Notas de Aula de SMA300 - Geometria Analítica

Notas de Aula de SMA300 - Geometria Analítica

Wagner Vieira Leite NunesDepartamento de Matemática

ICMC - USP

fevereiro de 2014

2

Sumário

1 Avisos Gerais sobre a Disciplina 5

2 Introdução 17

3 Vetores no Plano e no Espaço 19

4 Sistemas de Coordenadas em plano e espaço 161

5 A Reta no Plano e no Espaço 173

6 O Plano no Espaço 187

7 Posições Relativas 225

8 Perpendicularismo e Ortogonalidade 257

9 Ângulos 271

10 Distâncias 285

11 Mudança de Coordenadas 313

12 As Cônicas 379

13 Superfícies 423

A Matrizes 503

B Sistemas Lineares 529

3

4 SUMÁRIO

Capítulo 1

Avisos Gerais sobre a Disciplina

1.a aula - 25.02.2014

1.1 Página na web da disciplina

A página da disciplina SMA300-Geometria Analítica tem o seguinte endereço:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/sma300.html

1.2 Endereço de email dos professores

O endereço de email dos professores que ministrarão a disciplina SMA300-Geometria Analíticasão:

prof. Daniel Levcovitz: [email protected]

prof. Farid Tari: [email protected]

prof. Hermano de Souza Ribeiro: [email protected]

prof. José Eduardo Prado Pires de Campos: [email protected]

prof. Marcelo Souza Castro:: [email protected]

profa. Maria do Carmo Carbinatto: [email protected]

profa. Regilene Delazari dos Santos Oliveira: [email protected]

profa. Sueli Mieko Tanaka Aki: [email protected]

prof. Wagner Vieira Leite Nunes: [email protected]

5


mailto:[email protected]









6 CAPÍTULO 1. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA

1.3 Salas dos professores no ICMC

As salas dos professores, no ICMC, que ministrarão a disciplina SMA300-Geometria Analíticaserão:

prof. Daniel Levcovitz: sala 4-116

prof. Farid Tari: sala 4-109

prof. Hermano de Souza Ribeiro: sala 3-121

prof. José Eduardo Prado Pires de Campos: sala 4-218

prof. Marcelo Souza Castro:: sala 3-130

profa. Maria do Carmo Carbinatto: sala 4-238

profa. Regilene Delazari dos Santos Oliveira: sala 3-213

profa. Sueli Mieko Tanaka Aki: sala 4-242

prof. Wagner Vieira Leite Nunes: sala 3-128

1.4 Telefones/Ramais dos professores

Os telefones/ramais dos professores, no ICMC, que ministrarão a disciplina SMA300-GeometriaAnalítica são:

prof. Daniel Levcovitz: (3) 73-9753

prof. Farid Tari: (3) 73-9679

prof. Hermano de Souza Ribeiro: (3) 73-9733

prof. José Eduardo Prado Pires de Campos: (3) 73-9718

prof. Marcelo Souza Castro:: (3) 73-6602

profa. Maria do Carmo Carbinatto: (3) 73-9737

profa. Regilene Delazari dos Santos Oliveira: (3) 73-8627

profa. Sueli Mieko Tanaka Aki: (3) 73-9735

prof. Wagner: (3) 73-9745

1.5. HORÁRIO DAS AULAS 7

1.5 Horário das aulas

Os horários das aulas da disciplina SMA300-Geometria Analítica serão:

prof. Daniel Levcovitz:

Engenharia de Automação - Turma 6:

3.as-feiras, das 14:20 às 16:00, na sala B7, do Bloco B, da EESC5.as-feiras, das 16:20 às 18:00, na sala D8, do Bloco D, da EESC

prof. Farid Tari:

Engenharia Eletrônica - Turma 5:

3.as-feiras, das 14:20 às 16:00, na sala C7, do Bloco C, da EESC5.as-feiras, das 16:20 às 18:00, na sala C7, do Bloco C, da EESC

Engenharia de Produção - Turma 7:

3.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala B7, do Bloco B, da EESC5.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala B7, do Bloco B, da EESC

prof. Hermano de Souza Ribeiro:

Engenharia Civil - Turma 11:


prof. José Eduardo Prado Pires de Campos:

Engenharia Mecânica - Turma 8:


prof. Marcelo Souza Castro::

Engenharia Computação - Turma 4:

2.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala 20, do Bloco Laranja, campus II4.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala 20, do Bloco Laranja, campus II

Engenharia de Materiais e Manufaturas - Turma 13:

2.as-feiras, das 10:10 às 11:50, na sala 24, do Bloco Laranja, campus II4.as-feiras, das 10:10 às 11:50, na sala 24, do Bloco Laranja, campus II

profa. Maria do Carmo Carbinatto:

Bacharelado em Ciências da Computação B - Turma 3:

3.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala 4-005, do ICMC5.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala 4-005, do ICMC

Bacharelado em Química - Turma 14:

3.as-feiras, das 10:10 às 11:50, na sala 4, do Bloco Q5, da Química4.as-feiras, das 10:10 às 11:50, na sala 4, do Bloco Q5, da Química


profa. Regilene Delazari dos Santos Oliveira:

Engenharia de Mecatrônica - Turma 9:

3.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala 26, do prédio da Eng. Mecatrônica5.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala 26, do prédio da Eng. Mecatrônica

profa. Sueli Mieko Tanaka Aki:

Bacharelado em Matemática - Turma 1:3.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala 4-001, do ICMC5.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala 4-001, do ICMC

Bacharelado em Ciências da Computação A - Turma 2:

3.as-feiras, das 10:10 às 11:50, na sala 4-003, do ICMC4.as-feiras, das 10:10 às 11:50, na sala 4-003, do ICMC

prof. Wagner Vieira Leite Nunes:

Engenharia Aeronáutica - Turma 10:

3.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala 31, Bloco Vermelho, do Campus II5.as-feiras, das 8:10 às 9:50, na sala 31, Bloco Vermelho, do Campus II

Engenharia Ambiental - Turma 12:

3.as-feiras, das 14:20 às 16:00, na sala 1 do Prédio da Ambiental, Campus II5.as-feiras, das 16:20 às 18:00, na sala 1 do Prédio da Ambiental, Campus II

Outras informações podem ser obtidas no seguinte endereço da web:


1.6 Ementa da disciplina

A ementa da disciplina SMA300-Geometria Analítica é a seguinte:

1. Vetores no plano e no espaço: definição, propriedades, operações, módulo, ângulo

2. Dependência linear de um conjunto de vetores

3. Bases do plano e do espaço

4. Mudanças de bases

5. Bases ortogonais

6. Matrizes ortogonais

7. Produto escalar, produto vetorial duplo produto vetorial, produto misto de vetores

8. Sistema de coordenadas cartesianas, polares no plano e no espaço

9. Retas e planos


1.7. BILBIOGRAFIA 9

10. Distâncias e ângulos entre retas, reta e plano, palno e plano

11. Classificação cartesiana das curvas e superfícies

12. Estudo elementar das curvas e superfícies: Cônicas e Quádricas

13. Classificação métrica das cônicas

14. Redução de uma cônica a sua forma normal

15. Eixos e focos das cônicas

16. Noções sobre quádricas

No final das notas encontram-se dois apêndices que tratam de questões relacionadas commatrizes e sistemas lineares, cujas idéias e técnicas serão utilizadas ao longo do desenvolvi-mento do conteúdo.


www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/ementa300.html

1.7 Bilbiografia da disciplina

Os livros sugeridos para a disciplina SMA300-Geometria Analítica serão:

Boulos, P. & Boulos, V. - Exercícios Resolvidos de Geometria Analítica

Boulos, P. & Oliveira, J.C. - Geometria Analítica

Callioli, C.A & outros - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica


www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/bibliografia300.html

1.8 Notas de aula

No endereço

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/notas300.html

estarão disponíveis as notas de aula da disciplina SMA300-Geometria Analítica, relativas aoconteúdo desenvolvido pelo professor Wagner, em sala de aula.

As notas de aula serão atualizadas semanalmente.

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/ementa300.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/bibliografia300.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/notas300.html


1.9 Horários de monitoria da disciplina

Os monitores da disciplina SMA300-Geometria Analítica, para as engenharias, serão:

(PAE) Maycon Sullivan Santo Araujo - [email protected] ou [email protected]

(PAE) Césas Augusto Esteves das Neves Cardoso - [email protected] ou [email protected]

(PAE) Alex Carlucci Rezende - [email protected] ou [email protected]

(PAE) (Voluntária) Liliam Carsava Merighe - [email protected]

(do SMA) Marcus Vinicius Pereira de Moraes - [email protected]

(do SMA) Luan Derick - [email protected]

Além desses, há os monitores específicos da disciplina SMA300-Geometria Analítica, paraas seguintes turmas:

Matemática: Pedro Paulo Santos Vieira - [email protected]

Bacharelado em Computação: Tales Prates Correia - [email protected]

Física e Química: Matias Gomes dos Santos Neto - [email protected]

Os monitores das engenharias, ministrarão aulas de exercícios semanalmente e dará plan-tões de dúvidas semanalmente.

Os horários e locais destas monitorias das engenharias serão:

Plantão de dúvidas: de 2.a à 5.a-feira, das 19:00 às 21:00, na sala 3-012 do ICMC

Aula de exercícios: de 2.a à 5.a-feira, das 19:00 às 21:00 na sala C10 da EESC

Observação: Nas aulas de exercícios ministradas pelos monitores, serão passados exercí-cios para os alunos resolverem, durante a aula de exercícios, e entregues ao monitor.

Aos alunos que acertarem mais de 70% desses exercícios, será adicionado 0.5 na nota daprova subsequente.


www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/monitores300.html

1.10 Horário de atendimento dos docentes da disciplinapara suas respectivas turmas

Os horários de atendimento da disciplina SMA300-Geometria Analítica, ministradas pelosprofessores serão:

prof. Daniel Levcovitz: todas ?.as-feiras, das ??:00 às ??:00 na sala do professor.

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/monitores300.html

1.11. LISTAS DE EXERCÍCIOS 11

prof. Farid Tari: todas ?.as-feiras, das ??:00 às ??:00 na sala do professor.

prof. Hermano de Souza Ribeiro: todas ?.as-feiras, das ??:00 às ??:00, na sala doprofessor.

prof. José Eduardo Prado Pires de Campos: todas ?.as-feiras, das ??:00 às ??:00,na sala do professor.

prof. Marcelo Souza Castro:: todas 3.as-feiras e 5.as-feiras, das 13:00 às 14:00, nasala do professor.

profa. Maria do Carmo Carbinatto: todas ?.as-feiras, das ??:00 às ??:00, na salado professor.

profa. Regilene Delazari dos Santos Oliveira: todas ?.as-feiras, das ??:00 às ??:00,na sala do professor.

profa. Sueli Mieko Tanaka Aki: todas ?.as-feiras, das ??:00 às ??:00, na sala doprofessor.

prof. Wagner Vieira Leite Nunes: todas 3.as-feiras, das 16:00 às 18:00, na sala doprofessor.


www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/atendimento300.html

1.11 Listas de exercícios da disciplina

As oito listas de exercícios da disciplina SMA300-Geometria Analítica, podem ser encontradasna seguinte página da web:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/exercicios300.html

1.12 Freqüência na disciplina

Uma condição necesssária (mas não suficiente) para o aluno ser aprovado na disciplinaSMA300-Geometria Analítica, é que sua frequência na disciplina, que denotaremos por F,seja maior ou igual a 70%.

A lista de presença da disciplina será controlada.Só serão aceitas ASSINATURAS ou NOME COMPLETO POR EXTENSO na lista

de presença.Qualquer outro modo NÃO será aceito e será colocado falta na lista de presença.

www.icmc.usp.br//sma300/atendimento300.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/exercicios300.html


1.13 Critério de avaliação e aprovação da disciplina

A avaliação da disciplina SMA300-Geometria Analítica, constará de duas provas, a primeira

prova, que será denotada P1, valendo2

5da nota final, a segunda prova, que será denotada

P2, valendo3

5da nota final, ou seja, a média final, que denotaremos por MF, será dada pela

seguinte fórmula:

MF.=

2 ∗ P1 + 3 ∗ P2

5.

Para ser considerado aprovado na disciplina, a média do aluno na disciplina deverá sermaior ou igual a 5.0 e sua frequência ser maior ou igual a 70%, ou seja:

5.0 ≤ MF e 70% ≤ F.

Outras informações sobre os dois itens acima podem ser encontradas no seguinte endereçoda web:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/criterio300/criterio300.html

1.14 Prova substitutiva da disciplina

O aluno que não obtiver média para aprovação na disciplina SMA300-Geometria Analítica,poderá se submeter a assim denominada prova substitutiva, cujo valor denotaremos porPS.

A nota desta prova entrará na lugar da nota da prova que o aluno perdeu e a médiaserá calculada como no item (1.13), substituindo-se a nota prova perdida pela nota da provasubstitutiva, ou seja,

M.=

2 ∗ PS+ 3 ∗ P2

5ou M

.=

2 ∗ P1 + 3 ∗ PS5

.

SOMENTE poderá fazer a prova substitutiva o aluno que não obteve aprovação nadisciplina, ou seja, se

MF < 5.0 .

Se, após a prova substitutiva, o aluno obtiver

M ≥ 5.0 ,

sua média final será igual a 5.0, ou seja,

MF = 5.0 .

Observação 1.14.1 O conteúdo da prova substitutiva será todo o conteúdo desenvolvidodurante a disciplina fixada pelos docentes da mesma.

Outras informações sobre o item acima podem ser encontradas no seguinte endereço daweb:




1.15. DATAS DAS AVALIAÇÕES 13

1.15 Datas das avaliações, prova substitutiva e de recupe-ração da disciplina

As datas das provas da disciplina serão:prof. Daniel Levcovitz:

Engenharia de Automação - Turma 6:

– 1.a PROVA: 10 de abril - 5.a-feira - sala D8, do Bloco D, da EESC, às16:00 horas.Matéria: até sistemas de coordenadas.

– 2.a Prova: 10 de junho - 3.a-feira - sala B7, do Bloco B, da EESC

– Prova Substitutiva: 24 de junho - 3.a-feira - sala B7, do Bloco B, da EESC

prof. Farid Tari:

Engenharia Eletrônica - Turma 5:

– 1.a PROVA: 10 de abril - 5.a-feira - sala C7, do Bloco C, da EESC., às16:00 horas.Matéria: até sistemas de coordenadas.

– 2.a Prova: 10 de junho - 3.a-feira - sala C7, do Bloco C, da EESC

– Prova Substitutiva: 24 de junho - 3.a-feira - sala C7, do Bloco C, da EESC

Engenharia Produção - Turma 7:

– 1.a PROVA: 10 de abril - 5.a-feira - sala B7, do Bloco B, da EESC, às8:00 horas.Matéria: até sistemas de coordenadas.

– 2.a Prova: 10 de junho - 3.a-feira - sala B7, do Bloco B, da EESC

– Prova Substitutiva: 24 de junho - 3.a-feira - sala B7, do Bloco B, da EESC

prof. Hermano de Souza Ribeiro:

Engenharia Civil - Turma 11:

– 1.a Prova: 9 de abril - 4.a-feira - sala C5, do Bloco C, da EESC



prof. José Eduardo Prado Pires de Campos:

Engenharia Mecânica - Turma 8:

– 1.a Prova: 9 de abril - 4.a-feira - sala C10, do Bloco C, da EESC




prof. Marcelo Souza Castro:

Engenharia de Computação - Turma 4:

– 1.a Prova: 9 de abril - 4.a-feira - sala 20, do Bloco Laranja, Campus II

– 2.a Prova: 11 de junho - 4.a-feira - sala 20, do Bloco Laranja, Campus II

– Prova Substitutiva: 25 de junho - 4.a-feira - sala 20, do Bloco Laranja, Campus II

Engenharia Materiais e Manufaturas - Turma 13:

– 1.a Prova: 9 de abril - 4.a-feira - sala 24, do Bloco Laranja, Campus II

– 2.a Prova: 11 de junho - 4.a-feira - sala 24, do Bloco Laranja, Campus II

– Prova Substitutiva: 25 de junho - 4.a-feira - sala 24, do Bloco Laranja, Campus II

profa. Maria do Carmo Carbinatto:

Bacharelado em Ciências da Computação - Turma 3:

– 1.a Prova: ?? - ?.a-feira - sala 4-005, do ICMC

– 2.a Prova: ?? de ? - ?.a-feira - sala 4-005, do ICMC

– Prova Substitutiva: ?? de ? - 3.a-feira - sala 4-005, do ICMC

Bacharelado em Química - Turma 14:

– 1.a Prova: ?? de ? - ?.a-feira - sala 4, do Bloco Q5, do IQSC

– 2.a Prova: ?? de ? - ?.a-feira - sala 4, do Bloco Q5, do IQSC

– Prova Substitutiva: ?? de ? - ?.a-feira - sala 4, do Bloco Q5, do IQSC

profa. Regilene Delazari dos Santos Oliveira:

Engenharia Mecatrônica - Turma 9:

– 1.a PROVA: 10 de abril - 5.a-feira - sala 26, do Prédio da Eng. Meca-trônica, às 8:00 horas.Matéria: até sistemas de coordenadas.

– 2.a Prova: 10 de junho - 3.a-feira - sala 26, do Prédio da Eng. Mecatrônica

– Prova Substitutiva: 24 de junho - 3.a-feira - sala 26, do Prédio da Eng. Mecatrônica

profa. Sueli Mieko Tanaka Aki:

Bacharelado em Matemática - Turma 1:

1.16. GABARITOS DAS PROVAS 15



– Prova Substitutiva: ?? de ? - ?.a-feira - sala 4-001, do ICMC

Bacharelado em Ciências da Computação - Turma 2:



– Prova Substitutiva: ?? de ? - ?.a-feira - sala 4-003, do ICMC

prof. Wagner Vieira Leite Nunes:

Engenharia Aeronáutica - Turma 10:

– 1.a PROVA: 10 de abril - 5.a-feira - sala 31, do Bloco Vermelho, CampusII, às 8:00 horas.Matéria: até sistemas de coordeandas (página 172 das notas de aula).

– 2.a Prova: 10 de junho - 3.a-feira - sala 31, do Bloco Vermelho, Campus II

– Prova Substitutiva: 24 de junho - 3.a-feira - sala 31, do Bloco Vermelho, CampusII

Engenharia Ambiental - Turma 12:

– 1.a PROVA: 10 de abril - 5.a-feira - sala 1, do prédio da Eng. Ambiental,Campus II, às 16:00.Matérira: até sistemas de coordenadas (página 172 das notas de aula).

– 2.a Prova: 10 de junho - 3.a-feira - sala 1, do prédio da Eng. Ambiental, CampusII

– Prova Substitutiva: 24 de junho - 3.a-feira - sala 1, do prédio da Eng. Ambiental,Campus II

Outras informações sobre os itens acima podem ser encontradas no seguinte endereço daweb:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/datas300.html

1.16 Gabaritos das provas da disciplina

Os gabaritos das provas da disciplina SMA300-Geometria Analítica, que serão aplicadas du-rante o desenvolvimento da mesma, estarão à disposição dos alunos, logo após as mesmasterem sido aplicadas, e se encontrarão no seguinte endereço da web:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/gabaritos300.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/datas300.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma300/gabaritos300.html


1.17 Trancamento da disciplina

A data máxima para o trancamento da disciplina SMA300-Geometria Analítica é 28 de março.Procure a seção de graduação da sua unidade para maiores esclarecimentos de como

proceder o trancamento.

1.18 Números de aulas

O número total de aulas a serem ministradas, serão de 28/30 aulas, sendo que 3 destas serãodestinadas às avaliações.

1.19 Calendário USP

O início do semestre será no dia 17 de fevereiro e o término do mesmo será no dia 8 dejulho.

Não haverá aula nos seguintes dias/semanas:

de 17 à 21 de fevereiro: recepção aos calouros

de 3 à 5 de março: carnaval e cinzas

de 14 à 19 de abril: semana santa

21 de abril: Tiradentes

1 de maio: dia do trabalho

2 e 3 de maio: recesso

12 de junho: jogo do Brasil

17 de junho: jogo do Brasil

19 de junho: Corpus Christi

20 e 21 de junho: recesso

23 de junnho: jogo do Brasil

26 de junho jogo da copa em São Paulo

1 de julho: jogo do Brasil

1.20 Observações finais

Capítulo 2

Introdução

2.a aula - 27.02.2014Estas notas serão utlizadas no curso de Geometria Analítica.Elas possuem todos os elementos que serão desenvolvidos durante o semestre.Ao final destas notas encontram-se a bibliografia utilizada na criação destas notas e dois

apêndices que irão auxiliar no desenvolvimento dos itens a serem desenvolvidos.

17

18 CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO

Capítulo 3

Vetores no Plano e no Espaço

3.1 Introdução

Neste capítulo apresentaremos um elemento muito importante da Geometria Analítica,noespaço (ou no plano), a saber, o vetor.

O conjunto onde faremos nossos estudos será o espaço tridimensional (ou bidimensional),que será indicado por R3 (ou R2) que usalamente será denominado de espaço (ou plano).

Os pontos do espaço R3 (ou do plano R2), serão indicados pelas letras latinas:

A , B , · · · .

As retas do espaço R3 (ou do plano R2), serão indicadas pelas letras latinas minúsculas:

a , b , · · · ,

e os planos do espaço R3, serão denotados pelas letras gregas minúsculas:

α , β , · · · .

Nossas atenções serão voltadas para o espaço.Poderemos fazer um estudo análogo para o plano R2. Para tanto basta adaptar em sua

grande maioria as definições e propriedades que iremos desenvolver a seguir.

3.2 Vetor no Espaço

Começaremos introduzindo a seguinte noção:

Definição 3.2.1 Sejam A ,B dois pontos do espaço.O par ordenado (A ,B) daremos o nome de segmento orientado.O ponto A será dito origem e o ponto B será dito extremidade do segmento orien-

tado (A ,B).Geometricamente, podemos representar o segmento orientado (A ,B) da seguinte

forma:

19

20 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO

B

(Origem)A

3(Extremidade)

Observação 3.2.1

1. Um segmento orientado da forma (A,A) será dito segmento orientado nulo (ousimplesmente, segmento nulo).

(A,A)

2. Dois segmentos orientados serão ditos iguais se suas origens coincidem e suasextremidades também coincidem.

Neste caso escreveremos(A ,B) = (C ,D) .

B = D

A = C

3

(A,B) = (C,D) se, e somente se, A = C e B = D

3. Se os pontos A e B são diferentes (isto é, A = B) então

(A ,B) = (B ,A) ,

isto os segmentos orientados (A ,B) e (B ,A) são diferentes.

B

A

(A ,B)

+

3

(B ,A)

Notação 3.2.1 Um segmento geométrico, de extremos nos pontos A e B, será indicado

AB .O comprimento de um segmento geométrico AB será a distância do ponto A ao

ponto B e será indicado porAB .

Com isto temos as seguintes definições:

Definição 3.2.2 Definimos o comprimento do segmento orientado (A ,B), como sendoo comprimento do segmento de reta que une os pontos A e B, isto é

AB ,

ou ainda, a distância do ponto A ao ponto B, que será indicada por d(A ,B).

3.2. VETOR NO ESPAÇO 21

Definição 3.2.3 Sejam A ,B ,C ,D pontos do espaço.

1. Diremos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) têm mesmo comprimentose os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento, ou seja, se adistância do ponto A ao ponto B for igual a distância do ponto C ao ponto D, ouainda

AB = CD .

B

A

3

C

D

AB = AD

2. Suponhamos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) não são o segmentoorientado nulo.

Diremos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) determinam a mesma direção,se a reta que contém o segmento geométricos AB e a reta que contém o segmentogeométrico CD são paralelas, incluindo-se, o caso em que as retas coincidem.

Neste caso, diremos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) são paralelos eescreveremos

(A ,B) ∥ (C ,D) .

Caso contrário, diremos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) têm direçõesdiferentes ou não paralelos.

A

B

C

D

r

s

As retas r e s são paralelas

E

F

G

H

E , F ,G ,H estão sobre uma mesma reta t

t


Na situação da figura acima, temos que os segmentos orientados (A ,B), (C ,D)

têm mesma direção, assim como os segmentos orientados (E , F), (G ,H).

3. Suponhamos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) (diferentes do segmentonulo) têm a mesma direção (ou seja, são paralelos).

(a) Suponhamos que as retas que contém os segmentos geométricos AB e CD sãodistintas (veja a figura abaixo).

Se os segmentos geométricos

AC e BD

não se interceptam, diremos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D)

têm mesmo sentido, ou seja, unindo-se as origens e as extremidades dossegmentos geométricos em questão, os segmentos geométricos obtidos não seinterceptam.

Caso contrário, isto é, e os segmentos geométricos

AC e BD

se interceptam, ou seja, unindo-se as origens e as extremidades dos segmentosgeométricos em questão, os segmentos geométricos obtidos, se interceptam,diremos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) têm sentidos contráriosou opostos.

A

B

C

D

As retas que contém os segmentos geométricos AB e CD são paralelas e distintas

Os segmentos AC e BD se interceptam

E

F

G

H

Os segmentos EG e FH não se interceptam

Na situação ilustrada acima, temos que os segmentos orientados (A ,B) e(C ,D) têm mesma direção e sentidos opostos, enquanto os segmentos orien-tados (E , F) e (G ,H) têm mesma direção e sentido.


(b) Suponhamos que as retas que contém os segmentos geométricos AB e CD

coincidem (veja a figura abaixo).

Consideremos os pontos A ′ e B ′ do espaço, tais que o ponto A ′ não pertençaàa reta que contém os segmentos geométricos em questão (a saber a reta quecontém os segmentos geométricos AB e CD) e o ponto B ′ seja tomado demodo que o segmento orientado (A ′ , B ′) tenha mesma direção e sentido dosegmento orientado (A ,B) (como no item (a)).

Para obtermos a situação acima, basta tomar uma reta paralela à reta quecontém os pontos A e B, pelo ponto A ′ e sobre esta escolher o ponto B ′ demodo conveniente (como no item (a)).

Se os segmentos orientados (A ′ , B ′), (C ,D) têm mesmo sentido, diremos queos segmentos orientados (A ,B), (C ,D) têm mesmo sentido.

Caso contrário (isto é, se os segmentos orientados (A ′ , B ′), (C ,D) têm senti-dos opostos) diremos que os segmentos orientados (A ,B), (C ,D) têm sentidoscontrários ou opostos.

Os segmentos geométricos AB e CD estão sobre uma mesma reta

A

B

C

A ′

B ′

(A ,B) e (A ′ , B ′) têm mesmo sentido

D

(A ′ , B ′) e (C ,D) têm mesmo sentido

Na situação ilustrada acima, os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) terãomesma direção e sentido.

Na situação abaixo a situação é diferente.


Os segmentos geométricos AB e CD estão sobre uma mesma reta

A

B

D

A ′

B ′


C

Os segmentos geométricos A ′C e B ′D se interceptam

Observação 3.2.2

1. Notemos que, só faz sentido estudar o sentido de vetores que têm a mesma direção.

2. Suponhamos que os pontos A e B, do espaço, são distintos (isto é, A = B).

Então, os segmentos orientados (A ,B) e (B ,A):

(a) têm o mesmo comprimento (pois os segmentos geométricos AB e BA têmmesmo comprimento);

(b) têm a mesma direção (pois os segmentos geométricos AB e BA estão sobreuma mesma reta, a reta que contém os pontos A e B);

(c) e têm sentidos opostos (vide ilustração abaixo).

A

B

A ′

B ′


Os segmentos geométricos A ′B e B ′A se interceptam


Definição 3.2.4 Sejam A ,B ,C ,D pontos do espaço.Diremos que os segmentos orientados são equipolentes, indicando por

(A ,B) ∼ (C ,D)

se, e somente se:

1. ou ambos são o segmento nulo;

2. ou nenhum é o segmento nulo e têm mesmo comprimento, direção e sentido.

A

B

AB = CD, (A ,B) ∥ (C ,D) e têm o mesmo sentido

C

D

Com isto temos a:

Proposição 3.2.1 A relação ∼ tem as seguintes propriedades:

1. (A ,B) ∼ (A ,B) (reflexiva);

2. Se (A ,B) ∼ (C ,D) então (C ,D) ∼ (A ,B) (simétrica);

3. Se (A ,B) ∼ (C ,D) e (C ,D) ∼ (E , F), então (A ,B) ∼ (E , F) (transitiva),

isto é, a relação ∼ é uma relação de equivalência no conjunto formado por todos ossegmentos orientados do espaço.

Demonstração:De 1.:Como o segmento orientado (A ,B) têm mesmo comprimento, direção e sentido do seg-

mento orientado (A ,B), ou seja(A, , B) ∼ (A ,B) .

De 2.:Como o segmento orientado (A ,B) é equipolente ao segmento orientado (C ,D), temos o

segmento orientado (A ,B) têm mesmo comprimento, direção e sentido do segmento orientado


(C ,D), ou seja, o segmento orientado (C ,D) têm mesmo comprimento, direção e sentido dosegmento orientado (A ,B),.

Portanto(C ,D) ∼ (A ,B) .

De 3.:Como o segmento orientado (A ,B) é equipolente ao segmento orientado (C ,D), o seg-

mento orientado (A ,B) têm mesmo comprimento, direção e sentido do segmento orientado(C ,D).

Por outro lado o segmentos orientado (C ,D) é equipolente ao segmento orientado (E , F)

logo, o segmento orientado (C ,D) têm mesmo comprimento, direção e sentido do segmentoorientado (E , F).

Portanto o segmento orientado (A ,B) têm mesmo comprimento, direção e sentido dosegmento orientado (E , F), isto é,

(A ,B) ∼ (E , F) ,

completando a demonstração do resultado.

Com isto temos a:

Definição 3.2.5 Fixado um segmento orientado (A ,B) não nulo, definimos a classe deequipolência associada ao segmento orientado (A ,B), como sendo o conjunto formadopor todos os segmentos orientados que são equipolentes ao segmento orientado (A ,B).

Neste caso diremos que o segmento orientado (A ,B) é um representante da classede equipolência associada ao segmento orientado (A ,B).

Observação 3.2.3

1. Todos os segmentos orientados abaixo pertencem a uma mesma classe de equipo-lência de (A ,B)

7

7

7

7

7

7

77

A

B

2. Seja (A ,B) um segmento orientado, não nulo.

Dois quaisquer elementos da classe de equipolência de (A ,B) são equipolentesentre si.


De fato, se os segmentos orientados (C ,D) e (E , F) estão na classe de equipolênciade (A ,B), então

(C ,D) ∼ (A ,B) e (E , F) ∼ (A ,B) .

Logo, da Proposição (3.2.1) item 3., segue que

(C ,D) ∼ (E , F) .

3. Se o segmento orientado (C ,D) está na classe classe de equipolência do segmentoorientado (A ,B), então o segmento orientado (A ,B) estará na classe classe deequipolência do segmento orientado (C ,D).

De fato, se o segmentos orientado (C ,D) está na classe de equipolência de (A ,B),então

(C ,D) ∼ (A ,B) .

Logo, da Proposição (3.2.1) item 2., segue que

(A ,B) ∼ (C ,D) ,

isto é, o segmento orientado (A ,B) estará na classe classe de equipolência dosegmento orientado (C ,D).

4. Das duas Observações acima segue que qualquer elemento da classe de equipolên-cia pode ser tomado como um representante da respectiva classe.

Além disso, cada segmento orientado é representante de um única classe (se elefosse representante de duas classes essas duas classe teriam que ser iguais).

5. Conclusões:

(a) Todo segmento orientado, não-nulo, pertence a uma única classe de equipo-lência (a classe definida por ele);

(b) Se duas classes tiverem um segmento orientado em comum, elas deverão seriguais, ou seja, duas classes de equipolência ou são iguais ou são disjuntas(isto é, não têm elementos em comum).

Deste modo, o conjunto formado por todos os segmentos orientados não-nulosfica dividido, por meio da relação de equipolência ∼, em subconjuntos não-vazios e disjuntos dois a dois (que são as classe de equipolência, isto é, osconjuntos formados pelos segmentos orientados equipolentes entre si).

Agora estamos preparados para introduzir o conceito mais importante deste capítulo, asaber:

Definição 3.2.6 Um vetor do espaço (ou do plano) é uma classe de equipolência desegmentos orientados, não nulos.


Dado um segmento orientado (A ,B) não nulo, o vetor correspondente a classe deequipolência do segmento orientado (A ,B) será indicado por

−→AB ,

ou seja,−→AB

.= (E , F) ; (E , F) ∼ (A ,B) . (3.1)

Em geral, denotaremos um vetor por:

a , b , · · · ,

isto é, letra latina minúscula, com uma seta em cima.No caso acima, não estaremos interessados quem é um segmento orientado que

representa o mesmo.O conjunto formado por todos os vetores do espaço (ou do plano, respectivamente)

será indicado por V3 (V2, respectivamente).

Para o caso de segmentos nulos temos a:

Definição 3.2.7 Definimos o vetor nulo, que será indicado por O, como sendo o con-junto formado por todos os segmentos orientado nulos, isto é,

O.= (A ,A) ; A pertence ao espaço (ou ao plano) . (3.2)

Observação 3.2.4

1. Um vetor é um conjunto formado por segmentos orientados.

2. Se o vetor for o vetor nulo ,ele será formado pela coleção dos segmentos orientados(A ,A), onde A é um ponto do espaço (ou do plano).

3. Se ele não for o vetor nulo, teremos que ele será o conjunto formado por todos ossegmentos orientado que são, dois a dois, equipolentes entre si.

Logo NÃO podemos desenhar um vetor, mas SIM um segmento orientado que orepresenta (isto é, um representante da classse equipolência definida pelo vetor).

7

7

7

7

7

7

77

Vetor−→AB

A

B

Vetor O

(A ,A)


Assim como fizemos com segmentos orientados podemos comparar vetores, como veremosa seguir:

Definição 3.2.8 Sejam a e b vetores não nulos (ou seja, a , b ∈ V3 (ou V2) e a , b = O).Diremos que os vetores a e b são paralelos (ou determinam uma mesma direção),

indicando pora ∥ b ,

se um segmento orientado que é representante do vetor a, for paralelo a um segmentoorientado, que é representante do vetor b, isto é, se o segmento orientado (A ,B) é umrepresentante do vetor a e o segmento orientado (C ,D) é um representante do vetorb, então

(A ,B) ∥ (C ,D) .

A

B

a ∥ b e a ∥ c

(A ,B) representante de a (C ,D) representante de b

C

D

E

F

(E , F) representante de c

Por definição, o vetor nulo O, é paralelo a todo vetor a e escreveremos

O ∥ a .

Observação 3.2.5 A Definição (3.2.8) acima, não depende da escolha dos representan-tes dos vetores a e b.

De fato, se tomarmos representantes diferentes dos vetores a e b, por exemplo, se osegmento orientado (E , F) é um outro representante do vetor a e o segmento orientado(G ,H) é um outro representante do vetor B, deveremos ter

(E , F) ∼ (A ,B) e (G ,H) ∼ (C ,D) ,

pois os segmetos orientados (A ,B) e (E , F) são representantes do vetor a, isto é, damesma classe de equipolência.

De modo análogo, os segmento orientados (G ,H) e (C ,D) são representantes dovetor b.

Como(E , F) ∥ (A ,B) ,

pois os segmentos orientados (E , F) e (A ,B) pertencem à mesma classe de equipolência,e

(A ,B) ∥ (C ,D) e (G ,H) ∥ (C ,D) ,


pois os segmentos orientados (A ,B), (C ,D) e (G ,H), pertencem à mesma classe deequipolência, segue

(E , F) ∥ (G ,H) ,

mostrando que a Definição acima independe dos representantes que escolhemos paracada um dos vetores a e b.

Quando os vetores têm mesma direção, podemos introduzir a seguinte:

Definição 3.2.9 Se os vetores a e b forem paralelos e não nulos, diremos que eles têmmesmo sentido, se um segmento orientado representante do vetor a tem mesmo sentidode um segmento orientado representante do vetor b, isto é, se o segmento orientado(A ,B) é um representante do vetor a e o segmento orientado (C ,D) é um representantedo vetor b, então os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) têm mesmo sentido.

Veja ilustração abaixo.

A

B

C

D

a e b têm mesmo sentido


De modo análogo, se os vetores a e b forem paralelos (e diferentes do vetor nulo),diremos que eles têm sentidos contrários ou opostos, se um segmento orientado repre-sentante do vetor a tem sentido contrário de um segmento orientado representante dovetor b, isto é, se o segmento orientado (A ,B) é um representante do vetor a e o seg-mento orientado (C ,D) é um representante do vetor b, então os segmentos orientados(A ,B) e (C ,D) têm sentidos contrários.

Veja ilustração abaixo.

A

B

a e b têm sentidos opostos


C

D


Observação 3.2.6 A Definição (3.2.9) acima, não depende da escolha dos representan-tes dos vetores a e b.

De fato, se tomarmos representantes diferentes dos vetores a e b, por exemplo, osegmento orientado (E , F) com representante de a e o segmento orientado (G ,H) comrepresentante de b, deveremos ter

(E , F) ∼ (A ,B) e (G ,H) ∼ (C ,D) ,

pois os segmentos orientados (A ,B) e (E , F) são representantes do vetor a, isto é, damesma classe de equipolância e, de modo análogo, os segmentos orientado (G ,H) e(C ,D) são representantes do vetor b.

Como os segmentos orientados

(E , F) e (A ,B)

têm mesmo sentido (pois pertencem a mesma classe de equipolência), se os segmentosorientados

(A ,B) e (C ,D)

têm mesmo sentido e os segmentos orientados

(G ,H) e (C ,D)

têm mesmo sentido (pois pertencem a mesma classe de equipolência), segue que ossegmentos orientados

(E , F) e (G ,H)

têm mesmo sentido, mostrando que a Definição (3.2.9) acima, independe dos represen-tantes que escolhemos para cada um dos vetores a e b.

De modo análogo, pode-se mostrar que o mesmo ocorre no caso dos segmentos ori-entados

(A ,B) e (C ,D)

terem sentidos opostos.A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.

Outro conceito importante é dado pela:

Definição 3.2.10 Dado um vetor a, definimos a norma ou comprimento do vetor a,indicada por

∥a∥ ,

como sendo o comprimento de um segmento orientado que o representa, isto é, se osegmento orientado (A ,B) é um representante do vetor a, então

∥a∥ .= AB .

Observação 3.2.7


1. Notemos que, a Definição (3.2.10), acima não depende da escolha dos represen-tantes do vetor a.

De fato, se tomarmos um representante diferente dos vetor a, por exemplo, se osegmento orientado (C ,D) é um outro representante do vetor a, deveremos ter

(C ,D) ∼ (A ,B) ,

pois os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) são representantes do vetor a, istoé, da mesma classe de equipolância.

Como os segmentos orientados

(C ,D) e (A ,B)

têm mesmo comprimento, pois pertencem a mesma classe de equipolência, temosque

∥a∥ = CD ,

isto é, o comprimento do vetor a, independe da escolha do segmento orientadoque o representa.

2. Um vetor a tal que∥a∥ = 1

será dito vetor unitário (isto é, um vetor de comprimento 1, também chamadode versor ).

3. Vale observar que, um vetor não nulo, fica inteiramente caraterizado se conhecer-mos seu comprimento, sua direção e seu sentido, isto é, se fixarmos um compri-mento, uma direção e sobre esta um sentido, existe um único vetor que satisfaz atodos esses elementos.

4. Suponhamos que os pontos A e B são distintos.

Neste caso, como vimos anteiormente, os segmentos orientados

(A ,B) e (B ,A)

têm mesmo comprimento, direção e sentidos opostos.

Devido a estes fatos, o vetor−→BA será denominado vetor oposto do vetor

−→AB.

Notemos que, estes dois vetores têm mesmo comprimento, direção e sentidos opos-tos, e assim utilizaremos a seguinte notação:

−−→AB

.=

−→BA .

Em geral, dado um vetor a, não nulo, o vetor que tem mesma norma, direção esentido oposto do vetor a será denominado vetor oposto do vetor a será indicadopor

−a .

As propriedades que caracterizam o vetor −a são: tem mesmo comprimento,mesma direção e sentido oposto do vetor a.


Um resultado que será muito importante ao longo deste capítulo é dado pela:

Proposição 3.2.2 Dado um vetor a e um ponto A, podemos encontrar um único pontoB, de modo que

−→AB= a ,

isto é, existe um único ponto B, de modo que o segmento orientado (A ,B) seja umrepresentante do vetor a.

Demonstração:Notemos que, se o vetor a for o vetor nulo, basta considerarmos

B.= A ,

e assim teremos

a = O =−→AA=

−→AB ,

e o ponto

B = A

será o único com a propriedade acima.Suponhamos agora, que a = O.Construção do ponto B:Consideremos (C ,D), um segmento orientado, que representa o vetor a, isto é,

−→CD= a .

7

C

D

A

Encontremos um ponto B, sobre a reta paralela a reta←→CD, que passa pelo ponto A, de

tal modo que

(A ,B) ∼ (C ,D) .


A

B

C

D

Deste modo temos que o segmento orientado (A ,B) será um representante do vetor a,isto é,

−→AB= a ,

pois, por construção, os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) terão mesma direção, sentidoe comprimento.

Unicidade do ponto B:Suponhamos que os segmentos orientados

(A ,B) e (A ,B ′)

são representantes do vetor a.Então, deveremos ter

(A ,B) ∼ (A ,B ′) ,

isto é, os segmento orientados (A ,B) e (A ,B ′) têm mesmo comprimento, direção e sentido,o que implicará que

B ′ = B ,


7

A

B ′ = B

3.3. ADIÇÃO DE VETORES 35

Observação 3.2.8 Observemos que se os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) são equi-polentes (isto é, têm mesmo comprimento, direção e sentido) então os vetores

−→AB e

−→CD

são iguais, isto é,

(A ,B) ∼ (C ,D) , implicará que−→AB=

−→CD .

Reciprocamente, se−→AB=

−→CD

então, da Definição (3.2.6) de vetor, os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) serãoequipolentes .

Conclusão:

(A ,B) ∼ (C ,D) , se, e somente se,−→AB=

−→CD . (3.3)

A seguir introduziremos várias operações com vetores que serão importantes no estudo daGeometria Analítica.

3.a aula - 6.03.2014

3.3 Adição de Vetores

Observação 3.3.1 A seguir vamos introduzir uma operação de adição em V3 (ou V2,respectivamente) , o conjunto formado pelos vetores do espaço (o conjunto formadopelos vetores de V2, respectivamente), isto é, vamos associar a cada para de vetores deV3 (ou V2), (

a , b),

um terceiro vetor de V3 (ou V2), que indicaremos por

a+ b .

Para isto basta conhecermos um representante deste terceiro vetor.Procedemos do seguinte modo:Consideremos um segmento orientado (A ,B) que é representante do vetor a.Da Proposição (3.2.2), segue que existe um único ponto C, de modo que (veja a

figura abaixo)−→BC= b .

7

A

B

qC

a

b


Deste modo fica determinado o segmento orientado (A ,C) (veja a figura abaixo).

7

A

B

qC

a

b

Com isto temos a:

Definição 3.3.1 O vetor−→AC, será denominado vetor soma (ou adição) dos vetores a

com o vetor b, isto é,

a+ b.=

−→AC . (3.4)

Observação 3.3.2

1. A Definição (3.3.1) acima, não depende da escolha dos segmentos orientados emquestão.

De fato, se tomarmos um representante diferente do vetor a, por exemplo, osegmento orientado (A ′ , B ′) for um outro representante do vetor a, deveremos ter

(A ′ , B ′) ∼ (A ,B) ,

pois (A ,B) e (A ′ , B ′) são segmentos orientados representantes do vetor a, isto é,da mesma classe de equipolência.

Da Proposição (3.2.2), fixado o ponto B ′, existe um único ponto C ′, tal que (vejaa figura abaixo)

−→B ′C ′= b .

7

A

B

qC

A ′

B ′

q C ′


Deste modo, o segmento orientado (A ′ , C ′) será um outro representante para ovetor a+ b, ou seja,

−→A ′C ′= a+ b .

Precisamos mostrar que:(A ′ , C ′) ∼ (A ,C) ,

deste modo, o vetor a+ b, independe da escolha dos segmentos orientados envol-vidos.

Como(A ′ , B ′) ∼ (A ,B) ,

segue que os segmentos orientados (A ′ , B ′) e (A ,B) têm mesmo comprimento,direção e sentido.

De modo análogo,(B ′ , C ′) ∼ (C ,B) ,

isto é, os segmentos orientados (B ′ , C ′) e (B ,C) têm mesmo comprimento, direçãoe sentido.

Logo os triângulos∆ABC e ∆A ′B ′C ′

serão congruentes (caso LAL).

Em particular, os segmento orientados (A ,C) e (A ′ , C ′) têm mesmo comprimentoe direção e, além disso, terão o mesmo sentido, isto é,

(A ′ , C ′) ∼ (A ,C) ,

ou seja, o vetor a + b, introduzido na Definição (3.3.1) acima, independe dasescolhas feitas.

7

A

B

qC

A ′

B ′

q C ′


2. A Definição (3.3.1) nos diz que, para determinarmos um representante do vetora+ b, basta escolhermos um representante do vetor a e um representante do vetorb, com origem na extremidade do representante do vetor a e "fechar"o triângulo,ou seja (veja a figura abaixo)

a+ b.=

−→AC .

7

A

B

qC

1a

b

a + b

3. Podemos obter um representante do vetor a+ b de outra forma, a saber:

Determinarmos um representante do vetor a, da forma:

−→AB= a

e representante do vetor b, da forma:

−→AC= b ,

ou seja, com a mesma origem do vetor a, isto é, o ponto A (veja a figura abaixo).

7

A

B

zC

a

b

Com os pontos A, B e C, podemos construir um paralelogramo que tenha comotrês dos seus vértices, esses pontos.

Seja o ponto D o quarto vértice desse paralelogramo.

Então, um representante do vetor a+ b será o segmento orientado (A ,D) (veja afigura abaixo), isto é,

a+ b.=

−→AD .


7

A

B

zC

a

b

D

a + b

Para mostrarmos isto, basta verificar que, como ABCD é um paralelogramo, segueque os as retas ←→

BD e←→AC

são paralelas.

LogoBD = AC

e, além disso, os segmentos orientados

(A ,C) e (B ,D)

têm mesmo sentido, pois os segmentos geométricos AB e CD não se interceptam,ou seja,

(A ,C) ∼ (B ,D) .

Logo o segmento orientado (A ,D) será um representante para o vetor a+ b, comoqueríamos demonstrar.

Temos as seguintes propriedades para a adição de vetores:

Proposição 3.3.1 Sejam a , b , c ∈ V3 (ou V2). Então:

1. a soma de vetores, introduzida na Definição (3.3.1), é associativa, isto é,

a+(b+ c

)=(a+ b

)+ c .

2. a soma de vetores, introduzida na Definição (3.3.1), é comutativa, isto é,

a+ b = b+ a .

3. existe um elemento neutro para a adição de vetores, introduzida na Definição(3.3.1), isto é, o vetor O, tem a seguinte propriedade:

O+ a = a ,

para cada a ∈ V3 (ou V2).


4. existe um elemento oposto para a adição de vetores, isto é, dado um vetor a existeum vetor, que indicaremos por −a, de tal modo que

a+ (−a) = O .

Demonstração:De 1.:Da Proposição (3.2.2), temos que existem pontos B ,C do espaço (ou do plano), tais que

os segmentos orientados(A ,B) , (B ,C) e (C ,D)

são representantes dos vetores a, b e c, respectivamente (veja a figura abaixo).

7-

Ra

b

c

A

B C

D

Logo, da Definição (3.3.1), o segmento orientado (A ,C) será um representante do vetora + b e assim, novamente da Definição (3.3.1), teremos que o segmento orientado (A ,D) éum representante do vetor

(a+ b

)+ c.

Por outro lado, da Definição (3.3.1), o segmento orientado (B ,D) será um representantedo vetor b+ c e assim, novamente da Definição (3.3.1), o segmento orientado (A ,D) será umrepresentante do vetor a+

(b+ c

).

Logo, da Proposição (3.2.2), temos que

(A ,D) ∼ (A ,D) ,

ou seja, (a+ b

)+ c = a+

(b+ c

),

como queríamos mostrar.De 2.:Consideremos os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) segmentos orientados represen-

tantes dos vetores a e, da Proposição (3.2.2), o segmento orientado (B ,C) representante dovetor b (veja a figura abaixo).

7-

a

-

b

a

A

B

C

D

a + b

b + a


Então, da Definição (3.3.1), segue que os segmentos orientados (A ,C) e (B ,D) são repre-sentantes dos vetores

a+ b e b+ a ,

respectivamente.Como ABCD é um paralelogramo (pois (A ,C) ∼ (B ,D)), temos que os triângulos

∆ABC e ∆DCB

são congruentes (caso LAL).Em particular, deveremos ter (A ,C) ∼ (B ,D), ou seja

a+ b = b+ a ,

como queríamos mostrar.De 3.:Suponhamos que o segmento orientado (A ,B) é um representante do vetor a e (B ,B) é

um representante do vetor nulo O, isto é,

−→AB= a e

−→BB= O . (3.5)

Logo, da Definição (3.3.1), segue que

a+ O(3.5)=

−→AB +

−→BB

Definição (3.3.1)=

−→AB= a ,

como queríamos mostrar.De 4.:Suponhamos que o segmento orientado (A ,B) seja um representante do vetor a, ou seja,

−→AB= a . (3.6)

Definamos o vetor −a como sendo a classe de equipolância associada ao segmento orien-tado (B,A), isto é,

−→BA= −a . (3.7)

Deste modo temos, da Definição (3.3.1), segue que

a+ (−a)(3.6) e (3.7)

=−→AB +

−→BA

Definição (3.3.1)=

−→AA= O ,

isto é, existe um vetor oposto do vetor a, como queríamos mostrar.

Observação 3.3.3 Podemos dar uma interpretação geométrica para as propriedadesacima, do seguinte modo:


1. Associativa:

7-

R:a

b

c

a + b

a +(b + c

)=(a + b

)+ c

b + c

2. Comutativa:

7-

a

b

a + b = b + a

-b

a

3. Elemento neutro:

7

a

O

O + a = a

4. Elemento oposto:

7

/

a

−a

O

a + (−a) = O

Podemos agora introduzir a:

3.4. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 43

Definição 3.3.2 Dados os vetores a e b de V3 (ou V2), definimos a diferença do vetora pelo vetor b, indicada por a− b, como sendo:

a− b.= a+

(−b).

Observação 3.3.4

1. Geometricamente, a diferença do vetor a pelo vetor b, pode ser interpretada como:

7

a

-b

a − b

2. Se os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) são representantes do vetor a e ossegmentos orientados (A ,C) e (B ,D) são representantes do vetor b (como nafigura abaixo), então um segmento orientado que representa o vetor a + b é osegmento orientado (A ,D) e um segmento orientado que representa o vetor a− b

é o segmento orientado (C ,B), ou seja, as diagonais do palalelogramo ABCD,orientadas corretamente.

7

a

-bA

B

C

-

a + b

a − b

D

3.

3.4 Multiplicação de um Número Real por um Vetor

A seguir introduziremos uma outra operação com vetores a saber:

Definição 3.4.1 Seja a ∈ V3 (ou V2) e α ∈ R.Definimos a multiplicação do número real α pelo vetor a, como sendo o vetor de-

notado por α · a e dado da seguinte forma:


1. Seα = 0 ou a = O ,

definimosα · a .

= O .

2. Seα = 0 e a = O ,

definimos α · a como sendo o vetor que tem as seguintes características:

(a) o vetor α · a é paralelo ao vetor a, isto é,

α · a ∥ a ;

(b) os vetores α · a e a têm mesmo sentido se α > 0 e sentidos opostos de α < 0;

(c) o comprimento do vetor α · a é igual o comprimento do vetor a, multiplicadopor |α|, isto é,

∥α · a∥ = ∥a∥ .

Observação 3.4.1

1. Se α = 0 e a = O, resumidamente, temos que o vetor α · a satisfaz:

(a) α · a ∥ a;

(b) α · a e a, têm mesmo sentido se α > 0 e sentidos opostos de α < 0;

(c) ∥α · a∥ = |α|∥a∥.

2. Lembremos que um vetor não-nulo fica completamente determinado, se connhe-cermos sua direção, sentido e comprimento.

Assim, existe um único vetor, que tem as três propriedades acima.

3. Se α = 0 e a = O, geometricamente, teremos a seguinte situação:

3

3

a

α · a

α > 1

3

3a

α · a

0 < α < 1

>

=

a

α · a

α < −1 >

=

a

α · a

−1 < α < 0


Temos as seguinte propriedades básicas relacionadas com o produto de um número realpor um vetor:

Proposição 3.4.1 Sejam a , b ∈ V3 (ou V2) e α ,β ∈ R. Então valem:

1. (Distributiva do produto de número real pela adição de vetores)

α ·(a+ b

)= α · a+ α · b . (3.8)

2. (Distributiva da adição de números reais pela multiplicação por vetor)

(α+ β) · a = α · a+ β · a . (3.9)

3. (Unidade da multiplicação de números real por vetor)

1 · a = a . (3.10)

4. (Associativa da multiplicação de números reais e da multiplicação por vetor)

(αβ) · a = α · (β · a) . (3.11)

Demonstração:De 1.:Se α = 0, teremos:

0 ·(a+ b

)Definição (3.4.1)

= O e 0 · a+ 0 · b Definição (3.4.1)= O+ O = O

e assim a identidade (3.8) ocorrerá.Se α = 0 e a = O, teremos

α · (O+ b︸︷︷︸=b

) = α · b e α · O+ α · b Definição (3.4.1)= O+ α · b = α · b

e assim a identidade (3.8) também ocorrerá.O caso α = 0 e b = O é análogo a situação acima e sua elaboaração será deixada como

exercício para leitor.Se α = 0 e a, b = O, fixado o ponto A, pela Proposição (3.2.2), segue que existem pontos

B,C,D, E, tais que os segmentos orientados (A ,B), (B ,C), (A ,D), (D ,E) representantes dosvetores a, b, α · a e α · b, respectivamente (veja ilustração abaixo).

U

a

b

-a + b

α > 0

A

B

C

D

α · a

E

α · b

^

=

-a

b

a + b

α · a

α · b

A

B

C

D

Eα < 0


Logo, da Definição (3.3.1), teremos que o segmento orientado (A ,E) será um representantedo vetor α · a+ α · b.

U ^

a

b

- -a + b

α > 0

A

B

C

D

E

α · b

α · a + α · b

α · a

=

>

-a

b

a + b

α · a + α · b

α · a

α · b

A

B

C

D

Eα < 0

Mostremos que o segmento orientado (A ,E) é um representante do vetor α ·(a+ b

).

Para isto consideremos o segmento orientado (A ,E ′) é um representante do vetor α ·(a+ b

).

Observemos que:

(i) (A ,C) ∥ (A ,E), pois os triângulos ∆ABC e ∆ADE são semelhantes (os pontos A, B e

D estão sobre uma mesma reta e as retas←→BC e

←→DE são paralelas).

Logo, os vetores(α · a+ α · b

)e α ·

(a+ b

)são paralelos;

(ii) Por construção, o segmento orientado (A ,E) tem o mesmo sentido do segmento orien-tado (A ,E ′).

Logo, os vetores(α · a+ α · b

)e α ·

(a+ b

)têm mesmo sentido;

(iii) Como os triângulos ∆ABC e ∆ADE são semelhantes, segue que lados correspondentesguardam uma mesma proporção.

Em particular, temos que:

AC

AE=

BC

DE=

∥∥∥b∥∥∥∥∥∥α · b∥∥∥ =

∥∥∥b∥∥∥|α|∥∥∥b∥∥∥ =

1

|α|,

isto é, ∥∥∥α · a+ α · b∥∥∥ = AE = |α|AC = |α|

∥∥∥a+ b∥∥∥ =

∥∥∥α · (a+ b)∥∥∥ ,

ou ainda ∥∥∥α · a+ α · b∥∥∥ =

∥∥∥α ·(a+ b

)∥∥∥ .

Logo de (i), (ii) e (iii) segue que os vetores(α · a+ α · b

)e α ·

(a+ b

)têm mesma direção, sentido e comprimento, logo são iguais, ou seja

α ·(a+ b

)= α · a+ α · b ,


como queríamos mostrar.De 2.:Se α = 0, segue que

(0+ β︸︷︷︸=β

) · a = β · a e 0 · a︸︷︷︸Definição (3.4.1)

= =O

+β · a = O+ β · a = β · a ,

e assim a identidade (3.9) ocorrerá.De modo análogo, podemos mostrar o caso em que β = 0, cuja elaboração será deixada

como exercício para o leitor.Se α = 0 e a = O, teremos

(α+ β) · O Definição (3.4.1)= O e α · O︸︷︷︸

Definição (3.4.1)= =O

+ β · O︸︷︷︸Definição (3.4.1)

= =O

= O+ O = O

e assim a identidade (3.9) também ocorrerá.Se α ,β = 0 e a = O, fixado o ponto A, da Proposição (3.2.2), segue que existem pontos

B, C e D, tais que os segmentos orientados (A ,B), (A ,C), (C ,D) representantes dos vetoresa, α · a e β · a, respectivamente (veja ilustração abaixo).

a

β · a D

C

B

A

α · a

Logo, da Definição (3.3.1), o segmento orientado (A ,D) será um representante do vetorα · a+ β · a.

Consideremos o segmento orientado (A ,D ′) como sendo um representante do vetor (α+

β) · a.Afirmamos que

(A ,D ′) ∼ (A ,D) .

Se isto for verdade, segue que a identidade (3.9) ocorrerá.Observemos que:

(i) os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) são paralelos, pois os vetores α · a e β · a sãoparalelos ao vetor a.

Logo a adição dos mesmos, o vetor−→AD também será paralela ao vetor a e o vetor

−→AD ′= (α+ β) · a é paralelo ao vetor a.


(ii) os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) têm mesmo sentido, pois:

(a) Se 0 < α ≤ β, segue os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) terão mesmo sentidodo segmento orientado (A ,B);

(b) Se α ≤ β < 0, teremos que os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) terão sentidosopostos do segmento orientado (A ,B), logo terão mesmo sentido;

(c) se β ≤ 0 e β ≤ |α|, teremos que os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) terãosentidos opostos do segmento orientado (A ,B), logo terão mesmo sentido.

(iii) Notemos que,

ADDefinição (3.3.1)

= AC+ CD = α ∥a∥+ β ∥a∥ = (α+ β) ∥a∥ = AD ′ .

Portanto, de (i), (ii) e (iii) segue que (A ,D ′) ∼ (A ,D) , como queríamos mostrar.De 3.:Se a = O, teremos

1 · a Definição (3.4.1)= O = a

e assim a identidade (3.10) ocorrerá.Se a = O teremos:

(i) o vetor 1 · a é paralelo ao vetor a;

(ii) o vetor 1 · a tem mesmo sentido do vetor a (pois 1 > 0);

(iii) o vetor 1 · a tem o mesmo comprimento do vetor a, pois

∥1 · a∥ = |1| ∥a∥ = ∥a∥ .

Logo os vetores 1 · a e a têm mesma direção, sentido e comprimento, ou seja, são iguais,vale a identidade (3.10), como queríamos mostrar.

De 4.:Se α = 0, teremos

(0β) · a = 0 · a Definição (3.4.1)= O e 0 · (β · a) Definição (3.4.1)

= O

e assim a identidade (3.11) ocorrerá.De modo análogo podemos mostrar o caso em que β = 0, cuja elaboração será deixado

como exercíco para o leitor.Se a = O, teremos

(αβ) · O Definição (3.4.1)= O e α · (β · O)

Definição (3.4.1)= α · O Definição (3.4.1)

= O

e assim a identidade (3.11) também ocorrerá.Se α ,β = 0 e a = O, fixado o ponto A, da Proposição (3.2.2), segue que existem pontos B,

C e D, de modo que os segmentos orientados (A ,B), (A ,C), (A ,D) e (A ,D ′) representantesdos vetores a, β · a, α · (β · a) e (αβ) · a, respectivamente (vide ilustração abaixo).


>

>

>

a

β · a

α · (β · a)

A

B

C

D

Afirmamos que(A ,D ′) ∼ (A ,D) .

Caso isto seja verdade, segue que os vetores (αβ) · a e α · (β · a) serão iguais, isto é, aidentidade (3.11) ocorrerá.

Observemos que:

(i) (A ,D) e (A ,D ′) são paralelos, pois

β · a ∥ a ,

logoα · (β · a) ∥ a e (αβ) · a ∥ a ,

ou seja (A ,D) e (A ,D ′) têm mesma direção.

(ii) (A ,D) e (A ,D ′) têm mesmo sentido, pois:

(a) se αβ > 0, teremos que os vetores α · (β · a) e (αβ) · a terão mesmo sentido dovetor a, , ou seja (A ,D) e (A ,D ′) têm mesmo sentido;

(b) se αβ < 0, segue que os vetores α · (β · a) e (αβ) · a terão sentidos contrários aodo vetor a, ou seja (A ,D) e (A ,D ′) têm mesmo sentido.

(iii) Temos também:

AD = ∥α · (β · a)∥ Definição (3.4.1)= |α| ∥β · a∥ Definição (3.4.1)

= |α| (|β| ∥a∥)Definição (3.4.1)

= |αβ| ∥a∥ = ∥(αβ) · a∥ = AD ′ ,

isto é, os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) têm mesmo comprimento.

Logo (A,D ′) ∼ (A,D), com queríamos mostrar.

Notação 3.4.1 Um número real será denominado escalar.

Para finalizar esta seção daremos um resultado que será importante mais adiante, a saber:


Proposição 3.4.2 Sejam a e b vetores de V3 (ou V2). Então

a ∥ b

se, e somente se, existe α ∈ R tal que ou

a = α · b ou b = α · a . (3.12)

Ou seja, dois vetores são paralelos se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.

Demonstração:Observemos que se

a = α · b

então, pela Definição (3.4.1), eles serão paralelos.Analogamente, se

b = α · a .

Reciprocamente, se os vetores a e b são paralelos, então os vetores a e b têm mesmadireção.

Se a = O, teremosa = 0 · b ,

e assim α = 0.De modo análogo, podemo mostrar se b = O, poderemos teremos que

b = 0 · a .

Suponhamos que ambos são vetores não nulos, ou seja,

a , b = O .

Fixado o ponto A, pela Proposição (3.2.2), existem pontos B e C, de modo que os seg-mentos orientados (A ,B) e (A ,C) que representam os vetores a e b, respectivamente (vejaa ilustração abaixo).

3

3

A

B

C

a

b

Comoa ∥ b ,

segue que os pontos A, B e C devem ser colineares.

3.5. SOMA DE UM PONTO COM UM VETOR 51

Como b = O, segue queAC =

∥∥∥b∥∥∥ = 0 .

Seja

α.=

AB

AC=

∥a∥∥∥∥b∥∥∥ > 0 . (3.13)

Assim, se os vetores a e b têm mesmo sentido, deveremos ter

a = α · b ,

caso contrárioa = −α · b ,

pois os vetores a e α · b deverão ter mesma direção e mesmo sentido, se α > 0 e sentidosopostos, se α < 0 e, além disso,

∥a∥ (3.13)=∥∥∥α · b

∥∥∥ ,

completando a demostração.

3.5 Soma de um Ponto com um Vetor

Observação 3.5.1 Dado um vetor a ∈ V3 (ou V2, respectivamente) e um ponto A doespaço (ou do plano, respectivamente), a Proposição (3.2.2), garante que existe umúnico ponto B do espaço (ou do plano, respectivamente) tal que o segmento orientado(A ,B) é um representante do vetor a, ou seja,

−→AB= a .

Isto nos permite associar a cada ponto A e a cada vetora, um único ponto B, demodo que

−→AB= a .

Com isto temos a:

Definição 3.5.1 O ponto B obtido acima, será dito adição do ponto A com o vetor a

e indicado por A+ a, isto é,A+ a

.= B . (3.14)

Observação 3.5.2

1. Resumindo temos que:

B = A+ a se, e somente se,−→AB= a .


A

B = A + a

a

2. Usaremos a notação A − a, para indicar a adição do ponto A com o vetor −a,isto é,

A− a.= A+ (−a) .

3. Intuitivamente podemos "ver"o ponto A + a, como sendo a translação do pontoA, pelo vetor a.

A seguir temos algumas propriedades da soma de um ponto com um vetor:

Proposição 3.5.1 Sejam A e B pontos do espaço (ou do plano, respectivamente) e a , b

vetores de V3 (ou V2, respectivamente). Então:

1. temos queA+ O = A .

2. seA+ a = A+ b , então a = b .

3. seA+ a = B+ a , então A = B .

4. temos que(A+ a) + b = A+

(a+ b

).

5. temos também(A− a) + a = A .

Demonstração:De 1.:Como

−→AA= O

segue, da Definição, (3.5.1) queA = A+ O ,

como queríamos mostrar.De 2.:Seja

B.= A+ a = A+ b .

3.5. SOMA DE UM PONTO COM UM VETOR 53

Então, da Definição (3.5.1), temos que

a =−→AB= b , ou seja, a = b ,

como queríamos mostrar.De 3.:Seja

C.= A+ a = B+ a .


−→AC= a =

−→BC .

Logo, da Proposicão (3.2.2), segue que

A = B ,

como queríamos mostrar.De 4.:Sejam

B.= A+ a e C = B+ b .

LogoC = (A+ a) + b .


−→AB= a e

−→BC= b .

Assima+ b =

−→AB +

−→BC=

−→AC .

Da Definição (3.5.1), segue que

C = A+(a+ b

),

ou seja(A+ a) + b = C = A+

(a+ b

),

como queríamos mostrar.De 5.:Observemos que

(A− a) + a = [A+ (−a)] + aPropriedade 4.

= A+ [(−a) + a]

Prop. (3.3.1) item 4.= A+ O

Propriedade 1.= A ,

como queríamos mostrar.


Observação 3.5.3 Se o segmento orientado (A ,B) é um representante do vetor a, entãosabemos que

B = A+ a .

Devido a este fato, podemos utilizar a seguinte notação para representar o vetor a,a saber:

B−A.= a .

Vale observar que não estamos fazendo uma subtração entre pontos mas sim, apenas,introduzimos uma outra notação para o vetor a.

Com isto podemos denotar o vetor acima das seguintes formas:

a ,−→AB ou B−A .

Exemplo 3.5.1 Mostre, utilizando a noção de vetores, que as diagonais de um parale-logramo cortam-se nos seus respectivos pontos médios.

Resolução:Consideremos o paralelogramo ABCD, cujas diagonais são os segmentos AC e BD, como

na figura abaixo.

A B

CD

M

Indiquemos por M, o ponto médio do segmento geométrico AC.Mostraremos que o ponto M é ponto médio do segmento DB, ou seja as diagonais do

paralelogramo cruzam-se nos seus respectivos pontos médios.Para isto observemos que:

−→BM =

−→BC +

−→CM

−→BC=

−→AD e

−→MA=

−→CM

=−→AD +

−→MA=

−→MA +

−→AD

=−→MD,

isto é, o ponto M é o ponto médio do segmento BD e portanto as diagonais de um paralelo-gramo cruzam-se nos seus respectivos pontos médios.

4.a aula - 11.03.2014

3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 55

3.6 Dependência Linear

Nas observações abaixo, concentraremos nossa atenção em V3.Mais adiante incluiremos V2.Algumas questões:

1. Precisamos de todos os vetores de V3 para determiná-lo? Talvez...

2. Podemos escolher um único vetor a, de modo que com este possamos representar todosos vetores de V3? Não tem como (vide figura abaixo).

3a

z

b

3. Podemos escolher dois vetores a e b, de modo que com este possamos representar todosos vetores de V3? Não (vide figura abaixo).

3

c

zb

a

4. Podemos escolher três vetores a, b, c de modo que com estes possamos representartodos os vetores de V3 ? Depende (veja a figura abaixo)

3a

zb

c

3

c

zb

a


5. Podemos escolher quatro ou mais vetores, de modo que com este possamos representartodos os vetores de V3 ? Depende...

6. Qual o número mínimo de vetores que podemos escolher, para podermos representartodos os vetores de V3 utilizando-se somente os escolhidos? Que propriedades escolhi-dos devem ter?

Passaremos a seguir a começar a responder estas e outras questões.Para isto iniciaremos com a seguinte definição:

Definição 3.6.1

1. Um vetor a ∈ V3 será linearmente dependente em V3, ou abreviadamente L.D.em V3, se

a = O .

Caso contrário, o vetor a será dito linearmente independente em V3, ou abrevi-adamente L.I. em V3 (ou seja, se a = O).

Diremos que o conjunto a é linearmente dependente em V3 , ou abreviada-mente L.D. em V3, se

a = O .

Caso contrário, diremos que o conjunto a é linearmente independente em V3 ,ou abreviadamente L.I. em V3 (ou seja, se a = O).

O

O

é L.D.

1

a

a é L.I.

2. Os vetores a , b ∈ V3 serão ditos linearmente dependente em V3, ou abreviada-mente por L.D. em V3, se os vetores a e b forem paralelos (isto é, têm a mesmadireção).

Caso contrário, os vetores a , b ∈ V3 serão ditos linearmente independente emV3, ou abreviadamente L.D. em V3 (ou seja, os vetores a e b não são paralelos).

Diremos que o conjuntoa , b

é linearmente dependente em V3, ou abreviada-

mente L.D. em V3, se os vetores a e b são paralelos.

Caso contrário, diremos que o conjuntoa , b

é linearmente independente em

V3, ou abreviadamente L.I. em V3 (ou seja, se os vetores a e b não são paralelos).

1

)a

1 a

a, b

é L.I.

b

a, b

é L.D.

jb


3. Os vetores a , b , c ∈ V3 serão ditos linearmente dependente em V3, ou abrevia-damente L.D. em V3, se os vetores a, b e c forem paralelos a um mesmo plano,isto é, existem segmentos orientados (A ,B), (A ,C) e (A ,D) tais que os pontosA ,B ,C ,D são coplanares.

Caso contrário, os vetores a, b e c serão ditos linearmente independente em V3,ou abreviadamente L.I. em V3, ou seja, se os vetores a, b e c não são paralelos aum mesmo plano.

Diremos que o conjuntoa , b , c

é linearmente dependente em V3, , ou abre-

viadamente L.D. em V3, se os vetores a, b, c são paralelos a um mesmo plano.

Caso contrário, diremos que o conjuntoa , b , c

é linearmente independente

em V3, ou abreviadamente L.I. em V3 (ou seja, se os vetores a, b, c não sãoparalelos a um mesmo plano).

1

z

:

a, b, c

é L.I.

b

a, b, c

é L.D.

Ra

c

a

b

c

4. Os vetores a1 , a2 , a3 , · · · , an ∈ V3 são linearmente dependentes em V3, ou abre-viadamente L.D. em V3, se n ≥ 4.

Diremos que o conjunto a1 , a2 , a3 , · · · , an é linearmente dependente em V3, ouabreviadamente L.D. em V3, se n ≥ 4.

7

1

q

wa

b

c

d

L.D.

Exemplo 3.6.1

1. Os vetores a e b, que são representados pelos segmentos orientados apresentadosna figura abaixo, são L.D. em V3 (pois são paralelos) e os vetores c e d, que sãorepresentados pelos segmentos orientados apresentados na figura abaixo, são L.I.em V3 (pois não são paralelos).


a

b

U

cd

2. Consideremos os pontos A, B, C, D, E, F, G e H vértices do paralelepípedo retân-gulo dado pela figura abaixo.

Logo os vetores−→AB ,

−→AC e

−→AD ,

dados pela figura abaixo, são L.D. em V3 (pois são paralelos ao plano definidopelos pontos A, B e C).

Vale observar que os vetores

−→AB ,

−→AD e

−→AE ,

dados pela figura abaixo, são L.I. em V3 (pois não são paralelos a um mesmoplano).

A B

CD

E F

GH

3.4. Quaisquer quatro (ou mais) vetores com origem e extremidade nos vértices doparalelogramo acima serão L.D. em V3.

Por exemplo, os vetores

−→AB ,

−→BC ,

−→DE e

−→AH

são L.D. em V3.

A seguir temos a:


Observação 3.6.1

1. A dependência ou independência linear em V3, são propriedades inerentes aoconjunto de vetores em questão e não a cada um dos elementos do conjunto.

Por exemplo, se o conjunto a é L.I. em V3 e o conjunto b é L.I. em V3, istonão implica que o conjunto

a , b

sejam, necessariamente, L.I. em V3.

Para isto, veja o Exemplo (3.6.1) item 1., cada um dos vetores é L.I. em V3, masos dois são L.D. em V3.

2. O conjunto de vetoresO , a1 , a2 , a3 , · · · , an

é L.D. em V3, para qualquer coleção

de vetores a1 , a2 , a3 , · · · , an ∈ V3.

De fato, se n ≥ 3, o conjunto será L.D. em V3, pela Definição (3.6.1) item 4. (poiso conjunto conterá mais de quatro vetores).

Se n = 1, temos que o vetor O é paralelo a qualquer vetor, em particular ao vetora1.

Logo o conjunto O , a1 será L.D. em V3.

De modo análogo, se n = 2, temos que o vetor O é paralelo a qualquer vetor, emparticular, aos vetores a1 e a2.

Logo, se

a1 =−→AB e a2 =

−→AC ,

e comoO =

−→AA ,

ele será paralelo ao plano que contenha os pontos A, B e C, mostrando que oconjunto O , a1 , a2 será L.D. em V3 (veja a figura abaixo).

-

A B

C

a1

a2

0

3. Observemos que, no Exemplo (3.6.1) item 2., os vetores−→AB,

−→AC e AD são L.D.

em V3, e podemos obter (por exemplo) o vetor−→AC da seguinte forma:

−→AC =

−→AB +

−→AD .

Por outro lado, os vetores−→AB ,

−→AD ,

−→AE são L.I. em V3, e não existe um modo de

escrever um deles como adição de múltiplos dos outros dois.


A esse modo de escrever um vetor (como adição de múltiplos de outros vetores) será dadoum nome, como veremos a seguir.

Definição 3.6.2 Sejam a1 , a2 , · · · , an ∈ V3 e α1 , α2 , · · · , αn ∈ R, com n ≥ 1 fixado.O vetor

u.= α1 · a1 + α2 · a2 + · · ·+ αn · an =

n∑i=1

αi · ai , (3.15)

será denominado combinação linear dos vetores

a1 , a2 , · · · , an ,

com coeficientes (ou escalares)α1 , α2 , · · · , αn .

Se u ∈ V3 é uma combinação linear dos vetores a1 , a2 , · · · , an, isto é, se existem

α1 , α2 , · · · , αn ∈ R ,

tais que (3.15) ocorre, então diremos que o vetor u é gerado pelos vetores

a1 , a2 , · · · , an .

Consideremos o:

Exemplo 3.6.2

1. Sejam a1 , a2 ∈ V3.

Então o vetoru

.= a1 − a2

é uma combinação linear dos vetores a1, a2, ou ainda, é gerado pelos vetores a1 , a2.

De fato, poisu = a1 − a2 = 1 · a1 + (−1) · a2

logoα1 = 1 e α2 = −1

são os coeficientes da combinação linear.

-

a1

a2

u = a1 − a2


2. O vetor nulo O é gerado por qualquer coleção de vetores a1 , a2 , · · · , an ∈ V3.

De fato,O = 0 · a1 + 0 · a2 + · · ·+ 0 · an ,

ou seja os coeficientes são todos nulos , ou ainda,

α1 = α2 = · · · = αn = 0 .

Observação 3.6.2

1. No Exemplo (3.6.2) item 2. acima, vimos que o vetor nulo O sempre pode serescrito como combinação linear de qualquer coleção de vetores

a1 , a2 , · · · , an ∈ V3 ,

bastanto tomar todos os coeficientes iguais a zero.

Pergunta-se: será que haveria outra combinação linear (isto é, com coeficientesnão todos nulos) desses mesmos vetores

a1 , a2 , · · · , an ∈ V3 ,

que seja igual ao vetor nulo?

Por exemplo, na figura abaixo,

-

a1

a2

a3

temos quea3 = a1 − a2 , ou seja, O = a1 − a2 − a3

e portantoO = 1 · a1 + (−1) · a2 + (−1) · a3 .

Neste caso, conseguimos escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores

a1 , a2 , a3

com coeficientes não todos nulos.

No caso nenhum deles é zero, pois

α1 = 1 , α2 = −1 e α3 = −1 .

Observemos que a1 , a2 , a3 são L.D. em V3, pois são paralelos a um mesmo plano.


Logo é natural pensarmos que a resposta à pergunta acima estará diretamenterelacionada com a dependência ou independência linear dos vetores

a1 , a2 , · · · , an ,

ou seja, se eles são L.D. ou L.I. em V3.

Passaremos a seguir a tratar dessa relação.Começaremos pela:

Proposição 3.6.1 Sejam a, b vetores de V3.Os vetores a , b ∈ V3 são L.D. em V3 se, e somente se, existe α, número real, tal

que oua = α · b ou b = α · a .

Demonstração:Da Definição (3.6.1) item 2., temos que os vetores a , b ∈ V3 são L.D. em V3 se, e somente

se,a ∥ b .

Logo, da Proposição (3.4.2) segue, a conclusão o resultado, completando a demonstraçãodo mesmo.

Observação 3.6.3

1. A Proposição (3.6.1) acima, nos diz que os vetores a , b ∈ V3 são L.D. em V3 se,e somente se, um dos vetores é combinação linear do outro (no caso, múltiplo dooutro).

2. Um outro modo de ler a Proposição (3.6.1) acima é a seguinte: os vetores a , b ∈ V3

são L.D. em V3 se, e somente se, existe α, número real, tal ou

O = 1︸︷︷︸=0

·a− α · b ou O = −α · a+ 1︸︷︷︸=0

·b ,

ou seja, o vetor nulo pode ser escrito como uma combinação linear dos vetoresa, b, com coeficientes não todos nulos (na igualdade à esquerda, temos que ocoeficiente do vetor a é igual a 1 = 0 e na igualdade à direita, temos que ocoeficiente do vetor b é igual a 1 = 0).

Para um conjunto com mais vetores temos uma situação análoga, a saber:

Proposição 3.6.2 Sejam a1 , a2 , · · · , an vetores de V3, com n ≥ 2 fixado.Os vetores

a1 , a2 , · · · , an são L.D. em V3

se, e somente se, um dos vetores da lista acima, pode ser escrito como combinaçãolinear dos restantes, isto, é, existe um vetor ai, para algum i ∈ 1 , 2 , · · · , n, de modoque

ai = α1 · a1 + · · ·αi−1 · ai−1 + αi+1 · ai+1 + · · ·+ αnan ,


ondeα1 , α2 , · · ·αi−1 , αi+1 , · · · , αn ∈ R .

Demonstração:A demonstração do caso n = 2 é a Proposição (3.6.1) acima.Passemos a demonstração do caso n = 3:Suponhamos que os vetores a1 , a2 , a3 ∈ V3 são vetores L.D. em V3, ou seja, são paralelos

a um mesmo plano.Dividiremos a demonstração deste caso em duas situações, a saber:

se dois dos vetores da lista a1 , a2 , a3 ∈ V3 são vetores L.D. em V3.

se quaisquer dois dos vetores da lista a1 , a2 , a3 ∈ V3 são vetores L.I. em V3.

Suponhamos que dois dos vetores da lista a1 , a2 , a3 ∈ V3 são vetores L.D. em V3.Podemos supor, sem perdade de genralidade, que os vetores a1 , a2 ∈ V3 são L.D. em V3,

bstando reindexar a lista.Com isto, da Proposição (3.6.1) acima, segue que

ou a1 = α · a2 ou a2 = α · a1 ,

para algum α ∈ R.Como isto, podemos escrever

a1 = α · a2 + 0 · a3 ou a2 = α · a1 + 0 · a3 ,

isto é, o vetor a1, ou o vetor a2 é combinação linear dos vetores a2 , a3, ou dos vetores a1 , a3,respectivamente.

Portanto, um dos vetores da lista é combinção linear dos vetores restantes, , como que-ríamos mostrar.

Suponhamos agora, que quaisquer dois dos vetores da lista a1 , a2 , a3 ∈ V3 são vetoresL.I. em V3.

Logo, como os vetores a1 , a2 ∈ V3 são L.I. em V3, fixado o ponto A, pela Proposição(3.2.2), podemos encontrar os pontos B, C, D, de modo que os segmento orientados (A ,B),(A ,C) e (A ,D) sejam representantes dos vetores a1, a2 e a3, respectivamente. (*)

Como os vetores a1, a2, a3 são paralelos a um mesmo plano segue que os pontos A, B, Ce D pertencem a um mesmo plano (veja a ilustração abaixo).

-

*

A B

C

D

a1

a2

a3


Como os vetores a1, a2 não são paralelos (pois são L.I. em V3), podemos fazer a seguinteconstrução:

Consideremos a reta, que denotaremos por r, que é paralela à reta←→AB pelo ponto D e

reta, que denotaremos por s, paralela à reta←→AC pelo ponto D.

Estas retas encontrarão as retas←→AB e

←→AC nos pontos E e F, respectivamente (veja a

ilustração abaixo).

-

*

A B

C

D

E

F

Por construção AEDF é um paralelogramo, logo deveremos ter

a3 =−→AD=

−→AE +

−→ED .

Observemos que os vetores−→AE e

−→AB são paralelos logo, da Proposição (3.4.2), segue que

existe um número real, que denotaremos por α1, tal que

−→AE= α1·

−→AB= α1 · a1 .

De modo semelhante, os vetores−→AF e

−→AC são paralelos logo, da Proposição (3.4.2) segue

que existe um número real, que denotaremos por α2, tal que

−→AF= α2·

−→AC= α2 · a2 .

Logoa3 =

−→AE +

−→ED= α1 · a1 + α2 · a2 ,

ou seja, o vetor a3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores a1 e a2, como que-ríamos mostrar.

Reciprocamente, se, por exemplo, o vetor , como queríamos mostrar a3 pode ser escritocomo combinação linear dos vetores , como queríamos mostrar a1 e , como queríamos mostrara2, temos que

a3 = α1 · a1 + α2 · a2 ,

para algumα1 , α2


números reais.Podemos supor, sem perda de generalidade, que

a1 , a2 , a3 = O ,

caso contrário, se um deles for o vetor nulo, pela Observação (3.6.1) item 2. segue que os trêsserão L.D. em V3.

Fixando o ponto A, da Proposição (3.2.2), podemos encontrar pontos B, C, D pontos,tais que os segmento orientados (A ,B), (A ,C) e (A ,D) sejam representantes dos vetores a1,a2 e a3, respectivamente.

Notemos que, se os pontos A, B, C forem colineares teremos que os pontos A, B, C, Dserão coplanares e assim os vetores a1 , a2 , a3 ∈ V3 serão L.D. em V3, pois serão paralelos aoplano que contém os pontos A, B, D. (veja a ilustração abaixo).

-A

B

C

D

a1

a2

a3

Por outro laod, se os pontos A, B, C forem não forem colineares, temos que estes trêspontos determinam um plano.

Sejam M e N pontos, tais que (veja a ilustração abaixo)

α1 · a1 =−→AM e α2 · a2 =

−→AN . (3.16)

-

A M

N

α1a1

α2a2

Consideremos o ponto D, o ponto de intersecção das retas paralelas às retas←→AM e a

←→AN

pelos pontos M e N, respectivamente (veja a ilustração abaixo).


-

A M

N

α1a1

α2a2

D

Como AMDN é um paralelogramo, deveremos ter que

−→AD=

−→AM +

−→AN

(3.16)= α1 · a1 + α2 · a2 = a3 , ou seja,

−→AD= α1 · a1 + α2 · a2 = a3 .

Portanto −→AD= a3

e os pontos A, B, C e D são coplanares (estão no plano que contém os pontos A, B e C)mostrando que os vetores a1, a2, a3 ∈ V3 são L.D. em V3, como queríamos mostrar.

Caso n ≥ 4:Se, para algum i ∈ 1 , 2 , · · · , n, o vetor ai é combinação linear dos vetores

a1 , a2 · · · , ai−1 , ai+1 , · · · , an ,

então, como n ≥ 4, segue que os vetores a1 , a2 , · · · , an serão L.D. em V3.Reciprocamente, se os vetores a1 , a2 , · · · , an ∈ V3 serão L.D. em V3, mostraremos que

um deles pode ser escrito como combinação linear dos restantes.Dividiremos a demonstração em duas situações, a saber:

se três dos vetores da lista a1 , a2 , · · · , an ∈ V3 são vetores L.D. em V3.

se quaisquer três dos vetores da lista a1 , a2 , · · · , an ∈ V3 são vetores L.I. em V3.

Suponhamos, inicialmente, que três dos vetores da lista a1 , a2 , · · · , an ∈ V3 são vetoresL.D. em V3.

Sem perda de generalidade, podemos supor que os vetores

a1, a2, a3 são L.D. em V3 ,

caso contrário, reindexamos a lista de vetores.Como vimos no caso n = 3, demonstrado anteriormente, temos que um desses três pode

ser escrito como combinação linear dos outros dois.Podemos supor, sem perda de generalidade (a menos de reindexação), que o vetor a1

possa ser escrito como cominação linear dos vetores a2 , a3 ∈ V3, ou seja,

a1 = α2 · a2 + α3 · a3 ,

para algumα1 , α2 ∈ R .


Como isto, temos que

a1 = α2 · a2 + α3 · a3 + 0 · a4 + · · ·+ 0 · an ,

ou seja, o vetor a1 pode ser escrito como combinação linear dos outros n−1 vetores, a saber,dos vetores

a2 , a3 , · · · , an .

Por outro lado, se quaisquer três dos vetores da lista a1 , a2 , · · · , an ∈ V3 são vetores L.I.em V3 então os vetores a1 , a2 , a3 ∈ v3 são L.I. em V3.

Fixando o ponto A, da Proposição (3.2.2), podemos encontrar pontos B, C e D, tais queos segmento orientados (A ,B), (A ,C) e (A ,D) sejam representantes dos vetores a1, a2 e a3,respectivamente. (**)

Como os vetores a1 , a2 , a3 ∈ V3 são L.I. em V3, segue que os pontos A, B, C ,D não sãocoplanares, ou seja, os pontos A, B, C e D serão vértices de um tetraedro (veja a ilustraçãoabaixo).

-

3

A B

CD

a1

a2 a3

Pela Proposição (3.2.2), podemos encontrar um ponto E, tal que o segmento orientado(A ,E) seja um representante do vetor a4.

Com isto podemos fazer a seguinte construção:

Consideremos pelo ponto E, uma reta paralela à reta←→AD, que encontrará o plano que

contém os pontos A, B e C no ponto M (veja a ilustração abaixo).

-

3

A B

CDE

M

Deste modo, temos que

a4 =−→AE=

−→AM +

−→ME . (3.17)


Notemos que, por construção, teremeos−→ME∥

−→AD .

Logo, da Proposição (3.4.2), segue que existe um número real, que denotaremos por α3,tal que

−→ME= α3·

−→AD= α3 · a3 . (3.18)

Por outro lado, o ponto M pertence ao plano determinado pelos pontos A, B ,C.Logo podemos agir como no caso n = 3 (ver (*) na página 63), isto é, traçar retas paralelas

as retas←→AB e

←→AC pelo ponto M e suas intersecções com as retas

←→AC e

←→AB, e assim, encontrar

os pontos N e P, sobre as retas←→AB e

←→AC, respectivamente, de tal modo que (vide ilustração

abaixo)−→AM=

−→AN +

−→AP . (3.19)

-

3

A B

CDE

M

N

P

Observemos que, por construção,−→AN∥

−→AB e

−→AP∥

−→AC .

Logo, da Proposição (3.4.2), segue que existem números reais, que inidcaremos por α1 eα2, tais que

−→AN= α1·

−→AB= α1 · a1 e

−→AP= α2·

−→AC= α2 · a2 , (3.20)

ou seja,−→AM

(3.19)=

−→AN +

−→AP

(3.20)= α1 · a1 + α2 · a2 . (3.21)

Para finalizar, traçamos pelo ponto E, uma reta paralela ao plano que contém os pontosA, B e C, que interceptará a reta

←→AD no ponto Q (veja a ilustração abaixo).

-

3

A B

CDE

M

N

P

Q


Portanto

a4

(3.17)=

−→AM +

−→AQ

(3.21) e (3.18)= α1 · a1 + α2 · a2 + α3 · a3

= α1 · a1 + α2 · a2 + α3 · a3 + 0 · a5 + · · ·+ 0 · an ,

isto é, o vetor a4, pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores

a1 , a2 , a3 , a5 , · · · , an ,

como queríamos mostrar, completando a demonstração do resultado.

Como conseqüência da demonstração do resultado acima temos o:

Corolário 3.6.1 Sejam a , b , c ∈ V3.Se os vetores a , b são L.I. em V3, mas os vetores a , b , c são L.D. em V3, então

o vetor c, pode ser escrito como combinação linear dos vetores a, b, isto é, existemescalares

α ,β ∈ R

tal quec = α · a+ β · b .

Demonstração:A demonstração deste resultado é correspondente a demonstração da Proposição (3.6.2)

acima, para o caso n ≥ 3 com dois vetores L.I. em V3 (veja a partir de (*), página 63, nademostração da Proposição (3.6.2) acima).

Também como conseqüência da demonstração da proposição acima temos o:

Corolário 3.6.2 Sejam a , b , c ∈ V3.Se os vetores a , b , c são L.I. em V3, então todo vetor u ∈ V3, pode ser escrito como

combinação linear dos vetores a , b , c, isto é, existem escalares

α ,β , γ ∈ R ,

tal queu = α · a+ β · b+ γ · c .

Demonstração:A demonstração deste resultado é correspondente a demonstração da Proposição (3.6.2)

acima, para o caso n ≥ 4 com três vetores L.I. em V3 (veja a partir de (**), página 67, nademostração da (3.6.2) acima).

5.a aula - 13.03.2014

Temos as seguintes considerações:

Observação 3.6.4


1. Ainda com relação ao Corolário (3.6.2) acima, veremos mais adiante que os es-calares α ,β , γ ∈ R determinados, são os únicos com a propriedade que

u = α · a+ β · b+ γ · c .

2. O resultado a seguir, relaciona o fato de um conjunto de vetores ser L.D ou L.I.em V3, com o fato de podermos escrever o vetor nulo como combinação linearnão trivial (isto é, com nem todos os coeficientes nulos) dos vetores em questão.

Proposição 3.6.3 Sejam a1, · · · , an ∈ V3.Os vetores a1 , a2 , · · · , an serão L.D. em V3 se, e somente se, existem escalares

α1 , α2 , · · · , αn ∈ R ,

não todos nulos, tais que

O = α1 · a1 + α2 · a2 + · · ·+ αn · an ,

ou seja, o vetor nulo pode ser escrito, como combinação linear dos vetores a1 , a2 , · · · , an

de, pelo menos, dois modos diferentes.

Demonstração:Suponhamos que os vetores a1 , a2 , · · · , an são L.D. em V3.Se n = 1, teremos

a1 = O , assim O = 1 · O = 1 · a1 ,

como queríamos mostrar.Se n ≥ 2, da Proposição (3.6.2), segue que um dos vetores a1 , a2 , · · · , an, pode ser escrito

como combinação linear dos restantes, isto é, existe ai, tal que

ai = α1 · a1 + · · ·+ αi−1 · ai−1 + αi+1 · ai+1 + · · ·+ αn · an ,

para algum i ∈ 1 , 2 , · · · , n, onde

α1 , α2 , · · · , αi−1, αi+1, · · · , αn ∈ R .

Logo,

O = −ai + α1 · a1 + · · ·+ αi−1 · ai−1 + αi+1 · ai+1 + · · ·+ αn · an

= α1 · a1 + · · ·+ αi−1 · ai−1 + (−1) · ai + αi+1 · ai+1 + · · ·+ αn · an ,

isto é, conseguimos escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores a1 , a2 , · · · , an,com nem todos os coeficientes nulos (o coeficiente de ai é −1 = 0), como queríamos mostrar.

Por outro lado, se o vetor nulo pode ser como combinação linear dos vetores a1, · · · , an ,com nem todos os coeficientes nulos, então existem

α1 , α2 , · · · , αn ∈ R ,


tais que existe, pelo menos um,αi = 0 .

Assim

O = α1 · a1 + · · ·+ αi−1 · ai−1 + αi · ai + αi+1 · ai+1 + · · ·+ αn · an ,

ou seja,−αi · ai = α1 · a1 + · · ·+ αi−1 · ai−1 + αi+1 · ai+1 + · · ·+ αn · an .

Como αi = 0, teremos

ai =α1

−αi

· a1 + · · ·+ αi−1

−αi

· ai−1 +αi+1

−αi

· ai+1 + · · ·+ αn

−αi

· an ,

ou seja, um dos vetores a1 , a2 , · · · , an , é combinação linear dos restantes e assim, da Propo-sição (3.6.2) segue que os vetores a1 , a2 , · · · , an são L.D. em V3, como queríamos mostrar.

Consideremos alguns exemplos:

Exemplo 3.6.3

1. Seja a ∈ V3.

Então os vetores a e −a são L.D. em V3.

De fato, pois1 · a+ 1 · (−a) = O ,

ou seja, podemos escrever o vetor nulo como uma combinação linear dos vetoresa e −a com coeficientes não todos nulos (no caso nenhum dos coeficientes é iguala zero).

2. Sejam a , b ∈ V3.

Então os vetores a , b ,(5 · a− 6 · b

)são L.D. em V3.

De fato, poisO = (−5) · a+ 6 · b+ 1 · (5 · a− 6 · b) ,

ou seja, podemos escrever o vetor nulo como uma combinação linear dos vetoresa , b ,

(5 · a− 6 · b

), com coeficientes não todos nulos (no caso nenhum dos coefi-

cientes é igual a zero).

3. Sejam a , b ∈ V3.

Os vetores O , a , b são L.D. em V3.

De fato, poisO = 1︸︷︷︸

=0

·O+ 0 · a+ 0 · b ,

ou seja, podemos escrever o vetor nulo como uma combinação linear dos vetoresO a , b com coeficientes não todos nulos (no caso só um deles é, necessariamente,não zero).


Este último exemplo nos motiva o seguinte resultado:

Corolário 3.6.3 Sejam a1 , a2 , · · · , an ∈ V3. Então os vetores O , a1 , a2 , · · · , an são L.D.em V3.

Demonstração:A demonstração é semelhante ao que fizemos no Exemplo (3.6.3) item 3. acima.Basta verificar que

O = 1 · O+ 0 · a1 + 0 · a2 + · · ·+ 0 · an ,

ou seja, podemos escrever o vetor nulo como uma combinação linear dos vetores

O , a1 , a2 , · · · , an ,

com coeficientes não todos nulos (no caso só um deles é, necessariamente, não zero), comple-tando a demonstração do resulado.

