Cap2 - Mecanica das Estruturas - Conceitos Básicos da Mecânica das Estruturas

8/13/2019 Cap2 - Mecanica das Estruturas - Conceitos Bsicos da Mecnica das Estruturas

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2.2

Assim, os modelos estruturais so idealizaes fsicas (mecnicas) cujas anlisesmatemticas representam de forma aproximada os comportamentos dasestruturas reais.

As estruturas e os prprios modelos de anlise so formados em geral por uma

associao de elementos estruturais, que individualmente podem apresentardiferentes comportamentos fsicos-mecnicos em funo do materialcomponente, tipo e nvel das aes atuantes, da forma geomtrica e de suasligaes. A considerao da atuao conjunta dos elementos que define osmecanismos resistentes efetivamente mobilizados no processo de transmissodas foras e, conseqentemente, o tipo e nvel de solicitaes, deformaes edeslocamentos que ocorrem em cada uma das partes componentes.

O comportamento fsico do material definido por meio das relaes

constitutivas tenso x deformao, podendo-se utilizar diferentes tipos demodelos de comportamento, tais como: elstico linear ou no linear, elasto-pltico, etc. Quando a resposta do material dependente do tempo os modelosfsicos de comportamento podem ser: visco-elastoplstico, elasto-visco-plstico,elasto-viscoelastoplstico, etc.

Quando as aes atuantes so consideradas aplicadas de forma gradual e comuma frequncia afastada da frequncia natural de vibrao da estrutura, aresposta da estrutura varia suavemente ao longo do tempo e tem-se, neste caso,um problema quase-esttico e pode-se fazer uma anlise esttica.

Quando as aes so intensas e aplicadas em curto intervalo de tempo, como asprovocadas por um impacto ou uma exploso ou as aes so cclicas e afrequncia de aplicao se aproxima das frequncias naturais de vibrao daestrutura, tm-se problemas que exigem anlises dinmicas.

Em relao forma geomtrica, os elementos componentes de uma estruturapodem ser classificados como blocos, elementos laminares ou elementos de barra.Os blocos so elementos que apresentam as trs dimenses com a mesma ordemde grandezas. So estudados com base na Mecnica do Contnuo em trsdimenses, atravs da Teoria da Elasticidade e/ou da Teoria da Plasticidade. Emalguns casos possvel avaliar este comportamento atravs de modelos simplescom base no equilbrio de polgonos de foras (modelo de bielas e tirantes)comprovados experimentalmente. Como exemplo tem-se os blocos de fundao,de coroamento de estacas de fundaes e consolos curtos.


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2.3

Os elementos laminares apresentam espessuras reduzidas em relao sdimenses da superfcie. Quando a superfcie mdia plana tm-se as placas e aschapas, quando esta superfcie curva tm-se as cascas. As placas soestruturas laminares nas quais as cargas atuam paralelamente ao plano mdio,ficando basicamente submetidas a um estado plano de tenses. As placas por sua

vez recebem cargas normalmente ao seu plano mdio, ficando submetidasessencialmente a esforos de flexo simples em duas dimenses. As cascastrabalham essencialmente sob efeito de membrana, com fluxos de tensesnormais acompanhando sua superfcie mdia e efeitos localizados de flexo.

As estruturas laminares so estudadas tambm no mbito da Mecnica doContnuo, utilizando-se teorias desenvolvidas especificamente para os diferentestipos de comportamento. So exemplos de cascas as abbadas de coberturas, asparedes de reservatrios de formas cilndricas, tronco-cnicas e outras; as lajes

so exemplos de placas e as paredes estruturais e vigas de chapas.

Os elementos de barra apresentam o comprimento com ordem de grandezasuperior s demais dimenses, que formam a seo transversal. As estruturas debarras so chamadas usualmente de estruturas reticuladas e, em funo dageometria da estrutura, da forma das ligaes entre os elementos e das aesatuantes, podem ser subdivididas em: prticos planos ou espaciais, trelias planasou espaciais, grelhas e vigas. So estudadas a partir das teorias decomportamento definidas pela Resistncia dos Materiais.

2.1.2.Comportamento Bsico dos Materiais

Os diferentes materiais estruturais apresentam em geral distintoscomportamentos fsicos, destacando-se os seguintes comportamentos bsicos:

Materiais elsticos so aqueles que retomam a configurao inicial apso descarregamento, no guardando deformaes residuais ou permanentes;

Materiais elsticos lineares so os materiais elsticos que apresentamrelaes lineares entre as tenses e as deformaes. So ditos elsticosperfeitos e seguem a lei de Hooke de linearidade entre tenses edeformaes, definida a partir do mdulo de elasticidade E como:

E.= ; (2.1)

Materiais plsticos so aqueles que guardam deformaes residuais ou

plticas aps o descarregamento, no recuperando sua forma original aps aretirada das causas que provocaram as deformaes;


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2.4

Materiais elasto-plsticos perfeitos so aqueles que aps uma faseelstica linear apresentam um comportamento puramente plstico, designadode escoamento do material.

carregamento

descarregamento

(a)

(b)

arc tg E

Figura 2.1. Grficos tenso x deformao: a) material elstico; b) material

elstico linear.

mx

p e

p e (a) (b) (c)

Figura 2.2. Materiais Plsticos: a) plstico perfeito; b) elasto-plstico; c) elasto-plstico perfeito.

2.1.3. Aes e Solicitaes

O nome ao designa qualquer influncia ou conjunto de influncias capaz deproduzir estado de tenso ou deformao numa estrutura (peso prprio, forasde vento, cargas mveis, recalques de apoios, variaes de temperatura, etc.).

