Embed Size (px)
Citation preview
Mestrado Profissionalizante em Ensino de Matemática
Dissertação
1. Introdução: O problema
Resolução de sistemas: álgebra desprovida de leitura geométrica
Nova abordagem: geometria vetorial na escola
2. Considerações Teóricas
Álgebra x Geometria x Visualização.
Piaget, Tecnologia na visualização
3. Metodologia de Pesquisa
Engenharia Didática
Montagem do material para experiência
4. Experiência em sala de aula e análise dos resultados
5. Conclusões
1. O vetor geométrico
Conceitos IniciaisConsidere a seta indicada na figura:
Existem três aspectos fundamentais, os quais destacamos: o módulo, direção
o sentido. O módulo é o comprimento da seta; a direção é dada pela reta que
suporta a mesma; e o sentido é de A para B.
Neste estudo, a compreensão das idéias de direção e sentido são
fundamentais, por isso vamos discuti-las mais detalhadamente.
Observe as retas da figura abaixo, onde apenas as retas s e t são paralelas:
As retas r e s definem ou determinam direções distintas. Já a reta t possui a
mesma direção da reta s. Portanto, o conceito de direção é caracterizado por
uma reta e todas as retas paralelas a ela. Em outras palavras, retas paralelas
possuem a mesma direção. Por exemplo: quando andamos em uma mesma
rua reta, ou em ruas retas paralelas, estamos nos deslocando na mesma
direção.
Considere a reta definida pelos pontos A e B na figura abaixo.
Conforme vimos, esta reta define uma direção. Porém, podemos imaginar uma
pessoa se deslocando nessa reta de duas maneiras distintas: de A para B, ou
de B para A. Dizemos então que, dada uma direção, existem dois sentidos: o
sentido que vai de A para B e o sentido contrário (de B para A).
Dado uma seta , chamamos de vetor uma coleção de setas que possuem o
mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido de .
A idéia de vetor nos leva a algo do tipo:
Duas setas não nulas, e , são representantes de um mesmo vetor, ou
equipolentes, se
(i) têm o mesmo comprimento;
(ii) têm a mesma direção (estão sobre uma mesma reta ou sobre retas
paralelas);
(iii) têm o mesmo sentido.
Observação: Dado uma seta , para cada ponto P do plano, existe um único
ponto Q, tal que as setas e são equipolentes.
Translação: Um vetor qualquer do plano define uma função chamada de
translação. Tal função faz corresponder a cada ponto P do plano, um outro
ponto P’ tal que = v, ou também P’ = P + v, como indica a figura abaixo:
Exercícios:
1) Determine na figura representada no quadriculado abaixo todas as setas que
são representantes dos vetores = , = , = e = .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Marque na figura abaixo:
a) o ponto D tal que
;
b) o ponto E tal que
;
c) o ponto F tal que
;
d) o ponto G tal que
.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) A figura abaixo é obtida através da junção de três
hexágonos regulares. Quantos vetores distintos os lados
destes polígonos determinam?
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) Verdadeiro ou Falso?
a) ( ) Se então .
b) ( ) Se então A = B.
c) ( ) Se I está a igual distancia de A e B então .
d) ( ) Se I é o ponto médio do segmento AB então
.
e) ( ) Se então os quatro pontos então
alinhados.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) Fazer a translação da figura abaixo segundo:
a) o vetor = b) o vetor =
c) o vetor = d) o vetor =
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
Soma de vetores: forma geométricaSejam u e v dois vetores quaisquer. A soma de u com v
é o vetor u + v que pode ser determinado da seguinte
maneira: escolhemos representantes e dos
vetores u e v. O vetor soma é representado pela flecha
que possui origem no ponto A e extremidade no ponto
C, como mostra a figura:
É importante salientar que o vetor u + v independe da
escolha dos representantes e , dos vetores u e v
respectivamente. Isto é, se u = , v = e u + v
= , então, por congruência de triângulos, temos
= .
Obs. A soma coincide com a diagonal do paralelogramo
determinado por u e v, quando estes vetores são
posicionados com o mesmo ponto inicial. Veja:
Assim fica evidente que u + v = v + u.
Vejamos agora algumas definições:
(i) Existe um só vetor nulo 0 tal que, v + 0 = 0 + v = v. O
vetor nulo tem módulo zero e direção e sentido
indeterminados.
