El diseo de una obra se inicia con la seleccin de una solicitacin que

define las dimensiones de la obra. En el caso particular de una obra

hidrulica, para dimensionarla, se requiere conocer el caudal

mximo de diseo o la avenida de diseo.

Para el dimensionamiento, no slo se debe estimar el caudal de diseo

sino que se debe predecir su probabilidad de

ocurrencia, es decir, cuntas veces se espera que sea

excedido el caudal de diseo en determinado tiempo. Esto, para trabajar con unos rangos de seguridad de acuerdo al tipo de obra

proyectado.

Para responder a lo anterior, ser necesario elaborar un modelo probabilstico

de la situacin en anlisis, cuyo resultado final es imposible predecir con

certeza.

MODELOS PROBABILSTICOS

PREGUNTAS Y RESPUESTAS

SOBRE EL PERODO DE RETORNO A SER

USADO PARA DISEO

Victor M. Ponce

1. CUALES SON LOS PERODOS DE RETORNO NORMALMENTE USADOS EN

EL DISEO?

En hidrologa, los perodos de retorno varan tpicamente de 10 a 100 aos, y en

lugares donde la Precipitacin Mxima Probable no ha sido definida, hasta

10,000 aos. La seleccin de perodo de retorno depende de varios factores,

entre los cuales se incluyen el tamao de la cuenca, la importancia de la

estructura, y el grado de seguridad deseado.

2. CUL ES EL PERODO DE RETORNO MS CORTO?

El perodo de retorno ms corto (bajo) en drenaje urbano es de 5 a 10 aos.

Estos valores estn usualmente asociados con reas de drenaje menores a 100

ha. Para estas reas, se puede utilizar el mtodo racional para obtener la

descarga pico. En ciertos casos, particularmente para reas que exceden las 100

ha, se pueden usar perodos de retorno ms largos.

3. POR QU SE USAN PERODOS DE RETORNO CORTOS EN DRENAJE

URBANO?

En la hidrologa de cuencas pequeas, la descarga pico est relacionada con la

intensidad de lluvia. A su vez, sta est relacionada con el tiempo de

concentracin. Las reas pequeas tienen un tiempo de concentracin corto, y

esto produce una intensidad alta y una descarga pico alta [por unidad de rea]. Sin

embargo, como el rea es pequea, la descarga pico es tambin pequea. Por lo

tanto, para reas pequeas, con tiempo de concentracin medido en minutos,

no es usualmente econmico el disear para perodos de retorno largos.

4. CUL ES EL PERODO DE RETORNO PARA OBRAS REGIONALES DE

CONTROL DE INUNDACIONES?

Las obras regionales de control de inundaciones tales como los diques laterales

cubren grandes reas de drenaje. En este caso, los perodos de retorno pueden

variar entre los 50 y 100 aos. El tiempo de concentracin es ms largo, por

ejemplo, unas horas, y la intensidad de lluvia es correspondientemente menor; esto

resulta en una descarga pico pequea [por unidad de rea]. Sin embargo, la

descarga pico total puede ser grande, reflejando en este caso ms el tamao

del rea de drenaje que la intensidad de lluvia.

Fig. 2 Diques longitudinales en el arroyo Tecate, Baja

California, Mxico.

5. CUL ES EL PERODO

DE RETORNO PARA EL

DISEO DE OBRAS VIALES?

Para el diseo de obras viales,

la seleccin de perodo de

retorno depende de la

importancia de la estructura.

Los perodos de retorno en

obras viales y otras obras

regionales, incluyendo

alcantarillas, varan tpicamente

entre los 25 y 100 aos. Es

inusual usar perodos de

retorno mayores a 100 aos en

el diseo hidrulico de obras

viales.

6. CUL ES EL PERODO DE RETORNO PARA EL DISEO DE PUENTES?

En el caso de puentes sobre ros, el nfasis se pone en la importancia de la

estructura y el riesgo de falla. Para el diseo de pilares de puentes, se pueden

justificar perodos de retorno de hasta 500 aos, dependiendo del caso.

7. POR QU ES USUAL EL PERODO DE RETORNO DE 100 AOS?

El perodo de retorno de 100 aos significa cuatro generaciones. Es un nmero no muy alto y

no muy bajo. El valor de 100 aos no implica que la estructura estar en riesgo de falla cada

100 aos. En vez, significa que la estructura estar en riesgo de falla, por ejemplo, 10 veces a

lo largo de 1000 aos. El criterio de la avenida de 100 aos se aplica al desarrollo de llanuras

aluviales, obras de proteccin de mediana envergadura, y obras regionales de drenaje

urbano.

Como regla general, cuanto mayor es el rea de drenaje, ms largo es el perodo de

retorno. Usualmente, reas menores de 250 ha no justifican perodos de retorno

mayores a los 25 aos. Sin embargo, para reas mayores, hasta las 10,000 ha o ms, se

pueden justificar perodos de retorno hasta de 100 aos o ms.

