LONDRINA

2008

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

O COMPUTADOR

E A DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

Área : Matemática.

Professor PDE: Nivaldo Bortolotti.

Professora Orientadora IES: Luciana Gastaldi Sardinha Souza.

1

ÍNDICE

• Introdução 02

• Objetivos 04

• Fundamentação Teórica 05

• Encaminhamento Metodológico 08

• Apresentação de Softwares Matemáticos:

• Geométricos 09

• Gráficos 12

• Algébricos 14

• Recreativos 15

• Endereços de diversos sites matemáticos 17

• Tutorial do Grafequation – Comandos Básicos 20

• Exemplos de construções no Grafequation 21

• Construção da bandeira do Brasil 41

• Tutorial do Geogebra – Comandos Básicos 47

• Detalhamento dos ícones do Geogebra 50

• Trabalho com as funções no Geogebra 60

• Restrição de domínio 64

• Função composta 65

• Transladando funções 67

2

INTRODUÇÃO

Quando falamos em educação, não podemos esquecer-nos

das tecnologias no processo de ensino-aprendizagem, porém o

que temos observado é que na prática escolar, na maioria das

áreas, raramente são utilizadas estas ferramentas, o que

tornariam o ensino mais dinâmico e condizente com o cotidiano.

Para Valente (1993), apud Marqueze (2004):

“Os computadores, através das influências americana e

francesa começaram a timidamente, fazer parte das nossas escolas,

no começo da década de 1980. Hoje, graças aos benefícios que eles

podem proporcionar nesta área, é difícil encontrar uma escola onde

ele não esteja, embora, muitas vezes só de “enfeite””.

Verifiquei, através de pesquisa, com diversos professores de

matemática, se utilizam ou não recursos tecnológicos, por que não

o fazem? Ou se fazem, como e para quê os utilizam e quais as

dificuldades que enfrentam em relação ao seu uso.

Considerando-se que a educação deve ser desenvolvida de

forma prazerosa, com o conhecimento sendo construído por

intermédio de questionamentos, de modo que se obtenham

respostas como resultado do desenvolvimento do raciocínio e da

pesquisa e, com a intenção de evitar a simples memorização de

definições, conceitos e regras sem compreensão dos conteúdos

da Matemática, o que se propõe é uma nova abordagem desses

conteúdos, através do uso do computador.

3

Para efetivação dessa proposta existe a necessidade dos

professores conhecerem diversos softwares matemáticos que

possibilitem a melhor qualidade na produção de materiais

didáticos e na elaboração de avaliações, bem como a produção de

slides de apresentações para utilização na TV Pen Drive (entregue

às escolas pelo governo do estado do Paraná), organização de

relatórios e outras atividades. Partindo dessa análise é que

elaborei um material com estratégias para que possam contribuir

na melhoria do uso das TIC`s (Tecnologias da Informação e da

Comunicação) em sala de aula.

Este trabalho será desenvolvido inicial e experimentalmente

com professores de Matemática da rede pública da Escola

Estadual Dr. Waldemiro Pedroso – EF e do Colégio Estadual Dr.

Nilson Ribas - EM, ambos de Jaguapitã, que serão convidados a

participar de reuniões periódicas, obedecendo a um cronograma a

ser definido após a distribuição das aulas do ano de 2008, para

explanação, análise, possíveis alterações e aplicações com os

alunos, também estarão participando do seu desenvolvimento,

professores da rede pública inscritos no curso inscritos no curso

oferecido pelo governo do estado do Paraná e desenvolvido no

ambiente MOODLE.

A proposta é elaborar um material didático que possibilite ao

professor, leigo ou não, utilizar o computador como instrumento de

apoio para o ensino de matemática, por meio de diferentes

softwares de matemática.

4

OBJETIVOS

• Auxiliar o professor a criar imagens em ambiente gráfico

computacional.

• Sugerir alguns programas de softwares didáticos específicos

para a matemática.

• Elaborar um pequeno tutorial sobre o programa Grafequation

e o Geogebra como ferramentas de produção e

representação de gráficos de funções ou de desenhos de

Geometria, que permitam a investigação de suas

potencialidades e limitações gráficas.