(ii) Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor –v
(vetor oposto de v) tal que v + (-v) = -v + v = 0. O vetor
oposto de v tem mesmo módulo, mesma direção e o
sentido contrário. Isto é, se v = então –v = .
(iii) A diferença dos vetores u e v é o vetor u + (-v).
Multiplicação de um escalar por um vetor: forma geométrica
Dado um vetor e um número k IR*, chama-se
produto do número real k pelo vetor , o vetor k. tal
que:
a) módulo: │k. │=│k││ │, isto é, o comprimento de k.
é igual ao comprimento de multiplicado por │k│.
b) direção: k. e têm a mesma direção (isto é, estão
sobre uma mesma reta, ou sobre retas paralelas)
c) sentido: k. e têm o mesmo sentido se k > 0 e k.
e têm sentidos contrários se k < 0.
Obs. Se k = 0 ou = , então k. = .
A figura abaixo apresenta o vetor e alguns vetores da
forma k :
Exercícios:1) Encontre na figura abaixo, sem acrescentar novos
pontos, um representante do vetor que é igual a:
a) +
b) +
c) +
d) +
e) +
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
2) Determine a soma sendo
ABCDEF um hexágono regular inscrito num círculo
centro O, conforme indica a figura abaixo:
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) Um barco pode desenvolver velocidade de 4 m/s em
águas paradas. Um pescador dispõe deste barco
perpendicularmente às margens de um rio, cuja
correnteza tem velocidade 3 m/s. Nesta travessia, qual
será a velocidade do barco em relação às margens?
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) Determine a intensidade da resultante de duas forças,
e , sabendo que valem, respectivamente, 10 N e
20 N e são aplicadas a uma mesma partícula, formando
entre si um ângulo de 60º.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) ABCD é um paralelogramo e u e v vetores tais que u
= e v = . Exprima em função de u e v os
seguintes vetores:
a) b) c) d) e)
f)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
6) Os pontos A, B, C, D e E foram marcados na reta
graduada abaixo.
Sabendo que = k. , determine o valor de k real
quando:
a) = e = b) = e = c)
= e =
d) = e = e) = e =
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
7) Marque na reta graduada do exercício 6 os pontos M,
N e P tais que , e .
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
8) Na figura abaixo estão representados os vetores =
e = .
Sobre a reta r, determine o ponto M sendo
.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
9) Seja ABCD um paralelogramo e M o ponto médio da
diagonal AC, o que equivale a dizer que .
Queremos mostrar que M é também ponto médio da
diagonal DB, isto é .
Observe a figura e complete a demonstração desta
propriedade:
Pela definição de soma de vetores temos que
; mas temos que (pois M é
ponto médio de AC) e (pois ABCD) é
paralelogramo, então ____+ ____ =____+ ____ =
____.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
10) Prove que o segmento cujos extremos são os
pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo
ao terceiro lado e igual a sua metade.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
11) Usando o resultado obtido no exercício anterior,
mostre que os pontos médios dos lados de um
quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
2. Vetores com coordenadas no plano
As coordenadas de um vetor:
Qualquer vetor = , considerado no plano
cartesiano, tem sempre um único representante cujo
ponto inicial é a origem. Quando observamos tal
representante, a única informação necessária para que
possamos identificar o vetor, são as coordenadas do
ponto extremidade dessa seta. Por isso, tais
coordenadas são chamadas de coordenadas do vetor e
escrevemos = (x, y).
O módulo de um vetorSeja o vetor = (x, y). Pelo teorema de Pitágoras vem
que │ │2 = x2 + y2 │ │= .
Exemplo: Sendo = (-2, 3), temos que │ │ =
.
Soma algébrica de vetores: Sendo = (x1, y1) e = (x2, y2), definimos + = (x1+x2,
y1+y2).
Vejamos agora como a definição algébrica da soma de
vetores dada acima coincide com a definição geométrica
vista anteriormente.
Observe os vetores = (x1, y1) e = (x2, y2), bem como
sua soma:
Como OAPB é paralelogramo temos que os triângulos
OAF e BPG, da figura 1, são congruentes, por LAAo.
Assim, OF = BG e então a abscissa de P é x1 + x2.
De modo análogo, temos que os triângulos ADP e OEB,
da figura 2, são congruentes, por LAAo. Assim, PD = BE
e então a ordenada de P é y2 + y1.
Assim, as coordenadas de P são (x2 + x1, y2 + y1).