As aes podem ser classificadas em funo de sua natureza como diretas ouindiretas:

Aes Diretas, decorrem de aplicaes diretas de foras, ocorrendo porcontanto ou por efeito de campos (gravitacional por exemplo) :. peso prprio da estrutura;

. peso de veculos ou de outras utilizaes;

. foras de vento;

. fora centrfuga, etc.


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2.5

Aes Indiretas, decorrem de deslocamentos ou deformaes impostas:. deslocamentos de apoios;

. deformaes trmicas, por retrao, por protenso (ou pr-tenso), etc.

Solicitao ou esforo solicitante designa qualquer esforo interno, decorrentedas aes e aplicada a uma ou mais sees de um elemento estrutural, tais comofora normal, fora cortante, momento fletor, etc.

2.1.4. Tenses e Deformaes

As tenses so as foras por unidades de rea mobilizadas pelos mecanismosresistentes responsveis pela transmisso das aes ao longo da estrutura.

Conhecidas as tenses atuantes em uma seo transversal possvel determinar-se esforos solicitantes correspondentes e vice-versa. Assim, a partir deintegraes das tenses ao longo da seo transversal obtm-se os esforossolicitantes e conhecidos os esforos solicitantes possvel determinar astenses atuantes a partir dos modelos e hipteses considerados pela Resistnciados Materiais.

As deformaes so os deslocamentos relativos desenvolvidos nos elementosestruturais devidas s tenses atuantes. Os deslocamentos so os movimentos

sofridos por cada ponto da estrutura e decorrem das deformaes existentes aolongo da estrutura. Na Figura (2.3 a e b) esto representados as deformaesaxial, cisalhante, de flexo e de toro.

X

Y

Y

Z

Z

dx

NxNx

dx

Qy

dxQy

dx

Mz Mz

dx

Mt Mt

Figura 2.3. Deformaes em elemento infinitesimal de uma barra prismtica:

axial, cisalhante, de flexo e de toro.


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2.6

i) Tenses e Deformaes Axiais

Uma barra prismtica de seo transversal de rea A, solicitada por uma foraaxial de trao igual a N, como representada na Figura (2.4), fica submetida

tenses axiais X uniformes definidas por:

AN

X = (2.2)

As tenses produzem, considerando-se um material elstico-linear (=E.),deformaes uniformes X, dadas por:

EA

N

E

X

X

=

= . (2.3)

O valor EA denominado rigidez axial da barra e mede a dificuldade deformao axial da barra.

A variao de comprimento (d) ao longo de um trecho de comprimentoinfinitesimal dx vale:

dx.d X= . (2.4)

A variao de comprimento total da barra () obtida pela integrao davariao dao longo da barra, resultando:

EANLdx.

EANdx.d

L

0

L

0 X

L

0 ==== (2.5)

Nrea A

L Seo S

S

x dx

N N

D.xD.x dx

Figura 2.4. Barra prismtica submetida fora axial.


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2.7

ii) Tenses e Deformaes por Flexo

Em uma seo transversal S, de uma barra de material homogneo, elstico eisotrpico, submetida a um momento fletor M, ficam mobilizadas tenses normais

xde flexo dadas pela expresso:

yIMZ

x

= , (2.6)

onde Iz o momento de inrcia em relao ao eixo principal z:

=maxY

0

2Z dA.yI , (2.7)

y mede a distncia da linha neutra (eixo centroidal Z) ao ponto

considerado na seo transversal, sendo o sinal negativo da expresso devido aofato de que os momentos positivos produzem tenses negativas (compresso)onde y positivo.

A deformao correspondente vale:

yI.EM

E Zx

x

=

= (2.8)

O ngulo de rotao relativa d entre duas sees distantes dx fica definidapor:

dxI.E

My

dd

Z

XX =

= , (2.9)

sendo a quantia E.IZdesignada de rigidez flexo da barra.

dx

y

d

M M

D.xD.x

x dx

L

Seo S

S

x dx

M MZ

Y(a)

(b)

MM

L

(c)

Figura 2.5. Barra prismtica submetida flexo.


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2.8

Na viga em balano da Figura 2.6 submetida a momento fletor constante ao longodo comprimento, a rotao na extremidade livre pode ser obtida por integraodireta da expresso anterior, resultando:

Z

L

0 Z

L

0 I.EL.Mdx

I.EMd === (2.10)

iii)Tenses e Deformaes por Toro

Em uma barra de seo transversal circular de raio R, submetida a um momentotorsor MT, ficam mobilizadas tenses normais de cisalhamento , definidas numponto distante r do centride por:

rJ

MT= , (2.11)

Onde J o momento de Inrcia toro, que no caso de seo circular igual aomomento de inrcia polar em relao centride da seo circular, valendo para aseo de raio R:

2

RJ4

= . (2.12)

As tenses cisalhantes que atuam em sees transversais circulares tm sempreuma direo normal ao raio e o mesmo sentido da toro MTaplicada. A distoro na raio r igual tenso cisalhante dividida pelo mdulo de elasticidadetransversal G do material:

GJr.M

GT=

= . (2.13)

Assim, a expresso que define a distoro mxima, onde r=R, vale:

GJR.MT

MAX = , (2.14)

sendo o valor GJ que aparece nas expresses anteriores designada como rigidez toro da barra.