• Indicar sites que ofereçam softwares matemáticos para

trabalho com alunos.

5

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O ensino da matemática fica enriquecido com a utilização de

imagens dinâmicas sempre que oportuno. Os meios

computacionais podem servir como ferramentas essenciais para a

aprendizagem ou pesquisa de conceitos matemáticos.

Muito embora o computador esteja chegando à sala de aula,

nota-se muita rejeição na sua utilização por parte dos educadores,

alguns por medo de serem substituídos, pois acreditam ser o

computador um transmissor de conhecimento, outros por

acreditarem que o computador deva ser introduzido como

disciplina curricular.

Contudo o que se tem observado é que:

“O computador está provocando uma verdadeira

revolução no processo ensino-aprendizagem. O advento do

computador na educação provocou o questionamento dos

métodos e da prática educacional... O computador deve ser

utilizado como um canalizador de uma mudança do paradigma

educacional. Um novo paradigma que promove a educação ao

invés do ensino, que coloca o controle do processo de

aprendizagem nas mãos do aprendiz, e que auxilia o professor a

entender que a educação não é somente a transferência de

conhecimento, mas um processo de construção de

conhecimento pelo aluno, como produto de seu engajamento

intelectual” (Valente).

Nesse contexto:

6

“Os ambientes informatizados apresentam-se como

ferramentas de grande potencial frente aos obstáculos inerentes ao

processo de aprendizagem. É a possibilidade de ‘mudar os limites

entre o concreto e o formal’ (Papert, 1988). Ou ainda segundo

Hebenstreint (1987): ‘O computador permite criar um novo tipo de

objeto – os objetos concreto-abstratos’. Concretos porque existem na

tela do computador e podem ser manipulados; e abstratos por se

tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais.”

(Gravína).

Segundo Papert faz-se necessária uma abordagem pela

qual o aprendiz constrói, por meio do computador, o seu próprio

conhecimento, por meio do fazer, e melhor, do fazer algo de seu

interesse. O professor, agindo como mediador, tem que entender

as idéias do aluno e tem que intervir apropriadamente na situação

de modo efetivo e contribuir para que o aluno compreenda o

problema em questão, diferente do pensamento construtivista

(Piaget), onde o experimentador não tinha por objetivo prover ou

facilitar a aprendizagem.

Ainda de acordo com essa abordagem o mediador deve agir

dentro da ZDP (Zona de Desenvolvimento Proximal), que é

definida por Vigotsky como sendo:

“... a distância entre o nível de desenvolvimento atual,

determinado pela resolução de problema independente e o nível de

desenvolvimento potencial determinado através da resolução de

problema sob auxílio do adulto ou em colaboração com colegas mais

capazes” (Vigotsky, 1978, p. 86).

7

O aprendizado que acontece no Ambiente Logo¹,

implementa a filosofia construcionista², que é a fundamentação

deste trabalho.

¹ CONSTRUCIONISMO: Teoria que tem como base o

construtivismo, e foi proposta por Seymour Papert, e diz respeito à construção

do conhecimento baseado na realização de uma ação concreta que resulta em

um produto palpável. (www.Wikipédia, 2007)

² AMBIENTE LOGO: Uma linguagem de programação

interpretada, voltada principalmente para crianças e para aprendizes em

programação, sendo que o ambiente logo tradicional envolve uma tartaruga

gráfica , que é um “robô” pronto para responder aos comandos do usuário

(www.Wikipédia, 2007).

8

ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

Inicialmente estudaremos a fundamentação teórica, com a

leitura e análise de textos, que nos dará base para a discussão da

viabilidade ou não deste Material Pedagógico. A seguir serão

apresentados aos professores participantes diferentes softwares

matemáticos para que possam conhecê-los decidindo assim sobre

a sua utilização ou não.

Apresentados os softwares matemáticos, estudaremos

especificamente os softwares Grafequation e Geogebra. Por fim

será feita uma avaliação do Material Pedagógico.

9

APRESENTAÇÃO DE SOFTWARES MATEMÁTICOS

GEOMÉTRICOS

CABRI-GEOMETRY - Software de

construção em geometria desenvolvido

pelo Institut d'Informatiqe et de

Mathematiques Appliquees em Grenoble

(IMAG). É um software de construção que

nos oferece “régua e compasso eletrônicos”.

