! 1 ci ti~i III IIIIIIIIIIIIIIIII~I IIIIII~sa tiij III~iiI~I~

OLUS LL80 NSSI

a

4

N o v a s a b o r d a g e n s

d a s m a t e m t i c a s g r e g a s :

f o n t e s , p r o b l e m a s

e p u b l i c a e s

W i l b u r R . K n o r r

E m b o r a a d o c w n e n t a o d i s p o n v e l s o b r e a s m a t e m t i c a s n a G r c i a a n t i g a s e j a l i m i

t a d a , a s q u e s t e s r e l a t i v a s s s u a s o r i g e n s e a o s e u d e s e n v o l v i m e n t o u l t e r i o r s u s c i t a m g r a n

d e i n t e r e s s e . A f a l t a d e c e r t e z a s l e v o u o s e s p e c i a l i s t a s , n a r e a l i d a d e , a p r o c u r a r e m n o v a s

m a n e i r a s d e r e c o n s t i t u i r o s r e s u l t a d o s p e r d i d o s , e a e s t a b e l e c e r c o r r e l a e s e n g e n h o s a s

c o m o u t r o s a s p e c t o s d o s p r i m e i r o s t e m p o s d o p e n s a m e n t o g r e g o . O e s t u d o d o s c o m n e n t r i o s

g r e g o s u l r e r i o r e s e d a s t r a d u e s r a b e s e l a t i n a s d a I d a d e M d i a p e r m i t i u d e s c o b r i r c e r

t o s e s c r i t o s i m p o r t a n t e s , c u j a v e r s o o r i g i n a l g r e g a d e s a p a r e c e r a . E s t e s a v a n o s t o r n a r a m

v i r t u a l m e n t e o b s o l e t o s o s t r a b a l h o s m a i s a n t i g o s , q u e e r a m c o n s i d e r a d o s a l t i m a p a l a v r a

n e s t e d o m n i o .

S u p o n h a m o s q u e a n i c a m a n e i r a d e t e r u m a i d e i a s o b r e a s m a t e m t i c a s c o n t e m p o r n e a s

c o n s i s t i r i a r e c o a s t i t u l a s a p a r t i r d o s l i v r o s e x i s t e n t e s n a b i b l i o t e c a p o s t a d i s p o s i o d o s

e s t u d a n t e s d o p r i m e i r o c i c l o d e u m a n i c a g r a n d e u n i v e r s i d a d e . S u p o n h a m o s . a l m d i s s o ,

q u e e s t e s l i v r o s s e d i s p e r s a r a m p o r d e z e n a s d e f u n d o s b i b l i o t e c r i o s , e q u e , a n t e s d e t e r e m

p o d i d o s e r r e u n i d o s , m u i t o s d e l e s f i c a r a m m a i s o u m e n o s e s t r a g a d o s , f r a c c i o n a d o s , o u a i n

p u t a d o s d a p g i n a e m q u e s e e n c o n t r a v a o t t u l o . E p r o j e c t e m o n o s s u f i c i e n t e m e n t e l o n g e

n o f u t u r o p a r a q u e e s s a r e c o n s t i t u i O d e V a s e r f e i l a n o c o n t e x t o d e u m a l n g u a e d e u m a c u l

t u r a e s t r a n g e i r a s , e n u m a l i n g u a g e m m a t e m t i c a i n t e i r a m e n t e d i f e r e n t e .

A c o m p r e e n s o d e s t e a m o n t o a d o c o n f u s o d e d o c u m e n t o s s e r i a , d e s d e o i n c i o , c o m p l i

c a d a p e l a s d i f i c u l d a d e s d e t r a d u o e p e l o s a n a c r o n i s m o s . A s i m p l e s i d e n t i f i c a o d o s a u

t o r e s d e s s a s o b r a s e d a s p r i n c i p a i s d e s c o b e r t a s , s e g u n d o u m a o r d e m c r o n o l g i c a e x a c i a , j

s e r i a p r o b l e m t i c a , e s e r i a a i n d a m a i s d i f c i l s i t u l a s n o s e u c o n t e x t o s o c i a l r e s p e c t i v o .

A l m d i s s o , s a l g u m a s d e s s a s o b r a s r e f e r i r i a m i n v e s t i g a e s e f a c i l m e n t e s e r a m o s t e n t a

W i l b u r R . K n o r r p r o f e s s o r d e h i s t r i a d a s c i n c i a s n a U n i v e r s i d a d e d e S t . a n f o r d . O s s e u s t r a

b a l h o s d e i n v e s t i g a o s o b r e a s m a t e m t i c a s a n t i g a s , e s o b r e a s u a t r a n s m i s s & o d u r a n t e o s p e r o

d o s m a i s r e c e n t e s d a A n t i g u i d a d e e d a I d a d e M d i a , f o r n e c e r a m m a t r i a p a r a m a i s d e t r i n t a a r

t i g o s e p a r a q u a t r o l i v r o s , o l t i m o d o s q u a i s t e m o t t u l o T e x t u a l S t u d i e s i n A n c i e n t a n d M e d i e u o Z

C e o m e t r y ( E s t u d o s d e T e x t o s d e G e o m e t r i a A n t i g a e M e d L e v a i ) ( B i r k h d u s e r , 1 9 8 9 ) . P r e p a r a , a c t u a l

m e n t e , u m e s t u d o s o b r e A r q u i m e d e s e u m a a n l i s e d o T i m e u , d e P l a t o . O s e u e n d e r e o : P r o g r a m

i a t h e H i s t o r y o f S c i e n c e s , E u i l d i n g 2 0 0 - 0 3 3 , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , C a l i f o n i i a 9 4 3 0 5 2 0 2 4 , E s t a

d o s U n i d o s d a A m r i c a .

2 9

W . A . K n o r r N o v a s a b o r d a g e n s d a s m a t e m t i c a s g n g a s

d o s a p e n s a r q u e o s m a t e m t i c o s d a n o s s a p o c a t i n h a m p a s s a d o a m a i o r p a r t e d o s e u t e m

p o a r e d i g i r m a n u a i s e l e m e n t a r e s d e a n l i s e e d e l g e b r a l i n e a r .

P o r m a i s d e s e s p e r a d o r a q u e p a r e a e s t a t a r e f a , a d o h i s t o r i a d o r d a s m a t e m t i c a s a n t i g a s

a i n d a p i o r . D i r e c t a o u i n d i r e c t a m e n t e , t o d a a i n v e s t i g a o l e v a d a a c a b o n e s t e d o m n i o e s

b a r r a c o m a f a t a l i d a d e d a p e r d a d e m a t e r i a l .

D o s c u l o V I I a o I X , a c u l t u r a p a s s o u , e m B i z n c i o , p o r u m p e r o d o s o m b r i o , c o m o a p a

r e c i m e n t o d o I s l o e c o m a q u e r e l a d a s i m a g e n s . D u r a n t e a p o c a m a i s e s t v e l , q u e c o m e

o u n o s c u l o I X , h u m a n i s t a s c o m o L e o , o F i l s o f o , F c i o e A t e n e u , l a n a r a m s e n a r e

c o l h a e r e c o n s t i t u i o d o s t e x t o s , a o m e s m o t e m p o q u e s e r e e s t a b e l e c i a a U n i v e r s i d a d e e m

C o n s t a n t i n o p l a . E d e s t e p e r o d o q u e s e p o d e m d a t a r a s p r i m e i r a s v e r s e s d a m a i o r p a r t e d o s

t e x t o s a n t i g o s , i n c l u i n d o o s t r a b a l h o s d e m a t e m t i c a q u e p o s s u m o s h o j e e m g r e g o . 2 U m e c r i

c o n s t i t u d o p e l o s c e n t r o s d e i n t e r e s s e d e s t e s s b i o s b i z a n t i n o s e p e l o s l i m i t e s d o q u e l h e s e r a

a i n d a a c e s s v e l , i n t e r p e s e , p o r t a n t o , e n t r e n s e a s v e r s e s m a i s a n t i g a s d e s t a s o b r a s . M a s

e s t a f i l t r a g e m r e m o n t a m e s m o a u m a p o c a m a i s a n t i g a . C o m e f e i t o , a s e s c o l a s h e l e n s t i c a s

d e A l e x a n d r i a , A t e n a s , C o n s t a n t i n o p l a , e t c . , n o a p r o f u n d a v a m a i n v e s t i g a o m a t e m t i c a

c o m o t a l , s e n o c o n t a r m o s c o m o e s t u d o d a a s t r o n o m i a e s u a s a p l i c a e s a s t r o l o g i a e a o s

h o r s c o p o s . O n e o p l a t o n i s m o o c u p a v a u m l u g a r p r e p o n d e r a n t e n o s p r o g r a m a s d e A t e n a s ,

n o m e a d a m e n t e c o m P r o c l o , n o s c u l o V , o a r i s t o t e l i s m o i n s p i r a v a o s s u c e s s o r e s d e A m o n i o

S a c a s , e m A l e x a n d r i a , n o s c u l o V I , e e r a n e s s e c o n t e x t o f i l o s f i c o q u e s e e s c o l h i a m a s f o n

t e s m a t e m t i c a s a e s t u d a r , N o , p o r t a n t o , s u r p r e e n d e n t e q u e p r e d o m i n e m a s o b r a s e l e m e n

t a r e s e n t r e a s q u e c h e g a r a m a t n s . o c a s o d o s E l e m e n t o s , d e E u c l i d e s . b a s e o b r i g a t r i a

d e q u a l q u e r e s t u d o s r i o d a g e o m e t r i a , q u e f o r a m e d i t a d o s p o r T o n d e A l e x a n d r i a ( f i n s d o

s c u l o I V ) , e c o m e n t a d o s p o r P r o c l o , e d o p r e m b u l o d o t r a t a d o d e A p o l n i o s o b r e a s c

n i c a s , i s t o , o s q u a t r o p r i m e i r o s d o s s c u s o i t o l i v r o s , q u e f o r a m e d i t a d o s e c o m e n t a d o s p o r

E u t c i o , d i s c p u l o d e A m o n i o S a c a s , e m A l e x a n d r i a ( p r i n c p i o s d o s c u l o V I ) . N e s t a s e d i

e s e c o m e n t r i o s , a s p r i o r i d a d e s d o s e s t u d o s f i l o s f i c o s t r a n s p a r e c e m n a s g l o s a s n e o p l a

t n i c a s d e P r o c l o e n o s e u d e s e n v o l v i m e n t o d a e s t r u t u r a l g i c a d e E u c l i d e s , b e m c o m o n o

f a c t o d e T o n e E u t c i o c o m p l e t a r e m a s d e m o n s t r a e s a c r e s c e n t a n d o l h e s m e s m o a s e t a

p a s i n t e r m d i a s e o s c a s o s p a r t i c u l a r e s m a i s e v i d e n t e s .

A s p e r g u n t a s q u e f a z e m a s i p r p r i o s o s h i s t o r i a d o r e s d e s t a d i s c i p l i n a d e r i v a m d o s e f e i

t o s d e s t a s f i l t r a g e n s . E m q u e m e d i d a a s o b r a s c h e g a d a s a t n s n o s d o u m a b o a i m a g e m d a s

m a t e m t i c a s ? C o m o p o d e r e m o s n s r e e n c o n t r a r , a p a r t i r d e s t a s e x p o s i e s f o r m a i s , r e l i a

b a l h a d a s , d o s p r o g r e s s o s m a t e m t i c o s , a s m a n e i r a s d e p e n s a r m a i s m a l e v e i s q u e t o m a r a m

p o s s v e i s e s t a s d e s c o b e r t a s ? C o m o p o d e r e m o s d e s c r e v e r a a c t i v i d a d e m a t e m t i c a d a s t r s

g r a n d e s f a s e s : o r i g e n s ( p e r o d o p r e u c l i d i a n o ) , m a t u r i d a d e ( e s s e n c i a l m e n t e o l I l s c u l o a ,

C j , d e s e n v o l v i m e n t o e t r a n s m i s s o ( p e r o d o s h e l e n s t i c o , b i z a n t i n o e m e d i e v a l ) ?

A t q u e p o n t o f i d e d i g n a a i m a g e m q u e t e m o s ?

P a r a r e s p o n d e r a e s t a p e r g u n t a p r e c i s o t e r a c e s s o a e d i e s d e t o d a s a s f o n t e s e s t a b e

l e c i d a s p o r e r u d i t o s . O s m a n u s c r i t o s g r e g o s q u e c h e g a r a m a t n s f o r a m o b j e c t o d e e s t u d o s

a p r o f u n d a d o s d e s d e o R e n a s c i m e n t o e u r o p e u ( s c u l o s X V e X V l ) . e f o r a m f e i t a s e d i e s c r f

t i c a s d o s g r a n d e s t r a t a d o s d e m a t e m t i c a , n o s c u l o X I X e p r i n c p i o s d o s c u l o X X , n o m e a

d a m e n t e , p e l o f i l l o g o d i n a m a r q u s J . L . H e i b e r g ( l 8 5 4 1 9 2 8 ) . ~ D e s d e e s s a a l t u r a , f o i p o s

s v e l e x p l o r a r u m c e r t o n m e r o d e t r a t a d o s , c u j o t e x t o g r e g o s e p e r d e u , g r a a s a t r a d u e s

e m ~ x a b e , 5 f e i t a s n o s c u l o I X , p a r t i c u l a r m e n t e o s M i r o i r s A r d e n t e s ( E s p e l h o s A r d e n t e s ) , d e

o c l e s ( c e r c a d e 2 0 0 a . C . ) , q u e f o r a m e d i t a d o s p o r G . J . T o o m e r , 6 o s l t i m o s l i v r o s d a s C

n i c a s , d e A p o l n i o , q u e j s e x i s t i a m e m r a b e , t e n d o s i d o t r a d u z i d o s p a n l a t i m p o r

E d m o n d H a l l e y , e m 1 7 1 0 , e d e p o i s , r e c e n t e m e n t e , p a r a i n g l s . p o r T o o m e r . c o m b a s e n u m

r e e x a m e d a s f o n t e s . ? q u a t r o l i v r o s d a s A r i t m t i c a s , d e D i o f a n t o , d o s q u a i s s e p o s s u a u m a

t r a d u o r a b e , c o m p l e t a n d o o s s e i s q u e e x i s t i a m e m g r e g o , q u e f o r a m e d i t a d o s i n d e p e n d e n

t e m e n t e p o r R . R a s h e d e J . S e s i a n o , e f r a g m e n t o s d e t r a t a d o s p e r d i d o s d e E u c l i d e s , A r q u i

m e d e s e A p o l n i o , q u e f o r a m t i r a d o s d e f o n t e s r a b e s p o r J . P . H o g e n d i j k .

