Movimentos de satélites geoestacionários: características

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Movimentos de satélites geoestacionários: características e aplicações destes satélites

1 O raio da Terra é 6 400 km. Quantas vezes é que o raio da órbita de um satélite geoestacionário é maior que o raio da Terra?

2 Aórbitadafiguraacimaestáàescala?Fundamentearesposta.

3 QuantosminutosdemoraumsatélitegeoestacionárioadaravoltaàTerra?Equantossegundos? Compare esses valores com a duração de um dia terrestre.

SeestesatélitederumavoltaàTerraem24h(exactamente o mesmo tempo que a Terra demora a dar uma volta completa em torno do seu eixo de rotação), o satélite é visto da Terra como estando sempre no mesmo ponto do espaço.

Num movimento circular uniforme, a magnitude da velocidade é constante mas a direcção da velocidade está permanentemente a variar. A aceleração aponta para o centro da trajectória (é centrípeta).

Pólo NorteEuropa

Esteânguloédescrito pelo raio da órbita do satélite e pelo raio da Terra exactamente no mesmo intervalo de tempo...

As órbitas geoestacionárias estão no plano do equador.

Um dos tipos de movimento mais importantes é o movimento

circular com rapidez constante.Esseéotipodemovi-

mento de, por exemplo, a maioria dos satélites artificiais da

Terra.

Num movimento deste tipo, a magnitude da velocidade é

constante ou uniforme. Diz-se que é um movimento circular

uniforme. Mas, note-se, a velocidade, que é uma grandeza

vectorial,tangenteàtrajectória,está permanentemente

a variar em direcção.Nomovimentocircularuniformehá,

pois, aceleração, apesar da magnitude da velocidade não va-

riar. A aceleração no movimento circular uniforme aponta para

o centro da trajectória, e é tanto maior quanto mais rápido for

o movimento circular. Diz-se que a aceleração é centrípeta.

Como veremos adiante, é possível calcular a magnitude desta

aceleraçãocentrípeta,conhecendoavelocidadeeoraioda

trajectória circular.

Há centenas de satélites que têm um movimento circular

com uma velocidade tal que faz com que estejam sempre por

cima do mesmo ponto da Terra.Essessatélitesdãoumavolta

completaàTerraem24h,exactamenteotempoqueaTerra

demora a dar uma volta em torno do seu eixo de rotação.

Assim, são vistos do mesmo local da Terra no mesmo ponto

do céu. São, por isso, designados por satélites geoestacio‑

nários. A órbita desses satélites está no plano do equador.

As órbitas dos satélites geoestacionários (ou órbitas geo‑

estacionárias)têmumraiode42200kmesãoutilizadas

para satélites de comunicações, apesar de estarem tão longe

e terem tempos de lactência (isto é, atrasos na comunicação)

relativamente grandes (cerca de 0,5 segundos). Sendo vistos

sempre no mesmo ponto do espaço, as antenas na Terra po-

dem apontar apenas para esse ponto (daí o serem muito utili-

zados como satélites de comunicações).

As órbitas geoestacionárias são um caso particular das ór‑

bitas geosíncronas, isto é, órbitas em que o movimento do

satéliteétalquenamesmahoradecadadiaévistodaTerra

exactamente na mesma posição do céu. As órbitas dos satéli-

tes do sistema GPS são semi‑geosíncronas: têm um período

orbitalde12h,aparecendonomesmopontodocéu,vistosda

Terra, duas vezes por dia. O raio destas órbitas semi-geosín-

cronasé26600km.

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Velocidade angular no movimento circular uniforme

1 Osgira-discosantigostinhamumavelocidadeangularde33rpm(rotaçõesporminuto).Qualé a velocidade angular destes gira-discos, em graus por segundo?

2 Qualéavelocidadeangular,emgrausporsegundo,daEstaçãoEspacialInternacional,quecompleta 15,77 órbitas num dia, numa órbita aproximadamente circular a uma altitude de cerca de 400 km?

A roda gigante de Londres (London Eye)demora30minadaruma volta completa. Qual é a velocidade angular da roda, em grausporminutos?Eemgrausporsegundo?