Multiplicação de um vetor por um escalar:Sendo = (x1, y1) e k IR, definimos k. = (k.x1, k.x2).
Vejamos agora como a definição algébrica do produto
de vetor por escalar coincide com a definição
geométrica vista anteriormente.
Pela definição geométrica, temos que:
│ k. │= .│ │= = =
k. = (k.x1, k.y1)
Temos que mostrar que os vetores k. = (k.x1, k.y1) e
= (x1, y1) têm a mesma direção. Para isto, basta
observar que os triângulos OAP e OBP são semelhantes
por LAL. Logo os ângulos PÔA e P’ÔB são iguais e os
vetores têm a mesma direção.
Os pontos P e P’ estão do mesmo lado de O quando k >
0 e em lados opostos quando k < 0, assim fica evidente
que e têm mesmo sentido se k > 0 e sentido
contrário se k < 0.
Exemplos:
1) Sendo = (3, 2) e = (1, 2) determine + :
+ = (3, 2) + (1, 2) = (4, 4)
2) Sendo = (3, -4), determinar o vetor com a mesma
direção e o mesmo sentido de , porém de comprimento
unitário.
Procuramos um vetor que é múltiplo de , isto é, =
k. = (3k, 4k). Como o comprimento deve ser unitário
temos que:
│ │ = 1 = 1 = 1
Como deve possuir o mesmo sentido de , temos que
k = 1/5.
Exercícios:1) Represente graficamente os vetores cujas
coordenadas são dadas abaixo e calcule o módulo:
a) = (2, 3) b)
= (1,-1)
c) = (0, 1) d)
= (-½, -1)
e) = (-2, 1)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
2) Determine as coordenadas do vetor = nos
seguintes casos.
a) A (2, 1) e B (3, 2) b) A(-1,-1) e B(-2, 2) c)
A = (xa, ya) e B = (xb, yb)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) Sendo A = (1, -1), B = (3, 2) e C = (-3, 1):
a) determine as coordenadas de =
b) determine as coordenadas do ponto P = C +
c) determine qual conjunto de pontos P estamos
obtendo ao escrevemos sendo P = C + t. , sendo 0 ≤ t ≤ 1.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) Sendo A(xa, ya) e B(xb,yb) determine:
a) As coordenas do ponto M = A + .
b) Determine o módulo do vetor = .
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo
ABCD, sendo A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5) usando vetores.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
6) Sabendo que A(1, -1), B(5, 1), C(6, 4) são vértices de
um paralelogramo, determinar o quarto vértice de cada
um dos três paralelogramos possíveis de serem
formados.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
7) (PUC-SP) Um lado de um paralelogramo tem as
extremidades nos pontos A(-3,5) e B(1,7). Sabendo que
P(1,1) é o ponto médio das diagonais, os outros dois
vértices são os pontos:
a) (4,-1) e (1,-5) b) (5,-2) e (1,-5) c)
(5,-3) e (2,-5)
d) (5,-3) e (1,-5) e) n.r.a.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
8) (PUC-SP) Os pontos (0, 0), (1, 3), (10, 0) são vértices
de um retângulo. O quarto vértice do retângulo é o
ponto:
a) (9,-3) b) (9, -2) c)
(9, -1)
d) (8, -2) e) (8, -1)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
9) Dados os vetores = (-1, 1) e = (-2, 3), calcule │ │
e │ │.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
10) Determine os valores de a para que o vetor = (a, -
2) tenha módulo 4.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
1) Dados os vetores = (2, -3) e = (-1, 4), determinar:
a) 3 + 2 b) 3 - 2
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
2) Sendo A(-2, 4) e B(4, 1) determine as coordenadas
dos pontos F e G que dividem o segmento AB em três
partes iguais.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) Dados os vetores = (-1, 1), =(-2, 3) e =(8, -6),
calcule:
a) │ + │ b) │2 - │ c)
│ -3 │
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) Determine o vetor com a mesma direção e o
mesmo sentido de , porém de comprimento unitário,
nos seguintes casos:
a) = (-1, 1) b) = (-8, 6)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) Obtenha as coordenadas do ponto médio do
segmento AB sendo:
a) A(1, 7) e B(11, 3) b) A(-2, 5) e B(-4, -1) c)
A(0, 3) e B(0, -3)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
6) Determine as coordenadas do ponto médio do
segmento AB sendo A(x1, y1) e B(x2, y2).