CINDERELLA : - Software de construção em geometria

desenvolvido por Jürgen Richter-Gebert &

Ulrich Kortenkamp comercializado por

Sun Microsystems, Inc. É um software de

construção que nos oferece “régua e

compasso eletrônicos”, semelhante ao

Cabri e Sketchpad.

EUKLID : - software livre por seis

meses, de construções geométricas com

régua e compasso e geometria dinâmica.

Semelhante ao Cabri e ao Sketchpad.

10

GEOMETRIA DESCRITIVA: software

livre de construção em geometria

descritiva, que trabalha em um sistema

projetivo; em 3D. Produzido por V.Teodoro

e F.Clérigo, da Universidade Nova de

Lisboa.

GEOPLAN : software de construção

em geometria que trabalha os conceitos

analíticos da geometria em um sistema de

coordenadas cartesianas. Desenvolvido

pelo Centre de Recherche et

d'Expérimentation pour l'Ensignement des

Mathématiques (CREEM).

GEOSPACE: Software de

construção e exploração em geometria

que trabalha os conceitos espaciais.

Desenvolvido pelo Centre de Recherche et

d'Expérimentation pour l'Ensignement des

Mathématiques (CREEM).

11

POLY: Software livre que permite a

investigação de sólidos

tridimensionalmente (com possibilidade de

movimento), dimensionalmente

(planificação) e de vista topológica, É uma

criação Pedagoguery Software.

SHAPARI : É uma criação da Spelunk

Computing para exploração lúdica de

fractais. Tem uma interface interessante,

podendo-se produzir figuras de grande

apelo estético e artístico.

WINGEOM: Software livre que permite

construções geométricas bidimensionais e

tridimensionais.

12

GRÁFICOS

CURVEEXPERT: Software livre que

ajusta curvas a um conjunto de pontos no

plano via modelos de regressão-linear e

não-linear e de diferentes interpolações.

GRAPHEQUATION : Software livre

que faz gráficos de regiões e curvas no

plano que verifiquem inequações. Permite

utilizar coordenadas cartesianas ou

polares. Têm a possibilidade de plotar

várias funções ao mesmo tempo,

possibilitando a sua comparação.

RATOS: Software livre produzido por

Teodoro e F.Clérigo, da Universidade

Nova de Lisboa, que simula movimentos

retilíneos ou em curva, que são registrados

graficamente, como aceleração e

velocidade em função do tempo.

13

VRUM-VRUM: Software livre

produzido por V.Teodoro e F.Clérigo, da

Universidade Nova de Lisboa, que

possibilita que se trabalhe o entendimento

gráfico de deslocamento e velocidade no tempo.

WINPLOT: Software livre que permite

a construção de gráficos a partir de

funções elementares. Possibilita que se

construa gráficos em duas e três

dimensões e ainda que se trabalhe com

operações de funções.

14

ALGÉBRICOS

WINMAT: Software livre que permite

que se construam matrizes e se opere com

elas. Calcula a inversa, transposta,

determinante e encontra inclusive o

polinômio característico da matriz.

EXCEL - é um programa de planilha eletrônica escrito e

produzido pela Microsoft. Seus recursos incluem uma interface

intuitiva e capacitadas ferramentas de cálculo e de construção de

gráficos

15

RECREATIVOS

OOG – OBJECT ORIENTATION GAME :

Software que a partir da manipulação de

peças de tangrans, pentaminós,

hexágonos e poligominós, permite que se

construa uma grande variedade de figuras.

As peças podem ser rotadas, refletidas e

transladadas.

POLYTRIS: jogo tetris, permite o

encaixe de peças geométricas. As peças

podem ser giradas e transladadas. O

objetivo é completar linhas.

TANGRAM Software livre que permite

que se construa uma grande variedade de

figuras a partir das sete peças do tangram. As

peças podem ser rotadas, refletidas, giradas,

transladadas, etc.

16

TESS: Software livre que permite que

se crie ilustrações a partir de princípios de

rotação, reflexão e translação.

TORRE DE HANOI Jogo de origem

asiática, que permite que o jogador

desenvolva o raciocínio e crie estratégias

para resolver problemas.