8. QU ES LA PRECIPITACIN MXIMA PROBABLE?

PMP quiere decir "Precipitacin Mxima Probable." Aun cuando su nombre implica

una probabilidad, en efecto la primera P de PMP debe interpretarse como

"posible." El PMP es una maximizacin razonable de la precipitacin [de evento]

que puede esperarse en una localizacin geogrfica, para una duracin

determinada. Los estimados de PMP, que incluyen estimados generalizados (con

mapas), y otros basados en mtodos estadsticos, han sido hechos en los Estados

Unidos desde principios de la dcada de 1960

10. PUEDE LA PMP SER DIFERENTE QUE AQULLA CON PERODO DE

RETORNO DE 10,000 AOS?

El valor de PMP basado en mtodos estadsticos se usa comnmente en lugares

donde el PMP generalizado no est disponible. No es raro que el valor de PMP

basado en estadstica sea diferente que la avenida de P10,000 obtenida usando

mtodos estadsticos.

11. CUNDO SE UTILIZAN PERODOS DE RETORNO HASTA 10,000 AOS?

Para lugares en los cuales no se han determinado valores de PMP generalizado, y

donde el riesgo de falla pone en peligro la vida humana, se usan perodos de

retorno mayores a 100 aos, incluyendo 200, 500, 1000, 2000, 5000, y 10,000

aos. Los valores hasta de 10,000 aos se usan para aliviaderos de emergencia e

hidrogramas de borde libre, en el diseo de presas.

Fig. 4 Aliviadero de demasas de la presa Turner, condado de San Diego,

California, USA.

12. QU PERODOS DE RETORNO [MS ALL DE LOS 100 AOS] SE

USAN EN LOS ESTADOS UNIDOS?

En los Estados Unidos se utilizan perodos de retorno hasta 100 aos. Ms

all de este lmite, las precipitaciones de diseo se toman como la suma de

la P100 ms una fraccin de la diferencia entre el P100 y la PMP. Por ejemplo,

para una presa de clase (c), el Servicio de Conservacin de Recursos

Naturales (NRCS) especifica una precipitacin para un aliviadero de

emergencia igual al 100% de la P100 ms el 26% de la diferencia entre el

PMP y el P100 (NRCS TR-60: Earth dams and reservoirs).

En efecto, esto significa que la precipitacin de diseo es un promedio

ponderado de la P100 y la PMP. Estas precipitaciones se usan, junto con un

modelo de precipitacin-escorrenta, para calcular el hidrograma de diseo.

Para una presa de clase (c), la PMP se usa para calcular la Avenida Mxima

Probable (AMP), vale decir, la avenida que tomara todo el borde libre.

13. CUL ES EL PERODO DE

RETORNO DE UNA AVENIDA

PRODUCIDA POR LA ROTURA DE UNA

PRESA?

El perodo de retorno de una avenida

producida por la rotura de una presa

depende del volumen almacenado

detrs de la presa en el momento de la

rotura, y del tiempo de desarrollo de la

rotura misma. Si este tiempo es corto, por

decir menos de una hora, la avenida

resultante puede tener un perodo de

retorno mayor a los 10,000 aos. Por lo

tanto, es importante disear la presa de

manera que el aliviadero sea capaz de

pasar una avenida extrema.

Fig. 5 Falla de la presa Teton, en el ro Snake, Idaho, USA,

el 5 de junio de 1976.

14. PUEDEN LOS PERODOS DE RETORNO VARIAR EN EL

MISMO PROYECTO?

S. Cuando los otros factores son los mismos, el perodo de

retorno a usar depende del tamao del rea de drenaje.

Cuando menor es el rea de drenaje, ms corto podr ser el

perodo de retorno. De otra manera, cuando ms grande es

el rea de drenaje, ms largo podr ser el perodo de

retorno. Por lo tanto, las reas menores dentro de una cuenca

tendrn perodos cortos, por ejemplo, 5 a 10 aos, mientras que

reas mayores tendrn perodos ms largos, por ejemplo, 25,

50, o 100 aos. La razn para variar los perodos de retorno

dentro de un mismo proyecto es que la probabilidad de

ocurrencia de una cierta intensidad de lluvia aumenta con una

disminucin del rea de drenaje. Por lo tanto, es ms probable

que un rea ms pequea sea sometida a una intensidad de

lluvia ms alta.

El diseo de un proyecto de drenaje urbano (con reas que varan desde

una cuantas hectreas hasta cientos de hectreas) con el mismo valor de

perodo de retorno puede llevar al diseo insuficiente de las reas grandes

(si se usa un perodo de retorno corto) o al sobrediseo de las reas

pequeas (si se utiliza un perodo de retorno largo).