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
7) Sendo A(-2, 2) uma das extremidades do segmento
de reta AB e o ponto M(3, -2) seu ponto médio,
determine as coordenadas de B.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
8) Qual o simétrico do ponto A(-1, 2) em relação ao
ponto C(3, 4)?
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
9) Chamamos de mediana de um triângulo o segmento
que liga um de seus vértices ao ponto médio do lado
oposto a ele. Assim, determine o comprimento das três
medianas de um triângulo de vértices A(0, 0), B(4, -6) e
C(-1, -3).
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
10) O centro gravitacional de um triângulo ABC é o
ponto G, tal que . Mostre que se A = (xa,
ya), B = (xb, yb) e C = (xc, yc) então G =
.
OBS. G é também o ponto de intersecção das três
medianas do triângulo.
3. Ângulo entre dois Vetores e o Produto interno
O ângulo entre dois vetores não-nulos e é o ângulo
formado por duas semi-retas OA e OB de mesma
origem O, onde = e = e 0 ≤ ≤ 2π.
Se tem a mesma direção e o mesmo sentido então
= 0. Porém se tem a mesma direção mas sentido
contrário então = π.
Considere os vetores = (a, b) e = (c, d)
representados na figura abaixo:
Sendo o ângulo entre v e w, temos que:
cos ( ) = cos (α - β) = cos α cos β - sen α sen β
cos ( ) =
cos ( ) =
O número real ac+bd é chamado de produto interno dos
vetores v e w e representado por <v, w>.
E assim temos:
< v, w > = a.c + b.d ou
< v, w > =
Exercícios:1) Determinar, aproximadamente o ângulo entre os
vetores:
a) = (2, 1) e = (4, -2)
b) = (1, -1) e = (-4, -2)
c) = (1, 1) e = (-1, 1)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
2) Determinar o valor de k para que seja de 45º o ângulo
entre os vetores = (2, 1) e = (1, k).
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) Determine o produto interno <v, w> sendo:
a) = (2, 1) e = (4, -2)
b) = (1, -1) e = (-4, -2)
c) = (1, 1) e = (-1, 1)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) Lembrando que < v, w > = , e supondo
que e são diferentes de , determine o que deve
acontecer com para que o produto interno seja:
a) positivo;
b) negativo;
c) nulo.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) Determinar os valores de k para que os vetores = (-
2, 3) e = (k, -4) sejam ortogonais.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
6) (PUC-SP) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), o valor de
x para que o triângulo ABC seja retângulo em B é:
a) 3 b) 2 c) 0 d) -3 e) -
2
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
7) (UFRGS) Duas retas perpendiculares r e s se
interceptam no ponto (u, 0). Se a reta r intercepta o eixo
Y no ponto (0, v), sendo u e v diferente de zero, a reta s
interceptará o eixo Y em:
a) (0, -v2/u) b) (0, -u2/v) c) (0,-u/v)
d) (0,-v) e) (0,-v/u)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4. Condição de Alinhamento de 3 pontos
Os pontos A = (xa, ya), B = (xb, yb) e C = (xc, yc) são
colineares se e somente se os vetores e são
múltiplos. Ou seja, A, B e C estão alinhados se existir
k IR, tal que = k. .
Assim, C – A = k.(B – A) (xc – xa, yc – ya) = k.(xb – xa,
yb – ya)
(xc – xa, yc – ya) = (k.(xb – xa), k.(yb – ya))
Da igualdade dos vetores, vem que:
xc – xa = k.(xb – xa) e yc – ya = k.(yb – ya)
e
Este valor de k existe se e somente se
.
Exemplo: Verifique se os pontos A(-1, 3), B(2, 4) e C(-4,
10) são colineares:
Vamos determinar as componentes de = e de =
.
= B – A = (2, 4) – (–1, 3) = (3, 1)
= C – A = (–4, 10) – (–1, 3) = (–3, 7)
Como e não são múltiplos, e, portanto, os
pontos não são colineares.
Exercícios:1) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados
quando:
a) A(0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5)
b) A(-2, 6), B(4, 8) e C(1, 7)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
2) Determine m de modo que os pontos (m, 3), (-2, -5) e
(-1, -3) sejam colineares.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) Os pontos (-1, 2), (3, 1) e (a, b) são colineares.
Calcule a e b de modo que o ponto C esteja sobre o eixo
das ordenadas.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) Uma reta r passa pelos pontos A(-1, -2) e B(4, 2).
