UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO, ATUÁRIA, CONTABILIDADE E SECRETARIADO

DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO

Documento de Estudo no. 2

O modelo CAPM

Copyright Pereira, F. I.

INTRODUÇÃO O modelo de formação de preços de ativos de capital (CAPM) associa o risco não-diversificável e retorno de todos os ativos. Discutir-se-á o modelo em cinco partes.

• A primeira delas define, deriva e descreve o coeficiente beta, o qual é uma medida de risco não-diversificável, tanto para ativos individuais como para carteiras.

• A segunda parte apresenta uma equação do modelo. • A terceira descreve graficamente a relação entre risco e retorno. • Na quarta parte, são discutidos os efeitos de mudanças nas expectativas inflacionárias e a

aversão ao risco na relação entre risco e retorno. • A parte final apresenta alguns comentários gerais sobre CAPM.

ORIGEM Os investimentos em ativos físicos ou em títulos formam carteiras de investimento. O retorno esperado dessas carteiras depende de vários fatores, aos quais chamamos de fatores de risco. Alguns riscos referem-se ao mercado como um todo, por exemplo: riscos climáticos, riscos políticos, comportamento da inflação. Outros riscos são específicos do negócio em que se está aplicando recursos. Naturalmente, o gestor financeiro tem maior gerência dos riscos especificamente relacionados aos projetos, podendo até deixar de investir no ativo, dependendo desse nível de risco, ou ainda investir em outros ativos, para evitar submeter todos os recursos ao mesmo tipo de risco; ou seja, pode diversificar o investimento. Esse é o risco diversificável. Por outro lado, existem riscos aos quais todo e qualquer ativo está submetido: é o risco do mercado, aquele do qual não se pode fugir. Esse é o risco não diversificável. Harry Markovitz e William Sharpe desenvolveram o modelo do CAPM preocupando-se com o risco não diversificável, pois o risco diversificável, como o próprio nome afirma, pode ser “desviado”. Em mercados em equilíbrio, o retorno de todos os ativos aproxima-se do retorno de mercado. O modelo fez com que os autores fossem agraciados com o Prêmio Nobel de Economia em 1990. É afirmação do equilíbrio de mercado que as taxas de retorno em equilíbrio de todos os ativos com risco são função da sua covariância com o portfólio de mercado. Em outras palavras, na avaliação do risco de uma carteira de investimentos importa a contribuição de cada um dos ativos. TIPOS DE RISCO NO CAPM O modelo do CAPM considera dois tipos distintos de risco: o risco diversificável, relativo ao risco de cada um dos papéis da carteira, e o risco não diversificável, inerente à economia como um todo. O risco não diversificável chama-se sistemático, pois essa variação de retornos ocorre em qualquer carteira. Risco não sistemático é o diversificável, ou seja, aquele inerente à variabilidade dos retornos de cada um dos ativos da carteira. Ao risco total há que se somar uma margem de erro, que pode ser expresso estatisticamente como um erro randômico.

O risco não sistemático de uma carteira com mais de um ativo é o somatório dos riscos de cada um dos ativos que a compõem. É o somatório ponderado das variabilidades dos retornos de cada um dos papéis da carteira. Quando se altera a composição dos ativos na carteira, obtém-se uma alteração do risco, medida pela covariância dos retornos de cada ativo. Dessa forma, o risco de um título pode ser entendido como a variância de seus retornos, e o risco da carteira como a covariância entre os retornos dos ativos considerados. PREMISSAS DO MODELO Para desenvolver o modelo de precificação de ativos de capital, William Sharpe e outros partem de algumas premissas:

1. Os investidores são indivíduos aversos ao risco que buscam maximizar a utilidade esperada de sua riqueza no final do período do investimento.

2. Os investidores são tomadores de preço que têm expectativa homogênea sobre o retorno dos ativos, que assumem distribuição normal.