O ngulo de rotao relativa dao longo de um elemento infinitesimal dx, vale:


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2.10

z

S

I.bQM

= , (2.18)

Onde Ms o momento esttico em relao ao eixo neutro (z), da parcela da reada seo transversal definida pelo abcissa Y do ponto considerado, valendo:

=Y

maxYS dA.yM , (2.19)

O deslocamento relativo provocado pelas tenses de cisalhamento d dado por:

dxGAQfd = , (2.20)

sendo A a rea da seo transversal e f o fator que depende da forma da seotransversal. O valor GA designada como rigidez ao cortante dabarra.

Em alguns casos elementares, as flechas devidas a deformaes por cortantepodem ser obtidas pela integrao direta da expresso anterior, como no caso daviga em balano da Figura 2.8, resultando neste caso:

GAPLfdx

GAQfd

L

0

L

0

c === . (2.21)

Assim, no caso da viga em balano com carga concentrada na extremidade livre, odeslocamento total nesta extremidade vale:

GAPLf

EI3PL

z

3

cf +=+= , (2.22)

sendo f a parcela devido flexo. A relao entre a flecha produzida pelo

cortante e a flecha produzida pelo cisalhamento vale 3fEIZ/GAL2, que um valormuito pequeno, exceto no caso de vigas compactas (L/h reduzido).

L

x dx

dx

Q

Q

d

Figura 2.7. Deformao por esforo


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2.11

Em certas estruturas as deformaes produzidas por determinados esforos sorelativamente reduzidas e podem ser desprezadas. Em outras estruturas, osvalores dos prprios esforos so reduzidos e, portanto, tanto os esforosquanto as deformaes podem ser desprezados.

Assim, por exemplo, em estruturas usuais esbeltas de prticos ou vigas, asdeformaes por cisalhamento podem ser desprezadas em funo da magnitudedas deformaes por flexo. No entanto, no caso de peas robustas oucompactas com cargas elevadas estas deformaes podem assumir valores nodesprezveis que devem ento ser consideradas.

Nas vigas carregadas transversalmente, no submetidas protenso, as forasnormais e correspondentes deformaes axiais so em geral desprezadas. Nocaso de vigas travadas longitudinalmente, por apoios fixos ou elementos de

grande rigidez, e submetidas a esforos axiais de coao (variao detemperatura ou retrao), estes esforos assumem valores elevados e tambmno podem ser desprezados.

2.1.5. Estrutura de Barras de Comportamento Linear

As estruturas possuem dois tipos bsicos de comportamento: linear ou no linear.As estruturas de comportamento linear so aquelas que apresentam relaeslineares entre a as aes que sobre elas atuam e os efeitos estruturaiscorrespondentes. Por efeitos estruturais compreendem-se as solicitaes,tenses, reaes de apoio, deformaes e deslocamentos mobilizados.

(a)

Aes

EfeitosEstruturais

(b)

Aes

EfeitosEstruturais

Figura 2.8. a) Estruturas de comportamento linear; b) estruturas de

comportamento no linear.

Para que uma estrutura apresente comportamento linear necessrio que hajalinearidade fsica e geomtrica, isto , o material constituinte deve tercomportamento elstico linear e a estrutura deve possuir uma geometria

adequada de modo que sendo mantido um regime de pequenas deformaes, oequilbrio possa ser referido a posio indeformada da estrutura.


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2.12

Assim, uma no linearidade fsica est associada ao comportamento no linear domaterial. A no linearidade geomtrica ocorre quando existe uma geometriadesfavorvel, na qual as condies de equilbrio s possam ser satisfeitasconsiderando-se as deformaes da estrutura, ou quando a estrutura atingir umregime de grandes deformaes a partir do qual a mudana de geometria passe a

influenciar significativamente a prpria distribuio de esforos. Neste caso, osesforos provocados pela alterao da geometria so designados de esforos de2a ordem e devem ser considerados na anlise estrutural.

Para exemplificar a ocorrncia de no linearidade geomtrica, considere-se umaestrutura triarticulada com suas configuraes a e b da Figura (2.9). Na primeiraestrutura impossvel a obteno do equilbrio na posio indeformada, poisestando as barras com suas extremidades rotuladas e o carregamento sendoefetuada na rtula central de unio, as barras podem ser solicitadas unicamente

por esforos normais e, consequentemente, as reaes que poderiam surgir naconfigurao inicial da estrutura, seriam incapazes de equilibrar o sistema.

Na primeira estrutura, para obteno do equilbrio necessrio que sejamconsideradas as rotaes sofridas pelas barras componentes,independentemente do valor da amplitude da flecha f ou das rotaes . Nessecaso diz-se que ocorre uma no linearidade geomtrica funo da formainadequada e a prpria soluo do modelo estrutural exige a considerao damudana de geometria definida pela flechaf e rotaes .

f

(b)

f

(a)

P

P

Pf

(c)

Figura 2.9. a) Estrutura de comportamento no linear com geometria inadequada;b) Estrutura cujo comportamento no linear pode se dar pelo comportamento nolinear do material ou por um regime de grandes deformaes; c) Estrutura cujo

comportamento est condicionado unicamente ao comportamento do material.


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2.13

A configurao da estrutura representada na Figura (2.9b), onde as barrasapresentam uma inclinao inicial , permite o equilbrio da estrutura.Entretanto, a ocorrncia de carga elevada pode conduzir a um grande valor paraa flecha f, que tenha como conseqncia rotaes no desprezveis, quepossam provocar alteraes significativas nos esforos solicitantes das barras.

