UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

CÍNTIA TEIXEIRA PRÉVE

IDENTIFICAÇO E CONTROLE DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE

LIBERDADE NO LINEAR CÚBICO USANDO NEUTRALIZADORES

DINÂMICOS VISCOELÁSTICOS

CURITIBA - PR

2015

CÍNTIA TEIXEIRA PRÉVE

IDENTIFICAÇO E CONTROLE DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE

LIBERDADE NO LINEAR CÚBICO USANDO NEUTRALIZADORES

DINÂMICOS VISCOELÁSTICOS

.

Dissertação aprovada omo requisito par ial

à obtenção do grau de Mestra em Enge-

nharia Me âni a do Curso de Mestrado do

Programa de Pós-Graduação em Engenharia

Me âni a da Universidade Federal do Pa-

raná, na área de on entração Fenmenos de

Transporte e Me âni a dos Sólidos

Orientador: Prof. Dr. Carlos Alberto

Bavastri

Coorientador: Prof. Dr. Eduardo Már io de

Oliveira Lopes

CURITIBA - PR

2015

P944i Préve, Cíntia Teixeira

Identi ação e ontrole de um sistema om um grau de liberdade não

linear úbi o usando neutralizadores dinâmi os vis oelásti os / Cíntia

Teixeira Préve. - Curitiba, 2015.

94 f. : il. olor. ; 30 m.

Dissertação - Universidade Federal do Paraná, Setor de Te nologia,

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Me âni a, 2015.

Orientador: Carlos Alberto Bavastri - Coorientador: Eduardo Már io

de Oliveira Lopes. Bibliograa: p. 81-87.

1. Me âni a - Vibração. 2. Materiais vis oelásti os. 3. Sistemas

não lineares. 4. Derivada. I. Universidade Federal do Paraná. II.

Bavastri, Carlos Alberto. III. Lopes, Eduardo Már io de Oliveira. IV.

Identi ação e ontrole de um sistema om um grau de liberdade não

linear úbi o usando neutralizadores dinâmi os vis oelásti os.

CDD: 620.11248

TERMO DE APROVAÇO

CÍNTIA TEIXEIRA PRÉVE

IDENTIFICAÇO E CONTROLE DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE

LIBERDADE NO LINEAR CÚBICO USANDO NEUTRALIZADORES

DINÂMICOS VISCOELÁSTICOS

Dissertação aprovada omo requisito par ial à obtenção do grau de Mestra em Engenharia

Me âni a do Curso de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Me âni a

da Universidade Federal do Paraná, na área de on entração Fenmenos de Transporte e

Me âni a dos Sólidos.

Prof. Dr. Mar o Antnio Luersen

Universidade Te nológi a Federal do Paraná, UTFPR

Prof. Dr. Manuel Jesus Cruz Barreda

Universidade Federal do Paraná, UFPR

Dr. Flavio Augusto Presezniak

Volvo do Brasil Veí ulos, Advan ed Engineering Group.

Curitiba, 23 de fevereiro de 2015.

Dedi o este trabalho primeiramente a Deus, que

todos os dias me fortale e e ilumina minha a-

minhada. À minha família, pilares fundamen-

tais da minha edu ação e desenvolvimento, em

espe ial ao meu pai Vanderlei, minha mãe Nilsa

e meu irmão Deison. Dedi o também aos meus

olegas de mestrado e aos olegas da UFPR.

Ainda, aos amigos verdadeiros que estiveram

junto omigo nesta etapa e aos ilustres professo-

res, também responsáveis pelo avanço da minha

arreira a adêmi a. A todos vo ês, muito obri-

gada. Sem esse time, a trajetória não teria sido

a mesma. Valeu galera!

AGRADECIMENTOS

Ini ialmente, deixo os meus sin eros agrade imentos a todos que estiveram e estão

presentes durante a minha aminhada.

Agradeço ao meu orientador e professor Dr. Carlos Alberto Bavastri e ao meu

oorientador e professor Dr. Eduardo Már io de Oliveira Lopes pelo auxílio e atenção

dedi ada a este trabalho. Agradeço também à ban a examinadora e aos demais seletos

professores. Ao André Born, obrigada pela olaboração, dedi ação e omprometimento

om este trabalho. E à CAPES pelo apoio nan eiro durante todo esse período.

Aos meus olegas do Laboratório de Vibrações e Som em espe ial à Fran ielly

Castro, que foi minha ompanheira de todas as horas, das angustiantes até as mais felizes;

sem dúvida alguma, foi um presente que Deus me ofertou nesta etapa e que agora não

deixo mais sair. À Fernanda Balbino, que foi onforto nos momentos tristes e porto seguro

nos momentos de de isão. À Adriana Basniak, que hegou para ar e, me propor ionou

os meus melhores momentos de des ontração, sorrisos e alegrias. À Regiane Piontkewi z,

que, mesmo distante, ompartilhou dos mesmos sentimentos e experiên ias desde o iní io

dessa aminhada na UFPR. À Jéssi a Felix, que, sem querer entrou para ar e, sem

dúvida alguma, entende o quanto esse momento é importante. Ao Pedro Nunes, pelos

papos de vida e pela presença divertida diariamente. Ao Leandro da Silva, pelas onversas

ambi iosas de arreira e algumas fofo as. Ao olega Jederson da Silva, que auxiliou-me

quando pre iso no laboratório, e ao olega Mar elo Fortuoso, pela presença sin era e

pelo atendimento aos meus inúmeros gritos de so orro. Ao Adair Dumas e ao Saimon

Tramontin, por ontinuarem sendo verdadeiros irmãos desde a UDESC: vo ês já não me

es apammais. Não poderia esque er ainda das minhas olegas do basquete Débora Fidelis,

Ana Bonamigo, Juliana Viana, Camilla Albuquerque, Isabel Gebauer, Carolina Mes ko,

Karine Mottin, Fran ielly Castro e Tatiana Abdalla, pois junto om elas a aminhada

semanal do mestrado ava leve e o que pare ia árduo, tornava-se tranquilo: vo ês são

sensa ionais. Enm, a todos os olegas dessa Universidade que de, alguma maneira,

olaboraram, meus umprimentos: vo ês fazem parte da minha história na UFPR.

Agradeço também ao meu irmão, que resolve todos os meus problemas de infor-

máti a quando eu me desespero e penso em voltar ao tempo da pedra, além de ser o meu

ompanheiro eterno. Mesmo longe, eu te tenho sempre aqui, sempre no meu oração.

Para fe har om have de ouro minha gratidão, vem eles, meus queridos pais, o

asal mais forte, batalhador, persistente, úmpli e e el aos seus lhos e à sua asa.

Eu agradeço pela vida, pelo esforço de vo ês na minha riação, pela parti ipação ativa

nas atividades do meu mestrado, pela minha edu ação, por me aturarem e por sempre

a reditarem em mim. Eu não umpriria mais essa etapa, se não fossem vo ês. A toda a

minha grande família, obrigada, eu amo a todos!

Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros

de gigantes.

Isaa Newton

RESUMO

Neutralizadores dinâmi os vis oelásti os são dispositivos auxiliares onsagrados, utiliza-

dos no ontrole de vibração e ruído de sistemas me âni os. Mais re entemente, eles vêm

sendo parti ularmente estudados no ontrole de sistemas não lineares. O uso de neutra-

lizadores vis oelásti os se sobressai pelo fato de que a implementação práti a de neutra-

lizadores dinâmi os om amorte imento vis oso é difí il, apare endo esses na maioria das

vezes, apenas para o m de omparações. Os materiais vis oelásti os têm a apa idade de

armazenar e dissipar energia vibratória, onsolidando os elementos de mola e amorte edor

em um úni o elemento. Neste trabalho, é apresentada uma metodologia para a identi-

ação de um sistema não linear úbi o, utilizando o problema inverso de identi ação

e, posteriormente, a on epção de um neutralizador dinâmi o vis oelásti o linear ótimo

ligado àquele sistema não linear úbi o. A formulação matemáti a baseia-se no on eito

de parâmetros equivalentes generalizados para o neutralizador, juntamente om o método

do balanço harmni o para a solução da equação de movimento do sistema omposto.

O modelo de derivada fra ionária om quatro parâmetros é utilizado para representar o

material vis oelásti o. Té ni as de otimização não linear são utilizadas na implementa-

ção numéri a, tanto na identi ação do sistema primário quanto no ontrole do sistema

omposto (sistema primário mais neutralizador).

Palavras- have: Controle de Vibração. Neutralizadores Dinâmi os Vis oelásti os. Siste-

mas Não Lineares Cúbi os. Derivada Fra ionária.

ABSTRACT

Vis oelasti dynami neutralizers are well established auxiliary devi es used in the vibra-

tion and noise ontrol of me hani al systems more re ently, they have been parti ularly

investigated for non-linear systems. The use of vis oelasti neutralizers stand out for the

reason that vis ous neutralizers are di ult to implement, appearing in most ases for

omparison purposes only. The vis oelasti materials have the apa ity to store and dis-

sipate vibrational energy, joining the spring and the damper in one element only. In this

dissertation, a methodology is presented to the identi ation of a ubi nonlinear system,

using the inverse identi ation problem and, subsequently, the design of an optimal vis-

oelasti dynami neutralizer to be atta hed to that nonlinear system. The mathemati al

formulation is based on the on ept of generalizad equivalent parameters for the neutrali-

zer, along with the harmoni balan e method for the solution of the equations of motion

of the ompound system. The model of fra tional derivative with four parameters is used

to des ribe the vis oelasti material. Nonlinear optimization te hniques are used in the

numeri al implementation, both in the identi ation of the primary system and in the

ontrol of the ompound system (primary plus neutralizer).

Keywords: Vibration Control. Vis oelasti Dynami Neutralizers. Cubi Nonlinear Sys-

tems. Fra tional Derivative.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

1 Deformações dos materiais elásti os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Fator de perda e módulo dinâmi o om temperatura e frequên ia ontantes. . . . 31

3 Nomograma de frequên ia reduzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Sinais de resposta de um sistema não linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Grá o de Nyquist de um sistema não linear úbi o. . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Grá o de Bode de um sistema não linear úbi o. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 Sistema não linear úbi o om um grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . 44

8 Resposta (deslo amento) de um os ilador de Dung para uma entrada senoidal.

Os pontos de bifur ação são vistos em B e C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Resposta (deslo amento) de um os ilador de Dung para uma entrada senoidal

da frequên ia inferior à frequên ia superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

10 Resposta (deslo amento) de um os ilador de Dung para uma entrada senoidal

da frequên ia superior à frequên ia inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

11 (a)Isolamento de movimento. (b)Isolamento de força. . . . . . . . . . . . . . . 48

12 Sistema não linear úbi o om um grau de liberdade sob movimento da base. . . 50

13 Plano omplexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

14 Modelo do sistema omposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

15 Neutralizador simples om um grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . 62

16 Sistemas equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

17 Modelo do sistema om PEG's. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

18 Modelo do sistema omposto para transmissibilidade. . . . . . . . . . . . . . . 67

19 Método de Nelder e Mead. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

20 FRF para um sistema linear om NDV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

21 Esquema de otimização não linear - Identi ação + Controle. . . . . . . . . . . 73

22 Instante do ajuste de urvas de transmissibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

23 Ajuste nal das urvas de transmissibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

24 Sistema sem e om NDV - Neoprene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

25 Sistema sem e om NDV - Borra ha Butíli a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

26 Sistema sem e om NDV - EAR-C1002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

27 Sistema não linear úbi o sob ex itação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

28 Conjunto experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

29 Conjunto experimental real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

30 Sistema Não Linear Cúbi o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

31 Curva Experimental (variação res ente de frequên ia). . . . . . . . . . . . . . 92

32 Módulo de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

33 Ampli ador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

LISTA DE TABELAS

1 Modelo de derivada fra ionária de quatro parâmetros dos materiais vis o-

elásti os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2 Parâmetros omplementares dos materiais vis oelásti os. . . . . . . . . . . 76

3 Frequên ia ótima do neutralizador vis oelásti o linear. . . . . . . . . . . . 76

LISTA DE SÍMBOLOS

Alfabeto Latino

A - Área isalhada

B - Módulo volumétri o

bm - Parâmetro do modelo fra ionário

b1 - Parâmetro do modelo fra ionário

ceq - Amorte imento equivalente do sistema omposto

c, c1 - Constante de amorte imento linear

Dκm- Derivada de ordem fra ionária

Dαn- Derivada de ordem fra ionária

E - Módulo de Young

E0 - Parâmetro do modelo fra ionário

En - Parâmetro do modelo fra ionário

E(Ω) - Módulo dinâmi o de elasti idade

Ec(Ω) - Módulo omplexo de elasti idade

E ′(Ω) - Módulo de perda

F (Ω) - Transformada de Fourier de f(t), força apli ada ao

sistema

Ft(Ω) - Transformada de Fourier de ft(t), força transmitida

pelo sistema

fobj(x) - Função objetivo

G(Ω) - Módulo dinâmi o de isalhamento

Gc(Ω) - Módulo omplexo de isalhamento

G0(Ω) - Módulo instantâneo ou relaxado

G1(Ω) - Parâmetro do modelo fra ionário

G∞(Ω) - Módulo não relaxado ou de longo tempo

gj(x) - j -ésima restrição de desigualdade

H(Ω) - Função resposta em frequên ia

h - Altura entre as áreas isalhadas

hi(x) - i -ésima restrição de igualdade

i -

√−1

kb(Ω) - Rigidez dinâmi a na base

k, k1 - Constante de rigidez linear

k3 - Constante de rigidez não linear

k - Rigidez dinâmi a

L - Fator geométri o

M - Relação entre tensão e deformação

ma - Massa do neutralizador

meq - Massa equivalente do sistema omposto

m1 - Massa do sistema primário

R - Conjunto dos números reais

Rn

- Espaço n-dimensional

S - Fator de forma

Syy - Densidade espe tral de potên ia

Sxy - Densidade espe tral de potên ia ruzada

T0 - Temperatura de projeto do neutralizador

t - tempo

X(Ω) - Transformada de Fourier de x(t)Xb(Ω) - Transformada de Fourier de xb(t)x - Vetor projeto

x(t) - Deslo amento da massa de um sistema om um grau de liberdade

x′(t) - Velo idade da massa de um sistema om um grau de liberdade

x′′(t) - A eleração da massa de um sistema om um grau de liberdade

x2 - Coordenada generalizada do sistema se undário

Y (Ω) - Transformada de Fourier de y(t)y(t) - Ex itação sobre o sistema primário ou estrutura