WINARC Software livre que possui

uma variedade de jogos entre eles, resta

um, labirinto fantasma, hex, cubo mágico,

etc.

17

SITES MATEMÁTICOS INTERESSANTES

http://www.somatematica.com.br

http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/apres.htm

http://br.geocities.com/matematicafacil2004/softwares.htm

http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/apres.htm

http://mathematikos.psico.ufrgs.br/im/mat01074072/vitale.html

http://www.reniza.com/matematica/

http://www.terravista.pt/portosanto/1789/

http://www.terra.com.br/matematica/

http://www.matematica.com.br

http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/index.html

http://www.sercomtel.com.br/matematica/

http://www.sbm.org.br/index.html

http://www.ime.unicamp.br/pos_graduacao.html

http://www.dcce.ibilce.unesp.br/sbmacXI/pos.html

http://www.ime.usp.br/pos

http://mathematikos.psico.ufrgs.br/

http://www.pucsp.br/~logica/

http://www.impa.br

http://www.obm.org.br/

http://sites.uol.com.br/vieira_l/capa1.html

http://www.magiadamatematica.com/

18

http://www.zmais.com/

http://www.matfin.net

http://www.profcardy.com/index.php?&width=1024

http://www.calculando.com.br/

http://www.exatas.mat.br/

http://www.ginasiomental.com/

http://matematica.com.br/

http://buscador.terra.com.br/Default.aspx?ca=l&palabra=matemati

ca&query=matematica&source=Search

http://portalmatematico.com/inicial.shtml

http://www.sorobanbrasil.com.br/

http://searchportal.information.com/index.mas?epl=00910020VFA

XVE0DWlgVVRBeVwMAFQRMD0MTWkdcDlNTHlxbXARcWgxZV

AAORxRABxFVBBJWDFUSXgBUGQIOWBNZZ11VWAMDWww

http://www.zmais.com/

http://www.matematica.pr.gov.br

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br

http://www.ibge.gov.br

http://terravista.pt/portosanto/1789/cumat.htm>

www.cabri.com.br

www.fafica.br

www.editora.unesp.br

http://www.prof2000.pt/users/pjca/jogos.html

19

http://mat.absolutamente.net/r_soft.html

http://sudoku.hex.com.br/

http://rachacuca.com.br/

www.profcardy.com

www.vivenciapedagógica.com.br

www.lokaliza.com.br

www.ufv.br

www.maistemática.com

www.calculando.com.br/

www.ojogos.com.br

www.papajogos.com.br

www.novaescola.org.br

www.mundojovem.com.br

20

TUTORIAL DO GRAFEQUATION

COMANDO BÁSICOS

Escolhido entre os softwares de estudo de funções e

geometria analítica para a realização deste plano, por permitir uma

interação com a arte, o Grafequation foi criado por Jeff Turner, do

Departamento de Ciências da Computação na Universidade de

Toronto e permite a criação de gráficos de relações e funções por

meio de suas expressões matemáticas; permitindo assim, que

alunos e professores explorem e experimentem a matemática, de

uma maneira simples, em todos os níveis de estudo.

Este software e diversos outros podem ser obtidos

gratuitamente no endereço:

http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_funcoes.php

21

COMANDOS BÁSICOS

Para iniciarmos o trabalho com o Grafequation é necessário que

aprendamos alguns conceitos básicos do programa e de

matemática. Sendo assim vamos resolver alguns exercícios:

Ao abrir o programa uma janela se abrirá, digite nela a

função ou inequação desejada.

Terminada a digitação, pressione ENTER, uma nova janela

se abrirá clique em CREATE e observe.

22

Você poderá também antes de criar o gráfico (CREATE),

modificar os limites dos eixos x e y.

Poderá também alterar de coordenadas cartesianas para

coordenadas polares.

23

Para inserir mais que uma função, no mesmo gráfico, você

deverá clicar na barra de ferramentas GRAPH, NEW RELATION

(Ctrl + R), e repetir o procedimento anterior.

24

Para limitar a função você deverá digitar a função, por

exemplo, y=x, e pressionar a tecla TAB, digite o intervalo

desejado, por exemplo -2<=x<=3, pressione ENTER, observe que

no gráfico aparecerá apenas um segmento da reta y=x.

