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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto

Departamento de Economia

Disciplina: REC0215 – Microeconomia I

Docente Responsável: Jaylson Silveira

2. Comportamento do consumidor e demanda

2.1. Teoria da preferência binária

2.1.1. Relações de preferências e função utilidade

Leitura básica: Varian (2006, cap. 3 e 4).

Cesta de consumo: É uma lista de quantidades consumidas pelo consumidor das 2≥n mercadorias

(bens e serviços) existentes, teoricamente tomadas como perfeitamente divisíveis, ou seja,

n

ni xxxxX +ℜ∈= ),,,,,( 21 KK , na qual 0≥ix é a quantidade consumida do i-ésimo bem ou serviço

por unidade de tempo.

Conjunto consumo (espaço de mercadorias): É o conjunto formado por todas as cestas de consumo

que o consumidor pode conceber, sendo elas possíveis de serem adquiridas ou não.

Exemplos de conjunto consumo: Na lousa.

Preferências do consumidor: Pressupomos que o consumidor pode ordenar as cestas de consumo do

seu espaço de mercadorias de acordo com suas preferências comparando-as em pares.

Preferência fraca: se o consumidor afirma que a cesta de consumo ),,,( 21 nxxxX K= é pelo menos

tão boa quanto a cesta de consumo ),,,( 21 nyyyY K= , dizemos que este consumidor prefere

fracamente X a Y e denotamos esta relação por YX~f . Tecnicamente,

~f é uma relação binária

sobre o conjunto consumo.

Indiferença: Se o consumidor afirma que a cesta de consumo ),,,( 21 nxxxX K= é pelo menos tão

boa quanto a cesta de consumo ),,,( 21 nyyyY K= e esta última, por sua vez, é pelo menos tão boa

quanto a cesta de consumo X, então dizemos que o consumidor mostra-se indiferente entre as duas

cestas de consumo. A relação de indiferença é denotada por ~. Em síntese,

) (~~~XYYXYX ff ∧↔ .

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Preferência estrita: Se o consumidor afirma que a cesta de consumo ),,,( 21 nxxxX K= é pelo

menos tão boa quanto a cesta de consumo ),,,( 21 nyyyY K= e esta última, por sua vez, não é pelo

menos tão boa quanto a cesta de consumo X, então dizemos que o consumidor prefere de maneira

estrita X a Y ou, alternativamente, a cesta de consumo X é estritamente preferida a cesta de

consumo Y. A relação de preferência estrita é denotada por f . Em suma,

)]([~~XYYXYX fff ¬∧↔ .

Axioma da completeza: Para quaisquer cestas de consumo X e Y do espaço de mercadorias, temos

YX~f ou XY

~f (ou ambos).

Axioma da transitividade: Para quaisquer cestas de consumo X, Y e Z do espaço de mercadorias, se

YX~f e ZY

~f , então ZX

~f .

Observação: A propriedade de reflexividade da relação de preferência fraca ~f , ou seja, de que para

qualquer cesta de consumo X no espaço de mercadorias temos XX~f (toda cesta de consumo é

pelo menos tão boa quanto ela mesmo) decorre do axioma da completeza. Com efeito, basta fazer

XY = no enunciado que estabelece o referido axioma.

Conjunto fracamente preferido (com relação a uma cesta de consumo X ): Formado pelas cestas de

consumo pelo menos tão boas quanto a cesta de consumo X, ou seja, pelas cestas de consumo

fracamente preferidas a X. Mais precisamente, }:),,,({)(~21~XYyyyYX n

n fKf +ℜ∈=≡ .

Exemplo de conjunto fracamente preferido com duas mercadorias: Figura 3.1 de Varian (2006, cap.

3).

Curvas de indiferença: São conjuntos formados por todas as cestas de consumo que o consumidor

percebe como indiferentes entre si. Ou seja, a curva de indiferença que contém a cesta de consumo

X é o conjunto de indiferença }~:),,,({)(~ 21 XZzzzZX n

n +ℜ∈=≡ K .

