimentos para a matriz P2 e considerando conhecidas a distribuicoesobtivemos a seguinte desigualdade

ψπ(x, i) ≤ 0.0101.

No caso em que utilizamos a densidade estimada, obtivemos

ψπ(x, i) ≤ 0.0112.

40

3.3.4 Cota Superior Obtida via Martingales

Assim como no exemplo anterior devemos encontrar, para todo i ∈ I, ρi que satisfaca

Eπ[e−ρiS(1+I1)−1|I0 = i] = 1

e tomar como R1 o mınimo entre eles. Como dito anteriormente, para podermos avaliara influencia da Matriz de transicao do processo dos juros no resultado da cota superiorobtida, faremos esse calculo para as duas matrizes ja apresentadas, P1 e P2.

Com o auxılio do software Maple encontramos para a matriz P1

R1(0.5) = 0.8210

e, portanto,ψ(5) ≤ e−5R1 = 0.0165.

Assumindo desconhecida a distribuicao de Y obtivemos, com o auxılio do software R,as estimativas

R1(0.5) = 0.8180

eψ(5) ≤ e−5R1 = 0.0167.

Os mesmos calculos foram feitos para a matriz P2 obtendo os resultados

R1(0.5) = 0.8302

eψ(5) ≤ e−5R1 = 0.0157

e as estimativasR1(0.5) = 0.8272

eψ(5) ≤ e−5R1 = 0.0160.

Na tabela abaixo, em que L representa a cota superior de Lundberg, I a indutiva eM a cota obtida via Martingales, podemos encontrar o valor real e o estimado das cotassuperiores para a probabilidade de ruına para alguns valores de b.

41

b - R0 L I (P1) I - (P2) R1(P1) M(P1) R1(P2) M(P2)

0.5 Real 0.7732 0.0209 0.0114 0.0101 0.8210 0.0165 0.8302 0.01570.5 Estimado 0.7703 0.0212 0.0127 0.0112 0.8180 0.0167 0.8272 0.0160

0.75 Real 0.4182 0.1236 0.0818 0.0765 0.4441 0.1085 0.4491 0.10590.75 Estimado 0.4133 0.1266 0.0678 0.0635 0.4389 0.1114 0.4438 0.1087

0.85 Real 0.3460 0.1772 0.1226 0.1160 0.3675 0.1592 0.3716 0.15600.85 Estimado 0.3412 0.1816 0.1192 0.1129 0.3624 0.1633 0.3664 0.1601

0.95 Real 0.2926 0.2315 0.1656 0.1580 0.3108 0.2114 0.3143 0.20780.95 Estimado 0.2880 0.2369 0.1672 0.1597 0.3059 0.2166 0.3093 0.2130

1 Real 0.2709 0.2580 0.1872 0.1792 0.2877 0.2372 0.2910 0.23351 Estimado 0.2665 0.2638 0.1916 0.1836 0.2830 0.2429 0.2862 0.2391

Comparando os resultados obtidos neste trabalho com os apresentados no artigo Ine-qualities for the ruin probability in a controlled dicrete-time risk process para as mesmasdistribuicoes e sob as mesmas condicoes podemos perceber que existe divergencia nao sonos valores encontrados para R0 mas tambem nos valores de R1 e da cota superior indu-tiva (o que e esperado uma vez que a cota indutiva depende de R0). Isso se deve ao fatode que o equıvoco cometido no artigo de Rosario Romera e Maikol Diasparra no sentidode nao observar os intervalos para os quais a funcao geradora de momentos da v.a. Sestava bem definida repete-se no calculo da cota obtida via Martingales.

Para cada valor de i ∈ I existe, em R, mais de um zero da funcao que chamamos li(r)que e dada pela equacao (2.27), a saber,

li(r) := Eπ[e−r(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1 |I0 = i]− 1.

E importante notar que a funcao li(r) depende do calculo da geradora de momentos deS que chamamos de MS(t), que por sua vez so esta bem definida em uma vizinhanca dozero para a qual assume valores finitos.

Uma forma simples de verificar a nao validade dos valores apresentados em Diasparrae Romera [5] e aplicar os valores encontrados para R1 na equacao (2.26). A desigualdade

li(R1) ≤ 1

nao e satisfeita para todo i como demonstramos que deve ser. Logo, os valores apresen-tados em Diasparra e Romera [5] estao incorretos.

