Notas de Aula:

Aula 3- Movimento de Corpos

Rgidos: Fora e Acelerao.

3.1 Equaes de Movimento para um Corpo Rgido

Considerando um corpo rgido qualquer,

como mostrado na figura 3.1, e diversas foras

externas agindo sobre ele, recordamos que da

segunda Lei de Newton temos:

= (3.1)

Onde m a massa do corpo e a a

acelerao, mas como estamos tratando de

corpo rgido, temos que considerar a acelerao

do centro de massa (G) do corpo.

Outra equao que ser utilizada :

= (3.2)

Onde:

= (3.3)

E

= (3.4)

Figura3. 1 Corpo rgido generalizado sobre ao de diversas foras externas.

Notas de Aula:

Sendo, H o momento angular, H a variao do momento angular, M o

momento de uma fora e MG o momento resultante em relao ao centro de

massa.

3.2 Algumas Consideraes Adicionais.

Como vimos, h praticamente 3 tipos de movimento, translao, rotao

e a combinao dos dois anteriores.

Translao: quando o corpo possui

apenas movimento de translao, a

acelerao angular do corpo nula,

portanto temos que a relao da

equao 3.2 nula ficando:

=

= 0

Rotao em torno do centro de

massa: Nesses casos de

movimento, a acelerao linear do

centro de massa nula, portanto

as relaes se tornam:

= 0

=

Sendo I o momento de inrcia do corpo I=mr2.

Figura3. 2 Translao

Figura3. 3 Rotao em torno do centro de massa.

Notas de Aula:

Movimento Plano Geral: Nesses casso onde temos uma combinao

dos movimentos anteriores, usamos:

= 0

= + . .

Outra considerao importante, o princpio

de transmissibilidade, que estabelece que as

condies de equilbrio de um corpo rgido

permanecero inalteradas se uma fora F

que atua em um determinado ponto do corpo

for substituda por uma mesma fora atuando

em um ponto diferente desse corpo s que

na mesma linha de ao, como mostrado na

figura 3.3.

3.3 Soluo de Problemas Envolvendo Corpo Rgido.

A soluo de muitos problemas envolvendo corpos rgidos pode ser

simplificada por uma escolha apropriada do ponto em relao ao qual so

calculados os momentos das foras.

O uso de uma representao por figuras fornece um melhor entendimento

do efeito das foras sobre o movimento do corpo.

Esse procedimento possibilita dividir a soluo de um problema de

dinmica em duas partes: na primeira parte, a anlise das caractersticas

Figura3. 4 Princpio da Transmissibilidade.

Notas de Aula:

cinemticas e cinticas do problema leva aos diagramas de corpo livre;

na segunda, o diagrama obtido usado para analisar as vrias foras e

vetores envolvidos.

Exerccios Resolvidos:

3.1 (Beer Cap 16 exerccio resolvido 02)

A placa fina ABCD de 8 kg de massa mantida na posio mostrada pelo

fio BH e pelas duas hastes de conexo AE e DF. Desprezando as massas das

hastes de conexo, determine, imediatamente aps o fio BH ser cortado, (a) a

acelerao da placa e (b) a fora em cada haste de conexo.

Resoluo:

Anlise das Caractersticas Cinemticas:

Depois de o fio BH ter sido cortado, observamos que os cantos A e D se

movem ao longo de circunferncias paralelas de raios iguais a 150 mm

centradas, respectivamente, em E e F. O movimento da placa , portanto, uma

translao curvilnea; as partculas que formam a placa se movem ao longo de

circunferncias paralelas de 150 mm de raio. No instante em que o fio BH

cortado, a velocidade da placa nula.

Notas de Aula:

Assim, a acelerao a do centro de massa G da placa tangente

trajetria circular que ser descrita por G.

Equaes do Movimento:

As foras externas consistem no peso W e nas foras FAE e FDF

exercidas pelas hastes de conexo. Como a placa est em translao, as foras

efetivas se reduzem ao vetor ma ligado a G e dirigido ao longo do eixo t (tangente

a trajetria circular). Uma equao de diagrama de corpo livre traada para

mostrar que o sistema de foras externas equivalente ao sistema de foras

efetivas. (O eixo n o eixo normal a trajetria circular).

a) A acelerao da placa

podemos encontrar utilizando o

sistema de referncia centrado em

G e com direes tangentes e

normais a trajetria circular da

placa. Sendo assim a segunda Lei

de Newton fica:

= .

. 30 = .

Notas de Aula:

. . 30 = .

