Niualeph12 Manual Vol2 v01

Manual de Matemática para o 12º ano

Matemática A

NIUaleph 12

VOLUME 2

Jaime Carvalho e Silva

Joaquim Pinto

Vladimiro Machado

2012

Título

NiuAleph 12 - Manual de Matemática para o 12º ano de Matemática A

Autores

Jaime Carvalho e Silva

Joaquim Pinto

Vladimiro Machado

Capa e Design

Elisa Silva

Conceção Técnica

Vítor Teodoro

João Fernandes

Imagens e fontes

As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 http://creativecom-mons.org/licenses/by-sa/3.0/) ou Creative Commons Attribution 3.0 http://creativecommons.org/li-censes/by/3.0/

As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvol-vidas pela GUST http://www.gust.org.pl/projects/e-foundry/lm-math/index_html

ISBN

978-989-97839-0-4

Edição

1.ª edição/versão 1

Data

2012

© Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é permitida a impressão deste ficheiro.

Índice geral

Volume 1

Capítulo 1 – É possível? É provável?

Capítulo 2 – Probabilidade

Capítulo 3 – Probabilidade condicionada

Capítulo 4 – Distribuição de probabilidades

Volume 2

Capítulo 5 – Análise Combinatória

Capítulo 6 – Triângulo de Pascal e Binómio de Newton

Capítulo 7 – Função exponencial

Capítulo 8 – Função logarítmica

Volume 3

Capítulo 9 – Teoria de Limites

Capítulo 10 – Cálculo Diferencial

Capítulo 11 – Aplicações do Cálculo Diferencial

Capítulo 12 – Teoremas elementares do Cálculo Diferencial (*)

Volume 4

Capítulo 13 – Funções trigonométricas

Capítulo 14 – A História dos números complexos

Capítulo 15 – A Álgebra dos números complexos

Capítulo 16 – A Geometria dos números complexos

Capítulo 17 – Demonstrações de Geometria usando números complexos (*)

Índice

Capítulo 5 - Análise Combinatória 6

Arranjos completos 11

Arranjos simples 13

História(s) - Razões Indianas para se Estudar Matemática 16

Permutações 17

Modelo Binomial 22

Leitura(s) - Como escolher a namorada pelos horários do comboio suburbano 23

Síntese 24

Exercícios globais 26

Conselhos para os Exames – n.º 5 28

Itens de exame 30

Prova global 38

Capítulo 6 - Triângulo de Pascal e Binómio de Newton 40

Binómio de Newton 45

História(s) - Origem da Análise Combinatória 47

História(s) - O Triângulo de Pascal é chinês 54

Leitura(s) - Ciência e Arte 55

Síntese 58


Conselhos para os Exames – n.º 6 61

Itens de exame 62

Prova global 64

Capítulo 7 - Função exponencial 65

Crescimento exponencial 70

Propriedades da função exponencial 74

História(s) - Thomas Malthus e a demografia 77

Leitura(s) - Evolução da População Humana 79

Síntese 81


Conselhos para os exames n.º 7 87

Itens de exame 87

Prova global 90

Capítulo 8 - Função Logarítmica 91

Crescimento logarítmico 95

Escalas logarítmicas 96

Propriedades da função logarítmica 100

História(s) - História dos logaritmos 103

Escala de Richter 104

Leitura(s) - ‘O que importa é a forma de refletir’ 107

Síntese 109


Conselhos para os exames n.º 8 114

Itens de exame 115

Prova global 120

Soluções 122

6 5. Análise Combinatória

5. Análise Combinatória

“Quando estás zangado, conta até dez

antes de falares.

Se estás muito zangado conta até cem.”

Thomas Jeferson (1743-1826)

Contagem

Contagem malucaassim ninguém viu,

um pouco difícilchegamos a mil.

in ‘Site de poesias’, Nelson Moreira

No cálculo da probabilidade de um acontecimento tivemos muitas vezes de contar um a um todos os casos em que esse acontecimento se verificava; isto equivale a contar pelos dedos, o que pode ser muito moroso e desanimador. Uma ideia interessante é encontrar técnicas que nos permitam contar sem ser pelos dedos. A área da Matemática que se dedica a estudar modos eficazes de efetuar uma contagem é a Análise Combinatória. Neste capítulo vamo-nos limitar a estudar algumas técnicas de contagem em conjuntos finitos.

A Rádio Escola assegura a programação musical na Escola Secundária Anastácio da Cunha. Supo-nhamos que tu és responsável pela sua programação e que tens à tua disposição 5 músicas de bandas portuguesas e 3 de bandas estrangeiras. O problema vai ser o de saber quantos programas musicais diferentes vais poder apresentar com a música que tens à tua disposição. A situação ir-se-á compli-cando à medida que formos avançando, o que te vai permitir descobrir várias técnicas de contagem.

TR

TAREFA RESOLVIDA 1

No intervalo entre o turno da manhã e o da tarde, que é de 5 minutos, apenas podes colocar uma música de entre as 5 músicas de bandas portuguesas e as 3 de bandas estrangeiras. De quantas for-mas podes fazer a tua escolha?

RESOLUÇÃO

Claro que a resposta é , pois podes escolher qualquer das músicas e não existem músicas comuns a ambos os conjuntos.


A NÃO ESQUECER

Quando tens de efetuar uma contagem que envolva apenas elementos de con-juntos distintos que não têm elementos comuns, basta adicionares o número de elementos de cada um.

T

TAREFA 2

Um restaurante oferece um menu especial formado apenas por água e um prato à escolha entre dois tipos de pratos: de frango (F1 – frango assado, F2 – frango de caril) e de porco (P1 – porco no espeto, P2 – Secredos de porco e P3 – Porco grelhado). De quantos modos diferentes podem ser servidas estas refeições?

Vejamos agora o que se passa com umas condições diferentes.

TR

TAREFA RESOLVIDA 3

Passemos à programação da rádio num intervalo entre duas aulas. Para isso tens ao teu dispor 5 músicas de bandas portuguesas e 3 músicas de ban-das estrangeiras. Como o intervalo não é muito gran-de só podes passar uma música de uma banda portu-guesa seguida de uma de uma banda estrangeira. De quantos maneiras o podes fazer?

RESOLUÇÃO

Com o traçado de um diagrama de árvore vamos con-seguir resolver facilmente o problema. Para simplifi-car vamos designar as músicas portuguesas por P1, P2, P3, P4 e P5 e as músicas estrangeiras por E1, E2 e E3. Obtemos o seguinte diagrama, conforme a primeira música for P1, P2, P3, P4 ou P5:

P1

E2E1 E3

P2

E2E1 E3

P3

E2E1 E3

P4

E2E1 E3

P5

E2E1 E3

Rad

io V

ikin

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Ola

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p://

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w.l

ickr

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tos/

4344

6613

@N

00/1

6205

0671

5


Feita a contagem (“pelos dedos”) obtemos 15 maneiras de passar duas músicas no intervalo, sendo a primeira uma das 5 músicas portuguesas e a segunda uma das 3 músicas estrangeiras.

Uma alternativa à construção do diagrama de árvore é a construção de uma tabela de dupla en-trada, onde cada quadrículo representa uma possibilidade para a ordem de passagem das músicas:

Primeira

SegundaP1 P2 P3 P4 P5

E1 P1,E1 P2,E1 P3,E1 P4,E1 P5,E1

E2 P1,E2 P2,E2 P3,E2 P4,E2 P5,E2

E3 P1,E3 P2,E3 P3,E3 P4,E3 P5,E3

Agora contamos (“pelos dedos”) também 15 maneiras de combinar os dois tipos de músicas. Podes escolher o método que achares mais prático, mas obterás sempre o mesmo resultado, claro.

Com um método ou com outro estamos na realidade a procurar pares ordenados (uma música primeiro e depois outra) de elementos de dois conjuntos (o primeiro conjunto é o das músicas portuguesas e o segundo conjunto o das músicas estrangeiras). Tínhamos 5 possibilidades para o primeiro elemento do par e 3 possibilidades para o segundo elemento do par; no total temos 5×3 =15 possibilidades. Este é um raciocínio válido sempre que escolhermos elementos sucessivamente de vários conjuntos.

Princípio básico da Análise Combinatória – Para pares ordenados:

Se queres saber quantos pares ordenados consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóteses e para o segundo elemento do par tens n hipóteses, então o número total de pares ordenados é dado por

.

O que fizemos para pares ordenados podemos fazer para ternos ordenados:

Princípio básico da Análise Combinatória – Para ternos ordenados:

Se queres saber quantos ternos ordenados consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóteses, para o segundo elemento do par tens n hipóteses e para o terceiro elemento do par tens p hipóteses, etc., então o número total de ternos ordenados que podes formar é dado por

m × n × p.

Mais geralmente podemos enunciar o


Princípio básico da Análise Combinatória

Sejam , conjuntos de cardinalidades (número de elementos)

, respectivamente. A cardinalidade (número de elementos) m do

produto cartesiano

é dada pelo produto das cardinalidades dos conjuntos que o constituem, isto é

.

TR

TAREFA RESOLVIDA 4

Quantos números diferentes de três algarismos podemos obter ao lançar três dados, com as faces numeradas de 1 a 6, um verde, um azul e outro vermelho, sabendo que o dado verde corresponde às centenas, o dado azul corresponde às dezenas e o dado vermelho às unidades do número a obter?

RESOLUÇÃO

Cada número obtido corresponde a um terno ordenado: o dígito das centenas é o primeiro elemento do terno, o segundo dígito o segundo elemento do terno e o terceiro dígito é o terceiro elemento do terno ordenado. Como cada um dos dados está numerado de 1 a 6, temos 6 hipóteses para cada elemento do terno e assim o número total de resultados é resultados.

A NÃO ESQUECER

Se o resultado pretendido corresponde a escolher elementos de forma ordenada de três conjuntos (iguais ou diferentes) então o número total de escolhas é dado pelo produto do número de elementos (cardinalidade) de cada conjunto.


T

TAREFA 5

Um restaurante oferece um menu especial formado por duas sopas diferentes (S1 - sopa de legumes e S2 - creme de marisco), e por três pratos principais (P1 - frango assado, P2 - febras de porco e P3 - peixe grelhado). De quantos modos diferentes podem ser servidas estas refeições?

(adaptado de brochura “Probabilidades e Combinatória”, ME-DES, 1999)

EXERCÍCIOS

1. A Joana tem no roupeiro, 6 blusas, 3 saias e 3 pares de ténis. De quantas maneiras diferentes se pode vestir?

2. Existem 4 estradas diferentes que ligam as cidades A e B, 3 estradas diferentes que ligam as cidades B e C e 2 estradas diferentes que ligam as cidades A e C. Todas as estradas são distintas entre si.

2.1 De quantas formas diferentes se pode ir de A para C via B?

2.2 Quantas formas diferentes existem, no total, para ir de A para C?

2.3 Quantas formas diferentes existem para ir de A para C e voltar?

3. Num restaurante são servidas refeições, a preço fixo, constituídas por uma sopa, um prato principal e uma sobremesa. A escolha pode ser feita entre 3 sopas, 4 pratos prin-cipais e 2 sobremesa. De quantos modos diferentes posso escolher uma refeição?


Arranjos completosVejamos agora um problema diferente com a Rádio Escola da Escola Secundária Anastácio da Cunha.

TR

TAREFA RESOLVIDA 5

Num dos dias em que tinhas de gerir a música no intervalo tinhas só as 5 músicas de bandas portu-guesas. Além do mais precisavas de ir à secretaria da escola pelo que usaste o aparelho de reprodução automática para passar as 3 músicas no intervalo. Como o aparelho de reprodu-ção automática permite repetições, de quantas maneiras po-dem ter passado as 3 músicas?

RESOLUÇÃO

Para a primeira música existem 5 músicas possíveis, para a segunda existem na mesma 5 músicas possíveis pois é possível repetir a mesma música e para a terceira existem também 5 músicas possíveis. Usando o Princípio Básico da Análise Com-binatória podemos concluir imediatamente (sem “contar pelos dedos”) que o número de modos de passarem as músicas é de 5 × 5 × 5 = 125.

Arranjos completos - Quando, de um conjunto com n elementos, escolhe-mos p elementos admitindo repetições, dizemos que estamos em presença de

arranjos completos (com repetição). Representamos por , o número

total de arranjos completos (com repetição) que podemos formar com p elementos escolhidos entre os n elementos dados. De acordo com o Princípio

Básico da Análise Combinatória temos a fórmula:

.

TR

TAREFA RESOLVIDA 6

Para desbloqueares o teu telemóvel necessitas de um número constituído por quatro algarismos.

a) Se te esqueceres da combinação qual o número máximo de tentativas que tens de realizar?

b) E se demorares 3 segundos a realizar cada uma das tentativas, qual será o tempo máximo gasto

DCS

Pag

anin

i por

J Ian

none

, ht

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/ww

w.l

ickr

.com

/pho

tos/

jiann

one/

1579

6775

12/


em horas minutos e segundos?

RESOLUÇÃO

a) Existem dez algarismos e temos de encontrar um conjunto de quatro deles sabendo que podem ser repetidos os algarismos. Ou seja, estamos perante arranjos completos de 10 elementos esco-

lhidos 4 a 4. Donde , isto é, temos de no máximo realizar 10000 tentativas.

b) Demorando 3 segundos a testar cada uma das 10000 tentativas, o tempo gasto será de 3 × 10000 = 30000 segundos, ou seja, 8 horas e 20 minutos.

A NÃO ESQUECER

Para reconhecer que se trata de um arranjo completo é preciso identiicar que pretendemos escolher p elementos e podemos fazer essa escolha de um conjunto com n elementos, sendo permitidas repetições.

T

TAREFA 7

Uma pessoa tem três possibilidades de ir para o trabalho: a pé, de metro ou de carro. De quantas maneiras diferentes é que ela pode viajar durante os cinco dias da semana?


EXERCÍCIOS

4. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9?

5. Admitindo que a probabilidade de nascer uma criança do sexo masculino é igual à de nascer uma criança do sexo feminino. Quantas são as possíveis composições de uma família de 5 filhos?

6. Num teste existem 5 questões de escolha múltipla, cada uma delas com quatro possi-bilidades de resposta. De quantas formas diferentes pode um aluno responder a esta parte do teste, sabendo que responde a todas as questões?


Arranjos simplesVejamos outro problema com a Rádio Escola da Escola Secundária Anastácio da Cunha.

TR

TAREFA RESOLVIDA 8

Continuemos a nossa tarefa de gerir a programação da Rádio Escola. Desta vez tens apenas as 5 músicas de bandas portuguesas, e só podes passar 3 dessas músicas durante o intervalo, sem repeti-res músicas. De quantas escolhas distintas podes realizar o intervalo musical?

RESOLUÇÃO

Um modo de realizar esta contagem é através de um diagrama. Designemos as músicas por M1, M2, M3, M4 e M5. Se a música M1 passar em primeiro lugar, a segunda música apenas pode ser escolhida entre M2, M3, M4 ou M5. Se a música M1 passar em primeiro lugar e a música M2 passar em segundo lugar, a terceira música apenas pode ser escolhida entre M3, M4 ou M5.

M5

M4

M3

M2

M1 M2M3M4

M5

M3M4

M5

Assim, temos 5 escolhas para a primeira música, para cada uma dessas escolhas temos 4 escolhas para a segunda música e para cada uma dessas escolhas temos 3 escolhas para a terceira música e assim o número total de arranjos possíveis de músicas é de 5 × 4 × 3 = 60.

Claro que podemos pensar sem elaborar o diagrama. Para primeira música há 5 resultados possí-veis. A segunda música já só tem 4 resultados possíveis e para terceira música só temos 3 resultados possíveis. Assim, os resultados possíveis serão no total 5 × 4 × 3 = 60.

O que fizemos foi calcular o número de sequências de três músicas distintas de um conjunto de 5 músicas dadas, sem permitir repetições. Este tipo de contagem designa-se por arranjos simples

e representa-se por que se lê “arranjos simples de 5 elementos tomados três a três”. Assim, obtemos a fórmula:


Arranjos simples - Em geral dado um conjunto de n elementos o números de arranjos simples (sem repetição) de p desses elementos é igual ao produto dos p números naturais consecutivos, por ordem decrescente, a

partir de n. Assim, podemos escrever a fórmula:

.

TR

TAREFA RESOLVIDA 9

Temos vários rolos de tecido cada um com uma das 7 cores do arco íris. Quantas bandeiras diferen-tes de 3 faixas horizontais podemos fazer?

RESOLUÇÃO

Para respeitarmos o enunciado não podem existir duas faixas consecutivas com a mesma cor.

Assim, as bandeiras ou são constituídas por três faixas horizontais de cores todas diferen-tes, ou têm apenas duas cores sendo as faixas superior e a inferior da mesma cor.

No primeiro caso das três faixas de cor dife-rente a ordem pela qual aparecem as cores conduz a bandeiras diferentes. Assim, trata-se de saber quantos conjuntos de 3 cores se podem constituir a partir de 7 cores, em que a ordem interessa.

Portanto são .

No segundo caso de as faixas superior e inferior terem a mesma cor, claro que aqui a ordem da cor da faixa central e da cor faixas superior e inferior conduzem as ter bandeiras diferentes. Assim, trata-se de saber quantos conjuntos de duas cores se podem constituir em que a ordem interessa.

Portanto são .

O total de bandeiras que podemos fazer é

.

Rai

nbow

por

mco

l, ht

tp:/

/ope

nclip

art.or

g/de

tail/

5455

/rai

nbow

-by-

mco

l


A NÃO ESQUECER

Para reconhecer que se trata de um arranjo simples é preciso descobrir que pre-tendemos escolher um certo número de elementos, que podemos fazer essa esco-lha de um conjunto com um número dado de elementos e que não são permitidas repetições.

T

TAREFA 10

Numa turma com 20 alunos a Diretora de Turma quer escolher três para os três cargos de delegado, sub-delegado e suplente. De quantas maneiras distintas é que ela pode fazer essa escolha?


EXERCÍCIOS

7. Numa turma com 24 alunos vão ser eleitos dois alunos, um para delegado e o outro para subdelegado. Quantos são os resultados possíveis da eleição?

8. Numa prova de atletismo participam 6 atletas, que concorrem para as três medalhas (ouro, prata e bronze). De quantas formas pode ser feita a distribuição das medalhas?

9. Com os algarismos do conjunto constituído pelos números 1,2,3,4,5 e 6, quantos núme-ros de 3 algarismos diferentes podemos escrever?


H

HISTÓRIA(S)

Razões Indianas para se Estudar Matemática

Por que é que os estudiosos indianos desde há muito tempo se interessaram de alguma forma pela matemá-tica? Podemos obter algumas respostas a esta pergunta olhando para o tipo de problemas incluídos nos seus tra-balhos, embora muitos desses problemas não sejam, de modo nenhum, “práticos”. Por exemplo:

“Três comerciantes encontram uma bolsa com dinheiro caída na estrada. Um comerciante diz: “Se eu ficar com a bolsa, terei duas vezes mais dinheiro que vocês os dois juntos”. “Dêm-me a bolsa e eu terei três vezes mais do que vocês”, disse o segundo comerciante. O terceiro comerciante disse: “Eu vou ficar muito mais rico do que qualquer um de vocês se ficar com a bolsa, vou ter cinco vezes mais do que vocês os dois juntos”. Quanto dinheiro está na bolsa? Quanto dinheiro é que cada comerciante tem?”

Uma resposta mais geral a esta questão encontra-se na introdução ao livro Ganita Sara Samgraha (Compêndio sobre a Essência da Matemática) de MahãvIra (séc IX). Este Matemático indiano escreveu um tratado contendo toda a Matemática conhecida na sua época, incluindo também algu-mas inovações, nomeadamente na contagem de permutações e combinações. Nesse livro escreveu:

“Em todas estas transações que se relacionam com assuntos correntes, védicos ou ... religiosos, o cálculo tem a sua utilidade. Na ciência do amor, na ciência da riqueza, na música, no drama, na arte da cozinha e, semelhantemente, na medicina e em coisas como o conhecimento da arquitetura; na prosódia, na poética, na poesia, na lógica, na gramática, e em outras coisas tais ... a ciência da computação é altamente estimada.

