O ENSINO DE MATEMÁTICA E OS TIPOS DE CONTEXTOS

Adiel Praseres Chaves (aluno)1

GD7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática

Resumo

O presente estudo é recorte de nossa dissertação de Mestrado Acadêmico em Educação

Matemática, em fase de construção, intitulada: Livros Didáticos do Ensino Médio e

apresentação de Função Quadrática. O referido estudo procura se apoiar na Teoria

Antropológica do Didático, desenvolvida por Yves Chevallard (1992), como ferramentas

de análise. Pretende-se responder a seguinte questão de pesquisa: Em que tipos de

contextos a Função Quadrática é apresentada nas abordagens de livros didáticos do Ensino

Médio? Tal pesquisa tem por objetivo analisar os contextos em que referida Função se

apresenta, nas abordagens dos livros supracitados. É uma pesquisa qualitativa, de natureza

documental. Serão analisados livros didáticos de Matemática da 1ª série do Ensino Médio

aprovados pelo PNLEM 2015.

Palavras-chave: Função Quadrática, Contextos, Livros Didáticos.

Introdução

Contextualização é o ato de vincular o conhecimento à sua origem e á sua

aplicação. A ideia de contextualização entrou em pauta com a reforma do ensino médio a

partir da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB nº 9.394/96), que acredita na

compreensão dos conhecimentos para uso cotidiano.

1 Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. adielchaves@yahoo.com Orientador: Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud

Nessa mesma linha, os PCNEM (1999) recomendam a contextualização do

conhecimento escolar, reconhecendo que a partir desta podem ocorrer aprendizagem

significativas, resultante da mobilização cognitiva do educando, envolvendo-o em suas

dimensões de vida pessoal, social e cultural, o que o leva a requisitar competências

cognitivas já adquiridas (BRASIL, 1999)

No que se refere ao ensino da Matemática, os PCNEM (2000), orientam que:

O critério central é o da contextualização e da interdisciplinaridade, ou

seja, é o potencial de um tema permitir conexões entre diversos conceitos

matemáticos e entre diferentes formas de pensamento matemático, ou,

ainda a relevância cultural do tema, tanto no que diz respeito às suas

aplicações dentro ou fora da Matemática, como à sua importância

histórica no desenvolvimento da própria ciência (BRASIL, 2000, p.43)

A ideia de contextualização está associada, muitas vezes, apenas a conexões

estabelecidas entre a Matemática e o cotidiano ou entre a Matemática e outras áreas do

conhecimento. Dessa forma, Barbosa (2004), ao se referir à contextualização, acrescenta.

A utilização do termo “contextualização” tem sido indevida, já que todas

as atividades da matemática escolar pertencem a um determinado

contexto. Dessa forma, não cabe reivindicar a contextualização do ensino

da Matemática. Ele já está contextualizado. A questão é outra. Qual é o

contexto? Quais contextos desejamos? (BARBOSA, 2004, p.2-3)

Percebe-se que as discussões em torno da contextualização da matemática deixam

de ser vistas apenas em dimensões que compreendem o cotidiano do aluno para uma visão

mais ampla que contempla as relações entre os conteúdos da própria matemática, às suas

aplicações em outras ciências e à sua constituição histórica.

Portanto, conforme o exposto, a Matemática pode estar contextualizada: no

cotidiano do aluno; na sua história; de forma interdisciplinar e nela mesma. Em seguida,

abordaremos cada tipo de contexto em que a Matemática se apresenta.

A contextualização no cotidiano do aluno

A contextualização no cotidiano do aluno segundo Lopes (2002) vem sendo

divulgada pelo MEC como princípio curricular central dos PCNEM capaz de produzir uma

revolução no ensino. Nas palavras do coordenador geral de ensino médio do MEC:

Formar indivíduos que se realizem como pessoas, cidadãos e profissionais

exige da escola muito mais do que a simples transmissão e acúmulo de

informações. Exige experiências concretas e diversificadas, transpostas da

vida cotidiana para as situações de aprendizagem. Educar pra a vida

requer a incorporação de vivências e a incorporação do aprendido em

novas vivências. (PEREIRA, 2000 apud LOPES, 2002)

Lopes, entre outras coisas, acrescenta que:

[...] O ensino contextualizado vem sendo bem aceito na comunidade

educacional, como atestam trabalhos apresentados em recentes congressos

da área. Rapidamente, vem se fazendo uma substituição do conceito de

cotidiano e de valorização dos saberes populares pelo conceito de

contextualização, muitas vezes havendo a suposição de que se trata do

mesmo enfoque educacional. (LOPES, 2002)

Para melhor entender na prática, agora com enfoque no ensino da Matemática,

Santo & Silva (2004) mostra que:

[...] O problema é que, a partir de uma leitura equivocada, há um falso

entendimento de que todo e qualquer conhecimento matemático deve ser

trabalhado com base no cotidiano do aluno, levando alguns professores a

acreditarem que na impossibilidade de contextualizar, então não pode ser

ensinado. Mas a nosso ver, este não é o único modo de contextualizar o

conhecimento matemático. Em sendo assim, estaríamos dando ênfase à

contextualização que atende à matemática aplicada. Mas e o que dizer da

Matemática pura? Essa questão tem levantado inúmeros debates entre

matemáticos defensores de uma ou de outra dessas “matemáticas

adjetivadas de pura e aplicada”. (SANTO & SILVA, 2004)

Dessa forma, os autores concluem que, compreender o que vem a ser conhecimento

contextualizado é de fundamental importância para os educadores. Essa compreensão

permitiria não mais existir equívocos do tipo: “Não devo ensinar isto por que não tem

contexto”, como já é comum entre os educadores.

A contextualização na história da Matemática

A matemática desde os seus primórdios entrelaça-se tão intimamente com a história

da civilização, sendo mesmo uma das alavancas principais do progresso humano, que sua

história é não só altamente motivadora em termos de ensino como também muito rica em

aspectos culturais.

Saito (2012) em seu artigo “Possíveis Fontes para a história da Matemática:

explorando os tratados que versam sobre construção e uso de instrumentos ‘matemáticos’

do século XVI” entre outras coisas, aponta que é urgente aproximar a história da

matemática da história da ciência uma vez que, historicamente, a matemática foi essencial

para a atividade científica, assim como a ciência desempenhou um papel central no

desenvolvimento da matemática.

De acordo com Brito (2007, apud NASCIMENTO, 2009) a história da Matemática

possibilita uma abordagem epistemológica dos conceitos matemáticos, o que leva a uma

análise dos fundamentos históricos e lógicos dos mesmos. Ela pode contribuir para o

reconhecimento da origem dos saberes matemáticos, como por exemplo, a história do

conceito de logaritmo explicita suas ligações com os problemas comerciais e de navegação

do século XVII, ao mesmo tempo em que evidencia suas relações com as progressões

aritméticas e geométricas.

Apesar de sua importância, Brito (ibidem, apud NASCIMENTO, 2009), aponta que

várias dificuldades permeiam o uso da história da Matemática em sala de aula, como a

escassez de materiais que sugiram caminhos para a elaboração de atividades que visem à

construção dos conceitos matemáticos a partir desse conhecimento, o desconhecimento da

história por parte dos formadores dos futuros professores, a fragmentação excessiva entre

as áreas do conhecimento existente nos cursos de formação e a dificuldade de acesso a

fontes históricas.

Vianna (1998), ao analisar o discurso de Dirk Jan Struik, em seu artigo “Por que

estudar História da Matemática?” em que tenta traçar motivações para o estudo da História

da Matemática, não só para professores, como também para matemáticos profissionais,

mostra que a História pode ser usada para atrair a atenção das pessoas para a Matemática e

isso pode ser feito de muitas maneiras: conhecendo-se a “origem” de determinado assunto

como o sistema de numeração ou o Cálculo, conhecendo as ideias que levaram à escolha

de certos nomes para alguns elementos da matemática, por exemplo: o “cálculo”, a função

“seno”; outra maneira de atrair a atenção é citando os nomes de grandes matemáticos,

salientando sua contribuição para o conhecimento humano. Tudo isso pode não ser muito

relevante, mas – segundo Struik – é “a oportunidade que o estudante tem de travar

conhecimento com o trabalho de matemáticos de vanguarda, suas personalidades e a

gênese de suas teorias”.

