n. 20 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Notas de aula – Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Angelita Minetto Araújo – UTFPR /DAMAT 2022

n. 20 – DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Seja V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn ∈ V.

Diz-se que o conjunto {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente (LI)

quando: a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn = 0

⇒ a1 = a2 = ... = an = 0

Isto significa que toda combinação linear nula, implicará que os

coeficientes de tal combinação linear deverão ser todos iguais a

zero, ou seja, essa combinação é linearmente independente (LI).

Exemplo: Temos os vetores �⃗� = (1, 2) e 𝑣 = (4, 3) de ℝ2 e

verificamos que eles são Linearmente Independentes pois:

𝑎 �⃗� + 𝑏 𝑣 = (0, 0)

𝑎(1, 2) + 𝑏(4, 3) = (0, 0)

Logo,

{𝑎 + 4𝑏 = 02𝑎 + 3𝑏 = 0

{𝑎 + 4𝑏 = 0 (−2)

2𝑎 + 3𝑏 = 0

{−2𝑎 − 8𝑏 = 0 2𝑎 + 3𝑏 = 0

{−5𝑏 = 0 → 𝑏 = 0 ∴ 𝑎 = 0


Geometricamente, quando observamos dois vetores LI,

percebemos que eles não estão na mesma reta, ou seja, não

pertencem a mesma reta.

Entretanto, para Vetores Linearmente Dependentes temos:

se a1 v1 + a2 v2 + ... + aj vj + ... + an vn = 0

e ∃ aj ≠ 0 para algum j, dizemos que {v1, v2, ..., vn} é um conjunto

linearmente dependente (LD).

≠ 0


Exemplo: Temos os vetores �⃗� = (1, 2) e �⃗⃗� = (3, 6) de ℝ2 e

verificamos que eles são Linearmente Dependentes pois:

𝑎 �⃗� + 𝑏 �⃗⃗� = (0, 0)

𝑎(1, 2) + 𝑏(3, 6) = (0, 0)

Logo,

{𝑎 + 3𝑏 = 02𝑎 + 6𝑏 = 0

{𝑎 + 3𝑏 = 0 (−2)

2𝑎 + 6𝑏 = 0

{−2𝑎 − 6𝑏 = 0 2𝑎 + 6𝑏 = 0

{0 = 0 → 𝑏 = 0 ∴ 𝑎 = 0

O que significa que é uma combinação linear, pois:

3(1, 2) − 1(3, 6) = (0, 0)

Ou seja, um é múltiplo do outro, portanto são linearmente

dependentes.


Geometricamente, dois vetores Linearmente Dependentes, estão na

mesma reta,

▪ Três vetores u, v e w do ℝ3, são linearmente dependentes quando

são coplanares.

Sendo u = (x1 , y1, z1), v = (x2 , y2, z2) e w = (x3 , y3, z3) temos:

u, v e w linearmente dependentes ⟺ [

𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2

𝑥3 𝑦3 𝑧3

] = 0

u, v e w linearmente independentes ⟺ [

𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2

𝑥3 𝑦3 𝑧3

] ≠ 0

RETOMANDO:

LI → a1 = a2 = ... = an = 0 ; Δ ≠ 0 ;

Vetores LI não são múltiplos escalares uns dos outros.

LD → Ǝ a ≠ 0 ; Δ = 0

Quando podemos construir combinações lineares nulas, sem que os

coeficientes sejam todos nulos temos vetores LD.

Alguns exemplos de conjuntos de vetores que são LI ou LD


1. Seja V = R2 e o conjunto formado pelos vetores v1 e v2, sendo

v1 = (2, -1) e v2 = (4, -2). O conjunto {v1 , v2,} é LI ou LD ?

(0, 0) = a (2, -1) + b (4, -2)

{0 = 2 𝑎 + 4 𝑏0 = − 𝑎 − 2 𝑏

a = - 2 b

(0, 0) = - 2 b (2, -1) + b (4, -2)

{0 = −4𝑏 + 4 𝑏0 = 2𝑏 − 2 𝑏

É LD, pois para qualquer b ≠ 0 teremos combinações lineares nulas.