É utilizada ... na relação com os movimentos do Sol e outros corpos celestes, em conexão com os eclipses e conjunção de planetas ... . O número, o diâmetro e o perímetro das ilhas, oceanos e mon-tanhas, as dimensões extensas de filas de habitações e casas pertencendo aos habitantes do mundo ... tudo isto é feito por meio de cálculos.”

(adaptado de “História da Matemática” de Victor J. Katz)


PermutaçõesVejamos ainda outro problema com a Rádio Escola da Escola Secundária Anastácio da Cunha.

TR

TAREFA RESOLVIDA 11

Voltemos à nossa programação da rádio: agora tens só as 3 músicas de bandas estrangeiras; de quantas formas as podes passar todas durante o intervalo sem as repetires?

RESOLUÇÃO

Como podemos escolher 3 músicas de um conjunto de 3 músicas sem as repetir estamos em presença de arranjos simples com 3 elementos tomados 3 a 3, pelo que o número de formas de passar as 3 músicas é dado por

.

Este caso é um caso particular dos arranjos simples pois trata-mos de determinar todos os arranjos sem repetição de todas as músicas disponíveis. A este tipo de cálculo, que envolve todos os elementos de um conjunto dado, chamamos permutação dos

elementos do conjunto e representamos por que se lê permutações de 3 elementos. Assim,

.

Naturalmente que as permutações são sempre um caso particular dos arranjos simples em que estão envolvidos todos os n elementos de um conjunto. Assim, temos que

.

A este último produto chama-se fatorial de n e escreve-se n!

Podemos dizer que o fatorial de n conta o número de maneiras de ordenar todos os elementos de um conjunto com n elementos (sem repetições). Representa assim o número de permutações que é possível fazer com n elementos distintos. Tem-se então .

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Rol

l Gui

taris

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Rol

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taris

t.sv

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Permutações – Dado um conjunto de n elementos chamam-se permu-tações dos n elementos aos arranjos desses elementos, n a n, o que se

escreve como

.

TR

TAREFA RESOLVIDA 12

De um baralho de cartas retiram-se 3 reis, 2 damas e 4 valetes. De quantas maneiras podemos dispor em fila as 9 cartas sabendo que as do mesmo tipo ficam sempre juntas?

RESOLUÇÃO

Os 3 reis podem ser dispostos de 3! maneiras, podemos dispor as damas de 2! maneiras e dispor os valetes de 4! maneiras. Ou seja, para uma ordenação em que estejam primeiro os reis, seguidos das damas e dos valetes temos 3! × 2! × 4! maneiras. Mas o conjunto dos reis, das damas e dos vale-tes podem trocar de posição entre si de 3! maneiras (são permutações de 3 grupos), logo existem 3! × 2! × 4! × 3! = 1728 maneiras de dispor as 9 cartas em fila nas condições enunciadas.

A NÃO ESQUECER

Estamos em presença de uma permutação se pretendemos ordenar todos os ele-mentos de um conjunto (sem repetições).

T

TAREFA 13

Numa turma com 20 alunos a Diretora de Turma quer escolher uma Comissão de festas com três elementos. De quantas maneiras distintas é que ela pode fazer a escolha?


EXERCÍCIOS

10. De quantos modos se podem dispor em fila 5 pessoas para tirar uma fotografia?

11. De quantos modos podes colocar 4 pulseiras distintas no teu braço direito?

12. Quantos números de três algarismos podemos escrever com os algarismos do número 425?

CombinaçõesVoltemos mais uma vez à nossa Rádio Escola.

TR

TAREFA RESOLVIDA 14

Desta vez tens um pedido dos teus colegas para que passes num dado intervalo quaisquer três mú-sicas das 5 que tens de bandas portuguesas sem que lhes importe a ordem como as vais emitir. De quantos modos o podes realizar?

RESOLUÇÃO

Esta tarefa é semelhante à da tarefa 8. A diferença está no fato de antes interessar a ordem e agora não contar a ordem por que são apresentadas as músicas. Na tarefa 8 as duas sequências seguintes

M1, M2, M3

M1, M3, M2

eram consideradas diferentes mas agora já são “iguais” (ou “indiferentes”).

Ou seja, para cada conjunto de sequências de 3 músicas da tarefa 8, apenas nos interessa um caso neste novo contexto. Temos portanto de dividir cada sequência distinta da tarefa 8 pelo número de elementos de cada conjunto de músicas (que corresponde a permutações de 3 elementos).

Assim, o valor é pretendido é:

.

Tens assim apenas 10 modos de passar 3 músicas.

http

://o

penc

lipar

t.or

g/de

tail/

1642

99/e

lvis-b

y-lu

chap

ress


Neste caso procurámos determinar todos os arranjos desordenados de todas as músicas disponíveis. No essencial o que estivemos a fazer foi considerar sequências de 3 elementos escolhidos de um con-junto de 5 em que não nos interessa a ordem.

Combinações – Chamamos combinações a um qualquer subconjunto de p elementos escolhidos de um conjunto com n elementos em que a ordem

não interessa. As combinações representam-se por ou ou ainda

que se lê combinações de n elementos tomados p a p.

Claro que encontrar um modo que nos facilite os cálculos é um aspeto a considerar; vejamos com o que acabamos de verificar o que conseguimos obter. Temos que

Mas podemos obter uma fórmula mais simples se observarmos que

Assim, uma fórmula simplificada para o cálculo das combinações é:

TR

TAREFA RESOLVIDA 15

No Euromilhões de 2010 cada aposta consistia em escolher 6 números dos primeiros 50 números e duas estrelas de entre 9 numeradas de 1 a 9.

Quantas são as apostas possíveis?

RESOLUÇÃO

Dos 50 números temos de escolher 6; como não interessa a ordem temos que as escolhas são


.

Para a escolha das estrelas, como também não interessa a ordem, as escolhas são

.

Assim, para cada escolha dos números temos escolhas para as estrelas, donde, pelo princípio básico da Análise Combinatória, o número total

de apostas é de apostas.

A NÃO ESQUECER

Para reconhecer que se trata de uma combinação é essencial concluir que a ordem não interessa.

T

TAREFA 16

Numa turma com 20 alunos a Directora de Turma quer escolher uma Comissão de festas com três elementos. De quantas maneiras distintas é que ela pode fazer a escolha?

EXERCÍCIOS

13. De quantos modos se pode escolher uma comissão de 3 alunos de uma turma de 24 alunos?

14. Com os números 2, 3, 5, 7 e 11 quantos produtos diferentes de três fatores diferentes existem?

15. Considera sete pontos do plano, em que não há três pontos colineares. Quantas retas ficam definidas por esses pontos?

Rol

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5408

9875

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Modelo BinomialNo capítulo 4 quando estudámos a Distribuição Binomial vimos que se a variável aleatória X tem Distribuição Binomial de parâmetros n e p, então

para onde representa o número de vezes em que temos sucessos e insucessos.

Não podíamos na altura apresentar uma fórmula simples para mas agora já podemos fazê-

-lo como aplicação do nosso estudo da Análise Combinatória. Este número representa o números de vezes em que podemos formar um grupo com elementos a partir de n elementos; como a ordem não interessa estamos em presença de combinações; será então

Podemos então dizer que a Distribuição Binomial de parâmetros n e p da variável aleatória X se pode escrever como

TR

TAREFA RESOLVIDA 17

Sabe-se que numa determinada escola 70% dos estudantes votaram a favor da Associação de Es-tudantes eleita, 5% votaram contra e 25% abstiveram-se. Qual a probabilidade de num grupo de 8 alunos, escolhidos ao acaso (a) 5 terem votado? (b) 2 terem-se abstido? (c) 5 terem votado a favor?

RESOLUÇÃO

Estamos em presença de distribuições binomais; em cada caso é preciso determinar uma probabili-dade de sucesso e de insucesso do acontecimento pretendido.

a) Como queremos ver quem “votou” e quem “não votou”, temos que p = 0,75 e 1 � p = 0,25. A distribuição de probabilidades neste caso será

pelo que

b)

c)



LE

LEITURA(S)

Como escolher a namorada pelos horários do comboio suburbano

João amava Lúcia que amava João. Só que João além de amar Lúcia também amava Letícia e ten-tava namorar as duas ao mesmo tempo. Durante a semana, até que dava, mas quando chegava ao sábado à noite era terrível. As duas queriam João e este não possuía o dom da presença ao mes-mo tempo em dois lugares.

Assim, alternadamente ou Lúcia ou Le-tícia ficavam sem sair com o João, nos embalos de sábado à noite. HONESTO (?), João decidiu contar à Lúcia a exis-tência de Letícia e à Letícia sobre Lú-cia. Claro que houve choros e lamúrias de todos os lados. E João continuou dividido, sem saber como escolher entre as duas.

É importante acrescentar aqui um detalhe: João morava próximo de uma estação ferroviária de um subúrbio. Para visitar Lúcia, João tomava comboios que iam no sentido da direita a cada meia hora, e para visitar Letícia, João tomava comboios que iam para a esquerda a cada meia hora também. Quanto a horários não havia dúvidas. Comboios para cada lado de meia em meia hora. Mas volte-mos à dúvida existencial afetiva do nosso amigo João.

Como escolher entre Lúcia e Letícia?

A solução foi dada por Letícia que era professora de Matemática. Letícia propôs a João um critério justo, equilibrado, salomónico para escolher quem ir namorar. A proposta foi: João sairia de casa sem saber com quem se iria encontrar.

Ao chegar à estação tomaria o primeiro comboio que passasse, fosse para a direita, fosse para a es-querda. Proposta aceite. João começou a usar esse critério aparentemente justo e aleatório.

Depois de usar o critério durante cerca de três meses, descobriu que visitara a Letícia muito mais do que a Lúcia, e se a sorte quis assim ficou com Letícia e com ela se casou sem nunca haver entendido porque a sorte a privilegiara tanto.

Só nas bodas de prata do seu casamento é que a Letícia contou ao João a razão do mistério, de o comboio a ter escolhido a ela preferencialmente à concorrente. Letícia estudara os horários dos comboios e verificara que os horários eram:

Letícia Lúcia

8h00 8h05

8h30 8h35

Últim

a ch

amad

a pa

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0243

7471

8


Letícia Lúcia

9h00 9h05

9h30 9h35

COMBOIOS P/ ESQUERDA COMBOIOS P/ DIREITA

Desta forma, em qualquer intervalo de 30 minutos, a probabilidade de João tomar o comboio que vai para a esquerda é de 25/30 e para a direita é de 5/30.

No amor como na guerra tudo vale..., até usar Matemática.

(adaptado de um texto de Manuel Henrique C. Botelho)

SÍNTESE

O essencial passado em revista

O seguinte princípio é de utilização frequente, embora por vezes não pareça:

Princípio básico da Análise Combinatória

Para pares ordenados:

O número total de pares ordenados que consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóteses e para o segundo elemento do par tens n hipóteses, é dado por m x n .

Formulação geral:

Sejam , conjuntos de cardinalidades (número de elementos) , res-

pectivamente. A cardinalidade (número de elementos) m do produto cartesiano

é dada pelo produto das cardi-

nalidades dos conjuntos que o constituem, isto é

.

Arranjos Completos

Quando, de um conjunto com n elementos, escolhemos p elementos admitindo repetições, di-zemos que estamos em presença de arranjos completos (com repetição). Representamos por

, o número total de arranjos completos (com repetição) que podemos formar com p

elementos escolhidos entre os n elementos dados. De acordo com o Princípio Básico da Análise Combinatória temos a fórmula:

.


Arranjos Simples

Em geral dado um conjunto de n elementos o números de arranjos simples (sem repeti-ção) de p desses elementos é igual ao produto dos p números naturais consecutivos, por ordem decrescente, a partir de n. Assim, podemos escrever a fórmula:

.

Permutações

Dado um conjunto de n elementos chamam-se permutações dos n elementos aos arranjos desses elementos, n a n, o que se escreve como

Combinações

Chamamos combinações a um qualquer subconjunto de p elementos escolhidos de um conjunto

com n elementos em que a ordem não interessa. As combinações representam-se por ou

ou ainda que se lê combinações de n elementos tomados p a p:


EG

Exercícios globaisPratica ↑

1. Num saco há 6 bolas de cores distintas. Calcula de quantas maneiras podemos retirar duas bolas se a extração se realiza:

1.1 De modo simultâneo

1.2 De modo sucessivo.

2. Um teste de escolha múltipla consta de 40 questões das quais se tem de responder a 30. Sabendo que as 10 primeiras são obrigatórias, de quantas distintas podemos responder ao teste?

3. De quantos modos diferentes se podem colocar dois anéis diferentes nos dedos mínimo, ane-lar e médio de ambas as mãos, não ficando nunca dois anéis no mesmo dedo.

4. Quantos pares diferentes se podem formar com 4 rapazes e 5 raparigas, sendo cada par constituído por um rapaz e uma rapariga?

5. De quantas maneiras diferentes se podem sentar 3 pessoas num banco de cinco lugares? E num banco de três lugares?

6. Com os algarismos 2, 4, 5, 6, 7 quantos números ímpares representados com três algarismos diferentes se podem escrever?

7. Quantos números, de algarismos todos diferentes, há entre 100 e 1000?

8. De quantos modos podemos misturar 8 cores distintas?

9. De quantos modos diferentes, podemos extrair 10 cartas de um baralho de 40 cartas, de modo a saírem sempre 3 reis e duas damas?

10. Com 7 teclas de um piano, correspondentes às 7 notas musicais, de quantos modos diferentes podemos tocar duas delas:

10.1 uma a seguir à outra.

10.2 simultaneamente.

Pensa e Resolve ↑ ↑

11. Numa empresa com 100 trabalhadores, 68 homens e 32 mulheres, quer-se formar uma comissão de festas de 5 membros, na qual devem figurar pelo menos 2 mulheres. De quantas maneiras e pode formar a comissão?

Pia

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e/14

4720

5451

/


12. Quantos produtos distintos de três fatores diferentes se pode obter com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9?

13. Uma escola tem 23 turmas e 55 professores. Dos professores, 4 não podem ser diretores de turma, e dos restantes, só 15 podem ser diretores de turma do secundário. Sabendo que exis-tem 6 turmas do secundário, de quantos modos podem ser repartidas as direções de turma?

14. De quantas maneiras é possível tocar sucessivamente os 92 sinos dos dois carrilhões do Con-vento de Mafra?

15. Consideremos 10 pontos no plano, 3 dos quais são colineares. Quantas retas se obtêm unindo esses 10 pontos, dois a dois?

16. No início de uma reunião cada um dos participantes cumprimentou cada um dos outros com um aperto de mão. Ao todo foram dados 78 apertos de mão. Quantos eram os participantes?

17. De um conjunto de 14 livros, a Vera pretende levar para férias, 6 livros. De quantas maneiras pode efetuar a escolha de modo a:

17.1 incluir sempre um determinado livro?

17.2 excluir sempre um determinado livro?

18. Quantos números de 7 algarismos se podem escrever com 3 algarismos pares e quatro ímpares diferentes?

Relete ↑ ↑ ↑

19. Na sala do professor Eis Perto existem dez alunos. Certo dia, o professor resolveu escolher três dos alunos para resolver um problema muito difícil. A pergunta é: De quantas maneiras ele pode fazer isto?

Joãozinho, o aluno mais dedicado da sala respondeu da seguinte forma:

— Temos 10 maneiras de escolher o primeiro, 9 de escolher o segundo e 8 para o terceiro. Logo, temos 10 × 9 × 8 = 720 maneiras de escolher um trio de alunos.

O Joãozinho estará correto?

20. De quantas maneiras pode ser formada uma comissão com 4 homens e 6 mulheres:

20.1 Com pelo menos 2 homens e pelo menos o dobro de mulheres do que de homens?

20.2 A comissão tem 4 membros, dos quais pelo menos dois são mulheres e o Sr. e a Srª. Silva não podem estar juntos?

Maf

ra c

onve

nto

por

Fran

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o Ant

unes

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tp:/

/ww

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ickr

.com

/pho

tos/

fran

cisc

oant

unes

/145

9725

039


21. Determina uma expressão que permita determinar o número de diagonais de um polígono convexo de n lados.

22. As diagonais espaciais de um cubo são 4 e a sua contagem é simples. Quantas diagonais tem um dodecaedro regular?

23. O Pedro tem um certo número de amigos e convida todas as noites, durante um ano (365 noites), grupos diferentes de 4 amigos para ir a sua casa.

Qual é o número mínimo, n, de amigos que o Pedro precisa de ter?

24. Formandos e dispostos por ordem crescente todos os números inteiros que se obtém per-mutando os algarismos 1, 2, 3, 5, 8, que lugar ocupa nessa sucessão o número 52183?

25. De todos os números maiores que 500000 e menores que 1500000, quantos não têm nenhum algarismo 3?

CONSELHOS PARA OS EXAMES – N.º 5

Como resolver questões de Análise Combinatória

Nestas questões, é essencial identificar se nas sequências de elementos que são pedidas a ordem interessa ou não. Isto exige uma análise cuidada do problema enunciado. O enunciado deve por isso ser lido e relido.

Nos problemas mais complexos pode ser necessário decompor o problema dado em vários pe-quenos problemas. Em cada um destes problemas mais pequenos a situação pode variar muito, podendo nuns interessar a ordem e noutros não.

Em qualquer caso, identificar se a ordem interessa ou não é a chave para a resolução do problema proposto. Podemos ver isso no seguinte esquema:

A ordem interessa?

ArranjosSim

Não Combinações

Se a ordem interessa então estaremos em presença de Arranjos (completos, simples ou permuta-ções). Se a ordem não interessa então são sempre Combinações. Os Arranjos de n elementos p a p podem por sua vez ser de vários tipos, conforme se podem repetir os elementos dados ou não:

Com

poun

d of

dod

ecah

edro

n an

d ir

st s

tella

tion

of ic

osah

edro

n po

r fd

ecom

ite,

ht

tp:/

/ww

w.l

ickr

.com

/pho

tos/

fdec

omite/

3603

2546

67/


Arranjos com repetição?

Arranjos completosSim

Não Arranjos simples ou permutações (n = p)

Se podemos repetir os n elementos dados então estamos em presença de Arranjos Completos, caso contrário serão Arranjos Simples (ou Permutações no caso em que n = p).


IEItens de exame

Escolha Múltipla

1. A Maria gravou nove CD, sete com música rock e dois com música popular, mas esqueceu-se de identificar cada um deles.

Qual é a probabilidade de, ao escolher dois CD ao acaso, um ser de música rock e o outro ser de música popular?

(A) 7

18 (B) 2

9 (C)

1

4 (D)

7

36

2. Admite que um estudante tem de realizar dois testes no mesmo dia. A probabilidade de ter classificação positiva no primeiro teste é 0,7, a de ter classificação positiva no segundo teste é 0,8, e a de ter classificação negativa em ambos os testes é 0,1.

Qual é a probabilidade de o estudante ter negativa no segundo teste, sabendo que teve ne-gativa no primeiro teste?

(A) 1

2 (B)

1

3 (C)

1

7 (D)

1

8

3. De um baralho com 40 cartas, repartidas por quatro naipes (Copas, Ouros, Espadas e Paus), em que cada naipe contém um Ás, uma Dama, um Valete, um Rei e seis cartas (do Dois ao Sete), foram dadas sucessivamente, ao acaso, seis cartas a um jogador, que as coloca na mão, pela ordem que as recebe.

Qual é a probabilidade de o jogador obter a sequência 2 - 4 - 6 – 7 – Dama – Rei, nas cartas recebidas?

(A) 46

40A6

(B) 46

40C6

(C) 140A

6

(D) 140C

6

4. O código de acesso a uma conta de e-mail é constituído por quatro letras e três algarismos. Sabe-se que um código tem quatro letras “a”, dois “5” e um “2”, como, por exemplo, o código 2aa5a5a

Quantos códigos diferentes existem nestas condições?

