Notas de aulas de fsica bsicaOndas, Relatividade, Termodinmica e Eletromagnetismo 1

Fernando T C Brandt

10 de outubro de 2013

1As principais referncias aqui adotadas so os volumes 2 e 4 (cap. 6) do Curso de FsicaBsica, Herch Moyss Nussenzveig (HMN), Ed. Edgard Blcher, e tambm o volume 1 doThe Feynman Lectures on Physics, R. P. Feynman, R. B. Leighton e M. Sands, Addison-Wesley Pub. Co. (veja referncias [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]). possvel que existamainda muitos erros de digitao. Alm disso o texto tem sido modificado freqentemente.Dvidas, sugestes e correes podem ser enviadas para o e-mail fbrandt@usp.br

2

Sumrio

1 Ondas 91.1 Conceito de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Alguns fatos e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Ondas em uma dimenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Ondas progressivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Obteno da Soluo de dAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Solues harmnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Equao da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Derivao da equao de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Intensidade da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.3 Princpio de Superposio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Interferncia de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Duas ondas no mesmo sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Duas ondas em sentidos opostos Ondas Estacionrias I . . . . . . . . . . 221.4.3 Batimentos Velocidade de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Reflexo de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.1 Extremidade fixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.2 Extremidade livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.3 Reflexo em um ponto de juno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6 Modos Normais de Vibrao Ondas Estacionrias II . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6.1 Corda presa nas extremidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6.2 Corda presa em uma extremidade e solta em outra . . . . . . . . . . . . . . 331.6.3 Corda solta em ambas as extremidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.4 Movimento Geral da Corda - Anlise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Som 392.1 Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Derivao da equao de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2 Velocidade do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.3 Sons harmnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.4 Intensidade do som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2 Ondas em mais dimenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.1 Ondas planas em trs dimenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.2 Equao de ondas em trs dimenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.3 Ondas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.4 Princpio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.5 Reflexo e refrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3

4 SUMRIO

2.2.6 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.7 Cone de Mach velocidades supersnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Relatividade 633.1 Sistema de coordenadas galileano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Princpio de relatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Invarincia da velocidade da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.1 O experimento de Michelson e Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.2 Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.3 Einstein entra em cena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4 Conseqncias dos Princpios da Relatividade Restrita . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4.1 Relatividade da Simultaneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.2 Dilatao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4.3 O paradoxo das gmeas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4.4 Contrao de FitzGerald-Lorentz (distncias longitudinais) . . . . . . . . . 81

3.5 Transformao de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5.1 Derivao da transformao de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5.2 Transformao de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.5.3 Contrao de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.5.4 Transformao de Lorentz em qualquer direo . . . . . . . . . . . . . . . . 903.5.5 Simultaneidade e sincronizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.5.6 Intervalos de Espao-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.5.7 O cone de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.5.8 Composio de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.6 Efeito Doppler relativstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.6.1 Efeito Doppler e a expanso no Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.7 Mecnica relativstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.7.1 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.7.2 Momento e energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.7.3 Cinemtica relativstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.7.4 Dinmica relativstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Leis da Termodinmica 1094.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2 Leis da Termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.1 Lei Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.2 Primeira Lei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2.3 Segunda Lei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2.4 Terceira Lei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5 Tpicos de Mecnica Estatstica 1295.1 Volume do espao de fase no ensemble microcannico . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.1.1 Correes qunticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.1.2 Entropia estatstica do gs ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.1.3 Termodinmica do gs ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.1.4 Probabilidades de configuraes microscpicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.1.5 Distribuio de Maxwell via ensemble microcannico . . . . . . . . . . . . . 131

5.2 O ensemble cannico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

SUMRIO 5

5.2.1 Funo de partio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.2.2 Conexo com a termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.2.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3 Radiao eletromagntica em equilbrio trmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.3.1 Alguns fatos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.3.2 radiao trmica = radiao de corpo negro ? . . . . . . . . . . . . . . . 1475.3.3 Tratamento estatstico da radiao trmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6 Notas de aula de Fsica 3 e 4 1556.1 Primeira aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.1.1 Interaes fundamentais da natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.1.2 Carga eltrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.1.3 A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.1.4 Princpio de superposio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.1.5 O Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.1.6 Campo de um dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.2 Segunda aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.2.1 Campo de uma distribuio contnua de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.2.2 Campo de um basto carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.2.3 Campo de um anel carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.2.4 Campo de um disco carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.3 Terceira aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.3.1 Linhas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.3.2 Fluxo e Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.4 Quarta aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.4.1 Exemplos simples de aplicaes da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.5 Quinta aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.5.1 Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.5.2 Potencial Eletrosttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.6 Sexta aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.6.1 Potencial de uma esfera uniformemente carregada . . . . . . . . . . . . . . . 1786.6.2 Clculo do campo eltrico a partir do potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.6.3 Potencial de um condutor carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.6.4 Condutor possuindo uma cavidade - Blindagem . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.7 Stima aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.7.1 Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.8 Oitava aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.8.1 Capacitores com dieltricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.8.2 Capacitores com dois dieltricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.9 Nona aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906.9.1 Descrio atmica do dieltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.10 Dcima aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.11 Dcima Primeira Aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.11.1 Corrente eltrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.11.2 Densidade de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.11.3 Relao entre ~J e ~E (Lei de Ohm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.11.4 Resistncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6 SUMRIO

6.11.5 Modelo para conduo eltrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.11.6 Energia e potncia eltrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.12 Dcima Segunda Aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.12.1 Fora eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.12.2 Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.13 Dcima Terceira Aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.13.1 O campo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.13.2 Fora magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.14 Dcima Quarta Aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.14.1 Fora magntica sobre correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.14.2 Torque sobre uma espira de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.15 Tpicos a serem incluidos nestas notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.16 Corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.16.1 Valores quadrticos mdios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.16.2 Circuito RLC em srie com fonte de corrente alternada . . . . . . . . . . . . 213

6.17 Equaes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.17.1 Generalizao da lei de Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.17.2 Forma diferencial da equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

6.18 Ondas eletromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.18.1 Velocidade da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.18.2 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.19 Energia do campo eletromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.19.1 Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.20 Presso eletromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.21 Ondas eletromagnticas harmnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.22 Interferncia e Difrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366.23 A Natureza da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.23.1 Comportamento Ondulatrio e Corpuscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366.24 Interferncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.24.1 Difrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.25 Ftons, Eltrons e tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.26 Teoria Quntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.27 Estrutura Atmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

A Conservao de momento na relatividade 243A.1 Exerccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

B Teorema de Equipartio de Energia 245

C Distribuio de Maxwell 249

D Formulas e tabelas de constantes fsicas 251D.1 Teorema Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251D.2 Funo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

D.2.1 O limite de(1 + 1n

)n quando n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251D.2.2 A funo ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252D.2.3 Derivadas de ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252D.2.4 Integral de ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

SUMRIO 7

D.2.5 Nmeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253D.2.6 Frmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

D.3 Frmulas trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255D.3.1 Soma de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255D.3.2 Identidades produto-soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255D.3.3 Identidades soma-produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

D.4 Algumas integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256D.4.1 Frmulas bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256D.4.2 Integrais de algumas funes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256D.4.3 Integrais envolvendo razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257D.4.4 Integrais envolvendo logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257D.4.5 Integrais envolvendo exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257D.4.6 Integrais envolvendo funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

D.5 Algumas constantes fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259D.6 Tabela Peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8 SUMRIO

Captulo 1

Ondas

1.1 Conceito de ondas

A experincia mostra que possvel produzir efeitos em um ponto B, a partir de um ponto A,distante de B, sem que seja necessrio mover um corpo material de A para B. Alguns exemplos:

Controle remoto em A altera as propriedades de dispositivos (TV, porto automtico, portasde automveis, etc) em B.

Auto-falante em A produz vibraes sonoras em B.

Se A e B so pontos na superfcie da gua, podemos produzir uma onda de superfcie em Aque faz um barco se movimentar em B.

Se A e B so pontos de uma corda esticada, podemos produzir oscilaes em A, que sepropagam at B.

Existem muitas outras situaes onde ocorre a propagao de um sinal entre pontos distantesno espao, mas a matria se move apenas localmente. Por exemplo, quando uma pedra atirada nomeio de um lago as ondas produzidas se propagam at a margem, mas a superfcie do lago se moveapenas oscilando localmente. Esse conceito de onda refere-se a situaes que podem ser reduzidas aum tratamento mecnico envolvendo propriedades de elasticidade do meio. Mas h tambm outraspossibilidades. Por exemplo, uma onda eletromagntica no precisa de um meio para se propagar.O mesmo ocorre com as ondas de probabilidade na Mecnica Quntica.

1.1.1 Alguns fatos e propriedades

Embora no transporte matria, a onda transmite momento e energia. Por exemplo, uma pertur-bao ondulatria produzida na superfcie dgua faz com que um barco distante oscile. Depen-dendo das caractersticas do meio de propagao, a perturbao ondulatria pode possuir diferentescaractersticas. Listamos abaixo alguns casos tpicos.

Ondas longitudinais.

Ondas transversais.

Mistura de transversais e longitudinais. Por exemplo, ondas ssmicas (meios slidos). Nocentro lquido da terra a parte transversal desaparece.

9

10 CAPTULO 1. ONDAS

Ondas na superfcie da gua no so nem transversais nem longitudinais. Pequenos elementosde fluido descrevem trajetrias aproximadamente circulares, movendo-se na direo da onda,na superfcie, e na direo oposta, por baixo.

Ondas eletromagnticas. Os campos eltrico e magntico oscilam perpendicularmente di-reo de propagao e entre si. No h um meio material para a propagao (esse grandemistrio somente veio a ser descoberto juntamente com os desenvolvimentos que levaram Teoria da Relatividade Especial, que veremos mais adiante no curso).

Ondas de probabilidade na Mecnica Quntica. De acordo com a Teoria Quntica, h umaonda de probabilidade associada a cada partcula.

A seguir iniciaremos o estudo quantitativo detalhado das ondas unidimensionais. O caso tpico o que ocorre em uma corda esticada.

1.2 Ondas em uma dimenso

Os casos mais simples so aqueles em que o meio de propagao pode ser reduzido a uma nicadireo do espao. O exemplo tpico o de uma corda distendida, cujos pontos podem oscilar nadireo perpendicular corda. A seguir vamos analisar em detalhe estas ondas unidimensionais.

