Monoides e Grupos

Capıtulo 5

Monoides e Grupos

5.1 Operacoes Binarias

Seja M um conjunto nao vazio. Qualquer funcao ⊡ : M ×M → M diz-se umaoperacao binaria em M . Em vez de ⊡((x, y)) escrevemos x ⊡ y para todox, y ∈ M (“Infix-notacao). O par (M,⊡) diz-se um grupoide. Uma operacaobinaria ⊡ diz-se associativa se

x⊡ (y ⊡ z) = (x⊡ y)⊡ z

para todos os elementos x, y, z ∈ M . Neste caso o par (M,⊡) diz-se um semi-grupo. A operacao binaria ⊡ diz-se comutativa se

x⊡ y = y ⊡ x

para todos os elementos x, y ∈M . Um elemento e ∈M que tem a propriedade

x⊡ e = x = e⊡ x

para todo x ∈M diz-se o elemento neutro do grupoide (M,⊡).

Observacao 5.1.1 Um grupoide tem apenas um elemento neutro.

Demonstracao: Seja (M,⊡) um grupoide e sejam e, f ∈ M elementos neutrosde (M,⊡). Entao e = e⊡ f = f . Logo e = f . �

Um triplo (M,⊡, e) diz-se monoide se (M,⊡) e um semigrupo e e e o elementoneutro de (M,⊡).

Exemplo 5.1.2 1. (N, +, 0), (Z,+, 0), (Q,+, 0), (R,+, 0), (C,+, 0) sao monoides.

2. (M, ·) sao semigrupos e (M \{0}, ·, 1) sao monoides para M = N, Z, Q, R, C.

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64 CAPITULO 5. MONOIDES E GRUPOS

3. (Zn, +, [0]n) e (Zn \ {[0]n}, ·, [1]n) sao monoides para n ≥ 1.

4. (M2(A),+,

(0 00 0

)

) e um monoide onde M2(A) = {

(a bc d

)

| a, b, c, d ∈

A} para A = N, Z, Q, R, C.

5. O conjunto dos polinomios (A[X],+, 0) com coeficientes em A = N, Z, Q, R, Ce um monoide.

5.2 Monoides

Observacao 5.2.1 Sejam (M,⊡, e) e (N,⊛, f) monoides. No produto cartesianoM×N podemos definir uma operacao binaria ⊠ : (M×N)× (M×N) → (M×N)por

(m,n)⊠ (m′, n′) := (m⊡m′, n⊛ n′)

para todos os elementos (m,n), (m′, n′) ∈M ×N . Entao (M ×N,⊠, (e, f)) e ummonoide e diz-se o produto directo de M e N .

Demonstracao: Por definicao ⊠ e uma funcao. Entao (M×N,⊠) e um grupoide.O elemento (e, f) e o elemento neutro de (M×N,⊠), pois para todo (m,n) ∈M×Ntem-se

(m,n)⊠ (e, f) = (m⊡ e, n⊛ f) = (m,n) = (e⊡m, f ⊛ n) = (e, f)⊠ (m,n).

A operacao ⊠ e associativa, porque para (m,n), (m′, n′), (m′′, n′′) ∈M ×N tem-se

(m,n)⊠ ((m′, n′)⊠ (m′′, n′′)) = (m⊡ (m′⊡m′′), n⊛ (n′ ⊛ n′′))

= ((m⊡m′)⊡m′′), (n⊛ n′)⊛ n′′)

= ((m,n)⊠ (m′, n′))⊠ (m′′, n′′)

Portanto (M ×N,⊠, (e, f)) e um monoide. �

Definicao 5.2.2 Seja (M,⊡, e) um monoide. Um subconjunto N ⊆ M diz-sesubmonoide de M se

(i) e ∈ N

(ii) N e fechado para ⊡, i.e. ∀x, y ∈ N ⇒ x⊡ y ∈ N .

Observacao 5.2.3 Sejam (M,⊡, e) um monoide e C um conjunto de submonoidesde M . Entao ⋂

N∈C

N

e um submonoide de M .

5.2. MONOIDES 65

Demonstracao: Como e ∈ N para todo N ∈ C, e ∈⋂

N∈C N . Sejam x, y ∈⋂

N∈C N entao x, y ∈ N para todo N ∈ C. Logo

x⊡ y ∈ N ∀N ∈ C ⇒ x⊡ y ∈⋂

N∈C

N.

�

Seja A um conjunto nao vazio que designamos por alfabeto (os elementos de Asao as letras). Seja A+ o conjunto das palavras no alfabeto A, i.e. as sequenciasa1a2 · · · an com ai ∈ A. Seja A∗ = A+ ∪ {∅}, onde ∅ e a palavra vazia. Define-se aoperacao · de concatenacao da seguinte maneira:

(a1 · · · an) · (b1 · · · bm) = a1 · · · anb1 · · · bm

∅ · ∅ = ∅

(a1 · · · an) · ∅ = a1 · · · an = ∅ · (a1 · · · an)

para ai, bj ∈ A. Entao (A+, ·) e um semigrupo e (A∗, ·, ∅) e um monoide, que sediz o monoide livre em A.

