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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto

Departamento de Economia

Disciplina: REC0215 – Microeconomia I

Docente Responsável: Jaylson Silveira

2.1.4. Demanda individual: estática comparativa da escolha ótima do consumidor

Leitura básica: Varian (2006, cap. 6 e 8).

Análise estática comparativa: Estudo de como um equilíbrio econômico é alterado quando ocorre

uma determinada variação no ambiente econômico. Mais precisamente, procura-se determinar como

os valores das variáveis endógenas que caracterizam o estado de equilíbrio de um sistema ou de um

agente econômico são alterados por mudanças nas variáveis exógenas que parametrizam este

equilíbrio. Esta análise é feita sem a preocupação com o processo de ajustamento entre os

equilíbrios e supondo que este processo leva de fato ao novo equilíbrio.

Análise estática comparativa da escolha ótima do consumidor: Procura-se determinar como as

quantidades ótimas dos n bens demandadas pelo consumidor (ou seja, as variáveis endógenas do

equilíbrio do consumidor) são alteradas por mudanças na renda e nos n preços (as variáveis

exógenas) que parametrizam sua escolha ótima.

Impacto de variações na renda sobre a escolha ótima do consumidor: A depender da relação de

preferência sobre o espaço de mercadorias M, uma variação da renda de um consumidor em um

determinado sentido pode acarretar uma variação do consumo do i-ésimo bem no mesmo sentido ou

no sentido oposto. Quando a variação do consumo é no mesmo sentido, diz-se que o bem i é

normal. Por sua vez, caso a variação do consumo deste bem seja no sentido oposto à variação da

renda, o bem i é denominado um bem inferior. Em outros termos, se ),,( 21* mppxx ii = é a demanda

marshalliana pelo bem i, diz-se que este bem é normal ou inferior com relação à renda no ponto

),,( 21 mpp se 0),,( 21>

∂

∂

m

mppxi e 0),,( 21<

∂

∂

m

mppxi , respectivamente.

Figura 6.1 de Varian (2006, cap. 6)

Figura 6.2 de Varian (2006, cap. 6)

Curva de renda-consumo ou caminho de expansão da renda: Para dados preços ),( 21 ppp = , as

funções demanda marshalliana dos bens 1 e 2, ),(1 mpx e ),(2 mpx , definem uma função vetorial

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k),(j),()( 21 mpxmpxmR +≡ , na qual ]01[j = e ]10[k = são vetores. Portanto, a função

vetorial )(mR associa a cada nível de renda m um vetor ]),(),([ 21 mpxmpx . O conjunto de pontos

)),(),,(( 21 mpxmpx gera um gráfico da função vetorial )(mR no espaço de mercadorias, que é

denominado curva de renda-consumo ou caminho de expansão da renda.

Curvas de Engel:1 Para dados preços ),( 21 ppp = , a função demanda marshalliana do i-ésimo,

),( mpxi , define uma função que associa a cada nível de renda m a escolha ótima *ix . Esta função é

denominada curva de Engel do bem i.

Figura 6.3 de Varian (2006, cap. 6)

Fonte: Binger, B. R.; Hoffman, E. Microeconomic with calculus. 2nd ed. New York: Addison-Wesley, 1998.

1 A denominação é devida ao estatístico alemão do século XIX Christian Lorenz Ernest Engel que estudou está relação.

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Fonte: Binger, B. R.; Hoffman, E. Microeconomic with calculus. 2nd ed. New York: Addison-Wesley, 1998.

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Exemplos:

• Curvas de renda-consumo e de Engel de substitutos perfeitos:

Figura 6.4 de Varian (2006, cap. 6)

• Curvas de renda-consumo e de Engel de complementares perfeitos:

Figura 6.5 de Varian (2006, cap. 6)

• Curvas de renda-consumo e de Engel de preferências Cobb-Douglas:

Figura 6.6 de Varian (2006, cap. 6)

• Curvas de renda-consumo e de Engel de preferências quase-lineares:

Figura 6.8 de Varian (2006, cap. 6)

Bens de luxo versus bens necessários: Como já dito, para dados preços ),( 21 ppp = , a função

demanda marshalliana do i-ésimo bem, ),( mpxi , define uma curva de Engel para este bem. Assim,

a elasticidade da demanda do bem i com relação à renda no ponto ),( mp , ou mais compactamente,

a elasticidade-renda da demanda pode ser definida como:

),(

),(

mpx

m

m

mpx

i

imxi

∂

∂≡ε .