De modo análogo temos uma condição necessária e suficiente para que uma coleção de

vetores seja L.I. em V3, a saber:

Proposição 3.6.4 Sejam a1, · · · , an em V3.Os vetores a1 , a2 , · · · , an são L.I. em V3 se, e somente se, a única combinação

linear dos vetores a1 , a2 , · · · , an que dá o vetor nulo é aquela que tem todos os escalares(coeficientes), necessariamente, iguais a zero.

Demonstração:Suponhamos que os vetores a1 , a2 , · · · , an são L.I. em V3.Devemos mostar que se

O = α1 · a1 + α2 · a2 + · · ·+ αn · an

então deveremos , necessariamente, ter

α1 = α2 = · · · = αn = 0 .

De fato, suponhamos, por abusro, que um dos αi, para algum i ∈ 1 , 2 , · · · , n, pudesseser diferente de zero.

Da Proposição (3.6.3), os vetores a1 , a2 , · · · , an seriam L.D. em V3, o que não podeacontecer por hipótese.

Reciprocamente, seO = α1 · a1 + α2 · a2 + · · ·+ αn · an ,

implicar que a única possibilidade é

α1 = α2 = · · · = αn = 0 ,

então os vetores a1 , a2 , · · · , an não podem ser L.D. em V3 pois, se fossem, existiriam escalaresnão todos nulos satisfazendo a identidade acima, o que não pode ocorrer, por hipótese,completando a demonstraão do resultado.


Observação 3.6.5 Sejam a1 , a2 , · · · , an ∈ V3.

1. A Proposição (3.6.3) nos diz que, os vetores a1 , a2 , · · · , an são L.D. em V3 se, esomente se, existem escalares não todos nulos,

α1 , α2 , · · · , αn ∈ R ,

tais queO = α1 · a1 + α2 · a2 + · · ·+ αn · an .

2. A Proposição (3.6.2) nos diz que, se um conjunto finito de de vetores é L.D.em V3, podemos retirar, pelo menos, um deles do conjunto dado, que o conjuntogerado pelos restantes será igual ao conjunto gerado por todos.

3. A Proposição (3.6.4) nos diz que, os vetores a1 , a2 , · · · , an são L.I. em V3 se, esomente se, a única possibilidade para que

O = α1 · a1 + α2 · a2 + · · ·+ αn · an

éα1 = · · · = αn = 0 .

4. Se um conjunto finito de vetores é L.I. em V3, não podemos retirar um delesdo conjunto, de modo que o conjunto gerado pelos restantes continue igual aoconjunto gerado por todos.

5. Os itens 2. e 4. desta Observação, estão diretamente relacionadas com as questõesque colocamos no início desta seção.

Isto ficará mais claro a seguir.

Para V2 temos algo parecido (porém diferente), cujas propriedades serão enumeradas naobservação abaixo e cujas demonstrações são semelhantes ao caso V3 e suas redações serãodeixadas como exercício para o leitor.

Observação 3.6.6

1. Começaremos introduzindo a definição de dependência linear em V2.

(a) Um vetor a ∈ V2 será linearmente dependente em V2, ou abreviadamenteL.D. em V2, se

a = O .

Caso contrário, o vetor a será dito linearmente independente em V2, ouabreviadamente L.I. em V2, (ou seja, se a = O).Diremos que o conjunto a é linearmente dependente em V2, ou abrevia-damente L.D. em V2 se

a = O .

Caso contrário, diremos que o conjunto a é linearmente independente emV2, ou abreviadamente L.I. em V2 (ou seja, se a = O).


O

O é L.D.

1

a

a é L.I.

(b) Os vetores a, b ∈ V2 serão ditos linearmente dependente em V2, ou abrevi-adamente por L.D. em V2, se os vetores a e b forem paralelos (isto é, têm amesma direção).

Caso contrário, os vetores a , b ∈ V3 serão ditos linearmente independenteem V2, , ou abreviadamente L.I. em V2 (ou seja, os vetores a e b não sãoparalelos).

Diremos que o conjuntoa , b

é linearmente dependente em V2, ou abre-

viadamente L.D. em V2, se os vetores a e b são paralelos.

Caso contrário, diremos que o conjuntoa, b

é linearmente independente

em V2, ou abreviadamente L.I., em V2 (ou seja, se os vetores a e b não sãoparalelos).

1

)a

1 a

a, b

é L.I.

b

a, b

é L.D.

jb

(c) Os vetores a1 , a2 , a3 , · · · , an ∈ V2 são linearmente dependentes em V2, , ouabreviadamente L.D. em V2, se n ≥ 3.

Diremos que o conjunto a1 , a2 , a3 , · · · , an é linearmente dependente em V2,, ou abreviadamente L.D. em V2, se n ≥ 3.

7

1

q

wa

b

c

d

L.D.

2. Podemos mostrar que, o conjunto de vetoresO , a1 , a2 , · · · , an

é L.D. em V2,

para qualquer coleção de vetores a1 , a2 , , · · · , an ∈ V2 (veja a Observação (3.6.1)item 2.).

3. Podemos definir combinação linear para vetores de V2, do mesmo modo comofizemos para vetores de V3 (veja Definição (3.6.2)).

3.7. BASE DE V3 75

4. Podemos provar que (veja a Proposição (3.6.1)): sejam a , b ∈ V2 .

Os vetores a , b são L.D. em V2 se, e somente se, existe α ∈ R, tal que ou

a = α · b ou b = α · a .

5. Temos também que: (veja Proposição (3.6.2)) sejam a1 , a2 , · · · , an ∈ V2, comn ≥ 2 fixado.

Os vetoresa1 , a2 , · · · , an são L.D. em V2

se, e somente se, um dos vetores da lista pode ser escrito como combinação lineardos restantes, isto, é, existe um vetor ai, para algum i ∈ 1, · · · , n, de modo que

ai = α1 · a1 + · · ·αi−1 · ai−1 + αi+1 · ai+1 + · · ·+ αn · an ,

ondeα1 , · · ·αi−1 , αi+1 , · · · , αn ∈ R .

6. Podemos provar que (veja o Corolário (3.6.1)) se a , b , c ∈ V2 são tais que osvetores a , b são L.I. em V2, então o vetor c pode ser escrito como combinaçãolinear dos vetores a , b, isto é, existem escalares

α ,β ∈ R ,

tal quec = α · a+ β · b .

7. Temos também que (veja a Proposição (3.6.4)): sejam a1 , · · · , an ∈ V2.

Os vetores a1 , · · · , an são L.I. em V2 se, e somente se, a única combinação lineardos vetores a1 , · · · , an que dá o vetor nulo é aquela que tem todos os escalares(coeficientes), necessariamente, iguais a zero.

Na seção a seguir voltaremos a tratar de V3 e, mais adiante, voltaremos a fazer as corres-pondentes considerações sobre V2.

3.7 Base de V3

Começaremos pela:

Definição 3.7.1 A uma tripla ordenada formada por três vetores linearmente indepen-dentes, isto é,

e1 , e2 , e3 ⊆ V3

é L.I. em V3, daremos o nome de base ou base ordenada de V3, que será indicada por:

E .= (e1 , e2 , e3) ou (e1 , e2 , e3)E ou E = e1 , e2 , e3 ou e1 , e2 , e3E .


Temos as seguintes observações:

Observação 3.7.1

1. Se E = (e1 , e2 , e3) é uma base (ordenada) de V3, então, do Corolário (3.6.2), segueque cada vetor u ∈ V3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores

e1 , e2 , e3 ,

isto é, existem escalaresα1 , α2 , α3 ∈ R ,

tais queu = α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3 .

2. Na situação acima, os escalares

α1 , α2 , α3 ∈ R

são unicamente determinados, ou seja, se

u = β1 · e1 + β2 · e2 + β3 · e3 ,

comβ1 , β2 , β3 ∈ R ,

deveremos terβ1 = α1 , β2 = α2 e β3 = α3 .

De fato, como

u = α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3 e u = β1 · e1 + β2 · e2 + β3 · e3

então, subtraindo uma identidade da outra obteremos,

O = u− u = (β1 · e1 + β2 · e2 + β3 · e3) − (α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3)= (β1 − α1) · e1 + (β2 − α2) · e2 + (β3 − α3) · e3 .

Mas os vetores e1 , e2 , e3 são L.I em V3 (pois formam uma base (ordenada) de V3).

Logo deveremos, necessariamente, ter:

β1 − α1 = β2 − α2 = β3 − α3 = 0 , ou seja, β1 = α1, β2 = α2 e β3 = α3 ,

como queríamos demonstrar.

3. Conclusão: fixada uma base (ordenada) E = (e1 , e2 , e3) de V3, a cada vetor u ∈ V3,podemos associar uma terna ordenada

(α1 , α2 , α3) ∈ R3 ,

formada pelos coeficientes da combinação linear obtida quando escrevemos o vetoru em termos dos vetores da base (ordenada) E, de V3.

3.7. BASE DE V3 77

Com isto temos a:

Definição 3.7.2 À terna ordenada

(α1 , α2 , α3) ∈ R3 ,

obtida acima, daremos no nome de coordenadas do vetor u, em relação à base (orde-nada) E, de V3 e escreveremos (abuso da notação)

u = (α1 , α2 , α3)E ∈ R3 .

À matriz coluna α1

α2

α3

,

daremos o nome de matriz das coordenadas do vetor u em relação à base (ordenada)E, de V3 e será denotada por (u)E , ou seja,

(u)E.=

α1

α2

α3

.

Observação 3.7.2

1. É fundamental a ordem dos escalares

α1 , α2 , α3 ∈ R ,

para encontrarmos as coordenadas ou matriz das coordenadas de um vetor emrelação a uma base (ordenada) fixada E, de V3, ou seja, a ordem como essesescalares aparecem é determinada pela ordem como escrevemos o vetor dado emtermos dos vetores da base (ordenada) de V3 dada (na ordem que estes últimosaparecem na base (ordenada) de V3.

Por exemplo, fixada uma base (ordenada) de V3, que indicaremos por

E = (e1 , e2 , e3) ,

se um vetor u é dado por

u = e1 − e2 + e3 = 1 · e1 + (−1) · e2 + 1 · e3 , (3.22)

então as coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada) E, de V3, serãodadas por:

u = (1 ,−1 , 1)E .

A ordem como aparecem os vetores da base (ordenada) de V3, na combinaçãolinear (3.22) acima, é definida pela ordem como os vetores aparecem na base(ordenada): 1.o o vetor e1, depois o vetor e2 e por último o vetor e3.


Sua matriz das coordenadas, em relação à base (ordenada) E, de V3, será dadapor:

(u)E =

1

−1

1

.

2. Na situação acima, o vetor v, cuja coordenadas são dadas por:

v = (−1 , 1 , 1)E ,

em relação à base (ordenada) E, de V3, será o vetor

v = (−1) · e1 + 1 · e2 + 1 · e3 = −e1 + e2 + e3 .

3. Quando não houver dúvidas em relação à base (ordenada) de V3 que fixamos,escreveremos apenas

u = (α1 , α2 , α3) ou (u) =

α1

α2

α3

.

4. Veremos a seguir que, fixada uma base (ordenada) de V3, as operações com vetorespodem ser feitas diretamente com suas coordenadas (ou matriz das coordenadas),facilitando muito o trabalho que envolvem esses cálculos.

Na verdade passaremos a fazer Geometria Analítica, ou seja, cálculos numéricosque, em muitas situações, nos levará a resultados geométricos.

Para os próximos resultados fixaremos uma base (ordenada) E = (e1 , e2 , e3) de V3.

Proposição 3.7.1 Temos queO = (0 , 0 , 0)E .

Em particular,

(O)E =

0

0

0

.

Demonstração:De fato, pois

O = 0 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3 ,

logo, da Definição (3.7.2), segue que

O = (0 , 0 , 0)E

e assim, teremos

(O)E =

0

0

0

,

3.7. BASE DE V3 79


Para a adição de vetores utilizando as coordenadas dos mesmo temos a:

Proposição 3.7.2 Suponhamos que as coordenadas dos vetores u , v ∈ V3, em relação àbase (ordenada) E, de V3, são dadas por

u = (α1 , α2 , α3)E e v = (β1 , β2 , β3)E ,

respectivamente.Então

u+ v = (α1 + β1 , α2 + β2 , α3 + β3)E , (3.23)

isto é, as coordenadas do vetor u+ v em relação à base (ordenada) E, de V3, sãoobtidas somando-se as coorrespondentes coordenadas dos vetores u e v em relação àbase (ordenada) E, de V3, a saber:

(α1 , α2 , α3)E + (β1 , β2 , β3)E = (α1 + β1 , α2 + β2 , α3 + β3)E .

Ou ainda,

(u+ v)E =

α1 + β1

α2 + β2

α3 + β3

, (3.24)

isto é, a matriz das coordenadas do vetor u+ v, em relação à base (ordenada) E, deV3, é obtida somando-se as matrizes coordenadas dos vetores u e v, em relação à base(ordenada) E, de V3, resumidamente,

(u+ v)E = (u)E + (v)E . (3.25)

Demonstração:Basta observar que se

u = (α1 , α2 , α3)E e v = (β1 , β2 , β3)E ,

então, da Definição (3.7.2), segue que

u = α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3 e v = β1 · e1 + β2 · e2 + β3 · e3 . (3.26)

Logo

u+ v(3.26)= (α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3) + (β1 · e1 + β2 · e2 + β3 · e3)

= (α1 + β1) · e1 + (α2 + β2) · e2 + (α3 + β3) · e3 .

Logo, da Definição (3.7.2), segue que as coordenadas do vetor u+ v, em relação à base(ordenada) E , de V3, , serão dadas por

u+ v = (α1 + β1 , α2 + β2 , α3 + β3)E ,

como queríamos mostrar.Para a matriz das coordenadas dos vetores em questão, temos algo semelhante e sua

demonstração será deixada como exercício para o leitor.

Para a multiplicação de vetor por escalar, utilizando as coordenadas do mesmo, temos a:


Proposição 3.7.3 Suponhamos que as coordenadas do vetor u ∈ V3, em relação à base(ordenada) E, de V3, são dadas por

u = (α1 , α2 , α3)E

e α ∈ R.Então

α · u = (αα1 , αα2 , αα3)E , (3.27)

isto é, as coordenadas do vetor α · u, em relação à base (ordenada) E de V3, são obtidasmultiplicando-se as coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada) E de V3, pelonúmero real α, ou seja:

α (α1 , α2 , α3)E = (αα1 , αα2 , αα3)E .

Ou ainda

(α · u)E =

αα1

αα2

αα3

, (3.28)

isto é, a matriz das coordenadas do vetor α · u, em relação à base (ordenada) E, de V3, éobtida multiplicando-se a matriz coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada)E, de V3, pelo número real α, resumidamente,

(α · u)E = α (u)E . (3.29)

Demonstração:De fati, como

u = (α1 , α2 , α3)E ,

segue, da Definição (3.7.2), que

u = α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3 . (3.30)

Logo

α · u (3.30)= α · (α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3)

= (αα1) · e1 + (αα2) · e2 + (αα3) · e3 ,

isto é, as coordenadas do vetor α · u, em relação à base (ordenada) E , de V3, serão dadas por:

α · u = (αα1 , αα2 , αα3)E ,

como queríamos mostrar.Para a matriz das coordenadas dos vetores em questão, temos algo semelhante e sua

demonstração será deixado como exercício para o leitor.

3.7. BASE DE V3 81

Exemplo 3.7.1 Seja E = (e1 , e2 , e3) uma base (ordenada) de V3 e consideremos

u.= e1 − e3 e v

.= e2 − 4 · e3 . (3.31)

Encontre as coordenadas e a matriz das coordenadas dos vetores:

u , v , u+ v e − 4 · u ,

em relação à base (ordenada) E, de V3.

Resolução:De (3.31), segue que as coordenadas dos vetores u e v, em relação à base (ordenada) E ,

de V3, serão dadas por :

u = (1 , 0 ,−1)E e v = (0 , 1 ,−4)E . (3.32)

Assim, as matrizes das coordenadas dos vetores u e v, em relação à base (ordenada) E , deV3 serão dadas por :

(u)E =

1

0

−1

e (v)E =

0

1

−4

. (3.33)

Logo, da Proposição (3.7.2), segue que

u+ v(3.32)= (1 , 0 ,−1)E + (0 , 1 ,−4)E

(3.23)= (1+ 0 , 0+ 1 ,−1− 5)E = (1 , 1 ,−5)E , (3.34)

isto é, da Definição (3.7.2), teremos que:

u+ v(3.34)= 1 · e1 + 1 · e2 + (−5) · e3

= e1 + e2 − 5 · e3 .

Do ponto de vista matricial, teremos:

(u+ v)E(3.25)= (u)E + (v)E

(3.33)=

1

0

−1

+

0

1

−4

=

1+ 0

0+ 1

−1− 4

=

1

1

−5

.

Notemos também que, da Proposição (3.7.3), segue que

−4 · u (3.33)= −4 (1 , 0 ,−1)E

(3.27)= (−4).1 , (−4).0 , (−4).(−1))E

= (−4 , 0 , 4)E ,

isto é, da Definição (3.7.2), teremos

−4 · u = (−4) · e1 + 0 · e2 + 4 · e3 = −4 · e1 + 4 · e3 .


Do ponto de vista matricial, da Proposição (3.7.3), teremos:

(−4 · u)E = −4 (u)E = −4

1

0

−1

= −4

1

0

−1

=

(−4).1

(−4).0

(−4).(−1)

=

−4

0

4

.

De modo semelhante, das Proposições e (3.7.2), (3.7.3) e de (3.32), segue que

3 · u− 5 · v = 3 (1 , 0 ,−1)E + (−5) (0 , 1 ,−4)E(3.23) e (3.25)

= (3 ,−5 , 17)E , (3.35)

isto é, da Definição (3.7.2), teremos

3 · u− 5 · v (3.35)= 3 · e1 + (−5) · e2 + 17 · e3

= 3 · e1 − 5 · e2 + 17 · e3 .

Do ponto de vista matricial, das Proposições e (3.7.2), (3.7.3) e de (3.32) temos:

(3 · u− 5 · v)E(3.25) e (3.29)

= 3 (u)E − 5 (v)E

(3.33)= 3

1

0

−1

− 5

0

1

−4

=

3.1+ (−5).0

3.0+ (−5).1

3.(−1) + (−5).(−4)

=

3

−5

17

.

6.a aula - 18.03.2014

Podemos estudar a dependência ou independência linear de vetores de V3 utilizando-sesuas coordenadas, em relação a uma base (ordenada) fixada de V3, como veremos na:

Proposição 3.7.4 Suponhamos que as coordenadas dos vetores u , v ∈ V3, em relação àbase (ordenada) E, de V3, sejam dadas por

u = (α1 , α2 , α3)E e u = (β1 , β2 , β3)E .

Então os vetores u , v são L.D. em V3 se, e somente se, os números reais

α1 , α2 , α3 e β1 , β2 , β3

são proporcionais, isto é, existe um número real α, tal que ou

α1 = αβ1 , α2 = αβ2 e α3 = αβ3

ouβ1 = αα1 , β2 = αα2 e β3 = αα3 .

3.7. BASE DE V3 83

Demonstração:Da Proposição (3.6.1), notemos que os vetores u , v são L.D. em V3 se, e somente se, existe

um número real α, tal queu = α · v ou v = α · u .

Logo, da Proposicão (3.7.3), segue que

(α1 , α2 , α3)E = α (β1 , β2 , β3)E︸︷︷︸(3.27)= (αβ1 ,α β2 ,α β3)E

ou (β1 , β2 , β3)E = α (α1 , α2 , α3)E︸︷︷︸(3.27)= (αα1 ,α α2 ,α α3)E

,

ou seja,α1 = αβ1 , α2 = αβ2 e α3 = αβ3

ouβ1 = αα1 , β2 = αα2 e β3 = αα3 ,


Observação 3.7.3

1. Na situação da Proposição (3.7.4) acima, se

β1 , β2 , β3 = 0 ,

então os vetores u , v são L.D. em V3 se, e somente se,

α1

β1

=α2

β2

=α3

β3

. (3.36)

Vale uma relação semelhante, para o caso que

α1 , α2 , α2 = 0 .

Deixaremos os detalhes como exercício para o leitor.

2. Como consequência da Proposição (3.7.4) acima, segue que os vetores u , v sãoL.I. em V3 se, e somente se, os números reais

α1 , α2 , α3 e β1 , β2 , β3

não são proporcionais.

Para o estudo da dependência linear de três vetores utilizando-se suas coordenadas temosa:


Proposição 3.7.5 Suponhamos que as coordenadas dos vetores u , v , w ∈ V3, em relaçãoà base (ordenada) E, de V3, sejam dadas por:

u = (α1 , α2 , α3)E , v = (β1 , β2 , β3)E e w = (γ1 , γ2 , γ3)E .

Então os vetores u , v , w são L.I. em V3 se , e somente se,∣∣∣∣∣∣∣α1 α2 α3

β1 β2 β3

γ1 γ2 γ3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 , (3.37)

isto é, se o determinante da matriz quadrada, de ordem três, onde cada linha é formadapelas coordenadas dos vetores u , v , w, em relação à base (ordenada) E, de V3, for nãonulo.

Demonstração:De fato, da Proposição (3.6.4), temos que u , v , w são L.I. em V3 se, e somente se,

a · u+ b · v+ c · w = O ,

implicará que a única solução deverá ser

a = b = c = 0 .

Da Proposição (3.7.2), isto é equivalente a que única solução para

a (α1 , α2 , α3)E + b (β1 , β2 , β3)E + c (γ1 , γ2 , γ3)E = (0 , 0 , 0)E ,

éa = b = c = 0 .

Da Proposição (3.7.3), isto será equivalente, que única solução para

(aα1 + bβ1 + c γ1 , a α2 + bβ2 + c γ2 , a α3 + bβ3 + c γ3)E = (0 , 0 , 0)E

éa = b = c = 0 .

Logo os vetores u , v , w são L.I. em V3 se, e somente se, a única solução do sistema linearα1 a+ β1 b+ γ1 c = 0

α2 a+ β2b+ γ2 c = 0

α3 a+ β3 b+ γ3 c = 0

, ou seja,

α1 β1 γ1

α2 β2 γ2

α3 β3 γ3

a

b

c

=

0

0

0

é a solução trivial isto é,

a = b = c = 0 , ou seja, a matriz:

a

b

c

=

0

0

0

.

3.7. BASE DE V3 85

Isto implicará que a matriz α1 β1 γ1

α2 β2 γ2

α3 β3 γ3

deverá ter determinante diferente de zero (veja o Teorema (B.5.1) do Apêndice (B)) das notassobre matrizes e sistemas lineares, como queríamos demonstrar.

Como conseqüência temos o:

Corolário 3.7.1 Suponhamos que as coordenadas dos vetores u , v , w ∈ V3, em relaçãoà base (ordenada) E, de V3, sejam dadas por:

u = (α1 , α2 , α3)E , v = (β1 , β2 , β3)E e w = (γ1 , γ2 , γ3)E .

Então os vetores u , v , w são L.D. em V3 se , e somente se,∣∣∣∣∣∣∣α1 α2 α3

β1 β2 β3

γ1 γ2 γ3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 , (3.38)

isto é, se o determinante da matriz quadrada, de ordem três, onde cada linha da mesmaé formada pelas coordenadas dos vetores u , v , w, em relação à base (ordenada) E, deV3, for nulo.

Demonstração:A demonstração é semelhante a da Proposição (3.7.5) acima e sua elaboração será deixada

como exercício para o leitor.

Consideremos alguns exemplos.

Exemplo 3.7.2 Seja E = (e1 , e2 , e3) uma base (ordenada) de V3.Suponhamos que as coordenadas dos vetores a , b , c , d , e ∈ V3, em relação à base E,

de V3, sejam dadas por:

a = (1 , 2 ,−1)E , b = (−8 ,−16 , 8)E (3.39)

c = (1 , 1 , 1)E , d = (1 , 1 , 0)E e d = (1 , 0 , 0)E . (3.40)

Mostre que os vetores a , b são L.D. em V3 e os vetores c , d , e são L.I. em V3.

Resolução:Para os vetores a , b:Notemos que

−8 · a (3.39)= −8 (1 , 2,−1)E

(3.27)= ((−8).1 , (−8).2 , (−8).(−1))E

= (−8 ,−16 , 8)E .

Logo, da Proposição (3.7.4), segue que os vetores a , b serão L.D. em V3.


Para os vetores c , d , e:Notemos que ∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1

1 1 0

1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣ = −1 = 0 ,

assim, da Proposição (3.7.5) e de (3.40), teremos que os vetores c , d , e serão L.I. em V3.

Podemos fazer uma estudo semelhante para V2, a saber, introduzir o conceito de base(ordenada) de V2, coordenadas de um vetor de V2, em relação a uma base (ordenada) fixadade V2, matriz das coordenadas de um vetor de V2, em relação a uma base (ordenada) fixadade V2 e resultados análogos aos que obtivemos no caso deV3.

Na observação a seguir mencionaremos estes conceitos e/ou resultados e deixaremos ascorrespondentes demonstrações como exercício para o leitor.

Observação 3.7.4

1. A uma dupla ordenada formada por dois vetores linearmente independentes, istoé, e1 , e2 ⊆ V2 é L.I. em V2, daremos o nome de base ou base ordenada de V2,que será indicada por:

E .= (e1 , e2) ou (e1 , e2)E ou E = e1 , e2 ou e1 , e2E .

2. Se E = (e1 , e2) é uma base (ordenada) de V2, então segue que cada vetor u ∈V2, pode ser escrito como combinação linear dos vetores e1 , e2, isto é, existemescalares

α1 , α2 ∈ R ,

tais queu = α1 · e1 + α2 · e2 .

Na situação acima, os escalares α1 , α2 ∈ R, são unicamente determinados, ouseja, se

u = β1 · e1 + β2 · e2 ,

com β1, β2 ∈ R, deveremos ter

β1 = α1 e β2 = α2 .

Conclusão: fixada uma base (ordenada) E = (e1 , e2) de V2, a cada vetor u ∈ V2,podemos associar um par ordenado

(α1 , α2) ∈ R2 ,

formado pelos coeficientes da combinação linear obtida quando escrevemos o vetoru em termo dos vetores da base (ordenada) E, de V2.

3.7. BASE DE V3 87

3. Ao par ordenado(α1 , α2) ∈ R2 ,

obtida acima, daremos no nome de coordenadas do vetor u, em relação à base(ordenada) E, de V2 e escreveremos (abuso da notação)

u = (α1 , α2)E ∈ R2 .

À matriz coluna (α1

α2

),

daremos o nome de matriz das coordenadas do vetor u, em relação à base (or-denada) E, de V2, e será denotada por (u)E , ou seja,

(u)E.=

(α1

α2

).

4. É fundamental a ordem dos escalares

α1 , α2 ∈ R

para encontrarmos as coordenadas ou matriz das coordenadas de um vetor emrelação a uma base (ordenada) fixada E, de V2, ou seja a ordem como essesescalares aparecem é determinada pela ordem como escrevemos o vetor dado emtermos dos vetores da base (ordenada) dada (na ordem que estes últimos aparecemna base (ordenada) de V2).

5. Temos queO = (0 , 0)E .

6. Suponhamos que as coordenadas dos vetores u v ∈ V2, em relação à base (orde-nada) E, de V2, são dadas por:

u = (α1 , α2)E e v = (β1 , β2)E , (3.41)

respectivamente.

Entãou+ v = (α1 + β1 , α2 + β2)E ,

isto é, as coordenadas do vetor u+ v, em relação à base (ordenada) E, de V2,são obtidas somando-se as coorrespondentes coordenadas dos vetores u e v, emrelação à base (ordenada) E, de V2, a saber:

(α1 , α2)E + (β1 , β2)E = (α1 + β1 , α2 + β2)E .

Ou ainda,

(u+ v)E =

(α1 + β1

α2 + β2

),


isto é, a matriz das coordenadas do vetor u+ v, em relação à base (ordenada) E,de V2, é obtida somando-se as matrizes coordenadas dos vetores u e v, em relaçãoà base (ordenada) E, de V2, resumidamente,

(u+ v)E = (u)E + (v)E .

7. Suponhamos que as coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada) E, deV2, são dadas por

u = (α1 , α2)E

e α ∈ R.

Entãoα · u = (αα1 , αα2)E ,

isto é, as coordenadas do vetor α · u, em relação à base (ordenada) E, de V2, sãoobtidas multiplicando-se as coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada)E, de V2, pelo número real α, ou seja:

α (α1 , α2)E = (αα1 , αα2)E .

Ou ainda,

(α · u)E =

(αα1

αα2

),

isto é, a matriz das coordenadas do vetor α · u, em relação à base (ordenada) Ede V2, é obtida multiplicando-se a matriz coordenadas do vetor u, em relação àbase (ordenada) E de V2, pelo número real α, resumidamente,

(α · u)E = α (u)E .

8. Suponhamos que as coordenadas dos vetores u , v ∈ V2, em relação à base (orde-nada) E, de V2, sejam dadas por:

u = (α1 , α2)E e v = (β1 , β2)E .

Então os vetores u , v ∈ V2 são L.D. em V2 se, e somente se, os números reais

α1 , α2 e β1 , β2

são proporcionais, isto é, existe um número real α, tal que ou

α1 = αβ1 e α2 = αβ2

ouβ1 = αα1 e β2 = αα2 .

3.8. ORTOGONALIDADE 89

9. Na situação acima, se β1 , β2 = 0, então os vetores u , v ∈ V2 são L.D. em V2 se,e somente se,

α1

β1

=α2

β2

.

Vale uma relação semelhante para o caso em que

α1 , α2 = 0 .

Deixaremos os detlahes da mesma como exercício para o leitor.

10. Notemos que da situação acima, segue que os vetores u , v ∈ V2 são L.I. em V2 se,e somente se, os números reais

α1 , α2 e β1 , β2

não são proporcionais.

11. Notemos também que, os vetores u , v ∈ V2, cujas coordenadas em relação à base(ordenada) E, de V2, são dadas por (3.41), são L.I. em V2 se , e somente se,∣∣∣∣∣ α1 α2

β1 β2

∣∣∣∣∣ = 0 ,

isto é, se o determinante da matriz quadrada, de ordem três, onde cada linha éformada pelas coordenadas dos vetores u , v, em relação à base (ordenada) E deV2, for não nulo.

12. Como consequência, temos que os vetores u , v ∈ V2, cujas coordenadas em relaçãoà base (ordenada) E de V2, são dadas por (3.41), são L.D. em V2 se , e somentese, ∣∣∣∣∣ α1 α2

β1 β2

∣∣∣∣∣ = 0 , (3.42)

isto é, se o determinante da matriz quadrada, de ordem dois, onde cada linha éformada pelas coordenadas dos vetores u , v ∈ V2, em relação à base (ordenada)E, de V2, for não nulo.

3.8 Ortogonalidade

Passaremos a seguir a estudar um outro conceito importante da Geometria, a saber, a orto-gonalidade entre vetores.

Definição 3.8.1

1. Um vetor u = O será dito ortogonal a uma reta r, se dado um ponto A da reta r

e um segmento orientado (A ,B), que é um representante do vetor u, tenhamos o


segmento geométrico AB, perpendicular à reta r e, neste caso, denotaremos estasituação por

u ⊥ r .

Geometricamente temos:

o

A

B

u

r

2. Um vetor u = O será dito ortogonal a um plano π, se dado um ponto A do planoπ e o segmento orientado (A ,B), que é um representante do vetor u, tenhamos osegmento geométrico AB perpendicular ao plano π.

Neste caso, escreveremosu ⊥ π .


K

A

B

u

π

3. Por definição, o vetor nulo O, é ortogonal a toda reta e a todo plano do espaço.

4. Diremos que os vetores u e v são ortogonais, se uma das situações abaixo ocorrer:

(a) quandou = O ou v = O ;

(b) seu , v = O

e se os segmentos orientados (A ,B) e (A ,C) são representantes dos veto-res u e v, respectivamente, então os segmentos geométricos AB e AC sãoperpendiculares.


Neste caso, escreveremosu ⊥ v .


-

6

A B

C

u

v

Com isto temos a:

Observação 3.8.1

1. Lembremos que um segmento de reta (ou uma reta) é perpendicular a um planose ele(a) for perpendidular a duas retas concorrentes desse plano (veja ilustraçãoabaixo).

s

t

π

r

2. Sejam u , v = O.

Se u ⊥ v, então os vetores u , v ∈ V3 são L.I. em V3.

De fato, pois se os segmentos orientados (A ,B) e (A ,C) representam os vetoresu e v, respectivamente, como os vetores são ortogonais (e não nulos) teremos queos segmentos geométricos AB e AC deverão ser perpendiculares, em particular,não poderão ser paralelos.

Portanto os vetores u , v ∈ V3 serão L.I. em V3.

-

6

A B

C

u

v


3. De análogo, se os vetoresu , v , w = O

e são, dois a dois, ortogonais, eles deverão ser L.I. em V3.

A demonstração deste fato é um pouco mais complicada.

Mais adiante faremos uma demonstração que englobará esta situação e a do item2. acima.

-

6

A

B

C

u

v

=D

w

Com isto temos o seguinte resultado (conhecido como Teorema de Pitágoras em V3):

Proposição 3.8.1 Sejam u , v ∈ V3.Os vetores u e v são ortogonais se, e somente se,

∥u+ v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 . (3.43)

Demonstração:Suponhamos que

u = O ou, de modo análogo, v = O .

Neste caso, temos que

u ⊥ v e ∥u+ v∥2 = ∥O+ v∥2 = ∥v∥2 = ∥O∥2 + ∥v∥2 = ∥u∥+ ∥v∥2 ,

mostrando que vale a afirmação.Se

u , v = O ,

pela Proposição (3.2.2), podemos encontrar pontos A, B e C, tais que os segmentos orientados(A ,B) e (B ,C), representem os vetores u e v, respectivamente.

Logo, da Definição (3.8.1) item 4.b., teremos que u ⊥ v se, e somente se, os segmentosgeométricos AB e BC são perpendiculares, ou seja,

−→AB= u e

−→BC= v . (3.44)

Com isto teremos que o segmento orientado (A ,C) será um representante do vetor u+ v,ou seja,

−→AC= u+ v . (3.45)


Logo, temos que u ⊥ v se, e somente se, vale o Teorema de Pitágoras, isto é,

AB 2 + BC 2 = AC 2 , (3.46)

ou seja,

∥u∥2 + ∥v∥2 (3.45)=∥∥∥−→AB∥∥∥2 + ∥∥∥−→

BC∥∥∥2 = AB 2 + BC 2

(3.46)= AC 2 =

∥∥∥ −→AC∥∥∥ (3.45)

= ∥u+ v∥2 .

Geometricamente, teremos:u ⊥ v

A B

C

∥u∥

∥v∥∥u + v∥

Podemos agora introduzir a:

Definição 3.8.2 Uma base (ordenada) E = (e1 , e2 , e3) de V3, será dita base ortonormal(ordenada) de V3, se:

1. os vetores e1 , e2 , e3 são unitários, isto é,

∥e1∥ = ∥e2∥ = ∥e3∥ = 1 ;

2. Os vetores e1 , e2 , e3 são, dois a dois, ortogonais, isto é,

e1 ⊥ e2 , e2 ⊥ e3 e e1 ⊥ e3 .

Temos o seguinte:

Exemplo 3.8.1 Consideremos O, A, B e C, quatro pontos distintos do espaço, tais queas retas ←→

OA ,←→OB e

←→OC ,

são, duas a duas, perpendiculares no ponto O e

OA = OB = OC = 1 .

Consideremos os vetores

e1.=

−→OA , e2

.=

−→OB e e3

.=

−→OC .

Geometricamente, temos a seguinte situação:


-

6

O

A

B

C

Mostre que E = (e1 , e2 , e3) é uma base ortonormal (ordenada) de V3.

Resolução:Notemos que, da Observação (3.8.1), segue que os vetores e1 , e2 , e3 são L.I. em V3 (pois

são, dois a dois, ortogonais e diferentes do vetor nulo).Observemos também que, por construção os vetores e1 , e2 , e3 são, dois a dois, ortogonais

e são unitários, pois

∥e1∥ =∥∥∥ −→OA∥∥∥ = OA = 1 , ∥e2∥ =

∥∥∥−→OB∥∥∥ = OB = 1 e ∥e3∥ =

∥∥∥ −→OC∥∥∥ = OC = 1 .

Portanto E = (e1 , e2 , e3) é uma base ortonormal (ordenada) de V3.

Temos a:

Proposição 3.8.2 Sejam E = (e1 , e2 , e3) uma base ortonormal (ordenada) de V3 e v ∈ V3

um vetor cujas coordenadas, em relação à base ortonormal (ordenada) E de V3, sãodadas por:

u.= (a , b , c)E . (3.47)

Então∥u∥ =

√a2 + b2 + c2 . (3.48)

Demonstração:De fato, como E é uma base ortonormal (ordenada) de V3 segue, em particular, que

e3 ⊥ e1 e e3 ⊥ e2 .

Afirmamos que isto implicará em

e3 ⊥ (a · e1 + b · e2) . (3.49)

De fato, pois neste caso o vetor e3 será ortogonal a um plano que é paralelo aos vetorese1 e e2, ou seja, vale (3.49).

Deixaremos os detalhes da demonstração da afirmação acima como exercício para o leitor.Assim teremos também

c · e3 ⊥ (a · e1 + b · e2) .


Logo, da Proposição (3.8.1), aplicada aos vetores (a · e1 + b · e2) e c · e3, teremos:

∥u∥2 (3.47)= ∥a · e1 + b · e2 + c · e3∥2 = ∥(a · e1 + b · e2) + c · e3∥2

Prop. (3.8.1)= ∥a · e1 + b · e2∥2 + ∥c · e3∥2

∥c·e3∥=|c| ∥e3∥= ∥a · e1 + b · e2∥2 + c2∥e3∥2

∥e3∥=1)= ∥a · e1 + b · e2∥2 + c2. (3.50)

Notemos que

e1 ⊥ e2 , logo, também teremos: a · e1 ⊥ b · e2 .

Deixaremos a verificação deste fato como exercício para o leitor.Logo, podemos aplicar a Proposição (3.8.1) aos vetores a · e1 e b · e2, para obter a seguinte

identidade:

∥a · e1 + b · e2∥2Prop. (3.8.1)

= ∥a · e1∥2 + ∥b · e2∥2

∥a·e1∥=|a| ∥e1∥ e ∥b·e2∥=|b| ∥e2∥= a2 ∥e1∥2 + b2 ∥e2∥2

∥e1∥=∥e2∥=1= a2 + b2 . (3.51)

Portanto, de (3.50) e (3.51), segue que

∥u∥2 = a2 + b2 + c2 , isto é, ∥u∥ =√

a2 + b2 + c2 ,


7.a aula - 20.03.2014Consideremos o seguinte exemplo para ilustrar.

Exemplo 3.8.2 Sejam E = (e1 , e2 , e3) uma base ortonormal (ordenada) de V3 e os ve-tores u , v ∈ V3 cujas coordenadas, em relação à base E de V3, são dadas por:

u.= (1 , 1 , 1)E e v

.= (2 , 1 ,−3)E . (3.52)

Pergunta-se: os vetores u , v são ortogonais em V3 ?

Resolução:Observemos que

u+ v = (1 , 1 , 1)E + (2 , 1 ,−3)E(3.23)= (1+ 2 , 1+ 1 , 1− 3)E = (3 , 2 ,−2)E . (3.53)

Assim, pela Proposição (3.8.2), segue que

∥u+ v∥2 (3.53),(3.47) e (3.48)= 33 + 22 + (−2)2 = 17 . (3.54)


Por outro lado,

∥u∥2 (3.52),(3.47) e (3.48)= 12 + 12 + 12 = 3 e ∥v∥2 (3.52),(3.47) e (3.48)

= 22 + 12 + (−3)2 = 14 . (3.55)

Portanto∥u+ v∥2 (3.54)

= 17 = 3+ 14(3.55)= ∥u∥2 + ∥v∥2 .

Logo, pela Proposição (3.8.1), segue que

u ⊥ v .

Notemos que podemos desenvolver os mesmos conceitos para V2, isto é, ortogonalidade,

base ortonormal (ordenada) de V2, Teorema de Pitágoras e assim por diante.Faremos isto, de modo, breve na observação a seguir, cujas demonstrações serão deixadas

como exercícios para o leitor.

Observação 3.8.2

1. (a) Um vetor u = O será dito ortogonal a uma reta r, se dado um ponto A dareta r e um segmento orientado (A ,B), que é um representante do vetor u,tenhamos o segmento geométrico AB, perpendicular à reta r e denotaremosesta situação por:

u ⊥ r .


o

A

B

u

r

(b) Por definição, o vetor nulo O, é ortogonal a toda reta.

(c) Diremos que os vetores u e v são ortogonais, se uma das situações abaixoocorrer:

i. quandou = O ou v = O ;

ii. se u , v = O, os segmentos orientados (A ,B) e (A ,C) são representantesdos vetores u e v, respectiavmente, então os segmentos geométricos AB eAC são perpendiculares.Neste caso, escreveremos:

u ⊥ v .


3.9. MUDANÇA DE BASE 97

-

6

A B

C

u

v

2. Sejam u , v = O.

Se u ⊥ v, então os vetores u , v são L.I. em V2.

3. Sejam u , v ∈ V2. Os vetores u e v são ortogonais se, e somente se,

∥u+ v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 ,

isto é, vale o Teorema de Pitágoras em V2.

4. Uma base (ordenada) E = (e1 , e2) de V2, será dita base ortonormal (ordenada)de V2, se:

(a) os vetores e1 , e2 são unitários, isto é,

∥e1∥ = ∥e2∥ = 1 ;

(b) Os vetores e1 , e2 são ortogonais, isto é,

e1 ⊥ e2 .

5. Sejam E = (e1 , e2) uma base ortonormal (ordenada) de V2 e v ∈ V2 um vetor,cujas coordenadas, em relação à base ortonormal (ordenada) E de V2, são dadaspor

u = (a , b)E .

Então∥u∥ =

√a2 + b2 .

3.9 Mudança de Base

Em muitas situações a escolha de uma base (ordenada), conveniente, de V3 (ou de V2) poderáfacilitar a resolução de problemas.

Porém pode acontecer de uma base (ordenada) de V3 (ou de V2) já estar pré selecionada.Se pretendermos mudar a base (ordenada) dada, para uma nova base (ordenada), a questão

que se colocar é: como ficarão as coordenadas (ou a matriz das coordenadas) de um vetor emrelação a nova base (ordenada)?

Como veremos a resposta a esta questão estará relacionada com uma relação apropriadaque encontraremos entre a base (ordenada) dada e a nova base (ordenada).

Trataremos do caso V3 e, no final desta seção, falaremos sobre V2.Para isto temos a:


Observação 3.9.1

1. Sejam E = (e1 , e2 , e3) e F =(f1 , f2 , f3

)bases (ordenadas) de V3.

Logo podemos escrever, de modo único, cada elemento da base (ordenada) F ,como uma combinação linear dos elementos da base (ordenada) E, da seguinteforma:

f1 = a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3f2 = a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3f3 = a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3

, (3.56)

ou seja:

(f1

)E=

a11

a21

a31

,(f2

)E=

a12

a22

a32

e(f3

)E=

a13

a23

a33

.

Assim podemos construir a seguinte matriz quadrada de ordem 3:

A.=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, (3.57)

ondeaij ∈ R , para cada i , j ∈ 1 , 2 , 3 .

Logo, temos uma relação entre os elementos das bases (ordenadas) E e F de V3,dada pelas equações (3.56) acima.

2. Dado um vetor u ∈ V3, como E = (e1 , e2 , e3) é base (ordenada) de V3, temos queexistirão (únicos)

x1 , x2 , x3 ∈ R ,

tais queu = x1 · e1 + x2 · e2 + x3 · e3 = (x1 , x2 , x3)E , (3.58)

ou seja:

(u)E =

x1

x2

x3

.

De modo semelhante, como F =(f1 , f2 , f3

)é base (ordenada) de V3, temos que

existem (únicos)y1 , y2 , y3 ∈ R ,

tais queu = y1 · f1 + y2 · f2 + y3 · f3 = (y1 , y2 , y3)F . (3.59)


ou seja:

(u)F =

y1

y2

y3

.

Pergunta-se: existe alguma relação entre as coordenadas do vetor u em relação àbase (ordenada) E de V3 (ou seja, x1 , x2 , x3 ∈ R) e as coordenadas do vetor u emrelação à base (ordenada) F de V3 (ou seja, y1 , y2 , y3 ∈ R) ?

Notemos que

u(3.59)= y1 · f1 + y2 · f2 + y3 · f3

(3.56)= y1 · (a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3) + y2 · (a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3)

+ y3 · (a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3)= (y1a11 + y2a12 + y3a13) · e1 + (y1a21 + y2a22 + y3a23) · e2

+ (y1a31 + y2a32 + y3a33) · e3 . (3.60)

Logo comparando a expressão (3.60) com (3.58), segue que

x1 · e1 + x2 · e2 + x3 · e3 = (y1 a11 + y2 a12 + y3 a13) · e1 + (y1 a21 + y2 a22 + y3 a23) · e2+ (y1 a31 + y2 a32 + y3 a33) · e3 .

Como o vetor u deve ser unicamente representado como combinção linear dosvetores da base (ordenada) E de V3, segue que deveremos ter:

x1 = y1 a11 + y2 a12 + y3 a13

x2 = y1 a21 + y2 a22 + y3 a23

x3 = y1 a31 + y2 a32 + y3 a33

, (3.61)

isto é, encontramos uma relação entre as coordenadas do vetor u na base (orde-nada) E de V3, em termos das coordenadas do vetor u na base (ordenada) F deV3.

Os coeficientes que aparecem multiplicando as correspondetes coordenadas no sis-tema linear (3.61), são obtidos de escrever os vetores da base (ordenada) E de V3,em termos dos vetores da base (ordenada) F de V3, isto é, dos coeficientes de(3.56).

Notemos que a expressão (3.61), pode ser reescrita em termos do produto de


matrizes, da seguinte forma:x1 = y1 a11 + y2 a12 + y3 a13

x2 = y1 a21 + y2 a22 + y3 a23

x3 = y1 a31 + y2 a32 + y3 a33

se, e somente se,

x1

x2

x3

=

y1 a11 + y2 a12 + y3 a13

y1 a21 + y2 a22 + y3 a23

y1 a31 + y2 a32 + y3 a33

ou, equivalentemente,

x1

x2

x3

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

y1

y2

y3

. (3.62)

Conclusão:(u)E = A (u)F , (3.63)

onde a matriz A é dada por (3.57).

3. Portanto para obter a matriz coordenadas do vetor u, em relação à base (orde-nada) E de V3, basta multiplicar a matriz A (dada por (3.57), cujas colunas sãoobtidas de escrevendo-se cada um dos vetores da base (ordenada) F de V3, emtermos dos vetores da base (ordenada) E de V3) pela matriz das coordenadas dovetor u, em relação à base (ordenada) F de V3.

4. Todo cuidado é pouco!

Observemos que a 1.a coluna da matriz A, dada por (3.57), é formada peloscoeficientes quando escrevemos o vetor f1, como combinação linear dos vetores

e1 , e2 , e3 ,

na ordem certa, a saber:f1 = a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3f2 = a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3f3 = a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3

e assim

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

De modo análogo, a 2.a coluna da matriz A, dada por (3.57), é formada pe-los coeficientes quando escrevemos o vetor f2, como uma combinação linear dosvetores

e1 , e2 , e3 ,


na ordem certa, a saber:f1 = a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3f2 = a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3f3 = a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3

e assim

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

E finalmente, a 3.a coluna da matriz A, dada por (3.57) é formada pelos coefici-entes quando escrevemos o vetor f3, como uma combinação linear dos vetores

e1 , e2 , e3 ,

na ordem certa, ou seja:f1 = a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3f2 = a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3f3 = a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3

e assim

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

Com isto temos a:

Definição 3.9.1 A matriz A, obtida em (3.57), será denominada matriz de mudança debase, da base (ordenada) E para a base (ordenada) F de V3 e denotada por

MEF , ou E M→ F , ou MFE . (3.64)

Observação 3.9.2 Logo, da Definição acima e de (3.63), segue que:

(u)E = MEF (u)F . (3.65)

Consideremos o seguinte exemplo:

Exemplo 3.9.1 Sejam E = (e1 , e2 , e3) e F = (f1 , f2 , f3) bases (ordenadas) de V3, que serelacionam da seguinte forma:

f1 = 2 · e1 − e2 + e3

f2 = e1 + e2 + e3

f3 = e1 − e2 + e3

(3.66)

e u ∈ V3 dado por:u

.= f1 + 3 · f2 + 4 · f3 . (3.67)

Encontre a matriz de mudança de base, da base (ordenada) E para a base (ordenada)F de V3, isto é, MEF , as coordenadas e a matriz das coordenadas do vetor u, em relaçãoà base (ordenada) F de V3.


Resolução:Segue de (3.66) que

f1 = 2 · e1 + (−1) · e2 + 1 · e3f2 = 1 · e1 + 1 · e2 + 1 · e3f3 = 1 · e1 + (−1) · e2 + 1 · e3

.

Logo, das relações acima e da Definição (3.9.1), segue que a matriz de mudança da base,da base (ordenada) E para a base (ordenada) F de V3, será dada por:

MEF =

2 1 1

−1 1 −1

1 1 1

. (3.68)

Notemos que, de (3.67), segue matriz das coordenadas do vetor u, em relação à base(ordenada) F de V3, será dada por:

(u)F =

1

3

4

. (3.69)

Então, da relação (3.65), a matriz das coordenadas do vetor u, em relação à base (orde-nada) E de V3, que indicaremos por

(u)E =

x1

x2

x3

,

será dada por: x1

x2

x3

= (u)E(3.65)= MEF(u)F

(3.68) e (3.69)=

2 1 1

−1 1 −1

1 1 1

1

3

4

=

2.1+ 1.3+ 1.4

(−1).1+ 1.3+ (−1).4

1.1+ 1.3+ 1.4

=

9

−2

8

,

ou seja, as coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada) E de V3, serão dadas por :

u = (9 ,−2 , 8)E ,

ou ainda,u = 9 · e1 − 2 · e2 + 8 · e3 .


Observação 3.9.3

1. No Exemplo (3.9.1) acima, vale observar que

det(MEF)(3.69)=

∣∣∣∣∣∣∣2 1 1

−1 1 −1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ Exercício= 2 = 0 .

Logo, do Teorema (B.5.1) do Apêndice (B), segue que a matriz quadrada MEF énão singular, ou seja, é inversível.

Além disso, da Proposição (A.5.7) do Apêndice (A), segue que

MEF−1 =

[ coft(MEF)]t

det(MEF)=

1

2

2 0 −2

0 1 −1

−2 1 3

t

=

2 0 −2

0 1 1

−2 −1 3

Exercício=

1 0 −1

01

2

1

2

−1 −1

2

3

2

.

2. Vale notar que, também no Exemplo (3.9.1) acima, a matriz MEF−1, será a matriz

de mudança da base, da base (ordenada) F para a base (ordenada) E, isto é,

MFE = MEF−1 .

De fato, pois do sistema (3.56), podemos escrever (formalmente) que: f1

f2

f3

= [MEF ]t

e1

e2

e3

,

assim, e1

e2

e3

=[MEF ]

t−1

f1

f2

f3

(A.56)=[MEF ]

−1t f1

f2

f3

,

ou seja, podemos escrever cada um dos vetores da base (ordenada) E de V3, comocombinação linear dos vetores da base (ordenada) F de V3, cujos coeficientes sãoos elementos sa matriz MEF

−1.

Logo as colunas da matriz MEF−1, serão as colunas da matriz MFE , isto é, temos

queMFE = MEF

−1 .

Este fato será provado rigorosamente em um resultado, logo a seguir.


3. Baseado no fato acima, se as coordenadas do vetor u ∈ V3, em relação às bases(ordenadas) E e F de V3 são, respectivamente, dadas por:

u = (9 ,−2 , 8)E e u = (y1 , y2 , y3)F ,

então a matriz das coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada) F deV3, isto é, a matriz

(y)F =

y1

y2

y3

,

será dada por: y1

y2

y3

= (u)F(3.65)= MFE(u)E

=

1 0 −1

01

2

1

2

−1 −1

2

3

2

9

−2

8

=

1.9+ 0.(−2) + (−1).8

0.9+1

2.(−2) +

1

2.8

(−1).9+

(−1

2

).(−2) +

3

2.8

=

1

3

4

,

ou seja, as coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada) E de V3, serão:

u = (1 , 3 , 4)E ,

que são as coordenadas do vetor u que começamos o Exemplo (3.9.1) acima (veja(3.67)).

A seguir formalizaremos as propriedades verificadas no Exemplo (3.9.1) acima e daremosoutras que facilitaram nosso trabalho em várias situações.

Proposição 3.9.1 Sejam

E = (e1 , e2 , e3) , F =(f1 , f2 , f3

)e G = (g1 , g2 , g3)

bases (ordenadas) de V3 e u ∈ V3.Então:


1. A matriz das coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada) E de V3, podeser obtida multiplicando-se a matriz de mudança de base, da base (ordenada) Epara a base (ordenada) F de V3, pela matriz das coordenadas do vetor u, emrelação à base (ordenada) F de V3, ou seja,

(u)E = MEF (u)F .

2. A matriz de mudança de base, da base (ordenada) E para a base (ordenada) Fde V3, isto é, a matriz MEF , é uma matriz não singular (isto é, inversível) e suamatriz inversa é a matriz de mudança de base, da base (ordenada) F para a base(ordenada) E de V3, ou seja,

MFE = MEF−1 .

3. A matriz de mudança de base, da base (ordenada) E para a base (ordenada) G deV3, isto é, a matriz MGE , é igual ao produto das matrizes de mudança de base, dabase (ordenada) E para a base (ordenada) F de V3, pela matriz de mudança debase, da base (ordenada) F para a base (ordenada) G de V3, isto é,

MGE = MGF MFE .

A ordem da multiplicação acima é fundamental.

4. A matriz de mudança de base, da base (ordenada) E para a própria base (orde-nada) E de V3, é a matriz identidade de ordem 3, ou seja,

MEE = I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

5. Seja D.= (dij)i ,j∈1 ,2 ,3 é uma matriz quadrada de ordem 3, não singular (isto é,

inversível).

Então existe uma base (ordenada)

H .=(h1 , h2 , h3

)de V3, tal que a matriz D, seja a matriz de mudança de base, da base (ordenada)H para a base (ordenada) E de V3, ou seja

D = MEH .

Demonstração:Consideremos as coordenadas do vetor u, em relação às base (ordenadas) E e F de V3,

dadas, respectivamente, por:

u = (x1 , x2 , x3)E e u = (y1 , y2 , y3)F


e suponhamos que tenhamos as seguintes relações entre os vetores das bases (ordenadas) E ,F e G, de V3:

f1 = a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3f2 = a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3f3 = a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3

, isto é, MEF =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

; (3.70)

g1 = b11 · f1 + b21 · f2 + b31 · f3g2 = b12 · f1 + b22 · f2 + b32 · f3g3 = b13 · f1 + b23 · f2 + b33 · f3

, isto é, MFG =

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

(3.71)

eg1 = c11 · e1 + c21 · e2 + c31 · e3g2 = c12 · e1 + c22 · e2 + c32 · e3g3 = c13 · e1 + c23 · e2 + c33 · e3

, isto é, MEG =

c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33

. (3.72)

De 1.:Feita na Observação (3.9.1) item 2.De 2.:Como os vetores f1, f2, f3 são L.I em V3 (pois formam uma base (ordenada) de V3) segue,

da Proposição (3.7.5), que a matriz MEF tem determinante diferente de zero.Logo, do Teorema (B.5.1) do Apêndice (B), segue que a matriz MEF é não singular, isto

é, admite matriz inversa.Mas do item 1. deste resultado, sabemos que

(u)E = MEF (u)F .

Logo

(u)F = MEF−1 (u)E ,

ou seja, das duas identidades acima, segue que

MFE = MEF−1 ,

como queríamos mostrar.De 3.:Mostrar que

MGE = MGF MFE

é equivalente a mostrar que

cik =

3∑j=1

aijbjk para cada i , k ∈ 1 , 2 , 3 .

Notemos que, podemos escrever as equações de (3.70), (3.71) e (3.72) da seguinte forma


abreiviada

fj =

3∑i=1

aij · ei , para cada j ∈ 1 , 2 , 3 , (3.73)

gk =

3∑j=1

bjk · fj , para cada k ∈ 1 , 2 , 3 , (3.74)

gk =

3∑i=1

cik · ei , para cada i ∈ 1 , 2 , 3 . (3.75)

Para cada k ∈ 1 , 2 , 3, substituindo-se (3.73) em (3.74), obteremos:

gk =

3∑j=1

bjk · fj(3.73)=

3∑j=1

bjk ·

(3∑

i=1

aij · ei

)

troca-se a ordem das somas=

3∑i=1

(3∑

j=1

aijbjk

)· ei. (3.76)

Comparando (3.76) com (3.75) (utilizando-se a unicidade da representação de um vetorcomo combinção linear dos elementos da base (ordenada) E , de V3), segue que:

cik =

3∑j=1

aijbjk , para cada i , k ∈ 1 , 2 , 3 ,

como queríamos mostrar.De 4.:Para obter a matriz de mudança da base (ordenada) E , de V3, para ela mesma, precisamos

escrever cada um dos vetores da base (ordenada) E , de V3, como combinação linear dessesmesmos elementos, isto é,

e1 = 1 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3e2 = 0 · e1 + 1 · e2 + 0 · e3e3 = 0 · e1 + 0 · e2 + 1 · e3

.

Lembremos que um vetor se escreve, de modo único, como combinação linear dos vetoresda base (ordenada) E de V3.

Logo, das relações acima e da Definição (3.9.1), segue que:

MEE =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= I3,


De 5.:Definamos os seguinte vetores:

h1.= d11 · e1 + d21 · e2 + d31 · e3

h2.= d12 · e1 + d22 · e2 + d32 · e3

h3.= d13 · e1 + d23 · e2 + d33 · e3

. (3.77)


Como a matriz quadrada D é não singular, da Proposição (3.7.5) segue que os vetores h1,h2, h3 são L.I. em V3 e portanto formam uma base (ordenada), que denotaremos por H, deV3.

Além disso, da definição dos vetores em (3.77) segue, da Definição (3.9.1), que

MEH = D ,


Consideremos o exemplo:

Exemplo 3.9.2 Sejam

E .= (e1 , e2 , e3) , F .

=(f1 , f2 , f3

)e G .

= (g1 , g2 , g3)

bases (ordenadas) de V3, que se relacioname da seguinte forma:e1 = f1 − 2 · f2e2 = f1 + f3

e3 = f2 − f3

(3.78)

g1 = e1 + 2 · e2g2 = e1 − e3

g3 = e2 + e3

. (3.79)

Determinar as seguinte matrizes de mudança de base:

1. da base (ordenada) F para a base (ordenada) E;

2. da base (ordenada) E para a base (ordenada) G;

3. da base (ordenada) F para a base (ordenada) G;

4. da base (ordenada) E para a base (ordenada) F ;

5. da base (ordenada) G para a base (ordenada) F ;

6. da base (ordenada) G para a base (ordenada) E.

Resolução:Observemos que, de (3.78) teremos:

e1 = 1 · f1 − 2 · f2 + 0 · f3e2 = 1 · f1 + 1 · f3 + 0 · f3e3 = 0 · f1 + 1 · f2 + (−1) · f3

(3.80)

g1 = 1 · e1 + 2 · e2 + 0 · e3g2 = 1 · e1 + 0 · e2 + (−1) · e3g3 = 0 · e1 + 1 · e2 + 1 · e3

. (3.81)


De 1.:Assim, de (3.80) e da Definição (3.9.1), segue que

MFE =

1 1 0

−2 0 1

0 1 −1

(3.82)

De 2.:Assim, de (3.81) e da Definição (3.9.1), segue que

MEG =

1 1 0

2 0 1

0 −1 1

. (3.83)

De 3.:Da Proposição (3.9.1) item 3., segue que

MFG = MFE MEG(3.82) e (3.83)

=

1 1 0

−2 0 1

0 1 −1

.

1 1 0

2 0 1

0 −1 1

Exercício

=

3 1 1

−2 −3 1

2 1 0

,

ou seja,

MFG =

3 1 1

−2 −3 1

2 1 0

. (3.84)

De 4.:Das Proposições (3.9.1) item 2. e (A.5.7) do Apêndice (A), segue que

MEF = MFE−1 (A.53)

=1

det(MFE)[ coft(MFE)]

t

(3.83) e Exercício=

1

−3

−1 −2 −2

1 −1 −1

1 −1 2

t

=

1

3−1

3−1

3

2

3

1

3

1

3

2

3

1

3−2

3

.

Portanto

MEF =

1

3−1

3−1

3

2

3

1

3

1

3

2

3

1

3−2

3

.



MGF = MFG−1 (A.53)

=1

det(MFG)[ coft(MFG)]

t


1

3

−1 2 4

1 −2 −1

4 −5 −7

t

=

−1

3

1

3

4

3

2

3−2

3−5

3

4

3−1

3−7

3

.

Portanto

MGF =

−1

3

1

3

4

3

2

3−2

3−5

3

4

3−1

3−7

3

.


MGE = MEG−1 (A.53)

=1

det(MEG)[ coft(MEG)]

t


1

−1

1 −2 −2

−1 1 1

1 −1 −2

t

=

−1 1 −1

2 −1 1

2 −1 2

.

Portanto

MGE =

−1 1 −1

2 −1 1

2 −1 2

. (3.85)

Exemplo 3.9.3 Considerando as bases (ordendas) dadas no Exemplo (3.9.2) acima esabendo-se que que o vetor u ∈ V3 é dado por

u = e1 + 3 · e2 − e3 , (3.86)

determinar as coordenadas do vetor u em relação às bases (ordenadas):

1. F ;

2. G.


Resolução:De (3.86), temos que

u = 1 · e1 + 3 · e2 + (−1) · e3 ,

ou seja, a matriz das coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada) E de V3, serádada por:

(u)E =

1

3

−1

. (3.87)

De 1.:Da Proposição (3.9.1) item 1. segue que:

(u)F = MFE (u)E

Exemplo (3.9.2) item 4. , a saber, (3.82) e (3.87)=

1 1 0

−2 0 1

0 −1 −1

1

3

−1

Exercício

=

4

−3

4

,

ou seja,

(u)F =

4

−3

4

,

ou ainda, as coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada) F de V3, serão dadas por:

u = (4 ,−3 , 4)F (= 4 · e1 − 3 · e2 + 4 · e3) .

De 2.:Da Proposição (3.9.1) item 1., segue que:

(u)G = MGE (u)E

(3.85) e (3.86)=

−1 1 −1

2 −1 1

2 −1 2

1

3

−1

Exercício

=

3

−2

−3

,

ou seja,

(u)G =

3

−2

3

,


ou ainda, as coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenada) G de V3, serão dadas por:

u = (3 ,−2 , 3)G (= 3 · g1 +−2 · g2 + 3 · g3) .

Podemos agir, de modo semelhante, em V2, ou seja, definir matriz mudança de base eobter todos os resultados análogos aos que obtivemos acima para V3, para o caso de V2.

Faremos isso ao longo da observação a seguir.

Observação 3.9.4

1. Sejam E .= (e1 , e2) e F .

=(f1 , f2

)bases (ordenadas) de V2.

Logo podemos escrever, de modo único, cada elemento da base (ordenada) F , comouma combinação linear dos elementos da base (ordenada) E, de V2, da seguinteforma:

f1 = a11 · e1 + a21 · e2f2 = a12 · e1 + a22 · e2

, (3.88)

ou seja:

(f1)E =

(a11

a21

)e (f2)E =

(a12

a22

).

Assim podemos construir a seguinte matriz quadrada de ordem 2:

A.=

(a11 a12

a21 a22

), (3.89)

ondeaij ∈ R , para cada i , j ∈ 1 , 2 .

Logo, temos uma relação entre os elementos das bases (ordenadas) E e F de V2,dada pelas equações (3.88) acima.

2. Neste caso teremos(u)E = A (u)F , (3.90)

onde a matriz quadrada A é dada por (3.89).

3. A matriz quadrada A, obtida em (3.89), será denominada matriz de mudança da ba-de (ordenada) E para a base (ordenada) F de V2 e denotada por:

MEF , ou E M→ F , ou MFE . (3.91)

4. Logo, do item acima e de (3.90), segue que:

(u)E = MEF (u)F . (3.92)


5. SejamE .= (e1 , e2) , F .

=(f1 , f2

)e G .

= (g1 , g2)

bases (ordenadas) de V2 e u um vetor de V2.

Então:

(a) A matriz das coordenadas do vetor u, em relação à base (ordenda) E deV2, pode ser obtida multiplicando-se a matriz de mudança de base, da base(ordenada) E para a base (ordenada) F de V2, pela matriz das coordenadasdo vetor u, em relação à base (ordenada) F de V2, ou seja,

(u)E = MEF (u)F .

(b) A matriz de mudança de base, da base (ordenada) E para a base (ordenada)F de V2, isto é, a matriz MEF , é uma matriz não singular (isto é, inversível)e sua matriz inversa é a matriz de mudança de base, da base (ordenda) Fpara a base (ordenada) E de V2, ou seja,

MFE = MEF−1 .

(c) A matriz de mudança de base, da base (ordenada) E para a base (ordenada)G de V2, isto é, a matriz MGE , é igual ao produto das matrizes de mudançade base, da base (ordenada) E para a base (ordenada) F de V2, pela matrizde mudança de base, da base (ordenada) F para a base (ordenada) G de V2,isto é,

MGE = MGF MFE .

A ordem da multiplicação acima é fundamental!

(d) A matriz de mudança de base, da base (ordenada) E para a própria base(ordenada) E de V2, é a matriz identidade de ordem 2, ou seja,

MEE = I2 =

(1 0

0 1

).

(e) Seja D.= (dij)i ,j∈1 ,2 é uma matriz quadrada de ordem 2, não singular (isto é,

inversível).

Então existe uma base (ordenada)

H .=(h1 , h2

)de V2, tal que a matriz D, seja a matriz de mudança de base, da base (orde-nada) H para a base (ordenada) E de V2, ou seja

D = MEH .

8.a aula - 25.03.2014


3.10 Ângulo entre Vetores - Produto Escalar

O objtivo desta seção é introduzir o conceito de ângulo entre dois vetores de V3 (e, no finaldesta seção, em V2).

Para isto:

Observação 3.10.1 Sejam u , v vetores V3, diferentes do vetor nulo.

Fixado o ponto A ∈ R3, pela Proposição (3.2.2), existem únicos pontos B, C doespaço, tais que

−→AB= u e

−→AC= v .

Denotemos por θ a medida, em radianos, do ângulo BAC, tal que (veja a ilustraçãoabaixo)

θ ∈ [0, π] .

1

A

B

C

u

v

θ

Observemos que o ângulo θ, obtido acima, não depende da escolha dos representan-tes dos vetores u e v.

De fato, se os pontos A ′, B ′ C ′ pertencentes ao espaço, são tais que

−→A ′B ′= u e

−→A ′C ′= v ,

então temos que os segmentos orientados (A ,B) e (A ,C) serão equipolentes aos seg-mentos orientados (A ′ , B ′) e (A ′, C ′), respectivamente (pois eles representam os mesmosvetores).

3.10. ÂNGULO ENTRE VETORES - PRODUTO ESCALAR 115

1

A

B

C

u

v

θ

1

A ′

B ′

C ′

θ ′

Em particular, as retas←→AB e

←→A ′B ′ são paralelas, assim como, as retas

←→AC e

←→A ′C ′

tabém são paralelas.Portanto

B ′A ′C ′ = BAC ,


Com isto temos podemos introduzir a:

Definição 3.10.1 O ângulo θ ∈ [0, π], obtido na Observação (3.10.1) acima, será deno-minado ângulo entre os vetores u e v.

Observação 3.10.2

1. A seguir encontraremos uma expressão do ângulo θ, entre dois vetores, não nulos,do espaço, em termos das coordenadas desses vetores em relação a uma baseortonormal (ordenada) de V3.

Fixemos uma base ortonormal (ordenada)

E .= (e1 , e2 , e3) ,

de V3.

Sejam A, B, C pontos do espaço, tais que (veja a ilustração abaixo)

−→AB= u e

−→AC= v . (3.93)


1

A

B

C

u

v

θ

Consideremos as coordenadas dos vetores, em relação à base ortonormal (orde-nada) E de V3, como sendo dadas por :

u = (x1 , x2 , x3)E e v = (y1 , y2 , y3)E . (3.94)

Como a base E é uma base ortonormal (ordenada) de V3, da Proposição (3.8.2),segue que

∥u∥2 = x12 + x2

2 + x32 e ∥v∥2 = y1

2 + y22 + y3

2 . (3.95)

Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ∆ABC (veja a ilustração abaixo) obte-remos:

1

∥u∥

∥v∥

θ

A

B

C

∥∥∥∥−→CB

∥∥∥∥

∥∥∥−→CB∥∥∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 − 2∥u∥ ∥v∥ cos(θ) . (3.96)


Mas ∥∥∥−→CB∥∥∥2 −→

CB=−→CA+

−→AlB

=∥∥∥ −→CA +

−→AB∥∥∥2

−→CA=−

−→AC

=∥∥∥−→AB −

−→AC∥∥∥2

(3.93)= ∥u− v∥2

(3.95)= ∥(x1 , x2 , x3)E − (y1 , y2 , y3)E∥2

= ∥(x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3)E∥2

Proposição (3.8.2)=

[√(x1 − y1)

2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)

2

]2= (x1 − y1)

2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)

2 . (3.97)

Substituindo (3.95), (3.97), em (3.96), obteremos:

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)

2 + (x3 − y3)2 =

(x1

2 + x22 + x3

2)+(y1

2 + y22 + y3

2)

− 2 cos(θ) ∥u∥ ∥v∥ .

Desenvolvendo o lado esquerdo da identidade acima, cancelando-se os termoscomuns a ambos os membros da igualdade acima, obteremos:

x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = cos(θ) ∥u∥ ∥v∥ . (3.98)

Como u , v = O, segue que∥u∥ , ∥v∥ = 0 ,

assim (3.98) será equivalente à:

cos(θ) =x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

∥u∥ ∥v∥. (3.99)

2. Observemos que o valor da expressão

x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

NÃO depende da base ortonormal (ordenada) E de V3 que fixamos inicialmente.

De fato, sejaF =

(f1 , f2 , f3

)uma outra base ortonormal (ordenada) de V3.

Consideremos as coordenadas dos vetores u e v, em relação à base ortonormal(ordenada) F de V3, dadas por:

u = (x1′ , x2

′ , x3′)F e v = (y1

′ , y2′ , y3

′)F .

Trocando-sex1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y2


porx1

′ , x2′ , x3

′ , y1′ , y2

′ , y3′ ,

nas contas que fizemos no item 1. desta Observação, obteremos:

x1′ y1

′ + x2′ y2

′ + x3′ y3

′ = cos(θ)∥u∥ ∥v∥ (3.98)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .

3. Na verdade já sabíamos disso, pois o lado direito da expressão (3.98), NÃO de-pende de nenhuma base ortonormal (ordenada) escolhida de V3.

Com isto temos a:

Definição 3.10.2 Sejam u , v vetores de V3.Definiremos o produto escalar do vetor u pelo vetor v, indicado por u • v, como

sendo a expressão;u • v .

= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , (3.100)

ondeu

.= (x1 , x2 , x3)E e v

.= (y1 , y2 , y3)E ,

são as coordenadas dos vetores u e v, em relação a uma base ortonormal (ordenada)E .= (e1 , e2 , e3) de V3 fixada.

Temos as seguintes considerações:

Observação 3.10.3

1. Se o vetor u ou o vetor v for o vetor nulo, então temos que

u • v = 0 .

De fato, pois neste caso, ou

u.= (0 , 0 , 0)E ou v

.= (0 , 0 , 0)E ,

independente da base ortonormal (ordenada) E de V3 fixada.

Logo,

u • v (3.100)=

0 . y1 + 0 . y2 + 0 . y3 = 0

x1 . 0+ x2 . 0+ x3 . 0 = 0,

ou seja,u • v = 0 .

2. Sejam u , v vetores não nulos de V3.

Então, de (3.98) e (3.100), segue que

u • v = ∥u∥ ∥v∥ cos(θ) , (3.101)

onde θ ∈ [0, π], é o ângulo entre os vetores u e v.


3. Sejamu , v = O .

Então, de (3.101), segue que

cos(θ) =u • v

∥u∥ ∥v∥. (3.102)

4. Se u ∈ V3 segue, da Proposição (3.8.2) e de (3.100), que que

∥u∥ =√u • u . (3.103)

Além disso, temos as seguintes propriedades para o produto escalar: de dois vetores:

Proposição 3.10.1 Sejam u , v , w ∈ V3 e α ∈ R. Então:

1. vale a comutativa para o produto escalar, isto é:

u • v = v • u ;

2. vale a distributiva do produto escalar pela adição de vetores , isto é:

u • (v+ w) = u • v+ u • w ;

3. vale a associativa do produto de vetor por escalar, pelo produto escalar, isto é:

(α · u) • v = α (u • v) ;

4. temos também que:u • u ≥ 0

eu • u = 0 se, e somente se, u = O .

Demonstração:Sejam

E .= (e1, e2, e3)

uma base ortonormal (ordenada) de V3,

u.= (x1 , x2 , x3)E , v

.= (y1 , y2 , y3)E e w

.= (z1 , z2 , z3)E (3.104)

as coordenadas dos vetores u, v, w, em relação à base ortonormal (ordenada) E de V3.De 1.:Temos que:

u • v (3.104)= (x1 , x2 , x3)E • (y1 , y2 , y3)E

(3.100)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

= y1 x1 + y2 x2 + y3 x3

(3.100)= (y1 , y2 , y3)E • (x1 , x2 , x3)E

(3.104)= v • u ,


como queríamos mostrar.De 2.:Temos que:

u • (v+ w)(3.104)= (x1 , x2 , x3)E • [(y1 , y2 , y3)E + (z1 , z2 , z3)E)]

= (x1 , x2 , x3)E • (y1 + z1 , y2 + z2 , y3 + z3)E(3.100)= x1 (y1 + z1) + x2 (y2 + z2) + x3 (y3 + z3)

= [x1 y1 + x2 y2 + x3 y3] + [x1 z1 + x2 z2 + x3 z3]

(3.100)= (x1 , x2 , x3)E • (y1 , y2 , y3)E + (x1 , x2 , x3)E • (z1 , z2 , z3)E

(3.104)= u • v+ u • w


u • (α · v) (3.104)= (x1 , x2 , x3)E • [α · (y1 , y2 , y3)E ]

= (x1 , x2 , x3)E • (αy1 , αy2 , αy3)E(3.100)= x1 (αy1) + x2 (αy2) + x3 (αy3)

= α[x1 y1 + x2 y2 + x3 y3]

(3.100)= α [(x1 , x2 , x3)E • (y1 , y2 , y3)E ]

(3.104)= α (v • u) ,


u • u (3.104)= (x1 , x2 , x3)E • (x1 , x2 , x3)E

(3.100)= x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 = x1

2 + x22 + x3

2 ≥ 0 .

Além disso,u • u = 0 ,

se, e somente se,

0 = (x1 , x2 , x3)E • (x1 , x2 , x3)E(3.100)= x1 x1 + x2 x2 + x3 x3

= x12 + x2

2 + x23

ou, equivalentemente,x1 = x2 = x3 = 0 ,

ou sejau = (0 , 0 , 0)E , ou seja, = O ,



Outro resultado importante é dado pela:

Proposição 3.10.2 Sejam u , v ∈ V3.Então

u ⊥ v , se, e somente se, u • v = 0 . (3.105)

Demonstração:1.o caso:Se

u = O ,

então, pelas Definição (3.8.1) item 4. (a) e Observação (3.10.3) item 1., segue que

u ⊥ v e u • v = 0 .

O mesmo acontece sev = O .

Deixaremos o detalhe deste caso como exercício para o leitor.2.o caso:Suponhamos agora, que

u , v = O ,

então de (3.98), segue queu • v = ∥u∥ ∥v∥ cos(θ) .

Logou ⊥ v ,

se, e somente seθ =

π

2,

ou, equivalentemente,cos(θ) = 0 ,

ou ainda, se, e somente se,u • v = 0 ,


Observação 3.10.4

1. Um outro modo de caraterizar uma base ortonormal (ordenada) de V3, é utilizando-se o conceito de produto escalar.

Mais precisamente, a Observação (3.10.3) item 4. e a Proposição (3.10.2), comoveremos a seguir.


Condições necessárias e suficientes para que um conjunto formado por três ve-tores

E .= e1 , e2 , e3

seja uma base ortonormal (ordenada) de V3 são:

(a) os vetores do conjunto E são unitários, que da Observação (3.10.3) item 4.,é equivalente a:

∥e1∥︸︷︷︸(3.103)

=√

e1•e1

= ∥e2∥︸︷︷︸(3.103)

=√

e2•e2

= ∥e3∥︸︷︷︸(3.103)

=√

e3•e3

= 1 ; (3.106)

(b) os vetores do conjunto E são, dois a dois, ortogonais, que da Proposição(3.10.2), é equivalente a:

e1 • e2 = e1 • e3 = e2 • e3 = 0 . (3.107)

Resumindo: de (3.106) e (3.107), segue que, o conjunto de vetores E .= (e1 , e2 , e3)

é base ortonormal (ordenada) de V3 se, e somente se,

ei • ej =

1 , para i = j

0 , para i = j, onde i , j ∈ 1 , 2 , 3 . (3.108)

2. Vale observar que para que o conjunto E seja uma base (ordenada) V3, precisa-ríamos ter verificado se os vetores do conjunto E são L.I. em V3, ou seja, se elessatisfazem (3.108) então eles deverão, necessariamente, L.I. em V3.

De fato, suponhamos que

α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3 = O . (3.109)

Logo, da Proposição (3.10.1) item 4., segue que:

0Prop. (3.10.1) item 4.

= e1 • O(3.109)= e1 • [α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3]

Prop. (3.10.1) item 1. e 3.= α1 (e1 • e1︸︷︷︸

(3.108)= 1

) + α2 (e1 • e2︸︷︷︸(3.108)

= 0

) + α3 (e1 • e3︸︷︷︸(3.108)

= 0

)

= α1 .


Analogamente, teremos:

0Prop. (3.10.1) item 4.

= e2 • O(3.109)= e2 • [α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3]

Prop. (3.10.1) item 1. e 3.= α1 (e2 • e1︸︷︷︸

(3.108)= 0

) + α2 (e2 • e2︸︷︷︸(3.108)

= 1

) + α3 (e2 • e3︸︷︷︸(3.108)

= 0

)

= α2 .

0Prop. (3.10.1) item 4.

= e3 • O(3.109)= e3 • [α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3]

Prop. (3.10.1) item 1. e 3.= α1 (e3 • e1︸︷︷︸

(3.108)= 0

) + α2 (e3 • e2︸︷︷︸(3.108)

= 0

) + α3 (e3 • e3︸︷︷︸(3.108)

= 1

)

= α3 .

Portantoα1 = α2 = α3 = 0 ,

mostrando que os vettores e1 , e2 , e3 são L.I. em V3, portanto uma base (ordenada)de V3.

3. Observemos que se os vetores u , v , w ∈ V3 satisfazem

u • v = u • w ,

isto NÃO implica, necessariamente, que

v = w ,

ou seja, não vale a ”lei do cancelamento” no produto escalar.

De fato, fixada uma base ortonormal (ordenada)

E .= (e1 , e2 , e3)

de V3, se considerarmos os vetores, cujas coordenadas em relaçao á base ortonor-mal (ordenada) E de V3, são dadas por:

u.= (1 , 0 , 0) − E , v

.= (4 , 2 ,−3)E e w

.= (4 , 3 , 8)E ,

então temos que

v = w e u • v (3.100)= 4

(3.100)= u • w .

4. Por outro lado, observemos que

u • v = u • w


se, e somente se,u • v− u • w = 0

ou, equivalentemente,u • (v− w) = 0 ,

ou seja,u ⊥ (v− w) .

Consideremos o:

Exemplo 3.10.1 Sejam E = (e1 , e2 , e3) uma base ortonormal (ordenada) fixada de V3

e os vetores que têm coordenadas, em relação à base ortonormal (ordenada) E de V3,dadas por:

u = (2 , 1 ,−1)E e v = (−1 , 0 , 2)E . (3.110)

Pede-se:

1. Encontre os ângulo, em radianos, entre os vetores u e v;

2. Os vetores u e v são ortogonais?

Resolução:De 1.:Como os vetores u , v são não nulos, temos que

cos(θ)(3.102)=

u • v∥u∥ ∥v∥

.

Mas

u • v (3.110)= (2 , 1 ,−1)E • (−1 , 0 , 2)E

(3.100)= 2.(−1) + 1.0+ (−1)2 = −4 , (3.111)

∥u∥ (3.103) e (3.110)=

√22 + 12 + (−1)2 =

√6 , (3.112)

∥v∥ (3.103) e (3.110)=

√(−1)2 + 02 + 22 =

√5 . (3.113)

Logo, de (3.111), (3.112) e (3.113), segue que

cos(θ) =−4√30

, ou seja, θ = arccos

(−4√30

).

De 2.:Pela Proposição (3.10.2) os vetores u e v não ortogonais pois

u • v (3.111)= −4 = 0 .

O resultado a seguir nos diz quem serão as coordenadas de um vetor de V3, quando este

é escrito como combinação linear em relação a uma base ortonormal (ordenada) de V3.


Proposição 3.10.3 Sejam E = (e1 , e2 , e3) base ortonormal (ordenada) de V3 e u ∈ V3.Então

u = (u • e1) · e1 + (u • e2) · e2 + (u • e3) · e3 , (3.114)

ou seja, quando escrevemos um vetor em relação a uma base ortonormal (ordenada)de V3, os coeficientes (isto é, as coordenadas do vetor u) serão obtidos fazendo-se oproduto escalar do vetor pelo correspondente elemento da base ortonormal (ordenada)de V3.

Demonstração:Seja

u = (x1 , x2 , x3)E ,

as coordenadas do vetor u em relação à base ortonormal (ordenada) E de V3, isto é,

u = x1 · e1 + x2 · e2 + x3 · e3 . (3.115)

Notemos que:

u • e1(3.115)= (x1 · e1 + x2 · e2 + x3 · e3) • e1

Prop. (3.10.1) itens 1. e 3.= x1 (e1 • e1) + x2 (e2 • e1) + x3 (e3 • e1)

(3.108)= x1.1+ x2.0+ x3.0 = x1 ,

u • e2(3.115)= (x1 · e1 + x2 · e2 + x3 · e3) • e2

Prop. (3.10.1) itens 1. e 3.= x1 (e1 • e2) + x2 (e2 • e2) + x3 (e3 • e2)

(3.108)= x1.0+ x2.1+ x3.0 = x2 ,

u • e3(3.115)= (x1 · e1 + x2 · e2 + x3 · e3) • e3

Prop. (3.10.1 itens 1 e 3.= x1 (e1 • e3) + x2 (e2 • e3) + x3 (e3 • e3)

(3.108)= x1.0+ x2.0+ x3.1 = x3 ,

ou seja,xi = u • ei , para cada i ∈ 1 , 2 , 3 ,


Com isto temos a:

Definição 3.10.3 Na situação da Proposição (3.10.3) acima, diremos que o vetor

(u • e1) · e1 (3.116)

é a projeção ortogonal do vetor u, na direção do vetor e1 (que é unitário).

Mais geralmente, temos a:


Definição 3.10.4 Seja v ∈ V3 um vetor unitário (isto é, ∥v∥ = 1).O vetor

(u • v) · v (3.117)

será denominado de projeção ortogonal do vetor u, na direção do vetor v.

A seguir temos um outro resultado importante, a saber:

Proposição 3.10.4 Sejam u, v vetores de V3.Então

|u • v| ≤ ∥u∥ ∥v∥ . (3.118)

Demonstração:1.o caso:Se

u = O ,

então teremos| u • v︸︷︷︸Prop. (3.10.1) item 4.

= 0

| = 0 = ∥ u︸︷︷︸=O

∥︸︷︷︸=0

∥v∥ ,

isto é, a desigualdade (3.118) tornar-se-á uma igualdade.Analogamente, se v = O.Deixaremos os detalhes deste caso, como exercício para o leitor.2.o caso:Se

u, v = O ,

consideremos θ ∈ [0 , π], o ângulo entre os vetores u e v.De (3.102) temos

| cos(θ)| =|u • v|∥u∥ ∥v∥

,

ou seja,

|u • v| = ∥u∥ ∥v∥ | cos(θ)|| cos(θ)|≤1

≤ ∥u∥ ∥v∥ ,


Observação 3.10.5 A desigualdade acima é conhecida como desigualdade de Cauchy-Schwarz .

O resultado a seguir trata da matriz mudanca de base, entre bases ortonormais (ordenadas)de V3.


Proposição 3.10.5 Sejam

E = (e1 , e2 , e3) e F =(f1 , f2 , f3

)bases ortonormais (ordenadas) de V3.

Então a matriz de mudança de base, da base ortonormal (ordenada) E para a baseortonormal (ordenada) F de V3, isto é, a matriz MEF , é uma matriz ortogonal, ouseja, sua matriz inversa é igual a sua transposta, ou ainda

MFE = (MEF)−1 = (MEF)

t . (3.119)

Demonstração:

Seja

MEF = (aij)i ,j∈1 ,2 ,3

a matriz de mudança de base, da base ortonormal (ordenada) E para a base F ortonormal(ordenada) de V3, isto é,

fj = a1j · e1 + a2j · e2 + a3j · e3 , para cada j ∈ 1 , 2 , 3 .

Como as bases (ordenadas) E e F são bases ortonormais (ordenadas) de V3 segue, de(3.108), que, para cada i , j ∈ 1 , 2 , 3, teremos:

fi • fj =

1 , para i = j

0 , para i = je ei • ej =

1 , para i = j

0 , para i = j. (3.120)

Com isto teremos:

1(3.120)= f1 • f1

(3.119)= (a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3) • (a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3)

Prop. (3.10.1) itens 1 e 3.= a11

2( e1 .e1︸︷︷︸(3.120)

= 1

) + a11a21(e1 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a11a31(e1 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a21a11(e2 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a212(e2 • e2︸︷︷︸

(3.120)= 1

) + a21a31(e2 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a31a11(e3 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a31a21(e3 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a312(e3 • e3︸︷︷︸

(3.120)= 1

)

= a112 + a21

2 + a312 ; (3.121)


0(3.120)= f1 • f2

(3.119)= (a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3) • (a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3)

Prop. (3.10.1) itens 1 e 3.= a11a12(e1 • e1︸︷︷︸

(3.120)= 1

) + a11a22(e1 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a11a32(e1 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a21a12(e2 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a21a22(e2 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 1

) + a21a32(e2 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a31a12(e3 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a31a22(e3 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a31a32(e3 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 1

)

= a11a12 + a21a22 + a31a32 ; (3.122)

0(3.120)= f2 • f1

Prop. (3.10.1) itens 1.= f1 • f2

(3.122)= a11a12 + a21a22 + a31a32 ; (3.123)

0(3.120)= f1 • f3

(3.119)= (a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3) • (a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3)

Prop. (3.10.1) itens 1 e 3.= a11a13(e1 • e1︸︷︷︸

(3.120)= 1

) + a11a23(e1 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a11a33(e1 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a21a13(e2 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a21a23(e2 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 1

) + a21a33(e2 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a31a13(e3 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a31a23(e3 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a31a33(e3 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 1

)

= a11a13 + a21a23 + a31a33 ; (3.124)

0(3.120)= f3 • f1

Prop. (3.10.1) item 1.= f1 • f3

(3.124)= a11a13 + a21a23 + a31a33; (3.125)

0(3.120)= f2 • f3

(3.119)= (a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3) • (a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3)

Prop. (3.10.1) itens 1 e 3.= a12a13(e1 • e1︸︷︷︸

(3.120)= 1

) + a12a23(e1 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a12a33(e1 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a22a13(e2 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a22a23(e2 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 1

) + a22a33(e2 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a32a13(e3 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a32a23(e3 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a32a33(e3 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 1

)

= a12a13 + a22a23 + a32a33 ; (3.126)

0(3.120)= f3 • f2

Prop. (3.10.1) item 1.= f2 • f3

(3.126)= a12a13 + a22a23 + a32a33 , (3.127)

1(3.120)= f2 • f2

(3.119)= (a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3) • (a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3)

Prop. (3.10.1) itens 1 e 3.= a12

2(e1 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 1

) + a12a22(e1 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a12a32(e1 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a22a12(e2 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a222(e2 • e2︸︷︷︸

(3.120)= 1

) + a22a32(e2 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a32a12(e3 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a32a22(e3 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a322(e3 • e3︸︷︷︸

(3.120)= 1

)

= a122 + a22

2 + a322 ; (3.128)


1(3.120)= f3 • f3

(3.119)= (a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3) • (a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3)

Prop. (3.10.1) itens 1 e 3.= a13

2(e1 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 1

) + a13a23(e1 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a12a33(e1 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a23a13(e2 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a232(e2 • e2︸︷︷︸

(3.120)= 1

+a23a33(e2 • e3︸︷︷︸(3.120)

= 0

)

+ a33a13(e3 • e1︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a33a23(e3 • e2︸︷︷︸(3.120)

= 0

) + a332(e3 • e3︸︷︷︸

(3.120)= 1

)

= a132 + a23

2 + a332 . (3.129)

Logo, terermos a seguinte identidade:

MtEF MEF =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

t a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

a112 + a21

2 + a312 a11a12 + a21a22 + a31a32 a11a13 + a21a23 + a31a33

a12a11 + a22a21 + a32a31 a122 + a22

2 + a322 a12a13 + a22a23 + a32a33

a13a11 + a23a21 + a33a31 a13a12 + a23a22 + a33a32 a132 + a23

2 + a332

(3.121) a (3.129)=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

, (3.130)

isto é,(MEF)

−1 = (MEF)t ,

ou seja, a matriz de mudança de base MEF é uma matriz ortogonal, como queríamos mostrar.

Como uma aplicação temos o:

Exemplo 3.10.2 Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares.

A B

CD

Resolução:Consideremos o losango ABCD, como na figura acima.


Sejamu

.=

−→AB e v

.=

−→BC .

Como o quadrilátero ABCD é um losango, segue que

∥u∥ = ∥v∥ . (3.131)

Observemos que as diagonais do losango ABCD podem ser interpretados com segmentosorientados que representam os vetores (veja a ilustração abaixo)

u+ u e u− v .

A B

CD

u

v

u + vu − v

Logo como basta mostrarmos que os vetores (u+ u) e (u− v) são ortogonais.Para isto calculemos:

(u+ v) • (u− v)Prop. (3.10.1) item 1.

= u • u+ u • (−v) + v • u+ v • (−v)

Prop. (3.10.1) item 3.= ∥u∥2 − u • v+ v • u− ∥v∥2 (3.131)

= 0 ,

mostrando que as digonais de uma losango interceptam-se perpendicularmente.

Observação 3.10.6 O Exemplo (3.10.2) acima, juntamente com o Exemplo (3.5.1), im-plicarão que as diagonais de um losango interceptam perpendicularmente nos seus res-pectivos pontos médios.

Fazendo-se as adaptações convenientes tudo o que fizemos em V3 pode ser feito em V2, asaber, ângulo entre vetores de V2, produto escalar em V2 e assim por diante.

Colocaremos estes conceitos e propriedades dos mesmos na observação a seguir, cujasdemonstrações serão deixadas como exercício para o leitor.

Observação 3.10.7

1. Sejam u, v vetores V2, diferentes do vetor nulo.

Fixado o ponto A ∈ R2, sabemos que existem únicos B e C, pontos do plano, taisque

−→AB= u e

−→AC= v .

Seja θ a medida, em radianos, do ângulo BAC, tal que (veja a ilustração abaixo)

θ ∈ [0 , π] .


1

A

B

C

u

v

θ

Observemos que o ângulo θ, obtido acima, não depende da escolha dos represen-tantes dos vetores u e v.

2. O ângulo θ ∈ [0 , π], obtido no item acima, será denominado ângulo entre osvetores u e v .

3. A seguir encontraremos uma expressão do ângulo θ, entre dois vetores não nulos,em termos das coordenadas desses vetores em relação a uma base ortonormal(ordenada) de V2.

Fixemos uma base ortonormal (ordenada)

E .= (e1 , e2) ,

de V2.

Sejam A, B e C pontos do plano, tais que (veja a ilustração abaixo)

−→AB= u e

−→AC= v .

1

A

B

C

u

v

θ


Consideremos as coordenadas dos vetores, em relação à base ortonormal (ordenada)Ede V3, como sendo dadas por :

u = (x1 , x2)E e v = (y1 , y2)E .

Como a base (ordenada) E é uma base ortonormal (ordenada) de V2, segue que

∥u∥2 = x12 + x2

2 e ∥v∥2 = y12 + y2

2 .

Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ∆ABC (vide ilustração abaixo) teremos:

1

∥u∥

∥v∥

θ

A

B

C

∥∥∥∥−→CB

∥∥∥∥

∥∥∥−→CB∥∥∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 − 2∥u∥ ∥v∥ cos(θ).

Mas ∥∥∥−→CB∥∥∥2 −→

CB=−→CA+

−→AlB

=∥∥∥ −→CA +

−→AB∥∥∥2 −→

CA=−−→AC

=∥∥∥−→AB −

−→AC∥∥∥2

= ∥u− v∥2 = ∥(x1 , x2)E − (y1 , y2)E∥2

= ∥(x1 − y1 , x2 − y2)E∥2

=

[√(x1 − y1)

2 + (x2 − y2)2

]2= (x1 − y1)

2 + (x2 − y2)2 .

Com isto, obteremos:

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)

2 =(x1

2 + x22)+(y1

2 + y22)− 2 cos(θ) ∥u∥ ∥v∥ .

Desenvolvendo o lado esquerdo da identidade acima, calcelando-se os termos co-muns a ambos os membros da igualdade acima, obteremos:

x1 y1 + x2 y2 = cos(θ) ∥u∥ ∥v∥ .

Como u, v = O, segue que∥u∥ , ∥v∥ = 0 ,


e assim teremos:cos(θ) =

x1 y1 + x2 y2

∥u∥ ∥v∥.

Observemos que a expressãox1 y1 + x2 y2

NÃO depende da base ortonormal (ordenada) E de V2 que fixamos inicialmente.

A verificação deste fato é semelhante a que fizemos em V3 e sua elaboração serádeixada como exercício para o leitor.

4. Com isto podemos introduzir a seguinte definição: sejam u, v vetores de V2.

Definiremos o produto escalar dos vetores u e v, indicado por u • v, como sendoa expressão;

u • v .= x1 y1 + x2 y2 ,

ondeu

.= (x1 , x2)E e v

.= (y1 , y2)E ,

são as coordenadas dos vetores u e v, em relação a uma base ortonormal (orde-nada) E = (e1 , e2) de V2 fixada.

5. Se o vetor u, ou o vetor v, for o vetor nulo, então teremos que

u • v = 0 .

