Modelos de Distribuições - Jorge Teófilo | Assuntos …...24/05/2014 3 24/05/2014 06:56 ESTATÍSTICA APLICADA I -Modelos de Distribuições 4.1 Introdução Existem variáveis aleatórias

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24/05/2014 06:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística Aplicada I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Campus de Tucuruí – CTUCCurso de Engenharia Mecânica

24/05/2014 06:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

Capítulo IV

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Modelos de Distribuições

Campus de Tucuruí – CTUCCurso de Engenharia Mecânica

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� Introdução

� Distribuições teóricas discretas

� Distribuições teóricas contínuas

IV – Modelos de Distribuições


� Introdução




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4.1 Introdução

� Existem variáveis aleatórias que têm uma função dedistribuição pertencente a uma classe de distribuições

teóricas.

� As distribuições teóricas, como o próprio nome indica,foram submetidas a estudos prévios e têm propriedadesconhecidas; portanto, podem servir como modelo emdeterminadas situações em que a distribuição estejaidentificada, poupando tempo na análise do problemaestudado.


4.1 Introdução

� As distribuições teóricas que aqui serão estudadas são:

• Caso discreto- Distribuição binomial- Distribuição hipergeométrica- Distribuição de Poisson

• Caso contínuo- Distribuição uniforme- Distribuição exponencial- Distribuição normal- Distribuição qui-quadrado- Distribuição t de Student- Distribuição F

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� Introdução





4.2 Distribuições Teóricas Discretas

� Prova de Bernoulli

• A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve debase a várias distribuições teóricas (distribuição binomial,distribuição binomial negativa e distribuição geométrica).

• Consideremos uma experiência aleatória na qual existem apenasdois acontecimentos em que estamos interessados: oacontecimento A que será designado por sucesso e oacontecimento contrário, , que será designado por falha. Osucesso ocorre com probabilidade p, e o insucesso comprobabilidade q = 1− p .

A

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• O espaço de resultados está assim particionado emdois acontecimentos em que:}A,A{S ====

p1q)A(PfalhaA

p)A(PsucessoA

−−−−============

========

• A uma experiência aleatória com estas característicasdá-se o nome de prova de Bernoulli.




• Principais características:

[[[[ ]]]]

pq)p1(ppp

pp1q0)x(fx

)X(E)x(E:Variância

pp1q0)x(fx:Média

2

1

0

2222

i

2

i

222

i

2

1

0

ii

====−−−−====−−−−====

====−−−−++++====−−−−====

====−−−−====−−−−====

====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅========

∑∑∑∑

∑∑∑∑

µµµµ

µµµµµµµµσσσσ

µµµµ

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• Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como oprocesso caracterizado por repetidas provas que têm lugar nasseguintes condições:

1. Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis,designados como “sucesso” e “falha”.

2. A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada porp, permaneça constante. A probabilidade de falha designa-sepor q = 1− p.

3. As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidosnuma sequência de provas não influenciam os resultados da(s)provas(s) subsequente(s).



� Distribuição binomial

• Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aosexperimentos que apresentam apenas dois resultados: sucesso oufalha.

• Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses:

- H1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas;- H2. cada prova admite apenas dois resultados – sucesso ou

falha;- H3. a probabilidade de sucesso é p e de falha é 1 – p = q.

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• Considerando-se uma sucessão de n provas de Bernoulli, avariável aleatória que representa o número de sucessos obtidosnessas n provas de Bernoulli tem distribuição binomial.

• A variável aleatória X, que é igual ao número de provas queresultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial comparâmetros p e n em que 0 < p < 1 e n = {1, 2, 3, ..., n}.

• A função de probabilidade de X é

n...,,2,1,0x,qpx

n)x(f xnx ====

==== −−−−




• Principais características:

- De acordo com as hipóteses, observa-se que X é a soma de n

variáveis do tipo “Bernoulli”, daí

npqn)X(Var:Variância

npn)X(E:Média

2 ========

========

σσσσ

µµµµ

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• Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de chance de conteruma certa molécula rara. Considere que as amostras sejamindependentes em relação à presença da molécula rara. Encontrea probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente 2contenham a molécula rara.

- Seja X = número de amostras de ar que contenham a molécularara nas próximas amostras analisadas (sucessos); então, X é avariável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 18. Assim,

284,0)9,0()1,0(2

18)2X(Pqp

x

n)x(f 162xnx ====

========∴∴∴∴

==== −−−−




• Exemplo: Determine a probabilidade de que no mínimo 4amostras contenham a molécula rara.

