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Revista PIBIC, v. 2, p. 133-141, 2005
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MATEMÁTICANíveis de conhecimento esperados dosestudantes: análise dos três níveis deconhecimento esperados dos estudantes emanálise combinatória e cálculo deprobabilidades
Kelly Mitie KamiyaPesquisador
Marlene Alves DiasOrientador
Resumo
Neste trabalho apresentaremos de forma sucinta o quadro teórico de nossa pesquisa sobre os três níveis de conhecimento
esperados dos estudantes segundo a definição de Aline Robert. Em seguida, apresentaremos a metodologia da pesquisa,
assim como a grade de análise construída para avaliar como são tratados estes três níveis de conhecimento em um curso
introdutório de análise combinatória e cálculo de probabilidades. Finalmente, apresentaremos exemplos sobre a análise
dos livros didáticos e algumas conclusões globais que pudemos retirar deste trabalho.
Palavras-chave: Níveis de conhecimento. Análise combinatória. Probabilidade. Ensino. Aprendizagem.
Abstract
First, we will present in a brief way the theoretical picture of our research on students expected knowledge levels according
to Aline Robert’s definition. Then, we will present the research methodology, as well as a built analysis grating to evaluate
how these three knowledge levels are trated in an introductory course of combinatory analysis and probabilities calculation.
Finally, we will present examples on the analysis of the text books and some global conclusions.
Key-words: Knowledge levels. Combinatory analysis. Probability. Teaching. Learning.
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Kelly Mitie Kamiya
1 Introdução
Neste trabalho apresentamos de forma sucinta nossa
análise sobre os três níveis de conhecimento esperados
dos estudantes em análise combinatória e probabilidade.
Iniciamos com o seguinte questionamento:
1) Quais os questi onamentos matemáticos
necessários em análise combinatória e probabilidade e
como eles aparecem na história?
2) Sobre que níveis de conhecimento fundamentar
estas necessidades: técnicos, mobilizáveis e disponíveis
(segundo A. Robert)?
3) Em que sistema de tarefas e práticas podemos
desenvolver estes três níveis de conhecimento?
4) Como estão sendo trabalhados institucionalmente
estes diferentes níveis de conhecimento?
Para abordar as questões acima fizemos um estudo
de alguns trabalhos didáticos e epistemológicos nos
quais os três níveis de conhecimento têm um papel
central.
Analisamos ainda o funcionamento institucional dos
três níveis de conhecimento em análise combinatória e
probabilidade conforme definição proposta por A.
Robert (ROBERT, 1997).
Esta análise institucional foi feita através da pesquisa
de um conjunto de livros didáticos e sites com proposta
para o ensino médio e superior.
A partir dos dados recolhidos, identificamos um
conjunto de tarefas e práticas que permitem ao estudante
trabalhar de forma autônoma em qualquer um dos três
níveis.
2 Quadro teórico da pesquisa
Nos apoiamos principalmente no seguinte:
* Nas abordagens teóricas de A. Robert (1997), R. Douady
(1992), R. Duval (1995), J. Robinet (1984), M. Rogalski
(1995).
* Nas diferentes pesquisas em probabilidade e estatística,
em particular, nos trabalhos de Henry M. e Rousset-
Bert S. (1996) e Pichard J. F. (1997).
2.1 Os três níveis de conhecimento esperados dos
estudantes
A abordagem teórica dos três níveis de conhecimento
esperados dos estudantes será fundamentada na definição
de A. Robert, a saber:
O nível técnico corresponde a um trabalho isolado,
local e concreto. Está relacionado principalmente às
ferramentas e definições utilizadas em uma determinada
tarefa.
Exemplo:
Usando o diagrama da árvore, obter todos os
arranjos dos elementos de M={ a,b,c,d} tomados dois a
dois. (HAZZAN, 1985).
O nível mobilizável corresponde a um início de
justaposição de saberes de um certo domínio, podendo
até corresponder a uma organização, vários métodos
podem ser mobilizados. O caráter ferramenta e objeto
do conceito estão em jogo, mas o que se questiona é
explicitamente pedido. Se um saber é identificado, ele é
considerado mobilizado se ele é acessível, isto é, se o
estudante o utiliza corretamente.