Z(Ω) - Transformada de Fourier de z(t)z(t) - Movimento da massa em relação a base

Alfabeto Grego

α - Parâmetro fra ionário

α3 - Constante de não linearidade úbi a

αn - Ordem fra ionária

αT - Deslo amento das urvas de G(Ω) ou E(Ω)ε(t) - Deformação

ηG(Ω) - Fator de perda de isalhamento do material vis oelásti o

ηE(Ω) - Fator de perda longitudinal do material vis oelásti o

κm - Ordem fra ionária

ν - Coe iente de Poisson

Ωn - Frequên ia natural

ΩR - Frequên ia reduzida

Ωi - Frequên ia ini ial

Ωf - Frequên ia nal

Ωk - k -ésima frequên ia

ϕ - Ângulo de fase

ϕt - Ângulo de fase da transmissibilidade

ϕx - Ângulo de fase do deslo amento

ϕxb- Ângulo de fase do deslo amento na base

ϕz - Ângulo de fase da diferença de deslo amento

σ(t) - Tensão

θ1 - Parâmetro do material vis oelásti o

θ2 - Parâmetro do material vis oelásti o

SUMÁRIO

1 INTRODUÇO 15

1.1 Proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Estrutura do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 REVISO DE LITERATURA 19

2.1 Controle de Vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Sistemas Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 MATERIAIS VISCOELÁSTICOS 24

3.1 Propriedades Dinâmi as do Material Vis oelásti o . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Modelos para o Material Vis oelásti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Modelo om Derivada de Ordem Inteira . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Modelo om Derivada de Ordem Fra ionária . . . . . . . . . . . . . 28

4 SISTEMAS NO LINEARES 33

4.1 Tipos de Ex itação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Tipos de Não Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.1 Rigidez Cúbi a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.2 Rigidez ou Amorte imento Bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.3 Rigidez Linear por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.4 Amorte imento Não Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.5 Atrito de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Solução de uma Equação Diferen ial Não Linear . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.1 Método do Balanço Harmni o - (MBH) . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.2 Sistema Não Linear Cúbi o om um Grau de Liberdade . . . . . . 44

4.3.3 Função Resposta em Frequên ia - Não Linearidade Cúbi a . . . . . 46

4.3.4 Transmissibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.5 Isolamento de Movimento - Sistema Linear om umGrau de Liberdade 49

4.3.6 Isolamento de Movimento - Sistema Não Linear Cúbi o om um

Grau de Liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.7 Inuên ia dos Harmni os Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.8 Sistema Não Linear Cúbi o om dois Graus de Liberdade . . . . . . 56

4.3.9 Sistema Composto Clássi o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.10 Parâmetros Equivalentes Generalizados - PEG's . . . . . . . . . . . 62

4.3.11 Sistema Composto om Parâmetros Equivalentes Generalizados -

(PEG's) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.12 Sistema Composto - Transmissibilidade e PEG's . . . . . . . . . . . 66

5 PROJETO ÓTIMO - PROGRAMAÇO NO LINEAR 68

5.1 Té ni a de Otimização Não Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Identi ação do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Controle do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.1 Neutralizador Dinâmi o Vis oelásti o - (NDV) . . . . . . . . . . . . 71

6 EXEMPLO NUMÉRICO 73

6.1 Identi ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 CONCLUSO 79

7.1 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

REFERÊNCIAS 81

Apêndi e A - Realização experimental88

1 INTRODUÇO

Para a imensa maioria dos sistemas me âni os e estruturais de interesse, em que

os valores de amorte imento en ontrados não são elevados (ou seja, são valores menores

do que os valores ríti os orrespondentes), uma vibração é um movimento os ilatório

do sistema em questão em relação a uma onguração de equilíbrio, movimento esse

de orrente de ações dinâmi as apli adas sobre o sistema. Um exemplo lássi o é forne ido

por uma massa suspensa a partir de uma mola. No equilíbrio, esse sistema se en ontra

em repouso. Se a massa é deslo ada dessa posição e liberada, ela irá experimentar uma

vibração verti al, om tro a entre as energias poten ial e inéti a.

Vibrações me âni as podem ser favoráveis em várias apli ações na indústria e no

onsumo. As vibrações geradas por instrumentos musi ais e por equipamentos vibratórios

omo es ovas de dentes elétri as ou bate-esta as são alguns exemplos.

No entanto, vibrações ex essivas podem apresentar onsequên ias prejudi iais e

ruídos desagradáveis. Por exemplo, máquinas sujeitas a elevadas amplitudes de vibração

apresentam falhas por fadiga, ou ainda, alguns ruídos gerados por motores podem ser

des onfortáveis à audição humana. Dessa forma, devido aos efeitos devastadores que

as vibrações podem ausar nas máquinas e estruturas, a análise de vibrações tornou-se

fundamental no projeto e desenvolvimento dos sistemas me âni os de engenharia. Uma

forma de reduzir esses níveis, quando vibrações elevadas de orrem de fenmenos tais

omo ressonân ia e instabilidade dinâmi a, entre outros, é utilizar algumas das seguintes

té ni as bási as:

• atuar sobre a força de ex itação, eliminando-a, reduzindo sua am-

plitude e/ou alterando sua omposição em frequên ia;

• atuar sobre a estrutura, variando a massa e/ou rigidez, ou ainda,

introduzindo amorte imento;

• apli ar um sistema me âni o auxiliar sobre o sistema vibrante.

(CRUZ, 2004).

A teoria para sistemas lineares em vibrações me âni as é bem estabele ida e bas-

tante simples. Um sistema é dito linear quando seus omponentes, massa, mola e amor-

te edor, apresentam reações linearmente propor ionais as suas variáveis inemáti as as-

so iadas. Entretanto, sistemas reais são não lineares.

"A presença de não linearidades em estruturas onduz a muitos fenmenos físi os

interessantes que não podem ser expli ados por modelos lineares"(Nayfeh e Mook, 1979;

Nayfeh, 2000). Tais fenmenos podem in luir "pulos"na resposta, saturação e os ilações

auto ex itadas. Segundo Thomsen (1997), as não linearidades podem ser responsáveis

por desvios signi ativos entre as observações experimentais e as previsões dos modelos

lineares. Dessa forma, embora mais re entes do que em sistemas lineares, o ontrole e

15

identi ação em sistemas não lineares têm emergido de forma signi ativa.

Neste trabalho, o sistema em estudo é não linear úbi o, embora existam sistemas

om outros tipos de não linearidade, tais omo: relações quadráti as, logarítmi as, ex-

ponen iais, ossenoidais, tangen iais, entre outras. Pode-se itar omo exemplo de um

sistema não linear do tipo úbi o, um sistema om um grau de liberdade omposto por

uma massa que está presa a molas lineares e os ilando transversalmente em relação as

molas. Este movimento lateral das molas pode introduzir uma não linearidade úbi a.

Conforme itado a ima, uma das maneiras de ontrolar vibrações ex essivas é a

introdução de um sistema se undário (sistema auxiliar) ao sistema primário (sistema

vibrante). A esse sistema se undário dá-se o nome de neutralizador dinâmi o. Este

dispositivo tem a nalidade de reduzir a vibração no sistema primário, introduzindo uma

elevada impedân ia me âni a, em uma faixa de frequên ia onde o sistema primário pre isa.

Frahm (1909) props um neutralizador dinâmi o que envolve a adição de um sis-

tema massa-mola para eliminar as vibrações do sistema primário. Desde então, outros

modelos vêm sendo propostos para o ontrole de vibração e ruído irradiado. Uma meto-

dologia para o projeto de um neutralizador dinâmi o om um grau de liberdade, atuando

em um sistema primário também om um grau de liberdade é onhe ida omo Método dos

Pontos Fixos, de Den Hartog (1956). Este método onta om um neutralizador dinâmi o

amorte ido (massa-mola-amorte edor) atuando em um sistema primário não amorte ido

(massa-mola). Na práti a, neutralizadores dinâmi os om amorte imento vis oso são de

difí il implementação, utilizados apenas omo modelos matemáti os de omparação.

Assim sendo, esses modelos foram substituídos por neutralizadores dinâmi os uti-

lizando material vis oelásti o, os quais foram apresentados primeiramente por Snowdon

(1959). Esse tipo de neutralizador é fa ilmente onstruído e apli ado a qualquer estrutura,

devido à versatilidade dos materiais vis oelásti os, que podem ser moldados e adaptados

om exibilidade. Estes materiais substituem os elementos de mola e amorte edor.

O Grupo de Pesquisa em Vibrações e Som em Sistemas Me âni os (GVIBS), da

Universidade Federal do Paraná (UFPR) vem desenvolvendo metodologias próprias para

o ontrole de vibrações e ruídos irradiados através do uso de materiais e dispositivos

vis oelásti os, tanto em sistemas me âni os não girantes quanto rotativos. Isso é parti u-

larmente observado no aso de neutralizadores vis oelásti os

Dessa forma, o objetivo deste trabalho é propor, implementar e validar uma meto-

dologia apaz de identi ar e ontrolar um sistema om um grau de liberdade não linear

úbi o, utilizando um neutralizador dinâmi o vis oelásti o linear.

1.1 Proposta

Neste trabalho, pretende-se denir e implementar uma metodologia ampla para a

identi ação e ontrole de vibração de um sistema não linear úbi o, om um grau de

liberdade. O ontrole de vibração faz uso de um neutralizador vis oelásti o linear.

16

O pro esso de identi ação proposto onsiste em obter os parâmetros do sistema

primário (massa, rigidez linear, rigidez não linear e amorte imento) através de um pro esso

inverso de identi ação. Para isto, realiza-se a medição de uma urva de transmissibili-

dade, que é aproximada por mínimos quadrados por um modelo matemáti o equivalente.

O sistema primário estudado tem ara terísti a não linear úbi a e a equação de Duf-

ng é utilizada para modelá-lo. A solução aproximada faz uso do Método do Balanço

Harmni o (MBH), largamente empregado na análise de sistemas não lineares.

O ontrole de vibração do sistema primário por neutralizador vis oelásti o é reali-

zado om o emprego de uma té ni a de otimização não linear. Através dessa otimização,

determina-se a frequên ia natural ótima do neutralizador linear. A partir dela, e do

orrespondente módulo omplexo de isalhamento do material vis oelásti o, obtem-se,

o fator geométri o do neutralizador utilizado na onstrução deste. O modelo de deri-

vada fra ionária de quatro parâmetros é utilizado para modelar o módulo omplexo do

material vis oelásti o. A formulação do sistema omposto (sistema primário + neutrali-

zador) baseia-se nos on eitos de Parâmetros Equivalentes Generalizados (PEG's) para o

neutralizador dinâmi o vis oelásti o.

Anterior a esta proposta, o Grupo de Pesquisa em Vibrações e Som em Sistemas

Me âni os (GVIBS) já realizou estudos om a nalidade de projetar um neutralizador

dinâmi o vis oelásti o ótimo para um dado sistema primário, por meio da Curva de

Resposta em Frequên ia (CRF). Neste trabalho, onsidera-se para a metodologia omo

um todo, por razões práti as, a urva de transmissibilidade omo resposta do sistema.

A medição em si não será realizada, embora seja apresentado um aso hipotéti o para a

validação da metodologia, bem omo uma proposta estrutural da experimentação omo

sugestão para trabalhos futuros.

1.2 Estrutura do Texto

Este trabalho é estruturado, em seu nú leo, em seis apítulos, que se seguem à

presente introdução.

No apítulo 1, é realizada uma revisão de literatura a er a dos assuntos abordados

nesta pesquisa. Apresenta-se uma breve ronologia dos prin ipais autores, grupos de

pesquisa, métodos, formulações e abordagens em geral, rela ionados ao estudo de sistemas

lineares e não lineares, assim omo ao ontrole de vibrações.

No apítulo 2, são introduzidas as ara terísti as que denem um material vis oe-

lásti o e a apli ação da derivada fra ionária de quatro parâmetros para modelar o material.

Mostra-se a importân ia do uso do ál ulo fra ionário e o porquê da sua utilização em

vis oelasti idade.

No apítulo 3, é apresentada a teoria pertinente de sistemas não lineares, expondo

os vários tipos de não linearidades existentes e o desenvolvimento da solução aproxi-

mada de um sistema não linear úbi o om a utilização do Método do Balanço Harm-

17

ni o (MBH). É exposto, também, o on eito de Parâmetros Equivalentes Generalizados

(PEG's).

No apítulo 4, introduzem-se os on eitos de otimização não linear, bem omo o

método utilizado no pro esso de identi ação do sistema e do ontrole de vibração.

No apítulo 5, é desenvolvido um exemplo numéri o para a validação dos dois

estágios da implementação numéri a, ou seja, identi ação e ontrole.

No apítulo 6, apresentam-se as onsiderações nais deste trabalho e as sugestões

de ontinuidade e omplementação desta pesquisa.

Finalmente, são apresentadas as referên ias bibliográ as onsultadas e o apêndi e.

18

2 REVISO DE LITERATURA

Neste apítulo, apresenta-se uma breve revisão de literatura om relação ao tema

estudado.