Determine as coordenadas do ponto em que r
intercepta:
a) o eixo das ordenadas.
b) o eixo das abscissas.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) Determine x, de modo que os pontos (1, 3), (x, 1) e
(3, 5) sejam vértices de um triângulo.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
6) (UCS) Para que os pontos (0,2), (-2,x) e (1,5) sejam
colineares x deve ser igual a:
a) 2
b) -2
c) 3
d) 4
e) – 4
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5. A equação da reta
Considere os pontos A = (xa, ya) e B = (xb, yb) distintos.
Temos que a condição necessária e suficiente para que
um ponto genérico P = (x, y) esteja sobre a reta
determinada por A e B é que A, B e P sejam alinhados.
Se A, B e P são colineares, então os vetores e
são múltiplos.
Porém = B – A = (xb – xa, yb – ya) e = P – A = (x –
xa, y – ya) são múltiplos quando (y –
ya) (xb – xa) = (yb – ya) (x – xa)
y xb – y xa – ya xb + ya xa = yb x – yb xa – yax + ya xa
xb y – xa y – ya xb – yb x + yb xa + ya x = 0
ya x – yb x + xb y – xa y + yb xa– ya xb = 0
(ya – yb)x + (x b – xa)y = ya xb - yb xa
Como xa, ya, xb e yb são constantes, dizemos que:
a = ya – yb, b = x b – xa e c = ya xb - yb xa.
Assim, obtemos a equação a.x + b.y = c, onde x e y são
as coordenadas de um ponto genérico da reta.
A equação acima é chamada de equação da reta.
Se b ≠ 0 podemos expressar y em função de x:
a.x + b.y = c b.y = -a.x + c y = y =
y = f(x) = m.x + n (onde m é chamado de coeficiente
angular e n é chamado de coeficiente linear).
A equação escrita nessa forma é chamada de equação
reduzida da reta.
Exercícios:1) Determine a equação da reta que passa pelos pontos:
a) (-1,-2) e (5,2) b) (2, -1)
e (-3,2)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
2) Determine a equação da reta que passa por A(1, 4) e
B(2, 1). Determine também o coeficiente angular e o
coeficiente linear.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) Determine a equação das seguintes retas:
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) Verifique se:
a) o ponto (2, 2) pertence à reta 2x + 3y - 10 = 0.
b) o ponto (2, 3) pertence à reta que passa por A(1, 1) e
B(0, -3).
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à reta 2x - 3y
= 4. Calcule a distância entre A e B.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
6) Por uma questão de segurança, o peso máximo que
um determinado elevador pode transportar é 600 Kg.
Pretende-se transportar nesse elevador dois tipos de
caixotes, uns com 10 Kg, e outros com 30 Kg. Assim,
representando o número de caixotes de 10 kg por x e o
número de caixotes que pesam 30kg por y, determine:
a) Uma equação que relacione x e y.
b) Pelo menos três soluções para equação do item a.
c) Uma solução da equação que não serve como
solução do problema.
d) Uma nova solução da equação que serve como
solução do problema.
e) Represente graficamente todas as soluções da
equação.
f) Determine a quantidade de soluções do problema.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
7) Caroline foi até uma papelaria comprar fichários e
canetas. As canetas custavam R$ 2,50 e os fichários R$
5,00 cada. Sabendo que ela gastou R$ 40,00, responda:
a) Qual a equação linear que traduz o problema de for
coerente.
b) Determine dois pares de valores que sejam solução
da equação.
c) Determine dois pares de valores que sejam solução
do problema.
d) Há pares de números que sejam solução do problema
mas não da equação? Justifique.
e) Represente graficamente todas as soluções da
equação.
f) Determine a quantidade de soluções do problema.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
8) Determine a equação reduzida da reta:
a) que passa por P(-1, 4) e tem coeficiente angular 2.
b) que passa por P(4, 1) e tem coeficiente linear -3.
c) que passa por P(-4, 4) e tem coeficiente angular -1.
d) que passa por P(2,3) e tem 45º de inclinação.
2) (PUCRS) A reta que passa por (-1,-2) e (2,c) tem
coeficiente angular 3. A ordenada de B é:
a) -6 b) 11 c) -5
d) 7 e) -1
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) Determine o coeficiente angular das retas nos
seguintes casos:
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) (PUCRS) Para que a reta que passa por A(m-1, 2) e
B(3, 2m) tenha 45o de inclinação, m deve ser:
a) -2 b) -1/2 c) 1
d) ½ e) 2
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) Qual a equação das retas cujos gráficos são dados
abaixo?
