O método de Melnikov para sistemas Hamiltonianos descontínuos · Propriedades 2 Funções de Melnikov - caso contínuo Propriedades e Caos Hamiltoniano ... Propriedades Retrato

MotivaçãoFunções de Melnikov - caso contínuo

Funções de Melnikov - caso descontínuo

O método de Melnikov para sistemasHamiltonianos descontínuos

João Paulo Ferreira de Mello

CMCC - Departamento de MatemáticaUFABC

04/09/2015 / EPA-Dinâmica

João Paulo Ferreira de Mello Funções de Melnikov em Sistemas Descontínuos



Conteúdo

1 MotivaçãoModelo "Rocking Block"Equações de MovimentoPropriedades

2 Funções de Melnikov - caso contínuoPropriedades e Caos HamiltonianoFunções de Melnikov

3 Funções de Melnikov - caso descontínuoHipótesesFunções de MelnikovExemplo - “Rocking Block”




Modelo "Rocking BlockEquações de MovimentoPropriedades

Conteúdo








Motivação

Primeiro estudo analítico feito por G.W. Hausner [2].Diversos estudos experimentais, numéricos e analíticos.





Motivação

Primeiro estudo analítico feito por G.W. Hausner [2].Diversos estudos experimentais, numéricos e analíticos.





Rocking Block

CM

AB

DC

A’B’

D’C’





O modelo

Os parâmetros usados no modelo são

H

B

Αx

Α

R

CM

g

a(t) OO'

H Altura.B Largura.M Massa.I Momento deinércia com relaçãoà O ou O′.α = arctan

(BH

)a(t) = ε cos (ωt)





O modelo


H

B

Αx

Α

R

CM

g

a(t) OO'


(BH






O modelo


H

B

Αx

Α

R

CM

g

a(t) OO'


(BH






O modelo


H

B

Αx

Α

R

CM

g

a(t) OO'


(BH






O modelo


H

B

Αx

Α

R

CM

g

a(t) OO'


(BH






O modelo


H

B

Αx

Α

R

CM

g

a(t) OO'


(BH






Conteúdo








As equações de movimento

Equações de movimento{αx + sin (α(1− x)) = −αε cos (ωt) cos (α(1− x)) se x > 0αx − sin (α(1 + x)) = −αε cos (ωt) cos (α(1 + x)) se x < 0

Estruturas delgadas (α pequeno)x − x + sign(x) = −ε cos (ωt).

Equação não perturbada x − x + sign(x) = 0.






Equações de movimentoαx + sign(x) sin (α(1− sign(x)x)) = −αε cos (ωt) cos (α(1− sign(x)x))























Conteúdo








Retrato de fase





Variedade de Descontinuidade

Σ






Σ = h−1(0)

h ∈ C1(R2,R)






Σ = h−1(0)

h ∈ C1(R2,R)

S− S+





Hamiltoniano Descontínuo

ΣΣ = h−1(0)

h ∈ C1(R2,R)

S−

H−(x , y) =y2

2− x2

2+ x

x =∂H−

∂y= y

y = −∂H−

∂x= x + 1

S+

H+(x , y) =y2

2− x2

2− x

x =∂H+

∂y= y

y = −∂H+

∂x= x − 1

H−(0, y) = H+(0, y)





Pontos Hiperbólicos do tipo sela

z− z+





Ponto de Dobro-Dupla Invisível





Ponto de Dobra-Dupla Invisível

Σ






Σ






Σ





Conexão Heteroclínica

Φ−(t , t0) Φ+(t , t0)

z− z+






Φ−(t , t0) Φ+(t , t0)

z− z+

Φ−(t0, t0) = Φ+(t0, t0) ∈ Σ






Φ−(t , t0) Φ+(t , t0)

z− z+

Φ−(t0, t0) = Φ+(t0, t0) ∈ Σ

Φ(t , t0) =

{Φ−(t , t0) se t < t0Φ+(t , t0) se t ≥ t0





Órbitas Periódicas






ϕc(t , t0) órbitas periódicas

c ∈ (0,∞)







c ∈ (0,∞)

Tc período de ϕc(t0)

Tc é C1







c ∈ (0,∞)

Tc período de ϕc(t0)

Tc é C1

Tc é crescente





Propriedades do sistema não perturbado

P1) O sistema não perturbado é Hamiltoniano descontínuo.P2) Presença de dois pontos hiperbólicos do tipo sela

denotados por z±.P3) A origem é um ponto de dobra dupla invisível.P4) Presença de duas conexões heteroclínicas ligando os

pontos de sela z±.P5) A região compreendida entre as duas conexões

heteroclínicas é folheada por órbitas periódicas{ϕc(t); c ∈ (0,1)}, onde ϕc(t) é uma órbita periódica.

