ntrodução à MecânIca das estruturas

2019

Introdução à MecânIca das estruturas

Prof. Lucas Onghero

1a Edição

Copyright © UNIASSELVI 2019

Elaboração:

Prof. Lucas Onghero

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

Impresso por:

ON58i

Onghero, Lucas

Introdução à mecânica das estruturas. / Lucas Onghero. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.

250 p.; il.

ISBN 978-85-515-0322-5

1. Mecânica das estruturas. - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.

CDD 624.171

III

apresentação

Caros alunos, sejam bem-vindos ao curso de mecânica das estruturas, nesta disciplina busca-se capacitar os alunos a analisar as estruturas reticuladas no geral, sendo estas hiperestáticas, isostáticas ou hipostáticas. Será dada maior ênfase às estruturas planas, determinando suas reações de apoios e esforços internos pelos diferentes métodos existentes, aplicando cada um com sura devida particularidade.

Se define estrutura a parte da construção responsável pela estabilidade e pela resistência à esforços esternos aplicados. As estruturas devem apresentar estabilidade local e global de todos os seus elementos, assim como apresentar resistência mecânica para suportar os esforços, de maneira que não ocorra a ruptura dos materiais que a compõem. Além disso, outro fator que deve ser analisado nos sistemas estruturais é o seu desempenho relacionado com as deformações de durabilidade, o qual está diretamente ligado com a vida útil para a qual a estrutura foi planejada.

Uma vez definido o sistema construtivo e materiais a serem utilizados na construção, é então desenvolvida a análise estrutural da edificação, sendo a primeira parte de um projeto estrutural. Portanto, como objetivo desta disciplina é esperado que ao final do estudo o aluno possa avaliar uma estrutura, suas deformações e esforços à qual está submetida, partindo das suas características como: geometria, dimensões, características mecânicas, propriedades dos materiais utilizados, esforços externos aplicados.

Para atingir o objetivo proposto pela disciplina, a primeira unidade apresenta os conceitos básicos que envolvem a análise estrutural: a representação e redução dos esforços à um ponto; sua representação em uma estrutura, a formulação de sistemas equivalentes de forças para facilitar a análise da estrutura; os conceitos que envolvem o equilíbrio da estrutura e a estática dos sistemas materiais planos e espaciais. Além disso, serão abordadas, ainda nesta unidade, as definições dos tipos de apoios considerados durante a análise; como é realizada a determinação das reações que surgem nos apoios das estruturas.

Ainda na primeira unidade será abordado o conceito de tensão e como estas tensões são transmitidas pela estrutura, para então ser iniciada a análise das tensões/esforços solicitantes das estruturas, onde ocorre o primeiro contato do leitor com os teoremas fundamentais da estática para construções e um dos principais métodos de análises para estruturas isostáticas e hipostáticas.

A Unidade 2 tem como foco apresentar alguns dos modelos de estruturas isostáticas mais utilizados e suas particularidades, além das considerações a serem adotadas na análise na presença de rótulas ou engastes em estruturas. Além disso, serão apresentados alguns métodos de análise mais gerais, como o método de Cremona, método dos nós e revisado o método de Ritter (das seções). Juntamente com a apresentação dos métodos, será abordada a construção dos diagramas de esforços solicitantes para cada tipo de estrutura apresentado e para todos os métodos abordado na unidade.

IV

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.

Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.

O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos!

NOTA

Na terceira unidade, será dada continuidade na abordagem de métodos de análises para estruturas, porém nesta seção serão tradados os casos onde as estruturas apresentam grau de estaticidade maior que 0, ou seja, estruturas hiperestáticas. Os métodos abordados para este tipo de estruturas apresentados nesta apostila são o Método dos Deslocamentos, o Método das Forças e o Método de Cross.

Antes de tudo, é importante pontuar que esta disciplina é baseada nas leis da física, abordadas nas disciplinas de base do curso e que sempre estão dando suporte à engenharia. Portanto, apesar da primeira unidade desta apostila fazer uma breve revisão dos pontos mais importantes, é recomendado ao acadêmico que estiver com alguma dificuldade, retomar as disciplinas básicas para melhor aproveitamento deste conteúdo.

Bons estudos!

Prof. Lucas Onghero

V

Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!

UNI

VI

VII

UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS ....................................................1

TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL .............................31 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................32 NOÇÕES FUNDAMENTAIS ..............................................................................................................4

2.1 REGRA DA MÃO DIREITA .............................................................................................................62.2 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS EM UM PONTO ................................................ 102.3 SISTEMAS MECANICAMENTE EQUIVALENTES .................................................................. 11

2.3.1 Método direto .......................................................................................................................... 142.3.2 Método indireto ...................................................................................................................... 14

2.4 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE .................................................................................................. 15RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 17AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 18

TÓPICO 2 – ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS ............................................... 211 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 212 EQUILÍBRIO .......................................................................................................................................... 21

2.1 REVISÃO ........................................................................................................................................... 222.2 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE .................................................................................................. 23

3 APOIOS ................................................................................................................................................. 234 DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO ........................................................................... 28

4.1 ESTRUTURA APORTICADA ........................................................................................................ 294.2 PÓRTICO ISOSTÁTICO ................................................................................................................. 304.3 TRELIÇA ISOSTÁTICA .................................................................................................................. 314.4 PÓRTICO TRIARTICULADO ISOSTÁTICO ............................................................................... 32

5 ESTÁTICA DOS SISTEMAS ESPACIAIS ...................................................................................... 335.1 PÓRTICO ESPACIAL ...................................................................................................................... 355.2 PÓRTICO ESPACIAL ...................................................................................................................... 36

RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 38AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 40

TÓPICO 3 – O CONCEITO DE TENSÃO........................................................................................... 491 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 492 ANÁLISE DE TENSÕES DE ESTRUTURAS .................................................................................. 493 ESFORÇOS SOLICITANTES ............................................................................................................ 534 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES .................................... 565 RESUMO DO PROCEDIMENTO DE ANÁLISE ........................................................................... 63LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 65RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 67AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 68

UNIDADE 2 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS .................................................. 75

TÓPICO 1 – ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ..................................................................................... 77

suMárIo

VIII

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 772 ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS: ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS ............. 77

2.1 DIAGRAMA DOS ESFORÇOS SOLICITANTES ........................................................................ 782.2 GRÁFICOS DE ESFORÇOS SOLICITANTES .............................................................................. 82

3 ANÁLISE DE TRELIÇAS ................................................................................................................... 883.1 ESTATICIDADE E ESTABILIDADE DAS TRELIÇAS ................................................................ 90

4 MÉTODO DOS NÓS ........................................................................................................................... 905 MÉTODO DE CREMONA .................................................................................................................. 946 MÉTODO DE RITTER OU MÉTODO DAS SEÇÕES .................................................................. 99

6.1 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE .................................................................................................. 99RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................103AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................104

TÓPICO 2 – VIGAS ISOSTÁTICAS .................................................................................................1151 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1152 MÉTODO DIRETO ............................................................................................................................115

2.1 VIGAS SIMPLES: MÉTODO DIRETO PARA DIAGRAMAS ..................................................1152.2 VIGAS GERBER .............................................................................................................................121

2.2.1 Procedimento de análise .....................................................................................................1212.3 VIGAS INCLINADAS ...................................................................................................................124

RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................132AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................133

TÓPICO 3 – PÓRTICOS .......................................................................................................................1371 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1372 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ........................................................................................................137

2.1 PÓRTICOS SIMPLES .....................................................................................................................1382.2 PÓRTICO COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE .......................................................................1402.3 PÓRTICOS COMPOSTOS ............................................................................................................142

3 CABOS ..................................................................................................................................................1473.1 REAÇÕES DE APOIO PARA CABOS ........................................................................................149

5 ARCOS ..................................................................................................................................................153LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................157RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................159AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................160

UNIDADE 3 – ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS ........................................................................167

TÓPICO 1 – MÉTODO DAS FORÇAS..............................................................................................1691 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1692 MÉTODO DAS FORÇAS ..................................................................................................................170

2.1 HIPERESTÁTICOS E SISTEMAS PRINCIPAIS .........................................................................1712.2 RESTABELECIMENTO DA COMPATIBILIDADE ...................................................................173

3 MATRIZ DE FLEXIBILIDADE E VETOR DOS TERMOS DE CARGA ..................................1783.1 ESCOLHA DO SISTEMA PRINCIPAL .......................................................................................179


TÓPICO 2 – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ ..................1971 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................1972 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ............................................................................................197

2.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO .........................................................................................................198

IX

2.1.1 Viga engastada-apoiada ......................................................................................................1992.1.2 Viga biengastada ...................................................................................................................2012.1.3 Viga contínua.........................................................................................................................2052.1.4 Treliças – barra de material homogêneo e seção transversal constante submetida à carga axial .......................................................................................................2102.1.5 Treliças – barra composta de duas hastes de materiais, comprimentos e seções

diferentes submetidas a carregamento axial .....................................................................2112.2 RESUMO DO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS PARA ESTRUTURAS RETICULADAS DIVIDIDAS EM ELEMENTOS ......................................................................2152.3 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ ......................................................................................2162.4 ELEMENTO DE TRELIÇA PLANA ............................................................................................2202.5 ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO ...........................................................................................2222.6 REGRA DA CORRESPONDÊNCIA ...........................................................................................228


TÓPICO 3 – MÉTODO DE CROSS....................................................................................................2371 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................2372 PROCESSO DE CROSS .....................................................................................................................237LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................244RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................245AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................246

REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................249

X

1

UNIDADE 1

INTRODUÇÃO À ANÁLISEDE ESTRUTURAS

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:

• compreender como as forças agem em uma estrutura;

• utilizar programas básicos de resolução de análise estrutural;

• avaliar uma estrutura de qualquer grau de estaticidade;

• realizar a análise de diferentes configurações estruturais possíveis de serem utilizadas;

• avaliar o resultado obtido em programas computacionais de análise estruturais;

• escolher entre os métodos existentes de análise de acordo com a estrutura ser avaliada.

Esta unidade está dividia em três tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL

TÓPICO 2 – ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS

TÓPICO 3 – O CONCEITO DE TENSÃO

2

3

TÓPICO 1UNIDADE 1

CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE

ESTRUTURAL

1 INTRODUÇÃO

A estabilidade de uma edificação se dá devido a um projeto estrutural bem elaborado, em que são apresentadas todas as partes resistentes de maneira otimizada para as cargas consideradas.

Ao elaborar os projetos são realizadas algumas simplificações para ser

possível a verificação e análise do comportamento da estrutura, definindo o modelo estrutural e, assim, poder encontrar um modelo que melhor se adéqua à situação em estudo. Para isso, alguns fatores devem ser levados em consideração:

• projeto arquitetônico;• aspectos funcionais (dimensões, iluminação, limitação do espaço);• aspectos estéticos;• carregamentos atuantes (permanentes ou acidentais);• condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura;• material estrutural a ser utilizado.

Dessa forma, essa disciplina tem como objetivo proporcionar aos alunos o conhecimento teórico necessário para dimensionar e analisar a concepção estrutural adotada em projeto. Nessa disciplina serão abordados os conceitos fundamentais, necessários para desenvolver a análise dos esforços e dos deslocamentos sofridos pela estrutura com o carregamento previsto. Portanto, esse livro didático busca apresentar estes conceitos de maneira prática e sistemática, apresentando um passo a passo.

Para efetuar a análise serão apresentados os métodos mais conhecidos para a execução de estruturas hiperestáticas e isostáticas, dentre elas encontra-se o método cremona, o método das seções, método do deslocamento e método das forças, todos sendo detalhados no decorrer deste livro. Vale ressaltar que você, acadêmico, deve ter o conhecimento básico de resistências dos materiais para facilitar o entendimento da disciplina. Além disso, todos os cálculos apresentados nesse documento levam em consideração a teoria de Euller-Bernoulli.

UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS

4

Ressaltamos que todas as autoatividades propostas podem ser resolvidas através do uso do software FTOOL, desenvolvido pela PUC-RIO, podendo ser encontrado para download acessando o link: http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftool/.

ATENCAO

2 NOÇÕES FUNDAMENTAIS

Para efetuar a análise de estruturas é necessário ter o conceito de força bem assimilado. A força é definida pelo 3º Princípio da Mecânica Clássica: “em cada instante, a ação mecânica de um corpo sobre um ponto material pode ser representada por um vetor aplicada no ponto”. Desta forma, é possível afirmar que a força aplicada sobre um ponto em um corpo rígido pode ser representada por vetores aplicados em pontos sólidos.

Esta ação entre sólidos pode se manifestar a distância ou por contato direto entre os corpos, podendo ser citado como exemplo a força gravitacional (ação de forças de volume) e a força que o asfalto exerce nas rodas do carro (ação por contato).

Se a superfície sobre a qual a força está sendo aplicada é muito pequena, pode-se considerá-la reduzida a um ponto, considerando assim a força concentrada; já quando esta superfície de contato é muito estreita, admite-se que ela seja uma linha, podendo assim considerar a força linearmente distribuída.

A consideração do ponto de aplicação da força é de extrema importância para a análise da ação entre sólidos, pois ao aplicar uma força de mesma intensidade em diferentes pontos de um mesmo sólido, produz efeitos totalmente distintos.

Matematicamente, as forças interativas são representadas por um par constituído por um vetor e um ponto. Uma força concentrada F

aplicada a um ponto

P é matematicamente representada por (P, F

), ou seja, pelo vetor aplicado (P, F

).

Outra definição importante é a linha de ação da força F

quando é aplicada a um ponto P. Esta força age no ponto P, tendo uma linha de ação paralela à força F

nele aplicada, conforme pode ser visto na Figura 1.

TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE

5

FIGURA 1 – LINHA DE AÇÃO DA FORÇA APLICADA EM UM PONTO

FONTE: Neto (1996, p. 2)

F

P

Linha de ação (P, F)

O momento de ação de uma força (P, F

) em relação a um ponto O é um vetor passando por O e definido matematicamente por 0 0M P F= Λ

, e apresenta

como característica as seguintes propriedades:

• Direção: perpendicular ao plano determinado pela linha de ação da força e pelo ponto O;

• Sentido: determinado pela regra da mão direita;• Módulo ou intensidade: || . | || || si| | n| ||OM OP F α=

Para simplificar o entendimento, sempre será desenhado OM

com origem no ponto O a ser analisado e, para não haver confusão entre força e momento, o vetor de momento é representado por setas duplas. Todas as propriedades citadas estão demonstradas na Figura 2.

FIGURA 2 – AÇÃO DE UMA FORÇA F EM UM PONTO O.



6

De acordo com a Figura 2 é possível afirmar que sinOP α

é igual a d (Figura 3a e b), ou seja, a distância do ponto O à linha de ação de força (P, F

) e,

desta maneira, então é possível escrever a equação de momento sendo .=

OM F d e, para esta distância d se dá o nome de braço de momento (ou braço de alavanca).

FIGURA 3 – DETERMINAÇÃO DO BRAÇO DE ALAVANCA QUE COMPÕE O MOMENTODE (P, F

) EM RELAÇÃO A O

FONTE: <https://docplayer.net/docview/81/83229432/#file=/storage/81/83229432/83229432.pdf>. Acesso em: 23 maio 2019.

a) b)

É possível observar que o momento de uma força em relação a um ponto possui a dimensão do produto de uma força por uma distância, sendo mensuradas em N.n, kgf.cm, tf.m, entre outras combinações possíveis.

Agora já é possível descobrir a intensidade do momento de força aplicado ao ponto estudado, mas para descrever exatamente os efeitos desse momento se faz necessário ainda descrever seu sentido e direção, para isso será explicada a seguir a regra da mão direita.

2.1 REGRA DA MÃO DIREITA

Sabe-se que o momento OM

tem a direção da reta “r” (mostrada na Figura 4), passando por O e perpendicular ao plano definido pela linha de ação de (P, F

) e pelo ponto O (plano p).


7

FIGURA 4 – APLICAÇÃO DA REGRADA MÃO DIREITA


O sentido de momento F

é determinado da seguinte maneira:

• No plano que contém a linha de ação de (P, F

) e é perpendicular a π, coloque a mão direita com a palma voltada para a reta “r” e com os dedos no sentido de F

.

• Deixe o polegar perpendicular aos demais dedos.

• O sentido de OM

é então apontado pelo polegar da mão direita (ver Figura 4).

A equação .=

OM F d apresenta que a intensidade do momento de uma força (P, F

) em relação a um ponto O é o produto de duas grandezas, sendo a

intensidade da força atuante e a distância entre a sua linha de ação e o ponto aplicado. Portanto, desta equação é possível obter as seguintes propriedades:

0 0 0= = =

OM para F ou d

Essa propriedade trata que o momento é nulo em relação ao ponto de análise (no caso, ponto O) se, e somente se, a força F

é nula, ou então se a distância entre

o ponto O e a linha de ação for igual a 0, ou seja, a sua linha de ação passa pelo ponto O (Figura 5).


8

FIGURA 5 – LINHA DE AÇÃO DA FORÇA PASSANDO PELO PONTO O

FONTE: <https://docplayer.net/docview/81/83229432/#file=/storage/81/83229432/83229432.pdf>. Acesso em: 23 maio 2019.

1- Se (P, F

) e (Q, F

) têm a mesma linha de ação, então seus momentos em relação a um mesmo ponto são iguais.

Dado um sistema de forças ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3P, , P, , P, , , P, nS F F F F= …

tem-se que:

• A resultante S é a soma vetorial das forças que o compõe, essa resultante é indicada por R

, sendo calculado por:

1

n

ii

R F=

=∑

• O momento de S em relação a um ponto O é a soma vetorial dos momentos de cada uma das forças do sistema em relação a esse ponto. Dessa maneira, o momento de S em relação à O é indicado por:

M0 = Σ0P Λ F,

• Um binário é um sistema formado por duas forças que apresentam mesma intensidade e direção, porém com sentidos opostos e com diferentes linhas de ação, conforme mostrado na Figura 6.

n=1

n


9

FIGURA 6 – DEMONSTRAÇÃO DE UM SISTEMA BINÁRIO DE FORÇAS


• O momento de um binário é o mesmo, independentemente qual seja o ponto de análise, essa afirmação pode ser comprovada facilmente de maneira matemática (fica como dica para fixação dessa propriedade o desenvolvimento matemático).

• Como o momento de um binário em relação a um ponto independente, ele será simplesmente chamado de momento de binário e identificado por M

.

• Já que o momento de um binário independe do polo, qualquer ponto pode ser utilizado em sua determinação. Adotar os pontos P e Q conhecidos (Figura 6) facilita a obtenção de M

, já que em relação a eles, uma das forças do binário será nula.

Da mesma maneira que o momento de uma força aplicada a um ponto, o momento de um binário apresenta características de intensidade, direção e sentido. Sendo que o método utilizado para determinar a direção e sentido do momento do binário é exatamente igual ao aplicado anteriormente para encontrar o momento da força em um ponto. A única diferença se dá no cálculo da intensidade, determinado por:

.=

M F b

Em que b é a distância entre as linhas de ação entre as duas forças (braço de alavanca de um binário).


10

FIGURA 7 – SISTEMA DE MOMENTO DE UM BINÁRIO


Portanto, como visto anteriormente, a intensidade do momento do binário é o produto da intensidade de uma das forças que constituem o binário pelo braço de alavanca.

2.2 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS EM UM PONTO

A Redução de um sistema de forças ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3P, , P, , P, , , P, nS F F F F= …

em um ponto A consiste em aplicar neste ponto dois vetores: R

e AM

. Nota-se que R

é a resultante do sistema de forças S e este componente independe do ponto de redução.

A redução de um mesmo sistema de forças S em dois pontos distintos A e B pode ainda levar aos momentos AM

e BM

, tendo sua relação descrita pela fórmula:

MB = MA + BA Λ R

Essa fórmula mostra que o momento BM

é a soma vetorial de AM

com o momento que a resultante R

aplicada em A tem em relação a B, ou seja, quando

se reduz em B um problema previamente reduzido em A, consistem em aplicar em B uma força ( R

) e dois momentos ( AM

) e o momento de (A, R

).

Após o exposto acima, deve-se ressaltar outra propriedade dos vetores,

quando a resultante R

de um sistema de forças é nula, então o momento BM

independe da posição do ponto B de redução, e a recíproca dessa situação também se faz verdadeira, ou seja, sendo o momento BM

independe do ponto B de redução

(para qualquer ponto B), então a resultante R

é nula. Essa afirmação pode ser mostrada matematicamente da seguinte maneira: 0= ⇔

BR M .


11

Outra propriedade importante e que deve ser lembrada é que, se a resultante R

de um sistema de forças for nula, e seu momento em relação a um ponto A também é nulo, então a redução desse sistema para qualquer outro ponto B resulta em um momento BM

nulo. Portanto: 0 0 0, A BR e M M B= = ⇔ = ∀

.

2.3 SISTEMAS MECANICAMENTE EQUIVALENTES

É possível afirmar que dois sistemas de forças (S e S’) são equivalentes quando suas reduções em um mesmo ponto genérico A levam aos mesmos esforços solicitantes. Ou seja, um ponto de redução qualquer, sempre a redução de dois sistemas de esforços mecânicos equivalentes em um mesmo ponto resultará nos mesmos esforços, qualquer seja o ponto de redução considerado.

Inicialmente deve-se definir melhor o conceito de equivalente. É considerado sistema equivalente quando dois sistemas de esforços aplicados em um mesmo corpo rígido o levam a apresentar o mesmo movimento.

Como um exemplo, é possível considerar uma mesma barra rígida, homogênea e submetida a dois sistemas de esforços distintos, porém mecanicamente equivalentes. Imediatamente constata-se que os dois sistemas de forças da Figura 8 são equivalentes mecanicamente. Para realizar essa conferência, reduz-se os sistemas em um mesmo ponto qualquer.

Nesse caso será reduzido ao centro de massa da barra e, nos dois casos, será obtido que 2 0 R P j e M= =

; portanto o sólido passará a ter o mesmo movimento

ao ser aplicado os esforços, desde que esse sólido apresente as mesmas condições no instante de aplicação da carga.

FIGURA 8 – EXEMPLOS DE SISTEMAS DE ESFORÇOS EQUIVALENTES


a)b)

Sabe-se que após o sistema de esforços ser reduzido a um ponto, essa redução faz surgir uma força e um momento mecanicamente equivalente a esse sistema no ponto selecionado, como é apresentado no exemplo a seguir.

Exemplo 1: considerando a barra da Figura 9a, em que são aplicadas duas forças coplanares estabelecendo um sistema de esforços SI. Se reduzirmos esses esforços no ponto A as resultantes dessa redução são apresentadas na Figura 9b, formando um sistema de esforços SII.


12

20 50 30R i i i= − = −

20.2 50.4 160AM k k k= − + =

FIGURA 9 – EXEMPLO DE REDUÇÃO DE ESFORÇOS PARA SISTEMASMECANICAMENTE EQUIVALENTES


a) b)

c)

Porém, caso a redução de SI ocorra no ponto B, leva a uma resultante de força 30= −

R i e momento dado por 20.4 50.2 20= − = −

BM k k k e, a redução

do sistema SII no ponto B resulta em uma força 30= −

R i e ao momento dado por 30.6 160 20= − + = −

BM k k k , comprovando que os sistemas SI e SII são sistemas

equivalentes.

Deve-se ressaltar que essa equivalência de sistemas de forças só poderá ser considerada quando os esforços são aplicados em corpos rígidos e sob as mesmas condições iniciais. Portanto, é de extrema importância observar que dois sistemas de forças equivalentes podem produzir efeitos distintos em sólidos deformáveis, como pode ser observado na Figura 10.

A redução de ambos os sistemas de forças no centro de massa (G) leva a um valore de 0=

R e 30= −

R i . Porém se as barras se encontram em repouso no

instante da solicitação dos esforços, elas irão se deformar, uma vez que se trata de elementos deformáveis e permanecerão com sua configuração deformada, em repouso, desde que seja mantida a configuração de carregamento nela aplicada.

Na Figura 10 são apresentados dois sistemas de aplicação de cargas equivalentes, porém com diferentes configurações (Figuras 10a e 10c) e suas respectivas deformações (Figuras 10b e 10d). É possível perceber que a concavidade da deformada dos casos apresentados são totalmente diferentes, mesmo os esforços sendo mecanicamente equivalentes.


13

FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO DA DIFERENÇA DE DEFORMAÇÃO SOFRIDA NA ESTRUTURADE DOIS SISTEMAS DE CARREGAMENTO EQUIVALENTE

FONTE: O autor

a)

c) d)

b)

Portanto, como apresentado no exemplo da Figura 10, é mostrado claramente que dois sistemas de forças equivalentes só produzem os mesmos efeitos na estrutura quando ela for composta por um mesmo sólido rígido, sendo completamente distintos quando se tratar de um sólido deformável.

Esse conceito de redução de sistema de esforços deve estar bem esclarecido para facilitar o processo de análise das estruturas.

NOTA

Deve-se ressaltar ainda que toda análise realizada abrangerá apenas forças coplanares, ou seja, que estejam atuando no mesmo plano de forças, sendo assim, possível a redução de seu sistema. Para a realização da redução do sistema serão apresentados dois métodos possíveis de serem utilizados: o método direto e o indireto.


14

2.3.1 Método direto

Esse processo consiste na redução do sistema de forças em um ponto qualquer (Q) da barra e na determinação de qual deve ser a posição desse ponto para realizar o cálculo do momento de redução para que os esforços se anulem, conforme é mostrado na Figura 11.

O momento de redução é

( ). .QM P x P l x= − −

Em que o valor encontrado para x é a posição que resulta em um momento nulo do sistema, ou seja, encontrando o equilíbrio entre o sistema original e o sistema reduzido.

FIGURA 11 – EXEMPLO DE REDUÇÃO DE SISTEMAS FORÇAS COPLANARES,CONFIGURAÇÃO ORIGINAL (A) E CONFIGURAÇÃO REDUZIDA (B)

a) b)FONTE: Neto (1996, p. 18)

Como se busca um valor de x para que o sistema entre em equilíbrio, tem-se então:

( ). . 0QM P x P l x= − − =

2 . . 0P x P l− =

2lx =

2.3.2 Método indireto

Esse método de solução se baseia no fato de que o sistema original e o reduzido sejam mecanicamente equivalentes, possibilitando que a determinação do ponto de redução procurada seja feita indiretamente, de modo a responder à pergunta que se faz: Qual deve ser o valor da posição x do ponto Q em que os dois sistemas se tornam equivalentes mecanicamente?


15

Por exemplo, reduzindo os sistemas apresentados na Figura 12 no ponto A, e impondo que os dois momentos sejam iguais, então é possível obter a posição do ponto Q de aplicação da força.

FIGURA 12 – REDUÇÃO DOS SISTEMAS APRESENTADOS NO PONTO A


. 2. .AM P l P x= − = −

2lx =

É possível observar que os resultados encontrados pelo método direto e indireto resultam nos mesmos valores. A maior diferença entre os métodos é que pelo método indireto se tem maior liberdade da escolha do ponto de redução para comparar com o sistema original.

2.4 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE

Exemplo: para o sistema mostrado na sequência, aplicar uma única carga equivalente ao sistema.

FIGURA 13 – EXEMPLO DE SISTEMA

FONTE: O autor

Reduzindo esse sistema em relação ao ponto A, encontra-se:

30.2 40.3 180 .AM kN m=− − =−

O esforço resultante do sistema acima é:


16

FIGURA 14 – RESULTANTE DO SISTEMA

FONTE: O autor

Com a redução desse sistema no ponto A obtém-se 90.AM x= − .

Sabendo que para comprovar a equivalência dos sistemas utilizados, esses dois momentos encontrados são iguais. Portanto:

180 . 90.AM kN m x=− =−

180 2 90

x m−= =−

Portanto:

FIGURA 15 – RESULTADO DO SISTEMA

FONTE: O autor

=

17

Neste tópico, você aprendeu que:

• Toda força aplicada em um ponto possui módulo, direção e sentido.

• Toda força aplicada em um plano irá gerar um binário em outro ponto qualquer diferente do qual a força é aplicada.

• O momento gerado por uma força é igual ao produto da sua intensidade e a distância da força ao ponto analisado.

• O sentido do momento gerado obedece a regra da mão direita.

• Todo carregamento apresentado por uma estrutura pode ser reescrito em uma forma mais simplificada, formando um sistema equivalente.

• Ao montar um sistema equivalente de esforços, são facilitados o entendimento e a análise da estrutura.

RESUMO DO TÓPICO 1

18

1 Determinar a posição da força resultante para que o sistema reduzido seja mecanicamente equivalente ao sistema original:

FONTE: O autor

FONTE: O autor

FONTE: O autor

FONTE: O autor

FONTE: O autor

a)

b)

c)

c)

c)

AUTOATIVIDADE

19

2 Substitua o sistema de forças que atua sobre a viga por uma força e um momento equivalente no ponto B.

3 Substitua as três forças atuantes no cano por uma única força resultante. Especifique onde a força atua, utilizando a extremidade B como referência.

4 Substitua as cargas por uma força equivalente e especifique a sua localização sobre a viga, a qual deve ser medida a partir do ponto B.

FONTE: Hibbeler (2010, p. 149)



20

5 Substitua o carregamento distribuído por uma força equivalente resultante, especifique sua localização medida a partir do ponto A.

