MOVIMENTOS SOB A AÇÃO DE UMA FORÇA RESULTANTE DE INTENSIDADE CONSTANTE

Trajetórias Temos os seguintes casos: 1º) Se a força resultante tiver a direção da velocidade só variará o módulo desta e a trajetória será retilínea.

Ou

2º) Se a força resultante for perpendicular à velocidade, só variará a direção desta e a trajetória será circular.

3º) Se a força resultante não tiver a direção da velocidade, nem for perpendicular à mesma, então o módulo e a direção da velocidade variam, sendo a trajetória curvilínea e não circular.

v

RF

v

RF

v

RF

v

RF

Aceleração, aceleração normal e aceleração tangencial De acordo com a expressão da 2ª Lei de Newton

amFR

a

tem sempre a direção e sentido de RF

Em relação aos casos anteriores, ocorrem as seguintes situações: 1ª) Para o 1º caso

2ª) Para o 2º caso

3ª) Para o 3º caso

0

na

taa

0

ta

naa

ta

na

a

Para qualquer situação:

nt aaa

Valor da aceleração normal (an)

r

van

2

Sendo:

vv

Valor da aceleração tangencial (at)

dt

vdat

Descrição de um movimento através de um eixo solidário com a trajetória (eixo dos ss)

A0As ; sA < 0

B0Bs ; sB > 0

C0Cs ; sC > 0

sA

sB sC

A velocidade escalar, neste eixo, traduz-se pela expressão:

dt

sdv

Os valores das acelerações obtêm-se pelas expressões:

dt

vdat

; r

van

2

;

22

nt aaa

EXERCÍCIO

Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio 4,0 m.

A lei do movimento é:

s = 3 t3 – 3 t + 1 (SI)

a) Determine a norma da aceleração no instante t = 1 s. b) Classifique o movimento no instante t = 0,2 s.

MOVIMENTO CIRCULAR

Para este movimento, o ângulo θ entre o vetor posição e o eixo dos xx varia com o tempo.

θ

v

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

Neste caso, a variação do ângulo θ (Δθ) é diretamente proporcional ao intervalo de tempo (Δt).

constante

t

A esta constante de proporcionalidade chama-se velocidade angular (ω).

t

ω – velocidade angular (rad/s) Δθ – variação do ângulo (rad) Δt – intervalo de tempo (s) Se no instante t = 0 s, o vetor posição da partícula faz um ângulo θo com o eixo dos xx, no instante t, o ângulo é θ.

0

0

0

t

tt

t 0

θo

t = 0

t

θ

Movimento circular uniforme Movimento retilíneo uniforme

t 0 x = x0 + v t

ω = constante v = constante

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO Neste caso a variação da velocidade angular (Δω) é diretamente proporcional ao intervalo de tempo (Δt).

constante

t

A esta constante chama-se aceleração angular (α).

t

A unidade SI de aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado (rad/s2).

Se no instante t = 0, a velocidade angular for ω0, no instante t a velocidade angular será ω.

0

0

0

t

tt

t 0

Relativamente ao ângulo θ, pode-se que este é dado pela seguinte expressão:

2

002

1tt

Movimento circular uniformemente variado

Movimento retilíneo uniformemente variado

t 0 v = v0 + a t

2

002

1tt

2

002

1attvxx

RELAÇÕES ENTRE AS GRANDEZAS ANGULARES E LINEARES

s = θ r

v = ω r

at = α r

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UM MOVIMENTO COM FORÇA RESULTANTE CONTANTE

Para determinar as equações do movimento de um corpo sujeito a uma força resultante constante, basta conhecer essa força e as condições iniciais.

amFR

zyx e e e

zyxR FFFF

zyx e e e

zyx aaaa

Substituindo na expressão da 2ª Lei de Newton:

)e e e (e e e zyxzyx

zyxzyx aaamFFF

zyxzyx e e e e e e

zyxzyx aaa

m

F

m

F

m

F

Desta equação obtêm-se as igualdades:

m

Fa x

x ;

m

Fa

y

y ;

m

Fa z

z

No caso do movimento a duas dimensões, as equações do movimento encontram-se no quadro da página 39 do livro.

PROJÉTEIS

LANÇAMENTO HORIZONTAL

gR FF

gmFR

0v

y0

xmáx x

RF

ye

mgFR

Componente horizontal do movimento Como Fx = 0 e x0 = 0 , verificam-se as seguintes igualdades:

ax = 0

vx = v0x

x = v0x t

Que permitem concluir que o movimento é uniforme segundo o eixo dos xx.

Componente vertical do movimento Como Fy = - mg e v0y = 0, verificam-se as seguintes expressões:

ay = - g

vy = - gt

2

02

1gtyy

Que permitem concluir que o movimento é uniformemente acelerado segundo o eixo dos yy.

Tempo de voo (tvoo) Quando se atinge o tempo de voo, o valor da ordenada é nulo (y = 0), logo:

2

0

2

02

10

2

1voogtygtyy

g

ytvoo

02

Alcance (xmáx) Quando se atinge o tempo de voo, o valor da abcissa é máximo (x = xmáx), logo:

tvx x0

vooxmáx tvx 0

LANÇAMENTO OBLÍQUO

0v

hmáx

θ

xmáx

Componente horizontal do movimento Como Fx = 0, x0 = 0 e y0 = 0, verificam-se as seguintes expressões:

ax = 0

vx = v0x vx = v0 cosθ

x = v0x t x = v0 cosθ t

Que permitem concluir que o movimento é uniforme segundo o eixo dos xx.

Componente vertical do movimento Como Fy = - mg e y0 = 0, verificam-se as seguintes igualdades:

ay = - g

vy = v0y - gt vy = v0 senθ - gt

2

002

1gttvyy y

2

02

1 gttsenvy

Que permitem concluir que o movimento é uniformemente variado segundo o eixo dos yy. Tempo de voo (tvoo) Quando se atinge o tempo de voo, o valor da ordenada é nulo (y = 0), logo:

)2

1(0

2

100

2

10

2

0

2

00 vooyvoovoovooyy gtvtgttvgttvyy

02

10 0 vooyvoo gtvt

g

vt

y

voo

02

Alcance (xmáx) Quando se atinge o tempo de voo, o valor da abcissa é máximo (x = xmáx), logo:

tvx x0

vooxmáx tvx 0