Se o bem i é normal, ou seja, se 0),(>

∂

∂

m

mpxi , então 0>mxiε . Além disso, se 1>mxi

ε diz-se que

este bem é de luxo, caso 1<mxiε o bem i é classificado como necessário.

Preferências homotéticas: Uma relação de preferência ~f é homotética se as curvas de indiferença

são relacionadas por expansões proporcionais ao longo de raios partindo da origem, isto é, se

YX ~ , então tYtX ~ para qualquer escalar 0≥t . Isto pode ser posto em termos de utilidade da

seguinte forma, se )()( YuXu = , então )()( tYutXu = para qualquer 0≥t . Note que relações de

preferência homotéticas apresentam TMS2por1 que dependem apenas da razão 12 xx , ou seja, as

curvas de renda-consumo são lineares. Ademais, como a curva de Engel é também linear, para bens

normais tem-se 1=mxiε .

Figura 6.7 de Varian (2006, cap. 6)

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Impacto de variações no preço do bem i sobre a demanda deste bem: A depender da relação de

preferência sobre o espaço de mercadorias, uma variação do preço de um bem i em um determinado

sentido pode levar o consumidor a mudar o consumo deste bem no mesmo sentido ou no sentido

oposto. Quando a variação do consumo do bem i é no sentido oposto à variação do seu preço,

ceteris paribus, o bem em questão é denominado bem comum. Por sua vez, quando a variação do

consumo é no mesmo sentido, ou seja, um aumento (diminuição) de ip gera uma expansão

(redução) da demanda pelo bem i, tal bem é denominado bem de Giffen. Em outros termos, se

),,( 21* mppxx ii = é a demanda marshalliana pelo bem i, diz-se que este bem no ponto ),,( 21 mpp é

comum se 0),,(

1

21<

∂

∂

p

mppxi ou de Giffen se 0),,(

1

21>

∂

∂

p

mppxi .

Figura 6.9 de Varian (2006, cap. 6)

Figura 6.10 de Varian (2006, cap. 6)

Curva de preço-consumo: Para dados preço do bem 2,1=≠ ij e renda m, as funções de demanda

marshalliana dos bens 1 e 2, ),(1 mpx e ),(2 mpx , definem uma função vetorial

k),(j),()( 21 mpxmpxpP i +≡ , na qual ]01[j = e ]10[k = são vetores. Portanto, a função

vetorial )( ipP associa a cada nível de preço ip um vetor ]),(),([ 21 mpxmpx . O conjunto de

pontos )),(),,(( 21 mpxmpx gera um gráfico da função vetorial )( ipP no espaço de mercadorias,

que é denominado curva de preço-consumo.

Figura 6.11 de Varian (2006, cap. 6)

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Fonte: Binger, B. R.; Hoffman, E. Microeconomic with calculus. 2nd ed. New York: Addison-Wesley, 1998.

Curvas de demanda: Para dados preço do bem 2 e renda m, a função demanda marshalliana do bem

1, ),(1 mpx , define uma função que associa a cada nível de preço 1p e renda m a escolha ótima *1x .

O gráfico desta função é denominado curva de demanda do bem 1.

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Fonte: Binger, B. R.; Hoffman, E. Microeconomic with calculus. 2nd ed. New York: Addison-Wesley, 1998. Exemplos:

• Curvas de preço-consumo e de demanda de substitutos perfeitos:

Figura 6.12 de Varian (2006, cap. 6)

• Curvas de preço-consumo e de demanda de complementares perfeitos:

Figura 6.13 de Varian (2006, cap. 6)

• Curvas de preço-consumo e de demanda de bens discretos:

Figura 6.14 de Varian (2006, cap. 6)

