publicidad

publicidad

Documentos

Trabalhos e tarefas

Física

Movimento harmônico simples Mecânica: Cinemática e dinâmica. Energia e péndulo (simples ou matemático). Oscilador

Enviado por: Cacho

País: Equador

12 páginas

COLÉGIO SAN GABRIEL

TRABALHO DE FISICA

TEMA : MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES(ENERGIA E PÉNDULOS)

1999­2000

INTRODUÇÃO

Na natureza há muitos movimentos que se repetem a intervalos iguais de tempo, estes sãochamados movimentos periódicos. Em Física tem­se idealizado um tipo de movimentooscilatorio, no que se considera que sobre o sistema não existe a ação das forças derozamiento, isto é, não existe discipación de energia e o movimento se mantém invariável,sem necessidade de lhe comunicar energia exterior a este. Este movimento chama­seMOVIMENTO ARMÖNICO SIMPLES(MAS)

O movimento Harmônico Simples, um movimento que se explica no movimento harmônico deuma partícula tem como aplicações aos péndulos, é de modo que podemos estudar omovimento deste tipo de sistemas tão especiais, além de estudar as expressões da Energiadentro do Movimento Harmônico Simples.

PÉNDULO SIMPLES Ou PÉNDULO MATEMÁTICO

Denomina­se péndulo a um corpo que pode girar a um eixo que não passe por seu centro demassas ou de gravidade, descrevendo um movimento harmônico simples. O péndulo simples oumatemático é aquele que se considera formado por uma massa pontual ou de pequenas extensõessuspendida do extremo de um fio, que se supõe inextensible e sem massa, de forma que possa

oscilar com respeito ao outro extremo do fio que se supõe fixo.

O corpo estará na posição de equilíbrio quando o centro de gravidade da massa m esteja na verticaldo ponto de suspensão Ou, isto é, quando a massa esteja na posição C. Se levamos m no ponto A eabandonamo­lo, o péndulo começará a oscilar descrevendo o arco ABC; devido à velocidadeadquirida ultrapassará C e chegará até D, ponto no que a velocidade voltará a se anular e começaráo descenso em sentido contrário. Se não existisse resistência do ar nem rozamiento no ponto Ou, omovimento seria indefinido, mas na prática esta inexistência de forças resistentes é impossível e omovimento se vai amortecendo até se parar.

O movimento pendular se irá repetindo de forma periódica, pelo menos idealmente. Também lhodenomina movimento oscilatorio.

A justificativa teórica deste movimento é singela.

Se observamos a figura veremos que: o peso P e a massa pontual ( ou pequena esfera) m, quandoestá na posição A, se decompõe em duas forças, F e T. Força­a T é assumido ou contrarrestadapela tensão do fio suspendido em Ou. Força­a F fará com que a massa desloque­se em sua direçãopois não há nada que equilibre seu efeito.

Força­a F irá diminuindo à medida que a massa acerque­se à posição de equilíbrio, tal comoamostra na posição B a figura, até que a única componente seja vertical (posição C). Superada aposição de equilíbrio por causa da energia cinética adquirida em sua queda, a massa ascenderá atéD com uma força em oposição a cada vez maior, que atingirá em dito extremo da trajetória, paravoltar a descer até C, e assim sucessivamente se irá repetindo o movimento de vaivén.

EQUAÇÃO DO PÉNDULO SIMPLES

PERÍODO

Como se indicou a massa do péndulo simples está submetida a uma força recuperadora variávelcom a distância à posição de equilíbrio, isto é, F= ­kx; sendo x o arco de circunferencia medidosobre a trajetória circular do móvel m, como se indica nas seguintes equações, na que ademaispode ser observado o seguinte:

F= ­kx => F= ­ k.l.