Ou ainda, os vetores v1 e v2 são múltiplos escalares.

Por exemplo, se b = -1

2 v1 + (- 1) v2 = 0, isto é: 2 (2, - 1) + (- 1) (4, - 2) = (0, 0).

R: É LD, pois podemos construir combinações lineares nulas, sem

que os coeficientes sejam todos nulos.

2. Seja V = R2 e o conjunto formado pelos vetores v1 e v2, sendo

v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1). Este conjunto {v1 , v2,} é LI ou LD ?


a1 v1+ a2 v2 = (0, 0)

a1 (1, 0) + a2 (0, 1) = (0, 0)

(a1 , 0) + (0 , a2 ) = (0, 0)

(a1 , a2) = (0, 0)

⇒ a1 = 0 e a2 = 0

R: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que

os coeficientes deverão ser iguais à zero.

3. Seja V = R3 e o conjunto formado pelos vetores v1, v2 e v3, sendo

v1 = (1, 0, 2) , v2 = (3, 4, 1) e v3 = (5, 4, 5). Este conjunto {v1, v2, v3} é

LI ou LD?

Basta fazer:

𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3 = 0

𝑎1(1, 0 , 2) + 𝑎2(3, 4 , 1) + 𝑎3(5, 4, 5) = (0, 0, 0)

{

𝑎1 + 3𝑎2 + 5𝑎3 = 00𝑎1 + 4𝑎2 + 4𝑎3 = 02𝑎1 + 𝑎2 + 5𝑎3 = 0

[

1 3 5 | 00 4 4 | 02 1 5 | 0

] → 𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿1 [

1 3 5 | 00 4 4 | 00 −5 −5 | 0

] =

[

1 3 5 | 00 4 4 | 00 −5 −5 | 0

] → 𝐿3 = 4𝐿3 + 5𝐿2 [

1 3 5 | 00 4 4 | 00 0 0 | 0

]


Portanto,

{𝑎1 + 3𝑎2 + 5𝑎3 = 0

4𝑎2 + 4𝑎3 = 0

𝑎2 = −𝑎3 𝑒 𝑎1 = −2𝑎3

Com 𝑎1 𝑒 𝑎2 dependem de 𝑎3 este sistema é SPI.

Logo o referido conjunto é realmente LD.

Poderíamos chegar à mesma conclusão observando que:

2 v1 + v2 – v3 = 0

2 (1, 0, 2) + 1 (3, 4, 1) – 1 (5, 4, 5) = (0, 0, 0)

(2, 0, 4) + (3, 4, 1) + (-5, - 4, -5) = (0, 0, 0)

{2 + 3 − 5 = 00 + 4 − 4 = 04 + 1 − 5 = 0

Logo, podemos construir combinações lineares nulas, sem que os

coeficientes sejam todos nulos.

Ou ainda, podemos resolver esta questão calculando o

determinante:

[1 0 23 4 15 4 5

] → 𝑑𝑒𝑡 = [1 0 2 1 03 4 1 3 45 4 5 5 4

] = 20 + 24 − 40 − 4 = 0


Det = 0 implica que o conjunto de vetores é LD.

R: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará

necessariamente que os coeficientes sejam nulos.

4. Seja V = R3 e o conjunto formado pelos vetores v1, v2 e v3, sendo

v1= (1, 0, 0) , v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1). Este conjunto {v1, v2, v3}

é LI ou LD ?

𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 = 0

𝑎(1, 0, 0) + 𝑏(0, 1, 0) + 𝑐(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

{𝑎 = 0𝑏 = 0𝑐 = 0

R: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que

os coeficientes deverão ser iguais à zero.

Proposição:

},,,{ 21 nvvv é (LD) um dos vetores pode ser escrito como

combinação linear dos outros.