42

Capıtulo 4

Algoritmos de Simulacao

4.1 Comandos Maple 13

4.1.1 Exemplo 1

Veja a seguir os comandos usados no software Maple 13 a fim de obter as cotassuperiores para a probabilidade de ruına do primeiro exemplo apresentado no Capıtulo 3deste trabalho.

Este software foi utilizado para os calculos que consideram conhecidas as distribuicoesdas indenizacoes e do tempo entre elas (Y e Z, respectivamente).

O primeiro passo a ser executado para o calculo das cotas para a probabilidade de ruınae a definicao das variaveis aleatorias envolvidas (Y e Z). Em seguida devemos encontrarsuas funcoes geradoras de momentos e avaliar o intervalo em que estao definidas e saofinitas.

Note que MY (s) e finita para −12< s < 1

2e MZ(s) e finita para −1 < s < 1.

43

Desigualdade de Lundberg

A seguir definiremos a variavel aleatoria S como sendo S = C(b)Z − bY. Como nesteexemplo temos b = 1 e c = 4, S = C(1)Z − Y = cZ − Y = 4Z − Y. Definir esta variavelaleatoria nos permitira calcular o valor do coeficiente de Lundberg R0 como sendo asolucao da equacao MS(−R0) = 1, onde MS(s) e a funcao geradora de momentos de S.

44

Note que, pela expressao dada acima, MS(s) e finita para s ∈ (−12, 1

4) e, quando

−12< s < 1

4, MS(s) e dada pela expressao abaixo:

Basta, entao, resolver a equacao MS(−R0) = 1 para encontrar o valor de R0 e dolimitante superior de Lundberg:

45

Cota superior Indutiva

Para o calculo da cota superior Indutiva devemos calcular o valor de

β−1 = inft≥0

∫∞teR0b0ydF (y)

eR0b0tF (t).

Este calculo foi feito em algumas etapas como segue abaixo:

Com o valor de β ja conhecido resta calcularmos o valor da cota. O procedure abaixocumpre esse papel, bastando apenas definir o espaco de estados I da Cadeia de Markov dosjuros e a segunda linha de sua matriz de transicao pois, uma vez que a taxa de juros inicialdesse exemplo e de 8%, as probabilidades de transicao de nosso interesse encontram-senessa linha. Veja os procedimentos e resultados abaixo:

46

Cota superior obtida via Martingales

Para o calculo do limitante superior para a probabilidade de ruına obtido via martingalesiremos definir a matriz de transicao P do processo da taxa de juros e as funcoes dadasem (2.27), a saber,

li(r) := Eπ[e−r(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1 |I0 = i]− 1.

As tres curvas l1, l2 e l3 sao muito proximas como podemos ver no grafico abaixo:

47

Vamos restringir o grafico ao intervalo onde se encontram as raızes positivas das li’se, a seguir, encontrar seus valores.

Sabemos que o valor de R1 e o mınimo entre os ρ1. Os comandos abaixo nos daraoo valor de R1 e do limitante superior para a probabilidade de ruına completando, assim,nosso primeiro exemplo.

48

4.1.2 Exemplo 2

Apresentamos a seguir os comandos usados a fim de obter as cotas superiores paraa probabilidade de ruına do segundo exemplo apresentado no Capıtulo 3 deste trabalhoconsiderando conhecidas as distribuicoes das indenizacoes e do tempo entre elas (Y e Z,respectivamente).

O primeiro passo a ser executado para o calculo das cotas para a probabilidade deruına e a definicao das variaveis aleatorias envolvidas (Y e Z). Diferentemente do exem-plo anterior, o software Maple 13 nao possui implementada a distribuicao do tipo faseque esta envolvida no processo neste exemplo. Para trabalharmos com tal distribuicaodevemos definir seus parametros e funcoes de interesse (que sao conhecidas como vimosanteriormente), e a partir dessas funcoes definiremos a v.a. Y .

49

Apos definir os elementos necessarios para o calculo da densidade de Y , podemos acharsua forma sabendo que sua densidade e f(x) = ~αeTx~t, onde ~t = −T~1. Uma vez calculadaa densidade de Y podemos definir a v.a. usando o comando Distribution. Em seguida,encontramos a funcao geradora de momentos de Y de acordo com a terceira propriedadedas distribuicoes do tipo fase apresentada no capıtulo anterior.

Note que MY (s) e MZ(s) sao finitas para −1 < s < 1.