15. CMO AFECTAR EL CALENTAMIENTO GLOBAL AL DISEO?

Bajo condiciones de calentamiento global, se espera que los climas cambien local y

regionalmente. Algunas regiones se secarn y otras se volvern mas hmedas.

Todo el registro de precipitaciones podra estar en riesgo de obsolescencia.

Un diseo existente o planeado, basado en el registro disponible, se convertir en

menos conservador bajo un cambio de condiciones hmedas a secas

(desertificacin), y en ms conservador bajo un cambio de condiciones secas a

hmedas (humidificacin).

Anomalas globales de temperatura de la superficie en el ao 2005 (Fuente: NASA).

16. QUIN ESCOGE EL PERODO DE RETORNO?

El diseador escoge el perodo de retorno, en consulta con el dueo,

siguiendo la prctica establecida. Es importante que la seleccin considere

una estimacin adecuada del riesgo. El Cuadro 1 puede usarse como gua,

en conjuncin con las reglamentos y experiencia locales.

Cuadro 1. Gua para la seleccin de perodos de retorno.

No. Tipo de proyecto o obra Perodo de retorno

(aos)

1 Drenaje urbano [bajo riesgo]

(hasta 100 ha) 5 a 10

2 Drenaje urbano [mediano riesgo]

(ms de 100 ha) 25 a 50

3 Drenaje vial 25 a 50

4 Aliviadero principal (presas) 25 a 100

5 Drenaje vial 50 a 100

6 Diques longitudinales [mediano

riesgo] 50 a 100

7 Drenaje urbano [alto riesgo]

(ms de 1,000 ha) 50 a 100

8 Desarrollo de zona de

inundacin 100

9 Diseo de puentes (pilares) 100 a 500

10 Diques longitudinales [alto

riesgo] 200 a 1000

11 Aliviadero de emergencia

(presas) 100 a 10,000 (PMP)

12 Hidrograma de borde libre [para

una presa de clase (c)] 10,000 (PMP)

PROBABILIDAD, PERIODO DE RETORNO Y RIESGO DE FALLO

A lo largo de los temas anteriores se ha estado utilizando indistintamente

probabilidad (por ejemplo: un 2% de los aos) y expresiones como cada 50 aos. Es evidente que si un suceso se presenta (por trmino medio) cada 10

aos, su probabilidad es de 0,10 (10%).

Anloga e inversamente, si la probabilidad de que algo suceda es de 0,04

(4%), ello quiere decir que, en promedio, suceder 4 veces en 100 aos, o

sea: una vez cada 25 aos.

Estos conceptos se relacionan mediante la expresin:

En Hidrologa se utiliza ms el periodo de retorno que la probabilidad. As, se habla de la crecida de 50 aos en lugar de referirse a la crecida con

probabilidad 0,02 o de la precipitacin con retorno de 100 aos en vez de la

precipitacin con probabilidad 0,01.

Supongamos que hemos calculado un cierto caudal que corresponde al

retorno de 50 aos. La probabilidad de que se produzca el ao prximo ser de

0,02 (=1/50); y la probabilidad de que se produzca el siguiente ao ser de 0,02 y

as cada ao. Necesitamos conocer la probabilidad de que se alcance ese caudal

en los prximos n aos:

Vamos a denominar a la ltima expresin obtenida arriba el riesgo de fallo (R),

es decir: la probabilidad de que s se produzca alguna vez un suceso de periodo

de retorno T a lo largo de un periodo de n aos:

Ejemplo: Se va a construir un canal cuya vida til es de 75 aos. Si el caudal supera el valor correspondiente al periodo de retorno de 100 aos, se

desbordar. Calcular la probabilidad de que se produzca un

desbordamiento en alguno de los prximos 75 aos

Por tanto, existe un 52,9% de probabilidad de que el caudal de retorno 100

aos se alcance en alguno de los prximos 75 aos

Se produce la siguiente paradoja: si consideramos un caudal con retorno

de 100 aos, parece seguro que se presente en alguno de los prximos 100

aos. Pero si aplicamos la frmula anterior, haciendo T= 100 y n=100, y

obtenemos 0,633 , es decir solamente un 63,3 %

TIPOS DE SERIES ESTADSTICAS A UTILIZAR

Los datos de precipitacin mxima diaria son

presentados en un registro mensual, en el que se

indica el valor mximo que ocurre en cada mes de

una ao y cada mximo de los doce valores

anteriores integran el registro anual.

En el anlisis estadstico no se emplean todos los

datos, slo se utilizarn las magnitudes ms

grandes, las cuales forman una SERIE

ESTADISTICA

PRECIPITACIN MXIMA EN 24 HORAS

TIPOS DE SERIES ESTADSTICAS

Bsicamente se emplean dos tipos de series

estadsticas:

Serie anual

Serie de Duracin Parcial

SERIE ANUAL DE MXIMOS

La serie anual es la ms utilizada, presenta una base

slida para la extrapolacin de los eventos.