Propriedade das curvas de indiferença: as curvas de indiferença que representam níveis distintos de

preferência não podem se cruzar, ou seja, se YX f então Ø)(~)(~ =∩ YX . Com efeito, suponha,

por absurdo, que )(~ XZ ∈ e )(~ YZ ∈ , isto é, ZX ~ e ZY ~ . Logo, pelo axioma da

transitividade, YX ~ , o que contradiz a premissa de que YX f .

Figura 3.2 de Varian (2006, cap. 3).

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Exemplos de preferências: Figuras 3.3 a 3.8 de Varian (2006, cap. 3).

Axioma da monotonicidade (não-saciedade): Uma cesta de consumo X com a mesma quantidade de

cada bem da cesta de consumo Y e com uma quantidade superior de pelo menos um bem é

estritamente preferida a Y. Ou seja, para quaisquer cestas de consumo ),,,( 21 nxxxX K= e

),,,( 21 nyyyY K= do espaço de mercadorias, se nn yxyxyx ≥≥≥ ,,, 2211 K e ii yx > para pelo

menos um ni ,,2,1 K= , então YX f .

Implicação do axioma da monotonicidade: As curvas de indiferença são negativamente inclinadas.

Figura 3.9 de Varian (2006, cap. 3).

Axioma da convexidade: O consumidor prefere fracamente cestas de consumo mais balanceadas, ou

seja, as médias são fracamente preferidas aos extremos. Em outros termos, para quaisquer cestas de

consumo ),,,( 21 nxxxX K= e ),,,( 21 nyyyY K= do espaço de mercadorias, se YX ~ então

XYttX~

)1( f−+ para todo ]1,0[∈t .

Primeira implicação da convexidade: Para qualquer cesta de consumo X do espaço de mercadorias,

o conjunto fracamente preferido }:),,,({)(~21~XYyyyYX n

n fKf +ℜ∈=≡ é convexo.

Observação: Um conjunto qualquer S é convexo se para qualquer Syx ∈, temos Syttx ∈−+ )1(

para todo ]1,0[∈t .

Figura 3.10 de Varian (2006, cap. 3).

Axioma da convexidade estrita: O consumidor prefere de maneira estrita cestas de consumo mais

balanceadas, ou seja, as médias são estritamente preferidas aos extremos. Em outros termos, para

quaisquer cestas de consumo ),,,( 21 nxxxX K= e ),,,( 21 nyyyY K= do espaço de mercadorias, se

YX ~ então XYttX f)1( −+ para todo )1,0(∈t .

Taxa marginal de substituição (TMS): Mede a taxa à qual o consumidor está propenso a substituir

um bem por outro. Mais precisamente, a TMS em uma cesta de consumo X é o negativo da medida

numérica da inclinação da curva de indiferença que passa por este ponto X no espaço de

mercadorias. Em particular, em um espaço de mercadorias com dois bens a TMS de bem 2 por bem

1 é dada por:

11

21

12

22

1

21por 2

xx

xx

x

xTMS

−−

−=∆∆

−= ,

7

em que j

ix é a quantidade consumida do bem i na cesta de consumo jX ; e ),( 12

11

1 xxX = e

),( 22

21

2 xxX = são cesta de consumos que pertencem a mesma curva de indiferença, ou seja,

}~:{)(~ 1212 XZZXX +ℜ∈=∈ .

Observações: A taxa marginal de substituição pode ser interpretada como a propensão marginal a

pagar do consumidor. Cabe salientar dois pontos importantes. Em primeiro lugar, o que o

consumidor está propenso a pagar por uma quantidade adicional de um determinado bem depende

apenas de sua própria preferência. Em segundo lugar, o que de fato o consumidor tem de pagar por

uma quantidade adicional de consumo de um bem é determinado pelas forças impessoais do

mercado.