50

Como no exemplo anterior, consideramos a distribuicao do tempo entre o pagamentode duas indenizacoes como uma v.a. Z com distribuicao exponencial de parametro 1.Abaixo definimos a v.a. Z e encontramos sua funcao geradora de momentos.

Interessados em encontrar as cotas superiores para a probabilidade de ruına para todob ∈ B = (0, 1], devemos definir a funcao C(b) e, em seguida, a v.a. S = C(b)Z − bY . Apartir dessa v.a. S = S(b) podemos encontrar uma funcao geradora de momentos MS(s, b)e, entao, obter os valores de R0 = R0(b). Veja os comando abaixo:

51

Se analisarmos a funcao MS(s, b) acima podemos ver que ela converge apenas paras > −1

be, para esses valores de s, a funcao pode ser reescrita como abaixo:

Novamente analisando a convergencia da funcao MS(s, b), podemos mostrar que afuncao converge para s < 40

6+33be, para esses valores assume a forma abaixo:

52

Desigualdade de Lundberg

Para encontrar o valor de R0(b) basta resolver a equacao MS(−R0, b) = 1. Fazendoo calculo para b = 0.75 com os comandos abaixo obtemos 3 valores diferentes. Apenasum dos valores positivos encontrados para R0 satisfaz a desigualdade −1

b< −R0 <

406+33b

.

Como b > 0 devemos nos preocupar apenas com a desigualdade −1b< −R0.

Para b = 0.75 temos −1b

= −1.333 < −0.418211. Portanto esse e o valor de R0 quenos interessa. Ou seja, R0(0.75) = 0.418211.

Esse e um caso particular. Com os comando abaixo trataremos do caso geral, ouseja, encontraremos uma expressao para R0(b) com base no que ja vimos. A princıpioencontraremos duas expressoes para R0. Em seguida mostraremos que uma delas naofornece valores correspondentes aos intervalos em que a funcao geradora de momentos deS(b) existe e e finita.

O grafico abaixo nos permite constatar que a expressao R−(b) nos fornece valores quese encontram no intervalo em que a funcao MS(s, b) esta bem definida.

53

Em Diasparra e Romera [5] os valores apresentados sao obtidos pela equacao R+(b)que resulta em valores maiores para R0 que , no entanto, nao se encontram no intervaloonde a funcao geradora de momentos de S esta bem definida. Por isso definimos abaixoa funcao R0(b) que nos forneceu os resultados neste trabalho apresentados.

54

A seguir, calculamos o valor do limitante de Lundberg para a probabilidade de ruınapara alguns valores de b com X0 = 5 e logo abaixo mostramos graficamente os valores dolimitante para todo b ∈ (0, 1].

55

Cota superior Indutiva

Como vimos no Capıtulo 3, a distribuicao das indenizacoes Y neste exemplo e NPUC.Sendo assim, podemos usar o resultado da Proposicao 2.3.6 para encontrar a conta superiorIndutiva para a probabilidade de ruına.

O primeiro passo para o calculo da cota e definir os elementos envolvidos no mesmo, asaber, o espaco de estados I da cadeia de Markov dos juros e as duas matrizes de transicaocom relacao as quais faremos o calculo com a finalidade de observar sua influencia no valorda cota.

Abaixo denominamos IBP1 a cota indutiva obtida a partir da matriz de transicao P1

e IBP2 a cota indutiva obtida a partir da matriz de transicao P2. Realizamos o calculode ambas para alguns valores de b.

56

O grafico abaixo nos permite comparar as cotas ja calculadas:

Cota superior obtida via Martingales

Assim como no exemplo anterior, a fim de obter o limitante superior para a probabili-dade de ruına via martingales definimos as funcoes dadas em (2.27), a saber,

li(r) := Eπ[e−r(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1 |I0 = i]− 1.

Para uma maior simplicidade esse processo foi feito para um valor fixo de b (b = 0.5)1 nosdois passos a seguir.

1No Apendice A apresentamos um algoritmo alternativo que permite-nos obter o valor de R1(b) paratodo b ∈ B

57

O valor de b pode ser facilmente substituıdo no segundo argumento da funcao MS

acima, resultando na obtencao da cota via martingales para qualquer valor de b ∈ (0, 1]desejado.

Se analisarmos graficamente as funcoes li acima definidas podemos perceber que suasraızes positivas encontram-se bastante proximas.