2.1 Controle de Vibrações

Uma forma de reduzir a resposta de um sistema exposto a ex itações em uma região

da frequên ia na qual esse sistema possui uma ou mais frequên ias naturais é o uso de

dispositivos auxiliares onhe idos omo neutralizadores dinâmi os. Os neutralizadores são

frequentemente en ontrados em máquinas elétri as que operam em velo idade onstante,

tais omo serras, lixadeiras, barbeadores e equipamentos alimentados por motores de

orrente alternada. São também omuns em linhas aéreas de transmissão de energia

elétri a, onde têm a função de protegê-las da vibração ex essiva ausada pelo vento. Em

alguns asos, são utilizados em pontes e edí ios de grande porte, no ombate a ações do

vento e terremotos. Nos últimos dois asos, ex itação é de banda larga de frequên ia.

Os neutralizadores dinâmi os podem ser lassi ados em ativos e passivos. De-

vido ao usto adi ional ou maior dos dispositivos ativos, por ne essitarem de sensores

e pro essadores, os dispositivos passivos apresentam maior re orrên ia em projetos de

ontrole.

Tehrani et al. (2013) apresentaram o método da re eptân ia para o ontrole ativo

de vibrações em sistemas não lineares. A apli ação do método não ne essitava do o-

nhe imento dos parâmetros do sistema, quais sejam, massa, amorte imento e rigidez. A

validação do método tornou-se possível através de omparações iterativas om a utilização

do método do balanço harmni o, independentemente da intensidade da não linearidade.

No trabalho de Khadem e Ahmadabadi (2012), o fo o foi investigar o efeito de

um dissipador de energia não linear a oplado a uma viga sob ex itação. O ontrole de

vibração foi realizado através de um aminho irreversível de bombeamento de energia e

a otimização dos parâmetros do sistema primário resultaram na aquisição de até 89% de

dissipação de energia. Ishida e Inoue (2007) trabalharam om um sistema de rotores não

linear, no qual foi realizado um ontrole de vibração passivo om o uso de um neutralizador

dinâmi o. Os autores investigaram que a não linearidade en ontrada na mola era devido

a folga dos rolamentos. Ainda neste trabalho, foram determinados os parâmetros ótimos

do sistema primário pelo método de Newton-Raphson, uma vez que se mostrou que a

teoria dos pontos xos de Den Hartog não poderia ser utilizada para a otimização.

Segundo Cruz (2004), sistemas de ontrole passivo apresentam maior diversidade

de on epções, pois resultam de projetos riativos voltados para ada problema espe í o.

O ontrole de vibração om o uso desses dispositivos pode ser visto tanto em sistemas

girantes quanto em sistemas não girantes, sendo este último o es opo deste trabalho.

19

Um dos pioneiros na apli ação de neutralizadores para suprimir vibrações foi Frahm

(1909), desenvolvendo o on eito orrespondente através da utilização da transferên ia

de água entre tanques para reduzir as os ilações entre navios. Outro pioneiro foi Den

Hartog (1956), que apresentou o modelo matemáti o de um sistema de dois graus de

liberdade (sistema primário mais neutralizador dinâmi o massa-mola-amorte edor). A

partir da teoria dos pontos xos, onseguiu determinar de forma ótima os parâmetros do

neutralizador dinâmi o. Porém, sabe-se que o modelo de amorte imento vis oso, por ele

utilizado, é de difí il onstrução práti a.

Uma alternativa foi a utilização de neutralizadores dinâmi os vis oelásti os. Ma-

teriais vis oelásti os são amplamente utilizados na engenharia, no ontrole de vibrações

e ruído irradiado. Snowdon (1959) apresentou modelos de um e dois graus de liberdade,

onde a mola e o amorte edor vis oso eram substituídos por um úni o elemento de material

vis oelásti o. A grande vantagem desse tipo de material é o elevado grau de amorte i-

mento que pode ser onseguido e a versatilidade para projetar dispositivos de ontrole de

variados tamanhos.

Vários modelos têm sido estudados para des rever o omportamento dos materiais

vis oeláti os. Passa-se dos modelos mais simples, de Kelvin e Maxwell, até os modelos

mais notórios, omo o estudado por Rogers (1983), que utilizou derivadas fra ionárias para

des rever as variações do módulo de elasti idade e do fator de perda em uma ampla banda

de frequên ias e temperaturas. Já Pritz (1996) estudou o modelo de orrente do uso da

derivada fra ionária, om quatro parâmetros, o qual provou ser adequado para des rever

as propriedades dinâmi as de materiais vis oelásti os termoreologi amente simples. Tal

modelo paramétri o também foi apresentado em Espíndola et al. (2010).

Embora a utilização de materiais vis oelásti os no projeto de neutralizadores dinâ-

mi os apresente inúmeras vantagens, um dos problemas é a signi ativa variação de seus

parâmetros de rigidez e amorte imento om a frequên ia de operação e a temperatura, o

que impossibilita a utilização de métodos analíti os de otimização de parâmetros. A m

de solu ionar este problema, as té ni as de otimização não linear têm sido apli adas na

obtenção dos parâmetros ótimos dos neutralizadores, omo se observa em Kitis (1983).

Esse trabalho onsistia em diminuir a resposta vibratória de uma viga engastada-livre

simples utilizando neutralizadores dinâmi os. Essa proposta resolvia o sistema ompleto

(no espaço de ongurações), entretanto, isto poderia se tornar extremamente pesado

do ponto de vista omputa ional quando o sistema apresentava um número de graus de

liberdade elevado, om vários neutralizadores sendo projetados simultaneamente.

Espíndola e Silva (1992) estabele eram uma teoria geral para o projeto ótimo de

neutralizadores dinâmi os vis oelásti os quando apli ados a uma estrutura genéri a, onde

um ou vários neutralizadores poderiam ser projetados para um ontrole modo a modo. A

teoria é baseada no on eito de parâmetros equivalentes generalizados (PEG's) de massa e

amorte imento. Segundo Espíndola e Silva (1992), e também Doubrawa (2008), o sistema

omposto (sistema primário mais neutralizador) pode ser des rito somente em função das

20

oordenadas generalizadas do sistema primário, sendo possível assim realizar as análises

em um subespaço modal deste. Isso é feito om um número reduzido de equações, através

de equivalên ia om a teoria de Den Hartog.

Essa teoria foi posteriormente ampliada para o ontrole em banda larga de frequên-

ia, permitindo que um onjunto de neutralizadores dinâmi os possa reduzir a resposta

de uma estrutura não mais modo a modo e sim em banda larga de frequên ia onde uma

ou várias frequên ias naturais estão presentes. Isso se deu om a utilização de té ni as de

otimização não linear, omo pode ser visto em Espíndola e Bavastri (1995), Espíndola e

Bavastri (1997), Bavastri (1997), Bavastri et al. (1998) e Espíndola et al. (2005a).

Diversos autores vêm trabalhando o uso de neutralizadores em sistemas me âni os.

Tarng et al. (2000) ajustaram manualmente um neutralizador de vibração e foram apa-

zes de modi ar a função resposta em frequên ia (FRF) de uma determinada ferramenta

de orte. Moradi et al. (2008) analisaram a inuên ia da posição do neutralizador ao

longo de uma barra de perfuração sobre a resposta de vibração. Nesse estudo, os parâ-

metros de absorção foram sele ionados a m de minimizar a deformação da extremidade

livre da barra de perfuração, sendo, o amorte imento do neutralizador abandonado nessa

abordagem. Posteriormente, Saury e Altus (2009) propuseram o uso de barras vis o-

elásti as omo uma alternativa em um neutralizador dinâmi o de vibração. O on eito

de neutralizadores dinâmi os também foi apli ado por Mastroddi et al. (2012), onde o

neutralizador deveria atuar em um intervalo pres rito de frequên ia, a m de minimizar

a resposta dinâmi a de uma nave espa ial.

2.2 Sistemas Não Lineares

Segundo Kers hen et al. (2006), estruturas dinâmi as não lineares têm sido estu-

dadas por um longo tempo, om as primeiras ontribuições de maior interesse datando da

dé ada de 70, om Ibanez et al. (1973) e Masri e Caughey (1979). Estes últimos mostra-

ram uma té ni a de identi ação de não linearidades não paramétri as, a qual podia ser

apli ada tanto para ex itações determinísti as quanto para ex itações aleatórias. Desde

então, vários métodos têm sido desenvolvidos, ontemplando sistemas om um grau de

liberdade e sistemas om múltiplos graus de liberdade, estes nos últimos 20 anos.

A identi ação de modelos de sistemas estruturais através do uso de dados ex-

perimentais têm re ebido onsiderável atenção devido ao aumento da importân ia dada

à previsão pre isa da resposta de estruturas para vários ambientes de arregamento. A

presença de não linearidades em estruturas onduz a muitos fenmenos físi os interessan-

tes, que não podem ser expli ados pela abordagem linear (Nayfeh e Mook, 1979; Nayfeh,

2000). Estes fenmenos in luem pulos, saturação e os ilações auto ex itadas. Portanto,

a ênfase é no desenvolvimento de té ni as de identi ação de sistemas não lineares que

possam predizer seu real omportamento dinâmi o.

Nesse ontexto, ita-se Nayfeh e Mook (1979) e S hmidt e Tondl (1986), que es-

tudaram sistemas de dois graus de liberdade om ara terísti as não lineares, e Simon e

21

Tomlinson (1984), que, através da transformada Hilbert, identi aram e ara terizaram

não linearidades em sistemas estruturais em uma análise modo a modo. Outro autor que

explorou a utilização da transformada Hilbert foi Feldman (1994 e 1997), só que suas

investigações se deram no domínio do tempo. Similar à te ni a da transformada Hil-

bert, Staszewski (1998) desenvolveu uma té ni a de identi ação de não linearidades em

sistemas estruturais, baseada na análise da amplitude e frequên ia instantâneas obtidas

através da transformada de Wavelet.

Com base no método do balanço harmni o, Yasuda e Kamiya (1999) propuseram

uma té ni a experimental para identi ar não linearidades em estruturas elásti as, em

que a força de ex itação deveria ser periódi a e a estimação dos parâmetros da equação

governante realizada om o método dos mínimos quadrados. Yang e Lin (2002) também

zeram uso do método dos mínimos quadrados, utilizando as informações de deslo a-

mento, velo idade e a eleração para determinar a solução re ursiva de parâmetros do

sistema, om a apresentação de simulações numéri as para sistemas não lineares om um

e dois graus de liberdade.

Na estimativa dos parâmetros me âni os de sistemas não lineares dis retos, ita-se

Ghanem e Romeu (2001). Eles estimaram esses parâmetros através dos dados de entrada

e saída por meio da solução da equação de movimento do sistema não linear om a té ni a

Wavelet-Galerkin.

Ainda om o mesmo enfoque, Nayfeh e Malatkar (2003) apresentaram um pro e-

dimento de identi ação simples e direto para a estimação dos parâmetros não lineares

que des revem a resposta de uma viga fra amente não linear. A viga foi ex itada harmo-

ni amente e o método de múltiplas es alas foi utilizado para determinar a expansão de

primeira ordem do modelo de equações. Os resultados do modelo foram omparados om

os resultados experimentais através de um ajuste de urvas e veri ou-se que o modelo

om amorte imento vis oso linear, não modela bem o sistema da viga. No entanto, om

a inserção de um termo não linear no amorte imento, pode-se veri ar a Curva Resposta

em Frequên ia (CRF) o mais próximo dos pontos experimentais.

Entre outros, Goge et al. (2005) observaram o omportamento entre frequên ia

de ressonân ia, amplitude de vibração, nível de ex itação e funções de ex itação em es-

truturas de aeronaves para identi ar as não linearidades das mesmas. A observação foi

através das urvas de resposta em frequên ia versus a amplitude máxima de vibração,

amplitude versus força de ex itação e FRF's para ada modo.

Daqaq et al. (2011) investigaram as ressonân ias primárias de um sistema de

segunda ordem fra amente não linear om não linearidade úbi a. O método de múltiplas

es alas foi utilizado na metodologia e a proposta foi validada omparando os resultados

obtidos via uma aproximação pelo método do balanço harmni o (MBH). A metodologia

onseguiu predizer, em alguns exemplos, a amplitude e estabilidade das respostas.

Ghayesh et al. (2011) desenvolveram um pro edimento geral para a análise das

vibrações de sistemas om não linearidade úbi a. Através do método de múltiplas es alas,

22

foram determinadas expressões analíti as aproximadas para a resposta em frequên ia e as

frequên ias naturais não lineares do sistema. Essas soluções foram determinadas através

de um algoritmo que forne eu o onhe imento direto sobre o rela ionamento entre os

parâmetros do sistema e suas ara terísti as dinâmi as. Esse algoritmo também permitiu

a validação do pro edimento proposto.

Vários autores utilizaram métodos de aproximação para obter a resposta do estado

esta ionário de sistemas ompostos (primário + neutralizador) om o objetivo de deter-

minar os parâmetros ótimos de neutralizadores não lineares. Nesse âmbito, vale ressaltar

as ontribuições de Roberson (1952), Pipes (1953), Soom e Lee (1983) e Nissen et al.

(1985).

Também nesse ontexto, Gatti et al. (2010b) des reveram o omportamento dinâ-

mi o de um sistema omposto por um shaker, modelado omo sendo linear, e um sistema

não linear, modelado omo um os ilador de Dung. A não linearidade do sistema foi ve-

ri ada na onguração geométri a da massa suspensa por quatro molas, que se in linam

quando são estendidas. O método do balanço harmni o (MBH) foi utilizado para de-

terminar as equações de resposta em frequên ia, bem omo as ondições de estabilidade.

Em um trabalho anterior, Gatti et al. (2010a) apresentaram o estudo do omportamento

dinâmi o de um sistema não linear semelhante ao a ima, porém a massa foi suspensa

por duas molas, as quais foram ajustadas para al ançar uma rigidez quase nula om não

linearidade úbi a pura.