Demonstração:

},,,{ 21 nvvv é (LD)


0vavava nn =+++ 2211 com 0ja para algum j

podemos isolar o vetor jv (o vetor que tem coeficiente 0ja ),

obtendo

aj vj = – a1 v1 – a2 v2 – ... – an vn

vj = – 𝑎1

𝑎𝑗 v1 –

𝑎2

𝑎𝑗 v2 – ... –

𝑎𝑛

𝑎𝑗 vn

n

j

n

jj

j va

av

a

av

a

av

−++

−+

−= 2

21

1

um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Exercícios sobre dependência e independência linear

1. Determinar os valores de m e de n, nos exercícios a seguir, para que

os seguintes conjuntos de vetores do R3 sejam LI.

a. {(3, 5 m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)} R: m ≠ 0

b. {(1, 3, 5), (2, m +1, 10)} R: m ≠ 5

c. {(6, 2, n), (3, m + n, m – 1)} R: m ≠ 1 ou n ≠ 0

d. �⃗� = (𝑚 , 1, 𝑚) 𝑣 = (1 , 𝑚, 1) m = + - 1

e. �⃗� = (1 − 𝑚2 , 1 − 𝑚, 0) 𝑣 = (𝑚 ,𝑚,𝑚) m = 0 e 1

2. Verifique se os vetores do ℝ3 são linearmente dependentes ou não:

(Lipschutz, p. 115)

a. (1, - 2, 1), ( 2, 1, -1 ), (7 , -4, 1) R: LD

b. (2, - 3, 7), ( 0, 0, 0), (3, - 1, - 4) R: LD

c. ( 1, 2, -3 ), ( 1, -3, 2), ( 2, -1 , 5) R: LI


3. Verifique se a matriz formada pelos vetores u, v e w é LI ou LD. Sendo u = (1, 2, 1), v = (2, 1, 0) e w = (3, 3, 1) (LCTE – p. 60) R: LD

4. Verifique se os vetores do ℝ2 são linearmente dependentes ou não. Sendo u = (1, 0), v = (0, 1) e w = (7, 4). (Steinbruch/Winterle – p. 22)

R: LD

5. Verifique se os seguintes conjuntos ⊂ R4 são LI ou LD:

a. {(1, 1, 0, 0); (0, 2, 1, 0); (0, 0, 0, 3)} R: LI

b. {(1, 1, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (2, 1, 0, 0)} R: LD - SPI

Exercícios resolvidos

5. Determinar os valores de m e de n, nos exercícios a seguir, para

que os seguintes conjuntos de vetores do R3 sejam LI.

a. { (3, 5 m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)}

Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0

modo 1

Como são 3 vetores do R3, é possível calcularmos o determinante:

|3 5𝑚 12 0 41 𝑚 3

| 3 5𝑚2 01 𝑚

= 0 + 20 m + 2 m – 12 m – 30 m

22 m – 42 m = 0

- 20 m = 0 ⟺ m = 0


Como com m = 0 temos Δ = 0 os vetores são coplanares, logo, são

LD. Logo, para ser LI m deve ser diferente de zero: m ≠ 0

modo 2

a1 (3, 5 m, 1 ) + a2 (2, 0 , 4) + a3 (1, m, 3) = (0, 0, 0)

{

3 𝑎1 + 2 𝑎2 + 1𝑎3 = 0 (1)

5 𝑚 𝑎1 + 𝑎2 (0) + 𝑚 𝑎3 = 0 (2)𝑎1 + 4 𝑎2 + 3 𝑎3 = 0 (3)

De (3): a1 = - 4 a2 - 3 a3 (4)

De (1) : 2 a2 = - a3 – 3 a1 𝑎2 = − 𝑎3− 3 𝑎1

2 (5)

(5) em (4): a1 = - 4 (− 𝑎3− 3 𝑎1

2 ) - 3 a3

a1 = - 2 (- a3 - 3 a1) - 3 a3

a1 = + 2 a3 + 6 a1 - 3 a3

a1 - 6 a1 = - a3

a3 = - 5 a1 (6)

(6) em (2): 5 𝑚 𝑎1 + 𝑚 𝑎3 = 0

5 𝑚 𝑎1 + 𝑚 (− 5 𝑎1) = 0

5 𝑚 𝑎1 − 5 𝑚 𝑎1 = 0

𝑎1 (5 𝑚 − 5𝑚) = 0

Logo, para ser LI: a1 = a2 = a3 = 0 , portanto, para que o sistema seja

SPD devemos ter: m ≠ 0. Com m ≠ 0, o determinante é ≠ 0.