6 Substitua as cargas por uma força resultante e momento equivalente atuantes no ponto O.

7 O concreto molhado exerce uma pressão distribuída ao longo das paredes da fôrma. Determine a força resultante dessa distribuição e especifique a altura h em que a escora deve ser colocada para que se posicione na linha de ação da força resultante. O muro possui espessura de 5 m.




21

TÓPICO 2

ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS

PLANOS

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

A estática dos sistemas materiais planos estuda o equilíbrio das estruturas contidas no mesmo plano que as forças que atuam no sistema, através das equações de equilíbrio apresentadas adiante, no Quadro 1.

Porém, uma exata análise da estrutura nunca poderá ser realizada, devido à estimativa de carregamento e das resistências dos materiais utilizados na estrutura. Outro fator que aumenta a imprecisão das análises é o ponto de aplicação dos carregamentos utilizados.

Portanto, neste tópico, serão abordados todos os mecanismos que envolvem o equilíbrio da estrutura, seus conceitos, classificação da estrutura quanto a seu grau de estaticidade para, então, iniciar os cálculos de análise.

2 EQUILÍBRIO

Um sistema estrutural se encontra em equilíbrio quando ele estiver em repouso em relação a um ponto de referência, ou seja, se qualquer ponto contido em seu sistema não varia de posição em relação a esse referencial adotado.

Dessa forma, pode-se afirmar que para o corpo se encontrar em equilíbrio, a resultante das forças atuantes no corpo é nula, assim como o momento resultante dessas forças no ponto de análise também é nulo.

A teoria da análise estrutural é baseada no princípio da superposição, o qual trata que: O deslocamento total ou cargas internas em um ponto de uma estrutura sujeita a várias cargas externas podem ser determinadas pela soma dos deslocamentos ou cargas internas causadas por cada uma das cargas externas atuantes separadamente.

Porém essa declaração só é válida para:

• Material com comportamento elástico-linear, ou seja, obedece à Lei de Hooke e, dessa maneira, a carga será proporcional ao deslocamento.

• A geometria da estrutura não pode passar por mudança significativa quando as cargas são aplicadas, ou seja, não pode haver grandes deslocamentos da estrutura de forma a mudar a orientação e posição das cargas.


22

Portanto, através do exposto, para um ser possível afirmar que um corpo está em equilíbrio é necessário que as seguintes condições sejam atendidas:

QUADRO 1 – CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO

No plano No espaçoΣFx=0ΣFy=0ΣMx=0ΣMy=0

ΣFx=0ΣFy=0ΣFZ=0ΣMx=0ΣMy=0ΣMz=0

FONTE: O autor

No Quadro 1, as componentes F representam as somas das forças em cada eixo (x,y e z) e M é o momento causado pelo carregamento, também podendo ocorrer nos três eixos (x, y e z).

Toda vez que essas equações são aplicadas, se faz necessário traçar o diagrama de corpo livre do sistema, o qual será abordado nos subtópicos a seguir.

2.1 REVISÃO

Equilíbrio: quando todas as forças que atuam sobre o ponto material têm força resultante nula, podendo este corpo estar em repouso ou se movendo com velocidade constante. Para realizar essa análise se faz necessário o estudo do diagrama de corpo livre, que nada mais é que o contorno da forma do ponto material, mostrando todas as forças com suas intensidades e sentidos conhecidos e desconhecidos.

Duas dimensões: em duas dimensões, basta realizar o somatório das forças nos dois eixos em que se encontra o corpo rígido e igualando-as a zero. Se o resultado obtido for negativo, então a força desconhecida possui sentido oposto àquela mostrada no diagrama de corpo livre.

Três dimensões: por ser um pouco mais difícil de visualizar, em sistemas espaciais (tridimensionais) a equação de equilíbrio pode ser aplicada utilizando a análise vetorial cartesiana, o que requer primeiro expressar cada força no diagrama de corpo livre e então soma-se as forças de cada componente vetorial (j, j, k). Quando somados e igualados a zero, esses componentes também devem ser nulos, de modo que o somatório das forças em cada eixo seja igual a zero.

TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS

23


Os problemas de equilíbrio de forças, sejam eles no plano, são resolvidos usando o seguinte procedimento:

1- Diagrama de corpo livre:• Definir os eixos x, y e z.• Identificar todas as intensidades e sentidos conhecidos e desconhecidos das

forças no diagrama.• O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida é suposto.

2- Equações de equilíbrio:• Usar as equações escalares de equilíbrio ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑Fz =0 nos casos em

que seja fácil decompor cada força em seus componentes x, y, z.• Se a geometria tridimensional parecer difícil, primeiro expressar cada força

como vetores cartesianos e depois substituir pelos vetores na equação de ∑F=0, igualando a zero os componentes i,j,k.

• Se a solução der resultado negativo, isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre.

3 APOIOS

Todos os esforços atuantes em um sistema podem ser classificados em esforços externos ativos e reativos, ou seja, as ações atuantes (peso próprio dos elementos, pressão de vento, cargas de uso da edificação etc.)

Portanto, os esforços ativos são todas as cargas que a estrutura das construções deve suportar, caso contrário, a estrutura perde seu funcionamento e não justifica o seu uso.

Já os esforços reativos são os esforços provindos dos apoios de ligação entre os sistemas da estrutura, criando vinculação entre eles e impedindo alguns movimentos da estrutura, de acordo com seu grau de rigidez.

Os principais tipos de apoios considerados nas análises estruturais, suas representações e restrições impostas aos movimentos estão apresentados na Quadro 2, sendo considerado o eixo de referência apresentado na Figura 16.


24

FIGURA 16 – COORDENADAS DE REFERÊNCIAS CARTESIANAS

FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 3)

QUADRO 2 – RESUMO DOS TIPOS DE APOIOS UTILIZADOS NAS ANÁLISES DE ESTRUTURAS

Tipo de Apoio Representação Reações (impedimento do movimento) Plano

Apoio Simples ou de primeiro gênero Rx=0; Mz=0; Ry ≠ 0 X-Y

Articulação, rótula ou apoio do segundo gênero Rx ≠ 0; Mz=0; Ry ≠ 0 X-Y

Engaste Rx ≠ 0; Mz≠0; Ry ≠ 0 X-Y

FONTE: O autor

As restrições impostas pelos apoios ao movimento da estrutura recebem o nome de vínculo, e o número de reações impostas pelos vínculos nos pontos vinculados é igual à quantidade de movimentos que são impedidos pelo apoio.

Uma vez conhecendo as diferentes maneiras que as ligações das estruturas podem ser idealizadas, serão apresentadas então algumas técnicas para elaborar a análise.

IMPORTANTE

Inicialmente, quando as equações são aplicadas, se faz necessário traçar o diagrama de corpo livre da estrutura e seus elementos. Dessa forma, se um membro é escolhido para a análise, ele deve ser isolado dos suportes e adjacências, assim pode-se descobrir os valores das reações de apoio do sistema.


25

O primeiro passo para iniciar a análise é estabelecer a determinação e estabilidade da estrutura, em outras palavras, definir o grau de estaticidade do sistema. Define-se determinação da estrutura sendo a condição que as equações de equilíbrio fornecem para a estrutura analisada. Ou seja, quando todas as forças podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio, a estrutura é conhecida como estaticamente denominada.

Quando esse fato não é permitido, ou seja, há mais forças desconhecidas do que equações de equilíbrio, a estrutura é chamada de estaticamente indeterminada.

Para facilitar o entendimento, é possível definir a estrutura como:

r = 3n, estaticamente determinadar > 3n, estaticamente indeterminada

Em que: • r = número de componentes de reação;• n = número de partes seletiva dos membros através do diagrama de corpo livre.

Em particular, em estruturas estaticamente indeterminadas, as equações adicionais necessárias para selecionar os sistemas de equações encontrados são obtidas relacionando as cargas aplicadas e reações aos deslocamentos das estruturas. A quantidade de equações que serão necessárias obter está relacionada diretamente com o grau de estaticidade (por grau de indeterminação) da estrutura. Nesse aspecto, a estrutura pode ser classificada como:

• ISOSTÁTICA: quando a estrutura é restringida e o número de incógnitas é igual ao número de equações de equilíbrio do sistema.

• HIPERESTÁTICA: quando a estrutura é restringida e o número de incógnitas é superior ao número de equações de equilíbrio do sistema.

• HIPOSTÁTICA: quando a estrutura é restringida e o número de incógnitas é inferior ao número de equações de equilíbrio do sistema.

Uma das formas de calcular o grau de estaticidade da estrutura é através da seguinte fórmula:

gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m

Em que: • gh = grau de estaticidade ou hiperestaticidade• C1 = número de vínculos da 1ª classe• C2 = número de vínculos da 2ª classe• C3 = número de vínculos da 3ª classe• m = número de hastes presentes na estrutura


26

Através da fórmula apresentada é possível afirmar que quando gh=0, se trata de uma estrutura ISOSTÁTICA; para gh<0, uma estrutura HIPOSTÁTICA; e quando gh>0 trata-se de uma estrutura HIPERESTÁTICA, com seu grau de hiperestaticidade igual ao valor encontrado na equação. Alguns exemplos do cálculo do grau de hiperestaticidade serão apresentados a seguir:

Exemplos:

QUADRO 3 – ESTRUTURAS PLANAS


Quantidade de apoios

C1=1; C2=1Número de barras

m=1

gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.mgh = 1 + 2.(1) + 3.(0) – 3.(1)

gh = 1 + 2 – 3gh = 0

Estrutura IsostáticaQuantidade de

apoiosC3=1

Número de barrasm=1

gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.mgh = 0 + 2.(0) + 3.(1) – 3.(1)

gh = 0

Estrutura IsostáticaQuantidade de

apoiosC1=2


gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.mgh = 2 + 2.(0) + 3.(0) – 3.(1)

gh = –1

Estrutura HipostáticaQuantidade de

apoiosC1=2; C2=1


gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.mgh = 2 + 2.(1) + 3.(0) – 3.(1)

gh = 1

Estrutura Hiperestática

Existem situações em que há a presença de articulação ou uma rótula, neles a rótula representa mais uma restrição, no caso interna, para esses casos é considerado o tipo de ligação e o número de barras conectadas -1.

Exemplo:


27

QUADRO 4 - ARTICULAÇÃO OU RÓTULA

A rótula é uma conexão do tipo C2 e, nesse caso, ligados por 2 barras.

Quantidade de apoios

C1=2; C2=1Número de

barrasm=2

Ligações internasC2 = 2-1 = 1

gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.mgh = 2 + 2.(2) + 3.(0) – 3.(2)

gh = 0

Estrutura Isostática


Além da rótula, ainda é possível encontrar restrições internas como Tirantes e Ligações engastadas, conforme representado a seguir.

QUADRO 5 – LIGAÇÕES INTERNAS

Tirantes (C1)

Articulação ouRótula (C2)

Ligação engastada



28

Exemplos:

QUADRO 6 – PÓRTICOS E ARCOS

FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 12-13)

Quantidade de apoiosC1=1; C2=1


Ligações internasC3= 2-1 = 1C2 = 2-1 = 1

gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.mgh = 1 + 2.(2) + 3.(1) – 3.(3)

gh = 1 + 4 + 3 – 9gh = –1

Estrutura Hipostática



gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.mgh = 0 + 2.(1) + 3.(1) – 3.(1)

gh = 0 + 2 + 3 – 3gh = 2

Estrutura HiperestáticaQuantidade de apoios


m=2Ligações internas

C1= 2-1 = 1C2 = 2-1 = 1

gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.mgh = 2 + 2.(2) + 3.(0) – 3.(2)

gh = 2 + 4 + 3 – 6gh = 0




Ligações internasC3= 2-1 = 1

gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.mgh = 1 + 2.(1) + 3.(4) – 3.(4)

gh = 1 + 2 + 12 – 12gh = 3

Estrutura HiperestáticaQuantidade de apoios


m=3Ligações internas

C1= 2-1 = 1C2 = 2-1 = 1C3= 2-1 =1

gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.mgh = 2 + 2.(2) + 3.(1) – 3.(3)

gh = 2 + 4 + 3 – 9gh = 0


4 DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO

Uma vez que é conhecido o sistema a ser analisado e suas equações (baseadas nas equações de equilíbrio já comentado anteriormente), então é possível realizar os cálculos para encontrar as forças de reações nos apoios devido à aplicação de carga, conforme exemplos a seguir.

Deve-se ressaltar que os somatórios de forças devem ocorrer no mesmo plano, sendo relacionados aos eixos dos planos, portanto um esforço inclinado deverá ser reduzido em duas componentes que o formaram.


29

4.1 ESTRUTURA APORTICADA

FIGURA 17 – EXEMPLO DE ESTRUTURA APORTICADA


Primeiramente é necessário encontrar os esforços nas direções x e y. Para isso, o primeiro passo é decompor o esforço de 10 kN.

FIGURA 18 – ESTRUTURA APORTICADA


Uma vez encontrado o valor de cada componente, aplica-se as equações de equilíbrio da estrutura no plano:

I- ∑Fx=0

HA + 6kN = 0 . . HA = –6kN

II- ∑Fy=0

VA + VB – 8kN – (10.3) = . . VA + Vb = 38kN


30

III- ∑MA=0

7.VB – (30.5,5) – (6.1,5) = 0 . . 7.VB = 190kN . . VB = 27,14kN

Como VA + VB = 38 kN e VB = 27,14 kN, temos que VA = 38 -27,14 = 10,86 kN.

A verificação dos valores encontrados pode ser feita através do somatório de momentos em relação ao ponto B, em que o valor dessa soma precisa necessariamente ser igual a zero.

4.2 PÓRTICO ISOSTÁTICO

FIGURA 19 – PÓRTICO ISOSTÁTICO

FONTE: Valle; Rovere; Pillar Pillar (2013, p. 17)

I- ∑Fx=0

–HA + 40kN = 0 . . HA = 40kN

II- ∑Fy=0

VA + VB = 60kN

III- ∑MA=0

8.VB + 80 – (40.6) – (60.4) = 0 . . 8VB = 400kN . . VB = 50kN

Como VA + VB = 60 kN e VB = 50 kN, temos que VA = 60 -50 = 10 kN. A verificação dos valores encontrados pode ser feita através do somatório de momentos em relação ao ponto B, em que o valor dessa soma precisa, necessariamente, ser igual a zero.


31

4.3 TRELIÇA ISOSTÁTICA

FIGURA 20 – TRELIÇA ISOSTÁTICA


I- ∑Fx=0

–HB + 12 – 4 = 0 . . HB = 8kN

II- ∑Fy=0

VA + VB = 14kN

III- ∑MA=0

( ) ( ) ( ) 44.4 8.1,5 12.2 3. 0 3 16 12 24 1,33 3A A AV V kN V kN + − − = ∴ = + − ∴ = =

Como VA + VB = 14 kN e VA = 1,33 kN, temos que VB = 14 -1,33 = 12,67 kN. A verificação dos valores encontrados pode ser feita através do somatório de momentos em relação ao ponto B, em que o valor dessa soma precisa, necessariamente, ser igual a zero.


32

4.4 PÓRTICO TRIARTICULADO ISOSTÁTICO

FIGURA 21 – PÓRTICO TRIARTICULADO ISOSTÁTICO


I- ∑Fx=0

HA + HB + 20 – 12 . . HA + HB = –8kN

II- ∑Fy=0

VA + VB – (10.4) = 0 . . VA + VB = 40kN

III- ∑MA=0

4VB–(40.2) + (12.2) – (20.4) = 0 . . 4VB = 80 – 24 + 80 . . VB = 40 – 34 = 6kN

IV- ∑MC=0

Por se tratar de uma rótula, nesse ponto da estrutura o momento fletor deve ser sempre nulo. Portanto é possível continuar a análise da estrutura separando-a em duas partes, passando o ponto de divisão pela rótula e escolhendo um dos lados para ser analisado, conforme exemplo a seguir.


33

FIGURA 22 – ANÁLISE DA ESTRUTURA DO PÓRTICO TRIARTICULADOÀ ESQUERDA DA RÓTULA


Mc – (6.2) + (20.1) + (HA.4) = 0

Como MC = 0 temos que 4HA= 12 – 20, logo, HA = -2kN. Se HA + HB = -8kN, então HB = -6kN.

A verificação dos valores encontrados pode ser feita através do somatório de momentos em relação ao ponto D, em que o valor dessa soma precisa, necessariamente, ser igual a zero.

5 ESTÁTICA DOS SISTEMAS ESPACIAIS

Os sistemas espaciais são aqueles que não possuem suas partículas e todos os esforços solicitantes situados no mesmo plano. Nesse sentido, existem dois tipos de sistemas espaciais:

• Quando todas as partículas estão situadas no mesmo plano, porém os esforços solicitantes não pertencem a esse plano (Figuras 23a e 23b).

• Quando nem todas as partículas estão situadas em um mesmo plano (Figuras 23c e 23d).


34

FIGURA 23 – SITUAÇÕES POSSÍVEIS DE SISTEMAS ESPACIAIS


Assim como nas estruturas contidas em um único plano, os vínculos que podem existir em uma estrutura podem ser de primeiro gênero, segundo gênero e engaste. Além desses conhecidos, ainda é necessário destacar a utilização de rótulas nos vínculos. As rótulas impedem qualquer movimento do ponto analisado, porém possibilita a rotação do sistema pelos eixos que passam pelo ponto de análise.

Dito isso, os esforços são encontrados através das equações de equilíbrio de um corpo no espaço: ∑Fx =0; ∑Fy =0; ∑Fz =0; Mx =0; ∑My =0; ∑Mz =0.


35

5.1 PÓRTICO ESPACIAL

FIGURA 24 – TRELIÇA ESPACIAL


Passo 1 – Verificação da estaticidade da estrutura:

r + b = 3n . . 9 + 3 = 3.4 . . 12 = 12

Portanto, trata-se de uma estrutura isostática.

Passo 2 – Cálculo de equilíbrio do nó D:

FIGURA 25 – EQUILÍBRIO DO NÓ



36

Nesse caso, temos três incógnitas (N1, N2, N3) e três equações (somatório das forças em x, y e z). Após conhecer os valores desses esforços, é possível selecionar os nós que possuem os apoios e calcular o valor das reações de cada apoio.

5.2 PÓRTICO ESPACIAL

FIGURA 26 – EXEMPLO DE PÓRTICO ESPACIAL


Na estrutura apresentada é possível perceber que se trata de um pórtico espacial engastado, que apresenta a seguinte configuração:

• 6 incógnitas;• 6 equações de equilíbrio;• restringida.

Dessa forma é possível resolver o sistema facilmente, conforme mostrado a seguir:

I- ∑Fx =0;

RAX – 2tf = 0; RAX =2tf

II- ∑Fy =0;

RAy -4tf =0; RAy =4tf


37

III- ∑Fz =0;

RAz – 1tf =0; RAz =1tf

IV- ∑Mx =0;

MAx – (4.3) - (1.5) =0; MAx = 17tf.m

V- ∑My =0;

MAy + (2.3) + (1.4) = 0; MAy =10tf.m

VI- ∑Mz =0;

MAz + (2.5) – (4.4) =0; MAz = 6tf.m

Portanto, encontrando assim os valores dos esforços de reação dos apoios da estrutura. É possível verificar se as reações encontradas nos cálculos estão corretas através do somatório dos momentos em cada eixo, utilizando os valores das reações encontradas e, esse somatório, necessariamente, deve ser nulo para satisfazer a condição de equilíbrio.

Porém, esse método de conferência não é infalível, pois essa é uma condição necessária para o equilíbrio, mas não suficiente para que as reações obtidas estejam corretas.

38

RESUMO DO TÓPICO 2


• Ao analisar qualquer problema de equilíbrio, é necessário, antes de tudo, desenhar um diagrama de corpo livre. Isso significa realizar um esquema das forças e momentos atuantes na estrutura. Para isso, é importante lembrar que os apoios exercem uma força sobre o corpo em uma direção particular, de acordo com o tipo de vinculação.

• No caso de cargas e/ou apoios inclinados, a direção dos esforços deve ser indicada no diagrama de corpo livre.

• Em estruturas de corpos rígidos no plano (duas dimensões), as três equações de equilíbrios (somatórios de forças nas direções X e Y e somatório dos momentos igual a zero) são suficientes para encontrar os esforços solicitantes. Para isso, basta somar as forças em cada eixo, formando um sistema de equações e, para eliminar os esforços desconhecidos, basta realizar o somatório dos momentos no ponto onde essas forças são aplicadas.

• Para estruturas tridimensionais, em geral é vantajoso uma análise vetorial cartesiana, para então para aplicar as equações de equilíbrio. Para essa decomposição dos esforços é necessário expressar os momentos e as incógnitas mostrados no diagrama de corpo livre como um vetor cartesiano. Dessa forma, é possível realizar o somatório das forças de cada eixo e igualar a zero. Considerar o momento em relação a um ponto qualquer, desde que ele se encontre na linha de ação de tantos componentes de forças quanto possível.

• É preciso orientar os vetores de posição para cada força e usar o produto vetorial para determinar o momento de cada uma.

• Um corpo rígido no espaço necessita de seis equações de equilíbrio para poder ser determinado e igualar essas equações a zero.

• As cargas internas em um corpo consistem em uma força normal, uma força de cisalhamento, um momento fletor e um momento torçor. Elas representam as resultantes de uma distribuição de tensão normal e de tensão de cisalhamento que agem na seção transversal.


39

• Para encontrar os valores da resultante, utiliza-se o método das seções e as equações de equilíbrios:

◦ ∑Fy=0 ◦ ∑Fx=0 ◦ ∑Fz=0 ◦ ∑My=0 ◦ ∑Mx=0 ◦ ∑Mz=0

40

1 Determine o grau de estaticidade das estruturas a seguir, classificando-as em ISOSTÁTICA, HIPOSTÁTICA E HIPERESTÁTICA:

a)

b)

c)

d)





AUTOATIVIDADE

41

2 Determine as reações de apoio das seguintes estruturas:

a)


e)

f)

g)

h)





42

b)

c)

d)

e)





43

f)

g)

h)

i)

FONTE: O autor

FONTE: O autor

FONTE: O autor

FONTE: O autor

44

j)

k)

l)

FONTE: O autor

FONTE: O autor


3 A estante simétrica está submetida a uma carga uniforme de 4 kPa. O apoio é fornecido por um parafuso (ou pino) localizado em cada extremo A e A' e pelos suportes simétricos que se apoiam na parede li a, em ambos os lados B e B'. Determine a força de resistência oferecida por cada parafuso na parede e a força normal em B para manter o equilíbrio.

45




4 Determine a reações no apoio A e B para o equilíbrio da viga.

5 Determine o componente de reação x, y, z nos apoios esféricos B, C e na junta esférica A (não mostrada na figura) para a placa carregada uniformemente.

46

6 Determine o componente horizontal vertical da reação no pino A e a reação no rolete B, necessária para apoiar a treliça. Considere F = 600 kN.

7 Se o rolete em B é capaz de sustentar uma carga máxima de 3 kN, determine a maior intensidade cada uma das três forças que podem ser sustentadas pela treliça.

8 Determine a força no cabo e os componentes horizontal e vertical da reação do pino em A. A polia em D é sem atrito e o cilindro pesa 80 lb.




47

9 O anteparo AD está sujeito às pressões da água e do aterramento. Supondo que AD esteja ‘fixado por pinos’ ao solo em A, determine as reações horizontal e vertical nesse ponto e a força do reforço BC necessária para manter o equilíbrio da estrutura. Considere que o anteparo possui massa de 800 kg.

10 A lança AC é apoiada por uma junta esférica em A e por dois cabos BDC e CE. O cabo BDC é contínuo e passa pela polia em D. Calcule a força nos cabos e os componentes de reação x, y, z em A, se o engradado tem peso de 80 lb.



48

12 Determine os componentes x, y, z na parede fixa A. A força de 150 N é paralela ao eixo z e a força de 200 N é paralela ao eixo y.


49

TÓPICO 3

O CONCEITO DE TENSÃO

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Até o presente momento, foram apresentadas e recordadas algumas noções de estática dos corpos rígidos. Agora, iremos adentrar no estudo dos sólidos utilizados na mecânica das estruturas, os sólidos deformáveis, ou seja, estruturas que mudam de forma quando solicitadas por esforços.

O comportamento dos sólidos deformáveis, no geral, é regido pela Lei de Hooke, como visto na disciplina de resistência dos materiais, onde define que a há uma relação entre a tensão aplicada na estrutura e a deformação que ela sofre. Portanto, o objetivo de realizar uma análise é verificar a segurança desta estrutura frente às tensões geradas pelos esforços, assim como as deformações obtidas não ultrapassem os limites suportados.

Desta forma, no decorrer deste tópico, serão abordados os tipos de tensões que podem surgir nos elementos estruturas, como devem ser considerados em uma uma análise, seus efeitos quanto ao deslocamento da estrutura e apresentado um método de análise.

2 ANÁLISE DE TENSÕES DE ESTRUTURAS

Ao projetar uma estrutura, se faz necessário considerar a deformabilidade do material que a constitui, e para ser possível então iniciar esse estudo, deve-se estar com o conceito de tensão bem consolidado. Portanto será apresentado uma primeira ideia mais informal do que são tensões e das tensões internas geradas em um sólido.

Se pensarmos nas edificações construídas, o que ocorre quando seu espaço é ocupado? Ou em uma ponte, quando um automóvel passa por ela?

Todas essas solicitações citadas são transmitidas pela estrutura até suas

fundações, quando geram reações de apoios que, como visto anteriormente, são vínculos necessários para que a estrutura se mantenha em equilíbrio e assim possibilita sua utilização.

50


FIGURA 27 – ESQUEMA DE TRANSMISSÃO DOS ESFORÇOS EM UMA ESTRUTURA


Na Figura 27, a estrutura da ponte mostrada sofre a ação das forças P1 e P2 (contato das rodas do veículo com a ponte). Esse carregamento é transferido até as sapatas de fundação e, destas, transmitidos ao solo.

Mesmo não estando detalhado, o mecanismo de transferência de cargas, nesse exemplo, no geral é o fenômeno que ocorre em qualquer estrutura, mostrando a funcionalidade da estrutura, que é transmitir os esforços solicitantes externos, do ponto de aplicação até os apoios onde serão transmitidos para o solo.

Essa transferência do esforço pela estrutura resulta em deformação da estrutura, devido à modificação das posições relativas de suas moléculas.

Além da deformação, a ruptura da estrutura também pode ser explicada por esse caminhamento dos esforços, em que a aplicação de uma carga muito elevada pode levar a estrutura à ruptura, uma vez que os esforços internos solicitantes também serão muito grandes, podendo romper a estrutura caso supere a resistência do material.

Dentro desse aspecto, deve-se ressaltar que um mesmo material apresenta resistência distinta a diferentes esforços internos. Uma peça de cerâmica apresenta diferente resistência quando submetida a esforços de tração, compressão e flexão.

Deve-se acrescentar que o corpo se deforma com a aplicação da força, qualquer que seja a natureza dela (tração, compressão ou flexão), e essa deformação, para uma mesma carga, vai depender da rigidez que o material apresenta.

Como exemplo é possível comparar duas réguas escolares com diferentes rigidezes e submetê-las a um mesmo carregamento. Se compararmos as duas, é possível verificar que a régua que apresenta menor rigidez irá deformar mais.

Portanto, é possível afirmar que corpos muito rígidos deformam pouco quando submetidos a um carregamento, muitas vezes, essa deformação será imperceptível.

Dessa maneira, como já comentado, as tensões nada mais são que os esforços internos que surgem em um sólido quando esforços externos são transmitidos de um ponto a outro, e esses esforços externos, quando resultam em tensões superiores ao suportado pelo material, ocorre a ruptura do material.

TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO

51

Uma vez entendendo como se transmite a tensão dentro da estrutura, é possível então defini-la fisicamente, sendo as forças distribuídas que atuam nos planos internos de um sólido. Matematicamente é possível definir a tensão em um ponto qualquer P contido no plano sendo:

mF

Aρ ∆= ∆

Em que: = tensão média; = resultante da força distruída atuando na região; = área.

A tensão mρ

é um vetor com direção e sentido de F∆

e intensidade F∆

/ A∆ , comprovando o conceito físico apresentado, tendo sua dimensão de uma força dividida por uma área. No Sistema Internacional, a unidade de medida de tensão é o pascal (Pa), onde 1 Pa = 1 N/m².

É possível analisar que a unidade de medida de tensão e de pressão são as mesmas, isso ocorre pelo fato de serem grandezas de mesmas dimensões (força/área).

Deve-se ressaltar ainda que na prática de engenharia não é comum representar as tensões em Pa, por se tratar de uma unidade muito pequena, sendo normalmente expressa em: MPa = 0,1 kN/cm².

Porém, para avaliar o nível de solicitação de um elemento é necessário considerar as tensões que ocorrem em todos os planos, isso porque dois carregamentos distintos podem levar à mesma tensão em um ponto escolhido P, porém, tensões totalmente diferentes em outros planos de análise, apesar de que o estado de tensão seja caracterizado pelo nível de solicitação de um ponto.

Dessa forma, em projetos estruturais deve-se comparar o estado de tensão em um ponto com os resultados experimentais, pois é o conjunto das tensões em um ponto que deve ser comparado com os estados de tensões limites, uma vez que tensões em planos particulares não caracterizam o nível de solicitação do ponto.