Nesse caso diz-se ocorre uma no linearidade geomtrica devido a um regime degrandes deformaes. importante frisar que esta no linearidade funo damudana relativa da forma inicial, depende da intensidade das rotaes sofridas()em relao as inclinaes iniciais ().

Para a estrutura da Figura (2.9c), o carregamento no capaz de produziralteraes na inclinao da barra e, consequentemente, a estrutura apresenta umcomportamento linear enquanto o material constituinte se mantiver numa faseelstica linear, independentemente de um regime de pequenas ou grandes

deformaes.

Considerando agora a estrutura definida por uma viga em balano, conforme aFigura (2.10a), as deformaes sofridas pelo eixo da barra provocaro umencurtamento em sua projeo horizontal, reduzindo as distncias entre o pontode aplicao da carga P e qualquer seo da barra, que define o valor do momentofletor atuante, alm de produzir solicitaes normais adicionais em parte da viga.Nesse caso, a ocorrncia de uma no linearidade geomtrica est condicionadaexistncia de um regime de grandes deformaes onde as rotaes sofridas nopossam ser desprezadas.

X

x

Y

L

P(a)

YP

e

x~e+

x

X

(b)

Figura 2.10. a) Viga em balano; b) Coluna com carga excntrica.

Para uma barra solicitada por compresso excntrica, conforme a Figura (2.3b),as deformaes provocadas pelos esforos de flexo tendem a aumentar aintensidade destes esforos, podendo ocorrer um aumento significativo (de valorP.x) que no possa ser desprezado.


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2.14

No caso de edifcios de andares mltiplos deslocveis, os efeitos de segundaordem, denominado efeito P., mesmo para cargas originariamente centradas,tem origem nas deformaes apresentadas pelas colunas devido flexoproduzida pela fora horizontal de arrasto do vento.

Assim, de modo geral, diz-se que uma estrutura possui um comportamento lineargeomtrico quando as rotaes sofridas por seus elementos podem serdesprezadas e os esforos solicitantes podem ento serem calculadosconsiderando-se a configurao inicial da estrutura.

Nas estruturas de comportamento linear vlido o princpio da superposio dosefeitos, o qual considera que qualquer efeito estrutural produzido por umconjunto de aes igual soma dos efeitos produzidos por cada aoisoladamente.

2.2. GRAUS DE LIBERDADE. APOIOS E LIGAES. ESTATICIDADE EESTABILIDADE. GRAU DE INDETERMINAO ESTTICA ECINEMTICA

2.2.1. Graus de Liberdade. Apoios. Ligaes Internas

Graus de liberdade de uma estrutura so os diferentes deslocamentosindependentes que podem ocorrer em cada ponto numa estrutura e que soconsiderados na anlise do modelo correspondente. Em geral, a cada grau deliberdade ou a cada diferente deslocamento considerado na anlise associadoum esforo solicitante. Assim, na anlise de uma estrutura tipo prtico espacialso considerados os 6 (seis) possveis graus de liberdade no espao, sendo 3(trs) de translao e 3 (trs) de rotao.

Considerando-se um sistema cartesiano de referncia os graus de liberdade sodefinidos, conforme a Figura (2.11), por: uX, vY, wz, X, Y e Z. Associados a estesgraus de liberdade tem-se, por exemplo, para uma barra paralela a direo doeixo X, os esforos solicitantes de: fora normal em X (Nx), esforo cortante nadireo Y (Qy), esforo cortante na direo Z (Qz), momento torsor na direo x(Mx = Mt), momento de flexo na direo Y (My) e momento de flexo na direoZ (Mz).


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2.15

X

Y

Z

uXvY

wZ

X

Y

Z

Figura 2.11. Graus de liberdade de um prtico espacial.

Uma estrutura reticulada formada por um conjunto de barras, existindoinfinitos pontos e, para cada um deles, podem ser associados os graus deliberdade considerados no comportamento no modelo. No entanto, possveldefinir o campo de deslocamentos ao longo das barras de forma simplificada, pormeio de relaes adequadas aplicadas aos respectivos deslocamentos (ou grausde liberdade) associados a determinados pontos das barras, em geral situadosnas extremidades, designados de ns da estrutura.

Neste caso, a estrutura fica representada por um modelo discreto e o campo dedeslocamentos de toda a estrutura fica definido a partir de um nmero limitado(finito) de graus de liberdade ou deslocamentos nodais. A princpio, todaestrutura pode ser subdividida em um conjunto arbitrrio de barras conectadasentre si pelos correspondentes ns.

Assim, no prtico plano da Figura (2.12), considerando-se a existncia de 3barras e quatro ns tem-se 12 deslocamentos nodais.

X

Y

uX

vY

Z

u1

u2

u3

u4

v11

v

2

v3

v4

2

3

4

1

2

3

4

Figura 2.12. Deslocamentos nodais de um prtico plano.


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2.16

Apoios so vnculos externos que impedem o movimento da estrutura em uma oumais direes. Quando as aes atuantes provocam tendncias de movimento nadireo de deslocamentos impedidos, so mobilizadas reaes nos apoios queimpedem os correspondentes movimentos. Os apoios so definidos em funo do

nmero de deslocamentos impedidos. Assim, em problemas planos, os apoiospodem ser de 10, 20 ou 30grau geomtrico. Os mais usuais so os: apoio simplesoucharriot (10grau) que impede um deslocamento de translao; apoio fixo ouarticulao/rtula fixa (20grau) que impede os dois deslocamento de translaono plano e o engaste (30grau) que impede todos os deslocamentos independentesno plano, sendo dois de translao e o de rotao.