3. Existe um ativo livre de risco, que pode ser emprestado sem limites de quantias. 4. A quantia de ativos é fixa. Todos os ativos são divisíveis e negociáveis no mercado. 5. Os ativos de mercado estão acessíveis a todos, assim como as informações, que não tem

custos. Os custos de captação são iguais aos custos de aplicação. 6. Não existem imperfeições de mercado, tais como impostos, regulações e restrições para

vendas de curto prazo. DECISÃO DO INVESTIDOR A decisão de investir é balizada na análise de risco – retorno, o risco sendo entendido como variação dos retornos esperados e o retorno sendo associado a probabilidades de ocorrência. Em outras palavras: a utilidade do investidor é função do valor esperado da riqueza e de seu desvio padrão. O primeiro fator deve ser maximizado e o segundo, minimizado. Como o retorno de mercado é o parâmetro do investidor, e o mercado é considerado eficiente, a curva dos retornos constitui a fronteira eficiente, sob a qual repousarão as diferentes curvas de utilidade do investidor, a variar conforme o perfil de risco assumido. Para provar o CAPM é necessário que a carteira de mercado seja eficiente. Se as expectativas dos investidores são homogêneas, todos irão perceber a mesma variância de risco, independente de sua tolerância a ele. Se todos escolhem carteiras eficientes, a linha de mercado será eficiente, pois é um somatório das escolhas individuais. A composição da carteira é uma combinação de ativos, e o retorno será calculado a partir dos pesos de cada um deles. A variação dos retornos, entendida como risco, pode ser evitada pelo investidor quando ele opta por papéis com reduzida covariância; o que é mais difícil evitar é a variação dos retornos médios do mercado. Portanto, o modelo de CAPM é a associação dos riscos não diversificáveis ao retorno de todos os ativos. Utiliza-se de coeficientes para estabelecer uma equação e um gráfico de interpretação

COEFICIENTE BETA O coeficiente beta, b, é usado para medir o risco não diversificável. É um índice do grau de movimento do retorno de um ativo em resposta à mudança no retorno de mercado. É o índice de variação do retorno em função das flutuações de mercado, a medida da volatilidade da ação em relação à de uma média. O coeficiente beta de um ativo pode ser encontrado examinando-se os recursos históricos do ativo, relativos aos retornos do mercado. O retorno de mercado é o retorno da carteira de mercado de todos os títulos negociados. O retorno de uma carteira de ações no Standard & Poor’s 500 Stock Compsite Index ou qualquer outro índice de ações similar é geralmente usado para medir o retorno de mercado. Se bem que os betas dos títulos ativamente negociados podem ser obtidos de uma variedade de fontes, é importante entender sua derivação, interpretação e aplicação às carteiras. Beta derivado de dados de retorno A relação entre o retorno de um ativo e o retorno de mercado e seu uso na derivação do beta pode ser demonstrado graficamente. A Figura 1 mostra a relação entre os retornos de dois ativos – R e S – e o retorno de mercado. Observe que o eixo horizontal (X) mede os retornos de mercado e o eixo vertical (Y) mede os retornos de cada ativo (R ou S). O primeiro passo para derivar o beta envolve a marcação das coordenadas do retorno de mercado e dos retornos do ativo em vários pontos no tempo. Tais coordenadas de retorno de mercado anual – retorno do ativo são vistas na Figura 1 para o ativo S somente para os anos de 1987 a 1994 (com os anos anotados entre parênteses). Por exemplo, em 1994, o retorno do ativo S foi de 20%, quando o retorno de mercado estava 10%. Pelo uso das técnicas de estatísticas, a “linha característica” que melhor explica a relação entre as coordenadas do retorno do ativo e do retorno de mercado é ajustada aos pontos dados. A inclinação dessa linha é o beta. O beta para o ativo R está próximo de 0,80, e para o ativo S está próximo de 1,30. Evidentemente, o beta mais alto do ativo S (inclinação mais acentuada da linha característica) indica eu seu retorno é mais sensível à mudança dos retornos de mercado e, portanto, é mais arriscado que o ativo R.

Figura 1 – Gráfico dos desvios do beta para os ativos R e S Obtenção e interpretação dos betas Ainda insistindo no aspecto conceitual do beta ( )β de um título, que nada mais é que uma medida de risco de um título em uma carteira ampla. O beta de um título significa o quanto esse título deverá variar quando o mercado variar de uma unidade, ou seja, é a sensibilidade das ações às variações do valor da carteira de mercado. O coeficiente beta considerado para o mercado é igual a 1. Coeficientes beta positivos representam ativos que se movimentam na mesma direção do mercado. Coeficientes negativos

-20 -10 10 15 20 25 30 35

35

30

25

20

10

5

- 5

-10

-15

-20

-25

-30

Retorno de mercado

(%)

Ativo S

Ativo R

Linha característica R

Linha característica R

(1990) o

(1987) o

(1991) o

30,1inclinaçãosb ==

80.0inclinaçãosb ==

(1994) o

(1993) o (1992)

o

(1988) o

Retorno do ativo (%)

indicam movimentação oposta. Jornais e publicações especializadas fornecem os coeficientes beta para as empresas mais importantes. O Quadro 1 fornece alguns valores de beta selecionados e suas correspondentes interpretações.