O conhecimento das tensões no ponto P permite que, utilizando apenas as equações de equilíbrio da estática, obtenham-se as tensões segundo todos os demais planos que passam por “P”. O trabalho de calcular infinitas tensões não existe, reduzindo-se ao trabalho de calcular três tensões em três planos perpendiculares entre si.

A influência da tensão na resistência do material pode ser melhor visualizada no exemplo a seguir. Considere que um prisma de concreto é submetido à compressão em uma prensa. A amostra acaba rompendo quando o seu limite de resistência é atingido.

mF

Aρ ∆= ∆

mF

Aρ ∆= ∆

mF

Aρ ∆= ∆

52


Se lançarmos uma amostra idêntica à anterior no fundo do mar, a uma distância de 20 km de profundidade (por exemplo), ela atinge o fundo sem ocorrer sua ruptura, apesar de ser solicitado por um esforço maior do que o aplicado pela prensa.

O comportamento nas situações citadas é completamente diferente, devido aos estados de tensão dos pontos do prisma nos dois casos serem diferentes, resultando em resistências limites diferentes.

A Figura 28 mostra um pedaço desse prisma utilizado para demonstrar os estados de tensão da situação acima. É possível ver que, nesses casos, as tensões nas faces dos cubos são iguais às forças distribuídas que atuam nas faces dos prismas paralelas a elas.

O estado de tensões na compressão simples (prisma colocado na prensa) apresenta tensões nulas nas faces verticais do prisma e, nas faces horizontais, só atuam forças normais de compressão. Para a amostra jogada no mar, temos um estado hidrostático de compressão, em que todas as faces possuem apenas tensões normais de compressão, sendo estas iguais em todas as faces.

Então, como é possível ver, há uma distinção dos estados de tensões nas duas situações apresentadas, sendo submetido à compressão em uma direção no caso da prensa e nas três direções no caso submerso.

Todo material apresenta resistência extremamente elevada quando submetido à compressão em todas as direções, esse comportamento é, de certa maneira, intuitivo, uma vez que, ao comprimir uma amostra em uma única direção, não há tensões nos planos verticais para impedir a desagregação da amostra e ter um efeito de confinamento. Portanto, é visível que a resistência do material está diretamente ligada ao estado de tensão em que o corpo se encontra.

FIGURA 28 – DIFERENTES CARREGAMENTOS E SEUS EFEITOS NO ESTADODE TENSÃO DE UM CORPO



53

3 ESFORÇOS SOLICITANTES

Na análise e resistência de materiais são utilizados modelos idealizados constituídos por barras, e para conseguir caracterizar o estado de tensão dos pontos das estruturas, se faz necessário conhecer as tensões que atuam nos três planos perpendiculares entre si. No caso de barras, um dos planos é a seção transversal, que contém o ponto cujo o estado de tensão se pretende conhecer.

Os esforços solicitantes são os esforços obtidos pela redução das tensões no centro de gravidade da seção transversal em que atuam, ou seja, aplicar no ponto escolhido os esforços resultantes de tensão e momento.

Deve-se lembrar do princípio de ação e reação, em que diz: quando se divide uma barra em duas seções, os esforços solicitantes da seção à direita da divisão possuem intensidades e direção iguais aos esforços encontrados na seção à esquerda, porém irão apresentar sentidos opostos.

Devido a essa propriedade, os esforços solicitantes se tornam úteis, e como são de fácil determinação, tornam-se atrativos para executar a análise de estruturas.

Uma vez que se conhece os esforços externos atrativos e reativos, a determinação dos esforços solicitantes atuantes na seção transversal de uma barra é realizada com a utilização das equações de equilíbrio da estática, anteriormente discutidas, aplicadas no centro de gravidade da seção de corte.

A seguir, serão exemplificados os efeitos dos diferentes esforços aplicados em uma barra e a aplicação de seções para determinar os esforços solicitantes internos.

FIGURA 29 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO EXTERNO DE TRAÇÃO (A) SISTEMA DE ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO

DE SEÇÃO E (C) DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO


54


FIGURA 30 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO EXTERNO DE COMPRESSÃO (A) SISTEMA DE ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO



FIGURA 31 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO CORTANTE (A) SISTEMA DE ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO DE SEÇÃO E (C)

DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO



55

FIGURA 32 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO EXTERNO DE TORÇÃO (A) SISTEMA DE ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO



FIGURA 33 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO DE MOMENTO FLETOR (A) SISTEMA DE ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO



56


4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES

Os esforços solicitantes atuantes na seção transversal são obtidos através do corte de uma seção (S) da barra e reduzindo no centro de gravidade, ou todos os esforços externos aplicados de um lado do corte ou todos os esforços externos aplicados no outro lado deste corte, conforme pode ser observado no exemplo a seguir:

FIGURA 34 - DIAGRAMA DE CORPO LIVRE


Portanto, os esforços podem ser encontrados cortando a barra na seção S e reduzindo os esforços no centro de gravidade da barra e analisando os esforços externos aplicados tanto na direita como pela esquerda.

FIGURA 35 - DIAGRAMA DE CORPO LIVRE SECCIONADO NA SEÇÃO S


Dessa forma, aplicando as equações de equilíbrio da estática e fazendo a redução dos esforços externos à direita e à esquerda, estão representados da seguinte maneira:

FIGURA 36 - ANÁLISE DO DIAGRAMA DE CORPO LIVRE SECCIONADO NA SEÇÃO S



57

Através dos resultados encontrados é possível verificar que, na seção delimitada, há um esforço cortante de 40 kN, tendendo a girar a barra no sentido anti-horário, além da aplicação de um momento fletor de 120 Nm, tracionando as fibras inferiores da barra.

É importante lembrar que os esforços encontrados apresentam intensidades iguais e sentidos opostos, obedecendo ao princípio da ação e reação citada anteriormente.

ATENCAO

Tendo em vista isso, para encontrar os esforços solicitantes que atuam na estrutura, basta iniciar a análise dos esforços por apenas um dos lados da estrutura, tornando assim uma atividade simples de redução.

Na Unidade 2 iremos aprofundar a análise de diferentes estruturas isostáticas pelo método da seção, mas de maneira geral, a análise se dá de maneira sistemática, realizando uma seção entre cada tipo ou mudança de carregamento ou apoio, possibilitando encontrar equações para cada seção realizada, estando diretamente ligadas ao carregamento aplicado nessa parte da estrutura, assim é possível conhecer o valor dos esforços solicitantes ao decorrer da estrutura.

Exemplo: utilizando o conceito apresentado do teorema fundamental, determine os esforços solicitantes que atuam na seção S da viga a seguir:

FIGURA 37 – VIGA POLIGONAL


58


Para encontrar os valores das reações de apoios, a parte direita da seção é analisada utilizando as equações de equilíbrio da estática. Como resultado, encontramos os valores a seguir:

FIGURA 38 – VIGA POLIGONAL


Uma vez encontrados os esforços solicitantes com a utilização das equações de equilíbrio em casa seção, tem-se então:

• Esforço normal: será feito um somatório das forças em X.• Esforço cortante: será feito um somatório das forças em Y. • Esforço momento: será feito um somatório de momento na seção.

Portanto é possível traçar o diagrama de todos os esforços, dessa maneira é possível analisar como os esforços estão sendo transmitidos pela estrutura. Para ser possível traçar os diagramas, faz-se necessário convencionar os sinais de cada esforço, conforme sugerido pelo quadro a seguir:

QUADRO 7 – CONVENÇÃO DE SINAIS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

FONTE: Neto (1996, p. 106)

Esforço Solicitante Sinal Positivo (+) Sinal Negativo (-)Força normal Tração Compressão

Força cortante Gira o trecho de barra em que atua no sentido horário

Gira o trecho de barra em que atua no sentido anti-horário

Momento fletor Traciona as fibras inferiores da barra Traciona as fibras superiores da barra

Momento de torçãoO vetor momento tem o sentido da normal externa à seção transversal

em que atua

O vetor momento tem o sentido o contrário da normal externa à seção transversal em que atua


59

Para melhor exemplificar, é possível ver na figura seguinte a convenção de sinais adotada:

FIGURA 39 – CONVENÇÃO DE SINAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

FONTE: Teles (2013, p. 1)

Simplificando, para os gráficos de forças normais e cortantes, a carga positiva é desenhada na parte superior ao eixo de simetria, para o momento fletor, a parte positiva demonstrada pela parte tracionada inferior, portanto sua representação é realizada na parte inferior, conforme pode ser visto no exemplo a seguir:

Exemplo:

a)

FIGURA 40 – EXEMPLO DE FORÇA NORMAL, CORTANTE E MOMENTO FLETOR

FONTE: Adaptado de Neto (1996)

60


Passo 1: cálculo das reações de apoio.

ΣFy=0ΣFy = Ra – 50 – 30 – 90 + Rb = 0Ray + Rby = 50 + 30 + 90 = 170

Como Rby =110 kN, então:

Ray + 110 = 170 . . Ray = 60kN

ΣFx = 0Rax = 0

ΣMA = 0(50.4) + (30.8) + (90.11) – Rby.13 =0

13Rby = 1430 . . Rby = 110kN

Portanto, os esforços externos atuantes nessa estrutura são os apresentados

na seguinte figura:

FIGURA 41 – CÁLCULO DOS ESFORÇOS EXTERNOS ATUANTES


Para conhecer os esforços internos atuantes e conseguir analisar o comportamento da estrutura, é necessário analisar as seções separadas.

Seção 1: Para 0 ≤ x ≤ 4


61



ΣFy = 0RS1 + 60 = 0 . . RS1y = –60kN

ΣFx = 0RS1x = 0

ΣMS1 = 0MS1 – 60.x = 0 . . MS1 = 60.x




62


2 2

060 50 0 10

0

4 . 0 4

2 02 60. 50( 4) 0 2 60. 50 200 10 200

y

S S y

x

FR R kN

F

m x

MSMS x x MS x x x

−

=

+ − = ∴ =

=

= −

=

− + − = ∴ = − + = +

∑

∑

∑




3 3

3

3

3 3

3

060 50 30 0 20

00

060. 50( 4) 30( 8) 0 60. 50 200 30. 10 240

20. 440

y

S S y

x

S x

S

S S

S

FR R kN

FR

MM x x x M x x x x

M x

=

+ − − = ∴ =

=

=

=

− + − + − = ∴ = − + − = += − +

∑

∑

∑


63

Uma observação: a equação interna da seção 3 pode ainda ser feita através da análise da parte esquerda da estrutura, conforme visto no decorrer da unidade e como pode ser visto na sequência.

Para 0 ≤ x ≤ 2:



3 3

3

3

3 3

0110 0 110

00

0110. 0 110.

y

S S y

x

S x

S

S S

FR R kN

FR

MM x M x

=

+ = ∴ = −

=

=

=

+ = ∴ = −

∑

∑

∑

5 RESUMO DO PROCEDIMENTO DE ANÁLISE

O método das seções pode ser usado para determinar o carregamento interno numa posição específica de um elemento, seguindo o procedimento já mostrado e resumido logo na sequência:

• Reações de apoio: antes que um elemento seja cortado ou secionado, é necessário determinar as reações de apoio desse elemento, utilizando as equações de equilíbrio para calcular os esforços internos.

64


• Diagrama de corpo livre: mantenha toda a carga distribuída, o momento e a forças atuante no elemento em suas posições exatas. Em seguida, faça um secionamento imaginário através do elemento, perpendicularmente ao seu eixo, no ponto onde o carregamento interno deve ser determinado. Feito isso, desenhe um diagrama de corpo livre do segmento que contenha o menor número de carga sobre ele e indique as componentes x,y e z e o momento resultante na reação correspondente. Se o elemento está submetido a um sistema de forças coplanares, apenas atuam nele V, M e N.

• Equações de equilíbrio: os momentos devem ser somados na seção em relação aos eixos que passam pelos centroides ou centro geométrico da seção transversal do elemento para eliminar as componentes de cisalhamento e normal, obtendo soluções diretas para os momentos. Toda vez que a solução da equação para o esforço a ser determinado for um escalar negativo, significa que o sentido real da força é o oposto do adotado no diagrama de corpo livre.


65

LEITURA COMPLEMENTAR

EQUILÍBRIO INTERNO – SOLICITAÇÕES INTERNAS

Maria Regina Costa Leggenerini

I- EQUILÍBRIO INTERNO

Quando se trata do equilíbrio externo dos corpos, ou seja, não há a consideração da possibilidade de deformação dos corpos sendo os mesmos considerados rígidos. Nestes problemas, é conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e devem ser calculadas as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilíbrio.

As cargas reativas ou reações vinculares são determinadas com a aplicação das equações fundamentais da estática. Observe-se que após o equilíbrio externo ser obtido pode-se então passar a analisar o equilíbrio interno. De uma maneira geral pode-se dizer que:

1- O equilíbrio externo não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os apoios.

2- O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente), gerando solicitações internas.

3- O equilíbrio interno ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações).

Pretende-se analisar os efeitos que a transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio. Para tanto, supõe-se o corpo em equilíbrio sob efeito de um carregamento qualquer. Se este corpo for cortado por um plano qualquer (a-a), rompe-se o equilíbrio, pois é destruída a sua cadeia molecular na seção "S" de interseção do plano com o corpo.

66


Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilibradas, deve-se aplicar, por exemplo, sobre a parte da esquerda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela, ou seja, resultante de força (R) e resultante de momento (M). O mesmo deve ser feito com a parte da esquerda cujas resultantes estão também representadas.

R- Resultante de forças da parte retirada.M- Resultante de momentos da parte retirada, criado pela translação da resultante

R para o baricentro da seção de corte.

As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.

R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção de corte da barra.

FONTE: LEGGERINE, M. R. Mecânica dos sólidos EQ. Porto Alegre: PUC – Rio Grande do Sul, 2007. http://www.politecnica.pucrs.br/professores/mregina/ENGENHARIA_-_Mecanica_dos_Solidos/mecanica_dos_solidos_apostila_2007_2.pdf. Acesso em: 27 maio 2019.

Quando se quer conhecer os esforços em uma seção S de uma peça, deve-se cortar a peça na seção desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um). Pode-se dizer que no centro de gravidade desta seção devem aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) que mantém o corpo isolado em equilíbrio.

Estes esforços representam à ação da parte retirada do corpo. Em isostática a seção de referência adotada será a seção transversal das peças em estudo e estes esforços internos devidamente classificados se constituem nas solicitações internas. Este procedimento descrito chama-se Método das Seções.

67

RESUMO DO TÓPICO 3


• Uma estrutura pode possuir esforços normais, cortantes e de momento fletores.

• O esforço normal é caracterizado por apresentar efeito de compressão ou de tração no elemento ao qual está aplicado.

• O esforço cortante tende a cisalhar ou cortar a seção do elemento da estrutura.

• O momento fletor é a tendência de uma força aplicada em rotacionar a estrutura em um ponto analisado, portanto é o produto de uma força aplicada e a distância dela ao ponto de análise.

• Por convenção, o momento fletor positivo traciona as fibras inferiores da estrutura e, quando negativo, as fibras tracionadas são as superiores.

• Os esforços internos das estruturas podem ser encontrados através da aplicação do método das seções.

68

1 Sem calcular previamente as reações, determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço cortante (V) e momento fletor (M), em cada tramo da estrutura representada na figura. Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis.

a)

b)

c)

FONTE: Teles (2013b, p.1)

FONTE: Teles (2013a, p.1)

FONTE: Teles (2013c, p.1)

AUTOATIVIDADE

69

d)

e)

f)

FONTE: Teles (2013e, p.1)

FONTE: Teles (2013d, p.1)


70

g)

h)

i)




71

j)

k)

l)

m)




FONTE: O autor

72

n)

o)

p)

q)

FONTE: O autor

FONTE: O autor

FONTE: O autor

FONTE: O autor

73

r)

FONTE: O autor

2 O eixo é apoiado por um mancal de rolamento em A e um mancal axial em B. Determine a força normal, a força de cisalhamento e o momento em uma seção que passa (a) pelo ponto C, próximo ao lado direito do mancal em A, e (b) pelo ponto D, próximo ao lado esquerdo da força de 3.000 lb.

3 Determine a força interna normal e de cisalhamento e o momento fletor nos pontos C e D da viga. Considere que o apoio em B é um rolete. O ponto C está localizado imediatamente à direita da carga de 8 kip.



74

4 Determine a força normal, a força de cisalhamento e o momento na seção que passa pelo ponto C. Suponha que o apoio em A possa ser considerado como um pino e B, como um rolete.

5 Determine a força normal, a força de cisalhamento e o momento na seção reta que passa pelo ponto D. Considere w = 150 N/m.

6 A viga AB cederá se o momento interno máximo em D atingir o valor de 800 N.m ou a força normal no elemento BC for de 1.500 N. Determine a maior carga “w” que pode ser sustentada pela viga.

7 Determine a força interna normal e de cisalhamento e o momento interno atuante no ponto C e no ponto D, o qual está localizado imediatamente à direita do suporte tipo rolete em B.





75

UNIDADE 2

INTRODUÇÃO À ANÁLISEDE ESTRUTURAS


PLANO DE ESTUDOS


• identificar que se trata de uma estrutura isostática;

• identificar o tipo de estrutura isostática e definir melhor método de análise para a mesma;

• aplicar o método de Ritter para a solução de análise de estruturas;

• aplicar o método dos nós para análise de treliças espaciais ou planas;

• realizar a análise de esforços internos para treliças;

• confeccionar os diagramas de esforços para qualquer estrutura; e

• determinar os esforços máximos aos quais a estrutura está submetida.


TÓPICO 1 – ESTRUTURAS ISOSTÉTICAS

TÓPICO 2 – VIGAS ISOSTÁTICAS

TÓPICO 3 – PÓRTICOS

76

77

TÓPICO 1

ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Conforme visto na unidade anterior, as estruturas são classificadas em isostática, hiperestática e hipostática, de acordo com a quantidade de restrições que são impostas às estruturas no momento da realização do projeto.

Neste tópico serão apresentados os métodos de análise possíveis de serem executados na análise de estruturas, assim como a aplicação destes em estruturas. Também será abordado os conceitos e procedimentos de análise de treliças.

Portanto, ao final deste tópico, o aluno deverá ser capaz de avaliar observar a estrutura a ser analisada e escolher o método de análise mais conveniente para encontrar os internos e deslocamentos sofridos pela estrutura ao receber o carregamento de trabalho.

2 ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS: ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS

Para resolver estruturas isostáticas pelo método das seções, aplica-se uma forma sistemática de resolução a partir de cortes na estrutura entre cada mudança de carregamento e/ou apoio. Esses cortes irão possibilitar a definição das equações para cada tipo de esforço solicitante aplicado no trecho analisado da estrutura.

Uma vez encontrada a equação de cada tipo de esforços encontrados no trecho, é necessário apenas realizar a plotagem desta equação ao longo deste pedaço da estrutura e assim é possível encontrar os valores dos esforços solicitantes em qualquer lugar da estrutura.

A facilidade deste método é que não necessita do uso de ábacos ou tabelas para encontrar os deslocamentos, uma vez que este valor pode ser encontrado apenas realizando a integração das equações dos esforços.

Para ficar mais claro, será demonstrado um exemplo de uma viga isostática e pelo método das seções será encontrado o seu deslocamento.


78

• Exemplo:

Inicialmente, deve-se encontrar as reações de apoio da estrutura, conforme foi abordado na unidade anterior.

FIGURA 1 – VIGA BIAPOIADA

FONTE: Júnior (2013, p. 7)

Reações de apoio:

0( )5. 27 24

10,2024

24 10,2 13,8

a

y

M considerandoo sentido horário positivoRb

Rb kNF

Ra RbRa kN

=

= +=

=

+ == − =

∑

∑

Como no eixo x não há nenhum esforço solicitante, a reação de A na direção do eixo x é nula, resultando na configuração das reações apresentadas na sequência.

FIGURA 2 – DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL


2.1 DIAGRAMA DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

Conforme comentado na explicação do método, para ser possível encontrar os esforços solicitantes é necessário dividir a estrutura em pedaços a fim de encontrar as equações dos esforços solicitantes.

TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

79

Esses cortes devem ser posicionados de maneira correta, sendo necessários sempre entre apoios ou em alteração de carregamento. No caso do exemplo anterior, teremos uma divisão no carregamento distribuído, um segundo corte entre o carregamento distribuído e o carregamento concentrado e outro corte entre a carga concentrada e o apoio simples.

1º Corte:

FIGURA 3 – SEÇÃO 1 DA VIGA ISOSTÁTICA ANALISADA


No corte apresentado, observa-se que foi realizado um corte da parte esquerda da estrutura no carregamento distribuído, expondo-se os esforços cortantes, normal e de momento. A distância total desse trecho é indeterminada, sendo chamada de “X”.

Dessa forma, a carga concentrada resultante da carga distribuída nesse trecho é igual a q*X, se encontrando na posição intermediária do intervalo X, nesse caso, X/2. Para encontrar as equações de cada esforço desse trecho analisado, deve-se aplicar as equações de equilíbrio da estática, em que o somatório dos esforços é igual a zero.

Dessa forma tem-se:

• Esforço normal: será feito um somatório das forças no eixo X.

Para o exemplo que estamos desenvolvendo, temos N=0.

• Esforço cortante: é realizado o somatório das forças no eixo Y.

–V – 6.X + 13,8 = 0V = –6.X + 13,8

• Momento: é feito o somatório de momento na seção andando para a esquerda notando que 6X é a carga que foi concentrada a partir da carga distribuída e x/2 é a distância dessa carga à seção, além disso, 13,8 é a reação de apoio no ponto A, e X é a distância total dessa carga até a seção, resultando assim em:


80

6. . 13,8 02

6. . 13,82

XM X

XM X

− − + =

= − +

As equações encontradas nessa primeira seção valem apenas para os valores de X compreendidos entre o ponto inicial (ponto A) e o ponto onde se termina a uniformidade de esforços da estrutura, nesse caso, 3 m. Portanto, pode-se escrever que estas equações são válidas para as posições de X nesta estrutura, em que: 0 ≤ X ≤ 3.

IMPORTANTE

2º Corte:



Na figura anterior é possível observar que foi realizado um corte na estrutura em que é avaliado o carregamento da parte esquerda, logo após o fim da carga distribuída e antes da carga concentrada. Percebe-se que a distância total do corte é chamada de X e, nesse caso, é conhecida a distância na qual o carregamento distribuído é aplicado, sendo possível descobrir a carga concentrada resultante desse esforço (q*3).

Essa força concentrada q*3 estará localizada a uma distância da seção igual a [(x-3) +1,5]. A parte da expressão x-3 deve-se ao fato de que se conhece o comprimento da força distribuída de 3 m, e X é a distância total do trecho, a qual é desconhecida. Dessa forma, a distância da carga distribuída até a seção é x-3, assim é possível encontrar as equações dos esforços para o trecho selecionado, realizando o somatório para as equações de equilíbrio.


81




18 13,8 04,2

Vv kN

− − + == −

• Momento: é feito o somatório de momento na seção andando para a esquerda:

18.( 1,5) 13,8. 04,2. 27

M x xM X

− − − + == − +

As equações encontradas nessa seção valem apenas para os valores de X compreendidos entre a primeira seção e o ponto onde se termina a uniformidade de esforços da estrutura, nesse caso, 4 m. Portanto, pode-se escrever que essas equações são válidas para as posições de X nessa estrutura, em que: 3 ≤ X≤ 4.

NOTA

3º Corte:



Observação:

• qc – carga concentrada;• qd – carga concentrada do carregamento distribuído.

O procedimento de análise se repete das demais seções, portanto é possível ir logo aplicando o somatório das equações de equilíbrio para a estrutura.


82




-V – 6 – 18 + 13,8 = 0V = –10,2 kN

• Momento: é feito o somatório de momento na seção andando para a esquerda:

–M – 6.(x–4) – 18.(x–1,5) + 13,8.x =0M = –10,2.X + 47

Essas equações são válidas para as posições de X nessa estrutura, em que: 4 ≤ X≤ 5.

2.2 GRÁFICOS DE ESFORÇOS SOLICITANTES

Uma vez encontradas as equações que regem o comportamento dos esforços para todo o comprimento da estrutura ao longo da viga, é possível traçar os gráficos desses esforços para todo o comprimento da estrutura, lembrando que é necessário respeitar os limites de cada equação para obter o comportamento real da estrutura.

Dessa forma, as equações encontradas no trecho 1 serão utilizadas para a parte inicial da viga, em que 0 ≤ x ≤ 3; para 3 ≤ x ≤ 4 deve-se utilizar as equações da seção 2 e no último trecho, em que 4 ≤ x ≤ 5, só valerão as equações encontradas para a seção 3.

Para o traçado do diagrama, não se faz necessário apenas o valor do esforço no ponto calculado, mas também o sentido deles. Neste aspecto, deve-se tomar alguns cuidados no momento da construção dos gráficos:

• A convenção adotada pelos engenheiros calculistas é que, para valores de momento NEGATIVO, deve-se desenhar a curva acima da linha da viga (tracionando as fibras superiores da viga), e, quando o momento for POSITIVO, desenha-se a curva abaixo da viga (quando as fibras tracionadas serão as inferiores).

• A cortante segue o sentido da reação de apoio que causa o cisalhamento da viga, portanto, quando positiva, ela deverá ser traçada para cima e quando negativa deve ser traçada para baixo da viga.

• O esforço normal será positivo quando estiver tracionando a seção da viga, e será negativo quando ela estiver comprimindo a seção.

Portanto, para a viga em que foi desenvolvido o equacionamento dos esforços, teremos os seguintes diagramas para cada esforço:

• Cortante (V-kN)


83

FIGURA 6 – CORTANTE


• Momento fletor (M-kN.m)

FIGURA 7 – MOMENTO FLETOR


No caso do exemplo apresentado, o diagrama do esforço normal é uma linha coincidente com a viga, uma vez que, em todas as seções, o valor de seu equacionamento foi nulo, já que não há esforços normais aplicados na estrutura.

O método das seções acaba sendo uma solução sistêmica, uma vez que o aluno só precisa plotar os pontos das equações conforme os respectivos trechos.

Além disso, o aluno ainda deve identificar as formas e os tipos de cargas e esforços que aparecem na estrutura, fazendo assim uma verificação das equações encontradas.

Exemplo:

Determine as equações analíticas do esforço normal, cortante e momento fletor em cada tramo da estrutura representada na figura a seguir. Aproveite para desenhar os diagramas e representar os pontos notáveis.


84

FIGURA 8 – ESTRUTURA DE PÓRTICO ISOSTÁTICO

FONTE: Teles (2013a, p. 1)

FIGURA 9 - TRAMO CD


FIGURA 10 - TRAMO DE



85

FIGURA 11 - TRAMO EB


Seção em que o momento é nulo: M=0; 10 – 10.x – 4x2 = 0, então x=0,766 m.

FIGURA 12 - TRAMO IH


FIGURA 13 - TRAMO HG



86

FIGURA 14 - TRAMO FG:


Seção em que o momento é nulo: M=0; –6 + 14.x = 0, então x=0,429 m.

FIGURA 15 - TRAMO BF


Seção em que o momento é nulo: M=0; –8 + 14.x = 0, então x=0,571 m.

FIGURA 16 - TRAMO AB



87

Seção em que o momento é nulo: M=0; 7,64 – 7.x = 0, então x=1,091 m.

FIGURA 17 - DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (N)


FIGURA 18 - DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (V)



88

FIGURA 19 - DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (M)


3 ANÁLISE DE TRELIÇAS

Por definição, treliças são estruturas reticuladas, ou seja, formadas por barras em que se tem uma direção predominante, apresentam eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações, formando unidades triangulares. As forças externas e reações são consideradas, de maneira simplificada, aplicadas nesses pontos, chamadas de nós.

Uma vez que as articulações são consideradas como rótulas, os esforços que surgem nos elementos podem ser de tração ou compressão, além do que os esforços são considerados aplicados diretamente nos nós.

As treliças podem ser classificadas em planar/bidimensional quando todos os membros e nós encontram-se no mesmo plano ou espacial/tridimensional, quando há membros e nós presentes nas três direções.


89

FIGURA 20 – TRELIÇA PLANA


Para realizar o projeto de treliças (membros e nós) é necessário determinar a força desenvolvida em cada membro quando a treliça é submetida a um carregamento. Para isso, é preciso seguir dois pressupostos para realizar a idealização da treliça:

1- Os membros são unidos por pinos lisos: • Esta hipótese é geralmente satisfatória para estruturas aparafusadas ou

soldadas, desde que as linhas de centro dos membros se unindo sejam concorrentes em um determinado ponto.

• Uma vez que as ligações reais proporcionem alguma rigidez ao nó, faz com que surja uma tensão de flexão, chamada de tensão secundária. Enquanto a tensão na treliça idealizada (ligadas por pinos) é chamada de tensão primária.

2- Todas as cargas são aplicadas nos nós:• Na maioria das vezes, esse pressuposto é verdadeiro. Frequentemente se

despreza o peso dos membros da treliça, uma vez que a força resistente por esses membros é muito superior ao seu peso.

FIGURA 21 – EXEMPLOS DE LIGAÇÕES DAS EXTREMIDADES DAS BARRAS



90

3.1 ESTATICIDADE E ESTABILIDADE DAS TRELIÇAS

A partir do apresentado na unidade anterior, para se conseguir obter uma treliça isostática é necessário que duas condições sejam obedecidas:

• Equilíbrio estável (restringida, com nós indeslocáveis).• Número de incógnitas igual ao número de equações de equilíbrio da estática.