Ligaes so vnculos internos entre dois ou mais elementos. Usualmente namodelagem (definio de um modelo discreto) de uma estrutura so utilizados

ns (ou ligaes) em sees contnuas que apresentam rigidezes que impedemtodos os deslocamentos relativos entre as barras ligadas e, consequentemente,transmitem os diferentes esforos solicitantes considerados na anlise.

Entretanto, eventualmente estas ligaes podem ser incompletas, isto , podempermitir um ou mais deslocamentos relativos entre as barras ligadas e, nestescasos, os esforos solicitantes correspondentes s direes liberadas no podemser transmitidos pela ligao. O tipo de ligao incompleta mais comum so asrtulas, que permitem ou liberam o movimento de rotao entre os elementosligados e so incapazes de transmitir esforos de flexo.

R

(a)

R1

R2

R1

R2

R3

rtula interna

(b)

Figura 2.13. a) Apoios usuais em estruturas planas; b) Rtula interna num prtico.

2.2.2. Equilbrio. Compatibilidade. Estaticidade e Estabilidade


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2.17

As estruturas das construes devem ter vnculos externos (apoios) e internos(ligaes) entre seus elementos componentes que garantam uma condio deequilbrio esttico, tanto para a estrutura como um todo como para cada um deseus elementos ou partes componentes. Neste caso as resultantes das foras

atuantes em cada parte ou em toda a estrutura, definidas pelas foras externasaplicadas e/ou pelos esforos internos, devem ser nulas.

Alm disso, necessrio tambm que sejam respeitadas as condies decompatibilidade do campo de deslocamentos. Estas condies de compatibilidadedevem atender as prescries de apoios, onde os deslocamentos so impostos(em geral nulos) e de continuidade no interior da estrutura. Assim, por exemplo,em um apoio externo definido por um engaste, todos os deslocamentos tanto detranslao quanto de rotao so nulos. Em um n rgido de ligao entre dois ou

mais elementos, cada um destes elementos devem apresentar os mesmosdeslocamentos de translao e rotao.

As estruturas podem ser classificadas em relao s condies disponveis paraobteno das foras (reaes e esforos solicitantes) atuantes ao longo daestrutura como: isostticas, hiperestticas ou hipostticas. Uma estrutura ditade isosttica, quando os vnculos (apoios e ligaes internas) existentes, so emquantidade estritamente necessria para impedir todos os movimentos de corporgido, de cada parte componente e da estrutura como um todo. Neste caso aestrutura estaticamente determinada, sendo possvel obter as reaes deapoio utilizando-se as equaes de equilbrio disponveis, bem como calcular osesforos em qualquer ponto da estrutura.

As estruturas isostticas tm condio de equilbrio estvel, no possuindonenhum grau de liberdade associado a um movimento de corpo rgido. Osdeslocamentos decorrem simplesmente das deformaes mobilizadas ao longo daestrutura.

Assim, para um problema de prtico plano as equaes de equilbrio esttico sodefinidas por:

=== 0;Me0F0;F z,Ayx (2.11)

Cada uma destas equaes garante o equilbrio em relao aos possveisdeslocamentos considerados no comportamento da estrutura.


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2.18

Em algumas estruturas possvel utilizar equaes que traduzem condies locaisde equilbrio em relao s foras externas, como por exemplo, nas estruturascom rtulas internas. Assim, no prtico triarticulado da Figura (2.14d), alm dasequaes de equilbrio global, dispe-se de uma equao adicional que traduz aimpossibilidade de transmisso de momento na rtula G, traduzida por:

0MMM GdG

eG === (2.12)

(a) (b)

(c)

(d)

G

Figura 2.14. Algumas estruturas isostticas: a) viga biapoiada com balano; b)prtico com uma extremidade engastada e as demais livres; c) viga treliada

biapoiada tipo tesoura Howe; d) arco triarticulado.

Quando o nmero de vnculos superior ao estritamente necessrio para impediros movimentos de corpo rgido, tem-se uma estrutura hiperesttica. O excessode vnculos ou os vnculos superabundantes podem ser externos e/ou internos,consequentemente uma estrutura pode ser hiperesttica internamente e/ou

externamente. As estruturas hiperestticas apresentam condies de equilbrioestvel.

A anlise de estruturas hiperestticas feita empregando-se equaesadicionais s de equilbrio esttico. Estas equaes adicionais podem ser obtidasutilizando-se condies locais de equilbrio esttico ou de compatibilidade docampo de deslocamentos.


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2.19

(a)

(b)(c)

(d)

Figura 2.15. Algumas estruturas hiperestticas: a) viga contnua; b) prtico comambas as extremidades engastadas; c) prtico biapoiado formando internamenteum quadro fechado; d) viga treliada de altura constante com diagonais cruzadas.

Quando o nmero de vnculos insuficiente para impedir os movimentos de corporgido da estrutura como um todo ou de suas partes, diz-se que a estrutura hiposttica. Neste caso, tem-se um mecanismo ou cadeia cinemtica, queapresenta algum tipo de liberdade de movimento de corpo rgido. As estruturashipostticas no apresentam em geral condies de equilbrio. Quando forpossvel uma condio de equilbrio, tem-se ento um equilbrio instvel, pois aocorrncia de qualquer fora na direo do deslocamento possvel ir desfazer aestabilidade do equilbrio.