E s t a s n o v a s e d i e s c o n t r i b u e m p a r a r e d u z i r o l u g a r e x c e s s i v o o c u p a d o p e l o s t r a b a l h o s

e l e m e n t a r e s , q u a n d o a p e n a s s e t o m a m e m c o n s i d e r a o o s t e x t o s d i s p o n v e i s e m g r e g o . O s

t e x t o s d e E u c l i d e s q u e c h e g a r a m a t n s n e s t a l n g u a s o a p e n a s o b r a s d e i n i c i a o . n o m e a

d a m e n t e o s E l e m e n s o s , o s D a d o s , a p t i c a , a C a t p t r i c a ( s o b r e a g e o m e t r i a d o s e s p e l h o s p l a

n o s e e s f r i c o s ) , o s F e n m e n o s ( s o b r e o s p r i n c p i o s e l e m e n t a r e s d a a s t r o n o m i a e s f r i c a ) e

a D i v i s o d o C n o n e ( s o b r e a h a r m o n i a m a t e m t i c a ) . M a s E n c l i d e s p r o d u z i u o b r a s d e n

v e l m a i s e l e v a d o , p a n i c u l a r m e n t e t r a t a d o s s o b r e a s c n i c a s e s o b r e o s p o n t o s s u p e r f c i e

( c u r v a s d e f i n i d a s e m s u p e r f c i e s ) q u e s e p e r d e r a m , c o m e x c e p o d o s s e u s P o r i s r n a s ( l e m a s

p a r a u m e s t u d o a p r o f u n d a d o d a g e o m e t r i a d o s s l i d o s , t a l v e z r e l a t i v o s s s e c e s c n i c a s )

q u e c h e g a r a m a t n s e m r a b e . D e i g u a l m o d o , a t r a d u o r a b e d a s C n i c a s d e A p o l n i o

c o m p r e e n d e s e t e d o s o i t o l i v r o s , e u m f r a g m e n t o d o l t i m o , e a b r a n g e . p o r t a n t o , n o s a p a r

t e e l e m e n t a r c o m o o t e x t o g r e g o ( l i v r o s I a I V ) , m a s t a m b m a p a r t e m a i s c o m p l e x a . A l m

d i s s o , t a m b m f o r a m c o n s e r v a d a s e m r a b e v e r s e s o u f r a g m e n t o s d e t r a t a d o s a p r o f u n d a

d o s d e A p o l n i o s o b r e a s c o n s t r u e s g e o m t r i c a s .

C o m b a s e a p e n a s n o s t e x t o s g r e g o s , s p o d e r e m o s r e b u s c a r a l g u m a s i n f o r m a e s p a r

c e l a r e s s o b r e e s t e t i p o d e t r a b a l h o s d e v a n g u a r d a , g r a a s a r e f e r n c i a s d i s p e r s a s e m c o m e n

t a d o r e s c o m o P r o c l o e E u t c i o e s o b r e t u d o n a s r e s u m i d a s e x p o s i e s d a C o l e c o d e P a p

p u s d e A l e x a n d r i a Q r i n c p i o s d o s c u l o I V ) , P a r t i c u l a r m e n t e , o l i v r o V I I d e P a p p u s d d e s

c r i e s . p l a n o s e l e m a s m a t e m t i c o s r e l a t i v o s s o b r a s d o c o r p o d e a n l i s e ( e s c r i t o s d e E u

c l i d e s . d e A p o l n i o e d e o u t r o s a u t o r e s , a c e r c a d a s c o n s t r u e s g e o m t r i c a s ) . C u r i o s a m e n

t e , e s t a a n t o l o g i a d e P a p p u s n o e r a n a d a c o n h e c i d a n o s e u t e m p o ( P r o c l o e E u t c i o , p o r

e x e m p l o , n o a e x p l o r a r a m ) , d e t a l m o d o q u e o f a c t o d e e l a t e r c h e g a d o a t n s , s o b a f o r

m a d e u m n i c o m a n u s c r i t o i m p e r f e i t o , d e v e s e r c o n s i d e r a d o c o m o u m f e l i z a c i d e n t e . E

c o n t u d o , e n t r e o s s c u l o s X V I e X I X , o t e s t e m u n h o d e P a p p u s i n s p i r o u m u i t o s g e m e t r a s ,

n o m e a d a m e n t e V i t e , F e r m a t , N e w t o n , S i m s o n e C h a s l e s , q u e p r o c u r a r a m r e c o n s t i t u i r o s

t r a t a d o s d e s a p a r e c i d o s . E s t e s t r a b a l h o s e s t o h o j e u t i l m e n t e c o m p l e t a d o s p e l o s t e x t o s r a

b e s r e c e n t e m e n t e r e u n i d o s p o r H o g e n d i j k .

A o c o n t r r i o d o s e s c r i t o s d e E u c l i d e s e d e A p o l n i o , q u e c h e g a r a m a o s n o s s o s d i a s e m

g r e g o , o s t r a b a l h o s d e A r q u i m e d e s ( a c t i v o e m S i r a c u s a n a s e g u n d a m e t a d e d o s c u l o I I I a .

C . , f a l e c i d o e m 2 1 2 ) q u e p o s s u m o s , n o s o m a n u a i s e l e m e n t a r e s , m a s s o b r e t u d o c o m u n i

c a e s d e i n v e s t i g a e s e n v i a d a s a o s s e u s c o l e g a s D o s i t e u e E r a s t t e n e s , e m A l e x a n d r i a .

H a l g u m a s e x c e p e s c o m o o l i v r o I , S o b r e o E q u i l b r i o d o s P l a n o s , q u e a p r e s e n t a e l e m e n

t o s d a d e t e r m i n a o d o c e n t r o d e g r a v i d a d e d a s f i g u r a s p l a n a s , o A r e n r i o , o b r a d e d i v u l

g a o s o b r e a a r i t m t i c a , c o m d i g r e s s e s i n t e r e s s a n t e s r e l a t i v a s c o s m o l o g i a , a s t r o n o m i a

e g e o m e t r i a , e a M e d i d a d o C r c u l o , t r a t a d o e l e m e n t a r d e q u e c h e g o u a t n s u m f r a g m e n

t o a l t e r a d o d a o b r a o r i g i n a l . 4 A o c o n t r r i o , o s o u t r o s t r a t a d o s , c e r c a d e u m a d e z e n a , a p r e

s e n t a m n o v o s r e s u l t a d o s , o u o u t r o s c u j a s d e m o n s t r a e s s o n o v a s . T r a t a m d a r e a d o s

s e g m e n t o s p a r a b l i c o s , d a s u p e r f c i e e d o v o l u m e d a e s f e r a e d o s s e g m e n t o s e s f r i c o s , d o

v o l u m e d a s f o r m a s c n i c a s d e r e v o l u o e d a e s t a b i l i d a d e d o s p a r a b o l i d e s f l u t u a n t e s e d a s

p r o p r i e d a d e s d a s e s p i r a i s . E m t o d o s o s c a s o s , a s c o n s t r u e s e a s d e m o n s t r a e s s o f e i t a s

d e m a n e i r a t o r i g o r o s a q u e s e r v i r a m d e m o d e l o s e x p o s i e s g e o m t r i c a s f o r m a i s d o s m a

t e m t i c o s q u e v i e r a m d e p o i s d e l e , d e s d e a A n t i g u i d a d e a t a o s c u l o X V I I .

3 0

anabelaHighlight

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W . R . K n o n

N o u a s a b o r d a g e n s d a s m a t e m t i c a s g r ~ g a s

A r e c o n s t i t u i o d a s d e s c o b e r t a s

P o r q u e o t e x t o d a s o b r a s d e A r q u i m e d e s g e r a l m e n t e d e b o a q u a l i d a d e , a s i n v e s t i g a e s

i n c i d i r a m n a e x p l i c a o d o s p o r m e n o r e s t c n i c o s o u n a r e c o n s t i t u i o & p e n s a m e n t o

h e u r s t i c o e m q u e s e a p o i a m a s s u a s c o n s t m e s f o n n a i s ? O p r p r i o A r q u i m e d e s U n h a u m

o r g u l h o e s p e c i a l q u a n t o a o p o d e r h e u r s t i c o d a q u i l o a q u e s e c h a m a v a o s e u m t o d o m e -

c n i c o . C o n s i d e r a n d o u m a d e t e r m i n a d a f i g u r a g e o m t r i c a ( p o r e x e m p l o , u m s e g m e n t o d e

e s f e r a o u d e c o n i d e ) c o m o u m o b j e c t o m a t e r i a l , e c o r t a n d o a n a s s u a s c o m p o n e n t e s i n d i

v i s v e i s ( p o r e x e m p l o , a s s e c e s c i r c u l a r e s p a r a l e l a s q u e c o m p e m u m s l i d o d e r e v o l u

o ) , e p e s a n d o a s d e p o i s u m a p o r u m a n u m a b a l a n a i d e a l , A r q u i m e d e s c o n s e g u i a c a l c u

l a r o s e u v o l u m e o u d e t e r m i n a r o s e u c e n t r o d e g r a v i d a d e . E m b o r a s e c o l o q u e n a d e f e n s i

v a q u a n d o f a l a d o s e u m t o d o , e a d m i t a q u e n o s e p o d e m c o n s i d e r a r o s r e s u l t a d o s q u e c o m

e l e s e o b t m c o m o e s t a n d o r i g o r o s a m e n t e d e m o n s t r a d o s s e m q u e t e n h a m s i d o c o n f i r m a d o s

p o r u m a d e m o n s t r a o g e o m t r i c a f e i t a c o m o d e v e s e r , r e c o m e n d a o , n o e n t a n t o , c o m o u m

f e c u n d o u t e n s i i o d e i n v e s t i g a o . E l e u t i l i z a u m a f o r m a d e s e m t o d o n a Q u a s u r a d a P a

r b o l a ( p r o p o s i e s 6 a 1 5 ) p a r a m e d i r o s e g m e n t o p a r a b l i c o . C o n t u d o , a e x p o s i o p r i n

c i p a l a p a r e c e n o s e u M t o d o , o b r a q u e s f o i c o n h e c i d a p o r a l g u n s c o m e n t a d o r e s g r e g o s , m a s

q u e n o f i g u r a n a r e c o l h a p r i n c i p a l d o s s e u s e s c r i t o s n e m d a s o b r a s d e q u e d i s p u n h a m o s g e

m e t r a s r a b e s . F o i s n o p r i n c p i o d e s t e s c u l o q u e H e i b e r g , p e r c o r r e n d o u m c a t l o g o d e m a

n u s c r i t o s p u b l i c a d o p o u c o a n t e s , s e a p e r c e b e u d e q u e u m m a n u s c r i t o d e C o n s t a n t i n o p l a

i n c l u a t e x t o s d e A r q u i m e d e s . E n c o n t r o u n e s s e m a n u s c r i t o o M t o d o e o u t r o s e s c r i t o s , a l

g u n s d o s q u a i s j e r a m c o n h e c i d o s e o u t r o s e r a m n o v o s , e i n s e r i u o s d e p o i s , c o m o s m a n u s

c r i t o s c o n h e c i d o s a n t e r i o r m e n t e , n u m a n o v a e d i o d a o b r a d e A r q u i m e d e s ( 1 9 1 0 _ 1 9 1 5 ) . 1 6

A r q u i m e d e s m e n c i o n a , p o r v e z e s , a l g u n s d o s s e u s p r p r i o s e s c r i t o s q u e n o c h e g a r a m

a t n s , c o m o o s E q u i l b r i o s , t r a t a d o s o b r e o s c e n t r o s d e g r a v i d a d e d o s s l i d o s , e f i z e r a m

s e a l g u m a s t e n t a t i v a s p a r a o s r c c o n s t i t u i r , p a r t i n d o d e i n d i c a e s e n c o n t r a d a s n a s o b r a s q u e

p o s s u m o s ) 7

T e m o s t a m b m a t r a d u o r a b e d e a l g u n s o p s c u l o s d e A r q u i m e d e s . , n o m e a d a m e n

t e , o c a s o d a C o n s t r u o d o H e p t g o n o R e g u l a r , j m e n c i o n a d a ( n o t a 9 ) . T e m o s a i n d a v e r

s e s , t a n t o r a b e s c o m o l a t i n a s , d e a l g u m a s p e q u e n a s o b r a s s o b r e a b a l a n a ( o K a r a s t o n .

o u a b a l a n a r o m a n a ) , q u e s e b a s e i a m n o s p r i n c p i o s d e e s t t i c a d e A r q u i m e d e s , e b e m

p o d e r i a m t e r o r i g e m n u m a s u a o b r a a u t n t i c a : S o b r e a s B a l a n a s . M a s , e x c e p t u a n d o e s

t a , o s t e x t o s r a b e s e s c l a r e c e m m e n o s s o b r e a o b r a d e A r q u i m e d e s d o q u e s o b r e o s o u t r o s

a u t o r e s j m e n c i o n a d o s , 9 P o d e m o s , n o e n t a n t o , c o m p a r a r a s v e r s e s r a b e s ( o u , e v e n t u a l -

m e n t e , a s v e r s e s c o r r e s p o n d e n t e s e m h e b r e u e l a t i m ) c o m o s t e x t o s g r e g o s q u e i g u a l m e n

t e c h e g a r a m a t n s . E s t a c o m p a r a o p a r t i c u l a r m e n t e i n s t r u t i v a p a r a a M e d i d a d a C f r c i s

l o e p a r a a E s f e r a e C i l i n d r o , p o i s r e v e l a d i f e r e n a s i m p o r t a n t e s , q u e c o r r e s p o n d e m a d i v e r

g n c i a s d e f o r m u l a o n o s t e x t o s t r a d i c i o n a i s a n t i g o s , e l e v a m 7 n o s a p e n s a r q u e a t r a d i o

m e d i e v a l t a l v e z s e b a s e i e n u m a v e r s o m a i s a n t i g a e d e m e l h o r q u a l i d a d e d o q u e a v e r s o

g r e g a d e q u e d i s p o m o s ?