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
6) A equação da reta mostrada na figura a seguir é:
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
7) (PUCRS/97-2) Se r é a reta de equação x - 2y + 2 =
0, se A é o ponto de abscissa - 4 da reta r e se B é o
ponto de intersecção da reta r com o eixo das abscissas,
então a distância entre A e B é:
a) 1 b) c) d) e)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
8) (UFRGS) A reta da figura abaixo tem equação 2x +
3y - 6 = 0. Calcule a área do triângulo ABC:
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
9) (UFRGS) Considere a figura abaixo. Uma equação
cartesiana da reta r é:
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
10) (PUCRS-97) O triângulo AOB é isósceles. Se a área
é 9/2 u.a., então a equação da reta AB é:
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
Atividade no Winplot:Relacionando os vetores e a equação da reta
1) Vá em janela e selecione a opção 2-dim.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
2) Vá no menu equação e selecione a opção reta. O
seguinte quadro deve aparecer:
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) Atribua valores para os parâmetros a, b e c. Clique
em ok e observe o gráfico.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) Seguindo os passos acima, desenhe o gráfico de
várias retas afim de responder as seguintes perguntas:
a) O que acontece sempre que a = 0? Justifique.
b) O que acontece sempre que b = 0? Justifique.
c) O que acontece sempre que c = 0? Justifique.
d) Por que a e b não devem ser simultaneamente nulos?
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) Faça no Winplot o gráfico da reta de equação 2x + y =
0 e trace o segmento orientado de origem (0, 0) e
extremidade (2, 1).
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
6) Faça no Winplot o gráfico da reta de equação 3x - y =
0 e trace o segmento orientado de origem (0, 0) e
extremidade (3, -1).
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
7) Faça no Winplot o gráfico da reta de equação -4x +
2y = 0 e trace o segmento orientado de origem (0, 0) e
extremidade (-4, 2).
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
8) Segundo os itens anteriores podemos perceber que
uma reta de equação ax + by = 0 é sempre
perpendicular ao vetor . Explique por que isso
acontece usando produto interno.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
9) Vá no menu equação e selecione a opção reta.
Atribua valores para a e b, porém para c escreva c = C.
Logo após clique ok. Agora vá no menu Animação e
clique em parâmetros. A seguinte janela deve aparecer:
Clique em auto ver. Para parar digite s, para ir mais
rápido digite r e mais lento digite l. Faça o mesmo com a
tecla auto cícl. Para mudar o intervalo de valores de C
use as teclas def L e def R.
O que acontece com a reta C varia?
O que você afirma sobre a reta de equação ax + by = c
e o vetor ?
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
10) Seja a reta r de equação ax + by = c e dois de seus
pontos P(x1, y1) e Q(x2, y2).
Como Q está na reta, ele satisfaz a equação ax2 + by2
= c.
Como P está na reta, ele satisfaz a equação ax1 + by1
= c.
Subtraindo as equações obtemos: ax2 - ax1 + by2 - by1 =
0
a.(_____) + b(_____) = 0
A igualdade acima é o produto interno de v = ( , )
por u = ( , ).
Como o produto interno é nulo, os vetores são
_________________.
Conclusão: A reta de equação ax + by = c e o vetor (a,
b) são ____________.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
11) Um aluno ao usar o Winplot colocou uma equação
de reta com a = 5, b = -1 e c = 3. Ao mesmo tempo,
alguém usou para a, b e c os valores 10, -2, 6. O que
acontece quando traçamos os dois gráficos? Justifique.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
12) O que deve acontecer para que as retas de
equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ sejam
coincidentes?
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
13) Dê um exemplo de duas equações de retas que
sejam paralelas.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
14) O que deve acontecer para que as retas de
equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ sejam paralelas?
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
15) Dê um exemplo de duas equações de retas que
sejam concorrentes.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
16) O que deve acontecer para que as retas de
equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ sejam concorrentes
(tenham um único ponto de intersecção)?
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
17) Dê um exemplo de duas equações de retas que
sejam perpendiculares.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
18) O que deve acontecer para que as retas de
equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ sejam
perpendiculares?
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
6. Posições relativas entre duas retas
(1º) As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’
são coincidentes quando todas as soluções de uma são
também soluções da outra. Neste caso, seus
coeficientes são proporcionais, isto é, .