Jing et al. (2014) analisaram a inuên ia da inserção de um amorte edor não

linear de ordem úbi a em um sistema isolado om um grau de liberdade. Observou-

se que, omo esperado, quando o oe iente de amorte imento linear era aumentado

para reduzir a transmissibilidade na frequên ia de ressonân ia, aumentava também a

transmissibilidade nas frequên ias altas. Dessa forma, o amorte edor não linear om

ara terísti a de ordem úbi a poderia ser in luído para suprimir a transmissibilidade na

frequên ia de ressonân ia.

O presente estudo trata espe ialmente da identi ação e do ontrole de um sistema

não linear úbi o om a utilização de um neutralizador dinâmi o linear vis oelásti o. Ji

e Zhang (2010) e Ji (2012) estudaram um sistema de dois graus de liberdade ompreen-

dido por um sistema primário fra amente não linear e um neutralizador dinâmi o linear,

uja e á ia na redução de vibração na ressonân ia foi observada. Bavastri et al (2012)

estudaram a inserção de um neutralizador dinâmi o vis oelásti o apli ado a um sistema

om não linearidade úbi a a m de reduzir sua resposta vibratória.

No próximo apítulo, serão abordadas as ara terísti as dos materiais vis oelásti-

os.

23

3 MATERIAIS VISCOELÁSTICOS

Segundo Findley et al.(1976), a vis oelasti idade ombina a elasti idade om a vis-

osidade; materiais om essa ara terísti a são materiais om propriedades me âni as de-

pendentes do tempo e/ou da frequên ia. Um material perfeitamente elásti o omporta-se

de a ordo om a lei de Hooke, em que, a tensão é diretamente propor ional à deformação.

Assim, um material vis oso é um material que se deforma de maneira ontínua e irrever-

sível sob tensão. Um material é dito vis oelásti o quando o orrem deformações elásti as

e vis osas simultaneamente, sendo o omportamento vis oso responsável pela dissipação

de energia, enquanto a parte elásti a en arrega-se do armazenamento da mesma. Materi-

ais que exibem omportamento vis oelásti o são, entre outros: plásti os, madeiras, bras

naturais e sintéti as e metais a temperaturas elevadas.

Neste apítulo, serão apresentadas algumas propriedades dinâmi as dos materi-

ais vis oelásti os, além de serem expostos os modelos onstitutivos que baseiam-se em

derivada de ordem inteira e fra ionária, esta última utilizada neste trabalho.

3.1 Propriedades Dinâmi as do Material Vis oelásti o

Segundo Snowdon (1968), há dois tipos de deformações elementares que um mate-

rial pode sofrer: de isalhamento e volumétri a. Quando a deformação é de isalhamento,

há variação de forma e não de volume, enquanto que na deformação volumétri a, o mate-

rial sofre variação de volume mas não de forma. A deformação de isalhamento, ilustrada

de forma típi a na Figura 1.a, é des rita pelo módulo de isalhamento G. Já a Figura 1.b

apresenta uma deformação volumétri a des rita pelo módulo volumétri o B (Snowdon,

1968). Uma deformação mista, om variação de forma e volume, é ilustrada na Figura 1.

Quando tem-se uma pla a em que as dimensões laterais são grandes, se omparadas

om a espessura, onforme mostra a Figura 1.d, o material pode apresentar ara terísti as

tais que a relação entre tensão e deformação é aproximada pelo módulo M, tal que

M = B +

(

4G

3

)

∼= B, (3.1)

onde B >> G, ou seja, o módulo volumétri o B é numeri amente muito maior que o

módulo de isalhamento G.

Já no aso apresentado pela Figura 1.e, que é a situação ontrária à da Figura

1.d, om as dimensões laterais pequenas em omparação om a espessura, a relação entre

tensão e deformação é aproximada pelo módulo de Young E, em função de B e G, tal que

24

Figura 1: Deformações dos materiais elásti os.

E =9BG

3B +G. (3.2)

Tem-se ainda a relação de Poisson, dada por

ν =E

2G− 1. (3.3)

Dessa forma, omo B >> G, as equações (3.2) e (3.3) podem ser aproximadas por E = 3G

e ν = 0, 5.

Em geral, a rigidez dinâmi a k de um elemento de material elastoméri o é dada

por (Espíndola, 1987)

k = LGc, (3.4)

onde L é hamado de fator geométri o, enquanto Gc é o módulo omplexo de isalhamento

(a ser melhor denido adiante). Para a deformação apresentada na Figura 1.a, L =A

h,

sendo A a área isalhada e h é a altura entre as áreas arregadas. No aso da Figura 1. ,

L =3A(1 + λS2)

h, sendo que S, é denido omo a razão entre uma das áreas arregadas

e toda a área livre (Nashif, 1985) e λ é uma onstante numéri a, que pode ser obtida

analiti amente ou experimentalmente. O modo de representar a rigidez de um material

25

vis oelásti o dado a ima é muito usado devido à sua simpli idade em ontrole de vibração

e ruído.

3.2 Modelos para o Material Vis oelásti o

Dentre os modelos elásti os que des revem o omportamento dos materiais vis oe-

lásti os, podem-se itar os modelos ompostos por mola e amorte edor vis oso, tais omo

os modelos de Maxwell, Kevin-Voigt e Zener, entre outros. Segundo Cruz (2004), esses

modelos são úteis apenas para des rever a resposta vis oelásti a de elastmeros sobre uma

estreita faixa de temperatura e/ou tempo. Contudo, o interesse frequente é para uma am-

pla faixa de temperatura e tempo. Uma alternativa é o emprego de modelos obtidos por

meio de derivadas de ordem fra ionária.

O uso da derivada fra ionária tem aorado omo uma ótima opção para modelar o

omportamento vis oelásti o e gerar modelos paramétri os (Bagley e Torvik, 1979; Bagley

e Torvik, 1986; Torvik e Bagley, 1987; Pritz, 1996; Rossikhin e Shitikova, 1998; Lopes,

1998 e Espíndola et al., 2005b e 2005 ). Segundo Cruz (2004), esses modelos produzem

uma representação analíti a bem omportada nos domínios do tempo e da frequên ia, além

de serem onsistentes om teorias mole ulares que expli am o omportamento me âni o

do meio vis oelásti o. A e á ia dessa abordagem foi largamente estudada e omprovada

por Pritz (1996), tendo ela sido utilizada para des rever o omportamento dinâmi o de

vários materiais, tais omo metais, estratos geológi os, vidro e polímeros para ontrole

de vibrações. No ontrole de vibração, o Grupo de Pesquisa em Vibrações e Som em

Sistemas Me âni os (GVIBS) tem utilizado esses modelos para ara terizar materiais tais

omo borra ha butíli a, neoprene e EAR - C1002.

3.2.1 Modelo om Derivada de Ordem Inteira

A relação onstitutiva lássi a para o modelo vis oelásti o linear padrão no domínio

do tempo é dada por

σ(t) +

M∑

m=1

bmdmσ(t)

dtm= E0ε(t) +

N∑

n=1

En

dnε(t)

dtn, (3.5)

onde σ(t) denota a tensão, ε(t) é a deformação, bm, E0, En são parâmetros do material

e M, N são números inteiros. A equação (3.5) pode ser melhor ompreendida quando

rela ionada a modelos me âni os equivalentes (Maxwell, Kelvin e Zener, dentre outros)

elaborados a partir de molas e amorte edores vis osos.

Apli ando a transformada de Fourier em ambos os membros da equação (3.5),

tem-se

26

Ec(Ω) =σ(Ω)

ε(Ω)=

E0 +∑N

n=1En(iΩ)n

1 +∑M

m=1 bm(iΩ)m, (3.6)

onde σ(Ω) e ε(Ω) são as transformadas de Fourier da tensão e deformação, respe tiva-

mente, e Ω é a frequên ia. A quantidade Ec(Ω) é onhe ida omo o módulo omplexo

de elasti idade e é dada por

Ec(Ω) = E(Ω) + iE ′(Ω). (3.7)

Na expressão a ima, E(Ω) é o módulo dinâmi o de elasti idade e é uma

des rição do omportamento elásti o do material. Já E ′(Ω) é o módulo de perda, que

representa o omportamento dissipativo do material vis oelásti o.

Tem-se, portanto, que a parte imaginária da expressão (3.7) é uma medida da

apa idade que o material possui para transformar energia me âni a em alor. Esta

medida a melhor eviden iada em termos do fator de perda do material, denido por

ηE(Ω) =E ′(Ω)

E(Ω). (3.8)

Dessa forma, a expressão (3.7) pode ser olo ada da seguinte forma:

Ec(Ω) = E(Ω)[1 + iη(Ω))]. (3.9)

A m de determinar uma estratégia e az de ontrole de vibração usando materiais

vis oelásti os, as propriedades dinâmi as bási as, a saber o módulo dinâmi o de elasti i-

dade e o fator de perda, devem ser perfeitamente onhe idas, sendo estas propriedades,

em geral, dependentes da frequên ia e da temperatura.

Conforme itado anteriormente, os materiais vis oelásti os que dependem forte-

mente do tempo e da frequên ia em uma ampla faixa a abam tendo um número muito

grande de derivadas temporais (M e N ) na série, para se observar om exatidão o om-

portamento dos materiais vis oelásti os. Isto a arreta um elevado número de parâmetros

no modelo, gerando em modelos extremamente ustosos do ponto de vista de tempo om-

puta ional.

27

3.2.2 Modelo om Derivada de Ordem Fra ionária

A equação onstitutiva unidimensional em derivadas fra ionárias é (Pritz, 1996)

σ(t) +

M∑

m=1

bmDκmσ(t) = E0ε(t) +

N∑

n=1

EnDαnε(t), (3.10)

onde bm, κm, E0, En e αn são parâmetros do material em onsideração. As expressões

Dκme Dαn

representam derivadas de ordem fra ionária κm e αn, respe tivamente. Para

0 < αn < 1 (o que também vale para κm), adota-se omo denição de derivada fra ionária

que (Bagley e Torvik, 1986)

Dαn [f(t)] =1

Γ(1− αn)

d

dt

∫ t

0

f(ξ)

(t− ξ)αndξ. (3.11)

Algumas observações experimentais mostram que vários materiais vis oelásti os de

interesse podem ser modelados tomando-se apenas as primeiras derivadas fra ionárias de

ada série na equação (3.10). No aso parti ular em que M = N = 1 e α = κ, resulta o

seguinte modelo vis oelásti o om quatro parâmetros (b1, E0, E1, α e κ):

σ(t) + b1Dκσ(t) = E0ε(t) + E1D

αε(t). (3.12)

Tomando a transformada de Fourier dessa equação, tem-se

σ(Ω) + b1(iΩ)ασ(Ω) = E0ε(Ω) + E1(iΩ)

αε(Ω), (3.13)

onde σ(Ω) e ε(Ω) representam a transformada de Fourier da tensão e da deformação,

respe tivamente.

Manipulando a equação (3.13), hega-se a

Ec(Ω) =σ(Ω)

ε(Ω)=

E0 + E1(iΩ)α

1 + b1(iΩ)α. (3.14)

28

Na equação (3.14), observa-se que o módulo dependente da frequên ia é uma função de

uma potên ia fra ionária da frequên ia.

Analogamente a equação (3.14), tem-se para o módulo omplexo de isalha-

mento Gc(Ω), já men ionado anteriormente, a seguinte equação:

Gc(Ω) =τ(Ω)

γ(Ω)=

G0 +G1(iΩ)α

1 + b1(iΩ)α. (3.15)

As equações (3.14) e (3.15) onstituem modelos a derivada fra ionária om

quatro parâmetros.

O módulo omplexo de isalhamento, assim omo o módulo omplexo de elasti i-

dade, pode ser expresso por

Gc(Ω) = G(Ω)[1 + iηG(Ω)], (3.16)

onde ηG(Ω) é denominado fator de perda isalhante. Segundo Snowdon (1968), para

borra has em geral, ηG(Ω, T ) = ηE(Ω, T ), também válida para alguns materiais metáli os.

Na expressão (3.16), Gc é dada por (3.15).

Outras possibilidades para a (3.15) podem ser es ritas. Por exemplo, fazendo

G1 = G∞b1, tem-se

Gc(Ω) =τ(Ω)

γ(Ω)=

G0 +G∞b1(iΩ)α

1 + b1(iΩ)α. (3.17)

Já igualando b1 = bα, de orre que

Gc(Ω) =τ(Ω)

γ(Ω)=

G0 +G∞(ibΩ)α

1 + (ibΩ)α. (3.18)

Na equação (3.18) observa-se que os quatro parâmetros são: α, b, G0 e G∞, onde G0 e G∞

são o módulo instantâneo ou relaxado e o módulo não relaxado ou de longo tempo, respe -

tivamente. A onstante b é onhe ida omo onstante de relaxação e α é uma onstante

adimen ional proveniente da derivada fra ionária, sendo, portanto, tal que 0 < α < 1.

29

Uma vez que as propriedades de amorte imento e rigidez de um material vis oelásti o

também variam om a temperatura (T ), de a ordo om a equação (3.9), o módulo om-

plexo de elasti idade e de isalhamento podem ser modelados, respe tivamente, através

de

Ec(Ω, T ) = E(Ω, T )[1 + iηE(Ω, T )] (3.19)

e

Gc(Ω, T ) = G(Ω, T )[1 + iηG(Ω, T )]. (3.20)

Sabe-se que tanto o módulo dinâmi o de isalhamentoG (ou elasti idade E) quanto

o fator de perda ηG (ou ηE) são inversamente dependentes da frequên ia e da temperatura.