La desventaja radica en que cada ao queda

representado por un solo evento y el mximo de un

ao puede ser menor que el segundo o tercero en

magnitud de otro ao y sin embargo no fueron

considerados.

SERIE ANUAL DE MXIMOS

El perodo de retorno est dado por:

Donde:

Tr = periodo de retorno en la serie anual de mximos, en aos

n = nmero total de eventos en la serie anual, igual al nmero

de aos de registro

m = nmero de orden del evento, arreglados en forma

decreciente, es decir uno para el mayor y n para el menor.

SERIE DE DURACIN PARCIAL

Dentro de la serie de duracin parcial, comnmente se

trabaja con dos tipos de series:

Serie de Excedentes Anuales

Serie de Duracin Parcial

SERIE DE EXCEDENTES ANUALES

Est formada por datos cuya magnitud es mayor que un cierto

valor base, el cual es determinado de manera que el nmero de

eventos de la serie integrada sea igual al nmero de aos de

registro.

Al formar la serie de excedentes anuales, se debe tener cuidado

de cumplir con la condicin de independencia entre los eventos.

Para fines prcticos se acepta en el caso de lluvias mximas, que

las condiciones meteorolgicas que generan una lluvia

importante es independiente de otra despus de un tiempo de 15

das.

SERIE DE EXCEDENTES ANUALES

El perodo de retorno de la series de excedentes anuales, se evala con la

siguiente ecuacin:

Donde:

Te= periodo de retorno en la serie anual de mximos, en aos.

n = nmero total de eventos en la serie anual, igual al nmero de aos de

registro

m = nmero de orden del evento, arreglados en forma decreciente, es

decir uno para el mayor y n para el menor.

SERIE DE DURACIN PARCIAL

Esta integrada por todos los eventos mayores que el

menor de la serie anual de mximos.

Contiene casi siempre un nmero de eventos diferente

al nmero de aos de registro y por lo tanto no puede

ser procesado estadsticamente como la serie anual.

Chow ha investigado la relacin terica entre las serie

anual y la serie de duracin parcial.

Sobre la base de resultados de experimentos de W.B.

Langbein; Dalrymple compara los perodos de retorno

para la serie de duracin parcial y la serie anual.

OBTENCION DEL VALOR REPRESENTATIVO PARA LA

CUENCA

Cuando se utiliza una sola estacin pluviomtrica.

En caso de haber utilizado una sola estacin pluviomtrica cercana

o dentro de la cuenca en estudio, los valores obtenidos de lluvia

mxima diaria para los perodos de retorno necesarios, sern

considerados representativos para la cuenca.

Cuando se utiliza ms de dos estaciones pluviomtricas.

Cuando ms de dos estaciones pluviomtricas cercanas fueron

empleadas, los valores calculados con cada una de ellas, para la

lluvia mxima diaria de algn perodo de retorno, debern ser

ponderados o pesados para obtener el valor representativo para la

cuenca.

CORRECCIONES AL VALOR REPRESENTATIVO

L.L.Weiss, sobre la base de un estudio de miles de estaciones ao de

datos de lluvia, encontr que:

Los resultados de un anlisis probabilstico llevado a cabo con lluvias

mximas anuales tomadas en un nico y fijo intervalo de observacin,

para cualquier duracin comprendida entre 1 y 24 horas, al ser

incrementado en un 13% conducan a magnitudes ms aproximadas a

las obtenidas en el anlisis basado en lluvias mximas verdaderas.

CORRECCIONES AL VALOR REPRESENTATIVO

De acuerdo a lo anterior, el valor representativo adoptado para

la cuenca deber ser multiplicado por 1.13 para ajustarlo por

intervalo fijo y nico de observacin, pues los registros de

lluvias mximas diarias, se toman de 8. am de un da a 8 am del

da siguiente.

Con tal correccin la lluvia representativa se convierte en la

lluvia mxima en 24 horas de determinado perodo de retorno.

CORRECCIONES AL VALOR REPRESENTATIVO

Conviene aclarar que los llamados registros de lluvias mximas en 24

horas, que proporciona el SENAMHI tienen una significacin

errnea, pues en realidad son registros de lluvias mximas diarias, ya

que tales tormentas no tienen una duracin real de 24 horas, sino que

nicamente fueron observadas con intervalos de 24 horas

CORRECCIN POR MAGNITUD DE CUENCA.

Se considera que los valores puntuales obtenidos con la estacin

pluviomtrica son representativos de solo 25 km2 y al tener que abarcar

un rea de cuenca mayor deben ser reducidos. Se debe corregir el valor

estimado de lluvia mxima en 24 horas y adecuarlo a la magnitud de

cuenca en estudio.