25

Digite a equação y=x², pressione a tecla TAB, digite o

intervalo desejado, por exemplo [-2,3] e pressionando ENTER,

você poderá observar que a parábola estará limitada no intervalo

de [-2,3].

Na mesma janela clicando em ACTIVE, você poderá

esconder/aparecer a linha ou região gráfica.

26

Clicando no quadrado COLOUR, uma nova janela surgirá

com diversas cores que poderão ser escolhidas para o seu

gráfico.

Logo ao lado clicando em FONT SIZE, você poderá

aumentar/diminuir o tamanho da fonte de sua relação.

27

Clicando na barra que delimita a janela do gráfico, aparecerá

a janela VIEW TOOLS, com vários comandos:

Cancelando a seleção em COLOURS, você não poderá

trabalhar com as cores em seu gráfico, podendo padronizá-lo

utilizando as cores pretas e brancas.

28

Selecionando COLOURS novamente, você poderá colori-lo.

Clicando em BACKGRAUND, você poderá mudar a cor da

região gráfica.

Clicando em TICKS, você muda a cor dos eixos x e y.

29

Clicando em RELATION #1, você muda a cor do gráfico.

Clicando em COLOUR, você terá diversas opções de

comandos:

30

No comando TICKS, você poderá escolher o tipo de

apresentação do gráfico.

Mostra o gráfico sem numeração nos eixos

Mostra o gráfico com eixos numerados

Mostra o gráfico mais dividido

Mostra o gráfico com uma malha de cruzetas

31

Para obter uma aproximação no seu gráfico, clique em

ZOOM e leve o cursor até a região que deseja ampliar e clique.

Para reduzir, clique em ZOOM OUT.

Clicando em DRAW, você poderá inserir textos, setas e

retângulos.

32

Inserindo textos, você poderá escolher fontes, tamanho de

letras, e mais.

Inserindo setas você poderá definir as suas pontas, suas

formas, e sua espessura.

33

Inserindo um retângulo, você poderá fazê-lo transparente,

colorido ou padronizado, além de escolher a espessura de seu

contorno.

34

Você poderá visualizar regiões da tela em tamanho ampliado

(até cinco vezes), selecionando ONE POINT, passeando com o

cursor pela tela.

Selecionando TWO POINT você poderá definir dois pontos

no gráfico, obtendo suas coordenadas cartesianas, a variação no

eixo x e no eixo y e a distância entre eles, com margem de erro.

35

A seguir estão listados alguns exemplos básicos

relacionados às funções lineares afins e às equações da

circunferência para observação, com o objetivo de conhecer

alguns comandos do programa:

1. Digitar a função y=x, ENTER, CREATE, GRAPH, NEW

RELATION em seguida a função y=2x, ENTER, GRAPH,

NEW RELATION em seguida a função y=1/2x, ENTER.

Observe! O que ocorre?

Quando alteramos o valor da variável “a” da equação de reta

y = ax + b, ocorre a rotação da mesma.

36

2. Digitar a função y=x, ENTER, CREATE, GRAPH, NEW

RELATION em seguida a função y=x+2, ENTER, GRAPH,

NEW RELATION em seguida a função y=x-3, ENTER.

Observe! O que ocorre?

Quando alteramos o valor da variável “b” da equação de reta

y = ax + b, ocorre a translação da mesma.

37

3. Digitar a inequação y<2x, ENTER, CREATE, observe.

Apague e digite y>-3x, ENTER, CRIATE, observe! O que ocorre?

Quando digitamos uma inequação, o gráfico resultante é o

da região definida pela própria inequação. Para que haja a

interseção de duas ou mais funções/inequações, você deverá

digitar a primeira, por exemplo, y<2, pressionar a tecla TAB e em

seguida digitar a segunda, por exemplo, y>2 e pressionar a tecla

ENTER. Ou poderá digitar o intervalo desejado [-2,2] e pressionar

a tecla ENTER.

OU

38

4. Digitar a inequação y>x-2, ENTER, CREATE, observe o

que acontece. Dê um clique duplo na janela onde digitou a função

e tecle TAB, aparecerá nova janela, digite a inequação função

y<x+2, tecle ENTER, observe o que acontece. Repita o

procedimento digitando a inequação y<-x+2, e em seguida a

inequação y>-x-2.