6. Se u, v são vetores não nulos de V2, então teremos que

u • v = ∥u∥ ∥v∥ cos(θ) ,

onde θ ∈ [0 , π], é o ângulo entre os vetores u e v.

7. Se u , v = O, segue que

cos(θ) =u • v

∥u∥ ∥v∥.

8. Se u ∈ V2, segue que que∥u∥ =

√u • u .

9. Se u , v , w ∈ V2 e α ∈ R, temos que:

(a) vale a comutativa para o produto escalar, isto é:

u • v = v • u ;

(b) vale a distributiva do produto escalar pela adição de vetores , isto é:

u • (v+ w) = u • v+ u • w ;


(c) vale a associativa do produto de vetor por escalar, pelo produto escalar, istoé:

(α · u) • v = α (u • v) ;

(d) temos também que:u • u ≥ 0

eu • u = 0 se, e somente se, u = O .

10. Se u , v ∈ V2, segue que

u ⊥ v , se, e somente se, u • v = 0 .

11. O conjunto de vetores E .= (e1 , e2) é base ortonormal (ordenada) de V2 se, e

somente se,

ei • ej =

1 , para i = j

0 , para i = j, onde i, j ∈ 1, 2 .

12. Sejam E .= (e1 , e2) base ortonormal (ordenada) de V2 e u ∈ V2. Então

u = (u • e1) · e1 + (u • e2) · e2 ,

ou seja, quando escrevemos um vetor em relação a uma base ortonormal (orde-nada) de V2, os coeficientes (as coordenadas do vetor) serão obtidos fazendo-se oproduto escalar do vetor pelo correspondente elemento da base ortonormal (orde-nada) de V2.

13. Na situação acima, diremos que o vetor

(u • e1) · e1

é a projeção ortogonal do vetor u na direção do vetor e1 (que é unitário).

Mais geralmente, se v ∈ V2 é um vetor unitário (isto é, ∥v∥ = 1).

O vetor(u • v) · v (3.132)

será denominado de projeção ortogonal do vetor u, na direção do vetor v.

14. Se u, v vetores de V2, então

|u • v| ≤ ∥u∥ ∥v∥ ,

que é conhecida como Desigualdade de Cauchy-Schwarz em V2.

3.11. ORIENTAÇÃO EM V1, V2 OU V3 135

15. SejamE .= (e1 , e2) e F .

=(f1 , f2

)bases ortonormais (ordenadas) de V2. Então a matriz de mudança de base, dabase ortonormal (ordenada) E para a base ortonormal (ordenada) F de V2, istoé, a matriz MEF , é uma matriz ortogonal, ou seja, sua matriz inversa é igual asua transposta, ou ainda

MFE = MEF−1 = MEF

t .

9.a aula - 27.03.2014

3.11 Orientação em V1, V2 ou V3

Começaremos com a:

Observação 3.11.1

1. Dada uma reta r podemos, intuitivamente, dar a esta reta duas orientações dife-rentes, a saber:

R

-

1.a orientação

2.a orientação

Observemos uma base do o conjunto formado por todos os vetores da reta r, queindicaremos por V1, é formada por um vetor não nulo.

Além disso, seE .= (e) e F .

=(f)

são duas bases de V1, então temos que os vetores e e f deverão ser paralelos, istoé, existe α = 0, tal que

f = α · e ,

ou ainda, a matriz de mudança de base, da base E para a base F de V1, será dadapor:

MEF = (α) ,

matriz formada por um único elemento.

Se as duas bases E e F nos fornecem a mesma orientação para a reta r, ou melhor,para V1, então deveremos ter α > 0, ou seja, (veja a figura abaixo)

det(MEF) = α > 0 .


--

-

e

f

Por outro lado, se as duas bases E e F nos fornecem orientações opostas para areta r, ou melhor, para V1, então deveremos ter α < 0, ou seja, (veja a figuraabaixo)

det(MEF) = α < 0 .

--

ef

Conclusão: na reta r, ou melhor, em V1, duas bases de V1 têm mesma orientaçãose, e somente se, o determinante da matriz de mudança de base é positivo.

Caso contrário (isto é, se o determinante da matriz de mudança de base é nega-tivo) as duas bases de V1 têm orientações opostas.

2. No plano, ou melhor, em V2, podemos dar as seguintes orientações: horário eanti-horário (veja a figura abaixo).

6

- -

6

R2

R2

Observemos que uma base de V2 será formada por dois vetores que são L.I. emV2.

Consideremos as bases

E .= (e1 , e2) e F .

=(f1 , f2

)de V2, como na ilustração abaixo, que nos fornecem uma mesma orientações noplano, ou melhor, de V2 (intuitivamente: de e1 para e2 é a mesma de f1 para f2,veja a figura abaixo):

-

6

-

6

e1

e2

f1

f2


Na situação acima, temos que existem α1 > 0 e α2 > 0, tais que

f1 = α1 · e1 = α1 · e1 + 0 · e2 e f2 = α2 · e2 = 0 · e1 + α2 · e2 .

Logo, a matriz de mudança de base, da base E para a base F de V2, será dadapor:

MEF =

(α1 0

0 α2

).

Em particular, notemos que

det(MEF) = α1α2 > 0

e as duas bases E e F nos fornecem a mesma orientação no plano, ou melhor, emV2.

Consideremos uma outra situação, a saber, as bases

E .= (e1 , e2) e F .

=(f1 , f2

),

como na ilustração abaixo, que nos fornecem orientações opostas no plano R2, oumelhor, em V2 (intuitivamente: de e1 para e2 é contrária a de f1 para f2):

-

6-

?

e1

e2

f1

f2

Na situação acima temos que existem α1 > 0 e α2 < 0, tais que

f1 = α1 · e1 = α1 · e1 + 0 · e2 e f2 = α2 · e2 = 0 · e1 + α2 · e2 .

Logo a matriz de mudança de base, da base E para a base F de V2, será dada por

MEF =

(α1 0

0 α2

).

Assim, temos quedet(MEF) = α1α2 < 0 ,

e as duas bases E e F nos fornecem orientações opostas no plano, ou melhor, emV2.

Poderíamos considerar outras situações mais gerais que o mesmo iria ocorrer,isto é, duas bases têm mesma orientação no plano se, e somente se, a matrizde mudança das bases tem determinante positivo e têm orientações opostas se, esomente se, a matriz de mudança das bases tem determinante negativo.


3. A seguir introduziremos o mesmo no espaço, ou melhor, em V3.

Definição 3.11.1 Diremos que duas bases

E = (e1 , e2 , e3) e F =(f1 , f2 , f3

)têm mesma orientação em V3 se a matriz de mudança de bases tem determinantepositivo, isto é, se, e somente se,

det(MEF) > 0 .

Caso contrário, isto é, sedet(MEF) < 0 ,

diremos que as bases E e F , de V3, têm orientações opostas em V3.

Observação 3.11.2 Um outro modo intuitivo de verificarmos se duas bases de têmmesma orientação é tentar "deformar" uma na outra, sendo que, em cada passo da"deformação", os três vetores obtidos, não deixam de ser uma base para V3 (ou seja,L.I. em V3).

-

6

:

e1e2

e3

f1

f2

f3

As base E e F , determinam uma mesma orientação em V3.

-

6

:

e1e2

e3

f1

f2

f3

As base E e F , determinam orientações opostas em V3.

Consideremos os exemplos a seguir:

Exemplo 3.11.1 Sejam

E .= (e1 , e2 , e3) e F .

=(f1 , f2 , f3

)bases de V3, cujos os segmentos orientados que as representam estão nas figuras abaixo.

1.


+ s

6

e1

e2

e3

s

6f1

f2

f3

Neste caso, as bases E e F têm mesma orientação em V3.

2.

+ s

6

e1

e2

e3 6

R

:

f2

f1

f3

Neste caso as bases E e F têm orientações opostas em V3.

Observação 3.11.3

1. Com a noção de orientação introduzida acima, o conjunto formado por todas asbases de V3, fica dividido em duas classes que se caraterizam da seguinte forma:

Escolha uma base E de V3.

Considere todas as bases de V3 que têm mesma orientação que a base E, isto é,cujo determinante da matriz de mudança de base, da base E para a base tomada,seja positivo.

Estas bases formam uma classe que denotaremos por A.

Podemos também definir uma outra classe, formada por todas as bases de V3, quetêm orientação oposta de E, isto é, cujo determinante da matriz de mudança debase, da base E para a base tomada, seja negativo, que denotaremos por B.

2. Duas bases pertencentes a uma mesma classe têm mesma orientação, isto é, seE ,F ∈ A (ou E ,F ∈ B), segue que as bases E e F têm mesma orientação em V3.

Duas bases pertencentes a classes distintas, possuem orientações opostas, isto é,se E ∈ A e F ∈ B), segue que as bases E e F têm orientações opostas em V3.


3. As A e B não dependem da base E escolhida inicialmente.

A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.

Com isto podemos introduzir a:

Definição 3.11.2 Qualquer uma das classes A ou B será dita uma orientação de V3.Escolhida uma orientação em V3 (ou seja, a classe A ou a classe B) diremos que

V3 está orientado.Neste caso as bases que estão na orientação escolhida serão ditas bases positivas de

V3 e as que não estão na orientação escolhida serão ditas bases negativas de V3.

Consideremos os:


E .= (e1 , e2 , e3) e F .

=(f1 , f2 , f3

)bases de V3, cujos vetores se relacionam da seguinte forma:

f1 = e1 + e2 + e3

f2 = e2 + e3

f1 = e3

. (3.133)

As bases E e F de V3, têm mesma orientação em V3 ?

Resolução:Notemos que (3.133) é equivalente à:

f1 = 1 · e1 + 1 · e2 + 1 · e3f2 = 0 · e1 + 1 · e2 + 1 · e3f1 = 0 · e1 + 0 · e2 + 1 · e3

,

assim

MEF =

1 0 0

1 1 0

1 1 1

.

Logodet(MEF)

Exercício= 1 > 0 ,

ou seja, as bases E e F têm as mesma orientação em V3.


E .= (e1 , e2 , e3) e F .

=(f1 , f2 , f3

)


bases de V3, cujos vetores se relacionam da seguinte forma:f1 = e3

f2 = e2 + e3

f1 = e1 + e2 + e3

. (3.134)

As bases E e F , de V3, têm mesma orientação em V3 ?

Resolução:Notemos que (3.134) é equivalente à:

f1 = 0 · e1 + 0 · e2 + 1 · e3f2 = 0 · e1 + 1 · e2 + 1 · e3f1 = 1 · e1 + 1 · e2 + 1 · e3

,

assim

MEF =

0 0 1

0 1 1

1 1 1

.

Logo

det(MEF)Exercício

= −1 < 0 ,

ou seja, as bases E e F têm orientações opostas em V3.

Observação 3.11.4 Para verificarmos se duas bases, "dadas geometricamente", têm amesma orientação ou orientações opostas em V3, podemos utilizar a "regra da mãodireita e do polegar" (veja a ilustração abaixo).

~

1

6

e1

e2

e3

6)

Dedão da mão direita

Dedos da mão direita

Para finalizar esta seção, notamos que podemos definir orientações em V2 ou V1, de modosemelhante ao que fizemos em V3 (veja a Observação (3.11.3)).

Deixaremos os detalhes como exercício para o leitor.


3.12 Produto Vetorial de Vetores em V3

Observação 3.12.1 Nosso objetivo é dados dois vetores a , b ∈ V3, definir um outrovetor, que de um certo modo, será o "produto" dos vetores em questão, mais precisa-mente:

Definição 3.12.1 Fixemos uma orientação em V3.Dados a e b vetores de V3, definiremos o produto vetorial do vetor a pelo vetor b,

indicado por

a∧ b ,

como sendo o vetor de V3, que tem as seguintes propriedades:

1. se os vetores a e b são L.D. em V3, então

a∧ b.= O ;

2. se os vetores a e b são L.I. em V3, o vetor a∧ b, deverá ter as seguintes caracte-rísticas:

(a) Comprimento do vetor a∧ b:

Fixado o ponto A do espaço, pela Proposição (3.2.2), segue que existe úncospontos B e C, do espaço, de modo que os segmentos orientados (A ,B) e (A ,C)

representam os vetores a e b, respectivamente.

Consideremos o ponto D do espaço, de forma que o quadrilátero ABDC sejaum paralelogramo (veja a figura abaixo).

b

A B

DC

a

A norma do vetor a∧ b (isto é,∥∥∥a∧ b

∥∥∥) será dada pelo valor da área doparalelogramo ABDC.

(b) Direção do vetor a∧ b:

O vetor a∧ b deverá ser ortogonal aos vetores a e b (veja a figura abaixo),isto é, (

a∧ b)⊥ a e

(a∧ b

)⊥ b ;

3.12. PRODUTO VETORIAL DE VETORES EM V3 143

b

A B

CD

a

R

Direção ortogonal a a e a b

(c) Sentido do vetor a∧ b:

O conjunto de vetores(a , b , a∧ b

)deverá ser uma base positiva de V3.

b

a

6a ∧ b

-R

:

6

e1

e2

e3

Orientação fixada

Temos as seguintes observações:

Observação 3.12.2

1. Se a , b = O, naa Definição (3.12.1) acima, vale observar que a área, que chama-remos de A, do paralelogramo ABDC acima, será dada por:

A = AB.hh=AC., sen(θ)

= AB.AC. sen(θ) = ∥a∥∥∥∥b∥∥∥ sen(θ),

ou seja: ∥∥∥a∧ b∥∥∥ = ∥a∥

∥∥∥b∥∥∥ sen(θ), (3.135)

onde θ ∈ [0, π], é o ângulo entre os vetores a e b.

A B

DC

θ

h

a

b


2. Se a , b = O, lembremos que, de (3.101), temos que

a • b = ∥a∥∥∥∥b∥∥∥ cos(θ) ,

onde θ ∈ [0, π] é o ângulo entre os vetores a e b.

3. Observemos também que

a∧ b = O , se, e somente se, a , b são L.D. em V3 .

De fato, se os vetores a, b são L.D. me V3, da Definição (3.12.1), deveremos ter

a∧ b = O .

Reciprocamente, sea∧ b = O ,

então os vetores a, b serão L.D em V3 pois, caso contrário, se eles fossem L.I.em V3, teríamos que (

a , b , a∧ b)

seria uma base, em particular, os vetores a, b, a∧ b seriam L.I. em V3, o queseira um absurdo, pois a∧ b = O.

Logo os vetores a, b são L.D. em V3.

4. Como os vetores a, a são L.D. em V3, segue da Deifição (3.12.1), que

a∧ a = O . (3.136)

5. A Definição (3.12.1) é dada em termos geométricos.

A seguir daremos uma caraterização algébrica para o produto vetorial de doisvetores de V3, a saber:

Proposição 3.12.1 SejaE .= (e1 , e2 , e3)

uma base ortonormal (ordenada) positiva de V3.Consideremos a , b ∈ V3, cujas coordenadas em relação à base ortonormal (orde-

nada) positiva E, de V3, são dadas por:

a.= (x1 , x2 , x3)E e b

.= (y1 , y2 , y3)E . (3.137)

Então

a∧ b =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣ , (3.138)

onde, o determinante acima, deve ser interpretado como sendo igual ao vetor∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣ · e3 . (3.139)


Demonstração:Seja

c.=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣ · e3 . (3.140)

Notemos que:(i) Suponhamos que os vetores a , b ∈ V3 são L.D. em V3.Então, pela Proposição (3.6.1), temos que existe α ∈ R, tal que

a = α · b ou b = α · a . (3.141)

Consideremos o caso que:a = α · b .

O casob = α · a

é semelhante e será deixado como exercício para o leitor.Logo, de (3.141) e (3.137), segue que:

x1 = αy1

x2 = αy2

x3 = αy3

. (3.142)

Com isto teremos:∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣ (3.142)=

∣∣∣∣∣ αy2 αy3

y2 y3

∣∣∣∣∣ Corolário (A.5.1) do Apêndice (A)= α

∣∣∣∣∣ y2 y3

y2 y3

∣∣∣∣∣= α (y2 y3 − y3 y2) = 0 ; (3.143)∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣ (3.142)=

∣∣∣∣∣ αy1 αy3

y1 y3


∣∣∣∣∣ y1 y3

y1 y3

∣∣∣∣∣= α (y1 y3 − y3 y1) = 0 ; (3.144)∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣ (3.142)=

∣∣∣∣∣ αy1 αy2

y1 y2


∣∣∣∣∣ y1 y2

y1 y2

∣∣∣∣∣= α (y1 y2 − y2 y1) = 0 , (3.145)

isto é,c

(3.140),(3.143),(3.144),(3.145)= 0

e sabemos quea∧ b = O .

Portanto, sea = α · b ,

valerá a identidade (3.138).Logo, quando os vetores a, b são L.D. em V3, temos que vale a identidade (3.138).


(ii) Suponhamos que os vetores a, b são L.I. em V3.Mostraremos que os vetores

c e a∧ b

têm mesmo comprimento (isto é, mesma norma), mesma direção e mesmo sentido, em parti-cular, vale a identidade (3.138).

Observemos que, como E .= (e1 , e2 , e3) é uma base ortonormal (positiva) de V3, segue de

(3.103) e (3.100), que

∥c∥2 (3.140)=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣2

+

(−

∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣)2

+

∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣2

= (x2 y3 − x3 y2)2 + (x1 y3 − x3 y1)

2 + (x1 y2 − x2 y1)2

=(x2

2 y32 − 2 x2 y3 x3 y2 + x3

2 y22)+(x1

2 y32 − 2 x1 y3 x3 y1 + x3

2 y12)

+(x1

2 y22 − 2 x1 y2 x2 y1 + x2

2 y12)

Exercício=

(x1

2 + x22 + x3

2) (

y12 + y2

2 + y32)− (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3) . (3.146)

Mas,∥∥∥a∧ b∥∥∥2 (3.135)

= ∥a∥2∥∥∥b∥∥∥2 sen2(θ) = ∥a∥2

∥∥∥b∥∥∥2 [1− cos2(θ)]

= ∥a∥2∥∥∥b∥∥∥2 − ∥a∥2

∥∥∥b∥∥∥2 cos2(θ)(3.101)= ∥a∥2

∥∥∥b∥∥∥2 − (a • b)2

Exercício=

(x1

2 + x22 + x3

2) (

y12 + y2

2 + y32)− (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3) . (3.147)

Comparando (3.146) com (3.147), segue que

∥c∥ =∥∥∥a∧ b

∥∥∥ . (3.148)

Observemos também que o vetor c é ortogonal aos vetores a e b.De fato, pois:

c • a (3.140),(3.137)=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣ x1 +(−

∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣)x2 +

∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣ x3Def. (A.5.1)

=

∣∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣Corolário (A.5.3) do Apêndice (A)

= 0 ,

ou seja,

c ⊥ a .


De modo análogo, temos que

c • b (3.140),(3.137)=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣y1 +

(−

∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣)y2 +

∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣y3

Def. (A.5.1)=

∣∣∣∣∣∣∣y1 y2 y3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣Corolário (A.5.3) do Apêndice (A)

= 0 ,

ou seja,

c ⊥ b .

Portanto, deveremos ter

c ∥(a∧ b

), ou seja, os vetores c e a∧ b têm a mesma direção.

Finalmente, mostremos que os vetores c e a∧ b têm o mesmo sentido.

Observemos que os vetores

a , b , c

são L.I. em V3, pois os vetores a e b são L.I. em V3 e o vetor c = O é ortogonal a ambos osvetores.

Logo, se mostrarmos que

F .=(a , b , c

)é uma base (ordenada) positiva de V3, então segue que os vetores

c e a∧ b

deverão ter o mesmo sentido.

Notemos que, de (3.137) e (3.140), que a matriz de mudança da base, da base E para abase F , de V3, será dada por:

MEF =

x1 y1

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣x2 y2 −

∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣x3 y3

∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣

.


Logo, seu determinante será dad por:

det(MEF) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 y1

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣x2 y2 −

∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣x3 y3

∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x2 y2

x3 y3

∣∣∣∣∣−(−

∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣) ∣∣∣∣∣ x1 y1

x3 y3

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(

x2 x3

y2 y3

)t∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(

x1 x3

y1 y3

)t∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(

x1 x2

y1 y2

)t∣∣∣∣∣(A.43) do Apêndice (A)

=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣2

(3.140)= ∥c∥2 > 0 .

Assim, a base

F =(a, b, c

)é uma base (ordenada) positiva de V3.

Como consequência, temos que os vetores c e a∧ b têm mesmo sentido.Como, os vetores c e a∧ b têm mesma norma, mesma direção e mesmo sentido, eles

deverão ser iguais, completando assim a demonstração do resultado.

Com isto temos as seguintes propriedades para o produto vetorial:

Proposição 3.12.2 Sejam a, b, c vetores de V3 e α um número real.Então, valem as seguintes identidades:

a∧(b+ c

)= a∧ b+ a∧ c , (3.149)(

a+ b)∧ c = a∧ c+ b∧ c , (3.150)

a∧(α · b

)= (α · a)∧ b = α ·

(a∧ b

), (3.151)

a∧ b = −(b∧ a

), (3.152)

Demonstração:Seja E .

= (e1 , e2 , e3) base ortonormal (ordenada) positiva de V3.Com isto os vetores a, b, c, possuirão as seguintes coordenadas em relação à base orto-

normal (ordenada) positiva E de V3:

a.= (x1 , x2 , x3)E , b

.= (y1 , y2 , y3)E e c

.= (z1 , z2 , z3)E . (3.153)


Notemos que, da Proposição (3.12.1), segue que:

a∧(b+ c

)(3.138)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x1 x2 x3

y1 + z1 y2 + z2 y3 + z3

∣∣∣∣∣∣∣(3.139)=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 + z2 y3 + z3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 + z1 y3 + z3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 + z1 y2 + z2

∣∣∣∣∣ · e3Prop. (A.5.2) do Apêndice (A)

=

[∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ x2 x3

z2 z3

∣∣∣∣∣]· e1 −

[∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ x1 x3

z1 z3

∣∣∣∣∣]· e2

+

[∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ x1 x2

z1 z2

∣∣∣∣∣]· e3

=

[∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣ · e3]

+

[∣∣∣∣∣ x2 x3

z2 z3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ x1 x3

z1 z3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ x1 x2

z1 z2

∣∣∣∣∣ · e3]

(3.139)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x1 x2 x3

z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣∣(3.138)= a∧ b+ a∧ c ,

ou seja, vale (3.149).Novamente, da Proposição (3.12.1), segue que:

a∧(α · b

)(3.138)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x1 x2 x3

αy1 αy2 αy3

∣∣∣∣∣∣∣(3.139)=

∣∣∣∣∣ x2 x3

αy2 αy3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ x1 x3

αy1 αy3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ x1 x2

αy1 αy2

∣∣∣∣∣ · e3Prop. (A.5.2) do Apêndice (A)

=

[α

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣]· e1 −

[α

∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣+]· e2

+

[α

∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣]· e3 (3.154)

Prop. (A.5.2) do Apêndice (A)=

[∣∣∣∣∣ αx2 αx3

y2 y3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ αx1 αx3

y1 y3

∣∣∣∣∣ · e2+

∣∣∣∣∣ αx1 αx2

y1 y2

∣∣∣∣∣ · e3]

(3.139)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

αx1 αx2 αx3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣(3.138)= (α · a)∧ b . (3.155)


Observemos que:

a∧(α · b

)(3.154)=

[α

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣]· e1 −

[α

∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣+]· e2 +

[α

∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣]· e3

= α

[∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣ · e3]

(3.139)= α ·

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣(3.138)= α ·

(a∧ b

). (3.156)

Logo, de (3.155) e (3.156), segue a validade da identidade (3.151).Observemos que:

a∧ b(3.138)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣(3.139)=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣ · e3Prop. (A.5.3) do Apêndice (A))

= −

∣∣∣∣∣ y2 y3

x2 x3

∣∣∣∣∣ · e1 +∣∣∣∣∣ y1 y3

x1 x3

∣∣∣∣∣ · e2 −∣∣∣∣∣ y1 y2

x1 x2

∣∣∣∣∣ · e3= −

[∣∣∣∣∣ y2 y3

x2 x3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ y1 y3

x1 x3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ y1 y2

x1 x2

∣∣∣∣∣ · e3]

(3.139)= −

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

y1 y2 y3

x1 x2 x3

∣∣∣∣∣∣∣(3.138)= −b∧ a ,

mostrando a validade da identidade (3.152).Utilizando-se (3.152) e (3.149) podemos mostrar a identidade (3.150).Deixaremos os detalhes deste caso como exercício para o leitor.

Consideremos a seguir alguns exemplos:

Exemplo 3.12.1 Fixemos um base ortonormal (ordenada) positiva E .= (e1 , e2 , e3) de

V3.

1. Encontre o vetor a∧ b, onde os vetores envolvidos, tem as seguinte coordenadasem relação à base ortonormal (ordenada) positiva E de V3:

a.= (−2 , 0 , 0)E e b

.= (0 , 3 , 0)E . (3.157)

2. Calcule a área do paralelogramo ABCD, onde os vetores envolvidos, tem as se-guinte coordenadas em relação à base ortonormal (ordenada) positiva E de V3:

−→AB

.= (1 , 1 ,−1)E e

−→AD

.= (2 , 1 , 4)E . (3.158)


3. Encontre as coordenadas de um vetor unitário c, em relação à base ortonormal(ordenada) positiva E de V3, que seja ortogonal aos vetores que tem coordenadas,em realação à base ortonormal (ordenada) positiva E de V3, dadas por:

a.= (1 ,−1 , 1)E e b

.= (−3 , 3 , 3)E . (3.159)

Resolução:De 1.:Neste caso temos que:

a∧ b(3.138) e (3.157)

=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

−2 0 0

0 3 0

∣∣∣∣∣∣∣(3.139)=

∣∣∣∣∣ 0 0

3 0

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ −2 0

0 0

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ −2 0

0 3

∣∣∣∣∣ · e3= 0 · e1 + 0 · e2 − 6 · e3 = (0 , 0 ,−6)E ,

ou seja,a∧ b = (0 , 0 ,−6)E .

De 2.:Como os vetores

−→AB e

−→AD são L.I. em V3 (não são paralelos - verifique!), da Definição

(3.12.1) item 2., segue que a área, que indicaremos por A, do paralelogramos ABCD (veja afigura abaixo) na situação dada, será dada por

A =∥∥∥−→AB ∧

−→AD

∥∥∥ .

b

A B

DC

a

Mas

−→AB ∧

−→AD

(3.138) e (3.158)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 1 −1

2 1 4

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ 1 −1

1 4

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ 1 −1

2 4

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ 1 1

2 1

∣∣∣∣∣ · e3= 5 · e1 − 6 · e2 − e3 = (5 ,−6 ,−1)E . (3.160)

Logo, a área do paralelogramo será dada por:

A =∥∥∥−→AB ∧

−→AD

∥∥∥ (3.103),(3.100) e (3.160)=

√52 + (−6)2 + (−1)2 =

√62 unidades de área.


De 3.:Como os vetores a e b são L.I. em V3 (pois um não é múltiplo do outro), temos que o

vetor c terá a mesma direção do vetor a∧ b = O.Mas

a∧ b(3.138) e (3.159)

=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 −3 1

−3 3 3

∣∣∣∣∣∣∣(3.139)=

∣∣∣∣∣ −3 1

3 3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ 1 1

−3 3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ 1 −3

−3 3

∣∣∣∣∣ · e3= −12 · e1 − 6 · e2 − 6 · e3 = (−12 ,−6 ,−6)E .

Como o vetor c deve ser paralelo ao vetor a∧ b, deverá existir α ∈ R, de modo que:

c = α · a∧ b = α · (−12 ,−6 ,−6)E = (−12α ,−6α ,−6α)E . (3.161)

Mas, o vetor c tem que ser unitário, ou seja,

1 = ∥c∥ (3.103),(3.100) e (3.161)=

√(−12α)2 + (−6α)2 + (−6α)2 =

√216α2 ,

ou seja,

α = ± 1√216

.

Portanto

c1.=

(−

12√216

,−6√216

,−6√216

)E

ou c2.=

(12√216

,6√216

,6√216

)E

têm as propriedades requeridas para o vetor procurado no item 3..

10.a aula - 1.04.2014

3.13 Duplo Produto Vetorial

A seguir exibiremos uma expressão, mais simples, de se operar para o duplo produto vetorial,a saber:

Proposição 3.13.1 Sejam a, b, c vetores de V3.Então, valem as seguintes identidades:(

a∧ b)∧ c = (a • c) · b−

(b • c

)· a , (3.162)

a∧(b∧ c

)= (a • c) · b−

(a • b

)· c . (3.163)

3.13. DUPLO PRODUTO VETORIAL 153

Demonstração:1.o caso: os vetores a, b são L.D. em V3.Notemos que, se os vetores a, b são L.D. em V3, da Definição (3.12.1) item 1., segue que

a∧ b = O .

Por outro lado, os vetores a, b são L.D. em V3, existe um número real α, tal que

a = α · b ou b = α · a .

Consideremos o caso quea = α · b . (3.164)

O casob = α · a ,

é semelhante e sua elaboração será deixada como exercício para o leitor.Logo

−(b • c

)· a+ (a • c) · b (3.164)

= −(b • c

)·(α · b

)+ (a • c) ·

(α · b

)= α

−(b • c)· b+

(b • c

)· b︸︷︷︸

=0

= 0 ,

ou seja, se os vetores a, b são L.D. em V3, segue que vale a identidade (3.162).2.o Caso: os vetores a, b são L.I. em V3

Se os vetores a, b são L.I. em V3, como o vetor a∧ b é ortogonal aos vetores a e b e ovetor

(a∧ b

)∧ c deverá ser ortogonal ao vetor a∧ b, segue que os vetores

(a∧ b

)c, a, c

deverão ser paralelos a um mesmo plano, isto é, são L.D. em V3 (veja a figura abaixo).

1

b

a

c

6a ∧ b

k

(a ∧ b

)∧ c

Como os vetores a, b são L.I. em V3, do Corolário (3.6.1), que existem números reais α,β, tais que (

a∧ b)c = α · a+ β · b . (3.165)

SejaE .= (e1 , e1 , e3)

uma base ortonormal positiva (ordenada) de V3, de modo que

e1 ∥ a e o vetor , e2

é paralelo ao um plano que seja paralelo aos vetores (L.I. em V3) a e b (veja a figura abaixo).


1

b

a

e1

- e2

6e3

Deste modo, as coordenadas dos vetores acima, em relação a base ortonormal positiva(ordenada) E , de V3, serão dadas por :

a = x1 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3 = (x1 , 0 , 0)E , (3.166)

b = y1 · e1 + y2 · e2 + 0 · e3 = (y1 , y2 , 0)E , (3.167)

c = z1 · e1 + z2 · e2 + z3 · e3 = (z1 , z2 , z3)E , (3.168)

e assim, teremos: (a∧ b

)∧ c

(3.165)= α · a+ β · b (3.169)

(3.166) e (3.167)= (αx1 + βy1 , β y2 , 0)E (3.170)

Com isto, segue que:

a∧ b(3.138),(3.166) e (3.167)

=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x1 0 0

y1 y2 0

∣∣∣∣∣∣∣Exercício

= 0 · e1 + 0 · e2 + x1y2 · e3 = (0 , 0 , x1 y2)E , (3.171)

logo,

(a∧ b

)∧ c

(3.138),(3.171) e (3.168)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

0 0 x1y2

z1 z2 z3


= (−x1 y2 z2) · e1 + (x1 y2 z1) · e2 + 0 · e3= (−x1 y2 z2 , x1 y2 z1 , 0)E . (3.172)

Comparando (3.170) com (3.172), segue que:

(αx1 + βy1 , β y2 , 0)E = (−x1 y2 z2 , x1 y2 z1 , 0)E ,

ou, equivalentemente, αx1 + βy1 = −x1 y2 z2

βy2 = x1 y2 z1. (3.173)

Comoy2 = 0 ,

3.13. DUPLO PRODUTO VETORIAL 155

pois os vetores a, b são L.I. em V3 (veja (3.166) e (3.167)) , da 2.a equação em (3.173), segueque

β = x1 z1(3.100),(3.166) e (3.168)

= a • c . (3.174)

Substituindo o valor de β, obtido acima, na 1.a equação de (3.173), obteremos:

αx1 + (x1 z1)y1 = −x1 y2 z2 . (3.175)

Comox1 = 0 ,

pois a = O (os vetores a, b são L.I. em V3), segue, de (3.175) que

α(3.175)= −(y1 z1 + y2 z2)

(3.100),(3.167) e (3.168)= −b • c . (3.176)

Portanto, segue de (3.169), (3.176) e (3.174), segue que(a∧ b

)∧ c = −

(b • c

)· a+ (a • c) · b ,

obtendo a validade da identidade (3.162).Para finalizar, observemos que:

a∧(b∧ c

)Prop. (3.12.2) item 3.

= −(b∧ c

)∧ a

(3.162)= −

[−(c • a) · b+

(b • a

)· c]

= (a • c) · b−(a • b

)· c

obtendo assim a validade da indetidada (3.163), completando a demonstração do resultado.

Consideremos o exemplo:

Exemplo 3.13.1 Sejam E .= (e1 , e1 , e3) base ortonormal positiva (ordenada) de V3 e os

vetores, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal positiva (ordenada) E, de V3,são dadas por:

a = (1 ,−1 , 2)E , b = (0 , 1 , 0)E e c = (0 , 0 , 1)E . (3.177)

Calcular a∧(b∧ c

).

Resolução:Utilizando a Proposição (3.13.1), temos que:

a∧(b∧ c

)(3.163)= (a • c) · b−

(a • b

)· c

(3.177)= [(1 ,−1 , 2)E • (0 , 0 , 1)E ] · (0 , 1 , 0)E − [(1 ,−1 , 2)E • (0 , 1 , 0)E ] · (0 , 0 , 1)E

Exercício= (−1 , 2 ,−2)E .


3.14 Produto Misto

Fixemos uma orientação em V3.Nosso objetivo é encontrar uma expressão para o valor do volume, que indicaremos por

V, de um paralelepípedo ABCDEFGH do espaço, como na figura abaixo.

A B

CD

E F

GH

Sabemos que o volume do paralelepípedo é dado pela área da sua base, no caso, a área doparalelogramo ABCD, multiplicado pela sua altura h, relativa à base ABCD (veja a figuraabaixo).

A B

CD

E F

GH

h

Consideremos (veja figura a abaixo):

a.=

−→AB

b.=

−→AD

c.=

−→AE

θ : o ângulo entre os vetores a∧ b e c .

3.14. PRODUTO MISTO 157

A B

CD

E F

GH

6

a ∧ bθ

Como os vetores a, b são L.I. em V3, da Definição (3.12.1) item 2. (a), temos que o valorda área do paralelogramo ABCD, que indicaremos por A, é dada por:

A =∥∥∥a∧ b

∥∥∥ .

Com isto temos que:

V = A . h =∥∥∥a∧ b

∥∥∥ .hh=∥c∥ cos(θ)

=∥∥∥a∧ b

∥∥∥ ∥c∥ cos(θ)

θ∈[0 ,π2 ]=

∥∥∥a∧ b∥∥∥ ∥c∥ | cos(θ)|

=∣∣∣∥∥∥a∧ b

∥∥∥ ∥c∥ cos(θ)∣∣∣

(3.101)=

∣∣∣(a∧ b)• c∣∣∣ . (3.178)

Conclusão: o valor do volume do paralelepípedo ABCDEFGH, será dado por

V =∣∣∣(a∧ b

)• c∣∣∣ unidades de volume.

Com isto temos a:

Definição 3.14.1 Dados os vetores a, b, c de V3, daremos o nome de produto misto

dos vetores a, b, c, indicado por[a , b , c

], como sendo[

a , b , c].=(a∧ b

)• c . (3.179)

Observação 3.14.1 Em particular, das Observaçãoes acima (veja (3.178) e (3.179)),segue que o volume do paralelepípedo do paralepepípedo ABCDEFGH do espaço, serádado por

V =∣∣∣[a , b , c

]∣∣∣ .Temos uma expressão mais simples para calcular o produto misto de três vetores de V3,

a saber:


Proposição 3.14.1 Sejam E .= (e1 , e1 , e3) base ortonormal positiva (ordenada) e os ve-

tores de V3 que têm coordenadas, em relação à base ortonormal positiva (ordenada) E,de V3, dadas por:

a = (x1 , x2 , x3)E , b = (y1 , y2 , y3)E e c = (z1 , z2 , z3)E . (3.180)

Então [a , b , c

].=

∣∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣∣ . (3.181)

Demonstração:Notemos que

a∧ b(3.138)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣(3.139)=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣ · e1 −∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣ · e2 +∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣ · e3 . (3.182)

Logo

(a∧ b

)• c (3.180) e (3.121)

=

∣∣∣∣∣ x2 x3

y2 y3

∣∣∣∣∣ z1 −∣∣∣∣∣ x1 x3

y1 y3

∣∣∣∣∣ z2 +∣∣∣∣∣ x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣∣ z3=

∣∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣∣ ,como queríamos mostrar.

Como conseqüência temos o:

Corolário 3.14.1 Sejam E .= (e1 , e1 , e3) base ortonormal positiva (ordenada) de V3 e

F .=(f1, f2, f3

)uma base (ordenada) de V3.

Entãodet(MEF) =

[f1 , f2 , f3

]. (3.183)

Demonstração:De fato, pois escrevendo-se os vetores f1, f2, f3, como combinaçãpo linear dos vetores da

base E , de V3, obteremos: f1 = a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3f2 = a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3f3 = a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3

.

3.14. PRODUTO MISTO 159

Logo

MEF =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

e assim, como E é uma base ortonromal positiva (ordenada) de V3, segue que:

det(MEF) =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣(3.181)=

[f1 , f2 , f3

],


Apliquemos as idéias acima ao:

Exemplo 3.14.1 Sejam E .= (e1 , e1 , e3) base ortonormal positiva (ordenada) de V3 e os

vetores de V3, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal positiva (ordenada) E,de V3, são dadas por:

−→AB= (1 , 0 , 1)E ,

−→BE= (1 , 1 , 1)E e

−→AD= (0 , 3 , 1)E . (3.184)

Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, obtido como no início da seção(veja a figura abaixo).

A B

CD

E F

GH

−→AB

−→AD

−→BE

Resolução:Precisamos encontrar o vetor

−→AE.

Para isto, observemos que−→AE =

−→AB +

−→BE

(3.184)= (1 , 0 , 1)E + (1 , 1 , 1)E = (2 , 1 , 2)E . (3.185)

Assim valor do volume, que indicaremos por V, do paralelepípedo ABCDEFGH acima,será dado por:

V (3.178)=

∣∣∣[−→AB ,−→AD ,

−→AE]∣∣∣ (3.181),(3.184) e (3.185)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1

0 3 3

2 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Exercício= |− 3| = 3 unidades de volume.


Capítulo 4

Sistemas de Coordenadas em plano eespaço

Nosso objetivo inical é localizar de modo preciso um ponto P do espaço.Mais adiante faremos o mesmo para pontos do plano.Para isto utilizaremos o seguinte conceito:

Definição 4.0.2 Fixemos O, um ponto do espaço e E .= (e1 , e2 , e3) uma base (ordenada)

de V3.O par (O , E) será denominado sistema de coordenadas do espaço (veja a figura

abaixo), também indicado por

Σ.= (O , e1 , e2 , e3) .

-

/

6

O

e1

e2

e3

O ponto O será dito origem do sistema de coordenadas Σ = (O , E).Definindo-se os pontos

A.= O+ e1 , B

.= O+ e2 e C

.= O+ e3 , (4.1)

as retas ←→OA ,

←→OB e

←→OC

serão denominadas eixos coordenados do sistema de coordenados Σ = (O , E), ditoseixo Ox ou das abscissas, eixo Oy ou das ordenadas e eixo Oz ou eixo das cotas, res-pectivamente (veja a figura abaixo).

161

162 CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE COORDENADAS EM PLANO E ESPAÇO

-

/

6

O

^

Origem

]

I

Eixo Ox ou das abscissas

Eixo Oy ou das ordenadas

Eixo Oz ou das cotas

A

B

C

Os três planos determinados pelos pontos O, A, B, pelos pontos O, A, C e pelos pon-tos O, B, C, serão ditos planos coordenados e denominados plano xOy, plano xOz

e plano yOz, respectivamente do sistema de coordenadas Σ = (O , E) (veja a figuraabaixo).

-

/

6

O

A

B

C

Plano xOy

Plano yOz

Plano xOz

Temos também a:

Definição 4.0.3 O sistema de coordenadas Σ.= (O , E) será dito ortogonal, se a base

(ordenada) E, de V3, for uma base (ordenada) ortonormal positiva de V3.

Observação 4.0.2 Sejam P um ponto do espaço e Σ.= (O , e1 , e2 , e3) um sistema de

coordenadas do espaço.Como o conjunto E é uma base (ordenada) de V3, segue que o vetor

−→OP pode ser

escrito como combinação linear dos vetores de E, ou seja, existe (únicos)

x , y , z ∈ R ,

tais que (veja a figura abaixo):−→OP = x · e1 + y · e2 + z · e3

= (x , y , z)E . (4.2)

163

-

/

6

O

e1

P

e3

e2

x

y

z

Logo, a cada ponto P do espaço, está associada uma única tripla ordenada

(x , y , z) ∈ R3 ,

formada por números reais, a saber, as coordenadas do vetor−→OP, em relação à base

(ordenada) E, de V3, e reciprocamente, a cada tripla ordenada

(x , y , z) ∈ R3 ,

formada por números reais, podemos associar um ponto P do espaço, de modo que ovetor

−→OP seja dado por (4.2).

Ou seja, existe uma relação biunívoca e sobrejetora entre os pontos do espaço e astriplas ordenadas formada por números reais, isto é, elementos de

R3 .= R× R× R .

Com isto temos a:

Definição 4.0.4 Os números reais x, y, z, obtidos em (4.2), serão denominados coorde-nadas do ponto P, relativamente ao sistema de coordenadas Σ

.= (O , E).

Neste caso, escreveremos:P = (x , y , z)Σ ,

ou seja, identificamos o ponto P do espaço, com a tripla ordenada

(x , y , z) ∈ R3 ,

formada por números reais.

Observação 4.0.3 Quando não houver possibilidade de confusão da notação, escreve-remos

P = (x , y , z) ,

ao invés de escreverP = (x , y , z)Σ,

ou seja, omitiremos Σ na representação das coordenadas do ponto P, em relação aosistema de coordenadas Σ

.= (O , E).


O resultado que segue nos mostra como tornar-se-á mais simples operar com pontos evetores, tendo fixado um sistema de coordenadas no espaço.

Proposição 4.0.2 Sejam Σ.= (O , e1 , e2 , e3) um sistema de coordenadas do espaço, dois

pontos A, B do espaço, o vetor v de V3, cujas coordenadas, em termos do sistema decoordenadas Σ do espaço e à base (ordenada) E .

= (e1 , e2 , e3) de V3, são dadas por:

A.= (x1 , y1 , z1)Σ , B

.= (x2 , y2 , z2)Σ , v

.= (a , b , c)E . (4.3)

e α ∈ R.Então

1. as coordenadas do vetor−→AB, em relação à base (ordenada) E de V3, serão dadas

por:−→AB= (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1)E . (4.4)

2. as coordenadas do ponto A, em relação ao sistema de coordenadas Σ = (O , e1 , e2 , e3)

do espaço, serão dadas por:

A+ α · v = (x1 + αa , y1 + αb , z1 + αc)Σ . (4.5)

Demonstração:De 1.:Observemos que

−→AB =

−→AO +

−→OB

= −−→OA +

−→OB

Def. (4.0.4) e (4.21)= −(x1 , y1 , z1)E + (x2 , y2 , z2)E

Prop. (3.7.2)= (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1)E ,

obtendo assim a identidade (4.4).De 2.:Definamos o ponto

C.= A+ α · v . (4.6)

Então, da Definição (4.0.4) e de (4.21), segue que

−→AC= α · v . (4.7)

Suponhamos que as coordenadas do ponto C, em relação ao sistema de coordenadasΣ = (O , e1 , e2 , e3), sejam dadas por:

C = (x , y , z)Σ . (4.8)

165

Então

(x− x1 , y− y1 , z− z1)(4.8), (4.3) e da Def. (4.0.4)

=−→AC

(4.7)= α · v

(4.3)= α · (a , b , c)E

Prop. (3.7.3)= (αa ,αb , α c)E ,

ou seja, x− x1 = αa

y− y1 = αb

z− y1 = αc

,

isto é,x = x1 + αa , y = y1 + αb , z = z1 + αc , (4.9)

ou seja,

A+ α · v (4.6)= C

(4.8) e (4.9)= (x1 + αa , y1 + αb , z1 + αc)Σ ,

mostrando a validade da identidade (4.5), completando a demonstação do resultado.

Observação 4.0.4 Lembremos que uma outra notação para o vetor−→AB (veja a Obser-

vação (3.5.3)) éB−A .

Olhando-se o item 1. da Proposição (4.0.2) acima, vemos que isto faz sentido, doponto de vista analítico, ou seja, para obtermos as coordenadas de um vetor, em relaçãoa uma base (ordenada) fixada, basta ”subtrairmos” as correpondentes coordenadas dospontos final e origem, do segmento orientado que representa o vetor, dados em relaçãoao sitema de coordenadas fixado (veja (4.4)).


Exemplo 4.0.2 Seja Σ.= (O, e1, e2, e3) um sistema de coordenadas no espaço.

Encontre as coordenadas do ponto Q, do espaço, que é o simétrico do ponto P emrelação ao ponto M, onde as coordenadas destes pontos, em relação ao sistema decoordenadas Σ fixado, são dadas por

P.= (1 , 0 , 3)Σ e M

.= (1 , 2 ,−1)Σ . (4.10)

Resolução:Sabemos que os três pontos

P , M e Q

deverão ser colineares e que (vide a figura abaixo)

MP = MQ.


P

M

Q

Logo, deveremos ter:−→MQ=

−→PM , (4.11)

pois estes dois vetores têm mesma direção, sentido e comprimento, ou seja, são iguais.Mas

QDef. (3.5.1)

= M+−→MQ

(4.11)= M+

−→PM . (4.12)

Mas, de (4.10) e da Proposição (4.0.2) item 1., temos que−→PM

(4.4)= (1− 1 , 2− 0 ,−1− 3)E

= (0 , 2 ,−4)E . (4.13)

Logo, de (4.10), (4.13) e da Proposição (4.0.2) item 2., segue que

Q(4.12)= M+

−→PM

(4.5)= (1+ 0 , 2+ 4 ,−1− 5)Σ

= (1 , 4 ,−5)Σ .

Portanto, as coordenadas do ponto Q, que é o ponto simétrico do ponto P, relativamenteao ponto M, serão dadas por

Q = (1 , 4 ,−5)Σ .

Observação 4.0.5

1. Se o sistema de coordenadas Σ.= (O , E) é ortogonal no espaço, então a distância

entre dois pontos A e B, que indicaremos como d(A ,B), cujas coordenadas, emrelação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadas por:

A.= (x1 , y1 , z1)Σ e B

.= (x2 , y2 , z2)Σ , (4.14)

pode ser obtida da seguinte forma:

d(A,B) = AB =∥∥∥−→AB∥∥∥

Prop. (4.0.2)= ∥(x2 − x1 , y2 − y2 , z2 − z1)E∥

Prop. (3.8.2)=

√(x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)

2,

167

ou seja

d(A ,B) =

√(x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)

2 . (4.15)

A

B

d(A,B) =

∥∥∥∥−→AB

∥∥∥∥

2. Podemos utilizar a expressão (4.15) para resolver o Exemplo (4.0.2) acima, agindoda seguinte forma:

Suponhamos que as coordenadas do ponto Q, em relação ao sistema de coordena-das Σ do espaço, seja dadas por:

Q.= (x , y , z)Σ . (4.16)

Notemos que, deveremos ter

d(Q ,M) = d(P ,M)

que, por (4.15), é equivalente a,√(x− 1)2 + (y− 2)2 + [z− (−1)]2

(4.10)=

√(1− 0)2 + (0− 2)2 + [3− (−1)]2 ,

ou seja, deveremos encontrarx , y , z ∈ R ,

que satisfazem a equação:

(x− 1)2 + (y− 2)2 + (z+ 1)2 = 21 .

Vale notar que esta equação é uma condição necessária para que ponto Q tenhaa propriedade requerida pelo Exemplo (4.0.2), porém, não é suficiente, pois assoluções da equação acima serão pontos de uma esfera de centro no ponto M eraio igual a d(P ,M) (veja a figura abaixo).

MP


Para completar, precisaríamos pedir que o ponto Q pertença à reta que contém ospontos (distintos) P e M.

A questão é: como fazer isto?

Mais adiante, veremos como fazer isto.

Consideremos o:

Exemplo 4.0.3 Seja Σ.= (O , E) um sistema de coordenadas ortogonal do espaço.

Verifique se os pontos A, B e C do espaço, cujas coordenadas, em relação ao sistemade coordenadas Σ do espaço, são dadas por:

A.= (2 , 6 ,−5)Σ , B

.= (6 , 9 , 7)Σ C

.= (5 , 5 , 0)Σ e D

.= (3 , 10 , 2)Σ , (4.17)

são vértices de um paralelogramo.

Resolução:1.o Modo:Observemos que, da Proposição (4.0.2) item 1., segue que

−→AB

(4.3) e (4.17)= (6− 2 , 9− 6 , 7− (−5))E

= (4 , 3 , 12)E , (4.18)−→AC

(4.3) e (4.17)= (5− 2 , 5− 6 , 0− (−5))E

= (3 ,−1 , 5)E , (4.19)−→AD

(4.3) e (4.17)= (3− 2 , 10− 6 , 2− (−5))E

= (1 , 4 , 7)E . (4.20)

Com isto, notamos que os vetores−→AC,

−→AD são L.I. em V3 (não são paralelos, veja a

Observação (3.7.4) item 8.) e−→AC +

−→AD

Prop. (3.7.2),(4.19) e (4.20)= (4 , 3 , 12)E

(4.18)=

−→AB .

Assim, da Definição (3.3.1) de adição de vetores, segue que os pontos A, C, B e D formamum paralelogramo no espaço (veja a figura abaixo).

7

A

D

zC

B

169

2.o Modo:

Como o sistema de coordenadas Σ do espaço, é ortogonal, temos que:

d(A ,B) =∥∥∥−→AB∥∥∥

=

√(6− 2)2 + (9− 6)2 + (7− (−5))2

=√16+ 9+ 144

Exercício= 13 ;

d(A ,D) =∥∥∥−→AB∥∥∥

=

√(3− 2)2 + (10− 6)2 + (2− (−5))2

=√1+ 16+ 49 =

√66 ;

d(B ,C) =∥∥∥−→BC∥∥∥

=

√(5− 6)2 + (5− 9)2 + (0− 7)2

=√1+ 16+ 49 =

√66 ;

d(D ,C) =∥∥∥ −→DC∥∥∥

=

√(5− 3)2 + (5− 10)2 + (0− 2)2

=√4+ 25+ 4 =

√33 ;

d(A ,C) =∥∥∥ −→AC∥∥∥

=

√(5− 2)2 + (5− 6)2 + (0− (−5))2

=√9+ 1+ 25 =

√35 ;

d(D ,B) =∥∥∥ −→DB∥∥∥

=

√(6− 3)2 + (9− 10)2 + (7− 2)2

=√9+ 1+ 25 =

√35 .

Portanto, dos cálculo acima, segue que:

d(A ,D) = d(B ,C) e d(A ,C) = d(B ,D) .

Porém, isto não garante que os pontos A, B, C e D definem um paralelogramo.

Para tanto precisamos saber se eles pertecem a um mesmo plano, ou seja, se os vetores−→AC,

−→CB e

−→AD serão L.D. em V3.


Notemos que, da Proposição (4.0.2), temos que

−→AC

(4.4) e (4.17)= (5− 2 , 5− 6 , 7− (−5))E

= (3 ,−1 , 5)E ,−→CB

(4.4) e (4.17)= (6− 5 , 9− 5 , 7− 0)E

= (1 , 4 , 7)E ,−→AD

(4.4) e (4.17)= (3− 2 , 10− 6 , 2− (−5))E

= (1 , 4 , 7)E .

Logo, segue que os três vetores acima são L.D. em V3, assim os pontos A, B, C e D sãocooplanares, ou seja, serão vértices de um paralelogramo.

Na Observação a seguir, faremos um estudo análogo ao que fizemos no espaço, para o

plano.Introduziremos definições e propriedades, similares as que foram feitas no espaço, para o

plano, e suas demonstrações serão deixadas como exercício para o leitor.

Observação 4.0.6

1. Fixemos O um ponto do plano e E .= (e1 , e2) uma base (ordenada) de V2.

O par (O , E) será denominado sistema de coordenadas do plano (veja a figuraabaixo), também indicado por

Σ.= (O , e1 , e2) .

-

6

O e1

e2

O ponto O será dito origem do sistema de coordenadas Σ = (O , E).

Definindo-se os pontos

A.= O+ e1 , e B

.= O+ e2 , (4.21)

as retas ←→OA e

←→OC

serão denominadas eixos coordenados do sistema de coordenados Σ = (O , E), di-tos eixo Ox ou das abscissas e eixo Oy ou das ordenadas, respectivamente (vejaa figura abaixo).

171

-

6

O

^

Origem

]

Eixo Ox ou das abscissas

Eixo Oy ou das ordenadas

A

B

2. O sistema de coordenadas Σ.= (O , E) será dito ortogonal, se a base (ordenada) E

de V2, for uma base ortonormal positiva (ordenada) de V2.

3. Sejam P um ponto do plano e Σ.= (O , e1 , e2) um sistema de coordenadas do plano.

Como o conjunto E é uma base (ordenada) de V2, segue que o vetor−→OP, pode ser

escrito como combinção linear dos vetores de E, ou seja, existe (únicos)

x , y ∈ R ,

tais que:−→OP= x · e1 + y · e2 = (x , y)E . (4.22)

Logo a cada ponto P do plano, está associado um único par ordenada (x , y) ∈ R2,

formada por números reais, a saber, as coordenadas do vetor−→OP, em relação

à base (ordenada) E de V2, e reciprocamente, a cada par ordenada (x , y) ∈ R2

formada por números reais, podemos associar um único ponto P do plano, demodo que o vetor

−→OP seja dado por (4.22).

Ou seja, existe uma relação biunívoca e sobrejetora entre os pontos do plano e ospares ordenados, formados por números reais, isto é, elementos de

R2 .= R× R .

4. Os números reais x, y obtidos em (4.22), serão denominados coordenadas doponto P, relativamente ao sistema de coordenadas Σ = (O , E).

Neste caso escreveremosP = (x , y)Σ ,

ou seja, identificamos o ponto P do plano, com o par ordenado

(x , y) ∈ R2 ,

formada por números reais.


5. Quando não houver possibilidade de confusão da notação, escreveremos

P.= (x , y) ,

ao invés de escreverP

.= (x , y)Σ,

ou seja, omitiremos Σ, na representação das coordenadas do ponto P, em relaçãoao sistema de coordenadas Σ

.= (O , E) do plano.

6. Sejam Σ.= (O , e1 , e2) um sistema de coordenadas no plano, dois pontos A, B do

plano, o vetor v de V2, cujas coordenadas, em termos do sistema de coordenadasdado e à base E .

= (e1 , e2) de V2, são dadas por:

A.= (x1 , y1)Σ , B

.= (x2 , y2)Σ , v

.= (a , b)E . (4.23)

e α ∈ R.

Então

(a) as coordenadas do vetor−→AB, em relação à base (ordenada) E de V2, serão

dadas por:−→AB= (x2 − x1 , y2 − y1)E . (4.24)

(b) as coordenadas do ponto A, em relação ao sistema de coordenadas (O , e1 , e2)

do plano, serão dadas por:

A+ α · v = (x1 + αa , y1 + αb)Σ . (4.25)

7. Se o sistema de coordenadas Σ.= (O , E) é ortogonal no plano, então a distância

entre dois pontos A e B, que indicaremos como d(A ,B), cujas coordenadas, emrelação ao sistema de coordenadas Σ do plano, são dadas por:

A.= (x1 , y1)Σ e B

.= (x2 , y2)Σ , (4.26)

pode ser obtida da seguinte forma:

d(A ,B) = AB =∥∥∥−→AB∥∥∥

= ∥(x2 − x1 , y2 − y2)E∥

=

√(x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2,

ou seja,

d(A ,B) =

√(x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2 . (4.27)

A

B

d(A,B) =

∥∥∥∥−→AB

∥∥∥∥

Até aqui para a 1.a Prova

Capítulo 5

A Reta no Plano e no Espaço

11.a aula - 3.04.2014Neste capítulo faremos um estudo de retas no plano e no espaço.Nosso objetivo será representar de modo analítico uma reta que no plano ou espaço.Estudaremos, inicialmente, da reta do espaço e, no final, trataremos da reta no plano.

5.1 Equação Vetorial da Reta no Espaço (ou no Plano)

Geometricamente, um modo de caracterizarmos uma reta r no espaço (ou no plano) é dandoum ponto A, que pertença à reta r e uma direção, isto é, um vetor não nulo v paralelo àmesma (veja a figura abaixo).

A

v

r

Deste modo, um ponto X do espaço (ou do plano) pertencerá a reta r se, e somente se, osvetores

−→AX e v

forem paralelos, que, pela Definição (3.6.1) item 2., é o mesmo que dizer que eles forem L.D.em V3 (ou V2 - veja a figura abaixo).

173

174 CAPÍTULO 5. A RETA NO PLANO E NO ESPAÇO

A

v

r

X

De fato, se o ponto X pertence à reta r, então deveremos ter:−→AX∥ v .

Reciprocamente, se−→AX∥ v ,

então o ponto X pertencerá à reta r, caso contrário, os vetores−→AX e v não seriam paralelos.

Logo, pela Proposição (3.6.1) (notemos que v = O), o ponto X pertence à reta r se, esomente se, existe um número real λ, de modo que

−→AX= λ · v,

que pela Definição (3.5.1) é equivalente a escrever:

X = A+ λ · v . (5.1)

Logo, dado um número real λ, o ponto X, dado por (5.1), pertencerá à reta r e reci-procamente, se o ponto X pertence à reta r, deverá existir um número real λ, tal que (5.1)ocorrerá.

Conclusão: a reta r é o lugar geométrico dos pontos do espaço (ou do plano) que satis-fazem a equação (5.1).

Com isto temos a:

Definição 5.1.1 A equação (5.1), será denominada equação vetorial da reta r e es-creveremos:

r : X = A+ λ · v , para cada λ ∈ R . (5.2)

O vetor não nulo v (que nos fornece a direção da reta r) será denominado vetor dire-tor da reta r .

Observação 5.1.1

1. A equação (5.1) não é a única equação vetorial da reta r.

De fato, se tormarmos um outro ponto B, que pertença à reta r, ou um outrovetor u (diferente do vetor nulo), que tem a direção da reta r (ou seja, é paraleloà reta r), teremos uma outra equação vetorial para a reta r, a saber:

X = B+ λ · u , para cada λ ∈ R .

5.1. EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA NO ESPAÇO (OU NO PLANO) 175

Ou seja, uma reta r do espaço (ou do plano) tem uma infinidade de equaçõesvetoriais que a representam.

2. É importante notar que na equação (5.1), quando o número real λ, percorre oconjunto dos números reais, os respectivos pontos X, que satisfazem a equação(5.1), percorrerão a reta toda, ou ainda, existe uma correspondênica biunívoca esobrejetora (isto é, bijetora) entre os pontos da reta e pontos do espaço (ou doplano) que satisfazem à equação (5.1) (veja a figura abaixo).

A

v

r

X = A + λ · v

3. Observemos também que, se uma reta r contém dois pontos distintos, que deno-taremos por A e B, então o vetor

−→AB = O ,

nos fornecerá a direção da reta R, isto é, será um vetor diretor da mesma (veja afigura abaixo).

Neste caso, uma equação vetorial da reta r, será dada por:

X = A+ λ·−→AB , para cada λ ∈ R . (5.3)

B

A

r

v =−→AB

4. O vetor que dá a direção de uma reta (isto é, o vetor diretor da mesma) não podeser o vetor nulo.

5. Um outro modo de interpretarmos a equação (5.1) é encará-la como se ela des-cresse o movimento de uma partícula que se move sobre a reta r, com velocidade(vetorial) v (constante, diferente do vetor nulo) e o parâmetro λ indicaria o tempoapós o início do movimento, sendo o ponto A a posição da partícula no instanteλ = 0 (conhecida como posição inicial).


5.2 Equações Paramétricas da Reta no plano e no espaço

Trataremos, a seguir, de situações associadas à uma reta no espaço.A situação de uma reta no plano, será tratada em uma observação, no final desta seção.Fixemos um sistema de coordenadas

Σ.= (O , e1 , e2 , e3)

no espaço, e consideremos o ponto e o vetor, que tem coordenadas, em relação ao sistema decoordenadas Σ, do espaço, e à base (ordenada) E , de V3, respectivamente, dados por :

A.= (xo , yo , zo)Σ e v

.= (a , b , c)E . (5.4)

Com isto temos que, um ponto X, que tem coordenadas em relação ao sistema de coorde-nadas Σ, do espaço, dado por:

X.= (x , y , z)Σ (5.5)

pertencerá à reta r se, e somente se, satisfaz a equação (5.1), para algum λ ∈ R, ou seja,

(x , y , z)Σ(5.1)= (xo , yo , zo)Σ + λ · (a , b , c)E

(4.5)= (xo + λa , yo + λb , zo + λ c)Σ , (5.6)

para algum λ ∈ R, ou ainda,

r :

x = xo + λa

y = yo + λb

z = zo + λ c

, para λ ∈ R . (5.7)

Observemos que, v = O, dado por (5.4), se, e somente se,

a2 + b2 + c2 = 0 .


Definição 5.2.1 As equações (5.7) serão denominadas equações paramétricas da retar (no espaço), em relação ao sistema de coordenadas Σ.

Observação 5.2.1

1. Fixado um sitema de coordenadas Σ.= (O , E) no espaço, uma reta do espaço que

contém o ponto, de coordenadas, em relação ao sitema de coordenadas Σ, doespaço, dado por

A.= (xo , yo , zo)Σ

e tem a direção do vetor não nulo, de coordenadas, em relação à abse E, de V3,dada por:

v.= (a , b , c)E ,

tem por equação paramétricas o sistema linear (5.7).

5.2. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA NO PLANO E NO ESPAÇO 177

Reciprocamente, dado um sistema linear, formado por três equações a quatro in-cógnitas reias,

x , y , z , λ

como em (5.7), onde

a2 + b2 + c2 = 0 ,

existe uma única reta r no espaço, cujas equações paramétricas, em relação aosistema de coordenadas Σ, do espaço, são dadas pelo sistema linear (5.7), a sa-ber, a reta que contém o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sitema decoordenadas Σ, do espaço, são dadas por:

A.= (xo , yo , zo)Σ

e tem a direção do vetor não nulo v, cujas coordenadas, em relação à base E, deV3, são dadas por:

v.= (a , b , c)E .

2. Se fixarmos um outro sistema de coordenadas Σ ′ .= (O ′ , E ′) do espaço, as equações

paramétricas da reta r poderão mudar pois, neste caso, mudará as coordenadasdo ponto A e do vetor diretor v, em relação aos sistema de coordenadas Σ ′, doespaço, e à base E ′, de V3, respectivamente.

3. Além disso, se considerarmos um outro sistema de coordenadas Σ ′ .= (O ′ , E ′) do

espaço e considerarmos o mesmo sistema linear (5.7), este dará origem a umaoutra reta r ′ que será, em geral, do ponto de vista geométrico, diferente da reta r.

Para ilustrar, consideremos o sistema linearx = 0

y = 0

z = λ

, para cada λ ∈ R . (5.8)

Então, em relação aos dois sistema de coordenadas

Σ.= (O , E) e Σ ′ .

= (O ′ , E ′)

apresentado na figura abaixo, temos que as retas r e r ′, que têm equações paramé-tricas dadas pelo sistema linear (5.8), relativamente aos sistemas de coordenadas

Σ e Σ ′ ,

do espaço, respectivamente, serão retas diferentes no espaço.


-

6

O

e1

e2

e3

r

-

6

O ′

e1′

e2′

e3′

r ′

4. Fixado um sistema de coordenadadas Σ.= (O , E) no espaço, se uma reta r contém

os pontos distintos, que têm coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasΣ, do espaço, dadas por:

A.= (x1 , y1 , z1)Σ e B

.= (x2 , y2 , z2)Σ , (5.9)

então, da Proposição (4.0.2), temos que

v.=

−→AB

(4.4) e (5.9)= (x2 − x1︸︷︷︸

.=a

, y2 − y2︸︷︷︸.=b

, z2 − z1︸︷︷︸.=c

)E = O .

Notemos que o vetor v será um diretor da reta r e assim as equações paramétricasda reta r tornar-se-ão:

x = x1 + λ (x2 − x1)

y = y1 + λ (y2 − y1)

z = z1 + λ (z2 − z1)

, para cada λ ∈ R . (5.10)

5. As equações paramétricas de uma reta não são determinadas de modo único, istoé, existe uma infinidade de equações paramétricas associadas a uma mesma reta.

Basta notar que, se escolhermos outro ponto da reta ou outro vetor diretor damesma, as coordenadas destes, em relação ao sistema de coordenadas e base da-das, irão mudar, alterando assim equações paramétricas da reta considerada.

Para retas no plano, temos algo semelhante que será apresentado na observação a seguir.

Observação 5.2.2

1. Fixemos um sistema de coordenadas Σ.= (O , e1 , e2) do plano e consideremos o

ponto e o vetor, cujas coordenadas, em relação ao sistema de cordenadas Σ, doplano, e à base E, de V2, respectivamente, são dadas por :

A.= (xo , yo)Σ e v

.= (a , b)E . (5.11)

5.2. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA NO PLANO E NO ESPAÇO 179

Com isto temos que, um ponto X, que tem coordenadas em relação ao sistema decoordenadas Σ, do plano„ dado por:

X.= (x , y)Σ (5.12)

pertencerá à reta r se, e somente se, satisfaz a equação (5.1) para algum λ ∈ R,ou seja,

(x , y)Σ(5.1)= (xo , yo)Σ + λ · (a , b)E

(4.5)= (xo + λa , yo + λb)Σ , (5.13)

para algum λ ∈ R, ou ainda,

r :

x = xo + λa

y = yo + λb, para λ ∈ R . (5.14)

Observemos que, v = O, dado por (5.11), se, e somente se,

a2 + b2 = 0 .

2. Com isto, diremos que as equações (5.14), serão as equações paramétricas da re-ta r (no plano), em relação ao sistema de coordenadas Σ, do plano.

3.

4. Fixado um sistema de coordenadadas Σ.= (O , E) no plano, se uma reta r contém

os pontos distintos, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ,do plano, são dadas por:

A.= (x1 , y1)Σ e B

.= (x2 , y2)Σ , (5.15)

então, da Observação (4.0.6) item 6., segue que:

v.=

−→AB

(4.4) e (5.15)= (x2 − x1︸︷︷︸

.=a

, y2 − y2︸︷︷︸.=b

)E = O .

Notemos que o vetor v, será um diretor da reta r e assim as equações paramétricasda reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ, do plano, torna-se-ão:

x = x1 + λ (x2 − x1)

y = y1 + λ (y2 − y1), para cada λ ∈ R . (5.16)

5. As equações paramétricas de uma reta do plano, não são determinadas de modoúnico, isto é, existe uma infinidade de equações paramétricas associadas a umareta do plano.

Basta notar que, se escolhermos outro ponto da reta ou outro vetor diretor damesma, suas, respectivas coordenadas destes, em relação ao sistema de coordena-das do plnao e base de V2, dadas, irão mudar, alterando assim equações paramé-tricas da reta.


5.3 Equações na Forma Simétrica da Reta

Trataremos, a seguir, da situação correspondente à uma reta no espaço.A situação de uma reta no plano será tratada em uma observação, no final desta seção.Fixemos um sistema de coordenadas

Σ = (O, e1, e2, e3)

do espaço e consideremos o ponto A do espaço e o vetor (não nulo) v de V3, cujas coordenadas,em relação ao sistema de cordenadas Σ, do espaço, e à base E , de V3, respectivamente, sãodadas por :


.= (a , b , c)E . (5.17)

Deste modo, as equações paramétricas da reta r que contém o ponto A e tem a direçãodo vetor v serão dadas por (5.7).

Suponhamos quea , b , c = 0 . (5.18)

Deste modo, segue que:

x− xo = λa

y− yo = λb

z− zo = λ c

, ou seja (de (5.18)),

λ =x− xo

a

λ =y− xo

b

λ =z− zo

c

,

ou ainda,

r :x− xo

a=

y− yo

b=

z− zo

c. (5.19)


Definição 5.3.1 As equações (5.19), serão denominadas equações na forma simétricada reta r (no espaço).

Observação 5.3.1Conclusões: uma reta r do espaço, pode ser representada de três modos diferentes (masrelacionados), a saber:

1. por uma equação vetorial:

r : X = A+ λ · v , para cada λ ∈ R ,

onde A ∈ r e v ∥ r, com v = O.

5.3. EQUAÇÕES NA FORMA SIMÉTRICA DA RETA 181

2. fixado um sistema de coordenadas Σ.= (O , E) no espaço, pelas equações paramé-

tricas:

r :

x = xo + λa

y = yo + λb

z = zo + λ c

, para cada λ ∈ R ,

ondeA

.= (xo , yo , zo)Σ e v

.= (a , b , c)E .

3. fixado um sistema de coordenadas Σ.= (O , E) no espaço, pelas equações na forma

simétrica:r :

x− xo

a=

y− yo

b=

z− zo

c,

onde


.= (a , b , c)E) , de modo que a, b, c = 0 .

Fixemos um sistema de coordenadas Σ.= (O , E) no espaço, para os exemplos abaixo:

Exemplo 5.3.1 Encontre as equações vetorial, paramétricas e na forma simétrica (sepossível) da reta r do espaço, que contém os pontos, cujas coordenadas, em relaçao aosistema de coordenadas Σ, do espaço, são dadas por:

A.= (1 , 0 , 1)Σ e B

.= (0 , 1 , 0)Σ . (5.20)

Resolução:Como a reta r contém os pontos A e B (que são distintos), um vetor diretor para a reta

r será o vetor:−→AB

(4.4) e (5.20)= (0− 1 , 1− 0 , 0− 1)E

= (−1 , 1 ,−1)E . (5.21)

1. Logo, uma equação vetorial para a reta da reta r será dada por:

r : X = A+ λ·−→AB , para cada λ ∈ R , (5.22)

que, em relação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço, tornar-se-á:

r : (x , y , z)Σ = (1 , 0 , 1)Σ + λ · (−1 , 1 ,−1)E , para cada λ ∈ R . (5.23)

2. Logo, o ponto cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço,são dadas por:

X.= (x , y , z)Σ

pertencerá à reta r se, e somente se, podemos encontrar λ ∈ R, de modo que, a equação(5.23) esteja satisfeita, ou seja, as equações paramétricas serão dadas por

r :

x = 1+ λ . (−1)

y = 0+ λ . 1

z = 1+ λ . (−1)



isto é,

r :

x = 1− λ

y = λ

z = 1− λ

, para cada λ ∈ R . (5.24)

3. Notemos que, de (5.21), temos:

a.= −1 , b

.= 1 e c

.= −1 ,

ou seja,a , b , c = 0 ,

segue que, equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordeandas Σ,do espaço, serão dadas por:

r :x− 1

−1=

y− 0

1=

z− 1

−1,

isto é,r : 1− x = y = 1− z . (5.25)

Temos também o:

Exemplo 5.3.2 Dado o sistema linear, de três equações a quatro incógnitas reais:x = 1

y = 2

z = 2 λ

, para λ ∈ R , (5.26)

determinar uma equação vetorial da reta r, cujas equações paramétricas são dadas, emrelação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço, pelo sistema linear acima.

Verifique se o ponto P, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ,do espaço, são dadas por:

P.= (4 , 1 , 0)Σ , (5.27)

pertence à reta r.

Resolução:Observemos que o sistema linear (5.26) acima, pode ser reescrito da seguinte forma:

x = 1+ λ . 0

y = 2+ λ . 0

z = 0+ λ . 2

, para cada λ ∈ R . (5.28)

Logo, se definirmos o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasΣ, do espaço, são dadas por:

A.= (1 , 2 , 0)Σ


e o vetor v, cujas coordenadas, em relação à base E , de V3, são dadas por:

v.= (0 , 0 , 2)E = O ,

então o sistema linear (5.28) acima, nos fornece as equações paramétricas da reta r, quecontém o ponto A e tem a direção do vetor, não nulo, v.

Assim, uma equação vetorial da reta r será dada por:

(x , y , z)Σ = (1 , 2 , 0)Σ + λ · (0 , 0 , 2)E , para cada λ ∈ R

em relação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço, ou ainda,

X = A+ λ · v , para cada λ ∈ R .

Para o que o ponto, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, doespçao, são dadas por:

P.= (4 , 1 , 0)Σ ,

pertença à reta r, deverá existir um número real λ, de modo que

(4 , 1 , 0)Σ = (1 , 2 , 0)Σ + λ · (0 , 0 , 2)E ,ou seja,

(4 , 1 , 0)Σ = (1 , 2 , 2 λ)Σ .

Logo, devemos tentar resolver o sistema linear4 = 1

1 = 2

0 = 2 λ

.

Notemos que este sistema linear não tem solução, isto é, o ponto P não pertence à reta r.

Temos tanbém o:

Exemplo 5.3.3 Fixemos um sistema de coordenadas Σ.= (O , e1 , e2 , e3) e consideremos

as seguintes equações:2x− 1

3=

1− y

2= z+ 1 . (5.29)

Pede-se:

1. Mostre que as equações (5.29) acima, representam as equações, na forma simé-trica, de uma reta r no espaço, em relação ao sistema de coordeandas Σ, doespaço;

2. Encontre as equações na forma simétrica, vetorial e paramétricas da reta r, emrelação ao sistema de coordeandas Σ, do espaço.


Resolução:Observemos que as equações (5.29) acima, podem ser reescritas da seguinte forma:

x−1

23

2

=y− 1

−2=

z− (−1)

1.

1. Deste modo as equações (5.29), vistas sob este novo ponto de vista, são as equações, naforma simétrica, de uma reta r no espaço, que contém o ponto A, cujas coordenadas,em relação ao sistema de coordenadas Σ, do espçao, são dadas por:

A.=

(1

2,−1 ,−1

)Σ

e tem a direção do vetor v, cujas coordenadas, em relação à base E .= e1 , e2 , e3, de V3,

são dadas por

v.=

(3

2,−2 , 1

)E.

2. As equações na forma simétrica da reta r serão dadas por:

r :x−

1

23

2

=y− 1

−2=

z− (−1)

1.

Uma equação vetorial da reta r será dada por:

r : X = A+ λ · v , para cada λ ∈ R

que, em relação ao sistema de coordenadas Σ, de V3, será dada por:

(x , y , z)Σ =

(1

2,−1 ,−1

)Σ

+ λ ·(3

2,−2 , 1

)E, para cada λ ∈ R .

As equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço,serão dadas por:

x =1

2+ λ

3

2y = −1+ λ (−2)

z = −1+ λ 1


isto é,x =

1

2+

3

2λ

y = −1− 2 λ

z = −1+ λ

, para cada λ ∈ R .


Podemos também definir, quando existirem, as equações paramétricas para uma reta no

plano.Na observação a seguir, introduziremos este conceito e daremos algumas propriedades do

mesmo, que são análogas das de uma reta no espaço, e cuja verificação será deixada comoexercício para o leitor

Observação 5.3.2

1. Fixado um sistema de coordenadas Σ = (O , e1 , e2) no plano, consideremos o pontoA e o vetor (não nulo)v, cujas coordenadas em relação ao sistema de cordenadasΣ, do espaço e à base (ordenada) E, de V3, respectivamente, são dadas por :

A.= (xo , yo)Σ e v

.= (a , b)E . (5.30)

Deste modo, as equações paramétricas da reta r, que contém o ponto A e tem adireção do vetor (não nulo) v serão dadas por (5.14).

Suponhamos quea , b = 0 . (5.31)

Deste modo, segue que:

x− xo = λa

y− yo = λb, ou seja (de (5.31)),

λ =

x− xo

a

λ =y− xo

b

,

ou ainda,

r : fracx− xoa =y− yo

b. (5.32)


Definição 5.3.2 As equações (5.32) serão denominadas equações na forma simé-trica da reta r (no plano), em relação ao sistema de coordenadas Σ do plnao.

Observação 5.3.3 Conclusões: uma reta r do plano, pode ser representada detrês modos diferentes (mas relacionados), a saber:

(a) por uma equação vetorial:

r : X = A+ λ · v , para cada λ ∈ R ,

onde A ∈ r e v ∥ r, com v = O.


(b) fixado um sistema de coordenadas Σ.= (O , E) no plano, pelas equações para-

métricas:

r :

x = xo + λa

y = yo + λb, para cada λ ∈ R ,

ondeA

.= (xo , yo)Σ e v

.= (a , b)E = (0 , 0)E .

(c) fixado um sistema de coordenadas Σ.= (O , E) no plano, pelas equações na

forma simétrica:

r :x− xo

a=

y− yo

b,

ondeA

.= (xo , yo)Σ e v

.= (a , b)E , onde a , b = 0 .

2. Observemos que, no PLANO, um ponto, cujas coordenadas, em relação ao sis-tema de coordenadas Σ, do plano, são dadas por

X.= (x , y)Σ ,

pertence à reta B, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ,do plano, são dadas por:

A.= (xo , yo)Σ e B

.= (x1 , y1) (5.33)

se, e somente se, os vetores (veja a Observação (4.0.6) item ?)

−→AX

(4.24) e (5.33)= (x− xo , y− yo)E e

−→AB

(4.24) e (5.33)= (x1 − xo , y1 − yo)E ,

sejam paralelos (ou L.D. em R2), isto é, se, e somente se, (veja a Observação(3.7.4) item 11.)

0(3.42)=

∣∣∣∣∣ x− xo y− yo

x1 − xo y1 − yo

∣∣∣∣∣ Exercício=

∣∣∣∣∣∣∣x y 1

xo yo 1

x1 y1 1

∣∣∣∣∣∣∣ ,ou seja,

X = (x , y)Σ ∈ r se, e somente se,

∣∣∣∣∣∣∣x y 1

xo yo 1

x1 y1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 , (5.34)

que é um resultado conhecido da Geometria Analítica Plana, estudada no 2.o

Grau.

Na verdade a equação (5.34) acima nos fornece, o que foi conhecido na GeometriaAnalítica Plana (tratado do 2.o grau) por equação geral da reta.

3. No ESPAÇO, uma reta, NÃO possui equação geral.

Capítulo 6

O Plano no Espaço

Nosso objetivo nesta seção será dar uma caraterização analítica para um plano π no espaço.Sabemos que o plano π fica, unicamente determinado, se conhecermos um ponto, que

indicaremos por A, do plano π e dois vetores, que indicaremos por u e v, de V3, que sejamL.I. em V3 e são paralelos ao plano π (veja a figura abaixo).

π

A

zu

v

Assim, um ponto, que indicaremos por X, do espaço, pertencerá ao plano π se, e somentese, os vetores

−→AX , u , v

forem L.D. em V3, que é equivalente a dizer que eles são paralelos ao plano π.Como os vetores u, v são L.I. em V3 e os vetores

−→AX, u, v são L.D. em V3 (veja figura

abaixo) então, do Corolário (3.6.1), segue que existem números reais

α ,β ∈ R ,

de modo que−→AX= α · u+ β · v ,

π

A

zu

v

z

−→AX

X

α · u

β · v

ou, da Definição (3.5.1),

X = A+ α · u+ β · v , para α ,β ∈ R .

Com isto, podemos introduzir a:

187

188 CAPÍTULO 6. O PLANO NO ESPAÇO

Definição 6.0.3 A equação (6.1) será denominada equação vetorial do plano π e es-creveremos

π : X = A+ α · u+ β · v , para cada α ,β ∈ R . (6.1)

Os vetores u, v (que são L.I. em V3 e paralelos ao plano π) serão ditos vetores direto-res do plano π.

Observação 6.0.4

1. Logo, um ponto X do espaço, pertencerá ao plano π se, e somente se, existiremnúmeros reais

α ,β ∈ R ,

tais que a equação (6.1) ocorre.

Ou seja, o plano π é o lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfazem aequação (6.1).

2. Assim como no caso de uma reta no espaço, o plano π tem uma infinidade deequações vetoriais.

Para ver isto basta considerarmos, por exemplo, um outro ponto A ′ pertencente aoplano π e outros dois vetores u ′, v ′, que sejam L.I em V3 e paralelos aos vetoresu, v, respectivamente (logo, paralelos ao plano π - veja a figura abaixo).

Deste modo teremos uma nova equação vetorial para o plano π, a saber :

π : X = A ′ + α · u ′ + β · v ′ , para cada α ,β ∈ R .

π

A ′ q

u ′

v ′

3. Lembremos também que, um plano π do espaço, fica unicamente determinadose conhecermos três pontos não colineares, que indicaremos por A, B, C, quepertençam ao plano π.

Deste modo, os vetores−→AB e

−→AC

serão L.I. em V3 (pois os pontos A, B, C não são colineares) e paralelos ao planoπ (pois A,B,C ∈ π).

Logo estes vetores poderão ser tomados como vetores diretores do plano π e por-tanto uma equação vetorial do plano π será dada por:

π : X = A+ α·−→AB +β·

−→AC , para cada α ,β ∈ R . (6.2)

A figura abaixo ilustra a situação acima:

189

π

A

>:

B

C

−→AB

−→AC

Fixemos um sistema de coordenadas Σ .= (O , e1 , e2 , e3) no espaço e consideremos o ponto

A, pertencente ao plano π, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, doespaço, seja dadas por:

A.= (xo , yo , zo)Σ (6.3)

e os vetores diretores u e v, do plano π, cujas coordenadas, em relação à base (ordenada)E .= e1 , e2 , e3, de V3, são dadas por::

u.= (a , b , c)E e v

.= (m,n , p)E . (6.4)

Então o ponto X , cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço,são dadas por :

X.= (x , y , z)Σ (6.5)

petencerá ao plano π se, e somente se, as coordenadas do X, em rlação ao sistema de coor-denadas Σ, do espaço, satisfaz a equação (6.1), para algum α, β números reais, que de (6.5),(6.3) e (6.4), é equivalente a:

(x , y , z)Σ = (xo , yo , zo)Σ + α · (a , b , c)E + β · (m,n , p)E ,

para algumα,β ∈ R ,

que é equivalente, ao sitema linear:x = xo + αa+ βm

y = yo + αb+ βn

z = zo + αc+ βp

, (6.6)

para algum α ,β ∈ R.Com isto, podemos introduzir a:

Definição 6.0.4 As equações (6.6) serão denominadas equações paramétricas do pla-no π.

Observação 6.0.5

1. Assim como a equação vetorial, um plano pode ter uma infinidade de equaçõesparamétricas, fixado um sistema de coordenadas no espaço.


2. Fixado um sistema de coordenadas, a um plano está associado sua equações pa-ramétricas.

Reciprocamente, um sitema linear, de três equações a cinco incógnitas reais:

x , y , z , α , β ∈ R ,

do tipo (6.6), dá origem a um único plano do espaço, cujas equações paramétricassão dadas pelas equações do sistema linear, em relação ao sistema de coordenadasfixado, no espaço.

Conclusão: Fixado um sistema de coordenadas Σ.= (O , E) no espaço, o lugar ge-

ométrico das soluções do sistema linear (6.6) é o plano π e reciprocamente.

3. Fixado um sistema de coordenadas Σ.= (O , E) no espaço, se o plano π contém os

pontos A, B e C, não colineares, cujas coordenadas, em relação ao sistema decoordenadas Σ, do espaço, são dadas por:

A.= (xo , yo , zo)Σ , B

.= (x1 , y1 , z1)Σ e C

.= (x2 , y2 , z2)Σ , (6.7)

então os vetores, cujas coordenadas, em relação à base (ordenada) E, de V3, sãodadas por:

−→AB

(4.4) e (6.7)= (x1−xo , y1−yo , z1−zo)E e

−→AC

(4.4) e (6.7)= (x2−xo , y2−yo , z2−zo)E (6.8)

serão vetores diretores do plano π (pois como os pontos do plano, são não coline-ares, segue que os vetores acima serão paralelos ao plano em L.I. em V3) e assim,as equações paramétricas do plano π, em relação ao sistema de coordenadas Σ, doespaço, serão dadas por:

x = xo + α (x1 − xo) + β (x2 − xo)

y = yo + α (y1 − yo) + β (y2 − yo)

z = zo + α (z1 − zo) + β (z2 − zo)

, para cada α ,β ∈ R . (6.9)

12.a aula - 8.04.2014Para os quatro exemplos a seguir estará fixado um sistemas de coordenadas Σ

.= (O , E)

no espaço.

Exemplo 6.0.4 Encontre uma equação vetorial, as equacões paramétricas do plano π,em relação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço, que contém o ponto A, cujascoordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço, são dadas por:

A.= (−3 ,−7 , 1)Σ (6.10)

e é paralelo aos vetores u e v, cujas coordenadas, em relação à base E, de V3, são dadaspor:

u.= (1 , 1 , 1)E e v

.= (−1 , 1 , 0)E . (6.11)

191

Resolução:Notemos que os vetores u e v são L.I. em V3 (veja a Observação (3.7.3) item 2.).Com isto teremos:

1. Equação vetorial do plano π:

X = A+ α · u+ β · v , para cada α ,β ∈ R .

Se as coordenadas do ponto X, em relação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço, sãodadas por:

X.= (x , y , z)Σ ,

de (6.10) e (6.11), segue que, a equação vetorial acima será equivalente a:

π : (x , y , z)Σ = (−3 ,−7 , 1)Σ + α · (1 , 1 , 1)E + β · (−1 , 1 , 0)E , para cada α ,β ∈ R ,

com isto temos uma equação vetorial do plano π, em relação ao sistema de coordenadasΣ, do espaço

2. Equações paramétrica do plano π:

O ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, sãodadas por

X.= (x , y , z)Σ

pertencerá ao plano π se, e somente se, satisfaz a equação vetorial do plano π, emrelação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço, obtida no item acima, ou seja:

x = −3+ α.1+ β.(−1)

y = −7+ α.1+ β.1

z = 1+ α.1+ β.0

,

para algum α ,β ∈ R , isto é,x = −3+ α− β

y = −7+ α+ β

z = 1+ α

, para α ,β ∈ R ,

que são as equações paramétricas do plano π, em relação ao sistema de coordenadas Σ,do espaço.

Exemplo 6.0.5 Encontre a equação vetorial do plano π, que contém os pontos A, B eC, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadaspor:

A.= (0 , 1 , 0)Σ , B

.= (1 , 0 , 1)Σ e C

.= (0 , 0 , 1)Σ . (6.12)


Resolução:Notemos que, os vetores

−→AB,

−→AC, cujas coordenadas, em relação à base E de V3, são dadas

por:

−→AB

(4.4) e (6.12)= (1− 0 , 0− 1 , 1− 0)E = (1 ,−1 , 1)E ,

−→AC

(4.4) e (6.12)= (0− 0 , 0− 1 , 1− 0)E = (0 ,−1 , 1)E , (6.13)

são L.I. em V3 (veja a Observação (3.7.3) item 2.) e paralelos ao plano π (pois os pontos A,B e C pertencem ao plano π).

Logo, os vetores−→AB,

−→AC podemos ser tomados como vetores diretores do plano π.

Assim, uma equação vetorial do plano π será dada por:

X = A+ α·−→AB +β·

−→AC , para cada α ,β ∈ R .

Se as coordenadas do ponto X, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, sãodadas por:

X.= (x , y , z)Σ ,

de (6.12) e (6.13), segue que, a equação vetorial acima será equivalente a:

π : (x , y , z)Σ = (0 , 1 , 0)Σ + α · (1 ,−1 , 1)E + β · (0,−1, 1)E , para cada α ,β ∈ R ,

ou seja, obtivemos uma equação vetorial do plano π, em relação ao sistema de coordenadasΣ do espaço.

Exemplo 6.0.6 Consideremos o sistema linear, de três equações a cinco incógintas re-ais, abaixo:

x = α

y = β

z = 1

, (6.14)

onde x , y , z , α , β ∈ R.Pede-se:

1. o sistema linear acima pode ser considerado como as equações paramétricas deum plano π, dado em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço ?

Caso afirmativo, coloque em uma forma mais conveniente para recolhecê-lo.

2. Caso afirmativo o item acima, encontre uma equação vetorial do plano π.

3. Caso afirmativo o item 1., verifique se o ponto P, cujas coordenadas, em relaçãoao sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadas por:

P.= (−1 , 0 , 1)Σ (6.15)

pertence ao plano π.

193

Resolução:

De 1.:

O sistema linear (6.14) acima, pode ser reescrito da seguinte forma:x = 0+ α.1+ β.0

y = 0+ α.0+ β.1

z = 1+ α.0+ β.0

, para cada α ,β ∈ R ,

ou seja, são as equações paramétricas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço,de um plano, que denotaremos por π, que contém o ponto A, cujas coordenadas, emrelação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadas por:

A.= (0 , 0 , 1)Σ (6.16)

e tem como vetores diretores u e v, cujas coordenadas, em relação à base E de V3, sãodadas por:

u.= (1 , 0 , 0)E e v

.= (0 , 1 , 0)E . (6.17)

Notemos que os vetores acima são L.I. em V3 (veja a Observação (3.7.3) item 2.).

De 2.:

Uma equação vetorial do plano π será:

π : X = A+ α · u+ β · v , para cada α ,β ∈ R .

Se as coordenadas do ponto X, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, sãodadas por:

X.= (x , y , z)Σ ,

de (6.16) e (6.17), segue que, a equação vetorial acima, será equivalente a:

π : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 1)Σ + α · (1 , 0 , 0)E + β · (0 , 1 , 0)E ,para cada α ,β ∈ R . (6.18)

De 3.:

Para o ponto P, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço,são dadas por:

P.= (−1 , 0 , 1)Σ (6.19)

pertencer ao plano π, devem existir números reais α, β, de modo que

P = A+ α · u+ β · v ,

ou, por (6.19), que

(−1 , 0 , 1)Σ = (0 , 0 , 1)Σ + α · (1 , 0 , 0)E + β · (0 , 1 , 0)E︸︷︷︸(4.5)= (α ,β ,1)Σ

,


para algum α,β ∈ R.

Logo devemos, tentar, resolver o seguinte sistema linear:−1 = α

0 = β

1 = 1

, que é equivalente a:

α = −1

β = 0.

Portanto o ponto P, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, são dadas por (6.19), pertence ao plano π, basta tomarmos

α.= −1 e β

.= 0

nas equações paramétricas (6.18) do plano π, ou seja, P ∈ π.

Exemplo 6.0.7 Verifique se os planos π1 e π2 são coincidentes (ou seja, iguais), cujasequações vetoriais, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadas por:

π1 : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 0)Σ + α · (1 , 1 , 0)E + β · (0 , 1 , 0)E (6.20)

π2 : (x , y , z)Σ = (1 , 1 , 0)Σ + α · (1 , 2 , 1)E + β · (0 ,−1 , 1)E , (6.21)

para α ,β ∈ R.

Resolução:Notemos que, o ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do

espaço, são dadas por:X

.= (xo , yo , zo)Σ (6.22)

é um ponto do plano π1 se, e somente se, existem

α1 , β1 ∈ R ,

tais que

(xo , yo , zo)Σ(6.20)= (0 , 0 , 0)Σ + α1 · (1 , 1 , 0)E + β1 · (0 , 1 , 0)E

(4.5)= (α1 , α1 + β1 , 0)Σ . (6.23)

Por outro lado, o ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ

do espaço, são dadas por:X = (α1 , α1 + β1 , 0)Σ (6.24)

(que, por (6.23), pertence ao plano π1) pertencerá ao plano π2 se, e somente se, devem existir

α2 , β2 ∈ R ,

195

tais que

(α1 , α1 + β1 , 0)Σ(6.21)= (1 , 1 , 0)Σ + α2 · (1 , 2 , 1)E + β2 · (0 ,−1 , 1)E

(4.5)= (1+ α2 , 1+ 2α2 − β2 , α2 + β2)Σ , (6.25)

ou seja, devem existir números reaisα2 , β2 ,

que satisfaçam o sistema linear: α1 = 1+ α2

α1 + β1 = 1+ 2α2 − β2

0 = α2 + β2

,

isto é,

β2 = 1− α1

1− 3α2 = α1 + β1

α2 = −β2

,

ou ainda,

β2 = 1− α1

β1 = −2β2

α2 = −β2

.

ou seja,

β1 = −2+ 2α1 (1)

α2 = −1+ α1 (2)

β2 = 1− α1 (3)

. (6.26)

Conclusão: o ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, são dadas por (6.22), para pertencer aos planos π1 e π2, deverá satisfazer:

(x , y , z)Σ(6.25)= (

(2)= α1︷︸︸︷

1+ α2 ,

(2) e (3)= 3 α1−2︷︸︸︷

1+ 2α2 − β2 ,

(2) e (3)= 0︷︸︸︷

α2 + β2)Σ(6.26)= (α1 ,−3α1 − 2 , 0)

= (0 ,−2 , 0)Σ + α1 · (1 , 2 , 0)E , para α1 ∈ R , (6.27)

ou seja, temos a equação vetorial de uma reta r que contém o ponto A, cujas coordenadas,em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadas por:

A.= (0 ,−2 , 0)Σ ,

e tem a direção do vetor v, cujas coordenadas, em relação à base E de V3, são dadas por:

v.= (1 , 2 , 0)E .

Portanto os planos não são coincidentes, são concorrentes, ou melhor:

π1 ∩ π2 = r ,

onde r é uma reta, cuja equação vetorial, em relação ao sistema de coordeandas Σ do espaço,é dada por (6.27).


Observação 6.0.6 No próximo capítulo estudaremos, entre outros, o problema acima(ou seja, a posição relativa entre dois planos).

Como veremos, o problema acima será tratado de uma forma mais simples.

6.1 Equação Geral de um Plano

Fixemos um sistema de coordenadas Σ = (O , E) e seja π um plano que contém o ponto A,cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadas por:

A.= (xo , yo , zo)Σ (6.28)

e é paralelo aos vetores u, v, que são L.I. em V3, cujas coordenadas, em relação à base(ordenada) E de V3, são dadas por:

u.= (m,n , p)E e v

.= (r , s , t)E . (6.29)

Sabemos que um ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ,são dadas por:

X.= (x , y , z)Σ (6.30)

do espaço, pertencerá ao plano π se, e somente se, os vetores

−→AX , u e v

são L.D. em V3.Notemos que, da Proposição (4.0.2) item 1., segue que, as coordenadas, em relação à base

(ordenada) E de V3, do vetor−→AX, serão dadas por:

−→AX

(4.4)= (x− xo , y− yo , z− zo)E . (6.31)

Logo, de (6.29), (6.31) e do Corolário (3.7.1), os vetores−→AX, u, v são L.D. em V3 se, e

somente se, ∣∣∣∣∣∣∣x− xo y− yo z− zo

m n p

r s t

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 .