A s O r i g e n s

A s i n d i c a e s o b t i d a s p o r A r q u i m e d e s t a m b m p o d e m m o d i f i c a r a s n o s s a s c o n c e p e s

r e l a t i v a s a o p e r o d o p r c u c l i d i a n o d e g e o m e t r i a g r e g a . P o r e x e m p l o , a t c n i c a i n a b i t u a l d a s

p r o p o r e s , q u e A r q u i m e d e s e m p r e g a n a s u a d e m o n s t r a o d o p r i n c p i o d o e q u i l b r i o e s t -

t i c o , n a s p r o p o s i e s 6 e 7 d o E q u i l b r i o d o s P l a n o s , l e v o u m e a d e s c o b r i r o u t r o s i n d c i o s

r e v e l a d o r e s d e q u e e s t a t c n i c a f o i u m a p r e c u r s o r a d a t e o r i a d a s p r o p o r e s d o l i v r o V d o s

E l e m e n t o s , d e E u c l i d e s , e d e q u e f o i e l a e n o a s u a f o r m a e u c l i d i a n a , q u e E u d x i o d e C a i -

d o u t i l i z o u p e l a p r i m e i r a v e z ( c e r c a d e 3 5 0 a C . ) . 2 E m p r i n c p i o , p a r e c e r a z o v e l e x p l o r a r

a s s i m a s o b r a s d e A r q u i m e d e s , v i s t o t e r e l e v i v i d o n u m a p o c a p r x i m a d a d e E u c l i d e s

n a r e a l i d a d e , p o s s v e l q u e a s u a o b r a m a i s a n t i g a ( d a t a d a d e c e r c a d e 2 5 0 a C . , o m e s m o

m a i s c e d o ) t e n h a a p a r e c i d o q u a n d o E u c l i d e s ( a c t i v o c e r c a d o a n o 3 0 0 e m a i s t a r d e ) e s t a v a

a i n d a v i v o , p o d e n d o p e n s a r - s e q u e A r q u i m e d e s a i n d a t i n h a a c e s s o a t e x t o s p r - e u c l i d i a n o s .

P a r a a l m d i s s o , o s r e c u r s o s d e q u e d i s p o m o s p a r a e s t u d a r o p e r o d o a n t e r i o r s o m u i

t o l i m i t a d o s , t e n d o o e s f o r o f e i t o p o r E u c l i d e s , n o s E l e m e n t o s , p a r a r e s u m i r o c o n j u n t o d o s

c o n h e c i m e n t o s n o d o m n i o e s t u d a d o , o b t i d o c o m o r e s u l t a d o , a p r a z o , s u p l a n t a r o s t e x t o s

m a i s a n t i g o s . A p e n a s a l g u m a s d e z e n a s d e a n o s a n t e s d e E u c l i d e s , E u d m i o d e R o d e s , d i s

c p u l o d e A r i s t t e l e s , e s c r e v e u u m a H i s t r i a d a G e o m e t r i a , q u a l c o m e n t a d o r e s c o m o P r o

d o s , E u t c i o e S i m p l i c i u s a i n d a t i n h a m a c e s s o ( i n t e g r a l m e n t e o u p o r m e i o d e f r a g m e n t o s )

n o V I s c u l o d . C . , m a s q u e n o c h e g o u a t n s . S e g u n d o E u d m i o , S i m p l i c i u s , p o r e x e m

p l o . d e s c r e v e u p o r m e n o r i z a d a m e n t e u m a s r i e d e c o n s t r u e s e m e d i d a s d e s u p e r f c i e d e f i

g u r a s e m f o r m a d e c r e s c e n t e ( a s l n u l a s ) f e i t a s p o r H i p c r a t e s d e Q u i o s , g r a n d e g e d m e t r a

a c t i v o c e r c a d e 4 0 0 a . C . ~ T r a t a s e , a q u i , d e u m d o s d o i s n i c o s f r a g m e n t o s v e r d a d e i r o s d e

e s c r i t o m a t e m t i c o q u e s u b s i s t i u a p s o p e r o d o p r e u c l i d i a n o . s e n d o o o u t r o u m a c u r t a d e

m o n s t r a o a c e r c a d a s r e l a e s , p o r A r q u i t a s d e T a r e n t o , c o n t e m p o r n e o e a m i g o d e P I a -

t o , d o q u a l p o s s u m o s u m a t r a d u o e m l a t i m f e i t a p e l o f i l s o f o r o m a n o B o c i o ( c e r c a d e

5 0 0 d . C . ) q u e f i g u r a n a s u a i n t r o d u o t e o r i a h a r m n i c a ? H o u t r o s d o c u m e n t o s , a l g u n s ,

q u e p o d e m , a p e s a r d e t u d o , s e r c o n s i d e r a d o s c o m o f r a g m e n t o s d e e s c r i t o s ? S e a c r e s c e n t a r

m o s a i s t o a s n o t a s r e l a t i v a s h i s t r i a a n t i g a q u e s e e n c o n t r a m d i s p e r s a s n o s c o m e n t a d o r e s

t a r d i o s , b e m c o m o o t e s t e m u n h o c o n t e m p o r n e o d e f i l s o f o s c o m o A r i s t t e l e s , P l a t o , c a l

g u n s p r s o c r t i c o s , q u e s o l e v a d o s , d e v e z e m q u a n d o , a f a z e r u m a o b s e r v a o s o b r e p r o

b l e m a s d e m a t e m t i c a s , t e r e m o s d a d o v i r t u a l m e n t e a v o l t a d o c u m e n t a o d e q u e d i s p o

m o s s o b r e o s c o m e o s d a s m a t e m t i c a s g r e g a s .

P o d e r i a p e n s a r s e q u e a p o b r e z a d e s t a d o c u m e n t a o l i m i t a r i a m u i t o a s i n v e s t i g a e s

s o b r e e s t e p e r o d o , m a s a s r e f l e x e s s o b r e a s o r i g e n s d a s m a t e m t i c a s g r e g a s d u r a n t e o p e

n o d o p r - e u c l i d i a n o o c u p a m , p e l o c o n t r r i o , u m e s p a o m a i s a m p l o d o q u e o d e t o d o s o s

o u t r o s a s p e c t o s d a s u a h i s t r i a . A f a l t a d e d o c u m e n t a o i n c i t a a o e s f o r o p a r a c o l m a t a r a s

l a c u n a s , a o m e s m o t e m p o q u e s e p o u p a a o s i n v e s t i g a d o r e s o c o n t r o l o d a s h i p t e s e s , o q u a l

l h e s h a b i t u a l m e n t e i m p o s t o p e l o s f a c t o s . E s t a s i n v e s t i g a e s e x i g e m e n g e n h o n a r e c o n s

t r u o m a t e m t i c a d o s r e s u l t a d o s p e r d i d o s e n o e s t a b e l e c i m e n t o d e c o r r e l a e s e n t r e e s s a s

m a t e m t i c a s d e s a p a r e c i d a s e o s o u t r o s a s p e c t o s d o s p r i m e i r o s e s t d i o s d o p e n s a m e n t o g r e

g o , a c e r c a d o s q u a i s p o s s u a m m u i t a s v e z e s t o p o u c o s d o c u m e n t o s c o m o e m m a t e m t i c a s ,

N e s t e d o m n i o , p o r m , n o f o i o e n g e n h o q u e f a l t o u ?

H c e r c a d e u m s c u l o , c o n s i d e r a v a s e c o r r e n t e m e n t e o p r i n c p i o d a s m a t e m t i c a s g r e

g a s c o m o u m a s p e c t o d o m i l a g r e g r e g o , a e m e r g n c i a d e u m a n o v a c u l t u r a , n o m e a d a

m e n t e d o p e n s a m e n t o r a c i o n a l , d a c i n c i a e d a f i l o s o f i a , s e m p r e c e d e n t e s n a h i s t r i a d a

h u m a n i d a d e . E s t a i d e i a f o i p o s t a e m c a u s a c o m a d e s c o b e r t a d o p a p i r o m a t e m t i c o d e R h i n d ,

q u e a c p i a d e u m o r i g i n a l q u e r e m o n t a a c e r c a d e 1 7 0 0 a C . , m o s t r a n d o q u e , m a i s d e u m

m i l n i o a n t e s d a G r c i a c l s s i c a , o s e g p c i o s t i n h a m c o m p e t n c i a s i m p r e s s i o n a n t e s e m m a

t e m t i c a d e b a s e e e m m e d i d a s ? 6 A d e c i f r a o d a s t b u a s m a t e m t i c a s m e s o p o t m i c a s d a

d i n a s d a d e H a m u r a b i ( c e r c a d e 1 8 0 0 a . C . ) a i n d a m a i s p e r t u r b a n t e p a n o s h e l e n f i l o s , p o r

m o s t r a r e m c l a r a m e n t e q u e e s t a t r a d i o m a i s a n t i g a d o P r x i m o O r i e n t e a p r e s e n t a v a

g r a n d e s s e m e l h a n a s c o m c e r t o s a s p e c t o s d o s p r i n c p i o s d a g e o m e t r i a g r e g a , p o d e n d o

p o r t a n t o s e r a s u a f o n t e . E e s p a n t o s o v e r i f i c a r q u e o s m t o d o s p e l o s q u a i s o s m e s o p o t

m i c o s r e s o l v i a m o s p r o b l e m a s q u a d r t i c o s e n c o n t r a m e c o n a s r e l a e s g e o m t r i c a s , d o q u e

3 2

3 3

anabelaHighlight

W . 1 ? . K r s o n

N o v a s a b o r d a g e n s d a s m a k m t i c a s g r e g a s

o s l i v r o s ! ! e V i d e E u c i d e s d o u m a d o c u m e n t a o , e n a s u a a p l i c a o n o s D a d o s . E s t a s

a n a l o g i a s l e v a r a i l i s b i o s c o m o O . N e u b e g a u e r e B . L . v a n d e r W a e r d e n a a f i r m a r o p r i n c

p i o d a c o n t i n u i d a d e d e u m a t r a d i o d e l g e b r a g e o m t r i c a , c o m o r i g e m e n t r e o s m e s o

p o t m i c o s e t r a n s m i t i d a a o s g r e g o s d u r a n t e o p e r o d o p r 6 e u c l i d i a n o . ~ E s t e p o n t o d e v i s -

l a t e m s i d o o b j e c t o d e c o n t r o v r s i a s d e a l g u n s a n o s p a r a c ; m u i t o c o n t e s t a d o , p a r t i c u l a r -

m e n t e p o r 5 . U n g u r u , o q u a l p r e t e n d e q u e a s i m p l e s i d e i a d e q u e e s t e s d o c u m e n t o s a n t i g o s

c o n t e n h a m l g e b r a , g e o m t r i c a o u n o , c o n s t i t u i u m a n a c r o n i s m o f l a g r a n t e ? D e s d e e n t o ,

o s c i e n t i s t a s t m e m i t i d o o p i n i e s v r i a s s o b r e e s t a s d u a s q u e s t e s ( a v a l i d a d e d a n o o d e

l g e b r a g e o m t r i c a e a c o n t i n u i d a d e d a s t r a d i e s m a t e m t i c a s d a M e s o p o t m i a p a r a a g r e

g a ) a t a l p o n t o q u e , a c t u a l m e n t e , d e v e m o s c o n s i d e r l a s e m s u s p e n s o .

