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Movimento Browniano(Uma Introdução)
Jalves S. Figueira
UTFPR- Pato Branco
Novembro , 2011
http://www.utfpr.edu.br/jalves
Resumo
• Um experimento de Pensamento;• Movimento Browniano e os Fractais;• Aspectos históricos:A realidade dos átomos;
• Tese de Einstein (1905);• Atividades de laboratório;• Final.
Experimento de Pensamento
• Imagine que você esteja em uma sala espaçosa. Um grande Shopping center.
• Houve um apagão, e a cidade toda está sem luz. Somente uma luz de emergência que acende em pequenos intervalos de tempo.
• Você caminha desesperado por encontrar uma janela.
• A Luz de emergência acende em intervalo de tempos de t =15 s.
Você não tem idéia para onde está indo.
Einstein (1879-1955)
• Marque no papel suas posições A, B, C, D, ... no intervalo de tempo T=15s .
A trajetória não é suave
• Após ligue os pontos.
1- Atividade
Primeiro relato
• O Botânico Robert Brown, no ano de 1827 ao examinar no microscópio grãos de poléns num líquido observou que estes faziam um movimento incessante e caótico.
Brown teria descoberto a fonte da vida??
• Física
• Matemática
Qual geometria representa o movimento browniano.
Movimento browniano é o incessante e caótico movimento de pequenas partículas em suspensão em um fluido. Resultado de uma força aleatória exercida pelas colisões com as moléculas do fluido.
Definição:
Fractais são figuras da geometria não-Euclidiana. Objetos com infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Cada parte é semelhante ao objeto original.
Apresenta uma geometria fractal.
Velocidade instantânea:
Velocidade média :
Não é possível descrever o movimento utilizando as equações da cinemática da mecânica clássica. O movimento não tem velocidade instantânea ou seja a trajetória de uma partícula browniana não tem tangente .
Einstein (1905)
• Einstein geralmente é lembrado pelas rupturas da mecânica Newtoniana. Com os conceitos relativísticos de tempo e espaço.
• Publicou em 1905 cinco trabalhos, um deles sobre o movimento browniano resultado da tese de Doutorado.
• Recebeu o premio Nobel em 1922 pela explicação do efeito fotoelétrico.
Einstein (1905)• Einstein adotou uma visão realista sobre
a existência de átomos e moléculas.• Procurando determinar o tamanho das
moléculas e o número de Avogadro, analisa uma solução de açúcar e água.
• Einstein percebeu que não tinha sentido descrever uma trajetória individual, que a velocidade não era o conceito chave que carregava as informações principais.
• Construiu um modelo para o movimento Browniano com bases na teoria cinética dos gases e teoria molecular do calor.
Teoria Cinética Molecular
• Toda matéria é construida de átomos.• Um gás é constituido de muitas partículas em movimento caótico.• As moléculas são consideradas pontos materiais.• As colisões entre duas moléculas ou entre uma molécula e uma parede
do recipiente são supostas perfeitamente elásticas.• U (energia interna) = é função da energia mecânica das partículas
individuais.• (U)med = nkT/2, n = número de graus de liberdade
Dtx 22
vtx
aN
RTD
3
1
Movimento de micelas de Leite examinado com a ferramenta de
análise de vídeos e modelagem Tracker.
2 – Atividade
Caminho aleatório em duas dimensões.
• Inicialmente com uma folha quadriculada marque os eixos cartesianos x e y . Cada lado do quadrado mede uma unidade de comprimento l=1.
• Coloque a partícula (objeto marcador) na origem (0,0) e lance o dado uma vez seguindo as instruções.
Se a face for:• 1. conte um passo para direita.• 2. conte um passo para esquerda.• 3. conte um passo para frente.• 4. conte um passo para trás.• 5. Não conte passos. Repita o lançamento.• 6. Não conte passos. Repita o lançamento.
Repita o lançamento seguindo as instruções até que sejam contados dez passos marcando o caminho. Repita até que N=100.
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=1484.
Jean Perrin (1870-1942)• Perrin utilizando um ultra-
microscope realizou medidas quantitativas do movimento Browniano em 1908.
• Verificou as equações de Einstein determinando o número de Avogadro entre N = 6.5-6.9x1023
• Jean Perrin determinou o tamanho das moléculas.
• Recebeu o Premio Nobel em 1926
Caminho Aleatório
• < x > =0 , distância média é nula.
• < x2> =N , distância média quadrática é igual ao número de passos N.
• <x2>=NL2, passos de comprimento l
• xrms = Raiz(< x2 >) , raiz da distância média quadrática.
• …
Um modelo para descrever o movimento browniano é o caminho aleatório. Em uma dimensão, temos que o “jogador” começa em x=0 e a cada movimento é solicitado a dar um passo a frente (direção +x) ou para trás( na direção –x). A escolha é aleatória.
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/brownian/brownian.html
taN
RTDtx
3
122
Observação do movimento browniano no Microscópio
• leite• Água destilada• Lâminas para solução• Lamínulas de vidro
A pressão exercida por uma solução sobre uma membrama semi-permeavel, impedindo a passagem do soluto é dada pela leis dos gases perfeitos.
1- Pressão osmótica
AN
RTp
p = pressão osmótica = concentração da soluçãoN A = número de AvogadroR = constante dos gasesT = temperatura absoluta
2- Pressão osmótica
avx
p
N
mK
A
6
Einstein considerou que as moléculas grandes de açúcar estão sujeitas a uma força de atrito viscoso dada pela lei de Stokes
Sabe-se porém que as partículas se difundem devido ao gradiente de pressão ( força por unidade de volume). Assim, no equilíbrio temos:
avK 6
• Obtemos assim uma expressão para a velocidade v das partículas. Que resulta, regime estacionário, um fluxo ao longo da direção x sobre uma secão de area A.
x
p
aN
mvJ
A
6
3- Pressão osmótica
E da relação da pressão obtemos que:
xD
xaN
RTJ
A
6O que resulta em um coeficiente de difusão D função da temperatura T, viscosidade η , número de Avogadro NA e raio das partículas a.
a = raio das partículas.
ƞ = viscosidade da agua .
Fext força aleatória sobre a partícula em suspensão.
Equação de Langevin -1a • Partindo da segunda lei de Newton , Paul
Langevin (1908) , derivou uma equação diferencial para o movimento browniano
extFrr
dt
da
dt
dm 6
2
2
Equação de Langevin – 1b • pelo teorema da equipartição da energia, proposto
por Clerk Maxwell.
• ½mV2 = kT/2 energia de uma partícula para cada grau de liberdade é função da temperatura. k é a constante de Boltzmann.
• chega-se a solução
ta
kTx
32
Fim