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Níveis de conhecimento esperados dos estudantes: análisedos três níveis de conhecimento esperados dos estudantesem análise combinatória e cálculo de probabilidades
Exemplo:
Lançamos dois dados honestos, um vermelho e um azul.
Determine:
a) O universo desta prova.
b) Descreva o evento A: “Nos dois dados saem os
mesmos números”. E calcule a sua probabilidade.
O nível disponível corresponde a saber responder
corretamente o que é proposto sem indicações de poder,
por exemplo, dar contra-exemplos (encontrar ou criar),
mudar de quadro (fazer relações), aplicar métodos não
previstos.
Este nível de conhecimento está associado à
famil iaridade, ao conhecimento de situações de
referência variadas que o estudante sabe que as conhece
(servem de terreno de experimentação), ao fato de dispor
de referências, de questionamentos, de uma organização.
Podendo funcionar para um único problema ou
possibilitando fazer resumos.
Exemplo:
* Sobre um quadriculado, consideramos os dois pontos
O (0,0) e A (n,m). Enumerar trajetórias (caminhos) de O
até A. (XUONG, 1992)
3 Metodologias da pesquisa
Nesta pesquisa cruzamos as abordagens
seguintes:
1) Uma análise preliminar das diferentes tarefas que
intervêm num curso de análise combinatória e
probabilidade e os diferentes níveis de conhecimento
em jogo nestas tarefas. Com base nesta análise,
estudamos o funcionamento institucional, relacionado
à articulação dos três níveis de conhecimento (técnico,
disponível e mobilizável).
2) Uma análise da forma como estes três níveis são
gerados institucionalmente, através da pesquisa de livros
didáticos e sites. Observamos as regularidades e
diferenças existentes entre os autores e entre alguns
livros e sites de nível médio e superior.
4 A grade de análise
O propósito desta grade é de servir como um
instrumento que permita analisar os diferentes níveis
de conhecimento exigido dos estudantes num curso de
introdução de análise combinatória e cálculo de
probabilidade para o ensino médio e superior.
Esta grade permite analisar os três níveis de
conhecimento (técnico, mobil izável e disponível)
exigido dos estudantes:
· Em função das noções de análise combinatória e cálculo
de probabilidade em jogo, em um curso de introdução;
· Em função das tarefas encontradas neste nível;
· Em função das variáveis destas tarefas, daremos ênfase
ao nível de conhecimento pedido explicitamente no
enunciado e os diferentes níveis de conhecimento de
outras noções que devem ser utilizados para a solução
da tarefa;
· Em relação às noções de análise combinatória,
agrupamos em quatro classes:
a noção de Princípio Fundamental da Contagem
a noção de Permutação com e sem repetição
a noção de arranjo com e sem repetição
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a noção de combinação com e sem repetição;
· Em relação às noções de cálculo de
probabilidade, agrupamos em cinco classes:
a noção de probabilidade e suas propriedades
a noção de variáveis aleatórias discretas
a noção de lei (distribuição ou modelo) discreta
e suas propriedades
a noção de variáveis aleatórias contínuas
a noção de lei(distribuição ou modelo) contínua
e suas propriedades.
Para cada uma destas noções, “evidenciamos” as
diferentes tarefas usualmente encontradas num curso
de introdução e quais diferentes níveis de conhecimento
são exigidos dos estudantes. Para especificar a tarefa
em relação aos diferentes níveis de conhecimento
exigidos, consideramos as variáveis das tarefas definidas
abaixo:
O nível de conhecimento pedido na tarefa;
Os regi stros e representações dadas no
enunciado;
O quadro em que a tarefa é enunciada;
Os tipos de representação exigidos na solução
da tarefa;
Os níveis de conhecimento necessários para a
execução da tarefa em relação às noções que serão
utilizadas.
4.1 Exemplo de funcionamento da grade em uma
tarefa
· Determinar o número de permutações com repetição
de n elementos.
Exemplo: Sobre um quadriculado, consideramos os
pontos O (0,0) e A (n,m). Enumerar as trajetórias
(caminhos) de O até A. (XUONG, 1992).