1.2.1 Ondas progressivas

Consideremos um pulso se propagando em uma dimenso descrita pela coordenada x. A fotografiado perfil da corda em um dado instante de tempo pode ser descrita por uma funo de x. Porexemplo, em t = 0 poderamos ter a funo y(x, 0), como na figura

x

y(x,0)

Aps um tempo t o perfil seria y(x, t). Temos assim uma perturbao que se desloca sem mudarde forma.

Para uma observador que se desloca na direo x com a mesma velocidade do pulso, a forma dopulso no muda com o tempo. Na figura seguinte mostrado o referencial Oxy deste observador,o qual coincide com Oxy em t = 0.

1.2. ONDAS EM UMA DIMENSO 11

vt

y(x,t)

xOxy Oxy

y(x,t)

x

ou seja,y(x, t) = y(x, 0) f(x) (1.2.1)

A funo f(x) descreve a forma esttica do pulso, como vista pelo observador O. Levando emconta que y(x, t) = y(x, t) e x = x vt (transformao de Galileu na direo x), obtemos

y(x, t) = f(x vt) (1.2.2)

Portanto a onda progressiva se propagando para a direita uma funo que depende de x e tsomente atravs de x = x vt, podendo ser uma funo qualquer de x. Analogamente, uma ondase propagando para a esquerda ser uma funo de x+ vt.

1.2.2 Obteno da Soluo de dAlembert

Uma conseqncia imediata de y(x, t) = f(x vt) que a Equao de Ondas (verifique)

1

v22y

t2

2y

x2= 0 (1.2.3)

satisfeita. Mais adiante mostraremos como essa equao pode ser derivada a partir das pro-priedades mecnicas de uma corda. Neste caso, y(x, t) representaria a deformao da corda nadireo perpendicular corda.

Nesta seo veremos como obter a soluo da equao de onda (1.2.3). Para isso, primeiramentenotamos que a equao (1.2.3) pode ser reescrita como (verifique)

(1

v

t+

x

)(1

v

t x

)y(x, t) = 0. (1.2.4)

Essa forma sugere que faamos uma mudana para novas variveis u+ e u, tais que

x =u+ + u

2

t =u+ u

2v

. (1.2.5)

ou, invertendo as equaes,u+ = x+ vtu = x vt . (1.2.6)

12 CAPTULO 1. ONDAS

Substituindo a regra da cadeia,

x=

u+

x

u++u

x

u=

u++

u

t=

u+

t

u++u

t

u= v

u+ v

u

(1.2.7)

na equao (1.2.4), obtemos (verifique)

4 2

uu+y(u+, u) = 0. (1.2.8)

Integrando na varivel u,

u+y(u+, u) = G(u+). (1.2.9)

Note que G(u+) uma funo qualquer que depende apenas de u+. Integrando na varivel u+,

y(u+, u) = f(u) + g(u+), (1.2.10)

onde g(u+)/u+) = G(u+) e f s depende de u. Voltando para as variveis x e t, a equaoacima nos d

y(x, t) = f(x vt) + g(x+ vt). (1.2.11)

Essa a soluo geral de dAlembert.

Soluo geral em termos de condies iniciais

Consideremos as condies iniciais de posio e de velocidade dadas por

y(x, 0) = y0(x)y

t(x, t)

t=0

= y1(x). (1.2.12)

A primeira condio nos informa qual a forma inicial da corda. A segunda condio nos informaqual a velocidade inicial de todos os pontos da corda.

interessante comparar as condies iniciais da corda com aquelas de uma partcula. Noteque na dinmica de uma partcula as condies iniciais so a posio da partcula e a velocidade dapartcula. Ou seja, no caso de uma partcula as condies iniciais so a posio e a velocidade deum ponto; no caso de uma onda unidimensional, as condies iniciais so a posio e a velocidadedos infinitos pontos de uma linha.

Como a equao de onda de segunda ordem na derivada temporal, as duas funes y0(x) ey1(x) devem especificar completamente a evoluo subseqente. De fato, j sabemos, de acordocom a equao (1.2.11), que a soluo geral deve depender de duas funes quaisquer. Podemosagora expressar, em t = 0, as funes f(x) e g(x) em termos das condies iniciais em (1.2.12). Defato, usando (1.2.11) em (1.2.12), obtemos

y(x, 0) = f(x) + g(x) = y0(x)y

t(x, t)

t=0

= v

(dg

dx dfdx

)= y1(x)

. (1.2.13)

1.2. ONDAS EM UMA DIMENSO 13

Integrado a segunda equao,

y0(x) = f(x) + g(x) xa y1(s)ds = v (g(x) f(x))

, (1.2.14)

onde a uma constante qualquer. Resolvendo para f(x) e g(x)

f(x) =1

2

(y0(x)

1

v

xa y1(s)ds

)

g(x) =1

2

(y0(x) +

1

v

xa y1(s)ds

) . (1.2.15)

Essas duas relaes determinam completamente as funes f(x) e g(x) em termos das condiesiniciais y0 e y1. Usando agora a equao (1.2.11), obtemos finalmente (verifique)

y(x, t) =1

2y0(x+ vt) +

1

2y0(x vt) +

1

2v

x+vt

xvty1(s)ds . (1.2.16)

(Observe que a constante de integrao a cancelada na soma das duas integrais em (1.2.15),levando em conta que

xvta y1(s)ds =

axvt y1(s)ds.) Verifique explicitamente que esta soluo

satisfaz a equao de onda e as condies iniciais.

Exemplos

Considere o seguinte exemplo de condio inicial

y1(x) = vdy0dx

. (1.2.17)

Podemos mostrar que neste caso teremos uma onda se propagando para esquerda ou para adireita. De fato,

1

2v

x+vt

xvty1(s)ds =

1

2

x+vt

xvt

dy0ds

ds = 12

y0(x+vt)

y0(xvt)dy0 =

1

2(y0(x+ vt) y0(x vt)) .

(1.2.18)Substituindo na equao (1.2.16) obtemos

y(x, t) = y0(x vt). (1.2.19)

Determine, para qualquer instante de tempo, a forma de uma corda tal que no instante inicial

y0 = A exp(x2/L2) (1.2.20)

e y1 = 0.

Exerccio:Um pulso ondulatrio produzido numa corda tem a forma dada por

yd(x, t) =A3

A2 + (x vt)2 , (1.2.21)

onde A = 1, 00 cm e v = 20, 0 m/s.

14 CAPTULO 1. ONDAS

(a) Faa um desenho do pulso ondulatrio em funo de x para t = 0. At que ponto ao longoda corda o pulso se estende?

(b) Faa um desenho do pulso para t = 0, 001s.

(c) No ponto x = 4, 50 cm, para que tempo t o deslocamento mximo, e para quais valores det esse deslocamento a metade do valor mximo?

(d) Mostre que a funo acima uma funo de onda.

(e) Responda os tens acima para a funo

ye(x, t) =A3

A2 + (x+ vt)2(1.2.22)

e tambm para a combinao yd(x, t) + ye(x, t).

(f) Verifique explicitamente que yd(x, t) satisfaz a soluo de dAlembert (1.2.16).

1.2.3 Solues harmnicas

Uma classe de solues particulares, porm de interesse bastante geral, so as solues harmnicasda forma

y(x, t) = v2significa que 1 < 2, vemos que quando a onda vai do meio menos denso para o mais denso, afase da onda refletida invertida. interessante considerar o caso limite quando 1 2, ou sejav1 v2. Neste caso, as equaes (1.5.25) e (1.5.26) resultam em 1 e 0. Ou seja, a ondaincidente quase totalmente refletida.

1.6. MODOS NORMAIS DE VIBRAO ONDAS ESTACIONRIAS II 29

Vejamos agora a intensidade das trs ondas. Usando a relao (1.3.20) e levando em conta asexpresses obtidas acima, podemos escrever para as intensidades incidente, refletida e transmitida

Ii =1

21v1

2A21, (1.5.31)

Ir =1

21v1

22A21, (1.5.32)

eIt =

1

22v2

22A21. (1.5.33)

Costuma-se definir a refletividade e a transmissividade como as seguintes razes

r IrIi

(1.5.34)

t ItIi

(1.5.35)

Usando as expresses acima, teremos

r = 2 =(v1 v2)2(v1 + v2)2

(1.5.36)

et =

2v21v1

2. (1.5.37)

Levando em conta que v21 = T/1 e v22 = T/2, podemos reescrever t como

t =v1v22 =

v1v2

4v22(v1 + v2)2

=4v1v2

(v1 + v2)2. (1.5.38)

Portanto, um simples clculo mostra que

r + t = 1. (1.5.39)

Logo, usando as equaes (1.5.34) e (1.5.35), concluimos que

Ir + It = Ii. (1.5.40)

Esta relao conseqncia da conservao de energia.

1.6 Modos Normais de Vibrao Ondas Estacionrias II

Suponha que agora a corda tenha uma comprimento finito l. Neste caso, deve haver uma situaoestacionria tal que h uma superposio de ondas em ambos os sentidos. Um caso interessante quando todos os pontos da corda oscilam com a mesma freqncia de modo que

y(x, t) = GA(x) cos(t+ ), (1.6.1)

onde G uma constante.

30 CAPTULO 1. ONDAS

Como vimos na subseo (1.4.2) o efeito produzido pela superposio de ondas que caminhamem sentidos opostos o de uma onda estacionria como dada pela equao (1.4.13). Para explorareste fato em maior generalidade, vamos supor que uma possvel soluo da corda finita

y(x, t) = A(x)B(t), (1.6.2)

ou seja, o produto de uma funo s de x por uma funo s de t. Substituindo (1.6.2) em (1.2.3),obtemos

1

v2Ad2B

dt2= B

d2A

dx2. (1.6.3)

Dividindo ambos os membros por AB, obtemos,

1

v21

B

d2B

dt2=

1

A

d2A

dx2. (1.6.4)

Observe que o lado esquerdo desta ltima equao uma funo s de t e o lado direito uma funos de x. A nica maneira de manter a igualdade para quaisquer x e t, que ambos os membrossejam iguais a uma constante. Para que a soluo seja oscilatria, escolhemos esta constante igual ak2. Logo, usando o resultado conhecido para a soluo geral da equao do oscilador harmnico,teremos

A(x) = C cos(kx) +Dsen(kx) (1.6.5a)

B(t) = E cos(t) + F sen(t); = kv. (1.6.5b)

onde C, D, E e F so constantes quaisquer. Note que podemos ainda reescrever o factor B(t)como

B(t) = G cos(t+ ). (1.6.6)

(Verifique isso obtendo a relao entre (E,F ), (G, )). Essa ltima equao de fato coincide com a(1.6.1).