Assim, se a frequên ia aumenta, então o móduloG aumenta; já se a temperatura aumenta,

então o módulo G diminui. Agora, se a temperatura permane er onstante, o fator de

perda ηG res e até a frequên ia de transição Ωt e diminui após esse valor. Isso o orre

analogamente para uma frequên ia onstante, ou seja, o fator de perda ηG res e om a

temperatura até atingir a temperatura de transição e após esse valor omeça a de res er.

Isso pode ser visto na (Figura 2).

Nessa gura, vê-se que, na Região I, o valor do fator de perda é baixo e os valores de

E e G também são baixos e prati amente onstantes; essa região é largamente utilizada,

em geral, no projeto de isoladores vis oelásti os. A Região II é denominada região de

transição, onde G e E são altamente variáveis om a frequên ia e o fator de perda é

elevado; essa região é utilizada nos projetos de neutralizadores vis oelásti os. Já a Região

III é hamada região vítrea e apresenta altos valores de E e G e baixo valor do fator de

perda. Essa região não possui apli ação para ontrole de vibrações.

De a ordo om o já exposto, as urvas de módulo dinâmi o de isalhamento (ou

elasti idade) em função da frequên ia poderiam ser deslo adas horizontalmente, se fossem

medidas a diferentes temperaturas, e reunidas numa úni a urva. Essa relação entre o

deslo amento em frequên ia das urvas em função da temperatura (T), para uma dada

frequên ia (Ω), onduz a denição de frequên ia reduzida (ΩR), onforme à seguinte

equação

ΩR = αT (T )Ω, (3.21)

30

onde αT (T ) é o fator de deslo amento em frequên ia das urvas para ada temperatura. O

fator de deslo amento pode ser representado pela equação WLF (Williams-Landel-Ferry),

qual seja

log10αT (T ) =−θ1(T − T0)

θ2 + (T − T0), (3.22)

onde θ1 e θ2 são parâmetros do material e T0 é a temperatura de referên ia, dada na es ala

Kelvin.

Figura 2: Fator de perda e módulo dinâmi o om temperatura e frequên ia ontantes.

Fonte: Bavastri et al. (2012)

31

Assim, as propriedades dinâmi as podem ser representadas em um nomograma,

que é um grá o onde se tem a urva do módulo de elasti idade (ou de isalhamento) e

também a do fator de perda orrespondente em função da frequên ia e a da temperatura.

Conhe ido omo nomograma de frequên ia reduzida (vide Figura 3), lê-se esse grá o

sele ionando a frequên ia desejada na es ala da direita e traçando uma linha horizontal

até a isoterma de interesse. Após en ontrar essa isoterma, traça-se uma linha verti al até

en ontrar as urvas do fator de perda e do módulo dinâmi o de elasti idade. A partir

desses pontos, estendem-se linhas horizontais até a es ala da esquerda, para serem obtidas

as leituras do módulo dinâmi o e do fator de perda.

Figura 3: Nomograma de frequên ia reduzida.

32

4 SISTEMAS NO LINEARES

Conforme já men ionado, a maioria das estruturas en ontradas na engenharia pode

sob ertas ondições, ter um omportamento não linear. A ara terísti a não linear de

uma estrutura dá-se por um ou mais fatores, tais omo ondições de ontorno om restri-

ções na rigidez, materiais dependentes da amplitude de vibração, atuadores om dinâmi a

dependente da ex itação de entrada, onjuntos estruturais om a presença de fri ção ou

folgas, entre outros. A modelagem orrespondente o orre, não raramente, por polin-

mios que podem onter termos de ordem quadráti a, úbi a ou de ordens superiores.

A equação de Dung (Dung, 1918), vista mais adiante, é a equação mais empregada

para representar, de forma aproximada, o omportamento não linear de vários sistemas

estruturais.

Fa e aos diversos fenmenos que podem o orrer nos sistemas não lineares, omo

pontos de bifur ação, múltiplas soluções, respostas om períodos diferentes ao da ex itação

e ressonân ias super harmni as e sub-harmni as, é onvenientemente realizar, via de

regra, uma análise paramétri a. Essa análise onsiste em determinar uma faixa de valores

na qual determinados parâmetros de ontrole preestabele idos podem variar, sem que o

sistema apresente fragilidade às ondições ini iais ou vibrações om amplitudes elevadas.

Em vibrações, esses parâmetros de ontrole são geralmente a frequên ia de ex itação

ou a amplitude asso iada, e à medida que tais parâmetros são alterados, mudanças no

omportamento do sistema irão o orrer. Os outros parâmetros do sistema são mantidos

onstantes em toda a análise.

A m de determinar se uma dada estrutura é linear ou não linear, pro edimentos

analíti os ou experimentais podem ser empregados. Na dinâmi a estrutural, a onstrução

da Função Resposta em Frequên ia (FRF)

1

, é o método mais omum para a visualiza-

ção das relações entre entrada e saída de um sistema, forne endo informações tais omo

ressonân ia, antiressonân ia, densidade modal e fase. Esta té ni a é o primeiro passo

em um teste de vibrações, sendo que a maioria dos analisadores omer iais forne em a

fun ionalidade da FRF.

Atualmente, testes para veri ar a linearidade de um sistema são omuns. Dessa

forma, se em um teste de linearidade essa ondição for violada, estar-se-á tratando de um

sistema não linear. Alguns testes que podem veri ar a o orrên ia da não linearidade em

uma estrutura são expli ados a seguir. Em todos os desenvolvimentos desse apítulo, em

parti ular, e dessa dissertação, em geral, será empregada a seguinte notação: x′(t) =dx

dt

e x′′(t) =d2x

dt2.

• Prin ípio da superposição (Denição de Linearidade)

1

A função resposta em frequên ia (FRF) é uma função que rela iona o sinal de saída (resposta) do

sistema por ada unidade do sinal de entrada (ex itação) no domínio da frequên ia.

33

Segundo Kers hen et al. (2006), a quebra do prin ípio da superposição é um pos-

sível meio para se dete tar a presença da não linearidade. Em termos matemá-

ti os esse prín ipio dene o que é um sistema linear, podendo ser apli ado em

asos estáti os ou dinâmi os. Por ele, tem-se que a resposta total a um onjunto

de entradas simultâneas pode ser dividida em várias respostas individuais, om

ada uma delas orrespondendo a uma entrada espe í a. Assim, onsidera-se o

aso de dois sistemas: o primeiro om ondição ini ial S1 = x1(0), x′1(0), que

responde a uma entrada y1(t) om saída x1(t), e o segundo om ondição ini ial

S2 = x2(0), x′2(0), que responde a uma entrada y2(t) om saída x2(t). A super-

posição a onte e se, e somente se, om uma entrada αy1(t) + βy2(t), om ondição

ini ial S3 = αx1(0) + βx2(0), αx′1(0) + βx′

2(0), o sistema responde om uma saída

αx1(t) + βx2(t), (∀α, β e ∀x1, x2).

Embora esse prin ípio tenha uma natureza fundamental, omo enfatizado por Wor-

den e Tomlinson (2001), ele tem uma utilidade práti a limitada, om pro edimentos

mais simples podendo ser empregados omo testes de linearidade. Por outro lado,

para mostrar efetivamente a presença de uma não linearidade em um sistema, seria

ne essário apenas o onjunto de α, β, y1(t) e y2(t) que violasse o prin ípio.

• Distorção harmni a

Consequên ia direta do prin ípio da superposição, a distorção harmni a é um dos

indi adores mais laros da presença de não linearidade. Se a ex itação para um

sistema linear é um sinal harmni o de frequên ia Ω, então a resposta também

será um sinal harmni o na mesma frequên ia (para maiores detalhes e prova, ver

Worden e Tomlinson, (2001)). Ou seja, não há geração de outros sinais harm-

ni os na passagem por um sistema linear. Esse resultado não signi a que para

sistemas não lineares uma entrada harmni a não produzirá uma saída harmni a

orrespondente. O que o orre é que, geralmente, há apare imento de harmni os

superiores.

Na Figura 4, observa-se um exemplo de distorção de uma onda harmni a, geral-

mente dete tada por um os ilos ópio

2

. A distorção se revela no sinal de a eleração,

e não no de deslo amento, e se deve a uma não linearidade.

A distorção na a eleração é expli ável. Se o sinal de entrada do sistema não li-

near é dado por y(t) = sen(Ωt), então a resposta asso iada x(t) será geralmente

representada por uma série de Fourier,

3

tal que

x(t) = A1sen(Ωt + θ1) + A2sen(2Ωt + θ2) + A3sen(3Ωt+ θ3) + ...

2

Instrumento eletrni o de visualização e medição de sinais.

3

Seja f(t) uma função periódi a, que satisfaz as ondições de Diri hlet. Essa função pode, então ser

representada através de uma série de funções harmni as, onhe ida omo série de Fourier.

34

Figura 4: Sinais de resposta de um sistema não linear.

A orrespondente a eleração é dada por

x′′(t) = −Ω2A1sen(Ωt + θ1)− 4Ω2A2sen(2Ωt + θ2)− 9Ω2A3sen(3Ωt + θ3) + ...

Note que, na expressão a ima, que as amplitudes são propor ionais à frequên ia ao

quadrado, o que eviden ia os harmni os de ordem superior.

• Homogeneidade (Distorção da FRF)

A homogeneidade é veri ada se, quando uma entrada y(t) → saída x(t), então uma

entrada αy(t) → saída αx(t), ∀α, o que onstitui uma forma restrita do prin ípio da

superposição. Esse teste é usualmente apli ado em testes dinâmi os pela obtenção

de funções resposta em frequên ia (FRF's), om as distorções que indi am a não

linearidade sendo visualizadas no grá o de Nyquist (vide Figura 6), o qual reúne as

ara terísti as de amplitude e fase em um úni o grá o. Já o grá o de Bode (vide

Figura 5) apresenta separadamente a amplitude da FRF e a fase orrespondente.

Note-se que a região instável do sistema é representada pelas linhas em vermelho e

verde. Essa instabilidade será estudada om mais detalhes posteriormente.

35

Figura 5: Grá o de Nyquist de um sistema não linear úbi o.

Figura 6: Grá o de Bode de um sistema não linear úbi o.

Voltando ao teste da homogeneidade, tem-se que um sinal de entrada αy1(t) sempre

impli a, para um sistema linear, uma saída αx1(t), independente da onstante α.

Se y(t) → x(t), então Y (Ω) → X(Ω). Isso signi a que

H(Ω) =X(Ω)

Y (Ω)→ αX(Ω)

αY (Ω)= H(Ω), ∀α e ∀y(t). (4.1)

A linearidade é assumida quando, para diferentes níveis de entrada, essas FRF's se

sobreporem. Esse teste não assegura inteiramente a presença de não linearidade pelo

fato de que alguns sistemas não lineares satisfazem as ondições de homogeneidade,

omo é o aso do sistema bilinear.

36

• Re ipro idade

Funções resposta em frequên ia (FRF's) são funções hermitianas, portanto o módulo

é uma função par e seu argumento (fase) é uma função ímpar. Devido ao aráter de

H(Ω), medir uma FRF ex itando um ponto A e tomando a resposta num ponto B, é

equivalente a ex itá-la no ponto B e tomar a resposta no ponto A, ou seja,

xB

yA↔ xA

yB.

Se essa ondição é satisfeita, as FRF's para yA → xB e yB → xA são iguais e, dessa

forma, o sistema é linear. Entretanto, a re ipro idade não é um teste su iente para

assegurar a presença da não linearidade, uma vez que existem sistemas não lineares

que satisfazem a ondição de re ipro idade porém não satisfazem o prin ípio da

superposição.

Além de se dete tar a presença da não linearidade em um sistema, há que se uidar

om sua inserção em um programa de teste por meio de montagens ou instrumentações

inadequadas. Re omenda-se fazer uma inspeção visual antes do teste ompleto ome-

çar (Kers hen et al., 2006). Dentre os possíveis problemas, tem-se: ex itação ex essiva,

desalinhamento, pré- arregamentos, folgas, efeitos da temperatura, sobre argas, agitação

de abos e montagem pre ária do transdutor

4

. A maioria dos problemas itados são

veri ados edo ou tarde em toda a adeia de medição e ausam distorções na forma do

sinal.

Em testes modais, por exemplo, é indi ado que se monitore ontinuamente o sinal

de entrada, pois é omum que ele sofra distorção, muitas vezes pelo desalinhamento do

shaker. Essa distorção pode riar erros na medição da FRF, que às vezes podem não

ser aparentes de imediato. Na análise om ondas harmni as, re omenda-se um teste da

qualidade do sinal de resposta na a eleração, a ser realizado em um os ilos ópio, pois,

onforme já dis utido, em uma resposta harmni a, a distorção é mais evidente quando

a a eleração é medida. Assim, qualquer distorção ou ruído presente é mais fa ilmente

visualizado. Vislumbra-se ainda que, em sinais aleatórios, não é tão simples onsiderar

essa ara terísti a.

4.1 Tipos de Ex itação

Como se poderia ante ipar pelo já exposto até aqui, estruturas não lineares apre-

sentam signi ativas variações na resposta em frequên ia, para diferentes tipos de sinal de

entrada. Tal observação é importante na dete ção/quanti ação/ ara terização da não

linearidade. Expõe-se abaixo os distintos tipos de ex itação empregados.

• Ex itação senoidal

Em uma ex itação harmni a, toda a energia é on entrada na frequên ia de ex ita-

ção, sendo relativamente simples eliminar ruídos e harmni os indesejados no sinal

4

Dispositivo que onverte movimento me âni o em sinal elétri o, ou vi e-versa. Exemplos: transdutor

de a eleração ou a elermetro, transdutor de força ou élula de força.

