Unidade 02 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Unidade 02Modelos de Estruturas Reticuladas

Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Leonardo Goliatt

Departamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora

versão 13.05

Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 1 / 51

Introdução

Programa

1 IntroduçãoEstruturas ReticuladasAções Externas – CargasPrincípios Gerais de Mecânica das Estruturas


Introdução Estruturas Reticuladas

Programa



Introdução Estruturas Reticuladas

Introdução

Estruturas Reticuladas

Estrutura Reticuladaé aquela constituída por elementos resistentes nos quais uma dimensão se sobressaisobre as outras duas. A interseção de uma ou mais elementos é chamada de nó.


Introdução Ações Externas – Cargas

Programa




Introdução

Ações Externas – Cargas

As ações externas aplicadas a estruturas são os agentes causadores de tensões edeformações internas aos componentes da estrutura.As cargas podem ser divididas em dois grupos

1 Cargas Permanentes2 Cargas Acidentais



Introdução

Ações Externas – Cargas

1 Cargas PermanentesPeso próprioQualquer outro tipo de carregamento com magnitude ou permanência constantesque atuam sobre a estruturaEmpuxo do solo: ocorre em estruturas de contenção, reservatórios subterrâneos,piscinas, galerias e túneis

2 Cargas AcidentaisCargas móveis: cargas que se movem gradualmente de uma posição para outra semcausar impacto na estruturaSobrecarga: cargas que não mudam de posição e podem atuar ou não sobre a ex-trutura em um determinado intervalo de tempo (móveis em um apartamento de umedifício residencial).Impacto: considerado quando cargas em movimento atuam sobre a estrutura.Denomina-se o coeficiente de impacto a magnitude que irá majorar o valor dessascargas em movimento. Este tipo de coeficiente está sendo substituído por resultadosde análises dinâmicas dos modelos estruturais


Introdução Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas

Programa




Introdução

Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas

Quatro níveis de abstração

Estrutura Real↓

Modelo Estrutural↓

Modelo discreto↓

Modelo Computacional



Introdução

Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas

Modelo estruturalNa concepção do modelo estrutural é feita uma idealização do comportamento daestrutura real.Hipóteses simplificadoras:

hipóteses sobre a geometria do modelo;hipóteses sobre as condições de suporte (ligação com o meio externo, por exem-plo, com o solo);hipóteses sobre o comportamento dos materiais;hipóteses sobre as solicitações que agem sobre a estrutura (cargas de ocupaçãoou pressão de vento, por exemplo).


Condições Básicas de Análise Estrutural

Programa

2 Condições Básicas de Análise EstruturalCondições de equilíbirioCondições de compatibilidadeLeis constitutivas dos materiaisSolução NuméricaSimplificação do modeloComparação entre P1 e P2Superposição de Efeitos




As condições matemáticas que o modelo estrutural tem que satisfazer para representaradequadamente o comportamento da estrutura real:

condições de equilíbrio;condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura (leisconstitutivas dos materiais).




Problema P1Determine os esforços nas barras da estrutura. Considere que as barras são feitas domesmo material elástico-linear e a área A da seção transversal é constante.


Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio

Programa



Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio


Condições de equilíbirio

Considerando o equilíbirio do nó inferior na configuração deformada, temos∑Fx = 0 ⇒ N2 = N3∑Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cosφ= P

onde N1 é o esforço na barra vertical e N2 é o esforço na barras inclinadas.

Análise de segunda ordem

A análise feita com o equilíbrio na configuração deformada denomina-se análise desegunda ordem (deslocamentos não desprezíveis na imposição das condições de equi-líbrio).


Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de compatibilidade

Programa





Condições de compatibilidade

As condições de compatibilidade podem ser divididas em dois grupos:Condições de compatibilidade externa: referem-se aos vínculos externos da estrutura

e garantem que os deslocamentos e deformações sejam compatíveiscom as hipóteses adotadas com respeito aos suportes ou ligações comoutras estruturas.

Condições de compatibilidade interna: garantem que a estrutura permaneça, ao sedeformar, contínua no interior dos elementos estruturais (barras) enas fronteiras entres os elementos estruturais, isto é, que as barraspermaneçam ligadas pelos nós que as conectam (incluindo ligação porrotação no caso de não haver articulação entre barras).