Beta Comentário Interpretaçãoª 2,0 Movimentam-se na

mesma direção do mercado

Duas vezes com maior reação ou risco que o mercado

1,0 Mesma reação ou risco que o mercado (i. e., risco médio)

0,5 Apenas a metade da reação ou risco que o mercado

0 Não afetado pelos movimentos do mercado

- 0,5 Movimentam-se em direção oposta do

mercado

Apenas a metade da reação ou risco que o mercado

- 1,0 Mesma reação ou risco que o mercado (i. e., risco médio)

-2,0 Reação ou visão duas vezes maior que o mercado

ª Espera-se que uma ação que reaja duas vezes mais que o mercado tenha uma mudança de 2% em seu retorno para cada mudança de 1% ao retorno da carteira de mercado, enquanto se espera que uma ação cuja reação é a metade, com relação ao mercado, tenha uma mudança de ½ de 1% para cada 1% de mudança no retorno da carteira de mercado. Suponha que o retorno de uma determinada ação e o retorno de mercado seja o seguinte:

Dia Retorno de Mercado (%)

Retorno da ação A (%)

01 3,0 4,0 02 2,0 2,5 03 0,0 0,5 04 (1,5) (2,0) 05 (1,0) (1,8) 06 (3,0) (3,1) 07 4,5 7,0 08 2,0 3,0 09 1,5 2,0 10 0,5 0,9

Deve-se, inicialmente, calcular a média aritmética dos retornos de mercado e da ação A. Assim, tem:

%80,010

0,8MX

10

5,05,10,25,40,30,15,10,00,20,3MX ==⇒

++++−−−++=

%30,110

0,13AX

10

9,00,20,30,71,38,10,25,05,20,4AX ==⇒

++++−−−++=

O procedimento seguinte cabe calcular a co-variância do retorno da carteira de mercado e a ação A.

Dia Diferença em relação ao retorno esperado

( )ARAiR −

Diferença em relação ao retorno esperado

( )MRMiR −

Produto das diferenças

( )ARAiR − x ( )MRMiR − 01 (0,040-0,013)= 0,027 (0,030-0,008)= 0,022 0,000594 02 (0,025-0,013)= 0,012 (0,030-0,008)= 0,012 0,000144 03 (0,005-0,013)= -0,008 (0,030-0,008)= -0,008 0,000064 04 (-0,020-0,013)= -0,033 (0,030-0,008)= -0,023 0,000759 05 (-0,018-0,013)= -0,031 (0,030-0,008)= -0,018 0,000558 06 (-0,031-0,013)= 0,044 (0,030-0,008)= -0,038 0,001672 07 (0,070-0,013)= 0,057 (0,030-0,008)= 0,037 0,002109 08 (0,030-0,013)= 0,017 (0,030-0,008)= 0,012 0,000204 09 (0,020-0,013)= 0,007 (0,030-0,008)= 0,007 0,000049 10 (0,009-0,013)= -0,004 (0,030-0,008)= -0,003 0,000012

( ) ( )[ ]000617,0

10

006165,0

10

10

1iMRMiRxARAiR

R,R MA===

−−

=∑

σ

Dia Diferença em relação

ao retorno esperado ( )MRMiR −

Produto das diferenças

( )MRMiR − x ( )MRMiR − = ( )2MRMiR − 01 (0,030-0,008)= 0,022 0,000484 02 (0,030-0,008)= 0,012 0,000144 03 (0,030-0,008)= -0,008 0,000064 04 (0,030-0,008)= -0,023 0,000529 05 (0,030-0,008)= -0,018 0,000324 06 (0,030-0,008)= -0,038 0,001444 07 (0,030-0,008)= 0,037 0,001369 08 (0,030-0,008)= 0,012 0,000144 09 (0,030-0,008)= 0,007 0,000049 10 (0,030-0,008)= -0,003 0,000009

( )