O gráfico obtido é o da intersecção de quatro inequações.

Você poderá obter o mesmo gráfico digitando x – 2 < y < x + 2 e

teclando TAB, digitar - x – 2 < y < - x + 2. Repita a operação

utilizando o sinal de >. Observe!

39

5. Digitar a equação x² + y² = 3, Tecle ENTER e observe.

Apague a função e digite x² + y² > 3, tecle ENTER e observe.

Apague a função e digite x² + y² < 3, tecle ENTER e observe.

40

6. Digitar a função y = sin x, Tecle TAB e digite y = cos x,

Tecle TAB e digite y = tan x e observe.

41

7. Proposta – Desenhar a bandeira do Brasil, com as

medidas oficiais, que podem ser obtidas no site:

Curiosidades sobre a Bandeira do Brasil, obtidas no mesmo site:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem: Flag_of_Brazil _%28dimensions%29.svg

De acordo com a lei 5.700 de 1º de setembro 1971, Artigo: 3

Parágrafo Primeiro - No círculo azul, cada uma das estrelas

representa um dos Estados que formam o Brasil. As constelações

que figuram na bandeira nacional correspondem ao aspecto do

céu, na cidade do Rio de Janeiro, às 20 horas e 30 minutos do dia

15 de novembro de 1889 (doze horas siderais) e devem ser

consideradas como vistas por um observador situado fora da

esfera celeste. A estrela Spica situada acima da faixa branca

representa o estado do Pará, que em 1889 era o Estado com

maior território acima da linha do equador (Amapá e Roraima

eram territórios federais até 1988)

42

RESOLUÇÃO DA BANDEIRA DO BRASIL

RETÂNGULO

y = 7 TAB y > = -7 TAB x < = 10 TAB x > = -10

OU

-10<=x<=10 TAB -7<=y<=7, ENTER

Clicar na barra de ferramentas GRAPH, NEW RELATION.

43

LOSANGO

y > = 5.3 x / 8.3 – 5.3 TAB

y<= -5.3 (x-8.3) / 8.3 TAB

y < = 5.3 x / 8.3 + 5.3 TAB

y > = -5.3 (x+8.3) / 8.3 ENTER

Clicar na barra de ferramentas GRAPH, NEW RELATION.

44

CÍRCULO

x^2+y^2<=3.25^2

Clicar na barra de ferramentas GRAPH, NEW RELATION

45

FAIXA

63 <= (x+2)^2 + (y+7)^2 <= 70 TAB

x^2 + y^2 <= 3.25^2 ENTER

46

ESTRELAS

Após digitar cada uma das inequações você deve selecionar:

ENTER, GRAPH, NEW RELATION.

(x-0.8)^2+(y-1.8)^2<=0.02 (x-0.6)^2+(y+1.8)^2<=0.012

(x-0.3)^2+(y+0.8)^2<=0.011 (x+1.1)^2+(y+0.7)^2<=0.011

(x+1.5)^2+(y+1.5)^2<=0.011 (x+0.5)^2+(y+2)^2<=0.0101

(x-1.5)^2+(y+0.3)^2<=0.0101 (x-1.9)^2+(y+1.7)^2<=0.0101

(x+0.8)^2+(y-0.6)^2<=0.0101 (x+2.3)^2+y^2<=0.0101

x^2+(y+2.5)^2<=0.0101

47

TUTORIAL DO GE GEBRA

COMANDO BÁSICOS

O GeoGebra é um software livre (gratuito) de

geometria dinâmica, para ser utilizado em ambiente

de sala de aula, criado por Markus Hohenwarter .

O programa dispõe de recursos de

geometria, álgebra e cálculo. O GeoGebra possui as

ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica:

pontos, segmentos, retas e seções cônicas além da possibilidade

de se trabalhar com equações e coordenadas, que podem ser

inseridas diretamente.