P6) O período das órbitas ϕc(t) é uma função continuamentediferenciável e crescente com relação à c.





Coeficiente de restituição

O coeficiente de restituição é um número r ∈ (0,1] que simulaa perda de energia após o impacto do bloco contra a superfície.




Propriedades e Caos HamiltonianoFunções de Melnikov

Conteúdo








Hipóteses

q = J.∇H(q).

J =

(0 1−1 0

).

Família de órbitasperiódicas.





Perturbação do sistema dinâmico

O método de Melnikov estudará as propriedades quedevem existir no sistema perturbado, sabendo aspropriedades do não perturbado.q = J.∇H(q) + εg(t ,q) (sistema perturbado)g(t ,q) campo de vetores de classe C1.T -periódico na variável t .























Caos Homoclínico/Heteroclínico

As imagens abaixo foram tiradas do sítiohttps://matheuscmss.wordpress.com/2012/08/25/homoclinicheteroclinic-bifurcations-introduction/.

















(m,n)-órbitas periódicas

Dados m,n ∈ N (m,n)-órbitaperiódica se:

# (γ(R+) ∩ Σ) = 2m.γ(t) = γ(t + nT ).

Observação: As (m,n)-órbitas periódicas do sistema nãoperturbado são as órbitas de período

nm

T . Denotaremos essas

órbitas por ϕ(m,n)(t , t0)





(m,n)-órbitas periódicas

Dados m,n ∈ N (m,n)-órbitaperiódica se:

# (γ(R+) ∩ Σ) = 2m.γ(t) = γ(t + nT ).

Observação: As (m,n)-órbitas periódicas do sistema nãoperturbado são as órbitas de período

nm

T . Denotaremos essas

órbitas por ϕ(m,n)(t , t0)





Conteúdo








Funções de Melnikov

Função de Melnikov subharmônica

Mm,n(t0) =

∫ nT

0〈∇H,g〉(ϕ(m,n)(t , t0), t + t0)dt

onde ϕ(m,n)(t , t0) é uma (m,n)- órbita periódica.Função de Melnikov

M(t0) =

∫ +∞

−∞〈∇H,g〉 (Φ(t , t0), t + t0)dt

onde Φ(t , t0) é uma órbita heteroclínica.







Mm,n(t0) =

∫ nT

0〈∇H,g〉(ϕ(m,n)(t , t0), t + t0)dt


M(t0) =

∫ +∞

−∞〈∇H,g〉 (Φ(t , t0), t + t0)dt






Teoremas - Funções de Melnikov

Teorema (Caso periódico)

Se Mm,n(t0) possuir um zero simples, então existe ε0 > 0 talque para todo 0 < ε < ε0 o sistema dinâmicosq = J.∇H(q) + εg(q, t) possui uma (m,n)-órbita periódica.

Teorema (Caso heteroclínico/homoclínico)

Se M(t0) possuir um zero simples, então existe ε0 > 0 tal quepara todo 0 < ε < ε0 o sistema dinâmicosq = J.∇H(q) + εg(q, t) possui uma conexãohomoclínica/heteroclínica transversal.





Exemplo - Oscilador de Duffing

x = y ,y = x − x3 + ε cos (t).

Tomando ε = 0

x = y ,y = x − x3,

que é um sistema Hamiltoniano com

H(x , y) =y2

2− x2

2+

x4

4.





Retrato de fase - Duffing

Υ+





Cálculo da Função de Melnikov

Υ+(t) = (√

2sech(t),−√

2sech(t)tanh(t)).

M(t0) =√

2∫ ∞−∞

sech(t − t0)tanh(t − t0) cos (t)dt .

Após alguns cálculos utilizando resíduos obtemos,

M(t0) =√

2πsech(π

2

)sin (t0).

No intervalo (0,2π] a função M(t0) possui zeros simples, asaber, π e 2π. Portanto, o oscilador de Duffing perturbadopossui um ponto homoclínico tranversal.





Adaptação

Para um sistema dinâmico contínuo satisfazendo condiçõesanálogas ao oscilador de Duffing, o método de Melnikovfornece uma maneira analítica de responder às perguntas:

Quando as variedades instável e estável de dois pontos desela se cruzam transversalmente?Quando uma (m,n) - órbita periódica persiste sob a açãode uma perturbação?

Seria possível adaptarmos o método de Melnikov clássico parasistemas descontínuos?