= . cos 30

= 9,8 30

= , /()

b) Foras nas hastes de conexo AE e DF

Vamos primeiramente utilizar a segunda lei de Newton para achar a

somatria das foras na direo n, como no h movimento nessa direo a

soma deve ser nula portanto:

= 0

+ 30 = 0 (1)

Ainda temos duas incgnitas,

portanto vamos utilizar a segunda

relao que envolve o momento das

foras totais que na translao deve ser

nulo:

= 0

|

0,25 0,1 030 30 0

| + |

0,25 0,1 030 30 0

| = 0

(30. 0,25) (30. 0,1) (30. 0,25) + (30. 0,1) = 0

0,125 0,087 0,125 + 0,087 = 0

0,212 0,038 = 0

= 0,179 (2)

Substituindo (2) em (1) temos:

Notas de Aula:

+ 30 = 0

0,179 + 30 = 0

0,821 = 30

=. . 30

0,821

= . , .

, = ,

Substituindo o valor encontrado em (2):

= 0,179

= ,

3.2 (Beer Cap 16 exerccio resolvido 03)

Uma polia que pesa 6 kg e tem um raio de girao

de 200 mm est unida a dois blocos, como mostrado na

figura. Considerando que no exista atrito no eixo,

determine a acelerao angular da polia e a acelerao

de cada bloco.

Resoluo:

Tomando o sentido anti-horrio como sendo positivo,

podemos escrever as aceleraes lineares de A e de B

como:

= .

= 0,25 (1)

= 0,15 (2)

Como temos um movimento geral, ou seja a rotao

da polia e a translao dos blocos, vamos utilizar a relao:

= + . .

Notas de Aula:

. . . . = + + (3)

O momento de inercia da polia, podemos considerar como sendo um anel fino

de raio 0,2 m onde toda a massa esteja acumulada, portanto:

= 2

= 6 0,22

= 0,24 . 2

Substituindo em 3 temos:

5 9.8 0,15 2,5 9,8 0,25 = 0,24 + 5 0,15 0,15 + 2,5 0,25 0,25

7,36 6,13 = 0,24 + 0,11 + 0,16

= , /

Substituindo o valor da acelerao encontrado em (1) e (2) temos:

= , , = , /

= , , = , /

3.3 (Beer Cap 16 exerccio resolvido 04)

Uma corda est enrolada em torno de um disco

homogneo de raio r = 0,5 m e massa m = 15 kg. Se a

corda for puxada para cima com uma fora T de

intensidade igual a 180 N, determine (a) a acelerao

do centro do disco, (b) a acelerao angular do disco e

(c) a acelerao da corda.

Resoluo:

a) Como no temos movimento no eixo x, faremos apenas a somatria em y:

=

=

=

=180 15 9,8

15= 2,19

= , /

Notas de Aula:

b)

=

=

= (1

22)

=2

=

2 180

15 0,5= 48

= /

c) A acelerao da corda igual a componente tangencial da acelerao no

ponto A do disco:

= () = + (/)

= 2,19 + (0,5 48)

= , /

Exerccios de Fixao:

3.4 (Beer Cap 16 exerccio 14)

Uma placa retangular uniforme tem uma massa de 5 kg e mantida na posio por trs cordas como mostrado na figura. Sabendo que =30, determine, imediatamente depois da corda CF ter sido cortada, (a) a acelerao da placa, (b) a trao nas cordas AD e BE.

Resposta:

Notas de Aula:

3.5 (Beer Cap 16 exerccio 32)

O volante de motor mostrado na figura tem um

raio de 500 mm, massa de 120 kg e um raio de girao

de 375 mm. Um bloco A de 15 kg preso a um fio que

enrolado em torno do volante e o sistema solto a

partir do repouso. Desprezando o efeito do atrito,

determine (a) a acelerao do bloco A, (b) a

velocidade do bloco A depois de ele ter se deslocado

1,5 m.

Resposta:

Bibliografia:

MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G.; Mecnica para engenharia Dinmica. Vol. 2, 6 ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. ISBN: 9788521617174

Ferdinand, P. BEER; RUSSEL, E.Johnston, Jr. Mecanica Vetorial para Engenheiros - Dinmica. Vol.

2, 9 ed.; AMG editora Ltda, 2012. ISBN: 007724961X /9780077249168

HIBBELER, R. C.; Mecnica para engenharia Dinmica. Vol. 2, 10 ed. Person Education do Brasil, 2005. ISBN: 8587918966