Desenvolvendo o determinante acima (pela 1.a linha), obteremos (veja o Apêndice (A)):

0 = (x− xo)

∣∣∣∣∣ n p

s t

∣∣∣∣∣− (y− yo)

∣∣∣∣∣ m p

r t

∣∣∣∣∣+ (z− zo)

∣∣∣∣∣ m n

r s

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ n p

s t

∣∣∣∣∣ x−∣∣∣∣∣ m p

r t

∣∣∣∣∣y+

∣∣∣∣∣ m n

r s

∣∣∣∣∣ z+

[−

∣∣∣∣∣ n p

s t

∣∣∣∣∣ xo +∣∣∣∣∣ m p

r t

∣∣∣∣∣yo −

∣∣∣∣∣ m n

r s

∣∣∣∣∣ zo]. (6.32)

6.1. EQUAÇÃO GERAL DE UM PLANO 197

Definamos:

a.=

∣∣∣∣∣ n p

s t

∣∣∣∣∣ , b.= −

∣∣∣∣∣ m p

r t

∣∣∣∣∣ , c.=

∣∣∣∣∣ m n

r s

∣∣∣∣∣ ,d

.= −

∣∣∣∣∣ n p

s t

∣∣∣∣∣ xo +∣∣∣∣∣ m p

r t

∣∣∣∣∣yo −

∣∣∣∣∣ m n

r s

∣∣∣∣∣ zo . (6.33)

Então a equação (6.32) acima, poderá ser reescrita da seguinte forma:

ax+ by+ c z+ d = 0 . (6.34)

Observemos quea2 + b2 + c2 = 0 ,

isto é, a, b, c são números reais, não simultaneamente nulos.De fato, se

a2 + b2 + c2 = 0 ,

teríamos que os números reiasm,n , p e r , s , t ,

deveriam ser proporcionais.A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.Neste caso, teríamos que os vetores u, v seriam L.D. em V3, o que seria um absurdo, pois

eles são vetores diretores do plano π.Com isto podemos introduzir a:

Definição 6.1.1 A equação (6.34) será denominada equação geral do plano π, em re-lação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, e escreveremos:

π : ax+ by+ c z+ d = 0 , (6.35)

onde a, b, c, d são dados por (6.33).

Observação 6.1.1 Fixemos um sistema de coordenadas Σ = (O, E).

1. Dada uma equação do 1.o grau em três variáveis reais, que denotaremos por x, y,z, isto é, uma equação do tipo

ax+ by+ c z+ d = 0 , (6.36)

ondea2 + b2 + c2 = 0 ,

afirmamos que existe um único plano (a menos de outros coincidentes a ele) quetem por equação geral, a equação (6.36), em relação ao sistema de coordenadasΣ do espaço.

De fato, para encontrar tal plano precisamos conhecer três pontos, não colineares,pertencentes ao plano.


Para isto observemos que como

a2 + b2 + c2 = 0 ,

segue que os números reaisa , b , c ,

não se anulam simultaneamente, isto é, pelo menos um desses números reais édiferente de zero.

Suponhamos quea = 0 .

Sea = 0 ,

podemos usar as idéias abaixo para fazer o mesmo se

b = 0 ou c = 0 .

Deixaremos o tratamento desses casos como exercício para o leitor.

Logo, comoa = 0 ,

da equação (6.36), segue que:

x = −b

ay−

c

az−

d

a. (6.37)

Logo, considerando-se:

y = z = 0 , temos, de (6.37), que x = −d

a

y = 0 e z = 1 , temos, de (6.37), que x = −c

a−

d

a

y = 1 e z = 0 , temos, de (6.37), que x = −b

a−

d

a,

ou seja, os pontos, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ

do espaço, são dadas por:

A.=

(−d

a, 0 , 0

)Σ

, B.=

(−c

a−

d

a, 0 , 1

)Σ

e C.=

(−b

a−

d

a, 1 , 0

)Σ

, (6.38)

satisfazem a equação (6.36).

Assim, da Proposição (4.0.2) item 1., segue que, as coordenadas, em relação à

base E de V3, dos vetores−→AB,

−→AC, serão dadas por:

−→AB

(6.38) e (4.4)=

(−c

a−

d

a−

(−d

a

), 0 , 1

)E=(−c

a, 0 , 1

)E, (6.39)

−→AC

(6.38) e (4.4)=

(−b

a−

d

a−

(−d

a

), 0 , 1

)E=

(−b

a, 1 , 0

)E. (6.40)


Notemos que os vetores−→AB,

−→AC são L.I. em V3, pois suas coordenadas não guar-

dam uma mesma proporção.

Deixaremos a verificação deste fato como exercício para o leitor.

Portanto os pontos A, B, C, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coorde-nadas Σ do espaço, são dadas por (6.38), são pontos não colineares do plano π, eassim determinam um plano π no espaço.

Encontremos a equação geral do plano π:

Lembremos que um ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coor-denadas Σ do espaço, são dadas por:

X.= (x , y , z)Σ (6.41)

pertencerá ao plano π se, e somente se, os vetores

−→AX

(6.38),(6.41) e (4.4)=

(x−

(−d

a

), 0 , 0

)E

e−→AB e

−→AC (6.42)

são L.D. em V3.

Logo, de (6.42), (6.39), (6.40) e do Corolário (3.7.1), isto será equivalente a

0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x+d

ay− 0 z− 0

−c

a0 1

−b

a1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Apêndice (A)

=

(x+

d

a

) ∣∣∣∣∣ 0 1

1 0

∣∣∣∣∣− y

∣∣∣∣∣∣∣∣−c

a1

−b

a0

∣∣∣∣∣∣∣∣+ z

∣∣∣∣∣∣∣∣−c

a0

−b

a1

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Exercício

= −x−d

a−

b

a− z

c

a.

Multiplicando-se a equação acima por

(−a) = 0 ,

obteremos:ax+ by+ c z+ d = 0 ,

ou seja, a equação (6.36) dada inicialmente.

Conclusão: o lugar geométrico das solução da equação (6.36) é o plano π, emrelação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, e reciprocamente.


2. De outro modo:

π é um plano no espaço se, e somente se, existem números reais a, b, c, nãotodos nulos, tal que

π =(x , y , z) ∈ R3 ; ax+ by+ c z+ d = 0

,

e assim obtemos uma equação geral do plano π, em relação ao sistema de coor-denadas Σ do espaço.

3. Se o plano π contém os pontos A, B, C, não colineares, cujas coordenadas, emrelação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadas por

A.= (xo , yo , zo)Σ , B

.= (x1 , y1 , z1)Σ e C

.= (x2 , y2 , z2)Σ , (6.43)

então o ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, são dadas por

X.= (x , y , z)Σ ,

pertencerá ao plano π se, e somente se, os vetores, , cujas coordenadas, em relaçãoà base E de V3, são dadas por:

−→AX

(6.43) e (4.4)= (x− xo , y− yo , z− zo)E ,

−→AB

(6.43) e (4.4)= (x1 − xo , y1 − yo , z1 − zo)E ,

−→AC

(6.43) e (4.4)= (x2 − xo , y2 − yo , z2 − zo)E

são L.D. em V3 que, do Corolário (3.7.1), será equivalente a:∣∣∣∣∣∣∣x− xo y− yo z− zo

x1 − xo y1 − yo z1 − zo

x2 − xo y2 − yo z2 − zo

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 . (6.44)

Pelas propriedades de determinante (ver Apêndice (A)), o determinante acimaserá igual a ∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x y z 1

xo yo zo 1

x1 y1 z1 1

x2 y2 z2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.

Logo o ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, são dadas por

X.= (x , y , z)Σ

pertence ao plano π se, e somente se,∣∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1

xo yo zo 1

x1 y1 z1 1

x2 y2 z2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 . (6.45)


4. Compare a identidade acima (que diz respeito a equação geral de uma plano noespaço) com a obtida na Observação (5.3.2) item 2. do Capítulo anteior (quedizia respeito a equação geral de uma reta no plano, a saber, a identidade (5.34)).

5. A equação (6.45) nos dá uma equação geral do plano π, em relação ao sistemade coordenadas Σ do espaço, quando conhecemos as coordenadas de três pontos,A, B e C, não colineares, que pertencem ao plano π, em relação ao sistema decoordenadas Σ do espaço.

Para os quatro exemplos a seguir consideraremos um sistema de coordenadas Σ.= (O , E)

fixado.

Exemplo 6.1.1 Encontre uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equaçãogeral do plano π, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, que contém oponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, sãodadas por:

A.= (1 , 0 , 1)Σ (6.46)

e é paralelo aos vetores u, v, cujas coordenadas, em relação à base E de V3, são dadaspor:

u.= (2 , 1 ,−1)E e v

.= (−1 , 0 , 0)E . (6.47)

Resolução:Observemos que os vetores u e v são L.I. em V3 (pois suas correspondentes coordenadas,

em relação à base E de V3, não guardam uma mesma proporção - verifique!).

1. Equação vetorial do plano π:

A equação vetorial do plano será dada por:

X = A+ α · u+ β · v , para cada α ,β ∈ R

ou seja, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, teremos:

π : (x , y , z)Σ = (1 , 0 , 1)Σ + α · (2 , 1 ,−1)E + β · (−1 , 0 , 0)E , para cada α ,β ∈ R .

2. Equações paramétricas do plano π:

O ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, sãodadas por:

X.= (x , y , z)Σ ,

pertencerá ao plano π se, e somente se, existem

α ,β ∈ R ,

tais que:(x , y , z)Σ = (1 , 0 , 1)Σ + α · (2 , 1 ,−1)E + β · (−1 , 0 , 0)Σ ,


que, de (4.5), é equivalente à:

(x , y , z)Σ = (1+ 2α− β ,α , 1− α)Σ , para algum α ,β ∈ R ,

ou seja, as equações paramétricas do plano π, em relação ao sistema de coordenadas Σ

do espaço, serão dadas por:

π :

x = 1+ 2α− β

y = α

z = 1− α

, para cada α ,β ∈ R .

3. Equações geral do plano π:

Um ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço,são dadas por:

X.= (x , y , z)Σ ,

pertencerá ao plano π se, e somente se, os vetores−→AX

(6.46) e (4.4)= (x− 1 , y− 0 , z− 1)E = (x− 1 , y , z− 1)E ,

u = (2 , 1 ,−1)E ,

v = (−1 , 0 , 0)E

forem L.D. em V3, que, do Corolário (3.7.1), será equivalente a:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣x− 1 y z− 1

2 1 −1

−1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣ = 0+ y+ 0+ z− 1+ 0+ 0 = y+ z− 1 ,

ou seja, uma equação geral do plano π, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, será dada por:

π : y+ z− 1 = 0 . (6.48)

Observação 6.1.2 Notemos que, na equação geral do plano π obtida no Exemplo acima,isto é, (6.48), teremos

a = 0 , b = 1 , c = 1 e d = −1 .

Temos também o:

Exemplo 6.1.2 Dado os sistema linear de três equações, a cinco incógnitas reias:x = −1+ 2α− 3β

y = 1+ α+ β

z = α

, para α ,β ∈ R , (6.49)

pede-se:


1. Verificar se o sistema linear de equações (6.49) acima, são equações paramétricasde um plano π do espaço, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço.

2. Caso afimativo, encontre uma equação vetorial e a equação geral do mesmo, emrelação ao sistema de coordenadas Σ do espaço.

Resolução:De 1.:Observemos que o sistema linear (6.49) acima, pode ser colocado na seguinte forma:

x = −1+ 2.α+ (−3).β

y = 1+ 1.α+ 1.β

z = 0+ 1.α+ 0.β

, para cada α ,β ∈ R . (6.50)

Logo se definirmos o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasΣ do espaço, são dadas por:

A.= (−1 , 1 , 0)Σ . (6.51)

e os vetores u, v, cujas coordenadas, em relação à base (ordenada) E de V3, são dadas por:

u.= (2 , 1 , 1)E e v

.= (−3 , 1 , 0)E , (6.52)

então os vetores u, v serão L.I. em V3 (pois um não é múltiplo do outro) e assim eles,juntamente com o ponto A, dão origem a um plano π, cujas equações paramétricas, emrelação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, serão dadas pelo sistema (6.49) acima, isto é,

π :

x = −1+ 2α− 3β

y = 1+ α+ β

z = α

, para cada α,β ∈ R .

De 2.:

2.a Equação vetorial do plano π:

De (6.50), (6.51) e (6.52), uma equação vetorial do plano π será da forma:

π : X = A+ α · u+ β · v , para cada α ,β ∈ R ,

isto é,

π : (x , y , z)Σ = (−1 , 1 , 0)Σ + α · (2 , 1 , 1)E + β · (−3 , 1 , 0)E , para cada α ,β ∈ R .

2.b Equação geral do plano π:

Notemos que ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, são dadas por:

X.= (x , y , z)Σ , (6.53)


pertencerá ao plano π se, e somente se, os vetores, cujas coordenadas, em relação à base(ordenada) E de V3, são dadas por:

−→AX

(6.53),(6.51) e (4.4)= (x− (−1) , y− 1 , z− 0)E = (x+ 1 , y− 1 , z)E ,

u = (2 , 1 , 1)E ,

v = (−3 , 1 , 0)E (6.54)

forem L.D. em V3, que, do Corolário (3.7.1), será equivalente a:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣x+ 1 y− 1 z

2 1 1

−3 1 0

∣∣∣∣∣∣∣ = −3 (y− 1) + 2 z+ 3z− (x+ 1) + 0 ,

ou seja:π : −x− 3 y+ 5 z+ 2 = 0 . (6.55)

Observação 6.1.3 Notemos que, na equação geral do plano π obtida no Exemplo acima,isto é, (6.55), teremos

a = −1 , b = −3 , c = 5 e d = 2 .

Outra situação é dado pelo:

Exemplo 6.1.3 Obtenha a equação vetorial e as equações paramétricas do plano π, quepossui equação geral, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, dada por:

π : x+ 2 y+ z− 1 = 0 . (6.56)

Resolução:1.o modo:Precisamos encontrar três pontos, não colineares, que pertençam ao plano π, isto é, três

pontos não colineares, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço,satisfaçam a equação geral do plano (6.56).

Observemos que, substituindo-se os valores abaixo na equação geral do plano π, obteremosos correspondentes valores para a variável restante e com isto, obtremos coordenadas de trêspontos do plano π, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, ou seja:

se x = y = 0 , então, de (6.56), segue que z = 1 , isto é, A.= (0 , 0 , 1)Σ ∈ π ,

se x = z = 0 , então, de (6.56), segue que y =1

2, isto é, B

.=

(0 ,

1

2, 0

)Σ

∈ π ,

se y = z = 0 , então, de (6.56), segue que x = 1 isto é, C.= (1 , 0 , 0)Σ ∈ π. (6.57)

Com isto temos que os três pontos A, B, C, dados acima, pertencem ao plano π, pois suascoordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, satisfazem a equação geraldo plano π.


Com isto temos os vetores, cujas coordenadas, em relação à base (ordenada) E , são dadaspor:

−→AB

(6.57) e (4.4)=

(0 ,

1

2,−1

)E,

−→AC

(6.57) e (4.4)= (1 , 0 ,−1)E , (6.58)

seão vetores paralelos ao plano π e são L.I. em V3 (pois um não é múltiplo do outro).Logo os dois vetores acima, podem ser considerados como vetores diretores do plano π.Logo, uma equação vetorial do plano π será dada por:

X = A+ α·−→AB +β·

−→AC , para cada α ,β ∈ R ,

que, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, será dada por:

π : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 1)Σ + α ·(0 ,

1

2,−1

)E+ β · (1 , 0 ,−1)E , para cada α ,β ∈ R . (6.59)

Notemos que, um ponto X, cujas coordenadas,em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, são dadas por:

X.= (x , y , z)Σ (6.60)

pertencerá ao plano ao π se, e somente se, existem

α ,β ∈ R ,

tais que

(x , y , z)Σ = (0 , 0 , 1)Σ + α ·(0 ,

1

2,−1

)E+ β · (1 , 0 ,−1)E ,

isto é,

(x , y , z)Σ =

(β ,

1

2α , 1− α− β

)Σ

,

ou seja, as equações paramétricas do plano π, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, serão dadas por:

π :

x = −β

y =1

2α

z = 1− α− β

, para cada α ,β ∈ R .

2.o modo:Um outro modo, mais rápido, de obtermos uma equação vetorial do plano π, é olharmos

a equação geral do plano (6.56), como um sistema linear formado por uma equação, a trêsvariáveis reias.

Em geral, para resolver um sistema desse tipo, damos valores a duas variáveis e obtemoso valor da terceira variável, em termos dos valores dados as duas primeiras.

Por exemplo, se considerarmos

x = β e y = α ,


na equação (6.56), obteremosz = 1− α− 2β ,

ou seja, as soluções do sistema linear serão da forma:x = β

y = α

z = 1− 2α− β


que nada mais é, que as equações paramétricas do plano π, em relação ao sistema de coorde-nadas Σ do espaço.

Reescrevendo o sistema linear acima como:x = 0+ 0.α+ 1.β

y = 0+ 1.α+ 0.β

z = 1+ (−2).α+ (−1).β


estas serão as equações paramétricas o plano π, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço,

Notemos que o plano π, conterá o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema decoordenadas Σ do espaço, são dadas por:

A.= (0 , 0 , 1)Σ

e é paralelo aos vetores

u.= (0 , 1 ,−2)E e v

.= (1 , 0 ,−1)E .

Assim, uma equação vetorial do plano π será dada por:

π : X = A+ α · u+ β · v , para cada α ,β ∈ R ,


π : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 1)Σ + α · (0 , 1 ,−2)E + β · (1 , 0 ,−1)E , para α ,β ∈ R .

Observação 6.1.4 Observemos que as equações vetorias (e paramétricas) obtidas nosdois modos npo Exempo acima são diferentes.

Porém elas representam um mesmo plano, a saber, o plano π do espaço. Por que?

Exemplo 6.1.4 Encontre a equação vetorial da reta r, que é a intersecção dos planosπ1 e π2, cujas equações gerais, em relação ao sistema de coordenadas Σ, do espaço, sãodadas por:

π1 : x+ y+ z+ 1 = 0 , (6.61)

π2 : x+ y− z = 0 . (6.62)


Resolução:Como veremos no próximo capítulo os plano π1 e π2 são, realmente, concorrentes e assim

a itensecção dos mesmos dará origem a uma reta r.1.o modo:Para encontrarmos uma equação vetorial da reta r, basta determinarmos dois pontos da

reta que sejam não coincidentes.Para isto, no sistema linear (definido pelas equações gerais dos dois planos, isto é, (6.61)

e (6.62)), x+ y+ z+ 1 = 0

x+ y− z = 0,

daremos valores a uma das variáveis e obteremos os valores das outras duas utilizando osistema linear acima.

Por exemplo, se:

x = 0 , então,

y+ z = −1

y− z = 0,

ou seja, y = −1

2, z = −

1

2, isto é, A

.=

(0 ,−

1

2,−

1

2

)Σ

∈ r ;

y = 0 , então,

x+ z = −1

x− z = 0,

ou seja, x = −1

2, z = −

1

2, isto é, B

.=

(−1

2, 0 ,−

1

2

)Σ

∈ r .

Logo os pontos A e B acima obtidos, cujas coordenadas são dadas em relação ao sistemade coordenadas Σ do espaço, são pontos distintos e, por construação, pertencem aos doisplanos π1 e π2, isto é, pertencem à reta r.

Logo o vetor−→AB

.=

(−1

2,1

2, 0

)E,

será um vetor diretor da reta r, cujas coordenadas são dadas em relação à base E de V3.Assim a equação vetorial da reta r será dada por :

X = A+ α·−→AB , para α ∈ R ,


r : (x , y , z)Σ =

(0 ,−

1

2,−

1

2

)Σ

+ α ·(−1

2,1

2, 0

)E, para cada α ∈ R . (6.63)

2.o modo:Observemos que as equações gerais dos planos π1 e π2, a saber:

x+ y+ z+ 1 = 0

x+ y− z = 0


nos fornecem um sistema linear de duas equações, a três incógnitas reais.Em geral, para encontrarmos as soluções de um sistema linear desse tipo, atribuímos

valores a uma das variáveis e obtemos as outras duas em termos da primeira como, porexemplo:

x = α

y+ z = 1− α

y− z = −α

,

ou seja,

x = α

y =1− 2α

2

z =1

2

,

ou ainda

x = 0+ 1.α

y =1

2+ (−1).α

z =1

2+ 0.α

, (6.64)

para cada α ∈ R.Logo temos as equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ

do espaço.Logo, considerando-se o ponto, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas

Σ do espaço, são dadas por:

A.=

(0 ,

1

2,1

2

)Σ

e o vetor, cujas coordenadas em relação à base E de V3, são dadas por:

u.= (1 ,−1 , 0)E ,

segue, de (6.64), que uma equação vetorial da reta r será dada por:

X = A+ α · u , para cada α ∈ R ,

que, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, será dada por:,

r : (x , y , z)Σ =

(0 ,

1

2,1

2

)Σ

+ α · (1,−1, 0)E , para cada α ∈ R . (6.65)

Observação 6.1.5 As equações vetoriais (6.63) e (6.65), obtidas nas duas formas acimasão diferentes.

Porém o vetor de uma das equações vetoriais, é paralelo ao vetor da outra equação (aconstante de multiplicação é −2), mostrando que eles são paralelos, como não poderiadeixar de ser, pois representam uma mesma reta.

13.a aula - 10.04.2014 - 1.a Prova14.a aula - 22.04.2014

6.2. VETOR NORMAL A UM PLANO 209

6.2 Vetor Normal a um Plano

Nesta seção fixaremos um sistema de coordenadas

Σ.= (O , e1 , e2 , e3)

ortogonal no espaço (isto é, a base (ordenada) E .= e1, e2, e3 é uma base ortonormal positiva

de V3).Com isto temos a:

Definição 6.2.1 Seja π um plano do espaço. Um vetor, não nulo, que indicaremos porn, será dito vetor normal ao plano π, se ele for ortogonal a todo vetor paralelo aoplano π (veja a figura abaixo).

6

n

:

a

b

c

π

a, b, c ∥ π

Observação 6.2.1

1. Suponhamos que os vetoresu e v

são vetores diretores do plano π (em particular, são vetores L.I. em V3).

Logo, o vetoru∧ v , (6.66)

será um vetor normal ao plano π pois, como os vetores u, v são L.I. em V3, então,da Definição (3.12.1), o vetor u∧ v, será um vetor não nulo e deverá ser ortogonalaos vetores u, v e portanto, a todo vetor paralelo ao plano π (veja a figura abaixo).

6

~9u

v

u ∧ v

π

Isto decorre do fato que, todo vetor paralelo ao plano π deve ser uma combinaçãolinear dos vetores diretores u, v do plano π.


2. Consideremos o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordena-das (ortogonal) Σ, são dadas por:

A.= (xo , yo , zo)Σ (6.67)

pertencente ao plano π e o vetor n, cujas coordenadas, em relação à base (orde-nada) ortonormal positva E, são dadas por:

n.= (a , b , c)E , (6.68)

um vetor normal ao plano π.

Notemos que, em particular, n = O, isto é,

a2 + b2 + c2 = 0 .

Então podemos obter a equação geral do plano π, em relação ao sistema de coor-denadas ortogonal Σ, agindo da seguinte forma:

Um ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, são dadas por

X.= (x , y , z)Σ , (6.69)

pertencerá ao plano π se, e somente se, os vetores

−→AX

(6.69) e (6.67)= (x− xo , y− yo , z− zo)E e n

(6.68)= (a , b , c)E (6.70)

são ortogonais (veja a figura abaixo).

6n

) −→AX

A

X

π

Da Proposição (3.10.2), isto será equivalente à :

−→AX •n = 0 . (6.71)

Como a base (ordenada) E é ortonormal (e positiva) de V3, da Definição (3.10.2),segue que isto será o mesmo que:

0(6.71) e (6.70)

= (x− xo , y− yo , z− zo)E • (a , b , c)E(3.100)= a (x− xo) + b (y− yo) + c (z− zo) ,


ou ainda,

ax+ by+ c z+ d = 0 , onde d.= −axo − byo − c zo .

Conclusão: se o vetor n, cujas coordenadas, em relação à base (ordenada) orto-normal (positva) E de V3, são dadas por:

n.= (a , b , c)E , (6.72)

é um vetor normal ao plano π, então a equação geral do plano π, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, será dada por:

ax+ by+ c z+ d = 0 , (6.73)

onde d é um número real a ser encontrado.

Para encontrarmos a constante d, basta conhecermos um ponto A, cujas coorde-nadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadaspor

A.= (xo , yo , zo)Σ , (6.74)

que pertença ao plano π.

Neste caso, como o ponto A pertence ao plano π, as coordenadas do ponto A

deverão satisfazer a equação geral do plano π, ou seja, (6.74), ou ainda:

axo + byo + c zo + d = 0 ,

ou seja, teremos que terd = −axo − byo − c zo . (6.75)

Conclusão: a equação geral do plano π, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ do espaço, que contém o ponto A, cujas coordenadas, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadas por:

A.= (xo , yo , zo)Σ , (6.76)

e que tem como vetor normal, o vetor n, cujas coordenadas, em relação à base(ordenada) ortonormal (positiva) E de V3, são dadas por:

n.= (a , b , c)E , (6.77)

será dada por:π : ax+ by+ c z− axo − byo − c zo = 0 . (6.78)

3. Vale a recíproca da situação acima, isto é, dada a equação geral de um plano

π : ax+ by+ c z+ d = 0 ,


em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, o vetor n, cujascoordenadas, em relação à base (ordenada) ortonormal (positiva) E de V3, sãodadas por:

n.= (a , b , c)E , (6.79)

(que é um vetor não nulo, pois se a = b = c = 0 a equação acima não é umaequação!) será um vetor normal ao plano π.

De fato, mostremos que o vetor n, cujas coordenadas, em relação à base (orde-nada) ortonormal (positiva) E de V3, são dadas por (6.79), é ortogonal a todovetor, que denotaremos por u, paralelo ao plano π.

Como a base (ordenada) E de V3, é uma base (ordenada) ortonormal (positiva)de V3, segue, da Proposição (3.10.2), que isto será equiavelente a:

n • u = 0 , (6.80)

para qualquer vetor u paralelo ao plano π.

Sejam u ∈ V3, um vetor paralelo ao plano π e o ponto A, cujas coordenadas, emrelação ao sistema de coordenadas (ortogonal) Σ, são dadas por:

A.= (x1 , y1 , z1)Σ (6.81)

pertencente ao plano π.

Lembremos que, da Proposição (3.2.2), existe um (único) ponto B, cujas coorde-nadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadaspor:

B.= (x2 , y2 , z2)Σ , (6.82)

pertencente ao plano π, de modo que

u =−→AB

(6.81)(6.82) e (4.4)= (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1)Σ . (6.83)

Mostemos que−→AB •n = 0 ,

Para isto observemos que como:

A = (x1 , y1 , z1)Σ ∈ π então, deveremos ter: ax1 + by1 + c z1 + d = 0 (6.84)

e

B = (x2 , y2 , z2)Σ ∈ π , então, deveremos ter: ax2 + by2 + c z2 + d = 0 . (6.85)

Subtraindo-se (6.84) de (6.85), obteremos:

0 = (ax2 + by2 + c z2 + d) − (ax1 + by1 + c z1 + d)

= a (x2 − x1) + b (y2 − y1) + c (z2 − z1)

(6.79) ,(6.83) e (3.100)= n•

−→AB ,


que, pela Proposição (3.10.2) é, equiavelente a afirmar que o vetor n, cujas coor-denadas, em relação à base (ordenada) ortonormal (positiva) E de V3, são dadaspor (6.79), é um vetor normal ao plano π.

4. Resumindo: Dado um sistema de coordenadas ortogonal

Σ.= (O , e1 , e2 , e3)

do espaço, os coeficientes dex , y , z

(nesta ordem!) de uma equação geral de um plano π, dado em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ do espaço, são as coordenadas de um vetor n, que éum vetor normal ao plano π (isto é, o vetor dado por (6.79)) e reciprocamente.

Nos exemplos abaixo estará fixado um sistema de coordenadas ortogonal

Σ.= (O , e1 , e2 , e3)

no espaço.

Exemplo 6.2.1 Encontre a equação geral do plano π, em relação ao sistema de co-ordenadas Σ, que contém o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadas por:

A.= (1 , 0 , 2)Σ (6.86)

e tem o vetor n, cujas coordenadas, em relação à base (ordenada) ortogonal positiva Ede V3, são dadas por:

n.= (1 ,−1 , 4)E (6.87)

como um vetor normal ao mesmo.

Resolução:Da Observação (6.2.1) item 2., segue que, se o vetor n, cujas coordenadas, em relação

ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadas por (6.87), então uma equaçãogeral do plano π, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, será dadapor:

1.x+ (−1).y+ 4.z+ d = 0 , isto é, x− y+ 4 z+ d = 0 .

Para encontrarmos o valor da constante d, utilizaremos o fato que o ponto A, cujascoordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadas (6.86),deve pertencer ao plano π.

Logo as coordenadas do ponto A, dadas por (6.86), em relação ao sistema de coordenadasΣ, deverão satisfazer a equação geral do plano, isto é,

1− 0+ 4.2+ d = 0 , ou seja, d = −9 .

Portanto, uma equação geral do plano, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ do espaço, será dada por:

π : x− y+ 4 z− 9 = 0 .


Exemplo 6.2.2 Obtenha a equação geral do plano π, em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ do espaço, que contém o ponto A, cujas coordenadas, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadas por:

A.= (0 , 1 , 2)Σ (6.88)

e tem como vetores diretores, os vetores u, v, cujas coordenadas, em relação à baseortonomal positiva E de V3, são dadas por:

u.= (4 , 1 , 2)E e v

.= (2 , 1 ,−2)E . (6.89)

Resolução:1.o modo:Notemos que, se o ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas

ortogonal Σ do espaço, são dadas por:

X = (x , y , z)Σ (6.90)

então, as coordenadas do vetor−→AX, serão dadas por:

−→AX

(6.88), (6.90) e (4.4)= (x− 0 , y− 1 , z− 2)E . (6.91)

Portanto, o ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, são dadas por (6.90), pertencerá ao plano π se, e somente se, os vetores

−→AX , u e v

são L.D. em V3.Pela Proposição (3.7.4), isto é equivalente à:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣x y− 1 z− 2

4 1 2

2 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣= −4 x+ 12 (y− 1) + 2 (z− 2)

= −4 x+ 12 y+ 2 z− 16 ,

ou seja, uma equação geral do plano π, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ doespaço, será dada por:

π : −4 x+ 12 y+ 2 z− 16 = 0 .

Observemos que, da Observação (6.2.1) item 4., o vetor n, cujas coordenadas, em relaçãoao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadas por:

n.= (−1 , 1 , 2)E ,

será um vetor normal ao plano π.2.o modo:


Notemos que, da Observação (6.2.1) item 1., o vetor u∧ v, será um vetor normal ao planoπ.

Como a base (ordenada) E de V3, é uma base (ordenada) ortonormal positiva de V3, daProposição (3.12.1) e de (6.89), segue que

u∧ v =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

4 1 2

2 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣ Exercício= −4 · e1 + 12 · e2 + 2 · e3

= (−4 , 12 , 2)E . (6.92)

Logo, da Observação (6.2.1) item 1., uma equação geral do plano, em relação ao sistemade coordenadas Σ, será dada por:

(−4).x+ 12.y+ 2.z+ d = 0 , ou seja, − 4 x+ 12 y+ 2 z+ d = 0 .

Para encontrarmos a constante d, utilizaremos o fato que o ponto A, cujas coordenadas,em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, dadas por (6.88), pertence aoplano π.

Logo as coordenadas do ponto A, deverão satisfazer a equação geral do plano, isto é,

−4.0+ 12.1+ 2.2+ d = 0 , ou seja, d = −16 .

Portanto a equação geral do plano π, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σdo espaço, será dada por:

π : −4 x+ 12 y+ 2 z− 16 = 0 .

Exemplo 6.2.3 Obtenha uma equação geral do plano π do espaço, cuja equação veto-rial, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, é dada por:

π : (x , y , z)Σ = (1 , 0 , 1)Σ + α · (1 ,−1 , 1)E + β · (1 , 1 , 0)E , para cada α ,β ∈ R . (6.93)

Resolução:Observemos que, da equação vetorial (6.93) do plano π, segue que o ponto A, cujas

coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadas por:

A.= (1 , 0 , 1)Σ (6.94)

pertence ao plano π e os vetores u, v, cujas coordenadas, em relação à base (ordenada)ortonormal (positiva) E de V3, são dadas por:

u.= (1 ,−1 , 1)E e v

.= (1 , 1 , 0)E (6.95)

são vetores diretores do plano π.1.o modo:


Observemos que se o ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ do espaço, são dadas por:

X.= (x , y , z)Σ , (6.96)

então o vetor−→AX, terá coordenadas, em relação à base E , dadas por:

−→AX

(6.96),(6.94) e (4.4)= (x− 1 , y− 0 , z− 1)E . (6.97)

Con isto, o ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ do espaço, são dadas por (6.96), pertencerá ao plano π se, e somente se, os vetores

−→AX , u e v

são L.D. em V3.Como a base E é ortonormal, da Proposição (3.7.1), de (6.95) e (6.97), segue que

0 =

∣∣∣∣∣∣∣x− 1 y z− 1

1 −1 1

1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣= 0+ y+ z− 1+ z− 1+ 0− (x− 1)

= −x+ y+ 2 z− 1 .

Portanto, uma equação geral do plano π, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ do espaço, será dada por:

π : −x+ y+ 2 z− 1 = 0 .

Observemos que o vetor n, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ do espaço, são dadas por:

n.= (−1 , 1 , 2)E ,

é um vetor normal ao plano π.2.o modo:Notemos que, da Observação (6.2.1) item 1., o vetor

u∧ v

será um vetor normal ao plano π.Como a base (ordenada) E de V3, é uma base (ordenada) ortonormal positiva de V3, da

Proposição (3.12.1) e de (6.95), segue que

u∧ v =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 −1 1

1 1 0


= −e1 + e2 + 2 · e3= (−1 , 1 , 2)E .

6.3. FEIXE DE PLANOS 217

Logo, da Observação (6.2.1) item 1., uma equação geral do plano π, em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ do espaço, será dada por:

π : (−1).x+ 1.y+ 2.z+ d = 0 , ou seja, − x+ y+ 2 z+ d = 0 .

Para encontrarmos o valor da constante de d, utilizaremos o fato que o ponto A, cujascoordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadas por(6.94), pertence ao plano π

Logo, as coordenadas do ponto A, deverão satisfazer a equação geral do plano, isto é,

−1+ 0+ 2.1+ d = 0 , ou seja, d = −1 .

Portanto uma equação geral do plano, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σdo espaço, será dada por:

π : −x+ y+ 2 z− 1 = 0 .

Observação 6.2.2 Notemos que o vetor n, cujas coordenadas, em relação à base (or-denada) ortonomal (positiva) E de V3, dadas por:

n.= (−1 , 1 , 2)E ,

será um vetor normal ao plano π.

6.3 Feixe de Planos

Terminaremos este capítulo exibindo uma maneira de se obter uma equação, em relação aum sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, fixado, para um feixe de planos quecontém uma reta r dada, ou seja, a coleção de todos os planos, do espaço, que contém umreta r.

Consideremos uma reta r, obtida da interseção de dois planos concorrentes π1 e π2 (vejaa figura abaixo) cujas equações gerais, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal Σdo espaço, são dadas por:

π1 : a1 x+ b1 y+ c1 z+ d1 = 0 (6.98)

π2 : a2 x+ b2 y+ c2 z+ d2 = 0 , (6.99)

onde

a12 + b1

2 + c12 = 0 e a2

2 + b22 + c2

2 = 0 . (6.100)


π1

π2

r

Dados dois números reaisλ , γ ,

não ambos nulos, isto é, tais queλ2 + γ2 = 0 , (6.101)

teremos que a equação do 1.o grau

λ [a1 x+ b1 y+ c1 z+ d1] + γ [a2 x+ b2 y+ c2 z+ d2] = 0 , (6.102)

é uma equação geral de um plano do espaço, que indicaremos por πλγ, em relação a umsistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço.

De fato, pois a equação (6.102) pode ser reescrita na seguite forma:

(λa1 + γa2) x+ (λb1 + γb2)y+ (λ c1 + γ c2) z+ (λd1 + γd2) = 0 , (6.103)

e, de (6.100) e (6.101), segue que

λa1 + γa2 , λ b1 + γb2 , λ c1 + γc2 ,

não são todos nulos.A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.Observemos também que a reta r está contida no plano πλγ, cuja equação geral é dada

por (6.103), em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, para cada

λ , γ ∈ R , com λ2 + γ2 = 0 .

De fato, pois se um ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ do espaço, são dadas por:

A.= (x , y , z)Σ (6.104)

pertence à reta r, suas coordenadas deverão satisfazer as equações gerais do plano π1 e doplano π2, a saber (6.98) e (6.98), dadas em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ doespaço.


Logo, as coordenadas do ponto A, dadas por (6.104), deverão satisfazer a equação (6.102),ou seja, a equação geral do palno πλγ.

Por outro lado, se um plano π, contém a reta r, então devem existir

λo , γo ∈ R ,

não ambos nulos, tal que a equação geral do plano π, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ do espaço, seja dada por:

(λo a1 + γo a2) x+ (λo b1 + γo b2)y+ (λo c1 + γo c2) z+ (λo d1 + γo d2) = 0 .

De fato, se uma equação geral do plano π, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ do espaço, é dada por:

π : ax+ by+ c z+ d = 0 ,

devemos mostrar que, existemαo , βo ∈ R ,

não ambos nulos, tais que λo a1 + γo a2 = a

λo b1 + γo b2 = b

λo c1 + γo c2 = c

λo d1 + γo d2 = d

,

sabendo-se que a reta r está contida no plano π.Deixaremos a verificação deste fato como exercício para o leitor.Conclusão: todo plano que contém a reta r, obtida da interseção dos plano π1 e π2

concorrentes, cujas equações gerais são dadas por (6.98) e (6.99), em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ do espaço, terá equação geral da forma (6.102), em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, para algum λ e γ, não ambos nulos.

Definição 6.3.1 A coleção de todos os planos que contém a reta r (isto é, os quetêm equações gerais da forma (6.102), em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ do espaço, para λ e γ números reais, não ambos nulos) será denominadofeixe de planos que contém a reta r.

Nos exemplos abaixo está fixado um sistema de coordenadas ortogonal

Σ.= (O , e1 , e2 , e3)

do espaço.

Exemplo 6.3.1 Encontre a equação geral do feixe de planos que contém a reta r, quetem equação vetorial, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço,dada por:

r : (x , y , z)Σ = (1 ,−1 , 0)Σ + α · (2 ,−3 , 4)E , para cada α ∈ R . (6.105)


Resolução:Da equação vetorial (6.105) da reta r, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ

do espaço, segue que se consideremos o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ do espaço, são dadas por:

A.= (1 ,−1 , 0)Σ , (6.106)

então o ponto A pertencerá à reta r e o vetor r, cujas coordenadas, em relação à base(ordenada) ortonormal (positiva) E de V3, são dadas por:

r.= (2 ,−3 , 4)E (6.107)

será um vetor diretor da reta r.Precisamos encontrar as equações gerais, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal

Σ do espaço, de dois planos, que denotaremos por π1 e π2 concorrentes, que contenham areta r.

Escolhamos dois vetoresu e v ,

tais que os vetoresr , u , v

sejam L.I. em V3 (veja a figura abaixo).

π2

π1

r

3

q

r

u

v

A

Por exemplo, se considerarmos os vetores, cujas coordenadas, em relação à base (ordenada)ortonormal (positiva) E de V3, são dadas por:

u.= (1 , 0 , 0)E e v

.= (0 , 1 , 0)E , (6.108)

temos que os vetoresr , u , v

serão L.I. em V3.Notemos que, os vetores r, u, juntamente com o ponto A, darão origem a um plano π1,

que tem como vetor normal o vetorr∧ u


e que contém o ponto A.Como a base (ordenada) E é uma base (ordenada) ortonormal positiva de V3, da Propo-

sição (3.12.1), (6.107) e de (6.108), segue que:

r∧ u =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

2 3 −4

1 0 0


= 0 · e1 + 4 · e2 − 3 · e3= (0 , 4 ,−3)E .

Logo, da Observação (6.2.1) item 1., segue que uma equação geral do plano π1 (que conteráa reta r), em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, será da da por:

π1 : 0.x+ 4.y+ (−3).z+ d = 0 , ou seja, 4 y− 3 z+ d = 0 .

Como o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ do espaço, são dadas por (6.106), deverá pertences ao plano π1, suas coordenadas devemsatisfazer a equação geral do plano π1, dada em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ do espaço, isto é,

4.(−1) − 3.0+ d = 0 , ou seja, d = 4 .

Portanto uma equação geral do plano π1, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ do espaço, será dada por:

π1 : 4 y− 3 z+ 4 = 0. (6.109)

Como os vetores r, v são L.I. em V3 eles, juntamente com o ponto A, darão origem a umplano π2, que tem como vetor normal o vetor r∧ v e que contém o ponto A.

Como a base (ordenada) E de V3, é uma base (ordenada) ortonormal positiva de V3, daProposição (3.12.1), de (6.107) e de (6.108), segue que

r∧ v =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

2 3 −4

0 0 1


= 3 · e1 − 2 · e2 + 0 · e3= (3 ,−2 , 0)E .

Logo, da Observação (6.2.1) item 1., segue que uma equação geral do plano π2 (que conteráa reta r), em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, será dada por:

π2 : 3.x+ (−2).y+ 0.z+ d = 0 , ou seja, 3 x− 2 y+ d = 0 .

Como o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, são dadas por (6.106), deverá pertences ao plano π2, suas coordenadas devem satisfazer aequação geral do plano π2, dada em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço,isto é,

3.1− 2.(−1) + d = 0 , ou seja, d = −5 .


Portanto uma equação geral do plano π2, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ do espaço, será dada por:

π2 : 3 x− 2 y− 5 = 0 . (6.110)

Os dois planos π1 e π2, acima obtidos, são concorrentes e a intersecção deles é a reta r.A vertificação destes fatos serão deixadas como exercício para o leitor.Logo umaa equação geral do feixe de planos, que contém a reta r, em relação ao sistema

de coordenadas ortogonal Σ do espaço, será dada por:

πλγ : λ [4 y− 3 z+ 4] + γ [3 x− 2 y− 5] = 0 ,

ondeλ , γ ∈ R ,

não são ambos nulos, ou ainda,

(3γ) x+ (4 λ− 2γ)y+ (−3 λ) z+ (4 λ− 5γ) = 0 ,

para λ , γ ∈ R, não ambos nulos.

Para finalizar este capítulo, temos o:

Exemplo 6.3.2 Encontrar uma equação geral do plano π, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ do espaço, que contenha a reta r do Exemplo (6.3.1) acima, eseja ortogonal ao vetor w, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal positiva Ede V3, são dadas por:

w.= (−1 , 2 ,−1)E , (6.111)

se existir.

Resolução:Para que o plano π contenha a reta r, ele deverá ter uma equação geral, em relação ao

sistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, a equação

λ [4 y− 3 z+ 4] + γ [3 x− 2 y− 5] = 0 ,

onde λ, γ ∈ R são não ambos nulos, ou ainda,

π : (3γ) x+ (4 λ− 2γ)y+ (−3 λ) z+ (4 λ− 5γ) = 0 ,

onde λ, γ ∈ R não são ambos nulos.Com isto, da Observação (6.2.1) item 1., temos que o vetor n, cujas coordenadas, em

relação à base ortonormal positiva E de V3, são dadas por:

n.= (3γ , 4 λ− 2γ ,−3 λ)E (6.112)

deverá ser um vetor normal ao plano π.Por outro lado o plano π, também pela Observação (6.2.1) item 1., deverá ortogonal ao

vetor w, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal positiva E de V3, são dadas por:

w.= (−1 , 2 ,−1)E , (6.113)


isto é, o vetor w é um vetor normal ao plano π.Logo devemos encontrar

λ , γ ∈ R ,

não ambos nulos, de modo

n ∥ w , ou seja, podemos encontrar δ ∈ R tal que n = δ · w ,

que, pela Proposição p3.7.3, é equivalente a, existir δ ∈ R, tal que3γ = −1.δ

4λ− 2γ = 2.δ

−3λ = −1.δ

, isto é, λ = −γ = 0 .

Logo a equação geral do plano π procurado, em relação ao sistema de coordenadas Orto-gonal Σ do espaço, será dada por:

π : (3γ) x+ (−6γ)y+ (3γ) z+ (−9γ) = 0 ,

comγ = 0 .

Por exemplo, se tomarmosγ = 1 ,

na equação acima. obteremos a seguinte equação geral para o plano π, em relação ao sistemade coordenadas ortoognal Σ do espaço, para o plano procurado:

π : 3 x− 6 y+ 3 z− 9 = 0 .


Capítulo 7

Posições Relativas

Neste capítulo estudaremos as posições relativas de reta com reta (no espaço e no plano),reta com plano e plano com plano (no espaço), do ponto de vista da Geometria Analítica.

Começaremos estudando a posição relativa entre:

7.1 Reta e Reta

A seguir trataremos seguinte problema: dadas duas retas r e s, saber dizer se elas são paralelas,concorrentes de um ponto ou reversas (no caso do espaço).

No caso delas serem paralelas, saber dizer se elas são coincidentes ou não.Para tanto, suponhamos que as retas r e s tenham por equações vetoriais, dadas por

r : X = R+ α · r , para cada α ∈ R e s : X = S+ β · s , para cada β ∈ R , (7.1)

onde R, S são dois pontos do espaço (ou do plano, respectivamente) e r, s são vetores (nãonulos) de V3 (ou V2, respectivamente).

Observemos que:

1. as retas r e s serão paralelas se, e somente se, os vetores diretores r e s são paralelos,isto é, são L.D. em V3 (ou V2, respectivamente) (veja a figura abaixo), ou ainda, existeum número real λo, de modo que

r = λo · s . (7.2)

>

=

r, s são L.D. r

sr = λo · s

s

No caso das retas r e s serem paralelas, podemos ter duas situações, a saber:

225

226 CAPÍTULO 7. POSIÇÕES RELATIVAS

1.(a) elas serão coincidentes se, e somente se, o ponto R, que pertence à reta r, pertencerà reta s ou, o ponto S, que pertence à reta s, pertencer a reta r (veja a figuraabaixo), isto é, existe um número real βo, tal que

R = S+ βo · s , (7.3)

ou ainda, existe um número real αo, de modo que

S = R+ αo · r . (7.4)

>=

r = s

s

r = λ · s

B

A

r, s são L.D e A ∈ s (ou B ∈ s)

1.(b) elas serão paralelas, não coincidentes, se o ponto R, que pertence à reta r, nãopertencer a reta s ou, o ponto S, que pertence à reta s, não pertencer a reta r (vejaa figura abaixo), isto é, não existe um número real βo, tal que

R = S+ βo · s ,

ou ainda, não existe um número real αo, tal que

S = R+ αo · r .

>

=

r

sr = λo · s

s

A

B

r, s são L.D. e A ∈ s (ou B ∈ r)

2. As retas r e s serão concorrentes de um ponto se, somente se, elas forem não paralelase forem coplanares, isto é, os vetores

r , s

são L.I. em V3 (ou V2, respectivamente) e os vetores

−→AB , r , s

são L.D. em V3 (ou V2, respectivamente - vide a figura abaixo).

7.1. RETA E RETA 227r, s são L.I e

−→AB, r, s são L.D. em V3 (ou V2)

>

r

r

A

js

B

s

3. As retas r e s são reversas se, e somente se, o vetores−→AB , r , s

são L.I. em V3 (veja a figura abaixo).

Notemos que no plano não existem retas reversas.

>

M-

s

rR

S

s

r

−→SR

Logo podemos estabelecer o seguinte roteiro para estudarmos a posição relativa de duasretas r e s dadas, em termos de suas equações vetoriais, por:

r : X = R+ α · r , para cada α ∈ R e s : X = S+ β · s , para cada β ∈ R ,

onde R, S são dois pontos do espaço (ou do plano, respectivamente) e r, s são vetores (nãonulos) de V3 (ou de V2, respectivamente).

Os vetores r e s podem ser L.D. ou L.I. em V3 (ou de V2, respectivamente).

1. se o vetoresr , s

são L.D. em V3 (ou de V2, respectivamente), podemos ter duas possibilidades:

1.(a) se o ponto R pertence à reta s, segue que as retas r e s serão retas coincidentes.De modo análogo, se o ponto S pertencer à reta r, as retas r e s serão retascoincidentes;


1.(b) se o ponto R não pertencer à reta s, as retas r e s serão retas paralelas, nãocoincidentes.De modo análogo, se o ponto S não pertencer à reta r, as retas r e s serão retasparalelas, não coincidentes.

2. se os vetoresr e s

são L.I. em V3 (ou de V2, respectivamente), teremos as seguintes situações:

2.(a) se estivermos no plano, as retas r e s serão retas concorrentes de um ponto doplano.

2.(b) se estivermos no espaço, teremos duas possibilidades, a saber:

2.b.1. se os vetores −→SR , r e s

são L.D. em V3, as retas r e s serão retas concorrentes de um ponto do espaço;2.b.2. se os vetores −→

SR , r e s

são L.I. em V3, as retas r e s serão retas reversas no espaço.

Com isto temos um modo analítico de verificar a posição relativa de duas retas do espaço(ou do plano, respectivamente), a saber:

Observação 7.1.1 Para a discussão a seguir, consideraremos as questões relacionadascom duas retas no espaço.

O caso da posição relativa de duas retas no plano, será tratado no final desta seção.Fixaremos um sistema de coordenads

Σ.= (O , E) = (O , e1 , e2 , e3)

(não necessariamente ortogonal) no espaço e suponhamos que os pontos R, S, cujascoordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadas por:

R.= (x1 , y1 , z1)Σ e S

.= (x2 , y2 , z2)Σ (7.5)

e os vetores u, v, cujas coordenadas, em relação à base (ordenada) E de V3, são dadaspor:

r.= (a , b , c)E e s

.= (m,n , p)E . (7.6)

1. As retas r e s serão paralelas se, e somente se, os vetores

r e s

são paralelos que, pela Proposição (3.7.4), é equivalente a existir um número realβo, tal que (ver (7.5))

a = βom

b = βo n

c = βo p

,

7.1. RETA E RETA 229

ou, a existir um número real αo, de modo que (ver (7.5))m = αo a

n = αo b

p = αo c

,

As retas r e s sendo paralelas, podemos ter as seguintes situações:

1.a. serão coincidentes se, e somente se, existe um número real βo, tal que (ver(7.5) e (7.6))

x1 = x2 + βo m

y1 = y2 + βo n

z1 = z2 + βo p

ou, existe um número real αo, tal quex2 = x1 + αo a

y2 = y1 + αo b

z2 = z1 + αo c

.

1.b. serão paralelas e não coincidentes se, e somente se, não existe um númeroreal βo, tal que (ver (7.5) e (7.6))

x1 = x2 + βom

y1 = y2 + βo n

z1 = z2 + βo p

,

ou não existe um número real αo, tal quex2 = x1 + αo a

y2 = y1 + αo b

z2 = z1 + αo c

.

2. serão concorrentes de um ponto se, e somente se, não existe um número real λo,tal que (ver (7.5) e (7.6))

r = λo · s e

∣∣∣∣∣∣∣x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

a b c

m n p

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 .

3. serão reversas se, e somente se, (ver (7.5) e (7.6))∣∣∣∣∣∣∣x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

a b c

m n p

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 .


Temos também a:

Observação 7.1.2

1. Se as retas r e s são concorrentes, o único ponto P, pertenecente a intersecção deambas, pode ser obtido resolvendo-se o sistema constituído pelas equações vetoriaisdas retas r e s, isto é, encontrar um ponto X do espaço, ou ainda, números reais

α e β

tais que X = R+ α · r ,X = S+ β · s

. (7.7)

2. Podemos também fazer um estudo da posição relativa entre as retas r e s, anali-sando o número de soluções do sistema obtido pelas equações vetoriais das retasdescrito acima.

Mais precisamente:

2.a. o sistema vetorial (7.7) acima tem uma única solução se, e somente se, asretas r e s são concorrentes de um ponto (que será a única solução do sistemavetorial acima).

2.b. o sistema vetorial (7.7) acima tem infinitas soluções se, e somente se, asretas r e s são paralelas e coincidentes.

2.c. o sistema vetorial (7.7) acima não tem soluções se, e somente se, ou as retasr e s são paralelas e não coincidentes ou as retas são reversas.

Um outro modo de olharmos a posição relativa de duas retas é dado pela:

Observação 7.1.3 Fixado um sistema de coordenadas Σ.= (O , E) (não necessariamente

ortogonal) e considerando-se os pontos A, B, cujas coordenadas, em relação ao sistemade coordenadas Σ do espaço, são dadas por:

R.= (x1 , y1 , z1)Σ e S

.= (x2 , y2 , z2)Σ (7.8)

e os vetores r, s, cujas coordenadas, em relação à (ordenada) base E de V3, são dadaspor:

r.= (a , b , c)E e s

.= (m,n , p)E (7.9)

(como na Observação (7.1.1)), então as questões acima podem ser colocadas da seguinteforma do ponto de vista de sistemas lineares.

1. As retas r e s são concorrentes se, e somente se, o sistema linear constituído pelasequações paramétricas das retas r e s admite uma única solução, isto é, existe umúnico ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, são dadas por:

X.= (x , y , z)Σ


e números reais

α ,β

tais que

x = x1 + αa ,

y = y1 + αb ,

z = z1 + αc ,

x = x2 + βm ,

y = y2 + βn ,

z = z2 + βp

. (7.10)

O sistema linear acima tem 6 equações lineares, com coeficientes reais, dados por

a , , b , c ,m ,n , p

e 5 incógnitas reais, a saber,

x , y , z , α , β .

2. as retas são paralelas e coincidentes se, e somente se, o sistema linear (7.10)acima admite infinitas soluções.

3. as retas são paralelas e não coincidentes ou reversas se, e somente se, o sistemalinear (7.10) acima não admite soluções.

15.a aula - 24.04.2014Nos dois exemplos abaixo consideraremos um sistema de coordenadas Σ

.= (O , E) do

espaço (não necessariamente ortogonal) fixado.

Exemplo 7.1.1 Estude a posição relativa das retas r e s que são dadas, em relação aosistema de coordenadas Σ do espaço, da seguinte forma:

r : (x , y , z)Σ = (1 ,−1 , 1)Σ + α · (−2 , 1 , 1)E , para cada α ∈ R , (7.11)

s :

x+ y = 3

x+ y− z = 6. (7.12)

Resolução:Observemos que a reta s está sendo dada como uma interseção de dois planos.Encontremos uma equação vetorial associada a reta s.Para isto consideremos

y = β

no sistema linear (7.12) que determina a reta s.


Deste modo, o sistema linear (7.12) tornar-se-á:x+ β = 3

x+ β− z = 6,

ou seja,

x = 3− β

y = β

z = x+ β− 6

,

ou ainda,

x = 3+ β · (−1)

y = 0+ β · 1z = −3+ β · 0

, para cada β ∈ R .

Logo uma equação vetorial da reta s será dada por:

s : (x , y , z)Σ = (3 , 0 ,−3)Σ + β · (−1 , 1 , 0)E , para cada β ∈ R . (7.13)

Logo os pontos R, S, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, são dadas por:

R.= (1 ,−1 , 1)Σ e S

.= (3 , 0 ,−3)Σ (7.14)

pertencem às retas r e s, respectivamente e os vetores r, s, cujas coordenadas, em relação àbase (ordenada) E de V3, são dadas por:

r.= (−2 , 1 , 1)E e s

.= (−1 , 1 , 0)E (7.15)

serão vetores diretores das retas r e s, respectivamente.Notemos que os vetores

r , s

são L.I em V3.A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.Logo, ou as retas r e s são concorrentes ou são reversas.Para sabermos em que situação estamos, estudemos se os vetores

−→RS , r s

são L.D. ou L.I. em V3.Notemos que, da Proposição (4.0.2) e de (7.14), segue que

−→RS= S− R = (2 , 1 ,−4)Σ . (7.16)

Deste modo, teremos:∣∣∣∣∣∣∣2 1 −4

−1 1 0

−2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 2+ 0+ 4− 8+ 0+ 1 = −1 = 0 .

Logo, da Proposição (3.7.5), segue que os vetores−→RS , r , s

são L.I. em V3, e assim, as retas r e s são retas reversas.


Exemplo 7.1.2 Consideremos as retas r e s cujas equações, dadas em relação ao sis-tema de coordenadas Σ do espaço, são:

r :

x = my− 1

z = y− 1(7.17)

s : x =y

m= z , (7.18)

onde m é um número real, não nulo.Encontre, se possível, os valores do número real m, de modo que:

1. as retas r e s sejam retas paralelas e coincidentes;

2. as retas r e s sejam retas paralelas e não coincidentes;

3. as retas r e s retas sejam concorrentes;

4. as retas r e s sejam rtas reversas.

Resolução:Encontremos as equações vetoriais das retas r e s.Comecemos pela reta r.Observemos que a reta r está sendo dada pela intersecção de dois planos, cujas equações

gerais, s em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadas.Consideremos

y = α

no sistema linear (7.17), que define a reta r.Deste modo, ele tornar-se-á:

x = mα− 1

y = α

= α− 1

, isto é,

x = −1+ α ·my = 0+ α · 1= −1+ α · 1

, para cada α ∈ R .

Logo uma equação vetorial da reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço,será dada por:

r : (x , y , z)Σ = (−1 , 0 ,−1)Σ + α · (m, 1 , 1)E , para cada α ∈ R . (7.19)

A reta s está sendo dada por suas equações na forma simétrica, em relação ao sistema decoordenadas Σ do espaço.

Logo, se tomarmos

x = β ,


nesta equações, obteremos: x = βy

m= β

z = β

,

isto é,

x = β

y = βm

z = β

,

ou seja,

x = 0+ β · 1y = 0+ β ·mz = 0+ β · 1

, para cada β ∈ R .

Logo uma equação vetorial da reta s, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço,será dada por:

s : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 0)Σ + β · (1 ,m , 1)E , para cada β ∈ R . (7.20)

Logo os pontos R e S, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, são dadas por:

R.= (−1 , 0 , 1)Σ e S

.= (0 , 0 , 0)Σ (7.21)

pertencem às retas r e s, respectivamente e os vetores r e s, cujas coordenadas, em relação àbase (ordenada) E de V3, são dadas por:

r.= (m, 1 , 1)E e s

.= (1 ,m , 1)E (7.22)

serão vetores diretores das retas r e s, respectivamente.Com isto temos que:

1. as retas r e s serão paralelas se, e somente se, existir λ ∈ R, tal que

r = λ · s ,

uue, por (7.22), é equivalente a:

(m, 1 , 1)E =

=(λ ,mλ ,λ)E︷︸︸︷λ · (1 ,m , 1)E ,

ou seja,

m = λ

1 = λm

1 = λ

ou ainda, m = λ = 1 .

As retas r, s serão coincidentes se, e somente se,

m = 1


e o pontoS = (0 , 0 , 0)Σ ∈ s ,

deverá pertencer à reta r.

Para isto. deverá existir α ∈ R, tal que

S = R+ α · r ,

que, de (7.21) e (7.22), é equivalente à:

(0 , 0 , 0)Σ = (−1 , 0 , 1)Σ + α · (1 , 1 , 1)E

ou seja,

0 = −1+ α

0 = α

0 = −1+ α

ou ainda,

α = 1

α = 0,

o que é impossível.

Logo, não existe um número real m, tal que as retas r e s sejam paralelas e coincidentes.

2. Pelo que vimos acima, para serem paralelas e não coincidentes basta que

m = 1 ,

isto é, as equações vetorias das retas r e s, em relação ao sistema de coordenadas Σ doespaço, serão dadas por:

r : (x , y , z)Σ = (−1 , 0 ,−1)Σ + α · (1, 1, 1)E , para cada α ∈ R ,

s : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 0)Σ + β · (1 , 1 , 1)E , para cada β ∈ R .

Notemos que, os vetoresr e s

são L.I. em V3 se, e somente se,m = 1 ,

ou seja, neste caso as retas r, s serão retas concorrentes ou serão retas reversas.

3. Notemos que, sendo os vetores r, s são L.I. em V3, isto é ,

m = 1 ,

para que as retas r e s sejam concorrentes, é necessário e suficiente, que os vetores

−→RS , r , s

sejam L.D. em V3.


Notemos que, da Proposição (4.0.2) e de (7.14), segue que

−→RS= S− R = (−1 , 0 , 1)Σ . (7.23)

Logo, pelo Corolário (3.7.1), deveremos ter:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣−1 0 −1

m 1 1

1 m 1

∣∣∣∣∣∣∣= −1− 0−m2 + 1+m− 0 = −m2 +m,

isto é,

m = 0 ou m = 1 .

Observemos que

m = 0

(das hipótese iniciais) e

m = 1

pois os vetores r , s devem ser L.I. em V3.

Assim não existe um número real m, de modo que as retas r e s sejam retas concorrentes.

4. Supondo que os vetores r, s são L.I. em V3, isto é , que

m = 1 ,

para que as retas r e s sejam retas reversas, devemos ter os vetores

−→RS , r , s

L.I. em V3, que pela Proposição (3.7.5), é equivalente à:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣−1 0 −1

m 1 1

1 m 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −m2 +m,

isto é,

m = 0 e m = 1 .

Assim para as retas r e s serem retas reversas, basta que

m = 0 , 1 .

7.2. RETA E PLANO 237

7.2 Reta e Plano

Nesta seção vamos estudar as posições relativas entre uma reta r e um plano π, ou seja:

se a reta r é paralela ao plano π e não está contida no mesmo;

se a reta r está contida no plano π, em particular, a reta será paralela ao plano π;

se a reta r e o plano π são concorrentes de um ponto, ou seja, se a reta r intercepta oplano π em um único ponto.

As figuras abaixo ilustram as situações acima.

r ∥ π

π

r ⊆ π

r ∩ π = P

P

Observemos que:

1. A reta r está contida no plano π se, e somente se, a intersecção da reta r com o planoπ tem infinitos pontos (veja a figura abaixo).

r ⊆ π

π

2. A reta r é paralela e não está contida no plano π se, e somente se, a intersecção da retar com o plano π é vazia (veja a figura abaixo);

r ∥ π

π


3. A reta r é concorrente ao plano π se, e somente se, a intersecção da reta r com o planoπ é um único ponto (veja a figura abaixo).

P

π

r ∩ π = P

Logo para estudarmos a posição relativa entre uma reta r e um plano π, basta estudarmoso tipo da intersecção de ambos.

Suponhamos que a reta r tem por equação vetorial:

r : X = R+ α · r , para cada α ∈ R (7.24)

e o plano π tem equação vetorial:

π : X = A+ λ · u+ β · v , para cada λ, β ∈ R (7.25)

onde os vetoresu , v

são L.I. em V3.Observemos que:

1. A reta r e o plano π serão paralelos se, e somente se, os vetores

r , u , v

são L.D. em V3 (veja a figura abaixo) .

-r

r

πN

R

9u

v

A


Neste caso para sabermos se a reta r está contida ou não no plano π, basta verificarmosse o ponto R, que pertence à reta r, pertence ou não ao plano π, isto é, se existem

α ,β ∈ R

tais queR = A+ λ · u+ β · v .

2. A reta r e o plano π são concorrentes de um ponto se, e somente se, os vetores

r , u , v

são L.I. em V3 (veja a figura abaixo) .

r

π

P

N

r

9u

v

Para encontrarmos o pontor ∩ π = P ,

basta encontrarmosα , λ , β ∈ R

tais queR+ α · r = P = A+ λ · u+ β · v .

Observação 7.2.1

1. Fixemos um sistema de coordenadas Σ.= (O , E) = (O , e1 , e2 , e3) (não necessaria-

mente ortogonal) no espaço.

Suponhamos que nas equações (7.24) e (7.25), as coordenadas dos pontos R e A,em relação aos sistema de coordenadas Σ do espaço, são dadas por:

R.= (xo , yo , zo) e A

.= (x1 , y1 , z1) , (7.26)

e as coordenadas dos vetores r, u, v, em relação à base (ordenada) E de V3, sãodadas por:

r.= (m,n , p)E , u

.= (u1 , u2 , u3)E e v

.= (v1 , v2 , v3)E . (7.27)

Então:


(a) A reta r estará contida no plano π se, e somente se,∣∣∣∣∣∣∣m n p

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

e existemλo , βo ∈ R

tais que

(xo , yo , zo)Σ = (x1 , y1 , z1)Σ + λo · (u1 , u2 , u3)E + βo · (v1 , v2 , v3)E .

(b) A reta r será paralela ao plano π e não está contida no plano π se, e somentese, ∣∣∣∣∣∣∣

m n p

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

e não existemλo , βo ∈ R

tais que

(xo , yo , zo)Σ = (x1 , y1 , z1)Σ + λo · (u1 , u2 , u3)E + βo · (v1 , v2 , v3)E .

(c) A reta r será concorrente ao plano π se, e somente se,∣∣∣∣∣∣∣m n p

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 .

2. Se a reta r tem por equação vetorial (7.24) e o plano π tem por equação geral,em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, a equação:

π : ax+ by+ c z+ d = 0 , (7.28)

ondea2 + b2 + c2 = 0 ,

então a posição relativa entre a reta r e o plano π, pode ser estudada em termosdo número de soluções do sistema linear:

x = xo + α ·my = yo + α · nz = zo + α · pax+ by+ c z+ d = 0

(7.29)


ou ainda, 1 · x+ 0 · y+ 0 · z−mα = xo

0 · x+ 1 · y+ 0 · z− nα = yo

0 · x+ 0 · y+ 1 · z− pα = zo

a · x+ b · y+ c · z+ 0 · α = −d

, (7.30)

ou seja, um sitema linear de de 4 equações lineares, com coeficientes reais, a 4

incógntas reais, a saber:x , y , x , α .

Lembremos, do Apêndice (A), que:

(a) O sistema linear (7.30) tem infinitas soluções ou não tem solução se, e so-mente se,

0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −m

0 1 0 −n

0 0 1 −p

a b c 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1.

∣∣∣∣∣∣∣1 0 −n

0 1 −p

b c 0

∣∣∣∣∣∣∣− 0.

∣∣∣∣∣∣∣0 0 −n

0 1 −p

a c 0

∣∣∣∣∣∣∣+ 0.

∣∣∣∣∣∣∣0 1 −n

0 0 −p

a b 0

∣∣∣∣∣∣∣− (−m).

∣∣∣∣∣∣∣0 1 0

0 0 1

a b c

∣∣∣∣∣∣∣= nb+ p c+ma = ma+ nb+ p c .

Conclusão: a reta r e o plano π são paralelos (contida ou não contida noplano) se, e somente se

ma+ nb+ p c = 0 . (7.31)

(b) O sistema linear (7.30) tem uma única solução se, e somente se,

0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −m

0 1 0 −n

0 0 1 −p

a b c 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ma+ nb+ p c .

Conclusão: a reta r e o plano π são concorrentes de um único ponto se, esomente se

ma+ nb+ p c = 0 . (7.32)

Com isto temos o seguinte roteiro para se estudar a posição relativa entre uma reta r eum plano π:

1. Encontre um vetor diretor r da reta r, cujas coordenadas, em relação à bae (ordenada)E de V3, são dadas por:

r.= (m,n , p)E


e uma equação geral do plano π:

ax+ by+ c z+ d = 0 ,

em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço.

2. Sema+ nb+ p c = 0 ,

ou a reta r é paralela, não está contida, ao plano π, ou a reta r está contida no plano π.

Para decidirmos qual das duas situações acima ocorrerá, verficamos se o ponto A, quepertence à reta r, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço,são dadas por:

A = (xo , yo , zo)Σ ,

pertence ao plano π, ou seja, se suas coordenadas satisfazem a equação geral do planoπ, ou ainda

axo + byo + c zo + d = 0 .

Se o ponto A pertencer ao plano π teremos que a reta r estará contida no plano π, casocontrário, a reta r é paralela ao plano π, mas não está contida no plano π.

3. Sema+ nb+ pc = 0

a reta r será concorrente ao plano π.

Para obter as coordenadas do ponto de intersecção basta resolver o sistema linear de-terminado pelas equações paramétricas da reta e a equação geral do plano (ver (7.29)),dadas em relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço.

Observação 7.2.2 Fixamos um sistema de coordenadas ortogonal

Σ.= (O , E) = (O , e1 , e2 , e3)

no espaço e suponnha que a reta r e o plano π são dadas, em relação ao sistema decoordenadas Σ do espaço, como em (7.24) e (12.42), respectivamente.

Lembremos que o vetorn

.= (a , b , c)E

é um vetor normal ao plano π e que

r • n = ma+ nb+ p c .

Logo, nesta situação, a Observação (7.2.1) acima, pode ser colocada na seguinteforma:

1. A reta r será paralela ou está contida no plano π se, e somente se

r • n = 0 , (7.33)

ou seja, um vetor diretor da reta r deverá ser ortogonal a um vetor normal aoplano π (vide a figura abaixo).


-

r

r

6

π

n

r ′

r ′~

2. A reta r será concorrente ao plano π se, e somente se

r • n = 0 , (7.34)

isto é, um vetor diretor da reta r não poderá ser ortogonal a um vetor normal aoplano π (vide a figura abaixo).

r

π

P

6n

r

Consideremos os exemplos a seguir os:

Exemplo 7.2.1 Fixemos um um sistema de coordenadas

Σ.= (O , E) = (O , e1 , e2 , e3)

no espaço.Estudar a posição relativa da reta r e do plano π que são dados, em relação ao

sistema de coordenadas Σ do espaço, por:

r :x− 1

2= y = z (7.35)

π : (x , y , z)Σ = (3 , 0 , 1)Σ + β · (1 , 0 , 1)E + γ · (2 , 2 , 0)E , para cada β, γ ∈ R . (7.36)

Resolução:Encontremos uma equação vetorial para a reta r.Notemos que (7.35) são as equações, na forma simétrica, da reta r, em relação ao sistema

de coordenadas Σ do espaço.


Para obteremos as equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadasΣ do espaço, basta fazer:

x− 1

2= y = z = α ,

isto é, x− 1

2= α

y = α

z = α

,

ou ainda, r

x = 1+ 2 · αy = 0+ 1 · αz = 0+ 1 · α

, para cada α ∈ R , (7.37)

ou seja, estas são as equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadasΣ do espaço.

Definido-se o ponto R ∈ r, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ,são dadas por:

R.= (1 , 0 , 0)Σ (7.38)

e o vetor r ∥ r, cujas coordenadas, em relação à base E de V3, são dadas por:

r.= (2 , 1 , 1)E , (7.39)

temos que uma equação vetorial da reta r será:

X = R+ α · r , para α ∈ R ,

isto é,r : (x , y , z)Σ = (1 , 0 , 0)Σ + α · (2 , 1 , 1)E , para cada α ∈ R . (7.40)

Definamos o ponto A ∈ π e os vetores u , v ∥ π, cujas coordenadas, em relação ao sistemade coordenadas Σ do espaço, e em relação à base (ordenada) E de V3, respectivamente, sãodadas por:

A.= (3 , 0 , 1)Σ , (7.41)

u.= (1 , 0 , 1)E , (7.42)

v.= (2 , 2 , 0)E . (7.43)

Estudemos a dependência linear dos vetores

r , u , v .

Para isto, pelo Corolário (3.7.1), como∣∣∣∣∣∣∣2 1 1

1 0 1

2 2 0

∣∣∣∣∣∣∣ = 0+ 2+ 2− 0− 0− 4 = 0 ,


segue que os vetoresr , u , v

são L.D. em V3.Portanto, pela Observação (7.2.1) item 1., ou a reta r está contida no plano π ou a reta r

é paralela e não está contida no plano π.Para sabermos em que situação estamos basta verificar se o ponto R (que pertence a reta

r) também pertence ao plano π, ou seja, devemos tentar encontrar

β , γ ∈ R ,

tais queR = A+ β · u+ γ · v ,

isto é,

(1 , 0 , 0)Σ = (3 , 0 , 1)Σ + β · (1 , 0 , 1)E + γ · (2 , 2 , 0)E ,

isto é,

1 = 3+ β+ 2 · γ0 = 0+ 0 · β+ 2 · γ0 = 1+ β+ 0 · γ

,

ou ainda, β = −2

γ = 0

β = −1

,

que é um sistena linear impossível (isto é, não tem solução).Logo o ponto A (que pertence a reta r) não pertence ao plano π, logo podemos concluir

que a reta r e o plano π são paralelos e a reta r não está contida no plano π.

Exemplo 7.2.2 Fixemos um um sistema de coordenadas ortogonal

Σ.= (O , E) = (O , e1 , e2 , e3)

no espaço.Determine os números reais m, n para que a reta r, cuja equação vetorial, em

relação ao sistema de coordenadas Σ do espaço, dada por:

r : (x , y , z)Σ = (n , 2 , 0)Σ + α · (2 ,m ,m)E , para cada α ∈ R (7.44)

esteja contida no plano π, cuja equação geral, em relação ao sistema de coordenadasΣ do espaço, é dada pr:

π : x− 3 y+ z− 1 = 0 . (7.45)

Resolução:Definamos o ponto A ∈ r e o vetor r ∥ r, cujas coordenadas, em relação aos sistema de

coordenadas ortogonal Σ e à base (ordenada) ortonormal (positiva) E , respectivamente, sãodadas por:

A.= (n , 2 , 0)Σ e r

.= (2 ,m ,m)E . (7.46)


Então a equação vetorial da reta r será da forma:

X = A+ α · r , para cada α ∈ R .

Como o sistema de coordenadas Σ do espaço é ortogonal, temos que o vetor

n.= (1 ,−2 , 1)E (7.47)

é um vetor normal ao plano π.Logo, pela Observação (7.2.2), uma condição necessária para que a reta r esteja contida

no plano π é que

0 = r • n= (2 ,m ,m)E • (1 ,−3 , 1)E

= 2− 3m+ 1 = 2− 2m ,

ou seja,m = 1 .

Logo sem = 1 ,

sabemos que a reta r está contida no plano π ou será paralela ao mesmo e não estará contidano plano π.

Para a reta estar contida precisamos que, por exemplo, o ponto (veja (7.46))

A.= (n , 2 , 0)Σ ∈ r ,

pertença ao plano π que, por (7.45), é equivalente à, suas coordeanadas satisfazer a equaçãogeral do plano π, ou seja:

n− 3 · 2+ 0− 1 = 0 , isto é, n = 7 .

Logo a reta r, para estar contida no plano π, deverá ter equação vetorial, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço, dada por:

r : (x , y , z)Σ = (7 , 2 , 0)Σ + α · (2 , 1 , 1)E , para ca α ∈ R .

7.3 Plano e Plano

Nosso problema agora será estudar a posição relativa de dois planos, que denotaremos por π1

e π2.Ou seja, pretendemos saber se os planos π1 e π2 são paralelos e distintos, coincidentes ou

concorrentes (de uma reta - veja a figura abaixo).

7.3. PLANO E PLANO 247

π1 = π2

π2

π1

π2

π1

Suponhamos que os planos π1 e π2 tenham por equações vetoriais dadas por:

π1 : X = A1 + α · u1 + β · v1 , para cada α ,β ∈ R (7.48)

π2 : X = A2 + λ · u2 + γ · v2 , para cada λ , γ ∈ R . (7.49)

Observemos que:

(PP1) Os planos π1 e π2 serão paralelos (coincidentes ou distintos) se, e somente se, quaisquertrês vetores do conjunto

u1 , v1 , u2 , u3

são L.D. em V3 (veja a figura abaixo).

π1

:u1

v1

A1

π2 s

*

u2

v2

A2

Neste caso para sabermos se os planos π1, π2 são coincidentes ou não, basta verificarse o ponto A1, que pertence ao plano π1, pertencerá ao plano π2 (ou o ponto A2, quepertence ao plnao π2, petencerá ao plano π1), isto é, se existem

λ , γ ∈ R ,

tais queA1 = A2 + λ · u2 + γ · v2

(ou existem α ,β ∈ R tal que

A2 = A1 + α · u1 + β · v1).


(PP2) Os planos π1 e π2 serão concorrentes (de uma reta) se, e somente se, existem três vetoresdo conjunto

u1, v1, u2, u3

que são L.I. em V3 (veja a figura abaixo).

π1

π2 s

*M

u1v1

u2v2

A1

A2

Observação 7.3.1

1. Fixemos um sistema de coordenadas (não necessariamente ortogonal)

Σ.= (O , E) = (O , e1 , e2 , e3) .

Suponhamos que nas equações vetoriais dos planos π1 e π2, (7.48) e (7.49), tenha-mos as seguintes coordenadas para os pontos e os vetores envolvidos, em relaçãoao sistema de coordenadas Σ do espaço, e em relação à base (ordenada) E de V3:

A1.= (x1 , y1 , z1)Σ , (7.50)

A2.= (x2 , y2 , z2)Σ , (7.51)

u1.= (m1 , n1 , o1)E , (7.52)

v1.= (p1 , q1 , r1)E , (7.53)

u2.= (m2 , n2 , o2)E , (7.54)

v2.= (p2 , q2 , r2)E . (7.55)

Então:

(a) De (PP1) acima e do Corolário (3.7.1), segue que os planos π1 e π2 serãoparalelos (coincidentes ou distintos) se, e somente se,∣∣∣∣∣∣∣

m1 n1 o1

p1 q1 r1

m2 n2 o2

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣m1 n1 o1

m2 n2 o2

p2 q2 r2

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣p1 q1 r1

m2 n2 o2

p2 q2 r2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 .

No caso acima, eles serão coincidentes se existirem

λ2 , γ2 ∈ R ,

tais que

(x1 , y1 , z1)Σ = (x2 , y2 , z2)Σ + λ2 · (m2 , n2 , o2)E + γ2 · (p2 , q2 , r2)E


(ou existiremα1 , β1 ∈ R ,

tais que

(x2 , y2 , z2)Σ = (x1 , y1 , z1)Σ + α1 · (m1 , n1 , o1)E + β1 · (p1 , q1 , r1)E ).

Caso contrário (isto é, se não existirem tais números reais) os planos π1 eπ2 serão paralelos e distintos.

(b) De (PP2) acima e da Proposição (3.7.5) , segue que os planos π1 e π2 serãoconcorrentes (de uma reta) se, e somente se,∣∣∣∣∣∣∣

m1 n1 o1

p1 q1 r1

m2 n2 o2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ou

∣∣∣∣∣∣∣m1 n1 o1

m2 n2 o2

p2 q2 r2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ou

∣∣∣∣∣∣∣p1 q1 r1

m2 n2 o2

p2 q2 r2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 .

2. Fixemos um sistema de coordenadas

Σ.= (O , E) = (O , e1 , e2 , e3) ,

não necessariamente ortogonal.

Suponhamos que os planos π1 e π2 são dados por suas equações gerais, em relaçãoao sistema de coordenadas Σ do espaço, por:

π1 : a1 x+ b1 y+ c1 z+ d1 = 0 ,

π2 : a2 x+ b2 y+ c2 z+ d2 = 0 ,

ondeai

2 + bi2 + ci

2 = 0 , para cada i ∈ 1 , 2 .

Observemos que:

(a) os planos π1 e π2 serão coincidentes se, e somente se, os coeficientes

a2 , b2 , c2 , d2

são múltiplos dos coeficientes

a1 , b1 , c1 , d1 ,

isto é, existe um número real λ = 0, de modo que

a2 = λa1 , b2 = λb1 , c2 = λ c1 e d2 = λd1 . (7.56)

Neste caso, teremos que a equação geral do plano π2, em relação ao sistemade coordenadas Σ do espaço, será dada por: tornar-se-á:

π2 : (λa1) x+ (λb1)y+ (λ c1) z+ (λd1) = 0 ,

que, dividindo-se por λ = 0, obtem-se:

π2 : a1 x+ b1 y+ c1 z+ d1 = 0 ,

que é a equação geral do plano π1, em relação ao sistema de coordenadas Σ

do espaço.


(b) os planos π1 e π2 serão paralelos não coincidentes se, e somente se, os coefi-cientes

a2 , b2 , c2

são múltiplos dos coeficientes

a1 , b1 , c1 ,

isto é, existe um número real λ = 0, tal que

a2 = λa1 , b2 = λb1 e c2 = λc1 ,

masd2 = λd1 .

Neste caso temos que a equação geral do plano π2 tornar-se-á:

π2 : (λa1) x+ (λb1)y+ (λ c1) z+ d2 = 0

ed2 = λd1 .

(c) os planos π1 e π2 serão concorrentes, de uma reta se, e somente se, os coefi-cientes

a2 , b2 , c2

não são múltiplos dos coeficientes

a1 , b1 , c1 ,

isto é, não existe um número real λ, de modo que

a2 = λa1 , b2 = λb1 e c2 = λ c1 .

3. Resumindo, teremos as seguintes situações:

(a) os planos π1 e π2 serão coincidentes se, e somente se, existe um número realλ = 0, tal que

a2 = λa1 , b2 = λb1 , c2 = λc1 e d2 = λd1 . (7.57)

(b) os planos π1 e π2 serão paralelos não coincidentes se, e somente se, existeum número real λ = 0, tal que

a2 = λa1 , b2 = λb1 e c2 = λ c1 , (7.58)

masd2 = λd1 . (7.59)


(c) os planos π1 e π2 seão concorrentes de uma reta se, e somente se, não existeum número real λ, tal que

a2 = λa1 , b2 = λb1 e c2 = λ c1 . (7.60)

4. Se o sistema de coordenadas

Σ.= (O , E) = (O , e1 , e2 , e3)

é ortogonal, nosso trabalho será facilitado como veremos a seguir.

Suponhamos que as equações gerais dos planos π1 e π2, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ do espaço, sejam dadas por: sejam:

π1 : a1 x+ b1 y+ c1 z+ d1 = 0 ,

π2 : a2 x+ b2 y+ c2 z+ d2 = 0 ,

ondeai

2 + bi2 + ci

2 = 0 , para cada i ∈ 1 , 2 .

Logo os vetores, cujas coordenadas em relação à base (ordenada) orotonormal(positiva) E de V3, são dadas por:

n1.= (a1 , b1 , c1)E e n2

.= (a2 , b2 , c2)E (7.61)

serão vetores normais aos planos π1 e π2, respectivamente.

Com isto temos as seguintes situações:

(a) os planos π1 e π2 serão paralelos ou coincidentes se, e somente se, os vetores

n1 e n2

são paralelos, isto é, são L.D. em V3 (veja a figura abaixo).

6

π1 = π2

6

π2

?

π1

6

n1

n2

n2

n1


ou seja, existe um número real λ = 0, tal que

n2 = λ · n1 ,

isto é,(a2 , b2 , c2)E = λ · (a1 , b1 , c1)E ,

ou ainda, as equações dos planos π1 e π2, em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ do espaço, serão da forma:

π1 : a1 x+ b1 y+ c1 z+ d1 = 0 ,

π2 : (λa1) x+ (λb1)y+ (λ c1) z+ d2 = 0 .

Assim, do item 2(a) desta Observação, segue que

i. os planos serão coincidentes se, e somente se,

d2 = λd1 ,

ou seja, as equações gerias dos planos, em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ do espaço, serão da forma:

π1 : a1 x+ b1 y+ c1 z+ d1 = 0,

π2 : (λa1) x+ (λb1)y+ (λ c1) z+ (λd1) = 0 .

Como λ = 0, segue que:

π1 , π2 : a1 x+ b1 y+ c1 z+ d1 = 0 , (7.62)

ou seja, os planos π1 e π2 terão a mesma equação geral, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ do espaço.

ii. os planos π1 e π2 serão paralelos e não coincidentes se, e somente se,

d2 = λd1 ,

ou seja, as equações gerais dos planos π1 e π2, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ do espaço, serão da forma:

π1 : a1 x+ b1 y+ c1 z+ d1 = 0 ,

π2 : (λa1) x+ (λb1)y+ (λ c1) z+ d2 = 0 ,

e d2 = λd1 . (7.63)

(b) os planos π1 e π2 serão concorrentes (de uma reta) se, e somente se, os vetoresn1 e n2 não são paralelos, isto é, são L.I. em V3 ( veja a figura abaixo), ouseja, não existe um número real λ = 0, tal que

n2 = λ · n1 ,

isto é,(a2 , b2 , c2)E = λ · (a1 , b1 , c1)E .


R

n1

n2

π2

π1

Para os dois exemplos abaixo fixaremos um sistema de coordenadas ortogonal

Σ.= (O , E) = (O , e1 , e2 , e3)

do espaço.

Exemplo 7.3.1 Estude a posição relativa dos planos π1 e π2, cujas equação geral evetorial, respectivamente, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dadas por:

π1 : x− y+ 2 z− 2 = 0 , (7.64)

π2 : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 1)Σ + α · (1 , 0 , 3)E + β · (−1 , 1 , 1)E , para α ,β ∈ R . (7.65)

Se os planos π1 e π2 forem concorrentes de uma reta r, encontrar uma equaçãovetorial da reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ.

Resolução:Sejam A ∈ π2, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, são

dadas porA

.= (1 , 0 , 0)Σ , (7.66)

e u , v ∥ π2, vetores diretores do plano π2, cujas coordenadas, em relação à base ortonormalE , são dadas por:

u.= (1 , 0 , 3)E e v

.= (−1 , 1 , 1)E . (7.67)

Para encontrar uma equação geral do plano π2, m relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, lembremos que um ponto

X.= (x , y , z)Σ (7.68)

pertence ao plano π2 se, e somente se, os vetores

−→AX , u , v

são L.D. em R3 que, de (7.66), (7.67), (7.68) e pelas Proposições ??? e ???, é equivalente à:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣x− 0 y− 0 z− 1

1 0 3

−1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ Exercício= −3 x− 4 y+ z− 1 ,


isto é, uma equação geral do plano π2, m relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, serádada por:

π2 : −3 x− 4 y+ z− 1 = 0 . (7.69)

Logo, de (7.64) e (7.69), segue que os vetores, cujas coordenadas, em relação à baseortonormal E , são dadas por:

n1.= (1 ,−1 , 2)E e n2

.= (−3 ,−4 , 1)E (7.70)

serão vetores normais aos planos π1 e π2, respectivamente.Como os vetores

n1, n2

são L.I. em R3 (não são paralelos), da Observação (7.3.1) item 4., temos que os plano π1 e π2

são concorrentes de uma reta r.Encontremos uma equação vetorial da reta r, em relação ao sistema de coordenadas

ortogonalΣ.Para isto, basta estudarmos o sistema linear, obtido das equações gerais dos planos π1 e

π2, ou seja, formado pelas equações (7.64) e (7.69):x− y+ 2 z− 2 = 0

−3 x− 4 y+ z− 1 = 0.

Tomando-sex = γ ,

no sistema linear aicma, segue que o sistema linear acima tornar-se-á:x = γ

−y+ 2 z = 2− γ

−4 y+ z = 1+ 3γ

, isto é,

x = γ

y = −γ

z = 1− 2γ

,

ou,

x = 0+ 1 · γy = 0+ (1−) · γz = 1+ (−2) · γ

, para γ ∈ R .

Definido-se o ponto R, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortoognalΣ, são dadas por:

R.= (0 , 0 , 1)Σ

e o vetor r, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E , são dadas por:

r.= (1 ,−1 ,−2)E ,

temos que um equação vetorial da reta r, em relação ao sistema de coordenadas ortoognal Σserá dada por:

X = R+ γ · r , para γ ∈ R ,

isto é,r : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 1)Σ + γ · (1,−1,−2)E , para γ ∈ R .


Exemplo 7.3.2 Encontre o valor do número real m, tal que os planos π1 e π2, cujasequações vetoriais e geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, respec-tivamente, são dadas por:

π1 : (x , y , z)Σ = (1 , 1 , 0)Σ + α · (m, 1 , 1)E + β · (1 , 1 ,m)E , para α ,β ∈ R . (7.71)

π1 : 2 x+ 3 y+ 2 z+ 3 = 0 , (7.72)

sejam paralelos e não coincidentes.

Resolução:Notemos que o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são

dadas por:A

.= (1 , 1 , 0)Σ (7.73)

é um ponto do plano π1 e os vetores, u, v, , cujas coordenadas, em relação à base E , sãodadas por:

u.= (m, 1 , 1)E e v

.= (1 , 1 ,m)E (7.74)

são vetores diretores do plano π1, sem = 1 . (7.75)

Para encontrar a equação geral do plano π1, em relação ao sistema de coordenadas Σ

lembramos que um ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, sãodadas por

X = (x , y , z)Σ (7.76)

pertencerá ao plano π1 se, e somente se, os vetores

−→AX , u , v

são L.D. em R3, que pelas Proposições ??? e ???, é equivalente à:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣x− 1 y− 1 z− 0

m 1 1

1 1 m

∣∣∣∣∣∣∣= (x− 1)(m− 1) − (y− 1)

(m2 − 1

)+ z(m− 1)

= (m− 1)x−(m2 − 1

)y+ (m− 1)z+m(m− 1),

isto é, uma equação geral do plano π1, em relação ao sistema de coordenadas Σ, será dadapor:

π1 : (m− 1) x−(m2 − 1

)y+ (m− 1) z+m(m− 1) = 0 . (7.77)

Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, segue, de (7.72) e (7.77), que os vetoresn1, n2, cujas coordenada, em relação à base ortonormal E , dados por:

n1.=(m− 1 ,m2 − 1 ,m− 1

)E e n2

.= (2 , 3 , 2)E (7.78)

são vetores normais aos planos π1 e π2, respectivamente.


Para que estes vetores sejam paralelos, basta que existe um número real λ tal que

n1 = λ · n2 . (7.79)

Notemos que, na situação acima, para os planos π1 e π2 não sejam coincidentes, de (7.72)e (7.77), basta que

−m(m− 1) = λ · 3 , (7.80)

ou seja, de (7.75), (7.78), (7.79) e (7.80), deveremos ter:

m− 1 = 2 λ

−(m2 − 1) = 3 λ

m− 1 = 2 λ

m(m− 1) = 3 λ

m = 1

isto é,

m− 1 = 2 λ

1−m2 = 3 λ

m(m− 1) = −3 λ

m = 1

2m2 + 3m− 5 = 0

λ =m− 1

2−m(m− 1) = −3λ

m = 1

ou

m = −5

2m = 1

λ =m− 1

2−m(m− 1) = −3λ

m = 1

.

Comom = 1 ,

a única possibilidade seria

m = −5

2.

Neste caso

λ =m− 1

2=

−5

2− 1

2= −

7

4.

Com isto, deveremos ter

−m(m− 1) = −

(−5

2

) (−5

2− 1

)=

35

4= −

21

4= 3 λ .

Logo se

m = −5

2,

os planos π1 e π2, , cujas equações vetoriais e geral, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, respectivamente, são dadas por (7.71) e (7.72), serão paralelos e distintos.

Capítulo 8

Perpendicularismo e Ortogonalidade

Ao longo de todo este capítulo fixaremos um sistema de coordenadas ortogonal

Σ = (O , E) = (O , e1 , e2 , e3) ,

no espaço.

O objetivo deste capítulo é estudar a perpendicularidade ou ortogonalidade entre reta ereta, reta e plano, plano e plano.

Começaremos fazendo um estudo da perpendicularidade e da ortogonalidade entre duasretas no espaço (e no plano).

8.1 Reta e Reta

Para decidirmos se duas retas r e s são ortogonais no espaço (ou no plano) basta verificarmosse seus correspondentes vetores diretores tem essa propriedade.

Observação 8.1.1 Vale observar que duas retas ortogonais podem ser concorrentes.

Neste caso diremos que elas são perpendiculares, que denotaremos por

r ⊥ s

Caso, contrário, se elas não forem concorrentes (ou seja, r ∩ s = ∅), diremos queelas são reversas, que será indicado por r | s (veja a figura abaixo).

257

258 CAPÍTULO 8. PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE

r

s

6

- r

s

r e s são perpendiculares

r

s

7s

-r

r e s são ortogonais e reversas

Consideremos os seguintes exemplos:

Exemplo 8.1.1 Verificar se as retas r e s, cujas equações na forma simétrica e vetorial,em relação aos sistema de coordenadas ortogonal Σ, dadas por

r :x− 1

2=

y− 3

5=

z

7, (8.1)

s : (x , y , z)Σ = (1 , 3 , 0)Σ + α · (0 ,−7 , 5)E , para α ∈ R , (8.2)

são ortogonais.Caso afirmativo, verifique se elas são perpendiculares ou reversas.

Resolução:Notemos que, de (8.2), o ponto S, cujas coordenadas, em relação aos sistema de coorde-

nadas ortogonal Σ, são dadas por:S

.= (1 , 3 , 0)Σ (8.3)

pertencerá à reta s e o vetor s, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E , são dadaspor:

s.= (0 ,−7 , 5)E (8.4)

é um vetor diretor da reta s.Encontremos uma equação vetorial da reta r, em relação aos sistema de coordenadas

ortogonal Σ.Para isto, dado um número real β, basta fazermos, em aeqref8.1-a,

x− 1

2=

y− 3

5=

z

7= β ,

isto é,x− 1

2= β

y− 3

5= β

z

7= β

, isto é,

x = 1+ 2β

y = 3+ 5β

z = 7β

, ou seja,

x = 1+ 2β

y = 3+ 5β

z = 0+ 7β

, para β ∈ R .

(8.5)


Logo, de (8.5), segue que o ponto R, cujas coordenadas, em relação aos sistema de coor-denadas ortogonal Σ, são dadas por:

R.= (1 , 3 , 0)Σ (8.6)

pertencerá à reta r e o vetor r, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E , são dadaspor:

r.= (2 , 5 , 7)E (8.7)

será um vetor diretor da reta r.Logo, uma uma equação vetorial da reta r, em relação aos sistema de coordenadas orto-

gonal Σ, será dada por :X = R+ β · r , para β ∈ R ,

isto é,(x , y , z)Σ = (1 , 3 , 0)Σ + β · (2, 5, 7)E , para β ∈ R . (8.8)

Para que as retas r e s sejam ortogonais é necessário, e suficiente, que os vetores

r , s

sejam ortogonais que, pela Proposição ?? (o sistema de coordenadas Σ é ortogonal), é equi-valente à:

r • s = 0 .

Comor • s (8.4) e (8.7)

= (0 ,−7 , 5)E • (2 , 5 , 7)E = 0− 35+ 35 = 0 ,

segue que as retas r e s são ortogonais.Como o ponto

R = S = (1 , 3 , 0)Σ

é comum às duas retas segue que as retas r e s serão perpendiculares.

