NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA

• Conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que, entre outros tópicos, envolve o planejamento do experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, a inferência, o processamento e análise das informações.

• Por meio das análises feitas a partir de dados organizados podemos, em muitos casos, fazer previsões, determinar tendências, auxiliar na tomada de decisões e, portanto, elaborar um planejamento com mais precisão.

Definições básicas• Universo estatístico – Conjunto formado por todos os

elementos que passam a oferecer dados relativos ao assunto em questão. Ex: As pessoas numa pesquisa eleitoral para presidente da república, os alunos da turma num levantamento sobre as médias em matemática, etc.

• Elemento estatístico – cada elemento do grupo a ser estudado. Ex: Cada pessoa consultada na pesquisa eleitoral.

• Característica qualitativa: raça, área de estudos, meio de transporte, etc.

• Característica quantitativa: altura, peso, preço de produtos, etc.

AMOSTRA

• Amostra – Subconjunto do universo estudado.• Amplitude de uma amostra (A) – Diferença

entre o maior e o menor extremo de uma classe. Ex: As alturas de 6 jogadores de futsal são 1,75m, 1,68m, 1,82m, 1,70m 1,62m e 1,80m.amplitude da amostra A = 1,82 – 1,62 = 0,20

Variável estatística

• Variável estatística é uma característica quantitativa, que pode ser discreta - número de sócios de um clube - ou contínua – altura dos alunos de uma determinada turma.

Frequências de classeD30ISCIPLINA: MATEMÁTICA – TURMA 3º ANO ENS. MÉDIO

Nº

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

nOTA

50

40

60

80

30

50

70

60

80

40

60

90

70

50

70

50

60

80

70

90

40

60

60

80

70

Classe(Xi) Frequência absoluta (Fi)

Freq. absoluta acumulada (Fia)

Frequência relativa (Fr(%))

Freq. Relativa acumulada Fra(%)

X1 = 30 F1 = 1 1 1/25 = 4% 4%

X2 = 40 F2 = 3 4 3/25 = 12% 16%

X3 = 50 F3 = 4 8 4/25 = 16% 32%

X4 = 60 F4 = 6 14 6/25 = 24% 56%

X5 = 70 F5 = 5 19 5/25 = 20% 76%

X6 = 80 F6 = 4 23 4/25 = 16% 92%

X7 = 90 F7 = 2 25 2/25 = 8% 100%

Definições• Xi – Unidade estatística de uma classe.• Fi – Frequência absoluta do valor Xi é o número de vezes

que a variável estatística assume o valor Xi. Ex.: a frequência absoluta da nota 50 é 4.

• Fia – Frequência absoluta acumulada é a adição a cada frequência absoluta dos valores das frequências anteriores.

• Fr – Frequência relativa é o quociente entre a frequência absoluta (Fi) e o número de elementos N da amostra, ou seja:

Fra – Frequência relativa acumulada.

Frequência Absoluta

Frequência relativa

Distribuição de frequências com dados agrupados

• Um radar, instalado num trecho de uma rodovia, registrou as velocidades de 50 veículos em km/h. Qtos por cento dos veículos foram multados se o limite era 100 km/h.

62 123 95 123 81 123 60 72 86 108

109 84 121 60 128 77 91 51 100 63

104 107 63 117 116 69 116 82 95 72

94 84 123 52 90 100 79 101 98 110

79 92 73 83 74 125 56 86 98 76

Classe Vel.(km/h) Fi Fia Fr(%) Fra(%)

1 [50, 60[ 3 3 6 6

2 [60, 70[ 6 9 12 18

3 [70, 80[ 8 17 16 34

4 [80, 90[ 7 24 14 48

5 [90, 100[ 8 32 16 64

6 [100, 110[ 7 39 14 78

7 [110, 120[ 4 43 8 86

8 [120, 130[ 7 50 14 100

Histograma – conjunto de colunas retangulares

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

• MEDIDAS DE CENTRALIZAÇÃO1) MÉDIA ARITMÉTICA2) MÉDIA PONDERADA3) MEDIANA4) MODA

Média aritmética

• No ano 2000, o número de nascimentos, por mês, em uma maternidade foi:

• a) calcule a média mensal de nascimentos• b) em que meses o número de nascimentos

foi acima da média?