Obtenida en base a datos de 20 redes pluviomtricas densas de varias

regiones de USA.

Ha sido reportada por

el National Enviromet

Research Council de

Inglaterra.

Ha sido reportada

por el National

Enviromet Research

Council de

Inglaterra.

TIEMPO DE CONCENTRACIN

Frmula de Kirpich:

Donde:

Tc= horas

L= metros

S= m/m

Se aplica a reas de drenaje menores que 80 hectreas

TIEMPO DE CONCENTRACIN

Frmula de Hathaway:

Tc= horas

L= kilmetros

S= m/m

n=factor de rugosidad

FACTOR DE RUGOSIDAD FRMULA DE HATHAWAY

HIDROLOGIA

DISTRIBUCIONES ESTADSTICAS

Introduccin. Para qu sirve esto?

Con frecuencia nos planteamos dos tipos de cuestiones relacionadas con la

probabilidad de que se presente un cierto caudal o de que se produzca cierta

precipitacin:

1. Cul es la probabilidad de que el caudal supere 40 m3/seg?

2. Qu caudal ser superado un 2% de los aos?

Vemos que una es la inversa de la otra: A partir del valor calcular la probabilidad o

al revs.

Y a veces en lugar de hablar de probabilidad se habla de periodo de retorno y la

pregunta 2 se plantea como: Cul es el caudal con un periodo de retorno de 50 aos? Primero veremos conceptos bsicos, necesarios: muestra y poblacin, media

aritmtica y desviacin tpica, etc. Despus abordaremos la manera de

responder a cuestiones como las planteadas ms arriba con ejemplos

concretos.

Poblacin y muestra:

Poblacin, es el conjunto total de individuos o sucesos que

queremos estudiar.

A veces disponemos de medidas de toda la poblacin estudiada, pero

generalmente, esto sera muy difcil (medir la estatura de todos los

peruanos) imposible (estudiando el caudal de un ro tendramos que

medir los caudales de todos los aos pasados y futuros). En estos

casos debemos conformarnos con medir una parte de la poblacin (una

muestra). En cualquier caso, consideramos los datos disponibles y con

ellos intentamos extraer estimaciones vlidas para toda la poblacin.

Muestra, es una pequea parte de la poblacin elegida

adecuadamente para que sea representativa del total de la poblacin.

Si yo midiera la estatura de mis alumnos para conocer la estatura media

del curso, ellos seran toda la poblacin estudiada. Pero si, a partir de

ellos, yo quiero extraer conclusiones sobre la estatura de toda la juventud

peruana, mis alumnos seran solamente una muestra representativa de

la poblacin estudiada.

Como una primera aproximacin, vamos a abordar el problema sin ms

matemticas que las cuatro operaciones bsicas.

Supongamos que hemos medido la estatura de 243 personas, los valores

los hemos distribudo en grupos de 5 en 5 cm. y aparecen en la tabla

adjunta . Su representacin grfica aparece al lado.

Cmo abordaramos el problema sin la ayuda de los matemticos?

Ahora vamos a contarlos de un modo acumulado: nmero total de casos

hasta 150 cm, hasta 160 cm, etc. Efectuamos esa suma acumulada tanto

con el nmero de casos como con los porcentajes. En esta tabla

repetimos a la izquierda la tabla anterior y a la derecha los valores

acumulados; al lado, su representacin grfica (en abcisas las

estaturas, en ordenadas la ltima columna de la tabla).

En este grfico podemos leer qu porcentaje de la muestra es inferior por ej. a 175

cm, o qu estatura deja por debajo, p.ej., al 80% de los casos.

Trabajando con caudales o precipitaciones el nmero de datos puede ser de 30

40, o a veces menos, y no son suficientes para agruparlos en intervalos (caudales

entre 5 y 10, entre 10 y 15, etc.). Pero s podemos realizar un grfico acumulado

como el anterior con los datos individuales.

Veamos como ejemplo 21 precipitaciones anuales en una estacin X de

CAJAMARCA.

A la izquierda de la tabla aparecen en orden cronolgico. A la derecha se han

clasificado de mayor a menor, y en la ltima columna se refleja el porcentaje

de datos que supera ese valor.

Por ejemplo, para n=4, n/N=4/21*100=19 %. Quiere decir que el 19% de los datos

es igual o menor que 896 mm.

Representando grficamente las dos ltimas columnas, obtenemos un grfico

equivalente a la Fig. 2, que habamos preparado con las estaturas acumuladas; no tiene la misma suavidad, al tratarse de un numero reducido de datos reales pero la

lectura de ambos grficos ha de ser la

misma: En este ltimo podramos leer

directamente la probabilidad de que la

precipitacin sea

Si en la Fig. N 1 hiciramos los

intervalos ms pequeos, y

aumentramos el nmero de valores

medidos, el grfico continuara con esa

forma de campana, pero se ira

suavizando hasta ser una curva continua.