Suponha A = {x} entao h : N → A∗ com h(0) := ∅ e h(k) := xx · · ·x︸︷︷︸

k−vezes

e uma

funcao bijectiva. Temos tambem h(k + l) = h(k) · h(l).

Definicao 5.2.4 Sejam (M,⊡, e) e (N,⊛, f) dois monoides. Uma funcao h :M → N diz-se homomorfismo de monoides se

(i) h(e) = f

(ii) h(m⊡m′) = h(m)⊛ h(m′) para todo m,n ∈M .

Se h e uma funcao bijectiva h diz-se um isomorfismo de monoides. Se existe umisomorfismo entre dois monoides M e N dizemos que M e N sao isomorfos eescrevemos M ≃ N .

Vimos que os monoides (N,+, 0) e ({x}∗, ·, ∅) sao isomorfos.

Observacao 5.2.5 Seja f : M → N um isomorfismo entre monoides. Entao| M |=| N | e f−1 : N → M e tambem um isomorfismo de monoides.

Definicao 5.2.6 Sejam (M,⊡, e) um monoide e D um subconjunto de M . Osubmonoide gerado por D e

〈D〉 := {x1 ⊡ x2 ⊡ · · ·⊡ xn | n ≥ 1, xi ∈ D} ∪ {e}.

Observacao 5.2.7 Sejam (M,⊡, e) um monoide e D um subconjunto de M .

1. 〈D〉 e o menor submonoide de M que contem D.

2. 〈D〉 =⋂

N∈C N onde C e o conjunto dos submonoides N de M que contemD.


5.3 Invertibilidade em monoides

Definicao 5.3.1 Sejam (M,⊡, e) e x, y ∈M . Diz-se que y e o inverso de x se

x⊡ y = e = y ⊡ x.

Se x tem um inverso dizemos que x e invertıvel. Neste caso denota-se o inversode x por x−1.

Observacao 5.3.2 Um elemento de um monoide tem apenas um inverso.

Demonstracao: Seja x um elemento de um monoide (M,⊡, e) e suponhamos quey e z sao inversos de x. Entao

y = y ⊡ e = y ⊡ (x⊡ z) = (y ⊡ x)⊡ z = e⊡ z = z.

�

Seja U(M) := {x ∈M | x e invertıvel }.

Observacao 5.3.3 Sejam (M,⊡, e) e x, y ∈M .

1. e e invertıvel, i.e. e ∈ U(M).

2. se x e y sao invertıveis entao x⊡y e invertıvel, i.e x⊡y ∈ U(M). O inversode x⊡ y e (x⊡ y)−1 = y−1 ⊡ x−1.

3. U(M) e um submonoide de M .

Demonstracao: 1) Como e⊡ e = e, e e invertıvel. 2) Como

(x⊡ y)⊡ (y−1⊡ x−1) = x⊡ (y ⊡ y−1)⊡ x−1 = x⊡ e⊡ x−1 = x⊡ x−1 = e

e

(y−1⊡ x−1)⊡ (x⊡ y) = y−1

⊡ (x−1⊡ x)⊡ y = y−1

⊡ e⊡ y = y−1⊡ y = e

Tem-se (x⊡ y)−1 = y−1 ⊡ x−1. �

Teorema 5.3.4 Sejam (M,⊡, e) um monoide e x ∈ M um elemento invertıvel.Entao para qualquer a, b ∈M , se a⊡ x = b⊡ x ou x⊡ a = x⊡ b entao a = b.

Demonstracao: Seja x−1 o inverso de x entao

a⊡ x = b⊡ x ⇒ (a⊡ x)⊡ x−1 = (b⊡ x)⊡ x−1

⇒ a⊡ (x⊡ x−1) = b⊡ (x⊡ x−1)

⇒ a⊡ e = b⊡ e

⇒ a = b.

Analogamente mostra-se que x⊡ a = x⊡ b ⇒ a = b. �

5.4. GRUPOS 67

5.4 Grupos

Definicao 5.4.1 Um grupo e um monoide (G, ·, e) tal que todo o elemento de Ge invertıvel.

Entao (G, ·, e) e um grupo se

• G e um conjunto

• · : G×G −→ G e uma operacao binaria

• e ∈ G e o elemento neutro, i.e. a · e = a = e · a∀a ∈ G

• todo o elemento de G tem um inverso (em G), i.e. ∀g ∈ G : ∃h ∈ G : h · g =e = g · h.

Exemplo 5.4.2 1. (Z, +, 0) e um grupo.

2. (Z, ·, 1) nao e um grupo, mas ({1,−1}, ·, 1) e um grupo.

3. (Q,+, 0) e (Q \ {0}, ·, 1) sao grupos.

4. (Sn, ◦, id) e (An, ◦, id) sao grupos.