Desse modo é possível definir o número de incógnitas dado por:

• Número de reações (r) + Número de barras (b). (Incógnitas externas) + (Incógnitas internas).• Número de equações de equilíbrio é o resultado de: ◦ Número de nós (n) x 2 (o valor é multiplicado devido à existência de uma

equação no eixo x e outa no y).

Portanto, para uma estrutura de treliça isostática temos que r+b = 2.n, conforme a Figura 10.

FIGURA 22 – ESTRUTURA DE TRELIÇA ISOSTÁTICA


Uma vez determinado o grau de estaticidade resultando em uma estrutura isostática é possível obter os esforços em treliças através dos métodos de Equilíbrio de Nós, Método Cremona (Maxwell) e Método de Ritter, os quais serão detalhados a seguir.

4 MÉTODO DOS NÓS

Se considerarmos que uma treliça se encontra em equilíbrio, então quer dizer que cada um de seus nós também se encontra equilibrado. Sendo assim, este método consiste em satisfazer às equações de equilíbrios da estática ( ∑Fx=0 e ∑Fy=0) para as forças exercidas sobre o pino de ligação de cada nó.

r + b = 3 + 11 = 142n = 2 x 7 = 14


91

Para conseguir aplicar este método é necessário, primeiramente, traçar o diagrama de corpo livre de cada nó da estrutura, para então conseguir aplicar as equações de equilíbrio. Para isso, é necessário lembrar que a linha de ação das forças aplicadas nos membros é especificada através da geometria da treliça e passa ao longo do eixo do membro.

De maneira geral, recomenda-se iniciar a análise através de um nó em que se tenha ao menos um esforço conhecido e, no máximo, duas forças desconhecidas, assim, aplicando as equações ∑Fx=0 e ∑Fy=0 é possível encontrar a solução para resolver as duas incógnitas. O sentido correto de uma força desconhecida pode ser determinado de duas maneiras possíveis:

1- Sempre presumindo que as forças de membros desconhecidas atuando sobre o diagrama de corpo livre da junta estão em tração (“puxando” o nó). Dessa forma, o resultado algébrico apresentará escalares positivos quando o esforço for de tração, e negativo caso o esforço atuante seja compressão. Deve-se ressaltar que, uma vez encontrado o esforço, se faz o uso dele com seu sentido correto para os diagramas de corpo livre subsequentes.

2- O sentido de direção correto de uma força de membro desconhecida pode ser determinado por inspeção, ou seja, o calculista analisará os esforços aos quais o nó é submetido e, através do sentido destes consegue presumir o sentido dos esforços desconhecidos. Da mesma maneira que anteriormente, o resultado algébrico das equações de equilíbrio será negativo caso o sentido real da força deve ser revertido.

O procedimento de análise através desse método pode ser resumido através dos seguintes passos:

• traçar o diagrama de corpo livre do nó, tendo pelo menos uma força conhecida e no máximo duas desconhecidas (para os nós que estejam nos apoios, primeiro deve-se calcular as reações de apoio desses pontos);

• usar um dos métodos citados para estabelecer o sentido da força desconhecida;• os eixos x e y devem ser orientados de maneira que as forças no diagrama de

corpo livre possam ser facilmente decompostas;• aplicar as equações de equilíbrio;• repetir o processo para todos os demais membros, lembrando sempre que um

membro comprimido “empurra” o nó e um membro tracionado “puxa” o nó.

Exemplo 1 Determinar a força em cada membro da treliça de telhado mostrada a seguir,

informando se os membros estão comprimidos ou tracionados.


92

FIGURA 23 - TRELIÇA


Tendo em vista a simetria da treliça é necessário determinar apenas a metade das forças aplicadas nos membros. Assim temos:

Nó A:

A

4 kN

x

y

FAB

FAG

FONTE: Hibbeler(2013, p. 67)

0;4 sin 30 08 ( )

0; 8cos30 06,928 ( )

Fy FagFag kN compressãoFx FabFab kN tração

= − =

=

= − =

=

∑

∑

Nó G:

8 kNG

FGF

FGB

3 kN30º

60º

y

x


0; sin 60 3cos30 03 ( )

0;8 3sin 30 3cos 60 0 05 ( )

Fy FgbFgb kN compressão

Fx FgfFgf kN compressão

= − =

=

= − − − = =

=

∑

∑


93

Nó G:

6,928 kN

30º 60º3,00 kN

Bx

y

FBC

FBF


0; sin 60 3sin 30 01,73 ( )

0; 1,73cos 60 3cos30 6,938 03,46 ( )

Fy FbfFbf kN tração

Fx FbcFbc kN tração

= − =

=

= + − − =

=

∑

∑

Exemplo 2

FIGURA 24 – RESOLUÇÃO DE TRELIÇAS PELO MÉTODO DE NÓS


Construção do diagrama de corpo livre:

FIGURA 25 – NÓ A



94

FIGURA 26 – NÓ B


5 MÉTODO DE CREMONA

O Método de Cremona é um método de análise gráfica que consiste em encontrar os esforços internos graficamente a partir dos nós da treliça. O procedimento de análise consiste em:

Iniciar a análise em um nó com apenas duas incógnitas.• Desenhar em escala as forças externas atuantes neste nó, formando um polígono

aberto.• Nas extremidades dos polígonos são traçadas retas paralelas às barras que

concorrem no nó analisado.• Na intersecção destas paralelas formará um polígono fechado, obtendo assim o

polígono de equilíbrio, em que é possível obter o módulo e sentido dos esforços nas barras.

• Os sinais dos esforços podem ser verificados: ◦ se o esforço normal aponta para o nó, sinal negativo (compressão); ◦ se o esforço normal sai do nó, sinal positivo (tração).• Obtém-se 2 a 2 incógnitas na análise.

Exemplo 1:

Considerando a treliça em que já foram calculadas as reações de apoio e os esforços internos pelo método dos nós, será realizada a verificação do resultado através do Método de Cremona.


95

FIGURA 27 – RESOLUÇÃO DE TRELIÇAS PELO MÉTODO DE CREMONA


FIGURA 28 – CONTRUÇÃO DO DIAGRAMA DE CORPO LIVRE



96

Pela teoria apresentada, se um nó está em equilíbrio, então a soma vetorial das forças que atuam sobre ele será nula, portanto:

FIGURA 29 – NÓ A



FIGURA 30 – NÓ B

FIGURA 31 – NÓ C



97

Conforme pôde ser visto, os esforços calculados foram confirmados, pois em todos os nós foram obtidos dos polígonos de equilíbrio com os valores encontrados através do método dos nós.

Exemplo 2:

FIGURA 32 – NOTAÇÃO DE BOW


FIGURA 33 - REAÇÕES DE APOIO



98

FIGURA 34 – NÓ A


FIGURA 35 – NÓ D


FIGURA 36 - NÓ B



99

6 MÉTODO DE RITTER OU MÉTODO DAS SEÇÕES

É o método mais direto de obtenção dos esforços quando necessita encontrar apenas as forças atuantes em um dos nós da treliça. Este método consiste em passar uma seção imaginária através da treliça, cortando-a em duas partes.

Uma vez que a treliça inteira esteja em equilíbrio, cada uma das duas partes resultantes do corte também precisa estar em equilíbrio e, para determinar as forças dos membros para que a estrutura esteja em equilíbrio, utiliza-se as equações de equilíbrio, determinando assim as forças dos membros na seção de corte.

Porém, o posicionamento do corte deve ser realizado com muito critério, uma vez que temos apenas três equações de equilíbrio. Portanto, a seção deve conter, no máximo, três membros nos quais as forças sejam desconhecidas.

É necessário observar que a linha de ação de cada força em um membro seccionado é especificada a partir da geometria da treliça, tendo em vista que a força em um membro passa ao longo do eixo de um membro. Além disso, as forças atuantes em um membro são iguais, mas opostas àquelas atuando na outra parte.

Assim como no método dos nós, há duas maneiras possíveis de determinar o sentido correto de uma força de membro desconhecida.

1- Sempre presuma que as forças de membros desconhecidas na parte seccionada estejam em tração. Com isso, a solução numérica resultará em um valor positivo para membros tracionados ou negativo se o membro for comprimido.

2- O sentido correto de uma força de membro desconhecida pode, em muitos casos, ser determinada por “inspeção”. Neste caso, se a solução produzir um valor negativo, indica que o sentido é oposto àquele determinado no diagrama de corpo livre.


• Determinar as reações de apoios externas da treliça.• Definir a melhor maneira de cortar ou selecionar a treliça através dos membros

em que as forças precisam ser determinadas.• Traçar o diagrama de corpo livre.• Determinar o sentido das forças desconhecidas por um dos métodos citados

acima.• Aplicar as equações de equilíbrio para determinar as forças desconhecidas e

efetuar a análise.

Exemplo 1:

Considere a seguinte treliça:


100

FIGURA 37 – TRELIÇA (EXEMPLO 1)


Suponha que queira determinar os esforços nas barras 3, 6 e 10. Para isso é possível dividir a estrutura em duas partes, particionando essas barras com a seção SS. Se considerarmos a parte da esquerda, deve-se colocar os esforços internos axiais que surgem nas barras para estabelecer o equilíbrio:

FIGURA 38 – AÇÃO NA PARTE DIREITA


As forças N3, N6 e N10 representam a ação da parte da direita da treliça sobre a parte da esquerda e esta ação é indiferente se considerarmos a parte da direita ou da esquerda.


101

FIGURA 39 – AÇÃO NA PARTE ESQUERDA


Os esforços internos a serem encontrados (N3, N6 e N10) são iguais em módulos e direção, porém apresentam sentidos opostos dos que aparecem na parte esquerda, isso porque representam a ação da parte esquerda sobre a parte direita.

Com as equações de equilíbrio da estática é possível encontrar os valores dos esforços, resolvendo:

ΣMC = 0; obtém-se N3;ΣMD = 0; obtém-se N6;ΣFy = 0; obtém-se N10 (tanto faz pela esquerda ou direita).

Se os esforços forem positivos terão o sentido indicado (tração), se não, terão sentido inverso (compressão).

Exemplo 2:

Determinar as forças internas nos membros GJ e CO da treliça apresentada a seguir.


102

FIGURA 40 – TRELIÇA (EXEMPLO 2)


Membro CF:

2m30º FGH

FKJ

FGJ

4637 N

600 N1,155m1200 N

GI


0( sin 30).(2) 1200.(1,155) 0

1386( )

IMFGJ

FGJ compressão

=

− + ==

∑

Membro GC:

4637 N

30º

1200 N

600 N

1,155 m

FCO

FOP

CA

2mFCD


0.(2) 1200.(1,155) 0

693 ( )

A

CO

GJ

MF

F N tração

=

− ==

∑

103

RESUMO DO TÓPICO 1


• Através das equações dos esforços, é possível encontrar o valor de cada um dos esforços em qualquer lugar da estrutura.

• O posicionamento das seções deve ser realizado corretamente, de maneira que sempre exista uma seção entre apoios ou alteração de carregamento.

• Há uma relação entre a equação de esforço cortante e momento fletor, sendo que as equações de esforço cortante é a derivada da equação do momento fletor.

• O diagrama de momento fletor é desenhado na direção das fibras tracionadas.

• Os carregamentos das treliças são realizados nos nós da estrutura.

• O grau de estaticidade de uma treliça é dado por r+b=2n.

• A análise de treliça isostática pode ser realizada através dos equilíbrios dos nós, método cremona ou método de Ritter.

• Entende-se que todo nó da treliça se encontra estático, portanto o somatório das forças em qualquer nó da treliça é igual a zero.

• O Método Cremona é um método gráfico, onde é possível encontrar os esforços internos a partir do equilíbrio do nó.

• Para a utilização do método cremona, deve-se iniciar em um nó que possua apenas duas incógnitas.

• Para utilizar o método de Ritter em estruturas de treliças, deve-se cuidar para cortar no máximo três barras com esforços desconhecidos em uma seção.

104

AUTOATIVIDADE

1 Determine as expressões analíticas do esforço normal (N), esforço cortante (V) e momento fletor (M) da viga apresentada a seguir:

FONTE: Teles (2013b, p.1)

2 Sem determinar as reações, determine as expressões analíticas do esforço normal (N), esforço cortante (V) e momento fletor (M) em todas as barras da estrutura representada. Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, mínimos e zeros).


FONTE: Teles (2013e, p. 1)

105



FONTE: Teles (2013e, p. 5)

FONTE: Teles (2013d, p. 1)


106

6 Determine a força em cada membro da treliça do tipo tesoura mostrada na figura, informando se eles estão comprimidos ou tracionados.

a)

b)

c)




700N

800N CB

AF

D

E

3mAy=502 N (a) Ey=764 N

60º60º

30º30º

45º45º

3m

3m

3m

10kNC

D

A B

107




d)

e)

f)

D C

BA

2m

2m

8kN

60º

600N

AB C D

E

H G F

600N

2m

2m 2m 2m 2m

800N

4m

8kN

8kN

8kN

4kN4kN

B

A

G

F

E

CD

2m

4m

108

g)

h)

i)

j)

3m

2m5kN 5kN 5kN

A

G F

E

B C D2m 2m





F

E

DA

2kN

2m

30º 60º 60º 60º60º

2m

2kN

B C

G

10kN

3m

3,6m

15kN

15kN

3m 3m 3m

H

G

F

EAB C D

A

2m 2m 2m

2m

1m

B

H

8kN

8kN

6kN

G

E

F

C D

109



7 Encontre os esforços internos das treliças a seguir através do Método de Cremona e classifique se são esforços de tração ou compressão:

a)

b)

1tf

A

VA=4tf VB=4tf

2m

4m 1m 3m 3m 1m 4m

2m

C

G

D E B

HF1tf

2tf

2tf

2tf

G

E F

D

B

C

A

6tf 6tf

6tf

6m

6m 6m

6m6m

2tf

2tf

2tf

110

c)

d)

e)

D C

A B

2m

2m

60º

8kN




FONTE: Süssekind (1981, p. 264)

2m

600N800N

600N

2m 2m 2m

H G F

A

B C D

E2m

8kN

8kN8kN

4kN4kN

4m

2m

B

F

EG

A

CD

4m

8 Utilizando o Método de Ritter, encontre os esforços normais atuantes nas treliças:

a)

111

b)

c)

d)




112

e)

f)FONTE: Süssekind (1981, p. 266)



9 Para a treliça a seguir, determine:

I- Os esforços nas barras (2), (7), (16), (23) usando o método de Ritter.II- Os esforços em todas as barras por método gráfico.

113



10 Obter os esforços atuantes através do Método de Ritter;

11 Determine os esforços nas barras (14), (27), (28) e (30) da treliça a seguir através do Método Ritter.

114

115

TÓPICO 2

VIGAS ISOSTÁTICAS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Até o presente momento, nós calculamos os esforços e diagramas de vigas através do método das seções, em que a estrutura é dividida em diferentes seções, sempre que houver alteração de carregamento.

Neste tópico será apresentado um método direto para o traçado dos diagramas de esforços, facilitando a análise de estruturas mais complexas; também serão apresentadas variações possíveis de serem encontradas em vigas, além da relação existente entre os diagramas de esforço cortante e momento fletor.

2 MÉTODO DIRETO

Através do método das seções é possível verificar que o equacionamento das estruturas resulta em alguns padrões dependentes exclusivamente do tipo de carregamento aplicado, ou seja, cada tipo de carregamento terá uma característica de forma e comportamento durante o trecho e seu ponto de transição.

Exemplo:

• Carga vertical concentrada: ◦ Diagrama de esforço cortante (DEC): apresenta descontinuidade no ponto

do carregamento. ◦ Diagrama de momento fletor (DMF): angulosidade no pondo do

carregamento. Uma relação que pode auxiliar nesta análise é sempre lembrar que a

derivada do momento fletor da estrutura resulta no esforço cortante, ou seja, a curva do momento fletor sempre será de uma ordem superior àquela obtida no diagrama de esforço cortante.

2.1 VIGAS SIMPLES: MÉTODO DIRETO PARA DIAGRAMAS

O conhecimento dos comportamentos das cargas aplicadas na estrutura permite que seja possível traçar os diagramas sem que seja realizado todo o seu equacionamento, agilizando assim o processo de análise, por isso é conhecido como método direto.


116

Para melhor explicar o método, pode-se isolar um elemento de comprimento “l”, permanecendo em equilíbrio, conforme apresentado na Figura 28.

FIGURA 41 – MÉTODO DIRETO

FONTE: Leggerini; Kalil (2003, p. 76)

Supondo que se conhece os esforços no ponto anterior (n-1), observa-se as diferenças entre os cálculos através do método de seções e pelo método direto.

QUADRO 1 – DIFERENÇAS ENTRE OS MÉTODOS DE SEÇÕES E DIRETO

Método de seções Método diretoΣFx=0Nn–Nn–1 + H1=0Nn=Nn–1–H1

ΣFY=0–Qn+Qn–1+q.l–P1=0Qn=+Qn–1+q.l–P1

ΣMn=0Mn–Mn–1–Qn–1–q.l2/2+P1–M1=0Mn=Mn–1+Qn–1+q.l2/2–P1+M1

Nn=Nn–1–H1Nn=Nn–1±∑Fxext

Qn=+Qn–1+q.l–P1Qn=Qn–1±∑Fyext

Mn=Mn–1 + Qn–1+q.l2/2–P1+M1Mn=Mn–1+Qn–1±∑Fyiext.li±∑Miext


É possível verificar que o método direto calcula diretamente os valores dos esforços nos pontos de transição e, com o conhecimento do efeito do comportamento da carga aplicada, é traçado o fechamento dos diagramas de esforços internos.

Deve-se ressaltar que, por calcular os esforços diretamente, o sinal deles segue a convenção já estudada, apresentada na Figura 42.

TÓPICO 2 | VIGAS ISOSTÁTICAS

117

FIGURA 42 – CONVENÇÃO DE SINAIS UTILIZADA PARA ANÁLISE DOS ESFORÇOS


Conforme já foi possível visualizar nos diagramas e nas equações anteriormente desenvolvidas, podemos escrever as relações diferenciais dos esforços sendo:

( ) ( )dM xQ x

dx= ( ) ( ) M x Q x dx= ∫

Como por definição de integral é possível definir que o momento fletor em um ponto é igual à área do diagrama dos esforços cortantes em um determinado trecho até o ponto em análise. Sendo assim, pode-se generalizar que:

• Nn = Nn–1 ± ∑Fxext• Qn = Qn–1 ± ∑Fyext• Mn = Mn–1 + área do diagrama de esforço cortante entre pontos (n–1) e (n)

Observações:

1- Quando somamos ao momento as áreas do cortante, elas devem entrar com os sinais do diagrama.

2- As linhas de fechamento dos diagramas devem seguir as conclusões matemáticas do método das equações.

3- O acima deduzido foi feito ao percorrermos a estrutura da esquerda para a direita. Se invertermos o caminho, os sinais são trocados:

Qn = Qn-1 - Σ forças verticais de n-1 à n

Mn = Mn-1 - área do diagrama de cortante entre n-1 e n

4- As convenções devem ser observadas com cuidado. 5- O momento em um determinado ponto P só pode ser calculado se conhecermos

a área do diagrama de esforços cortantes no trecho considerado. Isso não acontece quando o trecho contiver uma carga triangular, pois o diagrama de cortante é delimitado por uma parábola de 2º grau de área desconhecida. Nesse caso, ou se calcula neste trecho o momento pelo método das equações ou se utiliza a equação:


118

Mn = Mn–1 + Qn–1 .l ± ∑Fyiext.li ± ∑Miext

6- Os valores das solicitações à direita e à esquerda dos pontos de transição devem ser calculados, pois dependendo do tipo de ponto de transição há descontinuidade nos diagramas. Se for uma carga vertical concentrada aparecerá descontinuidade no diagrama de esforços cortantes, de mesmo valor da carga, no seu ponto de aplicação; se for um momento concentrado aparecerá descontinuidade no diagrama de momentos fletores, de mesmo valor do momento, em seu ponto de aplicação.

7- Com a prática, podemos agilizar o cálculo dispensando o estudo à direita e à esquerda do ponto de transição.

8- As vigas Gerber (as quais veremos na sequência) tanto podem ser calculadas pelo método das equações como pelo método direto. O cálculo delas pode ser executado sobre toda a estrutura ou desmembrando-a em partes. Observe-se que a rótula é um ponto de transmissão de cargas verticais e horizontais não transmitindo momento, logo, o momento nas rótulas deve ser nulo. Quando executamos os diagramas pelo método direto, a rótula pode servir como uma referência para a confirmação da correção dos cálculos.

Exemplo 1:

FIGURA 43 - VIGAS ISOSTÁTICA PARA ANÁLISE ESTRUTURAL

FONTE: Adaptado Júnior (2013)

DEN (kN):

Nesse caso, não há nenhum carregamento na direção horizontal da estrutura, portanto o diagrama de esforço normal desta viga será nulo.


119

FIGURA 44 - DEC DA VIGA BIAPOIADA


Percebe-se que nos pontos em que há carga concentrada aplicada, ocorre uma descontinuidade do diagrama de esforço cortante na mesma magnitude da força aplicada.

DMF (kN.m):

FIGURA 45 - DMF DA VIGA BIAPOIADA


MCEsq = 60.4 = 240kN;MDEsq = 60.8 – 50.4 = 280kN;ou MD = MC + VC x4m

MEDir = 110.2 = 220kN;MEEsq = 60.11 – 50.7 – 30.3 = 220kN;ou MEEsq = MD + VD x3m

Exemplo 2:

FIGURA 46 - VIGA BIAPOIADA COM MOMENTO APLICADO NO NÓ


DEN (kN):

Neste caso, não há nenhum carregamento na direção horizontal da estrutura, portanto o diagrama de esforço normal desta viga será nulo.

DEC (kN):


120

FIGURA 47 - DEC DA VIGA BIAPOIADA COM MOMENTO APLICADO NO NÓ


DMF (kN.m):

FIGURA 48 - DMF DA VIGA BIAPOIADA COM MOMENTO APLICADO NO NÓ


Exemplo 3:

FIGURA 49 - DMF DA VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO


DEN (kN):

Neste caso, não há nenhum carregamento na direção horizontal da estrutura, portanto o diagrama de esforço normal desta viga será nulo.

DEC (kN):


121

FIGURA 50 - DMF DA VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO

FONTE: ADAPTADO JÚNIOR (2013)

DMF (kN.m):

FIGURA 51 - DMF DA VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO (2)


2.2 VIGAS GERBER

São vigas sobre diversos suportes, compostas com rótulas de forma que seus trechos se tornem estaticamente determinados e possibilitem a determinação dos esforços através das equações de equilíbrio. Este tipo de viga é muito aplicado em pontes e estruturas pré-fabricadas.

Portanto, trata-se de vigas formadas pela associação de vigas simples isostáticas, em que algumas delas servem de apoio para as outras, tornando o conjunto estável.

O seu surgimento se deu devido a motivos estruturais e construtivos e, para resolvê-la, basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem, resolvendo, inicialmente, aquelas sem estabilidade própria e, posteriormente, as que possuem estabilidade própria, considerando as cargas que são diretamente transferidas pelas demais vigas através das rótulas.

2.2.1 Procedimento de análise

Será apresentado, na Figura 52, um roteiro de análise deste tipo de viga, em que os passos a serem seguidos estarão destacados com algarismos romanos. Basicamente o procedimento se dá da seguinte maneira:

DEC (kN):


122

I- Isola-se a viga que não apresenta estabilidade própria e resolve esta viga.II- O diagrama do elemento já pode ser traçado separadamente, juntando as

demais partes no final da análise.III- As rótulas transmitem os esforços verticais e horizontais, porém não

transmitem momento para as demais partes da estrutura, portanto nos pontos rotulados dos DMF devem ser nulos.

IV- Basta que um dos apoios da viga resista às forças horizontais na Viga Gerber.V- Apenas as cargas verticais provocam esforço cortante e momento fletor,

portanto, na decomposição, não há a necessidade de distinguir os apoios entre 1º e 2º gêneros.

FIGURA 52 – EXEMPLOS DE RESOLUÇÕES DE VIGAS GERBER



123

Exemplo 1:

FIGURA 53 – VIGAS GERBER – EXEMPLO DE DECOMPOSIÇÃO


FIGURA 54 – DEC (tf)


FIGURA 55 – DMF (tfm)



124

MBesq = -6 x 2 = -12MCesq = -6 x 5 + 9,33 x 3 – 12 x 1,5 = -20MDesq = -6 x 7 + 9,33 x 5 – 20 x 2,5 + 22,67 x 2 = -0,01 ≈ 0, portanto, OK.

O momento fletor na rótula é sempre nulo, a não ser que haja um binário aplicado na rótula.

MEdir = -36 + 18 x 3 – 12 x 1,5 = 0 OKMFdir = -36

Quando, na rótula, não há força concentrada:

Vdesq = Vddir

Veesq = Vedir

2.3 VIGAS INCLINADAS

Seja uma viga igual à apresentada na figura a seguir, submetida a um carregamento distribuído verticamentel, as suas reações possuem a mesma magnitude, conforme indicado na figura.

Ao ser realizada uma seção pela estrutura, é possível verificar que o momento fletor atuante na seção S é dado por:

2 2 2

2. . . . 2 2 2S

q a q x q a x xM xa a

= − = −

. . cos2S

q aV q x α = −

. . sin2S

q aN q x α = −

Ao compararmos esta equação com a equação de momento de uma viga simples, é possível afirmar que, para efeito de momento fletor, a viga se comporta como uma viga horizontal de vão a e, o diagrama é o apresentado abaixo.


125

FIGURA 56 – VIGA INCLINADA COM CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO



126

FIGURA 57 – DIAGRAMAS DE ESFORÇOS PARA A VIGA INCLINADACOM CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO


Ou quando for submetido a um esforço distribuído verticalmente:

FIGURA 58 – VIGA INCLINADA COM CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO

DEN:


127

FIGURA 59 – DIAGRAMAS DE ESFORÇOS PARA A VIGA INCLINADACOM CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO


128


Ou, ainda, em situação em que o carregamento também se encontra inclinado, é possível o valor ser encontrado somando a parcela vertical e a parcela horizontal, conforme pode ser visto na sequência:

FIGURA 60 – VIGA INCLINADA COM CARREGAMENTO INCLINADO DISTRIBUÍDO (2)


129


Portanto, o diagrama de momento fletor é:


130

FIGURA 61 – DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DA VIGA INCLINADACOM CARREGAMENTO UNIFORME INCLINADO


Exemplo 1:

FIGURA 62 - VIGA INCLINADA SUBMETIDA A UM ESFORÇO DISTRIBUÍDO VERTICALMENTE



131

Exemplo 2:

FIGURA 63 - VIGA INCLINADA SUBMETIDA A UM ESFORÇO DISTRIBUÍDO VERTICALMENTE (2)


132

RESUMO DO TÓPICO 2


• O traçado de diagramas de vigas pode ser realizado utilizado o método de Ritter, ou o método direto.

• Para uma carga concentrada, o diagrama de esforço cortante (DEC) apresenta descontinuidade no ponto do carregamento e o diagrama de momento fletor (DMF) apresenta angulosidade no pondo do carregamento.

• Uma vez conhecendo o comportamento do carregamento da estrutura, é possível traçar os diagramas de forma direta.

• Assim como no método de Ritter, existe relação entre o DEC e DMF, onde o valor de máximo para o trecho analisado é a área do diagrama de esforço cortante.

• Vigas Gerber são vigas que apresentam rótulas em sua composição de forma a tornar o sistema da estrutura estaticamente determinável.

• A análise das vigas Gerber é iniciada pelo trecho que não apresenta estabilidade própria, ou seja, onde há a presença de rótulas.

• A presença de rótulas na estrutura faz com que os esforços horizontais e verticais sejam transferidos, mas não transferem os esforços de momento fletor, portanto no nó rotulado, o diagrama de momento fletor é necessariamente zero.

• Em vigas inclinadas, pode ocorrer de existir carregamento vertical, horizontal ou ainda inclinado e, neste último caso, pode ser decomposto em carregamento vertical + horizontal.

133

AUTOATIVIDADE

1 Utilizando o método direto, trace os diagramas de esforços (DEC, DEN e DMF) das estruturas a seguir:

a)

b)

c)

FONTE: Adaptado de Júnior (2013)



134

d)

e)FONTE: Adaptado de Süssekind (1981)

FONTE: Adaptado de Süssekind (1981)




2 Encontre as reações e trace o diagrama de esforços para as estruturas a seguir:

a)

b)

c)

135

d)




3 A figura a seguir representa o diagrama de esforço cortante de uma Viga Gerber, que possui uma rótula a ser determinada. Portanto, determine:

I- A posição da rótula.II- Reconstrua o carregamento aplicado nessa viga.III- Trace o diagrama de momento fletor.

4 Obtenha os diagramas dos esforços solicitantes para a viga:

136

137

TÓPICO 3

PÓRTICOS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Neste tópico será aplicado os métodos de análises vistos até agora em estruturas de pórticos, arcos e cabos, apresentando em cada estilo de estrutura suas particularidades.

Pórticos são estruturas lineares constituídas por barras retas ligadas entre si. Eles podem ser planos (bidimensionais) ou espaciais (tridimensionais). Em nosso estudo, estaremos limitados a análise de pórticos planos.

