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11-10-2010
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Mecânica da partícula
Movimentos sob a acção de uma força resultante constante
Prof. Luís C. Perna
LEI DA INÉRCIA OU 1ª LEI DE NEWTON
LEI DA INÉRCIA
“Para que um corpo altere o seu estado de movimento é necessárioque a força resultante sobre ele não seja nula.”
“Um corpo em repouso continuará em repouso e um corpo emmovimento continuará em movimento se a resultante das forçasque sobre ele actuam for nula.”
“É necessário uma força resultante, para que um corpo altere oseu estado de movimento”.
“Se a resultante de todas as forças que actuam num corpo fornula, o corpo ou está em repouso ou tem movimento rectilíneo euniforme”.
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A aceleração adquirida por um corpo (considerado partícula
material) é directamente proporcional à intensidade da
resultante das forças que actuam sobre o corpo (partícula
material), tem a mesma direcção e sentido da resultante das
forças e é inversamente proporcional à sua massa.
Expressão matemática:
amFFn
i
ir
1
Quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, este
exerce também sobre o primeiro uma força de igual módulo e
direcção, mas de sentido contrário.
As forças de um par acção-reacção
têm:
o mesmo módulo (intensidade)
a mesma direcção
sentidos opostos
ABBA FF ,,
LEI DAS ACÇÕES RECÍPROCAS
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ATENÇÃO! O PESO E A REACÇÃO NORMAL QUE
ACTUAM SOBRE UM CORPO NÃO FORMAM UM
PAR ACÇÃO-REACÇÃO.
As forças de um par acção-reacção têm:
o mesmo módulo (intensidade)
a mesma direcção
sentidos opostos
pontos de aplicação em corpos distintos
P
NSERÃO PARES ACÇÃO-REACÇÃO?
ABBA FF //
BAF /
ABF /
Força que o rapaz (A) exerce na rapariga (B). Força aplicada na rapariga.
Força que a rapariga (B) exerce no rapaz (A). Força aplicada no rapaz.
'PeP
AeR
Pares acção-reacção
PARES ACÇÃO-REACÇÃO?
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Quando uma força actua num corpo, a aceleração que lhe
imprime é tanto maior quanto menor for a sua massa.
Quando um corpo é sujeito a uma força
Quando um corpo é sujeito a uma força
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A segunda lei de Newton
As forças são as causas das acelerações.
A 2ª Lei de Newton, exprime a proporcionalidade entre as forças e
as acelerações provocadas nos corpos.
amFR
Quando a força é constante a aceleração do corpo também é
constante, uma vez que a massa é uma característica do corpo (não
varia).
Se a aceleração é constante então a variação da velocidade ocorre
sempre na mesma direcção – a direcção da aceleração.
A partir da expressão da Lei fundamental da Dinâmica, define-se
newton:
A segunda lei de Newton
amFR
-2ms1kg1N1
1 N (newton) é a intensidade de uma força que, quando aplicada
num corpo de massa 1kg, lhe comunica uma aceleração de 1 m/s2
na sua direcção e sentido.
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As componentes da força
Num movimento curvilíneo, a resultante das forças está sempre
dirigida para o interior da curva.
A força pode ser decomposta nas suas componentes:
Uma que é perpendicular à trajectória no ponto considerado, a
componente normal, Fn.
Outra que actua na direcção da velocidade, a componente
tangencial, Ft.
A resultante das forças pode ser escrita do seguinte modo:
amFR
nntt eaeaa
)( nnttR eaeamF
nnttR eamemaF
As componentes da força
nnRn eamF
Componente relacionada com a variação
da direcção da velocidade.
ttRt eamF
Componente relacionada com a variação
do módulo da velocidade.
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Trajectória consoante as orientações da força e da velocidade inicial
O disparo de um canhão ou de uma
espingarda, o movimento de uma bola
de golfe, depois de uma tacada e o
lançamento do martelo ou do disco,
nas provas olímpicas, são apenas
alguns exemplos de situações muito
comuns em que se pode observar o
movimento de um projéctil.
Movimento de Projécteis
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Mas o que é, de facto, um projéctil?
É um corpo quando se move no ar, sob
acção duma força constante, isto é,
sujeito à força gravítica.
O movimento de um projéctil caracteriza-
se pela descrição de uma trajectória
parabólica, que faz um ângulo com a
horizontal.
Estes corpos também estão sujeitos à
resistência do ar, mas apenas vamos
analisar movimentos em que este efeito
possa ser desprezado.
Projécteis
Lançamento horizontal
O estudo de determinados movimentos a duas ou
três dimensões, seria muito difícil se não os
considerasse-mos como a decomposição de outros
mais simples.
Ex: movimento de um projéctil lançado de um avião ou como o
movimento de uma esfera quando cai duma mesa.
Considera-se um, na direcção horizontal, rectilíneo e uniforme, uma vez
que nessa direcção, o projéctil não está sujeito a forças.
E outro, na direcção vertical, rectilíneo e uniformemente variado, uma vez
que segundo essa direcção o projéctil está sujeito à força gravítica.
Como se faz a decomposição dos dois movimentos?
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Lançamento horizontal
Análise do movimento segundo o eixo dos xx.
Movimento uniforme:
Fx= 0 ax = 0 vx = v0 x = v0t
Lançamento horizontal
Análise do movimento segundo o eixo dos yy.