Impacto de variações no preço de bem j sobre a demanda do bem ji ≠ : A depender da relação de

preferência sobre o espaço de mercadorias M, uma variação do preço de um bem ij ≠ em um

determinado sentido pode levar o consumidor a mudar o consumo do bem i no mesmo sentido ou

no sentido oposto. Quando a variação do consumo do bem i é no sentido oposto à variação do preço

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do bem j, ceteris paribus, o bem i é um bem complementar do bem j. Por sua vez, quando a

variação do consumo é no mesmo sentido, ou seja, um aumento (diminuição) de jp gera uma

expansão (redução) da demanda pelo bem i, tal bem é um substituto do bem j. Em outros termos, se

),,( 21* mppxx ii = é a demanda marshalliana pelo bem i, diz-se que este bem no ponto ),,( 21 mpp é

complementar do bem 2,1=≠ ij se 0),,( 21<

∂

∂

j

i

p

mppx e substituto do referido bem se

0),,( 21>

∂

∂

j

i

p

mppx.

Fonte: Binger, B. R.; Hoffman, E. Microeconomic with calculus. 2nd ed. New York: Addison-Wesley, 1998.

Exercícios: Resolva todas as “Questões de Revisão” propostas por Varian (2006, cap. 6). Resolva

os problemas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 dos “Exercícios” propostos por Pindyck e Rubinfeld (2006, cap. 4).

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Intuição fundamental sobre a separação analítica do efeito de uma variação de preço sobre o

consumo de uma mercadoria: Quando o preço de um bem i varia, há dois efeitos sobre as condições

que determinam a nova escolha ótima do consumidor por esse bem. O primeiro efeito é sobre a taxa

à qual o consumidor pode trocar o bem i por outro bem qualquer ij ≠ , ou seja, a taxa de troca

ji pp é alterada. O segundo efeito é sobre a renda do consumidor. Como veremos, estes dois

efeitos podem ser separados.

Efeito total: É a variação gerada no consumo (escolha ótima) de um bem i, *ix∆ , quando seu preço,

ip∆ , varia, ceteris paribus. A variação da quantidade consumida pode se dar, a priori, no sentido

oposto ou não ao da variação do preço, ou seja, 0*

<∆

∆

i

i

p

x ou 0

*

>∆

∆

i

i

p

x. Note que

i

i

p

x

∆

∆*

é a taxa média

de variação da quantidade ótima do bem i com relação ao preço desse bem. Seja ),,( 21* mppxx ii = a

função demanda marshalliana (ou walrasiana) pelo bem i. O efeito total pode ser aproximado por:

i

i

ii p

p

mppxx ∆

∂

∂≅∆

),,( 21* .

Portanto, i

i

p

mppx

∂

∂ ),,( 21 pode ser visto como uma aproximação da taxa média de variação i

i

p

x

∆

∆*

, que

fornece a média do efeito total por unidade de variação do preço do bem i.

Princípio fundamental: O efeito total pode ser decomposto em duas partes, a saber, o efeito

substituição e o efeito renda. Primeiramente, deixa-se que os preços relativos variem, mantendo o

poder aquisitivo ou nível de utilidade constante, e avalia-se o impacto sobre o consumo ótimo do

bem em questão. Em seguida, mantendo-se os preços relativos constantes, deixa-se que o poder

aquisitivo se ajuste e avalia-se o impacto resultante sobre o consumo do bem em análise.

Efeito substituição: É a variação na quantidade consumida do bem i devido à variação da taxa à

qual este bem é trocado com relação ao bem ij ≠ , mantendo o poder aquisitivo (renda real) ou

grau de satisfação (nível de utilidade) constante.

Compensação de Slutsky: Para uma dada situação ),,( 21 mpp o consumidor demanda as quantidades

),,( 211*1 mppxx = e ),,( 212

*2 mppxx = dos bens 1 e 2, respectivamente, gastando *

22*11 xpxpm += .

Se o preço do bem 1 muda para 1p′ , gerando uma variação 111 ppp −′=∆ , o consumidor deveria

gastar *22

*11 xpxpm +′=′ para continuar consumido a cesta ),( *

2*1 xx . Assim, sua renda monetária (ou

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nominal) deveria variar *111

*22

*11

*22

*11 )()( xppxpxpxpxpmmm −′=+−+′=−′=∆ . Esta variação da

renda que mantém o poder aquisitivo do consumidor é denominada compensação de Slutsky.