(A) 105 (B) 210 (C) 5040 (D) 39

5. Para assistirem a um espetáculo, o João, A Margarida e cinco amigos sentam-se, ao acaso, numa fila com sete lugares.


Qual é a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados um ao lado do outro?

(A) 2 × 5!

7 ! (B)

5!

7 ! (C)

2

7 (D) 5

7

6. Numa caixa com 12 compartimentos, pretende-se arrumar 10 copos, com tamanho e forma iguais: sete brancos, um verde, um azul e um roxo. Em cada compartimento, pode ser arru-mado apenas um copo.

De quantas maneiras diferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa?

(A) 12A7× 3! (B) 12A

7× 5C

3 (C) 12C

7× 5A

3 (D) 12C

7× 12A

3

7. Lança-se cinco vezes consecutivas um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e regista-se, em cada lançamento, o número inscrito na face voltada para cima.

Considera os acontecimentos seguintes.

I: “sair face ímpar em exatamente dois dos cinco lançamentos”;

J: “sair face 4 em exatamente dois dos cinco lançamentos”.

Qual dos acontecimentos seguintes é mais provável:

(A) acontecimento I (B) acontecimento

(C) acontecimento J (D) acontecimento

8. Ao disputar um torneio de tiro ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo quatro vezes. Sabe--se que, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar no alvo é 0,8.

Qual a probabilidade de o João acertar sempre no alvo, nas quatro vezes em que tem de atirar?

(A) 0,0016 (B) 0,0064 (C) 0,0819 (D) 0,4096

9. Uma caixa A contém duas bolas verdes e uma bola amarela. Outra caixa B contém uma bola verde e três bolas amarelas. As bolas colocadas nas caixas A e B são indistinguíveis ao tacto.

Lança-se um dado cúbico perfeito, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair o número 5, tira--se uma bola da caixa A; caso contrário tira-se uma bola da caixa B.

Qual a probabilidade de a bola retirada ser verde, sabendo que saiu o número 5 no lança-mento do dado?

(A) 1

4 (B) 1

3 (C) 3

7 (D) 2

3

10. Admite que a variável peso, expressa em gramas, das maçãs de um pomar é bem modelada por uma distribuição normal N(60;5), em que 60 é o valor médio e 5 é o valor do desvio padrão da distribuição.


Retira-se, ao acaso, uma dessas maçãs.

Considere os acontecimentos:

A: “o peso da maçã retirada é superior a 66 gramas”

B: “o peso da maçã retirada é inferior a 48 gramas”

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) P(A) + P(B) = 1 (B) (B) P(B) < P(A)

(C) P(A) < P(B) (D) P(A) = P(B)

11. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte:

0 1 2 3

2a a

Qual das igualdades seguintes é verdadeira, considerando os valores da tabela?

(A) P(X = 0) = P(X > 1) (B) P(X = 0) = P(X = 2)

(C) P(X = 0) = P(X = 3) (D) P(X < 2) = P(X = 3)

12. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte:

0 1 2 3 4 5

2a a b b b

Sabe-se que:

a e b são números reais

Qual o valor de b?

(A) 1

10 (B) 4

15 (C)

7

30 (D) 1

5


Resposta Aberta

13. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos tais que e , com

Mostra que P A∩B B⎛⎝

⎞⎠ = P A B( )

14. Considera as 13 cartas do naipe de copas: ás, três figuras (rei, dama e valete) e mais nove cartas (do 2 ao 10).

14.1 As cartas vão ser dispostas, ao acaso, sobre uma mesa, lado a lado, de modo a forma-rem uma sequência de 13 cartas.

Determina o número de sequências diferentes que é possível construir, de modo que as três figuras fiquem juntas.

14.2 Determina a probabilidade de, ao retirar, ao acaso, 4 das 13 cartas do naipe de copas, obter pelo menos duas figuras.

Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.


Sejam A e B dois acontecimentos possíveis (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω) .

15.1 Prova que: P(A∪B) P(A) − P(B) + P(A∪B)

(P designa a probabilidade, A designa o acontecimento contrário de A e B designa o acon-

tecimento contrário de B).

15.2 Numa determinada cidade, das 160 raparigas que fizeram o exame nacional de Mate-mática, 65% tiveram classificação positiva, e, dos 120 rapazes que fizeram o mesmo exame, 60% também tiveram classificação positiva.

Escolhendo, ao acaso, um dos estudantes que realizaram o exame, qual é a probabili-dade de o estudante escolhido não ser rapaz ou não ter tido classificação positiva?

Apresenta o resultado em forma de dízima, com aproximação às centésimas.

Nota: Se o desejares, utiliza a igualdade referida em 15. Neste caso, deverás começar por caraterizar claramente os acontecimentos A e B, no contexto da situação apresen-tada; no entanto, podes optar por resolver o problema por outro processo.

16. Numa caixa temos três fichas com o número 1 e quatro fichas com o número 2, indistinguí-veis ao tacto.

Retiram-se, ao acaso e de uma só vez, duas fichas.


Seja X a variável aleatória: “a soma dos números inscritos nas duas fichas”.

16.1 Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

16.2 Indica, justificando, o valor mais provável da variável X.

Apresenta as probabilidades na forma de fração irredutível.

17. Uma turma do 12.º ano de uma Escola Secundária está a organizar uma viagem de finalistas.

17.1 Os alunos da turma decidiram vender rifas, para angariarem fundos para a viagem.

A numeração das rifas é uma sequência de três algarismos (como, por exemplo, 099), iniciando em 000.

De entre as rifas, que foram todas vendidas, será sorteada uma, para atribuir um pré-mio.

Qual é a probabilidade de a rifa premiada ter um único algarismo 5?

Apresenta o resultado na forma de dízima, com aproximação às centésimas.

17.2 A turma é constituída por doze raparigas e dez rapazes, que pretendem formar uma comissão organizadora da viagem. Sabe-se que a comissão terá obrigatoriamente três raparigas e dois rapazes. A Ana e o Miguel, alunos da turma, não querem fazer parte da comissão em simultâneo.

Explique, numa composição, que o número de comissões diferentes que se pode formar é dado por:

18. Em duas caixas, A e B, introduziram-se bolas indistinguíveis ao tacto:

Na caixa A: algumas bolas verdes e algumas bolas azuis;

Na caixa B: três bolas verdes e quatro bolas azuis.

Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B. De seguida, retira-se, tam-bém ao acaso, uma bola da caixa B.

Sabendo que a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul é igual a , mostra que a bola que foi retirada da caixa A e colocada na caixa B tinha cor verde.

19. Considera todos os números de três algarismos que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

19.1 Escolhe-se, ao acaso, um desses números.

Sejam os acontecimentos:


A: “O número escolhido é múltiplo de 5”;

B: “O número escolhido tem os algarismos todos diferentes”.

Averigua se A e B são, ou não, acontecimentos independentes.

19.2 Considera o seguinte problema:

De entre todos os números de três algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em quantos deles o produto dos seus algarismos é um número par?

Uma resposta correta a este problema é: .

Numa pequena composição explica porquê.


Sejam A, B e C três acontecimentos tais que .

Sabe-se que e que .

Calcula , utilizando as propriedades das operações com conjuntos e a axiomática das probabilidades.

21. De um baralho de cartas, selecionaram-se 16 cartas ( 4 Ases, 4 Reis, 4 Damas e 4 Valetes).

Dividiram-se as 16 cartas em dois grupos: um com os Ases e os Reis e outro com as Damas e os Valetes.

Retiraram-se, ao acaso, duas cartas de cada grupo (sem reposição).

Qual é a probabilidade de obter um conjunto formado por um Ás, um Rei, uma Dama e um Valete, não necessariamente do mesmo naipe?


22. Considera um espaço de resultados finito, Ω , associado a uma certa experiência aleatória.

A propósito de dois acontecimentos X e Y , sabe-se que

X e Y são independentes

22.1 Mostra que a probabilidade de que não ocorra X nem Y é igual a


22.2 Num frigorífico, há um certo número de iogurtes e um certo número de sumos. Tiram--se do frigorífico, ao acaso, um iogurte e um sumo. Sabe-se que a probabilidade de o

iogurte ser de pêssego é e a probabilidade de o sumo ser de laranja é .

Admite que os acontecimentos “tirar um iogurte de pêssego” e “tirar um sumo de la-ranja” são independentes.

Utilizando a expressão mencionada em 22.1, determina a probabilidade de, ao tirar, ao acaso, um iogurte e um sumo do frigorífico, o iogurte não ser de pêssego e o sumo não ser de laranja.


23. Uma coluna com a forma de um prisma hexagonal regular está assente no chão de um jar-dim. Dispomos de seis cores (amarelo, branco, castanho, dourado, encarnado e verde) para pintar as sete faces visíveis ( as seis faces laterais e a base superior) desse prisma.

Admite que se pintam de verde duas faces laterais opostas.

23.1 Determina de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas as restantes cinco faces, de tal modo que:

- duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes.

- duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor.

23.2 Considera um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das suas bases está contida no plano de equação z = 2.

Escolhendo ao acaso dois vértices do prisma, qual é a probabilidade de eles definirem uma reta paralela ao eixo Oz? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.

24. A figura seguinte representa, respetivamente, as planificações de dois dados cúbicos equili-brados, A e B.

–1 0 –2 0

0

0

–1 1 1 1

1

1


Lançam-se, simultaneamente, os dois dados.

24.1 Seja X a variável aleatória “soma dos números saídos nas faces voltadas para cima, em cada um dos dados”.

Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

Apresenta as probabilidades na forma de fração.

24.2 Considera que o número da face voltada para cima no dado A é a abcissa de um ponto Q do referencial o.n. xOy, e que o número da face voltada para cima no dado B é a ordenada desse ponto Q.

Considera agora os acontecimentos:

J: “o número saído no dado a é negativo”;

L: “o ponto Q pertence ao terceiro quadrante”.

Indica o valor de , sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada.

Apresenta o resultado na forma de fração.

Numa composição, explica o teu raciocínio, começando por referir o significado de

no contexto da situação descrita.


PG

Prova global90 minutos

1. Um casal e os seus quatro filhos, ao posarem para uma fotografia, ficaram em pé, um ao lado do outro. Qual é o número de modos em que eles se poderão dispor, se os pais ficarem sempre juntos?

(A) 60 (B) 36 (C) 240 (D) 720

2. Num programa de rádio transmitido diariamente, durante 360 dias por ano, são tocadas sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca pela mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências serão necessários aproximadamente:

(A) 10 anos (B) 1 século (C) 10 séculos (D) 100 séculos

3. Num prédio os moradores têm de eleger o administrador do condomínio e quatro membros para o conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha é feita de entre dez moradores.

De quantos modos diferentes é possível fazer a escolha?

(A) 126 (B) 252 (C) 640 (D) 1260

4. Um professor deu um teste com 7 questões, das quais os alunos só tinham de responder exatamente a 5 questões.Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma. Qual o número máximo de alunos dessa turma?

(A) 15 (B) 21 (C) 25 (D) 30

5. Supõe que a probabilidade de um casal ter um filho(a) com cabelos loiros é de 1

4. Se tiverem

6 crianças na família qual é a probabilidade de metade terem cabelos loiros?

(A) 0,125 (B) 0,13 (C) 0,5 (D) 0,75

6. Num torneio de ténis de mesa em que cada participante enfrenta todos os outros, são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes?

7. Quatro bolsas de estudo vão ser sorteadas entre 30 alunos, dos quais 12 são do Ensino Básico e 18 do ensino secundário. Qual a probabilidade de que haja entre os sorteados:

7.1 um aluno do básico?

7.2 no máximo um aluno do secundário?

7.3 pelo menos um aluno de cada ciclo?


8. Um saco tem 15 bolas numeradas de 1 a 15.

Três bolas são tiradas sem reposição.

Qual a probabilidade de que:

8.1 o menor número seja o 7?

8.2 o maior número seja o 7?

9. A Maria e o Pedro vão resolver um problema. Eles trabalham na solução de forma indepen-dente, e têm, respetivamente, probabilidade 0,8 e 0,7 de resolvê-lo.

9.1 Qual a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema?

9.2 Qual é a probabilidade do problema ser resolvido?

9.3 Dado que o problema foi resolvido, qual a probabilidade de que tenha sido resolvido apenas pelo Pedro?

10. Num processo de produção recolhe-se aleatoriamente 15 produtos sabendo que 85% dos pro-dutos são aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 produtos extraídos sejam aceitáveis?

40 6. Triângulo de Pascal e Binómio de Newton

A fórmula do quadrado do binómio

é bem conhecida. Fazendo os respetivos cálculos é fácil obter outras fórmulas para o cubo do binó-mio

ou para a quarta potência do binómio:

Desde há largas centenas de anos que estas e outras fórmulas levaram as pessoas a pensar que have-ria qualquer regra por detrás dos coeficientes destes desenvolvimentos. Com efeito, ordenemos todos os coeficientes obtidos da maneira seguinte:

Já consegues ver a lei de formação deste quadro e acrescentar-lhe mais algumas linhas? Já no século XIII o matemático chinês Yang Hui tinha elaborado um tal triângulo e atribui a sua descoberta a um outro matemático chinês; na realidade pensa-se que esse triângulo era conhecido muito antes e em diversas civilizações. Num dos livros de Yang Hui aparece um esquema semelhante ao seguinte:

6. Triângulo de Pascal e Binómio de Newton

“Normalmente icamos mais facilmente convencidos

pelas razões que nós próprios encontrámos do que

por aquelas que ocorreram a outros.”

Blaise Pascal (1623-1662)

Álvaro de CamposO binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.

O que há é pouca gente para dar por isso.óóóó — óóóóóóóóó — óóóóóóóóóóóóóóó

(O vento lá fora). in ‘Poesias de Álvaro de Campos. Fernando Pessoa. Lisboa:

Ática, 1944’


Como o sistema de numeração chinês antigo é simples de decifrar, com um bocado de paciência conseguirás ver que este triângulo pode ser representado por

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 1

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

Este triângulo é muito curioso. Em particular tem uma propriedade notável: cada elemento do tri-ângulo (diferente de 1) obtém-se somando os dois elementos imediatamente acima dele na linha de cima. E com esta regra conseguiremos acrescentar ao triângulo qualquer número de novas linhas.

Este triângulo foi popularizado pelo filósofo e matemático francês Blaise Pascal (1623-1662), pelo que hoje é frequente chamar-lhe triângulo de Pascal, embora seja também conhecido por triân-gulo de Tartaglia (matemático italiano do século XVI) ou por triângulo de Yang Hui.

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Olhando para a sexta linha do triângulo de Pascal, é agora fácil concluir qual é o desenvolvimento da quinta potência do binómio:

Simples não é? As restantes potências são obtidas pelo mesmo modo.

Mas este triângulo de Pascal pode ser olhado com os olhos da Análise Combinatória. Tal não é evidente à partida, mas torna-se óbvio se observarmos que todos os valores do Triângulo de Pascal são resultados do cálculo de combinações (exceto talvez os valores iguais a 1, mas já resolveremos esse problema). Com efeito, temos:

e o mesmo para os restantes. Poderemos incluir também os 1? Para os incluir a regra pareceria que deveria ser

Será possível? Para isso terá de ser

Só há uma maneira de isso ser verdade que é a de admitir que 0!=1. Vamos tomar exatamente essa igualdade como a definição de “zero fatorial”:

Definimos zero fatorial como sendo igual a 1, ou seja,

0! = 1.

Em consequência desta definição, temos

e


Podemos agora reescrever totalmente o triângulo de Pascal usando as combinações:

Lá atrás já vimos que cada elemento do triângulo de Pascal se obtém a partir da soma dos dois elementos imediatamente acima na linha de cima. Mas se conseguíssemos traduzir esta propriedade em termos de combinações seria uma propriedade curiosa para as combinações:

Será que se verifica sempre? Isto é, será que é sempre verdade que

para todos os valores naturais de n e k?

TR

TAREFA RESOLVIDA 1

Prova que

para todo o número natural n superior ou igual a 2 e todo o número natural k inferior a n.

RESOLUÇÃO

Temos que representa o número de grupos de k elementos que se podem formar a partir de n

elementos dados. Vamos fazer esta mesma contagem de outro modo: retiremos um elemento dos n elementos, digamos o elemento A, ficando apenas com elementos. Os grupos de k elementos que tínhamos originalmente ou são grupos que não incluem A ou são grupos que incluem A. Os grupos que não incluem A são tantos quantas as combinações de elementos (deixando o A de

lado) tomados k a k, ou seja . Os grupos que incluem A são tantos quantos os grupos de

elementos que podemos formar apenas com elementos (deixando o A de lado), ou seja,


Isto prova que

Outra propriedade do triângulo de Pascal que salta à vista mal olhamos para ele é a da simetria relativamente ao eixo vertical. Podemos provar isso com facilidade.

TR

TAREFA RESOLVIDA 2

Prova que

para todo o número natural n e todo o número natural k inferior ou igual a n.

RESOLUÇÃO

Temos que

Há outras propriedades interessantes no triângulo de Pascal. Tenta descobrir mais algumas.

T

TAREFA 3

Um aluno que se apaixonou pelo triângulo de Pascal reproduziu muitas linhas num papel mas depois três dos números desapareceram. Consegues ajudá-lo e dizer-lhe quais são os números que faltam?


Binómio de NewtonEste capítulo começou com a construção do triângulo de Pascal a partir dos coeficientes do desen-volvimento de sucessivas potências do binómio:

Mas vimos que os coeficientes eram na realidade combinações pelo que podemos reescrever estes desenvolvimentos das potências do binómio como

e assim sucessivamente.

Isto leva-nos a concluir que deverá haver uma fórmula geral, para todas as potências de um binómio, envolvendo combinações. Com efeito essa fórmula existe e é essa a famosa fórmula do Binómio de

Newton:

Observemos que a soma dos expoentes de e de é sempre igual ao expoente . Podemos dizer que todas as parcelas têm a forma

com k a variar de 0 a n.

Não há dúvida que esta fórmula tem uma grande beleza!

É esta fórmula também útil? É muito e muitas consequências se podem tirar dela.


TR

TAREFA RESOLVIDA 4

Prova que

a)

b)

para todo o número natural n.

RESOLUÇÃO

a) Basta fazer e na fórmula do binómio de Newton.

b) Basta fazer na fórmula obtida na alínea anterior.

T

TAREFA 5

Recorrendo à fórmula do binómio de Newton, calcula

a)

b)

c)

Ainda não demonstrámos a famosa fórmula do Binómio de Newton. Apenas olhámos para os primei-ros desenvolvimentos do binómio e “adivinhámos” que a fórmula funcionaria para todos os casos, mas isso não chega para provar que é verdadeira para todos os valores de a, b e n. Conseguiremos demonstrar esta fórmula?

Podemos verificar a fórmula para muitos casos de a, b e n, mas neste momento não temos maneira de provar que é verdadeira para todos os valores naturais de n e todos os valores reais de a e b. Para isso vamos precisar de introduzir um novo método de demonstração.


H

HISTÓRIA(S)

Origem da Análise Combinatória

As exposições mais antigas que se registaram de regras combinatórias aparecem na Índia embora sem quaisquer provas ou justificações. Por exemplo, o tratado médico de Susruta, escrito talvez no século sexto a.C., afirma que podem ser feitas 63 combinações de seis gostos diferentes - amargo, azedo, salgado, adstringente, doce e picante - tomando-se um de cada vez, dois de cada vez, três de cada vez, .... Por outras palavras há cinco gostos simples, 15 combinações de dois, 20 combinações de três, e assim sucessivamente. Outras obras, em geral da mesma época, incluem cálculos seme-lhantes relativos a tópicos como categorias e sentidos filosóficos. Em todos estes exemplos, contudo, os números são pequenos, o que basta para que a enumeração simples seja suficiente para encontrar as respostas. Não sabemos se foram desenvolvidas fórmulas relevantes.