Quer um satélite geoestacionário quer a

Terradescrevemumavoltade360ºem24

h.Portanto,podemosdizerqueoraiodaór-

bita do satélite e o raio da Terra rodam com

umarapidezde15gausporhora:

360º

15º /h24h

Estagrandezafísicaquedescrevearapi-

dez com que um objecto roda é designada

por velocidade angular. (Nota: em rigor,

a velocidade angular também é um vector

peloque15º/hrepresentaapenasamagni-

tude da velocidade angular da Terra e do raio

da órbita do satélite. A velocidade angular

aponta numa direcção perpendicular ao plano

de rotação.)

A velocidade angular, que se representa

pela letra grega ómega, , pode ser facil-

mentecalculadaconhecendooperíodoT de

rotação (tempo que demora uma volta com-

pleta), para uma rotação uniforme:

360º

= T

Por exemplo, se o período for 10 s, a ve-

locidade angular é

360º/10s=36º/s.

Já a velocidade angular de um satélite

geoestacionário (e a da Terra!) vale, em

graus por segundo, tendo em conta que um

diatem24h,que1horatem60minutose

que 1 minuto tem 60 s:

para uma voltacompleta, tem-se

ângulo descrito pelo raio da trajectória da partículavelocidade angular

intervalo de tempo decorrido=

tq

w =D

360ºT

w =

=´ ´

= = ´ -36024 60 60

0 0042 4 2 10 3º( )

, , º s

º/s /s


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O grau, ou seja a fracção 1/360 de uma volta completa,

éumaunidadeconvencionalenãoéaunidadedeângulodo

SistemaInternacionaldeUnidades(SI).(Arazãopelaqualuma

voltacompletasão360ºtemavercomofactodenaAntiguidade

seterconsideradoqueaTerrademorava360diasadaruma

volta completa ao Sol).

A unidade SI de ângulo é o radiano. Um radiano (1 rad) é

oânguloquecorrespondeaumarcoemqueocomprimentodo

arco é igual ao comprimento do respectivo raio.

Assim,umângulode2radianos(2rad)éumângulocujoarco

temumcomprimentoqueéodobrodorespectivoraio.Eumân-

gulode3radéumângulocujocomprimentodoarcoéotriplodo

comprimento do raio.

O comprimento do arco que corresponde a uma volta completa

é igual ao perímetro da circunferência. O perímetro vale

2×3,14159...×raio=2×p×raio=6,28318...×r 6,28r

Logo,oarcodavoltacompletaé6,28vezesmaiorqueoraio

dacircunferência(emrigor,2pvezesmaior).E,portanto,o ân‑

gulo correspondente a um volta completa vale 6,28 radia‑

nos.

Equantos graus vale um radiano?Simples:se360ºsão

6,28rad,então1radsão57,3º:

3606 28

57 3º

,, º=

Umraioquerodeàrapidezde1radianoporsegundo,1rad/s

(=57,3º/s),dáumavoltacompletaem6,28s.Esedemorar

10 s a dar a volta completa, roda com uma rapidez de

6 2810

0 628,

, rad s

rad/s=

Massedemorar12s,arapidezderotação,queé,emgraus/s,

= =

36030

ºº /

12ss

vale,emrad/s:

p =

rad s

rad s

rad/s212

6 2812

0 524= =, ...

,

EmunidadesSI(rad/s),paramovimentosuniformes,aveloci-

dade angular pode ser calculada a partir da equação

2T

ângulode1radiano:ocomprimento do arco é igual ao comprimento do raio

ângulode2radianos:ocomprimento do arco é igual ao dobro do comprimento do raio

ângulode3radianos:ocomprimento do arco é igual ao triplo do comprimento do raio

Uma volta completa corresponde aumarotaçãode6,28radianos=2p radianos. Eumarotaçãodemeiavoltaa3,14rad=p rad. Eumarotaçãode1/4devoltaa1,57 rad = p/2rad.

Velocidade angular em graus por segundo e em radianos por segundo

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y

1 Qualé,emradianos,oângulodescritopeloraiodaórbitadeumsatélitegeoestacionárioem24h?

2 Avelocidadeangulardeumsatélitegeoestacionáriovale,emunidadesSI,

=

´´ ´( )

2 3 1415924 60 60

, rads

Fundamenteaescritadestaequaçãoeobtenhaovalordavelocidadeangular.

3 Qualé,emradianos,oângulodescritopeloraiodaórbitadeumsatélitedosistemaGPSem24h,tendoemcontaqueoseuperíodoéde12h.

4 CalculeavelocidadeangulardeumsatélitedosistemaGPS,emunidadesSI.

Observe a foto abaixo e os dados da legenda.