R e m o n t a n d o a i n d a m a i s l o n g e n o t e m p o , V a n d e r W a e r d e n t e n t o u l i g a r a s m a t e m t i c a s

g r e g a s a u m a h i p o t t i c a t r a d i o p r h i s t r i c a , S e g u n d o e s t e a u t o r , c e r t a s s e m e l h a n a s e n

t r e a s m a t e m t i c a s d a A n t i g u i d a d e e g p c i a , m e s o p o t m i c a , c h i n e s a , h i n d u e g r e g a l e v a m a

p o s t u l a r u m a p r o t o i n a t e m t i c a q u e t e r i a n a s c i d o , s e g u n d o e l e , n a s t r i b o s a r i a n a s n e o l t i c a s

d a E u r o p a C e n t r a l ( o p o v o d o s v a s o s c a m p a n i f o r m e s ) n o I V o u I I I m i l n i o a . C . A s h i

p t e s e s d e A . S e i d e n b e r g . b a s e a n d o s e n u m a c o m p a r a o s e l e c t i v a d e e l e m e n t o s g r e g o s e

h i n d u s , a f i r m a m q u e a s m a t e m t i c a s t m o r i g e m n o s r i t o s r e l i g i o s o s , q u e s o d a m e s m a n a

w r e z a ? 1 E s t e s d o i s p o n t o s d e v i s t a o b t i v e r a m a l g u n s d e f e n s o r e s , p a r t i c u l a r m e n t e e n t r e o s e s

p e c i a l i s t a s d a a r q u e o a s t r o n o m i a ( a r e c o n s t i t u i o d a a s t r o n o m i a p r h i s t r i c a a p a r t i r

d o s v e s t g i o s a r q u e o l g i c o s c o m o o s c r c u l o s d e p e d r a d e S t o n e h e n g e . e o u t r o s l o c a i s d a

G r B r e t a n h a e d o N o r o e s t e d a F r a n a ) . C o n t u d o , i n s i s t i n d o n a s o r i g e n s p r h i s t r i c a s d a s

m a t e m t i c a s , e n a s u a t r a n s m i s s o d e s d e e s s a p o c a , V a n d e r W a e r d e n e S e i d e n b e r g s u b e s

t i m a m a p o s s i b i l i d a d e , e , d e f a c t o , a p r o b a b i l i d a d e m u i t o m a i o r d a t r a n s m i s s o e n t r e a s c u l

t u r a s c o n h e c i d a s d a p o c a h i s t r i c a . A l m d i s s o , a t e s e d e S e i d e n b e r g a t r i b u i u m a i m p o r t i n

c i a e x a g e r a d a a u m a o u d u a s h i s t o r i e t a s q u e s o a s n i c a s d a t r a d i o g r e g a q u e e s t a b e l e c e m

u r n a l i g a o e n t r e o s r i t o s e a g e o m e t r i a . 2 N o p o d e m o s , p o r t a n t o , c o n s i d e r a r e s t a s c o n c e p

e s m u i t o p l a u s v e i s .

O u t r o p r o b l e m a m u i t o d e b a t i d o , m a s e x t r e m a m e n t e d i f c i l , o d a s o r i g e n s d a d e m o n s

t r a o e x p l c i t a , t o c a r a c t e r s t i c a d a g e o m e t r i a g r e g a , e q u e n o e x i s t e n a s t r a d i e s a n t e

r i o r e s . Q u a n t o a o m o m e n t o e m q u e a p a r e c e u e m a n e i r a c o m o s e r e a l i z o u e s t a m u d a n a d e

m t o d o , c o r r e s p o n d e n t e a o d e s e n v o l v i m e n t o d o r a c i o n a l i s m o g r e g o c o m o s p r s o c r t i c o s ,

f o i a f i r m a d a a i d e i a , n o m e a d a m e n t e p o r A . S z a b , d e q u e a e v o l u o f i l o s f i c a s e r v i u d e m o

d e l o g e o m e t r i a . 3 S e g u n d o e s t a t e s e , o s d e s a f i o s d i a l c t i c o s d o s E l e a t a s , P a r m n i d e s e

Z e n o , n o V I s c u l o a . C . o b r i g a r a m P i t g o r a s e o s s e u s d i s c p u l o s a a p r e s e n t a r e m d e f m i

e s e x p l c i t a s e d e m o n s t r a e s l g i c a s p a r a a s p r o p o s i e s f u n d a m e n t a i s d a a r i t m t i c a

( t e o r i a d o s n m e r o s ) e d a g e o m e t r i a , e a r e s p o s t a d o s g e m e t r a s , t r a n s m i t i d a p o r P l a t o ,

c o n s t i t u i a b a s e d a f o r m u l a o r i g o r o s a d o s p r i n c p i o s m a t e m t i c o s n o s E l e m e n t o s , d e

E u c l i d e s .

E s t a t e s e t e v e u m a c o l h i m e n t o f a v o r v e l , o u m e s m o e n t u s i a s t a , e m a l g u n s a u t o r e s , p a r t i

c u l a r m e n t e n o s h i s t o r i a d o r e s d a f i l o s o f i a a n t i g a , m a s f o i c r i t i c a d a p o r o u t r o s , q u e a c e n s u

r a v a m p o r d a r u m p e s o e x c e s s i v o s i n f e r n c i a s b a s e a d a s e m p a s s a g e n s o b s c u r a s o u

f r a g m e n t r i a s ? O f a c t o d e e s t e s p r i n c p i o s d a e s c o l a p i t a g r i c a s e r e m u m d o s a s p e c t o s d o s

p r i m e i r o s e s t g i o s d o p e n s a m e n t o g r e g o s o b r e o s q u a i s o s d o c u m e n t o s s o m a i s r a r o s , n o

t o r n a a s c o i s a s m a i s f c e i s ? 5 N o e n t a n t o , o d e b a t e i n c i d e i g u a l m e n t e s o b r e a q u e s t o f u n d a

m e n t a l d a r e l a o e n t r e a s d u a s d i s c i p l i n a s n a q u e l a p o c a . C o m e f e i t o , d e v e r e m o s n s . c o m o

a l g u n s p r e t e n d e m a p r i o r i , s u b o r d i n a r a s m a t e m t i c a s f i l o s o f i a . e c o l o c a r a s s i m n o c e n t r o

d o d e s e n v o l v i m e n t o d a g e o m e t r i a a l g u m a f i g u r a . c o m o D e m c r i t o O u H i p i a s d e E l i s e o u t r o s

s o l i s t a s ? O u d e v e r e m o s , p e l o c o n t r r i o , d a r u m a m a i o r a u t o n o m i a g e o m e t r i a n a a r t i c u l a

o d o s s e u s m t o d o s e n a r e s o l u o d o s s e u s p r o b l e m a s , c o m o d e f e n d e K n o r r V 6

A l g u n s e s t u d o s r e l a t i v o s a e s t e m e s m o g n e r o d e q u e s t e s i l u d e m e s t a d i c o t o m i a . H . R .

M e n d e l l . p a r a e s t a b e l e c e r o s f u n d a m e n t o s d a s u a e x p o s i o s o b r e a t e o r i a d o r a c i o c n i o c i e n

f i c o , d e A r i s t t e l e s , t o m a i n t e i r a m e n t e e m c o n s i d e r a o o c o n t e x t o d a i n v e s t i g a o m a t e

m t i c a d a p o c a , s e m t e r d e s e p r o n u n c i a r s o b r e a d i r e c o d a s c o r r e n t e s d e i n f l u n c i a D o

m e s m o m o d o , ! . M u e i l e r b a s e i a a s u a d e s c r i o d a s p o s i e s d e E u e i d e s a c e r c a d o s f u n d a

m e n t o s d a s m a t e m t i c a s n u m e x a m e d a e s t r u t u r a l g i c a d o s E l e m e n t o s , e n o s e s e n t e .

p o r t a n t o . c o m p e l i d o a i n t e r r o g a r s e s o b r e s e E u c l i d e s e r a p l a t n i c o o u s e a d e r i a a o u t r a

d o u t r i n a f i l o s f i c a .

A a p r o x i m a o e n t r e o s E l e m e n t o s e a l g u m a s p a s s a g e n s d a s o b r a s d e A i i s t t e l e s , P i a -

t o e o u t r o s f i l s o f o s d a G r c i a a n t i g a r e l a c i o n a d a s c o m a s m a t e m t i c a s , s e r v i u d e b a s e a

e s p e c u l a e s s o b r e o d e s e n v o l v i m e n t o d e a s p e c t o s t c n i c o s d a g e o m e t r i a p r - e u c i d i a n a , e

n o m e a d a m e n t e s o b r e o s p r i n c p i o s d a t e o r i a d o s i r r a c i o n a i s . K n o r r , p o r e x e m p l o , e s t u d o u

d o c u m e n t o s q u e p o d e r i a m e s t a r l i g a d o s s d e s c o b e r t a s i n i c i a i s e s u a e x p a n s o , e p r o p s

a r e c o n s t i t u i o d e t r a b a l h o s d e p e s s o a s a s s o c i a d a s a P l a t o : T e e t e t o ( c e r c a d e 3 8 0 a . C . ) e

E u d x i o ( c e r c a d e 3 5 0 a C . ) . q u e t i v e r a m o s e u d e s f e c h o n o l i v r o X d o s E l e m e n t o s ? D e p o i s

d i s t o . C . S . T a i s b a k , p o r s e u l a d o , d e s e n v o l v e u c o n s i d e r a e s m u i t o s e m e l h a n t e s n a s u a

e x p o s i o s o b r e a t e o r i a d o s i r r a c i o n a i s d e E u c l i d e s . A p a r t i r d e u m a i d e i a l a n a d a p o r O .

B e c l c e r e a p r o f u n d a d a p o r v a n d e r W a e r d e n , q u e s e b a s e i a e m p a r t e n o t e s t e m u n h o d e x i s

t t e l e s , K n o r r t a m b m d e s c r e v e u u m a f o r m a p r i m i t i v a d a t e o r i a d a s p r o p o r e s , q u e p o d e

s e r a t r i b u d a a o g e m e t r a a t e n i e n s e T e e t e t o , e b a s e a d a n a d i v i s o d i t a e u c l i d i a n a , o u

a n t h y p h a i r e s i s . 4 D . H . F o w l e r d e s e n v o l v e u e s t e p o n t o d e v i s t a p a r a e l a b o r a r u m a a m b i

c i o s a t e o r i a g e o m t r i c a d o s i r r a c i o n a i s , m u i t o d i f e r e n t e d a s t e o r i a s q u e n o s f o r a m t r a n s m i

t i d a s , m e s m o d e E u c l i d e s , m a s m u i t o t e n t a d o r a s e a c o m p a r a r i n o s c o m u m c e r t o n m e r o d e

p a s s a g e n s o b s c u r a s d e P l a t i l o e d e o u t r o s a u t o r e s . A b a r c a n d o u m a g r a n d e p a r t e d o m e s m o

d o m n i o , m a s m u i t o c r t i c o q u a n t o a t r a b a l h o s c o m o o s q u e a c a b a m d e s e r m e n c i o n a d o s , R .

H e r z F i s c h l e r r e u n i u o s e l e m e n t o s d e u m a h i s t r i a d a d i v i s o d e u m s e g m e n t o e m e x t r e

m a e m d i a r a z o ( m a i s c o n h e c i d a p e l o n o m e d e s e c o d o u r a d a o u n m e r o d e o u r o ) , q u e

c o n s t i t u i u m c a s o p a r t i c u l a r d e i r r a c i o n a i s . 4 3 I n d e p e n d e n t e m e n t e d e s t e s t r a b a l h o s , T . M u r a t a

t e n t o u r e a l i z a r , d e m a n e i r a d i f e r e n t e , u m a s n t e s e d a s c o n s t r u e s p r e u c l i d i a n a s d o s s l i

d o s r e g u l a r e s e d o s i r r a c i o n a i s .

T o d o s e s t e s t r a b a l h o s v i s a m e s s e n c i a l m e n t e d e t e r m i n a r a o r d e m h i s t r i c a e a s m o t i v a

e s e m q u e s e a p o i o u a c o o r d e n a o , p o r E u c l i d e s , n o s E l e m e n t o s , d o s d i v e r s o s d o m n i o s

d a g e o m e t r i a . E . N e u e n s c h w a n d e r p u b l i c o u u m a s r i e m u i t o c o m p l e t a d e e s t u d o s d e s t e t i p o ,

c o m o b j e c t i v o s d e r e c o n s t r u o . * B . A r t m a n n t e n t o u a l a r g a r e s t a s i n v e s t i g a e s .

B a s e a n d o s e n u m c e r t o n m e r o d e p a s s a g e n s d i f c e i s d e A r i s t t e l e s , 1 . T o t b d e m o n s t r o u

q u e o s g e m e t r a s d a p o c a t i n h a m j c o m p r e e n d i d o o c a r c t e r p r o b l e m t i c o d o p o s t u l a d o

d a s p a r a l e l a s , e q u e , a o e s f o r a r e m s e p o r d e s m o n t l o , t i n h a m d e s c o b e r t o c e r t o s t e o r e

m a s d e g e o m e t r i a n o e u c l i d i a n a . 4 E m b o r a n o s i n t e r r o g u e m o s h o j e s o b r e o s e n t i d o e m q u e

s e p o d e r i a d i z e r q u e u m g e m e t r a a n t i g o d e s c o r t i n o u a p o s s i b i l i d a d e d e u m s i s t e m a g e o

m t r i c o q u e n o f o s s e o s i s t e m a e u c l i d i a n o , e e m b o r a n o p o s s a m o s c o n h e c e r o p e n s a m e n t o

d o p r p r i o E u c l i d e s q u a n d o a p r e s e n t o u e s t e p r i n c p i o c o m o u m p o s t u l a d o , e v i d e n t e q u e

e s t e l t i m o e r a u m m o t i v o d e p r e o c u p a o p a n o s g e m e t r o s d a A n t i g u i d a d e , c o m o p r o v a m

n u m e r o s a s t e n t a t i v a s f e i t a s u l t e r i o r m e n t e p a r a o d e m o n s t r a r . 4

Q u a n d o r e v e m o s e s t e s t r a b a l h o s , n o p o d e m o s d e i x a r d e p e n s a r q u e e s t e d o m n i o m c i

t o u o s i n v e s t i g a d o r e s a r e v e l a r e m u m e x t r a o r d i n r i o i n d i v i d u a l i s m o . E i m p o s s v e l c o n c e b e r

u m m t o d o o u u m a v i s o c o n s e n s u a l v o l t a d a q u a l s e a r t i c u l a r i a o e s t u d o s i s t e m t i c o d a

g e o m e t r i a p r - e u c l i d i a n a . C o m o a d o c u m e n t a o d e i x a m u i t o a d e s e j a r , r e l a t i v a m e n t e

f c i l , p a r a o s v r i o s a u t o r e s , c r i t i c a r e m s e u n s a o s o u t r o s , m a s d i f c i l q u e a l g u m s e j a c o n

v i n c e n t e , O s l e i t o r e s n o f a m i l i a r i z a d o s c o m e s t e d o m n i o v e r s e o c e r t a m e n t e m e r g u

l h a d o s n a p e r p l e x i d a d e p o r c a u s a d e s t e s d e s a c o r d o s , e t e r o p o r i s s o t e n d n c i a p a r a n o a p r o

f u n d a r p r o b l e m a s q u e d i v i d e m o s p o n t o s a t a l p o n t o .

