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MOVIMENTO OSCILATÓRIO MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS)

• Um movimento diz-se do tipo harmónico simples, quando é representado pela expressão:

)cos( φω += tAx

A – amplitude máxima do movimento. φ - fase inicial do movimento. ω - frequência angular

• Ao conjunto (ω t+φ) dá-se o nome de fase

• Ao tempo que demora uma partícula a executar um ciclo completo dá-se o nome de período T.

• Usando esta definição e o facto de um ciclo corresponder a 2π é possível deduzir a

relação, substituindo na expressão x(t) o tempo por t+T:

Tπω 2=

• A frequência é definida como o inverso do período:

Tf

1=

Força proporcional ao deslocamento

Movimento periódico ou oscilatório

Conservação da energia mecânica

Movimento harmónico simples

2

)cos(

)(sen

φωω

φωω

+−==

+−==

tAdtdv

a

tAdtdx

v

2

• Para determinar a velocidade e a aceleração de uma partícula em MHS:

• As relações de fase entre estas grandezas são dadas pelo gráfico:

• Para calcular A em função de v0, x0 e ω , usar as expressões:

φωφ sen e cos AvAx −== 00

• E obtém-se:

202

00

0

+=−=

ωωφ

vx

xv

tg A e

MASSA LIGADA A UMA MOLA • Atendendo a que uma massa ligada a uma mola está sujeita a uma força:

kxF −=

e comparando com os resultados obtidos para o MHS, facilmente se conclui que, para este sistema:

km

Tmk

πω 2== :portanto e,

xa

Aa

Av

2

2

ω

ω

ω

−=

=

=

máx

máx

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• Sejam analisados dois casos distintos: CASO I: A massa é puxada até um deslocamento x0 e largada sem velocidade inicial.

tAatAvtAx ωωωωω cos sen cos 2−=−==

CASO II: É conferida uma determinada velocidade à massa, v0, a partir da posição de equilíbrio.

tvatvvtv

x ωωωωω

sen cos sen 000 −===

• Os pêndulos simples, os estados vibracionais das moléculas, os campos

electromagnéticos podem também ser descritos, sob determinadas condições, por este formalismo.

ENERGIA DE UMA MASSA LIGADA A UMA MOLA (OHS)

• Admitindo que não existe atrito no movimento de uma massa ligada a uma mola, então a soma das energias cinética e potencial, mantém-se constante:

tec=+=+ 22

21

21

kxmvEE PC

• Obtendo-se:

2

21

kAE OHSM =)(

• Como resumo, poderemos usar o seguinte quadro:

t x v a EC EP

0

A

0

-ω2A

0

0.5kA2

T/4

0

-ωA

0

0.5kA2

0

T/2

-A

0

ω2A

0

0.5kA2

3T/4

0

ωA

0

0.5kA2

0

T

A

0

-ω2A

0

0.5kA2

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MOVIMENTO OndulaTÓRIO Exemplo de onda longitudinal Exemplo de onda transversal

PROPAGAÇÃO DE ONDAS A UMA DIMENSÃO

• Uma onda que se propaga tem um movimento caracterizado por uma função do tipo (admitindo que a onda se propaga no sentido positivo do eixo), à qual se dá o nome de função de onda:

)( vtxfy −=

Ondas mecânicas 1)

São caracterizadas por: 1) amplitude – deslocamento máximo das partículas 2) comprimento de onda – distância mínima entre

quaisquer dois pontos da onda que estejam no mesmo estado

3) frequência – número de ciclos por unidade de tempo 4) velocidade de propagação da onda

Quanto à relação entre a direcção de propagação e a direcção da perturbação das partículas do meio, podem ser: 1) ondas longitudinais 2) ondas transversais

Exigem: 1) uma fonte 2) um meio que possa ser perturbado 3) uma forma de ligação entre as

partículas que constituem esse meio

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• Reparar que neste tipo de movimento temos a considerar duas velocidades: a

velocidade de propagação e a velocidade linear das partículas do meio.

SOBREPOSIÇÃO E INTERFERÊNCIA DE ONDAS

• Na propagação de ondas é, em geral, válido o princípio da sobreposição: “Quando

uma ou mais ondas partilham simultaneamente o mesmo espaço, a função de onda

resultante é a soma algébrica das funções de onda individuais.”. Ou seja, não existe

destruição de ondas por interferência com outras ondas.

Interferência construtiva Interferência destrutiva

PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM CORDAS

• A propagação de ondas em cordas obedece à expressão:

µT

v = , onde v é a velocidade de propagação da onda, T a tensão da corda e µ a

densidade de massa da corda por unidade de comprimento. • Para a demonstrar atente-se na figura seguinte, admitindo que uma pequena porção da

corda pode ser aproximada a um arco de circunferência e que a aceleração, sendo normal, será dada por v2/r. Admita-se ainda que, para ângulos pequenos, sen(α) ≅ α.

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REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS

• O aparecimento de uma fronteira na propagação de ondas pode causar reflexão total ou parcial da energia transportada pela onda:

Exemplos de reflexão total

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Exemplos de reflexão parcial

ONDAS SINUSOIDAIS

• Uma classe importante de ondas são as chamadas ondas sinusoidais, cuja função de onda, quando esta se propaga segundo o sentido positivo do eixo, tem a expressão,:

( )

−= vtxAy

λπ2

sen , onde A é a amplitude e λ o comprimento de onda.

• Neste caso o período da onda é o tempo que a onda leva a percorrer um comprimento

de onda e, portanto, temos a relação:

Tv

λ=

• O carácter periódico da onda é evidenciado quando a função de onda toma a forma:

−=

Ttx

Ayλ

π2sen , y repete-se para x = nλ e para t = nT.

• Introduzindo as variáveis:

nº de onda: λπ2

=k e frequência angular: fT

ππ

ω 22

== , a função de onda, toma a

forma:

)(sen tkxAy ω−= • Repare-se que nas expressões anteriores y = 0, para t = 0 e para x = 0, numa situação

mais geral:

)(sen φω −−= tkxAy • Reparar que, uma vez mais, é possível obter a expressão da velocidade linear das

partículas e a sua aceleração, por derivação de y.

)(sen e )cos( φωφω −−−=−−−= tkxAwatkxwAv 2