2.2.3. Grau de Indeterminao Esttica e Cinemtica

Em uma estrutura qualquer, h dois tipos de indeterminao que devem serconsiderados em funo do tipo de anlise a ser efetuada. Quando se consideramas variveis primrias de interesse ou incgnitas bsicas da anlise, como sendoas foras ou esforos atuantes nos elementos que compem a estrutura, deve-seconsiderar a indeterminao esttica. Quando as variveis primrias de interesseou as incgnitas bsicas da anlise so os deslocamentos deve-se considerar a

indeterminao cinemtica.

Assim, quando as variveis primrias de interesse so os esforos atuantes, aindeterminao esttica e o grau de indeterminao definido pelo nmero deVnculos (ligaes internas ou apoios externos) em excesso em relao aoestritamente necessrio para manter a estrutura em condio de equilbrioestvel. Assim, as estruturas isostticas possuem grau nulo de indeterminaoesttica. Nas estruturas hiperestticas o grau de indeterminao esttica, quedefine o nmero de vnculos superabundantes, pode ser obtido pelo nmero de

vnculos que necessitam ser liberados para tornar a estrutura isosttica.


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2.20

O grau de indeterminao cinemtica definido diretamente pelo nmero dedeslocamentos nodais incgnitos.

(a)

(b)(c)

n=3

n=3n=6

(d) n=6

Figura 2.16. Grau de indeterminao esttico de algumas estruturas

hiperestticas com uma das possibilidades de liberaes para se obter umaestrutura isosttica

(a)

(b) (c)

(d)

1 2 3 4

1

2 3

41

2 3

4

56

7

n=5

n=9

n=15

n=25

Figura 2.17. Grau de indeterminao cinemtica e respectivos deslocamentosnodais incgnitos de algumas estruturas


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2.21

2.3. FLEXIBILIDADE E RIGIDEZ. EQUAES DE COMPATIBILIDADE EDE EQUILBRIO. MTODO DA FLEXIBILIDADE E DA RIGIDEZ

2.3.1. Flexibilidade e Rigidez. Equaes de Compatibilidade deDeslocamentos e de Equilbrio de Foras

A relao entre o valor da fora aplicada em um ponto qualquer e o deslocamentoque ocorre em um outro ponto qualquer de um elemento ou componenteestrutural, define a rigidez deste elemento ou componente associada aos grausde liberdades considerados. A relao inversa define a correspondenteflexibilidade. Assim, o valor da rigidez pode ser obtido pelo esforo mobilizadodevido imposio de um deslocamento de valor unitrio, medindo assim adificuldade de deformao em relao ao deslocamento correspondente. A

flexibilidade por sua vez pode ser obtida pelo deslocamento produzido por umafora de valor unitrio, medindo assim a facilidade de deformaocorrespondente.

Seja o exemplo elementar de uma mola elstica submetida a uma fora P. Se odeslocamento sofrido pela mola, conforme representado na Figura (2.18) aequao que representa o equilbrio de foras atuando na mola definida por:

K.=F , (2.13)

sendo K, a rigidez da mola, numericamente igual ao esforo que surge na molaquando se impe um deslocamento de valor unitrio em sua extremidade.

Pd

Figura 2.18 - Mola Elstica.A equao que representa a compatibilidade no campo de deslocamento

definida por:

K'.F= , (2.14)

sendo K, a flexibilidade da mola, numericamente igual ao deslocamentomobilizado na mola quando se impe uma fora F de valor unitrio em sua

extremidade.


22/28

2.22

Verifica-se facilmente que a flexibilidade e a rigidez da mola so uma a inversada outra:

1-K'=.K'1=k (2.15)

e:

1-KK1=K' = . (2.16)

F =11S'21

S'11

S'22

S'12

F =12

(b)

d =11

S21

S 11

(c)

d =12

S22S 12

F1F2

(a)d1

d2

Figura 2.19 - Viga elstica: a) Foras no balano F1e F2 e deslocamentos

correspondentes d1e d2; b) Coeficientes de flexibilidade ou deslocamentos nasdirees d1e d2, devido a foras unitrias aplicadas, respectivamente, F1 = 1 e F2=

1; c) Coeficientes de rigidez ou esforos nas direes F1e F2, devido adeslocamentos unitrias impostos, respectivamente, d1 = 1 e d2= 1

Seja agora como exemplo, a estrutura simples de comportamento elstico linear,formada por uma viga biapoiada com balano em uma extremidade, conforme aFigura (2.19a). Considerando-se duas foras aplicadas na extremidade do balano

F1 e F2, e os correspondentes deslocamentos d1 e d2, com base no princpio dasuperposio pode-se escrever as seguintes equaes de compatibilidade dedeslocamentos nestas mesmas direes:

2221212

2121111

.FS+.FS=d.FS+.FS=d

, (2.17)

sendo Sij, o coeficiente de flexibilidade associado s direes dosdeslocamentos die dj, definido como o deslocamento que surge na direo de di

devido aplicao de uma fora unitria na direo dj, conforme a Figura (2.19b).


23/28

2.23

Ao invs de escrever as equaes de compatibilidade, que exprimem osdeslocamentos em funo das foras, possvel se escrever as equaes deequilbrio, definindo as foras em funo dos deslocamentos como:

2221212

2121111

.dS+.dS=F

.dS+.dS=F (2.18)

sendo Sij, o coeficiente de rigidez associado aos deslocamentos nas direes diedj, definido como a fora que surge na direo de d i devido imposio de umdeslocamento de valor unitrio na direo dj, conforme a Figura (2.19c).