Lo mismo sucedera con la curva en forma

de S de la fig. 2. As obtendramos las dos

curvas que aparecen en la Fig. 4 Gauss

encontr la ecuacin de estas curvas, que

utilizaremos ms adelante.

La ecuacin de la curva en forma de

campana se llama funcin de densidad y

la de forma de S funcin de

distribucin. Nosotros vamos a trabajar

con la segunda.

DISTRIBUCIONES SIMTRICAS Y ASIMTRICAS

Muchas variables naturales se ajustan a la distribucin simtrica

estudiada por Gauss, pero no todas. En ocasiones no hay la misma

proporcin de pequeos que de grandes, eso dar lugar a una

distribucin asimtrica.

Fig. 5.- Distribucin asimtrica en la que los

valores ms frecuentes (pico de la curva) son

ms bajos que la media, (esta curva

corresponde a la ecuacin de Gumbel)

Por ejemplo, si representramos los

ingresos de la poblacin de una

ciudad, seguro que la campana no

sera simtrica: la riqueza se

distribuye con menor equidad que la

estatura, y mientras que la proporcin

de altos y bajos es similar, no as la de

ricos y pobres (hay pocos ricos y

muchos pobres). Quiz la campana

correspondiente tendra una forma

similar a la figura 5.

Los matemticos han encontrado para nosotros las ecuaciones de

muchas de estas campanas asimtricas (Gumbel, Pearson III, etc.).

En otras ocasiones, los valores no se ajustan a la distribucin de

Gauss, pero sus logaritmos s, se denomina entonces log-normal

(LN,LN2, y LN3), la distribucin de Gauss se llama normal).

En Hidrologa, las precipitaciones o caudales anuales suelen

ajustarse a la distribucin simtrica de Gauss, pero los valores

mximos, no: si consideramos el da ms caudaloso o el ms lluvioso de cada ao de una serie larga de aos (eso es necesario

para estudiar la previsin de avenidas), no se ajustarn a Gauss,

sino probablemente a la campana asimtrica descrita por

Gumbel o alguna similar.

MEDIA Y DESVIACIN TPICA

Sea cual sea la distribucin, para caracterizar un conjunto cualquiera de medidas

(las estaturas de los peruanos, los caudales del ro Mashcon) es necesario

disponer de un valor indicativo de su tendencia central y otro valor que nos

indique la dispersin: si los valores estn apretados o alejados a ambos lados

de la media.

La dispersin de los datos a ambos lados de la

media se evala mediante la desviacin tpica (o

estndar, es lo mismo). La desviacin tpica (s

) se calcula en funcin de la suma de las desviaciones de cada punto (x) a la media

previamente calculada ( x ). n es el nmero total

de datos.

Para indicar la tendencia central, normalmente se utiliza la media aritmtica,

tan intuitiva y que todos conocen: sumar valores y dividir por el nmero de casos.

Pero en una distribucin asimtrica, la media aritmtica nos proporciona

una informacin equvoca:

Por ejemplo, las dos series de datos siguientes tienen la misma media (23) pero

obviamente son muy distintas, en la segunda los datos estn ms dispersos

respecto de la media:

La desviacin tpica no slo nos indica de un vistazo la dispersin de los datos a

ambos lados de su media, sino que es especficamente til para realizar ciertos

clculos que veremos ms adelante.

La frmula anterior se aplica sin problema a la poblacin (es decir, si hemos

podido medir todos los datos de la poblacin estudiada, y con ellos aplicamos la

frmula). Pero lo habitual es que dispongamos slo de los datos de una muestra,

y la desviacin tpica de esa muestra puede no coincidir con la de toda la

poblacin; para moderar este error se utiliza este estimador de la desviacin

tpica:

Cuando el nmero de datos (n) es grande las dos frmulas proporcionan valores

casi idnticos.

Estas dos frmulas se incluyen en las calculadoras cientficas como n y n-1

Normalmente se utiliza la notacin cuando se ha calculado con los datos de la poblacin y se escribe como S si se ha calculado con una muestra.

(Anlogamente suele usarse para la media aritmtica calculada sobre la poblacin y para la calculada sobre una muestra).