- Neste caso, a probabilidade requerida é

098,0

)168,0284,0300,0150,0(1

)9,0()1,0(x

181

)9,0()1,0(x

18)4X(P

3

0x

x18x

18

4x

x18x

====

====++++++++++++−−−−====

====

−−−−====

====

====≥≥≥≥

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

−−−−

====

−−−−

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• Exemplo: Determine a probabilidade de que o número deamostras que contenham a molécula rara esteja entre 3 e 6.

- Neste caso, a probabilidade requerida é

265,0

005,0022,0070,0168,0

)9,0()1,0(x

18)6X3(P

6

3x

x18x

====

====++++++++++++====

====

====≤≤≤≤≤≤≤≤ ∑∑∑∑

====

−−−−



� Distribuição hipergeométrica

• Suponhamos que temos um conjunto de N elementos e que M

destes elementos têm uma certa característica em que estamosinteressados (sucesso); logo os outros N-M elementos não têmessa característica.

• Ao retirarmos n elementos do conjunto inicial de N elementos(retirar de forma aleatória e sem reposição) consideremos X avariável aleatória que representa o número de elementos que sãoretirados e que têm a característica em que estamos interessados.

• A variável aleatória definida nas condições anteriores temdistribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n.

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• A probabilidade da variável aleatória assumir o valor x é dadapor:

{{{{ }}}} {{{{ }}}}M,nmin...,,)MN(n,0máxxcom

n

N

xn

MN

x

M

)n,M,N,x(b)xX(P

−−−−−−−−====

−−−−

−−−−⋅⋅⋅⋅

============

• Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuiçãohipergeométrica com parâmetros N, M e n, então:

−−−−

−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====

1N

nN

N

MN

N

Mn)X(Var

N

Mn)X(E




• Exemplo: Na produção de 1000 parafusos em uma máquina Afoi observado que 100 apresentam algum tipo de defeito. Comovão ser utilizados 10 parafusos de cada vez, determine aprobabilidade de todos serem perfeitos.

- Neste caso, N = 1000, M = 100 e n = 10, a probabilidaderequerida, portanto, será:

35,0

10...21

991...9991000

10...21

891...8999001

10

1000

010

1001000

0

100

)0X(P ====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

====

−−−−

−−−−⋅⋅⋅⋅

========

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� Distribuição de Poisson

• A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francêsSimon Poisson) está associada a um grande conjunto de situaçõespráticas cujos alguns exemplos são os seguintes:

- Número de mensagens que chegam em um servidor no intervalode uma hora.

- Número de partículas defeituosas em um cm3 de volume de umcerto líquido.

- Número de defeitos em um metro de comprimento, de um fioproduzido por uma máquina têxtil.




• Todos os exemplos apresentados têm umacaracterística comum: a variável aleatória em estudorepresenta o número de ocorrências de um certoevento ao longo de um intervalo (tempo,comprimento, área ou volume).

• Os valores que a variável aleatória pode assumir sãovalores inteiros não negativos: 0, 1, ..., n,... .

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• Outras características que identicam uma distribuição de Poissonsão:

- O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos sãovariáveis independentes.

- A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificaré a mesma para intervalos da mesma dimensão; isto é, aprobabilidade depende apenas da amplitude do intervalo e nãoda posição em que se situa nesse intervalo.

- As ocorrências do fenômeno descrito verificam-se uma a uma e

nunca em grupos.




• Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo for λ >

0, a variável aleatória X, que é igual ao número de ocorrências nointervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ,sendo a função de distribuição de X dada por

...,2,1,0x,!x

e)x(f

x

========−−−− λλλλλλλλ

Não é possível exibir esta imagem no momento.

• Características:

λλλλ

λλλλ

====

====

)X(Var:Variância

)X(E:Média

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• Exemplo: Mensagens chegam a um servidor de computadoresde acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de10 por hora.


a) Qual a probabilidade de 3 mensagens chegarem em 1 hora?

b) Qual a probabilidade de 6 mensagens chegarem em 30minutos?




• Exemplo:

0076,0!3

10e)3X(P

!x

e)x(f

310x

============∴∴∴∴====−−−−−−−− λλλλλλλλ


b) Seja X a representação do número de mensagens em 30minutos (0,5 hora). Então E(X) = 0,5.10 = 5 mensagens e

1462,0!6

5e)6X(P

65

============−−−−

a) Seja X a representação do número de mensagens em 1 hora.Então E(X) = 10 mensagens e

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� Introdução





4.3 Distribuições Teóricas Contínuas

� Distribuição uniformeNão é possível exibir esta imagem no momento.