5. (M2(Q),+,

(0 00 0

)

) e (GL2(Q), ·,

(1 00 1

)

) sao grupos onde

GL2(Q) := {A ∈M2(Q) | det A 6= 0}.

Um grupo cuja operacao binaria e comutativa diz-se tambem grupo abeliano.

Observacao 5.4.3 Sejam G1 e G2 grupos. O produto directo G1×G2 e um grupo.

Demonstracao: Sejam (G1,⊡, e1) e (G2,⊛, e2) grupos.Sabemos que G1 ×G2 e um monoide com a operacao binaria:

(a1, a2) � (b1, b2) := (a1 ⊡ b1, a2 ⊛ b2)

e com o elemento neutro (e1, e2). Como G1 e G2 sao grupos todo o elementoa1 ∈ G1 e a2 ∈ G2 tem um inverso. Logo o inverso do elemento (a1, a2) ∈ G1×G2

e o elemento (a−11 , a−1

2 ), pois

(a1, a2) � (a−11 , a−1

2 ) = (a1 ⊡ a−11 , a2 ⊛ a−1

2 ) = (e1, e2).

�

Definicao 5.4.4 Seja H um subconjunto de um grupo G. H diz-se um subgrupode G se H e um submonoide de G tal para todo h ∈ H tambem o inverso h−1

pertence H.


Entao um subconjunto H de um grupo G e um subgrupo de G se

• e ∈ H

• ∀h ∈ H : h−1 ∈ H

• ∀h, g ∈ H : hg ∈ H.

Exemplo 5.4.5 1. An e um subgrupo de Sn

2. (Z,+, 0) e um subgrupo de (Q,+, 0).

3. (Z \ {0}, ·, 1) nao e um subgrupo de (Q \ {0}, ·, 1).

4. SL2(Q) e um subgrupo de GL2(Q).

5. (2Z4,+, [0]4 e um subgrupo de (Z4,+, [0]4) onde

2Z4 := {[2a]4 | a ∈ Z} = {[0]4, [2]4}.

Observacao 5.4.6 Seja C um conjunto de subgrupos de um grupo G. Entao⋂

H∈C H e um subgrupo de G.

Demonstracao: Seja K :=⋂

H∈C H. Ja sabemos que K e um submonoide deG. Seja k ∈ K entao k ∈ H para todo H ∈ C. Como H e um subgrupo temosk−1 ∈ H para todo H ∈ C. Logo k−1 ∈ K. �

Definicao 5.4.7 Seja (G,⊡, e) um grupo e D ⊆ G um subconjunto. O subgrupogerado por D em G e

〈D〉 := {x1 ⊡ x2 ⊡ · · ·⊡ xn | n ≥ 0 e xi ∈ D ou x−1i ∈ D}.

Por convencao o produto com 0 factores e igual a e (= o elemento neutro deG).

Note-se que 〈D〉 e igual ao submonoide gerado por D∪D−1 onde D−1 := {d−1 |d ∈ D}.

Observacao 5.4.8 Seja G um grupo e D ⊆ G.

1. 〈D〉 e o menor subgrupo de G que contem D.

2. 〈D〉 =⋂

H∈C H onde C e o conjunto dos subgrupos H de G que contem D.

Definicao 5.4.9 Suponha G = 〈D〉 para um subconjunto D ⊆ G. Entao dizemosque G e gerado por D e D e um conjunto dos geradores de G. Se existe umconjunto finito D = {d1, d2, . . . , dm} tal que G = 〈D〉 entao G diz-se finitamentegerado. Se existe um elemento d ∈ G tal que G = 〈{d}〉 entao G diz-se cıclico.

5.4. GRUPOS 69

Usamos a seguinte notacao. Seja x um elemento de um grupo (G,⊡, e) e sejak ∈ Z:

xk := x⊡ · · ·⊡ x︸︷︷︸

k−vezes

para k > 0,

xk := e para k = 0,

xk := x−1⊡ · · ·⊡ x−1

︸︷︷︸

|k|−vezes

para k < 0.

Note-se que se G = Z e 0 6= x ∈ Z entao no grupo (Z,+, 0) temos

xk = x + · · ·+ x︸︷︷︸

k−vezes

= kx

para k > 0 exk = (−x) + · · ·+ (−x)

︸︷︷︸

|k|−vezes

= (−k)x

para k < 0. No grupo (Q \ {0}, ·, 1) temos

xk = x · · · · · x︸︷︷︸

k−vezes

= xk

para k > 0 e

xk =1

x· · · · ·

1

x︸︷︷︸

|k|−vezes

=1

xk

para k < 0.

Observacao 5.4.10 1. Todo o grupo G e gerado pelos seus elementos, i.e.G = 〈G〉. Logo se o conjunto G e finito, G e finitamente gerado.

2. O grupo (Z,+, 0) e cıclico, pois Z = 〈{1}〉.

3. Seja (G,⊡, e) um grupo abeliano e D ⊆ G. Entao

〈D〉 = {xk11 ⊡ xk2

2 ⊡ · · ·⊡ xknn | n ≥ 0, ki ∈ Z, xi ∈ D e xi 6= xj∀i 6= j}.