El cuadrado de la desviacin tpica es la varianza ,el cuadrado del

estimador que preferimos utilizar para las muestras se denomina quasivarianza

Coeficiente de Variacin

Si ambas series tienen la misma media, su desviacin tpica nos indica el

grado de dispersin de los valores a los lados de la media. Pero si las medias

son distintas, la simple comparacin de las desviaciones tpicas no sirve

de nada. Supongamos ahora que queremos comparar la primera de las series

anteriores con otra nueva serie cuyos valores estn en un rango distinto, y

deseamos saber cual est mas dispersa a ambos lados de su media:

As vemos que la segunda serie parece que presenta una mayor dispersin (S

= 64,8 parece muy alta comparada con S = 3,0 de la primera). Pero s=3,0 en

valores que rondan la media de 23 es mayor que s = 64,8 en una

poblacin de media 1365. Esta idea se cuantifica mediante el Coeficiente de

Variacin (C.V.) :

As observamos que la dispersin de la primera muestra es relativamente

mayor (CV=0,13) su desviacin tpica equivale al 13% de la media,

mientras que en la segunda muestra, su desviacin tpica es solamente el

5% de su media (CV=0,05)

CLCULO DE LA DESVIACIN TPICA

Es simple calcularla artesanalmente, basta con aplicar la frmula: primero la

media aritmtica, luego se va calculando la diferencia entre cada valor y la

media, su cuadrado, suma de todos los cuadrados, etc.

Pero lo habitual es realizar el clculo con una calculadora o con la Hoja de

Clculo en un ordenador.

Con la calculadora el proceso se limita a introducir todos los datos, y luego

solicitar la media y la desviacin tpica con las teclas correspondientes. Aparecen

las teclas n y n-1, que se refieren respectivamente a las dos frmulas que hemos visto: con los datos de la poblacin (dividir por n) y con los datos de la

muestra (dividir por n-1).

Utilizando la hoja de clculo se utiliza la frmula =DESVESTP( ), o bien

=DESVEST( ), refirindose, como antes a los datos de la poblacin o de una

muestra, respectivamente. En ambos casos, dentro del parntesis incluiremos

las celdillas que deseamos realizar el clculo, por ejemplo : =DESVEST(A2:A35)

,si los valores se encuentran en la columna A, desde A2 hasta A35. La media

aritmtica se obtiene mediante =PROMEDIO( ).

PUNTUACIONES TIPIFICADAS

Cuando abordamos el problema de qu probabilidad existe de que tal variable supere tal valor?, las puntuaciones (valores) brutas estn medidas en cm, mm, pulgadas o m3/seg, dependiendo de la variable estudiada, del rango de valores en

que sta se mueve y de las unidades utilizadas. Se hace necesario homogeneizar

la unidad de medida.

Vemoslo con un ejemplo:

Deseamos comparar un pequeo arroyo (caudal medio=6,3 litros/seg;

desviacin tpica= 0,9 litros/seg.) con un gran ro (caudal medio= 97 m3/seg;

desviacin tpica 13,4 m3/seg). En un ao lluvioso ambos superaron la media:

en el primero el caudal fue de 7,9 litros/seg, y en el segundo de 112 m3/seg.

Cul de los dos datos fue mas excepcional (comparado con los datos de su

propia historia, claro), cul se apart ms de su media? .

El arroyo super a su media en 7,9-6,3= 1,6 l/s. El caudal del gran ro estuvo 112-

97= 15 m3/seg sobre su media. Pero en lugar de expresarlo en litros/seg o en

m3/seg, vamos a expresarlo en desviaciones tpicas:

Clculo de probabilidades con la Ley de Gauss (valores medios)

Ahora ya podemos abordar los dos tipos de cuestiones que plantebamos al

principio:

1. Cul es la probabilidad de que el caudal supere 40 m3/seg? O bien:

Cada cuntos aos se superar el caudal de 40 m3/seg?

2. Qu caudal ser superado un 2% de los aos? O lo que es lo mismo:

Cual es el caudal superado cada 50 aos?

Datos necesarios:

Debemos saber o suponer que estos caudales se ajustan a la Ley de Gauss

Media aritmtica=29,8 m3/seg; desv tpica=8,1 m3/seg

Solucin a la pregunta N 1 (del valor a la probabilidad):

1) Expresamos el caudal de 40m3/seg como puntuacin tipificada:

Esto significa que ese dato individual est 1,26 desviaciones tpicas por

encima de la media.

2) Calculamos la probabilidad de que z>1,26. Como aplicar la ecuacin de

Gauss no es simple, sto puede hacerse de dos maneras:

--Con la Hoja de Clculo, escribiendo en EXCEL la siguiente frmula:

--Aplicando la Tabla que se presenta (Esta Tabla se construye aplicando la

frmula de Gauss a todos los posible valores de z).

Para nuestro caso (z = 1,26) por cualquiera de los dos procedimientos

obtenemos el valor: 0,10383. Por tanto, el 10,38% de los aos tendrn un

caudal igual o superior a 40 m3/seg.

El caudal citado se superar en promedio cada 10 aos.

Ley de Gauss: Probabilidad

de que z sea mayor o igual a

(Las columnas indican la segunda

decimal. Ejemplo: Probabilidad de

que z sea > 1,41 es 0,07927).