Estátua de Susruta em Patanjali Yogpeeth, Haridwar, Índia

Por outro lado, uma obra do século sexto, de Varahamihira, considera um valor maior. Afirma cla-ramente que “se uma quantidade de 16 substâncias se varia de quatro formas diferentes, o resultado será 1820.” Por outras palavras, visto que Varahamihira estava a tentar criar perfu-mes usando quatro ingredientes de um total de 16, calculou que havia 1 820 maneiras diferentes (

) de escolher os ingredientes. Não é provável que o autor enumerasse essas 1 820 combinações

e, assim, suporemos que conhecia um método para calcular esse número. Não há fórmulas para nú-

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meros combinatórios na literatura indiana do tempo, mas parece haver uma referência críptica na obra de Varahamihira a uma regra para derivar esses números um de cada vez, como o método usual para produzir o triângulo de Pascal.

No século nono Mahavira apresenta um algoritmo explícito para calcular o número de combinações. Mahavira não deu, contudo, qualquer prova do seu algoritmo que pode ser traduzido na fórmula moderna

Aplica simplesmente a regra a dois problemas: um acerca da combinação de gostos - como o fez o seu predecessor - e outro acerca da combinação de jóias num colar, que podem ser diamantes, safi-ras, esmeraldas, corais e pérolas.

Bhaskara, depois de, essencialmente, repetir a regra de Mahavira, observou ainda que “esta é uma regra geral. Serve na poesia, para aqueles versados nela, para achar as variações da métrica; nas ar-tes, para calcular as variações nas portas e janelas; . . . . em medicina, as combinações de diferentes sabores.” Como exemplo de um cálculo, Bhaskara pergunta, “Num edifício espaçoso e elegan-te, com oito portas, construído por um hábil arquiteto como palácio para o senhor da terra, diz-me qual a combinação das portas tomadas uma a uma, duas a duas, três a três, etc.”


Método de indução matemáticaNão podemos aferir a veracidade de uma proposição que dependa de um ou mais números naturais arbitrários apenas por verificação caso a caso. O exemplo mais famoso é o da proposição:

é sempre um número primo, qualquer que seja o natural n.

Temos que

e por aí adiante até chegarmos (se tivermos paciência para tanto) a , caso em que obtemos

não é primo.

O modo de provar que algumas proposições, que dependem de um número natural, são verdadeiras é usar o chamado Método de Indução Matemática. Podemos enunciá-lo do seguinte modo:


Método de Indução Matemática – Seja uma proposição que depen-de do inteiro n. Para provar que a proposição é verdadeira qualquer que seja

o n basta provar as duas seguintes proposições:

a) Caso

é verdadeira.

b) Passo Indutivo

Sempre que for uma proposição verdadeira, com , então

também é verdadeira.

Por que razão funciona este método? Uma maneira de pensar no Método de Indução Matemática é pensar no efeito dominó. Se alinharmos verticalmente dominós podemos fazer uma fileira de dominós do tamanho que quisermos. Se nada mais for feito os dominós não caem.

Poderemos fazer cair todos os dominós com um só toque? Podemos, se forem satisfeitas as duas seguintes condições:

a) O primeiro dominó cai em cima do segundo;

b) A distância entre dois dominós seguidos é tal que se um dominó cai então o seguinte também cai.

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A situação é facilmente compreensível e aparece em muitas situações, havendo mesmo competições de queda de dominós, estando alguns recordes registados no “Livro Guinness de Recordes”. O efeito dominó é também usado em vários filmes (como por exemplo “As aventuras de Jack nas garras do Mandarim” ou “A Múmia”) sendo mesmo o título de um filme recente. Observe-se que as duas con-dições enunciadas para o Efeito Dominó estão totalmente em paralelo com as condições do Método de Indução Matemática.

TR

TAREFA RESOLVIDA 6

Prova pelo Método de Indução Matemática que

para todo o número natural n, ou seja, que a soma de qualquer quantidade de números ímpares consecutivos a contar de 1 é sempre um quadrado perfeito.

RESOLUÇÃO

Designemos a igualdade a provar por . Pelo Método de Indução Matemática temos de provar duas coisas:

a) é verdadeira.

Com efeito, se a igualdade fica 1 = 12, o que é obviamente verdade.

b) Passo Indutivo.

Tentemos provar que é verdadeira, supondo que é verdadeira.

é representada pela igualdade

Mas, pela hipótese do Passo Indutivo (também chamada Hipótese de Indução), temos que

Adicionando a ambos os membros, vem

Mas o membro da direita é exatamente o quadrado do binómio , pelo que vem

que é o que pretendíamos obter.

A demonstração pelo Método de Indução Matemática fica assim completa visto que provamos as


duas proposições necessárias.

A NÃO ESQUECER

Uma demonstração pelo Método de Indução Matemática exige que se veriiquem as duas condições do Método: a veriicação para o primeiro elemento e o Passo Indutivo.

A verificação para o primeiro elemento pode ser feito para um valor qualquer, caso em que prova-remos que a propriedade é válida apenas a partir desse valor.

TR

TAREFA RESOLVIDA 7

Prova, pelo Método de Indução Matemática, que

é sempre múltiplo de 3 para todo o número natural n superior a 2.

RESOLUÇÃO

Designemos a proposição a provar por . Pelo Método de Indução Matemática temos de provar duas coisas:

a) é verdadeira.

Com efeito, se , temos que é múltiplo de 3.

b) Passo Indutivo.

Temos que

Assim, é igual à soma de (que, pela hipótese do Passo Indutivo, a Hipótese

de Indução, é múltiplo de 3) e de , que é também múltiplo de 3. Assim é também múltiplo de 3, que é exatamente o que pretendíamos obter.

A demonstração pelo Método de Indução Matemática fica assim completa visto que provámos as duas proposições necessárias.

A NÃO ESQUECER

Uma demonstração pelo Método de Indução Matemática exige que se veriiquem


as duas condições do Método: a veriicação para o primeiro elemento (neste caso foi n = 2) e o Passo Indutivo.

Passemos agora à demonstração da famosa fórmula do Binómio de Newton.

TR

TAREFA RESOLVIDA 8

Prova a famosa fórmula do Binómio de Newton pelo Método de Indução Matemática:

para todo o número natural n e quaisquer números reais a e b.

RESOLUÇÃO

Designemos a igualdade a provar por . Vamos prová-la usando o Método de Indução Matemá-tica em n, considerando que os números reais a e b são arbitrários mas fixos.

a) é verdadeira.

Para , temos

e .

b) Passo Indutivo.

Tentemos provar que é verdadeira, supondo que é verdadeira.

é verdadeira se conseguirmos provar que

Temos que

Pela hipótese de indução temos um desenvolvimento já para . Multiplicando todos os ter-mos desse desenvolvimento por a + b vamos obter termos que podemos associar do seguinte modo


Usámos a propriedade da tarefa 1 no último passo. Associando todos os termos deste modo obtemos exatamente o que pretendíamos obter.

A demonstração pelo Método de Indução Matemática fica assim completa visto que provamos as duas proposições necessárias.

T

TAREFA 9

Prova, pelo Método de Indução Matemática, que:

a) para todo o número natural n superior a 4.

b) para todo o número natural n superior a 2.


HHISTÓRIA(S)

O Triângulo de Pascal é chinês

Em meados do século XI, Jia Xang, numa obra perdida, generalizou os processos de obtenção das raízes quadradas e cúbicas do método de Juzhang Suanshu, para raízes mais elevadas, usando uma matriz de números conhecida hoje com o nome de triângulo de Pascal, e também alargou e melho-rou o método para o adaptar à resolução de equações polinomiais de qualquer grau. Os métodos de Jia Xian são discutidos na obra de Yang Hui escrita cerca de 1261.

A ideia básica de Jia nasce dos algoritmos originais das raízes quadradas e cúbicas que faziam uso

dos desenvolvimentos binomiais e , respectivamente. Por exemplo,

consideremos a solução da equação que podemos razoavelmente supor ser um nú-mero com três dígitos começando por 2. Por outras palavras, a solução inteira mais próxima pode ser escrita sob a forma . Ignorando por agora o c, temos de achar o maior valor de b de modo que

ou, então,

Ensaiando os valores b = 1 , 2, 3, . . . , descobre-se que b = 3 é o maior número que satisfaz a de-sigualdade. Visto que,

subtrai-se, a seguir, 416700 de 4182904 e obtem-se uma desigualdade semelhante para c:

.

Neste caso reconhece-se que c = 4 satisfaz esta expressão como igualdade e, assim, a solução é .

Jia observou que este processo de solução poderia ser generalizado para raízes de ordem n para a partir do desenvolvimento do binómio . De facto, como relata Yang Hui, não

apenas escreveu o triângulo de Pascal dos coeficientes binomiais até à sexta linha, mas também desenvolveu o método usual de construir o triângulo: “Some os dois números de cima para obter o número no lugar em baixo”. Yang Hui explicou ainda como Jia usava os coeficientes binomiais para achar raízes de ordem mais elevada por um método análogo ao que foi mostrado.

Evidentemente, Jia foi mesmo além disto. Viu que o seu método poderia ser usado para resolver equações polinomiais arbitrárias, especialmente por estas aparecerem como parte do processo de extração de raízes, mas seria mais simples, sobre a mesa de cálculo, gerar os vários múltiplos com os coeficientes binomiais, passo a passo, em vez de recorrer à ajuda do próprio triângulo.



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LEITURA(S)

Ciência e Arte

Fernando Pessoa, sob o pseudónimo de Álvaro de Campos, escreveu em 1935 um pequeno poema sobre a relação entre a Matemática e a Arte:

“O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.

O que há é pouca gente para dar por isso (...)”.

Toda a gente conhece, de facto, a famosa estátua sem braços mas a fórmula do binómio de Newton não goza da mesma popularidade.

Foi este poema que tomei a liberdade de parafrasear no final do prefácio que escrevi em 1991 para a primeira edição portuguesa (já há, desde há alguns anos, uma segunda edição) de “Objectos

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Fractais”, um livro do matemático de origem polaca, francês, mas a trabalhar nos Estados Unidos Benoît Mandelbrot. A versão do prefácio era:

“O conjunto de Mandelbrot é tão belo como a Vénus de Milo.

E há cada vez mais gente a dar por isso”.

Foi decerto uma honra para mim ter encontrado Benoît Mandelbrot durante a sua primeira visi-ta a Portugal. Foi também um prazer ter colaborado com José Luís Malaquias Lima na tradução para português, publicada pela Gradiva, de um trabalho que vai permanecer como um marco na bibliografia científica do século XX. Pela primeira vez, o neologismo “fractal”, que significa partido, fragmentado, entrou na capa de um livro em português.

Embora para o artista Pessoa arte e ciência fossem bem distintas (ele escreveu nas suas “Páginas sobre Estética” que “a ciência descreve as coisas como elas são; a arte descreve as coisas como elas são sentidas”), é interessante que ele tenha chegado a idêntica metáfora sobre a relação de equações com esculturas que alguns cientistas. De facto, o matemático G. N. Watson, professor inglês que passou a sua vida a tentar demonstrar as expressões bem complexas encontradas nos cadernos de notas do génio indiano Ramanujan, afirmou numa comunicação em 1937 (repare-se na data) à So-ciedade Matemática de Londres”:

“Exprimiria a minha atitude [relativamente ao trabalho de Ramanujan] com maior prolixidade dizendo que uma fórmula como [expressão complexa de Ramanujan] me dá uma sensação que é indistinguível daquela que sinto quando entro na Sa-grestia Nuova da Capella Medicee [em Florença] e me vejo diante da beleza austera do Dia, da Noite, da Tarde e do Crepúsculo, que Miguel Ângelo esculpiu sobre os túmulos de Giuliano e Lorenzo de Medici”.

Escultura “noite” de Miguel Ângelo no Túmulo de Giuliano de Medici Tom

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As esculturas em causa são magníficas, perfeitas mesmo, mas de facto austeras e frias.

Um outro matemático inglês, Bertrand Russel (talvez mais conhecido pela sua actividade filosófica) já tinha escrito em 1918 na sua obra “Misticismo e Lógica”: “A Matemática, quando bem vista, possui não apenas verdade mas uma beleza suprema – uma beleza fria e austera como a de uma escultura”.

Alguns autores tentaram generalizar a semelhança entre a matemática e as artes plásticas, nome-adamente a escultura, apontada independentemente por Pessoa, Watson e Russell. O matemático polaco Jacob Bronowski (talvez mais conhecido como historiador e crítico de ciência) escreveu no seu ensaio “Ciência e Valores Humanos”:

“Quando Coleridge tenta deinir beleza, regressa sempre a um pensamento simples e profundo: a beleza é ‘unidade na diversidade’. A ciência não é mais do que a busca da unidade na variedade desordenada da Natureza – ou, mais exactamen-te, na diversidade da nossa própria experiência. A poesia, a pintura, as artes em geral, são o mesmo”.

A relação entre ciência e arte é, portanto, uma de identidade, se não na metodologia pelo menos nos fins últimos.

Mas a beleza matemática – que é evidente na fórmula de Newton, nas séries de Ramanujan e até nos teoremas de Russel – não é facilmente capturável por diletantes. Um processo árduo de apren-dizagem é necessário para dominar a linguagem. Sem essa aprendizagem, a Matemática e a Arte parecem divorciadas uma da outra.

(adaptado de um texto de Carlos Fiolhais, Professor de Física da Universidade de Coimbra)


SÍNTESE


O triângulo de Pascal – É um triângulo de números naturais em que os números dos lados do triângulo são sempre iguais a 1 e cada elemento do triângulo (diferente de 1) se obtém so-mando os dois elementos imediatamente acima dele na linha de cima:

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 1

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

Cada um dos números do triângulo de Pascal é na realidade uma combinação:

Fórmulas relevantes:


Fórmula do Binómio de Newton:

Método de Indução Matemática:

Seja uma proposição que depende do inteiro . Para provar que a proposição é verda-deira qualquer que seja o basta provar as duas seguintes proposições:

a) Caso

é verdadeira.

b) Passo Indutivo

Sempre que for uma proposição verdadeira, com , então também é verdadeira.


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1. Calcula o desenvolvimento das potências seguintes:

1.1

1.2

2. Determina o quarto termo do desenvolvimento de .

3. Determina o termo independente de , no desenvolvimento de


4. Calcula n de modo que a soma dos coeficientes do desenvolvimento de seja 1024.

5. Calcula n de forma que no desenvolvimento de os coeficientes do 15.º e do 21.º termos sejam iguais.

6. Calcula, sem usar a calculadora, o valor das somas:

6.1

6.2

7. Resolve a equação:

8. Determina o termo independente de x no desenvolvimento de

Relete ↑ ↑ ↑

9. Calcula o valor de sabendo que e .

10. Explica porque não há termo independente de x no desenvolvimento de

.


11. Determina o valor de k que satisfaz a igualdade:

.

12. Quantas comissões com no mínimo 2 pessoas podemos formar com um grupo de 12 pessoas?

13. Mostra que:

.

CONSELHOS PARA OS EXAMES – N.º 6

Como responder a questões de escolha múltipla

Muitos alunos consideram as questões de escolha múltipla como sendo mais fáceis do que as ques-tões de desenvolvimento (ditas questões abertas). Baseiam essa opinião normalmente em duas or-dens de razões:

a) A resposta certa é garantidamente uma das apresentadas;

b) É possível acertar respondendo ao acaso.

Acontece que as estatísticas dos exames contrariam esta ideia pois os resultados médios da parte de escolha múltipla são idênticos aos resultados médios das questões da parte aberta. Porque será? Se é verdade que as duas razões acima são de algum modo facilitadoras, há que considerar duas outras ordens de razões:

c) As questões de escolha múltipla abrangem mais capítulos da matéria do que o resto da prova; assim obrigam à mobilização de mais conhecimentos do que as questões da parte aberta.

d) Acertar ao acaso não garante grande nota: respondendo totalmente ao acaso só permite obter em média uma nota de 5 em 20, o que não serve para nada! É uma ilusão responder totalmente ao acaso.

Que concluir desta situação? Por um lado o facto de serem questões de escolha múltipla não deve impressionar muito. Deves tentar responder a cada questão normalmente, confirmando que depois obténs uma das escolhas que é fornecida como alternativa.

Mas isso não quer dizer que não haja estratégias aconselháveis para responder a este tipo de ques-tões:

a) Se tentas responder a uma questão e a resposta que obténs não é uma das alternativas forneci-das, revê a tua resolução. Se depois da revisão continuas a obter a mesma resposta passa à questão seguinte e volta mais tarde a ela (se tiveres tempo); como as questões de escolha múltipla valem menos pontuação, não deves gastar demasiado tempo com elas.

b) Se não tens a certeza sobre a estratégia adequada para responder a uma questão tenta eliminar algumas das alternativas fornecidas; se consegues eliminar todas as alternativas menos uma, está o problema resolvido que a alternativa que sobra é a resposta correta. Mas se só sobram duas alter-nativas e já não tens tempo para mais, então podes tentar responder ao acaso que a probabilidade de acerto melhora para 50%.


IEItens de exame

Escolha múltipla

1. Na sequência seguinte, reproduzem-se os três primeiros elementos e os três últimos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal.

1 15 105 ... 105 15 1

São escolhidos, ao acaso, dois elementos dessa linha.

Qual é a probabilidade de a soma desses dois elementos ser igual a 105?

(A) 1 (B) (C) (D) 0

2. Numa certa linha do triângulo de Pascal, o penúltimo elemento é 111

Escolhe-se, ao acaso, um elemento dessa linha.

Qual a probabilidade de esse elemento ser maior do que .

(A) (B) (C) (D)

3. Uma certa linha do Triângulo de Pascal é constituída por todos os elementos da forma .

Escolhido, ao acaso, um elemento dessa linha, qual é a probabilidade de ele ser o número 14?

(A) (B) (C) (D)

Resposta aberta

4. Relativamente ao binómio x +1

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

10

.

4.1 Calcula o quociente entre o terceiro e o nono termo do desenvolvimento.

4.2 Escreve o termo do desenvolvimento que é constante.

5. Prova que o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é 2n


(Sugestão: Recorre ao desenvolvimento do binómio de Newton).

5.1 Um conjunto tem 32 subconjuntos. Quantos subconjuntos com 3 elementos existem?

6. Considera a expressão (3x2+ 1)n

(3 − a)x2 − ax + 1, com .

6.1 Determina a, real, de modo que o domínio da expressão seja n ∈ .

6.2 Para a = 0 a expressão dada é equivalente a uma potência de um binómio. Se o desen-volvimento dessa potência tiver 12 termos, qual é o termo em ?


PG


1. O segundo termo de uma linha do triângulo de Pascal tem o valor 17. Qual o valor do quarto termo dessa linha?

(A) 4080 (B) 680 (C) 57120 (D) 2380

2. Uma linha do triângulo de Pascal é representada por:

1 8 28 56 r 56 s 8 1

Quais os valores correspondentes a r e s:

(A) e (B) e (C) e (D) e

3. Uma linha do triângulo de Pascal é formada pelo elementos da forma .

Escolhendo ao acaso um número dessa linha qual a probabilidade de ele ser 1?

(A) (B) (C) (D)

4. O coeficiente do sétimo termo do desenvolvimento de é:

(A) 224 (B) 56 (C) 112 (D) 28

5. Os quatro últimos termos de uma linha do triângulo de Pascal são 1140, 190, 20, 1.

Os três últimos números da linha anterior são:

(A) 210, 21, 1 (B) 171, 19, 1 (C) 1330, 210, 21 (D) 1023, 171,19

6. Tens 8 moedas (2 euros, 1 euro, 50 cêntimos, 20 cêntimos, 10 cêntimos, 5 cêntimos, 2 cênti-mos, 1 cêntimo). Pedem-te um donativo e podes responder de várias formas: não dar nada, dar uma moeda, dar duas moedas, ... ou dar todas. Quantas respostas possíveis há?

7. Determina o valor de k na equação:

8. O código de um cartão multibanco é constituído por um número de quatro algarismos de 0 a 9. Quantos são os códigos em que não há algarismos repetidos em posições sucessivas?

657. Função exponencial

A função exponencial é uma das mais importantes da matemática e das suas aplicações. Já encon-trámos alguns casos particulares deste função em situações anteriores. Vejamos uma dessas situa-ções.