• Consideremos uma variável aleatória contínua, cujos valorespodem ocorrer dentro dum intervalo limitado (aberto ou fechado)(a,b). Se quaisquer dois subintervalos de igual amplitude têm amesma probabilidade, então a variável aleatória tem distribuiçãouniforme.

• Diz-se que a variável aleatória contínua X tem distribuiçãouniforme no intervalo (a,b) se a sua função de densidade deprobabilidade for dada por:

<<<<<<<<

−−−−====

xdevaloresoutrospara0

bxaab

1

)x(f

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� Distribuição uniforme

≥≥≥≥

<<<<<<<<−−−−

−−−−

≤≤≤≤

====

bx1

bxaab

ax

ax0

)x(F


• Os parâmetros caracterizadores desta distribuição são a e b, quesatisfazem a condição −∞ < a < b < +∞.

• Sua função de distribuição cumulativa F(x) é dada por:

• Características: Se a variável aleatória X tem distribuiçãouniforme no intervalo (a,b) então:

12

)ab()X(Var,

2

ba)X(E

2−−−−====

++++====



� Distribuição uniforme

2x0para,5,002

1

ab

1)x(f ≤≤≤≤≤≤≤≤====

−−−−====

−−−−====


• Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta(0,2). Qual a probabilidade de que este ponto esteja entre 1 e 1,5?


Então:

∫∫∫∫

∫∫∫∫

========≤≤≤≤≤≤≤≤

∴∴∴∴====≤≤≤≤≤≤≤≤

5,1

1

b1

a

25,0dx5,0)5,1x1(P

dx)x(f)bxa(P

- Seja X a representação da variável escolher um ponto de (0,2).A função densidade de probabilidade de X é dada por:

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� Distribuição ExponencialNão é possível exibir esta imagem no momento.


• A distribuição exponencial está intimamente ligada à distribuição dePoisson. Se o número de ocorrências de um certo acontecimentosegue uma distribuição de Poisson, a “medida de espaço” entre duasocorrências consecutivas ou a “medida de espaço” até à primeiraocorrência segue uma distribuição exponencial.

• A distribuição exponencial é também usualmente utilizada nadescrição do tempo de vida de aparelhos, de organismos etc. (lei defalhas exponencial).

• A distribuição de probabilidade de um intervalo entre dois sucessosconsecutivos de uma lei de Poisson é a distribuição exponencial.



0xparaeλ)x(f xλ ≥≥≥≥==== −−−−

• Sua função densidade de probabilidadea é dada por


onde λ é o parâmetro caracterizador da distribuição, sendo λ > 0.

• Características:

2

1)X(Var:Variância

1)X(E:Média

λλλλ

λλλλ

====

====

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• O gráfico de f(x) é dado por:

• Função distribuição cumulativa:

0 x

f(x)

λ


0xpara,e1dxeλ)x(F

0xpara,0)x(F

xλ

x

0

xλ ≥≥≥≥−−−−========

<<<<====

−−−−−−−−∫∫∫∫




• Conhecida a função distrbuição cumulativa de x, pode-sefacilmente determinar

[[[[ ]]]] 00 xx

00 ee11)x(F1)xX(Pλλλλλλλλ −−−−−−−− ====−−−−−−−−====−−−−====≥≥≥≥

0 x

f(x)

λ

e-λxo

xo


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• Exemplo: Os defeitos de um tecido seguem adistribuição de Poisson com média de um defeito acada 400 m de tecido. Qual a probabilidade de que ointervalo entre dois defeitos consecutivos seja:


a) No mínimo de 1000 m;

b) Entre 800 e 1000 m.

Calcule a média e a variância.




• Exemplo:


- Sabe-se que na distribuição de Poisson E(x) = λ,então:

%32,5ou0532,0ee

)1000x(P)800x(P)1000x800(P)b

%81ou081,0ee)1000x(P)a

400

1

400

1000

400

800

400

1000

x

====−−−−====

====≥≥≥≥−−−−≥≥≥≥====≤≤≤≤≤≤≤≤

============≥≥≥≥

====

−−−−−−−−

−−−−−−−−λλλλ

λλλλ

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� Distribuição NormalNão é possível exibir esta imagem no momento.


• É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicadaem inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimentoteórico da estatística.