Por outra parte:

F= ­ mg sen

(O signo é negativo porque considera­se a F como uma força recuperadora e portanto oposta aomovimento). Esta fórmula nos indicaria que a força não é proporcional ao ângulo senão a sen, como qual não podemos dizer que o movimento seja totalmente harmônico simples, mas para ângulosnão muito grandes , isto é para amplitudes pequenas, que é o caso suposto para péndulos simples ,podemos dizer que sen " , com o qual:

F= ­ mg sen " ­ mg

Igualando ambas expressões:

­k.l. = ­ mg => k.l = mg => k= mg

l

De onde pode ser concluído que pára pequenas amplitudes, a constante de proporcionalidade domovimento é diretamente proporcional à massa, e inversamente proporcional à longitude do

péndulo, e a força ficará refletida na expressão matemática:

F= _ mg . x (J)

l

Desta equação para o péndulo simples de pequena amplitude podemos deduzir o período dopéndulo matemático. Se recordamos que

T= 2 m

k

Para este caso com k= mg obteremos:

l

T= 2 m

mg

l

isto é:

T= 2 ll ((s)

g

Sendo l a longitude do péndulo e g a gravidade do local onde oscile.

PÉNDULO DE TORÇÃO

Diz­se que um corpo se desloca com movimento harmônico de rotação em torno de um eixo fixoquando o ângulo de giro resulta função sinusoidal do tempo e o corpo se encontra submetido a umaforça recuperadora cujo momento é proporcional à elongación angular. As equações que regemeste movimento se obtêm por substituição das magnitudes lineares do movimento harmônicosimples pelas respetivas magnitudes angulares. Por conseguinte, a elongación angular será:

= ou sen wt

Onde é a elongación angular e ou a amplitude da oscilação. Por derivação da equação anterior comrespeito ao tempo pode ser obtido a expressão da velocidade angular e desta a sua vez a daaceleração angular():

Vel. Angular = d = ou w cos wt

dt

= d2 = ­ou w2 sen wt = ­w2

dt2

A aceleração expressa em função do período pode também se formular como:

= _ 42

T2

Um péndulo de torção é um sistema físico formado por um filamento metálico unido por um de seusextremos a um suporte fixo e pelo outro ao centro de gravidade de um disco oscilante no planohorizontal. Por produzir­se um movimento harmônico de rotação, no péndulo de torção o período de

oscilação virá dado pela expressão:

T = 2 I

k´

ENERGIA NO OSCILADOR ÁRMONICO SIMPLES

Para esticar ou comprimir um resorte deve ser efetuado trabalho. Portanto, armazena­se energiapotencial em um resorte esticado ou coprimido. Mas antes vejamos o movimento de um péndulosimples:

A energia potencial é:

EP = 1/2KX2 (1)

Assim, já que a energia mecânica total E é a soma da energia cinética e potencial, temos que

EP = 1/2mV2+ 1/2kX2 (2)

Onde v é a velocidade da massa m quando está a uma distância x da posição de equilíbrio. Sempreque não tenha fricção, a energia mecânica total E permanece constante. Quando a massa oscilapara um e outro lado, a energia se troca continuamente de energia potencial a energia cinética, evioceversa e é a mesma quando esta comprimido ou esticado o resorte até a amplitude total.Nesses pontos extremos, a massa pára­se momentaneamente ao mudar de direção, de maneiraque v = 0 e

EP = 1/2m(0)2+ 1/2cá2 = 1/2K A2 (3)

Assim, a energia mecânica total de um oscilador harmônico simples é proporcional ao quadrado daamplitude. No ponto de equilíbrio, x = 0, toda a energia é cinética:

E = 1/2mV02+ 1/2k(0)2 = 1/2M V0 2 (5)

na que V0 representa a velocidade máxima durante o movimento que se dá quando x = 0. Nospontos intermédios, a energia é em parte cinética e em parte potencial. Combinando a equação 2 e3, podemos deduzir uan equação útil para a velocidade como função da posição X:

1/2mV2+ 1/2kx2 = 1/2MA 2 (6)