Nesta tarefa particular, as variáveis são as seguintes:
* Nível de conhecimento exigido na tarefa: disponível;
* Registros de representação dados no enunciado:
registro de representação simbólica intrínseca;
* Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro da análise
combinatória;
* Tipos de representação exigidos na solução da tarefa:
passagem ao registro gráfico que permite verificar a
necessidade de n caminhos horizontais e m verticais;
* Níveis de conhecimento necessários para a execução
da tarefa em relação às noções que serão utilizadas:
para a solução desta tarefa todas as noções que serão
utilizadas não são indicadas no problema, logo dependem
da familiaridade e do conhecimento de situações de
referência exigindo, desta forma, o nível disponível para
a sua solução.
5 A análise dos livros didáticos
Nossa análise foi estruturada em torno das seguintes
questões:
* Como são introduzidas as diferentes noções e como
elas se articulam?
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* Que pesos respectivos ocupam os níveis: técnico,
disponível e mobilizável nas tarefas propostas aos
estudantes?
* Existe um discurso do tipo metamatemático no curso
e no tratamento dos exemplos que o acompanham que
auxilie os estudantes no desenvolvimento dos níveis
mobilizável e disponível?
5.1 Exemplos de análise dos livros didáticos
A) Análise da obra de S. Hazzan
O organograma seguinte mostra a progressão do
curso de S. Hazzan, concebido como um curso
introdutório de análise combinatória e cálculo de
probabilidades, para ser utilizado no ensino médio.
Comentários e análise:
O autor inicia seu trabalho no quadro da análise
combinatória com a noção de Princípio Fundamental
da Contagem. Ele desenvolve esta noção utilizando o
diagrama da árvore. Após esta introdução, o autor define
arranjo com e sem repetição, permutação com e sem
repetição, e introduz a noção de fatorial que permite
simplificar a notação utilizada.
O autor trata somente o caso da combinação sem
repetição e os exemplos dados, assim como os exercícios
propostos em todo o curso, estão sempre em uma ordem
que só exige dos estudantes a aplicação direta de uma
definição, isto é, os exemplos e os exercícios são tratados
em um nível técnico sendo os níveis mobilizável e
disponível associados a outras noções que estão em jogo
na tarefa proposta como mostra o exemplo abaixo:
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Por outro lado cada função vai ser definida por uma
n’upla de imagens, onde todos os elementos da n’upla
devem ser distintos, pois a função é injetora.
Por exemplo, uma das funções é definida pela n’upla
de imagens.
Outra função é definida pela n’upla
Logo, o número de funções é o número de arranjos
dos r elementos de B, tomados n a n, isto é,
)!(!rn
rArn . (HAZZAN, 1977).
O autor propõe como aplicações o binômio de
Newton, o triângulo de Pascal e uma série de exercícios
que exigem no máximo o nível mobilizável, mesmo
assim em relação a noções estudadas anteriormente.
Da mesma forma, o autor faz uma introdução ao
cálculo de probabilidades apresentando as definições e
os principais teoremas e propriedades que são
demonstrados utilizando os conceitos de teoria dos
conjuntos. Como observado acima, o exemplo e a tarefa
proposta exigem, no máximo, o nível mobilizável e
mesmo assim relativo às noções anteriormente estudadas.
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Na realidade, trata-se de um curso introdutório para
os estudantes do ensino médio de análise combinatória
e cálculo de probabilidades.
B) Análise da obra de Magalhães M. N. e Pedroso
Lima A . C.
O organograma mostra a progressão do curso de
Magalhães e Lima, concebido como um curso
introdutório de Probabilidade e Estatística, podendo ser
utilizado por diferentes públicos científicos.
Comentários e análise:
Os autores iniciam com um capítulo de introdução à
análise exploratória dos dados no qual procuram dar
uma idéia geral do que é estatística e como se organizam
os dados com ou sem o uso do computador.
Em seguida, os autores fazem uma breve introdução
da álgebra dos eventos e definem espaço amostral. A
relação entre álgebra dos eventos e álgebra dos conjuntos
é feita implicitamente, portanto, fica a cargo dos
estudantes dispor dos conhecimentos em álgebra dos
conjuntos e associá-los à álgebra dos eventos.
Os autores definem probabilidade e utilizam também
implicitamente as propriedades dos conjuntos para o
caso do cálculo de probabilidades, o que lhes permite
def i ni r probabi l idade condicional e eventos
independentes.
Para tratar os exemplos, os autores utilizam a árvore
de probabilidade, o diagrama de Venn e um discurso
metamatemático que podemos caracterizar como em um
nível disponível porque, neste momento, os autores
justificam as diferentes passagens utilizando definições
e teoremas que não são pedidos no enunciado. O exemplo
abaixo permite compreender melhor a necessidade deste
apelo ao nível disponível.