5 QualéavelocidadeangulardaEstaçãoEspacialInternacional?

6 QualéoraiodaórbitadaEstaçãoEspacial?TenhaemcontaqueoraiodaTerravale6400km.

7 QualéadistânciapercorridapelaEstaçãoEspacialnumavoltacompleta?

DesenhodeartistarepresentandoaaproximaçãodanaveJúlioVerneàEstaçãoEspacialInternacional,queestánumaórbitaaproximadamente circular a baixa altitude (cerca de 400 km), com umavelocidadede28000km/hecomumperíodode1,5h.


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Movimento circular com velocidade de módulo constante e características das órbitas dos satélites geoestacionários

O movimento circular uniforme, seja de um satélite seja de qual-

quer outro objecto, é um movimento com aceleração centrípeta

constante e, portanto, de acordo com a lei fundamental do movi-

mento, com resultante das forças constante, dirigida para o cen-

tro da trajectória.

Neste tipo de movimentos, a velocidade v tem módulo ou

magnitude constante que é dada pelo quociente entre o compri-

mento da trajectória circular e o intervalo de tempo respectivo,

v

rT

=´ ´2 p

onde r é o raio da trajectória e T o período do movimento circular

(tempo que demora uma volta completa).

Por outro lado, vimos que a velocidade angular num movi-

mentocircularé,emunidadesSI,dadapor

2T

Combinando esta equação com a anterior, vem, para a magni-

tude da velocidade v:

vr

T

vT

r

v r

=´ ´

=´

´

= ´

2

2

p

p

E,comosemostranapáginaaolado,aaceleraçãocentrí-

peta a é é dada por

a

vr

=2

Substituindo o valor de v, obtém-se:

ar

r

ar

r

a r

=´( )

=´

= ´

2

2 2

2

Estaúltimaequaçãomostraque:

• a aceleração centrípeta a é directamente proporcional ao

raio r da trajectória, mantendo constante a velocidade an-

gular .

• a aceleração centrípeta a é proporcional ao quadrado da

velocidade angular, 2, mantendo constante o raio r da tra-

jectória (ou seja, duplicando a velocidade angular , qua-

driplica a aceleração centrípeta a; triplicando , aumenta

nove vezes a aceleração centrípeta a; etc.).

v

a

2 rv

Tp

=

2va

r=

comprimento de uma circunferência:

intervalo de tempo deuma volta completa:

ângulo descrito numa volta completa, em radianos:

velocidade angular, emradianos por segundo:

velocidade (também designada por “velocidade linear”):

aceleração centrípeta:

T

raio r

2 rp

2 p

2Tp

w =

2a rw=

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A

r r r r

v

v

B

A B

Av

Av

Bv

Bv

s

distância s entre A e Bno intervalo de tempo t

va

tD

»D

AB s v t» » ´D

v sv r

D=

v v tv r

D ´D=

v v vt r

D ´=

D

2va

r=

2va

r=

vD

vD

A amarelo, dois triângulos semelhantes porque têm lados perpendiculares dois a dois. Entre triângulos semel-hantes, os respectivos lados são proporcionais entre si.

Tendo em conta que a distância percorrida entre A e B é o produto da velocidade pelo tempo decorrido, vem:

Simplificando, e tendo em conta que a aceleração num instante qualquer da trajectória é o quociente entre a variação de velocidade e o intervalo de tempo respectivo,quando esse intervalo de tempo é “muito pequeno”, vem:

Como calcular a magnitude da aceleração centrípeta, a, num movimento circular uniforme?

B

O esquema acima mostra como se pode demonstrar que a aceleração centrípeta a num movimento circular uniforme é dada por a = v2/r em que v é a magnitude da velocidade e r é o raio da trajectória.

1 Aórbitadeumsatélitegeoestacionáriotemumraiode42200km.Aaceleraçãoa de um satélitegeoestacionário,emunidadesSI,podeserdeterminadapor:

a =

´ ´ ´´ ´

æ

è

ççççç

ö

ø

÷÷÷÷÷

´

2 3 14159 42 200 1024 60 60

42 200 10

3 2

3

,

Fundamenteaequaçãoanterioreobtenhaovalordea.