b) {(1, 3, 5), (2, m +1, 10)

Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0

a1 (1, 3, 5 ) + a2 (2, m + 1 , 10) = (0, 0, 0)

{

1 𝑎1 + 2 𝑎2 = 0 (1)

3 𝑎1 + 𝑎2 (𝑚 + 1) = 0 (2)5 𝑎1 + 10 𝑎2 = 0 (3)

De (1): a1 = - 2 a2 (4)

(4) em (2): 3 (- 2 a2) + m a2 + a2 = 0

- 6 a2 + a2 + m a2 = 0

m a2 = 5 a2 𝑚 = 5 𝑎2

𝑎2 m = 5

Logo, para ser LI, m ≠ 5.

c) { (6, 2, n), (3, m + n, m – 1)} R: m ≠ 1 ou n ≠ 0

Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0

a1 (6, 2, n ) + a2 (3, m + n , m - 1) = (0, 0, 0)

{

6 𝑎1 + 3 𝑎2 = 0 (1)

2 𝑎1 + 𝑎2 (𝑚 + 𝑛) = 0 (2)𝑛 𝑎1 + 𝑎2 (𝑚 − 1) = 0 (3)

De (1): 𝑎1 = − 3 𝑎2

6 𝑎1 =

− 1 𝑎2

2 (4)

(4) em (2): 2 ( − 1 𝑎2

2) + a2 (m + n) = 0


- a2 + m a2 + n a2 = 0

a2 ( m + n) = a2

𝑚 + 𝑛 = 𝑎2

𝑎2

m + n = 1

n = 1 – m

Logo: m ≠ 1 caso contrário, se m = 1 implica que n = 0

e n ≠ 0, pois caso contrário se n = 0 implica que m = 1

m e n não podem zerar, pois caso contrário teremos vetores LD,

assim, com m ≠ 1 e n ≠ 0 para ser LI a1 = a2 = 0

LIVRO DO Bolous p.46

d. �⃗� = (𝑚 , 1, 𝑚) 𝑣 = (1 ,𝑚, 1) m = + - 1

(0, 0, 0) = a (m, 1 , m) + b (1, m, 1)

{0 = 𝑎 𝑚 + 𝑏 (1)0 = 𝑎 + 𝑏𝑚 (2)

0 = 𝑎𝑚 + 𝑏

De (1): 𝑎 = − 𝑏

𝑚

De (2): a = - bm

Logo, − 𝑏

𝑚= −𝑏𝑚


− 𝑏

− 𝑏= 𝑚.𝑚

m2 = 1

m = √1

m = ± 1

e. �⃗� = (1 − 𝑚2 , 1 − 𝑚, 0) 𝑣 = (𝑚 ,𝑚,𝑚) m = 0 e 1

(0, 0, 0) = a (1 – m2, 1 – m , 0) + b ( m, m, m)

{0 = 𝑎 – 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚0 = 𝑎 − 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚

0 = 𝑏𝑚

Como b não pode ser zero, pois caso o fosse, eles seriam LI, então:

m = 0

Como bm = 0, então na segunda equação:

0 = a – am

0 = a (1 – m)

Logo, m = 1

Portanto, m= 0 e m = 1 para que o vetor seja LD.

2. Verifique se os vetores do ℝ3 são linearmente dependentes ou

não: (Lipschutz, p. 115)


a) (1, - 2, 1), ( 2, 1, -1 ), (7 , -4, 1)

modo 1


|1 −2 12 1 −17 −4 1

| 1 −22 17 −4

= 1 + 14 – 8 – 7 – 4 + 4 = 0

Como Δ = 0 os vetores são coplanares, logo, são LD.

modo 2

a1 (1, - 2, 1) + a2 (2, 1, - 1) + a3 (7, - 4, 1) = (0, 0, 0)

(a1, - 2 a1, a1) + (2 a2, a2 , - a2 ) + (7 a3, - 4 a3, a3) = (0, 0, 0)