Os cabos são estruturas flexíveis, lineares e capazes de resistir apenas aos esforços de tração, sem apresentar resistência aos demais esforços. Sua utilização se dá de diversas maneiras na construção civil, sendo, desde pontes pênseis à teleféricos portantes, linhas de transmissão de energias, entre outros.

Os arcos são estruturas que podem ser utilizadas para reduzir os momentos fletores em estruturas que possuem vãos muito grandes. A atuação do arco na estrutura é a inversa de um cabo, ou seja, ele recebe a sua carga fundamentalmente em compressão. Ao contrário dos cabos, os arcos são rígidos, portanto, necessitam resistir aos momentos fletores e esforços cortantes que agem na estrutura carregada.

Será iniciado os estudos apresentando a confecção dos diagramas de esforços para pórticos, e a partir daí, evoluindo para as outras estruturas.

2 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS

A ligação entre as barras dos pórticos é realizada através de engastes ou rótulas internas para permitir que a sua estrutura trabalhe em conjunto, e não como ocorre em colunas e vigas, onde cada elemento trabalha isoladamente.

Os Diagramas de Esforço Normal (DEN) e Diagramas de Esforço Cortante (DEC) não precisam ser feitos para o mesmo lado da barra, basta, apenas, ter os mesmos valores e sinais. Já os Diagramas de Momento Fletor (DMF) devem estar sempre no lado tracionado da barra, podendo os sinais dos resultados serem diferentes dos sinais utilizados neste livro didático.

138


Considerações sobre os sinais dos diagramas:

• As fibras inferiores serão tracejadas, definindo, portanto, a parte à esquerda e à direita da seção.

Exemplo:


NOTA

2.1 PÓRTICOS SIMPLES

FIGURA 64 – ESTRUTURA DE PÓRTICO SIMPLES


TÓPICO 3 | PÓRTICOS

139

É possível descobrir os esforços solicitantes na estrutura pelo método direto, como visto anteriormente, facilitando a análise da estrutura. Os cálculos estão apresentados a seguir:

Reações:∑Fx = 0 . . RAx = 1tf∑Fy = 0 . . RAy = 3 + 1.4 + 1RAy = 8 tf∑MA = 0 . . 3.2 – 1.4.2 – 1.1 + 1.2 + MA = 0MA = 1 tf.m

Seção S1: trecho DCN = 0;V = -3 tfMC = -6 tf.m

Seção S2: trecho CEN = 0;V = 1.xPara x = 0; V = 0x = 4; V = 4 tfM = -1.x2/2Para x = 0; M = 0x = 4; M = -8 tf.m

Seção S5: trecho ABN = -8 tfV = -1 tfM = -1 – 1.xPara x = 0; M = -1 tf.mx = 2; M = -3 tf.m

Seção S4: trecho BCN = -7tfV = 0M = -2tf.m

Seção S3: trecho FBN = -1 tf;V = 1 tfM = -1.xPara x =0; M =0x = 1; M = -1 tf.m

Com isso, é possível traçar os diagramas de esforços solicitantes do pórtico.

140


FIGURA 65 – DIAGRAMA DE ESFORÇOS DA ESTRUTURA DE PÓRTICO SIMPLES


2.2 PÓRTICO COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE


141

FIGURA 66 – ESTRUTURA DE PÓRTICO COM ARTICULAÇÃO


142


FIGURA 67 – DIAGRAMA DE ESFORÇOS DO PÓRTICO ARTICULADO


2.3 PÓRTICOS COMPOSTOS

É denominado pórtico composto a associação de pórticos simples. Se eles forem isostáticos, será uma associação de pórticos simples isostáticos.

Diagramas:


143

FIGURA 68 – PÓRTICO COMPOSTO – EXEMPLO 1



144









145



Decompondo:


Decompondo:∑Fx = 0 . . HC = 30 kN∑Fy = 0 . . VA + VC = 80 kN∑MA = 0 . . 8.VC + 4.HC – 80.4 – 30.2 = 0VC = 32,5 kN VA = 47,5 kN


∑Fx = 0 . . HD + HG + 30 = 0∑Fy = 0 . . VD + VG = 20 + 32,5 + 80VD + VG = 132,5 kN∑MD = 0 . . 8.VG – 20.5 – 80.4 – 30.4 = 0VG = 67,5 kN VD = 65 kNMCD = 0 . . 4.HD = 0HD = 0 HG = -30 kN

146


Diagramas:

FIGURA 73 – DIAGRAMA DE ESFORÇOS DA ESTRUTURA DE PÓRTICO COMPOSTO



147

3 CABOS

Os cabos são estruturas flexíveis, lineares e capazes de resistir apenas aos esforços de tração, sem apresentar resistência aos demais esforços. Sua utilização se dá de diversas maneiras na construção civil, sendo desde pontes pênseis à teleféricos portantes, linhas de transmissão de energias, entre outros.

Na estática, assume-se a hipótese de que os cabos são perfeitamente flexíveis, ou seja, o momento fletor e o esforço cortante, neste tipo de estrutura são nulos durante todo o seu comprimento, tornando os cabos submetidos a esforços de tração.

Quanto à consideração dos esforços de solicitação, dependendo do caso deve-se considerar o peso próprio do cabo. Em situações em que o peso próprio do cabo seja muito menor que as cargas externas solicitantes, pode-se desprezar a parcela do peso próprio da estrutura. A geometria da configuração deformada do cabo, para um dado carregamento é denominada forma funicular do cabo.

Alguns exemplos de formas funiculares podem ser observados a seguir:

QUADRO 3 – EXEMPLO DE FORMAS FUNICULARES

Carregamento Forma FunicularTriângulo

Trapezoide

Polígono

148


Parábola

Catenária


É importante ressaltar que a catenária apresenta uma curvatura mais baixa do que a parábola, uma vez que seu peso próprio se concentra mais nas extremidades dos cabos.

A partir de estudos comparativos entre a forma da parábola e da catenária, para várias relações de flecha (f) e do vão entre extremidades (L), constata-se que para relações (f / L) ≤ 0,2 as formas da parábola e da catenária são praticamente coincidentes. Nesses casos é mais prático usar a forma da parábola para determinação dos lugares geométricos dos pontos ao longo do cabo.

FIGURA 74 – EXEMPLO DE CATENÁRIA DE ESTRUTURA DE CABO



149

3.1 REAÇÕES DE APOIO PARA CABOS

Os sistemas de cabos acabam desenvolvendo em suas extremidades empuxos horizontais, fazendo com que sejam necessários vínculos de segunda ordem para a manutenção da estabilidade.

Podemos considerar uma estrutura de cabos suportando duas cargas pontuais (concentradas) P, dispostas nos terços do vão, conforme esquema a seguir:

FIGURA 75 – CATENÁRIA DE UM CABO SUPORTADO DUAS CARGAS CONCENTRADAS

FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 91

Como estamos trabalhando com um sistema de forças em um plano, utiliza-se as equações de equilíbrio para encontrar as incógnitas desconhecidas:

(∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Mz=0)

Deve-se ressaltar que, em qualquer ponto da estrutura o momento fletor é nulo, portanto, temos:

ΣFx = 0Ax – Bx = 0, logo Ax = Bx = H (empuxo horizontal)

ΣMA = 0PL / 3 + P (2L / 3) – By.L = 0, portanto By = P

ΣFy = 0Ay + By = 2P, então Ay = 2P – By = P

Ainda não é possível calcular o valor do empuxo horizontal “H” se faz necessária uma quarta equação de equilíbrio, que sai da hipótese de que o momento fletor em qualquer ponto do cabo é nulo. Portanto, basta fazer uma seção em qualquer ponto conhecido que será possível obter a equação necessária.

Portanto, faremos uma seção no ponto C e temos:

150


FIGURA 76 – SEÇÃO 1, COINCIDENTE COM O PONTO C DO CABO


ΣMc = 0 - H.f + (P.L) / 3 = 0, portanto H = (P. L) / 3f.

Através da equação anterior é possível verificar que quanto menor for a flecha, maior é o valor de empuxo obtido. Uma analogia interessante e que nos auxilia para a resolução de problemas com cabos é a substituição do sistema por uma viga simples de mesmo vão e mesmo carregamento.

Como é possível observar na figura a seguir, as reações de apoio verticais coincidem para o cabo “AB” e para a viga de substituição “AB’, facilitando os cálculos dos esforços da estrutura.

De agora em diante, iremos referenciar as reações de apoio e esforços na viga de substituição como Ay* e By*, e no cabo como Ay e By.

ATENCAO

Além das reações de apoio, outra vantagem da substituição do sistema de cabos por uma viga é a determinação do gráfico do empuxo do cabo.


151

QUADRO 4 – COMPARAÇÃO DO CARREGAMENTO EM CABOS COM UMA VIGA BIAPOIADA


Cabos

Viga de substituição

DMF

M*máx = PL / 3, logo H = PL / 3f = M*máx / f.

Em que f é a distância vertical máxima do cabo até a linha de fechamento entre as extremidades A e B do cabo.

Esta analogia é válida para outros tipos de carregamentos, fica como desafio ao acadêmico provar estas relações.

ATENCAO

152


Uma vez conhecidas as reações de apoio, é possível determinar os esforços normais atuantes no cabo. Usando mais uma vez o exemplo do cabo submetido a duas cargas concentradas equidistantes, de valor “P” cada uma:

QUADRO 5 – ESFORÇOS NORMAIS DE TRAÇÃO ATUANTES EM CABOS

Esforço normal no trecho AC Substitui-se a parte do cabo retirada, pelo seu efeito, a Força Normal NAC. Aplicam-se as equações de equilíbrio:ΣFx = 0 NACx = PL/3fΣFy = 0 NACy = P, logo NAC2 = (NACx)2 + (NACy)2

NAC = [(PL/3f) 2 + P2] ½

Esforço normal no trecho DC ΣFx = 0 NCD = H = PL/3fΣFy = 0 P – P = 0, equilíbrio satisfeito Esforço normal no trecho DB: NDB = NAC = [(PL/3f)2 + P2] ½



153

De acordo com as equações encontradas da figura é possível verificar que o esforço normal máximo se encontra nos trechos AC e DB, juntos da extremidade do cabo, ficando de acordo com o pressuposto anteriormente, na caracterização do sistema de cabos.

5 ARCOS

Os arcos são estruturas que podem ser utilizadas para reduzir os momentos fletores em estruturas que possuem vãos muito grandes. A atuação do arco na estrutura é a inversa de um cabo, ou seja, ele recebe a sua carga fundamentalmente em compressão. Ao contrário dos cabos, os arcos são rígidos, portanto, necessitam resistir aos momentos fletores e esforços cortantes que agem na estrutura carregada.

Em particular, se o arco tem uma forma parabólica e é sujeito a uma carga vertical uniforme distribuída horizontalmente, então da análise de cabos vê-se que apenas forças compressivas serão resistidas pelo arco. Nessas condições, a forma do arco é chamada de arco funicular porque nenhuma força de flexão ou cortante ocorre dentro do arco. A figura a seguir apresenta uma estrutura típica de um arco.

FIGURA 77 – ESTRUTURA TÍPICA DE UM ARCO


vértice

fundação

linha de pressão elevação da linha de centro

côncavo

intradorso(ou sofito)

extradorso(ou costas)

O tipo de arco escolhido se dá devido a sua aplicação e aos esforços a que estará submetido. Eles podem apresentar estruturas biengastadas, biarticuladas, triarticuladas ou atirantadas. Suas diferenças consistem no seu método construtivo, materiais utilizados, local de aplicação e grau de liberdade.

FIGURA 78 – DIFERENÇAS ENTRE OS TIPOS DE ARCOS


arco biengastado (a)

arco triarculado (c) arco atirantado (c)

arco bienarticulado (b)

154


Os arcos com apoios rotulados permitem a rotação nas extremidades quando o carregamento atuar.

Os arcos com vínculos engastados são mais rígidos que os de extremidade rotulada, apresentando menores deslocamentos quando sob a ação do carregamento. Por serem mais rígidos, adaptam-se menos às variações de carregamento ao longo da vida da estrutura, surgindo, assim, esforços solicitantes mais elevados que nos pórticos rotulados.

Os arcos hiperestáticos por dependerem de uma condição adicional de compatibilidade das deformações, além das equações de equilíbrio, sofrem alterações significativas nos esforços quando há recalques de apoios ou variações de temperatura. Para eliminar esses efeitos, pode-se acrescentar uma rótula ao arco biarticulado.

Nos cabos, para cada tipo e intensidade de carregamento a forma funicular seria diferente de forma que todas seções transversais estivessem submetidas a momentos nulos. Além disso, o empuxo horizontal nos apoios sempre é com sentido a afastar as extremidades.

Nos arcos, para cada tipo e intensidade de carregamento existirá uma forma funicular para a qual os momentos serão nulos para todas as seções transversais. Esta forma funicular é chamada “linha de pressão” de um carregamento sempre que a geometria de um arco coincidir com a linha de pressão do carregamento aplicado sobre o arco, os únicos esforços atuantes serão de compressão, com Ms=0 e Vs=0. Além disso, independentemente de o arco estar submetido exclusivamente a esforços de compressão ou não, os empuxos horizontais nas extremidades do arco têm sentido de aproximação das extremidades equilibrando a tendência de o arco deformar-se com o afastamento dos apoios.

Exemplo:

Encontrar esforços internos no arco circular para pontos de coordenadas x = 0, 4, 8, 12 e 16 m.


155

FIGURA 79 – ARCO TRIARTICULADO


(R-3)2 + 162 = R2 R2 - 6R + 9 + 256 = R2 6R = 256 + 9 R = 44,17m

Centro do Círculo: a = 16m b = - (R-3)

Equação do Arco:

(x-16)2 + [y + (R-3)]2 = R2

Derivando em relação a x:2(x-16) + 2 [y + (R-3)] dy/dx = 0

Teremos que:

tg ϕ = dy/dx = (16 - x) / (y + R - 3) R = 44,17 m

Da viga de substituição obtemos:

. 8.32 128 2 2a

q lV kN= = =

2 8* . 8.32 1024

8 8gq lM kN= = =

H= M*g/f = 1024/3 = 341,33 Kn

156


TABELA 1 - RESOLUÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS PARA ESTRUTURA DE ARCOS


Pontos x y tg ϕ ϕ sen ϕ cos ϕ NS VS MS0 0 0 0,388 21,24º 0,362 0,932 - 364,5 - 4,3 01 4 1,34 0,283 15,96º 0,272 0,962 - 354,5 - 0,5 - 9,42 8 2,27 0,184 10,43º 0,181 0,983 - 347,1 1,1 - 6,83 12 2,82 0,091 5,20º 0,091 0,996 - 342,9 0,8 - 2,64 16 3,00 0 0º 0 1,0 - 341,3 0 0

M*s =Vax – (q.l2)/2

Diagramas:

FIGURA 80 – DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES PARA ARCOCOM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO



157


LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA ESTRUTURASDETERMINADAS ESTATICAMENTE

R. C. Hibbeler

Linhas de influência têm uma aplicação importante para o projeto de estruturas que resistem a grandes sobrecargas. Neste capítulo discutiremos como traçar a linha de influência para uma estrutura determinada estaticamente. A teoria é aplicada a estruturas sujeitas a uma carga distribuída ou a uma série de forças concentradas, e são dadas aplicações específicas para vigas de piso e treliças de pontes. A determinação do cortante e momento máximos absolutos em um membro é discutida no fim do capítulo.

Nos capítulos anteriores desenvolvemos técnicas para analisar as forças em membros estruturais em razão de cargas permanentes ou fixas. Foi mostrado que os diagramas de cortante e n1ornento representam os métodos mais descritivos para mostrar a variação dessas cargas em um membro. Se uma estrutura é sujeita a uma sobrecarga ou cargas 111óveis, entretanto, a variação do cortante e do momento fletor no membro é mais bem descrita se for usada a linha de influência.

Uma linhade influência representa a variação da reação, cortante, momento ou deflexão em um ponto especifico em um membro à medida que uma força concentrada se desloca sobre o membro. Uma vez que essa linha seja construída, você pode dizer de relance onde a carga em movimento deve ser colocada sobre a estrutura de maneira que ela crie a maior influência no ponto especificado. Além disso, a magnitude da reação associada, cortante, momento ou deflexão no ponto podem então ser calculados a partir das ordenadas do diagrama de linha de influência. Por essas razões, linhas de influência têm um papel importante no projeto de pontes, vigas de pontes rolantes, transportadores e outras estruturas em que as cargas se deslocam através de seu vão.

Apesar de o procedimento para construir uma linha de influência ser bastante básico, é preciso que se tenha bem claro a diferença entre construir uma linha de influência e construir um diagrama de cortante ou momento. Linhas de influência representam o efeito de uma carga em movimento apenas em um ponto especificado em um membro, enquanto diagramas de cortante e momento representam o efeito de cargas fixas em todos os pontos ao longo do eixo do membro.

Procedimento de análise

Qualquer um dos dois procedimentos a seguir pode ser usado para construir a linha de influência em um ponto específico P em um membro para qualquer função (reação, cortante ou momento). Para ambos os procedimentos consideraremos que a força em movimento tem uma magnitude de unidade adimensional.

158


Valores tubulados

• Coloque uma carga unitária em várias posições, x, ao longo do membro, em cada posição use a estática para determinar o valor da função (reação, cortante ou momento) no ponto especificado.

• Se a linha de influência para uma reação de força vertical em um ponto sobre uma viga deve s~r construída, considere a reação como positiva no ponto quando ela atua para cima sobre a viga.

• Se uma linha de influência de cortante ou momento deve ser traçada para um ponto, tome o cortante ou momento no ponto como positivo de acordo com a mesma convenção de sinais usada para traçar os diagramas de cortante e momento.

• Todas as vigas determinadas estaticamente terão linhas de influência que consistem de segmentos em linha reta. Após alguma prática você deve ser capaz de minimizar os cálculos e localizar a carga unitária somente em pontos representando as extremidades de cada segmento de linha.

• Para evitar erros, recomenda-se que primeiro se construa uma tabela, listando “carga unitária em x” versus o valor correspondente da função calculada no ponto específico; isto é, “reação R”, “cortante V” ou “momento M”. Uma vez que a carga tenha sido colocada em vários pontos ao longo do vão do membro, os valores tabulados podem ser representados graficamente e os segmentos de linha de influência construídos.

Equações de linho de influência

• A linha de influência também pode ser construída colocando a carga unitária em uma posição variável x no membro e então calculando o valor de R, V ou M no ponto como uma função de x. Desta maneira, as equações dos vários segmentos de linha compondo a linha de influência podem ser determinadas e representadas graficamente.

FONTE: HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 12. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2013. p. 147-148.

159

RESUMO DO TÓPICO 3


• A ligação entre as barras dos pórticos é realizada através de engastes ou rótulas internas, resultando em diferentes comportamentos da estrutura.

• A adição de rótula fornece uma equação a mais para o sistema.

• Sempre que possível, utilizar da simetria da estrutura para a resolução de estruturas de pórticos.

• O momento fletor e o esforço cortante nos cabos são nulos, estes apresentando apenas esforços de tração.

• A geometria da configuração deformada do cabo, para um dado carregamento, é denominada forma funicular do cabo.

• Extremidades dos cabos é necessário apoio de segundo grau.

• A substituição do sistema por uma viga simples de mesmo vão e mesmo carregamento pode ser utilizado para facilitar a resolução da estrutura.

• A atuação do arco na estrutura é a inversa de um cabo, ou seja, ele recebe a sua carga fundamentalmente em compressão.

• Como os arcos são rígidos, eles precisam resistir à momentos fletores e esforços cortante.

• A análise de estruturas de arcos pode ser feita através da alteração da estrutura por uma viga rígida de mesmo vão e carregamento.

160

1 Traçar os diagramas dos esforços solicitantes dos pórticos simples a seguir:

a)

b)FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, 76)

FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, 78)

AUTOATIVIDADE

161

2 Determine as reações de apoio no cabo AB e as cotas verticais nos pontos “C” e “E”.

3 Qual é o comprimento total do cabo que suporta uma sobrecarga uniformemente distribuída ao longo do vão de 100 N/m e que possui peso próprio igual a 50 N/m, sabendo-se que os pontos de fixação estão no topo de postes de 6 m de altura e que estão afastados entre si de 50 m? Além disso, há a informação de que o ponto mais baixo do cabo está 4,5 m acima do solo.

c)

FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, 79)


162


4 Uma passarela, que liga duas edificações afastadas de 15,0 m, possui 3,0 m de largura e deve suportar uma sobrecarga de 5 kN/m2 além de seu peso próprio, também estimado em 5 kN/m2. A passarela será suspensa por dois cabos com uma flecha de 3 m. Determine a força normal máxima que tracionará o cabo.


163

5 O cabo de aço de uma ponte pênsil de 600 m em vão, cujos pontos de suspensão estão no mesmo nível, deve suportar uma carga total máxima uniformemente distribuída de 3,5 kN/m. Se a flecha do cabo é de 90 m:

I- Determine a área necessária de sua seção transversal, sabendo que a tensão admissível deste aço à tração é de σt=200 Mpa.

II- Calcule o comprimento total do cabo.

6 O cabo de uma linha de transmissão, suspenso entre dois pontos no mesmo nível, deve vencer um vão de 80 m e suportar uma carga uniformemente distribuída de 0,05 kN/m. Se o comprimento total do cabo é de 110 m, qual é sua flecha e qual seu valor do esforço normal máximo atuante?

7 O cabo BC suporta uma carga uniformemente distribuída de 50 N/m e possui comprimento total de 120 m. Se no ponto A atua um momento fletor de 200 kN.m, calcule:

I- A flecha “f” do cabo.II- O valor do esforço normal máximo no cabo.

8 Dois cabos parabólicos são unidos no ponto C, no topo de uma torre. Considerando que a torre não deve ser solicitada por componentes horizontais, determine h.



164

9 Calcule o valor de f para que o arco triarticulado AGB tenha a geometria da linha de Pressões do carregamento indicado e para que o esforço normal máximo valha 200 kN (compressão). Pede-se também:

I- Aspecto a Linha de Pressões.II- Equações da Linha de Pressões em todos os trechos, referidas aos eixos x e y.III- Esforço normal em G.IV- Inclinação da Linha de Pressões no apoio A.V- Esforço normal mínimo.

10 Deseja-se construir um sistema triarticulado AGB cuja geometria coincida com a Linha de Pressões do carregamento da figura. Pede-se:

I- Equações da Linha de Pressões em todos os trechos, referidas aos eixos x e y.II- Esforço normal máximo atuante.



165

11 O triarticulado AGB deve coincidir com a geometria da Linha de Pressões do carregamento indicado, de tal forma que o esforço normal seja 100 kN (compressão). Pede-se:

I- Equação da tangente da Linha de Pressões com a horizontal.II- Abscissa da seção que tem o esforço normal mínimo.

12 Deseja-se construir um triarticulado AGB que trabalha segundo a Linha de Pressões para o carregamento indicado, de tal forma que o esforço normal máximo seja de 250 kN (compressão). Pede-se:

I- Valor de p.II- Equação da Linha de Pressões.III- Abscissa da seção que tem o esforço normal mínimo.IV- Equação da tangente da Linha de Pressões com a horizontal.



166

167

UNIDADE 3

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS


PLANO DE ESTUDOS


• identificar uma estrutura hiperestática;

• escolher o melhor método de análise de estrutura;

• aplicar o método das forças para análise da estrutura;

• aplicar o método dos deslocamentos para análise da estrutura;

• aplicar o método de cross para análise da estrutura;

• calcular a matriz de rigidez de qualquer estrutura hiperestática;

• aplicar a regra de correspondência para a avaliação das estruturas.


TÓPICO 1 – MÉTODO DAS FORÇAS

TÓPICO 2 – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ

TÓPICO 3 – MÉTODO DE CROSS

168

169

TÓPICO 1

MÉTODO DAS FORÇAS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

O início de todo projeto estrutural consiste em estabelecer um modelo estrutural a ser adotado na análise. As estruturas podem ser tratadas globalmente ou divididas em diversos elementos. Essas estruturas podem receber diferentes classificações, conforme vimos nas unidades anteriores, mas, resumidamente são:

• Reticuladas: quando uma dimensão predomina em relação às outras duas. Normalmente são denominadas barras em que o eixo (retilíneo ou curvo) é mais longo do que as demais dimensões.

• Laminar: quando duas dimensões predominam em relação a uma terceira. Ex.: chapas, placas, paredes.

• Tridimensional: quando nenhuma dimensão é predominante. Ex.: blocos de fundações, alguns modelos de barragens.

Além disso, as estruturas ainda são classificadas em hipostática, isostáticas e hiperestáticas. As estruturas são denominadas hipostáticas quando seus movimentos de corpo rígido não são restringidos e elas atingem uma configuração de equilíbrio estável.

Por sua vez, as estruturas isostáticas, quando apresentam restrições ao movimento de corpo rígido e o número de incógnitas a serem determinadas é igual à quantidade de equações de equilíbrio da estática. Já as estruturas hiperestáticas, que é objeto desta unidade, quando apresentam restrições ao movimento do corpo rígido, o número de incógnitas a serem determinadas é superior ao número de equações de equilíbrio estático. O método de cálculo utilizado para a caracterização da estrutura já foi abordado na Unidade 1 e, portanto, não será detalhado nesta unidade.

Deve-se ressaltar que sempre será admitido que as estruturas apresentam comportamento elástico linear, ou seja, apresentam pequenos deslocamentos e deformações ao se deformar, e são constituídas de material elástico linear.

O objetivo deste tópico é capacitar você, acadêmico, a analisar estruturas hiperestáticas, determinando seus esforços internos e deslocamentos generalizados, sendo apresentados três métodos de análise: método dos deslocamentos, método das forças e o processo de Cross, que serão detalhados no decorrer desta unidade.

UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

170

Nesta unidade será adotado o método do princípio dos trabalhos virtuais (PTV), o qual pode ser executado através de integração ou das tabelas de Kurt-Beyer.

IMPORTANTE

2 MÉTODO DAS FORÇAS

Este subtópico possui o objetivo de apresentar a metodologia de análise de estruturas hiperestáticas através do método das forças.

Para realizar a análise estrutural deve-se considerar três grupos básicos: condições de equilíbrio e condições pelas leis constitutivas dos materiais, condições estas abordadas pelo método das forças.

Procedimento: são liberados os vínculos excedentes ou hiperestáticos e são substituídos por forças estaticamente equivalentes, impondo-se condições de compatibilidade de deslocamentos. O sistema estrutural hiperestático é transformado em um sistema isostático equivalente denominado sistema principal (vários sistemas principais são possíveis).

• Incógnitas: forças (número de incógnitas = grau de hiperestaticidade = g).• Equações: compatibilidade de deslocamentos.• Formulação matricial: formula-se a Matriz de Flexibilidade da estrutura.

Os deslocamentos podem ser obtidos através do:

• Método da integração direta.• Método da analogia de Mohr.• Teorema de Castigliano.• Princípio dos trabalhos virtuais.

Na prática, o método consiste em somar as soluções básicas que satisfazem às condições de equilíbrio, mesmo não satisfazendo às condições de compatibilidade da estrutura original, para no momento da superposição, restabelecer as condições de compatibilidade.

Cada solução básica não satisfaz isoladamente a todas as condições de compatibilidade da estrutura original, elas são restabelecidas no momento da superposição de todos os casos.

A estrutura utilizada para a superposição é uma estrutura isostática auxiliar, obtida a partir da estrutura original, que fica restabelecida quando se superpõem todos os casos básicos.

TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS

171

Para essa estrutura isostática dá-se o nome de Sistema Principal (SP), em que as forças ou momentos associados aos vínculos liberados são incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos.

Para facilitar o entendimento do método, sua explicação será baseada em um modelo, conforme apresentado na seguinte figura:

FIGURA 1 – ESTRUTURA UTILIZADA PARA A DESCRIÇÃO DA METODOLOGIADO MÉTODO DAS FORÇAS

FONTE: Martha (2017, p. 130)

A configuração da deformada do pórtico apresentado está exagerada para facilitar o entendimento. Neste exemplo será considerado que todas as barras da estrutura têm os mesmos valores para área (A=5.10-3m²), momento de inércia (I=5.10-4 m4) e módulo de elasticidade (E=2.108kN/m²).

2.1 HIPERESTÁTICOS E SISTEMAS PRINCIPAIS

Para ser realizada a análise da estrutura em relação as suas condições de equilíbrio, são apresentadas na figura a seguir as suas componentes de reações.


172

FIGURA 2 – COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO DA ESTRUTURA DA FIGURA 1


A estrutura deve obedecer às três equações de equilíbrio global de uma estrutura plana:

• somatório das forças horizontais igual a zero;• somatório das forças verticais igual a zero;• somatório de momento em relação a um ponto qualquer igual a zero;

Como estamos tratando de estruturas hiperestáticas e o número de incógnitas a serem determinados é superior ao número de equações de equilíbrio, este excesso de incógnitas ao número de equações é denominado como grau de hiperestaticidade (g). No caso do exemplo mostrado, o grau de hiperestaticidade g é 2 (g=2).