1.6.1 Corda presa nas extremidades

Para uma corda de comprimento l, presa nas extremidades, teremos da equao (1.6.5a),

A(0) = 0 = C, A(kl) = 0 = sen(kl). (1.6.7)

Portanto,kl = n, n = 1, 2, 3 . (1.6.8)

Logo, os possveis valores de k so

kn =n

l, n = 1, 2, 3 . (1.6.9)

Os possveis valores de son = knv =

n

lv. (1.6.10)

O comprimento de onda associado cada modo

n =2

kn=

2l

n. (1.6.11)

H portanto uma relao entre o comprimento de onda de cada modo e o comprimento da corda.Por exemplo, o modo normal n = 1, modo fundamental, possui um comprimento de onda igualao dobro do comprimento da corda. Nas figuras abaixo so mostradas as configuraes da cordacorrespondentes aos quatro primeiros modos.

1.6. MODOS NORMAIS DE VIBRAO ONDAS ESTACIONRIAS II 31

n=1

n=2

n=3

n=4

Estas configuraes so descritas pela soluo

y(x, t) = G cos(nt+ )sen(knx), (1.6.12)

onde usamos (1.6.5a) com C = 0 (ver Eq. (1.6.7)) e absorvemos B em G (redefinimos a constanteG).

Costuma-se atribuir a Pitgoras as primeiras investigaes sobre a relao entre o comprimentoda corda e a freqncia que ela produz. Ele teria investigado a relao entre a freqncia (tommusical produzido) e o comprimento, tenso e densidade da corda. Essa talvez tenha sido uma dasprimeiras conexes do mundo fsico e sensorial com a matemtica, fora do contexto da geometria.Em 1634 Marin Mersenne publicou o primeiro estudo sistemtico sobre o assunto, na obra entituladaHarmonie Universelle.

Se usarmos a relao (1.6.10) juntamente com a (1.3.10), obtemos a seguinte expresso para asfreqncias que podem ser produzidas por uma corda presa nas extremidades, possuindo densidade e tensionada por uma tenso T .

n =n2

=kn2v =

n

2lv =

n

2l

T

(1.6.13)

Essa a relao entre as propriedades da corda (comprimento l, densidade linear e tenso T ) e aspossveis freqncias que ela pode produzir. Por exemplo, cordas mais longas produzem sons mais

32 CAPTULO 1. ONDAS

graves (baixas freqncias). Cordas magras( pequeno) produzem sons mais agudos. Quandotensionamos uma corda, seu som torna-se mais agudo. Todas essas informaes esto condensadasna relao acima. uma bela frmula!

Exemplo: Calcule a energia total de uma corda de comprimento l que est presa nas extremidades.Soluo: Vamos considerar inicialmente um dado modo normal de vibrao. Nesse caso, a energia cintica de um trecho

infinitesimal da corda

dT = 12dm

(y

t

)2=

1

2

(y

t

)2dx.

Usando a equao (1.6.12), teremos

dT = 12 (nGsen(nt+ )sen(knx))2 dx.

Vemos que a energia cintica ser mxima quando sen(nt + ) = 1, ou seja, quando a amplitude da onda estacionria em(1.6.12) nula. Mas nesse caso, a energia potencial da onda estacionria nula e a energia cintica igual a energia total.Portanto, a energia total de um trecho da corda

dE =1

22nG

2sen2(knx)dx.

Integrando a expresso acima para toda a corda, teremos

E =G22n

2

l0sen2(knx)dx. =

G22n2

(l

2 cos(kn l)sin(kn l)

2 kn

)=G22nl

4.

Na ltima igualdade usamos a condio de corda presa nas extremidades dada pela relao (1.6.9). Usando ainda a frmula(1.6.13), teremos finalmente

E = n22G2 T

4l.

Se a corda estiver vibrando em em dos modos normais de vibrao, a expresso acima fornece a energia deste modo. Veremosmais adiante que o movimento geral da corda pode ser descrito como uma combinao linear de modos normais, cada umdos quais possui uma amplitude Gn, dependente de n. Portanto, para o movimento geral de uma corda presa nas duasextremidades, teremos

Etotal = 2 T

4l

n

n2G2n.

Vemos assim que Gn deve decrescer suficientemente, quando n cresce, para que a energia seja finita.

1.6. MODOS NORMAIS DE VIBRAO ONDAS ESTACIONRIAS II 33

1.6.2 Corda presa em uma extremidade e solta em outra

Supondo que a corda esteja presa na origem e solta2 em x = l, conforme a figura abaixo

presa solta

l

teremos, usando (1.6.5a),A(0) = C cos(0) +Dsen(0) = 0. (1.6.14)

Portanto, C = 0. Em x = l, devemos ter a derivada de A(x) igual a zero. Logo,

Dkcos(kl) = 0. (1.6.15)

Portanto,

kl =

(n+

1

2

) (1.6.16)

O que d os seguintes valores para os possveis comprimentos de onda

=4l

2n+ 1. (1.6.17)

1.6.3 Corda solta em ambas as extremidades

Supondo que a corda esteja solta na origem e em x = l como na figura abaixo

l

solta solta

teremos, usando (1.6.5a), com a condio de movimento vertical livre

A(x)

x

x=0

=A(x)

x

x=l

= 0. (1.6.18)

A primeira condio de contorno resulta em

kCsen(0) + kDcos(0) = 0. (1.6.19)

Portanto, D = 0. Em x = l, teremosDksen(kl) = 0. (1.6.20)

2Solta significa que a corda pode se movimentar livremente na direo transversal. Naturalmente a cordapermanece esticada como no exemplo da figura.

34 CAPTULO 1. ONDAS

Portanto,kl = n. (1.6.21)

Ou seja, os possveis comprimentos de onda sero

=2l

n. (1.6.22)

1.6.4 Movimento Geral da Corda - Anlise de Fourier

Um resultado importante da seo anterior que ondas confinadas, ou seja, ondas restritas a umadeterminada regio do espao, s podem existir para um conjunto discreto de freqncias. Vamosagora investigar um pouco mais esses modos normais (1.6.12). Primeiramente vamos reescreve-loscomo

yn(x, t) = bn cos(nt+ n)sen(knx), (1.6.23)

de forma que atribumos amplitudes bn e fases n para cada modo normal.De acordo com o princpio de superposio, a soma

y(x, t) =

n=1

yn(x, t) (1.6.24)

tambm ser uma soluo para a corda (desde de que a soma infinita seja convergente) (note que essacombinao satisfaz as condies de contorno de corda fixa nas extremidades y(0, t) = y(l, t) = 0).

Quando levamos em conta as condies iniciais (1.2.12), teremos

y(x, 0) = y0(x) =

n=1

bn cos(n) cn

sen(nlx)

y

t(x, t)

t=0

= y1(x) =

n=1

(nvlbnsen(n))

dn

sen(nlx) . (1.6.25)

Se formos capazes de determinar cn e dn, definidos acima, podemos a seguir determinar bn e n efinalmente conhecer totalmente y(x, t) em (1.6.24). O problema todo consiste ento em determinarcn e dn.

A formulao geral do problema a seguinte: dada uma funo conhecida F (x) (forma, ouvelocidade da corda finita e presa nas extremidades), determine os coeficientes cn tais que

F (x) =

n=1

cnsen(nlx)

(1.6.26)

Essa maneira de expressar F (x) chama-se Srie de Fourier da funo F (x). A primeira demon-strao de que se pode calcular os coeficientes cn em termos da funo F (x) foi feita por Fourierem 1807. A forma explcita

cn =2

l

l

0F (x)sen

(nlx)

dx. (1.6.27)

Exemplo: Consideremos a funo F (x) = x no intervalo 0 x l . Neste caso, os coeficientes cn so

cn =2

l

l0x sen

(nlx)

dx. (1.6.28)

1.6. MODOS NORMAIS DE VIBRAO ONDAS ESTACIONRIAS II 35

Calculando a integral (verifique), obtemos

cn = (1)n+12l

n(1.6.29)

As figuras abaixo mostram o resultado que se obtem respectivamente para os casos de 1, 2, 3, 4, 5 e 100 termos na sriede Fourier dada por (1.6.26) com os coeficientes dados por (1.6.29).

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

36 CAPTULO 1. ONDAS

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Exemplo: Consideremos agora a funo F (x) = x(l x)/l. Os coeficientes de Fourier so, neste caso,

cn =2

l2

l0x(l x) sen

(nlx)

dx. (1.6.30)

Calculando a integral (verifique), obtemos

cn = [1 (1)n]4l

n33(1.6.31)

1.6. MODOS NORMAIS DE VIBRAO ONDAS ESTACIONRIAS II 37

Observe que os coeficientes com n par so nulos. Isso se deve ao fato de que a funo x(l x) simtrica em relao ao pontox = l/2, de modo que somente os harmnicos que tambm possuem essa simetria devem contribuir.

As figuras abaixo mostram o resultado que se obtem respectivamente para os casos de 1, 3 e 5 termos na srie de Fourier(curvas tracejadas) dada por (1.6.26) com os coeficientes dados por (1.6.29).

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

38 CAPTULO 1. ONDAS

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Compare as figuras dos dois exemplos acima observando a grande convergncia do segundo exemplo, para qualquer valor

de x.

Consideremos agora a periodicidade de um dado ponto na corda. Fixando, por exemplo umponto x0, teremos

y(x0, t) =

n=1

bnsen(nlx0

)

Bn

cos(2nt+ n). (1.6.32)

Temos assim a srie de Fourier para uma funo do tempo. Note que cada um dos modos umafuno peridica do tempo com freqncia n = n1. Podemos mostrar facilmente que todos osmodos possuem perodo 1. De fato,

2n(t+ 1) = 2nt+ 2n1 = 2nt+ 2n (1.6.33)

Comocos(a+ 2n) = cos(a), (1.6.34)

a funo (1.6.32) se repete aps um perodo 1.Isso ocorre porque qualquer tipo de deformao da corda leva um tempo igual 2l/v para

voltar sua configurao original (verifique isso considerando um pulso que se propaga e se refletenas extremidades fixas). Levando em conta a relao (1.6.13), vemos que esse tempo precisa-mente o perodo 1. Isso explica porque ao percurtirmos uma corda de violo, ouvimos um tomcorrespondente ao que seria se corda vibrasse com a freqncia do primeiro harmnico.