Restringindo os valores de b a uma vizinhanca das raızes da l′is podemos visualiza-lasde forma ordenada. Em seguida calculamos seus valores e chamamos de R1 o mınimoentre os tres valores encontrados.

58

Por fim calculamos o valor da cota dado por e−R1x, para x = X0 = 5.

Abaixo, o valor de R1 encontrado para alguns valores de b.

Analogamente, para encontrar os valores de R1 a partir da matriz P2 basta seguir ospassos anteriores substituindo P1 por esta nas equacoes como vemos abaixo:

59

A cota superior obtida via martingales a partir da matriz P2 para b = 0.5 e x = X0 = 5e dada abaixo:

60

4.2 Comandos R

Nesta secao incluımos os comandos utilizados no R Software para a obtencao dosresultados estimados apresentados neste trabalho. Ao nos citarmos as v.a.’s Y e Z nosreferimos a variaveis aleatorias cujas funcoes de distribuicao sao F e G, respectivamente.Isto e, Y tem a mesma distribuicao das Yn e Z tem a mesma distribuicao das Zn.

Devemos deixar claro que os resultados obtidos pela repeticao dos metodos aqui apre-sentados nao serao iguais aos resultados do Capıtulo 3 deste trabalho pois os mesmosdependem das amostras aleatorias geradas pelo software.

4.2.1 Exemplo 1

Trataremos do primeiro exemplo apresentado no Capıtulo 3 deste trabalho ondeconsideramos as indenizacoes Yn com distribuicao exponencial de parametro µ = 1

2e o

tempo entre indenizacoes Zn com distribuicao exponencial de parametro λ = 1.O primeiro passo para a obtencao de um estimador e gerar amostras das v.a.’s em

questao.

#Gerando amostras de Y e Z de tamanho n

n<-1000

dadosy<-rexp(n,1/2)

mean(dadosy)

dadosz<-rexp(n,1)

mean(dadosz)

Seja S = C(b)Z − bY . Para b = 1 e C(b) = c = 4 temos que S = 4Z − Y . Vamosgerar uma amostra de S de tamanho n.

dadoss<-4*dadosz-dadosy

mean(dadoss)

61

Como vimos anteriormente, a suavidade da funcao de densidade estimada dependetanto do Kernel (ou funcao Nucleo) utilizado, quanto do parametro de suavizacao h, sobreo qual podemos ver mais detalhes em Dias [4] e Silverman [17]. O comando density nosfornecera as informacoes necessarias para a obtencao do estimador. A seguir, a obtencaodo parametro de suavidade h a partir da amostra de S que geramos anteriormente:

hs<-density(dadoss)$bw

Utilizando os comandos abaixo podemos visualizar o histograma da amostra com aqual vamos trabalhar, a densidade real da distribuicao da qual obtivemos a amostra e adensidade estimada pelo comando density .

plot.new()#criando um novo plano para os graficos que ser~ao plotados

dadosy<-sort(dadosy) #ordenando os dados

hist(dadosy,prob=T,ylim=c(0,0.5))#criando o histograma

lines(dadosy,dexp(dadosy,1/2),lwd=2)#densidade real

lines(density(dadosy),xlim=c(0,12),lwd=2,col=2)#densidade estimada

Estes comandos geraram a seguinte imagem:

Temos todas as informacoes necessarias para obter a funcao geradora de momentosestimada a partir de uma amostra qualquer.

m<-function(x,dados)

soma1<-0

h<-density(dados)$bw

for (i in 1:n)

soma1<-soma1+exp(dados[i]*x)

return((1/n)*exp(1/2*h^2*x^2)*soma1)

62

Para encontrar um valor estimado pra R0 basta obter a funcao geradora de momentosa partir da amostra de S e resolver a equacao

MS(−R0)− 1 = 0,

o que fazemos com os comandos a seguir:

g<-function(r)m(-r,dadoss)-1

library(rootSolve)

r0<-uniroot.all(g,c(0.01,1))

Para obter o valor da cota superior basta calcular e−r0x. No nosso exemplo temosx = 1. O valos estimado da cota superior e encontrado, entao, pelo comando

exp(-r0)

Os comandos abaixo nos permitem obter k estimativas para R0 que serao guardadasno vetor vetorr0 . O comando final nos fornecera a media das estimativas obtidas.