• A grande maioria das variáveis aleatórias contínuas que descrevemprocessos físicos ou características humanas seguem umadistribuição normal. Algumas vezes, as variáveis aleatórias nãoseguem uma distribuição normal, mas aproximam-se muito desta.Por outro lado, a distribuição normal desempenha um papelcrucial na inferência estatística.

• É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ouLaplace-Gauss



� Distribuição NormalNão é possível exibir esta imagem no momento. Não é possível exibir esta imagem no momento.

∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−−====

−−−−−−−−

xpara,eπ2σ

1)x(f

2

2

σ2

)µx(

• Seja X uma variável aleatória contínua, X terá uma distribuiçãonormal se


2)X(Vare)X(E σσσσµµµµ ========

onde µ e σ são os parâmetros caracterizadores da distribuição.

• Se a variável aleatória X tem distribuição normal então:

• A notação N(µ,σ2) é frequentemente usada para denotar umadistribuição normal, com média µ e variância σ2.

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• Quando se utiliza a distribuição normal na forma como seapresenta, para o cálculo das probabilidades, surgem doisproblemas:

- A integração de f(x) fica difícultada, pois para o cálculo énecessário o desenvolvimento da função em série;

- A elaboração de uma tabela de probabilidades única inexiste,pois como f(x) depende de dois parâmetros, isto acarreta umgrande trabalho para tabelar essas propriedades considerando-seas várias combinações de µ e σ2.




• Esses problemas podem ser contornados por meio de umamudança de variável, obtendo-se, assim, a distribuição normalpadronizada ou reduzida.

• Distribuição normal padrão:

σσσσ

µµµµ−−−−==== i

i

XZ

em que X é uma variável normal de média µ e variância σ2.

- Seja Z uma variável aleatória tal que:


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[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] 1)X(Var1

)X(Var1X

Var)Z(Var

01

)(E)X(E1

)X(E1X

E)Z(E

2

2

22============−−−−====

−−−−====

====−−−−====−−−−====−−−−====

−−−−====

σσσσ

σσσσ

σσσσµµµµ

σσσσσσσσ

µµµµ

µµµµµµµµσσσσ

µµµµσσσσ

µµµµσσσσσσσσ

µµµµ

• Distribuição normal padrão:

- Logo, a função densidade de probabilidade será:

- A média e a variância de Z serão:

∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−−====−−−−

z,e2

1)z( 2

z 2

ππππϕϕϕϕ


- Como a média de Z é 0 e a variância 1, as probabilidades podemser facilmente calculadas e tabeladas.



• Propriedades da distribuição normal


1. f(x) é simétrica em relação à média x = µ, ou φ(z) é simétrica emrelação a z = 0.

µ0

f(x)

φ(z)

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2. f(x) possui um máximo para x = µ, ou φ(z) possui um máximopara z = 0.

φ(z) 0,39





3. f(x) tende a zero quando x tende para ± ∞, o mesmo acontecendocom φ(z) quando z tende para ± ∞; isto é, x ou z são assíntotas de

f(x) ou φ(z).

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4. f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem µ + σ

e µ – σ, da mesma forma φ(z) tem dois pontos de inflexão cujasabscissas valem +1 e –1.

µ+σµ-σ 0 1-1





5. Em ambas as funções 99,99% dos valores da variável pertencemao intervalo [µ - 4σ, µ + 4σ].

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6. Na figura (a) estão representadas duas distribuições que têm omesmo valor médio (µ1 = µ2), mas diferentes desvios padrões (σ1

< σ2). Na figura (b) estão representadas duas distribuições quetêm o mesmo desvio padrão, mas médias diferentes.

(a) (b)1

2






6. Alguns resultados úteis relativos à distribuição normal, sãosumarizados na figura abaixo. Para qualquer variável aleatórianormal,

9975,0)3X3(P

9545,0)2X2(P

6827,0)X(P

====++++<<<<<<<<−−−−

====++++<<<<<<<<−−−−

====++++<<<<<<<<−−−−

σσσσµµµµσσσσµµµµ



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- Pelo fato de mais de 0,9975 da probabilidade de umadistribuição normal estar dentro do intervalo (µ - 3σ, µ + 3σ), 6σ

é frequentemente referida como a largura de uma distribuiçãonormal.

- A integração numérica pode ser usada para mostrar que a áreasob a função densidade de probabilidade normal de – ∞ < x < ∞

é igual a 1.




• Uso da tabela de distribuição normal padrão


- Existem vários tipos de tabelas que oferecem as áreas(probabilidades) sob a curva normal padrão.

- Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = - ∞

até o valor de z considerado, ou seja, P(Z ≤ z).

zo

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- O uso da tabela para encontrar, por exemplo, P(Z ≤ 1,53) éilustrado na figura abaixo:

1,53

P(Z ≤ 1,53) = Φ (1,53)

= área sombreada

z 0.00 0,01 0,02 0,03 . . . 0,09

0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511967 . . . 0,535856

0,1 0,539828 0,503795 0,547758 0,551717 . . . 0,575345

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 . . . 0,944083

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 . . . 0,999967






- Definição: A função Φ(z) = P(Z ≤ z) é usada para denotar umaprobabilidade proveniente da tabela anterior. Ela é chamada defunção distribuição cumulativa de uma variável aleatória normalpadrão.

- Uma tabela é requerida porque a probabilidade não pode serdeterminada pelos métodos elementares.

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- Outros exemplos:






- Exemplos: Os seguintes cálculos são mostrados de formadiagramática na figura a seguir.

10364,089616,01)26,1Z(P1)26,1Z(P)1 ====−−−−====≤≤≤≤−−−−====>>>>

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� Distribuição Normal

19490,0)86,0Z(P)2 ====−−−−<<<<


91465,0)37,1Z(P)37,1Z(P)3 ====<<<<====−−−−>>>>







53886,0

10565,064431,0

)25,1Z(P)37,0Z(P)37,0Z25,1(P)4

====

====−−−−====

====−−−−<<<<−−−−<<<<====<<<<<<<<−−−−

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0)6,4Z(P

0003,0)6,4Z(P

00003,0)99,3Z(P

)99,3Z(P)6,4Z(P)5

≈≈≈≈−−−−≤≤≤≤

<<<<−−−−≤≤≤≤

====−−−−<<<<

−−−−≤≤≤≤<<<<−−−−≤≤≤≤






).próximomaisvalor(65,1z)95,0Z(P:tabelaDa

95,0)zZ(P05,0)zZ(P)6

====⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤

====≤≤≤≤≡≡≡≡====>>>>

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.58,2zquando,99506,0étabelanavalordessepróxima

maisadeprobabilidA.tabelana995,0deadeprobabilid

aecorrespondzdevalorO.005,02/)99,01(aigualé

ãodistribuiçdaeextremidadcadaemáreaa,simetriaPor

99,0)zZz(P)7

≅≅≅≅

====−−−−

====<<<<<<<<−−−−




• Cálculo das probabilidades para uma variável aleatórianormal padrão arbitrária


- Todas as distribuições normais estão relacionadas algebricamentee a tabela da distribuição normal padrão pode ser usada paraencontrar as probabilidades associadas com uma variável aleatórianormal arbitrária usando a transformação

σσσσ

µµµµ−−−−==== i

i

XZ

onde X é a variável aleatória normal de média µ e variância σ2.

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- Exemplo: Suponha que as medidas de corrente em umpedaço de fio sigam a distribuição normal, com umamédia de 10 miliampères e uma variância de 4(miliampères)2. Qual a probabilidade de a medidaexceder 13 miliampères?


� Distribuição Normal

5,12

1013

2

10XZ ====

−−−−====

−−−−====



- Seja X a representação da corrente em miliampères. Aprobabilidade requerida pode ser representada por P(X > 13).Usando a transformação de variável tem-se:

06681,093319,01

)5,1Z(P1)5,1Z(P)13X(P

====−−−−

====≤≤≤≤−−−−====>>>>====>>>>

Logo,

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� Distribuição qui-quadrado

2

p

2

2

2

1

2

p x...xx ++++++++++++====χχχχ


onde “p” é um parâmetro da função densidade denominado grau

de liberdade, normalmente indicado pela letra grega φ.

• Trata-se de um modelo de distribuição contínua muito importantepara a teoria da inferência estatística.

• Seja x1, x2, ..., xp, “p” variáveis aleatórias independentes,normalmente distribuídas, com média 0 e variância 1. Define-sevariável aleatória com distribuição qui-quadrado, como umacombinação das variâncias dessas variáveis aleatória:



[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] ϕϕϕϕχχχχσσσσχχχχ

ϕϕϕϕχχχχµµµµχχχχ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

2)(Var

)(E

222

p

22

========

========


• Pode-se demonstrar que a média de uma distribuiçãoqui-quadrado é igual ao grau de liberdade, e que avariância é igual ao dobro do número de graus deliberdade:

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• A forma da curva que descreve a função densidade varia conformeo valor do grau de liberdade (valor do parâmetro φ):




- A distribuição qui-quadrado está tabelada. A tabela fornece aabscissa da distribuição para diversas áreas (probabilidades) dacauda à direita. Assim:

• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado

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- Exemplo 01: Admita φ = 9 e α = 5%.