Adaptação








Adaptação







PropriedadesFunções de MelnikovExemplo - “Rocking Block”

Conteúdo








Hipóteses

q = J.∇H(q) + εg(q, t)Σ = h−1(q) onde h é C1

g(q, t) é T - periódica navariável t .

Σ





Propriedades do sistema não perturbado

P1) O sistema não perturbado seja Hamiltoniano descontínuo.P2) Presença de dois pontos hiperbólicos do tipo sela

denotados por z±.P3) A origem seja um ponto de dobra dupla invisível.P4) Presença de duas conexões heteroclínicas ligando os

pontos de sela z±.P5) A região compreendida entre as duas conexões

heteroclínicas seja folheada por órbitas periódicas{ϕc(t); c ∈ (0,1)}, onde ϕc(t) é uma órbita periódica.

P6) O período das órbitas ϕc(t) seja uma funçãocontinuamente diferenciável e crescente com relação à c.





Conteúdo










Mm,n(t0) =

∫ nT

0〈∇H,g〉(ϕ(m,n)(t , t0), t + t0)dt


M(t0) =

∫ +∞

−∞〈∇H,g〉 (Φ(t , t0), t + t0)dt








Mm,n(t0) =

∫ nT

0〈∇H,g〉(ϕ(m,n)(t , t0), t + t0)dt


M(t0) =

∫ +∞

−∞〈∇H,g〉 (Φ(t , t0), t + t0)dt






Teoremas - Funções de Melnikov

Teorema (Caso periódico)

Se Mm,n(t0) possuir um zero simples, então existe ε0 > 0 talque para todo 0 < ε < ε0 o sistema dinâmicoq = J.∇H(q) + εg(q, t) possui uma (m,n)-órbita periódica.

Teorema (Caso heteroclínico/homoclínico)

Se M(t0) possuir um zero simples, então existe ε0 > 0 tal quepara todo 0 < ε < ε0 o sistema dinâmicoq = J.∇H(q) + εg(q, t) possui uma conexãohomoclínica/heteroclínica transversal.





Conteúdo








Voltando ao modelo "Rocking Block"

Vamos mostrar a persistência das (1,n)-órbitas periódicas.

H(x , y) =y2

2+ sign(x)x − x2

2g(x , y , t) = (0, cos (ωt)).

g(x , y , t) tem período 2π.

M1,n(t0) = − 4ω2 + 1

cos (ωt0)

No intervalo [0,T ] a função M1,n(t0) tem dois zeros simples, a

saber, t1 =T4

e t2 =3T4

.







H(x , y) =y2

2+ sign(x)x − x2

2g(x , y , t) = (0, cos (ωt)).


M1,n(t0) = − 4ω2 + 1

cos (ωt0)


saber, t1 =T4

e t2 =3T4

.







H(x , y) =y2

2+ sign(x)x − x2

2g(x , y , t) = (0, cos (ωt)).


M1,n(t0) = − 4ω2 + 1

cos (ωt0)


saber, t1 =T4

e t2 =3T4

.







H(x , y) =y2

2+ sign(x)x − x2

2g(x , y , t) = (0, cos (ωt)).


M1,n(t0) = − 4ω2 + 1

cos (ωt0)


saber, t1 =T4

e t2 =3T4

.







H(x , y) =y2

2+ sign(x)x − x2

2g(x , y , t) = (0, cos (ωt)).


M1,n(t0) = − 4ω2 + 1

cos (ωt0)


saber, t1 =T4

e t2 =3T4

.





Sistema Perturbado - Plot das curvas

Tomando como condições iniciais os pontos(

0, y0,π

2

)+O(ε)

e(

0, y0,3π2

)+O(ε), n = 5 e ε = 1.6565.10−2 ,podemos

resolver numericamente a equação perturbada

Figure: Essa figura foi tirada do artigo [1]





Bibliografia

A.Granados, S.J.Hogan, T.M.Seara. The Melnikov Methodand Subharmonic Orbits in a Piecewise-Smooth System.SIAM J. Applied Dynamical Systems. v.11, n.3, p.801-830,2012.

G.W.Housner. The behavior of inverted pendulumstructures during earthquakes. Bulletin of the Seismologicalof America. v.53, n.2,p.403-417, Fev/1963

J.Guckenheiner, P. Holmes. Nonlinear Oscillations,Dynamical Systems, and Bifurcation of Vector Field. NovaIorque, Springer-Verlag.

A. F. Filippov, Differential Equation with DiscontinuousRighthand Sides, Kluwer (1988).





FIM


Documents

O método de Melnikov para sistemas Hamiltonianos descontínuos · Propriedades 2 Funções de Melnikov - caso contínuo Propriedades e Caos Hamiltoniano ... Propriedades Retrato