3 4

3 5

anabelaHighlight

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W . R . K n o r r

N o v a s a b o r d a g e n s d a s m a t e m t i c a s g r e g a s

A m a t u r i d a d e d a s m a t e m t i c a s g r e g a s

N e s t e d o m n i o , h v r i a s o b r a s t e i s c o n s a g r a d a s s p e r s o n a l i d a d e s p r i n c i p a i s . Q u a n t o

a E u c l i d e s e s u a i n f l u n c i a h i s t r i c a , p o d e c i t a r s e a a p r e s e n t a o r e c e n t e d e P . S c h r e i b e r

e S . B r e n t j e s b e m c o m o a a n l i s e p o r m e n o r i z a d a d o s E l e m e n t o s , f e i t a p o r M u e l i e s ( n o t a

3 8 ) . Q u a n t o a A r q u i m e d e s , d i s p o m o s d e u m e s t u d o d e c o n j u n t o d e E . J . D i j k s t e r h u i s , q u e

c o n t m , n a s u a r e i m p r e s s o r e c e n t e , u m a b i b l i o g r a l i a a n o t a d a p o r K n o r r ( n o l a 1 3 ) . T a m b m

p o d e m o s u t i l i z a r p r o v e i t o s a m e n t e o e s t u d o d e i . S c h n e i d e r s o b r e A r q u i m e d e s . Q u a n t o a

A p o l n i o , o e s t u d o c l s s i c o d e 1 1 . 0 . Z e u t h e n a i n d a n o f o i s u p e r a d o , m a s e n c o n t r a m s e

i n d i c a e s t e i s e m o b r a s d e K n o r r ( n o t a 1 0 ) e d e T o o m e r . 1 P o d e m o s e s t u d a r a o b r a i m p o r

t a n t e d e P a p p u s n a n o v a e d i o d e J o n e s ( n o t a 1 1 ) , c o m p l e t a d a p o r r e l a t r i o s e m o b r a s d e

K n o r r ( n o t a s 3 e 1 0 ) . Q u a n t o a D i o f a n t o , h a g o r a d u a s e d i e s r e c e n t e s , d e R . R a s h e d e d e

J . S e s i a n o ( n o t a 8 ) q u e f o r n e c e m c o m e n t r i o s p o r m e n o r i z a d o s s o b r e o c o n t e d o e o s m

t o d o s d a A r i t m t i c a , a l m d o t e x t o d e s t a o b r a e d a t r a d u o d a d o c u m e n t a o r a b e .

O p e r o d o t a r d i o

O s h i s t o r i a d o r e s d o p e n s a m e n t o g r e g o a n t i g o t m p r e s t a d o , d e a l g u n s a n o s p a r a c . u m a

a t e n o m u i t o m a i o r s e s c o l a s d o f i m d a A n t i g u i d a d e , p a r t i c u l a r m e n t e a o n e o p l a t o n i s m o

e a o a r i s t o t e l i s m o d e A l e x a n d r i a . R . S o r a b j i e o s s e u s c o l e g a s j a v a n a r a m b a s t a n t e n u m a

t a r e f a a m b i c i o s a : a e l a b o r a o d e t r a d u o e c o m e n t r i o s d a e s c o l a a r i s t o t l i c a ? P o d e e s p e

r a r s e q u e e s t a s a c t i v i d a d e s e s t i m u l e m , a p r a z o , o i n t e r e s s e p e l o s c o m e n t a d o r e s m a t e m t i

c o s t a r d i o s , e q u e o s h i s t o r i a d o r e s d a s m a t e m t i c a s , a s s i m c o m o o s d a f i l o s o f i a , a p r o v e i t e m

c o m i s s o . O s e s p c i m e s d e t e x t o s a n a l i s a d o s p o r K n o r r ( n o t a 3 ) c o n s t i t u e m u m p r i m e i r o

p a s s o n e s t a d i r e c o . O s c o m e n t r i o s a s t r o n m i c o s , c o m o o s d e P a p p u s e d e T o n d e

A l e x a n d r i a , e n g l o b a m e l e m e n t o s s u b s t a n c i a i s d e m a t e m t i c a s , e o s t r a t a d o s q u e A . T i b o n ,

c o n t i n u a n d o o s t r a b a l h o s q u e A . R o m e e 3 . M o g e n e t l e v a r a m a c a b o s o b r e e s t e s t e x t o s a n t e s

d e l a , e s t e m v i a s d e e d i t a r , s e r o , p o r t a n t o , r i c o s d e e n s i n a m e n t o s . 4

F a l e i a c i m a d o i n t e r e s s e q u e t m o s e s t u d o s a c t u a i s s o b r e a s m a t e m t i c a s m e d i e v a i s i s l

m i c a s e h e b r a i c a s p a r a o s i n v e s t i g a d o r e s , c u j o s t r a b a l h o s s e r e l a c i o n a m c o m a A n t i g u i d a d e ?

D e i g u a l m o d o , s e p o d e a p r e c i a r a i n f l u e n c i a d a s f o n t e s a n t i g a s s o b r e a s m a t e m t i c a s d o

O c i d e n t e m e d i e v a l , g r a a s s e d i e s d e A r q u i m e d e s e m l a t i m p o r M . C l a g e t t , e d e E u c l i

d e s , t a m b m e m l a t i m , p o r H . L . L . B u s a r d e M . F o l l c e r t s ?

E m v i r t u d e d a s u a p r p r i a n a t u r e z a , o e s t u d o d a s m a t e m t i c a s g r e g a s a n t i g a s , p o d e r i a d a r

a i m p r e s s o d e e s t a r c o n c l u d o . A s o b r a s q u e c h e g a r a m a t n s s o p o u c o n u m e r o s a s , p o i s

l i m i t a m s e s o b r a s p r i n c i p a i s d e a p e n a s u m a m e i a d z i a d e a u t o r e s , c o m o s c o m e n t r i o s e

t e s t e m u n h o s c o m e l a s r e l a c i o n a d o s . P o r c o n s e q u n c i a , u m a v e z t e r m i n a d a s a s e d i e s c r

c a s , q u e r e s t a r i a a i n d a f a z e r , p o d e r a m o s n s i n t e r r o g a r n o s , a l m d e a s t r a d u z i r , d e s c r e v e r

o s e u c o n t e d o e r e s u m i r o c o n j u n t o d e s s e s d a d o s n u m a h i s t r i a g e r a l ? T e n d o s i d o j p u b l i

c a d a s , p o r T . L . H e a t b ( A H i s t o r y o f G r e e l c M a t h e m a t i c s , 1 9 2 1 ) , e p o r f l . L . v a n d e r W a e r d e n

( n o t a 2 6 ) , s n t e s e s h i s t r i c a s d e s t e t i p o , p o r q u e r a z o d e v e r e m o s n s p e n s a r q u e a i n d a h

t a r e f a s a r e a l i z a r ? D e r e s t o , d o s a u t o r e s d e e s t u d o s s o b r e a s m a t e m t i c a s g r e g a s , s o m u i t o s

o s q u e j u l g a m s u f i c i e n t e , a p a r e n t e m e n t e , r e f e r i r e m s e a e s s a s a u t o r i d a d e s , s e m s e d a r e m a o

t r a b a l h o d e c o n s u l t a r o b r a s r e c e n t e s .

E s p e r o q u e o p r e s e n t e a r t i g o t e n h a m o s t r a d o a t q u e p o n t o e s t e d o m n i o e s t a i n d a v i

v o , h o j e , g r a a s n o v a d o c u m e n t a o r e s u l t a n t e d o s t r a b a l h o s d o s e s t u d i o s o s d a I d a d e

M d i a s , m a i s a i n d a , m u l t i p l i c a o d a s h i p t e s e s e i n t e n s i d a d e d o d e b a t e e n t r e o s i n v e s

t i g a d o r e s r i v a i s q u e a s f o r m u l a r a m . M e s m o o s e s t u d o s m a i s r e c e n t e s e m a i s c o m p l e t o s .

c o m o a s m i n h a s p r p r i a s o b r a s s o b r e a h i s t r i a d a s t c n i c a s d a g e o m e t r i a g r e g a ( n o t a 1 0 )

e s o b r e a d o c u m e n t a o q u e n o s d e i x a r a m o s c o m e n t a d o r e s d a A n t i g u i d a d e e d a l d a d e M d i a

( n o t a 3 ) , n o p o d e m p r e t e n d e r a b a r c a r t o d a a g a m a e t o d o s o s a s p e c t o s d a s q u e s t e s q u e ,

a s s i m , s o o b j e c t o d e c o n t r o v r s i a . S e c o m p a r a r i n o s o p r e s e n t e i n v e n t r i o d o s e s t u d o s r e c e n

t e s c o m a s v i s t a s d e o l h o s d a m e s m a n a t u r e z a f e i t a s p o r o u t r o s a u t o r e s , h q u a t r o , c i n c o o u

s e i s a n o s , v e r i f i c a m o s q u e , d e s d e e n t o , f o r a m l e v a d o s a c a b o t r a b a l h o s s u b s t a n c i a i s n e s t e

d o m f f i i o ? Q u e m q u i s e r e s t u d a r a f u n d o e s t a m a t r i a i m p o r t a n t e e a p a i x o n a n t e , d e v e m a n

t e r s e a p a r d a s i n v e s t i g a e s a c t u a i s , e e s t a r c o n s c i e n t e d a s s u a s e x i g n c i a s e s s e n c i a i s .

N o t a s

1 . S o b r e a c u l t u r a b i z a n t i n a , v e r N . 0 . W i l s o n , S c h o l a r s o f B y z a n t i u m , B a l t i m o r e , 1 9 8 3 ,

p a r t i c u l a r m e n t e o s c a p t u l o s 4 a 6 . P a r a u m a e x p o s i o m a i s p o r m e n o r i z a d a . v e r P . L c m e r l e ,

L P r e n d e r H u m a n i s m e B y z a n t i n , P a r i s , 1 9 7 1 .

2 . N o t o m o a q u i e m c o n s i d e r a o e l e m e n t o s f o r n e c i d o s p o r p a p i r o s a n t i g o s , q u e s o

p r o v e n i e n t e s , n a s u a m a i o r p a r t e , d o E g i p t o h e l e n s t i c o ( I I I s c u l o a . C . V I I s c u l o d . C . )

e q u e d i z e m r e s p e i t o , e s s e n c i a l m e n t e , c u l t u r a q u o t i d i a n a , p o r o p o s i o d a s l e t r a s . E m m a

t e m t i c a s . s d o i s o u t r s f r a g m e n t o s d e p a p i r o c o n t m e x t r a c t o s d e E u c l i d e s , n o h a v e n d o

n a d a c o m n v e l m a i s e l e v a d o . A l m d i s s o , o s p a p i r o s m a t e m t i c o s g r e g o s a p e n a s c o n t m

n o e s f u n d a m e n t a i s d e a r i t m t i c a d e b a s e e e l e m e n t o s d e g e o m e t r i a p r t i c a , d o n v e l d a

e s c o l a e l e m e n t a r . S o b r e o s p a p i z o s e m g e r a l , v e r E . 0 . T u r n e r , G r e e k P a p y r i : A n J n t r o d u c

t i o n , O x f o r d , 1 9 6 8 ; p a r a u m i n v e n t r i o e u m a d e s c r i o d o s p a p i r o s m a t e m t i c o s , v e r D . 1 1 .

F o w l e r , M a r h e m a t i c s a P l a t o s A c a d e m y : A N e w R e c o n s t r u c t i o n , O x f o r d , 1 9 8 7 .

3 P a r a u m r e s u m o d a o b r a d e s t e s c o m e n t a d o r e s , c o m e s p c i m e s d e t e x t o s , v e r W . R .

K n o r r , T e x t u a l S r u 4 i e s i n A n c i e n : a n d M e d i e v a l G e o m e t r y , B o s t o i V B a s i l e i w B e r l i m . 1 9 8 9 .

4 . H e i b e r g a u t o r d e e d i e s c r t i c a s d e A r q u i m e d e s . d e E u c i i d e s ( o s E l e m e n t o s e o s

t e x t o s d e p t i c a ) , d e A p o l n i o , d e P t o l o m e u ( o A l m a g e s t o e t e x t o s m e n o r e s d e a s t r o n o m i a ) ,

d e o b r a s d e g e o m e t r i a d e H r o n d e A l e x a n d r i a ( l s c u l o d a e r a c r i s t ) e d e m a t e m t i c o s m e

n o r e s , b e m c o m o d e o b r a s d e m e d i c i n a e d e f i l o s o f i a d e o u t r o s a u t o r e s ; v e r K n o i r ( n o t a 3 ) .