Exerccio: Utilize seus recursos computacionais (sala pr-aluno, computador pessoal, etc) paraobter os grficos das sucessivas aproximaes das sries de Fourier, correspondentes funo

F (x) = senx(1 x). (1.6.35)

Captulo 2

Som

2.1 Ondas sonoras

Vimos que a produo de ondas progressivas em uma corda ocorre quando um determinado pontoda corda posto em movimento, que pode ser um pulso ou uma oscilao harmnica. Agora vamosestudar a produo de pulsos ou oscilaes harmnicas em um meio gasoso como o ar. Este estudopermitir entender muitos aspectos de um dos mais interessantes fenmenos ondulatrios: o som.

Assim como no caso dos pulsos produzidos em uma corda, devemos ter em mente que o desloca-mento que produz o pulso inicial deve ser suficientemente rpido. De fato, sabemos que se movermosa extremidade da corda com um movimento relativamente lento, o movimento local cessa e noocorre propagao Analogamente, quando o ar deslocado por um objeto que se move suavemente,haver apenas um fluxo em volta do objeto. Por outro lado, se o movimento for suficientementerpido, ocorrer uma variao localizada da densidade do ar, sendo a densidade maior nos pontosque esto no mesmo sentido do movimento. A variao de densidade, por sua vez, produz umavariao de presso que desloca o ar adjacente colocando-o em movimento (essa ltima etapa descrita, como veremos, pela segunda lei de Newton). Desse modo o ciclo fechado, propagando-separa todo o espao. Tal ciclo pode ser descrito pelas etapas

I. Deslocamento do gs causa variao de densidade

II. Variao de densidade causa variao de presso.

III. Variao de presso causa deslocamento.

ou seja, IIIIIII.Temos assim uma descrio em termos das seguintes variveis, definidas em cada ponto do

espao e em cada instante de tempo 1:

Deslocamento : u(x, t) (2.1.1)1Uma tal descrio no considera de forma explcita os detalhes do movimento das molculas do meio gasoso.

A funo u(x, t) no fornece tal informao detalhada. Do ponto de vista da Teoria Cintica dos Gases, queestudaremos no final do curso, quando h um adensamento em uma certa regio, as molculas fluem para as regiesmenos densas de modo a uniformizar a densidade. Aparentemente, no haveria a produo de uma onda sonora.Para que uma onda (e.g. som) seja produzida, as molculas que fluem da regio de maior densidade devem transferirmomento para as adjacentes, na regio menos densa. Portanto, para produzir uma onda as regies de variao depresso ou densidade devem ser muito maiores do que a distncia mdia percorrida pelas molculas antes de colidir.Tal distncia chamada de livre caminho mdio. Assim, o tamanho dos pulsos de presso deve ser muito maior doque o livre caminho mdio das molculas do gs (veja referncia [5] pgina 47-3). Neste regime, as ondas de pressoconstituem uma descrio em termos de uma Teoria Efetiva.

39

40 CAPTULO 2. SOM

Variao de densidade : e(x, t) (2.1.2)

Variao de presso : Pe(x, t) (2.1.3)

importante frisar que o deslocamento do gs u(x, t) apenas local, ou seja, o gs como umtodo permanece em repouso enquanto ocorrem mudanas localizadas em pequenas pores do gs.Quando uma dessas mudanas se inicia, em uma dada regio, o efeito se propaga para outrasregies. Veremos a seguir que essa propagao se d segundo uma equao de ondas.

2.1.1 Derivao da equao de onda

Vamos considerar primeiramente II. Na situao de equilbrio, antes da chegada da onda sonora,temos

(Presso de equilbrio) P0

(Densidade de equilbrio) 0A presso uma funo da densidade

P = f() (2.1.4)

cuja a forma explcita discutiremos mais adiante (veremos que a forma explcita de f() podeser obtida a partir da descrio do processo de compresso do gs quando sujeito a perturbaoondulatria sonora). Em particular, para os valores de equilbrio, teremos P0 = f(0).

As mudanas de presso devidas onda sonora so extremamente pequenas. comum se utilizaruma escala logartmica de intensidades, j que a sensibilidade do sistema auditivo logartmica.Na escala de decibis,

I = 20 log10(P/Pref ), (2.1.5)

onde Pref = 2 1010 bar (1 bar = 105N/m2 1 atm). Um som razoavelmente intenso de cercade 60 decibis corresponde a uma presso de 103Pref = 2 107 bar. Portanto as variaes depresso devidas ao som so muito menores do que a presso de 1 atmosfera. Sons acima de 120 dbj so dolorosos para o ouvido. Portanto, se escrevermos

P = P0 + Pe e = 0 + e, (2.1.6)

onde Pe e e so a presso e densidade em excesso, poderemos considerar que Pe

2.1. ONDAS SONORAS 41

(deslocamento do gs devido a passagem da onda)1 = x+ u(x, t)

Da mesma forma, em uma vizinhana x+ x, teremos

(posio do ar antes da passagem da onda)2 = x+ x

(deslocamento do gs devido a passagem da onda)2 = x+ x+ u(x+ x, t)

Podemos agora calcular os respectivos volumes, como

(volume antes) = [(x+ x) x]A = xA

(volume deformado pela onda) = [(x+x+u(x+x, t))(x+u(x, t))]A = [x+u(x+x, t)u(x, t)]AA figura abaixo ilustra estas relaes.

u(x,t)

u(x,t)x+ x

u(x+ x, t)

u(x+ x, t)x+ x

volume deformadovolume antes

x x+ +

Portanto,

(volume deformado pela onda) = Ax

1 +

u(x+ x, t) u(x, t)x ux

Levando em conta que a massa de ar mantem-se invarivel,

0(volume antes) = (volume deformado), (2.1.9)

teremos0Ax = (0 + e)Ax(1 +

u

x(x, t)).

Cancelando Ax,

0 = (0 + e)(1 +u

x(x, t)) = 0 + 0

u

x(x, t) + e,

onde levamos em conta que

eu

x(x, t)

pode ser desprezado uma vez que estamos considerando pequenas variaes. Assim, obtemos final-mente,

e = 0u

x(x, t) (I). (2.1.10)

Essa relao o que esperamos fisicamente, uma vez que se o deslocamento u cresce com x (expansodo gs), a densidade deve diminuir.

42 CAPTULO 2. SOM

Vejamos agora a etapa III. Considerando que a fora sobre as duas sees de rea A so AP (x, t)(para a direita) e AP (x+ x, t) (para a esquerda), teremos

A(P (x, t) P (x+ x)) = AxPx

= AxPex

. (2.1.11)

Na ltima igualdade usamos que x e Pe so pequenos e P0 no depende de x (assumindo que apresso de equilbrio uniforme). Ilustramos essas foras na figura abaixo.

P(x,t) P(x+x , t)

x

gas

Usando a Segunda lei de Newton, e levando em conta que a massa contida entre x e x + x 0Ax, teremos

AxPex

F

= 0Ax2u

t2 ma

(2.1.12)

Logo,

02u

t2= Pe

x(III). (2.1.13)

Podemos agora combinar as equaes (2.1.8), (2.1.10) e (2.1.13) e obter uma nica equaopara u(x, t). Substituindo (2.1.8) em (2.1.13), obtemos

02u

t2=

(P

)

0

ex

. (2.1.14)

Substituindo (2.1.10) na equao acima,

02u

t2=

(P

)

0

02u

x2. (2.1.15)

Cancelando 0,2u

t2=

(P

)

0

2u

x2. (2.1.16)

Essa a equao de onda para a funo u(x, t), que descreve os deslocamentos do gs em pontos xe instantes t. Note que a velocidade desta onda

vsom =

(P

)

0

. (2.1.17)

Portanto a velocidade do som depende do conhecimento da equao que relaciona a presso e adensidade do gs. Antes de tratar desse assunto, vamos explorar um pouco mais as propriedadesda onda sonora.

2.1. ONDAS SONORAS 43

Primeiramente, notamos que possvel tambm obter uma equao para as flutuaes de den-sidade e. Derivando a equao (2.1.16) em relao a x, e usando a equao (2.1.10), obtemos

2et2

=

(P

)

0

2ex2

. (2.1.18)

Usando agora (2.1.8) em (2.1.18), teremos

2Pet2

=

(P

)

0

2Pe

x2. (2.1.19)

Portanto as ondas de deslocamento, densidade e presso se propagam segundo a mesma equao,com a mesma velocidade.

2.1.2 Velocidade do Som

Vejamos como determinar a velocidade do som a partir das propriedades do gs. Quando o gs comprimido, sua densidade varia de acordo com a equao que relaciona a presso, o volume e atemperatura. Por exemplo, para um gs ideal (gs rarefeito), a equao de estado

PV = nRT, (2.1.20)

onde n a massa do gs em moles e R a constante universal dos gases. Em um processo devariao de presso, mantendo a temperatura fixa, (processo isotrmico), teremos

P = (2.1.21)

Ou sejaP

T const.= =

P

. (2.1.22)

Portanto, a velocidade do som seria, usando (2.1.17)

vT const. =

P00. (2.1.23)

Usando os dados para o ar (P0 = 1 atm e 0 = 1, 3 kg/m3)2 , obtemos

vT const. = 280 m/s. (2.1.24)

Comparando com o resultado medido, que de 332 m/s, vemos que esse resultado est errado.Devemos analisar com mais cuidado a hiptese de que a temperatura mantida fixa. Para que

isso ocorra, preciso que a energia em forma de calor seja conduzida rapidamente para fora daregio de compresso. Esse foi o argumento utilizado por Newton. Cerca de 100 anos depois, em1816, Laplace argumentou que as mudanas de presso e temperatura, na onda de presso, ocorremsem que haja tempo para a troca de calor. O fluxo de calor entre as regies comprimidas e rarefeitas muito pequeno, para comprimentos de onda grandes, comparados com o livre caminho mdio3

das molculas. Nestas condies, o calor transferido muito pequeno para alterar a velocidade de2Condies normais de temperatura e presso: P0 = 1 atm = 1, 013 105 N/m2, T = 0o C = 273K3Caminho percorrido por uma molcula antes de colidir com outra.