Exemplo 8.1.2 Encontre as equações paramétricas da reta s, em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ, que contém o ponto A, cujas coordenadas, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

A = (2 , 6 , 1)Σ (8.9)

e é perpendicular a reta r, cujas equações paramétricas, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, são dadas por: :

r :

x = −3+ α

y = α

z = 3α

, para α ∈ R . (8.10)


Resolução:Notemos que, de (8.10), segue que o ponto B, cujas coordenadas em relação ao sistema

de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

B.= (−3 , 0 , 0)Σ (8.11)

pertencerá à reta r e o vetor r, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E , são dadaspor:

r.= (1 , 1 , 3)E (8.12)

será um vetor diretor da reta r.Para encontrar uma equação vetorial da reta s, em relação ao sistema de coordenadas

ortogonal Σ, basta encontrar um vetor diretor s da mesma, cujas coordenadas, em relação àbas ortonormal E , são dadas por:

s.= (a , b , c)E . (8.13)

Como as retas s e r deverão ser perpendiculares, elas devem ser ortogonais, isto é, seusvetores diretodes, s e r devem ser ortogonais, ou seja,

s • r = 0 .

Assim deveresmo ter:

0 = s • r (8.12) e (8.13)= a1+ b 1+ c 3 ,

ou seja,a+ b+ 3 c = 0 , . (8.14)

Como as retas s e r deverão ser perpendiculares, elas devem ser concorrentes, assim osvetores

−→AB , r , s

devem ser L.D. em R3 que, pelas Proposições ??? e ???, será equiavelenete à:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣−3− 2 0− 6 0− 1

1 1 3

a b c

∣∣∣∣∣∣∣= −5 (c− 3 b) + 6 (c− 3a) − 1 (b− a) = −17a+ 14 b+ c = 0 . (8.15)

Logo, de (8.14) e (8.16), segue deveremos ter:

a+ b+ 3c = 0

−17a+ 14b+ c = 0, ou seja (exercício),

a =

41

52λ

b = λ

c = −31

32λ

, para λ ∈ R .

Assim, para qualquerλ = 0 ,


temos que o vetor, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E , sejam dadas por:

s =

(41

52λ , λ ,−

31

32λ

)E

será um vetor diretor da reta s.Se escolhermos

λ = 1 ,

teremos que uma equação vetorial para a reta s, em relação à ao sistema de coordenadas Σ,será dada por:

s : (x , y , z)Σ = (2 , 6 , 1)Σ + β ·(41

52, 1 ,−

31

32

)E, para β ∈ R

e assim as sua equações paramétricas , em relação à ao sistema de coordenadas Σ, serão dadapor:

s :

x = 2+

41

32β

y = 6+ β

z = 1−31

22β

, para β ∈ R .

Para terminar esta seção deixaremos:

Exercício 8.1.1 Encontre uma equação vetorial da reta r, em relação ao sistema decoordenadas Σ, que é paralela ao plano π, cuja equação geral, em relação ao sistemade coordenadas Σ, é dado por:

π : 2x− y+ 3z− 1 = 0 , (8.16)

(8.17)

é perpendicular a reta←→AB, onde os pontos A, B tem coordenadas, em relação ao sistema

de coordenadas Σ

A.= (1 , 0 , 1) + Σ e B

.= (0 , 1 , 2)Σ (8.18)

e que intercepta a reta s, cuja equação vetorial, em relação ao sistema de coordenadasΣ, é dado por:

s : (x , y , z)Σ = (4 , 5 , 0)Σ + α · (3 , 6 , 1)E , para α ∈ R . (8.19)

Para o caso de perpendicularismo entre duas retas do plano temos a seguinte:

Observação 8.1.2

1. Como no caso de retas do espaço, para sabermos se duas retas r e s são ortogonaisno plano, basta verificarmos se seus correspondentes vetores diretores tem essapropriedade.

2. Lembremos que dois vetores do plano são ortogonais se , e somente se, o produtoescalar dos dois vetores for zero.

3. No plano não podemos ter retas reversas.


8.2 Reta e Plano

Para verificarmos se uma reta r é perpendicular a um plano π é necessário e suficiente queum vetor diretor r da reta r, seja paralelo a um vetor normal n, do plano π.

Observação 8.2.1

1. Sejamr

um vetor diretor da reta r eu , v

dois vetores diretores do plano π.

Notemos que a reta r será perpendicular ao plano π se, e somente se, os vetores

u∧ v e r

são L.D. em R3, isto é, paralelos (veja a figura abaixo).

π

= s

6

u v

u ∧ v

r

6 r

r ⊥ π ⇔ r ∥ (u × v)

2. Se o plano π tem, em relação ao sistema de coordenadas orotognal Σ, um equaçãogeral dada por:

π : ax+ by+ c z+ d = 0 ,

então, a reta r será perpendicular ao plano π se, e somente se, os vetores

n.= (a , b , c)E e r

.= (r1 , r2 , r3)E

são L.D. em R3, isto é, paralelos, ou ainda, exista λ = 0, de modo que

r1 = λa , r2 = λb e r3 = λ c .


π

n

6

r

6 r

r ⊥ π ⇔ r ∥ n

Exemplo 8.2.1 Verifique se a reta r, dada pela intersecção dos planos π1 e π2, cujasequações gerais, em relaçaõ ao sistema de coordenadas Σ, são dadas por:

r :

x− y− z = 0

x+ y = 0(8.20)

é perpendicular ao plano π, cuja equações geral, em relação ao sistema de coordenadasΣ, é dadas por:

π : 2 x− 2 y+ 4 z− 1 = 0 . (8.21)

Resolução:Encontremos uma equação vetorial para a reta r, em relação ao sistema de coordenadas

Σ.Para isto, dado um número real α, tomemos

y = α

nas equações (8.20) da reta r (lembremos que ela está sendo dada como a intersecção de doisplanos concorrentes) obteremos:

x− α− z = 0

y = α

x+ α = 0

, ou seja,

x = −α

y = α

z = −2α

,

isto é,

x = 0+ (−1)α

y = 0+ 1α

z = 0+ (−2)α

, para α ∈ R . (8.22)

Logo o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dadaspor

A.= (0 , 0 , 0)Σ (8.23)


pertencerá à reta r e o vetor r, cujas coordenadas, em relação à base orotonormal E , sãodadas por:

r.= (−1 , 1 ,−2)E (8.24)

é um vetor diretor da reta r.Assim uma equação vetorial da reta r será dada por:

X = A+ α · r , para α ∈ R ,

que, em relação ao sistema de coordenadas Σ, será dada por:

r : (x, y , z)Σ = (0 , 0 , 0)Σ + α · (−1 , 1 ,−2)E , para α ∈ R . (8.25)

Temos que o vetor n, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, sãodadas por:

n.= (2 ,−2 , 4)E (8.26)

será um vetor normal ao plano π.Notemos que, de (8.24) e (8.26), segue que os vetores

r , n

são L.D. em R3 (pois n = 2 · r).Portanto segue que a reta r será perpendicular ao plano π.Para obter o ponto P, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são

dadas por:P

.= (x, y, z) (8.27)

de intersecção da reta r com o plano π, precisaremos encontrar números reais

α , x , y , z

que satisfazem o sistema linear (de 4 equações a 4 incógnitas) formado pelas equações para-métricas da reta r e a equação geral do plan π, em relação ao sistema de coordenadas Σ, asaber:

x = −α

y = α

z = −2α

2x− 2y+ 4z− 1 = 0

.

A solução será (Exercício) será dada por:

α =11

9, x = −

2

9, y =

11

9, z =

20

9,

ou seja, o ponto de intersecção da reta r, com plano π será o ponto P, cujas coordenadas, emrelação ao sistema de coordenadas Σ, serão dadas por:(

−2

9,11

9,20

9

).


Exemplo 8.2.2 Encontrar as equações paramétricas da reta r, em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ, que contém o ponto A, cujas coordenadas, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

A.= (1 ,−1 , 0)Σ (8.28)

e é perpendicular ao plano π cuja equação vetorial, em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ, é dada por

π : (x , y , z)Σ = (1 ,−1 , 1)Σ + α · (1 , 0 , 1)E + β · (1 , 1 , 1)E , para α ,β ∈ R . (8.29)

Resolução:Notemos que, de (8.29), segue que o ponto B, cujas coordenadas, em relação ao sistema


B.= (1 ,−1 , 1)Σ (8.30)

pertence ao plano π e os vetores u, v, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E ,são dadas por:

u.= (1 , 0 , 1)E e v = (1 , 1 , 1)E (8.31)

são vetores diretores do plano π.Seja

r

um vetor diretor da reta r.Como a reta r deverá ser perpendicular ao plano π, os vetores

r , u∧ v

deverão ser L.D. em R3.Em particular, o vetor

r.= u∧ v

poderá ser tomado como um vetor diretor da reta r, pois os vetores u e v são L.I. em R3,logo u∧ v = O.

Como a base E é ortonormal, da Proposição ???, segue que

u∧ v =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 0 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (−1) · e1 − 0 · e2 + 1 · e3 = (−1 , 0 , 1)E .

Logo uma equação vetorial da reta r será dada por:

X = A+ γ · (u∧ v) , para γ ∈ R ,

isto é, em relação ao sistema de cooredenadas ortogonal Σ, teremos:

r : (x , y , z)Σ = (1 ,−1 , 0)Σ + γ · (−1 , 0 , 1)E , para γ ∈ R .


Portanto as equações paramétricas da reta r perpendicular ao plano π, em relação aosistema de cooredenadas ortogonal Σ, serão dadas por:

x = 1− γ

y = −1

z = γ

, para γ ∈ R .

8.3 Plano e Plano

Para sabermos se dois planos π1 e π2 são perpendiculares, indicado por

π1 ⊥ π2 ,

é necessário e suficiente que os vetores normais n1 ao plano π1 e n2 ao plano π2 sejamortogonais (veja a figura abaixo), isto é,

n1 • n2 = 0 .

π

π2

-

6n1

n2

π1 ⊥ π2 ⇔ n1 ⊥ n2

Consderemos um sistema de coordenadas ortogonal Σ = (O , E) do espaço fixado.

Observação 8.3.1

1. Se os planos π1 e π2, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dados por suasequações gerais:

π1 : a1 x+ b1 y+ c1z + d1 = 0 (8.32)

π2 : a2 x+ b2 y+ c2 z+ d2 = 0 , (8.33)

então os vetores, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E, são dadaspor:

n1.= (a1 , b1 , c1)E e n2

.= (a2 , b2 , c2)E (8.34)


serão vetores normais aos planos π1 e π2, respectivamente.

Assim os planos π1 e π2 serão perpendiculares se, e somente se, os vetores n1 en2 são ortogonais, isto é,

n1 • n2 = 0 . (8.35)

π

π2

-

6n1

n2

π1 ⊥ π2 ⇔ n1 ⊥ n2

2. Suponhamos que os planos π1 e π2, são dados por suas, respectivas, eequaçõesvetoriais:

π1 : X = A1 + α · u1 + β · v1 , para α ,β ∈ R , (8.36)

π2 : X = A2 + γ · u2 + δ · v2 , para γ , δ ∈ R . (8.37)

Então os planos π1 e π2 serão pependiculares se, e somente se, os vetores

u1 ∧ v1 e u2 ∧ v2

são ortogonais (veja a figura abaixo), isto é,

(u1 ∧ v1) • (u2 ∧ v2) = 0 . (8.38)


π1

π2

U

:6

u1

v1

u1 ∧ v1

R-

u2

v2

u2 ∧ v2

Lembremos que temos um sistema de coordenadas ortogonal Σ no espaço fixado.Tratemos do:

Exemplo 8.3.1 Verificar se os planos π1 e π2, cujas equações vetoriais, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas, respectivamente, por:

π1 : (x , y , z)Σ = (1 , 1 , 1)Σ + α · (−1 , 0 ,−1)E + β · (4 , 1 , 1)E , para α ,β ∈ R , (8.39)

π2 : (x , y , z)Σ = (3 , 1 , 1)Σ + γ · (1 ,−3 ,−1)E + δ · (3 , 1 , 0)E , para γ , δ ∈ R , (8.40)

são perpendiculares.

Resolução:Notemos que, de (8.39) os vetores, u1, v1, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal

E , são dadas poru1

.= (−1 , 0 ,−1)E e v1

.= (4 , 1 , 1)E (8.41)

são vetores diretores do plano π1 e, de (8.40), segue que os vetores, u2, v2, cujas coordenadas,em relação à base ortonormal E , são dadas por

u2.= (1,−3, 1)E e v2

.= (3, 1, 0)E (8.42)

são vetores diretores do plano π2.Logo os planos π1 e π2 serão perpendiculares se, e somente se, o vetor u1∧ v1 for ortogonal

ao vetor u2 ∧ v2, isto é,(u1 ∧ v1) ⊥ (u2 ∧ v2) .

Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, da Proposição ???, segue que

u1 ∧ v1 =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

−1 0 −1

4 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1 · e1 − 3 · e2 + (−1) · e3 = (1 ,−3 ,−1)E , (8.43)

u2 ∧ v2 =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 −3 −1

3 1 0

∣∣∣∣∣∣∣ = 1 · e1 − 3 · e2 + 10 · e3 = (1 ,−3 , 10)E . (8.44)


Logo, de (8.43) e (8.44), segue que

(u1 ∧ v1) • (u2 ∧ v2) = (1 ,−3 ,−1)E • (1 ,−3 , 10)E = 0,

isto é, os plano π1 e π2 são perpendiculares.

Como exercício deixaremos para o

Exercício 8.3.1 Encontrar uma equação vetorial da reta obtida da intersecção dos pla-nos π1 e π2, dados pelo Exemplo acima.

Temos também o:

Exemplo 8.3.2 Encontrar a equação geral do plano π, em relação ao sistema de coor-denadas ortogonal Σ, que contém o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

A = (2 , 1 , 0)Σ (8.45)

e é perpendicular aos planos π1 e π2, cujas equações gerais, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

π1 : x+ 2 y− 3 z+ 4 = 0 , (8.46)

π2 : 8 x− 4 y+ 16 z− 1 = 0 . (8.47)

Resolução:

n1.= (1 , 2 ,−3)E (8.48)

é um vetor normal ao plano π1 e, de (8.47), segue que o vetor n1, cujas coordenadas, emrelação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

n2.= (8 ,−4 , 16)E (8.49)

é um vetor normal ao plano π2.

Como o plano π deverá ser perpendicular ao plano π1, segue que o vetor n1 deverá serparalelo ao plano π (veja a figura abaixo).

De modo semelhante, como o plano π deverá ser perpendicular ao plano π2, assim o vetorn2 deverá ser paralelo ao plano π (veja a figura abaixo).


π1

π2

π

6

-

n1

n2

A

Mas os vetoresn1 , n2

são L.I. em R3.Logo eles podem ser utilizados como vetores diretores do plano π (ou ainda, o vetor

n.= n1 ∧ n2 será um vetor normal ao plano π).Assim uma equação vetorial para o plano π será dada por:

X = A+ α · n1 + β · n2 para α ,β ∈ R ,

ou, , em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, teremos

π : (x , y , z)Σ = (2 , 1 , 0)Σ + α · (1 , 2 ,−3)E + β · (8 ,−4 , 16)E , para α ,β ∈ R .

Para encontrarmos a equação geral do plano π, , em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, basta lembrarmos que um ponto X, cujas coordenadas, em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ, são dadas por

X.= (x , y , z)Σ

pertence ao plano π se, e somente se, os vetores−→AX , n1 , n2

são L.D. em R3, que pelas Proposições ??? e ???, é equivalente à:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣x− 2 y− 1 z− 0

1 2 −3

8 −4 16

∣∣∣∣∣∣∣= 20 (x− 2) − 40 (y− 1) − 20 z = 20 x− 40 y− 20 z .

Dividindo a equação acima por 20, obtemos uma equação geral do plano π que, em relaçãoao sistema de coordenadas ortogonal Σ, será dada por:

π : x− 2 y− z = 0 .

Capítulo 9

Ângulos

Fixemos um sistema de coordenadas ortogonal

Σ = (O, E)

ao longo de todo este capítulo.Nosso objetivo é encontrar o ângulo entre duas retas (no espaçoe no plano), uma reta e

um plano e entre dois planos no espaço.Começaremos pela questão relacionada com duas retas.

9.1 Ângulo entre duas Retas

Dadas as retas r e s, não necessariamente concorrentes, gostaríamos de encontrar a medida,em radianos, do ângulo agudo θ entre elas, ou seja θ ∈

[0 ,

π

2

](veja a figura abaixo).

r

s

θ

Para isto, suponhamos que os vetores

r e s

são vetores diretores das retas r e s, respectivamente.Suponhamos que a medida ângulo, em radianos, entre os vetores (não nulos) u e v é

α ∈ [0 , π].Neste caso temos que:

cos(α) =r • s

∥r∥ ∥s∥para α ∈ [0, π] . (9.1)

Notemos que, podemos ter duas possibildades para o ângulo θ:

271

272 CAPÍTULO 9. ÂNGULOS

1. Ser • s ≥ 0 ,

teremos, por (9.1), quecos(α) ≥ 0 ,

ou sejaα ∈

[0 ,

π

2

]e assim (veja figura abaixo)

θ = α , (9.2)

ou seja, o ângulo entre as retas r e s será igual ao ângulo entre os seus vetores diretoresr e r.

r

s

θ

3

s

s

r

α

Neste caso, teremos:

cos(θ) = cos(α)(9.1)=

r • s∥r∥∥s∥

r•s≥0=

|r • s|∥r∥ ∥s∥

. (9.3)

2. Ser • s < 0 ,

teremos, por (9.1), quecos(α) < 0 ,

ou seja , (veja figura abaixo)

α ∈[π2, π]

e assim θ+ α = π .

r

s

θ

3kr s

α

9.1. ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS 273

Neste caso, teremos

cos(θ) = cos(π− α) = − cos(α)(9.1)=

− r • s∥r∥∥s∥

r•s≤0=

|r • s|∥r∥ ∥s∥

. (9.4)

Portanto independente das escolhas dos vetores diretores r e s das retas r e s, res-pectivamente temos que o ângulo θ ∈

[0 , π

2

]será dado por:

cos(θ) =|r • s|∥r∥ ∥s∥

, ou ainda, θ = arccos

(|r • s|∥r∥ ∥s∥

). (9.5)

Consideremos os exemplos abaixo.

Exemplo 9.1.1 Encontrar o ângulo entre as retas r e s onde uma equação vetorial dareta r, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, é dada por:

r , : (x , y , z)Σ = (1 , 1 , 9)Σ + β · (0 , 1 ,−1)E , para β ∈ R , (9.6)

e a reta s é dada pela intersecção de dois planos, cujas equações gerais, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

s :

x− 1 = y

z = 4. (9.7)

Resolução:Observemos que, de (9.6) segue que o ponro R, cujas coordenadas, em relação ao sistema


R.= (1 , 1 , 9)Σ (9.8)

pertence à reta r e o vetor r, cujas as coordenadas, em relação à base ortonormal E , são dadaspor

r.= (0 , 1 ,−1)E (9.9)

será um vetor diretor da reta r.Encontremos uma equação vetorial da reta s, em relação ao sistema de coordenadas orto-

gonal Σ.Para isto, tomando-se

y = λ

no sistema linear (9.7), que define a reta s (ela é dada pela intersecção de dois planos) temos:x− 1 = λ

y = λ

z = 4

, ou seja,

x = 1+ 1 λ

y = 0+ 1 λ

z = 4+ 0 λ

, para λ ∈ R . (9.10)


Logo se considerarmos o ponto S, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, são dadas por

S.= (1 , 0 , 4)Σ (9.11)

e o vetor s, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E , são dadas por

s.= (1 , 1 , 0)E , (9.12)

de (9.10), (9.11) e (9.12), segue que uma equação vetorial para a reta s será dada por:

X = S+ λ · s , para λ ∈ R ,

ou seja, de (9.11) e (9.12), teremos

s : (x , y , z)Σ = (1 , 0 , 4)Σ + λ · (1 , 1 , 0)E , para λ ∈ R . (9.13)

Se θ ∈[0 ,

π

2

]é o ângulo entre as retas r e s então, de (9.5), segue que

cos(θ)(9.5)=

|r • s|∥r∥ ∥s∥

(9.9) e (9.12)=

|(0 , 1 ,−1)E • (1 , 1 , 0)|∥(0 , 1 ,−1)E∥ ∥(1 , 1 , 0)E∥

=1√2√2=

1

2. (9.14)

Logo, o ângulo entre as retas r e s será

θ =π

3.

Temos também o:

Exemplo 9.1.2 Obtenha as coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas oroto-gonal Σ, dos vértices B e C do triângulo equilátero ∆ABC, sabendo-se que as coorde-nadas, em relação ao sistema de coordenadas orotogonal Σ, do vértice A, seja, dadaspor

A.= (1 , 1 , 0)Σ (9.15)

e sabendo-se que o lado BC está contido na reta r, cuja equação vetorial, em relaçãoao sistema de coordenadas orotogonal Σ, é dada por:

r : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 0)Σ + λ · (0 , 1 ,−1)E , para cada λ ∈ R . (9.16)

Resolução:Observemos que se o ponto P é um dos vértices (por exemplo, B ou C) do triângulo ∆ABC

a ser encontrado, como este ponto deve pertencer a reta r, cuja equação vetorial, em relaçãoao sistema de coordenadas Σ, é dada por (9.16), deverá existir um número real λ, tal que

P = (0 , λ, −λ)Σ . (9.17)

Observemos também que como o triângulo é equilátero seus ângulos internos deverão termedida

π

3radinanos, isto é, o ângulo entre a reta r e a reta que contém os pontos A e P (a

saber, a reta←→AP), devem fazer um ângulo de medida

π

3radianos (veja figura abaixo).

9.1. ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS 275

r

B

C

A

π3

π3

De (9.16), segue que um vetor diretor para a reta r é o vetor

r.= (0 , 1 ,−1)E (9.18)

e, de (9.15), (9.17) e da Proposição ???, segue que um vetor diretor para a reta←→AP será o

vetor−→AP= P −A = (−1 , λ− 1 ,−λ)E . (9.19)

Como os sistema de coordenadas Σ é ortogonal, segue, de (9.5), que

1

2= cos

(π3

)=

∣∣∣r• −→AP∣∣∣

∥r∥∥∥∥−→AP∥∥∥

(9.18) e (9.19)=

|0+ λ− 1+ λ|√02 + 12 + (−1)2

√(−1)2 + (λ− 1)2 + (−λ)2

=|2λ− 1|

√2√

2λ2 − 2λ+ 2,

ou seja,

λ2 − 3λ+ 2 = 0 ,

que nos fornecerá as seguintes possibilidades:

λ1 = 2 e λ2 = 1 .

Com isto, de (9.17), obteremos os seguintes dois pontos:

Bλ=2 em (9.17)

= (0 , 2 ,−2)Σ e Cλ=1 em (9.17)

= (0 , 1 ,−1)Σ ,

que serão os outros dois vértices procurados do triângulo ∆ABC.

Observação 9.1.1 Notemos que a expressão (9.5) serve para encontrar o ângulo entreduas retas que pertencem a um mesmo plano (no caso as retas são concorrentes).


9.2 Ângulo entre Reta e Plano

Nosso objetivo é determinar uma expressão para o ângulo agudo θ, isto é,

θ ∈[0 ,

π

2

),

entre uma reta r e um plano π.Suponhamos que o vetor r = O é um vetor diretor da reta r e que o vetor n = O é um

vetor normal ao plano π.Então podemos encontrar o ângulo α, entre a reta r e a reta normal ao plano, ou seja,

que tem direção do vetor normal n ao plano π, a saber

cos(α) =|r • n|∥r∥ ∥n∥

.

Observemos que (veja figura abaixo)

θ+ α =π

2. (9.20)

6n

reta normal ao plano π

r

7 r

π

θ

α

Logo

|r • n|∥r∥ ∥n∥

= cos(α)(9.20)= cos

(π2− θ)

= cos(π2

)cos (θ) − sen (−θ) sen

(π2

)= sen(θ) ,

ou seja,

sen(θ) =|r • n|∥r∥ ∥n∥

ou θ = arcsen

(|r • n|∥r∥ ∥n∥

).

Vale observar queθ ∈

[0 ,

π

2

].

9.2. ÂNGULO ENTRE RETA E PLANO 277

Observação 9.2.1 Se temos as equações vetoriais da reta r,

r : X = A+ α · r , para α ∈ R ,

e do plano π

π : X = B+ β · u+ ·γv , para β , γ ∈ R ,

então o ângulo θ entre a reta r e o plano π será dada por:

sen(θ) =|r • (u∧ v)|

∥r∥ ∥u∧ v∥ou θ = arcsen

(|r • (u∧ v)|

∥r∥ ∥u∧ v∥

). (9.21)

Consideremos nos exemplos abaixo, um sistema de coordenadas Σ = (O, E) fixado.

Exemplo 9.2.1 Encontrar a medida do ângulo θ, entre a reta r e o plano π cujasequações, em relação ao sistema de coordenadas Σ, serão:

r : (x , y , z)Σ = (0 , 1 , 0)Σ + α · (−1 , 1 , 0)E , para α ∈ R , (9.22)

π : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 10)Σ + β · (1 , 0 , 0)E + γ · (0 , 1 ,−1)E , para β , γ ∈ R . (9.23)

Resolução:Da equação (9.22), segue que o vetor

r.= (−1 , 1 , 0)E

é um vetor diretor da reta r.Da equação (9.23), segue que os vetores

u.= (1 , 0 , 0)E e v

.= (0 , 1 ,−1)E

são vetores diretores do plano π.Logo o vetor

u∧ v

será um vetor normal ao plano π.Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, da Proposição ???, segue que

u∧ v =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 0 0

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 · e1 − (−1) · e2 + 1 · e3 = (0 , 1 , 1)E .

Portanto, de (9.21), segue que

sen(θ) =|r • (u∧ v)|

∥r∥ ∥u∧ v∥=

|(−1 , 1 , 0)E • (0 , 1 , 1)E |∥(−1 , 1 , 0)E∥ ∥(0 , 1 , 1)E∥

Exercício=

1

2.

Logo o ângulo entre a reta r e o plano π será de θ =π

6radianos.


Exemplo 9.2.2 Obtenha as equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema decoordenadas Σ, que contém o ponto

A.= (1 , 1 , 1)Σ (9.24)

, é paralela ao plano π1 que tem equação geral, em relação ao sistema de coordenadasΣ, dada por:

π1 : x+ 2 y− z = 0 (9.25)

e forma ânguloπ

3radianos com o plano π2 que tem equação geral, em relação ao

sistema de coordenadas Σ, dada por

π2 : x− y+ 2 z− 1 = 0 . (9.26)

Resolução:Notemos que, das equações (9.25) e (9.26), segue que os vetores

n1.= (1 , 2 ,−1)E e n2

.= (1 ,−1 , 2)E (9.27)

serão vetores normais aos planos π1 e π2, respectivamente.Seja

r.= (a , b , c)E = O , (9.28)

um vetor diretor da reta r.Sabemos que a reta r será paralela ao plano π1 se, e somente se, os vetores

r e n1

forem ortogonais, isto é,

0r⊥n= r • n1

(9.28) e (9.27)= (a , b , c)E • (1 , 2 ,−1)E = a+ 2b− c,

isto é, a+ 2 b− c = 0 . (9.29)

Por outro lado, sabemos que a reta r forma uma ângulo de θ =π

6radianos com o plano

π2, ou seja, de (9.21), devermos ter

√3

2= sen(θ)

(9.21)=

|r • n2|

∥r∥ ∥n∥(9.28) e (9.27)

=|(a , b , c)E • (1 ,−1 , 2)E |√

12 + (−1)2 + 22√

a2 + b2 + c2

=|a− b+ 2 c|

√6√a2 + b2 + c2

isto é,√18√

a2 + b2 + c2 = 2 |a− b+ 2 c| . (9.30)

9.2. ÂNGULO ENTRE RETA E PLANO 279

Logo de (9.29) e (9.30) os números reais a, b, c devem satisfazer o seguinte sistema (nãolinear):

a+ 2b− c = 0√18√

a2 + b2 + c2 = 2 |a− b+ 2 c|.

Substituindo

c = a+ 2b

na 2.a equação obteremos a seguinte equação

√18

√a2 + b2 + (a+ 2b)2 = 2 |a− b+ 2 (a+ 2b)|

⇔ √18

√a2 + b2 +

(a2 + 4ab+ 4b2

)= 2 |a− b+ 2a+ 4b|

⇔ √18√2a2 + 4ab+ 5b2 = 2 |3a+ 3b|⇔ √

18√2a2 + 4ab+ 5b2 = 6 |a+ b|⇔ 18

(2a2 + 4ab+ 5b2

)= 36 (a+ b)2⇔ 18

(2a2 + 4ab+ 5b2

)= 36

(a2 + 2ab+ b2

)⇔ 54b2 = 0

ou seja,

b = 0 .

Como c = 2− 2b, segue que

c = a .

Logo, se a = 0, o vetor

r = (a , 0 , a)E

será um vetor diretor da reta r, em particular, o vetor r.= (1 , 0 , 1)E (tomando-se a = 1).

Assim uma equação vetorial da reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ, será dadapor :

X = A+ α · r , para α ∈ R ,

ou seja,

r : (x , y , z)Σ = (1 , 1 , 1)Σ + α · (1 , 0 , 1)E , para α ∈ R .

Portanto as equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ,serão dadas por:

x = 1+ α

y = 1

z = 1+ α

, para α ∈ R .


9.3 Ângulo entre dois Planos

O objetivo desta seção é encontrar a medida do ângulo agudo, entre dois planos dados.Observemos que a medida do ângulo θ entre os planos π1 e π2 é igula a medida do ângulo

entre as retas normais aos correspondentes planos (veja a figura abaixo).

Reta normal ao plano π2

Reta normal ao plano π1

θ

θ

π1

π2

Logo se os vetoresn1 e n2

são vetores normais aos plano π1 e π2, respectivamente, teremos:

cos(θ) =|n1 • n2|

∥n1∥ ∥n2∥, ou seja, θ = arccos

(|n1 • n2|

∥n1∥ ∥n2∥

). (9.31)

Consideremos nos exemplos abaixo, um sistema de coordenadas Σ = (O, E) fixado.

Exemplo 9.3.1 Encontrar a medida do ângulo entre os planos π1 e π2 dados, em relaçãoao sistema de coordenadas Σ, pelas equações:

π1 : (x , y , z)Σ = (1 , 0 , 0)Σ + α · (1 , 0 , 1)E + β · (−1 , 0 , 0)E , para α ,β ∈ R (9.32)

π2 : x+ y+ z = 0 . (9.33)

Resolução:Notemos que de (9.33), segue que o vetor

n2.= (1 , 1 , 1)E (9.34)

será um vetor normal ao plano π2.Observemos também que, de (9.32), segue que os vetores

u1.= (1 , 0 , 1)E e v1

.= (−1 , 0 , 0)E (9.35)

são vetores diretores do plano π1 (são L.I. em V3).

9.3. ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS 281

Logo o vetoru1 ∧ v1

será um vetor normal ao plano π1.Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal segue, da Proposição ???, que

n1.= u1 ∧ v1

(9.35)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 0 1

−1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 · e1 − 1 · e2 + 0 · e3 = (0 ,−1 , 0)E ,

ou seja, o vetorn1

.= (0 , 1 , 0)E (9.36)

será um vetor normal ao plano π1.Logo a medida do ângulo θ, entre os planos π1 e π2 deverá satisfazer a:

cos(θ)(9.31)=

|n1 • n2|

∥n1∥∥n2∥(9.34) e (9.36)

=|(0 ,−1 , 0)E • (1 , 1 , 1)E |∥(0 ,−1 , 0)E∥ ∥(1 , 1 , 1)E∥

Exercício=

√3

3radianos.

Assim a medida do ângulo θ, entre os planos π1 e π2 sérá

θ = arccos

(√3

3

).

Exemplo 9.3.2 Encontre uma equação geral do plano π, em relação ao sistema decoordenadas Σ, que contém a reta r e forma ângulo

π

6radianos com o plano π1 cujas

equações, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dadas por:

r :

x = z+ 1

y = z− 1(9.37)

π1 : x+ 2 y− 3 z+ 2 = 0 . (9.38)

Resolução:A reta r é dada pela intersecção dos planos π2 e π3, cujas equações gerais, em relação ao

sistema de coordenadas Σ, são dadas por

π2 : x = z+ 1 , isto é, π2 : x− z− 1 = 0 , (9.39)

π3 : y = z− 1 , isto é, π3 : y− z+ 1 = 0 . (9.40)

Observemos que, de (9.39) e (9.40), segue que os vetores

n2.= (1 , 0 ,−1)E e n3

.= (0 , 1 ,−1)E (9.41)

são vetores normais aos planos π2 e π3 e, além disso, são vetores L.I. em V3 .


Logo os planos π2 e π3 são concorrentes da reta r.Assim o plano π deverá ser um dos planos do feixe de planos que contém a reta r, cuja

equação (do feixe) será dada por:

π : α (x− z− 1) + β (y− z+ 1) = 0 ,

isto é:π : αx+ βy+ (−α− β) z+ (−α+ β) = 0 , (9.42)

onde α ,β são números reais, tais que

α2 + β2 = 0 .

Assim devemos encontrar α ,β ∈ R, de modo que a medida do ângulo do plano π com oplano π1 seja

π

3radianos.

Observemos que, de (9.42), segue que o vetor

n.= (α ,β ,−α− β)E (9.43)

será um vetor normal ao plano π, se

α2 + β2 = 0 .

De (9.41) temos que o vetorn2

.= (1 , 2 ,−2)E

é um vetor normal ao plano π2

Logo deveremos ter√3

2= cos

(π6

)=

|n • n1|

∥n∥ , ∥n1∥(9.43) e (9.41)

=|(α ,β ,−α− β)E • (1 , 2 ,−3)E |

∥(α ,β ,−α− β)E∥ ∥(1 , 2 ,−3)E∥

=|4α+ 5β|

√28√α2 + αβ+ β2

isto é 21 =(4α+ 5β)2

α2 + αβ+ β2,

ou seja α = 4β , ou β = −5α .

Substituindoα = 4β

em (9.42), obteremos

π : (4β) x+ βy+ (−4β− β) z+ (−4β+ β) = 0 , ou seja, β(4 x+ y− 5 z− 3) = 0 .

Tomando-seβ = 1 ,

9.3. ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS 283

na equação acima, obteremos que o plano

π : 4 x+ y− 5 z− 3 = 0

satisfaz as condições requeridas.Substituindo

β = −5α

em (9.42), obtemos

π : αx+ (−5α)y+ [−α− (−5α)] z+ [−α+ (−5α] = 0 , ou seja, α(x− 5 y+ 4z− 6) = 0 .

Tomando-seα = 1

na equação acima, obteremos que o plano

π ′ : x− 5 y+ 4 z− 6 = 0

também satisfaz as condições requeridas.Geometricamente temos a situação exibida na figura abaixo

π1

r

π

π ′

π3

π3


Capítulo 10

Distâncias

Neste capítulo trataremos de calcular as ditâncias entre ponto e ponto, ponto e reta, ponto eplano, reta e reta, reta e plano e plano e plano.

Ao longo de todo este capítulo estará fixado um sistema de cooredenadas ortogonal noespaço,

Σ = (O, E) = (O , e1 , e2 , e3) .

Trataremos das questões acima relacionadas no espaço e, no final da seção, trataremosdas questões pertinentes para os casos no plano.

Começaremos tratando da:

10.1 Distância entre dois Pontos

Suponhamos que os pontos

A.= (a1 , a2 , a3)Σ e B

.= (b1 , b2 , b3)Σ (10.1)

em relação ao sistema de coordenadas Σ fixado.

Definição 10.1.1 A distância entre os pontos A e B, que será indicada por d(A,B)

será dada por

d(A,B).=∥∥∥−→AB∥∥∥ =

√(b1 − a1)

2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)

2 . (10.2)

A

B

−→AB

Apliquemos isto ao:

Exemplo 10.1.1 Verifique se o triângulo ∆ABC é isóceles, onde

A.= (−1 ,−3 , 4)Σ , B

.= (−2 , 1 ,−4)Σ e C

.= (3 ,−11 , 5)Σ . (10.3)

285

286 CAPÍTULO 10. DISTÂNCIAS

Resolução:Calculemos:

d(A,B)(10.2) e (10.3)

=

√[−2− (−1)]2 + [1− (−3)]2 + (−4− 4)2 =

√81 = 9 ,

d(A,C)(10.2) e (10.3)

=

√[3− (−1)]2 + [−11− (−3)]2 + (5− 4)2 =

√81 = 9 ,

d(B,C)(10.2) e (10.3)

=

√[3− (−2)]2 + [−11− 1]2 + [5− (−4)]2 =

√250 = 5

√10 .

Comod(A,B) = d(A,C) ,

segue que o triângulo é isóceles, mas não é equilátero, pois

d(A,C) = d(B,C) .

Observação 10.1.1 Para o caso análogo no plano temos que, fixado um sistema decooredenadas ortogonal no plano,

Γ = (O, E) = (O , e1 , e2) ,

a distância entre os pontos

A.= (a1 , a2)Γ e B

.= (b1 , b2)Γ , (10.4)

que será indicada por d(A,B), será dada por:

d(A,B).=∥∥∥−→AB∥∥∥ =

√(b1 − a1)

2 + (b2 − a2)2 . (10.5)

A

B

−→AB

10.2 Distância de um Ponto a uma Reta

Nesta seção vamos encontrar uma expressão para a distância de um ponto Po a uma reta r,que será indicada por d(Po, r), no espaço, onde:

Po.= (xo , yo , zo)Σ e r : X = R+ λ · r , para λ ∈ R . (10.6)

No final da desta seção trataremos a questão análogo no plano.Consideremos o ponto M, sobre a reta r, de modo que a reta

←→MPo seja perpendicular a

reta r no ponto M (veja a figura abaixo).

10.2. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 287

r

Po

M

d(Po, r)

Definição 10.2.1 N situação acima, a distância do ponto Po à reta r, será dada pelocomprimento do segmento geométrico MPo, isto é,

d(Po, r) =∥∥∥ −→MPo

∥∥∥ . (10.7)

Consideremos R um ponto sobre a reta r, dada por (10.33).

Seja θ, a medida do ângulo entre os vetores−→RPo e r (veja a figura abaixo).

r

P0

MR

-r

θ

d(Po, r)

Deste modo temos que:

d(Po, r) =∥∥∥ −→MPo

∥∥∥ ∆RPM é retângulo=

∥∥∥ −→RPo

∥∥∥ sen(θ) .

Por outro lado temos que: ∥∥∥ −→RPo ∧r

∥∥∥ =∥∥∥ −→RPo

∥∥∥ ∥r∥ sen(θ) ,

ou seja,

sen(θ) =

∥∥∥ −→RPo ∧r

∥∥∥∥∥∥ −→RPo

∥∥∥ ∥r∥.

Logo substituindo este na identidade anterior, obtreemos que

d(Po, r) =∥∥∥ −→RPo

∥∥∥∥∥∥ −→RPo ∧r

∥∥∥∥∥∥ −→RPo

∥∥∥ ∥r∥=

∥∥∥ −→RPo ∧r

∥∥∥∥r∥

,

ou seja,

d(Po, r) =

∥∥∥ −→RPo ∧r

∥∥∥∥r∥

, (10.8)

onde R ∈ r .


Observação 10.2.1 Um outro modo de encontrarmos uma expressão para a distânciado ponto Po à reta r é escolher P, um ponto sobre a reta r, distinto do ponto R e calcularo valor da altura, que denotaremos por h, do triângulo ∆RPoP, relativamente ao ladoRP.

Este valor, h será a distância do ponto Po à reta r, isto é, (veja a figura abaixo)

d(Po, r) = h .

r

Po

R P

d(Po, r) = h

-r

Para encontrar a altura h do triângulo ∆RPoP, lembremos que a área do triângulo∆RPoP, que denotaremos por A, é dada por

A =1

2

∥∥∥ −→RPo ∧

−→RP∥∥∥ . (10.9)

Por outro lado a área do triângulo ∆RPoP é dada por

A =1

2RP · h =

1

2

∥∥∥−→RP∥∥∥ · h . (10.10)


1

2

∥∥∥−→RP∥∥∥ · h =1

2

∥∥∥ −→RPo ∧

−→RP∥∥∥ , isto é, h =

∥∥∥ −→RPo ∧

−→RP∥∥∥∥∥∥−→RP∥∥∥

(∗)−→RP=α·r=

∥∥∥ −→RPo ∧(α · r)

∥∥∥∥α · r∥

=|α|∥∥∥ −→RPo ∧r

∥∥∥|α| ∥r∥

=

∥∥∥ −→RPo ∧r

∥∥∥∥r∥

,

onde, em (*) utilizamos o fato que os vetores−→RP e r são paralelos.

Portanto

d(Po, r) =

∥∥∥ −→RPo ∧r

∥∥∥∥r∥

,

exatamente igual a expressão (10.8).

Apliquemos isto ao:

Exemplo 10.2.1 Calcule a distância do ponto

Po.= (0 ,−1 , 0)Σ (10.11)


à reta r dada, em relação ao sistema de coordenadas Σ, por:

r :

x = 2 y− 1

y = z+ 1. (10.12)

Resolução:Encontremos uma equação vetorial para a reta r, em relação ao sistema de coordenadas

Σ,.Notemos que a reta r é dada pela interseção de dois planos (veja o sistema linear (10.12)).Neste caso, considerando-se

y = λ

no sistema linear (10.12), obteremos: Com isto obteremosx = −1+ 2 λ

y = λ

z = −1+ λ

, para λ ∈ R ,

ou seja, temos as equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ.Logo, uma equação vetorial para a reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ, será

dada por:r : (x , y , z)Σ = (−1 , 0 ,−1)Σ + λ · (2 , 1 , 1)E , para λ ∈ R . (10.13)

Logo o pontoR

.= (−1 , 0 ,−1)Σ (10.14)

pertence à reta r e o vetorr.= (2 , 1 , 1)E (10.15)

será um vetor diretor da reta r.Notemos que

−→RPo= Po − R

(10.14) e (10.11)= (1 ,−1 , 1)E . (10.16)

Portanto

d(Po, r)(10.8)=

∥∥∥ −→RPo ∧r

∥∥∥∥r∥

=∥(1 ,−1 , 1)E ∧ (2 , 1 , 1)E∥

∥(2 , 1 , 1)E∥. (10.17)

Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, da Proposição ??, segue que

−→RPo ∧r

(10.15) e (10.16)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 −1 1

2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −2 · e1 + e2 + 3 · e3 = (−2 , 1 , 3)E . (10.18)


d(Po, r) =∥(−2 , 1 , 3)E∥∥(2 , 1 , 1)E∥

=

√(−2)2 + 12 + 32√22 + 12 + 12

=

√14√6

=

√84

6=

√21

3.

Portanto a distância do ponto Po à reta r, dadas, em relação ao sistema de coordenadas

Σ, por (10.11) e (10.12), respectivamente, será igual a√21

3u.c. (unidade de comprimento).

Um outro caso será:


Exemplo 10.2.2 Obtenha equações do lugar geométrico, em relação ao sistema de co-ordenadas Σ, dos pontos do espaço que são equidistantes da reta r, da reta s e do pontoA, dado, em relação ao sistema de coordenadas Σ, por:

A.= (1 , 0 , 1)Σ , r : x = y = z e s : x− y = z = x+ y . (10.19)

Resolução: Encontremos equações vetoriais das retas r e s, em relação ao sistema de coor-denadas Σ.

Notemos que (10.19) nos fornece as equações na forma simétrica da reta r, em relação aosistema de coordenadas Σ, que podemos ser vistas com a interseção de dois planos (dadospor suas equações gerais, em relação ao sistema de coordenadas Σ), a saber, o sistema linear:

x = y

z = y.

Considerando-se y = λ no sistema linear acima obteremos:x = λ

y = λ

z = λ

, para λ ∈ R ,

que serão as equações paramétricas da reta rem relação ao sistema de coordenadas Σ.Deste modo, o ponto

R.= (0 , 0 , 0)Σ (10.20)

pertencerá a reta r e o vetorr.= (1 , 1 , 1)E (10.21)

será um vetor diretor da reta r, ou ainda, uma equação vetorial da reta r, em relação aosistema de coordenadas Σ será:

r : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 0)Σ + λ · (1 , 1 , 1)E , para λ ∈ R . (10.22)

Notemos que (10.19) a reta s coms a interseção de dois planos (dados por suas equaçõesgerais, em relação ao sistema de coordenadas Σ), a saber, o sistema linear:

x− y = z

x+ y = z.

Logo, considerando-sez = β

no sistema linear acima, obteremosx− y = β

x+ y = β

z = β

, isto é,

x = β

y = 0

z = β

, para β ∈ R,


Deste modo, o ponto o pontoS

.= (0, 0, 0) (10.23)

pertencerá a reta s e o vetors.= (1 , 0 , 1)E (10.24)

será um vetor diretor da reta s, isto é, uma equação vetorial da reta s, em relação ao sistemade coordenadas Σ, será:

s : (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 0)Σ + β · (1 , 0 , 1)E , para β ∈ R . (10.25)

Observemos que o pontoA = (1 , 0 , 1)Σ

pertence a reta s.Para verificarmos isto, basta tomarmos β = 1 na equação vetorial da reta s dada por

(10.25).Seja

P.= (x , y , z)Σ (10.26)

as coordenadas de um ponto, em relação ao sistema de coordenadas Σ, que satisfaz as pro-priedades pedidas, isto é,

d(P, r) = d(P, s) = d(P,A) . (10.27)

Com isto teremos que:

−→RP= P − R

(10.26) e (10.20)= (x− 0 , y− 0 , z− 0)E = (x , y , z)E . (10.28)

Sabemos que

d(P, r)(10.8)=

∥∥∥−→RP ∧r∥∥∥

∥r∥(10.28) e (10.21)

=∥(x , y , z)E ∧ (1 , 1 , 1)E∥

∥(1 , 1 , 1)E∥.

Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, da Proposição ???, segue que:

−→RP ∧r

(10.28) e (10.21)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x y z

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (y− z) · e1 − (x− z) · e2 + (x− y) · e3

= (y− z , z− x , x− y)E . (10.29)

Logo

d(P, r)(10.29)=

∥(y− z , z− x , x− y)E∥√3

=

√(y− z)2 + (z− x)2 + (x− y)2√

3. (10.30)

De modo semelhante, temos que:

d(P, s) =

∥∥∥−→SP ∧s∥∥∥

∥s∥=

∥(x− 0 , y− 0 , z− 0)E ∧ (1 , 0 , 1)E∥∥(1 , 0 , 1)E∥

.


Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, da Proposição ???, segue que:

−→SP ∧s =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x y z

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = y · e1 − (x− z) · e2 + (−y) · e3

= (y , z− x ,−y)E .

Logo

d(P, s) =∥(y , z− x ,−y)E∥√

2=

√y2 + (z− x)2 + (−y)2

√2

=

√2 y2 + (z− x)2

√2

. (10.31)

Finalmente, temos que

d(P,A)(10.26) e (10.19)

=

√(x− 1)2 + (y− 0)2 + (z− 1)2 =

√(x− 1)2 + y2 + (z− 1)2 . (10.32)

Substituindo (10.30), (10.31) e (10.32) em (10.27) obteremos:√(y− z)2 + (z− x)2 + (x− y)2√

3=

√2 y2 + (z− x)2√

2=

√(x− 1)2 + y2 + (z− 1)2,

que é equivalente ao sistema (não-linear)

√(y− z)2 + (z− x)2 + (x− y)2

√3

=√(x− 1)2 + y2 + (z− 1)2

√2 y2 + (z− x)2

√2

=√(x− 1)2 + y2 + (z− 1)2

.

Resolvendo-se o sistema acima (será deixado como exercício para o leitor), obteremos:z+ x = 2

y = −2+√6

, ou

z+ x = 2

y = −2−√6

.

Considerando-sex = λ

nos sistemas acima obteremosx = λ

y = −2+√6

z = 2− λ

ou

x = λ

y = −2−√6

z = 2− λ

, para λ ∈ R ,


ou seja, o lugar geométrico dos pontos equidistantes das retas r, s e do ponto A é formado porduas retas, que denotaremos por r1 e r2, que têm equações vetoriais, em relação ao sistemade coordenadas Σ, dadas por :

r1 : (x , y , z)Σ =(0 ,−2+

√6 , 2

)Σ+ λ · (1 , 0 ,−1)E para λ ∈ R

er2 : (x , y , z)Σ =

(0 ,−2−

√6 , 2

)Σ+ λ · (1 , 0 ,−1)E , para λ ∈ R .

Como exercício para o leitor temos o:

Exercício 10.2.1 Obtenha uma equação vetorial da reta r, em relação ao sistema de

coordenadas Σ, que é paralela a reta s, está contida no plano π e dista√20

3u.c. do

ponto A, dados, em relação ao sistema de coordenadas Σ, por:

s : (x , y , z)Σ = (1 , 1 , 0)Σ + λ · (2 , 1 , 2)E , para λ ∈ R ,

π : x− 4 y+ z = 0 ,

A.= (1 , 0 , 1)Σ .

Observação 10.2.2 Para o caso análogo no plano, fixemos um sistema de cooredenadasortogonal no plano,

Γ = (O, E) = (O , e1 , e2) .

Com isto, a distância entre um ponto Po a uma reta r, que será indicada por d(Po, r),no plano, dados, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Γ , por :

Po.= (xo , yo)Γ e r : X = R+ λ · r , para λ ∈ R , (10.33)

onde o R pertence à reta r e o vetor r = O é um vetor diretor da reta r, pode ser obtidada seguinte forma:

Seja P um ponto da reta r e encontremos a projeção ortogonal do vetor−→PPo na

direção do vetor normal unitário n à reta r (veja a figura abaixo).

6

P0

6n

M

d(Po, r)

P

Notemos que, a norma da projeção acima será a distância d(Po, π).Como os sistema de coordenadas Γ é ortogonal, de (3.132), segue que:

d(Po, r)n

∥n∥ é unitário=

∥∥∥∥( −→PPo •

n

∥n∥

)n

∥n∥

∥∥∥∥=

∣∣∣∣ −→PPo •n

∥n∥

∣∣∣∣ ∥∥∥∥ n

∥n∥

∥∥∥∥︸︷︷︸=1

=

∣∣∣ −→PPo •n∣∣∣

∥n∥,


ou seja, a distância do ponto Po ao plano π será:

d(Po, r) =

∣∣∣ −→PPo •n∣∣∣

∥n∥, (10.34)

onde o vetor n é um vetor normal à reta r e o ponto P ∈ π .

10.3 Distância de um Ponto a um Plano

Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a distância de um ponto a um plano, noespaço.

Temos a

Definição 10.3.1 Seja Po um ponto e π um plano no espaço, indicaremos a distância doponto Po ao plano π, por d(Po, π) (veja figura abaixo).

6Po

M

d(Po, π)

π

Seja P um ponto do plano π e encontremos a projeção ortogonal do vetor−→PPo na direção

do vetor normal unitário n do plano π (veja a figura abaixo).

6

P0

6n

M

d(P0, π)

π P

Notemos que, a norma da projeção acima será a distância d(Po, π).Como os sistema de coordenadas Σ é ortogonal, da Proposição (3.10.3) e da Definição

(3.10.3), segue que:

d(Po, π)n

∥n∥ é unitário=

∥∥∥∥( −→PPo •

n

∥n∥

)n

∥n∥

∥∥∥∥=

∣∣∣∣ −→PPo •n

∥n∥

∣∣∣∣ ∥∥∥∥ n

∥n∥

∥∥∥∥︸︷︷︸=1

=

∣∣∣ −→PPo •n∣∣∣

∥n∥,

10.3. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO 295

ou seja, a distância do ponto Po ao plano π será:

d(Po, π) =

∣∣∣ −→PPo •n∣∣∣

∥n∥, (10.35)

onde o vetor n é um vetor normal ao plano π e o ponto P ∈ π .

Observação 10.3.1

1. Se uma equação geral do plano π é dada, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, por

π : ax+ by+ c z+ d = 0 ,

tem a seguinte propriedade:a2 + b2 + c2 = 1 ,

isto é, o vetor normal ao plano

n.= (a , b , c)E

for unitário, diremos que a equação acima é a equação geral do plano π na formanormal.

2. Se a equação geral do plano π é dada, em relação ao sistema de coordenadasorotogonal Σ, por:

π : ax+ by+ c z+ d = 0 ,

está na forma normal, então a distância de um ponto Po ao plano π será dadapor:

d(Po, π) =∣∣∣ −→PPo •n

∣∣∣ , (10.36)

se P ∈ π, pois∥n∥ = 1 .

3. Se temos as coordenadas ponto, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, dada por

Po.= (xo , yo , zo) , (10.37)

uma equaação geral do plano π, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, é dada por:

π : ax+ by+ cz+ d = 0, (10.38)

e o ponto P ∈ π tem coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, dada por

P.= (x1 , y1 , z1) , (10.39)


então

d(Po, π) =

∣∣∣ −→PPo •n∣∣∣

∥n∥

=|(x1 − xo , y1 − yo , z1 − zo)E • (a , b , c)E |

∥(a , b , c)E∥

=|a (x1 − xo) + b (y1 − yo) + c (z1 − zo)|√

a2 + b2 + c2

=|− [axo − byo − c zo − (ax1 + by1 + c z1)]|√

a2 + b2 + c2

P∈π⇔a x1+by1+c z1=−d=

|− [axo + byo + c zo − (−d)]|√a2 + b2 + c2

=|axo + byo + c zo + d|√

a2 + b2 + c2,

isto é, a distância do ponto Po ao plano π, dados, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, por (10.37) e (10.38), respectivamente, será dada por:

d(Po, π) =|axo + byo + c zo + d|√

a2 + b2 + c2. (10.40)

4. Se a equação geral do plano π, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, estiver na forma norma, isto é,

a2 + b2 + c2 = ∥n∥2 = 1 ,

a distância do ponto Po ao plano π, dados, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, por (10.37) e (10.38), respectivamente, será dada por:

d(Po, π) = |axo + byo + c zo + d| . (10.41)

5. Um outro modo de calcularmos a distância do ponto Po ao plano π seria:

Escolhamos três pontos A,B,C, não colineares, pertencentes ao plano π (veja afigura abaixo).

Seja h o valor da altura do paralelepípedo, relativa a base que está no plano π,isto é, (veja a figura abaixo)

h = d(Po, π) .

π

A B

C

Pod(Po, π) = h


Sabemos que o volume, que indicaremos por V, do paralelepípedo que tem comoquatro dos seus pontos, A, B, C e Po, pode ser dado em termos do produto misto,a saber:

V =∣∣∣[−→AB ,

−→AC ,

−→APo

]∣∣∣=∣∣∣(−→AB ∧

−→AC)•

−→APo

∣∣∣ . (10.42)

Sabemos também que a área, que indeicaremos por A, da base do paralelepípedoacima, pode ser dada em termos do produto vetorial, a saber:

A =∣∣∣−→AB ∧

−→AC∣∣∣ . (10.43)

Como o volume do paralelepípedo é dada por:

V = A · h , (10.44)

de (10.42), (10.43) e (10.44), segue que∣∣∣(−→AB ∧

−→AC)•

−→APo

∣∣∣ (10.42)= V (10.44)

= A · h(10.43)=

∣∣∣−→AB ∧−→AC∣∣∣ · h . (10.45)

Como h = d(Po, π), segue que

d(Po, π) =

∣∣∣(−→AB ∧

−→AC)•

−→APo

∣∣∣∣∣∣−→AB ∧−→AC∣∣∣ . (10.46)

Observemos que, na cituação acima, o vetor

−→AB ∧

−→AC

é um vetor normal ao plano π e assim a expressão (10.46) é semelhante a (10.35).

Apliquemos estas idéias aos seguintes exemplos:

Exemplo 10.3.1 Calcular a distância do ponto Po ao plano π dados, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, por

Po.= (1 , 2 ,−1)Σ (10.47)

eπ : 3 x− 4 y− 5 z+ 1 = 0 , (10.48)

respectivamente.


Resolução:Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, segue, de (10.48), que o vetor

n.= (3 ,−4 ,−5)E (10.49)

é um vetor normal ao plano π.Logo, de (10.40), teremos:

d(Po, π)(10.40)=

|axo + byo + c zo + d|√a2 + b2 + c2

(10.47) e (10.48)=

|3 · 1+ (−4) · 2+ (−5) · (−1) + 1|√32 + (−4)2 + (−5)2

=1√50

=

√50

50u.c. .

Portanto a distância do ponto Po ao plano π será igual à√50

50u.c. (unidades de compri-

mento).Podemos aplicar também ao:

Exemplo 10.3.2 Encontrar a equação geral do plano π, em relação ao sistema de co-ordenadas ortogonal Σ, que contém a reta r e dista

√2u.c. do ponto Po, dados, em

relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, por

r : (x , y , z)Σ = (1 , 0 , 1)Σ + λ · (1 , 1 ,−1)E , para λ ∈ R (10.50)

ePo

.= (1 , 1 ,−1)Σ , (10.51)

respectivamente.

Resolução:Como a reta r está contida no plano π, temos que o plano π deverá pertencer ao feixe de

planos que contém a reta r.Para determinar a equação do feixe de planos que contém a reta r, precisaremos encontrar

dois planos distintos que contenham a reta r, ou ainda, descrever a reta r com a intersecçãode dois planos concorrentes e distintos.

Para isto observemos que, de (10.50), segue que:

r :

x = 1+ λ

y = λ

z = 1− λ

, para λ ∈ R ,

como λ = y teremos: r :

x = 1+ y

z = 1− y,

isto é, r :

x− y− 1 = 0

y+ z− 1 = 0, (10.52)


ou seja, a reta r está sendo descrita como a intersecção dos planos, cujas equações gerais, emrelação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

π1 : x− y− 1 = 0

π2 : y+ z− 1 = 0 ,

que são dois planos concorrentes e distintos (verifique!).Logo a equação do feixe de planos que contém a reta r será dada por:

α (x− y− 1) + β (y+ z− 1) = 0 , ou seja, αx+ (β− α)y+ βz+ (−α− β) = 0,

ondeα2 + β2 = 0 .

Logo o plano π terá uma equação geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, da forma:

π : αx+ (β− α)y+ βz+ (−α− β) = 0 (10.53)

ondeα2 + β2 = 0 .

Como o sistema de coordendas Σ é ortogonal, sabemos que vetor

n.= (α ,β− α ,β)E (10.54)

será um vetor normal ao plano π.Mas

√2 = d(Po, π)

(10.40)=

|axo + byo + c zo + d|√a2 + b2 + c2

(10.51) e (10.54)=

|α · 1+ (β− α) · 1+ β · (−1) − α− β|√α2 + (β− α)2 + β2

=|− α− β|√

2α2 − 2αβ+ 2β2

isto é, 2(2α2 − 2αβ+ 2β2

)= (α+ β)2 ,

ou seja, 4α2 − 4αβ+ 4β2 = α2 + 2αβ+ β2 ,

ou ainda, 3α2 − 6αβ+ 3β2 = 0 ,

3(α− β)2 = 0 ,

ou seja,α = β .

Assim, a equação geral do plano π procuradao será, dada, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, por :

π : αx+ (α− α)y+ αz+ (−α− α) = 0 ,

ou seja, π : αx+ αz− 2α = 0 ,

ou ainda, π : α (x+ z− 2) = 0 .


Tomando-se, por exemplo,α = 1 ,

segue que o plano π procurado, terá equação geral dada, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, por :

π : x+ z− 2 = 0 .

10.4 Distância entre duas Retas

Nesta seção obteremos uma expressão para a

Definição 10.4.1 distância entre duas retas, r e s do espaço, que será indicada pord(r, s).

No final desta seção trataremos do caso em que as retas estão contidas em um plano.Observemos que a distância entre as retas r e s será a distância entre os pontos A e B que

pertencem as retas r e s, respectivamente, onde a reta←→AB é uma reta perpendicular as retas

r e s (veja a figura abaixo).

r

s

←→AB

A

B d(r, s)

Poderemos ter as seguintes situações:

1. Se as retas r e s são concorrentes os pontos A e B serão coincidentes e assim (veja afigura abaixo)

d(r, s) = 0 . (10.55)

r

s

A = B

10.4. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS 301

2. Se as retas r e s são paralelas (não coincidentes) e R é um ponto que pertence à reta r,deveremos ter

d(r, s) = d(R, s) , (10.56)

que vimos como calcular (veja (10.8)), ou ainda, se o ponto S pertence à reta s, deve-remos ter

d(r, s) = d(S, r) . (10.57)

Neste caso, observamos que toda reta perpendicular à reta r será perpendicular a retas (veja a figura abaixo).

s

rRd(r, s) = d(R, s)

3. Se as retas r e s são reversas, consideremos r e s, dois vetores diretores das retas r e s,respectivamente.

Observemos que, como as as retas r e s são reversas, os vetores r , s serão L.I. em V3.

Logo o vetor

r∧ s

será um vetor não nulo e ortogonal às retas r e s (pois, como sabemos, o vetor r∧ s = O

é ortogonal aos vetores r e s).

Escolha um ponto R pertencente à reta r e um ponto S pertencente à reta s.

A norma da projeção ortogonal do vetor−→RS, na direção do vetor unitário

r∧ s

∥r∧ s∥, será

igual a distância da reta r à reta s (veja a figura abaixo).

r

s

-

>

r

s

R

S6

r∧s∥r∧s∥

d(r, s)

−→RS


Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, segue, da Proposição (3.10.3) e daDefinição (3.10.3), que a distância da reta r à reta s será dada por:

d(r, s) =

∣∣∣∣∣∣−→RS • (r∧ s)

∥r∧ s∥

∣∣∣∣∣∣ ,ou seja, d(r, s) =

∣∣∣−→RS •(r∧ s)∣∣∣

∥r∧ s∥(10.58)

Observação 10.4.1

1. Observemos que a expressão acima à esquerda, é o quociente entre os volume doparalelepípedo determinado pelos vetores

r , s ,−→RS ,

dividido pela área do paralelogramo determinado pelos vetores (veja a figura abaixo)

r , s .

r

s

R

S

*

r

s

d(s, r)

-

Logo isto nos dará a altura do paralelepípedo que será a distância entre as retasreversas r e s.

2. A expressão acima também pode ser utilizada quando as retas são concorrentes.

De fato, pois neste caso teremos (veja a figura abaixo)

−→RS •(r∧ s) = 0 .

r

s

-

>

r

s

R

S−→RS

6r ∧ s


Logo, utilizando a expressão (10.58), teremos que

d(r, s) = 0 . (10.59)

3. Porém a expresão acima não serve para o caso em que as retas são paralelas (nãocoincidentes).

De fato, pois neste casor∧ s = O

(pois os vetores r, s são L.D. em V3) e sabemos que

d(r, s) = 0 ,

pois as retas são paralelas e não coincidentes.

4. Resumindo: sejam r , s vetores diretores das retas r e s, respectivamente.

(a) Se os vetores r, s são L.I. em V3, temos que

d(r, s) =

∣∣∣−→RS •(r∧ s)∣∣∣

∥r∧ s∥, (10.60)

onde os pontos R , S são pontos da reta r e da reta s, respectivamente.

(b) Se os vetores r, s são L.D. em V3, temos que

d(r, s) = d(R, s) (10.61)

onde o ponto R é um ponto da reta r ou

d(r, s) = d(S, r) (10.62)

onde o ponto S é um ponto da reta s .

Apliquemos as idéias acima aos seguintes exemplos:

Exemplo 10.4.1 Calcular a distância entre as retas r e s, dadas, , em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, por

r :

x = z− 1

y = 3 z− 2(10.63)

e

s :

3 x− 2 z+ 3 = 0

y− z− 2 = 0, . (10.64)


Resolução:Encontremos as equações vetoriais da reta r e da reta s, em relação ao sistema de coor-

denadas ortogonal Σ.Notemos que, tanto a reta r quanto a reta s, são dadas como intersecção de dois planos

(dados pelas equações em (10.63) e (10.64), respctivamente).Uma equação vetorial para a r, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ.Considerando-se-se

z = λ


r :

x = λ− 1

y = 3 λ− 2

z = λ

, para λ ∈ R , ou seja,

x = −1+ 1 λ

y = −2+ 3 λ

z = 0+ 1 λ

, para λ ∈ R .

Logo, o ponto, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, sãodadas por

R.= (−1 ,−2 , 0)Σ (10.65)

pertence à reta r e o vetor, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E , são dadas por

r.= (1 , 3 , 1)E (10.66)

é um vetor diretor da reta r.Assim sua equação vetorial será:

r : X = R+ λ · r , para λ ∈ R .

Uma equação vetorial para a s, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ.Considerando-se-se

z = λ


r :

3x− 2 λ+ 3 = 0

y− λ− 2 = 0

z = λ

, para λ ∈ R , ou seja,

x = −1+

2

3λ

y = 2+ 1 λ

z = 0+ 1 λ

, para λ ∈ R .

Logo, o ponto, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, sãodadas por

S.= (−1 , 2 , 0)Σ (10.67)

pertence à reta s e e o vetor, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E , são dadaspor

s.=

(2 , 1 ,

2

3

)E

(10.68)

será um vetor diretor da reta s.


Assim sua equação vetorial será

s : X = S+ λ · s , para λ ∈ R .

Consideremos o pontoR = (−1 ,−2 , 0)Σ ,

que pertence à reta r e o pontoS = (−1 , 2 , 0)Σ ,

que pertence à reta s.Notemos que, de (10.66) e (10.68), segue que os vetores

r , s

são L.I. em V3, logo as retas r e s serão concorrentes ou reversas, ou seja, para calcular adistânicas entre elas poderemos utilizar a expressão (10.60), ou seja,

d(r, s) =

∣∣∣−→RS •(r∧ s)∣∣∣

∥r∧ s∥.

Mas−→RS= S− R

(10.67) e (10.65)= (0 ,−4 , 0)E (10.69)

e como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, da Proposição ???, segue que

r∧ s(10.66) e (10.68)

=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 3 123

1 1

∣∣∣∣∣∣∣= −2 · e1 −

1

3· e2 − e3 =

(−2 ,−

1

3,−1

)E. (10.70)

Logo

d(r, s)(10.60)=

∣∣∣−→RS •(r∧ s)∣∣∣

∥r∧ s∥

(10.69) e (10.70)=

∣∣∣∣(0 ,−4 , 0)E •(−2 ,−

1

3,−1

)E)

∣∣∣∣∥∥∥∥(−2 ,−1

3,−1

)E

∥∥∥∥=

4√46

=2√46

23.

Logo a distância da reta r à reta s será igual à2√46

23u.c. (unidades de comprimento).

Deixaremos para o leitor o seguinte:


Exercício 10.4.1 Dados o ponto Po, o plano π e a reta s, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, por

Po.= (1 , 3 − 1)Σ ,

π : x+ z− 2 = 0

es : x− z = y+ 2 = z− x+ 4 ,

obtenha as equações paramétricas de uma reta r, , em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, que contenha o ponto Po, seja paralela ao plano π e dista 3u.c. da reta s.

Para calcular a distância entre duas retas no plano temos a seguinte:

Observação 10.4.2 Como no caso do espaço, no plano notamos que a distância entreas retas r e s será a distância entre os pontos A e B que pertencem as retas r e s,respectivamente, onde a reta

←→AB é uma reta perpendicular as retas r e s (veja a figura

abaixo).

r

s

←→AB

A

B d(r, s)

No plano, poderemos ter as seguintes duas situações:

1. Se as retas r e s são concorrentes os pontos A e B serão coincidentes e assim(veja a figura abaixo)

d(r, s) = 0 . (10.71)

r

s

A = B

2. Se as retas r e s são paralelas (não coincidentes) e R é um ponto que pertence àreta r, deveremos ter

d(r, s) = d(R, s) , (10.72)

10.5. DISTÂNCIA DE UMA RETA A UM PLANO 307

que vimos como calcular, ou ainda, se o ponto S pertence à reta s, deveremos ter

d(r, s) = d(S, r) , (10.73)

que podem ser encontradas utilizando-se (10.34).

Neste caso, observamos que toda reta perpendicular à reta r será perpendicular areta s (veja a figura abaixo).

s

rRd(r, s) = d(R, s)

10.5 Distância de uma Reta a um Plano

Nesta seção obtermos a

Definição 10.5.1 distância de uma reta r a um plano π, que indicaremos por d(r, π).

Temos duas possibilidades:

1. Se a reta r intercepta o plano π, isto é, r ∩ π = P (veja a figura abaixo), teremos:

d(r, π) = 0 . (10.74)

r

P

π

2. Se a reta r é paralela (não contida) ao plano π, escolhendo-se um ponto R pertencenteà reta r deveremos ter (veja a figura abaixo)

d(r, π) = d(R, π) , (10.75)

que aprendemos a calcular na seção 10.3.


π

r

R d(r, π) = d(R, π)

Observação 10.5.1 Resumindo, se r ∩ π = ∅, temos que a distância da reta r ao planoπ, será igual a zero.

No caso a reta r seja paralela (não contida) ao plano π, a distância da reta r aoplano π, será igual a distância de qualquer ponto da reta r ao plano π.

Observemos que, neste segundo cao, todos os pontos da reta r estarão à uma mesmadistância do plano π, mas nem todos os pontos do plano π estarão a uma mesmadistância da reta r.

π

r

Consideremos os exemplos:

Exemplo 10.5.1 Determinar a distância da reta r ao plano π dadas, em relação aosistema de cooredenadas ortogonal Σ, por:

r :

x+ y = 2

x = y+ z(10.76)

eπ : x− 2 y− z− 1 = 0 . (10.77)

Resolução:Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, de (10.77), segue que o vetor

n.= (1 ,−2 ,−1)E (10.78)

é um vetor normal ao plano π.Notemos que o sistema linear equações (10.76) nos fornece a reta r como um intersecção

de dois planos (cujas equações gerais, são as equações do sistema linear (10.76), em relaçãoao sistema de coordenadas ortogonal Σ).

Tomando-sez = λ

10.6. DISTÂNCIA ENTRE DOS PLANOS 309

no sistem linear (10.76), obteremos:

r :

x+ y = 2

x = y+ λ

z = λ

, para λ ∈ R , ou seja

x = 1+

1

2λ

y = 1−1

2λ

z = 0+ 1 λ

, para λ ∈ R ,

ou seja, o ponto R, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ,são dadas por

R.= (1 , 1 , 0)Σ (10.79)

pertence à reta r e o vetor r cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E , são dadaspor:

r.=

(1

2,−

1

2, 1

)E

(10.80)

é um vetor diretor da reta r, isto é, uma equação vetorial da reta r será:

r : X = R+ λ · r , para λ ∈ R .

Notemos que

n • r (10.78) e (10.80)= (1 ,−2 ,−1)E •

(1

2,−

1

2, 1

)E=

1

2+ 1− 1 =

1

2= 0 .

Logo, da seção 7.2 (veja a Observação (7.2.2)), sabemos que a reta r intercepta o planoπ, portanto

d(r, π) = 0 .

Como exercíco para o leitor temos o:

Exercício 10.5.1 Encontrar uma equação geral do plano π, em relação ao sistema decooredenadas ortogonal Σ, que contém os A, B e que dista 1 da reta r, dados, em relaçãoao sistema de cooredenadas ortogonal Σ, por

A.= (1 , 1 ,−1)Σ e B

.= (2 , 1 , 1)Σ (10.81)

er : (x , y , z)Σ = (1 , 0 , 2)Σ + λ · (1 , 0 , 2)E , para λ ∈ R . (10.82)

10.6 Distância entre dos Planos

Nesta seção encontraremos uma expressão para a

Definição 10.6.1 distância entre dois planos π1 e π2, que será indicada por d(π1, π2).

Temos duas possibilidades:

1. Se os planos π1 e π2 são concorrentes, então teremos (veja a figura abaixo)

d(π1, π2) = 0 . (10.83)


π2

π1

2. Se os planos π1 e π2 são paralelos (não coincidentes) e o ponto P1 pertence ao plano π1

(veja a figura abaixo), então

d(π1, π2) = d(P1, π2) , (10.84)

ou, se o ponto P2 pertence ao plano π2, então

d(π1, π2) = d(P2, π1) . (10.85)

Lmebremos que a distânica de um ponto a um plano foi tratada anteriormente na seção10.3.

P1

π2

π1

d(π1, π2)

Consideremos o seguinte:

Exemplo 10.6.1 Calcular a distância do plano π1 ao plano π2, dados, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, por:

π1 : −3 x− 6 y− 9 z+ 6 = 0 e π2 : x+ 2 y+ 3 z− 1 = 0 . (10.86)

Resolução:Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal segue, de (10.86), que o vetor n1, cujas

coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, são:

n1.= (−3 ,−6 ,−9)E (10.87)

é um vetor normal ao plano π1 e o vetor n2 , cujas coordenadas, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, são:

n2.= (1 , 2 , 3)E (10.88)

é um vetor normal ao plano π2.

10.7. DISTÂNCIAS ENTRE CONJUNTOS 311

Notemos que, de (10.87) e (10.88) segue que,

n1 = −3 · n2 e d1 = 6 = 3 = −3 d2 .

Logo, da seção 7.3 (ou ainda, a Observação (7.3.1) item 7.), segue que os planos π1 e π2

são paralelos e distintos.Portanto,

d(π1, π2) = d(P1, π2) ,

onde o ponto P1 pertence ao plano π1.Em particular, notemos que o ponto, cujas coordenadas em relação ao sistema de coorde-

nadas orotognal Σ, são dadas por:P1

.= (2 , 0 , 0)Σ (10.89)

pertence ao plano π1 (verifque !).Assim

d(π1, π2) = d(P1, π2)(10.40),(10.89) e (10.86)

=|2+ 2 · 0+ 3 · 0− 1|√

12 + 22 + 32

=1√14

=

√14

14.

Portanto a distância entre os planos π1 e π2 é igual a√14

14u.c. (unidades de comprimento).

10.7 Distâncias entre Conjuntos

Tudo o que vimos anteriormente pode ser olhado do seguinte ponto de vista geral:

Definição 10.7.1 Sejam Ω1 e Ω2 dois subconjuntos, não vazios, do espaço (ou doplano).

Definimos a distância entre os conjuntos Ω1 e Ω2, que será indicada por, d(Ω1,Ω2)

como sendod(Ω1,Ω2)

.= inf d(P1, P2) ; P1 ∈ Ω1 , P2 ∈ Ω2 . (10.90)

Observação 10.7.1

1. Observemos que o conjunto

d(P1, P2) , ; P1 ∈ Ω1 , P2 ∈ Ω2

é não vazio e limitado inferiomente por zero.

Logo o ínfimo em (10.90) existe em [0,∞).

2. SeΩ1 ∩Ω2 = ∅ ,

entãod(Ω1,Ω2) = 0 .


De fato, pois existirá um ponto

P ∈ Ω1 ∩Ω2 .

Assimd(P, P) = 0 , mostrando que d(Ω1,Ω2) ≤ 0 .

Mas, de (10.90) temos qued(Ω1,Ω2) ≥ 0 ,

o que implicarád(Ω1,Ω2) = 0 .

3. Não vale a recíproca do resultado acima, isto é, existem subcojuntos Ω1,Ω2 doespaço (ou do plano) tais que

d(Ω1,Ω2) = 0 , mas Ω1 ∩Ω2 = ∅ .

Para ver um exemplo que isto pode ocorrer, consideremos um sistema de coorde-nadas orotognal Σ no espaço e sejam (veja figura abaixo)

Ω1.= (x , 0 , 0)Σ ; x ∈ R e Ω2

.=

(x ,

1

x, 0

)Σ

; x > 0

.

-

6

x

y

Z

Ω1

o

Ω2

Temos queΩ1 ∩Ω2 = ∅ e d(Ω1,Ω2) = 0 .

A verificação destes fatos será deixada como exercício para o leitor.

Capítulo 11

Mudança de Coordenadas

Em diversos problemas relacionados à Geometria, somos levados a mudar o sistema de coor-denadas

Σ = (O , E) = (O , e1 , e2 , e3) ,

dado inicialmente no espaço, para um novo sistema de coordenadas

Σ ′ = (O ,F) =(O ′ , f1 , f2 , f3

),

mais conveniente, que venha facilitar a resolução do nosso problema.Ao final de cada uma das seções, trataremos das situações análogas, para o plano.Neste capítulo veremos como se alteram as coordenadas de pontos, ou mais geralmente

lugares geométricos, quando mudamos o sistema de coordenadas no espaço (e no plano).

11.1 Mudança de Coordenadas no Espaço

SejamΣ = (O , E) = (O , e1 , e2 , e3) e Σ ′ = (O ,F) =

(O ′ , f1 , f2 , f3

)dois sistemas de coordenadas no espaço.

Utilizaremos a terna(x , y , z)Σ

para indicarmos as coordenadas de um ponto em relação ao sistema de coordenadas Σ (ditoantigo, ou inicial) e a terna

(u , v ,w)Σ ′

para indicarmos as coordenadas de um ponto em relação ao sistema de coordenadas Σ ′ (ditonovo, ou final).

ComoE = (e1 , e2 , e3) e F =

(f1 , f2 , f3

)denotam duas bases de V3, podemos obter a matriz de mudança de base, da base E para abase F , isto é, a matriz quadrada

MEF =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

(11.1)

313

314 CAPÍTULO 11. MUDANÇA DE COORDENADAS

onde, f1 = a11 · e1 + a21 · e2 + a31 · e3f2 = a12 · e1 + a22 · e2 + a32 · e3f3 = a13 · e1 + a23 · e2 + a33 · e3

. (11.2)

Suponhamos que as coordenadas da nova origem O ′, em relação ao sistema de coordenadasΣ (isto, antigo), sejam dadas por:

O ′ .= (h , k , l)Σ . (11.3)

Deste modo, sabemos que (ver a Definição ??)

−→OO ′= (h, k, l)E . (11.4)

Seja P um ponto qualquer do espaço.Suponhamos que que as coordenadas da nova origem P, em relação ao sistema de coorde-

nadas Σ (isto, antigo), sejam dadas por:

P = (x , y , z)Σ (11.5)

e que as coordenadas da nova origem P, em relação ao sistema de coordenadas Σ ′ (isto, novo),sejam dadas por:

P = (u , v ,w)Σ ′ , (11.6)

que, pela Definição ???, é equivalente a:

−→OP= (x , y , z)E e

−→O ′P= (u , v ,w)F . (11.7)

Logo, em relação ao sistema de coordenadas Σ (antigo), teremos que

−→O ′P =

−→OP −

−→OO ′

(11.7)= (x , y , z)E − (h , k , l)E

= (x− h , y− k , z− l)E . (11.8)

Logo, da Proposição ???, segue que:( −→O ′P

)E= MEF

( −→O ′P

)F, (11.9)

que, de (11.1) e (11.7), é equivalente à: x− h

y− k

z− l

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

u

v

w

=

a11u+ a12v+ a13w

a21u+ a22v+ a23w

a31u+ a32v+ a33w

,

11.1. MUDANÇA DE COORDENADAS NO ESPAÇO 315

ou seja, x = h+ a11u+ a12 v+ a13w

y = k+ a21 u+ a22 v+ a23 w

z = l+ a31 u+ a32 v+ a33 w

. (11.10)

Com isto temos a:

Definição 11.1.1 As equações de (11.10) serão denominadas equações de mudança desistema de coordenadas, do sistema de coordenadass Σ para o sistema de coordena-das Σ ′.

Observação 11.1.1 De (11.9), temos que u

v

w

= (MEF)−1

x− h

y− k

z− l

, (11.11)

cujas equações serão denominadas equações de mudança de sistema de coordenadas,do sistema de coordenadas Σ ′ para o sistema de coordenadas Σ.

Com isto podemos obter tanto

x , y , z , em temos de u , v ,w ,

como tambému, v,w em termos de x , y , z ,

ou seja, encontrar as coordenadas do ponto P, em relação ao sistema de coordenadas Σ

(antigo), conhecendo-se as coordenadas do ponto P, em relação ao sistema de coorde-nadas Σ ′ (novo), como também, encontrar as coordenadas do ponto P, em relação aosistema de coordenadas Σ ′ (novo) (utilizando-se (11.11)), conhecendo-se as coordenadasdo ponto P, em relação ao sistema de coordenadas Σ (antigo) (utilizando-se (11.10)).

Apliquemos as idéias acima aos exemplos seguintes:

Exemplo 11.1.1 Encontrar as equações de mudança do sistema de coordenadas

Σ = (O , E) = (O , e1 , e2 , e3)

para o sistema de coordenadas

Σ ′ = (O ′ ,F) =(O ′ , f1 , f2 , f3

),

ondeO ′ .

= (1 , 2 ,−1)Σ (11.12)

e f1 = e1

f2 = e3

f3 = e1 + 2 · e2 − e3

. (11.13)


Resolução:Notemos que (11.13), pode ser reescrito como:

f1 = 1 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3f2 = 0 · e1 + 0 · e2 + 1 · e3f3 = 1 · e1 + 2 · e2 + (−1) · e3

,

ou seja, a matriz de mudança de base, da base E para a base F será dada por:

MEF =

1 0 1

0 0 2

0 1 −1

.

Logo, de (11.10), as equação de mudança de sistema de coordenadas, do sistema de coor-denadas Σ para o sistema de coordenadas Σ ′ serão dadas por:

x = 1+ 1u+ 0 v+ 1w

y = 2+ 0u+ 0 v+ 2w

z = −1+ 0u+ 1 v+ (−1)w

, ou seja,

x = 1+ u+w

y = 2+ 2w

z = −1+ v−w

. (11.14)

Exemplo 11.1.2 Considerando os sistemas de coordenadas do Exemplo (11.1.1) acima,obtenha as coordenadas do ponto P em relação ao sistema de coordenadas Σ ′, sabendo-se que as coordenadas do mesmo, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dadaspor:

P.= (2 , 1 ,−3)Σ . (11.15)

Além disso, obtenha as coordenadas do ponto Q, em relação ao sistema de coordena-das Σ, sabendo-se que as coordenadas do mesmo, em relação ao sistema de coordenadasΣ ′, são dadas por:

Q.= (0 , 1 ,−1)Σ ′ (11.16)

Resolução:Para obteremos as coordenadas do ponto Q, em relação ao sistema de coordenadas Σ,

sabendo-se que as coordenadas do mesmo, em relação ao sistema de coordenadas Σ ′, bastaaplicarmos as equações (11.14) obtidas no Exemplo (11.1.1) acima, isto é, se as coordenadasdo ponto Q, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dadas por

Q = (x , y , z)Σ (11.17)

então, suas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, devem satisfazer (11.14),ou seja (de (11.16), segue que u = 0, v = 1 e w = −1):

x = 1+ 0+ (−1) = 0

y = 2+ 2 (−1) = 0

z = −1+ 1− (−1) = 1

,


ou seja,

Q = (0 , 0 , 1)Σ . (11.18)

Por outro lado, se as coordenadas do ponto P, em relação ao sistema de coordenadas Σ ′,são dadas por

P.= (u , u ,w)Σ ′ (11.19)

então, suas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ, devem satisfazer (11.14),ou seja (de (11.16), segue que (com x = 2, y = 1 e z = −3), teremos que encontrar as soluçõesdo sistema linear: linear:

2 = 1+ u+w

1 = 2+ 2w

−3 = −1+ v−w

, isto é,

u =3

2

v = −5

2

w = −1

2

.

A verificação desta última passagem será deixada como exercício para o leitor (veja oapêndice (B) para mais detalhes).

Com isto, teremos que

P =

(3

2,−

5

2,−

1

2

)Σ

. (11.20)

Observação 11.1.2 Como vimos na seção ???, temos que

MFE = (MEF)−1

=

1 0 1

0 0 2

0 1 −1

−1

=

1 −1

20

01

21

01

20

, (11.21)

onde última passagem será deixada como exercício para o leitor (veja o apêndice (A)para mais detalhes).


Logo, utilizando (11.11), no Exemplo (11.1.1) acima, de (11.21) e (11.12),segue que

u

v

w

= (MEF)−1

x− h

y− k

z− l

h=1 ,k=2 ,l=−1=

1 −1

20

01

21

0 12

0

x− 1

y− 2

z+ 1

=

1 (x− 1) −1

2(y− 2) + 0 (z+ 1)

0 (x− 1) +1

2(y− 2) + 1 (z+ 1)

0 (x− 1) +1

2(y− 2) + 0 (z+ 1)

ou seja,

u

v

w

=

x−1

2y

1

2y+ z

1

2y− 1

(11.22)

Portanto, como as coordenadas do ponto P, em relação ao sistema de coordenadasΣ, são dadas por:

P = (2 , 1 ,−3)Σ

temos, de (11.22) (com x = 2, y = 1 e z = −3), que:

u

v

w

=

1 −1

20

01

21

01

20

1

−1

−2

=

3

2

−5

2

−1

2

,


ou seja

P =

(3

2,−

5

2,−

1

2

)Σ ′

que coincide com o que foi obtido no Exemplo (11.1.2) acima (veja (11.20)).

Exemplo 11.1.3 Baseado no Exemplo (11.1.1), encontre as equações da reta r e doplano π, em relação ao sistema Σ ′, sabendo-se que eles são dados, em relação aosistema Σ, por:

r : [(x , y , z)Σ = (1 , 1 , 2)Σ + λ · (3 , 1 ,−2)E , para λ ∈ R]Σ (11.23)

e

π : [x− 3 y+ 2 z− 2 = 0]Σ . (11.24)

Resolução:Começaremos tratando da reta r :Do Exemplo (11.1.1), segue que

r :

x = 1+ 3 λ

y = 1+ λ

z = 2− 2 λ

, para λ ∈ R , de (11.14), teremos:

1+ u+w = 1+ 3 λ

2+ 2w = 1+ λ

−1+ v−w = 2− 2 λ

, para λ ∈ R ,

ou seja (Exercício),

u =1

2+

5

2λ

v =5

2−

3

2λ

w = −1

2+

1

2λ

, para λ ∈ R , (11.25)

que são as equações paramétricas da reta r, , em relação ao sistema de coordenadas Σ ′.Logo, uma equação vetorial da reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ ′, será dada

por:

r :

[(x , y , z)Σ ′ =

(1

2,5

2,−

1

2

)Σ ′+ λ ·

(5

2,−

3

2,1

2

)F, para λ ∈ R

]Σ ′

.

Trataremos agora do plano π:Notemos que, do Exemplo (11.1.1), segue que

π : x− 3 y+ 2 z− 2 = 0 ,

de (11.14), teremos: (1+ u+w) − 3 (2+ 2w) + 2 (−1+ v−w) − 2 = 0

ou ainda (Exercício), u+ 2 v− 7w− 9 = 0 .

Logo, uma equação geral do plano π, em relação ao sistema de coorednadas Σ ′, será dadapor:

π : [u+ 2 v− 7w− 9 = 0]Σ .

Temos as:


Observação 11.1.3 Quando o sistema de coordenadas

Σ = (O ′, E) = (O ′ , e1 , e2 , e3) ,

isto é, mudamos a origem do sistema de coordenadas para o ponto

O ′ .= (h , k , l)Σ ,

mas mantivemos a baseE = (e1 , e2 , e3) ,

as equação de mudança do sistema de coordenadas Σ para o sistema de coordenadas Σ ′

ficarão na forma (veja (11.10)): x = h+ u

y = k+ v

z = l+w

. (11.26)

Isto acontece pois, neste caso, a matriz de mudança de, da base E para a própria,será a matriz identidade I3.

Com isto temos a:

Definição 11.1.2 As equações (11.26) serão denominadas equações da translação dosistema Σ para o ponto O ′.

-

R

e1

e2

e3

O O ′ -

7

R

e1

e2

e3

Σ = (O , e1 , e2 , e3) Σ ′ = (O ′ , e1 , e2 , e3)

11.2 Mudança de Coordenadas no Plano

Tudo o que fizemos anteriormente no espaço, podemos adaptar para o plano, como vimosanteriormene, como as noões de comprimento, direção e sentido de segmento orientado noplano; classe de equipolência de segmentos orientados no plano; vetores no plano, isto é, V2;comprimento, direção e sentido de vetores no plano, etc. .

Uma das poucas diferenças é que uma base de V2, é formado por dois vetores L.I. em V2

e portanto os elementos do plano, a saber, pontos e vetores, têm apenas duas coordenadas.Consideremos dois sistemas de coordenadas no plano, a saber:

Σ = (O , E) = (O , e1 , e2) e Σ ′ = (O ′ ,F) =(O ′, f1 , f2

), (11.27)

11.2. MUDANÇA DE COORDENADAS NO PLANO 321

ondeO ′ .

= (h , k)Σ . (11.28)

Como no caso do espaço podemos obter os vetores da base F como combinação linear dosvetores da base E , da seguinte forma:

f1 = a11 · e1 + a21 · e2f1 = a12 · e1 + a22 · e2

(11.29)

e como isto obter a matriz de mudança de base, da base E = (e1, e2) para a base F =

=(f1, f2

)indexmatriz!de mundanaça de base em V2, que é indicada por:

MEF =

(a11 a12

a21 a22

). (11.30)

Da Definição ?? e de (11.28), segue que

−→OO ′= (h , k)E , . (11.31)

Seja P um ponto qualquer do plano.Suponhamos que as coordenadas do ponto, em relação ao sistema de coordenadas Σ e em

relação ao sistema de coordenadas Σ ′ , sejam dadas por:

P = (x , y)Σ e P = (u , v)Σ ′ , (11.32)

respectivamente.Da Definição ?? e de (11.32), segue que

−→OP= (x , y)E e

−→O ′P= (u , v)F . (11.33)

Logo, em relação ao sistema de coordenadas Σ, teremos que

−→O ′P =

−→OP −

−→OO ′

(11.33)= (x , y)E − (h , k)E

= (x− h , y− k)E . (11.34)

Por outro lado, em relação ao sistema de Σ ′, teremos

−→O ′P= (u , v)F .

Logo, segue da Proposição ???, que as coordenadas do vetor−→O ′P em relação as bases E e

F , relaionam-se da seguinte forma:( −→O ′P

)E= MEF

( −→O ′P

)F, (11.35)


que, de (11.34), (11.30) e (11.33), é o mesmo que:(x− h

y− k

)=

(a11 a12

a21 a22

)(u

v

)

=

(a11 u+ a12 v

a21 u+ a22 v

),

ou ainda, x = h+ a11 u+ a12 v

y = k+ a21 u+ a22 v. (11.36)

Com isto temos a:

Definição 11.2.1 As equações (11.36), serão denominadas equações de mudança do Σ

sistema de coordenadas para o sistema de coordenadas Σ ′.

A seguir estudaremos alguns casos particulares mudanças de sistemas de coordenadas noplano.

Começaremos pela:

11.2.1 Translação

Fixemos um sistema de coordenadas

Σ = (O , E) = (O, e1, e2)

ortogonal no plano, isto é, os vetores do e1 , e2 são unitários e ortogonais.Consideremos o sistema de coordenadas (orotogonal)

Σ ′ = (O ′, e1, e2) ,

isto é, mudamos a origem do sistema de coordenadas Σ, mas mantivemos a base, ou seja,F = E .

-

6

-e1

6e2

e2

O O ′

e1

Σ = (O, e1, e2) Σ ′ = (O ′, e1, e2)

Neste caso temos que, (11.28) tornar-se-á:e1 = 1 · e1 + 0 · e2e2 = 0 · e1 + 1 · e2

,

ou seja, a matriz de mudança de base, da base E para a própria, será a matriz identidade I2.


Logo, as equação (11.36), tornar-se-ãox = h+ u

y = k+ v, (11.37)

que serão denominadas equações da translação do sistema de coordenadas Σ.Consideremos o:

Exemplo 11.2.1 Encontre as equações de uma translação do sistema de coordenadas

Σ = (O, e1, e2) ,

de modo que a reta r, cuja equação vetorial, em relação ao sistema de coordenadas Σ,dada por

r : [(x , y)Σ = (2 , 0)Σ + λ · (−3 , 1)E , para λ ∈ R]Σ , (11.38)

contenha a nova origem O ′, do sistema de coordenadas

Σ ′ = (O ′ , E) = (O ′, e1, e2) ,

sabendo-se que as coordenadas do ponto O ′, em relação ao sistema de coordenadas Σ,são dadas por:

O ′ .= (−1 , a)Σ . (11.39)

Resolução:De (11.37), as equações de mudança do sistema de coordenadas Σ, para o sistema de

coordenadas Σ ′ serão dadas por: x = h+ u

y = k+ v.

De (11.39), temos que h = −1 e k = a, assim:

x = −1+ u

y = a+ v. (11.40)

De (11.38), segue que, as equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema decoordenadas Σ, serão dadas por:

r :

x = 2− 3 λ

y = 0+ λ, para λ ∈ R . (11.41)

Substituindo-se (11.40) em (11.41), segue que

r :

−1+ u = 2− 3 λ

a+ v = 0+ λ, para λ ∈ R ,

ou seja, as equações paramétricas da reta r, em relação ao novo sistema de coordenadas Σ ′,serão dadas por:

u = 3− 3 λ

v = −a+ λ, para λ ∈ R . (11.42)


Para que a reta r contenha a (nova) origem

O ′ = (−1 , a)Σ ,

deveremos ter 0 = u = 3− 3 λ

0 = v = −a+ λ, isto é,

λ = 1

a = λ.

Logo, devemos tera = 1 ,

isto é, a nova origem deverá ter coordenadas

O ′ = (−1 , 1)Σ ,

para que a reta r contenha a nova origem O ′, ou ainda, de (11.40), as equações de mudançada translação do sistema Σ para a nova origem O ′ serão dadas por:

x = −1+ u

y = 1+ v.

11.2.2 Rotação


Σ = (O , E) = (O, e1, e2)

ortogonal no plano.Seja

θ ∈ [0, 2π)

um ângulo, medido em radianos, fixado.Consideremos o sistema de cooredenadas

Σ ′ = (O ,F) =(O , f1 , f2

),

isto é, mantivemos a origem, ou ainda,

O ′ = O = (0 , 0)Σ , (11.43)

mas mudamos da base E para a base F , que ser relacionam da seguinte forma:f1 = cos(θ) · e1 + sen(θ) · e2f2 = − sen(θ) · e1 + cos(θ) · e2

. (11.44)

Observemos que os vetoresf1 , f2

formam realmente uma base de V2, isto é, eles são unitários e ortogonais, em particular, sãoL.I. em V2.


Deixaremos a verifiação destes fatos como exercício para o leitor.Logo a matriz de mudança de base, da base E para a base F , será dada por :

MEF =

(cos(θ) − sen(θ)

sen(θ) cos(θ)

). (11.45)

Logo, de (11.43), (11.45) e (11.36), segue que as equaçõesx = cos(θ)u− sen(θ) v

y = sen(θ)u+ cos(θ) v, (11.46)

que serão denominadas equações, da rotação do ângulo θ, do sistema de coordenadasΣ .