E n c o n t r a m s e i n d i c a e s p o r m e n o r i z a d a s s o b r e a s u a v i d a e o b r a e m C . H e g , I a h r e s b e

r i c h i u b e r d i e F o r t s c h r i t r e d e r K l a s s i c h e n A l t e r g u m s w i s s e n s c h a f t , 1 9 3 1 , 5 7 ( 2 3 3 ) , N e k r o

l o g e , 3 6 7 7 e ( c o m u m r e t r a t o ) e m 3 . B i d e z , P a u l T a n n e r y : M m o i r e s S c i e n t i f i q u e s V o l .

9 , P a r i s , 1 9 2 9 , I X X X V I I I . E n t r e o s o u t r o s a u t o r e s d e e d i e s d e o b r a s d e m a t e m t i c a s

d a G r c i a c l s s i c a , d e v e c i t a r s e ? . H u l t s c h , q u e e d i t o u a C o l e c o , d e P a p p u s ( 1 8 7 6 -

1 8 7 8 ) ) , H . M e n g e . c o l a b o r a d o r d e H e i b e r g p a r a a e d i o d o s v o l u m e s 6 a 8 d e E u c i d e s

( 1 8 9 6 , 1 9 1 6 ) , ? . T a n n e r y , e d i t o r d a A r i t m t i c a d e D i o f a n t o ( 1 8 9 3 1 8 9 5 ) e H . S c h n e , c d i

t o r d a s M t r i c a s , d e H r o n ( 1 9 0 3 ) .

5 . H u m a s n t e s e t i l d e s t e s r e c e n t e s t r a b a l h o s d e e d i o e m 0 . 3 . T o o m e r , L o s t g r e e k

m a i b e m a t i c a l w o r k s i n a r a b i c t r a n s l a t i o n . M a r h e m a t i c a l l n t e l l i g e n c e r . 6 ( 1 9 8 4 ) , p . 3 2 3 8 .

6 . D i o c l e s : O n B u r n i n g M i r r a r , B e r l i m / H e i l d e l b e r g / N o v a I o r q u e , 1 9 7 6 . R . R a s h e d p i e -

3 6

3 7

anabelaHighlight

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W . R . K n o n

N o u a s a b o r d a g e n s d a s m a t e m t i c a s g r e g a s

p a r a a c t u a l m e n t e u m a n o v a e d i o d e D i c l e s e d e o u t r a s o b r a s r a b e s s o b r e a p t i c a g e o m

b i c a p a r a a c o l e c o L e s B e l l e s L e t t r e s , P a r i s .

7 . A p o i l o n i u s : C o n i c s B o o k s V I o V i l B e r l i m / l 4 e i l d e l b e r g f N o v a T o r q u e , 1 9 9 0 . 1 1 1 u m i a

v e n t r i o d a s f o n t e s r a b e s p a r a A p o l n i o e m ? . S e z g i n , G e s c h i c h t e d e s a r a b i s c h e n S c h r j f t

n u n s , v o l . 5 , I . c y d e , 1 9 7 4 , p . 1 3 6 1 4 3 . 0 o r i g i n a l g r e g o d e u m a o b r a m e n o r d e A p o l n i o .

S o b r e o r e c o r t e d e u m r e l a t r i o , t a m b m n o o c o n h e c e m o s s e n o p e l a s u a v e r s o r a b e ,

d a q u a l f o i e d i t a d a u m a t r a d u o e m l a t i m p o r H a l l e y ( 1 7 0 6 ) e f o i f e i t a u m a t r a d u o e m i n

g l s p o r E M . M a c i e r o w s k i ( F a i r f i e l d . C o n n . , 1 9 8 7 ) .

8 . S e s i a n o , B o o k s I V i o V i i o f D i o p h a n i u s A r i i h m e i c a i n i b e A r a b i c t r a n s i a t i o n , N o v a

I o r q u e j l l e i d e l b e r g Q B e r l i m , 1 9 8 2 ; R a s h e d , D i o p h a n t e : l e s A r i t h m t i q u e s , v o l . 3 e 4 ( q u e

f a z e m p a r t e d e u m a e d i o c o m p l e t a d e D i o f a n t o e m q u a t r o v o l u m e s , e m p r e p a r a o d e c o l a

b o r a o c o m A . A l l a r d ) P a r i s , 1 9 8 4 .

9 . O n E u c l i d s l o s t P o r i s m s a n d i t s A r a b i c t r a c e s , B o I l e t l i n o d i s t o r i o d e l l e S c i e n z e M a

t e , n a s i c h e , n 7 , 1 9 8 7 , p . 9 3 l I S ;

G r e e k a n d a r a b i c c o n s i n i c t i o n s o f 0 w r e g u l a r h e p t a g o n , A r c h i v e f o r H i s t o r y o f E x a c i

S c i e n c e s , n 3 0 , 1 9 8 4 , p . 1 9 7 3 3 0 ; A r a b i c t r a c e s o f l o s t w o r k s o f A p o i l o n i u s , A r c h i v e

f o r H i s t o r y o f E x a c t S c i e n c e s , n 3 5 , 1 9 8 6 , p . 1 8 7 2 5 3 ; e n c o n t r a m s e d o c u m e n t o s c o n e

x o s n a s u a e d i o C o m p l e t i o n o f l h e C o n i c s , d e i b n a l H a y t h a m , N o v a T o r q u e d B e r l i m / H e i

d e l b e r g a f T q u i o , 1 9 8 5 .

l O . P a r a u m a e x p o s i o s o b r e o s m t o d o s t c n i c o s d a g e o m e t r i a g r e g a , c o m u m a d e s c r i

o d o s t r a b a l h o s d e n v e l s u p e r i o r , v e r K n o r r , T h e A n c i e n i T r a d i t i o n o f G e o m e r r i c P r o

b l e r n s , B o s t o n / B a s i l e i w E s t u g a r d a , 1 9 8 6 .

1 1 . N o r n t o d o d a a n l i s e p r o c u r a s e c o n s t r u i r u m a f i g u r a g e o m t r i c a , c o m e a n d o p o r

s u p o r s e q u e e s s a f i g u r a f o i c o n s t r u d a , e d e d u z i n d o d e l a p r o p r i e d a d e s q u e j s e s a b e o b t e r

a t r a v s d e u m a c o n s t r u o ; a c o n s t r u o f o r m a l ( c h a m a d a s n t e s e ) i n v e r t e a o r d e m d a a n

u s e . S o b r e e s t e m t o d o e s u a s a p l i c a e s , v e r K n o r r ( n o t a 1 0 ) , p a r t i c u l a r m e n t e o c a p t u l o 8 .

O l i v r o V I I d e P a p p u s a c a b a d e s e r e d i t a d o , c o m u m e x t e n s o c o m e n t r i o , p o r A . J o n e s , P a p

p u s o f A l e x a n d r i a : B o o k 7 o f t h e C o l i e c t i o n , N o v a l o r q u e / B e r l i m , H e i d e l b e r g a T q u i o ,

1 9 8 6 .

1 2 . 0 m a n u s c r i t o p r i n c i p a l , p r o t t i p o d a s r e s t a n t e s c p i a s , t o m s . g r . 2 1 8 d o V a t i c a n o ,

q u e d a t a d o p r i n c p i o d o s c u l o X ( e s t i m a t i v a d e J o n e s , a o p a s s o q u e o s e s p e c i a l i s t a s a n t e

r i o r e s o d a t a v a m d o s c u l o V I I ; v e r n o t a s 1 1 e 3 0 ) ; n e s t e m a n u s c r i t o f a l t a o p r i m e i r o l i v r o

e o p r i n c p i o d o s e g u n d o , b e m c o m o o f i m d o o i t a v o . P a r a o b t e r i n d i c a e s s o b r e e s t e m a

n u s c r i t o e s u a h i s t r i a , v e r J o n e s ( n o t a 1 1 ) , p . 3 0 6 2 .

1 3 . 0 r e c e n s e a m e n t o m a i s p o r m e n o r i z a d o d a o b r a d e A r q u i m e d e s , c o m u m r e s u m o c o m

p l e t o d e t o d a s a s s u a s p r o p o s i e s , o d e A . J . D i j k s t e r h u i s , A r c h i m e d e s , C o p e n h a g a , 1 9 5 6 .

A r e i m p r e s s o ( P r i n c e t o n , 1 9 8 7 ) c o n t m u m s u p l e m e n t o b i b l i o g r f i c o d e K n o r r , A r c h i m e

d e s a f t e r D i j k s t e r h u i s : a g u i d e t o r c c e n t s t u d i e s .

1 4 . O p s c u l o c o n t e n d o t r s p r o p o s i e s o n d e s e e n c o n t r a a d e m o n s t r a o d e u m a r e g r a

r e l a t i v a r e a d o c r c u l o ( p r o p . 1 ) e u m c l c u l o q u e e s t a b e l e c e l i m i t e s r i g o r o s o s p a r a o v a

l o r d a r e l a o e n t r e a c i r c u n f e r n c i a d e u m c r c u l o e o s e u d i m e t r o ( a c o n s t a n t e d e s i g n a d a

h o j e p e l a l e t r a ) , o u s e j a 3 4 c o m o l i m i t e s u p e r i o r e c o m o l i m i t e i n f e r i o r . E s t a a u

l i z a o m a i s a n t i g a q u e s e c o n h e c e d a c o n s t a n t e 3 1 4 p a r a a m e d i o d o c f r c u l o .

1 5 . P a r a o b t e r u m a l i s t a d e s t e s e s t u d o s , v e r a b i b l i o g r a f l a d e K n o r r ( n o t a 1 3 ) , p . 4 3 1 4 4 0 .

1 6 . H e i b e r g p u b l i c o u e m 1 9 0 6 u m t e x t o p r o v i s r i o d o M t o d o . S o b r e a h i s t r i a d e s t e s

m a n u s c r i t o s d e A r q u i m e d e s , v e r D i j k s t e r h u i s ( n o t a 1 3 ) , c a p t u l o 2 . 0 m a n u s c r i t o d e I s t a m

b u l s a i u d a T u r q u i a d u r a n t e a r e v o l u o d o s a n o s 2 0 ; f a z p a r t e , a c t u a l m e n t e , d e u m a c o l e c

o p r i v a d a q u a l o s i n v e s t i g a d o r e s n o t m a c e s s o .

1 7 . V e r K n o r r , A r c h i m e d e s , L o s t T r e a t i s e o n t h e C e n t e r s o f O r a v i t y o f S o l i d s . M a t h e

m a t i c a l l n t e l l i g e n c e r , 1 9 7 3 , p . 1 0 2 1 0 9 . U m i n v e n t r i o i m p o r t a n t e d a s r e f e r n c i a s a o s e s c r i

l o s d e s a p a r e c i d o s d e A r q u i m e d e s r e l a t i v o s m e c n i c a , o f o r n e c i d o p o r A . O . D r a c h m a n n .

F r a g m e n t s f r o m A r c h i m e d e s i n H e r o n s M e c h a n i c s . C e n t a u r u s , n 8 , 1 9 6 3 , p . 9 1 1 4 6 .

P a r a o u t r o s e s t u d o s . v e r a b i b l i o g r a f i a d e A r q u i m e d e s f e i t a p o r K n o r r ( n o t a 1 3 ) , p . 4 3 7 4 3 8 .

1 8 . P a r a o a r g u m e n t o e o s t e x t o s , v e r K n o r r , A n c i e n i S o u r c e s o f t h e M e d i e v a l T r a d i o n

o f M e c h a n i c s : G r e e k , A r a b i e a n d L a r i n S r u d i e s o f r h e B a l a n c e , A n n a l i d e l l I n s t i t u t o e M i s

s e o d i S r o r i a d e l l a S c i e n z a , F l o r e n a , 1 9 8 2 ( M o n o g r a f i a 6 ) .

1 9 . F o i e d i t a d o u m t e x t o c u r t o d e A r q u i m e d e s s o b r e o s C r c u l o s m u t u a m e n t e t a n g e n

t e s , a p a r t i r d o r a b e ( c o m u m f a c s m i l e d o m a n u s c r i t o r a b e e u m a t r a d u o e m a l e m o )

p o r Y . D o I d S a m p l o n i u s , H . H e r m e l i n k e M . S c h r a m m , e m A r c h i m e d i s O p e r a O m n i a , v o l .

4 , E s t u g a r d a . 1 9 7 5 . D o l d S a m p l o n i u s e d i t o u t a m b m u m t e x t o r a b e , o L i v r o d a s H i p

t e s e s d e A q a t u n ( o n o m e g r e g o c o r r e s p o n d e n t e n o f o i i d e n t i f i c a d o ) , q u e p a r e c e c o n t e r

t r a b a l h o s d e A r q u i m e d e s ( t e s e d e d o u t o r a m e n t o , A m e s t e r d o . 1 9 7 6 ) . Q u a n t o a o u t r o s t r a

b a l h o s a t r i b u d o s a A r q u i m e d e s p e l o s e s p e c i a l i s t a s d o s t e x t o s r a b e s , v e r S e z g i n ( n o t a 7 ) ,

p . 1 2 l l 3 6 .

2 0 . S o b r e a r e c e n s o r a b e d a M e d i d a d o C f r c u l o . v e r K n o r r ( n o t a 3 ) , p a r t e 3 , c a p t u l o

3 4 , c o m o b s e r v a e s s o b r e E s f e r a e C i l i n d r o , t e x t o q u e o b j e c t o d e u m e s t u d o m a i s a m

p l o d e R . L o r c h , T h e A r a b i c T r a n s m i s s i o n o f A r c h i m e d e s S p h e r e a n d c y l i n d e r a n d E u t o

c i u s C o m m e n t a r y , Z e i t s c h r i f t f i i r G e s c h i c h t e d e r a r a b i s c h i s l a m i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n , n

5 , 1 9 8 9 , p . 9 4 l 1 4 .