TR

TAREFA RESOLVIDA 1

As bactérias podem multiplicar-se a uma taxa alarmante visto que, em intervalos de tempo bastan-te curtos, cada bactéria se pode dividir em duas outras bactérias mais pequenas que rapidamente atingem as dimensões da bactéria mãe. Assim, o número de bactérias duplica em cada intervalo de tempo. Supondo que esse intervalo de tempo é de 1 hora, podemos ver os números atingidos a partir de uma só bactéria (supondo que os níveis de nutrientes das bactérias se mantêm uniformes):

Tempo decorrido 0 horas 1 hora 2 horas 3 horas 4 horas 5 horas 6 horas

Bactérias 1 2 4 8 16 32 64

Qual o padrão de comportamento do número de bactérias? Quantos milhões de bactérias haverá ao fim de 24 horas?


O grande defeito da raça humana é a inabilidade

de compreender o crescimento exponencial

Albert A. Bartlett (1923 - ), físico

O Nosso IninitoHá ou não um ininito fora de nós? É ou não único, ima-

nente, permanente, esse ininito; necessariamente substancial pois que é ininito, e que, se lhe faltasse a matéria, limitar-

se-ia àquilo; necessariamente inteligente, pois que é ininito, e que, se lhe faltasse a inteligência, acabaria ali? Desperta ou não em nós esse ininito a ideia de essência, ao passo que nós não podemos atribuir a nós mesmos senão a ideia de existên-

cia? Por outras palavras, não é ele o Absoluto, cujo relativo somos nós?

In “Os Miseráveis”, Victor Hugo (1802-1885)

66 7. Função exponencial

RESOLUÇÃO

Podemos obviamente definir o padrão através da sucessão de termo geral . A partir desta

expressão, podemos calcular facilmente o número de bactérias

ao fim de 24 horas. Ao fim de 24 horas haverá bacté-

rias. Quantos milhões de bactérias serão? Com o auxílio de uma calculadora concluímos que existem mais de 16 milhões de bactérias, mais precisamente 16 777 216 bactérias (muita bac-téria!).

Já encontrámos outros casos de potências com expoentes dife-rentes. Por exemplo:

.

Será que podemos definir uma nova função, desta vez tendo por domínio o conjunto dos números reais? Tal é possível, embora a fundamentação teórica de tal construção esteja fora do programa. Partimos então da seguinte definição:

Uma função exponencial é, por definição, toda a função real variável real que satisfaz as seguintes condições:

a) O Domínio é e o Contradomínio é .

b) No ponto zero a função vale sempre 1.

c) A função é contínua.

d) O transformado da soma de dois números reais é igual ao produto dos transformados desses dois números reais.

Todas as funções exponenciais são extensões ao conjunto dos números reais das sucessões , onde a é um número real positivo, pelo que se designam por

.

O número real a, que é sempre um número real positivo, é chamado a base da função exponencial. A condição d) da definição tomada implica que

,

tendo-se ainda que , , que são generalizações das propriedades já conhecidas nos casos em que o expoente é inteiro ou fracionário (e que já foram vistos em anos anteriores).

Coccus por gm

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EXERCÍCIOS

1. Sabendo que e que determina .

2. Prova que e que .

3. Sabendo que e que determina .

Qual o gráfico duma função exponencial? Vamos estudar apenas o caso da função exponencial de base superior a 1. Sendo , e recorrendo a uma calculadora ou computador podemos, por exem-

plo para a função exponencial de base 2 definida por , obter os seguintes gráficos:

–6 –4 –2 2 4 6

x

–5

5

10

15

20

yy

–10 –5 5 10

20

20

40

60

80

100

x

para para

Observamos que a função parece ser estritamente crescente. Pode efetivamente provar-se que assim é e que o mesmo acontece com toda a função exponencial de base superior a um. Como conse-quência deste facto podemos concluir que é injetiva porque, sendo estritamente crescente, a valores diferentes dos originais vão obviamente corresponder valores diferentes das imagens.


Por observação do gráfico conjeturamos que

,

Pode ser provado que a mesma propriedade é válida para todas as funções exponenciais de base superior a um.

Para obter gráficos de funções do tipo , basta aplicar as transformações de funções já

estudadas em anos anteriores. Por exemplo basta fazer uma translação de 3 unidades paralela ao eixo dos XX no sentido negativo:

5

10

15

20

–10 –5 5 10

–20

20

40

60

80

100

2 4 6x

–6 –4 –2

–5

y

x

y

e para e para

T

TAREFA 2

Considera as funções definidas por e .

a) Determina os pontos de intersecção dos gráficos das duas funções utilizando dois processos dis-tintos:

Processo 1: Representa no mesmo referencial o gráfico das duas funções. Determina as


coordenadas dos pontos de intersecção.

Processo 2: Determina os zeros da função definida por para descobrir as coor-denadas dos pontos de intersecção.

b) Compara os resultados obtidos pelos dois métodos utilizados.

c) Observando os gráficos das funções dadas, indica qual te parece ser o valor dos limites

e .

(adaptado da brochura “Funções 12”, ME, Lisboa, 1999)

EXERCÍCIOS

4. Descreve o gráfico da função definida por em função do gráfico da fun-

ção do texto.

5. Descreve o gráfico da função definida por em função do gráfico da

função do texto.

6. Descreve o gráfico da função definida por em função do gráfico da função

do texto.


Crescimento exponencialMuitas variáveis em situações reais podem ser modeladas por uma função exponencial, isto é, uma determinada função exponencial pode fornecer uma boa descrição aproximada do comportamento dessa variável na situação real em causa (normalmente em função de outra variável que é o tempo e por isso se costuma representar por t).

Uma dessas situações reais tem a ver com os aumentos salariais.

TR

TAREFA RESOLVIDA 3

Suponhamos que determinada empresa dá aos seus empregados um aumento do salário mensal de 4% ao ano, o que é considerado muito bom pois a inflação nesse tempo era de 2% ao ano. Suponha-mos que o salário mensal inicial era de 1000 euros.

Calcula o salário de um empregado ao fim de 4, 12 e 40 anos.

Ao fim de quantos anos o salário mensal será de 1 milhão de euros?

RESOLUÇÃO

Se o salário mensal inicial é de 1000 euros no primeiro ano, no segundo ano será igual a

Ao fim de 2 anos será

Ao fim de 3 anos será

A fórmula geral que descreve a evolução do salário mensal será então

a) Podemos agora dizer que

Bag

of m

oney

por

joh

nny

auto

mat

ic, ht

tp:/

/ope

nclip

art.or

g/de

tail/

1030

/bag

-of-m

oney

-by-

john

ny_au

tom

atic


Ao fim de 40 anos o salário teria um nível nada desprezável!...

b) Para responder a esta questão teríamos de determinar o valor de t tal que

0 50 100 150 200 2500

500 000

1,0 106

1,5 106

2,0 106

×

×

×

t

S

Recorrendo a uma calculadora ou computador obtemos o valor aproximado de 176 anos, o que é algo surpreendente. Não há empresa que resista a um aumento exponencial de salários caso tenha empregados centenários!

T

TAREFA 4

a) Esboça o gráfico das seguintes funções definidas por:

Observa e descreve o modo como o parâmetro alterado influenciou os gráficos. Indica o domínio, contradomínio, zeros e intervalos de monotonia de cada uma das funções.

b) Para que valores de x é que ? E para que valores de x é que ?

c) Esboça os gráficos das funções definidas por:

Observa e descreve o modo como o parâmetro alterado influenciou os gráficos. Indica o domínio, contradomínio, zeros e intervalos de monotonia de cada uma das funções.


d) Para que valores de é que ? Para que valores de é que ?

e) Estuda agora as famílias de funções definidas por:

Qual é, em cada um dos casos, a influência do parâmetro a?

f) Faz variar, em , os parâmetros e estuda a família de funções definida por .


T

TAREFA 5

Crescimento de pinheiros

Começaram a estudar-se os pinheiros existentes num determinada floresta. Determinou-se que o número P de pinheiros é dado pela lei

com t expresso em anos. Determina:

a) Quantos pinheiros havia no início do estudo.

b) Quantos pinheiros haverá ao fim de 100 anos e de 200 anos.

c) Ao fim de quantos anos o número de pinheiros duplicará em relação ao valor inicial.

Tal

l pin

e tr

ees

betw

een

two

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Var

lan,

htt

p://

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/pho

tos/

horia

varla

n/51

2075

3230

/siz

es/l

/in/

phot

ostr

eam

/


T

TAREFA 6

Doce experiência

Despeja uma embalagem de M&M´s para um prato de papel de modo que as pastilhas não fiquem umas por cima das outras. Retira todos os M&M´s em que o M esteja virado para cima (cuidado com as amarelas porque o M é difícil de ver). Conta e regista o número das pastilhas removidas e o número das que restam. Elimina as pastilhas removidas e despeja as restantes para um copo. Agita o copo, despeja estas M&M´s outra vez para o prato e retira novamente aquelas em que o M apare-ce. Regista o número das eliminadas e o número das que ficam. Continua a repetir este processo até que todas as pastilhas sejam eliminadas. Completa a tabela com as informações recolhidas:

Número da experiência

(x)

Pastilhas removidas Pastilhas restantes

(y)

1

2

3

Na calculadora gráfica representa todos os pontos (x, y). Em seguida encontra uma função expo-nencial que se adapte bem a estes dados. Embora não exista a resposta correta para o problema, algumas funções são melhores do que outras. Tenta encontrar a melhor possível. Regista o tipo de função que escolheste, a expressão analítica, o gráfico e a nuvem de pontos.


O crescimento exponencial é muito rápido como se pode observar em todas estas tarefas. Mas, não só se tem

para todas as funções exponenciais de base superior a um, como ainda se tem

para qualquer valor de p, o que significa que o crescimento da função exponencial de base superior a um, quando a variável tende para +∞, é superior ao de qualquer função polinomial.


Propriedades da função exponencialQue propriedades importantes da função exponencial poderemos precisar no nosso estudo? Além das já referidas no início, vamos precisar das seguintes:

a)

b)

c)

Estas propriedades e as anteriores vão-nos permitir resolver problemas interessantes.

No caso em que a base da exponencial for o número e de Euler, temos a função exponencial de base e que também se diz a função exponencial natural. Mais tarde veremos a razão de ser desta designação.

TR

TAREFA RESOLVIDA 7

Resolve as seguintes equações envolvendo exponenciais (ditas equações exponenciais):

a) ;

b) ;

c) .

RESOLUÇÃO

a) O nosso objetivo será colocar duas exponenciais com a mesma base em cada lado da igualdade pois a função exponencial, sendo injetiva, permite-nos dizer que, sendo as imagens das funções exponenciais iguais os originais também o serão e assim poderemos igualar os expoentes. Temos que

pelo que, pela injetividade da função exponencial de base 2, obtemos

.

Assim, a solução é .

b) Conseguiremos aqui obter uma igualdade entre duas funções exponenciais da mesma base? Te-mos


Tal não parece possível mas podemos tentar passar tudo para o mesmo membro e tentar uma fato-

rização pondo em evidência :

Agora, pela lei do anulamento do produto, a equação dada é equivalente a

Mas já vimos que a função exponencial é sempre positiva, pelo que a primeira igualdade é falsa para todo o valor de x. Então a solução da equação dada é obtida de

A resolução da última equação vem mais uma vez do facto de a função exponencial ser injetiva.

c) Já temos duas estratégias para resolver equações exponenciais. Alguma resultará neste caso? É difícil porque temos duas exponenciais diferentes e não é possível fatorizar de forma efi-caz o membro da esquerda da equação. Mas a situação é fácil de abordar se observarmos que

. Considerando que a nova variável z satisfaz podemos reescrever a equação dada do seguinte modo:

.

Esta é uma equação do segundo grau em z de raízes 5 e 1. Então as soluções em x são

.

Como e a função exponencial é injetiva, as soluções em x são 1 e 0.

TR

TAREFA RESOLVIDA 8

Resolve, no conjunto dos números reais, as inequações seguintes:

a) ;

b) .


RESOLUÇÃO

a) Vamos, tal como para as equações, tentar colocar duas exponenciais com a mesma base em cada lado da desigualdade. Temos

Como a função exponencial de base 5 (superior a 1) é estritamente crescente, os valores de x que satisfazem a desigualdade são tais que . Então o conjunto solução é .

b) Neste caso é muito difícil escrever 327 como uma potência de base 5, pelo que podemos obter um valor aproximado intersetando os gráficos da função exponencial de base 5 com a função constante igual a 327. Obtemos algo como

x

y

–4 –2 0 2 4

200

400

600

800

Concluímos então que o conjunto solução é definido por aproximação por .


H

HISTÓRIA(S)

Thomas Malthus e a demograia

O economista e demógrafo britânico Thomas Malthus ficou conhecido sobretudo pela teoria segun-do a qual o crescimento da população tende sempre a superar a produção de alimentos, o que se-gundo ele torna necessário o controle da natalidade.Thomas Robert Malthus nasceu em 1766, em Rookery, Surrey, Inglaterra. Em 1798, Malthus publicou ano-nimamente o seu Essay on Population (Ensaio sobre a popu-lação), no qual afirma que a população cresce em progressão geométrica, enquanto a produção de alimentos aumenta em progressão aritmética. Malthus era um pessimista que consi-derava a pobreza como um destino ao qual o homem não pode fugir. A sua obra foi ao mesmo tempo criticada e aplau-dida. Enquanto alguns sectores da sociedade o acusavam de ser cruel, indiferente e até mesmo imoral, economistas de re-nome apoiavam as suas teorias. Na segunda edição da obra, de 1803, Malthus modificou algumas teses mais radicais da primeira edição. Com o tempo, o “malthusianismo” foi incor-porado na teoria económica, atuando como freio de teses mais optimistas. Na segunda metade do século XX, os problemas demográficos mundiais revitalizaram as conceções de Mal-thus, embora a agricultura intensiva tenha permitido aumen-tos de produção muito maiores do que os previstos por ele. A partir de 1805 Malthus tornou-se professor de história e eco-nomia política. Eleito membro da Royal Society em 1819, nos anos seguintes recebeu grande núme-ro de homenagens e honras académicas. Malthus morreu em 23 de Dezembro de 1834.

Em Outubro de 1838, quinze meses depois de ter começado a minha pesquisa sistemática, li por entretenimento Malthus sobre “População”, e como estava bem pre-parado para apreciar a luta pela existência que ocorre em todo o lado devido às minhas longas e persistentes observações dos hábitos dos animais e das plantas, fiquei imediatamente consciente de que nestas circunstâncias as variações favoráveis tenderiam a ser preser-vadas e as desfavoráveis a ser destruídas. O resultado disto seria formação de novas espécies. Aqui tinha enfim uma teoria com que trabalhar; mas estava tão ansioso em evitar ideias preconcebidas que decidi por um certo tempo não redigir sequer o esboço mais breve sobre o assunto. Em Junho de 1842 permiti-me a satisfação de escrever a lápis um resumo muito curto da minha teoria, em 35 pá-ginas.”

in “Autobiografia”, Charles Darwin, Relógio D’Água Editores, Lisboa, 2004, pg. 110.

Tho

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T

TAREFA 9

Lê atentamente os seguintes extratos do “Ensaio sobre o princípio da população” de Malthus (2.ª edição 1803) e responde às questões que se seguem:

“...Estamos convencidos que a população tem esta tendência constante de crescer para além dos meios de subsistência, e que ela pára ao encontrar este obstáculo, percorrendo debaixo deste ponto de vista diferentes períodos da existência social. Mas antes de empreender este trabalho, para tentarmos esclarecer, experimente-mos determinar por um lado qual será o crescimento natural da população se ela for abandonada a ela própria sem nenhum constrangimento e, por outro lado, qual pode ser o aumento de produção das terras em circunstâncias favoráveis à indús-tria de produção. A comparação destas duas formas de crescimento levar-nos-á a conjeturar com alguma precisão o modelo de crescimento da população tendo em conta os meios de subsistência ...

...Mas para nos defendermos de algum exagero, vamos supor um crescimento que não seja demasiado rápido. Vamos ter por base testemunhos e admitir que a po-pulação não encontra mais nenhum obstáculo para além do referido. Então vamos admitir que ela duplica de 25 em 25 anos ...

...Apliquemos esta suposição a toda a terra: conclui-se que ao im de cada perío-do de 25 anos todo o sustento alimentar aumenta um valor igual ao que existia inicialmente...

Ao im de 2 séculos a população estará na relação com os meios de subsistência como 256 está para 9; ao im de 3 séculos como 4096 está para 13; e passados 2 séculos a diferença será imensa e, por isso, incalculável.”

a) Considera que no ano 0 a população é de 1 milhão e as reservas alimentares de 1 milhão de unidades, permitindo nessa altura alimentar toda a população. Procura modelos com funções exponenciais que traduzam o crescimento da população e o dos recursos alimentares para um período de 150 anos.

b) Sabendo que a população portuguesa em 1980 era cerca de 9 337 000 e em 1990 era cerca de 9 363 000 determina o aumento anual da população portuguesa em percentagem.

c) Faz uma composição matemática em que apresentes gráficos e tabelas que tenham ao lado a construção do modelo e comenta os resultados.

d) Quais as possíveis falhas do modelo de Malthus?


LE

LEITURA(S)

Evolução da População Humana

A aplicação do modelo de Malthus à população humana dá origem a grandes controvérsias. Por um lado pode-se constatar que nos últimos séculos a população humana tem seguido uma lei de cres-cimento que parece exponencial. Por outro lado o modelo supõe uma taxa de natalidade uniforme e isso está longe de se verificar na população humana. Tem-se verificado que é entre as populações mais pobres que a taxa de natalidade é maior. Se é previsível que a Terra não pode comportar um número infinito de seres humanos vivos, é um problema decidir o que se pode fazer para evitar um crescimento insustentável. A este propósito citamos a seguinte passagem do relatório “O nosso futu-ro comum” elaborado em 1987 pela Comissão Mundial do Ambiente e do Desenvolvimento:

“Os países industrializados com preocupações sérias quanto à alta taxa de natalidade noutras partes do mundo têm obrigações além do simples fornecimento de caixas com material contraceptivo. O desenvolvimento económico, através do seu impacto indireto nos factores socioculturais, baixa as taxas de nascimento. As políticas internacionais que atuam sobre o desenvolvimento económico têm assim interferência na possibilidade de os países poderem fazer alterar a natalidade. O problema do crescimento populacional deve pois integrar-se no problema mais lato do rápido crescimento socio-económico dos países em vias de desenvolvimento.”

Esta é uma situação em que a aplicação dos modelos matemáticos à realidade e as limitações dos modelos podem ter um impacto muito importante na sociedade.

Cro

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por

Jam

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nd, ht

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jam

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nd/6

1344

5810


Para dar conta das situações em que há um limite máximo para a população que pode viver numa região, Verhulst introduziu em 1836 um modelo que considera que à medida que uma população se aproxima de um certo valor máximo, a taxa de crescimento da população (taxa de natalidade - taxa de mortalidade) se reduz. Em termos da função este modelo exprime-se por

onde é uma constante positiva e é o número máximo de indivíduos suportado pela região. Este modelo chama-se modelo logístico. Note-se que, se a taxa de crescimento da população é da

ordem de quando é pequeno; à medida que se aproxima de essa taxa de crescimento

vai-se aproximando de zero. No caso de a população inicial exceder indivíduos a taxa de cresci-mento torna-se negativa, o que leva a população a reduzir-se.

Não será feita aqui a determinação detalhada das funções que verificam a igualdade acima, mas é fácil verificar que as funções do tipo

são soluções do modelo logístico. Pode agora ser interessante estudar qual a evolução da popula-

ção quando , e . Deve-se notar que a fase inicial de um crescimento

logístico partindo de um muito menor do que , é muito parecida com um crescimento ex-ponencial.