Condições de compatibilidade

Relação de compatibilidade:

cosφ = l+u√(l+u)2+a2

d1 = u

d2 =√(l + u)2 + a2 −

√l2 + a2

onde u é o deslocamento vertical no nó inferior, d1 é o alongamento na barra vertical ed2 é o alongamento na barras inclinadas.



Programa





Leis constitutivas dos materiais

O modelo matemático do comportamento dos materiais, em um nívelmacroscópico, é expresso por um conjunto de relações matemáticas entre ten-sões e deformações.A lei constitutiva que relaciona tensões normais e deformações normais é a con-hecida Lei de Hooke e é dada por

σ= Eε

onde E é o módulo de elasticidade do material, σ são as tensões normais na di-reção axial da barra e ε indicam as deformações normais na direção axial dabarra.





Assim, para a barra verticalN1

A= E

d1

l⇒ N1 = EA

ul

e para as barras inclinadas

N2

A= E

d2√l2 + a2

⇒ N2 = EA

√(l + u)2 + a2 −

√l2 + a2√

l2 + a2





Substituindo os cosφ, N1 e N2 na equação de equilíbrio,

EAul+ 2EA

√(l + u)2 + a2 −

√l2 + a2√

l2 + a2

l + u√(l + u)2 + a2

= P

e após algumas simplificações temos:

ul+ 2

(1 +

ul

) 1√1 +

(al

)2−

1√(1 + u

l

)2+

(al

)2

= PEA

!Vê-se que só foi possível resolver a estrutura hiperestática desse exemplo usando to-dos os três tipos de condições: equilíbrio, compatibilidade e leis constitutivas.





Há casos em que o material é também solicitado ao efeito de cisalhamento. Paramateriais trabalhando em regime elástico-linear, a lei constitutiva que relacionatensões cisalhantes com distorções de cisalhamento é dada por:

τ= Gγ

onde G é módulo de cisalhamento (propriedade do material), τ é a tensão decisalhamento γ a distorção de cisalhamento.


Condições Básicas de Análise Estrutural Solução Numérica

Programa





Solução Numérica

Para derivar um procedimento de solução vamos usar a relação

P =EAu

l+ 2

EA( √

u2 + 2ul + l2 + a2 −√

l2 + a2)(u + l)√

l2 + a2√

u2 + 2ul + l2 + a2

e empregar o método de Newton, onde

uk+1 = uk+1 −∂P(uk)

∂uP(uk)

com∂P(u)∂u = EA

l +EA(2u+2 l)(u+l)

(u2+2ul+l2+a2)√

l2+a2+

2EA(√

u2+2ul+l2+a2−√

l2+a2)

√l2+a2

√u2+2ul+l2+a2

−

EA(√

u2+2ul+l2+a2−√

l2+a2)(u+l)(2u+2 l)

√l2+a2(u2+2ul+l2+a2)3/2




Solução Numérica

Para simplificação, vamos assumir que

∂P(uk)

∂u= Kk; P(uk) = Pk

e então o método de Newton fica

uk+1 = uk+1 − KkPk

com∂P(uk)

∂u

∣∣∣∣∣∣u=0

=EAl

+2EAl2

(l2 + a2)3/2


Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo

Programa





Simplificação do modelo

No problema anterior, a condição de equilíbrio na direção vertical do nó inferiorda estrutura foi escrita considerando a geometria deformada da estrutura.Em alguns casos, os deslocamentos que a estrutura vai sofrer são muito pe-quenos em relação às suas dimensões.Essa hipótese, denominada de hipótese de pequenos deslocamentos, será adotadacomo simplificação.A análise de estruturas com essa consideração denomina-se análise de primeiraordem.





Problema P2Seja o problema P1. Considere agora uma condição de pequenos deslocamentos, demodo que as equações de equilíbrio sejam escritas na configuração indeformada.





Mantendo-se a hipótese de pequenos deslocamentos, pode-se considerar que oângulo entre as barras após a deformação da estrutura não se altera,Nesse exemplo os deslocamentos são considerados pequenosA equação de equilíbrio que relaciona a força aplicada P com o esforço normalnas barras é escrita na configuração indeformada da estrutura∑

Fx = 0 ⇒ N2 = N3∑Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cosθ = P

onde N1 é o esforço na barra vertical e N2 é o esforço na barras inclinadas.