2.3.2. Mtodo da Flexibilidade e Mtodo da Rigidez.

Na anlise do comportamento de uma estrutura, as foras ou os deslocamentospodem ser definidos como incgnitas bsicas ou variveis primrias da anlise. Noprimeiro caso tem-se o modelo de foras e, no segundo, o modelo dedeslocamentos. Nos casos de anlises de estruturas de barras de comportamentolinear, nos quais vlido o princpio da superposio, estes modelos de anlise sousualmente designados, respectivamente, de Mtodo da Flexibilidade e Mtododa Rigidez.

Na anlise estrutural com base no Mtodo da Flexibilidade, as incgnitas bsicas

(variveis primrias) so definidas pelos esforos associados aos vnculossuperabundantes, denominados de incgnitas hiperestticas. Assim, estruturasisostticas no apresentam nenhuma incgnita pelo Mtodo das Foras, uma vezque so estaticamente determinadas. A partir das incgnitas hiperestticas, osdemais esforos atuantes nas extremidades das barras podem ser obtidos comemprego das equaes de equilbrio esttico disponveis. Alm disso, a partir dosesforos de extremidades de cada barra podem ser obtidos os esforossolicitantes em qualquer ponto da barra considerada.

Como relatado, na anlise de uma estrutura hiperesttica pelo Mtodo daFlexibilidade necessrio de incio definir as incgnitas bsicas, associadas aosvnculos superabundantes escolhidos, designadas de incgnitas ou esforoshiperestticos. Esta escolha pode, em geral, ser feita de muitas diferentesformas para uma mesma estrutura, mas quaisquer que sejam as incgnitashiperestticas escolhidas, elas devem ser sempre em nmero igual ao grau deindeterminao esttica da estrutura.

A partir da escolha das incgnitas hiperestticas pode-se montar, com base noprincpio da superposio, uma adequada equao de compatibilidade de


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2.24

deslocamento associada direo de cada uma das incgnitas hiperesttica. Cadauma destas equaes de compatibilidade ir relacionar uma ou vrias incgnitashiperestticas, dependendo da forma da estrutura e das incgnitas escolhidas.

A idia bsica para a formulao do mtodo da flexibilidade consiste em se

considerar que o comportamento da estrutura hiperesttica original, com base noprincpio da superposio, igual ao comportamento da estrutura obtida pelaliberao dos vnculos superabundantes submetida s cargas externas aplicadas,somado ao comportamento desta mesma estrutura liberada submetida ao decada um dos esforos hiperestticos. A estrutura liberada obtida com aeliminao dos vnculos superabundantes designada de sistema principal.

Assim, o processo de clculo do Mtodo da Flexibilidade envolve ento asseguintes etapas:

Escolha das incgnitas ou esforos hiperestticos (Xi) e do sistema principalassociado, definido como a estrutura isosttica obtida a partir da estruturaoriginal pela liberao dos vnculos correspondentes s incgnitas hiperestticasescolhidas;

determinao dos deslocamentos (i0) no sistema principal, nas direes dasincgnitas hiperestticas, devido s aes externas aplicadas estrutura;

determinao dos deslocamentos (ij) no sistema principal, nas direes dasincgnitas hiperestticas, devido a cada uma das incgnitas hiperestticas

atuando isoladamente (com as demais nulas) com valor unitrio; montagem do sistema de equaes de compatibilidade de deslocamentos relativas

s direes correspondentes s incgnitas hiperestticas. Quando as aesatuantes no decorrem de um deslocamento de apoio, as equaes decompatibilidade representam ou uma continuidade no campo de deslocamentos(caso de incgnitas representativas de um esforo solicitante interno) ou umimpedimento de deslocamento (caso de incgnitas representativas de uma reaode apoio ou esforo externo), podendo serem escritas genericamente na forma:

0X+XX0X+XX

0X+XX

n0nnn2n21n1

20n2n222121

10n1n212111

=+++

=+++=+++

L

MMMM

L

L

, (2.19)

determinao dos esforos hiperestticos (Xi) pela soluo do sistema deequaes anterior, clculo das reaes de apoio e dos esforos nos demais pontosde interesse da estrutura.Assim, por exemplo, seja efetuar a anlise da viga contnua representada na

Figura (2.20). As incgnitas hiperestticas podem, a princpio, serem escolhidasde diferentes modos como, por exemplo, considerando os momentos fletores nos


25/28

2.25

apoios (uma reao de apoio e dois esforos solicitantes internos) ou as reaesverticais, conforme representado na Figura (2.21).

1

3 421

2 3 4

L1 L2 L3 L4

5

q1 q2 q3 q4Y, v

q

Figura 2.20 - Viga contnua com grau de indeterminao esttica trs.

1 2 3 4

L1 L2 L3 L4

q3q1 q2 q4

X1 X2 X3

41 2 3 4

L1 L2 L3 L4

5

q1 q2 q3 q4

X3X2X1

(a)

(b)

Figura 2.21 - Escolha do sistema principal: a) Com liberao das rotaes nosapoios e momentos fletores como incgnitas hiperestticas; b) Com liberao dos

deslocamentos verticais e reaes verticais como incgnitas hiperestticas.

1 3 421 2 3 4 5

q1 q2 q3 q4Y, v

q

elstica ou linha deformada da viga

1 2 3 4

X1 X2 X3

(a)

(b)

2d

2e

=01 3d

3e1

3 421 2 3 4 5(c)

q1 q2 q3 q4

Figura 2.22: a) Viga original com representao da elstica ou deformada; b)Sistema principal e incgnitas hiperestticas; c) deslocamentos de rotaoassociados s incgnitas hiperestticas definidas por momentos nos apoios.