Assim tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo

tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que

interagem entre si: sua representação geométrica e sua

representação algébrica. (wikipédia)

48

Ao abrir o Geogebra aparecerá a seguinte janela:

Clicando em Exibir e selecionando ”Eixo”, aparecerá/desaparecerá

o eixo de coordenadas cartesianas

49

Clicando em Exibir e selecionando ”Malha”

aparecerá/desaparecerá a malha no eixo de coordenadas

cartesianas.

No canto superior esquerdo você encontrará uma barra de

ferramentas com vários ícones:

50

Clicando nos triângulos que se encontram no canto inferior

direito de cada ícone, você terá diferentes opções.

Depois de selecionada a opção desejada aparecerá do lado

direito da barra, orientações sobre como proceder para realizar

aquela ação ou orientações sobre aquele ícone

51

A seguir estudaremos cada opção disponível em cada ícone da

barra:

PRIMEIRO ÍCONE DA BARRA

Mover – Permite arrastar um objeto selecionado.

Girar em torno de um ponto – Permite girar um objeto em torno

de um centro de rotação.

52

SEGUNDO ÍCONE DA BARRA

Novo Ponto – Permite a criação de um novo ponto em qualquer

lugar da área de trabalho.

Interseção de dois objetos – Permite a criação de um ponto na

interseção de ou figuras.

Ponto Médio ou Centro – Permite a criação do ponto médio de

dois pontos, de um segmento, de um círculo, etc.

53

TERCEIRO ÍCONE DA BARRA

Reta definida por dois pontos – Permite a criação uma reta que

passe por dois pontos pré-definidos.

Segmento definido por dois pontos - Permite a criação de um

segmento que passe por dois pontos pré-definidos.

54

Segmento com dado comprimento a partir de um ponto

Permite a criação de um segmento, a partir de um ponto, com o

comprimento desejado.

Semi-reta definida por dois pontos – Permite a criação de uma

semi-reta que passe por dois pontos pré-definidos.

55

Vetor definido por dois pontos – Permite a criação de um vetor

que passe por dois pontos pré-definidos.

Vetor a partir de um ponto – Permite a criação de um vetor que

passe por um ponto pré-definido.

56

QUARTO ÍCONE DA BARRA

Reta perpendicular – Permite a construção de uma reta

perpendicular à reta dada.

Reta paralela – Permite a construção de uma reta paralela à reta

dada.

57

Mediatriz – Permite a construção da reta mediatriz ao segmento

dado.

Bissetriz – Permite a construção da reta bissetriz em ao ângulo

dado.

58

Tangentes – Permite a construção das retas tangentes em

relação a um ponto dado.

59

QUINTO ÍCONE DA BARRA

Polígono – Permite a criação de um polígono.

Polígono regular – Permite a criação de um polígono regular.

60

SEXTO ÍCONE DA BARRA

Círculo definido pelo centro e um de seus pontos – Permite a

construção de um círculo admitindo a escolha do centro.

Círculo dados centro e raio – Permite a construção de um

círculo admitindo a escolha do centro e do comprimento do raio.

61

Círculo definido por três pontos – Permite a construção de um

círculo que passa por três pontos.

Semi círculo dados dois pontos – Permite a construção de semi

círculo que passam por dois pontos.

62

Arco circular dados o centro e dois pontos – Permite a

construção de um arco circular dados centro e dois pontos.

Arco circumcircular dados três pontos – permite a construção

de um arco circumcircular dados três pontos.

63

Setor circular dados o centro e dois pontos – Permite a

construção de um setor circular dados centro e dois pontos.

Setor circumcircular dados três pontos – Permite a construção

de um setor circumcircular dados três pontos.

64

Cônica definida por cinco pontos - Permite a construção de

uma cônica definidos cinco pontos.

65

SÉTIMO ÍCONE DA BARRA

Ângulo – Permite criar um ângulo entre três pontos, definindo a

origem.

Ângulo com amplitude fixa – Permite criar um ângulo admitindo

a amplitude.

66

Distância ou comprimento – Permite medir a distancia entre

pontos, comprimento de segmentos e círculo.

Área – Permite calcular a área de quaisquer polígonos.

67

Inclinação – Permite definir o ângulo de inclinação de uma reta ou

segmento.

68

OITAVO ÍCONE DA BARRA

Reflexão com relação a um ponto – Permite a reflexão de um

ponto ou figura em relação a outro ponto dado.