k<-1000

vetorr0<-rep(0,k)

for (i in 1:k)mdadosy<-rexp(n,1/2)

mdadosz<-rexp(n,1)

mdadoss<-4*mdadosz-mdadosy

mg<-function(r)m(-r,mdadoss)-1

vetorr0[i]<-uniroot.all(mg,c(0.01,1))

mediar0<-mean(vetorr0)

mediar0

Passaremos a calcular uma estimativa para a cota superior indutiva para a probabili-dade de ruına dada na equacao

ψπ(x, i) ≤ β∑j∈I

pijEπ[e−R0x(1+j)] = βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 = i],

onde β ≡ β(b0) e dado por

β−1 = inft≥0

∫∞teR0b0ydF (y)

eR0b0tF (t).

Trabalharemos com a equacao (3.1) segundo a qual∫∞teR0b0ydF (y)

eR0b0tF (t)=MY (R0b0)−

∫ t−∞ e

R0b0ydF (y)

eR0b0t(1− F (t)).

Para tanto precisaremos de expressoes para a funcao geradora de momentos estimada efuncao de distribuicao acumulada estimada de Y , obtidas com os comandos abaixo.

Funcao geradora de momentos estimada de Y :

63

my<-function(x)m(x,dadosy)

Funcao de distribuicao acumulada estimada de Y :

pest<-function(x)

hy<-density(dadosy)$bw

soma<-0

for (i in 1:n)soma<-soma+pnorm(x,mean=dadosy[i],sd=hy^2)

return((1/n)*soma)

A seguir calcularemos uma estimativa para∫ t

0eR0b0ydF (y). Para tanto devemos consi-

derar o estimador f da densidade de Y e o valor estimado de R0 ja encontrado. Por fimutilizaremos o metodo do trapezio para o calculo da integral.

A funcao f1 e o estimador de eR0b0yf(y).

f1<-function(y)soma<-0

for (i in 1:n)

soma<-soma+dnorm(y,mean=dadosy[i],sd=hy^2)

return(soma*1/n*exp(r0*y))

#integral de "0 ate t" (regra do trapezio)

integral<-function(t)

soma<-0

part<-seq(0,t,length=1000)

h<-(t)/(999)

soma<-sum(f1(part))

return(h*((soma-(f1(t)+f1(0))/2)))

betanum<-function(t)my(r0)-integral(t)

betaden<-function(t)exp(r0*t)*(1-pest(t))

beta<-function(t)betanum(t)/betaden(t)

beta<-1/optimize(beta,c(0,10))$objective

beta

Com o valor estimado de β calculado basta definir a matriz de transicao P do processoda taxa de juros, seu espaco de estados ss e calcular o valor do limitante superior obtidoindutivamente.

ss<-c(0.06,0.08,0.1)

64

P<-matrix(c(0.2,0.8,0,0.15,0.7,0.15,0,0.8,0.2),nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE)

IB<-function(beta,i,r)

soma<-0

for (j in 1:3)soma<-soma+P[i,j]*exp(-r*(1+S[j]))

return(beta*soma)

IB(beta,2,r0)

Observacao: Como o limitante superior obtido indutivamente depende do valor deR0 devemos usar no seu calculo o valor estimado para R0 a partir da amostra em questao(r0 ).

ms<-function(x)m(x,dadoss)

MB<-function(r,i)soma<-0

for (j in 1:3)

soma<-soma+P[i,j]*ms((-r/(1+S[j])))

return(soma)

MB1<-function(r)MB(r,1)-1

rho1<-uniroot.all(MB1,c(0.001,10))

rho1

MB2<-function(r)MB(r,2)-1

rho2<-uniroot.all(MB2,c(0.001,10))

rho2

MB3<-function(r)MB(r,3)-1

rho3<-uniroot.all(MB3,c(0.001,10))

rho3

r1<-min(rho1,rho2,rho3)

65

4.2.2 Exemplo 2

Trataremos, nesta secao, do segundo exemplo apresentado no Capıtulo 3 deste traba-lho onde consideramos as indenizacoes Yn com distribuicao do tipo fase com parametros(α, T ) dados por

T =

(−1 00 −2

), e α = (1/2, 1/2)

. Consideramos novamente o tempo Zn entre indenizacoes com distribuicao exponencialde parametro λ = 1.