Então, para resolver este pórtico hiperestático pelo método das forças

é realizada a superposição de soluções isostáticas criando-se uma estrutura isostática auxiliar (SP) através da estrutura original, eliminando alguns vínculos necessários, como o exemplo mostrado na figura a seguir:


173

FIGURA 3 – SISTEMA PRINCIPAL ADOTADO PARA A SOLUÇÃO DA ESTRUTURA DA FIGURA 1


É possível observar que foram eliminados dois vínculos externos da estrutura original (a rotação em A e o deslocamento horizontal em B), tornando as estruturas isostáticas e possibilitando a sua resolução através das equações de equilíbrio.

A escolha do SP é arbitrária, assim, qualquer estrutura isostática escolhida é válida para a resolução do sistema, desde que seja estável estaticamente.

Os esforços eliminados são reações de apoio, chamados de hiperestáticos, e são incógnitas da solução pelo método das forças. É utilizada a nomenclatura Xi para indicar os hiperestáticos, em que o índice i indica o hiperestáticos, que varia de 1 até g.

Para o exemplo abordado, temos:

X1 = HA, reação de momento associada ao vínculo de apoio θA = 0;X2 = HB, reação de momento associada ao vínculo de apoio H

B∆ = 0.

Os hiperestáticos estão mostrados no exemplo acima, com os sentidos que foram convencionados como positivos.

2.2 RESTABELECIMENTO DA COMPATIBILIDADE

A solução do método recai em encontrar os valores que as incógnitas X1 e X2 devem ter para recompor os vínculos de apoio eliminados, levando em consideração o carregamento aplicado na estrutura. Portanto, nada mais é que procurar os valores dos hiperestáticos para que as condições de compatibilidade na criação do SP sejam restabelecidas.


174

Para determinar os valores dos hiperestáticos X1 e X2, deve-se aplicar a superposição de efeitos utilizando a estrutura SP como estrutura para soluções básicas. O número de casos básicos é sempre igual ao grau de hiperasticidade mais um (g+1), portanto, para o exemplo aplicado, teremos o caso (0), (1) e (2).

• Caso (0) – Solução do carregamento externo isolado no SP

Nessa situação é isolado o efeito do carregamento externo na estrutura isostática SP, conforme pode ser visto na Figura 4. Nessa configuração pode ser observada a rotação δ10 e o deslocamento δ20.

Este termo de carga pode ser definido como sendo o deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado e que é associado ao hiperestático naquele ponto. No caso o δ10, significa a rotação do primeiro hiperestático para o caso 0 de análise.

FIGURA 4 – SOLICITAÇÃO EXTERNA ISOLADA NO SP DA ESTRUTURA DA FIGURA 1


O sinal negativo da rotação mostra que a rotação real apresenta sentido contrário ao considerado para o hiperestático X1 no caso (1). Da mesma forma, o sentido considerado para o hiperestático X2 no caso (2).

• Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP

Analogamente ao caso (0), neste caso o Hiperestático X1 é colocado em evidência, já que ele é uma incógnita a ser encontrada. Portanto, considera-se o X1 com um valor unitário (1), sendo que o valor de X1 encontrado deverá ser multiplicado por 1.


175

A rotação δ11 e o deslocamento δ21 provocado por X1=1, nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP, são conhecidos como coeficientes de flexibilidade, sendo definidos como:

δij = coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi devido a um valor unitário do hiperestático Xj, atuando isoladamente.

Os valores encontrados para o coeficiente de flexibilidade no caso (1) são apresentados na figura a seguir, sendo suas unidades correspondentes as suas respectivas unidades do hiperestático em questão. Ressalta-se que as considerações feitas no caso (0) quanto aos sinais encontrados vale para qualquer caso analisado.

FIGURA 5 – HIPERESTÁTICO X1 ISOLADO NO SP DA FIGURA 1

FONTE: Martha (2017, p. 13A)

• Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP

A Figura 6 mostra a configuração deformada do SP para o caso (2) com uma amplificação para que seja possível de ser visualizada. Assim como no caso (1), o hiperestático X2 é colocado em evidência, considerando um valor unitário e multiplicando-o a sua deformação por este valor ao final das operações.

Desta forma, encontra-se a rotação δ12 e o deslocamento δ22 surgidos considerando X2=1, assim como feito no caso (1). Após realizar as operações matemáticas, é possível verificar que os valores encontrados para os coeficientes de flexibilidades δ12 e δ21. Isso é devido ao teorema de Maxwell, que comprova que os coeficientes δij e δji — sendo i e j os índices dos hiperestáticos —sempre serão iguais.


176



Uma vez já encontrados os coeficientes de flexibilidade para todos os casos considerados, é aplicado o teorema da superposição dos efeitos com o intuito de restabelecer as condições de compatibilidade violadas na criação do SP. Desta forma, então, são obtidas as seguintes equações:

Nó A (rotações surgidas nos casos analisados):

10 11 1 12 2 . . 0X Xδ δ δ+ + =

Nó B (deslocamentos surgidos nos casos analisados):

20 21 1 22 2 . . 0X Xδ δ δ+ + =

Obtendo assim um sistema de equações de compatibilidade:

10 11 1 12 2

20 21 1 22 2

. . 0 . . 0

X XX X

δ δ δδ δ δ

+ + = + + =

3 3 31 2

3 3 31 2

13,64.10 0,1152.10 . 0,6997.10 . 0115,2.10 0,6997.10 . 6,1180.10 . 0

X XX X

− − −

− − −

− + − =

− + =

Resolvendo este sistema, obtém-se que X1=13,39 kN.m e X2=-17,29 kN.

Mais uma vez, os sinais encontrados nos resultados indicam os sentidos dos esforços, se positivos, possuem o mesmo sentido arbitrado no início do exercício, caso negativo, o sentido real é o oposto do arbitrado. Dessa forma, os esforços do exemplo desenvolvido são apresentados na Figura 7.


177

FIGURA 7 – VALORES E SENTIDOS DOS HIPERESTÁTICOS NA SOLUÇÃODA ESTRUTURA DA FIGURA 1


Estes valores encontrados fazem com que a rotação no ponto A seja nula, assim como o deslocamento horizontal no ponto B, atingindo a solução correta para a estrutura, pois satisfazem às equações de equilíbrio e de compatibilidade.

Porém, a análise da estrutura não termina encontrando apenas os valores dos hiperestáticos. Ainda se faz necessário obter os diagramas de esforços internos e os deslocamentos da estrutura, para isso é possível executar de duas maneiras diferentes:

1- Calcula-se uma estrutura isostática com o carregamento principal aplicado simultaneamente aos hiperestáticos, como se fossem esforços aplicados nos nós.

2- Utiliza-se a superposição dos casos básicos para a obtenção dos esforços internos finais.

Apesar da primeira maneira ser mais simples de ser calculada, a segunda opção é a mais utilizada, isso porque no cálculo dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade é necessário o conhecimento dos diagramas de esforços internos dos casos básicos (0), (1) e (2).

Desta maneira, como já se tem os diagramas de esforços internos disponíveis, facilita a obtenção dos esforços internos finais da estrutura hiperestática original, aplicando a superposição dos esforços internos dos casos básicos.

Desta forma:

0 1 1 2 2M M M X M X= + +


178

A equação apresentada pode ser generalizada para todos os esforços internos — normal (N), cortante (V) e momentos fletores (M) — de uma estrutura hiperestática.

3 MATRIZ DE FLEXIBILIDADE E VETOR DOS TERMOS DE CARGA

No subtópico anterior foi mostrado como chegar ao sistema de equações de compatibilidade da estrutura. Este sistema pode ainda ser apresentado de forma matricial:

10 11 12 1

20 21 22 2

00

XX

δ δ δδ δ δ

+ =

E no caso de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g, pode-se escrever:

{ } [ ]{ } { }0 0Xδ δ+ =

Em que:

• {δ0} : vetor dos termos de carga;• [δ] : matriz de flexibilidade;• {X} : vetor dos hiperestáticos.

O número de equações de compatibilidade é igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura, sendo que cada equação restabelece o vínculo associado ao hiperestático genérico xi. O termo δi0 é o deslocamento ou rotação que aparece no vínculo eliminado, diretamente associado ao vínculo eliminado ao hiperestático Xi no caso (0). Já o coeficiente δij da matriz de flexibilidade é o deslocamento ou a rotação que aparece no vínculo associado ao hiperestático Xi originado pela aplicação do carregamento Xj = 1 no caso (j).

Percebe-se que o vetor termo de cargas depende do SP escolhido e da solicitação externa. Desta maneira, caso o carregamento for alterado, mantendo-se os SP, se faz necessário calcular novamente apenas os termos de cargas da estrutura.

Através do proposto até o momento a respeito do método, duas observações devem ser feitas:

1- Através do teorema de Maxwell, a matriz de flexibilidade é simétrica, logo é possível afirmar que δij = δji.

2- Os coeficientes de flexibilidades correspondentes a um dado caso básico possuem o mesmo índice j do caso em específico. Portanto, a j-ésima coluna da matriz de flexibilidade da estrutura corresponde ao conjunto de deslocamentos generalizados nas direções dos vínculos eliminados do SP provocados por Xj=1.


179

3.1 ESCOLHA DO SISTEMA PRINCIPAL

Conforme foi explicado no início do método, não há uma única maneira de construir o SP do método das forças. No exemplo anterior, os vínculos de apoio foram tirados, porém há situações em que é conveniente eliminar os vínculos internos da estrutura e, em alguns casos, esta é a única alternativa.

O próximo exemplo será desenvolvido aplicando as duas possibilidades para as resoluções citadas. Neste exemplo, iremos considerar a viga contínua mostrada, com três vãos e com carga uniformemente distribuída no primeiro vão da esquerda. Considera-se a rigidez da estrutura da viga sendo EI e pede-se para o diagrama de momentos fletores da estrutura. Neste cálculo não são considerados os esforços axiais.

FIGURA 8 – VIGA CONTÍNUA COM TRÊS VÃOS E CARREGAMENTOUNIFORME DISTRIBUÍDO NO PRIMEIRO VÃO


A estrutura apresentada possui grau de hiperestaticidade g=2 e serão resolvidas considerando dois sistemas principais (SP), deixando visível para o leitor as diferenças entre as opções de resolução.

Primeiramente, os vínculos externos (vínculos de apoios) serão eliminados. Portanto, serão eliminados os apoios internos da viga para chegar à estrutura isostática do SP. Assim irá resultar nos hiperestáticos X1 e X2, sendo estes as reações de apoio associadas aos vínculos excluídos.

FIGURA 9 – PRIMEIRA OPÇÃO PARA SP DA ESTRUTURA DA FIGURA 8


Neste caso, necessitamos encontrar os valores que as reações de apoio X1 e X2 devem ter para que possam suportar as cargas atuantes. Lembramos que, nestes pontos, o deslocamento vertical deve ser nulo, estabelecendo a condição de compatibilidade do sistema para a criação do SP.


180


Nesta situação é isolado o efeito do carregamento externo na estrutura isostática SP e os valores dos hiperestáticos (X1 =0 e X2=0). A figura mostra a configuração deformada do caso (0), indicando os termos de carga δ10 e δ20, assim como o diagrama de momento fletor do caso.

FIGURA 10 – SOLICITAÇÃO EXTERNA ISOLADA NO SP DA FIGURA 8


Os termos de cargas no caso (0) possuem uma interpretação física:

• δ10: deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X1, provocado pelo carregamento externo (0).

• δ20: deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X2, provocado pelo carregamento externo (0).


Nesta situação, somente o hiperestático X1=1 atua no SP, sem nenhuma solicitação externa e o valor do hiperestático X2=0. A figura a seguir mostra a configuração deformada do caso (1), indicando os termos de carga δ11 e δ21, assim como o diagrama de momento fletor do caso.

Os coeficientes de flexibilidades para o caso (1) são fisicamente interpretados como:

• δ11: deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X1, provocado por X1=1 no caso (1).



181




Nesta situação somente o hiperestático X2=1 atua no SP, sem nenhuma solicitação externa e o valor do hiperestático X1=0. A Figura 12 mostra a configuração deformada do caso (2), indicando os termos de carga δ12 e δ22, assim como o diagrama de momento fletor do caso.

Os coeficientes de flexibilidades para o caso (2) são fisicamente

interpretados como:






182

Uma vez encontrados os valores dos deslocamentos, é possível reestabelecer as condições de compatibilidade violadas pela criação do SP, desta forma, reestabelecendo as condições impostas pelos apoios eliminados. Assim temos:

10 11 12 1

20 21 22 2

0.

0XX

δ δ δδ δ δ

+ =

Para determinar o valor do hiperestático X1 é preciso, primeiramente, determinar os deslocamentos generalizados δ10 e δ11. Estes deslocamentos podem ser encontrados através do Princípio dos Trabalhos Virtuais (TIMOSHENKO, 1967; POPOV, 1978; SUSSEKIND,1994b).

Segundo o teorema do Princípio dos Trabalhos Virtuais aplicados

aos corpos elásticos, o trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas para quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos da estrutura. Este processo trabalha com um sistema real de deformações e um sistema virtual de forças, com uma força aplicada na direção do deslocamento a ser calculado.

No presente exemplo da viga contínua com três vãos, para o SP adotado, os deslocamentos a serem calculados são sempre os deslocamentos verticais nos pontos dos apoios eliminados para a criação do SP. Portanto, os sistemas de forças virtuais adotados sempre serão forças unitárias aplicadas nestes pontos. Observa-se que estes sistemas correspondem justamente aos casos (1) e (2) para os hiperestáticos X1 e X2 com valores unitários.

Cálculo de δ10:

Para calcular o tempo de carga δ0 pelo método de trabalhos virtuais, o sistema de deformação real é o caso (0) e o sistema de forças virtuais é o caso (1) com X1 = 1. Portanto, a expressão para encontrar o coeficiente, desprezando as deformações por cisalhamento é dado por:

3

10 1 00

1 1 l

viga

MMdx M M dxEI EI

δ = =∫ ∫3 2 3

1 0 1 0 1 0 1 00 0 1 2

l l l l

l

M M dx M M dx M M dx M M dx= + +∫ ∫ ∫ ∫3 4

10 1 00

14

l qlM M dxEI EI

δ = = −∫


183

Os valores dessa integral para a viga em questão devem ser calculados e, para facilitar a resolução do problema, é possível utilizar as tabelas que se encontram ao longo desta unidade. Porém, para isso, deve-se aplicar a tabela para cada trecho da estrutura. A figura a seguir mostra a solução para o caso (0) e as composições dos seus momentos.

FIGURA 13 – COMBINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES PARA O CÁLCULO DO TERMO DE CARGA Δ10 RELATIVO AO SP DA FIGURA 9


Cálculo de δ20:

Para calcular o tempo de carga δ0 pelo método de trabalhos virtuais, o sistema de deformação real é o caso (0) e o sistema de forças virtuais é o caso (2) com X2 = 1. Portanto, a expressão para encontrar o coeficiente, desprezando as deformações por cisalhamento é dado por:

3

20 2 00

1 1 l

viga

MMdx M M dxEI EI

δ = =∫ ∫3 2 3

2 0 2 0 2 0 2 00 0 1 2

l l l l

l


20 2 00

1 524

l qlM M dxEI EI

δ = = −∫


184

FIGURA 14 – COMBINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES PARA O CÁLCULO DO TERMO DE CARGA Δ20 RELATIVO AO SP DA FIGURA 9


Cálculo de δ11:

Para calcular o coeficiente de flexibilidade δ11 pelo método de trabalho virtual, o sistema real e o sistema de forças virtuais coincidem, assim como no caso (1). Portanto:

3

11 1 10

1 1 l

viga

MMdx M M dxEI EI

δ = =∫ ∫3 2 3

1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 2

l l l l

l


11 1 10

1 49

l qlM M dxEI EI

δ = =∫

FIGURA 15 – COMBINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES PARA O CÁLCULO DO COEFICIENTE DE FLEXIBILIDADE Δ11 RELATIVO AO SP DA FIGURA 9



185

Cálculo de δ21e δ12:

Para calcular o coeficiente de flexibilidade δ21 pelo método de trabalho virtual, o sistema real de deformação é o caso (1) com X1 = 1 e o sistema de forças virtuais é o caso (2), com X2 = 1. Para o cálculo do coeficiente de flexibilidade δ12, os papéis dos casos (1) e (2) se invertem, ou seja, o sistema de deformação passa a ser o caso (2), em que X2 = 1 e o sistema de forças virtuais passa a ser o caso (1), em que X1 = 1. Resultando em:

3

21 2 10

1 1 l

viga

MMdx M M dxEI EI

δ = =∫ ∫3

12 1 20

1 1 l

viga

MMdx M M dxEI EI

δ = =∫ ∫

Como mencionado anteriormente, δ21 e δ12 são iguais, portanto:

FIGURA 16 – COMBINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES PARA O CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE FLEXIBILIDADE Δ12 E Δ21 RELATIVO AO SP DA FIGURA 9

3 3 3

12 21 1 2 2 10 0

718

l l lM M dx M M dxEI

δ δ= = = =∫ ∫


Cálculo de δ22:

Para calcular o coeficiente de flexibilidade δ22 pelo método de trabalho virtual, o sistema real e o sistema de forças virtuais coincidem, assim como no caso (2). Portanto:


186

3

22 2 20

1 1 l

viga

MMdx M M dxEI EI

δ = =∫ ∫3 2 3

2 2 2 2 2 2 2 20 0 1 2

l l l l

l


22 2 20

1 49

l qlM M dxEI EI

δ = =∫

FIGURA 17 – COMBINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES PARA O CÁLCULO DO COEFICIENTE DE FLEXIBILIDADE Δ22 RELATIVO AO SP DA FIGURA 9


Uma vez calculado os coeficientes de flexibilidades e os termos de cargas, é possível resolver o sistema de equações de compatibilidade final, necessário para descobrir os valores dos hiperestáticos.

10 11 12 1

20 21 22 2

0.

0XX

δ δ δδ δ δ

+ =

4 31

2

741 09 184 .5 7 04

24 18 9

Xql lXEI EI

− + =

1

2

1320

10

qlX

qlX

= = −


187

Com o resultado obtido é possível observar que os valores dos hiperestáticos independem do parâmetro EI (rigidez da viga).

Para finalizar a solução da viga contínua, falta apenas determinar o diagrama de momentos fletores, e ele pode ser determinado de duas formas:

1- Calculando o SP principal com o carregamento aplicado simultaneamente com os hiperestáticos obtidos nos cálculos.

2- Utilizando a superposição de casos básicos para a obtenção dos momentos fletores finais:

M = M0 + M1X1 + M2X2

Normalmente utiliza-se a segunda opção, uma vez que os diagramas de momentos dos casos já estão disponíveis durante a solução do problema. O diagrama de momento fletor final da estrutura pode ser observado na Figura 18.

FIGURA 18 – REAÇÕES DE APOIO E DIAGRAMA DE MOMENTOSFLETORES FINAIS DA ESTRUTURA DA FIGURA 8


Anteriormente foi realizada a análise da viga contínua eliminando os vínculos externos (vínculos de apoios). Agora iremos obter o SP através da inserção de rótulas internas. Portanto, serão inseridas duas rótulas nas seções dos apoios internos da estrutura. Assim surgiram dois hiperestáticos X1 e X2, que serão momentos fletores associados à continuidade da estrutura, conforme a Figura 19.


188

FIGURA 19 – SEGUNDA OPÇÃO PARA SP DA ESTRUTURA DA FIGURA 8



Nesta situação é isolado o efeito do carregamento externo na estrutura isostática SP. A figura mostra a configuração deformada do caso (0), indicando os termos de carga δ10 = δ10 e δ20 = 0, assim como o diagrama de momento fletor do caso.

FIGURA 20 – SOLICITAÇÃO EXTERNA ISOLADA NO SP DA FIGURA 19


Os termos de cargas no caso (0) possuem uma interpretação física:

• δ10: rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devido ao carregamento do caso (0).






189







Martha (2017, p. 152)

Assim como executado anteriormente, uma vez encontrado os valores dos deslocamentos, é reestabelecido as condições de compatibilidade violadas pela criação do SP. Assim temos:

10 11 12 1

20 21 22 2

0.

0XX

δ δ δδ δ δ

+ =


190

Primeiramente é determinado os valores de deslocamentos generalizados, para então encontrar o valor do hiperestático X1. Para isso é aplicado o princípio dos trabalhos virtuais, conforme realizado no exemplo anterior.

O cálculo dos coeficientes deste sistema de equações também é feito com auxílio do Princípio das Forças Virtuais (PFV). Para o Sistema Principal adotado são calculadas as rotações relativas entre as seções adjacentes a cada rótula introduzida na criação do SP. Portanto, os sistemas de forças virtuais adotados são sempre pares de momentos unitários aplicados adjacentes às rótulas.

Assim como para a primeira opção de resolução, observa-se que estes sistemas correspondem justamente aos casos (1) e (2) para os hiperestáticos X1 e X2 com valores unitários. Assim, os sistemas de deformação real são os casos (0), (1) e (2) e os sistemas de forças virtuais são os casos (1) e (2) com X1 = 1 e X2 = 1, respectivamente.

Uma grande vantagem dessa segunda opção do SP é a facilidade no cálculo dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade. Este cálculo é mostrado na sequência, com base na combinação dos diagramas de momentos fletores dos casos básicos mostrados anteriormente:

( )3 2 3

10 1 00

1 1 1. . 1 . .3 8 24

l ql qlM M dx lEI EI EI

δ

= = − = −

∫

20 0δ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 1 1 2. . 1 . 1 . . 1 . 1 .

3 3 3ll l

EI EIδ = + =

( ) ( ) ( )12 211 1. . 1 . 1 .

6 6ll

EIδ δ = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )221 1 1 2. 1 . 1 . . 1 . 1 .

3 3 3ll l

EI EIδ = + =

Uma vez calculados os coeficientes de flexibilidades e os termos de cargas, é possível resolver o sistema de equações de compatibilidade final, necessário para descobrir os valores dos hiperestáticos.

10 11 12 1

20 21 22 2

0.

0XX

δ δ δδ δ δ

+ =

3 31

2

2 11 03 64 .1 2 00 6 3

Xql lXEI EI

− + =


191

2

1

2

2

15

60

qlX

qlX

=

= −

Observa-se que os valores de X1 e X2 correspondem exatamente aos valores dos momentos fletores nas seções dos apoios internos da viga contínua, conforme calculado anteriormente. Portanto, esta opção do SP acarreta, como não poderia deixar de ser, a mesma solução da estrutura hiperestática.

Outra vantagem desta segunda opção do SP é a facilidade no traçado do diagrama dos momentos fletores finais. Nas seções em que foram introduzidas rótulas o valor do momento fletor final é o próprio valor do hiperestático correspondente a cada rótula. O traçado do diagrama ao longo das barras é obtido por uma superposição simples dos diagramas dos casos básicos. No primeiro vão é uma superposição de um triângulo com uma parábola, no segundo é uma superposição de dois triângulos e no terceiro é só um triângulo.

A aplicação do método das forças para estruturas simétricas é facilitada quando se analisa uma estrutura simétrica. Nestes casos, basta resolver a metade da estrutura e traçar os diagramas de esforços. Depois, estender para o restante da estrutura lembrando que estruturas simétricas com:

1- Carregamento simétrico: o diagrama de esforço normal (N) e momentos fletores (M) são simétricos e o diagrama de esforço cortante (V) é antissimétrico.

2- Carregamento antissimétrico: o diagrama de esforço normal (N) e momentos fletores (M), são antissimétricos e o diagrama de esforço cortante (V) é simétrico.


192

QU

AD

RO

1 –

TA

BE

LA D

E K

UR

T B

EY

ER

FON

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142

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17/0

3/t

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rt-b

eye

r.jp

g>

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o e

m:

24 m

aio

20

19.

193

RESUMO DO TÓPICO 1


• Para a análise estrutural completa deve levar em consideração três grupos básicos: condições de equilíbrio e condições as pelas leis constitutivas dos materiais.

• O método das forças consiste em somar as soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, mesmo não satisfazendo as condições de compatibilidade da estrutura original, para no momento da superposição, restabelecer as condições de compatibilidade.

• Cada solução básica não satisfaz isoladamente todas as condições de compatibilidade da estrutura original, estas restabelecidas no momento da superposição de todos os casos.

• A estrutura utilizada para a superposição é uma estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original, as quais ficam restabelecidas quando se superpõem todos os casos básicos.

• A para essa estrutura isostática dá-se o nome de Sistema Principal (SP), onde as forças ou momentos associados aos vínculos liberados são incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos.

• A estrutura deve obedecer às três equações de equilíbrio global de uma estrutura plana:

◦ somatório das forças horizontais igual a zero; ◦ somatório das forças verticais igual a zero; ◦ somatório de momento em relação a um ponto qualquer igual a zero.

• Para resolver este pórtico hiperestático pelo método das forças, é realizado a superposição de soluções isostáticas criando-se uma estrutura isostática auxiliar (SP) através da estrutura original.

• Para formar a estrutura isostática, elimina-se os vínculos externos da estrutura original até que essa se torne uma estrutura isostática, possibilitando a sua resolução através das equações de equilíbrio.

• Os esforços eliminados são reações de apoio, chamados de hiperestáticos e, são incógnitas da solução pelo método das forças.

• Para determinar os valores dos hiperestáticos X1 e X2, deve-se aplicar a superposição de efeitos, utilizando a estrutura SP como estrutura para soluções básicas.

• O número de casos básicos é sempre igual ao grau de hiperasticidade mais um (g+1.

194

1 Determine os esforços nas barras das treliças hiperestáticas a seguir:

a)

b)

c)

FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 65)



AUTOATIVIDADE

195

2 Determine os esforços e trace os diagramas para as seguintes estruturas:

a)

3 Determine as reações de apoio e trace os diagramas dos esforços internos da viga a seguir. Considere I1 = 4375 cm4 e I2 = 4102 cm4.

b)FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 71)



196

197

TÓPICO 2

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU

MÉTODO DA RIGIDEZ

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

Esse é o método mais adequado para implementação computacional, desta forma, é o mais utilizado atualmente na maioria dos programas computacionais.

• Procedimento: definir o sistema principal (único), fixando todos os deslocamentos dos nós (graus de liberdade). É calculado neste sistema principal os esforços nas extremidades das barras causados por cargas atuantes nas barras (esforços de engastamento perfeito); soma-se então, a eles, os esforços causados pelos deslocamentos impostos nos nós iguala o resultado às forças externas causadas nos nós, em cada direção ou grau de liberdade (∑Fext=∑Fint).

• Incógnitas: forças (dos nós, número de incógnitas = nº de graus de liberdade).• Equações: compatibilidade de deslocamentos.• Formulação matricial: formula-se a Matriz de rigidez da estrutura.

2 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

O procedimento matemático entre os métodos das forças e o método dos deslocamentos é bastante parecido, devendo a escolha do método a ser utilizado conforme a sua vantagem de aplicação.

O método dos deslocamentos pode ser utilizado tanto em estruturas isostáticas como em estruturas hiperestáticas, sendo especialmente útil na análise deste segundo tipo de estruturas. Este método é facilmente aplicável em programação automática, diferentemente do método das forças, isso porque todos os deslocamentos são restringidos, ao contrário do que acontece no método das forças, em que apenas algumas liberações são introduzidas para se obter a estrutura isostática. A única estrutura que não pode ser analisada por este método é a viga biengastada, quando modelada por uma única barra.

No caso de estruturas reticuladas (barras ligadas por pontos nodais), o número total de incógnitas será o número de deslocamentos nodais de todos os nós da estrutura ou o número total de “grau de liberdade”.

Neste método, determina-se, primeiramente, o deslocamento e, indiretamente os esforços; as incógnitas são, então, os deslocamentos.

198


O grau de liberdade (GL) de um nó é definido como a direção à qual este nó pode se deslocar. Portanto, no caso de estruturas espaciais, há seis direções possíveis de deslocamento, já em estruturas planas, em que os eixos das barras se situam no plano XY, existem três direções possíveis de deslocamento para cada nó, as quais são enumeradas sequencialmente.

O esforço axial das estruturas pode ser desprezado quando a magnitude dos deslocamentos neste sentido não for significativa. Quando existirem forças horizontais aplicadas nas vigas, elas devem ser modeladas como pórticos.

FIGURA 23 – SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DIREÇÕES POSSÍVEIS DE DESLOCAMENTO


2.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO

Resumidamente, este método consiste em fixar a estrutura, introduzir os vínculos fictícios tornando a estrutura cinematicamente determinada. Então são consideradas as cargas aplicadas nas barras e calculados os esforços que elas causam na estrutura fixa.

Em seguida, são impostos os deslocamentos nos nós e calculados os esforços que eles provocam na estrutura. De acordo com a teoria da superposição, os esforços totais que devem estar em equilíbrio com as forças externas, que estão aplicadas, são calculados, chegando então a um sistema de equações de equilíbrio de forças em torno dos nós da estrutura.

Em estruturas reticuladas, há apenas um único sistema principal a ser encontrado através da fixação dos nós. Logo abaixo, o processo de aplicação do método será melhor detalhado:

• Passo 1: determina-se o grau de indeterminação cinemática e é escolhido um sistema de coordenadas de modo a poder identificar a posição e a direção dos deslocamentos dos nós. Em seguida são introduzidas as forças de restrição que impedem o deslocamento dos nós.

• Passo 2: determinam-se as forças de restrição somando as forças de fixação dos extremos das barras convergentes nos nós. Essas forças impedem os deslocamentos em qualquer tipo de ação externa (cargas, variação térmica, pré-carregamentos), e estas ações podem ser consideradas individualmente ou em conjunto.

TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU

199

Se na estrutura analisada existir algum deslocamento prescrito (assentamento de apoio), as forças de restrição correspondentes ao impedimento devem ser consideradas nesta etapa. Então, são determinados os esforços internos nas barras, correspondentes aos impedimentos impostos na estrutura.

• Passo 3: a estrutura é considerada deformada de maneira que em uma das suas coordenadas o deslocamento é considerado unitário (igual a 1) e nulo nas demais coordenadas. As forças necessárias para levar a estrutura a esta configuração, então, podem ser calculadas facilmente, devendo repetir este processo para as demais restrições impostas.

• Passo 4: os deslocamentos obtidos no passo 2, que são necessários para eliminar os esforços de restrições, são então determinados aplicando a sobreposição de efeitos para todos os deslocamentos impostos e igualando aos esforços de restrição.

• Passo 5: por fim, encontra-se os esforços na estrutura original, que são obtidos adicionando os esforços da estrutura restringida aos esforços originados pelos deslocamentos encontrados no passo 4.

2.1.1 Viga engastada-apoiada

Considerando a viga engastada-apoiada de rigidez à flexão EI da figura a seguir. Esta viga apresenta apenas um grau de liberdade, a rotação no ponto B. As vigas em geral apresentam dois graus de liberdade por nó.

FIGURA 24 – VIGA ENGASTADA-APOIADA E SUA DEFORMADA


De acordo com os procedimentos apresentados anteriormente, primeiro os esforços de engastamento perfeito são calculados. Portanto, é calculado para a estrutura fixa, o momento que surge na barra na direção do GL devido ao carregamento externo.

FIGURA 25 – ESFORÇOS DEVIDOS AO CARREGAMENTO EXTERNO


200


Em seguida, é imposto o deslocamento θB no nó e calcula-se os esforços correspondentes. Como a estrutura real não é fixa em B, o nó B sofre um pequeno deslocamento θB. Após impor este deslocamento, calcula-se o esforço correspondente na barra, na direção do grau de liberdade. Este esforço será proporcional ao deslocamento imposto (θB) e esta proporcionalidade é dada pelo coeficiente de rigidez da barra (4EI/l).

FIGURA 26 – ESFORÇO DEVIDO AO DESLOCAMENTO θB IMPOSTO


Para finalizar a análise, efetua-se o equilíbrio das forças em torno do nó B. Através da superposição de efeitos, o esforço total na extremidade da barra é calculado e igualado ao momento aplicado no nó.

2. 4. . . 012 Bq l E I

l− + =

Resolvendo a equação e isolando a incógnita θB, é obtido:2 3. ..

4. . 12 48. .B Bl q l q lE I E I

θ θ= =

É possível generalizar a equação escrevendo o equilíbrio das forças conforme apresentado na equação a seguir:

FEP + S.d = Fno = A

Em que FEP é a força de engastamento perfeito, S é o coeficiente de rigidez da barra, d é o deslocamento e A é a força ou binário aplicado no nó.

De maneira a sintetizar o Método dos Deslocamentos, ao invés de impor deslocamentos reais são impostos deslocamentos unitários na direção do grau de elasticidade. Portanto, para d1=1, tem-se 11

4. . BE IM Sl

= = . Dessa maneira, para d1=θB se tem 11

4. . . . B B BE IM Sl

θ θ= = , em que S11 é o esforço na barra causado pelo deslocamento unitário na direção 1.


201

FIGURA 27 – ESFORÇO NA BARRA CAUSADO POR UM DESLOCAMENTO UNITÁRIO


Para um grau de liberdade, tem-se a seguinte equação de equilíbrio de forças na direção 1:

FEP + S11.d11 = A1

Em estruturas com muitos graus de liberdade é possível montar um sistema de equações de equilíbrio de forças: {FEP} +[S].{D} = {A}.

Em que:

• {FEP} = vetor de esforços de engastamento perfeito;• [S] = matriz de rigidez da estrutura;• {D} = vetor de deslocamentos nodais;• {A} = vetor de ações nodais.

Cada coeficiente Sij da matriz de rigidez (i = efeito; j = causa) representa o esforço na barra na direção ou grau de liberdade i, causado pelo deslocamento unitário na direção j.

2.1.2 Viga biengastada

No caso de vigas biengastadas, os esforços de engastamento perfeito podem ser encontrados através do Método das Forças. Vamos considerar o exemplo da figura a seguir, em que é apresentada uma viga biengastada com carregamento uniformemente distribuído. Neste caso, têm-se quatro incógnitas (lembrando que se despreza os esforços axiais) e duas equações de equilíbrio.

FIGURA 28 – VIGA BIAPOIADA


202


A partir da estrutura mostrada, é montado o sistema principal de análise que, devido à simetria da estrutura e do carregamento, é possível afirmar que X1 = X2.

FIGURA 29 – SISTEMA PRINCIPAL E HIPERESTÁTICOS


É calculado, então, o momento fletor devido aos hiperestáticos e ao carregamento aplicado na barra, em que o resultado está apresentado a seguir:

FIGURA 30 – DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES


Combinando os diagramas de momentos fletores apresentados, obtém-se:

2 3

10 201 . . . .3 8 24

q l q lEI EI lδ δ= =− = −

11 221 .3

EI EI lδ δ= =

12 211 .6

EI EI lδ δ= =

As equações de compatibilidade, então, podem ser dadas por:

1 10 11 1 12 2. . 0X Xδ δ δ δ= + + =

2 20 21 1 22 2. . 0X Xδ δ δ δ= + + =

Uma vez que já se conhece os coeficientes δij, é possível substituí-los nas equações de compatibilidade apresentadas, assim, encontrando o sistema de equações da estrutura:


203

3

1 21 1 .. .3 6 24

q lX X+ =

3

1 21 1 .. .6 3 24

q lX X+ =

Resolvendo esse sistema e conforme comentado anteriormente, o valor de X1 = X2 =

3.24q l . Portanto, os esforços de engastamento perfeito estão indicados

na Figura 31. Deve-se ressaltar que há tabelas para o cálculo dos engastamento perfeito de vigas bi engastadas para diversos tipos de carregamentos.

FIGURA 31 – ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO


Os coeficientes de rigidez das vigas podem ser encontrados pelo método das forças, impondo deslocamentos unitários em seus graus de liberdade. No caso da viga engastada e apoiada, em que se faz necessário encontrar os valores dos coeficientes S11, é fixada a estrutura e imposto um deslocamento unitário no grau de liberdade 1, como apresentado na Figura 32.

FIGURA 32 – SISTEMA PRINCIPAL DA VIGA ENGASTADA-APOIADA


Aplicando o método das forças, é montado o sistema principal eliminando os vínculos excedentes e compatibilizando os deslocamentos da estrutura, em que δ1=1 e δ2=0.

204


FIGURA 33 – CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DESLOCAMENTO DA ESTRUTURA


Desta forma, é possível calcular o momento fletor devido aos carregamentos. Neste caso, o momento originado pelo carregamento externo é nulo, uma vez que a carga “q” aplicada é nula. O diagrama de momento devido ao momento unitário aplicado na direção X1 é apresentado a seguir, assim como o momento unitário na direção do hiperestático X2.

FIGURA 34 – MOMENTO UNITÁRIO E SEU RESPECTIVO DIAGRAMA (M2)


a) Momento Unitário M1

c) Momento Unitário M2

b) Diagrama de momento M1

d) Diagrama de momento M2

A partir dos diagramas de momentos é possível calcular os deslocamentos generalizados:

10 20 0EI EIδ δ= =

11 221 .3

EI EI lδ δ= =

12 211 .6

EI EI lδ δ= =−

As equações de compatibilidade, então, podem ser dadas por:


205

10 11 1 12 2 1. .( . . ) . . . .1 .E I X X E I E I E Iδ δ δ δ+ + = = =

20 21 1 22 2 2. .( . . ) . . . .0 0E I X X E I E Iδ δ δ δ+ + = = =

Uma vez que já se conhece os coeficientes δij, é possível substituí-los nas equações de compatibilidade apresentadas, assim, encontrando o sistema de equações da estrutura:

1 21 1. . .3 6

X X E I+ =

1 21 1. . 06 3

X X− + =

14. .E IX

l=

22. .E IX

l=

Portanto, o coeficiente de rigidez é S11 = X1 = (4EI/l). O esforço na extremidade da barra será igual à reação no engaste, e é observado na outra extremidade que o esforço é a metade.

2.1.3 Viga contínua

Considerando a viga contínua apresentada a seguir, com dois graus de liberdade (d1 e d2) e não considerando os deslocamentos horizontais:

FIGURA 35 – VIGA CONTÍNUA


Aplicamos o princípio da superposição de efeitos, em que inicialmente é fixada a estrutura, aplicado as cargas nas barras e, aí sim, calculado o engastamento perfeito. Este cálculo pode ser realizado utilizando tabelas (encontradas nesta unidade) e, então, são encontradas as forças Fep1 e Fep2.

206


FIGURA 36 – MOMENTO DE ENGASTAMENTO PERFEITO


Após calcular os esforços de engastamento perfeito, é imposto um deslocamento unitário no primeiro grau de liberdade (d1=1 e d2=0). Encontram-se os esforços correspondentes, sendo o S11 para o grau de liberdade 1 e S21 para o grau de liberdade 2.

FIGURA 37 – DESLOCAMENTO UNITÁRIO EM 1


Em seguida, é imposto um deslocamento no grau de liberdade 2 (d1=0 e d2=1). Então, são encontrados os esforços correspondentes a esta configuração, sendo o S12 para o grau de liberdade 1 e S22 para o grau de liberdade 2.

FIGURA 38 – DESLOCAMENTO UNITÁRIO EM 2


Para a estrutura estar em equilíbrio, a soma dos esforços em um nó, em uma certa direção ou grau de liberdade, tem que ser igual à ação aplicada neste mesmo nó, na mesma direção. Portanto, para o grau de liberdade 1 tem-se:

FEP1 + S11.d1 + S12.d2 = A1 = M

De forma análoga, para o grau de liberdade 2, tem-se:

1 11 12 1

2 21 22 2

.0

EP

EP

F S S d MF S S d

+ =

ou ainda { } [ ] { } { }.EPF S D A+ = .


207

Em que:

• {FEP} = vetor de esforços de engastamento perfeito;• [S] = matriz de rigidez da estrutura;• {D} = vetor de deslocamentos nodais;• {A} = vetor de ações nodais externas aplicadas diretamente nos nós.

Deve-se ressaltar que o produto de [S]. {D} é equivalente aos esforços internos da estrutura, causados pelo deslocamento dos nós e que o somatório {FEP} + [S]. {D} é o esforço interno total, o qual deve estar em equilíbrio com as ações externas.

Portanto, para se obter o vetor {D} basta resolver o sistema de equações apresentado anteriormente, isolando o vetor de deslocamentos nodais. Desta forma temos:

[S].{D} = {A} – {FEP}{D} = [S]-1.{A – FEP}

Para estruturas isostáticas, a matriz de rigidez sempre poderá ser invertida, logo será fácil determinar o vetor de deslocamentos {D}. Porém, se a estrutura for hipostática, a matriz de rigidez [S] será singular (determinante da matriz igual a zero (det [S] =0)) e o sistema não terá solução.

Para a viga mostrada a seguir, em que a rigidez à flexão das barras (EI) é igual a 73x103 kNm2. Trata-se de um sistema de 2 graus de liberdade, submetidos às ações nodais mostradas na figura.

FIGURA 39 – VIGA CONTÍNUA


FIGURA 40 – GRAUS DE LIBERDADE E AÇÕES NOS NÓS


208


Conforme o procedimento de análise, fixa-se a estrutura e aplicam-se as cargas às barras para então encontrar aos esforços de engastamento perfeito.

FIGURA 41 – ESTRUTURA PRINCIPAL PARA ANÁLISE

FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 98-99)

Os momentos de engastamento perfeito nos graus de liberdade 1 e 2, considerando o momento positivo no sentido anti-horário, temos: FEP1=4 kNm e FEP2=-10 kNm. Portanto, já é conhecido o vetor de força de engastamento perfeito:

{ } 410EPF

= −

A seguir, é aplicado um deslocamento unitário em 1, ou seja, d1 = 1 e d2 = 0 e encontram-se os esforços correspondentes.

FIGURA 42 – APLICAÇÃO DO DESLOCAMENTO UNITÁRIO NO ELEMENTO 1 DA ESTRUTURA


Este procedimento é repetido para o ponto 2, implementando, dessa vez, o deslocamento unitário no ponto 2, ou seja, d1 = 0 e d2 = 1, e encontram-se os esforços correspondentes.


209

FIGURA 43 – APLICAÇÃO DE DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS NO ELEMENTO 2 DA ESTRUTURA


Através da aplicação da teoria de superposição de efeitos, o sistema de equações de equilíbrio de forças para os nós pode ser escrito por:

Nó B:

FEP1 + S11.d1 + S12.d2 = A1

Nó C:

FEP2 + S21.d1 + S22.d2 = A2

Ou, matricialmente, temos:

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

.EP

EP

F S S d AF S S d A

+ =

Então, aplicando as propriedades de rigidez das barras e os valores conhecidos das ações e esforços de engaste perfeito, temos:

13

2

4 168 36 12.10 .

10 36 72 0dd

− + = −

13

2

168 36 16.10 . ,

36 72 10dd

− =

então3

13

2

0,14 1 0 0,21 1 0

d x radd x rad

−

−

−=

Uma vez encontrados os valores dos deslocamentos, é possível obter os esforços nas barras multiplicando os coeficientes de rigidez de cada barra pelos deslocamentos sofridos em suas extremidades, e somando o resultado com os esforços de engastamento perfeito nas extremidades dessas barras. Além disso, as reações de apoio também podem ser calculadas a partir dos deslocamentos nodais.

210


O exemplo que realizamos considerou a estrutura global, porém é mais fácil encontrar a solução do problema se dividirmos a estrutura em elementos e tratar cada elemento separadamente, como será abordado mais adiante.

2.1.4 Treliças – barra de material homogêneo e seção transversal constante submetida à carga axial

Considere uma barra discretizada por um elemento de treliça, coincidente com o eixo longitudinal da barra, possuindo dois nós nas extremidades. A barra é fixa à esquerda, o deslocamento do nó 2 é nulo. Sendo assim, o sistema fica reduzido a um sistema de apenas um grau de liberdade, o deslocamento horizontal do nó 1.

FIGURA 44 – BARRA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE


A força aplicada P é proporcional ao deslocamento u1, sendo essa proporcionalidade dada pela rigidez axial da barra ou do elemento, assim como no caso de uma mola, em que a constante elástica k é proporcional a sua rigidez. Portanto, a equação de equilíbrio das forças para o nó 1 na direção 1.

FIGURA 45 – ANALOGIA COM MOLA ELÁSTICA DE RIGIDEZ K


Suponha que a rigidez axial da barra é o inverso da sua flexibilidade, obtida através do método dos trabalhos virtuais:

.E Akl

=


211

Então, a solução para o sistema de um grau de liberdade apresentado pode ser expressa por:

1..

P P luk E A

= =

2.1.5 Treliças – barra composta de duas hastes de materiais, comprimentos e seções diferentes submetidas a carregamento axial

Neste caso, se tratando de duas hastes de características diferentes (comprimento, material e seções), a estrutura pode ser idealizada como a associação de dois elementos de treliças de rigidez diferentes, k1 e k2, interligados por duas molas elásticas diferentes.

FIGURA 46 – SISTEMA ESTRUTURAL ORIGINAL


FIGURA 47 – SISTEMA ESTRUTURAL IDEALIZADO


Uma vez que a extremidade da esquerda é fixa, trata-se de um problema de dois graus de liberdade (u1 e u2). As equações de equilíbrio resultam, então, em um sistema de equilíbrio de forças em torno dos nós da estrutura formados por duas equações e duas incógnitas, sendo escrito por:

S11.u1 + S12.u2 = A1 = 0S21.u1 + S22.u2 = A2 = P

Ou, ainda, sob a forma matricial: [S].{D}={A}.

Para encontrar a matriz de rigidez [S] são impostos os deslocamentos u1=1 e u2=0 à estrutura, originando assim os coeficientes S11=k1+k2 e S21=-k2.

212


FIGURA 48 - DISCRETIZAÇÃO DO SISTEMA POR DUAS MOLAS ELÁSTICAS DIFERENTES


Em seguida é feito o mesmo procedimento aplicando o deslocamento no nó 2, portanto u1=0 e u2=1, obtendo os coeficientes S12=-k2 e S22=k2. Substituindo os coeficientes encontrados no sistema de equações de equilíbrio, temos:

1 2 2 1

2 2 2

0.

k k k uk k u P+ −

= −

Resolvendo o sistema de equações é possível encontrar o valor de u1 e u2. No exemplo mostrado, não há formas axiais aplicadas nas barras, mas no caso delas existirem, devem ser incluídas no equilíbrio de forças dos nós os esforços de engastamento perfeito.

Quando uma estrutura é composta por diversas barras, divide-se ela em diversos elementos, ao invés de tratá-la globalmente como fazemos até o momento.

Ao dividir as estruturas, cada elemento é calculado individualmente e,

a partir delas é possível obter a matriz de rigidez da estrutura, somando-se os coeficientes correspondentes aos mesmos graus de liberdade.

As estruturas reticuladas, são ligadas entre si através dos pontos nodais, onde se supõe que todos os esforços de ligação entre os elementos se concentram. A discretização das ações e dos deslocamentos nos nós e a composição destes elementos para constituir a estrutura resultam em um sistema matricial.

No método de deslocamento, esse sistema é o sistema de equilíbrio de forças em torno de um nó. Portanto uma matriz com N nós e com uma quantidade M de graus de liberdade resulta em um sistema N x M de equações, incluindo as suas direções restringidas por vínculos.

Quanto ao processo de modelagem de uma estrutura, cada elemento é representado por uma linha reta, coincidente com o eixo da barra, ligando os dois nós. Os nós são posicionados nas extremidades das barras, sejam livres ou vinculados a algum tipo de apoio.

Em situações em que há troca de material ou modificação de seção da estrutura, para ser possível realizar a modelagem deve-se criar um nó fictício neste local. A criação do nó fictício ainda pode ser realizada sob uma carga concentrada, mas, neste caso, não é obrigatório o uso deste artifício.


213

FIGURA 49 – NÓ FICTÍCIO SOBRE UMA CARGA CONCENTRADA


O sistema de coordenadas cartesianas é utilizado como referencial para solucionar estruturas reticuladas. Durante o processo utiliza-se um sistema global (X, Y, Z) e um sistema local no elemento (x,y,z). Tanto no sistema global quanto no sistema local, os eixos são perpendiculares entre si e obedecem à regra da mão direita.

Para o sistema local, o eixo x coincide com o eixo longitudinal da barra, passando pelo seu centroide, sendo o positivo deste eixo, conforme apresentado na figura a seguir.

FIGURA 50 – EXEMPLO DE PÓRTICO PLANO


Ressalta-se ainda que o grau de liberdade da estrutura é determinado em relação ao eixo de coordenadas local.

Existem seis tipos de estruturas reticuladas, ou seja, estruturas em que uma das suas dimensões são predominantes sobre as outras, sendo classificadas em:

214


• vigas (2 GL por nó);• treliças planas (2 GL por nó); • pórticos planos (3 GL por nó);• treliças espaciais (3 GL por nó);• grelhas (3 GL por nó); e• pórticos espaciais (6 GL por nó).

Cada uma apresenta característica mecânica e geométrica especial. A caracterização de uma estrutura plana se dá quando os eixos das barras e suas deformações se situam no mesmo plano, caso contrário, a estrutura é classificada em estrutura espacial.

Em estruturas planas é necessário que seu eixo vertical seja um eixo de simetria, uma vez que essas estruturas se deformam em seu próprio plano. Assim, o produto de inércia de sua seção em relação aos eixos da seção transversal será nulo. Isso nos diz que os eixos x e y são os eixos principais de inércia e que coincidem com o centro de torção da seção.

Desta forma, se existirem forças aplicadas no eixo XY e os binários também atuarem no eixo XY, em um eixo paralelo ao eixo Z, não haverá torção, sua deformação ocorrendo por flexão, axialmente ou por cisalhamento. Caso esta situação não se apresente (y não for eixo de simetria), haverá torção da barra, ocasionando a deformação da estrutura fora do plano XY.

Em geral as ligações entre as barras de treliças (espaciais ou planas) são rotuladas e ligações das barras de vigas, grelhas, pórticos (planos e especiais) são rígidos, mas neste caso pode ser que ocorra alguma situação em que seja considerada uma ligação rotulada.

Até o momento foi visto que, considerando uma estrutura constituída de material elástico linear, todos os esforços submetidos na estrutura resultam em deformações correspondentes a suas ações em qualquer ponto da estrutura, conforme apresentado na sequência.

FIGURA 51 – TIPOS DE DEFORMAÇÕES SOFRIDAS POR UMA BARRA DE ACORDO COM O ESFORÇO APLICADO



215

Deve-se ressaltar que, em treliças (planas e espaciais), haverá apenas os esforços e deformações axiais caso essas cargas estejam aplicadas diretamente nos nós da treliça, ou se houver cargas axiais aplicadas ao longo das barras, caso contrário, haverá ainda esforços de flexão e esforços cortantes, porém o esforço axial predomina na estrutura.

Já no caso de vigas e pórticos planos, a deformação axial pode ser desprezada, uma vez que as deformações por flexão são predominantes. Como as barras das estruturas reticuladas são geralmente longas, normalmente é desprezada a deformação por cisalhamento, porém devendo ser considerado no caso de vigas ou pilares parede.

Nas estruturas espaciais (pórticos ou grelhas), em geral predomina a deformação por flexão, mas em barras rígidas à torção, como as seções caixão, a deformação por torção pode se tornar significativa. E, como os dois eixos da seção de barras são eixos de simetria, não há uma iteração entre flexão e torção.

É sugerido, aos acadêmicos, olhar as particularidades possíveis de encontrar em cada tipo de estrutura, plana e espacial, para aprofundar o conhecimento. Algumas sugestões de livros e apostilas para serem consultadas se encontram na bibliografia desta unidade.

NOTA

2.2 RESUMO DO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS PARA ESTRUTURAS RETICULADAS DIVIDIDAS EM ELEMENTOS

1- Isolar cada elemento; calcular sua matriz de rigidez do elemento não restringido considerando todos os graus de liberdade do elemento no sistema local de coordenadas.

2- Calcular o vetor de engastamento perfeito para o elemento fixo, inicialmente no sistema local, sempre que houver cargas aplicadas ao longo dos elementos ou barras.

3- Após uma transformação de coordenadas são encontrados a matriz de rigidez do sistema global e o vetor de engastamento perfeito do sistema global.

4- Assim, somando a contribuição de cada elemento no sistema é formado o sistema de equação de equilíbrio para a estrutura não restringida, no sistema global de coordenadas, em relação à cada grau de liberdade possível.

{ } [ ] [ ] { }* * * *.EPF S D A+ =

216


Em que:

• [ ]* [ ]*S elementos Sg=∑• { }* { }*EP GEPF elementos F=∑

E, ∑elementos é a soma dos coeficientes que correspondem ao mesmo grau de liberdade dos elementos que concorrem no mesmo nó. Portanto, se a estrutura tem N nó e cada nó tem M graus de liberdade, a matriz resultante será N x M.

Então são aplicadas as condições de contorno da estrutura, encontrando o sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida:

{FEP} + [S].{D} = {A}

Portanto, resolvendo esse sistema, obtém-se:

{D} = [S]-1.{A–FEP}

Uma vez encontrado o vetor deslocamento {D} é possível obter as reações de apoio da estrutura, os esforços no sistema local e o deslocamento das barras no sistema local:

{AL} = {FLEP} + {SL}.{ul}

Da mesma forma que apresentado anteriormente para um elemento inteiro, é necessário encontrar a matriz de rigidez da estrutura. Agora iremos abordar o conceito, considerando a separação dos elementos que compõem a estrutura separadamente, e, após análise individual, será formada a matriz global da estrutura.

2.3 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ

Será abordado o exemplo de uma viga com dois graus de liberdade por nó, em que o sistema local coincide com o sistema global da estrutura.

FIGURA 52 – ELEMENTO DE VIGA COM 2 GRAUS DE LIBERDADE POR NÓ



217

O elemento ou barra (i) mostrado possui nó inicial J e nó final K, seu comprimento l e o momento de inércia da seção do elemento é I. Desta forma, o vetor de deslocamento nodal do elemento e a matriz de rigidez do elemento no sistema local pode ser expressa, respectivamente por:

{ }

1

24 1

3

4

l x

uu

uuu

=

[ ]11 12 13 14

21 22 23 244 4

31 32 33 34

41 42 43 44

l x

S S S SS S S S

SS S S SS S S S

=

e

Então é aplicado o método de deslocamento, inicialmente fixando as extremidades das estruturas e impondo deslocamentos unitários em cada elemento, conforme pode ser observado a seguir:

FIGURA 53 – IMPOSIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS U1, U2, U3 E U4


d) Deslocamento unitário u4c) Deslocamento unitário u3

a) Deslocamento unitário u1 b) Deslocamento unitário u2

Os coeficientes de rigidez podem ser calculados pelo método das forças. Já foi demonstrado como se obtém os coeficientes S44, S24, ou S22, S42 anteriormente. Já os demais coeficientes podem ser encontrados através do equilíbrio, sabendo que a matriz de rigidez é uma matriz simétrica, ou seja, Sji = Sij.

Portanto, para o exemplo em questão, impondo-se inicialmente a deformação unitária u2=1, têm-se:

22 424 2 EI EIS e S

l l= =

218


E através das equações de equilíbrio (∑MJ=0 e ∑Fy=0), pode-se obter:

32 122 2

4 26 6

EI EIEI EIl lS e Sl l l

− − = ∴− =

Da mesma forma, ao impor o deslocamento u4 =1 é possível obter 44

4 EIS l= e 242 EIS l= e, através das equações de equilíbrio, 43 34 2

6 EIS Sl

= = − e 41 14 26 EIS Sl

= = . Conforme comentado anteriormente, a matriz de rigidez é uma matriz simétrica, portanto, S23 = S32 e S12 = S21. E através das equações de equilíbrio é possível obter os coeficientes restantes.

FIGURA 54 – IMPOSIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS U1 E U2


∑MJ=0:

∑Fx=0:

2 2

31 3

6 6 12EI EI EIl lS l l

+ = − = −

11 31 312S S EI

l= − =


219

FIGURA 55 – IMPOSIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS U3 E U4


23 432 26 6 ; EI EIS Sl l

= − = −

( )2 2

31 13 3

6 6 12 EI EI EIl lS S l l

+ −= =− =

33 13 312 EIS S

l=− =

e

Dessa forma, a matriz de rigidez do elemento de viga (não restringido) no sistema local é:

[ ]

3 2 3 2

2 2

4 4

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

l x

EI EI EI EIl l l lEI EI EI EIl l l lS

EI EI EI EIl l l lEI EI EI EIl l l l

− −

= − − − −

Essa matriz de rigidez é singular, portanto, não pode ser inversível. Desta forma, para ser possível a resolução do sistema de equações de equilíbrio faz-se necessário restringir o elemento. Ou seja, não há uma matriz de flexibilidade para elementos não restringidos.

Deve-se ressaltar que os coeficientes da diagonal principal da matriz de

rigidez são sempre positivos.

220


2.4 ELEMENTO DE TRELIÇA PLANA

Para o elemento de barra de dois graus de liberdade apresentado a seguir, sabe-se que o sistema local não é coincidente com o sistema global e, portanto, o vetor de deslocamentos nodais é {uL}4x1 e a matriz de rigidez é [SL]4x4.

FIGURA 56 – ELEMENTO DE TRELIÇA


Considerando que os elementos possuem comprimento l e seção transversal é A. O procedimento de análise é similar ao realizado anteriormente no caso da viga. Primeiro deve-se fixar os elementos a movimentos de translação, uma vez que as ligações são articuladas e, portanto, as rotações não produzem esforços nos elementos.



Feito isso, impõe-se o deslocamento unitário em u1 = 1 e é obtido:

11EAS l=


221

31 11S S EIl

= − = −

E, ainda, que S21 = S41 = 0.

É feito o mesmo procedimento para o deslocamento u2 = 1 e, neste caso, obtém-se que S12 = S22 = S32 = S42 =0:

FIGURA 58 – IMPOSIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS U1 E U

2


Para deslocamento unitário em u3:

33EAS l=

∑Fx=0:

13S EAl

= −

E, ainda, que S23 = S43 = 0.

É feito o mesmo procedimento para o deslocamento u4 = 1 e, neste caso, obtém-se que S14 = S24 = S34 = S44 =0:

FIGURA 59 – IMPOSIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS U3 E U

4


∑Fx=0:

222


Desta forma, a matriz de rigidez do elemento da treliça plana no sistema local pode ser escrita por:

[ ]4 4

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

l x

EA EAl l

SEA EAl l

=

2.5 ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO

Sendo que o elemento de pórtico plano, possuindo 3 graus de liberdade por nó, formado pelos nós J e K. O vetor de deslocamentos nodais é {uL}6x1 e a matriz de rigidez é [SL]6x6. E sabendo que normalmente o sistema local não coincide com o sistema global do elemento.