Aclaramos a V2:

V2 = K/M(A2 ­ x2) = K/m*A2(1 ­ x2/ A2) (7)

De acordo com a equação 3 e 4, temos que 1/2mVo2= 1/2mKA2, e então Vo2 = (k/m)A2.Introduzindo isto na equação anterior, e sacando raiz quadrada, chegamos a

V= ±Vo"(1 ­ x2/ A2) (8)

Isto dá a velocidade do objeto em qualquer posisción X. O objeto mova­se de unlado para outro, eentão seu velociadad pode ser em direção positiva ou negativa, péro sua magnitude só depende damagnitude de x.

Então poderíamos dizer que se demonstra com facilidade que a equação 2 tambien vale para umresorte vertical. Se tomamos como ponto de referência para calcular a EP, a longuitud natural doresorte, como na Fig. 11­3a, então, a EP na nova posição vertical de equilíbrio (fig 11­3b) é EP =(1/2kXo2 ­ mgXo, na qual incluímos a EP elástica e gravitacional. A EP quando o resorte estáesticado uma distância adicional x, como na figura 11­3c, é EP = 1/2k(X+ Mas)2 ­ mg(X +Mas): Adiferença entre elas é (recuerdese Mas = mg/k):

1/2k(X+ Mas)2 ­ mg(X +Mas) ­ 1/2kXo2 ­ mgXo = 1/2kX2 + KgXXo ­ mgX

= 1/2kX2 + KX(mg/k) ­ mgX

= 1/2kX2

Assim a Energia potencial do sistema, na reación com a posição vertical do equilíbrio se dá por1/2kX2 , e a equação 2 se conhece que é valida para um resorte vertical, ao igual que para um queoscile em direção horizontal.

ENERGIA DO MAS

A força que atua sobre uma párticula que vibra com MAS depende da posição (F = ­kx), então se dáque esta será uma força conservativa, que mantém constante a energia mecânica total do sistema:

Em = Ec + EP = cte.

A energia cinética em um instante qualquer é

Ec = 1/2m.V2, onde v = ± wA cos(wt+ ) e m = K/w2

Ec = 1/2(k/w2) w2A2cos2(wt + )

Como cos2 (wt + )max = 1 , temos:

Ec max = 1/2m.w2A2 = 1/2cá2

Durante o movimento, a energia cinética varia entre zero e o valor máximo indicado.

A energia potencial em um instante qualquer é:

Ep = 1/2kx2, onde x = ± A sen(wt+ )

Ep = 1/2k [A2sen2(wt + )]

Ep = 1/2k A2sen2(wt + )

Como sen2 (wt + )max = 1 , temos:

Ep max = 1/2cá2

Durante o movimento a energia potencial vária entre zero e o valor máximo indicado.

Em decorrência da oscilação há um contínuo intercâmbio de energia potencial e cinética.

Quando a partícula se afasta da posição de equilíbrio, a energia potencial incrementa seu valor,ou aexpensas de uma diminuição da energia cinética e vice­versa.

Explica­se no seguinte gráfico:

Generalizando se terá que:

Em max = 1/2mVx2 +1/2kx2 = 1/2mV2 max = 1/2k A2

Onde Vx é a velocidade da partícula na posição X, e Vmax é a velocidade da partícula na posição deequilíbrio (Vmax = wA).

BIBLIOGRAFIA:

WWW.ALTAVISTA.COM/APONTAMENTOS DE FISICA

http://www.ccbb.ulpgc.é/fisica/docência/euitt/aponte/ondas/ondasweb.html

ZEMANSKY, Fisica Geral, Páginas 212, 213, 214, 215, 216

VALLEJO, Fisica, Tomo 2.

BLATT, Física, MAS

X= arco CD = rádio . ângulo = l .

F= P sen = mg sen

T= P cos = mg cos

resumos e trabalhos ­ Termos e condiçoes de uso