44 CAPTULO 2. SOM

propagao da onda, embora seja suficiente para produzir uma pequena absoro da energia daonda. Para que ocorra uma absoro aprecivel, o comprimento de onda deveria ser da ordem de106 vezes menor que o comprimento de onda dos sons audveis 4.

Processos em que no h fluxo de calor so denominados processos adiabticos (estudaremosmais sobre isso ao longo deste curso). Para tais processos, a relao entre presso e densidade

P = const , (2.1.25)

onde uma constante. Neste caso, a velocidade do som ser

vsom =

P00. (2.1.26)

No caso do ar, = 1, 4, levando ao resultado

vsom = 332 m/s. (2.1.27)

Usando a equao do gs ideal e considerando que para uma massaM de gs de massa molecular o nmero de moles n = M/, podemos escrever

PV =M

RT. (2.1.28)

Portanto,P

=RT

. (2.1.29)

Substituindo na equao (2.1.26)

vsom =

RT

. (2.1.30)

Vemos que a velocidade do som s depende da temperatura. interessante tambm considerar que a velocidade mdia quadrtica das molculas, < v2 >

(veremos mais sobre isso) pode ser relacionada com a temperatura segundo a relao

kT =1

3m < v2 >=

1

3

k

R< v2 >, (2.1.31)

de modo que

vsom =

3

< v2 > (2.1.32)

Ou seja, a velocidade do som da mesma ordem de magnitude que o mdulo da velocidade mdiadas molculas.

4Sons audveis situam-se na faixa de freqncia de 20 Hz at 20 kHz. Ou seja, comprimentos de onda de 16 mat 1 cm.

2.1. ONDAS SONORAS 45

2.1.3 Sons harmnicos

Suponhamos que na origem de uma sistema de coordenadas exista um plano circular perpendicular direo x. Este plano envolto por um cilindro, cujo eixo coincide com a direo x, e executa peque-nas oscilaes harmnicas de freqncia (em torno de x = 0) e de amplitude U . O deslocamentodo ar em torno de x = 0 descrito pela equao

u(0, t) = U cos(t+ ) (2.1.33)

(a fase determina a posio do plano em t = 0). Sabemos que um deslocamento de ar qualquer, depequena amplitude, propaga-se como uma onda progressiva segundo a equao (2.1.16). Portanto,em um ponto x > 0, teremos, fazendo t t x/v na equao (2.1.33),

u(x, t) = U cos(/vx t+ ) = U cos(kx t+ ). (2.1.34)

De acordo com a equao (2.1.10) onda harmnica de deslocamento est associada uma ondaharmnica de densidade, dada por

e(x, t) = 0Uksen(kx t+ ) = 0Ukcos(kx t+ /2) (2.1.35)

A onda de presso correspondente pode ser obtida da equaes (2.1.8), (2.1.17) e (2.1.17) resultandoem

Pe(x, t) = v20Ukcos(kx t+ /2). (2.1.36)

Portanto, a onda de presso, assim como as ondas de deslocamento e de densidade, uma ondaharmnica de freqncia , produzida pela fonte.

O ouvido humano consegue ouvir freqncias no intervalo entre 20 Hz e 20 103 Hz. Oscomprimentos de onda correspondentes = v/ (tomando a velocidade como 344 m/s) esto nointervalo O intervalo correspondente de comprimentos de onda

1, 7 102m < som < 17m. (2.1.37)

Note que est na escala das dimenses macroscpicas. interessante comparar estes intervalos com os correspondentes intervalos das ondas eletromag-

nticas na faixa visvel do espectro. A freqncia da luz visvel situa-se no intervalo 0, 11015 Hz 0, o deslocamento das pores do gs para a direita.Por outro lado, pontos direita de a, onde u(x, t) < 0, so deslocados para a esquerda. Isso faz comque a regio 0 < x < b seja uma regio de compresso. Por uma anlise semelhante, conclumos

2.1. ONDAS SONORAS 47

que a regio entre b e d uma regio de expanso. Essa anlise est de acordo com o grfico paraa presso mostrado na parte inferior da figura acima.

Consideremos agora uma seo transversal de rea A, perpendicular direo de propagaoda onda, e localizada na posio x. A fora resultante sobre a superfcie

F (x, t) = Pe(x, t)A = P A sen(kx t+ ). (2.1.44)

Podemos agora obter a potncia instantnea

Pot(x, t) = Pe(x, t)Au(x, t)

t= P A Usen2(kx t+ ). (2.1.45)

Calculando a mdia no perodo, como fizemos nas equaes (1.3.15) e (1.3.16), e dividindo oresultado pela rea A, obtemos a seguinte expresso para a intensidade da onda sonora

I =Pot(x, t)

A=v20 k U2

2=0 U22 v

2. (2.1.46)

Vemos que a intensidade da onda sonora que se propaga em um meio de densidade 0 e presso P0(de modo que v tambm possui um valor determinado), depende da freqncia e da amplitudeU (compare com a intensidade da onda em uma corda, dada pela expresso (1.3.20)).

interessante considerar os limiares auditivos do ouvido humano. A figura abaixo (obtida nowikipedia) mostra as chamadas curvas Fletcher-Munson. A curva inferior representa o limiar deaudio mnimo para diversos valores de freqncia. A curva superior o limiar acima do qualsentimos dor. As curvas intermedirias so curvas de mesma sensao auditiva.

O nvel de intensidade utilizado na figura acima o decibel, cuja definio

= 10 log10

(I

I0

)db, (2.1.47)

48 CAPTULO 2. SOM

onde I0 o limiar mnimo audio, na freqncia de 103Hz, cujo valor

I0 = 1012W/m2 (2.1.48)

O limiar de dor (tambm para 103Hz) 120 decibis, ou seja, a intensidade correspondente de1W/m2. Note que para cada par de valores de freqncia e intensidade a amplitude da onda sonorapossui um valor determinado pela equao (2.1.46). claro que estas curvas podem variar bastantede pessoa para pessoa e tambm com a idade. No stio http://www.phys.unsw.edu.au/jw/hearing.htmlvoc pode construir sua prpria curva de Fletcher-Munson.

Exerccio:

(a) Calcule as amplitudes correspondentes aos limiares mnimo e de dor.

(b) Determine as correspondentes amplitudes de presso.

Resposta: De acordo com a equao (2.1.46), a amplitude dada por

U =

2 I

02 v=

1

2

2 I

0 v. (2.1.49)

Usando os valores para condies atmosfricas usuais (0 = 1, 3 kg/m3, v = 340m/s) teremospara I = 1012W/m2 e = 103 s1

Umin = 1.07 1011m. (2.1.50)

Isso corresponde a uma distncia menor do que o dimetro atmico. No caso do limiar de dor,teremos, usando I = 1W/m2

Udor = 1.07 102mm. (2.1.51)

Usando k = /v na equao (2.1.42), teremos (substituindo U dado na (2.1.49)), teremos

P = v0 U =

2 I 0 v. (2.1.52)

Para o limiar auditivo, teremos

Pmin =

2 1012 1, 3 340 3 104 N/m2. (2.1.53)

Para o limiar de dor,Pdor =

2 1, 0 1, 3 340 30N/m2. (2.1.54)

Considerando que a presso atmosfrica 105 N/m2 e que somos capazes de suportar pressesestticas de at meia atmosfera, ou seja da ordem de 103 vezes a presso do limiar sonoro de dor,vemos que a dor produzida pelo som intenso se deve existncia de uma freqncia no nula.

2.2 Ondas em mais dimenses

2.2.1 Ondas planas em trs dimenses

Consideremos uma linha reta orientada ao longo de uma direo qualquer, no necessariamentecoincidente com as direes x, y ou z, e passando pela origem O do sistema xyz. A cada ponto

http://www.phys.unsw.edu.au/jw/hearing.html

2.2. ONDAS EM MAIS DIMENSES 49

desta reta podemos associar um nmero . Podemos ento considerar a propagao de uma ondaao longo da direo definida por esta reta de tal forma que uma onda harmnica ter a forma

(x, y, z, t) = A cos(k t+ ). (2.2.1)

Ou seja, a equao acima continua descrevendo uma onda que se propaga em uma nica direodo espao, mas esta direo agora qualquer. Naturalmente o conceito chave aqui a isotropia doespao. Ou seja, estamos assumindo que todas as direes do espao so equivalentes. Em geral,um vetor unitrio orientado ao longo da direo de propagao, no sentido crescente de , defineessa direo qualquer de propagao.

Os pontos do espao de mesma fase, ou seja aqueles para os quais k t + tem o mesmovalor, esto todos no plano perpendicular direo . (De fato, em qualquer outro plano o valorde seria diferente e a fase teria outro valor.) Descrevendo um ponto qualquer deste plano pelovetor ~r, vemos que o nmero a projeo geomtrica de ~r ao longo de . Ou seja,

= ~r . (2.2.2)

Portanto,k = ~r k = ~r ~k. (2.2.3)

Temos assim a seguinte forma geral para uma onda que se propaga em uma direo definida pelovetor de onda ~k

(~r, t) = A cos(~k ~r t+ ), (2.2.4)onde ~r orientado da origem at uma ponto qualquer de coordenadas x, y, z. Nos pontos de faseconstante, k ~r = constante define um plano cuja a equao (expandindo o produto escalar)

kxx+ kyy + kzz = constante, (2.2.5)

onde as componentes kx, ky, kz e o valor da constante, determinam completamente o plano. Esseplano chama-se frente de onda. Temos assim uma onda plana se propagando em todo o espao.