(2º) As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’
são paralelas quando têm a mesma direção, isto é,
quando os vetores u = (a, b) e v = (a’, b’) são
proporcionais, mas os termos independentes não são,
isto é, .
(3º) As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’
são concorrentes quando têm direções distintas, isto é,
quando os vetores u = (a, b) e v = (a’, b’) não são
proporcionais. Assim, .
Caso particular de retas concorrentes: Retas
Perpendiculares
As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ são
perpendiculares quando os vetores u = (a, b) e v = (a’,
b’) forem perpendiculares. Ou seja, quando o produto
interno < u . w > for nulo. Isto é, a.a’ + b.b’ = 0.
Exercícios:1) Determine, em cada caso, se as retas são paralelas,
coincidentes ou concorrentes (no último caso, verifique
se elas são ou não perpendiculares).
a) r : 3x - 2y + 1 = 0 e s : 4x + 6y - 1 = 0
b) r : 6x + 4y - 3 = 0 e s : 9x + 6y - 1 = 0
c) r : x/2 + y/5 = 1 e s: 2x - y + 5 = 0
d) r : x + 2y - 3 = 0 e s : x - 2y + 7 = 0
e) r : 2x + 3y - 8 = 0 e s : 4x + 6y - 16 = 0
f) r : 3x - y + 1 = 0 e s : 3x - y + 8 = 0
g) r : x + y = 0 e s : x - y = 0
h) r : 2x - 3y + 4 = 0 e s : y = -3/2x + 4
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
2) Determine o valor de m para que as retas r e s abaixo
sejam paralelas.
(r): (1-m)x - 10y = 0 e
(s): (m + 2)x + 4y – 11m = 18
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) (PUCRS) A equação da reta que passa por P(2,5) e é
paralela a reta de equação x - y + 2 = 0 é:
a) 3x - 2y + 4 = 0
b) x - y + 7 = 0
c) 2x - 3y + 11 = 0
d) x - y + 3 = 0
e) x - y - 3 = 0
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) (PUCRS) Se as retas de equação 5x + 7y - 10 = 0 e
m.x - 5y + 1 = 0 são perpendiculares o valor de m é:
a) -7
b) -5
c) 5
d) 7
e) 10
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) (UFRGS-99) Observe a figura abaixo. Os lados do
triângulo retângulo sombreado são segmentos das retas
dadas pelas equações:
a) y = 2, y = - ½ x + 2 e y = 2x + 2
b) x = 1, y = - x + 2 e y = x + 2
c) x = 1, y = - 2 x + 2 e y = ½ x + 2
d) y = 2, y = x + 2 e y = -x + 2
e) x = 1, y = - x + 1 e y = x + 2
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
7. Intersecção de duas retas e os Sistemas Lineares 2 x 2
O ponto de intersecção de duas retas é aquele cujas
coordenadas satisfazem as equações de ambas. Assim,
o ponto pode ser obtido resolvendo o sistema formado
por suas equações.
Classificação de um sistema linear:
a) Possível e Determinado: Quando as equações
representarem retas concorrentes. Nesse caso, o
sistema admite uma única solução.
b) Possível e Indeterminado: Quando as equações
representarem retas coincidentes. Nesse caso, o
sistema admite infinitas soluções.
c) Impossível: Quando as equações representarem retas
paralelas. Nesse caso, o sistema não admite solução.
Exercícios:1) Obtenha o ponto de intersecção das retas cujas
equações são dadas por 2x + 5y – 9 = 0 e y = –2x – 3.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
2)
a) Represente no plano cartesiano as retas de equações
y = 2x e x + y = 6.
b) A partir do gráfico dê a solução do sistema
.
c) Resolvendo o sistema verifique se está correta a
solução que você determinou.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
3) Um retângulo têm base x e altura y enquanto outro
tem a base y – 10 e altura 2x. Determine x e y sabendo
que ambos têm perímetro igual a 100.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
4) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que erra e
perde 3 pontos por exercício que erra. Ao fim de 50
exercícios o aluno tinha 130 pontos. Calcule quantos
exercícios ele acertou.
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
5) (PUCRS) O ponto de intersecção das retas 3x-y+3 =
0 e 2x+y+7 = 0 é:
a) (-2, -11) b) (-2, -3) c) (-2, -2)
d) (-2, 2) e) (-2, 3)
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
6) (UFRGS) As retas 2x - y + 3 = 0 e x - 2y + 6 = 0
interceptam-se:
a) sobre o eixo das ordenadas.
b) no ponto (0,0).
c) no ponto (-6,0).
d) sobre o eixo das abscissas.
e) no ponto (1,5).