Reflexão com relação a uma reta – Permite a reflexão de um

ponto ou figura em relação a uma reta dada.

69

Girar em torno de um ponto por um ângulo – Permite girar um

objeto em torno de um ponto definindo um ângulo.

Transladar por um vetor – Permite a translação de objeto

utilizando um vetor.

]

70

Ampliar/reduzir objeto a partir de um ponto por um

determinado fator - Permite ampliar/reduzir objeto

71

Em editar – propriedades, uma janela se abrirá e você poderá

mudar o visual de seu desenho/gráfico, como segue:

72

73

74

TRABALHO COM FUNÇÕES NO GEOGEBRA

Na parte inferior da tela você encontrará uma janela de

entrada. Nela poderão ser escritas diversas funções. Para inserir

uma função f(x) = x você deverá ir ao campo Entrada, digitar x e

teclar Enter, que o próprio programa denomina f(x) e traça o seu

gráfico.

Como exemplo será utilizada a função y = x ² - 3, observe:

75

Como se deve proceder para dar entrada a outros tipos de função:

Adição + Subtração -

Multiplicação * ou espaço Divisão /

Potenciação ˆ Fatorial !

Função Gama gamma() Parêntesis ()

Coordenada-x x( ) Coordenada-y y( )

Módulo de x abs(x) Sinal de x sgn( )

Raiz quadrada de x sqrt(x) Raiz cúbica cbrt(x)

Função exponencial exp( ) e^x eˆx

Logaritmo natural log( ) ou ln( ) Cosseno cos( )

Seno sin( ) Tangente tan( )

Arco cosseno acos( ) Arco seno asin( )

Arco tangente atan( ) Cosseno hiperbólico cosh( )

Seno hiperbólico sinh( ) Tangente hiperbólico tanh( )

Arco cós hiperbólico acosh( ) Arco seno hiperbólico asinh( )

Arco tangente hiperbólico atanh( )

76

Clique com o botão direito sobre a função e você poderá:

• Exibir ou esconder o gráfico de uma função.

• Exibir ou esconder o rótulo (nome) de uma função.

• Habilitar o rastro de uma função, movimentando o gráfico

sobre a tela deixando seu rastro.

• Renomear a função.

• Redefinir a função.

• Apagar a função.

• Mudar as propriedades da função, tais como: cor, espessura,

nome e muito mais.

77

Clique com o botão direito sobre a zona gráfica e você poderá:

• Exibir ou esconder o eixo de coordenadas.

• Exibir ou esconder malha.

• Obter zoom+ ou zoom-.

• Aumentar ou diminuir a escala de valores das coordenadas

nos eixos.

• Mostrar uma visualização padrão.

• Mudar as propriedades da função, tais como: cor de fundo,

cor de eixo e linha, espessura de eixo e de linhas, estilo das

retas e muito mais.

78

RESTRIÇÃO DE DOMÍNIO

Para restringir o domínio de uma função digite na entrada o

comando “função” e entre colchetes a função desejada, vírgula x`,

vírgula x``. Por exemplo: a função x², no intervalo de [-2,2], deve

ser digitada: função[x^2,-2,2]

79

FUNÇÕES COMPOSTAS

Para definir uma função composta, defina e digite no campo

entrada a função f(x), a seguir a função g(x), depois digite a

função composta f(g(x)) ou g(f(x)), ou outras. Por exemplo:

Digite 2x-3, tecle enter, digite 3x-2, tecle enter, digite f(g(x)),

tecle enter.

80

TRANSLAÇÃO DE FUNÇÕES

Para transladar um gráfico você deve definir uma variável “c”

que aparecerá na zona gráfica, defina também a função desejada,

movimente a barra de “c” e o gráfico transladará. Por Exemplo: Na

barra de entrada digite c=5, tecle enter, clique com o botão direito

em “objetos livres” “c=5”, clique em “exibir objeto”, aparecerá, na

zona gráfica, uma barra horizontal que define o domínio de “c”.

Digite a função x^2+c, tecle enter e observe. Digite a função

(x+c)^2, tecle enter e observe. Selecione o ponto c=5, e

movimente-o para a direita e para a esquerda.