Pode-se então estabelecer relações de compatibilidade entre os alongamentos dasbarras e o deslocamento vertical do nó inferior:

cosθ = l√l2+a2

d1 = ud2 = ucosθ = u l√

l2+a2

onde u é o deslocamento vertical no nó inferior, d1 é o alongamento na barra vertical ed2 é o alongamento na barras inclinadas.





Das equações constitutivas temos para a barra vertical

N1

A= E

d1

l⇒ N1 = EA

ul

e para as barras inclinadas

N2

A= E

d2√l2 + a2

⇒ N2 = EAul

l2 + a2





Voltando na equação de equilíbrio temos

EAul+ 2EA

(ul

l2 + a2

)l√

l2 + a2= P

o que após algumas simplificações resulta em

ul

1 + 2l3

(l2 + a2)32

= PEA

(1)

!Ao comparar a resposta não linear com a resposta linear da estrutura para pequenosdeslocamentos, podemos observar que o coeficiente angular da resposta linear é igualà derivada da curva carga-deslocamento não linear para u = 0.


Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2

Programa





Comparação entre P1 e P2

Modelos Estruturais

P1:ul + 2

(1 + u

l

) 1√1+( a

l )2− 1√

(1+ ul )

2+( a

l )2

= PEA

N1 = EA ul

N2 = EA√(l+u)2+a2−

√l2+a2

√l2+a2

P2:ul

(1 + 2l3

(l2+a2)32

)= P

EA

N1 = EA ul

N2 = EA ull2+a2





Modelos Discretos /Modelos Computacionais1 from pylab import*2 E=70e9 ; d=0.005 ; A=pi*d**2/4 ; l=1 ;a=13 u=linspace(0,0.5,100)4 # P1 - equilibrio na posição deformada5 def P1(u,E,A,l,a):6 cosphi=(l+u)/sqrt((l+u)**2+a**2)7 N1=E*A/l*u8 N2=E*A/sqrt(l**2+a**2) * (sqrt((l+u)**2+a**2)-sqrt(l**2+a**2))9 p=N1+2*N2*cosphi10 return(p)11 # P2 - simplificação do modelo12 def P2(u,E,A,l,a):13 cost=(l)/sqrt(l**2+a**2)14 N1=E*A/l*u15 N2=E*A/sqrt(l**2+a**2) * u*cost16 p=N1+2*N2*cost17 return(p)18 # Obtem as curvas19 y1 = P1(u,E,A,l,a); y2 = P2(u,E,A,l,a)20 # Gráficos para comparação21 plot(u/l, y1/(E*A), label=’P1’); plot(u/l, y2/(E*A), label=’P2’)22 legend(loc=0); grid()23 xlabel(’u/l’); ylabel(’P/EA’)24 show()





Comparação das relações força-deslocamento





Pontos para discussão

É possível obter a mesma solução do problema P2 (não linear) resolvendo umasequência de problemas do tipo P1 (linear)Por exemplo, considerando as cargas aplicadas em pequenos incrementos


Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos

Programa





Superposição de Efeitos

Considere uma estrutura onde atual n solicitações s1, s2, . . . , sn. Um efeito elásticoqualquer E, pode ser obtido pela superposição deste efeito calculado para cadasolicitação separadamente.

E(s1 + s2 + · · ·+ sn) = E(s1) + E(s2) + · · ·+ E(sn)





O princípio da superposição é válido desde que a estrutura tenha comportamentolinear, ou seja satisfaça:

O material deve se comportar segundo a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear)As deformações e os deslocamentos devem ser pequenos de forma que possa serconsiderada a posição indeformada como posição de equilíbrio

Se a estrutura não satisfaz a primeira condição acima, diz-se que ela apresentanão-linearidade física

Se a estrutura não satisfaz a segunda condição, diz-se que ela apresenta não-linearidade geométrica





Condições para o comportamento linear

Para se ter comportamento linear uma estrutura exige-se necessariamente o com-portamento linear do material (linearidade física), e linearidade geométrica daestrutura.Para a linearidade geométrica deve-se ter um arranjo adequado das barras e dosvínculos de forma que seja possível estabelecer as condições de equilíbrio estru-tural na posição inicial da estrutura indeformada.Para tanto a estrutura deve funcionar em regime de pequenos deslocamentos epequenas deformações.Não é possível uma estrutura apresentar comportamento linear se o material tivercomportamento não-linear, bem como não há possibilidade da estrutura apresen-tar comportamento linear se apresentar alguma não-linearidade geométrica.