37

de resposta, fa e às ara terísti as omuns de analisadores omer iais. Se ompa-

rada om sinais aleatórios ou ex itações transientes, a ex itação senoidal apresenta

de maneira lara o apare imento da não linearidade nas distorções da FRF, ainda

mais se a amplitude de ex itação for mantida onstante. Entretanto, uma das

desvantagens da ex itação senoidal om relação aos outros dois métodos é a "var-

redura"lenta. Para al ular a FRF em ada frequên ia, um tempo é ne essário

para que a resposta atinja uma ondição de estado esta ionário, o que depende do

amorte imento presente no sistema. De toda forma, a qualidade das FRF's obtidas

por esse método de ex itação é manifesta, sendo o uso da ex itação senoidal bem

onhe ido pelo fato de produzir efeitos mais intensos nos sistemas não lineares.

• Ex itação transiente

(i) Impa to

Testes de impa to produzem elevadas amplitudes de resposta. Trata-se de um tipo

de ex itação transiente, popularmente onhe ida pela sua simpli idade e velo idade.

Para ex itar uma estrutura om um impa to, são utilizados martelos instrumentados

e a FRF pode ser bem levantada, de forma elementar, pela razão da transformada de

Fourier

5

da resposta pela transformada de Fourier da força. Assim omo a onte e

om uma ex itação aleatória, o espe tro om o uso desse método é muito amplo e

a energia asso iada om ada frequên ia individual é baixa, ou seja, não é tão fá il

ex itar estruturas não lineares. As distorções apresentadas nas FRF's om o uso

dessa ex itação em sistemas não lineares mostram ontrárias àquelas apresentadas

om ex itação senoidal.

(ii) Chirp

A ex itação por hirp é outro tipo de ex itação transiente para mdição de FRF's.

Essa forma de ex itação é efetiva na dete ção de não linearidades e é relativamente

expedita. O sinal de hirp exe uta uma "varredura"rápida em frequên ia e é repre-

sentado por

y(t) = Y sen(αt + βt2), (4.2)

sendo a frequên ia instantânea dada por

Ω(t) =d

dt(αt+ βt2) = α+ 2βt, (4.3)

5

A transformada de Fourier forne e os espe tros de amplitude e fase de um sinal temporal.

38

onde α e β são determinados de a ordo om as frequên ias ini ial e nal da varredura.

• Ex itação aleatória

Experiên ias têm mostrado que é frequentemente difí il ensaiar estruturas não linea-

res om ex itação aleatória, pois a energia total de entrada se distribui pela faixa de

frequên ia usada. Dessa forma, se reduz a habilidade de dete tar não linearidades,

se omparado om o aso de uma ex itação senoidal. Uma alternativa seria utilizar

sinais om banda mais estreita.

A FRF de uma estrutura ex itada por um sinal aleatório apare e distor ida devido

a aleatoriedade da amplitude e da fase desse sinal, o que ria uma FRF "média"ou

"linearizada". Devido a essa linearização, a ex itação aleatória só é viável para de-

te tar a não linearidade quando exe utados testes om diferentes níveis de ex itação

de entrada e sobrepostas as FRF's obtidas, para o teste de homogeneidade. A FRF

H(Ω) obtida através de um sinal aleatório, pode ser estimada omo

H(Ω) =Sxy(Ω)

Syy(Ω), (4.4)

onde Sxy e Syy são a densidade espe tral de potên ia ruzada entre a resposta e

ex itação e a densidade espe tral de potên ia da ex itação, respe tivamente.

É importante salientar que, ao ontrário dos sistemas lineares, um sistema não

linear pode apresentar FRF's diferentes de a ordo om a ex itação de entrada. Muitos

métodos de dete ção e extração de parâmetros para sistemas não lineares são dependentes

do tipo do sinal de entrada utilizado e só forne em respostas onáveis se ondições

orretas de ex itação forem adotadas.

4.2 Tipos de Não Linearidade

As não linearidades omumente en ontradas em sistemas me âni os são dependen-

tes de distintas variáveis. Dessa forma, a m de in orporá-las em análises e simulações, é

omum modela-lás. Uma breve dis ussão dos modelos mais orriqueiros é realizada nesta

seção, a partir do exposto por Worden e Tomlinson (2001).

4.2.1 Rigidez Cúbi a

A não linearidade denominada de rigidez úbi a es opo deste trabalho, apresenta-

se na reação elásti a, sendo que a força orrespondente pode ser dada, de forma elementar,

por

39

fk(x) = kx(t) + k3x3(t), (4.5)

onde k3x3é o termo não linear e k3 pode ser positivo ou negativo. Quando k3 > 0, tem-se

que, quanto maior o nível de ex itação, maior a rigidez no sistema, om o onsequente

aumento, em sistemas om um grau de liberdade, da frequên ia de ressonân ia. Tal

propriedade pode ser vista em vigas e pla as engastadas. Se k3 < 0, a rigidez diminui e

a frequên ia de ressonân ia de ai, à medida que a força de ex itação aumenta. Sistemas

om esse omportamento úbi o atenuado apare em na ambagem de vigas e pla as.

A equação que rege sistemas om um grau de liberdade om essa ara terísti a,

hamada equação de Dung, é dada por (Dung, 1918):

mx′′(t) + cx′(t) + kx(t) + k3x3(t) = y(t). (4.6)

A equação (4.6) é a mais estudada na análise do omportamento não linear em enge-

nharia. Ela é apaz de mostrar quase todas as ara terísti as de um sistema não linear,

des revendo um os ilador simples, que possui simetria ímpar, presente na maioria dos

sistemas de interesse.

4.2.2 Rigidez ou Amorte imento Bilinear

Sistemas om ara terísti as de rigidez ou amorte imento bilinear têm um om-

portamento dual. A força de reação elásti a (asso iada à rigidez) tem, nesse aso, a

forma

fb(x) =

k1x(t), x > 0

k2x(t), x < 0(4.7)

sendo a forma para o amorte imento análoga. Um sistema próximo de um sistema om

amorte imento bilinear é o amorte edor padrão de automóveis.

4.2.3 Rigidez Linear por Partes

Este tipo de não linearidade pode surgir em testes de vibrações em solo de aerona-

ves, em determinados onjuntos me âni os. A forma da reação elásti a nesse aso é dada

por

40

fk(x) =

k2x(t) + (k1 − k2)d, x > d

k1x(t), |x| < d

k2x(t)− (k1 − k2)d, x < −d.

(4.8)

4.2.4 Amorte imento Não Linear

Este tipo de amorte imento é omum em amorte edores automotivos e estruturas

oshore e o orre quando um uido es oa através de um orí io ou em torno de um membro

delgado. A forma mais usual desse tipo de amorte imento é a quadráti a, que pode ser

modelada por

fa(x′) = c2x

′(t)|x′(t)|, (4.9)

onde o valor absoluto assegura que a força em questão é sempre oposta à velo idade.

A equação fundamental do arregamento por uidos é dada por (Morison et al.,

1950)

F (t) = c1u′(t) + c2u(t)|u(t)|, (4.10)

onde F é a força no membro e u é a velo idade de es oamento.

4.2.5 Atrito de Coulomb

O atrito de Coulomb é dominante em estruturas tais omo arquiban adas, uja

montagem e desmontagem onstante forne em ondições para a riação de interfa es que

permitem movimento relativo. Nesses tipos de estruturas, o orrem frequentemente não

linearidades de folga, sendo a força orrespondente da forma

fa(x′) = cF sgn(x

′(t)), (4.11)

onde cF é uma onstante e sgn é a função. O atrito de Coulomb é mais visível em baixos

níveis de ex itação, uma vez que, em níveis altos, a fri ção "se rompe".

41

Conhe idos alguns on eitos de sistemas não lineares, a próxima seção tratará

do método adotado neste trabalho para a determinação de uma solução aproximada do

sistema não linear em dis ussão.

4.3 Solução de uma Equação Diferen ial Não Linear

Os sistemas não lineares geralmente não apresentam soluções analíti as exatas

omo os sistemas lineares. Na teoria de equações diferen iais, dene-se omo um problema

de valor ini ial (PVI) uma equação diferen ial e as ondições ini iais asso iadas, onde o

número de ondições ini iais orresponde à ordem da derivada mais elevada na equação

diferen ial.

No domínio do tempo, um PVI pode ser resolvido por integração numéri a. A

integração numéri a é um método aproximado de resolver equações diferen iais não line-

ares, sendo um dos mais utilizados devido à sua exatidão. Outra ferramenta utilizada em

uma análise temporal é o mapeamento de Poin aré, desenvolvido por Henry Poin aré, o

qual sugere que o intervalo de tempo orresponda ao período da ex itação ou um múltiplo

dela. Entretanto, salienta-se que uma seleção imprópria do tamanho do passo de tempo

na integração numéri a pode o asionar falsos resultados (Tongue, 1987).

Os métodos que resultam em uma solução analíti a aproximada também possuem

seus atrativos, uma vez que, en ontrada a solução analíti a, a análise paramétri a torna-

se mais breve e lara. Os métodos mais populares para determinar a solução analíti a

aproximada de uma equação diferen ial não linear são: método do balanço harmni o

(MBH), método de Galerkin-Urabe, método de múltiplas es alas, método de Lindsted-

Poin aré e o método de determinação da média de Krilov-Bogoliubov-Mitropolsky. Os

dois primeiros métodos a ima são baseados em expansões de harmni os, enquanto os

três últimos são métodos de pertubação.

Os métodos de perturbação são oerentes quando a não linearidade presente em

um sistema é baixa, pois, segundo Hamdam e Burton(1993), esses métodos podem não

onvergir para alguns valores dos parâmetros e, mesmo om a adição de termos à solução

aproximada, a qualidade das soluções de baixa ordem não muda. Além disso, são bastante

trabalhosos. Assim, utilizar um método omo o método do balanço harmni o (MBH)

é mais vantajoso, onsiderando o fato de que tal método tem a forma mais simples de

apli ação, além de apresentar resultados valiosos e atualmente ser o mais utilizado na

literatura.

A seguir são apresentadas as prin ipais ara terísti as do MBH, em espe ial no

to ante às suas vantagens e à sua adaptabilidade ao es opo desse trabalho.

42

4.3.1 Método do Balanço Harmni o - (MBH)

O método do balanço harmni o (MBH), ou método do equilíbrio harmni o, foi

desenvolvido essen ialmente para equações não lineares polinomiais, espe ialmente equa-

ções om não linearidades úbi as e quadráti as. Se apli ado a outras não linearidades,

pode requerer um grande número de manipulações algébri as, tornando-se usualmente

imprati ável.

A solução aproximada om o MBH tem aráter periódi o, assumindo a forma de

uma série harmni a dada por (Hagedorn, 1985; Thomsen, 2010; Worden e Tomlinson,

2001)

x(t) =

n∑

i=0

Aicos(iΩt) +Bisen(iΩt). (4.12)

A solução aproximada (4.12) é então substituída na equação diferen ial e potên ias

dos harmni os presentes apare em. É importante vislumbrar que deve-se onsiderar o

tipo de não linearidade e, em alguns asos, o tipo do sinal de entrada, ao es rever a

solução. As potên ias e os produtos trigonométri os que surgem na inserção da solução

na equação diferen ial são substituídos pela expansão em somatórios de harmmi os. Se

onsiderada uma potên ia úbi a, por exemplo, é válida a relação trigonométri a:

cos3(x) =1

4cos(3x) +

3

4cos(x),

om apenas harmni os ímpares sendo gerados na expansão de potên ias ímpares. Então,

é realizado o "balanço"dos harmni os resultantes, isto é, os oe ientes do lado esquerdo

são igualados aos oe ientes do lado direito da equação. Assim, ada harmni o de

interesse na equação (4.12) ria uma equação linear, que, juntas, formam um sistema não

linear.

O MBH pode ser adotado para qualquer grau de não linearidade, entretanto, à

medida que res e a não linearidade, são ne essários mais harmni os para se garantir a

exatidão da resposta. Talvez esse seja o ponto de autela desse método, isto é, o MBH

ne essita onhe er a priori quais harmni os devem ser inseridos na análise. Esse onhe i-

mento prévio pode ser onseguido através das não linearidades ontidas no problema, pela

ex itação e pela ausên ia ou não de amorte imento. En ontrar o onjunto de harmni os

que onduz e resultados qualitativamente orretos não é trivial (Rapp e Mees, 1977; Lau

et. al, 1990; Hassan e Barton, 1995; Thomsen, 2010).

Nos problemas que envolvem vibração amorte ida, os termos em seno e osseno

devem estar presentes ou deve-se adi ionar um ângulo de fase a ada harmni o. Assim,

a resposta também pode ser dada por

43

x(t) =

n∑

i=0

Xisen(iΩt + ϕi). (4.13)

Caso a vibração seja não amorte ida, livre ou forçada, é su iente que a solução apro-

ximada ontenha termos em seno ou osseno. O somatório de ossenos onsidera as

ondições de deslo amento ini ial.

A seguir o método do balanço harmni o (MBH) é apli ado, a m de se obter a

resposta aproximada de um sistema não linear úbi o.

4.3.2 Sistema Não Linear Cúbi o om um Grau de Liberdade

Quando diz-se que um sistema físi o possui apenas um grau de liberdade, quer-se

dizer que esse sistema pre isa de apenas uma oordenada físi a para se des rever a sua

dinâmi a e possui apenas uma frequên ia natural e uma de ressonân ia. Assim, voltando

à já referen iada equação de Dung, e onsiderando o método do balanço harmni o

(MBH), o sistema im um grau de liberdade apresentado na Figura 7 pode ser modelado

por

mx′′(t) + cx′(t) + kx(t) + k3x3(t) = y(t). (4.14)

Figura 7: Sistema não linear úbi o om um grau de liberdade.