{

𝑎1 + 2 𝑎2 + 7 𝑎3 = 0 (1) −2 𝑎1 + 𝑎2 − 4 𝑎3 = 0 (2)𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 = 0 (3)

De (1): a1 = – 2 a2 – 7 a3 (4)

(4) em (2): - 2 (– 2 a2 – 7 a3 ) + a2 – 4 a3 = 0

4 a2 + 14 a3 + a2 – 4 a3 = 0

5 a2 + 10 a3 = 0

a2 = − 10

5 a3

a2 = - 2 a3 (5)

(5) em (4): a1 = – 2 (- 2 a3 ) – 7 a3

a1 = 4 a3 – 7 a3


a1 = – 3 a3 (6)

(5) e (6) em (3): a1 – a2 + a3 = 0

– 3 a3 - (- 2 a3 ) + a3 = 0

– 3 a3 + 2 a3 + a3 = 0

– 3 a3 + 3 a3 = 0

Logo, a3 (- 3 + 3) = 0

a3 (0) = 0

Para qualquer a3 teremos zero, portanto os vetores são LD.

b) (2, - 3, 7), ( 0, 0, 0), (3, - 1, - 4)

modo 1


|2 −3 70 0 03 −1 −4

| 2 −30 03 −1

= 0

Pois temos uma linha toda composta por zeros


modo 2

a1 (2, - 3, 7) + a2 (0, 0, 0) + a3 (3, - 1, - 4) = (0, 0, 0)

...


c) ( 1, 2, -3 ), ( 1, -3, 2), ( 2, -1 , 5)

modo 1


|1 2 −31 −3 22 −1 5

|1 21 −32 −1

= - 15 + 8 + 3 – 18 + 2 – 10 = 13 – 43 = - 30

Como Δ ≠ 0 os vetores são LI.

modo 2

a1 (1, 2, - 3) + a2 (1, - 3, 2) + a3 (2, - 1, 5) = (0, 0, 0)

...

3. Verifique se a matriz formada pelos vetores u, v e w é LI ou LD. (LCTE – p. 60)

u = (1, 2, 1) v = (2, 1, 0) w = (3, 3, 1)

modo 1


|1 2 12 1 03 3 1

| 1 22 13 3

= 1 + 0 + 6 – 3 – 0 – 4 = 0



modo 2

a1 (1, 2, 1) + a2 (2, 1, 0) + a3 (3, 3, 1) = (0, 0, 0) ...

4. Verifique se os vetores do ℝ2 são linearmente dependentes ou não. (Steinbruch/Winterle – p. 22)

u = (1, 0) v = (0, 1) w = (7, 4)

a1 u + a2 v + a3 w = (0, 0)

a1 (1, 0) + a2 (0, 1) + a3 (7, 4) = (0, 0)

(a1 , 0) + (0, a2) + (7 a3, 4 a3) = (0, 0)

a1 + 7 a3 = 0 (1)

a2 + 4 a3 = 0 (2)

De (1): a1 = - 7 a3 (3)

De (2): a2 = - 4 a3 (4)

Logo, como temos um sistema possível e indeterminado, o conjunto

de vetores é LD.

5. Verifique se os seguintes conjuntos ⊂ R4 são LI ou LD.

a. 𝐿 = {(1, 1, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, 0, 0, 3)} ⊂ 𝑅4.

𝑥(1, 1, 0, 0) + 𝑦 (0, 2, 1, 0) + 𝑧 (0, 0, 0, 3) = (0, 0, 0, 0)


{

𝑥 = 0𝑥 + 2𝑦 = 0

𝑦 = 03𝑧 = 0

→ 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0

R: LI

b. 𝐿 = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (2, 1, 0, 0)} ⊂ 𝑅4. R: LD

𝑥(1, 1, 0, 0) + 𝑦 (0, 1, 0, 0) + 𝑧 (2, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, 0)

{𝑥 + 2𝑧 = 0

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 → 𝐿2 − 𝐿1 {

𝑥 + 2𝑧 = 0 𝑦 − 𝑧 = 0

→ {𝑥 = −2𝑧 𝑦 = 𝑧

R: LD

Referências BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998. LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.

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