Para estrutura abaixo, não se consegue o equilíbrio no ponto C sem considerar adeformação das barras AC e BC e os conseqüentes deslocamentosAssim, para formular o equilíbrio do nó C, é necessário levar em conta o ânguloα formado entre as barras na posição deformada e na posição inicialEsta estrutura apresenta comportamento não-linear para qualquer valor de P equalquer tipo de material

Abaixo apresenta-se uma estrutura derivada da estrutura acima, mas cuja dis-posição de barras e vínculos permite a ocorrência de linearidade geométrica





O princípio da superposição dos efeitos pode ser aplicado quando o comportamentoda estrutura é elástico-linear, isto é:

O material segue a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear)Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos (linearidadegeométrica)Não existe interação entre efeitos de força axial e momento fletor nas barras (lin-earidade geométrica)A disposição das barras e de vínculos é tal que se pode formular o equilíbrio naposição inicial da estrutura indeformada


Modelos Constitutivos – Comportamento do Material

Programa

3 Modelos Constitutivos – Comportamento do MaterialAnálise 1ª Ordem × Análise 2ª OrdemMaterial Elástico LinearMaterial Elástico Não-LinearMaterial Perfeitamente PlásticoRelação Ramberg-Osgood


Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem

Programa




Análise de Segunda Ordem∑Fx = 0⇒ N2 = N3∑Fy = 0⇒ N1 + 2N2 cosφ= P

Condições de Compatibilidade

cosφ=l + u√

(l + u)2 + a2

d1 = u;

d2 =√(l + u)2 + a2 −

√l2 + a2;

Análise de Primeira Ordem∑Fx = 0⇒ N2 = N3∑Fy = 0⇒ N1 + 2N2 cosθ = P

Condições de Compatibilidade

cosθ =l√

l2 + a2

d1 = u;

d2 = ucosθ = ul√

l2 + a2−1;

Equação Constitutiva

σ= Eε⇒NA= E

∆ll


Dados

E = 210GPa,σP = 420MPa;

A =πd2

4m2, d = 0.005m;

l = 1m, a = 1m;

Material Elástico Linear: σ= EεMaterial Elástico Não-Linear: σ= Eε1/2

Material Perfeitamente Plástico:σ= Eε se ε ≤ 0.002σ= σP

Relação Ramberg-Osgood:ε=

σ

E+ α

σP

E

(σ

σP

)m

ασP

E= 0.002,m = 5

Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Linear

Programa



Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Linear

Modelos Constitutivos – Comportamento do MaterialUm material pode comportar-se de diversas formas.

Utilizando um material elástico linear: σ= Eε ;Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)1

Dados!

1Contribuiram para essa seção os alunos Anna Claudia Resende, Joventino Campos e Weslley PereiraLeonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 35 / 51

Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear

Programa




Material Elástico Não-LinearO que muda no modelo?


σ= Eε1/2⇒NA= E

(∆ll

)1/2

Para a configuração deformada (P1):

N1 = EA(

d1

l

)1/2

⇒ N1 = EA(u

l

)1/2

N2 = EA(

d2

l

)1/2

⇒ N2 = EA

√(l + u)2 + a2 −

√l2 + a2√

l2 + a2

1/2





σ= Eε1/2⇒NA= E

(∆ll

)1/2


N1 = EA(

d1

l

)1/2

⇒ N1 = EA(u

l

)1/2

N2 = EA(

d2

l

)1/2

⇒ N2 = EA

√(l + u)2 + a2 −

√l2 + a2√

l2 + a2

1/2





σ= Eε1/2⇒NA= E

(∆ll

)1/2


N1 = EA(

d1

l

)1/2

⇒ N1 = EA(u

l

)1/2

N2 = EA(

d2

l

)1/2

⇒ N2 = EA

√(l + u)2 + a2 −

√l2 + a2√

l2 + a2

1/2



Material Elástico Não-LinearO que muda no modelo?Equação Constitutiva

σ= Eε1/2⇒NA= E

(∆ll

)1/2

Para a simplificação do modelo (P2):

N1 = EA(

d1

l

)1/2

⇒ N1 = EA(u

l

)1/2

N2 = EA(

d2

l

)1/2

⇒ N2 = EA

ucosθ√l2 + a2

1/2




σ= Eε1/2⇒NA= E

(∆ll

)1/2


N1 = EA(

d1

l

)1/2

⇒ N1 = EA(u

l

)1/2

N2 = EA(

d2

l

)1/2

⇒ N2 = EA

ucosθ√l2 + a2

1/2




σ= Eε1/2⇒NA= E

(∆ll

)1/2


N1 = EA(

d1

l

)1/2

⇒ N1 = EA(u

l

)1/2

N2 = EA(

d2

l

)1/2

⇒ N2 = EA

ucosθ√l2 + a2

1/2



Material Elástico Não-Linear

Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)

Dados!


Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico

Programa




Material Perfeitamente PlásticoO que muda no modelo?


σ=

Eε se ε 6 0.002σP se ε > 0.002

Para facilitar os cálculos escreverei as deformações ε em função de θ e de ε11 2

(deformação na barra 1). Para os dois modelos a deformação na barra 1 é dada por:

ε11 =d1

l=

ul

2εi j: deformação na barra i do problema P jLeonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 39 / 51




σ=

Eε se ε 6 0.002σP se ε > 0.002

Já para a barra 2, a deformação no caso (P1) é dada por3 :

ε21 =

√(l + u)2 + a2 −

√l2 + a2√

l2 + a2=

√(l + u)2 + a2

l2 + a2 − 1 =

√(1 + u

l )2 + ( a

l )2

1 + ( al )

2 − 1

⇒ ε21 =

√(1 + ε11)2 + tan2 θ

1 + tan2 θ− 1 =

√(1 + ε11)2 + tan2 θ

secθ− 1





σ=

Eε se ε 6 0.002σP se ε > 0.002

No caso (P2), temos4:

ε22 =ucosθ√l2 + a2

=ucosθ

l√

1 + ( al )

2=

ucosθ

l√

1 + tan2 θ=

ucosθlsecθ

=ul

cos2 θ

⇒ ε22 = ε11 cos2 θ





σ=

Eε se ε 6 0.002σP se ε > 0.002

Para o caso (P1), as equações de equilíbrio ficam:

N1 + 2N2 cosφ= P⇒ Aσ(ε11) + 2Aσ(ε21)l + u√

(l + u)2 + a2= P

⇒PA= σ(ε11) + 2σ(ε21)

1 + ul√

(1 + ul )

2 + ( al )

2

⇒P

EA=

1E

σ(ε11) + 2σ(ε21)1 + ε11√

(1 + ε11)2 + tan2 θ





σ=

Eε se ε 6 0.002σP se ε > 0.002

Para o caso (P2), as equações de equilíbrio ficam:

N1 + 2N2 cosθ = P⇒ Aσ(ε11) + 2Aσ(ε22)cosθ = P

⇒P

EA=

1E

(σ(ε11) + 2σ(ε22)cosθ

)



Material Perfeitamente Plástico


Dados!





Dados!





Dados!





Dados!


Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood

Programa




Relação Ramberg-OsgoodEquação Constitutiva

ε=σ

E+ α

σP

E

(σ

σP

)m

⇒∆ll=σ

E+ α

σP

E

(σ

σP

)m

Como σ está implícito, é necessário um método iterativo para descobrir seu valor.Para a simulação foi utilizada a função fsolve() do pacote scipy 5

Parâmetros: ε=

σ

E+ α

σP

E

(σ

σP

)m

ασP

E= 0.002,m = 5

5http://www.scipy.org/Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 48 / 51

http://www.scipy.org/


Relação Ramberg-Osgood

Para a configuração deformada (P1) a:aresolvem-se as equações implicitamente para σ

d1

l⇒

ul=σ

E+ α

σP

E

(σ

σP

)m

⇒ N1 = Aσ

d2

l⇒

√(l + u)2 + a2 −

√l2 + a2√

l2 + a2=σ

E+ α

σP

E

(σ

σP

)m

⇒ N2 = Aσ

Para a configuração deformada (P2) a:aresolvem-se as equações implicitamente para σ

d1

l⇒

ul=σ

E+ α

σP

E

(σ

σP

)m

⇒ N1 = Aσ

d2

l⇒

ucosθ√l2 + a2

=σ

E+ α

σP

E

(σ

σP

)m

⇒ N2 = Aσ





Dados!





Pontos para discussão

No problema P2, considere o caso onde há variação de temperaturaA variação de temperatura implica em modificações (expansão/contração) naestruturaIsso pode influenciar os resultados? a

aModelagem termo-mecânica


Education

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