2 1 . V e r K n o r r , A r c h i m e d e s a n d d i e p r e R u c l i d e a n p r o p o r t i o n t h e o r y . A r c h i v e s i n t e r

n a t i o n a l e s d h i s t o i r e d e s s c i e n c e s , n 2 8 , 1 9 7 8 , p . 1 8 3 2 4 4 .

2 2 . P a r a i n d i c a e s s o b r e a s c o n s t r u e s d e H i p d c r a t e s . v e r K n o r r ( n o t a 1 0 ) , c a p t u l o 2 .

( N o s e d e v e c o n f u n d i r e s t e g e d m e t r a c o m o s e u c o n t e m p o r n e o . o c l e b r e m d i c o H i p c r a

L e s d e C s ) . O s p r o b l e m a s d e i n t e r p r e t a o s o o b j e c t o d e u m e x a m e a p r o f u n d a d o d e G . E

R . L l o y d , T h e a l l e g e d f a l l a c y o f H i p p o c r a t e s o f C h i o s , A p e i r o n , n 2 0 , l 9 8 7 , p . 1 0 3 1 2 8 .

2 3 . P a r a u m e s t u d o d e s t e f r a g m e n t o , v e r K n o r r , T h e E v o l u t i o n o f E u c l i d e a n E l e m e n t s ,

D o r d r e c h t , 1 9 7 5 , c a p t u l o 7 .

2 4 . E u t c i o t r a n s m i t i u n o s d u a s e x p o s i e s s o b r e a c o n s t r u o d a d u p l i c a o d o c u b o ,

e s c r i t o s r e s p e c t i v a m e n t e p o r A r c h y t a s e M e n e c m o s ( c e r c a d e 3 5 0 a C . ) , q u e p o d e r i a m p r o

v i r , e m b o r a c o m m u i t a s m o d i f i c a e s , d a s H i s t r i a s , d e E u d e m o : v e r K n o r r ( n o t a 3 , p a r t e

1 , c a p t u l o s , e n o t a l O , c a p i t u l o 3 ) .

2 5 . S e i s t o p a r e c e r d e m a s i a d o c r t i c o , l e m b r e s e o l e i t o r d e q u e o a u t o r d o p r e s e n t e a r -

l i g o c o n t r i b u i u a m p l a m e n t e p a r a e s t a s e s p e c u l a e s , p a r t i c u l a r m e n t e n a o b r a q u e o b j e c

t o d a n o t a 2 3 .

2 6 . A . E i s e n l o h r p u b l i c o u , j e m 1 8 7 7 , u m a e d i o d o p a p i r o d e R h i n d , e h o u v e v r i a s

e d i e s d e p o i s d e s t a : v e r a e x p o s i o p o r m e n o r i z a d a d e R . O . O i l l i n g s , M a : h e m a r i c s i i i t h e

T i m e o f t h e P h a r a o h s , C a m b r i d g e , M a s s . / L o n d r e s , 1 9 7 2 . E s t e p a p i r o , q u e e s t a g o r a n o

M u s e u B r i t n i c o , f o i p u b l i c a d o e m f o t o f a c s m i l e p o r O . R o b i n s e C . S h u t e , T h e R h i n d M a

t h e m a s i c a l P a p y r u s : A n A n c i e n : E g y p r i a n T e x r , L o n d r e s , 1 9 8 7 . P a r a i n d i c a e s s o b r e a s m a

t e m t i c a s n o E g i p t o a n t i g o , v e r O . N e u g e b a u e r , T h e E x a c t S c i e n c e i n A n t i q u i i y , 2 e i , P r o

v i d e n c e , 1 9 5 7 , c a p i t u l o 4 , e B . L . v a n d e r W a e r d e n , S c i e n c e A w a k e n i n g ( 2 e d . i n g l e s a ) , L e i

d w N o v a l o r q u e , 1 9 6 1 , c a p t u l o 1 ( E r w a c h e n d e W i s s e n s c h a J i , B a s i l e i w E s t u g a r d a , 1 9 5 6 ) .

P a r a u m a r e c a p i t u l a o d o s e s t u d o s r e c e n t e s , v e r P . C a m p b e l l , E g y p t i a n M a t h e z n a t i c s , e m

J . W . D a u b e n ( d i r . p u b l . ) , T h e H i s t o r y o f M a l h e m a s i c s f r o m A n t i q u i r y l o t h e P r e s e n t : A S e

l e c t i v e B i b l i o g r a p h y , N o v a l o r q u e / L o n d r e s , 1 9 8 5 , p . 2 9 3 7 .

2 7 . F o r a m f e i t a s b o a s s n t e s e s d e s t e p r o b l e m a p o r N e u g e b a u e r ( n o t a 2 , c a p t u l o 2 ) e V a n

d e r W a e r d e n ( n o t a 2 6 , c a p t u l o 3 . P a r a u m a b i b l i o g r a f i a r e c e n t e , v e r ) . F r i b e r g e m D a u b e n

( d i r . p u b l . ) . n o t a 2 6 , p . 3 7 5 1 )

2 8 . V e r N e u g e b a u e r ( n o t a 2 6 , c a p t u l o 6 ) e V a n d e r W a e r d e n ( n o t a 2 6 . p . 1 1 8 1 2 6 ) .

3 8

3 9

W . 1 ? . 1 , o , r

N o u a s a b o r d a g e n s d a s m a t e m t i c a s g r e g a .

2 9 . P a r a u m r e s u m o d a s u a p o s i o e m r e s p o s t a a o s c r t i c o s , v e r U n g u r u , H i s t o r y o f

a n c i e n t m a t h e m a t i c s : s o m e r e f l e c t i o n s o u l h e s t a t e o f d i e a r t , & I s i s , a 7 0 , 1 9 7 9 , p . 5 5 5 5 6 5 .

3 0 . H u m a e x p o s i o m a i s p o r m e n o r i z a d a s o b r e e s t e a s s u n t o e m G e o m e t r y a n d l g e

b r a i n A n c i e n s C i v i i z a l i o n s , B e r l i m / H e i d e l b e r g a / N o v a I o r q u e / T q u i o , 1 9 8 3 . o n d e d e s e n

v o l v e r e f l e x e s p r e l i m i n a r e s q u e m e n c i o n o u n o s s e u s d o i s a r t i g o s , O n P r e B a b y l o n i a n m a

t h e m a t i c s i i i A r c h i v e f o r H i s t o y o f E x , j c r S c i e n c e s , n 2 3 , 1 9 8 0 , p . 1 2 6 , p . 2 7 4 6

3 1 . S e i d e n b e r g d e s e n v o l v e u a s u a p o s i o n u m a s r i e d e a r t i g o s p u b l i c a d o s e m A r c h i v e

f o r 1 - 1 i s t o r y o f E x a c i S c i e n c e s , s e n d o o p r i m e i r o T h e r i t u a l o r i g i n o f g e o m e t r y * , 1 , 1 9 6 2 ,

p . 4 8 8 5 2 7 . 0 m a i s r e c e n t e , p u b l i c a d o d e p o i s d a s u a m o r t e , O u l h e v o l u m e o f a s p h e r e . ,

n 3 9 , 1 9 8 8 , p . 9 7 1 1 9 , q u e f a z r e f e r n c i a a a l g u n s d o s s e u s a r t i g o s a n t e r i o r e s . V e r t a m b m

V a u d e r W a e r d e n , G e o m e t r y a n d l g e b r a ( m o t a 3 0 , p . 1 0 1 3 , p . 2 4 2 5 , p . 3 9 , p . 1 7 2 ) .

3 2 . P a r a u m a c r t i c a b a s e a d a n e s t e s a r g u m e n t o s , v e r o m e u r e l a t r i o d o l i v r o d e V a n d e r

W a e r d e n ( n o t a 3 0 ) , e m T h e g e o m e t r y a n d l h e a r c h a e o a s t r o m e r s : O u t h e p r e h i s t o r i c o r i g i a s

o f m a t h e m a i i c s , B r i t i s h J o u r n a l f o r e h e H i s t o r y o f S c i e n c e , n 1 8 , 1 9 8 5 , p . 1 9 7 2 1 2 .

3 3 . A a p r e s e n t a o m a i s a p r o f u n d a d a d a s i d e i a s d e S z a b 6 a d e A n j F i n g e d e r G r i e c h i e s

c h e n M a l h e m a r 1 k , M u n i q u e e V i e n a ; 1 9 6 9 ( t r a d u o f r a n c e s a , P a r i s , V r i n , 1 9 7 7 ; t r a d u o

i n g l e s a , D o r d r e c h t , 1 9 7 8 ) q u e r e u n i u v r i o s d o s s e u s a r t i g o s d a d c a d a a n t e r i o r . S z a b p r o s

s e g u i u e s t e s e s t u d o s n u m t r a b a l h o e s c r i t o e m c o l a b o r a o c o m E . M a u l a , e c o n s a g r a d o a c e r

t o s a s p e c t o s d o s c o m e o s d a c i n c i a g e o m t r i c a : E n i d i m a , U n t e r s u c h u . n g e n z u r F r h g e s

c h i c h i e d e r g r i e c h i s c h e n A s t r o n o m i e , G e o g r a p h i e u n d d e r S e h n e n r a f e l n , A t e n a s , 1 9 8 2 ( t r a

d u o f r a n c e s a , P a r i s , V r i n , 1 9 8 6 ) .

3 4 . H u m a c r t i c a p o r m e n o r i z a d a e m l C n o r r , O n l h e e a r l y h i s t o r y o f a x i o m a t i c s , e m

3 . H i n t i l c k a , D . G r u e n d e r e E . A g a z z i ( d i r . p u b l . ) , P r o c e e d i n g s o f l h e 1 9 7 8 P i s a C o n f e r e n

c c o n t h e H i s l o r y a n d P h i l o s o p h y o f S c i e n c e , D o r d r e c l i t ( S y n t h e s e L i b r a r y , v o l . 1 4 5 ) , a 1 ,

p . 1 4 5 1 8 6 ; v e r t a m b m a r e s p o s t a , d a d a e m n o m e d e S z a b , p o r F . F r a n c i o s i , i b i d . , p . 1 8 7 -

1 9 1 ) . P a r a t e r u m r e l a t r i o m e n o s c r f t i c o d a s e s p e c u l a e s d e S z a b , s i t u a d o n o q u a d r o d a s

i d e i a s d e K a n t e d e P o p p e r , v e r S . M a r c u c c i , E p i s t e m o l o g i a , f i l o l o g i a e s t o r i a d e l l a s c i e n

z a i a r p d S z a b , P h y s i s , n 2 5 , 1 9 8 3 , p . 1 2 7 1 6 5 .

3 5 . 0 l e i t o r e n c o n t r a r u m r e s u m o d a s i n d i c a e s d i s p o n v e i s s o b r e a e s c o l a p i l a g r i c a ,

c o m u m t r a b a l h o d e r e c o n s t i t u i o p r u d e n t e , e m L . Z h m u d , P y d i a g o r a s a s a M a t h e m a t i

c i a n . , H i s t o r i a M a l h e m a r i c a , n 1 6 , 1 9 8 9 , p . 2 4 9 2 6 8 . O s t r a b a l h o s m a i s a m b i c i o s o s , c o m

o o b j e c t i v o d e r e c o n s t i t u i r o p i t a g o r i s m o , s o o s d e V a n d e r W a e r d e n , p o r e x e m p l o n a s u a

o b r a D i e P y s h a g o r e e r : R e l i g i e s B r u d e r s c h a f t u n d S c h u l e d e r W i s s e n s c h a f t , Z u r i q u e / M u

n i q u e , 1 9 7 9 . A o b r a c l s s i c a q u e a b o r d a p r u d e n t e m e n t e e s t e a s s u n t o a d e W . B u r l c e r t , L o r e

a n d S c i e n c e i n A n c i e n i P y t h a g o r e a n i s m , C a m b r i d g e , M a s s . , 1 9 7 2 ( t r a d u o d a e d i o a l e

m W e i s h e i l u n d W i s s e n s c h a f t , N u r e m b e r g a . 1 9 6 2 ) .

3 6 . V e r K n o r r , l n f i n i t y a n d c o n t i n u i t y : T h e i n t e r a c t i o n o f m a t h e m a t i c s a n d p h i l o s o p h y

i n A n t i q u i t y e m N . K r e t z m a n n ( d i r . p u b l . ) I n f t n i t y a n d C o n l i n u i r y i n A n c i e n i a n d M e d i e

v a l T h o u g h r . N o v a l o r q u e / L o n d r e s , l t h a c a , 1 9 8 2 , p . 1 1 2 1 4 5 . E s t a p o s i o e s t n a b a s e d a

e x p o s i o d e K n o r r s o b r e a g e o m e t r i a a n t i g a ( n o t a 1 0 c a p t u l o 2 3 ) .

3 7 . A r i s t o r l e a n d l h e M a l h e m a t i c i a n s : S o m e C r o s s c u r r e n r s i r a l h e 4 t h C e n r u r y . T e s e d e

d o u t o r a m e n t o , S t a n f o r d , 1 9 8 6 ( D i e s s e r r a s s i o n A b s l r a c t s , n 4 7 , 1 9 8 6 , 5 5 0 A ) . D e v e s e r

p u b l i c a d a b r e v e m e n t e u m a v e r s o r e v i s t a d e s t e e s t u d o .

3 & P h i l o s o p h y o f M a l h e m a r i c s a n d D e d u c r i v e 5 l r u c r u r e i r a E u c l i d s E l e m e n t s , C a m b r k j

g e , M a s s / L o n d r e s , 1 9 8 1 .