O primeiro passo para a obtencao de um estimador e gerar amostras das v.a.’s emquestao, o que fazemos com os comandos a seguir:

n<-1000

#gerando amostra de Y

dadosuni<-runif(n,min=0,max=1)

dadosy<-rep(0,n)

for(i in 1:n)

if(dadosuni[i]<0.5)dadosy[i]<-rexp(1,rate=1) else dadosy[i]<-rexp(1,rate=2)

#gerando amostra de Z

dadosz<-rexp(n,1)

Como estamos interessado em calcular cotas para varios valores de b, devemos definira funcao C(b). Abaixo usaremos a funcao k como C(b) (usamos k e nao c por questoestecnicas).

k<-function(b)0.975-1.1*(1-b)*mean(dadosy)/mean(dadosz)

k(0.5)

Partindo das amostras geradas para Y e Z, geramos a seguir uma amostra para S(b) :=C(b)Z − bY.

dadoss<-function(b)k(b)*dadosz-b*dadosy

Assim como no primeiro exemplo, devemos encontrar um estimador para a funcaogeradora de momentos das v.a.’s envolvidas no modelo. Podemos obter esse estimadorcom os comandos abaixo:

#Geradora de Momentos Estimada da amostra dados

m<-function(x,dados)

soma<-0

h<-density(dados)$bw

for (i in 1:n)

soma<-soma+exp(dados[i]*x)

return((1/n)*exp(1/2*h^2*x^2)*soma)

Para encontrar o valor de R0(b) basta resolver a equacao MS(b)(−x) = 1, o que fazemoscom os comandos abaixo:

66

library(rootSolve)

R0<-function(b)dados<-dadoss(b)

f<-function(x)m(-x,dados)-1

R<-uniroot.all(f,c(0.000001,10))

return(R)

Os comandos abaixo nos permitirao comparar os valores de R0(b) encontrados quando adistribuicao e conhecida e os valores estimados pelo procedimento acima.

#Grafico de valores estimados

vecb<-seq(from=0.1009,to=1,length=100)

vecR0<-rep(0,100)

for (i in 1:100)vecR0[i]<-R0(vecb[i])

plot.new()

plot(vecb,vecR0,col=2,type="l",lwd=2)

A seguir os comando usados para obter os graficos (figuras) 3.2 e 3.3 do Capıtulo 3.

#Grafico de valores reais (func~ao encontrada com auxilio do Maple)

REALR0<-function(b)-(.1666666667*(-18.-59.*b+sqrt(36.+396.*b+2689.*b^2)))/((2.+11.*b)*b)

vecrealr0<-rep(0,100)

for (i in 1:100)vecrealr0[i]<-REALR0(vecb[i])

lines(vecb,vecrealr0,col=3,type="l",lwd=2)

plot.new()

plot(vecb,exp(-5*vecR0),col=2,type="l",lwd=2,ylim=c(0,0.4))

lines(vecb,exp(-5*vecrealr0),col=3,type="l",lwd=2)

A seguir estao relacionados os comandos utilizados para o calculo da cota superiorindutiva para a probabilidade de ruına. O procedimento e semelhante ao do exemploanterior e, portanto, dispensamos maiores esclarecimentos. Devemos, no entanto, observaras variacoes necessaria para a aplicacao do algoritmo neste exemplo.

O calculo sera feito para um valor de b por vez, valor este definido no inıcio do algo-ritmo. Sabemos que o valor dessa cota depende do valor de R0 = R0(b). Devemos, entao,usar o valor estimado R0(b) para o calculo da cota. Chamamos atencao tambem para ovalor de x = X0 (omitido no exemplo anterior por ser igual a 1) que e tambem levado emconsideracao no calculo da cota.

#beta para Inductive Bound estimada

b<-0.5

f1<-function(y)soma<-0

hy<-density(dadosy)$bw

for (i in 1:n)

soma<-soma+dnorm(y,mean=dadosy[i],sd=hy^2)*exp(R0(b)*y)

return(soma*1/n)

my<-function(x)m(x,dadosy)

67

hy<-density(dadosy)$bw

pest<-function(x)

soma<-0

for (i in 1:n)soma<-soma+pnorm(x,mean=dadosy[i],sd=hy^2)

return((1/n)*soma)

f1<-function(y)soma<-0

for (i in 1:n)

soma<-soma+dnorm(y,mean=dadosy[i],sd=hy^2)

return(soma*1/n*exp(R0(b)*y))