Entra-se na 1ª coluna com φ = 9, e na 1ª linha com α = 0,05; naintersecção dessas obtém-se o número 16,9.


16,9

φ = 9

α = 5%




- Exemplo 02: Considere uma distribuição qui-quadrado comparâmetro 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desviopadrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 90º percentil.

a) A média, a variância e o desvio padrão:


636)(

362)(

18)(

22

18

2

18

2

2

18

============

========

========

σσσσχχχχσσσσ

ϕϕϕϕχχχχσσσσ

ϕϕϕϕχχχχµµµµ

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- Exemplo 02:

b) A mediana





- Exemplo 02:

c) O 1º quartil


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- Exemplo 02:

d) O 90º percentil



� Distribuição t de Student


• Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelhaà distribuição normal padrão, N(0,1). É utilizada para inferênciasestatísticas, particularmente, quando se tem amostras comtamanhos inferiores a 30 elementos (Fonseca & Matins, 1996).

• A distribuição t também possui um parâmetro denominado grau de

liberdade (φ), e é simétrica em relação à sua média.

• A média dessa distribuição é zero, e sua variância é dada por:

[[[[ ]]]] )2(2

)t(tVar 2 >>>>−−−−

======== ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕσσσσ ϕϕϕϕϕϕϕϕ

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• Gráfico da distribuição t de Student (para φ = 4):

• Observa-se que para valores de φ > 30 a distribuição t apresentamaior dispersão do que a normal padrão N(0,1), já que o desviopadrão, nesses casos, é maior do que 1, que é o desvio padrão dadistribuição normal padrão.




03,1235

35)t( 35 ====

−−−−====σσσσ

02,1260

60)t( 60 ====

−−−−====σσσσ

41,124

4)t( 4 ====

−−−−====σσσσ

• Exemplo:

- Para φ = 4 tem-se:



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- Trata-se de uma tabela bicaudal. Assim:

• Uso da tabela de distribuição t de Student




- Procedimento de uso da tabela:

• Uso da tabela de distribuição t de Student

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a) A média, a variância e o desvio padrão:

• Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro igual a18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) amediana; (c) o 1º quartil e (d) o 95º percentil.

06,113,1)t(:padrãoDesvio

13,1218

18)t(:Variância

0)t(:Média

18

18

2

18

========

====−−−−

====

====

σσσσ

σσσσ

µµµµ




b) A mediana – Md(t18) :

• Exemplo:


c) O 1º quatil – Q1:

d) O 95º percentil – P95:

Md =

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� Distribuição F

• Trata-se de um modelo de distribuição contínua também útil parainferências estatísticas.

• A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatóriasindependentes com distribuições qui-quadrado. Assim, umadistribuição F com p graus de liberdade no numerador e q grausde liberdade no denominador é expressa por:


p

q

q

p)q,p(F

2

q

2

p

2

q

2

p

⋅⋅⋅⋅========χχχχ

χχχχ

χχχχ

χχχχ



• A função F possui dois parâmetros: o grau de liberdade donumerador e o grau de liberdade do denominador, que sãodenominados, comumente, por φ1 e φ2 .

• A média, a variância e a moda dessa distribuição são dadas por:


(((( ))))(((( ))))(((( ))))

++++

−−−−

−−−−−−−−

−−−−++++====

−−−−====

2

2:Moda

24

22:Variância

2:Média

2

2

1

1

2

221

21

2

22

2

2

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕσσσσ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕµµµµ

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• Formas de gráficos da distribuição F :





• Uso da tabela de distribuição F

- A tabela fornece as abscissas que deixam α na cauda à direita,dados os parâmetros φ1 e φ2.

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• Uso da tabela de distribuição F

- Para se encontrar o valor da abscissa F1-α(u,v) utiliza-se afórmula:

u,v,

v,u,1F

1F

αααα

αααα ====−−−−

- Exemplo: Admita umadistribuição F com u = 9,v = 5 e α = 5, determine asabscissas.


FIM

IV – Modelos de Distrubuições

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Modelos de Distribuições - Jorge Teófilo | Assuntos …...24/05/2014 3 24/05/2014 06:56 ESTATÍSTICA APLICADA I -Modelos de Distribuições 4.1 Introdução Existem variáveis aleatórias