Ainda de acordo com o autor, “a história da educação matemática é uma história de

muitos milênios, com períodos de rotinas tranquila e com período de turbulência...Onde se

iniciou essa história?” Quais as relações entre o processo de industrialização dos países e

sua matemática? Que influências as guerras exerceram sobre o desenvolvimento da

matemática e seu ensino?. Em resumo, Struik defende que o estudo da História da

Matemática pode contribuir para: satisfazer nosso desejo de saber como os conceitos da

matemática se originaram e desenvolveram; o ensino e a pesquisa mediante o estudo dos

autores clássicos, o que vem a ser uma satisfação em si mesmo; entendermos nossa

herança cultural através das relações da matemática com as outras ciências, em particular a

física e a astronomia e também com as artes, a religião, a filosofia e as técnicas artesanais;

o encontro entre o especialista em Matemática e profissionais de outras áreas científicas;

oferecer um pano de fundo para a compreensão das tendências da educação matemática no

passado e no presente; Ilustrar e tornar mais interessantes o ensino da matemática.

Em se tratando da contextualização da História da Matemática eu seu ensino, Fossa

(2001) aponta que a História da Matemática é uma das formas de se contextualizar o

ensino da Matemática escolarizada como possibilidades de situar o conhecimento no

tempo e no espaço bem como motivar os alunos para um despertar para a aprendizagem da

matemática (FOSSA, 2001 apud SANTO & SILVA, 2004)

O Contexto da Interdisciplinaridade

Thiesen (2008) em seu artigo “A interdisciplinaridade como um movimento

articulador no processo ensino-aprendizagem”, destaca que a interdisciplinaridade como

um enfoque teórico-metodológico ou gnosiológico, como a denomina Gadotti (2004),

surge na segunda metade do século passado, em resposta a uma necessidade verificada

principalmente nos campos das ciências humanas e da educação: superar a fragmentação e

o caráter de especialização do conhecimento, causado por uma epistemologia de tendência

positivista em cujas raízes estão o empirismo, o naturalismo e o mecanicismo científico do

início da modernidade.

Sobretudo pela influência dos trabalhos de grandes pensadores modernos como

Galileu, Bacon, Descartes, Newton, Darwin e outros, as ciências foram sendo divididas e,

por isso, especializando-se. Organizadas, de modo geral, sob a influência das correntes de

pensamentos naturalista e mecanicista, buscavam, já a partir da Renascença, construir uma

concepção mais científica de mundo. A interdisciplinaridade como um movimento

contemporâneo que emerge na perspectiva da dialogicidade e da integração das ciências e

do conhecimento, vem buscando romper com o caráter de hiperespecialização e com a

fragmentação dos saberes.

Quanto à definição de conceitos, ou de um conceito, para interdisciplinaridade, tudo

parece estar ainda em construção. Segundo Thiesen (2008), qualquer demanda por uma

definição unívoca e definitiva deve ser a princípio rejeitada, por tratar-se de proposta que

inevitavelmente está sendo construída a partir das culturas disciplinares existentes e porque

encontrar o limite objetivo de sua abrangência conceitual significa concebê-la numa ótica

também disciplinar.

O que se pode afirmar no campo conceitual é que a interdisciplinaridade será

sempre uma reação alternativa à abordagem disciplinar normalizadora (seja no ensino ou

na pesquisa) dos diversos objetos de estudo. Independente da definição que cada autor

assuma, a interdisciplinaridade está sempre situada no campo onde se pensa a possibilidade

de superar a fragmentação das ciências e dos conhecimentos produzidos por elas e onde

simultaneamente se exprime a resistência sobre um saber parcelado.

Para Japiassu (1976, apud THIESEN, 2008) a interdisciplinaridade caracteriza-se

pela intensidade das trocas entre os especialistas e pelo grau de integração real das

disciplinas no interior de um mesmo projeto.

Segundo Thiesen (2008), partindo do pressuposto apresentado por Japiassu (1976)

de que a interdisciplinaridade se caracteriza pela intensidade das trocas entre os

especialistas e pelo grau de integração real das disciplinas no interior de um mesmo projeto

de pesquisa, exige-se que as disciplinas, em seu processo constante e desejável de

interpretação, se fecundem cada vez mais reciprocamente. Para tanto, é imprescindível a

complementaridade dos métodos, dos conceitos, das estruturas e dos axiomas sobre os

quais se fundem as diversas práticas pedagógicas das disciplinas científicas.

No Brasil a interdisciplinaridade começou a ser abordada a partir da Lei de

Diretrizes e Bases Nº 5.692/71. Desde então, sua presença no cenário educacional

brasileiro tem se tornado mais presente e, recentemente, mais ainda, como a nova LDB Nº

9.394/96 e com os Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio. Além da sua grande

influência na legislação e nas propostas curriculares, a interdisciplinaridade tornou-se cada

vez mais presente no discurso e na prática de professores.