Observação 11.2.1

1. Observemos que realmente as equações (11.46) produzem, geometricamente, umarotaçao do ângulo θ.

Por exemplo, o vetorf1 = cos(θ) · e1 + sen(θ) · e2

é obtido (na verdade um representante dele!), fazendo-se uma rotação do ânguloθ, no sentido anti-horário (sentido positivo), do vetor e1 (veja figura abaixo).

e1

e2

>f1

θ

-cos(θ) · e1

sen(θ) · e2

+

Circunferência de centro em O e raio 1

O

-

6

6

De modo semelhante, temos que o vetor

f2 = − sen(θ) · e1 + cos(θ) · e2 ,

pode ser obtido (na verdade um representante dele!) fazendo-se uma rotaçãode ângulo θ, no sentido anti-horário (sentido positivo), do vetor e2 (veja figuraabaixo).


e1

e2

θ

-

6

I

f2

6

cos(θ) · e2

− sen(θ) · e1

^

Circunferência de centro em O e raio 1

O

2. Resolvendo o sistema linear (11.46), em termos de u e v, obteremosu = cos(θ) x+ sen(θ)y

v = − sen(θ) x+ cos(θ)y. (11.47)


3. Deste modo, as equações (11.46) e (11.47), podem ser obtidas a partir da seguintetabela:

u v

x cos(θ) − sen(θ)

y sen(θ) cos(θ)

(11.48)

Observemos que a 2.a coluna da tabela acima é a derivada, em relação à θ, da1.a coluna.

Consideremos os:

Exemplo 11.2.2 Em relação ao sistema de coordenadas

Σ = (O , E) = (O , e1 , e2)

do plano, temos que o ponto P tem coordendas dadas por

P.= (1 , 2)Σ (11.49)

e a reta r é dada por: x = 1+ 2 λ

y = λ, para λ ∈ R . (11.50)

Obtenha as coordenadas dos ponto P e as equações paramétricas da reta r, em relaçãoao sistema de coordenadas Σ ′, obtido da rotação de um ângulo de

π

6radianos, do

sistema de coordenadas Σ .


Resolução:Notemos que, de (11.47), segue que as equções de mundança do sistema de coordenadas

Σ ′ para o sistema de coordenadas Σ, serão dadas por:u = cos

(π6

)x+ sen

(π6

)y

v = − sen(π6

)x+ cos

(π6

)y

,

ou seja,

u =

√3

2x+

1

2y

v = −1

2x+

√3

2y

. (11.51)

Para o ponto P, de (11.49), teremos que

x = 1 e y = 2 .

Substituindo-s em (11.51), obteremos:u =

√3

21+

1

22

v = −1

21+

√3

22

,

ou seja,

u = 1+

√3

2

v = −1

2+√3

.

Logo

P =

(1+

√3

2,−

1

2+√3

)Σ ′

.

Para a reta r, teremos:De (11.46), temos que,a s equações de mudança do sistema de coordenadas Σ para o

sistema de coordenadas Σ ′ serão dadas por:x = cos

(π6

)u− sen

(π6

)v

y = sen(π6

)u+ cos

(π6

)v

,

ou seja,

x =

√3

2u−

1

2v

y =1

2u+

√3

2v

. (11.52)


Substiuuindo-se (11.52) nas equações paramétricas da reta r, dadas em relação ao sistemade coordenadas Σ, (isto é, em (11.50)) obteremos:

√3

2u−

1

2v = 1+ 2 λ

1

2u+

√3

2v = λ

, para λ ∈ R ,

dou seja,

u =

√3

2+

(1

2+√3

)λ

v = −1

2+

(√3

2− 1

)λ

, para λ ∈ R ,

isto é, as equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas Σ ′, serãodadas por:

r :

u =

√3

2+

(1

2+√3

)λ

v = −1

2+

(√3

2− 1

)λ

, para λ ∈ R .

11.3 Translações e Rotações no Plano na Equação: Ax2 +

Bxy+ Cy2 +Dx+ Ey+ F = 0


Σ = (O , E) = (O , e1 , e2)

no planoNo próximo capítulo faremos um estudo detalhado das expressões que são da forma:

Ax2 + Bxy+ Cy2 +Dx+ Ey+ F = 0 (11.53)

ondeA ,B ,C ,D , E , F

são números reais fixados.Nesta seção nosso objetivo será aplicar translações e rotações (mudança de sistema de

coordenadas no plano desses dois tipos) à equação acima (ou seja, ao lugar geométrcio dospontos que satisfazem a equação acima) para que, em relação aos novos sistemas de coorde-nadas no plano, a equação torne-se o mais simples possível (em relação a esses novos sistemasde coordenadas no plano).

Tentaremos duas possibilidades, para mundança do sistema de coordenadas no plano, asaber:

11.3. TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES NO PLANO 329

1.a: Por meio de uma mudança de coordenadas no plano, do tipo translação, tentaremosobter uma equação do lugar geométrico (11.53) (em relação ao novo sistema de coorde-nadas) de tal modo que os coeficientes dos termos de 1.o grau sejam ambos nulos.

Mais precisamente tentaremos encontrar uma nova origem O, cujas coordenadas emrelação ao sistema de coordenadas Σ, sejam dadas por:

O = (h , k)Σ (11.54)

de modo que, em relação ao novo sistema de coordenadas,

Σ =(O , E

)= ( O , e1 , e2) (11.55)

a equação do lugar geométrico (11.53), em relação ao sistema de coordenadas Σ, torne-se:

Au2 + Buv+ Cv2 + F = 0 , (11.56)

ondeA , B , C , F

são números reais que, provavelmente devem depender de

A ,B ,C ,D , E , F ,

como veremos a seguir.

Para ver se isto será possível, vamos substiuir as equações da translação (11.37), naequação (11.53).

Deste modo obteremos:

0 = A (u+ h)2 + B (u+ h) (v+ k) + C (v+ k)2 +D (u+ h) + E (v+ k) + F

= A(u2 + 2uh+ h2

)+ B (uv+ uk+ vh+ hk) + C

(v2 + 2vk+ k2

)+D (u+ h)

+ E (v+ k) + F

= Au2 + Buv+ Cv2 + (Bk+ 2Ah+D) u+ (Bh+ 2 kC+ E) v

+(Ah2 + Bhk+ Ck2 +Dh+ Ek+ F

). (11.57)

Comparando-se (11.57) e (11.56), segue que deveremos ter:

A = A

B = B

C = C

0 = Bk+ 2Ah+D

0 = Bh+ 2 kC+ E

F = Ah2 + Bhk+ Ck2 +Dh+ Ek+ F

. (11.58)

Logo para encontrar as coordenadas da nova origem

O = (h , k)Σ ,


devemos tentar resolver o sistema linearBk+ 2Ah+D = 0

Bh+ 2 kC+ E = 0(11.59)


são os coeficientes reias da equação (11.53).

Se o sistema linear (11.59) tiver solução, resolvemos nosso problema, isto é, encontramosas coordenadas da nova origem

O = (h , k)Σ ,

de tal modo que a equação do lugar geométrico cuja equação é (11.53), em relação aossistema de coordenadas Σ, torne-se (11.56), em relação ao novo sistema de coordenadasΣ.

Notemos que o sistema linear (11.59), pode ser colocado na seguinte forma matricial:2Ah+ Bk = −D

Bh+ 2 kC = −F,

ou ainda,

(2A B

B 2C

)(h

k

)=

(−D

−F

). (11.60)

Observemos também que o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linearacima é igual a : ∣∣∣∣∣2A B

B 2C

∣∣∣∣∣ = 4AC− B2 . (11.61)

Assim, se o determinante acima for diferente de zero, sabemos (veja o apêndice (B))que o sistema linear (11.59) terá uma única solução.

Se o determinante acima for nulo, podem existir infinitas solução ou nenhuma soluçãopara o sistema linear (11.59) (veja o apêndice (B)).

Neste último caso (não existir solução), não será possível encontrar as coordenadas danova origem O, para que, em relação ao novo sistema de coordenadas Σ, a equaçãodo lugar geométrico determinada pela equação (11.53), torne-se uma equação do tipo(11.56).

Se o sistema (11.59) acima tem solução, isto é, se existir uma translação de modoque o lugar geométrico determinado pela equação (11.53), em relação ao sistema decoordenadas Σ, torne-se equação, (11.56)), em relação ao novo sistema de coordenadasΣ, observamos que:

(a) de (11.58), os coeficientes dos termos de 2.o graus não se alteram após a mudançado sistema de coordenadas Σ para o novo sistema de coordenadas Σ, ou seja,:

A = A

B = B

C = C

. (11.62)


Resumidamente, uma mudança de coordenadas do tipo translação não afeta oscoeficientes de 2.o grau da equação (11.53).

(b) Definamos a função f : R2 → R dada por

f(x , y).= Ax2 + Bxy+ Cy2 +Dx+ Ey+ F , para (x , y) ∈ R2 , (11.63)

ou seja, a função definida pelo lado esquerdo da equação (11.53).

Então, de (11.58), segue que

F(11.58)= Ah2 + Bhk+ Ck2 +Dh+ Ek+ F

(11.63)= f(h , k) , (11.64)

isto é, o termo constante, F, em relação ao novo sistema de coordenadas Σ, serádado por

F = f(h , k) . (11.65)

2.a: Por meio de uma mudança de coordenadas, do tipo rotação no plano, tentaremos obteruma equação do lugar geométrico, cuja equação, em relação ao sistema de coordenadasΣ, é dada (11.53), tenha o coeficiente do termo de 2.o grau misto nulo, em relação aonovo sistema de coordenadas Σ ′ .

Mais precisamente, tentaremos encontrar um ângulo de rotação

θ ∈ [0, 2π)

de tal modo que a equação do lugar geomátrico dado pela equação (11.53), em relaçãoao sistema de coordenadas Σ, torne-se, em relação ao novo sistema de coordenadas Σ ′,como:

A ′ u2 + C ′ v2 +D ′ u+ E ′ v+ F ′ = 0 , (11.66)

isto é,B ′ = 0 . (11.67)

Substituindo (11.46) na equação (11.53), obteremos:

0 = A [cos(θ)u− sen(θ) v]2 + B [cos(θ)u− sen(θ) v] [ sen(θ)u+ cos(θ) v]

+ C [ sen(θ)u+ cos(θ) v]2 +D [cos(θ)u− sen(θ) v] + E [ sen(θ)u+ cos(θ) v] + F

= A[cos2(θ)u2 − 2 cos(θ) sen(θ)uv+ sen2(θ) v2

]+ B

[cos(θ) sen(θ)u2 + cos2(θ)uv− sen2(θ)uv− sen(θ) cos(θ) v2

]+ C

[sen2(θ)u2 + 2 cos(θ) sen(θ)uv+ cos2(θ) v2

]+D cos(θ)u−D sen(θ) v+ E sen(θ)u+ E cos(θ) v+ F

=

[A cos2(θ) +

B

2sen(2θ) + C sen2(θ)

]u2 + [−A sen(2θ) + B cos(2θ) + C sen(2θ)] uv

+

[A sen2(θ) −

B

2sen(2θ) + C cos2(θ)

]v2 + [D cos(θ) + E sen(θ)] u

+ [E cos(θ) −D sen(θ)] v+ F . (11.68)


Logo, comparando-se (11.68) e (11.66), segue que deveremos ter:

A ′ = A cos2(θ) +B


0 = B ′ = (C−A) sen(2θ) + B cos(2θ)

C ′ = A sen2(θ) −B


D ′ = D cos(θ) + E sen(θ)

E ′ = E cos(θ) −D sen(θ)

F ′ = F

. (11.69)

Observemos que da última identidade acima, segue que uma mudança de coordenadas,do tipo rotação, não altera o termo independente de (11.53), isto é,

F ′ = F . (11.70)

Baseado nas identidas acima, devemos tentar encontrar um ângulo

θ ∈ [0, 2π)

de modo que(C−A) sen(2θ) + B cos(2θ) = 0 . (11.71)

Notemos que:

I. SeB = 0 ,

nada teremos a fazer, pois neste caso (11.53) o termo misto do 2.o grau terácoeficiente igual a zero.

II. Por outro lado, seB = 0 ,

temos duas possibilidades:

II (a). SeA = C , (11.72)

então a equação (11.71), tornar-se-á:

cos(2θ) = 0 , ou seja,

2θ =

π

2ou

2θ =3π

2

ou ainda,

θ =

π

4ou

θ =3π

4

.


Neste caso, de (11.69) temos, em princípio, duas possibilidades, a saber:

se θ =π

4teremos :

A ′ = A cos2(π4

)+

B

2sen(2π

4

)+ C sen2

(π4

)C=A= A+

B

2B ′ = 0

C ′ = A sen2(π4

)−

B

2sen(2π

4

)+ C cos2

(π4

)C=A= A−

B

2

D ′ = D cos(π4

)+ E sen

(π4

)= D

√2

2+ E

√2

2

E ′ = E cos(π4

)−D sen

(π4

)= E

√2

2−D

√2

2F ′ = F

se θ =3π

4teremos :

A ′ = A cos2(3π

4

)+

B

2sen

(23π

4

)+ C sen2

(3π

4

)C=A= A−

B

2B ′ = 0

C ′ = A sen2

(3π

4

)−

B

2sen

(23π

4

)+ C cos2

(3π

4

)= A+

B

2

D ′ = D cos

(3π

4

)+ E sen

(3π

4

)= D

√2

2− E

√2

2

E ′ = E cos

(3π

4

)−D sen

(3π

4

)= E

√2

2+D

√2

2F ′ = F


ou seja,

se θ =π

4, teremos :

A ′ = A+B

2B ′ = 0

C ′ = A−B

2

D ′ =

√2

2D+

√2

2E

E ′ =

√2

2E−

√2

2D

F ′ = F

, (11.73)

se θ =3π

4, teremos :

A ′ = A−B

2B ′ = 0

C ′ = A+B

2

D ′ =

√2

2D−

√2

2E

E ′ =

√2

2E+

√2

2D

F ′ = F

, (11.74)

ou seja, escolhendo-se θ =3π

4em vez de θ =

π

4o que muda é a ordem dos

coeficientes.II (b). Se

A = C ,

então a equação (11.71) tornar-se-á

− (C−A) sen(2θ) = B cos(2θ) ,

isto é,sen(2θ)

cos(2θ)=

B

A− C

ou seja,

tg(2θ) =B

A− C, (11.75)

ou, equivalentemente, θ =1

2arctg

(B

A− C

). (11.76)

Com este valor deθ ∈ [0, 2π) ,

obtemos os coeficientesA ′ , C ′ , D ′ , E ′


por meio das equações (11.69) e assim

B ′ = 0 e F ′ = F .

Observação 11.3.1

1. No caso em queA = C ,

observemos que

tg(2θ) =B

A− Cse, e somente se,

sen(2θ)

cos(2θ)=

B

A− C=

B

A ′ − C ′

A− C

A ′ − C ′

,

ou, equivalentemente,

sen(2θ) =B

A ′ − C ′ e cos(2θ) =A− C

A ′ − C ′ . (11.77)


2. Notemos queθ ∈ [0, 2π)

foi o obtido, então os coeficientes

A ′ , C ′

serão as raízes reais, que denotaremos por λ, da equação do 2.o grau∣∣∣∣∣∣∣A− λ

B

2B

2C− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 . (11.78)

De fato, notemos que

0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣A− λ

B

2

B

2C− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (A− λ) (C− λ) −

B2

4= λ2 − (A+ C) λ−

B2

4+AC .

Logo, devemos mostrar queA ′ e C ′

serão as raízes da equação 2.o grau acima se, e somente se,

A ′ + C ′ = A+ C e A ′C ′ = −B2

4+AC ,


ou seja a soma das raízes da equação do 2.o grau acima deverá ser igual a

A+ C

e o produto deverá ser igual a

−B2

4+AC .

Para isto, observemos que, de (11.69), segue que:

A ′ + C ′ =

[A cos2(θ) +

B


]+

[A sen2(θ) −

B


]= A

[cos2(θ) + sen2(θ)

]+ C


]= A+ C ,

A ′ C ′ =

[A cos2(θ) +

B


]·[A sen2(θ) −

B


]=

A[cos2(θ) + sen2(θ)

]+

B

2sen(2θ) + [C−A] sen2(θ)

·[A− C] sen2(θ) −

B

2sen(2θ) + C


]=

A+

B

2sen(2θ) − [A− C] sen2(θ)

·[A− C] sen2(θ) −

B

2sen(2θ) + C

(11.79)

SeA = C , isto é, θ =

π

4ou θ =

3π

4,

segue, de (11.79), que

A ′ C ′ =

A+

B

2sen(2θ) − [A−A] sen2(θ)

·[A−A] sen2(θ) −

B

2sen(2θ) +A

=

A+

B

2sen(2θ)

·A−

B

2sen(2θ)

= AA−

B2

4sen2(2θ)

sen(2θ)=±1= AC−

B2

4,

mostrando que

A ′C ′ = −B2

4+AC , se A = C ,

isto é,

θ =π

4ou θ+

3π

4.

Portanto, seA = C ,

teremos queA ′ , C ′


serão as raízes da equação do 2.o grau (11.78).

O caso queA = C

será deixado como exercício para o leitor.

3. A escolha sobre qual das raízes é A ′ e qual é C ′, depende da escolha do valor doângulo θ ∈ [0, 2π) e está vinculado ao fato que

cos(2θ) =A− C

A ′ − C ′ . (11.80)

Na verdade, estará vinculado ao sinal da expressão acima ou seja, ao sinal daexpressão (11.75), como veremos em exemplos a seguir.

Apliquemos as idéias acima ao

Exemplo 11.3.1 Fazendo mudanças no sistema de coordenadas convenientes no plano(se possível), para a equação

4 x2 − 24 xy+ 11 y2 + 56 x− 58 y+ 95 = 0 (11.81)

dada em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, tenha uma equação da forma

A ′ t2 + C ′ w2 + F ′ = 0 . (11.82)

em relação ao novo sistema de coordenadas.

Resolução:Começaremos tentando uma mudança do sistema de coordenadas Σ, por meio de uma

translação, para que em relação ao novo sistema de coordenadas ortogonal Σ, os coeficientesdos termos de 1.o graus sejam zero, ou seja, devemos tentar encontrar as coordenadas danova origem O, em relação ao sistema de coordenadas Σ, que serão dadas por

O = (h , k)Σ (11.83)

de modo que, em relação ao novo sistema de coordenadas ortogonal

Σ = ( O , e1 , e2) ,

os coeficientes dos termos de 1.o graus sejam zero.As equações da translação serão dadas por:

x = u+ h

y = v+ k. (11.84)

Substituindo estas na equação (11.81), obteremos:

0 = 4 (u+ h)2 − 24 (u+ h)(v+ k) + 11 (v+ k)2 + 56 (u+ h) − 58 (v+ k) + 95

= 4λ(u2 + 2uh+ h2

)− 24 (uv+ uk+ hv+ hk) + 11

(v2 + 2 vk+ k2

)+ 56 (u+ h)

− 58 (v+ k) + 95

= 4u2 − 24uv+ 11 v2 + (8h− 24 k+ 56)u+ (−24h+ 22 k− 58) v

+(4h2 − 24hk+ 11 k2 + 56h− 58 k+ 95

).


Logo devemos tentar encontrar números reais

h , k ,

que venham a satisfazer o seguinte sistema linear:8h− 24 k+ 56 = 0

−24h+ 22 k− 58 = 0,

ou seja,

(8 −24

−24 22

)︸︷︷︸

.=A

(h

k

)=

(−56

58

).

Observemos que ∣∣∣∣∣ 8 −24

−24 22

∣∣∣∣∣ = 8 · 22− 242 = −400 = 0 ,

logo a matriz A é inversível .Portanto, do Apêndice (A), segue que(

h

k

)=

(8 −24

−24 22

)−1(−56

58

),

ou seja,

(h

k

)=

1

−400

(22 24

24 8

)(−56

58

)=

−2

5

11

5

.

A verificação da última identidade será deixada como exercício para o leitor (veja o apên-dice (A)).

Portantoh = −

2

5e k =

11

5(11.85)

e a equação (11.81), em relação ao novo sistema de coordenadas orotogonal

Σ =(O , e1 , e2

),

ondeO

.=

(−2

5,11

5

), (11.86)

tornar-se-á4︸︷︷︸.=A

u2 −24︸︷︷︸.=B

uv+ 11︸︷︷︸.=C

v2 + 20︸︷︷︸.=F

= 0 . (11.87)

Com isto temos que

A.= 4 , B

.= −24 , C

.= 11 , D = E

.= 0 e F

.= 20 . (11.88)


Observação 11.3.2 Como observado anteriormente (veja a página 319), os coeficientesdos termos de 2.o graus permaneceram inalterados e o coeficiente independente serádado por

f(h , k)(11.85)= f

(−2

5,11

5

)Exercício

= 20 ,

ondef(x, y)

.= 4 x2 − 24 xy+ 11 y2 + 56 x− 58 y+ 95 , para (x , y) ∈ R2 .

Tentaremos agora uma mudança de coordenadas no sistema de coordenadas Σ, do tiporotação de ângulo θ ∈ [0, 2π), de modo que, em relação o novo sistema de coordenadas

Σ ′ =(O , f1 , f2

),

o coeficiente do termo misto de 2.o grau da equação (11.87) seja igual a zero.Como vimos anteriomente (veja página 321), as equações da rotação do sistema de coor-

denadas Σ serão dadas por: u = cos(θ) t− sen(θ)w

v = sen(θ) t+ cos(θ)w. (11.89)

Substituindo estas equações, na equação (11.87) e simplificando (veja (11.69)), como (veja(11.88))

A = C ,

segue que θ ∈ [0, 2π), será da forma:

θ =1

2arctg

(B

A− C

)=

1

2arctg

(−24

4− 11

)=

1

2arctg

(24

7

)> 0 , (11.90)

ou seja, não é um ângulo fácil de se encontrar.Precisaríamos de uma tabela dos valores da tangente, razoavelmente completa, para po-

dermos encontrar esse ângulo.De qualquer modo, deveremos ter

2θ ∈(0 ,

π

2

), ou ainda, θ ∈

(0 ,

π

4

). (11.91)

Obeservemos que como vimos anteiormente (na página 321), sempre existe uma talrotação, ou seja, um ângulo θ.

A questão é saber quem serão os coeficientes

A ′ , C ′ , D ′ , E ′ , F ′

(lembremos que B ′ = 0), da equação (11.87) em relação ao novo sistema de coordenadas Σ ′ ?


Para isto temos a Observação (11.3.1) item 2. .Sabemos, daquela Observação, que

A ′ e C ′

devem satisfazer a equação do 2.o grau:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣A− λ

B

2

B

2C− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(11.88)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣4− λ

−24

2

−24

211− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Exercício

= λ2 − 15 λ− 100,

isto é, (Exercício) λ = 20 ou λ = −5 .

Portanto ouA ′ = 20 e C ′ = −5 ,

ouA ′ = −5 e C ′ = 20 ,

que correspondem aos ângulosθ e θ+

π

2.

Lembremos que o termo independente não se altera, isto é, (veja (11.69))

F ′ = F = 20 . (11.92)

Além disso, como (veja (11.88))D = E = 0 ,

segue, de (11.69), queD ′ = E ′ = 0 . (11.93)

Portanto temos duas possibilidades ou a equação (11.87), em relação ao novo sistema decoordenadas Σ ′ será:

20 t2 − 5w2 + 20 = 0 , ou seja, 4 t2 −w2 + 5 = 0

ou será:

− 5 t2 + 20w2 + 20 = 0 , ou seja, − t2 + 4w2 + 5 = 0 .

Qual delas será?Para reoslver isto, sem precisar calcular expliticamente o ângulo θ, dado por (11.90),

notemos que, de (11.91), devferemos ter

2θ ∈(0 ,

π

2

).

11.4. COORDENADAS POLARES NO PLANO 341

Com isto, segue que

0 < cos(2θ)(11.80)=

A− C

A ′ − C ′

(11.88)=

4− 24

A ′ − C ′ = −20

A ′ − C ′ ,

ou seja,A ′ − C ′ < 0 , ou ainda A ′ < C ′ .

Portanto, seθ ∈

(0 ,

π

4

),

deveremos terA ′ = −5 e C ′ = 20 ,

ou seja, a equação (11.87), em relação ao novo sistema de coordenadas Σ ′, será dada por:

−5 t2 + 20w2 + 20 = 0 , ou seja, − t2 + 4w2 + 5 = 0 .

A equação acima é de uma hipérbole no plano, como veremos em capítulo mais adiante.

11.4 Coordenadas Polares no Plano

Notação 11.4.1 Ao longo deste capítulo, utilizaremos a seguinte notação:

R∗ .= R \ 0 .

Consideremos fixado um sistema de coordenadas ortogonal

Σ = (O , e1 , e2) .

O semi-eixo positivo Ox denominaremos por eixo polar; a origem O será dita origem polare neste caso teremos o plano polar.

Dado um ponto P no plano, distinto da origem O, podemos associar ao mesmo a um parordenado

(r , θ) ,

de tal modo que |r| é a distância do ponto P à origem O e θ é o ângulo, medido em radianos,

que a semi-reta−→OP faz com semi-reta do eixo polar, onde θ será positivo se estiver orientado

no sentido anti-horário e negativo caso contrário.Observemos que:

se r ∈ (0 ,∞), marcaremos o ponto P sobre o lado do ângulo θ;

se r ∈ (−∞ , 0), marcaremos o ponto P sobre o lado do ângulo θ+ π (veja a figuraabaixo).


-

P1 = (|r| , θ)

θ

θ + π

P2 = (−|r| , θ)

|r| = d(Pi , O), i ∈ 1 , 2

Ao par ordenado(r , θ) ∈ R∗ × R ,

obtido acima, daremos o nome de coordenadas polares (no plano) do ponto P.Apliquemos as idéias acima ao:

Exemplo 11.4.1 Localize, geometricamente, os pontos abaixo, que estão dados em co-ordenadas polares no plano, por:

P1.=(1 ,

π

4

), P2

.=(−2 ,

π

2

)e P3

.=

(2 ,

3π

2

).

Resolução:

-O

π4

P1.=(1, π

4

)π2

P2.=(−2, π

2

)= P3

.=(2, 3π

2

)

3π2

π

Observação 11.4.1

1. Os pontos P2 e P3 coincidem geometricamente e têm coordenadas polares (noplano) diferentes.

Em geral temos que se um ponto P tem coordenadas polares (no plano) dadas por

P.= (r , θ) ,


então ele também terá coordenadas polares (no plano)

P = (r , θ+ 2π) ou P = (−r , θ+ π) ,

donde concluímos que um ponto P poderá ter uma infinidade de representaçõesem coordenadas polares (no plano).

Para evitar isto vamos restringir a variação do ângulo θ a um intervalo de com-primento π.

Tal intervalo poderá mudar de acordo com as nossas necessidades, por exemplo:

[0 , π) , [−π , 0) , entre outros.

2. Nas condições acima, se um ponto P do palno dado, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, por

P.= (x , y)Σ ,

em coordenadas cartesianas, pode ser representado, em coordenadas polares (noplano), da seguinte forma:

r.=

√x2 + y2 , se o ponto P está no 1.o ou 2.o quadante

−

√x2 + y2 , se o ponto P está no 3.o ou 4.o quadante

(11.94)

θ.=

x = 0 , teremos θ = arctg(yx

)x = 0 , teremos θ =

π

2

. (11.95)

A figura abaixo ilustra a situação acima, em coordenadas polares no plano.

-

6 1.o quadrante2.o quadrante

3.o quadrante 4.o quadrante

P1 = (d(P1, O) , θ)P2 = (d(P2, O) , θ1)

P3 = (−d(P3, O) , θ)P4 = (−d(P4, O) , θ1)

θ

θ1

3. Por outro lado, dada as coordenadas polares de um ponto P no plano, a saber:

P.= (r , θ) ,


definindo-se; x

.= r cos(θ)

y.= r sen(θ)

(11.96)

temos as coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadasΣ) do ponto P, serão dadas por (veja a figura abaixo)

P = (x , y)Σ .

O

-

6

x

y

P = (x , y)Σ

θ

ρ

x = r cos(θ)

y = r sen(θ)

4. Para simplifcar, diremos queP = (x , y)Σ

são as coordenadas cartesianas do ponto P do plano e que

P = (r , θ)

são as, respectivas, coordenadas polares do ponto P.

Exemplo 11.4.2

1. Encontre as coordenadas polares dos pontos abaixo, que são dados em coordenadascartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas Σ):

P1.= (−1 , 2)Σ e P2

.= (1 ,−1)Σ .

2. Encontre as coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordena-das Σ) dos pontos abaixo, que são dados em coordenadas polares:

P3.=(1 ,

π

2

)e P4

.=(−2 ,−

π

4

).

3. Represente, geometricamente, esse, quatro pontos.

Resolução:De 1.:O ponto P1 pertence ao 2.o quadrante.Logo, de (11.94) e (11.95), teremos:

r(11.94)=

√(−1)2 + 12 =

√5 e θ

(11.95)= arctg

(−1

2

)=

2π

3.


PortantoP1 =

(√5 ,

2π

3

)em coordenadas polares no plano.

O ponto P2 está no 4.o quadrante.Logo, de (11.94) e (11.95), teremos:

r = −

√12 + (−1)2 = −

√2 e θ = arctg

(1

−1

)=

3π

4.

PortantoP2 =

(−√2 ,

3π

4

)em coordenadas polares no plano.

Geometricamente, teremos:

-

2π3

P1 =(√

5 , 2π3

)

3π4

P2 =(−√2 , 3π

4

)π

De 2.:De (11.96), para o ponto P3, temos que:

x = 1 cos(π2

)y = 1 sen

(π2

) , isto é,

x = 0

y = 1.

PortantoP3 = (0 , 1)Σ

em coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas Σ).De (11.96), para o ponto P4, temos que

x = −2 cos(−π

4

)y = −2 sen

(−π

4

) , isto é,

x = −

√2

y =√2

.

PortantoP4 =

(−√2 ,

√2)Σ

em coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas Σ).Geometricamente, teremos:


-

6

π2

P3 = (1 , 0)Σ

−π4

P4 =(−√

2 ,√

2)Σ

π

x

y

Observação 11.4.2

1. A cada ponto P, dado em coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistemade coordenadas orotogonal Σ) por:

P.= (x , y) = (0 , 0) ,

estará associado um único par ordenado

(r , θ) ,

ou seja, as suas coordenadas polares no plano, que são dadas por (11.95) (restrigindo-se o ângulo θ a um intervalo de comprimeto π).

Reciprocamente, a cada ordenado

(r , θ) ,

que representa as coordenadas polares de um ponto P do plano, estará associadoum único ponto P, dado em coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistemade coordenadas orotogonal Σ) por:

P = (x , y)Σ ,

obtidas por (11.96) .

2. As relações (11.96) e (11.95) são as equações de transformação de coordenadascartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas orotogonal Σ)) emcoordenadas polares no plano e vice-versa.

3. Podemos definir o gráfico de uma equação

F(r , θ) = 0 ,

dada em coordenadas polares no plano, como sendo o conjunto dos pares ordena-dos

(r , θ)

do plano polar, que satisfazem a equação acima.


A seguir aplicaremos as técnicas acima para representar geometricamente, gráficos deequações, envolvendo coordenadas polares no plano.

Exemplo 11.4.3 Represente geometricamente o gráfico da equação

r = 1 , para θ ∈ [0 , 2π) , (11.97)

dada em coordenadas polares no plano.

Resolução:Neste caso, temos que a função F : R∗ × [0, 2π) será dada por

F(r , θ).= r− 1 , para (r , θ) ∈ R∗ × [0, 2π) .

Se um ponto P é dado em coordenadas polares por

P.= (r , θ) ,

sabemos que |r| é a distância de um ponto P à origem polar O.Logo, o gráfico da equação (11.97), dada em coordenadas polares no plano, é o lugar

geométrico dos pontos do plano que distam 1 unidade da origem polar O, isto é, uma circun-ferência de centro na origem O e raio r = 1 (veja a figura abaixo).

-

r = 1

P = (1, θ)

O

Exemplo 11.4.4 Represente geometricamente o gráfico da equação

θ =π

4, para r ∈ R∗ , (11.98)


Resolução:Neste caso, temos que a função F : R∗ × [0, 2π) será dada por

F(r , θ).= θ−

π

4, para (r , θ) ∈ R∗ × [0, 2π) .

Sabemos que um pontoP = O ,

temos que θ é o ângulo que o segmento de reta OP faz com o eixo polar.Logo, o gráfico da equação (11.98), dada em coordenadas polares no plano, é o lugar

geométrico dos pontos P do plano, de modo que o segmento de reta OP faz com o eixo polarque um ângulo constante de valor

π

4, isto é, a reta

←→OP, menos a origem polar, onde o segmento

OP forma ânguloπ

4com o eixo polar (veja a figura abaixo).


-O

P =(r , π

4

)

θ = π4

Observação 11.4.3 Em algumas situações será facilitada a representação geométricado gráfico da equação

F(r, θ) = 0 , para (r , θ) ∈ A ⊆ R∗ × R (11.99)

dada em coordenadas polares, se soubermos algumas propriedades da função F.A seguin, exibiremos algumas propriedades da função F que poderão facilitar a re-

presentação geométrica do gráfico da equação (11.99), dada em coordenadas polares noplano.

1. Suponhamos que

F(r , θ+ π) = F(r , θ) , para (r , θ) ∈ A . (11.100)

Então a representação geométrica do gráfico da equação (11.99), dada em coorde-nadas polares no plano, será simétrico em relação à origem polar (veja a figuraabaixo).

-O

θθ + π

(r , θ)

(r , θ + π)

2.

3. Suponhamos que

F(r , θ) = F(r , 2π− θ) ou F(r,−θ) = F(r, θ) , para (r , θ) ∈ A . (11.101)

Então a representação geométrica do gráfico da equação (11.99), dada em coor-denadas polares no plano, será simétrico em relação ao eixo polar (veja a figuraabaixo).


-O

θ2π − θ

−θ

(r , θ)

(r , 2π − θ) = (r ,−θ)

4. Suponhamos que

F(r , θ) = F(r , π− θ) , para (r , θ) ∈ A . (11.102)

no domínio da função F

Então a representação geométrica do gráfico da equação (11.99), dada em co-ordenadas polares no plano, será simétrico em relação à reta θ =

π

2, dada em

coordenadas polares (veja a figura abaixo).

-O

(r , θ)

θθ

π − θ

(r , π − θ)

Apliquemos as idéias acima aos:

Exemplo 11.4.5 Seja a > 0 fixado. Encontrar a representação geométrica do gráficoda equação

r = a cos(θ) , para θ ∈[−π

2,π

2

], (11.103)


Resolução:Neste caso, temos que a função F : R∗ ×

[−π

2,π

2

]será dada por

F(r , θ).= r− a cos(θ) , para (r , θ) ∈ R∗ ×

[−π

2,π

2

]. (11.104)

Notemos que, para (r , θ) ∈ R∗ ×[−π

2,π

2

], teremos:

F(r ,−θ)(11.104)= r− a cos(−θ)

cos(−θ)=cos(θ)= r− a cos(θ)

(11.104)= F(r , θ) ,

ou seja, o gráfico da equação

F(r, θ) = 0 , para (r , θ) ∈ R∗ ×[−π

2,π

2

],


é simétrico em relação à reta que contém o eixo polar.Logo basta representarmos geometricamente o gráfico da equação (11.103), para

θ ∈[0 ,

π

2

]e usarmos a simetria acima, para representarmos geometricamente o gráfico da mesma paraθ ∈

[−π

2, 0].

Com isto obtemos a seguinte representação geométrica, para θ ∈[0 ,

π

2

](em coordenadas

polares):

-O

(a2

, 0)

(a , 0)

P = (a cos(θ) , θ)

θ

Usando que o gráfico é simétrico em relação ao eixo polar obteremos a seguinte represen-tação geométrica, para θ ∈

[−π

2,π

2

](em coordenadas polares):

-O

(a2

, 0)

(a , 0)

(a cos(θ) , θ)

θ

−θ

(a cos(θ) ,−θ)

Conclusão, obtivermos uma circunferência de centro no ponto(a2, 0)

e raio igual aa

2.

Observação 11.4.4 Verifiquemos que a afirmação acima é de fato verdadeira.Para tanto, passando para coordenadas cartesianas, a equação (11.103) tornar-se-á a

equação da circunferência de centro no ponto(a2, 0)Σ

e raio igual aa

2(em coordenadas

cartesianas).


De fato, pois

r(11.103)= a cos(θ)

× r⇔ r2 = a r cos(θ)

r2(11.94)

= x2+y2 , x(11.96)

= r cos(θ)⇔ x2 + y2 = ax ⇔ x2 − ax+ y2 = 0

⇔ (x−

a

2

)2+ (y− 0)2 =

(a2

)2,

que é a equação (em coordenadas cartesianas) de uma circunferência de centro no ponto(a2, 0)Σ

e raio igula aa

2(como ilustra a figura abaixo, em coordenadas cartesianas).

-

6

(a2

, 0)Σ

(a , 0) x

y

a2

Apliquemos as mesmas idéias ao:

Exemplo 11.4.6 Seja a > 0 fixado. Encontrar a representação geométrica do gráficoda equação

r = −a cos(θ) , para θ ∈[π

2,3π

2

], (11.105)


Resolução:

Neste caso, temos que a função F : R∗ ×[π

2,3π

2

]será dada por

F(r , θ).= r+ a cos(θ) , para (r , θ) ∈ R∗ ×

[π

2,3π

2

]. (11.106)

Notemos que, para (r , θ) ∈ R∗ ×[π

2,3π

2

], teremos:

F(r , 2π− θ)(11.106)= r+ a cos(2π− θ)

cos(2π−θ)=cos(θ)= r+ a cos(θ)

(11.106)= F(r , θ) ,


F(r, θ) = 0 , para (r , θ) ∈ R∗ ×[π

2,3π

2

],


é simétrico em relação à reta que contém o eixo polar.Logo basta representarmos geometricamente o gráfico da equação (11.105), para θ ∈[π

2, π], e usarmos a simetria acima para representarmos geometricamente o gráfico da equa-

ção (11.105), para θ ∈[π ,

3π

2

].

Com isto obtemos a seguinte representação geométrica, para θ ∈[π2, π]

(em coordenadaspolares):

-(a2

, π)

(a cos(θ) , θ)

(a , π)

θ

Da simetria acima, obteremos a seguinte representação geométrica do gráfico da equação(11.105) (em coordenadas polares):

-(a2

, π)

(a cos(θ) , θ)

(a , π)

θ

2π − θ

(a cos(θ) , 2π − θ)

Conclusão, obtivermos uma circunferência de centro no ponto(a2, π)

e raio igual aa

2.

Observação 11.4.5 Verifiquemos que a afirmação acima é de fato verdadeira.Para tanto, passando para coordenadas cartesianas, a equação (11.105) tornar-se-

á a equação da circunferência de centro no ponto(−a

2, 0)Σ

e raio igual aa

2(em

coordenadas cartesianas).De fato,

r = −a cos(θ)× r⇔ r2 = −a r cos(θ)

r2=x2+y2 , x=r cos(θ))

θ∈[π2 , 3π2 ]

≤ 0⇔ x2 + y2 = −ax ⇔ x2 + ax+ y2 = 0

⇔ (x+

a

2

)2+ (y− 0)2 =

(a2

)2,


que é a equação (em coordenadas cartesianas) de uma circunferência de centro no ponto(−a

2, 0)

e raio igual aa


6

(−a

2, 0)

(−a , 0)

I a2

x

y

-

Apliquemos as mesmas idéias ao:

Exemplo 11.4.7 Seja b > 0 fixado. Encontrar a representação geométrica do gráficoda equação

r = b sen(θ) , para θ ∈ [0 , π] , (11.107)


Resolução:Neste caso, temos que a função F : R∗ × [0 , π] será dada por

F(r , θ).= r− b sen(θ) , para (r , θ) ∈ R∗ × [0 , π] . (11.108)

Notemos que, para (r , θ) ∈ R∗ × [0 , π], teremos:

F(r , π− θ)(11.108)= r− b sen(π− θ)

sen(π−θ)= sen(θ)= r− b sen(θ)

(11.108)= F(r , θ) ,


F(r, θ) = 0 , para (r , θ) ∈ R∗ × [0 , π] ,

é simétrico em relação à reta que contém a origem polar O e é perpendicular ao eixo polar,

ou seja, à reta θ =π

2ou θ =

3π

2.

Logo basta representarmos geometricamente o gráfico da equação (11.107), para θ ∈[0 ,

π

2

], e usarmos a simetria acima para representarmos geometricamente o gráfico da equação

(11.107), para θ ∈[π2, π].


π

2

](em coordenadas

polares):


-θ

(b2

, π2

)

(b , π

2

)(b sen(θ) , θ)


-θ

(b sen(θ) , θ)(b sen(π − θ) , π − θ)

(b2

, π2

)

(b , π

2

)

O

π − θ

Conclusão, obtivermos uma circunferência de centro no ponto(b

2,π

2

)e raio igual a

b

2.

Observação 11.4.6 Verifiquemos que a afirmação acima é de fato verdadeira.Para tanto, passando para coordenadas cartesianas, a equação (11.107) tornar-se-á a

equação da circunferência de centro no ponto(0 ,

b

2

)Σ

e raio igual ab

2(em coordenadas

cartesianas).De fato, pois

r = b sen(θ)× r⇔ r2 = b r sen(θ)

r2=x2+y2 , y=r sen(θ)⇔ x2 + y2 = by ⇔ x2 + y2 − by = 0

⇔ (x− 0)2 +

(y−

b

2

)2

=

(b

2

)2

,

que é a equação (em coordenadas cartesianas) de uma circunferência de centro no ponto(0 ,

b

2

)Σ

e raio igual ab



-

6

x

y

(0 , b

2

)

(0 , b)

b2

Apliquemos o mesmo para o:

Exemplo 11.4.8 Seja b > 0 fixado. Encontrar a representação geométrica do gráficoda equação

r = −b sen(θ) , para θ ∈ [π , 2π] , (11.109)


Resolução:Neste caso, temos que a função F : R∗ × [π , 2π] será dada por

F(r , θ).= r+ b sen(θ) , para (r , θ) ∈ R∗ × [π , 2π] . (11.110)

Notemos que, para (r , θ) ∈ R∗ × [π , 2π], teremos:

F(r , π− θ)(11.110)= r+ b sen(π− θ)

sen(π−θ)= sen(θ)= r+ b sen(θ)

(11.110)= F(r , θ) ,


F(r , θ) = 0 , para (r , θ) ∈ R∗ × [π , 2π] ,



2ou θ =

3π

2.

Logo basta representarmos geometricamente o gráfico da equação (11.109), para θ ∈[π ,

3π

2

], e usarmos a simetria acima para representarmos geometricamente o gráfico da

equação (11.109), para θ ∈[3π

2, 2π

].

Com isto obtemos a seguinte representação geométrica, para θ ∈[π ,

3π

2

](em coordenadas

polares):


θ

-O

(b2

, 3π2

)

(b , 3π

2

)(−b sen(θ) , θ)


θ

-O

(b2

, 3π2

)

(b , 3π

2

)(−b sen(θ ), θ) (−b sen(π − θ) , π − θ)

π − θ

Conclusão, obtivermos uma circunferência de centro no ponto(b

2,3π

2

)e raio igual a

b

2.

Observação 11.4.7 Verifiquemos que a afirmação acima é de fato verdadeira.Na verdade, passando para coordenadas cartesianas, a equação (11.109) é a equação

da circunferência de centro no ponto(0 ,−

b

2

)Σ

e raio igual ab

2(em coordenadas

cartesianas).De fato, pois

r = −b sen(θ)× r⇔ r2 = −b r sen(θ)

r2=x2+y2 , y=r sen(θ)⇔ x2 + y2 = −by ⇔ x2 + y2 + by = 0

⇔ (x− 0)2 +

(y+

b

2

)2

=

(b

2

)2

,

que é a equação (em coordenadas cartesianas) de uma circunferência de centro no ponto(0 ,−

b

2

)Σ

e raio igual ab

2(como ilustra a figura abaixo em coordenadas cartesianas).


-

(0 ,−b

2

)

(0 ,−b)

9

b2

x

6y

Em geral temos a:

Observação 11.4.8 Dados a, b ≥ 0, não ambos nulos, podemos mostrar que a represen-tação geométrica da equação

r = a cos(θ) + b sen(θ) , (11.111)

para θ variando em um intervalo conveniente, nos dá uma circunferência.De fato, notemos que se θ ∈ [0 , 2π] temos, passando para coordenadas cartesianas,

que a equação (11.111), tornar-se-á:

r = a cos(θ) + b sen(θ)×r⇐⇒ r2 = a r cos(θ) + b r sen(θ)

r2=x2+y2 , x=r cos(θ) , y=r sen(θ)⇐⇒ x2 + y2 = ax+ by

⇐⇒ (x−

a

2

)2+

(y−

b

2

)2

=(a2

)2+

(b

2

)2

,

ou seja, em coordenadas cartesianas, temos um arco de circunferência de centro no

ponto(a

2,b

2

)e raio igual a

√(a2

)2+

(b

2

)2

(veja a figura abaixo).

-

6

(a2

, b2

)M √(

a2

)2+(

b2

)2

(a , 0)

(0 , b)

x

y

Outro exemplo importante de curva plana, dada em coordenadas polares, é dado pelo:

Exemplo 11.4.9 Encontrar a representação geométrica do gráfico da equação

r = 1+ sen(θ) , para θ ∈[−π

2,3π

2

], (11.112)



Resolução:

Neste caso, temos que a função F : R∗ ×[−π

2,3π

2

]será dada por

F(r , θ).= r− 1− sen(θ) , para (r , θ) ∈ R∗ ×

[−π

2,3π

2

]. (11.113)


2,3π

2

], teremos:

F(r , π− θ)(11.112)= r− 1− sen(π− θ)

sen(π−θ)= sen(θ)= r− 1− sen(θ)

(11.112)= F(r , θ) ,


F(r , θ) = 0 , para (r , θ) ∈ R∗ ×[−π

2,3π

2

],



2ou θ =

3π

2.

Logo basta representarmos geometricamente o gráfico da equação (11.112), para θ ∈[−π

2,π

2

], e usarmos a simetria acima para representarmos geometricamente o gráfico da

equação (11.112), para θ ∈[π

2,3π

2

].

Com isto obtemos a seguinte representação geométrica, para θ ∈[−π

2,π

2

](em coordena-

das polares):

-θ

(1 + sen(θ) , θ)



-θ

(1 + sen(θ) , θ)

π − θ

(1 + sen(π − θ) , π − θ)

Observação 11.4.9 A curva acima é denominada cardióide.

Uma outra cardióide é dada pelo:


r = 1− cos(θ) , para θ ∈ [−π , π] , (11.114)


Resolução:Neste caso, temos que a função F : R∗ × [−π , π] será dada por

F(r , θ).= r− 1+ cos(θ) , para (r , θ) ∈ R∗ × [−π , π] . (11.115)

Notemos que, para (r , θ) ∈ R∗ × [−π , π], teremos:

F(r ,−θ)(11.115)= r− 1+ cos(−θ)

cos(−θ)=cos(θ)= r− 1+ cos(θ)

(11.115)= F(r , θ) ,


F(r , θ) = 0 , para (r , θ) ∈ R∗ × [−π , π] ,

é simétrico em relação à reta que contém o eixo polar.Logo basta representarmos geometricamente o gráfico da equação (11.114), para θ ∈

[−π , 0], e usarmos a simetria acima para representarmos geometricamente o gráfico da equa-ção (11.114), para θ ∈ [0 , π].

Com isto obtemos a seguinte representação geométrica, para θ ∈ [−π , 0] (em coordenadaspolares):

-

θ

(1 − cos(θ) , θ)



-

θ

(1 − cos(θ) , θ)

(1 − cos(−θ) ,−θ)

−θ

Um outro caso é dado pelo:


r = 1+ 2 cos(θ) , para θ ∈ [0 , 2π] , (11.116)


Resolução:Neste caso, temos que a função F : R∗ × [0 , 2π] será dada por

F(r , θ).= r− 1− 2 cos(θ) , para (r , θ) ∈ R∗ × [0 , 2π] . (11.117)

Notemos que, para (r , θ) ∈ R∗ × [0 , 2π], teremos:

F(r, 2π− θ)(11.117)= r− 1− 2 cos(2π− θ)

cos(2π−θ)=cos(θ)= r− 1− 2 cos(θ)

(11.117)= F(r , θ) ,


F(r , θ) = 0 , para (r , θ) ∈ R∗ × [0 , 2π] ,

é simétrico em relação à reta que contém o eixo polar.Logo basta representarmos geometricamente o gráfico da equação (11.116), para θ ∈

[0 , π], e usarmos a simetria acima para representarmos geometricamente o gráfico da equação(11.116), para θ ∈ [π , 2π].

Com isto obtemos a seguinte representação geométrica, para θ ∈ [0 , π] (em coordenadaspolares):

-θ

(1 + 2 cos(θ) , θ)



-θ

(1 + 2 cos(θ) , θ)

(1 + 2 cos(2π − θ) , 2π − θ)

2π − θ

Observação 11.4.10 A curva acima é denominada limaçom.


r = 3 cos(2 θ) , para θ ∈[−π

2,π

2

]. (11.118)


Resolução:Neste caso, temos que a função F : R∗ ×

[−π

2,π

2

]será dada por

F(r , θ).= r− 3 cos(2 θ) , para (r , θ) ∈ R∗ ×

[−π

2,π

2

]. (11.119)


2,π

2

], teremos:

F(r,−θ)(11.119)= r− 3 cos(−2 θ)

cos(−2 θ)=cos(2 θ)= r− 3 cos(2 θ)

(11.119)= F(r , θ) ,


F(r , θ) = 0 , para (r , θ) ∈ R∗ ×[−π

2,π

2

],

é simétrico em relação à reta que contém o eixo polar.Logo basta representarmos geometricamente o gráfico da equação (11.118), para θ ∈[

−π

2, 0], e usarmos a simetria acima para representarmos geometricamente o gráfico da

equação (11.118), para θ ∈[0 ,

π

2

].

Com isto obtemos a seguinte representação geométrica, para θ ∈[−π

2, 0]

(em coordenadaspolares):

Com isto obtemos a figura abaixo (em coordenadas polares):


-θ

(3 cos(2 θ) , θ)


-θ

(3 cos(2 θ) , θ)

Observação 11.4.11 A curva acima é conhecida como rosácea de quatro pétalas.


r = 3 cos(5 θ) , para θ ∈[0 ,

2π

5

], . (11.120)


Resolução:

Neste caso, temos que a função F : R∗ ×[0 ,

2π

5

]será dada por

F(r , θ).= r− 3 cos(5 θ) , para (r , θ) ∈ R∗ ×

[0 ,

2π

5

]. (11.121)

Notemos que, para (r , θ) ∈ R∗ ×[0 ,

2π

5

], teremos:

F(r,−θ)(11.121)= r− 3 cos(−5 θ)

cos(−5 θ)=cos(5 θ)= r− 3 cos(5 θ)

(11.121)= F(r , θ) ,


F(r , θ) = 0 , para (r , θ) ∈ R∗ ×[0 ,

2π

5

],



0 ,π

5


(11.120), para θ ∈[π

5,2π

5

].


π

5

](em coordenadas

polares):

-θ

(3 cos(5 θ) , θ)

π5


-θ

(3 cos(5 θ) , θ)

π5

Observação 11.4.12

1. A curva a cima é uma rosácea de cinco pétalas.

2. Dados, a > 0 e n ∈ N, temos que a representação geométrica do gráfico de umaequação do tipo

r = a cos(nθ) , para θ ∈[0 ,

2π

n

]ou r = a sen(nθ), , para θ ∈

[0 ,

2π

n

],

(11.122)


dada em coordenadas polares no plano, será uma rosáceas de 2n pétalas, se n

for par e rosáceas de n pétalas, se n for ímpar.

A verificação destes fatos sera deixada como exercício para o leitor.

Outro exemplo importante é:


r2 = cos(2 θ) , para θ ∈[−π

4,π

4

], (11.123)


Resolução:Na verdade temos duas equações, a saber:

r =√

cos(2 θ) , para θ ∈[−π

4,π

4

]e r = −

√cos(2 θ) , para θ ∈

[−π

4,π

4

]. (11.124)

Vamos, primeiramente, encontrar a representação geométrica do gráfico da equação

r =√


4,π

4

]. (11.125)

Neste caso, temos que a função F : R∗ ×[−π

4,π

4

]será dada por

F(r , θ).= r−

√cos(2 θ) , para (r , θ) ∈ R∗ ×

[−π

4,π

4

]. (11.126)


4,π

4

], teremos:

F(r,−θ)(11.126)= r−

√cos(−2 θ)

cos(−2 θ)=cos(2 θ)= r−

√cos(2 θ)

(11.126)= F(r , θ) ,


F(r , θ) = 0 , para (r , θ) ∈ R∗ ×[−π

4,π

4

],


0 ,π

4


(11.125), para θ ∈[−π

4, 0].


π

4

](em coordenadas

polares):

-θ

(√cos(2 θ) , θ)



-θ

(√cos(2θ), θ)

(√cos(2θ),−θ)

A representação geométrica do gráfico da equação

r = −√


4,π

4

], (11.127)

pode ser obtido da representação geométrica do gráfico da equação (11.125), observando-seque o primeiro é simétrico em relação ao segundo, relativamente a reta θ =

π

2.


-θ

(√cos(2 θ) , θ)

(√cos(2 θ) ,−θ)

Observação 11.4.13 A curva acima é conhecida como lemniscata.

Para terminar temos o:


r θ = 1 , para θ ∈ (r , θ) ∈ R∗ × [0 ,∞) , (11.128)


Resolução:Neste caso teremos a seguinte configuração geométrica:


-θ

(1θ

, θ)

Observação 11.4.14 A curva acima é denominada espiral de Arquimedes.

No espaço temos as seguintes mudanças de coordenadas mais importantes:

11.5 Coordenadas Esféricas (No Espaço)

Consideremos um sistema de coordenadas ortogonal

Σ = (O , e1 , e2 , e3)

no espaço e um ponto P, diferente da origem O, cujas coordenadas, em relação ao sistema decoordenadas Σ, sejam dadas por:

P.= (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 0)Σ . (11.129)

Com isto, podemos encontrar

ρ ∈ (0 ,∞) , φ ∈ [0 , π] e θ ∈ [0 , 2π) , (11.130)

de modo que x = ρ sen(φ) cos(θ)

y = ρ sen(φ) sen(θ)

z = ρ cos(φ)

, (11.131)

11.5. COORDENADAS ESFÉRICAS (NO ESPAÇO) 367

ou seja,

ρ = d(P ,O) =√

x2 + y2 + z2

θ :

θ =

π

2, se y ∈ (0 ,∞)

3π

2, se y ∈ (−∞ , 0)

, se x = 0

tg(θ).=

y

x, se x = 0

cos(φ) =z√

x2 + y2 + z2

(11.132)

A terna(ρ , θ ,φ)

será denominada coordenadas esféricas (ou polares no espaço) do ponto P.Geometricamente temos:

-

6

x

z

O

P

y

x

y

z

Coordenadas Cartesianas

-

6

P

O

φ

θ

ρ = d(P ,O)

Coordenadas Esféricas

x

z

y

Observação 11.5.1 Observemos que :

ρ ∈ (0 ,∞), nos fornece a distância do ponto P à origem O,

θ ∈ [0, 2π) é a medida do ângulo, em radianos, que a projeção ortogonal do seg-mento OP, no plano xOy, faz com o eixo Ox,

φ ∈ [0, π] é a medida do ângulo, em radianos, que o segmento OP faz com o eixoOz.

Desta forma a cada ponto do espaço podemos associar as suas coordenadas cartesi-anas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas orotogonal Σ) ou suas coordenadasesféricas, que estão relacionadas por meio das equações (11.131) e (11.132).



Exemplo 11.5.1

1. Determinar as coordenadas esféricas dos pontos abaixo, dados em coordenadascartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas orotogonal Σ) por:

a) P1.= (1 , 1 , 1)Σ b) P2

.= (1 , 0 , 1)Σ (11.133)

2. Determinar as coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema de coorde-nadas orotogonal Σ) dos pontos abaixo, dados em coordenadas esfércias por:

a)P3.=(2 ,

π

2,π

4

)b)P4

.=(3 ,

π

4,π

2

)(11.134)

Resolução:De 1.:a): Notemos que, de (11.133) item a), segue que

x = y = z = 1 . (11.135)

Logo, de (11.132), teremos:

ρ =

√x2 + y2 + z2 =

(11.135)=

√12 + 12 + 12

=√3 ,

θ = arctg

(x

y

)(11.135)= arctg

(1

1

)=

π

4,

φ = arccos

z√x2 + y2 + z2

(11.135)= arccos

(1√3

)

= arccos

(√3

3

).

Logo as coordenadas esféricas do ponto P1 serão dadas por:

P1 =

(√3 ,

π

4, arccos

(√3

3

)).

b): Notemos que, de (11.133) item b), segue que

x = z = 1 e y = 0 . (11.136)



ρ =

√x2 + y2 + z2 =

(11.136)=

√12 + 02 + 12

=√2 ,

θ = arctg

(x

y

)(11.136)= arctg

(0

1

)= arctg(0)

= 0 ,

φ = arccos

z√x2 + y2 + z2

(11.136)= arccos

(1√2

)= arccos

(√2

2

)

=π

4.

Logo as coordenadas esféricas do ponto P2 serão dadas por:

P2 =(√

2 , 0 ,π

4

).

De 2.:a): Notemos que, de (11.134) item a), segue que

ρ = 2 , θ =π

2e φ =

π

4. (11.137)


x = ρ sen(φ) cos(θ)(11.137)= 2 sen

(π4

)cos(π2

)= 0 ,

y = ρ sen(φ) sen(θ)(11.137)= 2 sen

(π4

)sen(π2

)=

√2 ,

z = ρ cos(φ)(11.137)= 2 cos

(π4

)=

√2 .

Logo as coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas orotogonalΣ) do ponto P3 serão dadas por:

P = (0 ,√2 ,

√2) .

b): Notemos que, de (11.134) item b), segue que

ρ = 3 , θ =π

4e φ =

π

2. (11.138)



x = ρ sen(φ) cos(θ)(11.138)= 3 sen

(π2

)cos(π4

)=

3√2

2,

y = ρ sen(φ) sen(θ)(11.138)= 3 sen

(π2

)sen(π4

)=

3√2

2,

z = ρ cos(φ)(11.138)= 3 cos

(π2

)= 0 .

Logo as coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas orotogonalΣ) do ponto P4 serão dadas por:

P =

(3√2

2,3√2

2, 0

).

Observação 11.5.2 Uma equação (um curva ou um superfície do espaço) podem tera representação geométrica do seu gráfico facilitado quando utilizamos coordenadasesféricas, em vez de representá-las geometricamente utilizando cooredenadas caretesi-anas(isto é, em relação ao sistema de coordenadas orotogonal Σ), como veremos emalguns exemplos a seguir.

Exemplo 11.5.2 Representar geometricamente o gráfico da equação

ρ = 1 , para (θ ,φ) ∈ [0 , 2π)× [0 , π] , (11.139)

dada em coordenadas esféricas no espaço.

Resolução:Notemos que, de (11.131), teremos:

x = ρ sen(φ) cos(θ)


z = ρ cos(φ)

, de (11.139), segue que:

x = sen(φ) cos(θ)

y = sen(φ) sen(θ)

z = cos(φ)

. (11.140)

Logo, se um ponto P no espaço, cujas coordenadas polares são dadas por

P.= (ρ , θ , ϕ) ,

satisfazem a equação (11.139), suas coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ), são dadas por

P = (x , y , z)Σ ,


deverão satisfzer a seguinte equação:

x2 + y2 + z2(11.140)= [ sen(φ) cos(θ)]2 + [ sen(φ) sen(θ)]2 + [cos(φ)]2

Exercício= 1 ,

ou seja, o ponto P deverá pertencer a esfera de centro na origem O e raio igual a 1.Lembremos que, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, temos

d(P ,O) =√

x2 + y2 + z2 .

A representação geométrica da equação (11.139), dada em coordenadas esféricas, é exibidana figura abaixo:

-

6

=

P

1

θ

φ

x

y

z

Um outro caso é dado pelo:

Exemplo 11.5.3 Representar geometricamente o gráfico da equaçãoφ =π

4θ = 0

, para ρ ∈ (0 ,∞) , (11.141)





z = ρ cos(φ)


x = ρ sen(π4

)cos(0)

y = ρ sen(π4

)sen(0)

z = ρ cos(π4

)

ou seja,

x = ρ

√2

2y = 0

z = ρ

√2

2

. (11.142)


para ρ ∈ (0 ,∞).A representação geométrica gráfico do sistema de equações (11.141), dado em coordenadas

esféricas no espaço, será a a semi-reta, dada em coordenadas cartesianas no espaço (isto é,em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ no espaço), por:

x = z > 0 (pois ρ > 0)

y = 0

contida no plano xOz (veja a figura abaixo).

-

6

x

y

z

π4


φ =π

4, para (ρ , θ) ∈ (0 ,∞)× [0 , 2π) , (11.143)





z = ρ cos(φ)


x = ρ sen(π4

)cos(θ)

y = ρ sen(π4

)sen(θ)

z = ρ cos(π4

)

ou seja,

x = ρ

√2

2cos(θ)

y = ρ

√2

2sen(θ)

z = ρ

√2

2

. (11.144)

11.6. COORDENADAS CILÍNDRICAS (NO ESPAÇO) 373

para (ρ, θ) ∈ (0 ,∞)× [0 , 2π).Logo, se um ponto P no espaço, cujas coordenadas polares são dadas por

P.= (ρ , θ ,φ) ,


P = (x , y , z)Σ ,

deverão satisfzer a seguinte equação:

x2 + y2 (11.144)=

[ρ

√2

2cos(θ)

]2+

[ρ

√2

2sen(θ)

]2=

[ρ

√2

2

]2(11.144)= z2 ,

isto é,z2 = x2 + y2 . (11.145)

A representação geométrica do gráfico da equação (11.145), dada em coordenadas carte-sianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ) será o cone de revolução,obtido da rotação da semi-reta do Exemplo (11.5.3), em torno do eixo Oz (veja a figuraabaixo).

-

6

x

y

z

π4

11.6 Coordenadas Cilíndricas (No Espaço)

Consideremos um sistema de coordenadas ortogonal fixado n o espaço,

Σ = (O , e1 , e2 , e3) ,

um ponto P, diferente da origem O, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, são dadas por

P.= (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 0)Σ . (11.146)

Então podemos encontrar

ρ ∈ (0,∞) e θ ∈ [0 , 2π) , (11.147)


de modo que x = ρ cos(θ)

y = ρ sen(θ)

z = z

, (11.148)

ou seja,

ρ =

√x2 + y2

θ =

π

2, se x = 0 e y ∈ (0 ,∞)

3π

2, se x = 0 e y ∈ (−∞ , 0)

tg(θ) =y

x, se x = 0

. (11.149)

Geometricamente temos a seguinte situação:

-

6

x

z

O

P

y

x

y

z

Coordenadas Cartesianas

-

θ

6

P

z

x

y

Coordenadas Cilíndricas

ρ

A terna(ρ , θ , z)

obtida em (11.149), será dita coordenadas cilídricas do ponto P do espaço.

Observação 11.6.1 Observemos que:

ρ é a distância do ponto P a origem O;

θ é a medida, em radianos, do ângulo entre a projeção ortogonal do segmento OP,no plano xOy, com o eixo Ox.


Exemplo 11.6.1


1. Determine as coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema de coorda-nadas ortogonal Σ) do ponto P1 do espaço, cujas em coordenadas cilíndricas sãodadas por:

P1.=

(3 ,

7π

4,−2

). (11.150)

2. Determine as coordenadas cilíndricas do ponto P2, cujas coordenadas cartesianas(isto é, em relação ao sistema de coordanadas ortogonal Σ) são dadas por:

P2.= (1 , 1 , 1)Σ . (11.151)

Resolução:De 1.:De (11.150), segue que

ρ = 3 , θ =7π

4e z = −2 . (11.152)

Logo, de (11.148), temos que

x = ρ cos(θ)(11.152)= 3 cos

(7π

4

)= 3

−√2

2

= −3√2

2,

x = ρ sen(θ)(11.152)= 3 sen

(7π

4

)= 3

−√2

2,

= −3√2

2

z = z(11.152)= −2 .

Logo as coordenadas cartesianas do ponto P1 (isto é, em relação ao sistema de coordanadasortogonal Σ) serão dadas por:

P1 =

(−3√2

2,−

3√2

2,−2

)Σ

.

De 2.:De (11.151), segue que

x = y = z = 1 . (11.153)

Logo, de (11.149), temos que

ρ =

√x2 + y2 (11.153)

=√

12 + 12

=√2 ,

θ = arctg(yx

)(11.153)= arctg

(1

1

)=

π

4,

z = z(11.153)= 1 .


Logo, as coordenadas cilíndricas do ponto P2 serão dadas por:

P =(√

2 ,π

4, 1).

Observação 11.6.2 Em algumas situações, pode ser mais fácil representar geometrica-mente o gráfico de uma equação (um curva ou um superfície) em coordenadas cilíndri-cas, do que em coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordanadasortogonal Σ), como veremos nos exemplos a seguir.


θ =π

4, para (ρ , z) ∈ (0 ,∞)× R , (11.154)

dada em coordenadas cilíndricas no espaço.

Resolução:Logo, se um ponto P no espaço, cujas coordenadas cilíndricas são dadas por

P.= (ρ , θ , z) ,


P = (x , y , z)Σ ,

por (11.148), deverão satisfazer a seguinte equação:

x = ρ cos(θ)

y = ρ sen(θ)

z = z

, de (11.154), teremos

x = ρ cos(π4

)y = ρ sen

(π4

)z = z

ou seja,

x = ρ

√2

2

y = ρ

√2

2z = z

,

para ρ ∈ (0 ,∞), ou seja, em coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ) será o semi-plano

x = y , para y ∈ (0 ,∞) .

A representação geométrica gráfico da equação (11.154), da em coordenadas cilíndricas, éexibida na figura abaixo.


=

-π4

x

y

z 6

O

Temos também o:


ρ = 3 , para (θ , z) ∈ [0 , 2π)× R , (11.155)

dada em coordenadas cilíndricas no espaço.

Resolução:Logo, se um ponto P no espaço, cujas coordenadas cilíndricas são dadas por

P.= (ρ , θ , z) ,


P = (x , y , z)Σ ,

por (11.148), deverão satisfazer a seguinte equação:x = ρ cos(θ)

y = ρ sen(θ)

z = z

, de (11.155), teremos

x = 3 cos (θ)

y = 3 sen (θ)

z = z

(11.156)

para (θ , z) ∈ [0 , 2π)× R.


Observemos que

x2 + y2 (11.156)= [3 cos (θ)]2 + [3 sen (θ)]2

= 9 ,

ou seja, em coordenadas cartesianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ), será uma circunferência de centro no ponto C, cujas coordenadas em relação ao sistemade coordenadas cartesianas Σ, serão dadas por

C.= (0 , 0 , z)Σ ,

e com raio igual aR

.= 3

, contida no plano z = const.Portanto, a representação geométrica da equação (11.155), dada em coordenadas cilíndri-

cas, será o cilindro de revolução (isto é, circular reto) obtido da rotação da retax = 3

y = 0,

dada em coordenadas cartesianas, em torno do eixo Oz (veja a figura abaixo).

6

-

+

x

y

z

(3 , 0 , 0)Σ

Capítulo 12

As Cônicas

Fixemos um sistema de coordenadas ortogonal no plano,

Σ = (O , e1 , e2) .

Neste capítulo estudaremos a representação geométrica do gráfico da equação, dada emrelação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, por :

Ax2 + Bxy+ Cy2 +Dx+ Ey+ F = 0 (12.1)


são números reais fixados.Antes porém estudaremos três lugares geométricos, que são de grande importância no

estudo da Geometria e que são, como veremos, casos particulares da equação (12.1), a saber:

Elipse, Hipérbole e Parábola.

Inciaremos com o estudo da:

12.1 Elipse

Começaremos pela:

Definição 12.1.1 Consideremos num plano π do espaço, e dois pontos distintos F1 e F2,cuja distância entre eles é 2c, onde c ∈ (0,∞) está fixado, ou seja.

d(F1 , F2) = 2 c . (12.2)

Seja a ∈ [c,∞) fixado.O lugar geométrico dos pontos P que pertencem ao plano π, que satisfazem a equação

d(P , F1) + d(P , F2) = 2a , (12.3)

será dado o nome de elipse.

379

380 CAPÍTULO 12. AS CÔNICAS

P

d(P , F1) + d(P , F2) = 2a

F1 F2︸︷︷︸2c

Observação 12.1.1

1. A seguir vamos encontrar uma equação que descreverá analiticamente uma elipse,em relação a um sistema de coordenadas ortogonal Σ conveniente do plano π.

Consideremos um sistema de coordenadas ortogonal Σ no plano π, de modo que:

o eixo Ox contenha os pontos F1 e F2;

a origem O, do sistema de coordenadas Σ, seja o ponto médio segmento F1F2;

o eixo dos Oy seja a reta perpendicular ao eixo Ox pelo ponto O (ou ainda,a mediatriz do F1F2).

Deste modo teremos que (veja figura abaixo)

F1 = (−c , 0)Σ e F2 = (c , 0)Σ . (12.4)

P = (x, y)

F1 = (−c, 0) F2 = (c, 0)

-

6

Ox

y

(x, 0)

(0, y)

Um ponto P, cujas coordenadas em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, são dadas por

P.= (x , y)Σ (12.5)

12.1. ELIPSE 381

satisfaz a relação (12.3) se, e somente se,

d(P , F1) + d(P , F2) = 2a ,

ou seja, d ((x , y)Σ , (−c , 0)Σ) + d ((x , y)Σ , (c , 0)Σ) = 2a

ou ainda,√[x− (−c)]2 + (y− 0)2 +

√(x− c)2 + (y− 0)2 = 2a

isto é,√(x+ c)2 + y2 = 2a−

√(x− c)2 + y2

ou ainda, (x+ c)2 + y2 = 4a2 − 4a

√(x− c)2 + y2 + [(x− c)2 + y2]

ou seja, 4a

√(x− c)2 + (y− 0)2 = 4a2 +

(x2 − 2xc+ c2

)−(x2 + 2xc+ c2 + y2

)ou seja, 4a

√(x− c)2 + y2 = 4a2 − 4xc

isto é, a2[(x− c)2 + y2

]=(a2 − xc

)2ou ainda, a2

[x2 − 2xc+ c2 + y2

]=(a4 − 2a2xc+ x2c2

)isto é,

(a2 − c2

)x2 + a2y2 = a2

(a2 − c2

)como, a2(a2 − c2) = 0 ,

teremos:x2

a2+

y2

a2 − c2= 1 . (12.6)

Definindo-se:b

.=√a2 − c2 (12.7)

podemos reescrever a equação (12.6), como

x2

a2+

y2

b2= 1 , (12.8)

que será denominada equação na forma reduzida da elipse em coordenadas car-tesianas (isto é, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ).

2. A representação geométrica da equação (12.3), em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ, é dada pela figura a seguir.

6

-F1 = (−c , 0)Σ F2 = (c , 0)Σ

b

c

a

x

y

O

a2 = b2 + c2

P = (x , y)Σ

A1 = (−a , 0)ΣA2 = (a , 0)Σ

B1 = (−b , 0)Σ

B2 = (b , 0)Σ

3. Podemos obter a representação geométrica de uma elipse, conhecendo-se 2 c e 2a.


Pregando-se dois pregos em uma tábua, que distem 2 c unidades.

Cada um desses dois pregos é um foco da elipse.

Amarrando-se as pontas de um barbante, de comprimento 2a, em cada um dospregos e esticando-se o barbante, a elipse será a coleção dos pontos que estão nacorda do barbante esticado.

Se considerarmos um sistema de coordenadas ortogonal Σ ′, de modo que:

os pontos F1 e F2 pertecenm ao eixo Oy;

eixo Ox seja a mediatriz do segmento F1F2 (veja figura abaixo) ,

então a equação da elipse na forma reduzida, em relação ao sistema de coordenadasΣ ′, será dada por

x2

b2+

y2

a2= 1 . (12.9)

Deixaremos a verificação deste fato como exercício para o leitor.Neste caso, a representação geométrica da equação (12.8), em relação ao sistema de

coordenadas ortogonal Σ ′, é dada pela figura a seguir.

-

6

x

y

P = (x , y)Σ ′a

b

c

F1 = (0 ,−c)Σ ′

F2 = (0 , c)Σ ′

B1 = (b , 0)Σ ′ B2 = (−b , 0)Σ ′

A1 = (−a , 0)Σ ′

A2 = (a , 0)Σ ′

Notação 12.1.1 Temos a seguinte nomenclatura para os elementos de uma elipse:

Os pontos F1 e F2 serão ditos focos da elipse;

O número real positivo 2 c é denominado distância focal da elipse;

Os pontos A1 , A2 , B1 , B2 serão ditos vértices da elipse;

O segmento A1A2 será dito eixo maior da elipse;

O segmento B1B2 será dito eixo menor da elipse;

O segmento F1F2 será dito segmento focal da elipse;

12.1. ELIPSE 383

O ponto O será dito centro da elipse.

A figura a seguir ilustra so elementos intorduzidos aicma:

jF1 F2

Focos

Eixo maior︸︷︷︸︸︷︷︸

Distância focal

B1

B2

A1 A2

Eixo menor

Segmento focal

W

Centro

O

Consideremos o:

Exemplo 12.1.1 Encontre a equação na forma reduzida, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ do plano, e faça a representação geométrica do gráfico daelipse, sendo dados:

1. os focos F1, F2, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, são dadas por

F1.= (−4 , 0)Σ , F2

.= (4 , 0)Σ (12.10)

o eixo maior medindo 12 unidades.

2. os focos F1, F2, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, são dadas por

F1.= (0 ,−3)Σ , F2

.= (0 , 3)Σ (12.11)

e o eixo menor medindo 8 unidades.

Resolução:De 1.:Como o eixo maior mede 12 unidades temos que

2a = 12 , logo a = 6 . (12.12)

Como os focos F1 e F2 estão sobre o eixos Ox (veja (12.10)) e a origem O do sistema decoordenadas ortogonal Σ, está no ponto médio do segmento F1, F2, teremos que

c = 4 . (12.13)

Assimb2 (12.7)

= a2 − c2(12.12) e (12.13)

= 62 − 42 = 20 . (12.14)

Portanto a equação na forma normal da elipse, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, será dada (veja (12.8)):

x2

a2+

y2

b2= 1 , que, de (12.12) e (12.14), teremos:

x2

36+

y2

20= 1 . (12.15)

A representação geométrica da elise de equação (12.15), em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ, é dada pela seguinte figura:


6

-F1 = (−4 , 0)Σ F2 = (4 , 0)Σ

x

y

O

P = (x , y)Σ

A1 = (−6 , 0)ΣA2 = (6 , 0)Σ

B1 =(−√20 , 0

)Σ

B2 =(√

20 , 0)Σ

De 2.:Como o eixo menor mede 8 unidades temos que

2 b = 8 , logo b = 4 . (12.16)

Como os focos F1 e F2 estão sobre o eixos Oy (veja (12.11)) e a origem O do sistema decoordenadas ortogonal Σ, está no ponto médio do segmento F1, F2, teremos que

c = 3 . (12.17)

Assim (veja (12.7))

a2 = b2 + c2 , que, de (12.16) e (12.17), tornar-se-á: a2 = 43 + 32 ,

ou seja, a = 5 . (12.18)

Portanto a equação na forma normal da elipse, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, será dada (veja (12.9)), será:

x2

b2+

y2

a2= 1 , que, de (12.16) e (12.18), teremos:

x2

16+

y2

25= 1. (12.19)

A representação geométrica da elise de equação (12.19), em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ, é dada pela seguinte figura.

-

6

x

y

P = (x , y)Σ

F1 = (0 ,−3)Σ

F2 = (0 , 3)Σ

B1 = (4 , 0)Σ B2 = (−4 , 0)Σ

A1 = (−5 , 0)Σ

A2 = (5 , 0)Σ

12.2. HIPÉRBOLE 385

Observação 12.1.2 Se os focos F1 e F2 coincidem, então curva obtida será uma circun-ferência de centro no ponto

F1 = F2

e raio igual a a

De fato, pois

2a = d(P , F1) + d(P , F2) = 2 d(P , F1) , ou seja, d(P , F1) = a .

Portanto uma circunferência é uma elipse, onde os focos coincidem.

12.2 Hipérbole

Uma outra curva plana importante é dada pela:

Definição 12.2.1 Consideremos num plano π do espaço, dois pontos distintos F1 e F2,cuja distância entre eles é 2 c, one c ∈ (0 ,∞).

Seja a um número real satisfazendo

a ∈ (0 , c) .

O lugar geométrico dos pontos P, pertencentes ao plano π, que satisfazem a equação

|d(P , F1) − d(P , F2)| = 2 a (12.20)

será denominado hipérbole (veja a figura abaixo).

F1 F2

P

|d(P , F1) − d(P , F2)| = 2 a

︸︷︷︸2c

Observação 12.2.1

1. A seguir vamos encontrar uma equação que descreverá analiticamente uma hipér-bole, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal fixado no plano π.

Consideremos um sistema de coordenadas orotgonal Σ, no plano π, de modo que:

o eixo Ox contenha os pontos F1 e F2;

a origem O seja o ponto médio segmento F1F2;

o eixo dos Oy seja a reta perpendicular ao eixo Ox, pelo ponto O (ou seja, éa mediatriz do segmento F1F2).

Deste modo, teremos (veja a figura abaixo)

F1.= (−c , 0)Σ e F2

.= (c , 0)Σ . (12.21)


P = (x , y)Σ

F1 = (−c , 0)Σ F2 = (c , 0)Σ

-

6

Ox

y

(x , 0)Σ

(0 , y)Σ

Um ponto P, cujas coordenadas, em relação aos sistema de coordenadas ortogonalΣ, são dadas por:

P.= (x , y)Σ (12.22)

satisfaz a equação (12.20) se, e somente se,

|d(P , F1) − d(P , F2)| = 2a

ou seja, |d((x , y)Σ , (−c , 0)Σ) − d((x , y)Σ , (c , 0))Σ| = 2a

isto é, |√

[x− (−c)]2 + (y− 0)2 −

√(x− c)2 + (y− 0)2| = 2a

ou ainda,

√

(x+ c)2 + y2 −√

(x− c)2 + y2 = 2a

ou√(x+ c)2 + y2 −

√(x− c)2 + y2 = −2a

ou seja,

√

(x+ c)2 + y2 = 2a+√

(x− c)2 + y2

ou√(x+ c)2 + y2 = 2a−

√(x− c)2 + y2

ou ainda,

(x+ c)2 + y2 = 4a2 + 4a

√(x− c)2 + y2 +

[(x− c)2 + y2

]ou

(x+ c)2 + y2 = 4a2 − 4a

√(x− c)2 + y2 +

[(x− c)2 + y2

]

isto é,

(x2 + 2 xc+ c2

)+ y2 = 4a2 + 4a

√(x− c)2 + y2

+(x2 − 2 xc+ c2

)+ y2

ou(x2 + 2 xc+ c2

)+ y2 = 4a2 − 4a

√(x− c)2 + y2

+x2 − 2 xc+ c2 + y2


ou seja,

(x2 + 2 xc+ c2

)+ y2 = 4a2 + 4 a

√(x− c)2 + y2

+(x2 − 2 xc+ c2

)+ y2

ou(x2 + 2 xc+ c2

)+ y2 = 4a2 − 4 a

√(x− c)2 + y2

+x2 − 2 xc+ c2 + y2

isto é,

a

√(x− c)2 + y2 = c x− a2

ou

a

√(x− c)2 + y2 = −

(cx− a2

)ou ainda, a2

[(x− c)2 + y2

]=(cx− a2

)2ou seja, a2

[(x2 − 2 xc+ c2

)+ y2

]= c2 x2 − 2c xa2 + a4

ou seja, a2[(x− c)2 + y2

]=(cx− a2

)2isto é,

(c2 − a2

)x2 − a2y2 = a2

(c2 − a2

)a2(a2 − c2

)= 0 , teremos:

x2

a2−

y2

c2 − a2= 1 . (12.23)

Definindo-se:b

.=√c2 − a2 (12.24)

Podemos reescrever a equação (12.23) como

x2

a2−

y2

b2= 1 , (12.25)

que será denominada equação na forma reduzida da hipérbole.

2. Observemos quex2

a2−

y2

b2= 1 =⇒ (x

a−

y

b

) (xa+

y

b

)= 1 . (12.26)

Se considerarmos uma mudança do sistema de coordenadas Σ no plano, para umnovo sistema de coordenadas Σ ′], por meio de uma tranalação, cujas equações sãodadas por:

u.=

x

a−

y

b

v.=

x

a+

y

b

, (12.27)

então a equação (12.26) tornar-se-á:

uv = 1 , (12.28)

que é uma outra forma de descrevermos analiticamente uma hipérbole.

3. A representação geométrica do gráfico da hipérbole de equação (12.25), em relaçãoao sistema de coordenadas ortogonal Σ é dada pela figura abaixo:


-

6

b

a

c

F1 = (−c , 0)Σ F2 = (c , 0)Σ

B2 = (0 , b)Σ

B1 = (0 ,−b)Σ

P = (x , y)Σ

c2 = a2 + b2

x

y

4. Se tomarmos o sistema de coordenadas ortogonal Σ1 no plano, de modo que:

os pontos F1 e F2 pertençam ao eixo Oy;

o eixo Ox seja a mediatriz do segmento F1F2 (veja a figura abaixo)

então a equação da hipébole na forma reduzida, em relação a esse sistema decoordenadas ortogonal será dada por :

−x2

b2+

y2

a2= 1 . (12.29)


Neste caso, a representação geométrica do gráfico da hipérbole de equação (12.25),em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ1 é dada pela figura abaixo:

-

6

x

y

F1 = (0 ,−c)Σ1

F2 = (0 , c)Σ1

A1 = (0 ,−a)Σ1

A2 = (0 , a)Σ1

O

a

b

c

P = (x , y)Σ1

Notação 12.2.1 Temos a seguinte nomenclatura para os elementos de uma hipérbole:

Os pontos F1 e F2 serão ditos focos da hipérbole;


O número real positivo 2c é denominado distância focal da hipérbole;

Os pontos A1, A2 serão ditos vértices da hipérbole;

O segmento A1A2 será dito segmento transverso da hipérbole;

O segmento B1B2 será dito segmento conjugado da hipérbole;

O segmento F1F2 será dito segmento focal da hipérbole;

O ponto O será dito centro da hipérbole.

F1 F2

? q

Focos

︸︷︷︸Distância focal

︸︷︷︸Eixo transverso

B1

B2

Eixo conjugado︷︸︸︷Segmento focal

A1 A2

Observação 12.2.2

1. As retasy = −

b

ax e y =

b

ax (12.30)

serão ditas assíntotas do gráfico da hipérbole de equação (12.25) (será visto noCurso de Cálculo I como encontrar tais retas, por meio de limites).

A representação geométrica do gráfico da hipérbole de equação (12.25) e de suasretas assítotas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, é dada pelafigura abaixo:

-

6

y = −bax

y = bax

F1 = (−c , 0)Σ F2 = (c , 0)Σx

y


2. De modo semelhante, as retas

x = −b

ay e x =

b

ay (12.31)

serão ditas assíntotas do gráfico da hipérbole de equação (??).

Consideremos os:

Exemplo 12.2.1 Encontrar a equação da hipérbole e de suas assíntotas e fazer a re-presentação geométrica do gráfico da mesma, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, nos seguintes casos:

1. Os focos são F1, F2 tem coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, dadas por:

F1.=(−√13 , 0

)Σ

e F2.=(√

13 , 0)Σ

(12.32)

e o segmento transverso mede 6 unidades.

2. Um foco é F1 tem coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, dadas por:

F1.=(0 ,−

√11)Σ

(12.33)

a distância focal é igual a 2√11 unidades, o foco F2 pertence ao eixo Oy e o

segmento conjugado mede 2√7 unidades.

De 1.:Sabemos que

2a = d((A1A2) = 6 , logo a = 3 . (12.34)

e, de (12.32), segue quec =

√13 . (12.35)

De (12.34), (12.35) e (12.24), teremos que:

b(12.24)=

√c2 − a2

(12.34) e (12.35)=

√13− 9 = 2 . (12.36)

Como os focos F1, F2 pertecem ao eixo Ox e o eixo Oy é a mediatriz do segmento F1F2, aequação reduzida da hipérbole será dada por (veja (12.25)):

1(12.25)=

x2

a2−

y2

b2

(12.34) e (12.36)=

x2

9−

y2

4,

ou seja,x2

9−

y2

4= 1 . (12.37)

As equações das retas assíntotas terão equações dadas, em relação ao sistema de coorde-nadas Σ, por:

y(12.30)= ±b

ax , de (12.34) e (12.36), segue que: y =

23x e y = −

2

3x .

A representação geométrica do gráfico da hipérbole de equação (12.37) e de suas retasassítotas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, é dada pela figura abaixo:


-

6

y = − 23x

y = 23x

F1 =(−√

13 , 0)Σ

F2 =(√

13 , 0)Σ x

y

De 2.:Sabemos que

2 c = d(F1 , F2) = 2√11 , ou seja, c =

√11 . (12.38)

Por outro lado,

2 b = d(B1 , B2) = 2√7 , ou seja, b =

√7 . (12.39)

Assim

a(12.24)=

√c2 − b2 (12.38) e (12.39)

=√11− 7 = 2 . (12.40)

Como os focos F1 e F2 pertencem ao eixo Oy e o eixo Ox é a mediatriz do segmento F1F2,a equação reduzida da hipérbole será dada por (12.29), ou seja,:

1(12.29)= −

x2

b2−

y2

a2

(12.39) e (12.40)= −

x2

7+

y2

4,

ou seja,

−x2

7+

y2

4= 1 . (12.41)

As equações das retas assíntotas terão equações dadas, em relação ao sistema de coorde-nadas Σ, por:

x = ±b

ay , de (12.39) e (12.40), segue que: y =

√7

2x e y = −

√7

2x .

A representação geométrica do gráfico da hipérbole de equação (12.41) e de suas retasassítotas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, é dada pela figura abaixo:


-

6

x =√

77

y

x = −√

77

y

x

y

F1 =(0,−

√11)Σ

F2 =(0 ,

√11)Σ

O

12.3 Parábola

A seguir introduziremos uma terceira curva plana importante no estudo da equação (12.1).Sejam π um plano, r uma reta contida no plano π e F um ponto do plano π, que não

pertença à reta r.Com isto temos a:

Definição 12.3.1 O lugar geométrico dos pontos do plano π, que são equidistantes dareta r e do ponto F será denominado parábola, isto é, o conjunto dos pontos P perten-centes ao plnao π, que satisfazem (veja a figura abaixo):

d(P , F) = d(P , r) . (12.42)

r

F

P

d(P, r) = d(P, F)

Observação 12.3.1

1. Encontremos uma equação, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal Σdo plano π, que descreva o lugar geométrico acima.

Para isto consideremos um sistema de coordenadas ortogonal Σ do plano π, demodo que:

12.3. PARÁBOLA 393

o eixo Ox contenha o ponto F;

o eixo Ox seja perpendicular a reta r;

eixo Oy seja a mediatriz do segmento QP, onde o ponto Q é a intersecção dareta r com o eixo Ox (vide a figura abaixo).

r

F-

6

Q Ox

y

Seja2 p

.= d(F , r) (= d(F ,Q)) . (12.43)

Neste caso, teremosF

.= (p , 0)Σ (12.44)

e a reta r terá equação geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ,dada por:

r : x = −p ou ainda, r : x+ p = 0 . (12.45)

Assim, o ponto P, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas or-togonal Σ, são dadas por:

P.= (x , y)Σ , (12.46)

satisfaz (12.42) (isto é pertencerá a parábola) se, e somente se, (veja a Observação???)

d(P, F) = d(P, r)

ou seja,√

(x− p)2 + (y− 0)2 =|x+ p|

|12 + 02|

isto é, (x− p)2 + (y− 0)2 = (x+ p)2

ou ainda, x2 − 2p x+ p2 = x2 + 2p x+ p2

ou, equivalentemente, y2 = 4px ,

ou, finalmente,y2 = 4p x , (12.47)

que será denominada equação na forma reduzida da parábola.

A representação da equação (12.47), em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, é dada pela figura abaixo (se p > 0):


r : x = −p

F = (p, 0)

-

6

Q = (−p, 0) Ox

y

P = (x, y)

2. Escolhendo-se o sistema de coordenadas ortogonal Σ, como acima, poderemos tera seguinte situação geométrica:

-

6

F = (−p, 0)

r : x = p

Q = (p, 0)x

y

O

P = (x, y)

Neste caso teremos que as coordenadas do ponto F, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, serão dadas por:

F.= (−p , 0)Σ (12.48)

e a equação geral da reta r, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ,será dada por:

r : x = p ou ainda, r : x− p = 0 . (12.49)

teremos que a equação da parábola, em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, será dada por:

y2 = −4p x . (12.50)

A representação da equação (12.47), em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, é dada pela figura acima (se p > 0).

3. Se considerarmos um sistema de coordenadas ortogonal Σ do plano π, de modoque:

o eixo Oy contenha o ponto F;

o eixo Oy seja perpendicular a reta r;

12.3. PARÁBOLA 395

eixo Ox seja a mediatriz do segmento QP, onde o ponto Q é a intersecção dareta r com o eixo Oy (vide a figura abaixo) ,

segue que que as coordenadas do ponto F, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, serão dadas por:

F.= (0 , p)Σ (12.51)


r : y = p ou ainda, r : y− p = 0 . (12.52)


x2 = 4py (12.53)

A representação da equação (12.56), em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, é dada pela figura abaixo (se p > 0):

6

-

F = (0, p)

Q = (0,−p)

x

y

r : y = −p

P = (x, y)

4. Escolhendo-se o sistema de coordenadas ortogonal Σ, como acima, poderemos tera seguinte situação geométrica:

-

6

x

y

O

Q = (0, p)

F = (0,−p)

P = (x, y)

r : y = p

Neste caso teremos que as coordenadas do ponto F, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, serão dadas por:

F.= (0 ,−p)Σ (12.54)



r : y = p ou ainda, r : y− p = 0 . (12.55)


x2 = −4py (12.56)

A representação da equação (12.47), em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, é dada pela figura acima (se p > 0).

Notação 12.3.1 Temos a seguinte nomenclatura para os elementos de uma parábola:

1. O ponto F será dito foco da parábola;

2. A reta r será denominada diretriz da parábola;

3. O número real 2 p será dito parâmetro da parábola;

4. A reta perpendicular à reta r, que contém o foco F, será dita eixo da parábola.

5. O ponto V, situado sobre o eixo da parábola, entre o foco F e a diretriz r, que distado foco F, metade da distância do foco F à diretriz r, será dito vértice da parábola.

A figura abaixo ilustra os elementos introduzidos acima.

r

V F-

Eixo da parábola

6

j

Diretriz da parábola

Foco da parábola

︸︷︷︸Parâmetro da parábola

Consideremos os:

Exemplo 12.3.1 Encontre as equações e dê a representação geométrica dos gráficos,em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, nos seguintes casos:

1. O vértice da parábola está na origem O e o foco F tem coordenadas, em relaçãoao sistema de coordenadas ortogonal Σ, dadas por

F.= (8 , 0)Σ . (12.57)

12.3. PARÁBOLA 397

2. O foco F da parábola tem coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, dadas por:

F.= (2 , 3)Σ . (12.58)

e a geratriz da parábola tem equação em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, dada por

r : x = 0 . (12.59)

Resolução:De 1.:Como as coordenadas do foco F, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, dadas

por (12.57), segue que o foco pertence ao eixo Ox e a origem é

O = (0 , 0)Σ

será vértice da parábola.Com isto teremos que

p = 8 . (12.60)

Logo a equação da parábola, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, será:

y2 = 4p x , isto é, y2 = 32 x . (12.61)

Notemos que, neste caso, a diretiz terá equação, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, dada por

r : x = −8 .

A representação da equação (12.60), em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ,é dada pela figura abaixo:

r : x = −8

F = (8 , 0)Σ

-

6

Q = (−8 , 0)Σ Ox

y

P = (x , y)Σ

De 2.:Observemos que neste caso o foco F não pertence aos eixos Ox ou Oy (veja (12.59)), logo

não podemos utilizar as equação estabelecidas nos itens da Observação (12.3.1) (veja a figuraabaixo).


-

6

x

y

r : x = 0

F = (2 , 3)Σ

P = (x , y)Σ

Para resolver o problema, utilizaremos a Definição de parábola (ou seja, (12.42)).Assim, um ponto P, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ são dadas

por:P

.= (x , y)Σ (12.62)

pertencerá a parábola (12.42)se, e somente se,

d(P, F) = d(P, r)

ou seja,√

(x− 2)2 + (y− 3)2 = |x|

isto é, (x− 2)2 + (y− 3)2 = x2

ou ainda,(x2 − 4x+ 4

)+ (y− 3)2 = x2

ou seja, (y− 3)2 = 4(x− 1) ,

isto é, a equação da parábola, em relação ao sistema de coordenadas Σ será dada por :

(y− 3)2 = 4(x− 1) . (12.63)

Se fizermos a mudança do sistema de coordenadas ortogonal Σ, para o sistema de coorde-nadas ortogonal Σ ′, do tipo translação, cujas equações são dadas por:

u.= x− 1

v.= y− 3

a equação (12.63) da parábola, em relação novo sistema de coordenadas ortogonal Σ ′, serádada por :

v2 = 4u . (12.64)

Com isto, a representação da equação (12.63), em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, será dada pela figura abaixo:

12.4. CÔNICAS 399

-

6

x

y

r : [x = 0]Σ

-F = (2 , 3)Σ

6

u

v

O ′ = (1 , 3)Σ

O

12.4 Cônicas

Consideremos um plano π, um sistema de coordenadas ortogonal Σ neste plano, e a equação

Ax2 + Bxy+ Cy2 +Dx+ Ey+ F = 0 , (12.65)

ondeA ,B ,C ,D , E , F ∈ R ,

em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ.

Definição 12.4.1 O lugar geométrico dos pontos P, cujas coordenadas, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, dadas por

P.= (x , y)Σ (12.66)

satisfazem a equaçõa (12.65) será denominada cônica no plano π.A equação (12.65) será dita equação da cônica no plano π.

Consideremos alguns exemplos de cônicas:

Exemplo 12.4.1 Fizemos um sistema de coordenadas ortogonal Σ no plano π.

1. O conjunto vaziox2 + y2 + 1 = 0 , isto é, ∅ ,

é uma cônica.

Neste caso teremos:

A = C = F.= 1 e B = D = E = 0 .


2. O conjunto formado por um ponto, por exemplo

x2 + y2 = 0 , isto é, (0 , 0)Σ ,

é uma cônica.

Neste caso teremos:

A = C.= 1 e B = D = E = F

.= 0 .

3. O conjunto formado pelos pontos de uma reta, por exemplo:

x2 + 2 xy+ y2 = 0 ,

Observemos que

0 = x2 + 2xy+ y2 = (x+ y)2 , ou seja, x+ y = 0 ,

isto é, uma reta.

Neste caso teremos:

A = C.= 1 , B

.= 2 e D = E = F

.= 0 .

4. O conjunto formado pelos pontos de duas retas paralelas e distintas, por exem-plo:

x2 + 2 xy+ y2 + x+ y = 0 ,

é uma cônica.