Efeito substituição de Slutsky: É a variação na quantidade consumida do bem i devido à variação da

taxa à qual este bem é trocado com relação ao bem ij ≠ , quando o consumidor está sujeito a uma

compensação de Slutsky.

Efeito renda (do tipo Slutsky): É a diferença entre o efeito total e o efeito substituição de Slutsky.

Figura 8.1 de Varian (2006, cap. 8)

Figura 8.2 de Varian (2006, cap. 8)

Exemplos de efeito renda e substituição do tipo Slutsky:

• Bens inferiores e o caso Giffen:

Figura 8.3 de Varian (2006, cap. 8)

• Complementares perfeitos:

Figura 8.4 de Varian (2006, cap. 8)

• Substitutos perfeitos:

Figura 8.5 de Varian (2006, cap. 8)

• Preferências quase-lineares:

Figura 8.6 de Varian (2006, cap. 8)

Exemplo numérico: Na lousa.

Compensação de Hicks: Para uma dada situação ),,( 21 mpp o consumidor demanda as quantidades

),,( 211*1 mppxx = e ),,( 212

*2 mppxx = dos bens 1 e 2, respectivamente, atingindo um nível de

utilidade ),( *2

*1

* xxuu = . Se o preço do bem 1 muda para 1p′ , gerando uma variação 111 ppp −′=∆ , o

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consumidor para se manter na mesma curva de indiferença deveria escolher uma nova cesta de

consumo ),( 21 xx ′′ tal que *21 ),( uxxu =′′ . É claro que o consumidor deveria fazer isto gastando o

menor valor possível, ou seja, deveria resolver o seguinte problema de minimização de gasto (ou

despesa):

22110 xpxpMin

X+

≥ sujeito à restrição *

21 ),( uxxu = .

Assim, sua renda monetária (ou nominal) deveria variar mxpxpm −′+′=∆ 2211 . Esta variação da

renda que mantém o nível de utilidade é denominada compensação de Hicks. A solução do

problema de otimização condicionada supra citado parametrizada pelo vetor ),,( *21 upp é

denominada demanda hicksiana.

Efeito substituição de Hicks: É a variação na quantidade consumida do bem i devido à variação da

taxa à qual este bem é trocado com relação ao bem ij ≠ , quando o consumidor está sujeito a uma

compensação de Hicks.

Efeito renda (do tipo Hicks): É a diferença entre o efeito total e o efeito substituição de Hicks.

Figura 8.9 de Varian (2006, cap. 8)

Exemplo numérico: Na lousa.

Equação de Slutsky: Na lousa.

Curvas de demanda: Resumindo, há três tipos de curvas de demanda. A curva de demanda comum

(marshalliana ou walrasiana) é uma função que associa a cada preço de um determinado bem a

quantidade ótima desse bem, mantendo constante a renda monetária do consumidor e o preço dos

demais bens. Por sua vez, a curva de demanda slutskyana é uma função que associa a cada preço de

um determinado bem a quantidade ótima desse bem, mantendo constante o poder aquisitivo

(compensação de Slutsky) e o preço dos demais bens. Finalmente, a curva de demanda hicksiana é

uma função que associa a cada preço de um determinado bem a quantidade ótima desse bem,

mantendo constante a utilidade do consumidor e o preço dos demais bens.

Lei da demanda: Se um bem i é normal com relação à renda, então a demanda desse bem tem que

diminuir (aumentar) quando seu preço aumentar (diminuir). Ademais, se a demanda de um bem j

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diminui (aumenta) quando seu preço diminui (aumenta), então esse bem é inferior com relação à

renda, sendo denominado um bem de Giffen.

Exercícios: Resolva todas as “Questões de Revisão” propostas por Varian (2006, cap. 8). Resolva

os problemas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 dos “Exercícios” propostos por Pindyck e Rubinfeld (2006, cap. 4, p.

129) após o Apêndice do capítulo 4. Resolva os “Problems” 5.1, 5.3 e 5.5 de Nicholson (2005, cap.

5).