4. O grupo (Q,+, 0) nao e finitamente gerado.

Demonstracao: (1),(2) exercıcio; (3) Por definicao qualquer elemento x ∈ 〈D〉e igual x = x1 ⊡ x2 ⊡ · · · ⊡ xm para xi ∈ D ou x−1

i ∈ D. Como a operacao

⊡ e comutativo podemos reordenar os factores e obtemos x = yk11 ⊡ · · · ykn

n parayi ∈ {x1, . . . , xm} e yi 6= yj e ki ∈ Z. Portanto todo o elemento de 〈D〉 pode serdescrito desta forma.(4) Seja D := {a1

b1, . . . , am

bm} ⊂ Q. Por (3) todo o elemento x ∈ 〈D〉 pode ser escrito

comox = k1

a1

b1+ · · · km

am

bm


onde ki ∈ Z. Calculando esta soma obtemos um elemento de Q da forma

x =c

b1b2 · · · bm

para algum c ∈ Z ( talvez seja possıvel simplificar este termo, mas isso sera ig-norado aqui). Seja p um primo tal que p ∤ bi para todo 1 ≤ i ≤ m. Entao1p6∈ 〈D〉, caso contrario suponhamos que 1

p∈ 〈D〉. Entao existira um c ∈ Z tal

que 1p

= cb1b2···bm

ou sejab1b2 · · · bm = cp.

Logo p | b1b2 · · · bm. Assim, como p e primo, p | bi para algum 1 ≤ i ≤ m - absurdo.Portanto 1

p6∈ 〈D〉 e Q 6= 〈D〉 para qualquer subconjunto finito D de Q. Logo Q

nao e finitamente gerado. �

Definicao 5.4.11 Sejam (G1,⊡, e1) e (G2,⊛, e2) grupos. Uma funcao f : G1 −→G2 diz-se um homomorfismo de grupos se f e um homomorfismo de monoides talque f(x−1) = f(x)−1 para todo x ∈ G1.

Entao f : G1 −→ G2 e um homomorfismo de grupos se

• f(e1) = e2;

• ∀x ∈ G1 : f(x−1) = f(x)−1;

• ∀x, y ∈ G1 : f(x⊡ y) = f(x)⊛ f(y).

Observacao 5.4.12 Seja f : G1 → G2 uma funcao. Entao f e um homomorfismode grupos se e so se f(x⊡ y) = f(x)⊛ f(y).

Demonstracao: ⇒ por definicao.⇐ Temos

f(e1) = f(e1)⊛ e2

= f(e1)⊛ (f(e1)⊛ f(e1)−1)

= f(e1 ⊡ e1)⊛ f(e1)−1

= f(e1)⊛ f(e1)−1

= e2

Para todo x ∈ G1 temos

f(x)−1 = f(x)−1⊛ e2

= f(x)−1⊛ f(e1)

= f(x)−1⊛ f(x⊡ x−1)

= f(x)−1⊛ f(x)⊛ f(x−1) = f(x−1).

5.4. GRUPOS 71

�

Seja f : G1 −→ G2 um homomorfismo de grupos. O subconjunto de G1

Ker(f) := {x ∈ G1 | f(x) = e2}

diz-se o nucleo de f . Para a imagem de f escrevemos f(G1).

Teorema 5.4.13 Seja f : G1 −→ G2 um homomorfismos de grupos.

1. A imagem f(G1) e um subgrupo de G2.

2. O nucleo Ker(f) e um subgrupo de G1.

3. O homomorfismo f e injectivo se e so se Ker(f) = {e1}.

4. se f e um isomorfismo entao f−1 : G2 → G1 e um isomorfismo tambem.

Demonstracao: (3) Suponhamos que Ker(f) = {e1}. Sejam x, y ∈ G1 tais quef(x) = f(y). Entao e2 = f(y) ⊛ f(x)−1 = f(y ⊡ x−1). Logo y ⊡ x−1 ∈ Ker(f) ={e1}. Consequentemente y ⊡ x−1 = e1 ou seja y = x. Portanto f e injectivo.Se f e injectivo e f(x) = e2 logo x = e1. �

Teorema 5.4.14 (Teorema de Cayley) Qualquer grupo (G,⊡, e) e isomorfo aum subgrupo de um grupo simetrico SX .

Demonstracao: Seja X = G e SX o grupo simetrico do conjunto X. Paraqualquer g ∈ G seja Lg : X → X a funcao: Lg(x) = g ⊡ x. Tem-se

Lg ◦ Lg−1(x) = g ⊡ g−1⊡ x = x = id(x)

para qualquer x ∈ X, portanto Lg e bijectiva e Lg ∈ SX . Nota que

Lg⊡h(x) = g ⊡ h⊡ x = Lg(Lh(x)) = (Lg ◦ Lh)(x)

para qualquer x ∈ X. A aplicacao L : G → SX com f(g) = Lg e um homomorfismode grupos, porque

f(g ⊡ h) = Lg⊡h = Lg ◦ Lh = f(g) ◦ f(h).