Mês Jan Fev Mar ab Mai Jun Jul Ag Set Out Nov dez

Nas 38 25 42 30 29 47 18 36 38 43 49 37

Resolução

• A)

• B) jan., mar., jun., set.,out., nov., dez

3612

374943383618472930422538

aM

Média aritmética ponderada

• A tabela a seguir mostra a distribuição dos salários de uma empresa. Qual a média salarial dessa empresa?

Salário (em reais) Número de funcionários

600,00 12

900,00 7

1200,00 5

1800,00 6

4500,00 8

Total 38

Resolução

• Ou seja R$ 1.744,73

865712

8.00,45006.00,18005.00,12007.00,90012.00,600

X

38

00,3600000,1080000,600000,630000,7200 X

73,1744X

MEDIANA

• As nove classes de 3º ano do ensino médio de uma escola têm, respectivamente: 37, 28, 40, 41, 45, 37, 37, 41 e 44 alunos.

• Colocando esses dados em ordem crescente

• 28, 37, 37, 37 40, 41, 41, 44, 45

MEDIANA

• Mediana - valor que ocupa a posição central de um conjunto de valores, colocados em ordem crescente ou decrescente de grandeza. Ou seja, a mediana é 40, no exemplo anterior.

• Feita uma pesquisa para saber o número de irmãos que cada um dos 30 alunos de uma classe possui, obteve-se o seguinte quadro:

• 0, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 5, 2, 4, 4.

• Fazendo a contagem obtemos a tabela

Moda

Número de irmãos

Frequência absoluta

0 3

1 6

2 13

3 4

4 3

5 1

VEJA O EXEMPLO

• O quadro de frequências, a seguir, refere-se às idades dos jogadores de basquete de um clube.

Idade Nº de jogadores

Xi Fi

13 6

14 12

15 15

20 24

23 9

Moda

• Moda de um conjunto de valores é o valor que aparece um maior número de vezes, ou seja, é o valor de maior frequência absoluta. Ou seja, a moda no exemplo anterior é 20.

• Determine a média das idades, a moda e a mediana dos dados neste caso.

• Resolução da questão:• Média:

• Moda: 20

54,1792415126

9.2324.2015.1512.146.13

M

• Mediana: vamos calcular inicialmente o número de dados 6+12+15+24+9 = 66.

• Temos portanto um número par de dados.• Vamos, então, determinar as ordens dos dois

termos centrais:• 1º, 2º … 33º, 34º, …, 65º, 66º • 33º = 15 e 34º = 20 logo a mediana será 17,5

MEDIDAS DE DISPERÇÃO

• Para caracterizar um conjunto de dados, em estatística, nem sempre são suficientes a média, a moda e a mediana. Em alguns casos, temos que recorrer a outros parâmetros, que são chamados de medidas de disperção.

MEDIDAS DE DISPERÇÃO

• Sejam

nXXXX ...,,,, 321

n

XXXX n

...21

DEFINIÇÕES

• DESVIO RELATIVO

• DESVIO ABSOLUTO

• DESVIO MÉDIO ABSOLUTO

XXD ir

XXD ia

n

ii

n

iii

ma

n

ii

ma

F

XXFDou

n

XXD

1

11

.

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

• Variância

• Desvio padrão

n

ii

n

iii

a

n

ii

a

F

XXFVou

n

XXV

1

1

2

1

2.

aV

Veja a tabela dos jogadores de basquete

Idade Nº de jogadores

Xi Fi

13 6

14 12

15 15

20 24

23 9

Veja a tabela dos jogadores de basquete

• Média

• Desvio relativo• 13 - 17,54 = - 4,54• 14 - 17,54 = - 3,54• 15 - 17,54 = - 2,54• 20 - 17,54 = 2,46• 23 - 17,54 = 5,46

54,1792415126

9.2324.2015.1512.146.13

X

XXD ir

• Desvio absoluto• 4,54• 3,54• 2,54• 2,46• 5,46

XXD ia

Desvio médio absoluto

• Fórmula

• Cálculo:

521

552211

5

1

5

1

...

....

FFF

XXFXXFXXF

F

XXFD

ii

iii

ma

...2727,392415126

46,5.946,2.2454,2.1554,3.1254,4.6

maD

Variância

• Fórmula

• Cálculo

521

255

222

211

5

1

5

1

2

...

)(...)()(.

FFF

XXFXXFXXF

F

XXFV

ii

iii

a

...8843,1192415126

)46,5.(9)46,2.(24)54,2.(15)54,3.(12)54,4.(6 22222

aV

Desvio padrão

• Fórmula

• Cálculo

aV

44,3

88,11

aV