O método do balanço harmni o (MBH) assume que a resposta para um sinal de

entrada senoidal seja um sinal senoidal na mesma frequên ia. Supõe-se uma resposta

x(t) = Xsen(Ωt) e uma ex itação Y sen(Ωt − ϕ), então a equação de movimento (4.14)

a

44

−mΩ2Xsen(Ωt) + cΩXcos(Ωt) + kXsen(Ωt) + k3X3sen3(Ωt)

= Y sen(Ωt − ϕ). (4.15)

Pela igualdade trigonométri a sen3(x) =3

4sen(x)− 1

4sen(3x), tem-se

−mΩ2Xsen(Ωt) + cΩXcos(Ωt) + kXsen(Ωt) + k3X3

[

3

4sen(Ωt)− 1

4sen(3Ωt)

]

= Y sen(Ωt)cos(ϕ)− Y cos(Ωt)sen(ϕ). (4.16)

Organizando os termos em sen(Ωt) e cos(Ωt), de orre que

−mΩ2X + kX +3

4k3X

3 = Y cos(ϕ) (4.17)

cΩX = −Y sen(ϕ). (4.18)

Nota-se que a equação não está sendo resolvida por inteiro, uma vez que o termo sen(3Ωt)

não é onsiderado. Assim, tem-se uma solução aproximada e não exata. Elevando (4.17)

e (3.18) ao quadrado e somando-as, obtem-se a seguinte relação

Y 2 = X2

[

(

−mΩ2 + k +3

4k3X

2

)2

+ c2Ω2

]

. (4.19)

Da relação a ima, resulta o método da FRF do sistema, qual seja,

|X||Y | =

1[

(−mΩ2 + k + 34k3X2)2 + c2Ω2

]1

2

. (4.20)

A fase orrespondente é obtida da razão entre (4.17) e (3.18):

ϕ = arctg

( −cΩ

−mΩ2 + k + 34k3X2

)

. (4.21)

45

O mesmo on eito utilizado aqui para a determinação da FRF de um sistema não

linear úbi o om um grau de liberdade também será adotado em seguida, dessa vez para

obter a função transmissibilidade. Antes ontudo, será dis utida a FRF obtida em (4.20).

4.3.3 Função Resposta em Frequên ia - Não Linearidade Cúbi a

Dos métodos de aproximação da resposta de um sistema não linear, o MBH é o

que forne e indis utivelmente a FRF mais próxima da original (Worden e Tomlinson,

2001), uma vez que, uma FRF original é determinada quando o sistema é linear, em que a

resposta para uma ex itação senoidal, é também um sinal senoidal na mesma frequên ia

da ex itação e é independente da amplitude de ex itação Y . Se o sistema é não linear, a

resposta de uma ex itação senoidal apresenta omponentes em outras frequên ias que a

frequên ia de ex itação.

Ao xar-se um nível de ex itação, a frequên ia natural do sistema não linear é

dada por

Ωn =

(

k + 34k3X

2

m

)

1

2

. (4.22)

Se k3 > 0, o sistema é dito hardening (progressivamente rígido) e a frequên ia natural

aumenta à medida que a amplitude de Y aumenta. Por outro lado, se k3 < 0, a frequên-

ia natural diminui om o aumento de Y e o sistema é ara terizado omo softening

(progressivamente exível).

A FRF omposta do sistema não linear úbi o é obtida através da resposta aproxi-

mada da equação (4.19) para uma frequên ia estabele ida Ω e uma amplitude de ex itação

Y . A solução de (4.19) pode forne er raízes omplexas em pares onjugados, que são des-

prezadas por não possuirem sentido. Assim, tem-se uma ou três soluções reais, posto que

a equação (4.19) é, em essên ia, uma equação úbi a em X.

Suponha um ensaio experimental realizado om uma varredura senoidal res ente

e, na sequên ia, de res ente em relação a frequên ia. Considere uma faixa de frequên ia

[Ωi,Ωf ] (para mais detalhes da obtenção desta faixa, vide Worden e Tomlinson, 2001),

onde Ωi e Ωf são a frequên ia ini ial e a frequên ia nal, respe tivamente, (vide Figura 8).

Para a varredura de ida ( res ente na frequên ia) (vide Figura 9), uma úni a resposta X1

existe até Ω = Ωi e ontinua a existir até Ω = Ωf . Então X1, para de existir e somente a

soluçãoX3 existe a partir dessa frequên ia. Per ebe-se um pulo de X1 paraX3, resultando

em uma des ontinuidade.

Quando a varredura é de volta (de res ente na frequên ia) (videFigura 10), a

respostaX3 é a úni a existente até hegar em Ω = Ωi, onde há um salto paraX1, que passa

a vigorar até Ω = 0. Ambas as varreduras a onte em na práti a, e a resposta ompleta,

46

asso iada à FRF omposta e onsiderando a instabilidade X2, pode ser observada na

Figura 8. Ressalta-se que X2 é instável e, portanto, nun a será observada na práti a.

Respostas observadas experimentalmente apresentam frequentemente des ontinui-

dades quando altos níveis de ex itação são adotados. No intervalo [Ωi,Ωf ], as soluções

X1, X2 e X3 o orrem e X1 > X2 > X3. Vislumbra-se também que, se k3 > 0 o pi o

de ressonân ia move-se para frequên ias de valores superiores e os pulos o orrem no lado

direito do pi o. Já se k3 < 0, os pulos o orrem no lado esquerdo do pi o e o pi o de

ressonân ia movimenta-se para frequên ias inferiores.

Conforme já men ionado neste do umento, des ontinuidades também apare em

nos respe tivos grá os de fase. Conhe ido o omportamento das soluções obtidas através

do método do balanço harmni o, dá-se ontinuidade ao estudo dos modelos de represen-

tação de um sistema não linear úbi o.

Figura 8: Resposta (deslo amento) de um os ilador de Dung para uma entrada senoidal. Os

pontos de bifur ação são vistos em B e C.

Figura 9: Resposta (deslo amento) de um os ilador de Dung para uma entrada senoidal da

frequên ia inferior à frequên ia superior.

47

Figura 10: Resposta (deslo amento) de um os ilador de Dung para uma entrada senoidal da

frequên ia superior à frequên ia inferior.

4.3.4 Transmissibilidade

Assim omo uma função resposta em frequên ia (FRF) obtida entre deslo amento

e força é uma função ara terísti a de um sistema, uma transmissibilidade obtida entre

deslo amento de saída e deslo amento de entrada também é uma função ara terísti a

do mesmo. Tal função é muito utilizada em ontrole de vibrações, parti ularmente em

isolamento (Snowdon, 1966; Espíndola, 1987; Kitis, 1983), uma vez que a e á ia do

isolamento pode ser veri ada através dela.

De modo geral, o isolamento bus a reduzir uma força ou uma vibração, quando

estas são transmitidas de um sistema a outro. Essa redução pode requerer a olo ação de

elementos ativos ou passivos (molas e amorte edores) entre uma máquina e seu suporte.

Há os dois tipos de isolamento, de movimento ou passivo (vide Figura 11.a) e de

força ou ativo (vide Figura 11.b) (Snowdon, 1968). Quando o isolamento é de força, a

ex itação é gerada pelo próprio sistema me âni o e deve-se reduzir tal ex itação, quando

transmitida por ele para a base, omo em prensas me âni as que geram ex itações e

as transmitem para a sua fundação. No aso de isolamento de movimento, a vibração é

gerada no meio e bus a-se reduzi-la na transmissão da base para o sistema me âni o, omo

vibrações geradas por irregularidades nas estradas e que são transmitidas à arro eria de

um automóvel.

Figura 11: (a)Isolamento de movimento. (b)Isolamento de força.

48

A transmissibilidade em isolamento de força pode ser denida omo o valor absoluto

da relação, no domínio da frequên ia, entre a força transmitida à fundação e a força

apli ada ao sistema, sendo dada por

T =

∣

∣

∣

∣

Ft

F

∣

∣

∣

∣

. (4.23)

Já a transmissibilidade em isolamento de movimento, equivalente à itada anteriormente,

pode ser denida omo o valor absoluto da relação entre os deslo amentos X e Xb, qual

seja,

T =

∣

∣

∣

∣

X

Xb

∣

∣

∣

∣

. (4.24)

As equações (4.23) e (4.24) resultam na mesma expressão para a transmissibilidade.

A seguir, é desenvolvida a expressão para o isolamento de movimento, para um sistema

linear.

4.3.5 Isolamento de Movimento - Sistema Linear om um Grau de Liberdade

A Figura 11.a apresenta um sistema linear simples om um grau de liberdade,

sendo ex itado pela base. Ele é omposto por uma massa e um elemento de material

vis oelásti o ligado à uma base vibrante. Considerando a temperatura onstante e uma

ex itação harmni a de frequên ia Ω, a equação de movimento do sistema da Figura 11.a

é dada por

k[xb(t)− x(t)] = mx′′(t), (4.25)

onde k é uma rigidez omplexa. Apli ando a transformada de Fourier em (4.25) e, na

sequên ia, onsiderando k = LGc(Ω) = LG(Ω)[1 + iη(Ω)], tem-se

T (Ω) =X(Ω)

Xb(Ω)=

∣

∣

∣

∣

LG(Ω)[1 + iη(Ω)]

−mΩ2 + LG(Ω)[1 + iη(Ω)]

∣

∣

∣

∣

. (4.26)

Pode-se rees rever a equação (4.26) de forma adimensional denindo

49

Ωn =

√

LG(Ωn)

m,

r(Ω) =G(Ω)

G(Ωn),

ε =Ω

Ωn

e apli ando essas denições após a divisão de numerador e denominador por LG(Ωn), de

modo que

T (Ω) =

∣

∣

∣

∣

r(Ω)(1 + iη(Ω))

−ε2 + r(Ω)(1 + iη(Ω))

∣

∣

∣

∣

. (4.27)

A fase da transmissibilidade ϕt é obtida pela diferença entre as fases dos deslo amentos

X e Xb, ou seja, ϕt = ϕx − ϕxb. O mesmo vale para a fase da transmissibilidade em

isolamento de força, que é a diferença de fase entre a fase força transmitida e a da força

apli ada.

4.3.6 Isolamento de Movimento - Sistema Não Linear Cúbi o om um Grau

de Liberdade

Para obter a transmissibilidade relativa a um sistema não linear úbi o om um

grau de liberdade, parte-se do sistema apresentado na Figura 12 e onsidera-se, ini ial-

mente a equação de movimento (4.14), adaptada ao aso em questão omo

mx′′ + c(x′ − x′b) + k(x− xb) + k3(x− xb)

3 = 0. (4.28)

Figura 12: Sistema não linear úbi o om um grau de liberdade sob movimento da base.

50

Denindo z = x− xb então z′ = x′ − x′b, tem-se e z′′ = x′′ − x′′

b , onde z é o movimento da

massa em relação ao movimento da base. A equação (4.28) toma, assim a forma

mz′′ + cz′ + kz + k3z3 = −mx′′

b . (4.29)

Sejam, agora, xb = Xbsen(Ωt − ϕxb) e z = Zsen(Ωt). A equação (4.29) forma, em

de orrên ia

−mΩ2Zsen(Ωt) + cΩZcos(Ωt) + kZsen(Ωt) + k3Z3sen3(Ωt)

= mΩ2Xbsen(Ωt− ϕxb). (4.30)

Segundo a igualdade trigonométri a sen3(x) =3

4sen(x) − 1

4sen(3x), pode-se rees rever

(3.30) da seguinte forma:

−mΩ2Zsen(Ωt) + cΩZcos(Ωt) + kZsen(Ωt) + k3Z3

[

3

4sen(Ωt)− 1

4sen(3Ωt)

]

= mΩ2Xbsen(Ωt)cos(ϕxb)−mΩ2Xbcos(Ωt)sen(ϕxb

). (4.31)

Comparando os termos em sen(Ωt) e cos(Ωt) em ambos os lados da igualdade e despre-

zando o termo sen(3Ωt) ( omo já dis utido neste trabalho), obtem-se

−mΩ2Z + kZ +3

4k3Z

3 = −mΩ2Xbcos(ϕxb) (4.32)

cΩZ = −mΩ2Xbsen(ϕxb). (4.33)

Elevando (4.32) e (3.33) ao quadrado e somando-as, resulta em

Z2

[

(

−mΩ2 + k +3

4k3Z

2

)2

+ c2Ω2

]

= m2Ω4X2b , (4.34)

ou ainda

51

Z2

X2b

=m2Ω4

(

−mΩ2 + k + 34k3Z2

)2+ c2Ω2

, (4.35)

donde resulta que

∣

∣

∣

∣

Z

Xb

∣

∣

∣

∣

=mΩ2

[

(−mΩ2 + k + 34k3Z2)2 + c2Ω2

]1

2

. (4.36)

A fase ϕxbé obtida da razão entre (4.32) e (3.33), sendo dada por

ϕxb= arctg

( −cΩ

−mΩ2 + k + 34k3Z2

)

. (4.37)

Obtido o valor do deslo amento da massa em relação a base |Z|, determina-se a transmis-

sibilidade. Obtidas as relações a ima, segue-se para a determinação da transmissibilidade,

já no domínio da frequên ia. Sabe-se que T =X

Xb

, om X = |X|eiϕx, Xb = |Xb|eiϕxb

e

Z = |Z|eiϕz. Sabe-se ainda que (vide Figura 13)

X = |X|cos(ϕx) + |X|isen(ϕx)

= |X|(cosϕx + isenϕx)

= |X|eiϕx

Figura 13: Plano omplexo.