Para valores de z negativos,

tomar 1-tabla. Ejemplo:

Probabilidad de que z sea 1,41 es 1 0,07927 = 0,92073

Para probabilidades > 0,50, el

valor de z ser el indicado por la

tabla para la probabilidad

complementaria, pero con signo Ejemplo : Valor de z con

probabilidad de ser superado

de 0,80. Para la probabilidad

complementaria (0,20) la tabla

indica z=0,84. Por tanto para

probabilidad 0,80 adoptaremos

0,84

Solucin a la Cuestin 2 (de la probabilidad al valor):

Se trata de repetir el proceso anterior al revs:

1) Calculamos a qu valor de z corresponde la probabilidad 0,02 (o sea:

2%). De nuevo, esto puede hacerse de dos maneras:

--Con la Hoja de Clculo, escribiendo en EXCEL la siguiente frmula:

--Aplicando la Tabla que se presenta, inversamente a como la utilizamos

antes: buscar dentro de la tabla la probabilidad requerida (en este

ejemplo, 0,02), o la ms prxima a ese valor, y desde el interior de la

tabla, leer el valor de z correspondiente en los bordes de la Tabla.

Para nuestro caso (probabilidad=0,02) por cualquiera de los dos

procedimientos obtenemos el valor: 2,05. Finalmente, calculamos a qu

puntuacin bruta corresponde una puntuacin tipificada de 2,05:

Por tanto, el valor que es superado un 2% de los

aos es 46,4 m3/seg

Las mismas cuestiones con valores son inferiores a la

media

En las dos cuestiones anteriores se manejaban caudales superiores a la media.

Nos movemos en la mitad derecha de la campana de Gauss (ver la figura 6). De hecho, la tabla de valores que utilizamos para resolver las dos cuestiones

anteriores, solamente refleja la mitad derecha del grfico de Gauss; no sera

problema construir de una tabla de doble tamao para manejar tambin valores

inferiores a la media.

Si estamos haciendo previsiones de aos secos, las preguntas (equivalentes a

las cuestiones 1 y 2 de la pgina anterior) sern de este tipo:

3. Cul es la probabilidad de que el caudal no alcance los 15 m3/seg?

4. Qu caudal no se alcanzar un 10% de los aos?

Se trata de la misma muestra que en los ejemplos 1 y 2 anteriores (Media

aritmtica =29,8 m3/seg; desv tpica=8,1 m3/seg)

Solucin a la pregunta 3 (del valor a la probabilidad):

1) Expresamos el caudal de 15 m3/seg como puntuacin tipificada:

Esto significa que ese dato individual est 1,83 desviaciones tpicas por debajo de

la media.

2) Calculamos la probabilidad de que z > 1,83 : Aplicando la Tabla buscamos la probabilidad correspondiente a z = 1,83.

Para valores negativos de z se toma el valor complementario, es decir: si

para 1,83 la tabla da 0,034, para 1,83 corresponde 1-0,034=0,966

Por tanto, la probabilidad de superar el caudal de 15 m3/seg es de 0,966, y la

probabilidad de que no se supere ese valor ser de 1-0,966= 0,034 (Hemos

vuelto al 0,034 que nos proporcion la tabla inicialmente!).

Con la Hoja de Clculo, escribiendo en EXCEL la frmula:

=DISTR.NORM.ESTAND(-1,83) nos proporciona directamente la probabilidad

de que sea menor que -1,83 desviaciones tpicas: 0,034

Respuesta final: probabilidad de que no alcance 15 m3/s = 3,4%

La cuestin 4 podemos replantearla as: Qu caudal se superar el 90% de

los aos?

1) Calculamos a qu valor de z corresponde la probabilidad 0,90 (o sea: 90%):

Aplicando la Tabla, buscamos dentro de ella la probabilidad requerida

(0,90), pero ese valor no existe, as que buscamos el complementario: 0,10 (1-

0,90 =0,10) o el ms prximo a ese valor, y desde el interior de la tabla, leemos

el valor de z correspondiente en los bordes de la Tabla: 1,28 .

Pero z = 1,28 corresponde a una probabilidad de 0,10; para la probabilidad 0,90

tomamos z = 1,28

Con la Hoja de Clculo, escribiendo

en EXCEL la frmula:

=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,10) se

obtiene directamente el valor 1,28

2) Calculamos a qu puntuacin bruta corresponde una puntuacin tipificada

de 1,28:

Por tanto, el valor que no se alcanza el 10% de los aos (probabilidad 0,90

de ser superado) es 19,4 m3/seg.

Por supuesto que todos estos clculos slo tienen sentido si suponemos que los datos que manejamos se distribuyen de

acuerdo con la Ley normal o de Gauss.

Cajamarca

Cajamarca

105 mm

EN LA HIDROLOGIA NO SE VA AUTILIZAR

NO SE AJUSTA A LA FRECUENCIA DE LA LLUVIA

c t

EJEMPLO DE REGIONALIZACION