2.2.2 Equao de ondas em trs dimenses

Substituindo (2.2.5) em (2.2.4)

(~r, t) = A cos(kxx+ kyy + kzz t+ ) (2.2.6)

vemos a dependncia explcita da onda plana nas trs coordenadas espaciais. Vimos acima que estaforma da onda plana foi obtida levando em conta a isotropia do espao, ou seja generalizando apropagao ao longo da direo x, para uma direo qualquer. Levando em conta o mesmo princpiode isotropia podemos facilmente generalizar a equao de ondas (1.2.3). Para isso, escrevemosinicialmente

1

v22(x, y, z, t)

t2

2(x, y, z, t)

x2+ ? = 0. (2.2.7)

Vemos ento que a nica maneira de obtermos uma equivalncia completa nas trs coordenadasespaciais tomando

? = 2(x, y, z, t)

y2

2(x, y, z, t)

z2. (2.2.8)

Portanto, a equao de ondas em trs dimenses

1

v22(x, y, z, t)

t2

2(x, y, z, t)

x2

2(x, y, z, t)

y2

2(x, y, z, t)

z2= 0. (2.2.9)

50 CAPTULO 2. SOM

Se agora substituirmos a onda plana (2.2.6) na equao de ondas (2.2.9), vamos obter (verifique),

k2x + k2y + k

2z =

2

v2, (2.2.10)

ou seja, em termos do mdulo do vetor de onda k =k2x + k

2y + k

2z , temos

= k v, (2.2.11)

que a mesma relao de disperso obtida anteriormente para uma onda plana propagando-se nadireo x.

2.2.3 Ondas esfricas

Em um meio isotrpico, as ondas produzidas por uma fonte puntiforme (imagine um auto-falantemicroscpico) tero superfcies de fase constante em pontos que so equidistantes da fonte. Ouseja, as frentes de onda sero esferas de raio r, centradas na fonte. No caso de ondas harmnicas,teremos

(r, t) = A cos(kr t+ ), (2.2.12)onde r =

x2 + y2 + z2 e k = /v. Note que, de fato, kr constante define uma esfera de raio r.

No entanto, a amplitude A, na equao acima, no pode ter o mesmo valor para todos osvalores de r. Se assim fosse, a energia contida em frentes de onda mais distantes da fonte (as quaispossuem raio maior), seria maior do que a contida nas frentes de onda mais prximas da fonte.Ou seja, a energia estaria sendo criada a medida que a onda se expande. Para manter a taxa detransmisso de energia fixa, devemos ter

(intensidade)4r2 = constante. (2.2.13)

Mas sabemos que a intensidade da onda proporcional ao quadrado da amplitude. Portanto,

A2r2 = constante. (2.2.14)

Logo,A = a

r. (2.2.15)

Portanto, a forma geral da onda esfrica

(r, t) =a

rcos(kr t+ ). (2.2.16)

Analogamente, se estivssemos tratando de ondas circulares em um superfcie bi-dimensional,teramos

(, t) =a

cos(k t+ ). (2.2.17)

2.2.4 Princpio de Huygens

Vamos agora abordar o problema de como obter a soluo da equao de onda em trs dimenses.Ou seja, conhecendo a configurao de (~r, t) em certos pontos do espao, queremos determinarcomo a onda se propaga para outros pontos do espao. Este tipo de problema foi estudado pelofsico holands Christiaan Huygens por volta de 1678, antes, portanto da descrio matemtica

2.2. ONDAS EM MAIS DIMENSES 51

em termos de uma equao de ondas. Uma formulao mais completa foi feita por Fresnel noincio do sculo 19. O princpio de Huygens-Fresnel um mtodo de anlise que permite tratarquantitativamente a propagao de ondas em situaes bem gerais.

A idia bsica pode ser ilustrada por um fenmeno bastante familiar. Para uma pessoa que estem uma sala, com a janela aberta, os sons produzidos em qualquer local do exterior so ouvidoscomo se tivessem sido produzidos na prpria janela. Ou seja, para quem est dentro da sala, avibrao do ar na janela constitui a fonte do sons externos.

Somos ento levados a seguinte formulao devida originalmente a Huygens:

(a) Cada ponto de uma dada frente de onda comporta-se como se fosse uma fonte de ondassecundrias.

(b) A superposio das ondas secundrias produz a nova frente de onda de acordo com a seguinteprescrio: A frente de onda seguinte a envoltria das frentes de ondas secundrias emitidasconforme (a).

Temos portanto uma anlise de uma frente de onda qualquer em termos de ondas esfricas compo-nentes, cada uma das quais infinitamente fraca.

2.2.5 Reflexo e refrao

A reta AB, na figura abaixo, representa um trecho da interseco de uma frente de onda plana como plano de incidncia (plano da pgina). A linha horizontal representa a interface de separaoentre dois meios. As velocidades de propagao nos meios 1 e 2 so respectivamente v1 e v2. Afigura tambm mostra o ngulo de incidncia i.

1

2

.

=d.

A

B

C

v t

i

i

i i

De acordo com o Princpio de Huygens, todos os pontos da frente de onda AB so fontes deondas esfricas. Decorrido um tempo t, todas as ondas esfricas emitidas entre A eB tero atingindoa interface entre os dois meios (na figura acima a onda esfrica emitida em B ter percorrido umadistncia di = vit. Sabemos que na interface de separao entre dois meios distintos, a onda parcialmente refletida e transmitida (veja as equaes (1.5.23) e (1.5.24)).

Vamos analisar inicialmente a forma da frente de onda refletida. A figura abaixo mostra aconstruo de Huygens para a frente de onda j totalmente refletida aps o tempo t. Note quepara construir a frente de onda ArC suficiente considerar a tangente esfera centrada em A epassando pelo ponto C. Note tambm que a reflexo se d no mesmo plano de incidncia. Estaimportante propriedade, conhecida como primeira lei da reflexo, pode ser entendida considerandoque a interface de descontinuidade entre os dois meios perpendicular ao plano de incidncia.

52 CAPTULO 2. SOM

1

2

v t

A

r

r

=d r

A

C

.

r

Podemos agora determinar as grandezas dr e r, mostradas na figura acima. Como dr = vrt, evr = vi = v1 (velocidade no meio 1) ento dr = di. Levando em conta que ACsenr = dr = di =ACseni, conclumos que senr = seni. Portanto, r = i, ou seja, o ngulo de reflexo igual aongulo de incidncia.

Vejamos agora o que ocorre com a frente de onda transmitida para o meio 2. Esta onda denominada onda refratada. A figura abaixo ilustra o que ocorre, quando v2 < v1, para posiessucessivas da frente de onda. Note que o trecho da frente de onda que j est no meio 2, percorredistncias menores do que o trecho que est no meio 1.

1

2

.

d.

A

B

C

t

i

i

i i

2

d2

= v

= v2t

Na figura seguinte ilustramos a construo de Huygens para a frente de onda plana refratada.

1

2

2

.

d.

A

B

C

t

i

i

i

2

d2

= v

= v2t

.

1

.

Notando que v2t = ACsen2 e v1t = ACseni, obtemos

senisen2

=v1v2 n12. (2.2.18)

Essa a lei de Snell para o ngulo de refrao (note que, como no caso da reflexo, a onda refratadaest no mesmo plano de incidncia). A grandeza n12 denominada ndice de refrao.

Vemos assim que o conceito de ondas permite explicar as leis de reflexo e de refrao. Nestesentido, podemos dizer que o conceito de ondas fornece um entendimento mais fundamental danatureza. No caso de ondas em um meio elstico (ondas mecnicas) tudo se reduz s leis da

2.2. ONDAS EM MAIS DIMENSES 53

mecnica, uma vez que a equao de ondas foi deduzida a partir das leis de Newton. Portanto, no necessrio introduzir novas leis para descrever a reflexo e refrao. Para as ondas no mecnicastudo se reduz descrio fornecida pela Mecnica Quntica.

Exemplos

Vimos que a velocidade de propagao de uma onda sonora dada pela equao (2.1.30). Portanto,ao passar de uma meio a temperatura T1 para outro a temperatura T2 < T1 a direo de propagaomuda, conforme indicado na figura abaixo, de acordo com a (2.2.18).

T > d

Dispositivos deste tipo so denominados redes de difrao. As ondas esfricas emitidas por cadauma das pequenas fendas iro interferir nos pontos da tela. Quando a tela est localizada a umadistncia muito grande, um determinado ponto P ser um ponto de mximo se a seguinte relaofor satisfeita

dsen = m; m = 0,1,2, . (2.2.19)

Demonstraremos este efeito em sala de aula, utilizando um laser comum e um CD ou DVD (e,talvez, um bluray).

2.2. ONDAS EM MAIS DIMENSES 55

2.2.6 Efeito Doppler

A experincia mostra que a freqncia do som aumenta (diminui) quando a distncia entre a fontesonora e o observador diminui (aumenta) com o tempo. Notamos isso quando uma ambulncia seaproxima e depois se afasta de ns. Na aproximao o som mais agudo do que no afastamento.De fato, esse tipo de efeito tornou-se parte do cotidiano de grandes cidades desde do fim do sculo19, quando veculos de diversos tipos comearam a circular produzindo diferentes tipos de sons.Christian Doppler estudou o efeito para ondas eletromagnticas em uma monografia escrita em 1842cujo ttulo (resumido) Sobre a luz colorida de estrelas . A hiptese foi testada para ondassonoras pelo meteorologista holands Christophorus Henricus Diedericus Buys Ballot em 1845. Emum experimento literalmente espetacular, Ballot teria colocado um grupo de trompetistas sobre umvago de trem aberto e pediu que tocassem uma determinada nota. Parado na plataforma, observouo trem passar a grande velocidade e constatou a existncia do efeito Doppler para o som, ou seja,a nota emitida pelos trompetistas foi mais aguda quando o trem se aproximava de Ballot e maisgrave quando o trem se afastava (Filkin and Hawking 1997, p. 65).

Vejamos como analisar este interessante fenmeno no caso de ondas sonoras. convenienteanalisar separadamente as seguintes situaes:

(a) O observador se movimenta em relao ao meio de propagao; a fonte permanece em repousorelativamente ao meio de propagao.

(b) A fonte se movimenta em relao ao meio de propagao; o observador permanece em repousorelativamente ao meio de propagao.

Note que o meio de propagao permite distinguir as duas possibilidades acima, que de outraforma seriam indistingiveis de acordo com o princpio de relatividade de Galileu (voltaremos aeste interessante assunto quando iniciarmos o estudo da relatividade restrita).