A utilização da interdisciplinaridade como forma de desenvolver um trabalho de

integração dos conteúdos de uma disciplina com outras áreas do conhecimento é uma das

propostas apresentadas pelos PCN’s que contribui para o aprendizado do aluno. Apesar

disso, estudos têm revelado que a interdisciplinaridade ainda é pouco conhecida.

Quanto ao contexto da interdisciplinaridade, Santo & Silva (2004) afirmam que a

contextualização do conhecimento matemático em conteúdos de outras disciplinas é uma

das formas de se mostrar a contribuição da matemática na leitura dos diversos fenômenos

naturais e sociais em que outras ciências se apresentam. Como por exemplo: um dos

conceitos mais interdisciplinares da matemática do ensino básico é a proporcionalidade.

Tal conceito tem sua origem nos problemas de estrutura multiplicativas, mas é primo para

o conceito de função.

Por sua vez o conceito de função é um dos mais aplicados na modelagem

matemática dos fenômenos das ciências naturais (Físicas, Químicas, Biologias, etc.),

sociais e das Engenharias.

A Matemática como contexto para a Matemática

Ao que se refere a matemática como contexto para a matemática, Santo & Silva

(2004) mostra que a matemática é um corpo de conhecimento solidamente estruturado de

forma que em alguns casos se confunde com o próprio pensamento natural do sujeito. A

lógica natural tem muito de estrutura de pensamento que serve à lógica Matemática.

Considera que é possível, nos moldes Piagetianos, desenvolver conhecimento

matemático nos contextos pró-ativo e retroativo. No contexto pró-ativo, mostra que muitas

vezes o professor fica com dificuldades de discorrer sobre um conteúdo matemático por ser

de caráter abstrato para o aluno do Ensino Básico. Nesse caso, seria interessante que o

professor recorresse a um contexto pró-ativo, isto é, situar o raciocínio do aluno a partir de

um conceito que seja uma forma mais elementar daquele conhecimento considerado.

No contexto retroativo, mostra que da mesma forma que podemos desenvolver um

conhecimento matemático mais elevado por intermédio da manipulação de conceitos mais

simples e conhecidos do aluno, podemos, a partir de um dado conteúdo mais complexo,

melhorar a compreensão de outro já conhecido.

Esta forma de contextualização tem uma grande vantagem de resolver um dos

problemas sérios do ponto de vista da formação do professor: a capacidade para justificar

um conteúdo com vistas à motivação do aluno para o estudo e à aprendizagem

significativa.

Almouloud (2014) procura mostrar a contextualização da Matemática pela

Matemática, em seus exemplos de situações-contextualizadas adequadas e equivocadas.

Exemplifica as situações-contextualizadas adequadas com o problema

“introduzindo uma função polinomial do 1º grau cuja lei de formação é definida por

sentenças: ‘um ponto M se desloca sobre o lado de um quadrado ABCD que tem cada lado

medindo 4 unidades de medida (u.m). Designamos por x a medida em centímetros do

comprimento do trajeto de A a M’. a) Expresse a área a(x) segundo a posição do ponto M;

b) Represente graficamente a aplicação correspondente”.

O problema pode ser proposto a alunos que têm um bom conhecimento sobre área e

perímetro de figura planas, estruturas aditivas e multiplicativas de números reais e de

expressões algébricas, conhecimentos básicos sobre o conceito de função (definição, lei de

formação, domínio e contradomínio de uma função, construção de gráfico de uma função),

mas nenhum conhecimento sobre uma função cuja lei de formação é definida por várias

sentenças.

O autor orienta que para os que não têm conhecimento de função polinomial do 1º

grau cuja lei é definida por várias sentenças, é uma situação de pesquisa muito rica em

razão de vários domínios matemáticos (geometria, álgebra, campo numérico) envolvidos,

diferentes níveis de interrogação e dos novos conhecimentos que esta situação vai

convocar nos diferentes campos da Matemática.

Ao encontrar a função polinomial do 1º grau cuja lei de formação é definida por

sentenças sugeridas pelo problema, ela é a ferramenta adequada para responder a questão.