Voltando agora à questão da população humana, pode-se pensar em aplicar este modelo. Se a evolução da população humana for logística, então o crescimento da população deverá começar a abrandar quando se aproximar do máximo suportado pela região em estudo. Pensando na Terra, colocam-se agora algumas questões interessantes:

a) qual será o máximo de população que a Terra pode suportar?

b) será que esta capacidade máxima é constante ou irá variando com a evolução científica e tecnoló-gica? (aqui há que ponderar recursos renováveis, recursos não renováveis e produção de resíduos)

c) nota-se nos países mais desenvolvidos uma clara tendência para a redução da taxa de crescimento da população; será que nos aproximamos do equilíbrio logístico nessas regiões?

À volta destes temas podem ser discutidas questões sociais, ecológicas e éticas importantes. Um sinal do impacto da Matemática na nossa sociedade é que muitos dos pareceres cientíicos e decisões políticas (em economia, ambiente, etc.) são baseados em modelos matemáticos (que, embora mais soisticados do que estes, não deixam de ser apenas modelos matemáticos).



SÍNTESE


Propriedades da função exponencial de base a superior a um:

a) O Domínio é e o Contradomínio é ,

b) ,

c) A função é contínua,

d) ,

e) ,

f) ,

g) A função é estritamente crescente.

h) A função é injetiva

i) O gráfico é do tipo

x

y

0 2 4

5

10

15

20

–4 –2

j) ,


k)

l)

m)

n)


EG


1. Explica como a partir do gráfico da função podes obter os gráficos de

e de .

2. Resolve as equações:

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3. Escreve cada uma das funções seguintes na forma

3.1

3.2

3.3

3.4


3.5

3.6

3.7

3.8

4. Determina os zeros das funções:

4.1

4.2

5. Determina os valores de c e a na função quando os pontos P e Q pertencem ao gráfico de f:

5.1 P(1,1) e Q(2,2)

5.2 P(-1,3) e Q(0,7)

5.3 P(4,5) e Q(5,6)

6. Resolve as equações:

6.1

6.2

7. Um elemento radiativo desintegra-se segundo uma função com t em anos.

7.1 Qual a quantidade do elemento no início do processo?

7.2 Qual a quantidade depois de 500 anos?





8. O ruído de um foguete, em decibéis, é modelado pela função: com t em mi-nutos. Ao fim de quanto tempo o nível do ruído é inferior a 2 decibéis?

9. O crescimento de uma amostra de bac-

térias é dado pela função com t em horas. A que horas é que a população de bactérias atinge 128 bac-térias?

10. A probabilidade, p, de uma pessoa res-ponder a um anúncio pode ser modela-

da pela função onde t é o número de dias desde a divulgação do anúncio.

10.1 Qual é probabilidade de uma pes-soa responder depois de 5 dias, 20 dias e 90 dias?

10.2 Utilizando as capacidades grá-ficas da calculadora determina quando a probabilidade de obter resposta é de 75%;

10.3 Se estivesses a planear uma cam-panha de marketing, como usa-rias este modelo para a introdução de um novo produto no mercado?

11. Resolve recorrendo à calculadora as equações

11.1

11.2

11.3

12. Calcula os limites seguintes:

12.1

Roc

ket

por

Mar

tin,

htt

p://

ww

w.l

ickr

.com

/pho

tos/

mts

haw

/564

7666

247


12.2

12.3

12.4

12.5

Relete ↑ ↑ ↑

13. Vimos que se uma empresa dá aos seus empregados um aumento do salário mensal de 4% ao ano, com o salário mensal inicial de 1000 euros, a fórmula geral que descreve a evolução do salário mensal S(t) em cada ano t é

13.1 Determina a fórmula que descreve a evolução do salário mensal quando o aumento é de r% ao ano e o salário mensal inicial é de L.

13.2 Determina a fórmula que descreve a evolução do salário mensal quando o aumento é de r% ao mês.

14. Usando uma calculadora gráfica ou computador esboça o gráfico das funções definidas por

e

no retângulo de visualização .

14.1 A partir deste gráfico identifica os valores onde

14.1.1

14.1.2

14.1.3

14.2 Quando , qual das funções cresce mais depressa?

15. Resolve a equação:


CONSELHOS PARA OS EXAMES N.º 7

Como resolver equações exponenciais

Resolver uma equação exponencial é, no fundo, resolver uma equações polinomial do primeiro ou do segundo grau (as únicas fáceis de resolver) como se a exponencial fosse a incógnita. Vê só o paralelo

entre os dois tipos de equações, onde :

Ou seja, pode ajudar a resolver uma equação exponencial substituindo logo por z. Poderá surgir uma diiculdade se aparecer mais do que uma exponencial, mas aí terás de usar as propriedades da exponencial de modo a icares só com uma (ainda é muito cedo para resolveres equações com duas variáveis...)

IEItens de exame

Escolha Múltipla

1. Sabe-se que o ponto P (1,3) pertence ao gráfico da função

Qual o valor de a?

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) -2

2. Sejam a e b dois números reais positivos.

–1.0 –0.5 0.0 0.5 1.0

1

2

3

4

x

f

y


Na figura está parte do gráfico de uma função , de domínio e definida por

Tal como a figura sugere, os pontos (0,2) e (1,3) pertencem ao gráfico de .

Quais são os valores de e de ?

(A) (B) (C) (D)

3. Considera as funções , de domínio , definidas por:

Qual é o conjunto solução da inequação ?

(A) Conjunto vazio (B) − (C) + (D)

Resposta Aberta

4. No início de 1972, havia quatrocentos lobos num determinado parque natural.

As medidas de proteção a lobos fizeram com que o referido número aumentasse continuamen-te. Os recursos do parque permitem que o número de lobos cresça até bastante perto de um milhar, não permitindo que este valor seja ultrapassado.

Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a função P que dá o número aproximado de lobos existentes no parque natural, t anos após o início das medidas

Wol

f 2

por

Rob

ert

Dew

ar, ht

tp:/

/ww

w.l

ickr

.com

/pho

tos/

frem

lin/2

3844

7834

5


de proteção:

(A) (B) (C) (D)

Qual é a expressão correta? Numa composição, com cerca de dez linhas, explica as razões que te levam a rejeitar as outras três expressões (apresenta três razões diferentes, uma por cada expressão rejeitada).

Nota: poder-te-á ser útil recorrer às capacidades gráficas da tua calculadora. Se o fizeres, deves reproduzir o(s) gráfico(s) obtido(s).

5. Numa pastelaria a temperatura ambiente é constante. Admite que a temperatura, em graus Celsius, de um café servido nessa pastelaria t minutos após ter sido colocado na chávena, é dado por:

, (e designa o número de Euler)

5.1 Determina a temperatura do café no instante em que é colocado na chávena.

5.2 Com o decorrer do tempo, a temperatura do café tende a igualar a temperatura am-biente. Indica, justificando, a temperatura ambiente.

5.3 Quanto tempo decorre entre o instante em que o café é colocado na chávena e o ins-tante em que a sua temperatura atinge 65 graus Celsius? Apresenta o resultado em minutos e segundos.

6. A função h é uma função real de variável real definida por:

.

6.1 Determina o domínio e o contradomínio de h.

6.2 Resolve em a equação .


PG


1. Resolve, em , as equações:

1.1

1.2

2. A concentração no sangue de um certo tipo de anestesia é dada pela função onde 100 representa a dose inicial em mg e t o tempo em minutos decorrido desde a admi-nistração da anestesia.

2.1 Que quantidade de anestesia tem o doente ao fim de 10 minutos? E de uma hora?

2.2 Para se realizar uma operação que dura meia hora é necessário que a quantidade de anestesia no paciente não seja inferior a 28 mg. Calcula ao fim de quanto tempo o paciente deve ser injetado de novo.

2.3 Será suficiente uma dose de 50 mg para terminar a operação?

3. A receita R(x), em euros, com a venda de um produto varia com o tempo de acordo com a função:

em que é o número de semanas que passaram desde que o produto é colocado no mercado. Qual será a receita, como o tempo passa?

918. Função logarítmica


As árvores que crescem devagar dão o melhor fruto.

Molière (1622-1673)

Já descoberto tínhamos diante,Lá no novo Hemisfério, nova estrela,

Não vista de outra gente, que ignoranteAlguns tempos esteve incerta dela.

in “Lusíadas-Canto V” de Luís de Camões

Vimos no capítulo anterior que a função exponencial de base superior a 1 é uma função injetiva (por ser estritamente crescente). Isto significa que se pode inverter a função exponencial e obter a função inversa, uma nova função que vai permitir responder rapidamente a questões como: “Qual o valor de A tal que

?”

A função exponencial é rica em propriedades: que propriedades passarão para a função inversa? E o crescimento exponencial como se traduzirá na função inversa?

Dada a função exponencial de base a

a função inversa, chamada função logaritmo de base a, será

Então o domínio da função logaritmo é , ou seja só há logaritmos de números reais positivos. Da definição resulta imediatamente que

(1.1)

e que

(1.2)

92 8. Função logarítmica

Estas são duas propriedades muito úteis, ligando exponenciais e logaritmos.

Os gráficos das duas funções são simétricos relativamente à reta y = x, a bissetriz dos quadrantes ímpares, por as funções serem inversas uma da outra:

–10 –5 5 10

–10

–5

5

10

x

y

A primeira observação suscitada por este gráfico é que a função logaritmo também é crescente. Pode não ser um crescimento exponencial, que não é, mas é um crescimento logarítmico. Mais tarde voltaremos ao tema.

Que outras propriedades da função logarítmica nos sugere a definição da função logarítmica e o respetivo gráfico? Temos:

a) O Domínio da função logarítmica é e o Contradomínio é .

b) .

c) Se x > 1 então e se 0 < x < 1 então .

d) a função logarítmica é contínua.

e) O transformado do produto de dois números reais positivos é igual à soma dos transformados desses dois números reais.

Esta última propriedade merece alguma reflexão. Tínhamos visto para a função exponencial que

,

Se fizermos e então teremos


Mas, pela propriedade (1.2), podemos escrever esta igualdade como

Pela definição de logaritmo de base a, o expoente da exponencial da esquerda é igual ao logaritmo do membro da direita, ou seja,

Concluímos então que o logaritmo do produto de dois números reais (positivos) é igual à soma dos logaritmos dos fatores. Esta propriedade tem uma consequência interessante quando

. Vem então

como , vem que

Daqui tiramos ainda outra propriedade importante. Tomando na igualdade inicial, vem:

e aplicando a propriedade que acabámos de obter, virá:

Note-se que este igualdade, assim como as anteriores, só são válidas para números positivos, pois os logaritmos só estão definidos para números positivos.

Por observação do gráfico conjeturamos que

,

Pode ser provado que esta mesma propriedade é válida para todas as funções logarítmicas de base superior a um.

Quando a base for igual a 10, o logaritmo chama-se logaritmo decimal e designa-se apenas por log, quando a base for o número de Euler e, designa-se por logaritmo natural e escreve-se simples-mente ln.


T

TAREFA 1

a) Completa a tabela:

x - 4 - 2 - 1 1 3

y = x 0,001 0,1 1 100 1000

O número a que temos que elevar 10 para obter, por exemplo, 0,01 é –2. Sabemos que isto é o mes-

mo que dizer que –2 é o logaritmo na base 10 de 0,01 e escrevemos ou simplesmen-

te . Tal poderá não será tão fácil de concluir para outros valores, mas se não o con-seguires podes sempre obter uma aproximação recorrendo à calculadora.

b) Calcula o logaritmo de 40 na base 10, a menos de

i) 1 unidade ii) 0,1 iii) 0,01 iv) 0,001

c) Calcula o logaritmo na base 2 de 40, a menos de

i) 0,01 ii) 0,001

d) Calcula o logaritmo na base e de 40, a menos de 0,001.


T

TAREFA 2

a) Considera as funções

i) Representa-as graficamente.

ii) Em cada caso indica o domínio, o contradomínio e os zeros.

iii) Compara as funções y7 e y8.

b) Fazendo variar cada um dos parâmetros faz o estudo das seguintes famílias de funções:

i) ii) iii)


c) Quantas soluções tem a equação ?


T

TAREFA 3

Esboça os gráficos das funções:

a) ;

b) ;

e, em cada alínea, justifica porque é que as funções f e g não são idênticas.


Crescimento logarítmicoMuitas situações reais são bem modeladas usando funções logarítmicas. Por exemplo, a célebre es-cala de Richter que mede a intensidade dos terramotos é construída usando logaritmos.

T

TAREFA 4

A velocidade de crescimento logarítmico

x log x log ( log x ) log ( log ( log x ))

103 3

1010 10

1030 30

10100 100

10300 300

101 000 1 000

101 000 000 1 000 000


Copia a tabela para o teu caderno e completa-a. Compara a velocidade de crescimento de cada uma das funções. Em cada caso, qual te parece ser o limite em ?

Frequentemente, precisamos de comparar a velocidade de crescimento de duas ou mais variáveis. Essas comparações tornam-se mais fáceis quando sabemos comparar a velocidade de crescimento de

funções simples tais como ou seja de funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas. O modo mais simples de compararmos o cresci-mento do logaritmo com o de y = x, y = x 2, y = x 3, y = x 4, etc, é estudar o crescimento no infinito dos quocientes:

, , , etc.

Observa o quadro abaixo e indica qual parece ser o limite de quando x tende para .

x

10 0,1 0,01 0,001

100 0,02 0,000 2 0,000 002

1000 0,003 0,000 003 0,000 000 003

10 000 0,000 4 0,000 000 04 0,000 000 000 004

100 000 0,000 05 0,000 000 000 5 0,000 000 000 000 005

Pode-se provar que o crescimento logarítmico é efetivamente muito lento, tão lento, tão lento, que é inferior ao de qualquer polinómio. Pode-se provar que, para todo o real p,

ou seja, uma função logarítmica de base superior a um cresce para infinito mais lenta-mente do que qualquer potência do seu argumento.

Escalas logarítmicasA tabela seguinte dá-nos a distância ao Sol (em milhões de quilómetros) de vários planetas do Sis-tema Solar, assim como da estrela mais próxima de nós (a estrela Alfa da constelação do Centauro), de uma Galáxia e de um quasar.


ObjetoDistância (milhões de quilómetros)

Mercúrio 58

Vénus 108

Terra 149

Marte 228

Júpiter 778

Saturno 1426

Úrano 2869

Neptuno 4495

Plutão 5900

Alfa do Centauro

Galáxia Andrómeda

Quasar 3C 273

Tentemos representar estes objetos numa escala linear.

0 200 400 600 800 1000

0 2000 4000 6000 8000 10 000

0 2×1022 4 1022 6 1022 8 1022 1 1023× × × ×

Mercúrio

Vénus

Terra Marte Júpiter

distâncias, em milhões de quilómetros (106 km)



Júpiter Saturno

Alfa do Centauro

Galáxia Andrómeda

Quasar 3C 273

Úrano Neptuno

Neptuno

Etc.

Mercúrio

Plutão

Plutão

Gal

ex: T

he A

ndro

med

a G

alax

y po

r G

ALE

X, JP

L Cal

tech

e N

ASA

, ht

tp:/

/apo

d.na

sa.g

ov/a

pod/

ap12

0518

.htm

l


Se cada pixel (ponto no écran) representar 10 milhões de quilómetros, não conseguiremos repre-sentar todos os objetos astronómicos referidos. Supondo que 1 cm são cerca de 100 pixels, 1 cm representará 1000 milhões de quilómetros. Para representar o quasar precisaríamos então de uma

fita com cm, ou seja, quilómetros (muitos milhões de quilómetros... uma tarefa um pouco difícil...)

Os logaritmos podem ajudar-nos na nossa tarefa. Em vez de representar as distâncias de forma linear, representemos os logaritmos das distâncias. Retomemos a tabela

ObjetoDistância (milhões de

quilómetros)Logaritmo decimal da

distância

Mercúrio 58 1,8

Vénus 108 2

Terra 149 2,2

Marte 228 2,4

Júpiter 778 2,9

Saturno 1426 3,2

Úrano 2869 3,5

Neptuno 4495 3,7

Plutão 5900 3,8

Alfa do Centauro 4,1 × 107 7,6

Galáxia Andrómeda 13,4

Quasar 3C 273 22,4

Agora é fácil fazer uma representação do sistema solar, basta uma fita de uns 23 cm!

23

MercúrioTerra

logaritmo da distância (em milhões de quilómetros, 106 km)

Alfa do Centauro Galáxia Andrómeda Quasar 3C 273

Plutão

0 5 10 15 20 25

Conseguimos representar todos os objetos, mas cuidado, não é uma representação numa escala line-

ar, mas sim uma escala logarítmica.


T

TAREFA 5

Representa numa escala logarítmica os seguintes acontecimentos da história do nosso planeta.

AcontecimentoIdade (em milhões de

anos)

A Terra forma-se 4450

Primeiras plantas 2500

Aparecem os vertebrados 570

Aparecem os dinossauros 245

Desaparecem os dinossauros 67

Aparecem gatos e cães 37

Fósseis de homens macacos 5

Aparece o Homo Erectus 1

Din

osau

rs A

live!

@ D

orne

y Par

k po

r Le

high

Val

ley, h

ttp:

//w

ww

.lic

kr.c

om/p

hoto

s/le

high

valle

ypa/

6964

3595

44


Propriedades da função logarítmicaJá vimos que

e .

Vamos usar estas igualdades para calcular o logaritmo de uma exponencial com bases diferentes. Temos que

Na fórmula anterior, façamos . Obtemos

Esta é a chamada fórmula de mudança de base, pois permite passar duma base para outra:

TR

TAREFA RESOLVIDA 6

Determina os logaritmos decimais das seguintes quantidades:

a)

b)

RESOLUÇÃO

Usando as propriedades dos logaritmos temos que:

a)

b)


A NÃO ESQUECER

Além da deinição de logaritmo foram usadas duas propriedades essenciais dos

logaritmos: e .

TR

TAREFA RESOLVIDA 7

Resolve a equação logarítmica

RESOLUÇÃO

Temos que a equação dada é equivalente a

Pela propriedade que diz que o logaritmo do produto de dois números reais (positivos) é igual à soma dos logaritmos dos fatores esta equação é equivalente a

(1.3)

Mas observemos que só temos equivalência se ambos os número originais x e 5 – x forem ambos positivos como a propriedade exige; assim terá de ser

Mas a equação obtida (1.3) é equivalente a

esta equação do 2º grau tem raízes 1 e 4 pelo que, como estão ambas entre 0 e 5, as soluções da equação dada são exatamente 1 e 4.

A NÃO ESQUECER

Como os logaritmos estão deinidos apenas para quantidades positivas, nunca nos podemos esquecer das restrições de aplicação das propriedades da função loga-rítmica.


TR

TAREFA RESOLVIDA 8

Determina o domínio da função definida por .

RESOLUÇÃO

Sabemos que a função está bem definida se o denominador não for nulo, se o radicando da raiz pre-sente for positivo ou nulo e se o logaritmo está bem definido. Assim, conjugando as três condições, terá de ser

Mas o logaritmo de base maior do que um de um número é positivo quando esse número for superior à base. Assim terá de ser

e o conjunto solução é .

A NÃO ESQUECER

Como a função logarítmica (de base superior a um) é estritamente crescente, é fácil determinar o intervalo de variação em cada situação.

EXERCÍCIOS

1. Mostra que .

2. Usando as propriedades dos logaritmos calcula .

3. Resolve a equação .

4. Determina o domínio da função definida por .


H

HISTÓRIA(S)

História dos logaritmos

Nos fins do século XVI a matemática estava em pleno desenvolvimento. Vários dos seus ramos, que começavam a individualizar-se, progrediam com rapidez. A astronomia separava-se da astrologia judiciária à qual estivera sempre mais ou menos ligada (grandes astrónomos como Tycho Brahe e Kepler foram astrólogos).

As grandes navegações, pois estávamos na época do descobrimento dos grandes caminhos maríti-mos, faziam apelo à astronomia e à trigonometria. Pedro Nunes, num trecho do Tratado em de-fensam da carta de marear, afirmava:

“Ora manifesto he que estes descobrimentos de costas, ylhas, e terras irmes, nam se fezeram, indo a acertar: mas partiam os nossos mareantes muy ensinados e providos de estromentos e regras de astrologia e geometria...”