#integral de "0 ate t" (regra do trapezio)

integral<-function(t)

soma<-0

part<-seq(0,t,length=1000)

h<-(t)/(999)

soma<-sum(f1(part))

return(h*((soma-(f1(t)+f1(0))/2)))

betanum<-function(t)my(R0(b))-integral(t)

betaden<-function(t)exp(R0(b)*t)*(1-pest(t))

beta<-function(t)betanum(t)/betaden(t)

beta<-1/optimize(beta,c(0,10))$objective

beta

ss<-c(0.06,0.08,0.1)

P1<-matrix(c(0,0.9,0.1,0.8,0.2,0,0.9,0.1,0),nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE)

P2<-matrix(c(0.3,0.7,0,0,0.2,0.8,0,0.1,0.9),nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE)

IB<-function(beta,i,r,P)

soma<-0

for (j in 1:3)soma<-soma+P[i,j]*exp(-r*5*(1+ss[j]))

return(beta*soma)

68

IB(beta,2,R0(b),P1)

IB(beta,2,R0(b),P2)

Por fim, os comandos abaixo nos dao a estimativa para a cota superior via martinga-les. Os comandos sao semelhantes aos do exemplo anterior portanto dispensam maioresesclarecimentos. O calculo e feito para um valor de b por vez, conforme definido no iniciodo algoritmo.

b<-0.5

mb<-function(r,i,p)soma<-0

for (j in 1:3)

soma<-soma+P[i,j]*m(-r/(1+S[j]),dadoss(b))

return(soma)

#R1 para matriz P1

mb1<-function(r)mb(r,1,P1)-1

rho1<-uniroot.all(mb1,c(0.001,10))

mb2<-function(r)mb(r,2,P1)-1

rho2<-uniroot.all(mb2,c(0.001,10))

mb3<-function(r)mb(r,3,P1)-1

rho3<-uniroot.all(mb3,c(0.001,10))

R1P1<-min(rho1,rho2,rho3)

R1P1

#R1 para matriz P2

mb1<-function(r)mb(r,1,P2)-1

rho1<-uniroot.all(mb1,c(0.001,10))

mb2<-function(r)mb(r,2,P2)-1

rho2<-uniroot.all(mb2,c(0.001,10))

mb3<-function(r)mb(r,3,P2)-1

rho3<-uniroot.all(mb3,c(0.001,10))

R1P2<-min(rho1,rho2,rho3)

R1P2

exp(-5*R1P1)

exp(-5*R1P2)

69

Capıtulo 5

Observacoes Finais

Os resultados numericos obtidos neste trabalho nos sugerem que as cotas superioresobtidas indutivamente sao mais precisas que as obtidas via martingales. Este compor-tamento tambem pode ser observado em trabalhos desenvolvidos com base em outrosmodelos de risco (veja, por exemplo, Cai e Dickson [2]).

O artigo Inequalities for the ruin probability in a controlled discrete-time risk process[5], por Diasparra e Romera, no entanto, traz resultados que nao condizem com essatendencia.

Ao longo do desenvolvimento deste trabalho pudemos observar discordancia entre osresultados teoricos e numericos do artigo supracitado. Os valores encontrados para R1

(constante que nos permite obter a cota superior via martingales para a probabilidade deruına do modelo) por exemplo, nao satisfazem a equacao (2.26) para todo i ∈ I.

Percebemos que, ao fazer os calculos para obter as cotas superiores para a probabili-dade de ruına, nao houve preocupacao dos autores quanto aos intervalos onde as funcoesgeradoras de momentos estao bem definidas e sao finitas.

Procuramos neste trabalho sanar tais equıvocos e apresentar cotas superiores para aprobabilidade de ruına do modelo que estejam de fato condizentes com a teoria como umtodo.

Alem disso, procuramos apresentar uma alternativa a suposicao de serem conhecidas adistribuicoes das v.a. envolvidas no processo utilizando metodos de estimacao em nossassimulacoes. Os resultados obtidos foram satisfatorios e nos abrem um novo leque deopcoes para a abordagem do problema de encontrar cotas para a probabilidade de ruına.

70

Apendice A

Calculo de R1

Abaixo um algoritmo alternativo para o calculo de R1. Essa funcao leva em consideracaoo fato de que a menor raiz positiva de cada li e a que se enquadra no intervalo onde afuncao geradora de momentos em questao existe e e finita. O mesmo algoritmo pode serusado substituindo a matriz P1 por P2 obtendo, assim, os valores relacionados a segunda.

71

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