3 9 . V e r K n o r r ( n o t a 2 3 ) . E s t a s i d e i a s , n o q u e d i z r e s p e i t o a o s t r a b a l h o s d o s c u l o I V ,

f o r a m d e s e n v o l v i d a s e m L a c r o i x d e s m a t h m a t i t i e n s : E u c l i d e a n t h e o r y o f i r r a t i o n a l l i n e s . ,

B u l i e g i n o f r h e A m e r i c a n M a i h e m a t i c a l S o c i e r y , n 9 , 1 9 3 9 , p . 4 1 6 9 ; v e r t a m b m E u c l i d s

T e n d i B o o k : A n A n a l y t i c S u r v e y , i l i s l o r i a S c i e n r i a r u m ( T q u i o ) , n 2 9 , 1 9 8 5 , p . 1 7 - 3 5 .

4 0 . C o l o u r e d q u a d r a n g l e s : A C u i d e l o l h e T e n t h B o o k o f E u c l i d s E l e m e n i s , C o p e n h a

g u e . 1 9 8 2 .

4 1 . K n o r r ( n o t a 2 3 . c a p i t u l o 7 ) . C o n v m e s c l a r e c e r q u e n o s e t r a t a d a m e s m a f o r m a d e

t e o r i a d a s p r o p o r e s q u e a q u e l a q u e e s t r e c o n s t i t u i d a n o a r t i g o q u e f a z o b j e c t o d a n o t a 2 l -

4 2 . F o w l e r ( n o t a 2 ) d , s o b r e i s t o , a e x p o s i o m a i s d e s e n v o l v i d a , s o b a f o r m a d e u m a

s n t e s e d e u m a d z i a d o s s e u s a r t i g o s e p u b l i c a e s p r e l i m i n a r e s . V e r a a n l i s e p o r n i e n o r i

u d a f e i t a p o r B . A r t m a n n , P i e M a t h e m a t i k i n d e r A k a d e m i e P l a t o n s , M a r h e m a s i s c h e S e

m e s r e r b e r i c h t e , n 3 5 , 1 9 8 8 , p . 1 6 2 1 6 8 .

4 3 . M a r h e m a r i c a l H L r l o r y o f D i v i s i o n i n E x t r e m e a n d M e a n R a 4 t i o , W a t e r l o o , ( O n t )

C a n a d , 1 9 8 7 . C o m u m a p e r s p e c t i v a m u i t o n e g a t i v a , H e r z F i s c h l e r f o r m u l a c r t i c a s m u i

t o p o r m e n o r i z a d a s , m a s a s s u a s t e n t a t i v a s d e r e c o n s t i t u i o p o s i t i v a n o s o , p e l o m e n o s e m

m i n h a o p i n i o , m u i t o c o n v i n c e n t e s .

4 4 . A T e n t a t i v e R e c o n s c r u c t i o n o f l h e F o r m a t i o n P r o c e s s o f B o o k X I I I o f E u c l i d s E j e

m e n i s ,

C o m m e n t a r i i M a r h e m a r i c i U n i v e r s i r a r i s S a n c l i P a u l i ( T q u i o ) , n 3 8 , l 9 8 9 , p . 1 0 1 1 2 7 .

4 5 . V e r e s p e c i a l m e n t e t r s d o s s e u s a r t i g o s e m r c h i v e f o r H i s r o r y o f E x a c l S c i e n c e s :

P i e e r s t e n v i e r B u c h e r d e r E l e m e n r e E u k l i d s > , n 9 , 1 9 7 3 , p . 3 2 5 3 8 0 ; B e i t r t l g e z u r F r ( l n

g e s c h i c h t e d e r g r i e c h i s c h e n o e o m e t r i e n I I . l 9 7 3 , p . 1 2 7 1 3 3 : D i e s t e r e o m e t r i s c h e n B

c I t a d e r E l e m e n l e E u k l i d e , n 1 4 , 1 9 7 4 , p . 9 1 1 2 5 .

4 6 . C i t e m o s , e n t r e o s s e u s t r a b a l h o s m a i s r e c e n t e s , 4 c U e b e r v o r e u l c l i d i s c h e E l e m e n t e d e r

R a u m g e o m e t r i e a u s d e r S c h u l e d e s E u d o x o s , A r c h i v e f o r l l i s r o r y o f E x a c r S c i e n c e s , n 3 9 ,

1 9 8 8 . p . 1 2 1 1 3 5 , e P i e M a t h e m a t i k i n d e r A k a d e m i e P l a t o n s , M a r h e m a r i s c h e S e m e s t e r

b e r i c h i e , n 3 5 , 1 9 8 8 , p . l 6 2 1 8 2 .

4 7 . A e x p o s i o m a i s c o m p l e t a d e T o t h e n c o n t r a s e e m D a s P a r a l l e l e n p r o b l e m i m C o r -

p u s A r i s t o t e l i c u m , A r c h i v e f o r H i s l o r y o f E x a c i S c i e n c e s , n 3 , 1 9 6 7 , p . 2 4 9 4 2 2 : T o d i

d e s e n v o l v e u a s s u a s c o n c e p e s e m c o n t e x t o s v r i o s , p a r t i c u l a r m e n t e f i l o s t i c o s , e m d i v e r

s o s e s t u d o s u l t e r i o r e s , p o r e x e m p l o , G e o m e t r i a m o r e e t h i c o . P i e a l t e r n a t i v e : e u k l i d i s c h e

o d e r n i c h t e u k l i d i s c h e G e o m e t r i e b e i A r i s t o t e l e s u n d d i e a x i o m a t i s c h e G r u n l J e g u n g d e r e u l c

l i d i s c h e n ( J e o m e c r i e , e m Y . M a e y a m a e W . O . S u l t z e r ( d i r . p u b l . ) , P r i s m a r a . . . F e s r s c h r i f t

f i h i W i l l y H a r r n e r , W i e s b a d e n , 1 9 7 7 , p . 3 9 5 4 1 5 .

4 8 . P a r a a p r e c i a r u m e x a m e r e c e n t e d a t e s e s e g u n d o a q u a l a l g u n s m a t e m t i c o s d a A n

t i g u i d a d e t e r i a m t i d o a i n t u i o d e a g e o m e t r i a n o e u c l i d e a n a v e r H . F r e u d e n t h a l , N i c h

l e u k l i d i s c h e G e o m e t r i e i n A l t e r t u m ? e m H . O . S t e i n e r e H . W i n t e r ( d i r . p u b l . ) . M a r h e m a

t i k d i d a k d c , B i l d u n g s g e s c h i c h e , W i s s e n s c h a f t s g e s c h i c h r e , I I , C o l n i a ( U n i e r s u c h u n g e n r u m

M a i h e m a r k u n t e r r i c h r e ) , n 1 4 . 1 9 8 8 . P a r a u m e s t u d o p o r m e n o r i z a d o s o b r e a h i s t r i a d a

g e o m e t r i a n o e u c l i d e a n a , c o m i n d i c a e s s u b s t a n c i a i s s o b r e o s t r a b a l h o s a n t i g o s , v e r B .

R o z e n f e l d . A h i s r o r y o f n o n E u c l i d e a n g e o m e l r y : E v o l u r i o n o f l h e c o n c e p l o f a g e o m e r r i c

s p a c e , N o v a I o r q u e d B e r l i m / H e i d e l b e r g W L o n d r e s / p a r i s / r q u i o , 1 9 8 8 .

4 9 . E u k l i d ( e m B i o g r a p h i e n h e r v o r r a g e n d e r N a t u r w i s s e n s c h a l t l e r , T e c h n i k e r u n d M e d i

z i n e r , v o l . 8 7 ) , L e i p z i g , 1 9 8 7 .

5 0 . A r c h L n e d e s : ! n g e n i e u r , N a l u r w i s s e n s c h a f f l e r u n d M a r h e m a t i k e r , D a r m s t a d t , 1 9 7 9 .

5 1 . D i e L e h r e v o n d e n K e g e l s c h n i r i e n i m A l r e r r w n , C o p e n h a g a , 1 8 8 6 ; r e i m p r e s s o

H i l d e s h e i m , 1 9 6 6 .

5 2 . A p o l l o n i u s o f P e r g a , D i c r i o n a r y o f s c i e n q f j c B i o g r a p h y , 1 , 1 9 7 0 , p . 1 7 9 1 9 3 . V e r

t a m b m a n o v a e d i o d a s C n i c a s , l i v r o s V V l I , p o r T o o m e r ( n o t a 7 ) .

5 3 . P a r a u m a a p r e s e n t a o d o s c o m e n t a d o r e s e u m e s p c i m e d a s p r e m i s s a s d e s t a c o l a

b o r a o , c o n s u l t e s e o v o l u m e c o m 2 0 e n s a i o s , A r i s g o i l e T r a n s f o r m e d : T h e A n c i e n l C o m

m e n r a r o r s a n d T h e i r I n f l u e n c e , S o r a b j i , ( e d . ) I t h a c a , N o v a Y o r q u e , 1 9 9 0 .

5 4 . N o q u e d i z r e s p e i t o a o s c o m e n t a d o r e s d e T o n s o b r e a s T b u a s m a n u a i s d e P t o

4 0

4 1

W . R . K n o n

l o m e u , v e r L e G r a n d C o m r n e n t a i r e . . . L i v r e i , M o g e n e t e T i h o n ( c d . ) . ( S t u d i e T e s t i , 3 1 5 ) ,

C i d a d e d o V a t i c a n o , 1 9 8 5 , e L e F e l i i C o m , n e n t a i r e , T i h o n , ( S t u d i e T e s t i , 2 8 2 ) , 1 9 7 8 .

5 5 . P a r a u m a a p r e s e n t a o , c o n s u l t e s e o e n s a i o b i b l i o g r f i c o s o b r e a s m a t e m t i c a s i s

l m i c a s , d e R . L o r c h e i a i . , e o e n s a i o s o b r e a s m a t e m t i c a s h e b r a i c a s , d e B . R . ( J o l d s t e i n ,

e m D a u b e n ( c d . ) , n o t a 2 6 .

5 6 . C l a g e t t a p r e s e n t a t e x t o s e c o m e n t A r i o s e m A r c h i , n e d e s i n t h e M i d i l e A g e s , c i n c o v e ~

l u m e s , M a d i s o n , W i s c j F i l a d l f i a , P e n n ; , 1 9 6 4 1 9 8 4 ; p a r a u m a a n l i s e , v e r K n o r r ( n o t a 3 ,

p a r t e 3 ) . A s v e r s e s d e E u c l i d e s p o r G r a r d d e C r m o n e , A d l a r d d e B a t h ( a v e r s o 1 * ) ,

H e r m a n n d e C a r n t i a e o t r a d u t o r a n n i m o g r e c o l a t i n o , f o r a m e d i t a d o s p o r B u s a r d , e a e d i

o d a v e r s o T I d e A d l a r d p o r B u s a r d e F o l k e r t s , d e v e a p a r e c e r d e n t r o e m b r e v e . P a r a

u m a v i s o d e c o n j u n t o s o b r e E u c l i d e s n a I d a d e M d i a , v e r F o l k e r t s , E u c l i d i n M e d i e v a l E u

r o p e , W i n n i p e g M a n ( n a c o l e c o d o B e n j a m i n C a t a l o g u e f o r H i s t o r y o f S c i e n c e , s o b a

d i r e c o d e W . M . S t e v e n s ) , 1 9 8 9 ; v e r t a m b m o e n s a i o b i b l i o g r f i c o d e B u s a r d , F o l k e r t s

e E . S y l l a , e m D a u b e n ( c d . ) n o t a 2 6 , p . 1 0 0 1 2 5 ?

5 7 . V e r S . B r e n t j e s , D i e E n t w i c k l u n g d e r a n t i k e n g r i e c h i e s c h e n M a t h e m a t i c i m L i c h

t e e i n i g e r T e n d e n z e n i n d e r g e g e n w l l r t i g e n F o r s c h u n g , e m G . W e n d e l ( c d . ) , W i s s e n s c h a f t

i n d e r A n t i k e , B e r l i m , 1 9 8 6 ; J . 3 . B c r g g r e n . H i s t o r y o f G r e e k m a t h e m a t i c s : A s u r v e y o f r e

c e m r e s e a r c h , H i s t o r i a M a t h e m a t i c a , n 2 1 1 , 1 9 8 4 , p . 3 9 4 4 1 0 , e B e r g g r e n . G r e e k m a l h e

m a t i c s e m D a u b e n ( c d . ) , n o t a 2 6 , p . 5 1 6 4 .

O p a p e l d a s c o m u n i d a d e s

c i e n t f i c a s n a e v o l u o

d a s c i n c i a s

A c i n c i a m a n i f e s t a m e n t e u m f e n m e n o s o c i a l , m a s e s t a c o n s t a t a o p o d e c o n d u z i r

a d i f e r e n t e s s o c i o l o g i a s d a s c i n c i a s . O a u t o r e x p e d u a s o p e s , f r a c a e f o r t e , q u e s e a p r e

s e n t a m s o c i o l o g i a d a s c i n c i a s , d e a c o r d o c o m a m e d i d a e m q u e o s s o c i l o g o s c o n s i d e

r a m o p r p r i o s a b e r c o m o u m p r o d u t o s o c i a l . N e s t e a r t i g o , s o e v o c a d o s a e m e r g n c i a e o

i , n p a c t e d a s o c i o l o g i a d o c o n h e c i m e n t o c i e n t f i c o , a s s u a s p r i n c i p a i s r e a s e i n s t r u m e n t o s

d e i n v e s t i g a o , a s s