2 Paraondeapontaaaceleraçãodeumsatélitegeoestacionário?Eparaondeapontaaforçagravítica no satélite? Qual destas grandezas, aceleração ou força gravítica, depende da massa dosatélite?Fundamentearesposta.

3 Será possível colocar um satélite geoestacionário numa órbita de raio inferior ou superior a 42200km?Fundamentearesposta.

4 AórbitadeumsatélitedosistemaGPStemumraiode26200kmeperíodoorbitalde12h.CalculeaaceleraçãodeumsatélitedosistemaGPSemunidadesSI.

5 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, um com uma órbita de raio r e outro com uma órbitaderaio2r,comomesmoperíodo.Qualtemmaiorvelocidadeangular?Fundamentearesposta, utilizando um esquema e as equações adequadas.

6 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, um com uma órbita de raio r e outro com uma órbitaderaio2r,comomesmoperíodo.Qualtemmaioraceleração?Fundamentearesposta,utilizando um esquema e as equações adequadas.

7 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, ambas com o mesmo raio r, mas o período de um é o dobro do período do outro. Relacione a velocidade angular e a aceleração dos dois satélites, fundamentando a resposta, utilizando esquemas e as equações adequadas.


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O esquema abaixo mostra como se pode deduzir teoricamente a equação que permite calcular o raio da órbita dos satélites geoestacionários, a partir da lei da Gravitação Universal, da lei fundamental do movimento e das equações do movimento circular uniforme.

Tenhaemcontaque:

• amassadaTerravale5,97×1024 kg;

• a constante de gravitação universal, G,vale6,67×10-11(emunidadesSI);

• o raio da Terra são 6 400 km;

• e, claro, não se esqueça do período dos satélites geoestacionários...

1 Qual é a equação que permite calcular o raio da órbita de um satélite geoestacionário?

2 Verifiquequeoraiodessaórbitaédadopor

r = ´´

´´ ´

æ

èççç

ö

ø÷÷÷÷

-6 67 105 97 10

2 3 1415924 60 60

1124

23,

,

,

e calcule o respectivo valor em metros e em quilómetros.

3 Fundamenteosvaloresutilizadosnaequaçãoanterior.

4 Qualéaaltitudedossatélitesgeoestacionários?Odesenhoabaixoestáàescala?Fundamentea resposta.

5 Descreva resumidamente os passos da dedução teórica da equação que permite calcular o raio da órbita dos satélites geoestacionários.

Pólo Norte

Europa

v a

gF

T Sg 2

m mF G

r

´=

T Sg 2

m mF G

r

´=

SF m a= ´

massa do satélite, ms

massa da Terra, mT

2a rw= ´

força gravítica, a única força no satélite

pela lei fundamental do movimento, tem-se, para o satélite:

tendo em conta a lei da Gravitação Universal,

e a equação da aceleraçãocentrípeta, vem:

simplificando e resolvendo em ordem ao raio r:

raio r

2S T

S 2

m mvm G

r r

´=

( )

2S T

S

2 T

2T

2 T

2 2 T

3 T2

T32

1

2

m mvm G

rm

v Gr

mrG

T r

mr G

rm

r Gr

mr G

mr G

p

w

w

w

w

´=

=

æ ö÷ç =÷ç ÷ç ÷è ø

=

=

=

=

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6 Calcule a velocidade dos satélites geoestacionários.

7 Qualéoânguloentreavelocidadedossatélitesgeoestacionárioseoraiodatrajectória?Fundamentearesposta.

8 Calcule a aceleração dos satélites geoestacionários.

9 Qualéoânguloentreaaceleraçãodossatélitesgeoestacionárioseoraiodatrajectória?Fundamentearesposta.

10Aaceleraçãodossatélitesgeoestacionáriosdependedamassadosatélite?Fundamentearesposta.

11Qualéarazãoporqueseutilizamórbitasgeoestacionáriasnossatélitesdecomunicações?Eque desvantagem apresentam essas órbitas?

A ideia da utilização de órbitas geoestacionáriasfoipublicadaem1928peloengenheiroeslovenoHermanPotocnik, pioneiro da astronáutica. Mais tarde, em 1945, foram popularizadas pelo escritor de divulgação científica ArthurC.Clarke,recentementefalecido,autordeinúmerosromancesdeficçãocientífica e de diversos programas de televisão. As órbitas geoestacionárias sãotambémconhecidascomoórbitasdeClarke,emsuahomenagem.

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