Portanto, essa função é contextualizada, personalizada no momento da resolução da

situação. Depois da institucionalização local (DOUADY,1993 apud ALMOULOUD,

2014), a função polinomial, cuja lei é definida por sentenças, pode ser institucionalizada,

ou seja, deve definir formalmente (fora do contexto da situação proposta) esse tipo de

função, o vocabulário associado, a notação e a forma de representa-la graficamente.

Para as situações contextualizadas inadequadas, Almouloud (2014) mostra o

problema “Falso contexto para resolução de equação do 2º grau. ‘Para determinar a

fórmula que permite calcular as soluções (se existirem em R) de uma equação do segundo

grau do tipo: ax²+bx+c 0a , é comum encontrar em livros didáticos a seguinte

configuração por meio da qual é pedido para calcular o valor de x (sendo b e x

respectivamente a largura e o comprimento do primeiro retângulo a partir da esquerda):

Na análise matemática feita pelo autor, a área do quadrado maior será

2

2

2

bbxx . Como x²+bx=c, teremos

2

2

bc igual a área do quadrado maior cujo

lado é 2

bx . Então:

2

22

bc

bx ,

22

2bb

cx

,

2

4 2bcbx

Percebe-se, pelo procedimento adotado, que um dos valores calculado para

2

4 2bcbx

é necessariamente negativo, o que é absurdo tendo em conta o contexto

do problema no qual x é uma medida de comprimento do primeiro retângulo.

Para evitar erros de abordagem, que pode recair em respostas contextualizadas

errôneas, Almouloud (2014) orienta que seria preciso utilizar o processo de fatoração

(como segue) no contexto puramente algébrico, evitando que o aluno construísse uma

concepção equivocada sobre o tema estudado.

Procedimentos para equação: 0,0 22 a

c

a

bxxcbxax

Usando o princípio de equivalência, podemos somar o termo 2

2

4a

b para completar o

quadrado, depois subtrair o mesmo termo 2

2

4a

b para manter a igualdade.

044 2

2

2

22

a

c

a

b

a

b

a

bxx , após fatoração e agrupamento de termos, teremos a

seguinte equação: 2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

, se 0

4

42

2

a

acb, podemos extrair a raiz

b

x

b/2

x

x

x

b/2

x

b/2

x

x

x

b/2

b/2 b

quadrada de ambos os lados da equação e obter a seguinte relação:

2

2

a

bx =

2

2

4

4

a

acb

a

acb

a

bx

2

4

2

2 ,

a

acbbx

a

b

a

acbx

2

4

22

4 22

.

Também, Gitirana (2004, apud NASCIMENTO, 2009) ao se referir as

contextualizações artificiais, afirma que não auxiliam na elaboração do conhecimento ou

ainda que são contextos que podem resultar em situações absurdas, como aquela em que as

variáveis x e y representam as idades de um pai e de um filho e quando determinadas

equivalem a 120 e 20.

É necessário buscar a pertinência do contexto em relação aos conteúdos a serem

ensinados, pois em lugar de contribuir com a construção dos conceitos matemáticos, a

contextualização pode interferir negativamente nesse processo.

Considerações

Considerando que a Matemática está presente em diferentes tipos de contextos e

que o seu ensino difere das demais, pois em determinados contextos ela se apresenta como

objeto, em outros como ferramenta, isso acarreta dificuldades para quem ensina, como

aponta Onuchic & Allevato (2005), “(...) são várias as dificuldades no ensino e

aprendizagem dessa área do conhecimento, o que por sua vez tem impulsionado os

envolvidos com a educação matemática a buscarem caminhos mais adequados para se

ensinar essa disciplina” (ONUCHIC; ALLEVATO, 2005)

Ensinar e aprender Matemática por serem pontos relevantes a serem considerados

quando se refere às dificuldades no ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento,

Almouloud comenta que “Ensinar Matemática, por um professor, é criar as condições

favoráveis à produção de conhecimento pelos estudantes. Aprender Matemática, por um

aluno, é se envolver em uma atividade intelectual cuja consequência é a disponibilidade de

um saber com seu duplo status de ferramenta e objeto” (ALMOULOUD, 2014)

Finalmente, as abordagens aqui apresentada sobre os tipos de contextos e o ensino

de Matemática objetivou contribuir com a melhoria do seu ensino, ao convocar o professor

a dirigir um novo olhar para o ensino e aprendizagem dessa disciplina.

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1999.

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