Observemos que

0 = x2 + 2 xy+ y2 + x+ y = (x+ y) (x+ y+ 1) ,

isto é,x+ y = 0 ou x+ y+ 1 = 0 ,

ou seja, duas retas paralelas e distintas.

Neste caso teremos:

A = C.= 1 , B

.= 2 , D = E

.= 1 e F

.= 0 .

5. O conjunto formado pelos pontos de duas retas concorrentes, por exemplo:

x2 − y2 = 0 ,

é uma cônica.

Observemos que0 = x2 − y2 = (x+ y) (x− y) ,

isto é,x+ y = 0 ou x− y = 0 ,

ou seja, duas retas concorrentes.

Neste caso teremos:

A.= 1 , C

.= −1 , e B = D = E = F

.= 0 .

12.4. CÔNICAS 401

6. O conjunto formado pelos pontos de uma eplise, por exemplo:

x2 + 4 y2 − 1 = 0 ,

é uma cônica.

Observemos que

0 = x2 + 4y2 − 1 =x2

1+

y2

1

4

− 1 ,

isto é,x2

12+

y2(1

2

)2= 1 ,

ou seja, uma elipse.

Neste caso teremos:

A.= 1 , C

.= 4 , F

.= −1 e B = D = E

.= 0 .

7. O conjunto formado pelos pontos de uma hipérbole, por exemplo:

x2 − y2 − 1 = 0 ,

é uma cônica.

Observemos que0 = x2 − y2 − 1 = (x+ y)(x− y) − 1 . (12.67)

Logo, considerando-se uma mudança do sistema de coordenadas ortogonal Σ parao sistema para o sistema coordenadas ortogonal Σ ′, por meio de uma translação,cujas equações são dadas por:

u.= x+ y

v.= x− y

,

em relação ao novo sistema coordenadas ortogonal Σ ′, a equação (12.67), tornar-se-á:

uv = 1 ,

ou seja, uma hipérbole.

Neste caso teremos:

A.= 1 , C

.= −1 , F

.= −1 e B = D = E

.= 0 .

8. O conjunto formado pelos pontos de uma parábola, por exemplo:

4 x2 − y = 0 ,


é uma cônica.

Observemos que a equação acima é equivalente à equação:

y = 4 x2 ,

ou seja, uma parábola.

Neste caso teremos:

A.= 4 , E

.= −1 e B = C = D = F

.= 0 .

9. O conjunto formado pelos pontos de uma circunferência, por exemplo:

x2 + y2 − 1 = 0 ,

é uma cônica.

Observemos que a equação acima é equivalente à equação:

x2 + y2 = 1 ,

logo uma circunferência com centro na origem O e raio igual a1, que é um casoparticular de elipse.

Neste caso teremos:

A = C.= 1 , F

.= −1 e B = D = E

.= 0 .

Observação 12.4.1

1. Fixado um sistema de coordenadas ortogonal Σ no plano π, pode-se mostrar queuma equação do tipo (12.65) nos fornece somente um dos nove exemplos acima,isto é:

o conjunto vazio;

um ponto;

uma única reta;

duas retas paralelas e distintas;

duas retas concorrentes;

uma elipse, uma hipérbole;

uma hipérbole;

uma parábola;

uma parábola ou uma circunferência;

no plano que chamaremos de cônicas básicas no plano π.

A demonstração deste fato será omitida.

12.5. ROTEIRO PARA CLASSIFICAR UMA CÔNICA 403

2. As curvas acima podem ser obtidas da intersecção de um plano do espaço, comum cone circular reto, obtido da rotação de uma reta que forma θ ∈ (0, π

2), com

uma reta, em torno desta segunda.

3. O nome dado as curvas acima vêm do fato descrito no item acima, isto é, ascurvas são ditas cônicas, pois podem ser obtidas da intersecção de planos com umcone circular reto.

4. O objetivo desta seção é dada uma equação do tipo (12.65), em relação a umsistema de coordenadas ortogonal Σ, reconhecer a cônica como uma das noveacima e dar a representação geométrica do seu gráfico, em relação a um sistemade coordenadas ortogonal Σ.

5. Para isto utilizaremos as mudanças de variáveis estudadas no Capítulo 11 seção(11.3).

Na verdade daremos um roteiro para conseguirmos nosso objetivo.

12.5 Roteiro para Classificar uma Cônica

1.o Passo:

Tentar zerar, por uma mudança do sistema de coordenadas ortogonal

Σ = (O , e1 , e2)

para um novo sistema de coordenadas ortogonal

Σ = ( O , e1 , e2) ,

por meio de uma translação, os termos de 1.o grau que aparecem na equação (12.65).

Ou seja, tentar encontrarO

.= (h , k)Σ , (12.68)

(as coordenadas da nova origem O, em relação ao sistema de coordenadas Σ) satisfazendox = u+ h

y = v+ k, (12.69)

de modo que equação (12.65) torne-se, em relação ao novo sistema de coordenadas Σ)

Au2 + Buv+ Cv2 + F = 0 . (12.70)

Observação 12.5.1 Como vimos anteriormente (veja a seção (11.3)), nem sempreserá possível cumpri esse passo, ou seja, existir tal mudança de coordenadas.

Supondo que cumprimos o 1.o passo, temos:


2.o Passo:


Σ = ( O , e1 , e2)


Σ ′ =(O , f1 , f2

),

por meio de uma, por meio de uma rotação, o termo de 2.o grau misto na equaçãoobtida do 1.o passo,.

Ou seja, obter um ânguloθ ∈ [0 , π) ,

medido em radianos, de modo que, tendo-se as equações de mudança dos sistemas decoordenadas dadas por:

u = cos(θ) t− sen(θ)w

v = sen(θ) t+ cos(θ)w, (12.71)

a equação (12.65), torne-se, em relação ao novo sistema de coordenadas Σ ′, a equação

A ′ t2 + C ′w2 + F ′ = 0 . (12.72)

3.o Passo:

Classificar a equação obtida em termos de uma das nove cônicas básicas e fazer a repre-sentação geométrica do seu gráfico, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ ′

e, respectivamente, obteremos a mesma em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, dado inicialmente.

Antes dos exemplos, introduziremos a seguinte:

Definição 12.5.1 Fixado um sistema de coordenadas ortogonal Σ no plano π, diremosque a equação (12.65) é:

1. do tipo elíptico se∆

.= B2 − 4AC < 0 ; (12.73)

2. do tipo parabólico se∆

.= B2 − 4AC = 0 ; (12.74)

3. do tipo hiperbólico se∆

.= B2 − 4AC > 0 . (12.75)


Observação 12.5.2 Fixado um sistema de coordenadas ortogonal Σ no plano π, pode-se mostrar que se a equação (12.65) é do tipo elíptico, então a cônica, definida pelaequação (12.65), NÃO será, com certeza, uma hipérbole ou uma parábola (o que nãoimplica que seja uma elipse).

De modo análogo, se a equação (12.65) é do tipo parabólico, então a cônica definidapela equação (12.65) NÃO será, com certeza, uma hipérbole ou uma elipse (o que nãoimplica que seja uma parábola).

E finalmente, se a equação (12.65) é do tipo hiperbólico, então a cônica definidapela equação (12.65) NÃO será, com certeza, uma elipse ou uma parábola (o que nãoimplica que seja uma hipérbole).

Em todo os exemplos a seguir temos fixado um sistema de coordenadas ortogonal Σ noplano π.

Exemplo 12.5.1 Classificar e fazer a representação geométrica do gráfico da cônica,cuja equação, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, é dada por:

7 x2 − 4 xy+ 4 y2 + 12 x+ 6 y− 9 = 0 . (12.76)

Resolução:Seja f : R2 → R dada por

f(x , y).= 7 x2 − 4 xy+ 4 y2 + 12 x+ 6 y− 9 , para (x , y)Σ ∈ R2 . (12.77)

Notemos que, neste caso (veja (12.65)), teremos:

A.= 7 , B

.= −4 , C

.= 4 , D

.= 12 , E

.= 6 e F

.= −9 . (12.78)

Observemos que

∆ = B2 − 4AC(12.78)= (−4)2 − 4 · 7 · 4 = −96 < 0 , (12.79)

logo, da Definição (12.5.1), segue que a cônica cuja equação, em relação ao sistema de coor-denadas ortogonal Σ, é dada por (12.76), é do tipo elíptico (ou seja, não será uma hipérboleou uma parábola).

1.o Passo:


Σ = (O , e1 , e2)


Σ = ( O , e1 , e2) ,

do tipo translação, os termos de 1.o grau que aparecem na equação (12.76).


.= (h , k)Σ , (12.80)



y = v+ k, (12.81)


Au2 + Buv+ Cv2 + F = 0 . (12.82)

Do Capítulo 11 seção (11.3), o seguinte sistema linear (veja (11.59)), deverá possuirsoluções h , k ∈ R:

Bk+ 2Ah+D = 0

Bh+ 2 kC+ E = 0, isto é,

−4 k+ 8h+ 12 = 0

−4h+ 14 k+ 6 = 0,

ou seja,

h = 2

k = 1. (12.83)

A resolução do sistema linear acima será deixada como exercício para o leitor (veja oApêndice (B)).

Portanto, as coordenadas da nova origem O, em relação ao novo sistema de coordenadasortogonal Σ, serão dadas por

O.= (2 , 1)Σ . (12.84)

Logo fazendo a mudança sistema de coordenadas ortogonal Σ = (O , e1 , e2) para o novosistema de coordenadas ortogonal Σ = ( O , e1 , e2) , do tipo translação, cujas equaçõessão dadas por

x = u+ 2

y = v+ 1, (12.85)

a equação (12.76) tornar-se-á, em relação ao novo sistema de coordenadas ortogonal Σ,na seguinte equação:

7u2 − 4uv+ 4 v2 − 24 = 0 . (12.86)

Lembremos que, de (11.58), segue que deveremos ter:

A = A = 7 , B = B = −4 , C = C = 4 , F = f(h , k)(12.104)= f(−2,−1)

(12.77)= −24 . (12.87)

A representação geométrica do novo sistema de coordenadas ortogonal Σ (relativamenteao sistema de coordenadas ortogonal Σ), é ilustrado na figura abaixo:


-

6

u

v

-

6

x

y

O = (2 , 1)Σ

O

2.o Passo:


Σ = ( O , e1 , e2)


Σ ′ =(O , f1 , f2

),

por meio de uma, por meio de uma rotação, o termo de 2.o grau misto na equaçãoobtida do 1.o passo (isto é, (12.86)).




v = sen(θ) t+ cos(θ)w, (12.88)


A ′ t2 + C ′w2 + F ′ = 0 . (12.89)

Para isto, comoA

(12.87)= 7 = 4

(12.87)= C ,

segue que θ deverá satisfazer (veja (11.76)):

2 θ = arctg

(B

A− C

)(12.87)= arctg

(−4

7− 4

)= arctg

(−4

3

). (12.90)

Notemos que

−4

3< 0 ,

assim podemos escolher o ângulo θ, de modo que

2θ ∈(π2, π), (12.91)


pois

tg(2θ)(12.90)< 0 , logo, θ ∈

(π4,π

2

).

Em particular, de (11.77), segue que

0(12.91)> cos(2θ)

(11.77)=

A− C

A ′ − C ′(12.87)=

7− 4

A ′ − C ′ =3

A ′ − C ′ , (12.92)

ou seja,A ′ − C ′ < 0 , isto é, A ′ < C ′ . (12.93)

Sabemos, de (11.78), que os coeficientes

A ′ e B ′

devem ser as raízes reais da equação do 2.o grau:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣A− λ

B

2

B

2C− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(12.87)=

∣∣∣∣∣4− λ −2

−2 7− λ

∣∣∣∣∣Exercício

= λ2 − 11 λ+ 24 ,

ou seja (Exercício), λ1 = 8 e λ2 = 3 . (12.94)

Logo , de (12.93) e (12.94) deveremos ter

A ′ = 3 e C ′ = 8 . (12.95)

Lembremos que, de (11.69), segue que

F ′ = F = −24 . (12.96)

Portanto, de (12.95) e (12.96), segue que, em relação ao no novo sistema de coordenadasΣ ′, a equação (12.86) tornar-se-á:

3 t2 + 8w2 − 24 = 0 , dividindo-se por 24, obteremos:t2

8+

w2

3= 1

ou seja,t2(√8)2 + w2(√

3)2 = 1 ,

ou seja, uma elipse.

Portanto, a representação geométrica do gráfico da cônica de equação, em relação aosistema de coordenadas Σ, dada por (12.76), corresponde a seguinte figura abaixo.


-

6

x

y

-

6

u

v

O = (2 , 1)Σ

*

K

t

w

θ

2

1

O-

6

x

y

-

6

u

v

O = (2 , 1)Σ

*

K

t

w

θ

(0 ,−

√3)Σ ′

(√8 , 0

)Σ ′

O 2

1

Aplicar as mesmas idéias ao:

Exercício 12.5.1 Classificar e fazer a representação geométrica do gráfico da cônica,cuja equação, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, é dada por:

x2 − 2 xy+ y2 − 2 x− 2 y+ 1 = 0 . (12.97)


f(x , y).= x2 − 2 xy+ y2 − 2 x− 2 y+ 1 , para (x , y)Σ ∈ R2 . (12.98)


A.= 1 , B

.= −2 , C

.= 1 , D

.= −2 , E

.= −2 e F

.= 1 (12.99)

Observemos que

∆ = B2 − 4AC(12.99)= B2 − 4AC = (24)2 − 4 · 1 · 1 = 0 = −96 < 0 , (12.100)

logo, da Definição (12.5.1), segue que a cônica cuja equação, em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ, é dada por (12.97), é do tipo parabólico (ou seja, não será uma hipérboleou uma elipse).

1.o Passo:


Σ = (O , e1 , e2)


Σ = ( O , e1 , e2) ,




.= (h , k)Σ , (12.101)


y = v+ k, (12.102)


Au2 + Buv+ Cv2 + F = 0 . (12.103)


Bk+ 2Ah+D = 0

Bh+ 2 kC+ E = 0, que de (12.99) é equiavlente à:

2h− 2k− 2 = 0

−2h+ 2k− 2 = 0,

ou seja,

2h− 2k = 2

2h− 2k = −2, (12.104)

ou seja, o sistema é incompatível (isto é, não tem solução), ou seja, não existe umatranslação de modo que, em relação ao novo sistema de coordenadas Σ, equação (12.97)tenha os coeficientes dos termos de 1.o grau iguais a zero.


2.o Passo:


Σ = ( O , e1 , e2)


Σ ′ =(O , f1 , f2

),

por meio de uma, por meio de uma rotação, o termo de 2.o grau misto na equação(12.97).




v = sen(θ) t+ cos(θ)w, (12.105)



A ′ t2 + C ′w2 +D ′t+ E ′w+ F ′ = 0 . (12.106)

Para isto, comoA = C

(12.99)= 1 , (12.107)

segue, de (11.72), que

θ =π

4ou θ =

3π

4.

Vamos escolherθ =

π

4. (12.108)

Logo, das relações (11.73), segue que

A ′ = A+B

2

(12.98)= 1+

−2

2= 0

B ′ = 0

C ′ = A−B

2

(12.98)= 1−

−2

2= 2

D ′ =

√2

2D+

√2

2E

(12.98)=

√2

2· (−2) +

√2

2· (−2) = −2

√2

E ′ =

√2

2E−

√2

2D

(12.98)=

√2

2· (−2) −

√2

2· (−2) = 0

F ′ = F(12.98)= 1

(12.109)

Logo, em relação ao novo sistema de coordenadas ortogonal Σ ′, a equação (12.97) tornar-se-á:

0u2 + 2 v2 − 2√2u+ 1 = 0 ou seja, v2 = 4

√2

4

(u−

√2

4

), (12.110)

Consideremos a seguinte mudança do sistema de coordenadas ortogonal Σ ′, para o sistemade coordenadas ortogonal Σ, por meio de uma translação, onde as equações destas, são dadaspor:

t.= u−

√2

4

w.= v

, (12.111)

ou seja, a nova origem O terá coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas Σ ′, dadaspor:

O.=

(√2

4, 0

). (12.112)


Com isto a equação (12.110), em relação ao novo sistema de coordenadas ortogonla Σ,tornar-se-a:

w2 = 4

√2

4t . (12.113)


-

6

x

y

u = t

v

I

O

π4

O =(√

24

, 0)Σ

Iw

-

6

x

y

u = t

v

I

O

π4

O =(√

24

, 0)Σ

Iw

F

Apliquemos as mesmas técnicas ao:


x2 − 4 xy+ 4 y2 − 6 x+ 12 y+ 8 = 0. (12.114)


f(x , y).= x2 − 4xy+ 4y2 − 6x+ 12y+ 8 , para (x , y)Σ ∈ R2 .e (12.115)


A.= 1 , B

.= −4 , C

.= 4 , D

.= −6 , E

.= 12 e F

.= 8 (12.116)

Observemos que

∆ = B2 − 4AC(12.116)= B2 − 4AC = (−4)2 − 4 · 1 · 4 = 0, , (12.117)

logo, da Definição (12.5.1), segue que a cônica cuja equação, em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ, é dada por (12.114), é do tipo parabólico (ou seja, não será uma hipérboleou uma elipse).


1.o Passo:


Σ = (O , e1 , e2)


Σ = ( O , e1 , e2) ,



.= (h , k)Σ , (12.118)


y = v+ k, (12.119)


Au2 + Buv+ Cv2 + F = 0 . (12.120)

Do Capítulo 11 seção (11.3), o seguinte sistema linear (veja (11.59)), deverá possuirsoluções h , k ∈ R:Bk+ 2Ah+D = 0

Bh+ 2 kC+ E = 0, que de (12.116) é equivalente à:

2h− 4 k− 6 = 0

−4h+ 8 k+ 12 = 0,

ou seja, 2h− 4 k− 6 = 0 , (12.121)

assim o sistema é indeterminado (tem infinitas soluções).


Escolhamos uma solução, por exemplo

h = 1 e k = −1 . (12.122)

Logo a mudança do sistema de coordenadas ortogonal Σ para o novo sistema de coor-denadas ortogonal Σ, por meio de uma translação, terá equações dadas por:

x = u+ 1

y = v− 1. (12.123)


O.= (1 ,−1)Σ . (12.124)



x = u+ 1

y = v− 1, (12.125)

a equação (12.114) tornar-se-á, em relação ao novo sistema de coordenadas ortogonalΣ, na seguinte equação:

u2 − 4uv+ 4 v2 − 1 = 0 (12.126)


A = A = 1 , B = B = −4 , C = C = 4 , F = f(h , k)(12.122)= f(1,−1)

(12.115)= −1 . (12.127)

2.o Passo:


Σ = ( O , e1 , e2)


Σ ′ =(O , f1 , f2

),





v = sen(θ) t+ cos(θ)w, (12.128)


A ′ t2 + C ′w2 + F ′ = 0 . (12.129)

Para isto, comoA

(12.127)= 1 = 4

(12.127)= C ,


2 θ = arctg

(B

A− C

)(12.127)= arctg

(−4

1− 4

)= arctg

(4

3

). (12.130)

Notemos que4

3> 0 ,



2θ ∈(0 ,

π

2

), (12.131)

pois

tg(2θ)(12.129)> 0 , logo, θ ∈

(0 ,

π

4

).


0(12.131)< cos(2θ)

(11.77)=

A− C

A ′ − C ′(12.127)=

1− 4

A ′ − C ′ =−3

A ′ − C ′ , (12.132)

ou seja,A ′ − C ′ < 0 , isto é, A ′ < C ′ . (12.133)


A ′ e B ′


0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣A− λ

B

2

B

2C− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(12.127)=

∣∣∣∣∣1− λ −2

−2 4− λ

∣∣∣∣∣ Exercício= λ2 − 5 λ ,

ou seja, λ1 = 5 e λ2 = 0 . (12.134)


A ′ = 0 e C ′ = 5 . (12.135)


F ′ = F = −1 . (12.136)

Portanto, de (12.135) e (12.136), segue que, em relação ao no novo sistema de coorde-nadas Σ ′, a equação (12.114) tornar-se-á:

0 t2 + 5w2 − 1 = 0 , ou seja, w = ±√5

5,

isto é , um par de retas paralelas e distintas.



-

6

y

u

- x

6v

O

O = (1 ,−1)Σ

−1

1

* t

Mw

θ

-

6

y

u

- x

6v

O

O = (1 ,−1)Σ

−1

1

* t

Mw

θ

w =√

55

w = −√

55

Apliquemos as mesmas técnicas ao:


x2 + 3√3 xy+ 4 y2 − 1 = 0 . (12.137)


f(x , y).= x2 + 3

√3 xy+ 4 y2 − 1 , para (x , y)Σ ∈ R2 . (12.138)


A.= 1 , B

.= 3

√3 , C

.= 4 , D = E

.= 0 e F

.= −1 . (12.139)

Observemos que

∆ = B2 − 4AC(12.139)= B2 − 4AC = (3

√3)2 − 4 · 4 · 1 = 11 > 0 , (12.140)

logo, da Definição (12.5.1), segue que a cônica cuja equação, em relação ao sistema de coor-denadas ortogonal Σ, é dada por (12.137), é do tipo hiperbólico (ou seja, não será uma elipseou uma parábola).

1.o Passo:

Na equação acima os coeficientes dos termos de 1.o grau são iguais a zero, logo podemospassar para o próximo passo.

2.o Passo:


Σ = ( O , e1 , e2)



Σ ′ =(O , f1 , f2

),





v = sen(θ) t+ cos(θ)w, (12.141)


A ′ t2 + C ′w2 + F ′ = 0 . (12.142)

Para isto, comoA

(12.139)= 1 = 4

(12.139)= C ,


2 θ = arctg

(B

A− C

)(12.139)= arctg

(−3

√3

1− 4

)= arctg

(√3). (12.143)

Logo,

2θ =2π

3ou 2θ =

5π

3, ou seja, θ =

π

3ou 2θ =

5π

6. (12.144)

Escolhendo-seθ =

π

3, (12.145)

segue que

0 > −

√3

2= cos

(2π

3

)= cos(2θ)

(11.77)=

A− C

A ′ − C ′(12.139)=

1− 4

A ′ − C ′ = −3

A ′ − C ′ ,

logoC ′ < A ′ . (12.146)

Sabemos que os coeficientes A ′ e B ′ devem ser raízes de

0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣A− λ

B

2

B

2C− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(12.139)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1− λ

3√3

2

3√3

24− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= λ2 − 5 λ−11

4

ou seja, λ1 =11

2e λ2 = −

1

2, (12.147)


serão as únicas soluções.

Logo, de (12.146), segue que

A ′ =11

2e C ′ = −

1

2. (12.148)


F ′ = F = −1 . (12.149)


11

2t2 −

1

2w2 − 1 = 0 ou seja,

t2(√22

11

)2+

w2(√2)2 = 1 ,

isto é, uma hipérbole.


-

6

x

y

I

u

v

π3

-

6

x

y

I

u

v

π3

Apliquemos, novamente, as idéias acima, para o:


7 x2 + 6 xy− y2 + 28 x+ 12 y+ 28 = 0 . (12.150)


f(x , y).= 7 x2 + 6 xy− y2 + 28 x+ 12 y+ 28 , para (x , y)Σ ∈ R2 . (12.151)



A.= 7 , B

.= 6 , C

.= −1 , D

.= 28 , E

.= 12 e F

.= 28 . (12.152)

Observemos que

∆ = B2 − 4AC(12.152)= (6)2 − 4 · 7 · (−1) = 64 > 0 = 11 > 0 , (12.153)

logo, da Definição (12.5.1), segue que a cônica cuja equação, em relação ao sistema de coor-denadas ortogonal Σ, é dada por (12.150), é do tipo hiperbólico (ou seja, não será uma elipseou uma parábola).

1.o Passo:


Σ = (O , e1 , e2)


Σ = ( O , e1 , e2) ,



.= (h , k)Σ , (12.154)


y = v+ k, (12.155)


Au2 + Buv+ Cv2 + F = 0 . (12.156)


Bk+ 2Ah+D = 0

Bh+ 2 kC+ E = 0, isto é,

14 k+ 6h+ 28 = 0

6h− 2 k+ 12 = 0,

ou seja,

h = −2

k = 0. (12.157)



O.= (−2 , 0)Σ . (12.158)



x = u− 2

y = v, (12.159)

a equação (12.150) tornar-se-á, em relação ao novo sistema de coordenadas ortogonalΣ, na seguinte equação:

7u2 + 6uv− v2 = 0 . (12.160)


A = A = 7 , B = B = 6 , C = C = −1 , F = f(h , k)(12.158)= f(−2, 0)

(12.151)= 0 . (12.161)

2.o Passo:


Σ = ( O , e1 , e2)


Σ ′ =(O , f1 , f2

),





v = sen(θ) t+ cos(θ)w, (12.162)


A ′ t2 + C ′w2 + F ′ = 0 . (12.163)

Para isto, comoA

(12.161)= 7 = −1

(12.161)= C ,


2 θ = arctg

(B

A− C

)(12.161)= arctg

(6

7− (−1)

)= arctg

(3

4

). (12.164)

Notemos que3

4> 0 ,



2θ ∈(0 ,

π

2

), (12.165)

pois

tg(2θ)(12.129)> 0 , logo, θ ∈

(0 ,

π

4

).


0(12.165)< cos(2θ)

(11.77)=

A− C

A ′ − C ′(12.161)=

7− (−1)

A ′ − C ′ =8

A ′ − C ′ , (12.166)

ou seja,0 < A ′ − C ′ , isto é, C < A ′ . (12.167)


A ′ e B ′


0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣A− λ

B

2

B

2C− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(12.161)=

∣∣∣∣∣7− λ 3

3 −1− λ

∣∣∣∣∣ Exercício= λ2 − 6 λ− 16 ,

ou seja, λ1 = 8 e λ2 = −2 . (12.168)


A ′ = 8 e C ′ = −2 . (12.169)


F ′ = F = −1 . (12.170)


8 t2 − 2w2 = 0 ou seja,t2

8+

w2

3= 1

t2 =1

4w2 ou ainda, w = ±2 t,

ou seja, um par de retas concorrentes.



-

6

u = x

y

6v

1

K

t

w

θ

O = (−2 , 0)Σ

-

6

u = x

y

6v

1

K

t

w

w = 2t

w = −2t

θ

O = (−2 , 0)Σ

Deixaremos para o leitor a resolução dos:


3 x2 + 2 xy+ 3 y2 + 6√2 x+ 2

√2 y+ 2 = 0 . (12.171)


x2 + 2 y2 − x− y+ 1 = 0 . (12.172)


x2 + 2 xy+ y2 + 2 x− 2 y− 1 = 0 . (12.173)

Capítulo 13

Superfícies

Neste capítulo estudaremos uma classe importante de superfícies no espaço denominadasquádricas.

Exibiremos vários exemplos e um resultado para a classificação destas.

13.1 Exemplos

Começaremos exibindo alguns exemplos de superfícies do espaço.Fixemos um sistema de coordenadas orotogonal

Σ = (O , e1 , e2 , e3)

no espaço.

Exemplo 13.1.1 Sejam a , b > 0 fixados. Encontrar uma equação, em relação ao sis-tema de coordenadas ortogonal Σ, para a superfície de revolução gerada pela rotaçãoda elipse, que tem equação

x2

a2+

z2

b2= 1 (13.1)

que está contida no plano de equação geral

y = 0 ,

em torno do eixo Ox (veja a figura abaixo).

-

6

y

x

z

x2

a2+ y2

b2= 1 no plano y = 0

/

423

424 CAPÍTULO 13. SUPERFÍCIES

Resolução:Suponhamos que o ponto P, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas

ortogonal Σ, dadas por

P.=

(x , 0 ,±b

a

√a2 − x2

)Σ

(13.2)

um ponto da elipse (13.1), contida no plano y = 0, que o ponto A, cujas coordenadas, emrelação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, dadas por

A.= (x , 0 , 0)Σ , (13.3)

o centro da circunferênca de rotação e o ponto Q, cujas coordenadas, em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ, dadas por

Q.= (x , y , z)Σ (13.4)

um ponto obtido quando aplicamos a rotação ao ponto P, em torno do eixo Ox.Observemos que, para que a situação acima ocorra, deveremos ter (veja a figura abaixo)

d(A ,Q) = d(A , P) , que, de (13.3) e (13.4), é o mesmo que:√(x− x)2 + (y− 0)2 + (z− 0)2 =

√(x− x)2 + (0− 0)2 +

(±b

a

√a2 − x2 − 0

)2

ou seja, y2 + z2 =b2

a2

(a2 − x2

),

isto é, a equação da superfície procurada, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ,será dada por:

x2

a2+

y2

b2+

z2

b2= 1 , (13.5)

cuja representação geométrica do seu gráfico, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, é dada pela figura abaixo.

-

6

y

x

z

P

Q

A

Observação 13.1.1 A superfície de equação (13.5), em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ, é um caso particular de uma superfície denominada elipsóide, queserá estudado na próxima seção.

Introduziremos a:

13.1. EXEMPLOS 425

Definição 13.1.1 Dada uma superfície S do espaço e um plano π, a intersecção dasuperfície S com o plano π, isto é,

S ∩ π ,

será denominada traço da superfície S, no plano πindexsuperfície!traço de uma.

Observação 13.1.2 O traço de uma superfície é representado por duas equações, asaber: a equação da superfície e a equação do plano, em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ.

Exemplo 13.1.2 Encontre o tráco da superfície do Exemplo (13.1.1), com os planos,cujas equações gerais, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadaspor

π1 : x = k , (13.6)

π2 : y = l , (13.7)

π3 : z = m. (13.8)

Resolução:Observemos que:

Sek < −a ou k > a , (13.9)

afirmamos que o traço da superfície com o plano de equação (13.6), será o conjuntovazio.

De fato, se, por exemplok < −a , (13.10)

segue, de (13.6) e (13.10), que

x2(13.6)= k2 (13.10)

= a2 , ou seja,x2

a2> 1 . (13.11)

Logox2

a2︸︷︷︸(13.10)

> 1

+y2

b2+

z2

b2> 1 ,

ou seja, o plano de equação geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ,dada por:

π1 : x = k ,

não interceptará a superfície S, ou seja,

S ∩ π1 = ∅ .

De modo análogo, podemos mostrar o caso que

k > a .



De modo semelhante, afirmamos que se

l ,m < −b ou l ,m > b , (13.12)

teremos que o traço da superfície com os planos (13.7) e (13.8), será o conjunto vazio.


Se|k| = a (13.13)

teremos que o traço da superfície com o plano (13.6) será o conjunto formado por umponto.

De fato, se, por exemplok = −a , (13.14)

segue, de (13.14) e (13.6), que

x2(13.6)= k2 (13.14)

= a2 , ou seja,x2

a2= 1 . (13.15)

Logox2

a2︸︷︷︸(13.15)

= 1

+y2

b2+

z2

b2= 1 ,

se, e somente se,

y = z = 0 , isto é, (x , y , z)Σ = (−a , 0 , 0)Σ ,

ou seja, o plano de equação geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ,dada por:

π1 : x = −a ,

interceptará a superfície S em um único ponto, a saber, o ponto

(−a , 0 , 0)Σ ,

ou seja,S ∩ π1 = (−a , 0 , 0)Σ .

De modo análogo, podemos mostrar o caso que

k > a .


De modo semelhante, mostramos que se

|l| = |m| = b ,

teremos que o traço da superfície com os planos de equações gerais, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, dadas por (13.7) e (13.8) será o conjunto formadopor um ponto.

13.1. EXEMPLOS 427

Se|k| < a , (13.16)

afirmamos que o traço da superfície com o plano (13.6) será uma circunferência, a saber:x2

a2+

y2

b2+

z2

b2= 1

x = k

,

isto é,

y2

b2+

z2

b2= 1−

k2

a2

x = k

,

ou ainda,

y2 + z2 = b2

(1−

k2

a2

)x = k

, (13.17)

ou seja, a elipse de equação

y2

b2

(1−

k2

a2

) +z2

b2

(1−

k2

a2

) = 1 ,

no planox = k .

A representação geométrica da situação acima, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, é dada pela figura abaixo:

y

x

z

y2 + z2 = b2

(1 − k2

a2

)e x = k

x = k

6

-

Portanto,

S ∩ π1 =

(k , y , z)Σ ;y2

b2

(1−

k2

a2

) +z2

b2

(1−

k2

a2

) = 1

Se

|l| , |m| < a (13.18)


temos que o traço da superfície com os planos, cujas equações gerais, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por (13.7) e (13.8) serão elipses, a saber:

x2

a2+

y2

b2+

z2

b2= 1

y = l (ou z = m)

isto é,

x2

a2+

z2

b2= 1−

l2

b2

(ou

x2

a2+

y2

b2= 1−

m2

b2

)y = l (ou z = m)

,

ou ainda,

x2

a2

(1−

l2

b2

) +z2

b2

(1−

l2

b2

) = 1

oux2

a2

(1−

m2

b2

) +y2

b2

(1−

m2

b2

) = 1

y = l (ou z = m)

,

ou seja, uma elipse de equação

x2

a2

(1−

l2

b2

) +z2

b2

(1−

l2

b2

) = 1

oux2

a2

(1−

m2

b2

) +y2

b2

(1−

m2

b2

) = 1

,

no planoy = l (ou z = m) .

A representação geométrica da situação acima, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ é dada pela figura abaixo:

-

6

x

y

z

y = l

x2

a2(1− l2

b2

) + z2

b2(1− l2

b2

) = 1 e y = l

ou

- x

z

y

z = m

?

x2

a2(1−m2

b2

) + y2

b2(1−m2

b2

) e z = m

6

13.1. EXEMPLOS 429

Portanto

S ∩ π2 =

(x , l , z)Σ ;x2

a2

(1−

l2

b2

) +z2

b2

(1−

l2

b2

) = 1

ou

S ∩ π2 =

(x , y ,m)Σ ;x2

a2

(1−

m2

b2

) +y2

b2

(1−

m2

b2

) = 1

Consideremos agora o:

Exemplo 13.1.3 Seja r uma reta passando pela origem O, do sistema de coordenadasortogonal Σ do espaço, que forma um ângulo θ ∈

(0,

π

2

)com o eixo Oz. Rotancionando-

se a reta r em torno do eixo Oz, obtemos um superfície S. Encontre uma equação paraesta superfície (vide a figura abaixo).

-

6

x

y

z

r

θ

Resolução:Se P um ponto da superfície S, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas

orotognal Σ, são dadas por

P.= (x , y , z)Σ (13.19)

e o ponto A, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas orotognal Σ, são dadaspor

A.= (0 , 0 , z)Σ (13.20)

a projeção ortogonal do ponto P sobre o eixo Oz (veja a figura abaixo).


-

6

y

z

x

P = (x , y , z)Σ

A = (0 , 0 , z)Σ

O = (0 , 0 , 0)Σ

θ

Do triângulo ∆OPA, segue que:

tg(θ) =d(A , P)

d(O ,A)=

√(x− 0)2 + (y− 0)2 + (z− z)2√(0− 0)2 + (0− 0)2 + (z− 0)2

ou seja, x2 + y2 = tg2(θ) z2 ,

isto é, uma equação para a superfície S, em relação ao sistema de coordenadas orotognal Σ,será dada por:

x2 + y2 − k2 z2 = 0 , (13.21)

ondek

.= tg(θ) . (13.22)

Observação 13.1.3 A superfície acima é um caso particular de uma superfície deno-minada cone.

Na verdade trata-se de um cone de revolução, que será estudado na próxima seção.

Exemplo 13.1.4 Encontre os traços da superfície S de equação (13.21), dada em rela-ção ao sistema de coordenadas orotognal Σ, com os planos, cujas equações gerais, emrelação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

1. π1 : z = a ;

2. π2 : y = b = 0 ;

3. π3 : y = 0 ;

4. π4 : x = c = 0 ;

5. π5 : x = 0 .

13.1. EXEMPLOS 431

Resolução:De 1.:Notemos que, se

a = 0 (13.23)

teremos um ponto, a saber (0 , 0 , 0)Σ.De fato, pois, neste caso:

x2 + y2 − k2 z2 = 0

z = 0, ou seja,

x2 + y2 = 0

z = 0

isto é, (x , y , z)Σ = (0 , 0 , 0)Σ .

Portanto, para a = 0, teremos:

S ∩ π1 = (0 , 0 , 0)Σ .

Sea = 0 , (13.24)

teremos a seguinte situação: x2 + y2 − k2 z2 = 0

z = a,

ou seja,

x2 + y2 = k2 a2

z = a,

ou seja, uma circunferência no planoz = a ,

(veja a figura abaixo), de centro no ponto

(0 , 0 , a)Σ

e raio igual aR

.=√k2a2 = |ka| .

-

6

x

y

z

θ

reta r

zz = 0

O

z = a/(0, 0, a)9

R

x2 + y2 = k2a2 e z = a


Portanto, para a = 0, teremos:

S ∩ π1 =(x , y , b)Σ ; x

2 + y2 = k2 a2.

De 2.:Neste caso teremos:

x2 + y2 − k2 z2 = 0

y = b, ou seja,

x2 + b2 − k2 z2 = 0

y = b,

isto é,

x2

b2−

z2(b

k

)2= 1

y = b

,

ou ainda, (veja a figura abaixo) uma hipérbole no plano

y = b .

-

6

x

y

z

θ

y = b

=

x2

b2− z2

b2

k2

= 1 e y = b

Portanto

S ∩ π2 =

(x , y , b)Σ ;x2

b2−

z2(b

k

)2= 1

.

De 3.:Neste caso teremos:

x2 + y2 − k2 z2 = 0

y = 0, ou seja,

x2 − k2 z2 = 0

y = 0,

isto é,

(x+ k z) (x− k z) = 0

y = 0,

ou seja, um para de retas concorrentes, que contêm a origem O, do sistema de coordenadasortogonal Σ (veja a figura abaixo).

13.1. EXEMPLOS 433

-

6

x

y

z

θy = 0 x − kz = 0 e y = 0

x = kz = 0 e y = 0

S ∩ π3 = (x , y , 0)Σ ; x = k z ou x = −k z .

De 4.:Nesta sistuação, teremos:

x2 + y2 − k2 z2 = 0

x = c, ou seja,

c2 + y2 − k2 z2 = 0

x = c,

isto é,

y2

c2−

z2(ck

)2 = 1

x = c

,

ou seja, (veja a figura abaixo) uma hipérbole no plano

x = c .

-

6

y

z

x

x = c

9

y2

c2− z2(

ck

)2 = 1 e x = c

S ∩ π4 =

(x , y , 0)Σ ;y2

c2−

z2(ck

)2 = 1

.


De 5.:Neste caso, teremos:

x2 + y2 − k2 z2 = 0

x = 0, ou seja,

y2 − k2 z2 = 0

x = 0,

isto é,

(y+ k z) (y− k z) = 0

x = 0,

ou seja, um par de retas no plano x = 0 (veja a figura abaixo).

-

6

y

z

x

)

+

(y + k z) (y − k z) e x = 0

x = 0

S ∩ π5 = (x , y , 0)Σ ; y = −k z ou y = k z .

Consideremos agora o:

Exemplo 13.1.5 Fixado a > 0, encontrar a equação, em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ, para o lugar geométrico dos pontos P, cujas coordenadas, em relaçãoao sistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por

P.= (x , y , z)Σ , (13.25)

de modo que a distância do ponto P ao ponto A, cujas coordenadas, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

A.= (a , 0 , 0)Σ (13.26)

seja igual a distância do ponto P ao plano π, cuja equação geral, , em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, é dada por:

π : x = −a . (13.27)

Resolução:A figura abaixo ilustra a situação:

13.1. EXEMPLOS 435

-

6

x

y

z

(−a, 0, 0)

x = −a

(a, 0, 0)

Temos que

d(P, π) = d(P,A) , ou seja,|x+ a|√

02 + 12 + 02=

√(x− a)2 + (y− 0)2 + (z− 0)2 ,

isto é, (x+ a)2 = (x− a)2 + y2 + z2 ,

ou ainda, y2 + z2 − 4a x = 0 , (13.28)

assim uma equação para a superfície procurada, em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ.

A representação geométrica da superfície de equação (13.28), em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, é dada pela figura abaixo.

-(a , 0 , 0)Σ

6

x

y

z

(−a , 0 , 0)Σ

x = −a

w

y2 + z2 − 4 a x = 0

Observação 13.1.4 A supefície acima é um caso particular de uma superfície denomi-nada parabolóise de revolução que será estudado na próxima seção.

Exemplo 13.1.6 Encontre os traços da superfície S do Exercício acima, com os planos,cujas equações gerais, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadaspor:

1. π1 : z = b e π2 : y = b;

2. π3 : x = c < 0;

3. π4 : x = 0 ;


4. π5 : x = c > 0 .

Resolução:De 1.:Para o plano de equação geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, dada

porπ1 : z = b ,

teremos: y2 + z2 − 4a x = 0

z = b, ou seja,

y2 = 4a x+ b2

z = b,

ou seja, a parábola de equaçãoy2 = 4a x+ b2

no plano π1.A representação geométrica da situação acima é dada pela figura abaixo:

-

x

y

z

(−a , 0 , 0)Σ

x = −a

z = b

y2 = 4 a x + b2 e z = b

6

PortantoS ∩ π1 =

(x , y , b)Σ ; y

2 = 4a x+ b2.

Para o plano de equação geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, dadapor

π2 : y = b ,


y = b, ou seja,

z2 = 4a x+ b2

y = b,

ou seja, a parábola de equaçãoz2 = 4 a x+ b2

no plano π2.A representação geométrica da situação acima é dada pela figura abaixo:

13.1. EXEMPLOS 437

(a , 0 , 0)Σx

y

z

(−a , 0 , 0)Σ

x = −a

-

6U

z2 = 4ax + b2 e y = b

/

PortantoS ∩ π2 =

(x , b , z)Σ ; z

2 = 4 a x+ b2

De 2.:Para o plano de equação geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, dada

porπ3 : x = c < 0 ,

teremos: y2 + z2 − 4 a x = 0

x = c, ou seja,

y2 + z2 = 4 a ca>0 e c<0

< 0

x = c,

logo teremos o conjunto vazio, ou seja, o traço da superfície S com o plano π3, com c < 0

será o conjunto vazio, ou ainda,S ∩ π3 = ∅ .

A representação geométrica da situação acima é dada pela figura abaixo:

6

x

y

z

(−a , 0 , 0)Σ -(a , 0 , 0)Σ

x = c < 0

De 3.:


Para o plano de equação geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, dadapor

π4 : x = 0 ,


x = 0⇐⇒ y2 + z2 = 0

x = 0,

ou seja, a origem O, do sistema de coordenadas ortogonal Σ, ou ainda,

S ∩ π4 = (0 , 0 , 0)Σ .


6

x

y

z

(−a , 0 , 0)Σ(a , 0 , 0)ΣO

x = −a

-

De 4.:Para o plano de equação geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, dada

porπ5 : x = c > 0 ,

teremos: y2 + z2 = −4a x

x = c, ou seja,

y2 + z2 = 4a ca,c>0> 0

x = c,

ou seja, uma circunferênca no plano π5, com centro no ponto de coordenadas , em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, dadas por

(c , 0 , 0)Σ

e raio igual aR

.= 2

√a c ,

ou ainda,S ∩ π5 =

(c , y , z)Σ : y2 + z2 = 4a c

.


13.2. QUÁDRICAS 439

-(−a , 0 , 0)|Sigmax

y

z

(a , 0 , 0)Σ

x = −a

y2 + z2 = 4ac e x = c

6

x = c > 0

13.2 Quádricas

Fixemos um sistema de coordenadas ortogonal

Σ = (O , e1 , e2 , e3)

no espaço.

Definição 13.2.1 Ao lugar geométrico geométrica dos pontos P, cujas coordenadas, emrelação ao sistema de coordenadas Σ, dadas por

P.= (x , y , z)Σ (13.29)

que satisfazem a equação do 2.o grau

Ax2 + By2 + Cz2 +Dxy+ Exz+ F yz+Gx+Hy+ I z+ J = 0 (13.30)

daremos o nome de quádrita.O gráfico da equação (13.30) será denominado superfície quádrica.

A seguir daremos alguns exemplos de superfícies quádritas importantes.Começaremos pelo:

13.2.1 Elipsóide

Sejama , b , c > 0

fixados.Consideremos a superfície quádrica S definida pelo gráfico da equação, em relação ao

sistema de coordenadas ortogonal Σ, dada por:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 . (13.31)


Neste caso teremos (veja (13.30))

A.=

1

a2, B

.=

1

b2, C =

1

c2, D = E = F = G = H = I

.= 0 e J

.= −1 . (13.32)

Definição 13.2.2 A superfície quádrica S acima será denominada elipsóide.

A seguir daremos algumas propriedades do elipsóide, cuja equação, em relação ao sistemade coordenadas Σ, é dada pela equação (13.31):

1. A superfície S acima, é simétrica em relação aos planos coordenados, cujas equaçõesgerais, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dadas por

π1 : x = 0 , π2 : y = 0 e π3 : z = 0 .

De fato, notemos que

se P.= (x , y , z)Σ ∈ S , então,

P1

.= (−x , y , z)Σ ∈ S

P2.= (x ,−y , z)Σ ∈ S

P3.= (x , y ,−z)Σ ∈ S

,

e este três pontos são os simétricos do ponto P, relativamente aos planos π1, π2 e π3,respectivamente.

2. O traço com o plano cuja equação geral, em relação ao sistema de coordenadas Σ, édada por

π4 : z = ±c

com a superfície S, será dada por:x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

z = ±c

, ou seja,

x2

a2+

y2

b2= 0

z = ±c

,

ou seja, o traço do plano π4 com a superfície S será o ponto

(0 , 0 ,±c)Σ ,

ou ainda,S ∩ π4 = (0 , 0 ,±c)Σ .


x

6

y

z

-

(0 , 0 , c)Σ

(0 , 0 ,−c)Σ

z = c

z = −c



π5 : z = k , onde |k| > c ,


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

z = k

, ou seja,

x2

a2+

y2

b2= 1−

k2

c2k2>c2

< 0

z = k

,

ou seja, o traço do plano π5 com a superfície S será o conjunto vazio (veja figura abaixo),ou ainda

S ∩ π5 = ∅ .


-

x

y

(0, 0, c)

z = k < −c

z = k > c

6z


π6 : z = 0 ,


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

z = 0

, ou seja,

x2

a2+

y2

b2= 1

z = 0

,

ou seja, o traço do plano π6 com a superfície S será a elipse

x2

a2+

y2

b2= 1 ,

contida no plano π6, ou ainda,

S ∩ π6 =

(x , y , 0)Σ ;

x2

a2+

y2

b2= 1

.



-

6

x

y

z

(a , 0 , 0)Σ

(0 , b , 0)Σ

z = 0

x2

a2+ y2

b2= 1 e z = 0

Observação 13.2.1 Vale observar que, na situação acima, se

a = b ,

então teremos a circunferência

x2 + y2 = a2

contida no plano π6, com centro na origem O = (0 , 0 , 0)Σ e raio igual a

R = a .


π7 : z = k , onde |k| < c


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

z = k

, ou seja,

x2

a2+

y2

b2= 1−

k2

c2k2<c2

> 0

z = k

ou ainda,

x2

a2

(1−

k2

c2

) +y2

b2

(1−

k2

c2

) = 1

z = k

,

isto é, o traço do plano π7 com a superfície S, será a elipse

x2

a2

(1−

k2

c2

) +y2

b2

(1−

k2

c2

) = 1 ,

contida plano π7, ou ainda,

S ∩ π7 =

(x , y , k)Σ ;x2

a2

(1−

k2

c2

) +y2

b2

(1−

k2

c2

) = 1

.



- x

z

y

z = k

?

x2

a2(1−k2

c2

) + y2

b2(1−k2

c2

) = 1 e z = k

6

Observação 13.2.2 Vale observar que se

a = b ,


x2 + y2 = a2

(1−

k2

c2

),

contida no plano π7, de centro no ponto C, cujas coordenadas, em relação aosistema de coordenadas Σ, é dada por

C.= (0 , 0 , k)Σ

e raio igual a

R.= a

√1−

k2

c2

De modo semelhante temos:


π8 : x = ±a ,


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

x = ±a

, ou seja,

y2

b2+

z2

c2= 0

x = ±a

,

isto é, y = z = 0 e x = ±a , (13.33)

ou seja, o traço do plano π8 com a superfície S será o ponto (±a , 0 , 0)Σ, ou ainda,

S ∩ π8 = (±a , 0 , 0)Σ .



-

6

x

y

z

x = ax = −a

(a, 0, 0)


π9 : x = k , onde |k| > a


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

x = k

, ou seja,

y2

b2+

z2

c2= 1−

k2

a2

k2>a2

< 0

x = k

,

ou seja, o traço do plano π9 com a superfície S será o conjunto vazio, ou ainda,

S ∩ π9 = ∅ .


6

y

z

x = k < −ax = k > a

-x


π10 : x = 0


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

x = 0

, ou seja,

y2

b2+

z2

c2= 1

x = 0

,


y2

b2+

z2

c2= 1


S ∩ π10 =

(0 , y z)Σ ;

y2

b2+

z2

c2= 1

.



-

6

x

y

z

(a , 0 , 0)Σ

(0 , 0 , c)Σ^

y2

b2+ z2

c2= 1 e x = 0


c = b ,


y2 + z2 = b2 ,

contida no plano π10, de centro na origem

O = (0 , 0 , 0)Σ

e raio igual aR

.= b .


π10 : x = k , onde |k| < c


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

x = k

, ou seja,

y2

b2+

z2

c2= 1−

k2

a2

k<c2

> 0

x = k

isto é,

y2

b2

(1−

k2

a2

) +z2

c2(1−

k2

a2

) = 1

x = k

,


y2

b2

(1−

k2

a2

) +z2

c2(1−

k2

a2

) = 1


S ∩ π11 =

(0 , y , z)Σ ;y2

b2

(1−

k2

a2

) +z2

c2(1−

k2

a2

) = 1

.



-

6

x

y

zx = k

y2

b2(1− k2

a2

) + z2

c2(1− k2

a2

) = 1 e x = k


c = b ,


y2 + z2 = b2

(1−

k2

a2

),

contida no plano π11, de centro no ponto C, cujas coordenadas, em relação aossistema de coordenadas Σ, são dadas por

C.= (k , 0 , 0)Σ

e raio igual a

R.= b

√1−

k2

a2.

Ou ainda:


π12 : y = ±b


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

y = ±b

, ou seja,

x2

a2+

z2

c2= 0

y = ±b

,

isto é, x = z = 0 e y = ±b ,

ou seja, o traço do plano π12 com a superfície S será o ponto de coordenadas, em relaçãoao sistema de coordenadas Σ, dadas por:

(0 ,±b , 0)Σ ,

ou ainda,S ∩ π12 = (0 ,±b , 0)Σ .

Deixaremos como exercício para o leitor a representação geométrica da situação acima.



π13 : y = k , onde |k| > c ,


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

y = k

, ou seja,

x2

a2+

z2

c2= 1−

k2

b2

k2>c2

< 0

y = k

,

ou seja, o traço do plano π13 com a superfície S será o conjunto vazio


-

6

x

y

z

(0, b, 0)

y = k > b

y = k < −b


π13 : y = 0


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

y = 0

, ou seja,

x2

a2+

z2

c2= 1

y = 0

,


x2

a2+

z2

c2= 1 ,


S ∩ π13 =

(x , 0 , z)Σ ;

x2

a2+

z2

c2= 1

.


-

6

x

y

z

y = 0?

x2

a2+ z2

c2= 1 e y = 0



a = c ,


x2 + z2 = a2

contida no plano π13, cujo de centro está na origem

O = (0 , 0 , 0)Σ

e o raio é igual aR = a .


π14 : y = k , onde |k| < c ,


a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

y = k

ou seja,

x2

a2+

z2

c2= 1−

k2

c2k2<c2

> 0

y = k

isto é,

x2

a2

(1−

k2

b2

) +z2

c2(1−

k2

c2

) = 1

y = k

,


x2

a2

(1−

k2

b2

) +z2

c2(1−

k2

b2

) = 1


S ∩ π14 =

(x , k , z)Σ ;x2

a2

(1−

k2

b2

) +z2

c2(1−

k2

b2

) = 1

.


-

6

x

y

z

y = k

x2

a2(1− k2

b2

) + z2

c2(1− k2

b2

) = 1



a = c ,


x2 + z2 = a2

(1−

k2

b2

)contida no plano π14, com centro no, cujas coordenadas, em relação ao sistemade coordenadas Σ, são dadas por :

(0 , k , 0)Σ

e o raio é igual a

R.= a

√1−

k2

b2.

14. A representação geométrica gráfico do elipsóide, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, é dado pela figura abaixo:

-

6

x

y

z

(a , 0 , 0)Σ

(0 , b , 0)Σ

(0 , 0 , c)Σ

Observação 13.2.7

1. Se dois dos números reaisa , b , c

forem iguais, então a superfície de equação dada, em relação ao sistema de coor-denadas Σ, por (13.31), será dita de elipsóide de revolução, que pode ser obtidapela rotação de uma elipse em torno do seu eixo maior (ou menor).

A representação geométrica gráfico do elipsóide de revolução é dada pela figuraabaixo:

eixo maior

^

Elipse

/

Elipsóideeixo de rotação


2. Em particular, podemos obter um elipsóide de revolução, rotacionando-se a elipse

x2

a2+

z2

b2= 1

contida no plano cuja equação geral, em relação ao sistema de coordenadas Σ, édada por

π : y = 0 ,

em torno do eixo Ox (veja o Eexemplo (13.1.1) ) e obter a seguinte equação parao mesmo, em relação ao sistema de coordenadas Σ,:

x2

a2+

y2

b2+

z2

b2= 1 . (13.34)

A representação geométrica gráfico deste elipsóide de revolução, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, é dado pela figura abaixo:

-

6

x

z

PU

x2

a2+ z2

b2= 1 e y = 0

-

6

y

x

z

P

x2

a2+ y2

b2+ z2

b2= 1

3. Sea = b = c ,

temos a superfície denominada superfície esférica (ou esfera), cujo centro localiza-se na origem

O = (0 , 0 , 0)Σ

e seu raio será igual aR

.= a

cuja equação, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, será dada por

x2 + y2 + z2 = a2. (13.35)

A representação geométrica gráfico da esfera acima, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, é dado pela figura abaixo:

-

6

x

y

z

/

x2 + y2 + z2 = a2


4. A esfera acima também pode ser obtida, por exemplo, rotacionando-se a circun-ferência

x2 + z2 = a2

contida plano xOz, em torno do eixo Ox.

A representação geométrica gráfico desta esfera, em relação ao sistema de coor-denadas ortogonal Σ, é dado pela figura abaixo:

-

6

x

y

x2 + z2 = a2 e y = 0

-

6

x

y

z

P

R

x2 + y2 + z2 = a2

5. Em geral, basta rotacionarmos uma circunferência, contida em um plano, emtorno de qualquer reta, que contenha seu centro, contida neste plano (veja a figuraabaixo).

centro

N

Circunferência

Esfera

eixo de rotação

13.2.2 Hiperbolóide de uma Folha

Sejama , b , c > 0

fixados.Consideremos a superfície quádrica S definida pelo gráfico da equação, em relação ao


x2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 1 . (13.36)


A.=

1

a2, B

.=

1

b2, C = −

1

c2, D = E = F = G = H = I

.= 0 e J

.= −1 . (13.37)

Definição 13.2.3 A superfície S acima será denominado hiperbolóide de uma folha.


Observação 13.2.8 Observemos que a superfícies quádricas S1 e S2, definidas pelos grá-ficos das equações, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, dada por:

−x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 ,

oux2

a2−

y2

b2+

z2

c2= 1 ,

também são hiperbolóides de uma folha.Trata-se apenas de fazermos mudanças do sistema de coordenadas Σ, para novos

sistemas de coordenadas Σ1 e Σ2, cujas equações de mundança dos respectivos sistemasde coordenadas serão dadas por:

x ′ = z

y ′ = y

z ′ = x

ou x ′ = x

y ′ = z

z ′ = y

,

respectivamente.Resumindo: a superfície quádrica S, definida pelo gráfico da equação, em relação ao


Ax2

a2+ B

y2

b2+ C

z2

c2= 1 ,

onde A

.= 1 , B

.= 1 e C

.= −1

A.= −1 , B

.= 1 e C

.= 1

A.= 1 , B

.= −1 e C

.= 1

será um hiperbolóide de uma folha.

A seguir daremos algumas propriedades do hiperbolóide de uma folha de equação, emrelação aos sistema de coordenadas Σ, dada por (13.46):

1. A superfície S é simétrica em relação aos planos coordenados, cujas equações gerais, emrelação ao sistema de coordenadas Σ, são dadas por

π1 : x = 0 , π2 : y = 0 e π3 : z = 0 .

De fato, pois

se P.= (x , y , z)Σ ∈ S , teremos:

(−x , y , z)Σ ∈ S

(x ,−y , z)Σ ∈ S

(x , y ,−z)Σ ∈ S

e este três pontos são os pontos simétricos do ponto P, relativamente aos planos π1,π2,π3 , respectivamente.


2. O traço do plano, cuja equação geral, em relação ao sistema de coordenadas Σ, é dadapor

π4 : z = 0 ,


a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

z = 0

, ou seja,

x2

a2+

y2

b2= 1

z = 0

,

isto é, o traço do plano π4 com a superfície S será a elipse

x2

a2+

y2

b2= 1


S ∩ π4 =

(x , y , 0)Σ ;

x2

a2+

y2

b2= 1

.


6

-

+

x

y

z

z = 0

+

x2

a2

+ y2

b2

= 1 e z = 0

3. Em geral temos que, para k ∈ R, traço do plano, cuja equação geral, em relação aosistema de coordenadas Σ, é dada por

π5 : z = k ,


a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

z = k

, ou seja,

x2

a2+

y2

b2= 1+

k2

c2

z = k

,

o traço do plano π5 com a superfície S será a elipse

x2

a2

(1+

k2

c2

) +y2

b2

(1+

k2

c2

) = 1



S ∩ π4 =

(x , y , k)Σ ;x2

a2

(1+

k2

c2

) +y2

b2

(1+

k2

c2

) = 1

.


6

-

+

x

y

z

z = k

j

x2

a2(1+k2

c2

) + y2

b2(1+k2

c2

) = 1 e z = k

De modo análogo temos que:


π6 : y = 0 ,


a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

y = 0

, ou seja,

x2

a2−

z2

c2= 1

y = 0

,

isto é, o traço do plano π6 com a superfície S será a hipérbole

x2

a2−

z2

c2= 1


S ∩ π6 =

(x , 0 , z)Σ ;

x2

a2−

z2

c2= 1

.



6

-

+

x

y

z

y = 0

6

-

x2

a2− z2

c2= 1, y = 0

5. Se k = b, o traço do plano, cuja equação geral, em relação ao sistema de coordenadasΣ, é dada por

π7 : y = k ,


a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

y = k

, ou seja,

x2

a2−

z2

c2= 1−

k2

b2(k =b

= 0)

y = k

,

ou seja, o traço do plano π7 com a superfície S será a hipérbole

x2

a2

(1−

k2

b2

) −z2

c2(1−

k2

b2

) = 1


S ∩ π7 =

(x , k , z)Σ ;x2

a2

(1−

k2

b2

) −z2

c2(1−

k2

b2

) = 1

.


6

-

+

x

y

z

y = k

j

1x2

a2(1− k2

b2

) − z2

c2

(1 −

k2

b2

) = 1 e y = k



π8 : y = b ,


a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

y = b

, ou seja,

x2

a2−

z2

c2= 0

y = b

,

isto é,

(xa−

z

c

) (xa+

z

c

)= 0

y = b,

ou seja, o traço será o par de retas concorrentesx

a−

z

c= 0 ou

x

a+

z

c= 0

contidas no plano π8, ou ainda,

S ∩ π8 =(x , b , z)Σ ;

x

a−

z

c= 0 ou

x

a+

z

c= 0.


6

-

+

x

y

z

?j

xa

− zc

= 0 ou xa

+ zc

= 0 e y = b

De modo semelhante temos:


π9 : x = 0 ,


a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

x = 0

, ou seja,

y2

b2−

z2

c2= 1

x = 0

,

ou seja, o traço será a hipéboley2

b2−

z2

c2= 1



S ∩ π9 =

(0 , y , z)Σ ;

y2

b2−

z2

c2= 1

.


6

-

+y

x

z

x = 0

y2

b2− z2

c2= 1 e x = 0

8. Se k = a, o traço do plnao, cuja equação geral, em relação ao sistema de coordenadasΣ, é dada por

π10 : x = k ,


a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

x = k

, ou seja,

y2

b2 −z2

c2= 1− k2

a2 (k =a

= 0)

x = k

,

ou seja, o traço será a hipébole

y2

b2

(1−

k2

a2

) −z2

c2(1−

k2

a2

) = 1


S ∩ π10 =

(k , y , z)Σ ;y2

b2

(1−

k2

a2

) −z2

c2(1−

k2

a2

) = 1

.



6

-

+

x

y

z

y2

b2(1− k2

a2

) − z2

c2(1− k2

a2

) = 1 e x = k = a

x = k


π11 : x = a ,


a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

x = a

, ou seja,

y2

b2−

z2

c2= 0

x = a

,

ou seja, o traço será o par de retas concorrentes

y

b−

z

c= 0 ou

y

b+

z

c= 0


S ∩ π11 =(a , y , z)Σ ;

y

b−

z

c= 0 ou

y

b+

z

c= 0.


6

-

+

x

y

z

)

yb

− zc

= 0 ou yb

+ zc

= 0 e x = a

10. A representação geométrica do gráfico do hiperbolóide de uma folha, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, é dado pela figura abaixo:


6

-

+

x

y

z

Observação 13.2.9 Notemos que se

a = b e k ∈ R

então o traço do plano, cuja equação geral, em relação ao sistema de coordenadas Σ,é dada por

π12 : z = k ,


a2+

y2

a2−

z2

c2= 1

z = k

, ou seja,

x2

a2+

y2

a2= 1+

k2

c2> 0

z = k

,

ou seja, o traço será a circunferência

x2

a2+

y2

a2= 1+

k2

c2

contida no plano π12, de centro é o ponto C, cujas coordenadas, em relação ao sistemade coordenadas ortognal Σ, são dadas por:

C.= (0 , 0 , k)Σ

e o raio é igual a

R.= a

√1+

k2

c2,

ou ainda

S ∩ π12 =

(x , y , k)Σ ;

x2

a2+

y2

a2= 1+

k2

c2

.

Definição 13.2.4 A superfície acima (isto é, com a = b) será uma superfície de revo-lução e denominada hiperólóide de uma folha de revolução.



1. Podemos obter a superfície acima (isto é, com a = b), fazendo a rotação dahipérbole

x2

a2−

z2

c2= 1

contida no plano y = 0, em torno do eixo do seu eixo conjugado, no caso, z = 0.

A representação geométrica do gráfico desse hiperbolóide de uma folha de revolu-ção, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, é dado pela figura abaixo:

eixo conjugado da hipérbole

zeixo de rotação

9Hiperbolóide de uma Folha

2. Vimos no item 6. acima (página 445) que o traço do hiperbolóide de uma folhacom o plano

π8 : y = b

nos fornece duas retas concorrentas.

Pode-se mostrar que, na verdade, em todo ponto do hiperólóide de uma folhapassam, exatamente, duas retas concorrentes que estão inteiramente contidas nasuperfície.

A representação geométrica da situação acima descrita, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, é dado pela figura abaixo:

9retas

9Hiperbolóide de uma Folha

3. Superfícies que têm a propriedade descrita aicma (isto é, que em cada ponto damesma temos, exatamente, duas retas concorrentes contidas na superfície) serãodenominadas superfícies duplamente regradas.


4. Um exemplo de superfície duplamente regrada é o hiperbolóide de uma folha.

13.2.3 Hiperbolóide de duas Folhas

Sejama , b , c > 0 .

Consideremos a superfície quádrica S definida pelo gráfico da equação, em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ, dada por:

−x2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 1 . (13.38)


A.= −

1

a2, B

.=

1

b2, C = −

1

c2, D = E = F = G = H = I

.= 0 e J

.= −1 . (13.39)

Definição 13.2.5 A superfície S acima será denominado hiperbolóide de duas folhas.

Observação 13.2.11 Observemos que a superfícies quádricas S1 e S2, definidas pelosgráficos das equações, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, dada por:

x2

a2−

y2

b2−

z2

c2= 1 ,

ou

−x2

a2−

y2

b2+

z2

c2= 1 ,

também são hiperbolóides de duas folhas.Trata-se apenas de fazermos mudanças do sistema de coordenadas Σ, para novos


x ′ = y

y ′ = x

z ′ = x

ou x ′ = x

y ′ = z

z ′ = y

,



Ax2

a2+ B

y2

b2+ C

z2

c2= 1 ,


onde A

.= −1 , B

.= 1 e C

.= −1

A.= −1 , B

.= −1 e C

.= 1

A.= 1 , B

.= −1 e C

.= −1

será um hiperbolóide de duas folhas.

A seguir daremos algumas propriedades do hiperbolóide de duas folhas que tem equação,em relação aos sistema de coordenadas Σ, dada por (13.38):

1. A superfície quádrica S, cuja equação, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, é dada por (13.38), é simétrica em relação aos planos coordenados, cujas equaçõesgerais, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dadas por

π1 : x = 0 , π2 : y = 0 e π3 : z = 0 .

De fato, pois

se (x , y , z)Σ ∈ S , segue que

(−x , y , z)Σ ∈ S

(x ,−y , z)Σ ∈ S

(x , y ,−z)Σ ∈ S


2. A superfície quádrica S, cuja equação, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, é dada por (13.38), não intercepta o plano π2.

Na verdade não intercepta nenhum plano, cuja equação, em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, é dada por

π4 : y = k para |k| < b . (13.40)

De fato, pois o traço da superfície quádrica S com o plano π5, será:

−x2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

y = k

isto é,

x2

a2+

z2

c2=

k2

b2− 1

k2<b2

< 0

y = k

,

ou seja, o traço da superfície quádrica S com o plano π4 será o conjunto vazio (vejafigura abaixo), ou ainda,

S ∩ π4 = ∅ .


-

6

y

x

z

y = k


π5 : y = ±b ,

será: −x2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

y = ±b

, isto é,

x2

a2+

z2

c2=

k2

b2− 1 =

b2

b2− 1 = 0

y = ±b

ou ainda, x = z = 0 e y = b ou x = z = 0 e y = −b,

ou seja, o traço do plano π5 com a superfície quádrica S será o ponto (0 ,±b , 0)Σ, ouainda,

S ∩ π5 = (0 ,±b , 0)Σ .


-

6

y

x

z

y = b

(0 , b , 0)Σ(0 ,−b , 0)Σ

y = −b


π6 : y = k , para |k| > b ,

será: −x2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

y = k

, isto é,

x2

a2+

z2

c2=

k2

b2− 1

y = k


isto é, o traço do plano π6 com a superfície S será a elipse

x2

a2

(k2

b2− 1

) +z2

c2(k2

b2− 1

) = 1


S ∩ π6 =

(x , k , z)Σ ;x2

a2

(k2

b2− 1

) +z2

c2(k2

b2− 1

) = 1

.


-

6

y

x

z

y = k

?

x2

a2(

k2

b2−1

) + z2

c2(

k2

b2−1

) e y = k, com |k| > b


π7 : z = k , para k ∈ R ,

será: −x2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

z = k

, isto é,

−x2

a2+

y2

b2= 1+

k2

c2

z = k


y2

b2

(1+

k2

c2

) −x2

a2

(1+

k2

c2

) = 1


S ∩ π7 =

(x , y , k)Σ ;y2

b2

(1+

k2

c2

) −x2

a2

(1+

k2

c2

) = 1

.



-

6

y

x

z

y2

b2(1+k2

c2

) − x2

a2(1+k2

c2

) = 1 e z = k

z = k?~


π8 : x = k , para k ∈ R ,−x2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

x = k

isto é,

y2

b2−

z2

c2= 1+

k2

a2

x = k


y2

b2

(1+

k2

a2

) −z2

c2(1+

k2

a2

) = 1


S ∩ π8 =

(k , y , z)Σ ;y2

b2

(1+

k2

a2

) −z2

c2(1+

k2

a2

) = 1

.


x = k

-y

x

z

+ ?

y2

b2(1+ k2

a2

) − z2

c2(1+ k2

a2

) = 1 e x = k

6

7. A representação geométrica do gráfico do hiperbolóide de duas folhas, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, é dado pela figura abaixo:


-

6

y

x

z

− x2

a2+ y2

b2− z2

c2= 1

U


1. Se no hiperbolóide de duas folhas, cuja equação, em relação ao sistema de coor-denadas ortogonal Σ, é dada por (13.38), tivermos

c = a ,

ou seja,

−x2

a2+

y2

b2−

z2

a2= 1 . (13.41)

o traço da mesma com o plano

π9 : y = k , para |k| > b ,

será: −x2

a2+

y2

b2−

z2

a2= 1

y = k

, isto é,

x2 + z2 = a2

(k2

b2− 1

)k>b2

> 0

y = k

ou seja, o traço do plano π9 com a superfície S a circunferência

x2 + z2 = a2

(k2

b2− 1

)contida no plano π9, isto é, de centro no ponto C, cujas coordenadas, em relaçãoao sistema de coordenadas ortogonal Σ, é dada por

C.= (0 , k , 0)Σ

e cujo raio é igual a

R.= a

√k2

b2− 1

no plano π9, ou ainda,

S ∩ π9 =

(x , k , z)Σ ; x

2 + z2 = a2

(k2

b2− 1

).

A representação geométrica da superfície quádrica cuja equação, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, é dada por (13.45), é exibida na figura abaixo:


-

6

y

x

z

y = k

?

x2 + z2 = a2

(k2

b2− 1

)e y = k

A superfície quádrica cuja equação, em relação ao sistema de coordenadas ortogo-nal Σ, é dada por (13.45), será denominada hiperbolóide revolução de duas folhase pode ser obtida pela rotação de uma hipérbole conveniente, em torno do seu eixotrasnverso (veja figura abaixo).

-eixo transverso

eixo de revolução

R

Parabolópide de Revolução

13.2.4 Parabolóide Elíptico

Sejama , b , c > 0 ,

fixados.Consideremos a superfície quádrica S definida pelo gráfico da equação, dada em relação

ao sistema de coordenadas orotogonal Σ, por:

x2

a2+

y2

b2− c z = 0 . (13.42)


A.=

1

a2, B

.=

1

b2, C = D = E = F = G = H = I

.= 0 e I

.= −c . (13.43)

Definição 13.2.6 A superfície S acima será denominado parabolóide elíptico.


x2

a2+

z2

b2− c y = 0 ,


ouz2

a2+

y2

b2− c x = 0 ,

também são parabolóides elípticos.Trata-se apenas de fazermos mudanças do sistema de coordenadas Σ, para novos


x ′ = x

y ′ = z

z ′ = y

ou x ′ = z

y ′ = y

z ′ = x

,



Ax2

a2+ B

y2

b2+ C

z2

c2+Gx+Hy+ I z = 0 ,

onde A

.= 1 , B

.= 1 , C = G = H

.= 0 e I = −c

A = H = I.= 0 , B

.= 1 , C

.= 1 e G = −c

A.= 1 , B = G = I

.= 0 , C

.= 1 e H = −c

será um parabolóide elíptico.

A seguir daremos algumas propriedades do parabolóide elíptico que tem equação, emrelação aos sistema de coordenadas Σ, dada por (13.42):

1. A superfície quádrica S, cuja equação, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, é dada por (13.42), é simétrica em relação aos seguintes planos coordenados, cujasequações gerais, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dadas por

π1 : x = 0 , e π2 : y = 0 .

De fato, pois


(−x , y , z)Σ ∈ S

(x ,−y , z)Σ ∈ S

e este dois pontos são os pontos simétricos do ponto P, relativamente aos planos π1,π2,respectivamente.



π3 : z = k , para k ∈ (0 ,∞) ,

será: x2

a2+

y2

b2− c z = 0

z = k

, ou seja,

x2

a2+

y2

b2= c k

c ,k>0> 0

z = k


x2

a2ck+

y2

b2ck= 1


S ∩ π3 =

(x , y , k)Σ ;

x2

a2ck+

y2

b2ck= 1

.


-

6z

z = k > 0

x2

a2ck+ y2

b2ck= 1 e z = k

x

y

Observação 13.2.14 Se no parabolóide elíptico, cuja equação, em relação ao sis-tema de coordenadas ortogonal Σ, é dada por (13.42), tivermos

a = b ,

ou seja, ou seja,x2

a2+

y2

a2− c z = 0 . (13.44)

o traço da mesma com o plano

π3 : y = k , para k > 0 ,

será: x2

a2+

y2

a2− ck = 0

z = k

, isto é,

x2 + y2 = cka2 c ,k>0> 0

z = k


ou seja, o traço do plano π3 com a superfície S será a circunferência

x2 + y2 = cka2

contida no plano π3, isto é, de centro no ponto C, cujas coordenadas, em relaçãoao sistema de coordenadas ortogonal Σ, é dada por

C.= (0 , 0 , k)Σ

e cujo raio é igual aR

.= a

√ck .


π4 : z = k , para k ∈ (−∞, 0) ,

será: x2

a2+

y2

b2− c z = 0

z = k

, ou seja,

≥0︷︸︸︷

x2

a2+

y2

b2= c k

c>0 e ,k<0< 0

z = k

ou seja, o traço do plano π4 com a superfície S será o conjunto vazio, ou ainda,

S ∩ π4 = ∅ .


-

6z

x

y

z = k < 0


π5 : z = 0 ,

será: x2

a2+

y2

b2− c z = 0

z = 0

, ou seja,

≥0︷︸︸︷

x2

a2+

y2

b2= 0

z = 0

isto é,

x = y = 0

z = 0,


ou seja, o traço do plano π5 com a superfície S será o conjunto formado pela origem(0 , 0 , 0)Σ, ou ainda,

S ∩ π5 = (0 , 0 , 0)Σ .

-

6z

y

z = 0

O = (0, 0, 0)

x


π6 : x = k , para k ∈ R ,

será: x2

a2+

y2

b2− c z = 0

x = k

, ou seja,

k2

a2+

y2

b2− c z = 0

x = k

,

isto é,

y2

b2= c z−

k2

a2

x = k

,

ou seja, o traço do plano π6 com a superfície S será a parábola

y2 = cb2 z−k2b2

a2,


S ∩ π6 =

(k , y , z)Σ ; y

2 = cb2 z−k2b2

a2

.


6z

x

y

x = k

=

-

y2 = cb2 z − k2b2

a2e x = k


Observação 13.2.15 Em particular, se k = 0, teremos a parábola

x2 = cb2 z .


π7 : y = k , para k ∈ R ,

será: x2

a2+

y2

b2− c z = 0

y = k

, ou seja,

x2

a2+

k2

b2− c z = 0

x = k

,

isto é,

x2

a2= c z−

k2

b2

x = k

,

ou seja, o traço do plano π7 com a superfície S será a parábola

x2 = ca2 z−k2a2

b2,


S ∩ π7 =

(k , y , z)Σ ; x

2 = ca2 z−k2a2

b2

.


6z

x

y

6

y = k

x2 = ca2 z − k2a2

b2, y = k

-

Observação 13.2.16 Na situação acima, se k = 0, teremos a parábola

x2 = ca2 z .

7. A representação geométrica do gráfico do parabolóide elíptico, em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ, é dado pela figura abaixo:


-

6z

x2

a2+ y2

b2− c z = 0

x

y


1. Se no parabolóide elíptico, cuja equação, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, é dada por (13.42), tivermos

a = b ,

ou seja,x2

a2+

y2

a2− c z = 0 . (13.45)

que será denominada parabolóide de revolução e pode ser obtido pela rotação deuma parábola coveniente, em torno do seu eixo da própria parábola (veja a figuraabaixo).

eixo da parábola

parábola

eixo de revolução

Parabolóide de Revolução

13.2.5 Parabolóide Hiperbólico

Sejama , b , c > 0 ,



−x2

a2+

y2

b2− c z = 0 . (13.46)



A.= −

1

a2, B

.=

1

b2, C = D = E = F = G = H = I

.= 0 e I

.= −c . (13.47)

Definição 13.2.7 A superfície quádrica S acima será denominado parabolóide hiperbólico(ou sela) .


−x2

a2+

z2

b2− c y = 0 ,

ou

−y2

b2+

z2

a2− c x = 0 ,

também são parabolóides hiperbólicos.Trata-se apenas de fazermos mudanças do sistema de coordenadas Σ, para novos


x ′ = x

y ′ = z

z ′ = y

ou x ′ = z

y ′ = y

z ′ = x

,



Ax2

a2+ B

y2

b2+ C

z2

c2+Gx+Hy+ I z = 0 ,

onde A

.= −1 , B

.= 1 , C = G = H

.= 0 e I = −c

A.= −1 , B = G = I

.= 0 , C

.= −1 e H = −c

A = H = I.= 0 , B

.= −1 , C

.= 1 e G = −c


A seguir daremos algumas propriedades do parabolóide hiperbólico:

1. A superfície quádrica S, cuja equação, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, é dada por (13.42), é simétrica em relação aos seguintes planos coordenados, cujasequações gerais, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dadas por

π1 : x = 0 , e π2 : y = 0 .


De fato, pois


(−x , y , z)Σ ∈ S

(x ,−y , z)Σ ∈ S

e este dois pontos são os pontos simétricos do ponto P, relativamente aos planos π1,π2,respectivamente.


π3 : z = 0 ,

será: −x2

a2+

y2

b2− c z = 0

z = 0

, ou seja,

−x2

a2+

y2

b2= 0

z = 0

isot é,

(xa+

y

b

) (xa−

y

b

)= 0

z = 0,

ou seja, o traço do plano π3 com a superfície S será um par de retas concorrentes,passando pela origem, cujas equações gerias (no plano π3) são dadas por:

y = −b

ax ou y =

b

ax ,


S ∩ π3 =

(x , y , 0)Σ ; y = −

b

ax ou y =

b

ax

.


6

-

z

x

y

z = 0

6

y = bax e z = 0

y = −bax e z = 0



π4 : z = k , para k = 0 ,

será: −x2

a2+

y2

b2− c z = 0

z = k

, ou seja,

−x2

a2+

y2

b2− c k = 0

z = k

ou seja, o traço do plano π4 com a superfície S será uma hipérbole dada por:

y2

ckb2−

x2

cka2= 1 ,


S ∩ π4 =

(x , y , k)Σ ;

y2

ckb2−

x2

cka2= 1

.

Notemos que:

Sek > 0 ,

o eixo transverso da hipérbole será paralelo ao eixo Oy;

sek < 0 ,

o eixo transverso da hipérbole será paralelo ao eixo Ox.


6

7

z

x

- y

z = k > 0

^

y2

ckb2− x2

cka2= 1 e z = k > 0

z = k < 0

6

y2

ckb2− x2

cka2= 1 e z = k < 0



π5 : y = 0 ,

será: −x2

a2+

y2

b2− c z = 0

y = 0

, ou seja,

−x2

a2− c z = 0

z = k

ou seja, o traço do plano π5 com a superfície S será a parábola dada por:

x2 = −ca2 z ,

contida no plano π5 (com concavidade voltada para baixo, no plano π5) , ou ainda,

S ∩ π5 =(x , 0 , z)Σ ; x

2 = −ca2 z.


I

x2 = −ca2z e y = 0

6

z

x

- y

y = 0


π6 : y = k , para k = 0 ,

será: −x2

a2+

y2

b2− c z = 0

y = k

, ou seja,

−x2

a2+

k2

b2− c z = 0

z = k


x2 = −ca2 z+a2k2

b2,


contida no plano π6 (com concavidade voltada para baixo, no plano π6) , ou ainda,

S ∩ π6 =

(x , k , z)Σ ; x

2 = −ca2 z+a2k2

b2

.


6

z

x

- y

I

x2 = −ca2z + a2k2

b2e y = k = 0


π7 : x = 0 ,

será: −x2

a2+

y2

b2− c z = 0

x = 0

, ou seja,

y2

b2− c z = 0

z = k


y2 = cb2 z ,

contida no plano π7 (com concavidade voltada para cima, no plano π6) , ou ainda,

S ∩ π7 =(0 , y , z)Σ ; y

2 = cb2 z.

6

N

y2 = cb2 z e x = 0

x = 0

z

x

- y



π8 : x = k , para k = 0 ,

será: −x2

a2+

y2

b2− c z = 0

x = k

, ou seja,

−k2

a2+

y2

b2− c z = 0

x = k


y2 = cb2 z+b2k2

a2,

contida no plano π8 (com concavidade voltada para cima, no plano π8) , ou ainda,

S ∩ π8 =

(k , y , z)Σ ; y

2 = cb2 z+b2k2

a2

.


6

/

z

x

y

x = k

?

y2 = cb2 z + b2k2

a2e x = k = 0

-


6

z

x

- y

Parabolóide Hiperbólico


Observação 13.2.19 Sabemos que pela origem, que pertence ao parabolóide hiperbólico,passam duas retas inteiramente contidas na superfície (veja o item 2. da Observaçãoacima).

Pode-se msotrar que, na verdade, em cada ponto do parabolóide hiperbólico passam,exatamente, duas retas concorrentes naquele ponto, inteiramente contida na superfí-cie, isto é, o parabolóide hiperbólico (assim como o hiperólóide de uma folha) é umasuperfície duplamente regrada.

6

z

x

- y

13.2.6 Cone Quádrico

Sejama , b > 0 ,



x2

a2+

y2

b2− z2 = 0 (13.48)


A.=

1

a2, B

.=

1

b2, C = −1 e D = E = F = G = H = I

.= 0 . (13.49)

Definição 13.2.8 A superfície quádrica S acima será denominado cone quádrico.


−x2 +y2

b2+

z2

a2= 0 ,

oux2

a2− y2 +

z2

b2= 0 ,

também são cones quádricos.


Trata-se apenas de fazermos mudanças do sistema de coordenadas Σ, para novossistemas de coordenadas Σ1 e Σ2, cujas equações de mundança dos respectivos sistemasde coordenadas serão dadas por:

x ′ = z

y ′ = y

z ′ = x

ou x ′ = x

y ′ = z

z ′ = y

,



Ax2

a2+ B

y2

b2+ C

z2

c2= 0 ,

onde A

.= 1 , B

.= 1 e C

.= −c2

A.= −a2 , B

.= 1 e C

.= 1

A.= 1 , B

.= −b2 e C

.= 1


A seguir daremos algumas propriedades do cone quádrico:

1. A superfície quádrica S, cuja equação, em relação ao sistema de coordenadas ortogonalΣ, é dada por (13.38), é simétrica em relação aos planos coordenados, cujas equaçõesgerais, em relação ao sistema de coordenadas Σ, são dadas por

π1 : x = 0 , π2 : y = 0 e π3 : z = 0 .

De fato, pois


(−x , y , z)Σ ∈ S

(x ,−y , z)Σ ∈ S

(x , y ,−z)Σ ∈ S



π4 : z = 0 ,


será: x2

a2+

y2

b2− z2 = 0

z = 0

, ou seja,

x2

a2+

y2

b2= 0

z = 0

isto é,

x = y = 0

z = 0,

ou seja, o traço do plano π4 com a superfície S será a origem (0 , 0 , 0)Σ, ou ainda,

S ∩ π4 = (0 , 0 , 0)Σ .


-

6

y

x

z

z = 0

O = (0, 0, 0)


π5 : z = k , para k = 0 ,

será: x2

a2+

y2

b2− z2 = 0

z = k

, ou seja,

x2

a2+

y2

b2= k2

z = k

,

ou seja, o traço do plano π5 com a superfície S será uma elipse, dada por

x2

a2k2+

y2

b2k2= 1 ,

no plano π5, ou ainda,

S ∩ π5 =

(x , y , k)Σ ;

x2

a2k2+

y2

b2k2= 1

.



-

6

y

x

z

z = k

x2

a2k2+ y2

b2k2= 1 e z = k


π6 : y = 0 ,

será: x2

a2+

y2

b2− z2 = 0

y = 0

, ou seja,

x2

a2− z2 = 0

y = 0

,

isto é,(xa− z) (x

a− z)= 0 (13.50)

ou seja, o traço do plano π6 com a superfície S será um par de retas concorrentes daorigem, dadas por:

z =x

aou z = −

x

a,


S ∩ π6 =(x , 0 , z)Σ ; z =

x

aou z = −

x

a

.


-

6

y

x

z

y = 0

-

-z = − xa

e y = 0

z = xa

e y = 0



π7 : y = k para k = 0 ,

será: x2

a2+

y2

b2− z2 = 0

y = k

, ou seja,

x2

a2− z2 = −

k2

b2

y = k

,

ou seja, o traço do plano π7 com a superfície S será a hipérbole, dada por:

z2

k2

b2

−x2

k2a2

b2

= 1


S ∩ π7 =

(x , k , z)Σ ;z2

k2

b2

−x2

k2a2

b2

= 1

.


-

6

y

x

z

z2

k2

b2

− x2

k2a2

b2

= 1 e y = k


π8 : x = 0 ,

será: x2

a2+

y2

b2− z2 = 0

x = 0

, ou seja,

y2

b2− z2 = 0

x = 0

,

isto é,(yb− z) (y

b− z)= 0 (13.51)


ou seja, o traço do plano π8 com a superfície S será um par de retas concorrentes daorigem, dadas por:

z =y

bou z = −

y

b,


S ∩ π8 =(0 , y , z)Σ ; z =

y

bou z = −

y

b

.


-

6

y

x

z

-

-

x = 0

z = yb

e x = 0

z = −yb

e x = 0


π9 : x = k , para k = 0 ,

será: x2

a2+

y2

b2− z2 = 0

x = k

, ou seja,

y2

b2− z2 = −

k2

a2

x = k

,

ou seja, o traço do plano π9 com a superfície S será a hipérbole, dada por:

z2

k2

a2

−y2

k2a2

a2

= 1


S ∩ π9 =

(k , y , z)Σ ;z2

k2

a2

−y2

k2a2

a2

= 1

.



-

6

y

x

z

x = k

=

z2

k2

a2

− y2

k2b2

a2

= 1 e x = k


-

6

y

x

z

Cone Quádrico

13.2.7 Cilindro Quádrico

Sejaf : Ω ⊆ R2 → R

uma função e suponhamos que a equação

f(x , y) = 0 , para (x , y) ∈ Ω

tem como gráfico uma curva no plano xOy.A figura abaixo ilustra a representação geométrica do gráfico da curva acima.

-

6

x

y

f(x , y) = 0



Definição 13.2.9 A superfície S formada pelos pontos P, que têm coordenadas, emrelação ao sistema de coordenadas orotognal Σ, dada por

P.= (x , y , z)Σ ,

de modo que sua projeção ortogonal sobre o plano xOy, pertença ao gráfico da equação

f(x , y) = 0 , para (x , y) ∈ Ω,

isto é,S

.= (x , y , z)Σ ∈ Ω× R ; f(x , y) = 0 . (13.52)

será denominada superfície cilíndrica (ou cilindro).Na figura abaixo temos a representação geométrica da supefície cilíndrica que tem

como base a curva dada geométricamente pela figura anterior.

x

y

z

z = 0

6

-

if(x , y) = 0 e z = 0

Observação 13.2.21 A superfície S acima definida, pode ser obtida geometricamente,movendo-se uma reta perpendicular ao plano xOy, sobre a curva que é a representaçãogeométrica do gráfico de

f(x , y) = 0 , para (x , y) ∈ Ω.

Geometricamente teremos a seguinte situação:

-

6

x

y

z

z = 0

f(x, y) = 0, z = 0

9(x , y , z)Σ ; f(x , y) = 0

Com isto temos a:


Definição 13.2.10 Se a curva, cujo gráfico é dado por

(x , y) ∈ Ω ; f(x , y) = 0

é uma cônica a contida no plano xOy, a superfície S acima definida será denominadacilindro quádrico.


1. Notemos que um cilindro quádrico é uma superfície quádrica.

A verificação deste fato é simples e será deixada como exercício para o leitor.

2. Com a Definição (13.2.10), fixado um sistema de coordenadas orotogonal Σ noespaço, as equações

y = x2 ,x2

9+

y2

4= 1 e z2 − x2 = 1 ,

representam no espaço, um cilindro parabólico no caso

f(x , y).= y− x2 , para (x , y) ∈ R2 ,

um cilindro elíptico, no caso

f(x , y).=

x2

9+

y2

4− 1, , para (x , y) ∈ R2

e um cilindro hiperbólico, no caso

f(x, y).= z2 − x2 − 1, , para (x , y) ∈ R2 ,

respectivamente.

Em particular, são exemplos de superfícies quádricas.

As figuras abaixo nos fornecem as representação geométricas, em relação ao sis-tema coordenadas orotogonal Σ no espaço fixado, dós cilindros quádricos acimaconsiderados.

-

6

f(x , y).= y − x2

x

y

y = x2 -

z

x

y

6

s

y = x2

z = 0/

y = x2 e z = 0


-

6

x

y

f(x , y).= x2

9+ y2

4− 1

x2

9+ y2

4= 1

-

6

x

y

z

z = 0

x2

9+ y2

4= 1

i

x2

9+ y2

4= 1 e z = 0

-

6

x

z

f(x , z).= z2 − x2 − 1

z2 − x2 = 1-

6z

x

y

R

z2 − x2 = 1

z2 − x2 = 1 e y = 0

y = 0

3. Observemos que num cilindro quádrico S.= (x , y , z)Σ ; f(x , y) = 0 , para (x , y) ∈ Ω)

temos que o traço no plano

π1 : z = k , para k ∈ R

fixado, será a curva(x , y) ∈ Ω ; f(x , y) = 0

no plano π1.

Além disso os traços nos planos

π2 : x = k , para k ∈ R

ouπ3 : y = k , para k ∈ R

fixado, serão retas, retas paralelas, perpendiculares ao plano xOy (ou seja, z = 0)ou o conjunto vazio.

4. Para finalizar, temos seguinte resultado importante: Fixado um sistema de co-ordenadas orotognal Σ no espaço, a equação do 2.o grau (13.30) (isto é, uma


quádrica) pode ser reduzida através de uma translação e rotações a ums das se-guintes superfícies quádricas (que serão ditas básicas):

(a) Elipsoide;

(b) Hiperbolóide de uma folha;

(c) Hiperbolóide de duas folhas;

(d) Parabolóide elíptico;

(e) Parabolóide hiperbólico;

(f) Cone quádrico;

(g) Cilindro quádrico;

(h) Conjunto vazio;

(i) Um ponto;

(j) Uma reta;

(k) Um plano;

(l) Um par de planos paralelos;

(m) Um par de planos concorrentes.

Exibimos anteriormente exemplos para os casos (a) até (g).A seguir exibiremos exemplos para os últimos seis casos acima.

1. Conjunto vazio:x2 + y2 + z2 + 4 = 0 .

2. Um ponto:x2 + 3y2 + 2z2 = 0 .

-

6

x

y

z

=

x2 + 3y2 + 2z2 = 0

3. Uma reta:x2 + y2 = 0 ,

isto é,x = y = 0 , ou seja, o eixo Oz .


-

6+

x

y

zx2 + y2 = 0

4. Um plano:x2 = 0 , isto é, o plano x = 0.

-

6

x

y

z

x2 = 0

R

5. Um par de planos paralelos:

z2 − 4 = 0 , isto é, z = ±2.

6

-

/

z2 = 4

/

I

x

y

z

z = 2

z = −2

6. Um par de planos concorrentes:

4x2 − y2 = 0 ,

isto é,

(2x+ y) (2x− y) = 0 , ou seja, 2x+ y = 0 ou 2x− y = 0 .


6

-

y

x

z

z

U

4x2 − y2 = 0

y = 2xy = −2x

13.3 Exemplos

Para finalizar consideraremos alguns exemplos gerais.Para tanto fixemos um sistema de coordenadas ortogonal

Σ = (O , E) = (O , e1 , e2 , e3)

no espaço.

Exemplo 13.3.1 Determinar uma equação para a superfície S, obtida pela rotação dareta r, cuja equação vetorial, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, é dadapor

r : (x , y , z)Σ = (0 , 1 , 0)Σ + λ · (−1 , 0 , 1)E , para λ ∈ R (13.53)

em torno do eixo Oz.

Resolução:A figura abaixo ilustra a situação acima.

x

y

z

y = 1

-

6r

P

Q

C

13.3. EXEMPLOS 493

Seja Q um ponto da superfície S, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, são dadas por:

Q.= (x , y , z)Σ (13.54)

Consideremos o ponto C, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, são dadas por:

C.= (0 , 0 , z)Σ (13.55)

e P o ponto que pertence a reta r e ao plano π que é paralelo ao plano

z = 0 ,

contendo o ponto Q

Como a superfície S é de revolução (veja a figura acima), segue que os pontos P e Q estãosobre a circunferência de centro no ponto C e raio igual a

CQ = CP .

Como P pertence à reta r e ao plano π, as coordenadas do mesmo, em relação ao sistemade coordenadas ortogonal Σ, são dadas por:

P = (−z , 1 , z)Σ . (13.56)

Notemos que a última coordenada do ponto P deverá ser igual a z.Deste modo teremos

−→CP = P − C

(13.56) e (13.55)= (−z− 0 , 1− 0 , z− z)E = (−z , 1 , 0)E (13.57)

−→CQ = Q− C

(13.54) e (13.55)= (x− 0 , y− 0 , 0)E = (x , y , 0)E . (13.58)

ComoCP = CQ , ou seja, CP

2= CQ

2,

de (13.57) e (13.58) (e do fato que o sistema de coordenadas Σ é ortogonal), segue que

(−z)2 + 12 + 02 = x2 + y2 + 02 , ou ainda, x2 + y2 − z2 = 1 ,

portanto um hiperbolóide de uma folha de revolução (veja a seção (13.2.2)).A representação geométrica da superfície quádrica acima é dada pela figura abaixo.

eixo de rotação z = 0

Hiperbolóide de uma Folha

=

reta r

-

x

y


Exemplo 13.3.2 Encontrar o lugar geométrico dos pontos do esapço que são equidis-tantes das retas r e s, cujas equações vetoriais, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, são dadas por

r : (x , y , z)Σ =

(0 , 0 ,−

1

4

)Σ

+ λ · (0 , 1 , 0)E , para λ ∈ R (13.59)

e

s : (x , y , z)Σ =

(0 , 0 ,

1

4

)Σ

+ β · (1 , 0 , 0)E , para β ∈ R . (13.60)


-

=

6

x

y

z

(0 , 0 ,− 1

4

)Σ

r

s

(0 , 0 , 1

4

)Σ

Suponhamos que o ponto P, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadasortogonal Σ, são dadas por

P.= (x , y , z)Σ (13.61)

pertencente ao lugar geométrico procurado.Notemos que o ponto R, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas orto-

gonal Σ, são dadas por

R.=

(0 , 0 ,−

1

4

)Σ

(13.62)

pertence a reta r, o vetor r, cujas coordenadas em relação à base ortonormal E , são dadas por

r.= (0 , 1 , 0)E (13.63)

é um vetor diretor da reta r, o ponto S, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coorde-nadas ortogonal Σ, são dadas por

S.=

(0 , 0 ,

1

4

)Σ

(13.64)

pertence à reta s e o vetor s, cujas coordenadas em relação à base ortonormal E , são dadaspor

s.= (1 , 0 , 0)E (13.65)

13.3. EXEMPLOS 495

é um vetor diretor da reta s.