O estudo do movimento dos planetas começava a fazer-se cientificamente e conduzia a cálculos laboriosos. A trigonometria, indispensável à navegação e à astronomia, requeria a construção de complicadas tabelas.

Em todos os campos os cálculos longos eram tarefas fastidiosas dos matemáticos. E no entanto alguns havia que se compraziam em concursos de habilidade na realização de complicadas multipli-cações e divisões. Viète, por exemplo, divertia-se a efetuar cálculos aritméticos bastante laboriosos, que, por vezes, lhe roubavam dias de trabalho, e cujos resultados, e geral, não tinham outra utilida-de do que provar o engenho e paciência do seu autor.

Fazia-se assim sentir a necessidade de novos métodos de cálculo que facilitassem tais tarefas. É en-tão que, em 1614, John Napier (em latim Neper), barão de Merchiston, homem de extraordinária inteligência, publica o seu livro “Mirifici Lo-garithmorum Canonis Descriptio, ejusque usus in utraque Tri-gonometria, etc.”, no qual expõe o uso dos logaritmos. Tratava-se de uma tabela dos logaritmos dos senos dos arcos do 1.º quadrante, calcu-lados de minuto a minuto.

Se esta invenção tem chegado ao conhecimento de Kepler mais cedo ter--lhe-ia reduzido o longo trabalho de 22 anos dos cálculos que fez para a estabelecer as leis do movimento dos planetas. Foi esse convencimento, decerto, que fez de Kepler um dos mais entusiastas divulgadores do mé-todo dos logaritmos.

In “Compêndio de Álgebra” de J. Sebastião e Silva, J.D. da Silva Paulo


Escala de RichterO cientista americano Charles F. Richter trabalhou, juntamente com outro cientista americano Beno Gutenberg, para tentar obter um método fácil para fazer uma ordenação dos terramotos. Estudaram um trabalho do cientista japonês K. Wadati que tentava classificar os terramotos fa-zendo gráficos da destruição máxima no solo em função da distância ao epicentro do terramoto. Mas, segundo Richter, “the range between the largest and smallest magnitudes seemed unmanageably large” (a amplitude do intervalo entre a maior e a menor magnitudes parecia ser incontrolavelmente grande). Então Gutenberg sugeriu que se usasse uma escala logarítmica. Richter fez isso e ficou tão admirado com a simplicidade do resultado que obteve que considerou que “I was lucky because logarithmic plots are a device of the devil. I saw that I could now rank the earthquakes one above the other.” (Eu tive sorte porque as escalas logarítmicas são um instrumento do diabo. Eu vi que conseguia agora ordenar os terramotos um acima do outro.)

Com efeito a fórmula de Richter define a magnitude de um terramoto a partir da amplitude das ondas sísmicas medidas por determinado tipo de sismógrafos. Temos então, usando logaritmos de-cimais, que a Magnitude de um terramoto é dada por

onde A designa a amplitude máxima das ondas sísmicas num local, medida pelo sismógrafo, e A0

designa um valor de referência relativo ao mesmo local (que depende apenas da distância ao epi-centro do terramoto). Assim é possível comparar facilmente sismos cujas amplitudes tenham ordem de grandeza milhares de vezes superior a outros. Os logaritmos também são úteis para relacionar a energia libertada por um sismo. A expressão

permite relacionar a quantidade aproximada de energia E, em ergs, libertada num sismo com a magnitude M, medida na escala de Richter, do mesmo sismo.

TR

TAREFA RESOLVIDA 9

Apesar de não haver registos sismográficos, estima-se que o terramoto que assolou a cidade de Lis-boa no dia 1 de Novembro de 1755 e terá feito mais de 10 mil mortos, teve magnitude 9 na escala de Richter. O terramoto que assolou a localidade de Loma Prieta perto de S. Francisco na Califórnia no dia 18 de Outubro de 1989 e causou 63 mortos, feriu 3757 pessoas e deixou mais de 3000 pessoas sem casa, teve magnitude 7,1. Determina quantas vezes o terramoto de Lisboa foi mais forte que o terramoto de Loma Prieta.


RESOLUÇÃO

Se EL e M

L representarem a Energia e Magnitude associadas ao terramoto de Lisboa e E

LP e M

LP

representarem a Energia e Magnitude associadas ao terramoto de Loma Prieta, temos que

e .

Como é dado que ML = 9 e M

LP = 7,1 , podemos fazer a comparação entre as duas energias liber-

tadas:

Por definição de logaritmo isto significa que

Concluímos então que a energia libertada pelo terramoto de Lisboa foi mais de 700 vezes superior à energia libertada pelo terramoto de Loma Prieta na Califórnia, EUA.

A NÃO ESQUECER

Foi essencial na resolução desta tarefa a igualdade que permite determinar o lo-

garitmo de um quociente: .


T

TAREFA 10

Os cientistas estudam os terramotos para tentar prever quando ocorrem, o que é extremamente difícil. Para ajudar nesse trabalho existem bases de dados de terramotos, para melhor estudar as suas características. A “Global Significant Earthquake Database” contém dados de terramotos des-de 2150 a.C.:

http://www.ngdc.noaa.gov/hazard/earthqk.shtml

a) Recorrendo a esta base de dados encontra dois terramotos que tenham 1 unidade de magnitude a menos do que o terramoto que assolou a cidade de Lisboa no dia 1 de Novembro de 1755.

b) Mostra que a um aumento de uma unidade de magnitude na escala de Richter corresponde um sismo em que a energia desenvolvida é cerca de 30 vezes maior.

c) Mostra que um sismo em que a energia é 10 vezes superior a outro tem um acréscimo de magni-tude de apenas 0,67 na escala de Richter.

d) Usando o resultado da alínea anterior encontra na base de dados um terramoto que tenha liber-tado 10 vezes mais energia do que o terramoto com a magnitude de 6,7 na escala de Richter que assolou os Açores em 1980.

http://www.ngdc.noaa.gov/hazard/earthqk.shtml


LE

LEITURA(S)

‘O que importa é a forma de reletir’

Aos 38 anos, Cédric Villani é considerado um dos maiores matemáticos da atualidade. Em 2010, ele foi o vencedor da Medalha Fields - considerada como equivalente a um Prêmio Nobel da matemática - por conta de sua pesquisa sobre amortecimento de Landau e equação de Boltzmann. Atualmente, o francês estuda certas equações extremamente complexas. E é justamente por causa do extenso currículo que inclui outros prêmios, como o Jacques Herbrand, concedido pela Academia de Ciências da França, que Villani surpreende. O cientista em nada lembra a figura de um professor de mate-mática clássico, sério e formal. Dono de um estilo original e excêntrico, o cientista costuma usar lenços como gravata e está sempre com um misterioso broche de aranha, cujo significado ele não revela. Nos últimos dias, os brasileiros tiveram a sorte de conhecer o matemático, pai de dois filhos, que veio fazer conferências no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa), na Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) e na Universidade de São Paulo (USP).

Divulgando a sua ciência pelo mundo

Villani, que é diretor do Instituto Henri Poincaré e professor da Universidade de Lyon, na França, viaja pelo mundo para divulgar o seu trabalho e contribuir para a popularização da ciência. E por onde passa, costuma atrair um público variado. Para a sua palestra na UFRJ, realizada no dia 15 de Agosto de 2012, foi necessário mudar para um auditório mais espaçoso, por conta da quantidade enorme de pessoas ansiosas para ouvir o famoso matemático. No final da apresentação, Villani foi rodeado por estudantes que queriam cumprimentá-lo, fazer perguntas e tirar fotos com ele. “Di-vulgar a ciência é importante para permitir que a população conheça mais, e eu trabalho nisso de forma diversificada”, conta. “Faço apresentações em escolas de ensino básico e ensino secundário, em universidades, comunico com todos os estudantes, publico livros voltados para todos os tipos de público, dou entrevistas para a televisão, rádio, jornais. Tento tornar a minha ciência acessível para todos através dos mais diversos meios.”

Céd

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k/69

8320

8829


A matemática na visão do matemático

Além disso, Cédric Villani ressalta que a interdisciplinaridade tem um papel crucial atualmente. “Vivemos um avanço tecnológico impressionante e isso acontece, em parte, graças à relação entre todos os campos de estudo. Sem essa conexão entre as áreas da ciência, não conseguimos avançar mais. Por exemplo, a criação desse iPod (Villani aponta para o aparelho da Apple sobre a mesa) é fruto do trabalho de milhares de pessoas, entre elas engenheiros, físicos, tecnólogos, cientistas da computação e até mesmo matemáticos. É importante que todos trabalhem juntos.”

O cientista francês comentou que a matemática é uma ciência que ampara as outras, oferecendo uma base para seus estudos. Entretanto, muitas pessoas consideram, erradamente, que ela é uma ciência “parada”, “finalizada”, que não envolve novas descobertas. “A matemática é um campo bas-tante desconhecido para nós, pois ainda existem muitos problemas que não sabemos resolver - mais do que aqueles que já conhecemos. Talvez até mesmo por causa disso, os estudantes tendem a ter medo da matemática, o que acaba os afastando”, afirma Villani.

Ele diz que, por conta disso, é importante ensinar essa disciplina de uma maneira original e atra-ente. Há também a questão de que a matemática ensinada nas escolas é muito antiga, tendo mais de 200 anos. “Isso não é algo propriamente ruim, mas sempre há formas de atualizá-la. O fato é que a matemática não é muito natural para o ser humano, e isso acaba distanciando um pouco os estudantes dessa ciência. É preciso treinar esse pensamento lógico típico da matemática, pois ele não é inerente a nós.”

Villani declara que o interessante na matemática é que ela não está tão vinculada à busca de resul-tados - o que importa mais é a forma de refletir.

Além disso, nessa disciplina, é possível provar um teorema por si próprio. “Nas outras ciências em geral, você tem que acreditar no que ouve. Em biologia, por exemplo, nós aprendemos sobre o que é uma célula, mas nunca vimos uma de fato. Temos que crer que ela está lá. Na matemática, você pode testar por conta própria tudo aquilo que o professor conta e comprovar, com os seus cálculos, que se trata de uma verdade.”

In Academia Brasileira de Ciências, 16/08/2012


SÍNTESE


Propriedades da função logarítmica de base a superior a um:

a) O Domínio da função logarítmica é e o Contradomínio é .

b) , .

c) .

d) Se x > 1 então e se 0 < x < 1 então .

e) A função logarítmica é contínua.

f) Os gráficos da função exponencial e da função logarítmica são simétricos relativamente à reta y = x, a bissetriz dos quadrantes ímpares:

–10 –5 5 10

–10

–5

5

10

y

g) O logaritmo do produto de dois números reais (positivos) é igual à soma dos logaritmos dos fatores:


h)

i) , desde que w seja positivo.

j) , desde que z e w sejam positivos.

k) desde que b seja positivo.

l) ,

m) Uma função logarítmica de base superior a um cresce para infinito mais lentamente do que qualquer potência do seu argumento:

n) A fórmula de mudança de base permite passar duma base para outra:

Quando a base for igual a 10, o logaritmo chama-se logaritmo decimal e designa-se apenas por log, quando a base for o número de Euler e, designa-se por logaritmo natural e escreve--se simplesmente ln.


EG


1. Calcula o valor de a que verifica cada uma das igualdades:

1.1

1.2

1.3

2. Escreve como um só logaritmo

3. Indica o valor exato de:

3.1

3.2

4. Considera a função .

4.1 calcula a imagem de ln 3.

4.2 Determina em o conjunto solução da inequação .

5. Considera a função real de variável real definida por . Determina:

5.1 O domínio da função

5.2 Os zeros

5.3 O valor da variável independente para o qual a variável dependente é igual 1


5.4 Os valores do domínio para os quais


6. Resolve as equações sem usar a calculadora:

6.1

6.2

6.3

7. Determina o valor exato em que a função interseta o eixo Ox.

8. Determina o valor exato do zero da função .

9. Determina o domínio de

10. Uma população de bactérias cresce de acordo com a função onde c e k são cons-tantes e b(t) representa o número de bactérias em função do tempo t em minutos. Sabe-se

que no instante t = 0 havia bactérias. Em quanto tempo haverá 107 bactérias, se em 12

minutos há bactérias? Apresenta o resultado em minutos e segundos.

11. Resolve recorrendo à calculadora as equações:

11.1

11.2

12. A probabilidade, p, de uma pessoa responder a um anúncio pode ser modelada pela função

onde t é o número de dias desde a divulgação do anúncio.

Life

on

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por

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7409

211

http://www.flickr.com/photos/adonofrio/4477409211/sizes/z/in/photostream/


12.1 Qual é probabilidade de uma pessoa responder depois de 5 dias, 20 dias e 90 dias?

12.2 Utilizando as capacidades gráficas da calculadora determina quando a probabilidade de obter resposta é de 75%?

12.3 Se estivesses a planear uma campanha de marketing, como usarias este modelo para a introdução de um novo produto no mercado?

Relete ↑ ↑ ↑

13. Aplicando as propriedades dos logaritmos prova que:

13.1

13.2

14. Prova que .

15. Mostra que se os valores de uma variável x crescerem em progressão geométrica de razão r > 0, com o primeiro termo u1 > 0, os logaritmos de x, em qualquer base, crescerão em progressão aritmética.

16. Discute porque é que as igualdades seguintes não são verdadeiras para valores de x inferiores a -5, apesar do membro da esquerda da igualdade estar definido para esses pontos:

16.1

16.2

Old

Adv

ertise

men

t of

tob

acco

por

pau

krus

, ht

tp:/

/ww

w.l

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.com

/pho

tos/

pauk

rus/

4458

2743

47

http://www.flickr.com/photos/paukrus/4458274347/sizes/o/in/photostream/


CONSELHOS PARA OS EXAMES N.º 8

Cuidado com os logaritmos

Os logaritmos têm propriedades totalmente novas em relação ao que é habitual. Por isso é mais fácil errar as propriedades dos logaritmos ou, sob o stresse do exame, misturar os sinais todos. Que cuidados é preciso ter? As propriedades mais úteis são as seguintes:

a) O logaritmo do produto de dois números reais (positivos) é igual à soma dos logaritmos dos fatores:

b) , desde que w seja positivo.

c) , desde que z e w sejam positivos.

d) desde que b seja positivo.

Note-se que estas propriedades só são válidas se os logaritmos envolvidos estiverem bem definidos, ou seja, se os respetivos argumentos forem positivos.

Mas qual será o valor de uma expressão como

?

É uma pena, mas não há fórmula especial para o logaritmo de uma soma! O stresse do exame pode levar a confundir esta expressão com a fórmula da alínea a). Como ter a certeza para qual das ex-pressões a fórmula é a correta? Uma das táticas consistem em experimentar alguns valores particu-lares. Como, tomando z=w=a,

vê-se mais uma vez que não há fórmula simples para o logaritmo de uma soma.

Usa os mesmos argumentos para provar que não há fórmula especial para ou para provar que

(Sugestão. Escolhe z = w = 10).


IE

Itens de exame

Escolha múltipla

1. Seja g a função, de domínio , definida por

Considera, num referencial o.n. xOy, um triângulo [OAB] tal que:

- O é a origem do referencial;

- A é o ponto de ordenada 5;

- B é o ponto de interseção do gráfico da função g com o eixo das abcissas.

Qual é a área do triângulo [OAB]?

(A) (B) (C) (D)

2. Seja um número real positivo.

Qual das expressões seguintes é igual a

( designa logaritmo de base ; designa logaritmo de base 10.)

(A) (B) (C) (D)

3. Seja a função , de domínio , definida por .

Qual dos pontos seguintes pertence ao gráfico de ?

(A) (B) C) (D)

4. Sabendo que:

( designa logaritmo na base ),

um valor possível para é:

(A) 0 (B) –1 (C) 1 (D) 2


5. Seja a função, de domínio , definida por

( designa logaritmo de base e)

Qual das seguintes expressões pode também definir ?

(A) (B) (C) (D)

Resposta Aberta

6. Para um certo valor real de k, admite que a quantidade de combustível, em litros, existente no depósito de uma certa máquina agrícola, minutos após ter começado a funcionar, é dada aproximadamente por:

Considera que essa máquina agrícola funcionou durante 20 minutos e que, nesse período de tempo, consumiu 2 litros de combustível. Determina o valor de recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

7. Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B. Às zero horas do dia 1 de Março de 2010, cada lago recebeu uma espécies diferente de nenú-

fares, a saber, Victoria amazonica e Victoria cruziana. é o número aproximado

de nenúfares existentes no lago A, t dias após as zero horas do dia 1 de Março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvem-se segundo o modelo

.

é o número aproximado de nenúfares existentes no lago B, t dias após as zero horas

do dia 1 de Março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e desenvol-vem-se segundo o modelo

.

Resolve os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

7.1 Como foi referido, às zero horas do dia 1 de Março de 2010, o lago A recebeu um certo número de nenúfares da espécie Victoria amazonica. Decorridos 7 dias, esse número aumentou. Determina de quanto foi esse aumento. Apresenta o resultado com arredon-


damento às unidades.

7.2 Determina quantos dias foram necessários, após as zero horas do 1 de Março de 2010, para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfa-res existentes no lago B. Apresenta o resultado aproximado às unidades.

8. Na internet, no dia 14 de Outubro de 2009, pelas 14 horas, colocaram-se à venda todos os bilhetes de um espetáculo. O último bilhete foi vendido cinco horas após o início da venda. Admite que, horas após o início da venda, o número de bilhetes vendidos, em centenas, é dado, aproximadamente por

Resolve os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

8.1 Mostra que

8.2 Determina quanto tempo foi necessário para vender 2400 bilhetes.

Apresenta o resultado em horas e minutos. Se utilizares a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que procederes a arredondamentos, usa três casas decimais, apresentando os minutos arredondados às unidades.

9. Considera a função , de domínio , e a função , de domínio , definidas por

.

9.1 Mostra que é o único zero da função f, recorrendo a métodos exclusiva-mente analíticos.

9.2 Considera, num referencial o.n. xOy, os gráficos das funções e e o triângulo [OAB]. Sabe-se que:

- O é a origem do referencial;

- A é B são pontos do gráfico de

- a abcissa do ponto A é o zero da função

- o ponto B é o ponto de interseção do gráfico da função com o gráfico da função

Determina a área do triângulo [OAB], recorrendo à calculadora gráfica.

Na tua resposta, deves:


- reproduzir os gráficos das funções e , devidamente identificados, incluindo o referencial;

- assinalar os pontos A e B

- indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto B com arredondamento às décimas.

10. Sejam as funções e , de domínios e , respetivamente, definidas por

e por .

Determina, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, o conjunto solução da con-

dição . Apresenta o resultado sob a forma de intervalo real.

11. Considera a função , de domínio , definida por , e a função

, de domínio , definida por (ln designa logaritmo de base e). Indica as

soluções inteiras da inequação , recorrendo às capacidades gráficas da tua calculadora.

Para resolver esta inequação, percorre os seguintes passos:

- visualiza as curvas representativas dos gráficos das duas funções;

- reproduz, na tua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calcu-ladora;

- assinala, ainda, os pontos A e B, de interseção dos gráficos das duas funções, indican-do as suas coordenadas, com aproximação às décimas.

12. Considera, num referencial ortonormado xOy, os gráficos das funções f e g, de domínio

definidas por e (ln designa logaritmo de base e). Determi-

na a área de um triângulo [OAB], com aproximação às décimas, recorrendo às capa-cidades gráficas da tua calculadora.

Para construir o triângulo [OAB], percorre os seguintes passos:

- visualiza as curvas representativas dos gráficos das duas funções, no domínio indi-cado;

- reproduz, na tua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calcu-ladora;


- assinala, ainda:

- a origem O do referencial;

- o ponto A de interseção do gráfico das duas funções, indicando as suas coorde-nadas, com aproximação às décimas;

- o ponto B de interseção do gráfico da função g com o eixo Ox

13. Seja a função, de domínio [1,5], definida por (ln designa logaritmo na base e). Na figura está representado, em referencial ortonormado xOy, o gráfico da função f.

y

P

1 2 3 4 5 6

x

Considera que um ponto P se desloca ao longo do gráfico de . Para cada posição do ponto P, considera o retângulo em que um dos lados está contido no eixo Ox, outro na reta de

equação e os outros dois nas retas vertical e horizontal que passam pelo ponto P. Exprime a área do retângulo em função da abcissa de P, e, recorrendo à calculadora gráfica, determina a abcissa de P (aproximada às centésimas) para a qual a área do retângulo é má-xima. Apresenta os elementos recolhidos na utilização da calculadora:

- o gráfico obtido;

- o ponto de ordenada máxima e respetivas coordenadas.