Se f(g) = Lg = id, entao

e = g ⊡ g−1 = Lg(g−1) = id(g−1) = g−1.

. Portanto Ker(f) = {e} e f e injectivo e G e isomorfo ao imagem de f , que e umsubgrupo de SX . �


5.5 Grupos cıclicos

Teorema 5.5.1 Seja (G,⊡, e) um grupo cıclico, i.e. G = 〈x〉 para algum x ∈ G.Entao ou G e isomorfo ao grupo (Z,+, 0) ou G e isomorfo ao grupo (Zn,+, [0]n)para algum n ≥ 1.

Demonstracao: Suponhamos que nao existe nenhum inteiro k 6= 0 tal que xk = eonde e e o elemento neutro de G. Entao a funcao f : Z → G tal que f(k) := xk ebijectiva, porque se f(k) = f(l) para k ≥ l entao

xk = xl ⇒ xk−l = xl−l = e⇒ k − l = 0⇒ k = l.

A funcao f e um homomorfismo de grupos, pois f(k + l) = xk+l = xk ⊡ xl =f(k)⊡ f(l) para k, l ∈ Z. Entao f e um isomorfismo de grupos.

Suponhamos que existe um inteiro k 6= 0 tal que xk = e. Sem perda degeneralidade podemos supor que existe um inteiro positivo, porque se k < 0 exk = e entao x−k = e−1 = e e −k > 0. Seja n o menor inteiro positivo tal quexn = e. Temos que

f : Zn → G com f([k]n) := xk ∀[k]n ∈ Zn

e uma funcao. Temos de verificar se f esta bem-definida. Entao sejam k ≤ l doisinteiros tais que [k]n = [l]n. Logo n | l − k ⇒ ∃q ∈ Z : l = k + qn. Portanto

f([l]n) = xl = xk⊡ (xn)q = xk

⊡ e = f([k]n)

mostre que f esta bem-definida. Temos que f e um homomorfismo de grupos, pois

f([k]n + [l]n) = f([k + l]n) = xk+l = xk⊡ xl = f([k]n)⊡ f([l]n)

para todo [k]n, [l]n ∈ Zn. Suponha que existe um k ∈ Z tal que f([k]n) = xk = e.Pelo Algoritmo da divisao existem q ∈ Z e r ∈ {0, 1, . . . , n−1} tais que k = nq+r.Portanto

e = xk = (xn)q⊡ xr = e⊡ xr = xr.

Como n e o menor inteiro positivo tal que xn = e e 0 ≤ r < n temos r = 0. Logon | k ⇒ [k]n = [0]n. Portanto f e injectivo. Como f e tambem sobrejectivo, f ebijectiva e um isomorfismo de grupos. �

Definicao 5.5.2 Seja G um grupo. Define-se ordem de g ∈ G e denota-se porord(g), como sendo a ordem do subgrupo 〈g〉 gerado por g; ord(g) :=| 〈g〉 |.

Observacao 5.5.3 Seja g ∈ G. Se ord(g) e finito entao ord(g) e o menor inteiropositivo n tal que gn = e. Alem disso gk = e⇔ ord(g) | k para k ∈ Z.

5.5. GRUPOS CICLICOS 73

Demonstracao: Suponhamos que ord(g) =| 〈g〉 |= n < ∞. Entao f : Zn → 〈g〉com f([k]n) = gk e um isomorfismo de grupos. Suponhamos que gk = e paraalgum k ∈ Z. Entao f([k]n) = gk = e = g0 = f([0]n) o que implica que [k]n = [0]n,pois f e injectivo. Logo n | k. Se k > 0 entao k ≥ n. Portanto n = ord(g)e o menor inteiro positivo tal que gn = e. Tambem temos que se gk = e entaon = ord(g) | k. A afirmacao contraria e obvia. �

Lema 5.5.4 Todo o subgrupo de um grupo cıclico e cıclico.

Demonstracao: Seja (G,⊡, e) um grupo cıclico. Entao existe um g ∈ G tal queG = 〈g〉. Seja H um subgrupo de G. Se H = {e} entao H e cıclico, pois H = 〈e〉.Suponha que H 6= {e} e seja h ∈ H tal que h 6= e. Como todo o elemento de G eda forma gk para k ∈ Z existe k ∈ Z tal que h = gk. Sem perda de generalidadepodemos supor que existe um inteiro positivo k > 0 tal que gk ∈ H, pois se k < 0entao g−k = h−1 ∈ H e −k > 0. Sejam k o menor inteiro positivo tal que gk ∈ H egl ∈ H com l ∈ Z um elemento de H qualquer. Pelo algoritmo da divisao existeminteiros q ∈ Z e r ∈ {0, 1, . . . , k − 1} tais que l = qk + r. Portanto

gl = gkq⊡ qr ⇒ gr = gl−qk ∈ H.