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
7) Classifique os seguintes sistemas lineares:
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
8) (UFRGS) Para que o sistema dado abaixo seja
impossível é necessário que b seja:
a) -3 b) -3/2 c)
3/2
d) 3 e) 9/2
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
9) (PUCRS) O sistema abaixo é indeterminado se e
somente se:
a) m=2 e n=4 b) m=-2 e n=-4 c)
m=-2 e n=4
d) m -2 e n = 4 e) m=2 e n 4
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
10) (FAAP-SP) Para que o sistema seja possível e
determinado, é necessário que:
a) a -2b/5 b) a=-2b/5 c)
a -5b/2
d) a 2b/5 e) a = -5b/2
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
11) (MACK-SP) O sistema
a) tem infinitas soluções qualquer que seja a.
b) só tem solução se a = 3
c) é impossível se a 3
d) nunca é impossível
e) tem solução única qualquer que seja a
---------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
12) (UFRGS) O sistema linear abaixo é possível e
determinado se e somente se:
a) m = 2 b) m = 4 c) m ≠ -4 d) m ≠ 1 e)
4m = 1
8. Os vetores no Espaço
No espaço, assim como no plano, dois segmentos
orientados representam um mesmo vetor quando têm o
mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.
As operações se definem da mesma forma que no
plano, pois para efetuá-las escolhemos sempre dois
vetores coplanares (isto é, contidos num mesmo plano).
As coordenadas de um ponto P no espaço são
associadas a um vetor que têm origem em O(0, 0, 0) e
extremidade P(x, y, z).
9. O produto interno e o ângulo entre dois vetores no espaço
Considere os segmentos orientados u = e v = ,
com A = (a, b, c), B = (d, e, f) e O = (0, 0, 0). Para
determinar o ângulo entre dois vetores, escolhemos dois
representantes coplanares e procedemos da mesma
forma que no plano.
O produto interno independe do sistema de
coordenadas escolhido, pois pode ser obtido em função
do comprimento dos vetores e do ângulo entre eles.
Assim temos:
< v, w > = a.d + b.e + e.f ou
< v, w > =
Observações:
1) A condição de ortogonalidade é que o produto interno
seja nulo.
2) O produto interno é máximo quando o ângulo é zero e
fica igual ao produto dos módulos.
10. A equação da reta no espaço
11. A equação do plano
Considerar um ponto Po(k, m, n) pertencente a um plano
e o vetor = (a, b, c) normal ao plano (isto é,
perpendicular a qualquer vetor contido nesse plano).
Este plano pode ser definido como sendo o lugar
geométrico dos pontos P(x, y, z) tais que os vetores
e são ortogonais.
Da condição de ortogonalidade de vetores vem a
equação conhecida como equação do plano: a.(x-k) + b.
(y -m) + c.(z - n) = 0.
Atividade no Winplot - Os vetores e a equação do plano
1) Vá em janela e selecione a opção 3-dim.
2) Vá no menu equação e selecione a opção plano. O
seguinte quadro deve aparecer:
3) Atribua valores para os parâmetros a, b, c, k, m e n.
Clique em ok e observe o gráfico.
4) Lembrando que os parâmetros a, b e c indicam as
coordendas do vetor normal ao plano. Responda:
a) o que deve acontecer para que o plano seja paralelo
ao plano xy? Justifique.
b) o que deve acontecer para que o plano seja paralelo
ao plano xz? Justifique.
c) o que deve acontecer para que o plano seja paralelo
ao plano yz? Justifique.
d) teste se suas conclusões estão certas no winplot.
5) Observe posições relativas entre dois planos e
determine:
a) um exemplo de equações de dois planos que se
encontrem segundo uma reta.
b) um exemplo de equações de dois planos paralelos.
c) um exemplo de equações de dois planos
coincidentes.
d) Existe outra posição possível para dois planos?
6) A equação que estamos vendo é do tipo a(x-k) + b(y-
m) + c(z-n) = 0, porém ela poderia ser escrita na forma
ax + by + cz = d. Determine d, em função dos
parâmetros a, b, c, k, m e n.
12. Intersecção de planos e Sistemas Lineares
13. Método do Escalonamento