(a) Observador em movimento e fonte em repouso

Suponhamos que a fonte, em repouso em relao ao meio de propagao, esteja produzindo os-cilaes de freqncia 0. A onda assim produzida viaja com velocidade v e possui comprimentode onda

0 =v

0. (2.2.20)

Considere agora o nmero de vezes, por segundo, que o valor mximo da oscilao atinge umdeterminado observador. Naturalmente esse nmero a freqncia detectada pelo observador. Seo observador estivesse em repouso, teramos simplesmente = o. No entanto, se o observadorestiver se movendo com velocidade ~u ele detectar um decrscimo (ou excesso, dependendo dosentido de ~u) de cristas dado por

= ~u k0

= u0

cos . (2.2.21)

O ngulo formado pelas direes de propagao da onda e pela direo da velocidade doobservador, como ilustrado na figura abaixo.

56 CAPTULO 2. SOM

k^

u

Portanto, a freqncia detectada pelo observador ser

= 0 + = 0 u

0cos = 0

0vu cos . (2.2.22)

Ou seja, = 0

(1 u

vcos

). (2.2.23)

Nos casos especiais quando o observador est se aproximando ( = ) ou se afastando ( = 0) dafonte, ao longo da mesma direo de propagao da onda, teremos

=

0

(1 +

u

v

)aproximao

0

(1 u

v

)afastamento

. (2.2.24)

Ou seja o observador detecta uma freqncia maior quando se desloca em direo fonte e umafreqncia menor quando se afasta da fonte.

(b) Fonte em movimento e observador em repouso

comum supor erroneamente que a velocidade do que emitido pela fonte deve ser alteradapelo prprio movimento da fonte. Isso sem dvida verdadeiro quando consideramos dispositivosque emitem partculas materiais, como por exemplo uma metralhadora instalada em um avio.No entanto, j sabemos que no caso de uma onda, a velocidade de propagao s depende daspropriedades do meio. Note que estamos sempre considerando que as velocidades da fonte (ou doobservador, como no caso anterior) so relativas ao meio. Sem perda de generalidade, podemosadotar um referencial em relao ao qual o meio est em repouso.

A figura abaixo (obtida no wikipedia) ilustra bem o efeito.

2.2. ONDAS EM MAIS DIMENSES 57

Neste exemplo, a fonte est se movendo com velocidade ~V para a direita.Vamos agora supor que o observador esteja em repouso em um ponto P bem distanciado da

fonte, de modo que a aproximao de ondas planas possa ser utilizada em P . As ondas planascruzam o ponto P propagando-se na direo k, conforme a figura abaixo.

V

Pk^

A distncia entre duas frentes de onda adjacentes, medida pelo observador em P , sofre uma alter-ao

= ~V k0

= V0

cos = 0V

vcos . (2.2.25)

Assim o comprimento de onda medido pelo observador em P

= 0

(1 V

vcos

). (2.2.26)

Por exemplo, se a fonte estiver se afastando do observador ( = ), = V/0 > 0, ocorrer umaumento do comprimento de onda ao longo da linha que une a fonte e o observador.

A freqncia medida pelo observador

=v

. (2.2.27)

Usando a equao (2.2.26), obtemos

=v

0

1

1 Vv cos = 0

1

1 Vv cos . (2.2.28)

(b) Fonte e observador em movimento

Podemos agora combinar os dois efeitos de modo a obter o caso geral, quando tanto a fonte quantoo observador esto se movendo. Seja 0 a freqncia j modificada pelo movimento da fonte. Se oobservador tambm estiver em movimento, ento ele detectar uma freqncia, conforme previstopela equao (2.2.23),

= 0

(1 u

vcos

). (2.2.29)

Por outro lado, sabemos da equao (2.2.28) que

0 = 01

1 Vv cos . (2.2.30)

58 CAPTULO 2. SOM

Portanto, substituindo (2.2.30) em (2.2.29), teremos

=1 uv cos 1 Vv cos

0. (2.2.31)

Exemplo: Radares utilizam microndas (ondas eletromagnticas possuindo comprimentos de onda entre 103 m e 1m)para medir a velocidade de veculos. Obtenha a relao entre a diferena das freqncias 0, da onda emitida pelo radar, e ,da onda refletida de volta pelo veculo, e a velocidade do veculo.

Soluo: A onda emitida pelo radar atinge o veculo com uma freqncia modificada pelo efeito Doppler dada por

1 = 0

(1 +

V

v

),

onde V a velocidade de veculo e v a velocidade de propagao da onda (v 3 108 m/s).O veculo emite a onda de volta modificando sua freqncia, de tal forma que, de acordo com o efeito Doppler produzido

por uma fonte em movimento,

= 11

1 V/v = 01 + V/v

1 V/v = 0v + V

v V .

Portanto,

0 = 0(

1 v + Vv V

)= 0

2V

v V .

Como v V (pelo menos nas estradas utilizadas pelos terrqueos),

02V

v.

Por exemplo, no caso de um carro viajando a 100 km/h 28m/s, e um radar utilizando 0 = 10 cm

= 560Hz.

Observao: Tratamos este exemplo utilizando os resultados para o efeito Doppler para o som. Veremos que o efeito Doppler

para ondas eletromagnticas (efeito Doppler relativstico) obedece o princpio de invarincia de Galileu. No entanto, ao

tomarmos o limite v V , os resultados coincidem.

2.2.7 Cone de Mach velocidades supersnicas

Vamos analisar o que ocorre quando a velocidade V da fonte maior do que a velocidade v depropagao da onda. A figura abaixo mostra uma frente de onda esfrica, no instante t, que foiemitida da posio F0. Tambm mostrado o percurso realizado pela fonte at atingir um pontoF ; esse percurso tal que F0F = V t. Como estamos considerando V > v, ento F0F > vt.

F0

F

vt

Vemos assim que a fonte ultrapassou a frente de onda por ela emitida.No mesmo instante t, a figura seguinte mostra uma outra frente de onda que foi emitida quando

a fonte se encontrava a meio caminho entre F0 e F .

F0

F

2.2. ONDAS EM MAIS DIMENSES 59

Incluindo todas as frentes de onda emitidas ao longo do caminho F0F teremos a formao de umasuperfcie cnica, como mostrado na figura abaixo.

F0

F

Essa superfcie denomina-se Cone de Mach. Vemos da figura abaixo

F0 F

que o ngulo de abertura do cone, , tal que

sen =vt

V t=

v

V. (2.2.32)

Esse ngulo denominado ngulo de Mach. A razo entre as velocidades V/v o nmero de Mach.

Onda de choque

Vamos agora analisar em maior detalhe o efeito das ondas emitidas pela fonte em movimento, pro-duzido em um determinado ponto P . Consideremos as n frentes de onda emitidas nas proximidadesde F0, entre F0 e Fn. O intervalo entre duas emisses consecutivas t. O tempo que a n-simafrende de onda leva para chegar em P

tn = nt+rnv. (2.2.33)

Na figura abaixo, esto indicadas as distncias percorridas pela onda emitida de F0 e de Fn, queso, respectivamente, r0 e rn.

r0

rn

F0

nF

A

P

60 CAPTULO 2. SOM

Como estamos considerando um entorno prximo de F0, podemos usar a aproximao

rn = r0 F0A = r0 F0Fn cos = r0 V nt cos (2.2.34)

Substituindo (2.2.34) em (2.2.33), obtemos

tn = nt+r0v Vvnt cos = nt+ t0

V

vnt cos . (2.2.35)

Portanto,

tn t0 = nt(

1 Vv

cos

). (2.2.36)

O sinal da grandeza tn t0 ser sempre positivo no caso sub-snico V < v (neste caso Vv cos < 1).Logo, as ondas chegam em P na mesma ordem em que foram emitidas .

Por outro lado, no caso supersnico, V > v, existir um ngulo 0 tal que tn = t0, ou seja, asondas chegam todas ao mesmo tempo em P . De acordo eom (2.2.36), esse ngulo tal que

cos 0 =v

V= sen. (2.2.37)

Logo,0 =

2 . (2.2.38)

Portanto na direo perpendicular ao cone de Mach todas as ondas se acumulam produzindo umaonda de choque.

Na foto abaixo, obtida no stio da Nasa em http://www.nasa.gov/mission_pages/galex/20070815/f.htmlvemos a onda de choque produzida por um projtil viajando no ar com uma velocidade igual a1, 5 vsom.

Esta foto mostra vrios outros detalhes interessantes, como por exemplo um fragmento menorcujo cone de Mach possui uma abertura maior do que o do projtil maior (qual objeto tem maiorvelocidade?). A foto mostra tambm um rastro de turbulncia.

Em um outro link, (http://www.nasa.gov/mission_pages/galex/20070815/a.html) a belafoto abaixo interpretada como sendo de uma estrela5 que se move rapidamente no meio intereste-lar, produzindo uma onda de choque.

5Esta estrela, batizada Mira (do latin, Maravilhosa) est localizada a 350 anos-luz da Terra na constelao Cetus(Nasa).

http://www.nasa.gov/mission_pages/galex/20070815/f.htmlhttp://www.nasa.gov/mission_pages/galex/20070815/a.html

2.2. ONDAS EM MAIS DIMENSES 61

O rastro de turbulncia mostrado na figura possui 13 anos-luz de comprimento (1017 m). Tenteidentificar o padro da onda de choque, comparando as duas fotos acima.

Exemplo: Decorridos 1,5 segundos depois de um avio supersnio ter sobrevoado uma casa, a onda de choque causadapela sua passagem atinge a casa, provocando um estrondo snico. Sabendo que o avio voava com o dobro da velocidade dosom, determine a altitude do avio em funo da velocidade do som no ar.

Soluo:O ngulo de Mach tal que

sen =vsom

Vavio=

1

2

Portanto, = /6. De acordo com a figura abaixo

aviao~V t = 2 V t = 3 V

H

tg = H3Vsom

som som

tan =H

2Vsom 1, 5.

Logo

H = 3Vsom1/23/2

=

3Vsom.

A foto abaixo (wikipedia) mostra um interessante efeito de condensaso na regio da onda dechoque produzida por um avio supersnico

Note que a regio de condensao possui a forma cnica.

62 CAPTULO 2. SOM

Captulo 3

Relatividade

3.1 Sistema de coordenadas galileano

O material desta seo foi baseado na referncia [10].De acordo com o princpio fundamental da mecnica, um corpo suficientemente afastado de

outros corpos, permanece em repouso ou em movimento com velocidade constante. Este o princpiode inrcia descoberto por Galileu e incorporado na formulao das leis da mecnica por Newton.Alm de formular o que h de mais fundamental sobre o movimento dos corpos, o princpio de inrciafornece tambm uma prescrio para determinar qual o sistema de referncia que devemos utilizarpara descrever os sistemas mecnicos em termos das leis de Newton. Para nos certificar de queestamos utilizando o sistema correto, podemos observar corpos que esto livres da influncia dequalquer outro corpo e verificar se o movimento destes corpos obedece ao princpio de inrcia.