Como k e o menor inteiro positivo tal que gk ∈ H e como 0 ≤ r < k temos r = 0e k | l. Logo todo o elemento de H e da forma (gk)q para um q ∈ Z. EntaoH ⊆ 〈gk〉 ⊆ H implica que H = 〈gk〉 e cıclico. �

Corolario 5.5.5 Os subgrupos de (Z, +, 0) sao da forma nZ para n ≥ 0.

Demonstracao: O subgrupo gerado por um inteiro n ∈ Z e igual

〈n〉 = {n + . . . + n︸︷︷︸

k−vezes

| k > 0} ∪ {0} ∪ {(−n) + . . . + (−n)︸︷︷︸

|k|−vezes

| k < 0}

= {kn | k ∈ Z}

= nZ.

Obviamente nZ = (−n)Z, entao todo o subgrupo tem a forma nZ para algumn ≥ 0. �

Observacao 5.5.6 Seja G = 〈g〉 um grupo cıclico tal que ord(g) = n. Asseguintes propriedades sao satisfeitas para todo o elemento gk ∈ G com k ∈ Z:

(i) ord(gk) = nmdc(n,k) .

(ii) 〈gk〉 = 〈gmdc(n,k)〉.


(iii) 〈gk〉 = G se e so se mdc(n, k) = 1.

Demonstracao: (i) Temos (gk)n

mdc(n,k) = (gn)k

mdc(n,k) = e e logo ord(gk) ≤n

mdc(n,k) . Como gkord(g) = e temos n | kord(g) ⇒ nmdc(n,k) |

kmdc(n,k)ord(g). Os

inteiros nmdc(n,k) e k

mdc(n,k) sao relativamente primos. Pelo 2.2.9 temos nmdc(n,k) |

ord(g). Logo nmdc(n,k) = ord(g).

(ii) Pela (i) temos:

ord(gmdc(n,k)) =n

mdc(n, mdc(n, k))=

n

mdc(n, k)= ord(gk).

(iii) Se 〈g〉 = G entao nmdc(n,k) = ord(g) = n ⇒ 1 = mdc(n, k). Se mdc(n, k) = 1

temos ord(g) = nmdc(n,k) = n = ord(g). Logo 〈gk〉 = G. �

Corolario 5.5.7 Os subgrupos de grupo (Zn,+, [0]n) sao da forma 〈[d]n〉 = dZn

para d | n.

Demonstracao: Note-se que Zn = 〈[1]n〉. Entao pela observacao 5.5.6(ii)

〈[k]n〉 = 〈k · [1]n〉 = 〈mdc(n, k)[1]n〉 = 〈[mdc(n, k)]n〉.

Como mdc(n, k) | n temos que todo o subgrupo de Zn e da forma 〈[d]n〉 onde d | n.�

Um elemento g de um grupo G diz-se gerador do grupo se G = 〈g〉.

Corolario 5.5.8 Os geradores de grupo (Zn,+, [0]n) sao os elementos da forma[k]n onde mdc(k, n) = 1.

5.6 Classes laterais e o Teorema de Lagrange

Seja (G,⊡, e) um grupo e seja H um subgrupo de G. Define-se a relacao deequivalencia em G:

a ∼H b ⇔ a−1⊡ b ∈ H

para todos os elementos a, b ∈ G.A relacao ∼H e reflexiva: para todo a ∈ G tem-se a−1 ⊡ a = e ∈ H, logo

a ∼H a.A relacao ∼H e simetrica: para a, b ∈ G se a ∼H b entao

a−1⊡ b ∈ H ⇒ (a−1

⊡ b)−1 ∈ H ⇒ b−1⊡ a ∈ H ⇒ b ∼H a.

A relacao ∼H e transitiva: para a, b, c ∈ G se a ∼H b e b ∼H c entao

a−1⊡ b ∈ H e b−1

⊡ c ∈ H ⇒ a−1⊡ c = a−1

⊡ b⊡ b−1⊡ c ∈ H ⇒ a ∼H c.

5.6. CLASSES LATERAIS E O TEOREMA DE LAGRANGE 75

Portanto ∼H e uma relacao de equivalencia.A classe de um elemento a ∈ G e igual:

[a]∼H:= {b ∈ G | a ∼H b}

= {b ∈ G | a−1⊡ b ∈ H}

= {b ∈ G | ∃h ∈ H : a−1⊡ b = h}

= {b ∈ G | ∃h ∈ H : b = a⊡ h}

= {a⊡ h | h ∈ H} = a⊡H

a⊡H diz-se classe lateral esquerda de a.

Definicao 5.6.1 O conjunto de classes laterais esquerdas denota-se por

G/H := {a⊡H | a ∈ G}.

Exemplo 5.6.2 Se G = Z, H = nZ entao para quaisquer a, b ∈ Z :

a ∼H b ⇔ −a + b ∈ nZ

⇔ ∃k ∈ Z : b− a = kn

⇔ n | b− a

⇔ a ≡ b(mod n)

Logo

G/H = Z/nZ = {a + nZ | a ∈ Z} = {[a]∼H| a ∈ Z} = Zn.