Implicação do axioma da monotonicidade em termos da TMS: Como as curvas de indiferença são

negativamente inclinadas, assim a TMS, como definida anteriormente, é sempre um número

positivo. Ou seja, o consumidor só se mantém indiferente se a redução do consumo de um bem for

compensada pelo aumento do consumo de um outro bem.

Implicação do axioma da convexidade estrita: A TMS é decrescente, ou seja, a taxa à qual um

consumidor com preferência estritamente convexa deseja trocar o bem 2 por 1 diminui à medida

que aumentamos a quantidade do bem 1.

Figura 3.5 de Pindyck e Rubinfeld (2006)

Exercícios: Resolva todas as “Questões de Revisão” propostas por Varian (2006, cap. 3). Resolva

os problemas 1, 2, 3, 4, 5 e 7 das “Questões para Revisão” e os problemas 1, 2 e 3 dos “Exercícios”

propostos por Pindyck e Rubinfeld (2006, cap. 3).

Concepção cardinal da utilidade: A utilidade é considerada uma medida da felicidade ou satisfação

do indivíduo. Há problemas conceituais com esta concepção. Por exemplo, como medir a utilidade

de um indivíduo? Como comparar medidas de utilidade entre indivíduos?

Concepção ordinal da utilidade: A utilidade é vista apenas como um modo de representar as

preferências de um indivíduo. As preferências do indivíduo tornam-se, então, a descrição

fundamental para analisar a escolha individual, enquanto a utilidade constitui apenas uma maneira

de descrever as preferências que é conveniente do ponto de vista analítico.

Função utilidade: É um modo de atribuir um número real a cada cesta de consumo, de maneira que

se atribuam às cestas mais preferidas números mais altos do que os atribuídos às cestas menos

preferidas. Mais precisamente, uma função ℜ→Mu : é uma função utilidade representando a

8

relação de preferência fraca ~f sobre o espaço de mercadorias M se para quaisquer cestas de

consumo ),,,( 21 nxxxX K= e ),,,( 21 nyyyY K= em M tem-se YX~f se, e somente se,

)()( YuXu ≥ .

Observação: A definição de função utilidade acima é diferente, embora equivalente, a definição

encontrada em Varian (2006, cap. 4, p. 57).

Exemplo: Representações equivalentes de uma mesma ordenação de preferências.

Cesta de

Consumo

Ordenação de

Preferências Função utilidade 1 Função utilidade 2 Função utilidade 3 Função utilidade 4

X WX f 3 6 -1 23

W YW~f 2 4 -2 11

Y WY~f 2 4 -2 11

Z ZY f 1 2 -3 0,5

Fonte: Ferguson, C. E. Microeconomia. 14 ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1990, p. 27.

9

Existência de uma função utilidade: Quando o espaço de mercadorias é finito sempre é possível

encontrar uma função utilidade que represente a ordenação de preferências de um consumidor que

satisfaz os axiomas da completeza e transitividade. Quando o espaço de mercadorias é infinito faz-

se necessário supor que, além de preferências completas e transitivas, o consumidor não apresenta

reversões bruscas de preferência, ou seja, deve satisfazer o seguinte axioma:

Axioma da continuidade: Para qualquer seqüência de pares de cestas de consumo ∞

=1},{ n

nn YX

pertencentes ao espaço de mercadorias tal que nn YX~f para todo ,...2,1=n ; XX n

n=

→∞lim e

YY n

n=

→∞lim , tem-se YX

~f .

Preferências lexicográficas: Considere um consumidor cuja ordenação de preferências é tal que

YX~f se, e somente se, 11 yx > ou se 11 yx = e 22 yx ≥ . Ou seja, o bem 1 tem a mais alta

prioridade na ordenação das preferências. Os conjuntos de indiferença são unitários. Este tipo de

ordenação de preferências apresenta reversões bruscas de preferência. Com efeito, faça

== 0,1

),( 21n

xxX nnn e ( )1,0),( 21 == nnn yyY . Como nn yn

x 11 01

=>= , então nn YX f . Todavia, já

que Xn

Xn

n

n==

=→∞→∞

)0,0(0,1

limlim e YY n

n==

∞→)1,0(lim , temos XY f . O consumidor reverte

bruscamente sua preferência!