As equaes a serem montadas refletem as condies de compatibilidade dos

deslocamentos nas direes das incgnitas hiperestticas. Assim, no primeiro


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2.26

caso utilizam-se equaes de compatibilidade de rotaes representadas naFigura (2.22) e definidas por:

01 = ;d2

e2 = e

d3

e3 = . (2.20)

No segundo caso, representado na Figura 2.23, utilizam-se equaes decompatibilidade relativas aos deslocamentos verticais definidas por:

0v1= ; 0v2= e 0v3= (2.21)(a)

41 2 3 4 5

X3X2X1

(b)

1 3 421 2 3 4 5

q1 q2 q3 q4Y, v


(c)

1 3 421 2 3 4 5

1

2

2

= v = 01 = v = 02= v = 0

2

q1 q2 q3 q4

Figura 2.23 a) Linha elstica ou deformada; b) Sistema principal e incgnitas

hiperestticas; c) deslocamentos de rotao associados s incgnitashiperestticas definidas por momentos nos apoios.

O sistema de equaes de compatibilidade definido de forma genrica em (2.19)pode ser escrito em forma matricial como:

[ ]{ } { }0X = (2.22)

sendo a matriz [ ] designada de matriz de flexibilidade da estrutura associadas incgnitas hiperestticas escolhidas.

Com base no teorema dos deslocamentos recprocos (Maxwell) prova-se aexistncia de simetria na matriz de flexibilidade, isto :

jiij = , (2.23)

A soluo do sistema pode ser obtida fazendo-se:

{ } [ ] { }01.X = (2.24)

2.3.3. Mtodo da Rigidez


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2.27

Na anlise estrutural com o Mtodo da Rigidez as incgnitas bsicas ou variveisprimrias so definidas pelos deslocamentos nodais incgnitos ou incgnitascinemticas do problema. A partir da definio da geometria da estrutura e dosapoios externos, todos os demais deslocamentos nodais constituem-se emincgnitas cinemticas do problema.

A formulao do Mtodo da Rigidez pode ser desenvolvida com base no princpioda superposio, a partir da adequada montagem da equao de equilbrio deforas na direo de cada uma das incgnitas cinemticas.

A idia bsica para a formulao do mtodo da rigidez consiste em se considerarque o comportamento da estrutura original, com base no princpio dasuperposio, igual ao comportamento da estrutura restringida, obtida peloimpedimento aos deslocamentos nodais, submetida s cargas externas aplicadas,

somado ao comportamento desta mesma estrutura restringida submetida aode cada um dos deslocamentos nodais. Assim, o processo de clculo do Mtodo daRigidez envolve ento as seguintes etapas:

determinao dos esforos (Fio) na estrutura restringida, nas direes dasincgnitas cinemticas, devido s aes externas aplicadas estrutura;

determinao dos esforos (sij) na estrutura restringida, nas direes dasincgnitas cinemticas, devido a cada uma das incgnitas cinemticas atuando

isoladamente (com as demais nulas) com valor unitrio; montagem do sistema de equaes de equilbrio de foras relativas s direes

correspondentes s incgnitas cinemticas, que podem ser escritasgenericamente na forma:

0Fds+dsds

0Fds+dsds

0Fds+dsds

n0nnn2n21n1

20n2n222121

10n1n212111

=+++

=+++

=+++

L

MMMM

L

L

(2.25)

determinao dos deslocamentos nodais incgnitos (di) pela soluo do sistema deequaes anterior, determinao dos esforos nas extremidades das barras,clculo das reaes de apoio e dos esforos e ou deslocamentos nos demaispontos de interesse da estrutura.

Na anlise da viga contnua definida na Figura (2.233), as incgnitas cinemticas

associadas s barras que formam a estrutura so definidas de forma nica.Desprezando-se a presena de eventuais foras normais e respectivas


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deformaes, os deslocamentos nodais incgnitos so os representados na Figura(2.24).

1 2 3 4(b)

(a)

q1 q2 q3 q4

1 3 421 2 3 4 5

Y, v


(c)1

3 421 2 3 4 5

d1= 2d2 = 3 d3= 4 d4 = v5

d5= 5

Figura 2.24 - a) viga de quatro elementos e cinco ns; b) estrutura restringida; c)

incgnitas cinemticas ou deslocamentos nodais incgnitos.

As equaes a serem montadas refletem as condies de equilbrio das forasnas direes deslocamentos nodais incgnitos. Assim, utilizam-se equaes deequilbrio de momentos fletores nas direes dos deslocamentos 2, 3, 4e 5, eequilbrio de foras verticais na direo de v5.

O sistema de equaes de equilbrio definido de forma genrica em (2.25) podeser escrito em forma matricial como:

[ ]{ } { }FdS = , (2.26)

sendo a matriz [ ]S designada de matriz de rigidez da estrutura associada sincgnitas cinemticas do problema.

A soluo do sistema pode efetuada fazendo-se:{ } [ ] { }FSd -1 = . (2.27)

Deve-se ter em mente que a matriz de rigidez de uma estrutura igual inversada matriz de flexibilidade e vice-versa, apenas quando ambas as matrizes soobtidas considerando-se o mesmo conjunto de deslocamentos e foras nodaiscorrespondentes.

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Cap2 - Mecanica das Estruturas - Conceitos Básicos da Mecânica das Estruturas