Teorema 5.6.3 (Teorema de Lagrange) Seja G um grupo finito e seja H umsubgrupo de G. Entao

| G/H |=| G |

| H |.

Alem disso | H | divide | G |.

Demonstracao: Primeiro verifique-se | a⊡H |=| H | para todo a ∈ G. Pois se

H = {h1, h2, . . . , hm}

com hi 6= hj para 1 ≤ i 6= j ≤ m entao

a⊡H = {a⊡ h1, a⊡ h2, . . . , a⊡ hm}

com a⊡ hi 6= a⊡ hj para i 6= j, pois se

a⊡ hi = a⊡ hj ⇒ hi = a−1⊡ a⊡ hi = a−1

⊡ a⊡ hj = hj .


Como as classes de uma relacao de equivalencia formam uma particao do conjuntoG tem-se

G = (a1 ⊡H) ∪ (a2 ⊡H) ∪ · · · ∪ (ak ⊡H)

para alguns elementos ai ∈ G tal que (ai ∗H) ∩ (aj ∗H) = ∅ para i 6= j; onde k eo numero das classes laterais esquerdas distintas de G/H. Logo

| G |=| a1 ⊡H | + | a2 ⊡H | + · · ·+ | ak ⊡H |= k | H |

ou seja | H | divide | G | e k =| G/H |= |G||H| . �

Corolario 5.6.4 A ordem de um elemento de um grupo finito divide a ordem degrupo. Isto e ord(a) | n para qualquer a ∈ G e n =| G |.

Tambem e possıvel definir uma relacao aH ∼ b ⇔ ba−1 ∈ H. As classes dessarelacao de equivalencia sao da forma

[a]H∼ = H ⊡ a = {h⊡ a | h ∈ H}

e chamam-se classes laterais direitas.Se G e abeliano tem-se a ⊡ H = H ⊡ a para qualquer a ∈ G, mas em geral

a⊡H 6= H ⊡ a.

Definicao 5.6.5 Um subgrupo H de um grupo (G,⊡, e) diz-se normal se a⊡H =H ⊡ a para qualquer a ∈ G.

Obviamente todo o subgrupo de um grupo abeliano e normal.A importancia de subgrupos normais deve-se ao facto de se H for normal

entao o conjunto das classes laterais esquerdas G/H e um grupo com a operacao(a⊡H)⊡(b⊡H) := (a⊡ b)⊡H.

Teorema 5.6.6 Sejam (G,⊡, e) um grupo e H um subgrupo de G. As seguintesafirmacoes sao equivalentes:

(a) H e um subgrupo normal de G.

(b) a⊡H ⊡ a−1 ⊆ H para todo a ∈ G.

(c) (G/H,⊡, H) e um grupo onde (a ⊡ H)⊡(b ⊡ H) := (a ⊡ b) ⊡ H para todoa, b ∈ G.

Demonstracao: (a) ⇒ (c) Como a definicao da operacao ⊡ depende dos repre-sentantes escolhidos a e b das classes laterais a⊡H e b⊡H, temos de verificar sea operacao esta bem-definido ou seja se a⊡H = a′ ⊡H e b⊡H = b′ ⊡H entao

(a⊡H)⊡(b⊡H) =? (a′ ⊡H)⊡(b′ ⊡H),


Neste caso tem-se a′ ∈ a ⊡ H e b′ ∈ b ⊡ H. Logo existem h1, h2 ∈ H tais quea′ = a⊡ h1 e b′ = b⊡ h2. Portanto

(a′ ⊡H)(b′ ⊡H) = (a′ ⊡ b′)⊡H = (a⊡ h1 ⊡ b⊡ h2)⊡H.

Como h⊡H = H para qualquer h ∈ H tem-se

(a′ ⊡H)⊡(b′ ⊡H) = (a⊡ h1 ⊡ b)⊡H.

Como H e normal tem-se h1 ⊡ b ∈ H ⊡ b = b ⊡H ou seja existe um h1 ∈ H talque h1 ⊡ b = b⊡ h1. Portanto

(a′⊡H)⊡(b′⊡H) = (a⊡h1⊡b)⊡H = (a⊡b⊡h1)⊡H = (a⊡b)⊡H = (a⊡H)⊡(b⊡H)

mostre que a definicao da operacao ⊡ e independente da escolha dos representantesdas classes laterais.

Como a operacao ⊡ e associativa, tambem ⊡ e associativa, pois

((a⊡H)⊡(b⊡H))⊡(c⊡H) = ((a⊡ b)⊡ c)⊡H

= (a⊡ (b⊡ c))⊡H

= (a⊡H)⊡((b⊡H)⊡(c⊡H)).