PG


1. O valor de é:

(A) 2 (B) 2b (C) (D)

2. Sendo então é equivalente a:

(A) (B) (C) (D)

3. A expressão pode ser escrita como:

(A) 0 (B) 1 (C) x (D)

4. 4. é o mesmo que:

(A) 2x (B) 3 (C) 2x + 3 (D)

5. Calculando, com aproximação às centésimas o valor de é:

(A) 321,62 (B) 17,93 (C) 4,98 (D) 14,93

6. Um aluno apresentou o seguinte argumento para provar que 0,125> 0,25.

Comenta a resolução.

7. Determina, em , sem usar a calculadora o conjunto solução da equação

.


8. Resolve recorrendo à calculadora gráfica a equação:

9. Em 2000 a população da cidade de Ermesinde era de 40000 habitantes. Em 2010 havia 60000 habitantes. Assumindo que o número de habitantes em função do tempo, em anos, é dada

pela função onde e são constantes. Qual era a população em 2005? Em que ano a população será de 80000 habitantes?

10. Uma secção muito sensível de uma fábrica de materiais de precisão, tem de manter uma temperatura ambiente que oscile entre os 15 e os 25 graus centigrados para que a produção mantenha a qualidade. Depois de estudar o problema, os engenheiros concluíram que havia necessidade de manter em permanência pelo menos duas câmaras de refrigeração durante 24 horas e que, em laboração nestas condições, a temperatura ambiente se podia exprimir pelo expressão:

onde representa a temperatura ambiente e o tempo em horas .

10.1 Calcula os valores da temperatura ambiente às 0h e às 24h e comenta se estes resulta-dos estão ou não de acordo com o enunciado do problema.

10.2 Visualiza o gráfico da função e verifica que a temperatura ambiente sobe muito acima dos 15 graus. Calcula o valor máximo da temperatura ambiente durante cada dia de laboração, com aproximação às décimas do grau.

10.3 Durante quantas horas e minutos são necessárias mais câmaras de refrigeração para manter a temperatura ambiente nos limites indicados? Qual o horário de maior labo-ração da secção? Descreve de forma sucinta o teu raciocínio.

122 Soluções

SoluçõesCapítulo 5 - Análise Combinatória

T

Tarefa 2 - p.7

5

Tarefa 5 - p.10

6

Tarefa 7 - p.12

243

Tarefa 10 - p.15

6840

Tarefa 13 - p.18

1140

Tarefa 16 - p.21

1140

Exercícios - p. 10

1. 54

2.

2.1 12

2.2 14

2.3 144

3. 24

Exercícios - p. 12

4. 125

5. 32

6. 1024

Exercícios - p. 15

7. 552

8. 120

9. 120

Exercícios - p. 19

10. 120

11. 24

12. 6

Exercícios - p. 21

13. 2024

14. 60

15. 35

EG

Exercícios globais - p.26

Pratica ↑

1.

1.1 15

1.2 30

2. 30045015

3. 30

4. 20

5. 60 e 6

6. 50

7. 648

8. 247

9. 9666048

10.

10.1 42

10.2 21


11. 38803072

12. 10

13. Aproximadamente 1033

14. 92!

15. 43

16. 13

17.

17.1 1287

17.2 1716

18. 230400

123Soluções

Relete ↑ ↑ ↑

19. Não. O professor não falou em “primeiro” aluno, “se-gundo” aluno, “terceiro” aluno, etc. logo não são arranjos como o Joãozinho estava a pensar.

20.

20.1 136

20.2 160

21. n2 − 3n

22. 100

23. No mínimo 12 amigos

24. 80.º lugar

25. 472392

IE

Itens de exame - p. 30

1. A

2. B

3. B

4. A

5. D

6. C

7. D

8. D

9. D

10. B

11. B

12. D

13. P A B( )14.

14.1 239500800

14.2 29

143

15.

16.

16.1 P(A∪B) =

= P(A) + P(B) −P(A∩B) =

= P(A) + P(B) −P(A B) =

= P(A) + 1 −P(B) − 1 + P(A∩B) =

= P(A) −P(B) + P(A∩B)

16.2 0,74

17.

17.1

2 3 4

1

7

4

7

2

7

17.2 A soma 3

18.

18.1 0,24

18.2 -

19. Como a bola retirada da caixa B é azul com probabi-

lidade 1

2, isso significa que na caixa B estavam

tantas bolas azuis como verdes. Como inicialmente a caixa B tinha três bolas verdes e quatro bolas

azuis, para a probabilidade ser 1

2 a bola que foi

retirada da caixa A tinha de ser verde

20.

20.1 Não são independentes

20.2 O produto só é ímpar se os três algarismos forem ímpares, os números que podemos constituir com três algarismos ímpares são 5A

3. Os números de três algarismos diferen-

tes que podemos constituir com os nove

algarismos são 9A3 . A diferença 9A

3− 5A

3

dá-nos o número em que o produto dos três algarismos é par

21. 0,68

22. 16

49

23.

124 Soluções

23.1

P(X ∩Y ) =

= P(X ∪Y ) =

= 1 − P(X ∪Y ) =

= 1 − P(X) − P(Y ) + P(X ∩Y ) =

= 1 − P(X) − P(Y ) + P(X) × P(Y ) =

= 1 − a − b + a × b

23.2 8

15

24.

24.1 60

24.2 1

11

25.

25.1

-3 -2 -1 0 1

1

36

1

36

1

4

5

36

5

9

25.2 1

6

PG

Prova Global - p. 38

1. C

2. D

3. D

4. B

5. B

6. 40

7.

7.1 0,35

7.2 0,16

7.3 0,87

8.

8.1 4

65

8.2 3

91

9.

9.1 0,06

9.2 0,94

9.3 0,1489

10. 0,0449

Capítulo 6 - Triângulo de Pascal e Binómio de Newton

T

Tarefa 3 - p. 44

330; 792; 792

Tarefa 5 - p. 46

a) x7+ 21x 6

+ 189x 5+ 945x 4

+ 2835x 3+

+5103x2+ 5103x + 2187

b) x7 − 21x 6+ 189x 5 − 945x 4

+ 2835x 3 −−5103x2

+ 5103x − 2187

c) 16

Tarefa 9 - p. 53

Não tem

EG

Exercícios globais - p. 60

Pratica ↑

1.

1.1 x 5+ 5x 4

+ 10x 3+ 10x2

+ 5x + 1

1.2 81a 4 − 108a3+ 54a2 − 12a + 1

2. 70a

3. 70


4. 10

5. 36

6.

6.1 1716

6.2 57

125Soluções

7. 3

8. −210

9. 18

10. A soma de dois números pares é par e a de dois ím-pares é ímpar.

11. 8

12. 4083

13. Cn

2n+C

n−1

2n= C

n

2n+1=

(2n + 1)!

n !(n + 1)!, multiplicando os ter-

mos da fração por 2n+2 temos:

(2n + 1)!(2n + 2)

n !(n + 1)!(2n + 2)=

=(2n + 2)!

2n !(n + 1)!(n + 1)=

=(2n + 2)!

2(n + 1)!(n + 1)!=

1

2C

n+1

2n+2

IE


1. D

2. B

3. B

4.

4.1 x12

4.2 252

5. Trata-se escolher sem interessar a ordem o conjunto de elementos de um conjunto com n elementos, incluindo o conjunto vazio, ou seja,

C0

n+C

1

n+ ... +C

n

n

mas, C0

n+C

1

n+ ... +C

n

n= (1 + 1)n

= 2n

5.1 10

6.

6.1 a ∈]− ∞,−6]∪ [2,+∞[

6.2 495x 4

PG

Prova global - p. 64

1. B

2. C

3. D

4. C

5. B

6. 256 respostas

7. k = 2

8. 7290 códigos

Capítulo 7 - Função exponencial

T

Tarefa 2 - p. 68

a) 2, 4 e -0,767 aproximadamente

b) Não há diferenças essenciais entre os dois métodos. Contudo é mais fácil encontrar os três pontos de inter-seção pelo segundo método.

Tarefa 4 - p. 71

a) para todas as funções: domínio:

contradomínio: +

zeros: não têm monotonia: são crescentes Em + à medida que a base da potencia aumenta o

gráfico aproxima-se do eixo Oy. Em − quanto maior for a base mais próximo está o

gráfico do eixo Ox.

b) 2x> 3x

> 5x para x ∈−

2x< 3x

< 5x para x ∈+

c) Para todas as funções: Monotonia: são decrescentes Em à medida que a base da potencia aumenta o gráfi-co aproxima-se do eixo Ox. Em quanto maior for a base mais próximo está o gráfico do eixo Oy.

d) 2−x> 3−x

> 5−x para x ∈+

2x< 3x

< 5x para x ∈−

e) fa(x) = ax e g

a(x) = a −x

Domínio:

126 Soluções

Contradomínio: +

Zeros: não têm Intersetam o eixo Oy no ponto (0,1)

fa(x) = ax é crescente

Para a > 1 quanto maior é o valor de a: O gráfico aproxima-se em − mais do eixo Ox.

O gráfico aproxima-se em + mais do eixo Oy.

ga(x) = a −x é crescente

Para a > 1 quanto maior é o valor de a: o gráfico aproxima-se em − mais do eixo Oy.

O gráfico aproxima-se em + mais do eixo Ox.

f) Para a > 1 temos que: O parâmetro c determina uma translação de vetor (0,c). Se o parâmetro b é positivo a função aproxima-se do eixo Oy em + e do eixo Ox em − , a função é

crescente e não tem zeros. Se o parâmetro b é negativo a função aproxima-se do eixo Ox em − e do eixo Oy em + , a função é

decrescente e não tem zeros.

Tarefa 5 - p. 72

a) 820

b) 2 × 1014 ;5 × 1025

c) 2,64 anos

Tarefa 6 - p. 73

−

Tarefa 9 - p. 78

a) P(x) = 1,02811x , A(x)= 1 + 0,04 × x

b) 2,7%

c) Observando as tabelas e gráficos relativos aos dados fornecidos é óbvio que a população aumenta muito mais do que as reservas alimentares, sendo admissível que, com um tal modelo teórico, posso existir uma altura em que as reservas alimentares não sejam suficientes para alimentar a população

d) Como se pode observar com o exemplo da população portuguesa, não é claro que uma população aumente para o dobro em cada 25 anos. Também é preciso ver que com a evolução tecnológica a evolução das reser-vas alimentares pode ser maior do que o texto indica. Por isso o modelo de Malthus é um modelo matemático muito rudimentar para a situação presente.

Exercícios - p. 67

1. 243

2. 3

3. Observando gráficos ou tabelas conjeturamos que

limx→+∞

f (x)

g(x)= 0 e o lim

x→+∞

g(x)

f (x)= +∞ .

Exercícios - p. 69

4. Simétrico em relação ao eixo Ox e uma translação de vetor (0,4).

5. Translação de vetor (3,0) e uma translação de vetor (0,1).

6. Simétrico em relação ao eixo Oy.

EG


Pratica ↑

1. função g translação associada ao vetor (0,-3); função h translação associada ao vetor (3,0)

2.

2.1 3

2.2 −2

2.3 −1

2.4 3

2.5 7

3

2.6 1

2.7 − 5

2

2.8 2

2.9 − 1

2;0

3.

3.1 f x( ) = 27 × 9x

3.2 f x( ) = 4 × 256x

3.3 f x( ) = 1

2× 1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x

127Soluções

3.4 f x( ) = 2 × 1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x

3.5 f x( ) = 4 × 1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x

3.6 f x( ) = 1

27× 3

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

3.7 2 × 1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x

3.8 48

4−0,5x+2= 48 × 40,5x−2

=

= 48 × 22( )0,5x−2

= 48 × 2x−4=

= 48 × 2−4 × 2x= 3 × 2x

4.

4.1 1

2

4.2 − 1

2

5.

5.1 a = 2;c =1

2

5.2 a =7

3;c = 7

5.3 a =6

5;c =

3125

1296

6.

6.1 2; 3

6.2 0

7.

7.1 60

7.2 30

7.3 15

7.4 3,75


8. Ao fim de 1,3 segundos

9. 100 horas

10.

10.1 p(5) = 1 − e−0,047×5 21%

10.2 p(20) = 1 − e−0,047×20 61%

10.3 p(90) = 1 − e−0,047×90 99%

11.

11.1 2

11.2 1

11.3 −1

12.

12.1 +∞

12.2 0

12.3 +∞

Relete ↑ ↑ ↑

13.

13.1 S(t) = 1000 × (1,0r)t

13.2 S(t) = 1000 × (1,0r)12t

14. No intervalo indicado as curvas intersetam-se nos pon-tos (2,4) e (4,16)

14.1

14.1.1 [0,2[ e ]4,35]

14.1.2 2; 4

14.1.3 ]2,4[

14.2 A função g.

15. −2

IE


1. A

2. A

3. C

128 Soluções

4. A opção correta é a B

5.

5.1 70

5.2 20

5.3 2 minutos e 38 segundos

6.

6.1 Dh=

CDh= −∞,1⎤⎦

⎤⎣

6.2 4

PG


1.

1.1 3

1.2 x = 2 + 2 2 ∨ x = 2 − 2 2

2.

2.1 53,86 mg e 2,44 mg

2.2 20,5 minutos

2.3 Não é suficiente

3. 220 euros

Capítulo 8 - Função logarítmica

T

Tarefa 1 - p. 94

a)

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3

y = log(x) 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

a) i) 2 ii) 1,6 iii) 1,60 iv) 1,602

b) i) 5,32 ii) 5,322

c) 3,689

Tarefa 2 - p. 94

a) i)

129Soluções

ii)

Domínio Contradomínio Zeros

y1+ 1

y2]− 2,+∞[ -1

y3 \ 0{ } -1 e 1

y4 \ 0{ } -1 e 1

y5 + 1

y6]− 2,+∞[ -1

y7 \ 0{ } -1 e 1

y8 \ 0{ } -1 e 1

iii) As funções têm o mesmo domínio, contradomínio e zeros. A função y7 tem uma representação gráfico mais próxima do eixo Oy

b) Sem solução

c) a > 0 duas soluções a < 0 impossível

Tarefa 3 - p. 95

a) Não tem solução

b) Não tem solução As funções não são idênticas porque não têm o mesmo domínio.

Df=]− ∞,0[∪]1,+ ∞[

Dg=]1,+ ∞[

Tarefa 4 - p. 95

x log x log (log x) log (log (log x))

103 3 0,477 -0,321

130 Soluções

1010 10 1 0

1030 30 1,477 0,169

10100 100 2 0,301

10300 300 2,477 0,394

101000 1000 3 0,477

101000000 1000000 6 0,778

Tarefa 5 - p. 99

No gráfico seguinte estão representados os pontos de coor-

denadas x, ln(y)( ) em que x representa o acontecimento e y

a idade em milhões de anos. Ao fazermos isto reduzimos o contradomínio de [1,4450] para, aproximadamente, [1,8.4].

Tarefa 10 - p. 106

a) Dado que se estima que o Terramoto de Lisboa de 1755 teve magnitude 9, podemos apresentar como exemplos de dois terramotos que tiveram magnitude 8, podemos citar o ocorrido em 2007 no Peru: Ica, Pisco, Lima e o ocorrido em 2009 nas Ilhas Samoa.

Exercícios - p. 102

1. Não tem

2. 9

2

3. 10 e 100

4. ]− ∞,0[

EG


Pratica ↑

1.

1.1 8

1.2 243

1.3 4

2. lna8

b3

3.

3.1 47

35

3.2 17

4.

4.1 35

4.2 x ∈ −2,e�⎤

⎡⎤

5.

5.1 Df= 1,+∞✁⎦

⎡⎣

5.2 3

5.3 7

5.4 x ∈ 3,+∞⎤⎦

✂⎣


6.

6.1 x =e

5

6.2 x =16

15

6.3 x = 5

7. x = − ln10

9

8. x =7

1 + e2

9. 1

3,+∞

⎡

⎣⎢⎢

⎡

⎣⎢⎢

10. 39 m 51 s

131Soluções

11.

11.1 3

11.2 1 e 4

12.

12.1 0,209; 0,609; 0,985

12.2 Aproximadamente 29,496 ou seja passados cerca de 29 dias e meio

12.3 Como a probabilidade atinge 75% das pes-soas ao fim de cerca de 30 dias mas olhando para o gráfico da função se vê que cresce cada vez menos, seria aconselhável fazer novo anúncio nessa altura para tentar atin-gir rapidamente todo o mercado

Relete ↑ ↑ ↑

13.

13.1 Não tem

13.2 Não tem

14. Não tem solução

15. Não tem solução

16.

16.1 Porque se x for inferior a −5 será x negativo e um dos logaritmos do membro da direita da igualdade não ficará definido

16.2 Pela mesma razão da alínea anterior

IE


1. A

2. C

3. C

4. D

5. C

6. k =79

400

7.

7.1 633

7.2 8 dias

8.

8.1

N(t) = 8 log4(3t + 1)3 − 8 log

4(3t + 1) =

= 8 log4(3t + 1)3 − log

4(3t + 1)( ) =

= 8 log4

(3t + 1)3

(3t + 1)= 8 log

43t + 1( )

2

=

= 16 log4(3t + 1)

8.1 2 horas e 20 minutos

9.

9.1 ex= 2 + 2 2 ⇔ x = ln 2 + 2 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

9.2 2,2

10. 5

3,2

⎡

⎣⎢⎢

⎡

⎣⎢⎢

11. 0, 1 e 2

12. A área do triângulo [OAB] é 2

13. 2,57

PG


1. B

2. D

3. C

4. C

5. B

6. log 0,5 < 0

7. 1

8. 1,41 e 2

9. População de cerca de 48856 habitantes em 2005; Po-pulação de 80000 habitantes no ano 2017

10.

10.1 Cerca de 15�C

10.2 45,9�C

10.3 2 horas e 37 minutos

Jaime Carvalho e SilvaProfessor Associado do Departamento de Matemática da Faculdade de Ci-ências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Licenciado e Doutorado em Matemática pela Universidade de Coimbra, estudou na Universidade de Paris 6. Foi professor visitante na Arizona State University (EUA) e é Secretário-Geral da Comissão Internacional de Instrução Matemática (2009-2012).

Professor há 36 anos na Universidade de Coimbra, leccionou disciplinas de Matemática para Matemáticos e Engenheiros, assim como da formação de professores de Matemática e orientou Estágios Pedagógicos de Matemática em sete escolas diferentes. Coordenador das Equipas Técnicas que elabo-raram os programa de Matemática A, Matemática B, MACS, Matemática dos Cursos Profissionais e Matemática das Escolas Artísticas. Consultor do GAVE desde a sua criação.

Autor de Manuais Escolares do Ensino Básico e do Ensino Secundário tendo ganho o Prémio Sebastião e Silva da SPM para Manuais Escolares em 2005 e obtido uma Menção Honrosa em 2000.

Joaquim PintoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 20 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Mate-mática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática A, continuando a ser classificador de Exames de Matemática A.

Orientou Estágio Pedagógico pelas Universidades de Aveiro e de Coimbra.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática). Dinamizou várias ações dentro dos referidos domínios.

Vladimiro MachadoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 30 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamen-to de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática B. Desempenha as funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico.

Orientador de Estágio Pedagógico do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática).

ISBN 978-989-97839-0-4

9 789899 783904

EDIÇÃO DE AUTOR

Obra em 4 volumes (Não é permitida a venda em separado)

PVP (4 Volumes)

Documents

Niualeph12 Manual Vol2 v01