Movimento uniformemente acelerado:
Fy= - m g ay = - g vy = - g t y = h – ½ gt2
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Velocidade segundo o eixo dos xx e dos yy.
Lançamento horizontal
As equações paramétricas do movimento são:
Atenção: As equações paramétricas que descrevem o
movimento são deduzidas das equações gerais. Se
mudarmos o referencial, mudam as condições iniciais do
movimento e as equações são diferentes. É, necessário
indicar sempre o referencial adoptado.
tvtx 0)( 2
2
1)( gthty e
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Lançamento horizontal
Equação da trajectória:
A equação da trajectória, num plano Oxy, determina-se por
eliminação do tempo, t, no sistema constituído pelas equações
paramétricas no referencial considerado:
2
2
02
0
0
2
0
2)(
2
12
1 xv
ghy
v
xghy
v
xt
gthy
tvx
Esta equação é do tipo 2axby que é a equação de uma parábola.
Lançamento horizontal
Tempo de voo:
O tempo de voo ou tempo de queda é o tempo de permanência do
projéctil no ar.
g
htgthgth voo
2
2
1
2
10 22
No referencial considerado, quando o projéctil chega ao solo, é y = 0.
Então, substituindo na equação paramétrica:
2
2
1)( gthty
Nota: O tempo de voo depende apenas do movimento na vertical: varia
com a altura de queda e é independente da velocidade de lançamento.
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Lançamento horizontal
Alcance:
O alcance é a distância, xmáx, que o projéctil percorre na horizontal
(segundo a direcção do eixo dos xx).
Calcula-se substituindo o valor do tempo de voo na equaçãoparamétrica:
tvtx 0)(
g
hvxtvx máxvoomáx
200
Nota: O alcance depende do movimento em ambas as direcções:
varia com a altura de queda e com a velocidade de lançamento.
Tempo de voo e alcance máximo
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Lançamento oblíquo
Consideremos, agora, um projéctil que é lançado numa direcção
que faz um ângulo com a direcção horizontal – lançamento
oblíquo.
Lançamento oblíquo: neste tipo de lançamento também deve ser feito a
decomposição do movimento em dois movimentos, um na vertical e outro
na horizontal.
Simulação
Lançamento oblíquo
Então podemos escrever:
yyxx
yx
evevv
vvv
000
000
sin
cos
00
00
vv
vv
y
x
x
y
v
v
0
0tan
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Lançamento oblíquo
Considerando o referencial Oxy
da figura temos:
Movimento uniforme segundo o
eixo dos xx:
Movimento uniformemente
variado segundo o eixo dos yy:
tvxa
vvF
xx
xxx
0
0
0
0
2
002
1gttvygtvvgaFF yyyygy
Lançamento oblíquo
Componentes da aceleração e respectivos gráficos
Componentes da velocidade e respectivos gráficos
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Lançamento oblíquo
Equações paramétricas do movimento e respectivos gráficos
Lançamento oblíquo
Equação da trajectória
A equação da trajectória obtém-se eliminando t entre as
equações paramétricas.
2
00
0
02
0
0
2
1
2
1
xx
y
x
y
x
v
xg
v
xvy
v
xt
gttvy
tvx
2
2
00
0
2
1x
v
gx
v
vy
xx
y
Equação duma
parábola
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Lançamento oblíquo
Tempo de voo
Há um instante em que a velocidade segundo o eixo dos yy se anula e
isso acontece quando o projéctil atinge a altura máxima.
Então, vy = 0:
g
vt
gtv
gtv
y
y
y
0
0
00
Tempo que o projéctil leva a atingir a hmáx
g
vt
y
voo
02Tempo de voo
Lançamento oblíquo
Altura máxima atingida pelo projéctil
Se substituirmos em
O valor do tempo que o projéctil leva a atingir o ponto máximo, vem:
g
vt
y
hmáx
0
2
02
1gttvy y
2
2
0
2
0
2
00
02
1
2
1
g
vg
g
vy
g
vg
g
vvy
yy
máx
yy
ymáx
g
vy
g
vy máx
y
máx2
sin
2
1 22
0
2
0
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Lançamento oblíquo
Alcance máximo
Segundo a direcção do eixo dos xx o movimento é uniforme, logo:
g
vx
g
vx
tvx
máx
máx
vooxmáx
2sin
cossin2
.
2
0
2
0
0
g
vt
vv
vv
y
voo
y
x
0
00
00
2
sin
cos
Lançamento oblíquo
Alcance máximo
Um projéctil pode ter o mesmo alcance, quando lançado com
velocidades de igual módulo mas com ângulos de lançamento
complementares.
Ver simulação
O alcance é máximo para o ângulo de
lançamento de 45º.
A altura máxima aumenta com o ângulo de
lançamento para o mesmo v0.
O tempo de voo aumenta com o ângulo de
lançamento para o mesmo v0.
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Conservação da energia mecânica
Se desprezar-mos a resistência do ar o projéctil apenas está
sujeito à interacção gravítica que é uma força conservativa, logo há
conservação da energia mecânica.
Conservação da energia mecânica
kEpEcEmec
BBAA EpEcEpEc
BBAA ghmvmghmvm 22
2
1
2
1
BAAB ghghvv 22
2
1
2
1)(
2
1
2
1 22
BAAB hhgvv
)(
2
12 22
BAAB hhgvv
-h
hgvv AB 222
A conservação da energia permite
relacionar a altura e a velocidade
Como determinar a
velocidade num ponto
da trajectória?