Exemplo: Suponha que um fabricante de sorvetes
recebe 20% de todo o leite que utiliza da fazenda F1,
30% de uma outra fazenda F2 e 50% de F3. Um órgão de
fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e
observou que 20% do leite produzido por F1 estava
adulterado por adição de água, enquanto que para F2 e
F3 essa proporção era de 5% e 4%, respectivamente. Na
indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados
em um refrigerador sem identificação das fazendas. Para
um galão escolhido ao acaso, vamos analisar o leite e
decidir sobre sua adulteração ou não.
Se denotamos por A o evento “o leite está
adulterado”, temos que P(A | F1) = 0,20, P(A | F2) = 0,05
e P(A | F3) = 0,02. Além disso, F1, F2 e F3 formam uma
partição do espaço amostral, pois uma dada amostra de
leite vem, necessariamente, de uma e apenas uma das
três fazendas. Desta forma, o evento A pode ser escrito
em termos de interseções de A com os eventos F1, F2 e
F3, conforme ilustra a figura a seguir:
Podemos ainda estar interessados em saber qual a
probabilidade de que a amostra adulterada tenha sido
obtida do leite fornecido pela fazenda F1, isto é, P(F1 |
A), o que implica em se inverter a probabilidade
conhecida P(A | F1). (MAGALHÃES; LIMA, p. 46 e 47).
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Da mesma forma, os autores prosseguem definindo
as variáveis aleatórias contínuas e os modelos usuais a
elas associados. Para esses modelos, os exemplos dados
são sempre acompanhados de um discurso
metamatemático que se desenvolve em um nível
mobilizável e disponível em relação às noções em jogo,
assim como em relação aos diferentes registros de
representações utilizados e às mudanças de quadro e
pontos de vista que se mostram necessários para o
desenvolvimento das tarefas apresentadas.
As tarefas propostas também exigem os níveis
mobilizável e disponível e assim como os exercícios
resolvidos, em geral, tratam de questões nas quais a
modelagem matemática assume um papel fundamental.
Nos exemplos dos livros considerados acima, fica
evidente a importância dos níveis mobil izável e
disponível tanto para a análise combinatória quanto
para o cálculo de probabilidades. Nos dois casos, os
exemplos e exercícios tratados estão sempre associados
a uma descrição da realidade exigindo um trabalho ainda
mais complexo que é o da solução de uma tarefa que
faz apelo a um modelo matemático.
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Uma breve conclusão
A avaliação do funcionamento institucional através
dos livros didáticos de diferentes níveis do Brasil e da
França deixa evidente que a análise combinatória não é
considerada, de um ponto de vista mais generalizado,
nos livros brasileiros como nos livros franceses, onde
essas noções são retomadas no superior. Dessa forma,
podemos supor que esta escolha poderá conduzir a
dificuldades no tratamento de problemas onde os níveis
mobilizável e disponível sejam necessários.
O estudo do panorama matemático de análise
combinatória quando considerado de um ponto de vista
mais avançado do que o tratado no ensino médio, mostra-
se de grande interesse para as articulações de quadro,
registro e pontos de vista que permitem o acesso aos
três níveis de conhecimento (técnico, mobilizável e
disponível). Essas articulações são essenciais para o
tratamento de tarefas que ultrapassem uma abordagem
que se restringe ao nível técnico de aplicação da análise
combinatória.
Em relação ao cálculo de probabilidades, a avaliação
do funcionamento institucional tende a mostrar que os
diferentes livros didáticos propõem abordagens mais
ou menos profundas. A abordagem do assunto, com
menos profundidade, poderá di f icul tar o
desenvolvimento do nível disponível, essencial para o
trabalho com os diferentes modelos. Portanto, o
desempenho futuro nesse conteúdo depende da escolha
bibliográfica feita.
A análise das tarefas, tanto de análise combinatória
quanto de cálculo de probabilidades, permite identificar
uma forte tendência dos níveis mobilizável e disponível
e, portanto, uma necessidade de articulação entre
quadros, registros e pontos de vista fica cada vez mais
evidente. Neste caso, verifica-se uma forte integração
entre diferentes conteúdos e disciplinas.
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