A classes H = e⊡H e o elemento neutro, pois

(a⊡H)⊡(e⊡H) = (a⊡ e)⊡H = a⊡H

e tambem H⊡(a⊡H) = (a⊡H) para qualquer a ∈ G.O inverso de um elemento a⊡H e a−1 ⊡H, pois

(a⊡H)⊡(a−1⊡H) = (a⊡ a−1)⊡H = e⊡H = H.

Portanto (G/H,⊡, H) e um grupo.(c) ⇒ (b) Seja a ∈ G e h ∈ H. Tem-se h⊡H = H. Logo

a−1⊡H = (h⊡H)⊡(a−1

⊡H) = (h⊡ a−1)⊡H

e h⊡ a−1 ∈ a−1 ⊡H. Entao existe um k ∈ H tal que

h⊡ a−1 = a−1⊡ k ⇒ a⊡ h⊡ a−1 = k ∈ H.

Portanto a⊡H ⊡ a−1 ⊆ H para todo a ∈ G.(b) ⇒ (a) Seja a ∈ G. Tem-se

a⊡H ⊡ a−1 ⊆ H ⇒ a⊡H ⊆ H ⊡ a.

Tambem tem-sea−1

⊡H ⊡ a ⊆ H ⇒ H ⊡ a ⊆ a⊡H.

Portanto a⊡H = H ⊡ a.�


Exemplo 5.6.7 (1) Ja sabemos que os conjuntos Z/nZ e Zn sao iguais. Mastambem como grupo (Z/nZ,+, nZ) = (Zn, +, [0]n).(2) Seja n ≥ 1. An e um subgrupo normal de Sn. Para ver isto usamos a condicao(b) do teorema passado. Sejam g ∈ Sn uma permutacao e f ∈ An uma permutacaopar. Entao

sign(g ◦ f ◦ g−1) = sign(g)sign(f)sign(g−1) = sign(g)2sign(f) = sign(f) = 1

mostre que g ◦ f ◦ g−1 ∈ An. Portanto Sn/An e um grupo. Como | An |=| Sn | /2tem-se | Sn/An |= 2. Nao e difıcil ver que todo o grupo com dois elementos eisomorfo a (Z2,+, [0]2). Logo

(Sn/An, ◦, An) ≃ (Z2,+, [0]2).

Lema 5.6.8 Sejam (G1,⊡, e) e (G′,⊛, e′) grupos e f : G → G′ um homomorfismode grupos. Entao Ker(f) e um subgrupo normal de G e Im(f) e um subgrupo deG′.

Demonstracao: Sejam h ∈ Ker(f) e g ∈ G. Entao

f(g⊡ h⊡ g−1) = f(g)⊛ f(h)⊛ f(g)−1 = f(g)⊛ e′ ⊛ f(g)−1 = f(g)⊛ f(g)−1 = e′.

Logo g ⊡ h ⊡ g−1 ∈ Ker(f) e g ⊡ Ker(f) ⊡ g−1 ⊆ Ker(f). Pelo Teorema 5.6.6,Ker(f) e normal.Im(f) e um subgrupo e G′, pois f(e) = e′ ∈ Im(f) e para dois elementos f(g), f(h) ∈Im(f) com g, h ∈ G tem-se f(g)⊛ f(h) = f(g ⊡ h) ∈ Im(f). �

Teorema 5.6.9 Sejam (G1,⊡, e) e (G′,⊛, e′) grupos e f : G → G′ um homomor-fismo de grupos e H := Ker(f). A funcao

f : G/H → G′ com f(g ⊡H) := f(g)

para todo g ⊡H ∈ G/H e um homomorfismo de grupos injectivo.

Demonstracao: Primeiro verificamos que f esta bem-definida: Sejam g, h ∈ Gtais que g⊡H = h⊡H. Entao g ∈ hH implica que existe um k ∈ H = Ker(f) talque g = h⊡ k. Portanto

g ⊡H = f(g) = f(h)⊛ f(k) = f(h)⊛ e′ = f(h) = h⊡H,

f esta bem-definida. Se f(g⊡H) = f(g) = e′ entao g ∈ Ker(f) = H e g⊡H = H.Logo a funcao f e injectiva. f e um homomorfismo de grupos, pois

f((g ⊡H)⊡(h⊡H)) = f(g ⊡ h⊡H)

= f(g ⊡ h)

= f(g)⊛ f(h)

= f(g ⊡H)⊛ f(h⊡H)

para todo gH, hH ∈ G/H. �


Corolario 5.6.10 Sejam (G1,⊡, e) e (G′,⊛, e′) grupos e f : G → G′ um homo-morfismo de grupos. Entao os grupos G/Ker(f) e Im(f) sao isomorfos: G/Ker(f) ≃Im(f).

Demonstracao: Tem-se Im(f) = Im(f). Portanto f : G/Ker(f) → Im(f) e umaisomorfismo de grupos. �

Exemplo 5.6.11 Seja n ≥ 1. O nucleo do homomorfismo f : Z → Zn comf(a) := [a]n para todo a ∈ Z e Ker(f) = nZ. Portanto

Z/nZ ≃ Zn.

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