FIGURA 60 – ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO


Desta maneira, a matriz de rigidez do elemento do pórtico plano pode ser encontrada superpondo-se à matriz de rigidez do elemento de viga com a matriz de rigidez do elemento de treliça, já que não ocorre iteração entre o esforço axial e de flexão, e a estrutura é considerada linear e submetida a pequenos deslocamentos. Desta forma, a matriz de rigidez do pórtico é formada da seguinte maneira:


223

QUADRO 2 – MATRIZ DE RIGIDEZ DO PÓRTICO

Matriz de Rigidez da Viga/Treliça Matriz de Rigidez do PórticoGL 1 do elemento de viga GL 2 do elemento do pórtico planoGL 2 do elemento de viga GL 3 do elemento do pórtico planoGL 3 do elemento de viga GL5 do elemento do pórtico planoGl 4 do elemento de viga GL 6 do elemento do pórtico plano

GL 1 do elemento de treliça GL 1 do elemento do pórtico planoGL 3 do elemento de treliça GL 4 do elemento do pórtico plano


Desta forma, a matriz de rigidez do sistema local do pórtico é dada por:

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

L

EA EAl l

EI EI EI EIl l l lEI EI EI EIl l l lS

EA EAl l

EI EI EI EIl l l lEI EI EI EIl l l l

− − − = −

− − − −

Em algumas situações, os eixos locais dos element em análise se encontram rotacionados em relação ao eixo global da estrutura. Nesse caso deve ser usada uma matriz de rotação para transportar os dados encontrados no eixo local até o eixo global.

FIGURA 61 – SISTEMA DE COORDENADAS (1)


a) Vetor de deslocamento nosistema local

b) Vetor de deslocamento nosistema global

224


Decompondo os deslocamentos u1 e u2 nos eixos locais, tem-se:

uL1 = uG1.cosθ + uG2.senθe

uL2 = -uG1.senθ + uG2.cosθ

FIGURA 62– SISTEMA DE COORDENADAS (2)


Sendo que a resultante dos vetores de translação 11

22

GL

GL

uuuu

= é a mesma e

que uL3=uG3 e uL6 = uG6, pois a rotação nos nós J e K é a mesma no plano local e no plano global. Matricialmente, pode ser escrito:

• Para o nó J:

• Para o nó K:

1 1

2 2

3 3

00 .

0 0 1

L G

L G

L G

u cos sen uu sen cos uu u

θ θθ θ

= −

4 4

5 5

6 6

00 .

0 0 1

L G

L G

L G

u cos sen uu sen cos uu u

θ θθ θ

= −

Portanto, é possível escrever a relação entre os vetores de deslocamentos nodais do elemento no sistema local e o vetor de deslocamento nodal do elemento no sistema global.


225

11

22

33

44

55

66

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 0 0 0.

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 1

LG

LG

LG

LG

LG

LG

uucos sen

uusen cos

uu

uucos sen

uusen cos

uu

θ θθ θ

θ θθ θ

− =

−

Uma vez que cos(-θ) = cos(θ) e sen(-θ) = - sen(θ), é observado que [R]-1 = [R]T, ou seja, uma matriz [R] é uma matriz ortogonal, dessa forma, {uG} = [R]-

1.{uL} = [R]T.{uL}.

Em casos de treliça plana, há apenas dois graus de liberdade por nó. Não se considera o grau de liberdade de rotação dos nós dos elementos, uma vez que eles não resultam em esforços na barra, devido à presença de rotulação na junção dos elementos de barra.

FIGURA 63 – SISTEMAS DE COORDENADAS (3)


Portanto, a sua matriz de transformação é:

[ ]4 4

0 00 0

0 00 0

x

cos sensen cos

cos sensen cos

θ θθ θ

θ θθ θ

− = −

Analogamente aos vetores de deslocamentos, os vetores de esforções também podem ser escritos por:

226


{ } [ ] { }.L GA A= ℜ

{ } [ ] { } [ ] { }1 . .TG L LA A A− =ℜ ℜ=

Sabendo que {AL} = [SL].{uL}, tem-se:

{ } [ ] [ ] { }. .L L GA S uℜ=

Multiplica-se os dois lados da expressão por { } [ ] [ ] { }. .L L GA S uℜ= T:

[ ] { } [ ] [ ] [ ] { }. . . .T TL L GA S uℜ=ℜ ℜ

Portanto:

{ } [ ] [ ] [ ] { }. . .TG L GA S uℜ ℜ=

E ainda é possível organizar essa equação isolando a matriz de rigidez global da estrutura (este trabalho algébrico das equações fica como exercício para o acadêmico, basta ir trabalhando com os conceitos vetoriais abordados até o momento):

{ } [ ] [ ] [ ]. .TG LS Sℜ= ℜ

Essas expressões são desenvolvidas considerando o elemento de pórtico plano, porém, em sua forma genérica, podem ser aplicadas para todos os tipos de estruturas reticuladas. Deve-se ressaltar que, para cada tipo de elemento, se tem uma matriz de rotação e uma matriz de rigidez do sistema local diferente.

Já foi visto como encontrar a matriz de rigidez do sistema global, utilizando os elementos de barras locais. O mesmo pode ser realizado para o vetor de engastamento perfeito de todos os elementos do sistema local para o global, utilizando a equação { } [ ] { }.T

GEP LEPF Fℜ= .

As equações de equilíbrio das forças generalizadas em torno dos nós podem ser escritas por { } { } [ ] [ ].EPA F S D= + , sendo {A}, as ações aplicadas nos nós; {FEP} os esforços nas extremidades devido às cargas atuando nos elementos para a estrutura fixa; [S].[D] os esforços devido aos deslocamentos nodais.

Para a forma não restringida (sem apoios), esta forma pode ser reescrita como:


227

{A}*={FEP}*+[S]*[D]*

Todos os sistemas de equações apresentados anteriormente são considerados no sistema global de todos os elementos, os quais são formulados considerando o grau de liberdade dos elementos. Para relacionar o grau de liberdade dos elementos com o grau de liberdade da estrutura é aplicada a regra da correspondência, que será abordada mais adiante.

Primeiramente, deve ser mencionada a formação da matriz de rigidez da estrutura não restringida [S]*, que é formada a partir da matriz de rigidez dos elementos no sistema global:

[ ] [ ] [ ](i)Tn_elementos _

* i (i)L

i=1 1

" S . " " "n elementos

iG

i

S S=

= =∑ ∑

Portanto, a matriz de rigidez é formada somando-se à contribuição de todos os elementos S*ij, em que o índice “i” se refere ao grau de liberdade do nó da estrutura, os quais são obtidos somando os coeficientes das matrizes de rigidez [SG] dos elementos que concorrem a este mesmo nó ao mesmo G.L. Dessa forma, é de extrema importância identificar o G.L. na extremidade do elemento, correspondente a um G.L. de nó da estrutura, como é exemplificado na figura a seguir:

FIGURA 64 – PÓRTICO PLANO


No exemplo apresentado, percebe-se que no nó 5 são ligadas as barras (4), (6) e (7), em que os graus de liberdade nas suas extremidades, no sistema global, são apresentados a seguir:

228


FIGURA 65 – PÓRTICO PLANO


Percebe-se que o sistema local e o sistema global são coincidentes para o elemento (6), portanto, a sua matriz de rigidez será igual nos dois sistemas. Já nos elementos (4) e (7), a matriz de rigidez global deve ser obtida através do cálculo da matriz de rigidez e da matriz de rotação do elemento (), conforme apresentado anteriormente. A aplicação desses conceitos deve ser estendida aos demais elementos da estrutura, viabilizando a construção da matriz de rigidez global da estrutura.

{ } [ ] [ ] [ ]. .TG LS Sℜ= ℜ

2.6 REGRA DA CORRESPONDÊNCIA

A regra da correspondência relaciona a numeração dos deslocamentos das extremidades dos elementos ({uG}) com a numeração dos deslocamentos nodais da estrutura ({D}). Em cada elemento (i) denominado J, o número do nó inicial e K o número do nó final, os deslocamentos são numerados de 1 a 2 × NGL/nó (NGL/nó = número de graus de liberdade por nó), iniciando sempre pelo nó J e seguindo a ordem dos eixos no sistema global.

Levando em conta a estrutura de pórtico plana, anteriormente apresentada, a regra da correspondência pode ser organizada na seguinte tabela:


229

TABELA 1 – REGRA DA CORRESPONDÊNCIA PARA ELEMENTOS DE UMA ESTRUTURA E SUAS POSIÇÕES NA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

FONTE: O autor

Elemento (i)

GL da Estrutura GL do elemento

{uG}1-3(2)2-4

(3)3-4

(4)3-5

(5)4-6

(6)5-6

(7)5-7

(8)6-7

3J-2 1 4 7 7 10 13 13 16 13J-1 2 5 8 8 11 14 14 17 23J 3 6 9 9 12 15 15 18 3

3k-2 7 10 10 13 16 16 19 19 43k-1 8 11 11 14 17 17 20 20 53k 9 12 12 15 18 18 21 21 6

Assim, para formar a matriz de rigidez [S]* da estrutura deve-se levar em conta a contribuição de todos os elementos, o que é normalmente feito por acumulação. Portanto, para cada elemento deve-se efetuar as seguintes etapas:

1- Calcula-se a matriz de rigidez do elemento no sistema global [SG].2- Calcula-se a regra da correspondência de cada elemento.3- Armazena-se cada coeficiente da matriz [SG] do elemento na posição

correspondente na matriz [S]*, ou seja, os elementos são posicionados nas linhas e colunas correspondentes aos graus de liberdade da estrutura, obtidos através da regra da correspondência.

Como pode ser observado na Tabela 1, haverá situações em que coeficientes de elementos diferentes ocupam a mesma posição na matriz de rigidez global. Neste caso, deve-se somar os coeficientes. Desta maneira, os coeficientes que concorrem em um mesmo nó da estrutura acabam somando-se automaticamente.

Estes procedimentos ao serem realizados para todos os elementos, a matriz de rigidez estará pronta, restando, apenas, completá-la com zeros nas posições que não estiverem preenchidas com nenhum elemento.

Este procedimento também é executado para formar o vetor de engastamento perfeito da estrutura, {FEP}*, a partir dos vetores de engastamento perfeitos global {FGEP}.

Para melhor exemplificar o exposto, considere a haste a seguir, composta por duas barras de comprimentos, áreas e materiais diferentes, conforme a Figura 66. Considere que sejam dadas as rigidezes axiais das barras: E1.A1/L1 = 10 e, E2.A2/L2 = 30.

A modelagem do elemento é realizada por dois elementos e três nós, estando fixada na extremidade esquerda e submetida apenas a uma força axial na extremidade direita. Portanto, as incógnitas do problema são, então, os deslocamentos dos nós 2 e 3.

230




Como é o primeiro exemplo mostrado, os valores da matriz de rigidez não apresentaram as suas unidades, facilitando a visualização. Os elementos de barra utilizados na modelagem da barra são mostrados na Figura 67, sendo que cada nó apresenta apenas um grau de liberdade.

FIGURA 67 – ELEMENTOS DE ESTRUTURA TRACIONADA


Através da análise dos elementos é aplicada a regra da correspondência, conforme a tabela a seguir:

TABELA 2 – REGRA DA CORRESPONDÊNCIA – GL DA ESTRUTURACORRESPONDENTE AO GL DOS ELEMENTOS

ElementoJ - K

Grau de liberdade da estruturaGL do elemento

{uG}11 - 2

22 - 3

J 1 2 1K 2 3 2


Portanto, a matriz de rigidez da estrutura não restringida é formada levando em consideração a contribuição dos dois elementos, somando os coeficientes das matrizes de rigidez no sistema global, que correspondem ao mesmo grau de liberdade da estrutura:

[ ] L

EA EAL LSEA EAL L

− = −


231

( ) ( )1 1 10 10

10 10G LS S− = = −

( ) ( )2 2 30 30

30 30G LS S− = = −

Portanto, a matriz de rigidez da estrutura é:

[ ]*10 10 0 10 10 0

10 10 30 30 10 40 300 30 30 0 30 30

S− −

= − + − = − − − −

Para a viga ilustrada, faça a análise da estrutura encontrando: matriz de rigidez dos elementos; matriz de rigidez da estrutura; vetores de esforços de engastamento perfeito dos elementos e da estrutura; o vetor deslocamento da estrutura não restringida e o sistema de equações da estrutura não restringida. Obs.: considerar EI = 72 x 103.


Ao ser realizado o exercício anterior, é percebido que temos incógnitas nos dois lados da equação, portanto, para solucionar totalmente o problema deve-se considerar o sistema de equilíbrio para a estrutura restringida.

Para isso, deve-se impor as condições de contorno da estrutura, ou seja, deslocamentos nulos nas direções restringidas por apoios. Portanto, os elementos da matriz [S]* que correspondem ao GL restringidos por apoios são eliminados. Desta forma, o sistema da estrutura restringida é:

{FEP} + [S].{D} = {A}

Dessa forma, considerando a estrutura a seguir, o sistema possuindo 4 graus de liberdade, em que dois desses graus de liberdade são restringidos. Portanto, o vetor de esforços de engastamento perfeito do elemento ou da estrutura é:

NOTA

232



Na estrutura não restringida, tem-se:

Sabendo que D1 e D

2 são nulos, os coeficientes da coluna 1 e da coluna 2 da

matriz [S]* serão multiplicados por zero, podendo então ser eliminadas. Desta forma, obtém-se o sistema de equilíbrio para a estrutura restringida, em relação apenas aos graus de liberdade livres.

Exemplo: seja a viga analisada no exercício anterior e impondo-se as condições de contorno no sistema de equações de equilíbrio da estrutura não restringida, obtendo:

Portanto, para obter os valores dos deslocamentos D3 e D4, basta resolver o sistema de equações acima. E, as reações de apoio da estrutura podem ser encontradas utilizando os resultados obtidos nas equações (i) e (ii):

{ } { }

/ 2/ 8/ 2/ 8

EPG EPL

PPl

F FPPl

= = −

* * *11 12 13 14 1 1 1

21 22 23 24 2 2 2

31 32 33 34 3 3

41 42 43 44 4 4

2

8 . 0

2

8

PS S S S D A R

Pl S S S S D A RS S S S D APS S S S D A MoPl

+ = = − −

* *33 34 3

43 44 4

02 . 8

P S S DPl S S D Mo

+ = − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * *11 12 13 3 14 4 1 10 0 . . 2

P S x S x S D S D A R i+ + + + = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * *21 22 23 3 24 4 2 20 0 . . 8

Pl S x S x S D S D A R ii+ + + + = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * *31 32 33 3 34 4 3 30 0 . . 2

P S x S x S D S D A R iii+ + + + = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * *41 42 43 3 44 4 4 40 0 . . 8

Pl S x S x S D S D A R iv− + + + + = =


233

Com esses valores obtidos de D4 e D6 é possível encontrar as reações de apoio inserindo os valores dos deslocamentos nas equações para a estrutura não restringida:

Encontrados os valores das reações de apoio, pode-se verificar o equilíbrio da estrutura (somatório das forças e momentos é igual a zero) e traçar os diagramas de esforços da estrutura.

43

6

4 168 36 12.10 .

10 36 72 0DD

− + = −

43

6

168 36 12 4.10 .

36 72 0 10DD

− − = +

14 3

6

16 168 3610 . .

10 36 72DD

−− −

=

4 3

6

0,14.10

0,21D

radD

−− =

31 4 68 10 48 0 8 48 0,14 1,28 R x xD xD x x kN= + + = − =

32 4 66 10 48 0 0,72 R x xD xD kNm= + + = −

( )33 4 618 10 21 27 18 8,58 26,58 R x xD xD kN = + − + = + =

[ ]34 4 610 10 27 27 10 1,86 8,14 R x xD xD kN= + − − = − =

234

RESUMO DO TÓPICO 2


• A única estrutura que não pode ser analisada por este método é a viga bi-engastada quando modelada por uma única barra.

• No caso de estrutura reticuladas (barras ligadas por pontos nodais), o número total de incógnitas será o número de deslocamentos nodais de todos os nós da estrutura ou o número total de “grau de liberdade”.

• Neste método, determinam-se primeiramente o deslocamento e, indiretamente os esforços; as incógnitas são então os deslocamentos.

• O grau de liberdade (GL) de um nó é definido como a direção a qual este nó pode se deslocar.

• O esforço axial das estruturas pode ser desprezado quando a magnitude dos deslocamentos neste sentido não for significativa. Quando existirem forças horizontais aplicadas nas vigas, estas devem ser modeladas como pórticos.

• Resumidamente este método consiste em fixar a estrutura, introduzir os vínculos fictícios tornando a estrutura cinematicamente determinada. Então é considerado as cargas aplicadas nas barras e calculado os esforços que elas causam na estrutura fixa.

• É imposto os deslocamentos nos nós e calculados os esforços que estes provocam na estrutura.

• A teoria da superposição sugere que seja calculado os esforços totais e estes que devem estar em equilíbrio com as forças externas que estão aplicadas na estrutura.

• Estruturas reticuladas, há apenas um único sistema principal a ser encontrado através da fixação dos nós.

235

AUTOATIVIDADE

1 Calcule os deslocamentos nodais, reações de apoio e trace os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores da estrutura a seguir, considerando que as barras possuem seção transversal constante de 12x40 cm, constituída com material homogêneo e módulo de elasticidade E=5x106 kN/m².


2 Seja a viga apresentada a seguir possuindo o valor de EI = 72X103 kNm², calcule o valor das reações e trace os diagramas dos esforços.


236

237

TÓPICO 3

MÉTODO DE CROSS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

O método de Cross trata-se de um método aproximado e baseado no método de deslocamento, em que as estruturas são classificadas em indeslocáveis (nós fixos) ou deslocáveis (nós móveis), considerando-se indeslocável o nó sem deslocabilidade de translação — normalmente é desprezado o efeito da deformação axial.

Nos casos de nós fixos, só há graus de liberdade de rotação e os esforços a determinar são momentos fletores nas barras por meio de um processo iterativo de equilíbrio de nós.

• Procedimento: os esforços nas barras são encontrados através de um processo iterativo de equilíbrio dos nós (desequilibrados).

• Incógnitas: momentos nas barras adjacentes aos nós (nº de incógnitas = nº de nós desiquilibrados).

• Equações: equilíbrio de momentos em torno dos nós.

Em situações de estruturas deslocáveis, deve-se determinar também as incógnitas de deslocabilidade de translação.

NOTA

2 PROCESSO DE CROSS

Este processo de análise é baseado no método dos deslocamentos e nas equações de equilíbrio de forças em torno de um nó.

O processo consiste em obter os esforços das barras por meio do equilíbrio de nó, distribuindo o momento total no nó de acordo com a rigidez das barras.

O processo de Cross é inspirado em um processo de resolução matemática por aproximações sucessivas dos sistemas lineares. Supõe-se, inicialmente, que os nós não sofrem rotação, supondo que os nós estejam bloqueados.


238

Logo após a aplicação das cargas, os nós são liberados sucessivamente, sofrendo rotação. Em seguida, o nó liberado é bloqueado antes de passar ao nó seguinte. Essas operações são repetidas até que a liberação dos nós não provoque mais rotações, ou seja, atinge-se o estado de equilíbrio da estrutura.

O processo de Cross depende da solução de três problemas: a determinação dos momentos de engastamento perfeito; a rigidez de cada elemento; e o fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura analisada.

Quanto à distribuição de momentos, a teoria de Cross é de que todos os nós da estrutura não pudessem girar e que momentos de engastamento perfeito nas extremidades das barras fossem calculados para esta condição. Assim, para cada nó da estrutura, distribui-se os momentos de engastamento perfeito desequilibrados entre os membros conectados na proporção entre os membros na proporção de cada rigidez.

O momento distribuído para cada nó é multiplicado pelo fator de distribuição de carga, porém deve-se ressaltar que se distribui somente a carga recebida. O processo é repetido até que os momentos transportados das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento verdadeiro. Para uma estrutura com um único nó, a solução é exata, mas para mais de um nó a solução é aproximada, dependendo de um processo iterativo.

Os momentos de engastamento perfeito já são conhecidos e podem ser encontrados através de tabelas, que podem ser encontradas na bibliografia sugerida. Algumas situações de carregamento e vinculações são apresentadas no quadro a seguir:

QUADRO 3 – MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO


TÓPICO 3 | MÉTODO DE CROSS

239

Neste procedimento de análise, a rigidez da barra (k) em nó é o valor do momento aplicado no ponto capaz de provocar o giro unitário do nó.

Se considerarmos a barra biengastada, ela é dada por:

FIGURA 68 – MOMENTOS DEVIDOS AO GIRO UNITÁRIO A


4EIkl

=

que é equivalente ao momento que surge no nó A devido ao giro unitário deste mesmo nó. Esse giro unitário em A provoca um momento no nó B da estrutura, esse momento apresenta mesmo sentido da rotação unitária de A. Portanto, o coeficiente de transmissão de um momento de um nó para outro também engastado, supondo a barra com inércia constante, é definida pela relação:

12

AA

B

MtM

= =

Sendo MA e MB os momentos nas extremidades A e B, devido ao giro unitário na extremidade A. Já se considerarmos uma viga engastada rotulada:

FIGURA 69 – MOMENTO DEVIDO AO GIRO UNITÁRIO A


Uma vez que estamos tratando de estruturas indeslocáveis, em estruturas em que há a presença de um único grau de liberdade, como por exemplo, em estruturas de pórtico, ele está relacionado à rotação (ϕ) do ponto (nó) livre.

Uma vez aplicado o momento M no nó A, este resulta em deformação nas demais barras do pórtico, e os esforços internos que surgirão nas extremidades das mesmas, serão proporcional à rigidez das mesmas à rotação sofrida pelo nó A.


240

FIGURA 70 – PÓRTICO SUJEITO A UM BINÁRIO M


a) Atuação do binário M b) Deformação e rotação sofridanas barras

No nó de atuação do binário, os esforços que surgem apresentam sentido inverso ao binário M aplicado no nó A, pois representam os esforços das barras sobre o nó e busca-se o equilíbrio do nó através do somatório dos esforços sendo igual a zero. Portanto, pode-se afirmar que:

(k1 + k2 + k3) . φ = M

Uma vez que o binário aplicado e os coeficientes de rigidez das barras (k) são conhecidos, é possível descobrir o valor da rotação ocorrida em A.

i

Mk

ϕ =∑

E, com o resultado obtido para a rotação de A, obtém-se os valores dos momentos internos das barras:

1 1 1. .i

MM k kk

ϕ= =∑

2 2 2. .i

MM k kk

ϕ= =∑

3 3 3. .i

MM k kk

ϕ= =∑

Portanto, um binário aplicado em um nó irá se distribuir pelas barras que concorrem este nó, proporcionalmente a sua rigidez. Sendo relacionado por um coeficiente de distribuição i

ii

kkβ = ∑ e, portanto, é possível escrever o momento

gerado na barra sendo: M1 = β1.M.


241

A partir destes conceitos é possível utilizar o processo de Cross para análise de estruturas hiperestáticas. Porém, deve-se ressaltar que, quando existir cargas atuando ao longo das barras, os esforços de engastamento perfeito deve-se levar estes esforços em consideração para o equilíbrio dos nós.

De maneira mais resumida, as etapas do processo de Cross podem ser descritas assim:

1- Fixa-se os nós, calcula-se os momentos de engastamento perfeito devido aos carregamentos no elemento (transferidos para os nós utilizando-se a convenção de sinal de Grinter - horário +).

2- Soma-se os momentos aplicados nos nós.3- Calcula-se a rigidez das barras (ki), coeficientes de distribuição (βi) e coeficientes

de transmissão (ti).4- Distribui-se o momento total no nó pelas barras, utilizando os coeficientes de

distribuição, obtendo o equilíbrio no nó.5- Transmitir os momentos obtidos nas barras ligadas ao nó até a outra extremidade

da barra.6- Traçar o diagrama de momento fletores.

Exemplo:

Considere o pórtico indeslocável a seguir, em que a rigidez à flexão (EI) seja constante.

FIGURA 71 – PÓRTICO INDESLOCÁVEL


Resolvendo a estrutura utilizando o processo de Cross, primeiramente fixa-se o nó e calcula-se o momento de engastamento perfeito da estrutura.


242

( )220. 7,593,75 .

12AM kN m+

= = +

( )220. 7,593,75 .

12DM kN m−

= = −

Determina-se as rigidezes das barras. Para este exemplo, consideramos EI=30.

14 24

5EIk = =

24 40

3EIk = =

34 167,5EIk = =

O coeficiente de distribuição (βi) é dado por:

124 0,3080

β = =

240 0,5080

β = =

316 0,2080

β = =

Obs.: o somatório dos coeficientes deve ser igual a 1.

O próximo passo é efetuar o equilíbrio do nó, obtendo-se, assim, o momento nas barras.

FIGURA 72 – EQUILÍBRIO DO NÓ



243

Após a determinação dos momentos nas barras é efetuada a transmissão destes momentos para as outras extremidades da estrutura, obtendo os momentos finais. Sendo, por convenção de sinais, momentos positivos nas barras (sentido anti-horário) e momentos negativos (sentido horário).

FIGURA 73 – DISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS


Dessa forma, é possível traçar o diagrama de momento fletor da estrutura, conforme segue:

FIGURA 74 – DIAGRAMA DOS MOMENTOS FLETORES


Até o momento, abordamos estruturas com apenas um grau de liberdade, porém nada impede de a estrutura apresentar mais de um nó a ser equilibrado. Quando surgir essa situação, deve-se iniciar o equilíbrio da estrutura pelo nó mais desequilibrado equilibrado (o momento a ser equilibrado é maior).

Quando se tratar de estruturas deslocáveis é necessária a criação de um vínculo de 1º grau no nó deslocável da estrutura, não impedindo a translação do ponto, necessária à aplicação do método de Cross, surgindo neste ponto uma reação de apoio.


244


ANÁLISE PELO MÉTODO DO DESLOCAMENTO:DISTRIBUIÇÃO DE MOMENTO

R. C. Hibbler

O método de distribuição de momento é uma análise pelo método do deslocamento fácil de aplicar uma vez que determinadas constantes elásticas tenham sido determinadas. Neste capítulo, enunciaremos primeiro as definições e conceitos importantes para a distribuição de momento e então aplicaremos o método para solucionar problemas envolvendo vigas e pórticos indeterminados estaticamente. A aplicação a pórticos com andares múltiplos é discutida na última parte do capítulo.

Princípios e definições gerais

O método de analisar vigas e pórticos usando a distribuição de momento foi desenvolvido por Hardy Cross, em 1930. À época em que esse método foi publicado pela primeira vez, ele logo chamou atenção e foi reconhecido como um dos avanços mais notáveis da análise estrutural no século vinte.

Como será explicado em detalhes mais tarde, a distribuição de momento é um método de aproximações sucessivas que pode ser executado com qualquer grau desejado de precisão. Essencialmente, o método começa presumindo que cada nó de uma estrutura'~ fixo. Então, travando e destravando esses nós em sucessão, os momentos internos nos nós serão "distribuídos" e equilibrados até que eles tenham girado para suas posições finais ou quase finais. Veremos que esse processo de cálculo é repetitivo e fácil de aplicar. Entretanto, antes de explicar as técnicas de distribuição de momento, determinadas definições e conceitos precisam ser apresentados.

Convenção de sinais. Estabeleceremos a mesma convenção de sinais já estabelecida para as equações de inclinação-deflexão: mon1entos no sentido horário que atuam sobre o membro são considerados positivos e momentos no sentido anti-horário são negativos.

Momentos de extremidade fixa (fixed-end Moments - FEMs)

Os momentos nas "paredes" ou nós fixos de um membro carregado são chamados de momentos de extremidades fixas. Esses momentos podem ser determinados a partir da tabela dada no Apêndice F, dependendo do tipo de carga sobre o membro.

FONTE: HIBBELER, R.C, Análise estrutural. 12. ed., São Paulo: Editora Pearson, 2003. p.361-362

245

RESUMO DO TÓPICO 3


• O Processo de Cross é baseado no método dos deslocamentos e nas equações de equilíbrio de forças em torno de um nó.

• Este método consiste em obter os esforços das barras por meio do equilíbrio de nó, distribuindo o momento total no nó de acordo com a rigidez das barras.

• O processo de Cross é inspirado em um processo de resolução matemática por aproximações sucessivas dos sistemas lineares.

• Supõe-se inicialmente que os nós não sofrem rotação, supondo que os nós estejam bloqueados.

• O processo de Cross depende da solução de três problemas: ◦ a determinação dos momentos de engastamento perfeito; ◦ a rigidez de cada elemento; e ◦ o fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura analisada.

• O momento distribuído para cada nó é multiplicado pelo fator de distribuição de carga, porém deve-se ressaltar que se distribui somente a carga recebida.

• O processo é repetido até que os momentos transportados das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento verdadeiro.

• Para uma estrutura com um único nó, a solução é exata, mas para mais de um nó, a solução é aproximada, dependendo de um processo iterativo.

• Os momentos de engastamento perfeito já são conhecidos e podem ser encontrados através de tabelas,

246

AUTOATIVIDADE

1 Considerando as vigas contínuas mostradas a seguir, cuja rigidez é constante e possui valor EI, encontre o valor das reações e trace os diagramas de esforços para a estrutura.

a)

b)

c)

d)

e)






247

f)

g)

h)

i)





248

249

REFERÊNCIAS

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250

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