Notemos que

−→RP = P − R

(13.61) e (13.62)=

(x , y , z+

1

4

)E

(13.66)

−→SP = P − S

(13.61) e (13.64)=

(x , y , z−

1

4

)E. (13.67)

Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, sabemos que

d(P, r) =

∥∥∥−→RP ∧r∥∥∥

∥r∥

(13.66) e (13.63)=

∥∥∥∥(x , y , z+1

4

)E∧ (0 , 1 , 0)E

∥∥∥∥∥(0 , 1 , 0)E∥

=

∥∥∥∥(x , y , z+1

4

)E∧ (0 , 1 , 0)E

∥∥∥∥√02 + 12 + 02

=

∥∥∥∥(x , y , z+1

4

)E∧ (0 , 1 , 0)E

∥∥∥∥ . (13.68)

Novamente, como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, segue que:

−→RP ∧r

(13.66) e (13.63)=

∣∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x y z+1

40 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= −

(z+

1

4

)· e1 − 0 · e2 + x · e3

=

(−z−

1

4, 0 , x

)E. (13.69)


d(P, r) =

∥∥∥∥(−z−1

4, 0 , x

)E

∥∥∥∥√(−z−

1

4

)2

+ 02 + x2 . (13.70)


De modo semelhante, teremos:

d(P, s) =

∥∥∥−→SP ∧s∥∥∥

∥s∥

(13.67) e (13.64)=

∥∥∥∥(x , y , z−1

4

)E∧ (1 , 0 , 0)E

∥∥∥∥∥(1 , 0 , 0)E∥

=

∥∥∥∥(x , y , z−1

4

)E∧ (1 , 0 , 0)E

∥∥∥∥∥√12 + 02 + 02∥

=

∥∥∥∥(x , y , z−1

4

)E∧ (1 , 0 , 0)E

∥∥∥∥ . (13.71)

Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonal, segue que:

−→SP ∧s

(13.67) e (13.64)=

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

x y z− 14

1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣= 0 · e1 −

(z−

1

4

)· e2 + (−y) · e3

=

(0 ,−z+

1

4,−y

)E. (13.72)


d(P, s) =

∥∥∥∥(0 ,−z+1

4,−y

)E

∥∥∥∥=

√02 + (−z+

1

4)2 + (−y)2 . (13.73)

Da definição do lugar geométrico, deveremos ter

d(P, r) = d(P, s) ,

que, por (13.70) e (13.73), é o mesmo que√(−z−

1

4

)2

+ 02 + x2 =

√02 + (−z+

1

4)2 + (−y)2,

ou seja,

x2 +

(z+

1

4

)2

= y2 +

(z−

1

4

)2

ou, equivalentemente, az = y2 − x2 ,

isto é, o lugar geométrico procurado é uma superfície quádrica, em particular, um parabolóidehiperbólico (veja a seção (13.2.5)).

A representação geométrica da superfície quádrica acima é dada pela figura abaixo.

13.3. EXEMPLOS 497

=

6

x

y

z

r

s

-

?

z = y2 − x2

Exemplo 13.3.3 Encontrar o lugar geométrico dos pontos P do espaço, que satisfzem

d(P , F) = 2 d(P, π) (13.74)

onde o ponto F tem coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ,dadas por

F.= (1 , 0 , 0)Σ (13.75)

e o plano π tem equação geral, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ,dadas por

π : x = −1 . (13.76)


-

6

F = (1, 0, 0)

π : x = −1

x

y

z

Conisderemos o ponto P, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, são dadas por

P.= (x , y , z)Σ (13.77)

um ponto pertencente ao lugar geométrico procurado.Sabemos que

d(P, F) =∥∥∥−→PF∥∥∥ = ∥P − F∥

(13.77) e (13.75)= ∥(x− 1 , y− 0 , z− 0)Σ∥

=

√(x− 1)2 + (y− 0)2 + (z− 0)2 (13.78)

d(P, π)(13.77) e (13.76)

=|x− (−1)|√12 + 02 + 02

= |x+ 1| . (13.79)


Logo, da definição do lugar geométrico, deveremos ter:

d(P, F) = 2 d(P, π)

que, de (13.78) e (13.79) será equivalente à:

(x− 1)2 + y2 + z2 = (2|x+ 1|)2

isto é,(x2 − 2x+ 1

)+ y2 + z2 = 4x2 + 8x+ 4 ,

ou seja, 3x2 + 10x+ 3− y2 − z2 = 0 ,

ou ainda, 3

(x2 +

10

3x+ 1

)− y2 − z2 = 0 ,

equivalentemente:

3

(x+

5

3

)2

− y2 − z2 = 22 .

Portanto3

22

(x+

5

3

)2

−1

22y2 −

1

22z2 = 1 ,

logo, uma superfície quádrica, em particular, um hiperbolóide de duas folhas (ver a seção(13.2.3)).


-

6z

x

y

=

Exemplo 13.3.4 Suponhamos que a parábola, cuja equação é dada por

y = z2 ,

contida no plano

π1 : x = 0 ,

é rotacionada em torno do eixo Oz.Encontre a equação do lugar geométrico acima, em relação ao sistema de coorde-

nadas ortogonal Σ. Esta superfície é quádrica?Resolução:

A figura abaixo representa, geometricamente, a situação acima

13.3. EXEMPLOS 499

-

6

y

z

y = z2

Seja P um ponto pertencente ao lugar geométrico, cujas coordenadas, em relação aosistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadas por

P.= (x , y , z)Σ , . (13.80)

Consideremos o ponto C, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, são dadas por

C.= (0 , 0 , z)Σ (13.81)

e o ponto Qcujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadaspor

Q.=(0 , z2 , z

)Σ

(13.82)

que é o ponto obtido da intersecção do plano paralelo ao plano z = 0, que contém o ponto C,com a parábola do plano x = 0 (veja figura abaixo).

-

6

y

z

x

P = (x , y , z)Σ

Q =(0 , z2 , z

)Σ

C = (0 , 0 , z)Σ

Logo, da definição do lugar geométrico, sabemos que

d(C, P) = d(C,Q) , isto é,∥∥∥−→CP∥∥∥ =

∥∥∥ −→CQ∥∥∥

ou ainda,∥P − C∥ = ∥Q− C∥


Como o sistema de coordenadas Σ é ortogonalk, segue que, de (13.80), (13.81) e (13.82),que: √

(x− 0)2 + (y− 0)2 + (z− z)2 =√(0− 0)2 + (z2 − 0)2 + (z− z)2

isto é, x2 + y2 = z4,

ou ainda,z4 = x2 + y2.

Portanto o lugar geométrico não é uma superfície quádrica.A representação geométrica da superfície quádrica acima é dada pela figura abaixo.

- y

z

x

z4 = x2 + y2

6

Exemplo 13.3.5 Encontre uma equação, em relação ao sistema de coordenadas orto-gonal Σ, para o cone de revolução gerado pela rotação da reta r em torno da reta s,cujas equações vetoriais, em relação ao sistema de coordenadas ortogonal Σ, são dadaspor

r : (x , y , z)Σ = λ · (1 , 0 , 0)E , para λ ∈ R (13.83)

es : (x , y , z)Σ = β · (1 , 1 , 0)E , para β ∈ R . (13.84)


x

r6z

y-

s

P

π4

13.3. EXEMPLOS 501

Notemos que o vetor r, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E , são dadaspor:

r.= (1 , 0 , 0)E (13.85)

é um vetor diretor da reta r e o vetor s, cujas coordenadas, em relação à base ortonormal E ,são dadas por:

s.= (1 , 1 , 0)E (13.86)

é um vetor diretor da reta s, e o ponto V , cujas coordenadas em relação ao sistema decoordenadas ortogonal Σ, são dadas por

V = (0, 0, 0) (13.87)

é o ponto de interseção das retas r e s (pois pertence a ambas).Logo o ângulo entre as retas r e s, medido em radianos, será o ângulo entre os vetores r

e s que seráθ =

π

4.

Deixaremos a verificação deste fato como exercício para os leitores.Consideremos o ponto P, , cujas coordenadas em relação ao sistema de coordenadas orto-

gonal Σ, são dadas porP = (x , y , z)Σ (13.88)

um ponto do cone procurado.Assim o ângulo entre os vetores

−→VP e a reta s deverá ser igual a é

π

4, isto é,

√2

2=∣∣∣cos(π

4

)∣∣∣ =∣∣∣−→VP •s

∣∣∣∥∥∥−→VP∥∥∥ ∥s∥=

|x+ y|√x2 + y2 + z2

√2, .

Deixaremos como exercício para o leitor verificar que a equação do cone será dada por:

z2 − 2xy = 0 .


-

6z

y

+

s

s

x r

Y

z2 − 2xy = 0

F I M - GA


Apêndice A

Matrizes

A.1 Introdução

Neste capítulo trataremos de um elemento que é de grande importância, em particular, noestudo da Álgebra Linear, a saber: Matrizes.

Lembraremos a definição, as operações, propriedades das mesmas e algumas aplicaçõesque são, particularmente, importantes para o nosso contexto.

Introduziremos o escalonamento de matrizes e apresentaremos algumas aplicações desseprocesso para resolução des sistemas lineares (homogêneos e não homoêneos) e para inversãode matrizes.

No Apêndice (B) apresentamos o método de Crammer para resolução de sistemas lineares.

A.2 Definições Básicas

Definição A.2.1 Uma matriz é uma tabela retangular de números reais ou complexos.Tais números são denominados entradas da matriz.Uma matriz será sempre indicada por uma letra maiúscula: A ,B ,C , · · · .Uma matriz horizontal será denominada matriz linha.Uma matriz vertical será dita matriz coluna.A ordem (ou tamanho) de uma matriz é o seu número de linhas pelo seu número

de colunas.

Observação A.2.1

1. Em geral uma matriz, de tamanho n×m, com entradas

aij , para cada i ∈ 1, · · · , n e j ∈ 1, · · · ,m

tem a seguinte forma:

A.=

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

......

......

an1 an2 . . . anm

= (aij)n×m

onde n,m ∈ N são fixos.

503

504 APÊNDICE A. MATRIZES

2. No caso acima diremos que a matriz A tem n linhas e m colunas.

3. Quando n = m a matriz A será dita quadrada de ordem n.

4. No caso acima, as entradas

aii , para cada i ∈ 1, · · · , n

formarão, o que denominaremos de, diagonal principal da matriz .

Exemplo A.2.1 A matriz

A.=

1

i

−3

é uma matriz (complexa) coluna, de tamanho 3× 1.

Exemplo A.2.2 A matrizB

.=(

10 50 π e)

é uma matriz (real) linha, de tamanho 1× 4.

Exemplo A.2.3 A matriz (real)

C.=

1 2 3

4 5 6

7 8 9

é uma matriz de tamanho 3× 3, logo quadrada de ordem 3.

Notação A.2.1 Denotaremos por

Mnm(R).= matrizes de tamanho n×m, que tem todas as entradas números reais

e de modo semelhante definimos

Mnm(C).= matrizes de tamanho n×m , que tem todas entradas números complexos.

Quandon = m,

dentotaremos Mnn(R) (ou Mnn(C)) simplesmente por Mn(R) (ou Mn(C)), isto é,

Mn(R).= matrizes de quadradas de ordem n , que tem todas as entradas números reais

e de modo análogo definimos Mn(C).Para simplificar a notação acima, denotaremos o conjunto acima por Mnm, quando

não for importante o tipo de entradas da matriz (se reais ou complexas).

Nos exemplos acima teremos que

A ∈ M31(C) , B ∈ M14(R) e C ∈ M3(R) .

A.3. OPERAÇÕES COM MATRIZES 505

Definição A.2.2 Para n,m, p, q ∈ N, sejam A ∈ Mnm e B ∈ Mpq.Diremos que as matrizes A e B são iguais, escrevendo A = B, se e somente se

n = p , m = q e aij = bij , para cada i ∈ 1, . . . , n e j ∈ 1, . . . ,m ,

ondeA

.= (aij) e B

.= (bij) ,

ou seja, duas matrizes são iguais serão iguais se, e somente se, têm o mesmo tamanhoe as correspondentes entradas são iguais.

A.3 Operações com Matrizes

Definição A.3.1 Para n,m, p, q ∈ N sejam A ∈ Mnm, B ∈ Mpq.Definiremos a adição das matrizes A e B, indicada por A+ B, se, e somente se,

n = p , m = q

e neste este caso, a matrizC

.= A+ B ∈ Mnm

terá como entradas

cij.= aij + bij , para cada i ∈ 1, · · · , n e j ∈ 1, · · · ,m , (A.1)

ondeA

.= (aij) e B

.= (bij) .

Observação A.3.1 Notemos que, da Definição (A.3.1) acima, se

A.= (aij) , B

.= (bij) e C

.= A+ B ,

então(cij) = (aij + bij) .

Com isto temos:

Exemplo A.3.1 Se

A.=

(2 3 1

3 1 2

)e B

.=

(1 1 i

1 0 −2

),

então

A+ B(A.1)=

(3 4 1+ i

4 1 0

).

Com isso temos as seguintes propriedades:

Proposição A.3.1


1. O conjunto Mnm é fechado como a operação de adição definida acima, isto é, asoma de duas matrizes n×m é uma matriz n×m;

2. A adição em Mnm é comutativa, isto é,

A+ B = B+A , para cada A,B ∈ Mnm ;

3. A adição em Mnm é associativa, isto é,

(A+ B) + C = A+ B+ C , para cada A,B,C ∈ Mnm ;

4. A adição em Mnm tem elemento neutro, isto é, existe uma (única) matriz n×m,denominada matriz nula, indicada por O tal que

A+O = A , para cada A ∈ Mnm ;

A matriz O é a matriz de ordem n×m cujas entradas são todas zero, isto é,

O.= (0ij) , onde 0ij

.= 0 , para cada i ∈ 1, · · · , n e j ∈ 1, · · · ,m .

5. A adição em Mnm adminte elemento oposto, isto é, se A ∈ Mnm, existe uma(única) matriz n×m, denominada oposta da matriz A, denotada por −A tal que

A+ (−A) = 0 .

A matriz −A é a matriz de ordem n × m, cujas entradas são os opostos dascorrespondentes entradas da matriz A, isto é, se

A = (aij) , então −A.= (−aij) .

Demonstração:Deixaremos como exercício para o leitor a verificação das propriedades acima.

Definição A.3.2 Se A.= (aij) ∈ Mnm e α ∈ R (ou C) , então a matriz B

.= (bij) ∈ Mnm

cujas entradas são:

bij.= αaij , para cada i ∈ 1, · · · , n e j ∈ 1, · · · ,m , (A.2)

será denominada produto do número real (ou complexo) α pela matriz A e indicadapor α ·A.

Observação A.3.2 Segue da Definição (A.3.2) acima, que se α ∈ R (ou α ∈ C) e(aij) ∈ Mnm então

α · (aij) = (αaij) .


Exemplo A.3.2 Se

A.=

(2 3 1

3 1 2

)e α = −2, então

α ·A (A.2)=

(−4 −6 −2

−6 −2 −4

).

Com isto temos as seguintes propriedades:

Proposição A.3.2 Para α, β ∈ R (ou C) e A ,B ∈ Mnm temos:

1. O conjunto Mnm é fechado como a operação de muliplicação de número (real oucomplexo) por matrizes definida acima, isto é, a multiplicação de um número (realou complexo) por uma matriz n×m é uma matriz n×m;

2. Vale a distributiva do produto de número real (ou complexo) pela soma de matri-zes, isto é:

α · (A+ B) = α ·A+ α · B ;

3. Vale a distributiva da soma de números reais (ou complexos) pelo produto dematriz, isto é:

(α+ β) ·A = α ·A+ β · B ;

4. Vale a associativa do produto de números reais (ou complexos) pelo produto dematrizes, isto é:

(αβ) ·A = α · (β ·A) ;

5. Vale1 ·A = A ;

6. Vale0 ·A = O .


Definição A.3.3 Sejam A.= (aik) ∈ Mnm, B .

= (bkj) ∈ Mmp.Definimos o produto da matriz A pela matriz B, como sendo a matriz

C.= (cik) ∈ Mnp ,

indicada por AB, cujas entradas são dadas por

cij.=

m∑k=1

aikbkj , para cada i ∈ 1, · · · , n e j ∈ 1, · · · , p . (A.3)


Observação A.3.3

1. Para podermos realizar o produto de duas matrizes, isto é,

AB ,

é necessário que o número de colunas da matriz A, seja igual ao número de linhasda matriz B.

2. O produto não é comutativo, isto é, em geral

AB = BA ,

como mostra o seguinte exemplo:

Se

A.=

(0 0

1 1

)e B

.=

(1 0

1 0

),

então

AB(A.3)=

(0 0

1 0

)e BAstackrel(A.3)=

(0 0

0 0

),

ou seja, neste caso,AB = BA .

3. Este modo de definir produto de matrizes é útil em diversas situações.

Entre outras, para transformarmos sistemas lineares de equações algébricas do 1.ograu em equações matriciais, como mostra o exemplo:

z1 = a11y1 + a12y2

z2 = a21y1 + a22y2

z3 = a31y1 + a32y2

é equivalente a: z = A · y ,

onde

z.=

z1

z2

z3

, A.= (aij) e y

.=

(y1

y2

).

Deixaremos como exercício para o leitor a verificação da igualdade acima.

Temos as seguintes propriedades para o produto de matrizes:

Proposição A.3.3

1. O produto de matrizes é associativo, isto é:

A(BC) = (AB)C , para cada A ∈ Mnm , B ∈ Mmp e C ∈ Mpq ;


2. Vale a distributiva do protudo de matrizes pela soma de matrizes, isto é:

A(B+ C) = AB+AC , para cada A ∈ Mnm e B ,C ∈ Mmp ;

3. Vale a distributiva da soma de matrizes pelo produto de matrizes, isto é:

(A+ B)C = AC+ BC , para cada A ,B ∈ Mnm e C ∈ Mmp ;

4. Vale a associativa do produto de números reais (ou complexos) por matrizes, istoé:

α(AB) = (αA)(B) = A(αB), para cada α ∈ R( ou C) , A ∈ Mnm e B ∈ Mmp .


Com isto temos o seguinte exercício, cuja resolução deixaremos a cargo do leitor:

Exercício A.3.1 Mostre que a matriz

A.=

3 −1 1

2 0 1

1 −1 2

é solução da equação

z3 − 5z2 + 8z− 4 = 0 ,

ondeAn .

= A · · ·A · · ·A︸︷︷︸n−vezes

.

Definição A.3.4 A matriz In ∈ Mn cujas entradas são:

aij.= δij =

0 , para i = j

1 , para i = j,

onde i , j ∈ 1, · · · , n, será denominada matriz identidade de ordem n.

Com isto temos a:

Proposição A.3.4 Se A ∈ Mnm então

InA = AIm = A .



Observação A.3.4 Para números reais (ou complexos) temos a seguinte propriedade:se α = 0, então existe α−1, tal que

αα−1 = 1 .

Para matrizes isto pode, em geral, não ocorrer como mostra o seguinte exemplo:Se

A.=

(1 0

0 0

),

então não existe uma matriz B ∈ M2(R), tal que

AB = I2 . (A.4)

De fato, se existisse a matriz

B.=

(b11 b12

b21 b22

),

tal que que vale (A.4), então deveríamos ter

AB(A.3)=

(b11 b12

0 0

)=

(1 0

0 1

)= I2 ,

para qualquer b11, b12 ∈ R, (ou C) mostrando que isto é impossível.

Em vista disso temos a seguinte definição:

Definição A.3.5 Seja A ∈ Mn.Se existir uma matriz X ∈ Mn tal que

AX = XA = In , (A.5)

diremos que A é uma matriz inversível.A matriz X será dita uma matriz inversa da matriz A.

Com isto temos o:

Exemplo A.3.3 A matriz

X.=

(3 −4

−2 3

)é uma matriz inversade da matriz

A.=

(3 4

2 3

)

poisAX = XA

Exercício= I1 .


Temos agora a:

Proposição A.3.5 (Unicidade da inversa de uma matriz quadrada) Se X e ~X ∈ Mn sãomatrizes inversas da matriz A ∈ Mn então

~X = X .

Demonstração:Observemos que se X e ~X são inversas da matriz A, então teremos, em particular, que

XA = In (1) e In = A ~X (2) .

AssimX = X In

(2)= X(A ~X) = (XA)~X

(1)= In ~X = ~X ,

ou seja,X = ~X ,

como queríamos demonstrar do resultado.

Observação A.3.5 Logo se uma matriz quadrada admite uma matriz inversa, esta seráúnica, com isto podemos introduzir a:

Definição A.3.6 Uma matriz A ∈ Mn que adminte uma matriz inversa será dita nãosingular.

Neste caso a matriz inversa da matriz A será denotada por A−1.

Uma matriz A ∈ Mn que não admite matriz inversa será denominada singular.

Com isto temos a:

Proposição A.3.6 Sejam A,B ∈ Mn matrizes não singulares.Então a matriz AB ∈ Mn é uma matriz não singular e

(AB)−1 = B−1 A−1 . (A.6)

Demonstração:Como A é uma matriz não singular segue que:

AA−1 = A−1A = In . (A.7)

Mas B também é uma matriz não singular assim

BB−1 = B−1 B = In . (A.8)

Portanto, (B−1A−1

)(AB) = B−1

(A−1A

)B

(A.7)=(B−1In

)B = B−1B

(A.3.8)= In

(AB)(B−1A−1

)= A

(BB−1

)A−1 (A.3.8)

= (AIn)A−1 = AA−1 (A.7)

= In.


Portanto a matriz AB é não singular e

(AB)−1 = B−1A−1 ,


Como consequência temos o:

Corolário A.3.1 Sejam A1, . . . , Ak ∈ Mn matrizes não singulares.Então a matriz

A1A2 · · ·Ak ∈ Mn

é uma matriz não singular e

(A1 · · ·Ak)−1 = A−1

k · · ·A−11 . (A.9)

Demonstração:Basta usar a Proposição (A.3.4) acima e indução matemática.Deixaremos os detalhes como exercício para o leitor.

Observação A.3.6

1. Mostramos na Proposição (A.3.4) acima, temos que o subconjunto das matrizesnão singulares em Mn é fechado em relação ao produto de matrizes, ou seja, seA e B ∈ Mnn são não singulares, então AB também será não singular.

2. Vimos num exemplo anterior que se

A.=

(0 0

1 1

)= O e B

.=

(1 0

1 0

)= O ,

masAB = O .

Observemos que tanto a amtriz A quanto a matriz B são matrizes singulares.


Se uma das duas fosse não singular isso não poderia ocorrer, como mostra oresultado a seguir.

Proposição A.3.7 Se A ∈ Mn é uma matriz não singular e a matriz B ∈ Mnp é tal que

AB = O ∈ Mnp ,

então deveremos terB = O .


Demonstração:Como a matriz A é uma matriz não singular então

AA−1 = A−1A = In . (A.10)

Mas,

B = InB(A.10)=

(A−1A

)B = A−1(AB) = A−1O = O , ou seja, B = 0 ,


Deixaremos para o leitor a resolução do:

Exemplo A.3.4 Sejam A ,B ∈ Mn(R) tais que

AB = In .

Mostre queBA = In e, portanto, B = A−1 .

Observação A.3.7 Uma aplicação para as propriedades desenvolvidas acima seria con-siderar a equação matricial:

A · x = b , (A.11)

ondeA ∈ Mn , b ∈ Mn1 são dadas, e x ∈ Mn1

é uma matriz a ser encontrada (se existir).Se A é uma matriz não singular então

x.= A−1 · b

será a única solução da equação matricial (A.11).Deixaremos como exercício para o leitor a verificação deste fato.Observemos que a equação matricial acima corresponde a um sistema linear de n

equações algébricas lineares a n incógnitas.Logo as correspontes entradas da matriz coluna x serão as (únicas) soluções do

sistema linear associado À equação matricial (A.11).

Para finalizar esta seção, introduziremos a:

Definição A.3.7 Dada uma matriz quabrada A.= (aij) ∈ Mn(R), definiremos o traço da

matriz A, denotado por tr (A), como sendo a soma de todos os elementos da diagonalprincipal da matriz A, isto é,

tr(A).=

n∑i=1

aii . (A.12)

Com isto temos o:


Exercício A.3.2 Encontre o traço da matriz

A.=

3 −1 1

2 0 1

1 −1 2

Resolução:

Temos que

tr(A)(A.12)=

n∑i=3

aii = 3+ 0+ 2 = 5 .

Temos as seguintes propriedades para o traço de matrizes:

Proposição A.3.8 Sejam A,B,C ∈ Mn(R) e α ∈ R.Então:

tr (A+ B) = tr (A) + tr (B) ,

tr (α ·A) = α tr (A) ,

tr(At)= tr (A)


Temos também o seguinte resultado:

Proposição A.3.9 Sejam A.= (aij) , B

.= (bij) ∈ Mm×n(R).

Então:

tr(BtA

)=

n∑j=1

m∑i=1

aijbij .


A.4 Algumas matrizes importantes

Definição A.4.1 Uma matriz quadrada A ∈ Mn será dita ser matriz diagonal se

aij = 0 , para i = j com i, j ∈ 1, · · · , n . (A.13)

Uma matriz quadrada A ∈ Mn será dita triangular superior se

aij = 0 , para i > j com i, j ∈ 1, · · · , n . (A.14)

Analogamente, diremos que a matriz quadrada A ∈ Mn é triangular inferior se

aij = 0 , para i < j com i, j ∈ 1, · · · , n . (A.15)

A.4. ALGUMAS MATRIZES IMPORTANTES 515

Observação A.4.1

1. Uma matriz diagonal A ∈ Mn, deverá ter o seguinte aspecto:

A =

a11 0 . . . 0

0 a22 . . . 0...

... . . . ...0 0 . . . ann

. (A.16)

2. Uma matriz triangular superior A ∈ Mn, deverá ter o seguinte aspecto:

A =

a11 a12 . . . a1n

0 a22 . . . a2n

...... . . . ...

0 0 . . . ann

. (A.17)

3. Uma matriz triangular inferior A ∈ Mn, deverá ter o seguinte aspecto:

A =

a11 0 . . . 0

a21 a22 . . . 0...

... . . . ...an1 an2 . . . ann

. (A.18)

Com isto temos as seguintes propriedades:

Proposição A.4.1

1. Se as matrizes A,B ∈ Mn são matrizes diagonais então as matrizes

A+ B , AB e α ·A

serão matrizes diagonais, onde α ∈ R (ou C).

2. Se a matriz A = (aij) é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal não contém0 (isto é, aii = 0, para cada i ∈ 1, · · · , n), então a matriz A é uma matriz nãosingular (isto é, existe a matriz inversa da matriz A) e além disso

A−1 =

1

a11

. . . 0

......

...

0 . . .1

ann

.

3. Se as matrizes A,B ∈ Mn são matrizes tringulares superiores (inferiores, respec-tivamente) então as matrizes

A+ B , AB e α ·A

serão matrizes triangulares superior (inferior, respectivamente), onde α ∈ R (ouC).


4. Se a matriz A ∈ Mn é triangular superior (inferior, repectivamente), cuja diagonalprincipal tem entradas não nulas, então a matriz A é uma a matriz não singular,isto é, existe a matriz inversa da matriz A e além disso a matriz A−1 também seráuma matriz triangular superior (inferior, repectivamente).


A.5 Determinante

Definição A.5.1 Seja A ∈ Mn uma matriz quadrada.Se n = 1, definimos o determinante da matriz A, denotado por det(A), como sendo

det(A).= a11. (A.19)

Se n > 1, para cada i, j ∈ 1, · · · , n, definamos a matriz Aij, a matriz quadradade ordem n − 1, obtida da matriz A, retirando-se a i-ésima linha e j-ésima coluna damatriz A, isto é,

Aij.=

a11 . . . a1(j−1) a1(j+1) . . . a1n

......

...a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n

a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n

......

...an1 . . . an(j−1) an(j+1) . . . ann

. (A.20)

Assumindo que o determinante de uma matriz de ordem (n − 1) × (n − 1) já foiencontrado, definimos:

det(A).=

n∑j=1

a1j |A1j| (A.21)

onde|A1j|

.= (−1)1+j det(A1j) , para cada j ∈ 1, · · · , n. (A.22)

O número|Aij| ,

definido acima, será denominado cofator do elemento aij da matriz A.A matriz

B = (|Aij|) ,

será denominada matriz cofatora da matriz A e denotada por cof(A).

Com isto temos a:

Proposição A.5.1

A.5. DETERMINANTE 517

1. Se

A =

(a11 a12

a21 a22

),

entãodet(A) = a11a22 − a21a22 ,

isto é,

det

(a11 a12

a21 a22

)= a11a22 − a21a22 . (A.23)

2. Se

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

então

det(A) = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 ,

isto é,

det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 . (A.24)

3. Se O é a matriz nula, quadrada de ordem n, então

det(O) = 0 . (A.25)

4. Se In é a matriz identidade de ordem n, então

det(In) = 1 . (A.26)

5. Se A = (aij) ∈ Mn é um matriz diagonal, então

det(A) = a11 · · ·ann , . (A.27)

6. Se A = (aij) ∈ Mn é triangular superior (inferior, respectivamente), então

det(A) = a11 · · ·ann . (A.28)



Observação A.5.1 Poderíamos definir o determinante de uma matriz quadrada, pormeio dos cofatores de qualquer coluna ou linha da matriz A que obteríamos o mesmovalor, isto é, para cada io ∈ 1, · · · , n , temos que

det(A) =

n∑j=1

aioj|Aioj| ,

onde|Aioj|

.= (−1)io+j det(Aioj) , quadpara cada j ∈ 1, · · · , n ,

ou, para jo ∈ 1, · · · , n fixado temos que

det(A) =

n∑i=1

aijo |Aijo | ,

onde|Aijo |

.= (−1)i+jo det(Aijo) , para cada i ∈ 1, · · · , n .

Conclusão: para cada io, jo ∈ 1, · · · , n fixados, temos que

det(A) =

n∑j=1

aioj |Aioj| =

n∑i=1

aijo |Aijo | .

A verificação deste fato é trabalhosa e será deixada como exercício para o leitor.

A seguir dexibiremos algumas propriedades importantes do determinante de uma matrizquadrada.

Para isto precisaremos da:

Definição A.5.2 Dada uma matriz A ∈ Mn podemos realizar as seguintes operaçõescom suas colunas (ou linhas, respectivamente):

i) trocar duas colunas (ou linhas, respectivamente);

ii) multiplicar uma coluna (ou linha, respectivamente) por um α ∈ R (ou C) nãonulo;

iii) adicionar uma coluna (ou linha, respectivamente) multiplicada por α a outra co-luna (linha, respectivamente).

Tais operações serão denominadas operações elementares sobre as colunas (ou li-nhas, respectivamente) da matriz A.

Com isto temos a:

Proposição A.5.2 Seja A ∈ Mn.Consideremos

B.= (a∗1, · · · , a∗(k−1), b∗k, a∗(k+1), · · · , a∗n)


eC

.= (a∗1, · · · , a∗(k−1), c∗k, a∗(k+1), · · · , a∗n)

onde, para cada j ∈ 1, · · · , n, a∗k denota a j-ésima coluna da matriz A (analogamentepara as matrizes B e C) e seja ko ∈ 1, · · · , n.

Para β, γ ∈ R (ou C), sea∗ko = βb∗ko + γ c∗ko , (A.29)

entãodet(A) = βdet(B) + γdet(C) . (A.30)


Observação A.5.2 Vale um resultado análogo ao da Proposição (A.5.2) acima, para ascorrespondentes operações sobre as linhas da matriz, isto é, se

B.=

a1∗

· · ·a(k−1)∗

bk∗

a(k+1)∗

· · ·an∗)

e

C.=

a1∗

· · ·a(k−1)∗

ck∗

a(k+1)∗

· · ·an∗)

onde, para cada j ∈ 1, · · · , n, ak∗ denota a j-ésima linha da matriz A (analogamentepara as matrizes B e C) e seja ko ∈ 1, · · · , n.

Para β, γ ∈ R (ou C), seako∗ = βbko∗ + γ cko∗ , (A.31)

entãodet(A) = βdet(B) + γdet(C) . (A.32)

Como conseqüência da Proposição (A.5.2) acima, temos o:

Corolário A.5.1

1. Se A ∈ Mn, então

det[a∗1, · · · , a∗(k−1), βa∗k, a∗(k+1), · · · , a∗n

]= β det [a∗1, · · · , a∗n] . (A.33)


2. Se A ∈ Mn, então

det[a∗1, · · · , a∗(k−1),b∗k + c∗k, a∗(k+1), · · · , a∗n]

= det[a∗1, · · · , a∗(k−1), b∗k, a∗(k+1), · · · , a∗n]

+ det[a∗k, · · · , a∗(k−1), c∗k, a∗(k+1), · · · , a∗n] . (A.34)

Demonstração:De 1. :Basta tomar

γ = 0

na Proposição (A.5.2) acima.De 2. :Basta tomar

β = γ = 1

na Proposição (A.5.2) acima.

Observação A.5.3

1. O item 1. do Corolário (A.5.1) acima, nos diz que o determinante de uma matrizque tem uma coluna (ou linha) multiplicada por uma constante, pode ser obtidomultiplicando-se o determinante da matriz pela tal constante.

2. O item 2. do Corolário (A.5.1) acima, nos diz que o determinante de uma matrizque tem uma coluna (ou linha) obtida da soma de duas colunas, pode ser obtidosomando-se os determinante das matrizes que teêm cada uma das colunas queforamadicionadas.

3. Vale um resultado análogo ao do Corolário (A.5.1) acima, para as correspondentesoperações sobre as linhas da matriz A.

Deixaremos o enunciado e a demonstração do mesmo como exercício para o leitor.

Conseqüência do Corolário (A.5.1) acima, temos o:

Corolário A.5.2 Seja A ∈ Mn de modo que

a∗ko =

0...0

, para algum ko ∈ 1, · · · , n . (A.35)

Entãodet(A) = 0 . (A.36)


Demonstração:Basta tomar

β = 0

no item 1. do Corolário (A.5.1) acima.

Observação A.5.4

1. O resultado acima nos diz que se uma coluna de uma matriz quadrada é nula,então o determinante da matriz será igual azero.

2. Vale um resultado análogo ao do Corolário (A.5.2) acima para uma linha da matrizA.


Um outro resultado importante é dado pela:

Proposição A.5.3 Seja A ∈ Mn. Então

det(a∗1, · · · , a∗k, · · · , a∗j, · · · , a∗n) = −det(a∗1, · · · , a∗j, · · · , a∗k, · · · , a∗n) . (A.37)

Demonstração:Será deixada como exercício para o leitor.

Observação A.5.5

1. O resultado acima nos diz que se trocarmos duas colunas de uma matriz quadradaseu determinate muda de sinal.

2. Vale um resultado análogo trocando-se ”coluna” por ”linha”, isto é, se trocarmosduas linhas de uma matriz quadrada seu determinate muda de sinal.


Como conseqüência da Proposição (A.5.3) acima, temos o:

Corolário A.5.3 Seja A ∈ Mn tal que

a∗ko = a∗jo , para algum ko, jo ∈ 1, · · · , n , (A.38)

isto é, se a matriz A tem duas colunas iguais.Então

det(A) = 0 . (A.39)


Demonstração:Da Proposição (A.5.3) acima segue que se trocarmos a ko-ésima coluna com a jo-ésima

coluna o determinante da matriz obtida será menos o determinante da matriz A.Mas a matriz obtida da troca da ko-ésima coluna com a jo-ésima coluna é igual a própria

matriz A.Com isto teremos:

det(A) = −det(A) , ou seja, det(A) = 0 ,


Observação A.5.6 Vale um resultado análogo trocando-se ”coluna” por ”linha”, isto é,ou seja, se a matriz A tem duas linhas iguais então seu determinate é nulo.


Como consequência da Proposição (A.5.2), temos o:

Corolário A.5.4 Sejam A ∈ Mn, γ ∈ R (ou C) e j = k, para j, k ∈ 1, · · · , n.Então

det(a∗1, · · · , a∗j, · · · , a∗(k−1), a∗k + γa∗j, a∗(k+1), · · · , a∗n) = det(A) ,

ou seja, se trocarmos uma coluna de uma matriz pela mesma somada com um múltiplode uma outra coluna, o determinante da matriz obtida será igual ao da matriz inicial.

Demonstração:Da Proposição (A.5.2), segue que

det(a∗1, · · · , a∗j, · · · , a∗(k−1), a∗k + γa∗j, a∗(k+1), · · · , a∗n)

= det(a∗1, · · · , a∗j, · · · , a∗(k−1), a∗k, a∗(k+1), · · · , a∗n)

+ βdet(a∗1, · · · , a∗j, · · · , a∗(k−1), a∗j, a∗(k+1), · · · , a∗n)︸︷︷︸Corolário (A.5.3)

= 0

= det(a∗1, · · · , a∗j, · · · , a∗(k−1), a∗k, a∗(k+1), · · · , a∗n) ,


Observação A.5.7

1. Valem um resultado análogo ao acima para a correspondente operaçao sobre aslinhas da matriz A.


2. Resumindo: se A ∈ Mn e λ ∈ R (ou C) então:


(i) trocar duas colunas (ou linhas) da matriz A, faz com que o determinante damatriz obtida, seja menos determinante da matriz A;

(ii) adicionar λ vezes uma coluna (ou linha) da matriz A a uma outra coluna (oulinha), faz com que o determinante da matriz obtida seja igual ao determi-nante da matriz A;

(iii) multiplicar uma coluna (ou linha) da matriz A por λ, faz com que o determi-nante da matriz obtida seja igual ao determinante da matriz A multiplicadopor λ.

Além disso temos o seguinte resultado importante

Proposição A.5.4 Sejam A,B ∈ Mn.Então

det(AB) = det(A)det(B) . (A.40)

Demonstração:Deixaremos como exercício para o leitor a demonstração da identidade acima.

Uma outra operação que podemos fazer com uma matriz é:

Definição A.5.3 Se A ∈ Mnm definimos a matriz transposta da matriz A = (aij), de-notada por At, como sendo a matriz At = (bij) ∈ Mmn, dada por

bij.= aji , par cada j ∈ 1, · · · , n e i ∈ 1, · · · ,m . (A.41)

Observação A.5.8

1. A relação que existem entre uma matriz e sua matriz transposta é que as colunasda 1.a serão as linhas da 2.a e vice-versa.

2. É fácil verificar que se m = n, então

A ,At ∈ Mn .

Temos os seguintes exemplos:

Exemplo A.5.1

1) Se

A.=

(1 4 0

4 2 3

),

então

At =

1 4

4 2

0 3

.


2) Se

A.=

1 1 2

1 2 3

2 3 −5

,

então

At =

1 1 2

1 2 3

2 3 −5

,

em particular, At = A.

Temos as seguintes propriedades para a transposição de uma matriz:

Proposição A.5.5 Sejam A,B ∈ Mn.Então:

1. temos que (At)t

= A ; (A.42)

2. se m = n,det(At) = det(A) ; (A.43)

3. temos que(A+ B)t = At + Bt; (A.44)

4. segue que(AB)t = BtAt ; (A.45)

5. temos que(α ·A)t = α ·At ; (A.46)

6. se a matriz A é uma matriz diagonal então

At = A . (A.47)

Em particular, temosIn

t = In .


Com isto podemos introduzir a seguinte definição:

Definição A.5.4 Seja A uma matriz quadrada de ordem n (isto é, A ∈ Mn).Diremos que a matriz A é uma matriz simétrica se

At = A . (A.48)

Diremos que a matriz A é uma matriz anti-simétrica se

At = −A . (A.49)



Exemplo A.5.2

1. A matriz

A.=

1 4 5

4 2 6

5 6 3

é uma matriz simétrica, pois At = A.


2. A matriz

B.=

0 1 2

−1 0 3

−2 3 0

é uma matriz anti-simétrica, pois Bt = −B.


Temos as seguintes propriedades para matrizes simétricas ou anti-simétricas:

Proposição A.5.6 Sejam A ,B ∈ Mnn.

1. Se as matrizes A e B são matrizes simétricas, então a matriz A+ B também seráuma matriz simétrica.

2. Se as matrizes A e B são matrizes anti-simétricas, então a matriz A+ B tambémserá uma matriz anti-simétrica.

3. Se a matriz A é matriz simétrica e α ∈ R (ou C), então a matriz α · A tambémserá uma matriz simétrica;

4. Se a matriz A é um matriz anti-simétrica e α ∈ R (ou C), então a matriz α · Atambém será uma matriz anti-simétrica;

5. Se as matrizes A e B são matrizes simétricas, então a matriz AB também seráuma matriz simétrica se, e somente se,

AB = BA , (A.50)

ou seja, se elas comutam, segundo o produto de matrizes.

6. Se as matrizes A e B são matrizes anti-simétricas, então a matriz AB será umamatriz simétrica se, e somente se, vale (A.50), ou seja, se elas comutam, segundoo produto de matrizes.

6. Se a matriz A é uma matriz simétrica e a matriz B é uma matriz anti-simétricaentão a matriz AB será uma matriz anti-simétrica se, e somente se, AB = BA.


Demonstração:Do item 1.:Se as matrizes A e B são matrizes simétricas então

At = A e Bt = B . (A.51)

Como(A+ B)t

Prop. (A.5.5) item 3.= At + Bt (A.51)

= A+ B,

segue que a matriz A+ B será uma matriz simétrica.Os outros itens serão deixados como exercícios para o leitor.

Como uma aplicação de determinantes e de transposição de matrizes temos o seguinteresultado:

Proposição A.5.7 Seja A ∈ Mn uma matriz.A matriz A é uma matriz não singular se, e somente se,

det(A) = 0 . (A.52)

Neste casoA−1 =

1

det(A)[ cof(A)]t (A.53)

onde cof(A) é a matriz cofatora associada à matriz A.


Com isto podemos resolver o:

Exemplo A.5.3 Verifique se a matriz quadrada de ordem 3,

A.=

3 2 −1

−1 2 3

−3 1 3

,

é um matriz não-singular.Caso afirmativo encontre sua matriz inversa.

Resolução:Observemos que:

|A11| = (−1)1+1

∣∣∣∣∣2 3

1 3

∣∣∣∣∣ = (−1)2(6− 3) = 3 ,

|A12| = (−1)1+2

∣∣∣∣∣−1 3

−3 3

∣∣∣∣∣ = (−1)3(−3+ 9) = −6 ,

|A13| = (−1)1+3

∣∣∣∣∣−1 2

−3 1

∣∣∣∣∣ = (−1)4(−1+ 6) = 5 .


Logo

det(A) = a11|A11|+ a12 |A12|+ a13 |A13|

= 3 · 3+ 2 · (−6) + (−1) · 5 = 9− 12− 5 = −8 = 0 . (A.54)

Logo, pela Proposição (A.5.7) acima, segue que a matriz A é um matriz não singular, istoé, existe a matriz inversa A−1.

Para encontrar a matriz A−1 calculemos:

|A21| = (−1)2+1

∣∣∣∣∣2 −1

1 3

∣∣∣∣∣ = (−1)3(6+ 1) = −7 ,

|A22| = (−1)2+2

∣∣∣∣∣ 3 −1

−3 3

∣∣∣∣∣ = (−1)4(9− 3) = 6 ,

|A23| = (−1)2+3

∣∣∣∣∣ 3 2

−3 1

∣∣∣∣∣ = (−1)5(3+ 6) = −9 ,

|A31| = (−1)3+1

∣∣∣∣∣2 −1

2 3

∣∣∣∣∣ = (−1)4(6+ 2) = 8 ,

|A32| = (−1)3+2

∣∣∣∣∣ 3 −1

−1 3

∣∣∣∣∣ = (−1)5(9− 1) = −8 ,

|A33| = (−1)3+3

∣∣∣∣∣ 3 2

−1 2

∣∣∣∣∣ = (−1)6(6+ 2) = 8 .

Portanto

cof(A) =

|A11| |A12| |A13|

|A21| |A22| |A23|

|A31| |A32| |A33|

=

3 −6 5

−7 6 −9

8 −8 8

. (A.55)

Assim

A−1 (A.53)=

1

det(A)[ cof(A)]t

(A.54) e (A.55)=

−1

8

3 −7 8

−6 6 −8

5 −9 8

=

−3

8

7

8−1

3

4

−3

41

5

8

9

8−1

.

Para finalizar temos seguinte resultado, cuja demonstração será deixada como exercício

para p leitor.

Proposição A.5.8 Seja A ∈ Mn uma matriz não singular (isto é, inversível).Então a amtriz At é uma matriz não singular, além disso, vale(

At)−1

=(A−1

)t. (A.56)


Uma outra aplicação de determinantes é para resolução de sistemas lineares de equaçõesalgébricas do 1.o grau, como veremos no Apêndice (B).

Apêndice B

Escalonamento de Matrizes e SistemasLineares

B.1 Definições Básicas

Consideraremos a seguir questões relacionadas com o sistema linear de m equações a n

incógnitas não-homogêneo, a saber,a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2

...

am1x1 + · · ·+ amnxn = bm

(B.1)

que na forma matricial pode ser escrito na seguinte forma:

A · x = B , (B.2)

onde

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

......

am1 am2 · · · amn

= (aij)m×n , (B.3)

x =

x1...xn

e B =

b1

...bm

. (B.4)

Definição B.1.1 A matriz(a∗1 · · ·a∗n b∗)

será denominada matriz aumentada associada ao sistema não homogêno (B.1).Uma solução da equação matricial (B.2) (se existir) será uma matriz

u.=

u1

...un

∈ Mn1 ,

529

530 APÊNDICE B. SISTEMAS LINEARES

tal queA · u = B .

O conjunto de todas as soluções da equação matricial (B.1) será denominado conjuntosolução da equação matricial (B.2).

Observação B.1.1 Da identificação (B.1) com (B.2), segue que encontrar solução parao sistema linear (B.1) é equivalente a encontrar solução da equação matricial (B.2).

Verifiquemos isto no:

Exemplo B.1.1 Coloque o sistema linearx1 +2x2 +x3 = 0

+x2 +x3 = −1

x1 +x2 = 1

(B.5)

na forma matricial.

Resolução:Notemos que o sistema liner (B.5) é equivalente a equação matricial

A · x = b,

onde:

A =

1 2 1

0 1 1

1 1 0

, x =

x1

x2

x3

e b =

1

−1

0

.

Observemos que a equação matricial acima tem como uma solução a matriz

u.=

1

0

−1

.

Deixaremos a verificação deste fato como exercício para o leitor.Logo uma solução do sistema linear (B.5), será:

x1 = 1, x2 = 0 e x3 = −1.

Observação B.1.2 A matriz aumentada associada ao sistema do Exemplo (B.1.1) acima,será a matriz 1 2 1 0

0 1 1 1

1 1 0 1

.

B.1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 531

Definição B.1.2 Diremos que as equações matriciais

A · x = b e C · x = d

são ditos equivalentes se, e somente se:

1. A ,C ∈ Mmn;

2. b , d ∈ Mm1

3. e as duas equações matriciais possuem o mesmo conjunto solução.

Observação B.1.3 Observemos que as equações matriciais

A · x = b e C · x = d

são equivalentes se, e somente se, os sistemas lineares associados às correspondentesequações matriciais são equivalentes (isto é, os sistemas associados possuem o mesmoconjunto solução).

Daremos a seguir alguns procedimentos para encontrar solução de sistemas lineares nãohomogêneos (e homogêneos).

O que faremos é resolver um sistema linear fazendo operações básicas no mesmo (ou seja,multiplicando-se as equações do mesmo por constantes não nulas, somando-se equações domesmo, etc.)

Observe que a cada equação do sistema linear corresponde uma linha da matriz aumentadaassociada ao sistema linear dado.

Logo operações com as equações do sistema linear corresponderão as, correspondentesoperações sobre as linhas da matriz aumentado associada ao mesmo e reciprocamente.

Para ilustrar consideraremos o sistema linear de equações do 1.o grau:x1 +x2 +5x3 = 11

2x1 +x2 +7x3 = 15

2x1 +4x3 = 8

←→ A · x = b, onde A =

1 1 5

2 1 7

2 0 4

e b =

11

15

8

.

x1 +x2 +5x3 = 11

2x1 +x2 +7x3 = 15

2x1 +4x3 = 8

←→ 1 1 5 11

2 1 7 15

2 0 4 8

.= So (matriz aumentada)

(2a − 2× 1a)x1 +x2 +5x3 = 11

−x2 −3x3 = −7

2x1 +4x3 = 8

←→ 1 1 5 11

0 −1 −3 −7

2 0 4 8

.= S1

(3a − 2× 1a)

532 APÊNDICE B. SISTEMAS LINEARESx1 +x2 +5x3 = 11

−x2 −3x3 = −7

−2x2 −6x3 = −14

←→ 1 1 5 11

0 −1 −3 −7

0 −2 −6 −14

.= S2

(1a + 2a)x1 +2x3 = 4

−x2 −3x3 = −7

−2x2 −6x3 = −14

←→ 1 0 2 4

0 −1 −3 −7

0 −2 −6 −14

.= S3

(3a − 2× 2a)x1 +2x3 = 4

−x2 −3x3 = −7

0 = 0

←→ 1 0 2 4

0 −1 −3 −7

0 0 0 0

.= S4

(2a × (−1))x1 +2x3 = 4

x2 +3x3 = 7

0 = 0

←→ 1 0 2 4

0 1 3 7

0 0 0 0

.= S5.

O sistema linear obtido acima é o mais simples (que pode ser obtido por meio da operaçõesusuais sobre o sistema linear dado inicialmente) que é equivalente ao sistema original.

Para resolver o sistema linear acima bastará tomarmos, por exemplo:

x3.= α ∈ R (ou C)

assim, das duas primeiras equações do sistema linear acima e à esquerda, obteremos:

x1.= 4− 2α e x2

.= 7− 3α.

Assim o conjunto solução do sistema linear dado incialmente será

(x1, x2, x3) = (4− 2α , 7− 3α , α), para cada α ∈ R ( ou C).

Observe que as operações que fizemos na matriz Si para obter a matriz Si+1, são operaçõeselementares sobre as linhas (ver Definição (A.5.2)).

Para facilitar o entendimento do que virá mais adiante introduziremos a:

Definição B.1.3

1. A operação de trocar duas linhas de uma matriz daremos o nome de operação dotipo I.

2. A operação de multiplicar uma linha por um número não nulo daremos o nomede operação do tipo II.

3. A operação de adicionar o múltiplo de uma linha a outra linha daremos o nomede operação do tipo III.


Tais operações são, como já dissemos, operações elementares sobre as linhas da matriz(ver Definição (A.5.2)).

No Exemplo (B.1.1) acima, as operações elementares que realizamos são:

So

(tipo III)−→ S1

(tipo III)−→ S2

(tipo III)−→ S3

(tipo III)−→ S4

(tipo II)−→ S5.

SejaIm

a identidade de ordem m.Introduziremos também a:

Definição B.1.4

1. Fazendo uma operação do tipo I na matriz Im, obtemos uma matriz quadrada deordem m, que chamaremos de matriz elementar do tipo I e será denotada porEI.

2. Uma matriz elementar do tipo II é uma matriz quadrada de ordem m, obtida damatriz Im por uma operação do tipo II:

3. Uma matriz elementar do tipo III é uma matriz quadrada de ordem m, obtidada matriz Im por uma operação do tipo III.

Observação B.1.4 Dada uma matriz A ∈ Mmn, fazer uma operação do tipo I (ou dotipo II ou do tipo III, respectivamente) é equivalente a multiplicar a matriz A por umamatriz do tipo I (ou do tipo II ou do tipo III, respectivamente ), isto é,

A(operação elementar do tipo I)7−→ EIA .

A demonstração destes fatos será deixada como exercício para o leitor.

Ilustraremos a propriedade acima com o seguinte exemplo:

Exercício B.1.1 Seja

A.=

1 1 5 11

2 1 7 15

2 0 4 8

.

Trocando-se a 2.a linha da matriz A, pela 2.a linha menos duas vezes a 1.a obtere-mos: 1 1 5 11

2 1 7 15

2 0 4 8

2a−2×1a−→ 1 1 5 11

0 −1 −3 −7

2 0 4 8

.= B (B.6)

A operação acima na matriz identidade I3, nos fornece a seguinte matriz elementardo tipo III: 1 0 0

0 1 0

0 0 1

2a−2×1a−→ EIII =

1 0 0

−2 1 0

0 0 1

.


Notemos que:

EIIIA =

1 0 0

−2 1 0

0 0 1

1 1 5 11

2 1 7 15

2 0 4 8

=

1 1 5 11

0 1 −3 −7

2 0 4 8

(B.6)= B,

ou seja, as operações produzem a mesma matriz, como foi dito na Observação (B.1.4)acima.

Um resultado importante é dado pela:

Proposição B.1.1 Uma matriz elementar de qualquer tipo é uma matriz não singular(isto é, é uma matriz inversível) e sua matriz inversa é do mesmo tipo que ela.

Demonstração:Será deixado como exercício para o leitor.

Para ilustrar temos o:

Exemplo B.1.2 Mostre que a matriz elementar (veja o Exemplo (B.1.1)).

EIII =

1 0 0

−2 1 0

0 0 1

admite uma matriz inversa e está é uma matriz elementar do tipo III

Resolução:Observemos que

det(EIII) = 1,

portanto a matriz EIII é uma matriz não singular, isto é, existe a matriz inversa EIII−1.

Além disso temos:

EIII−1 =

1

det(EIII)

1 −2 0

0 1 0

0 0 1

t

=

1 0 0

−2 1 0

0 0 1

2a+2×1a↔

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

Portanto a matriz inversa da matriz EIII, também é uma matriz elementar do tipo III.

Definição B.1.5 Sejam A,B ∈ Mmn.Diremos que a matriz A é l-equivalente (ou equivalente por linhas) à matriz B, se

a matriz A pode ser obtida da matriz B por meio de uma sequência finita de operaçõeselementares sobre as linhas da matriz B.

Neste caso escreveremosA ∼ B .


Observação B.1.5

1. Da Observação (B.1.4) segue que

A ∼ B se, e somente se, A = EsEs−1 · · ·E1B ,

onde E1, . . . , Es são matrizes do tipoI, II, ou III.

2. Sejam A,B,C ∈ Mmn.

Deixaremos como exercício para o leitor verificar que:

i) Reflexiva:A ∼ B, para cada A ∈ Mmn ;

ii) Simétrica:se A ∼ B , então B ∼ A ;

iii) Transitiva:Se A ∼ B e B ∼ C , então A ∼ C .

isto é, ∼ é uma relação de equivalência em Mmn.

Um resultado importante sobre l-equivalênica é dado pela:

Proposição B.1.2 Sejam A,B ∈ Mmn.Se A ∼ B, então existe um matriz P ∈ Mmn não singular, tal que

B = PA ou, equivalentemente A = P−1B .

Demonstração:Segue da Proposição (B.1.1) e da Observação acima item 1., que basta definir

P.= Es · · ·E1 ,

finalizando a demonstração do resultado.

A relação entre matrizes l-equivalentes e a equações matriciais equivalentes é dado pela:

Proposição B.1.3 Sejam A,C ∈ Mmn e b, d ∈ Mm1.A matriz [Ab] é l-equivalente a matriz [Cd], em Mm,n+1, se, e somente se, a equação

matricialA · x = B

é equivalente a equação matricialC · x = d .


Demonstração:Observemos que, da Proposição (B.1.2) acima, existe P ∈ Mmn não singular, tal que

[Cd] = P · [Ab] e [Ab] = P−1 · [Cd].

Da Definição de produto de matrizes, segue que

C = P ·A, d = Pb , A = P−1 · C e b = P−1 · d . (B.7)

Logo, se u ∈ Mn1 é solução da equação matricial

A · x = b então, segue que A · u = b ,

assimC · u (B.7)

= (PA) · u = P(A · u) (B.7)= P · b (B.7)

= d .

Pportanto a matriz u ∈ Mn1 será solução da equação matricial C · x = d.Além disso, vale a recíproca.A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor, completando a demons-

tração.

Observação B.1.6 Vale observar que o resultado acima pode ser aplicado para as ma-trizes aumentadas associadas a sistemas lineares, ou seja, as matrizes aumentadas sãol-equivalentes se, e somente se, os sistemas lineares são equivalentes.

Como conseqüênica temos o:

Corolário B.1.1 Se A ∼ B em Mmn e x ∈ Mn1 então as equações matriciais

A · x = O e C · x = O

são equivalentes, onde O denota a matriz coluna de Mm1.

Demonstração:Basta tomar

b = d = 0

na Proposição (B.1.3) acima.Deixaremos os detalhes como exercício para o leitor.

Observação B.1.7 No Exemplo (B.1.1) obtivemos, após as operações de l-equivalênciasobre a matriz

A =

1 1 5 11

2 1 7 15

2 0 4 8

,


a matriz

B =

1 0 2 4

0 1 3 7

0 0 0 0

,

cuja forma nos facilitou a resolver o sistema linear inicial associado.Observemos que o sistema linear asscoiado a esta última matriz é o mais simples

de ser resolvido e que é equivalente ao sistema linear dado inicialmente, cuja matrizaumentada é a matriz A.

A seguir daremos um nome as matrizes que tem essa forma especial.Antes, porém temos a:

Definição B.1.6 Dada uma matriz A = (aij) ∈ Mnm, definimos o coeficiente líder dai-ésima linha, não-nula, que indicamos por ai∗, da matriz A como sendo o primeiroelemento não nulo dessa linha, escolhido da esquerda para a direita, isto é, é

ai,jo = 0 onde jo ∈ 1, · · · ,m

é o menor índice com essa propriedade.

Agora estamos em condições de caracterizar a forma da matriz aumentada associada aosistema linear mais simples obtido no Exemplo (B.1.1) (isto é, a matriz B):

Definição B.1.7 Uma matriz A ∈ Mmn é dita estar na forma escalonada reduzidapor linhas, denotada por FERL, se ela tem as seguintes propriedades:

i) Todas as linhas nulas da matriz A ocorrem nas linhas inferiores da mesma;

ii) O coeficiente líder de uma linha não nula de A é 1;

iii) Em qualquer duas linhas não nulas da matriz A, o coeficiente líder pertencente alinha de baixo ocorrerá à direita do coeficiente líder da linha de cima;

iv) Uma coluna que contém um coeficiente líder deverá ter zeros nas outras entradas.


Exemplo B.1.3 As matrizes:

1.

0 1 0 2

0 0 1 −5

0 0 0 0

,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

(0 0 0

0 0 0

)estão na FERL.

2.

1 2 0 0

0 1 1 0

0 0 0 0

e

1 0 0

0 0 10 1 0

não estão na FERL.

Os elementos destacados não cumprem as propriedades requeridas, no caso, aspropriedades (iv) e (iii), respectivamente.


Com isto temos a:

Proposição B.1.4 Toda matriz A ∈ Mmn é l-equivalente a uma (única) matriz, queindicaremos por AR, que está na FERL, isto é, existe P ∈ Mmn não singular tal que

AR = PA .

Demonstração:Deixada como exercício para o leitor a demonstração deste resultado.

Em vez de exibirmos a demonstração da Proposição acima, daremos o método que seriautilizado na demonstração aplicado a um exemplo.

O método é denominado Eliminação de Gauss-Jordan:

Exemplo B.1.4 Encontre o conjunto solução do sistema linear−2x3 +7x5 = 12

2x1 +4x2 −10x3 +6x4 +12x5 = 28

2x1 +4x2 −5x3 +6x4 −5x5 = −1

(B.8)

cuja matriz aumentada é dada por

(Ab).=

0 0 −2 0 7 12

2 4 −10 6 12 28

2 4 −5 6 −5 −1

. (B.9)

Resolução:O que faremos é realizar operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada acima

para obter a sua FERL.Primeiro passo:Trocar as linhas nulas da matriz (Ab) com outras linhas, não nulas, de modo que as linhas

nulas ocorram nas linhas inferiores da nova matriz.No nosso caso não há linhas nulas, logo não faremos nenhuma mudança na matriz aumen-

tada (Ab).Localize a coluna mais á esquerda que não seja totalmente nula . 0 0 −2 0 7 12

2 4 −10 6 12 28

2 4 −5 6 −5 −1

↑

Segundo passo:Trocar a primeira linha com uma outra, caso necessário, para que o primeiro elemento da

coluna localizada no primeiro passo seja não nulo. 2 4 −10 6 12 28

0 0 −2 0 7 12

2 4 −5 6 −5 −1

(trocamos a 1.a linha com a 2.a linha)


Terceiro passo:Se o primeiro elemento da coluna do segundo passo for a, multiplicar a primeira linha por

1

a(para que o coeficiente líder da primeira linha da matriz obtida seja 1).

1 2 −5 3 6 14

0 0 −2 0 7 12

2 4 −5 6 −5 −1

(1.a linha × 1

2

)

Quarto passo:Somar a primeira linha, multiplicada por constante, se for necessário, com as linhas de

baixo, para obter zeros em todas as entradas abaixo do coeficiente líder da primeira linha. 1 2 −5 3 6 14

0 0 −2 0 7 12

0 0 5 0 −17 −29

(3.a linha − 2× 1.a linha)

Quinto passo:Separar a 1.a linha da matriz acima e voltar ao Primeiro passo.Aplicar o processo repetidas vezes para até a última linha não nula.No nosso exemplo: 1 2 -5 3 6 14

0 0 −2 0 7 12

0 0 5 0 −17 −29

1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0−7

2−6

0 0 5 0 −17 −29

(1.a linha ×

(−1

2

))

1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0−7

2−6

0 0 0 01

21

(2.a linha − 5× 1.a linha)

1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0-72

-6

0 0 0 0 1 2

(2× 1.a linha)

540 APÊNDICE B. SISTEMAS LINEARES1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0-72

-6

0 0 0 0 1 2

Sexto passo:Para finalizar, começando por uma linha não nula, somar cada linha multiplicada por

constante com as outras linhas, para zerar as outras entradas acima do coeficiente líder. 1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

(2.a linha +

7

2× 3.a linha

) 1 2 −5 3 0 2

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

(1.a linha − 6× 3.a linha )

(Cd).=

1 2 0 3 0 7

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

(1.a linha + 5× 2.a linha ).

Observemos que a matriz (Cd) está na FERL.Deixaremos a vertificação deste fato como exercício para o leitor.O sistema linear asssociado à matriz (Cd) será:

x1 +2x2 +3x4 = 7

x3 = 1

x5 = 2

Portanto se, por exemplo, considerarmos para cada t , s ∈ R,

x1.= t , x2

.= s , x3 = 1 , x5

.= 2 , deveremos ter x4 =

7− t− 2s

3,

ou seja, (t, s, 1,

7− t− 2s

3, 2

),

será solução do sistema linear dado incialmente, para cada t , s ∈ R, ou seja: o conjuntosolução associado ao sistema linear (B.8) será:

S.=

(x1 , x2 , x3 , x4 , x5) =

(t , s , 1 ,

7− t− 2s

3, 2

); s , t ∈ R

.

Ou ainda, o conjunto solução da equação matricial (B.9), será

S =

u ∈ M51 ; u =

t

s

17− t− 2s

32

, para cada t, s ∈ R

.

B.2. O SISTEMA LINEAR HOMOGÊNIO 541

Temos também a seguinte definição:

Definição B.1.8 Dada uma matriz A ∈ Mmn, definimos o posto da matriz A, denotadopor rank (A), como sendo o número de linhas não nulas de sua FERL associada.

Proposição B.1.5 Se A ∈ Mmn, então

rank (A) ≤ minm,n . (B.10)

Demonstração:Deixada como exercício para o leitor a demonstração deste resultado.

Nas seções a seguir faremos algumas considerações sobre o sistema linear não homogênio

(NH) A · x = b , onde A ∈ Mmn , b ∈ Mm1 e x ∈ Mn1 .

Na próxima seção começaremos estudando o sistema linear homogênio associado:

(H) A · x = 0 (isto é, b = 0).

B.2 O Sistema Linear Homogênio

Observação B.2.1

1. O sistema (H) tem sempre solução, a saber, a matriz identicamente nula,

u = 0 ∈ Mn1 ,

que será denominada solução trivial;

2. Pode-se mostrar que se AR é a matriz na FERL, associada a matriz A, então aequação matricial

A · x = 0

será equivalente a equação matricial

AR · x = 0,

ou seja, resolver o sistema homogêneo é equivalente a resolver o sistema associadoa matriz que está FERL.

3. Observemos que seu , v ∈ Mn1

são soluções da equação matriical (H), então, para cada α,β ∈ R ou C), a amatriz

α · u+ β · v ∈ Mn1

também será.

De fato, pois

A · (α · u+ β · v) = A · (α · u) +A · (β · v) = α · (A · u︸︷︷︸=O

) + β · (A · v︸︷︷︸=O

) = 0 .


4. Mais geralmente, seu1, · · · , up ∈ Mn1

são soluções de (H) então, para cada α1, · · · , , αn ∈ R ou C), a matriz

α1 · u1 + · · ·+ αp · up ∈ Mn1

também será solução, isto é, combinação linear de soluções da equação matricial(H), também será solução da equação matricial (H).


Apliquemos essas idéias ao:

Exemplo B.2.1 Encontre o conjunto solução associado a equação matricial homogênea

A · x = 0 ,

onde

A.=

1 −2 0 3 0

0 0 1 −1 0

0 0 0 0 1

∈ M35. (B.11)

Resolução:Notemos que a matriz A está na FERL.Deixaremos a verificação deste fato como exercício para o leitor.Com isto temos o sistema linear homogêneo associado à matriz A será dado por:

x1 −2x2 +3x4 = 0

+x3 −x4 = 0

+x5 = 0

, ou seja,

x1 = 2x2 − 3x4

x3 = x4

x5 = 0

.

Portanto, se, para cada α1, α2 ∈ R, considerarmos

x2 = α1 e x4 = α2 ,

teremos que

u.=

2α1 − 3α2

α1

α2

α2

0

= α1 ·

2

1

0

0

+ α2 ·

−3

0

1

1

0

,

será uma solução da equação matricial homogênea dada incialmete e reciprocamente.Portanto, qualquer solução u ∈ Mn1 da equação matricial (H) será dada por:

u = α1 · u1 + α2 · u2


onde

u1 =

2

1

0

0

e u2 =

−3

0

1

1

0

.

Observemos que os vetores u1 e u2 são l.i. em M51(R),+, ·) (onde + e · são as operaçõesusuais de M51(R)).

Logo, esses vetores formam uma base para o espaço vetorial real (W,+, ·), formado pelassoluções da da equação matricial (H).

Observação B.2.2 Observemos que o posto da matriz A é 3, isto é,

rank (A) = 3 ,

e a equação matricial (H) possui duas soluções que tem a propriedade acima, isto é,qualquer solução da equação matricial (H) pode ser obtida como combinação linear deu1 e u2.

Além disso, notemos

dim(W) = 2 = 5︸︷︷︸número de variáveis

− 3︸︷︷︸posto de A

,

isto é , o número de soluções da a equação matricial (H) é igual ao número de variáveisdo sistema linear menos o posto da matriz A.

Baseado nisto temos o:

Teorema B.2.1 Sejam k ∈ N e A ∈ Mmn de posto igual a k.Então o conjunto das soluções da equação matricial homogênea

A · x = 0

consiste dosu = α1 · u1 + · · ·+ αn−k · un−k ∈ Mn1 ,

onde αi ∈ R (ou C), i ∈ 1, · · · , n− k, sendo os elementos

ui ∈ Mn1 \ 0 , para cada i ∈ 1, · · · , n− k

podem ser obtidos resolvendo-se o sistema linear associado a matriz na FERL associadaa matriz A (são as n− k soluções l.i. em (Mn1(R),+, ·)).

Em particular, se W é o subsepaço vetorial do espaço (Mn1,+, ·) (onde + e · são asoperações usuais de Mn1) que contém todas a solução da equação matricial (H), segueque

dim(W) = n− rank (a) . (B.12)


Demonstração:Deixaremos como exercício para o leitor a demonstração deste resultado.


Corolário B.2.1 Seja A ∈ Mmn.Se o posto da matriz A igual a n (isto é, k = n, no Teorema (B.2.1) acima), então

a única solução da equação matricial (H) será a matriz nula, isto é,

u = O ∈ Mn1 .

Reciprocamente, se a única solução da equação matricial (H) é a matriz nula, entãoposto de A será igual a n, ou seja,

rank (A) = n .

Demonstração:Notemos que, do Teorema (B.2.1) acima, temos que

dim(W) = n− rank (a)︸︷︷︸=n

= 0 .

Logo W = O, ou seja, a única solução da equação matricial (H) é a matriz nula, isto é,u = O ∈ Mn1.

Reciprocamente, se a única solução da equação matricial (H) é a matriz nula, entãoteremos que W = O, isto é, dim(W) = 0.

Logo, do Teorema (B.2.1) acima, segue que

dim(W)︸︷︷︸=0

= n− p(a) , ou seja, rank (a) = n ,


Com isto temos o:

Corolário B.2.2 Seja A ∈ Mmn.Se

m < n ,

então o sistema (H) tem, pelo menos, uma solução não trivial.

Demonstração:Se

k.= rank (A) ,

da Proposição (B.1.5), segue que

k ≤ minm,nm<n= m < n ,


ou seja,k < n .

Do Corolário (B.2.1) acima, segue que existe solução, não identicamente nula, da equaçãomatricial (H), como queríamos demonstrar.

Analisemos os seguinte exemplos a seguir:

Exemplo B.2.2 Seja

A.=

1 −1 0

−1 0 1

0 1 −1

∈ M32 .

Encontre o conjunto solução da equação matricial

A · u = O .

Resolução:Neste caso temos que

m.= 2 e n

.= 3 .

Temos que A ∼ AR, onde

AR.=

1 0 −1

0 1 −1

0 0 0

.

A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.Portanto posto da matriz A é igual a 2.Logo, pelo Teorema (B.2.1) acima, existe uma (= n− rank (A) = 3− 2) solução, não

nula, da equação matricial A · u = O, que indicaremos por u1 ∈ M31 e qualquer outrasolução u da equação matricial A · u = O, será da forma

u = α · u1 ,

para algum α ∈ R (ou C).Para encontrar a solução u1 ∈ M31, basta resolver o sistema associado a matriz AR,

que deixaremos como exercício para o leitor.

Exemplo B.2.3 Seja

A.=

0 0 3 −1

0 −1 4 7

0 −1 7 6

∈ M34 .

Encontre o conjunto solução da equação matricial

A · u = O .


Resolução:Neste caso temos

m.= 3 < n

.= 4 .

Logo, do Corolário (B.2.2) acima, podemos concluir que existe pelo menos uma soluçãonão trivial da equação matricial A · u = O.

Na verdade temos que A ∼ AR, onde

AR.=

0 1 0−25

3

0 0 1−1

3

0 0 0 0

.

A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.Portanto, posto da matriz A é igual a 2.Logo, pelo Teorema (B.2.1) acima, segue que existem duas (= n − rank (A) = 4 − 2)

soluções u1, u2 ∈ M41, l.i. em (M31(R),+, ·), da equação matricial A · u = O, tal que todasolução u ∈ M31(R) da equação matricial A · u = O, será dada por

u = α1 · u1 + α2 · u2,

para algum α1, α2 ∈ R (ou C).Para encontrar as soluções u1 , u2 ∈ M31(R), basta resolver o sistema associado a matriz

AR, que deixaremos como exercício para o leitor.

B.3 O Sistema Linear Não Homogênio

Trateremos nesta seção do sistema linear não homogêneo (NH)

Ax = b .

Começaremos introduzindo a:

Definição B.3.1 A equação matricial

A · x = b

será dita consistente se tem pelo menos uma solução.Se não tiver solução será dita inconsistente .De modo semelhante, temos que um sistema linear será dito consistente, se ele

adminte pelo menos uma solução, caso contrário, será dito inconsistente.

A seguir exibiremos dois sistemas lineares, um consistente e o outro incosistente.

B.3. O SISTEMA LINEAR NÃO HOMOGÊNIO 547

Exemplo B.3.1 O sitema linearx1 +2x2 +x3 = 0

x2 +x3 = −1

x1 +x2 = 1

é consistente, poisx1

.= 1 , x2

.= 0 e x3

.= −1

é uma solução do sistema linear.A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.

Exemplo B.3.2 O sitema linear x1 + x2 = 1

x1 + x2 = 2

é inconsistente.A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.

Observação B.3.1 Lembremos que resolver a equação matricial (NH)

A · x = b

é equivalente a resolver a equação matricial

AR · x = bR,

ondeA ∼ AR e b ∼ bR,

isto é, existe uma matriz P ∈ Mmn, não singular, tal que

AR = PA e bR = P b ,

ou ainda,(Ab) ∼ (AR bR) .

Logo podemos assumir, sem perda de generalidade, que a matriz A está na FERL,isto é,

A = AR e b = bR ,

pois os as equações matriciais associadas são equivalentes (isto é, têm o mesmo con-junto solução).

Suponhamos que o a equação matricial (NH) seja consistente, com u ∈ Mm1 sendouma solução do mesmo.

Seja k ∈ N ∪ 0, o posto da matriz A.Como a matriz A está na FERL e rank (A) = k, segue que a matriz A tem as últimas

(m− k) linhas são nulas.


Portanto (m − k) equações do sistema linear associado a equação matricial (NH)tem a segunte forma:

0 · x1 + · · ·+ 0 · xn = bi , para cada i ∈ k+ 1, · · · ,m .

Logobi = 0 , para cada i ∈ k+ 1, · · · ,m ,

ou seja:

Teorema B.3.1 Se a matriz A ∈ Mmn está na FERL e tem posto k, então a equaçãomatricial (NH) (ou o sistema linear associado a matriz aumentada (Ab)) é consistentese, e somente se,

bk+1 = · · · = bm = 0 .

Em particular, se o posto da matriz A for igual a m, então a equação matricial (eportanto o sistema linear associado a matriz aumentada (Ab)) será consistente.

Demonstração:A implicação (⇒) é fruto da Observação (B.3.1) acima.A demonstração da recíproca será deixada como exercício para o leitor.

Se a matriz A ∈ Mmn não está na FERL então temos o:

Teorema B.3.2 Seja A ∈ Mmn.A equação matricial (NH) (portanto o sistema linear associado a matriz aumentada

(Ab)) é consistente se, e somente se, o posto da matriz aumentada (Ab) for igual aoposto da matriz A, isto é.

rank (Ab) = rank (A) .


Façamos uma aplicação desse resultado ao seguinte exemplo:

Exemplo B.3.3 O sistema linearx1 −x2 = 0

−x1 = 1

x2 = −1

é consistente ou inconsistente?Resolução:

Observemos quex1 −x2 = 0

−x1 = 1

x2 = −1

se, e somente se,

1 −1 0

−1 0 1

0 1 −1

= (Ab)


Logo os sistema linear associado a matriz aumentada (Ab) será consistente, poisele admite como solução

x1.= −1 e x2

.= −1 .

Deixaremos a verificação deste fato como exeercício para o leitor.Portanto é consistente.Notemos também que

(Ab) ∼ (ARbR) , onde (AR bR).=

1 0 −1

0 1 −1

0 0 0

(AR ∼ A).

Deixaremos a verificação deste fato como exeercício para o leitor.Assim temos que

rank (A) = 2 = rank (Ab)

e como afirma o Teorema (B.3.2) acima, o sistema linear associado a matriz aumentada(Ab) será consistente.

Um outro resultado interessante é o:

Teorema B.3.3 Seja A ∈ Mmn.Suponhamos que a equação matricial A · x = b (ou o sistema linear associado a

matriz aumentada (Ab)) seja consistente e que uo ∈ Mn1 seja uma solução particulardo mesmo.

Então toda solução da equação matricial

A · x = b ,

será dada porw = uo + v ∈ Mn1 ,

onde v ∈ Mn1 é uma solução da equação matricial homogênia associada, isto é, daequação matricial

A · y = 0 .

Conclusão: uma solução geral do sistema linear associado a matriz aumentada (Ab)

pode ser obtida de uma solução particular do mesmo somada com a solução geral dosistema linear homogêneo.

Demonstração:De fato, se w ∈ Mn1 uma solução da equação matricial

A · x = b

e uo ∈ Mn1 é solução particualr deA · x = b ,

segue quev

.= w− uo


será solução deA · y = 0 ,

poisA · v = A · (w− uo) = A ·w−A · uo = b− b = 0.

Logo a matrizw = uo + v ,

será igual a solução particular de A · x = b somada como solução geral de

A · y = 0 .

Reciprocamente, se v ∈ Mn1 é solução da equação matricial

A · y = O ,

então a amtrizw

.= uo + v

será solução da equação matricialA · x = b ,

poisA ·w = A · (uo + v) = A · uo +A · v = b+O = b ,

mostrando que a matriz w ∈ Mn1 será solução da equação matricial

A · x = b ,

completando a demonstração.

Apliquemos isto ao:

Exemplo B.3.4 Encontre o conjunto solução da equação matricial Ax = b, onde

A.=

1 3 5 −1

−1 2 −5 4

0 1 1 −1

1 4 6 −2

e b.=

1

2

4

5

Resolução:

Podemos mostrar que(Ab) ∼ (AR bR) ,

onde

AR.=

1 0 0 10

0 1 0 3

0 0 1 −4

0 0 0 0

e bR.=

−13

3

1

0

. (B.13)



Portanto, pelo Teorema (B.3.2), segue que a equação matricial é consistente, poisde (B.13), temos que

rank (AR bR) = 3 = rank (AR) , logo rank (Ab) = rank (A) .

Também pode-se mostrarque

u.=

−13

3

1

0

é uma solução da equação matricial AR · x = bR, portanto da equação matricial Ax = b.

Deixaremos a verificação deste fato como exercício para o leitor.Notemos que,

v.=

−10α

−3α

4α

α

= α ·

−10

−3

4

1

, para cada α ∈ R (ou C)

é solução geral da equação matricial

AR · x = 0 .

Logo, do Teorema (B.3.3) acima, segue que qualquer solução da equação matricial(NH) será da forma

w = u+ α · v =

−13

3

1

0

+ α

−10

−3

4

1

, para cad α ∈ R (ou C) ,

isto é,

S.=

−13− 10α

3− 3α

1+ 4α

α

; α ∈ R (ou C)

é o conjunto solução da equação matricial (NH).

Para completar nosso estudo sobre da equação matricial (NH) (ou dos sistema linearassociado a matriz aumentada (Ab)) temos os seguintes resultados:

Teorema B.3.4 Sejam A ∈ Mmn b ∈ Mm1.Suponhamos que a equação matricial (NH)

A · x = b ,

é consistente.A equação matricial (NH),

A · x = b ,

tem solução única se, e somente se, posto da matriz A é igual a n.


Demonstração:Suponhamos que a equação matricial (NH)

A · x = b

tem solução única.Então a equação matricial (H),

A · y = O

tem solução única, a saber, a solução trivial u = O ∈ Mn1.Logo posto da matriz A deverá ser igual a n.Reciprocamente, se posto da matriz A é igual a n, então a solução trivial u = O ∈ Mn1

deverá ser a única solução da equação matricial (H),

A · y = O .

Portanto a equação matricial (NH),

A · x = b ,

terá uma única solução, finalizando a demonstração.


Corolário B.3.1 Nas condições do Teorema (B.3.4) acima, se

m ≤ n ,

existe uma única solução da quação matricial (NH),

A · x = b ,

se, e somente se, posto da matriz A for igual a n, isto é,

m = n .

Demonstração:Suponhamos que exista única solução da equação matricial (NH),

A · x = b .

Então, do Teorema (B.3.4) acima, segue que n será igual ao posto da matriz A.Mas

n = rank (A) ≤ minm,n ≤ m ≤ n .

Portantorank (A) = n e m = n .

Reciprocamente, se rank (A) = n, segue do Teorema (B.3.4) acima, que existe únicasolução da equação matricial (NH),

A · x = b ,


B.4. A INVERSA DE MATRIZES NÃO SINGULARES 553

B.4 A Inversa de Matrizes Não Singulares

Para finalizar, exibiremos um método para encontrar a matriz inversa associada a umamatriz não singular, utilizando o matrizes elementares desenvolvidas na seção anterior.

Para ilustrar consideremos o seguinte exemplo:

Exemplo B.4.1 Observemos que a matriz quadrada de ordem 4

A.=

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 −1 0

−1 0 0 1

Exercício∼

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

,

que está na FERL, portanto, o posto da matriz A será igual a 4.Além disso,

det(A) = 1

∣∣∣∣∣∣∣1 1 0

1 −1 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣+ 0+ 0− 1

∣∣∣∣∣∣∣0 1 1

0 1 −1

−1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣ = −2− (1+ 1) = −4 = 0 .

Portanto a matriz A é não singular, ou seja, rank (A) = 4 e A é uma matriz inver-sível.

Logo, neste exemplo, ocorreu uma relação entre o posto da matriz e a sua inversibilidade.Isto ocorre em geral, como veremos no resultado a seguir:

Teorema B.4.1 Seja A ∈ Mn são equivalentes:

1. A é uma matriz não singular;

2. posto da matriz A é igual a n;

3. A ∼ In, isto é, AR = In, onde a matriz AR é a FERL da matriz A.

Demonstração:Mostremos que:1. ⇒ 2. :Se a matriz A é uma matriz não singular e

A · u = O ,

entãou

.= A−1O = O ,

isto é, a única solução da equação A · y = O será a solução trivial u = O.Logo, do Corolário (B.2.1), segue que o posto da matriz A dever ser igual a n.2. ⇒ 3. :


Se o posto da matriz A é igual a n, então não existe linhas nulas na matriz AR (a FERLda matriz A) e cada linha de AR ∈ Mnn tem coeficiente líder 1 e zero nas outras posições dacoluna, isto é,

AR = In .

3. ⇒ 1. :Se

AR = In ,

então, como A ∼ AR, existe P ∈ Mnn, matriz quadrada não singular, tal que

In = AR = PA.

Portanto a matriz A é uma matriz não singular e A−1 = P, completando a demonstraçãodo resultado.


Corolário B.4.1 Seja A ∈ Mnn.A matriz A é uma matriz não singular se, e somente se, ela é produto de matrizes

elementares.

Demonstração:Do teorema acima temos que A = P−1.Mas, da proposição (B.1.2), a matriz P é o produto de matrizes elementares, completando

a demonstração.

Observação B.4.1 Este teorema nos dá um modo de encontrar a inversa de uma matrizquadrada que é uma matriz não singular.

Ilustraremos o método com o seguinte exemplo:

Exercício B.4.1 Encontrar a inversa da matriz

A =

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 −1 0

−1 0 0 1

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa associada à matriz A (se existi!) agiremos daseguinte forma: consideremos a matriz

A : I4 =

1 0 0 1 : 1 0 0 0

0 1 1 0 : 0 1 0 0

0 1 −1 0 : 0 0 1 0

−1 0 0 1 : 0 0 0 1

B.4. A INVERSA DE MATRIZES NÃO SINGULARES 555

O que faremos é fazer operações sobre as linhas da matriz A para trasnformá-la(será possível!) na matriz identidade I4 à direita.

Todas as operações que fizermos na matriz A faremos na matriz I4.

A : I41.a linha +4.a linha

∼

1 0 0 1 : 1 0 0 0

0 1 1 0 : 0 1 0 0

0 1 −1 0 : 0 0 1 0

0 0 0 2 : 1 0 0 1

3.a linha −2.a linha

∼

1 0 0 1 : 1 0 0 0

0 1 1 0 : 0 1 0 0

0 0 −2 0 : 0 −1 1 0

0 0 0 0 : 1 0 0 1

−12)×3.a linha

∼

1 0 0 1 : 1 0 0 0

0 1 1 0 : 0 1 0 0

0 0 1 0 : 01

2

−1

20

0 0 0 2 : 1 0 0 1

2.a linha −3.a linha∼

1 0 0 1 : 1 0 0 0

0 1 0 0 : 01

2

1

20

0 0 1 0 : 01

2

−1

20

0 0 0 2 : 1 0 0 1

12×3.a linha

∼

1 0 0 1 : 1 0 0 0

0 1 0 0 : 01

2

1

20

0 0 1 0 : 01

2

−1

20

0 0 0 1 :1

20 0

1

2

1.a linha −4.a linha∼

1 0 0 0 :1

20 0

−1

2

0 1 0 0 : 01

2

1

10

0 0 1 0 : 01

2

−1

20

0 0 0 1 :1

20 0

1

2

= (I4 : B).


Afirmação: B = A−1, isto é,

A−1 =

1

20 0

−1

2

01

2

1

20

01

2

−1

20

1

20 0

1

2

.

De fato, como A ∼ In, entãoIn = PA ,

logoP (A : In) = ((PA) : P) = (In P)⇒ (A : In) ∼ (In : P)

mas, do Corolário (B.4.1) acima,P = A−1 ,

portanto (AIn) ∼ (InA−1) .

Observação B.4.2 Podemos utilizar o escalonamento de matrizes para obter bases parasubespaços de espaços vetorias de Rn.

Esse processo é desenvolvido nos primeiros capítulos destas notas.

B.5 Regra de Crammer

Para finalizar temos o:

Teorema B.5.1 (Regra de Cramer)Seja A ∈ Mn , b ∈ Mn1.A equação matricial

A · x = b

tem uma única solução se, e somente se,

det(A) = 0 ,

ou seja, a matriz A deverá ser não singular, isto é, inversível.Neste caso, a solução será dada por

u = (ui)(= A−1 · b) ,

cujas componentes são dadas por

ui.=

det(Ai)

det(A), para cada i ∈ 1, · · · , n , (B.14)

onde a matriz Ai, é o determinante obtido da matriz A, trocando-se a i-ésima colunaa∗i, da matriz A, pela coluna da matriz b.

B.5. REGRA DE CRAMMER 557

Demonstração:Deixaremos a verificação deste como exercício para o leitor.

Apliquemos este resultado ao:

Exemplo B.5.1 Resolva o sistema linearx1 +3x2 −x3 = 0

x1 +x2 +x3 = 0

x1 −x3 = −1

.

Resolução:Observemos que o sistema linear dado pode ser escrito como a seguinte equação matricial

A · x = b ,

onde

A.=

1 3 −1

1 1 1

1 0 −1

, e b.=

0

0

−1

.

Observemos quedet(A) = −1+ 6+ 1 = 8 = 0 .

Logo, do Teorema (B.5.1) matriz A é não singular.Além disso, da regra de Cramer (isto é, (B.14)), teremos:

A1 =

∣∣∣∣∣∣∣0 3 −1

0 1 1

-1 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 3+ 1 = 4 ; A2 =

∣∣∣∣∣∣∣1 0 −1

1 0 1

1 -1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1+ 1 = 2 ;

A3 =

∣∣∣∣∣∣∣1 3 01 1 01 0 -1

∣∣∣∣∣∣∣ = −1+ 3 = 2 .

Portanto

u =

u1

u2

u3

=

A1

A

A2

A

A3

A

=

4

8

2

8

2

8

=

1

2

1

4

1

4

será a solução da equação matricial A · x = b, ou seja,

x1.=

1

2, x2

.=

1

4e x3

.=

1

4

será a solução do sistema dado inicialmente.


As muitas das demonstrações deixadas como exercício ou omitidas, podem ser encontradasna bibliografia abaixo.

F I M

Referências Bibliográficas

[1] Boulos, P. & Boulos, V. - Exercícios Resolvidos de Geometria Analítica

[2] Boulos, P. & Oliveira, J.C. - Geometria Analítica

[3] Callioli, C.A & outros - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica

559

Índice Remissivo

V2

definição, 28V3

definição, 28orientado, 136

415

basede V2, 86de V3, 75ordenada de V2, 86ordenada de V3, 75ortonormal de V2, 96ortonormal de V3, 93

basesnegativas de V3, 136positivas de V3, 136

côncaduas retas concorrentes, 390

cônicado tipo elíptico, 394do tipo hiperbólico, 394do tipo parbólico, 394no plano, 389uma reta, 390básica, 392circunferência, 392classificar uma, 393duas retas paralelas e distintas, 390elipse, 391equaçõa da cônica no plano, 389hipérbole, 391parábola, 391um ponto, 390vazia, 389

Cauchy-Schwarz em V2

desigualdade, 131Cauchy-Schwarz em V3

desigualdade de, 124cilindro, 477cofator

do elemento aij, 506conjunto

de vetores L.D. em V2, 73, 74de vetores L.D. em V3, 56, 57de vetores L.I. em V2, 73, 74de vetores L.I. em V3, 56, 57de vetores L.I. em V3, 56de vetores linearmente dependente em V3,

57de vetores linearmente dependente em V2,

73, 74de vetores linearmente dependente em V3,

56, 57de vetores linearmente dependente em V3,

56de vetores linearmente independente em

V2, 74de vetores linearmente independente em

V2, 73, 74de vetores linearmente independente em

V3, 56, 57coordenadas

cartesianas no plnao, 334cilíndricas no espaço, 364do ponto no espaço, 159do ponto no plano, 166esféricas no espaço, 357polares no plano, 334

Cramerregra de, 546

curva

560

ÍNDICE REMISSIVO 561

cardióide, 349espiral de Arquimedes, 356lemniscata, 355limaçom, 351rosácea de quatro pétalas, 352

distânciade um ponto a um plano, 284de um ponto a uma reta (no espaço), 277de uma reta a um plano, 297entre dois conjunto, 301entre dois planos, 299entre dois pontos (no espaço), 275entre duas retas (no espaço), 290

eixoOx, 157, 165Oy, 157, 165Oz, 157das abscissas, 157das abscissas no plano, 165das cotas, 157das ordenadas, 157das ordenadas no plano, 165

elipevértices da, 372

elipeseequação reduzida da, 371

elipsefocos da, 372centro da, 373curva plana, 369distância focal da, 372eixo maior da, 372eixo menor da, 372segmento focal da, 372

equaçãogeral do plano, 192geral do plano na forma normal, 285

equação matricialconsistente, 536inconsistente, 536

equações

da rotação do sistema de coordenadas noplano, 315

da translação do sistema de coordenadas,310

da translação do sistema de coordenadasno plano, 313

de mudança do sistema de coordenadas noplano, 312

de mudança de sistemas de coordenadasno espaço, 305

de mudança do sistema de coordenadas noespaço, 305

equivalênciarelação de, 525

equivalentesequações matriciais, 521

escalardefinição de, 49

Gauss-JordanMétodo da eliminaçao de, 528

hipérbolecentro da, 379curva, 375equação reduzida da, 377focos da, 378segmento conjugado da, 379segmento focal da, 379segmento transverso da, 379vértices da, 379

hipérboloedistância focal da, 379

lídercoeficiente, 527

matricialconjunto solução de uma equação, 520solução de uma equação, 519

matriz, 493anti-simétrica, 514aumentada, 519cofatora, 506coluna, 493

562 ÍNDICE REMISSIVO

determinante de uma, 506diagonal, 504diagonal principal, 494elementar do tipo I, 523elementar do tipo II, 523elementar do tipo III, 523entradas de uma, 493forma escalonada reduzida por linhas, 527identidade, 499inversível, 500inversa, 500linha, 493mudança de base em V2, 111mudança de base em V3, 100não singular, 501nula, 496operações elementares, 508oposta, 496ordem, 493posto, 531quadrada, 494simétrica, 514singular, 501traço de uma, 503transposta de uma, 513triangular inferior, 504triangular superior, 504

matrizesadição, 495iguais, 495l-equivalentes, 524produto de, 497produto por número, 496

operação elementarde tipo I, 522de tipo II, 522de tipo III, 522

orientaçãoem V3, 136

orientação em V3

diferentes, ou opostas, 135mesma, 135

parábolacurva, 382diretriz da, 386eixo da, 386equação reduzida da, 383foco da, 386parâmetro da, 386vétice da, 386

planoxOy, 158xOz, 158yOz, 158equação vetorial do, 184equações paramétricas do, 185vetor normal ao, 203vetores diretores do, 184

planoscoordenados, 158feixe de, 210, 212

polareixo, 331origem, 331plano, 331

produtoescalar dos vetores de V2, 130escalar dos vetores de V3, 116misto em V3, 153vetorial em V3, 138

projeção ortogonaldo vetor na direção, 123

projeção ortogonal em V2

do vetor na direção, 131

quádricacilindro, 478cone, 420, 470cone de revolução, 420elipsóide, 414, 430elipsóide de revolução, 439hiperbolóide de duas folhas, 451hiperbolóide de duas folhas, de revolução,

457hiperbolóide de uma folha, 441


hiperbolóide de uma folha, de revolução,449

lugar geométrico, 429parabolóide de revolução, 425parabolóide elíptico, 457parabolóide hiperbólico, 464sela, 464superfície, 413, 429superfície esférica (ou esfera), 440

quádricocilindro, 478cone, 470

representanteda classe de equipolência, 26

retaequação geral (no plano) da, 181equação vetorial da, 170equações paramétricas (no plano) da, 175equações na forma simétrica (no espaço)

da, 176equações na forma simétrica (no plano)

da, 180equações paramétricas (no espaço) da, 172vetor diretor da, 170

retasperpendiculares, 247reversas, 247

rosáceade 2n pétalas, 354de n pétalas, 354de cinco pétalas, 353

segmentonulo, 20

segmento orientadonulo, 20

segmento geométricocomprimento de um , 20definição de, 20

segmento orientadoclasse de equipolênica do, 26comprimento de um, 20definição de, 19

extremidade de um, 19origem de um, 19

segmentos orientadorcom direções diferentes, 21não paralelos, 21

segmentos orientadosde sentidos contrários, 22com mesma direção, 21de mesmo comprimento, 21de mesmo sentido, 22, 23de sentidos contrários ou opostos, 23de sentidos opostos, 22equipolentes, 25iguais, 20paralelos, 21

sistema de coordenadaseixos coordenados, 157eixos coordenados no plano, 165no espaço, 157no plano, 165origem, 157, 165ortogonal, 158, 203ortogonal no plano, 166

sistema linearconsistente, 536inconsistente, 536

superfíciecilindrica, 477duplamente regrada, 450

Teoremade Pitágoras em V2, 96de Pitágoras em V3, 92

trivialsolução, 531

versordefinição, 32

vetor, 19adição de ponto com, 51coordenadas de um, 77, 87definição de, 27matriz das coordenadas de um, 77, 87multiplicação de número real por, 43

564 ÍNDICE REMISSIVO

norma de um, 31oposto, 32ortogonal a um plano, 90ortogonal a uma reta, 89, 96unitário, 32

vetor nulodefinição de, 28

vetoresadição de, 36com mesmo sentido, 30combinação linear de, 60de sentidos contrários, 30de sentidos opostos, 30diferença de, 43L.D. em V2, 73, 74L.D. em V3, 56L.I. em V2, 73L.I. em V3, 56linearmente dependentes em V2, 73, 74linearmente dependentes em V3, 56linearmente independentes em V2, 73ortogonais, 90, 96paralelos, 29vetor gerador pelos, 60

vetores de V2

ângulo entre dois, 128vetores de V3

ângulo entre dois, 114


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Notas de Aula de SMA300 - Geometria Analítica