Transformação monotônica positiva: uma função ℜ→ℜ:f é dita realizar uma transformação

monotônica positiva se )()( 21 ufuf > sempre que 21 uu > . Note que a função )(⋅f preserva a

ordem dos números 1u e 2u .

Existência de múltiplas funções utilidade: A transformação monotônica positiva de uma função

utilidade é uma função utilidade que representa a mesma ordenação de preferências da função

utilidade original. Formalmente, para qualquer transformação positiva ℜ→ℜ:f , a função

composta ))(()( XufXv ≡ é uma nova função utilidade representando a mesma ordenação de

preferência que a função utilidade original ℜ→Mu : .

Demonstração: Considere duas cestas de consumo quaisquer X e Y do conjunto consumo. Suponha que a função utilidade ℜ→Mu : representa a relação de preferência fraca

~f sobre M, ou seja,

YX~f se, e somente se, )()( YuXu ≥ . Queremos mostrar que ))(()( XufXv ≡ também representa

a relação de preferência fraca ~f sobre M , isto é, YX

~f se, e somente se, )()( YvXv ≥ . Desde que

ℜ→ℜ:f é uma transformação monotônica positiva, segue que ))(())(( YufXuf > sempre que )()( YuXu > . Logo, )()( YuXu ≥ se, e somente se, )())(())((()( YvYufXufXv ≡≥≡ . Enfim,

YX~f se, e somente se, )()( YvXv ≥ , como queríamos demonstrar.

10

Exemplos de funções de utilidade:

• Substitutos perfeitos: 2121 ),( xxxxu +=

0

1

2

3

4

5

x1

0

1

2

3

4

5

x2

0

2.5

5

7.5

10

u

0

1

2

3

4x1

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

• Substitutos em geral: 2121 ),( bxaxxxu += , em que 0>a e 0>b são constantes

paramétricas.

Valores das constantes paramétricas: 5=a , 1=b .

0

1

2

3

4

5

x1

0

1

2

3

4

5

x2

0

10

20

30

u

0

1

2

3

4

x1

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

11

• Complementares perfeitos: },min{),( 2121 xxxxu =

0

1

2

3

4

5

x1

0

1

2

3

4

5

x2

0

2

4

u

0

1

2

3

4x1

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

• Complementares em geral: },min{),( 2121 bxaxxxu = , em que 0>a e 0>b são constantes

paramétricas.

Valores das constantes paramétricas: 2=a , 1=b .

0

1

2

3

4

5

x1

0

1

2

3

4

5

x2

0

2

4

u

0

1

2

3

4x1

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

12

• Cobb-Douglas: dcxxxxuXu 2121 ),()( == , em que 0>c e 0>d são constantes

paramétricas.

Valores da constantes paramétricas: 2/1=c , 2/1=d .

0

2

4

6

8

x1

0

2

4

6

8

x2

0

2

4

6

8

u

0

2

4

6

8

x1

0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

Valores das constantes paramétricas: 2=c , 2/1=d .

0

2

4

6

8

x1

0

2

4

6

8

x2

0

100

200

u

0

2

4

6

8

x1

0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

13

• Quase-linear: 2121 )(),()( xxvxxuXu +==

Uma forma funcional específica: 2121 )1ln(),( xxxxu ++=

0

1

2

3

4

5

x1

0

1

2

3

4

5

x2

0

2

4

6

u

0

1

2

3

4x1

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

Utilidade marginal: A utilidade marginal do bem i, iUM , é a variação da utilidade gerada pela

variação em uma unidade do bem i, ceteris paribus. Em termos matemáticos, pode ser definida

como a taxa média de variação da função utilidade com relação ao bem i, a saber:

ii

niniii

x

u

x

xxxuxxxxuUM

∆∆

=∆

−∆+=

),...,,...,(),...,,...,( 11 .