Considere por exemplo o movimento de uma nave espacial A, que est com os motores desliga-dos, em uma regio do espao suficientemente distante de qualquer outro objeto. Do ponto de vistados tripulantes de uma outra nave distante B que esteja se movendo com movimento acelerado,o movimento da nave A ser com velocidade no constante. Ou seja, no sistema de refernciarigidamente ligado nave acelerada, B, o movimento da nave A no est de acordo com o princpiode inrcia. Por outro lado, em um sistema de referncia S, rigidamente ligado a uma terceira naveC, que esteja se movendo com velocidade constante, a nave A possui velocidade constante, emconcordncia com o princpio de inrcia. Os sistemas de referncia segundo os quais o princpiode inrcia verificado (como por exemplo o sistema S da nave C) so denominados de sistemasgalileanos ou sistemas inerciais.

O sistema de referncia pode ser imaginado como a prpria estrutura rgida da nave, possuindoainda um padro bem definido de medida de distncia e tempo. Ou seja, devemos imaginar queos tripulantes de cada uma das naves esto devidamente munidos de rguas e relgios rgidamenteligados s suas respectivas naves. Isso define um sistema de coordenadas de espao-tempo associadoa cada sistema inercial.

3.2 Princpio de relatividade

Vamos considerar agora um sistema de referncia qualquer, S, possuindo velocidade relativa ~v,constante em relao a outro sistema S. Concretamente, podemos imaginar, como na seo anterior,que os dois sistemas S e S esto rigidamente ligados a naves espaciais que se movem livremente (ouseja, sem a ao de qualquer tipo de fora) com velocidade relativa ~v. Por exemplo, os tripulantesda nave C (sistema S) observam a nave A (sistema S) se movimentando com velocidade ~v. Uma

63

64 CAPTULO 3. RELATIVIDADE

concluso imediata da definio de sistema inercial : Se S um sistema de coordenadas inercialento qualquer outro sistema S, que se move com velocidade constante em relao S, tambm um sistema de coordenadas inercial. De fato, se o movimento de um corpo livre descrito porS como sendo com velocidade constante, ento o sistema S tambm descrever o movimento docorpo livre como sendo com velocidade constante. O princpio de relatividade ento formuladocomo:

As leis que descrevem todos os fenmenos naturais so as mesmas em qualquer referencialinercial.

Esse o princpio de relatividade Restrita de Einstein. Note que o princpio de relatividadepoderia tambm ser chamado de princpio das leis absolutas, uma vez que, embora o relativosejam grandezas tais como as velocidades relativas dos referenciais inerciais, as leis fsicas no sorelativas, mas sim absolutas.

No domnio dos fenmenos da mecnica, o princpio de relatividade nada mais nada menosdo que o princpio de Relatividade de Galileu. De fato, sabemos que as leis na mecnica possuema mesma forma em todos os referenciais inerciais (por exemplo, o movimento de um pndulo descrito da mesma forma pelos tripulantes do foguete A (sistema S) ou do foguete C (sistema S)).Caso a mecnica fosse suficiente para fornecer a base conceitual para todos os fenmenos naturais,ento o assunto se encerraria por aqui. No entanto, os desenvolvimentos ocorridos na fsica ao longodo sculo 19, tornaram mais e mais evidente que a mecnica no fornece a mais completa descriodos fenmenos naturais 1. Veremos na seo seguinte qual foi o fenmeno chave que possibilitou odesenvolvimento da Relatividade Restrita como formulada por Einstein.

Antes disso vejamos de maneira mais qualitativa quais seriam as implicaes de uma violaodo princpio de relatividade. Se o princpio de relatividade no fosse verdadeiro ento diferentessistemas de coordenadas galileanos S0, S1, S2, etc., forneceriam uma descrio inequivalente para osfenmenos naturais. Neste caso, leis formuladas em um determinado referencial, e.g. S1, deveriamnecessariamente depender da velocidade deste referencial, relativamente a um referencial absolutoS0, onde as leis fsicas possuem outra descrio.

Em seu movimento em torno do Sol, a Terra viaja a uma velocidade de 30 km/s. Se o princpiode relatividade no fosse vlido, a direo do movimento da Terra deveria fazer parte das equaesque descrevem as leis da natureza. Considerando que a Terra muda a orientao de sua velocidadeao longo de sua rbita em torno do Sol, ela no pode estar o tempo todo em repouso relativamentea um determinado referencial S0.

3.3 Invarincia da velocidade da luz

O observao e a correta descrio dos fenmenos eletromagnticos, ao longo do sculo 19, culmi-naram com a descoberta feita por Maxwell de que a luz se propaga como uma onda eletromagnticacom velocidade c = 299.792.458m/s no vcuo2. Do ponto de vista da fsica do sculo 19, umaquesto relevante era: Em qual referencial a onda eletromagntica se propaga com velocidade c?Esse poderia ser tambm o nosso ponto de vista, uma vez que, como vimos na primeira parte destadisciplina, ondas se propagam em meios elsticos com uma determinada velocidade, em relao aomeio elstico. De fato, um observador que se move em relao ao meio de propagao observa aonda se propagando com uma velocidade menor (maior) quando sua velocidade paralela (anti-

1Em vista destes desenvolvimentos, chegou-se at mesmo a se colocar em questo a validade do princpio derelatividade.

2Estamos adotando o valor que atualmente introduzido como uma definio (sem incertezas). Outras grandezasfsicas, como a definio do metro, so derivadas a partir desta definio.

3.3. INVARINCIA DA VELOCIDADE DA LUZ 65

paralela) ao sentido de propagao da onda. Se utilizarmos, por exemplo, um referencial inercial S

em relao ao qual o meio elstico possui velocidade Vx, a velocidade v na equao de onda muda3, de acordo com as transformaes de Galileu da mecnica, para (veja a derivao nas equaes(3.4.1) e (3.4.2))

v = v Vx. (3.3.1)Por exemplo, no referencial que se move com a mesma velocidade da onda elstica, a velocidadeda onda v = 0 (utilizamos esta transformao na seo 1.2). importante ressaltar que estamossupondo que toda a derivao da equao de ondas permanece vlida no referencial S, ou seja,as leis de Newton so vlidas no referencial S (princpio de relatividade de Galileu). por essarazo que os fsicos do sculo 19 consideravam natural supor que a luz possua velocidade c em umdeterminado referencial. Era portanto uma questo importante determinar experimentalmente emque medida a velocidade relativa da Terra poderia modificar o valor de c.

Antes de passarmos ao famoso e belo experimento de Michelson e Morley, que investigou demaneira muito engenhosa o problema da velocidade da luz, importante mencionar que essa questotambm pode ser abordada de maneira conceitual. Para isso, preciso mencionar antes, que,como ser estudado na disciplina de eletromagnetismo, o fenmeno de propagao da luz (ondaseletromagnticas) uma conseqncia das famosas equaes de Maxwell. Caso estas equaesfossem vlidas apenas em um referencial S0, como sugere a analogia com as ondas elsticas, entoas equaes de Maxwell no constituiriam leis fsicas absolutas. Ou seja, o princpio de relatividadeno seria vlido para as equaes de Maxwell. Elas (as equaes) seriam meros resultados derivadosde leis mecnicas mais fundamentais, que requereriam portanto um determinado meio elstico emrelao ao qual as equaes de Maxwell, na sua forma usual seriam vlidas. Tal meio ficou conhecidocomo o ter.

Por outro lado, se insistssemos em supor que as equaes de Maxwell constituem leis fsicasvlidas em qualquer referencial inercial (princpio de relatividade), teramos ento uma contradio,uma vez que, de acordo com a equao (3.3.1),

c = c Vx. (3.3.2)

Ento, o que fazer se a natureza nos informar de maneira indubitvel que

c = c ? (3.3.3)

Mesmo do ponto de vista estritamente conceitual, temos a interessantssima questo sobre comoconciliar o princpio de relatividade com a equao (3.3.3).

Uma importante dica sobre como proceder consiste em notar que a equao (3.3.3) afirmaque c uma determinada velocidade que possui o mesmo valor em todos os referenciais. Mas agrandeza fsica velocidade a razo entre as grandezas distncia e tempo. Portanto, para quec tenha o mesmo valor em todos os referenciais inerciais, a transformao de Galileu, que, comosabemos no transforma o tempo (o tempo de Galileu-Newton o mesmo, absoluto, para todosos observadores), teria que ser modificada de modo a introduzir uma transformao tambm parao tempo, que compensasse a transformao de coordenadas. Como veremos a formulao precisadestas idias levou a um dos mais importantes desenvolvimentos de toda a histria da fsica. Oformalismo resultante, e sua posterior generalizao feita tambm por Einstein, constitui a baseconceitual de toda a fsica atual, onde o conceito de espao-tempo fundamental.

importante tambm ressaltar que embora o fenmeno de propagao da luz tenha servido umguia (base experimental), a relatividade e o conceito de espao-tempo, ancorado na existncia da

3Por simplicidade estamos considerando uma onda plana se propagando na direo x.

66 CAPTULO 3. RELATIVIDADE

constante fundamental c, no so de maneira alguma restritos apenas aos fenmenos eletromag-nticos. Ao contrrio, o eletromagnetismo, assim como todas as leias fundamentais da natureza, que so restringidos pelos conceitos da relatividade. Ou seja, h uma constante universal c (umabsoluto), que, por um acaso, a velocidade de propagao da luz no vcuo. Mas, mesmo seo eletromagnetismo no existisse, ainda assim o conceito de espao-tempo, ancorado na veloci-dade absoluta c, existiria. Em outras palavras, a teoria da relatividade a fsica do espao-tempoe qualquer refutao emprica deve necessariamente envolver modificaes na prpria estruturageomtrica do espao-tempo.

3.3.1 O experimento de Michelson e Morley

O material desta seo foi parcialmente baseado no captulo 6 da referncia [4].

Se de fato existisse um meio para a propagao de ondas eletromagnticas (o ter) poderamosdeterminar nossa velocidade em relao a este me