( )3531,1

000456,0

000617,02M

MR,ARcovA

000456,010

004560,0

10

RR2M

10

1i

2MMi

==σ

=β

==∑ −

=σ =

O fato de o beta dessa ação A ser igual a 1,3531 quer dizer que na média, quando o mercado tiver alteração marginal, ação variará 1,35%, ou seja, quando o mercado subir 1% a ação A subirá 1,3531% e quando o mercado cair 1% a ação A cairá 1,3531%. O que acontecerá com a ação A quando o mercado subir 3%? ∆A = 1,3531 x 3% = 4,0593% Nesse caso específico da ação A, o beta foi igual a 1,3531. No entanto, o beta poderia ter sido um número negativo e isso indicaria que na média, quando o mercado subir, a ação cairá. Nada impede que o beta seja igual a zero. Betas de Carteiras O beta de uma carteira pode ser facilmente obtido através de betas de ativos individuais que são incluídos. Representando por jw a porção do valor total em unidades monetárias da carteira do

ativo j e jb sendo igual ao beta do ativo j, podemos usar a equação que segue para encontrar o

beta da carteira, pb :

( ) ( ) ( ) ∑=+++==

n

1jjjnn2211p b.wb.w...b.wb.wb

Evidentemente, ∑ ==

n

1jj 1w , significa que 100% dos ativos da carteira devem estar incluídos

nesse cálculo. Os betas da carteira são interpretados exatamente da mesma maneira que os betas individuais dos ativos. Eles indicam o grau de reação dos retornos da carteira com relação a mudanças no retorno de mercado. Por exemplo, quando o retorno de mercado incrementa-se em 10%, a carteira com beta de 0,75 experimentará um aumento de seus retornos de 7,5 (0,75 x 10%), enquanto que a carteira com um beta de 1,25 sofrerá um incremento de 12,5% em seus retornos (1,25 x 10%). Carteiras com betas baixos têm menor reação e, portanto, são de menor risco que as carteiras com betas altos. Evidentemente, uma carteira contendo a maior parte em ativos com betas baixos terá um beta baixo, e uma carteira com ativos de betas altos terá um beta alto. A EQUAÇÃO No modelo CAPM, utiliza-se como ponto de partida o retorno do ativo livre de risco. A partir desse ponto, qualquer variação no retorno da carteira de mercado alterará o retorno da carteira pelo produto entre o beta do título e a variação do retorno da carteira decrescido do retorno livre de risco. Veja como fica esse modelo matematicamente:

( ) ( )LALA RRRRE −β+=

Façamos um exemplo: Suponha que um investidor aplique R$ 1.000,00 em determinada ação que possui a seguinte característica:

( )50,1

R,Rcov2M

MAA =

σ=β

Ainda tem-se que o ativo livre de risco dá um retorno de 8% ao ano e que o retorno de mercado é de 13% ao ano. Façamos agora ao cálculo para vermos quanto essa ação A dará de retorno ao investidor.

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) %50,15RE

%50,7%8RE

%5.50,1%8RE

%8%1350,1%8RE

RRRRE

A

A

A

A

LALA

=+=+=

−+=−β+=

Isso quer dizer que uma vez que esse título possui um beta igual a 1,50; que a esperança de retorno do mercado em um ano é de 13%; e que o retorno do ativo livre de risco é de 8% ao ano, espera-se que essa ação A valorize-se 15,50% nesse ano. Pode-se mostrar isso graficamente:

Suponhamos uma ação B que tenha um beta igual a 1, pelo gráfico, vê-se claramente, por meio do ponto B, que o retorno esperado dessa ação seria 13%, ou seja, o mesmo retorno de mercado. No entanto, conforme previsto anteriormente, quando beta é igual a 1,50 (ação A), o retorno obtido é de 15,50%. Portanto, tem-se que: = + X REFERÊNCIAS ASSAF NETO, A. e LIMA, F. G. Curso de administração Financeira. São Paulo, Atlas, 2009. GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira, 10.ed. São Paulo: Addison Wesley, 2004. FULLER, R. J. FARREL JÚNIOR, J. L. Modern investments and security analysis.McGraw Hill: New York. 1987.

0,5 1,0 1,5 2,0

20 18

16

14

12

10

8

6

4

2

Beta

A

B

Ret

orno

(%

)

Retorno Esperado

de um título

Retorno do ativo sem risco

Beta do

título

Diferença entre o retorno esperado da

carteira de mercado e a taxa livre de risco