Ou, em termos contínuos, como a derivada parcial da função utilidade com relação ao bem i, a

saber:

ii

xix

Xu

x

uUM

i ∂∂

≡∆∆

=→∆

)(lim

0, se este limite existir.

Implicação do axioma da monotonicidade em termos de utilidade marginal: Suponha que se dê ao

consumidor uma quantidade adicional do bem i, ou seja, suponha 0>∆ ix , mantendo todas as

quantidades consumidas dos demais bens constantes. Se vale o axioma da monotonicidade, então

),...,,...,(),...,,...,( 11 ninii xxxxxxx f∆+ . Logo, pela definição de função utilidade,

),...,,...,(),...,,...,( 11 ninii xxxuxxxxu >∆+ , ou seja, 0>∆u . Portanto, 0>∆∆

=i

ix

uUM . Em suma, se

vale o axioma da monotonicidade, segue que as utilidades marginais são estritamente positivas.

Taxa marginal de substituição e utilidades marginais: A partir da função utilidade podemos obter a

taxa marginal de substituição do bem 2 pelo bem 1, denotada por 1por 2TMS . Considere um

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consumidor que está consumindo uma cesta ),( 21 xxX = . Imaginemos uma variação no consumo de

cada bem ),( 21 xx ∆∆ , de maneira que a nova cesta ),( 2211 xxxxX ∆+∆+=′ seja indiferente a cesta X

ou ,equivalentemente, que a utilidade se mantenha constante ( 0=∆u ). Devemos ter, então:

02211 =∆=∆+∆ uxUMxUM .

Logo, a taxa média de variação ao longo da curva de indiferença a qual pertence à cesta X é dada

por:

2

1

1

2

UM

UM

x

x−=

∆∆

.

A 1por 2TMS é, por definição, o módulo desta taxa:

2

1

1

21por 2

UM

UM

x

xTMS =

∆∆

−= .

Façamos o mesmo exercício utilizando as ferramentas do cálculo. O diferencial total da função

utilidade ),( 21 xxu é, por definição:

22

211

1

21 ),(),(dx

x

xxudx

x

xxudu

∂∂

+∂

∂= ,

o qual fornece uma aproximação da variação da utilidade u quando o consumidor passa da cesta de

consumo ),( 21 xxX = para a cesta ),( 2211 dxxdxxX ++=′ . Se o consumidor se mantém na mesma

curva de indiferença, ou seja, sua utilidade se mantém constante, então 0=du . Logo,

0),(),(

22

211

1

21 =∂

∂+

∂∂

dxx

xxudx

x

xxu,

da qual obtemos a derivada da curva de indiferença cuja utilidade associada é ),( 21 xxu :

2

1

2

21

1

21

),(1

2

),(

),(

21UM

UM

x

xxu

x

xxu

dx

dx

xxu

−≡

∂∂

∂∂

−= .

Enfim, a 1por 2TMS pode ser expressa como o módulo desta derivada:

15

2

1

2

21

1

21

1por 2 ),(

),(

UM

UM

x

xxu

x

xxu

TMS ≡

∂∂

∂∂

= .

Exemplos de cálculo da TMS: na lousa.

Exercícios: Resolva todas as “Questões de Revisão” propostas por Varian (2006, cap. 4). Resolva o

problema 8 das “Questões para Revisão” e os problemas 5 e 6 dos “Exercícios” propostos por

Pindyck e Rubinfeld (2006, cap. 3). Resolva os “Problems” 3.1, 3.3, 3.4, 3.8, 3.9 e 3.10 de

Nicholson (2005, cap. 3).