Voltando a z = x− xb =⇒ Z = X −Xb. Portanto,

52

Z

Xb

=X

Xb

− Xb

Xb

Z

Xb

= T − 1

T =Z

Xb

+ 1 (4.38)

omo

T = |T |eiϕt , (4.39)

tem-se om (3.38) e (4.39), que

|T |eiϕt =

∣

∣

∣

∣

Z

Xb

∣

∣

∣

∣

ei(ϕz−ϕxb) + 1. (4.40)

Fazendo a mudança de variável

Z

Xb

= H, então ϕz − ϕxb= ϕh, que é a diferença de fase

entre o deslo amento relativo e o movimento da base. De orre que

|T |eiϕt = |H|eiϕh + 1

|T |[cos(ϕt) + isen(ϕt)] = |H|[cos(ϕh) + isen(ϕh)] + 1. (4.41)

Igualando os termos reais e imaginários, hega-se a

|T |cos(ϕt) = |H|cos(ϕh) + 1 (4.42)

e

53

|T |sen(ϕt) = |H|sen(ϕh). (4.43)

Elevando (4.42) e (4.43) ao quadrado e somando, obtem-se

|T | =[

∣

∣

∣

∣

Z

Xb

∣

∣

∣

∣

2

+ 2

∣

∣

∣

∣

Z

Xb

∣

∣

∣

∣

cos(ϕz − ϕxb) + 1

] 1

2

. (4.44)

onde |T |, dado por (4.44) é o módulo da transmissibilidade.

Substituindo

∣

∣

∣

∣

Z

Xb

∣

∣

∣

∣

, dado por (4.36), em (4.44) e onsiderando ϕz = 0, resulta que

|T | =[(

m2Ω4

(−mΩ2 + k + 34k3Z2)2 + c2Ω2

)

+ 2

(

mΩ2

(−mΩ2 + k + 34k3Z2)2 + c2Ω2

cos(ϕxb)

)

+ 1

]1

2

.

Observa-se que, se ϕz = 0, ϕz − ϕxb= −ϕxb

e cos(−ϕxb) = cos(ϕxb

). Para obter a fase

da transmissibilidade, toma-se a vazão entre (4.43) e (4.42), de modo que

tg(ϕt) =|H|sen(ϕh)

|H|[cos(ϕh)] + 1. (4.45)

Como, para ϕz = 0, ϕh = −ϕxbe sen(−ϕxb

) = −sen(ϕxb), além de cos(−ϕxb

) = cos(ϕxb),

tem-se que

ϕt = arctg

[ −|Z|sen(ϕxb)

|Xb|+ |Z|cos(ϕxb)

]

, (4.46)

que é a expressão da fase. Re orda-se que

∣

∣

∣

∣

Z

Xb

∣

∣

∣

∣

e ϕxbsão dados, respe tivamente, por

(4.36) e (4.37).

4.3.7 Inuên ia dos Harmni os Superiores

Conforme previamente exposto, o "balanço"dos harmni os resultantes é realizado

após a substituição da solução aproximada na equação de movimento. Per ebe-se que,

em (3.16) e (3.34), que este balanço não foi realizado por ompleto, uma vez que os

termos −1

4k3X3

e −1

4k3Z3

foram desprezados. Uma breve dis ussão será realizada nessa

54

seção a esse respeito, a título de es lare imentos gerais, pois, no presente trabalho, a

des onsideração desse termo, não alterá o resultado.

Seja a solução aproximada (4.47) (Worden e Tomlinson, 2001), onsiderando ape-

nas os harmni os ímpares, qual seja

x(t) = X1sen(Ωt + ϕ1) +X3sen(3Ωt + ϕ3). (4.47)

Substituindo-a em (4.14), onsiderando as relações trigonométri as sen(a±b) = sen(a)cos(b)±cos(a)sen(b) e sen3(x) =

3

4sen(x) − 1

4sen(3x) e igualando os oe ientes em sen(Ωt),

cos(Ωt), sen(3Ωt) e cos(3Ωt) tem-se, respe tivamente

−mΩ2X1cos(ϕ1)− cΩX1sen(ϕ1) + kX1X1cos(ϕ1)+

3

4k3X3

1cos(ϕ1) +3

2k3X1X

33cos(ϕ1)−

3

4k3X2

1x3cos(ϕ3)cos2(ϕ1) = Y (4.48)

−mΩ2X1sen(ϕ1)− cΩX1cos(ϕ1) + kX1X1sen(ϕ1)+

3

4k3X3

1sen(ϕ1) +3

2k3X1X

33sen(ϕ1)−

3

4k3X2

1x3sen(ϕ3)cos2(ϕ1) = 0 (4.49)

−9mΩ2X3cos(ϕ3)− 3cΩX3sen(ϕ3) + kX3cos(ϕ3)−1

4k3X

31cos

3(ϕ1)+

3

4k3X3

3cos(ϕ3) +3

2k3X3X

21cos(ϕ3)−

3

4k3X3

1cos(ϕ1)sen2(ϕ1) = 0 (4.50)

−9mΩ2X3sen(ϕ3) + 3cΩX3cos(ϕ3) + kX3sen(ϕ3) +1

4k3X

31sen

3(ϕ1)+

3

4k3X3

3cos(ϕ3) +3

2k3X3X

21sen(ϕ3)−

3

4k3X3

1sen(ϕ1)cos2(ϕ1) = 0. (4.51)

O sistema de equações a ima forne e uma melhor aproximação da solução. Observa-se

que os termos em sen3(Ωt), sen2(Ωt)sen(3Ωt), sen(Ωt)sen2(3Ωt) e sen3(3Ωt) são gerados

devido ao termo úbi o do sistema. Se de ompostos adequadamente, onduzem a uma

solução da forma

x(t) = X1sen(Ωt + ϕ1) +X3sen(3Ωt+ ϕ3) +X5sen(5Ωt + ϕ5)+

X7sen(7Ωt + ϕ7) +X9sen(9Ωt + ϕ9). (4.52)

55

Assim, onsiderando todos os termos ímpares, a solução é dada por

x(t) =

∞∑

i=0

X2i+1sen[(2i+ 1)Ωt + ϕ2i+1]. (4.53)

A equação (4.53) resume o fato do apare imento de omponentes harmni os em sistemas

não lineares, bem omo, a presença de apenas termos ímpares omo onsequên ia da

reação elásti a, asso iada a k (linear) e k3 ( úbi a), ser uma função ímpar.

Novamente, ne essita-se onhe er a priori quais harmni os devem ser inseridos na

solução aproximada. Em trabalhos realizados anteriormente pelo GVIBS (Bavastri et al.,

2012), dete tou-se que a resposta do sistema não linear úbi o pode ser satisfatoriamente

aproximada om somente um harmni o na solução. A veri ação desse fato não foi

realizada neste trabalho e a omo sugestão para trabalhos futuros.

4.3.8 Sistema Não Linear Cúbi o om dois Graus de Liberdade

Um sistema om dois graus de liberdade ne essita de duas oordenadas físi as in-

dependentes para determinação de sua dinâmi a. Aqui, será apresentada a urva resposta

em frequên ia (CRF) para um sistema omposto (sistema primário não linear mais o

sistema se undário linear - neutralizador dinâmi o vis oelásti o). As respe tivas mani-

pulações algébri as também serão explanadas, bem omo os métodos utilizados para a

on epção do modelo matemáti o. O neutralizador dinâmi o vis oelásti o será modelado

sem e om o uso do on eito de parâmetros equivalentes generalizados (PEG's) (Espíndola

e Silva, 1992).

4.3.9 Sistema Composto Clássi o

Primeiramente é apresentado o modelo tradi ional de dois graus de liberdade. Este

modelo equivalente representa o sistema primário e o neutralizador dinâmi o vis oelásti o,

sendo o primeiro om omportamento não linear úbi o e o segundo onsiderado linear.

A Figura 14 representa o modelo a ser estudado, sendo a ex itação harmni a

apli ada no sistema primário.

Como pode-se observar na Figura 14:

m1 é a massa do sistema primário;

c1 é a onstante de amorte imento do sistema primário;

k1 é a par ela linear da rigidez do sistema primário;

k3 é a par ela não linear ( úbi a) da rigidez do sistema primário;

x1 é a oordenada generalizada do sistema primário;

ma é a massa do neutralizador;

56

Figura 14: Modelo do sistema omposto.

x2 é a oordenada generalizada do neutralizador;

f é a amplitude da ex itação apli ada no sistema primário.

O modelo matemáti o do sistema é obtido a partir do diagrama de orpo livre e do

diagrama de forças resultantes (Gonçalves et al., 2012), tal que

m1x′′1 + k1x1 + k3x

31 + c1x

′ − ks(Ω)(x2 − x1) = fcos(Ωt) (4.54)

max′′2 + ks(Ω)(x2 − x1) = 0. (4.55)

Nas equações (4.54) e (4.55), ks é a rigidez do elemento vis oelásti o, rigidez essa de-

pendente da frequên ia. Dividindo as equações (4.54) e (4.55) por m1 e ma, dependente

respe tivamente, tem-se

x′′1 +

k1m1

x1 +k3m1

x31 +

c1m1

x′ − ks(Ω)

m1(x2 − x1) =

f

m1cos(Ωt) (4.56)

x′′2 +

ks(Ω)

ma

(x2 − x1) = 0. (4.57)

Denindo as variáveis

ω10 =

√

k1m1

, ε =k3m1

, µ10 =c1m1

, f0 =f

m1, µ =

ma

m1e xr = x2 − x1,

as equações podem ser rees ritas omo

57

x′′1 + ω2

10x1 + εx31 + µ10x

′ − kR(Ω)

m1xr −

kI(Ω)

m1Ωx′r = f0cos(Ωt) (4.58)

x′′r +

kR(Ω)

ma

xr +kI(Ω)

maΩx′r = −x′′

1, (4.59)

onde kR e kI são, respe tivamente, a parte real e imaginária da rigidez do elemento

vis oelásti o ks.

A relação

kR(Ω)

m1

pode ser es rita omo

kR(Ω)

m1=

ma

m1· kR(Ωa)

ma

· kR(Ω)

kR(Ωa)= µΩ2

aR(Ω). (4.60)

Na equação (4.60), Ωa é a frequên ia natural do neutralizador, dada por

Ω2a =

kR(Ωa)

ma

enquanto

R(Ω) =kR(Ω)

kR(Ωa)=

GR(Ω)

GR(Ωa),

lembrando que GR(Ωa) é a parte real do módulo de isalhamento omplexo, avaliado para

Ω = Ωa.

Da mesma forma, a relação

kI(Ω)

m1

também pode ser es rita omo

kI(Ω)

m1=

kR(Ω)

m1· η(Ω)

Ω=

µΩ2aR(Ω)

ΩR(Ω)η(Ω). (4.61)

Logo, as equações (4.58) e (4.59), resultam no sistema

x′′1 + ω2

10x1 + εx31 + µ10x

′1 − µΩ2

aR(Ω)xr − µΩ2

a

ΩR(Ω)η(Ω)x′

r = f0cos(Ωt) (4.62)

x′′r + Ω2

aR(Ω)xr +Ω2

a

ΩR(Ω)η(Ω)x′

r = −x′′1. (4.63)

Denindo τ = Ωt, é possível al ulard2(·)dt2

= Ω2d2(·)dτ 2

e

d(·)dt

= Ωd(·)dτ

. Assim, dividindo

as equações (4.62) e (4.63) por Ω2, obtem-se

58

x′′1 + ω2

10x1 + εx31 + µ10x

′1 − µ

R(Ω)

β2xr − µ

R(Ω)

β2η(Ω)x′

r = f0cos(τ) (4.64)

x′′r +

R(Ω)

β2xr +

R(Ω)

β2η(Ω)x′

r = −x′′1 . (4.65)

A notação om barra de algumas variáveis indi a a diferen iação em relação a nova variável

τ e orrespondem a

ω210 =

ω210

Ω2, β =

Ω

Ωa

, µ10 =µ10

Ω, ε =

ε

Ω2e Ωa =

Ωa

Ω.

As equações (4.64) e (4.65) podem ser rees ritas na forma matri ial, qual seja

Mq′′ + Cq′ +Kq = f, (4.66)

onde as matrizes de massa, amorte imento e rigidez são dadas por

M =

[

1 0

1 1

]

, (4.67)

C =

[

µ10 −µβ−2R(Ω)η(Ω)

0 β−2R(Ω)η(Ω)

]

, (4.68)

e

K =

[

ω210 −µβ−2R(Ω)

0 β−2R(Ω)

]

, (4.69)

e os vetores de oordenadas e esforços dados por

q =

[

x1

xr

]

(4.70)

59

e

f =

[

f0cos(τ)− εx31

0

]

. (4.71)

Para determinar a resposta, supõe-se a seguinte equação:

q(τ) = u(τ)cos(τ) + v(τ)sin(τ), (4.72)

onde u = [u1(τ) u2(τ)]Te v = [v1(τ) v2(τ)]

T. A derivada de primeira ordem da equação

(4.72) a

q′(τ) = −u(τ)sin(τ) + v(τ)cos(τ). (4.73)

Segundo o método do balanço harmni o (MBH) (Thomsen, 2010), para obter a urva de

resposta em frequên ia (CRF), parte-se da seguinte relação:

u′(τ)cos(τ) + v′(τ)sin(τ) = 0. (4.74)

Empregando a equação (4.74), bem omo a equação (4.73) para determinar q′′ e substi-

tuindo os resultados na equação (4.66), tem-se

(Mv′ −Mu + Cv +Ku)cos(τ)− (Mu′ −Mv + Cu+Kv)sin(τ) = f(u, v, τ). (4.75)

Multipli ando a equação (4.74) por Mcos(τ) e a equação (4.75) por −sin(τ), somando

ambos os resultados e integrando a equação resultante de 0 a 2π, om u e v onstantes,

hega-se a

60

Mu′ = −1

2(M −K)v′ − 1

2Cu+

1

2ε3

4v1a

21

0

(4.76)

onde a21 = u21 + v21 e a22 = u2

2 + v22.

De forma análoga, multipli a-se a equação (4.74) por Msin(τ) e a equação (4.75)

por cos(τ) e, em seguida, fazem-se as mesmas manipulações anteriores para a obtenção

da equação (4.77). De orre que

Mv′ = −1

2(M −K)u′ − 1

2Cu+

1

2f0 − ε

3

4u21a

22

0

. (4.77)

Assim, as equações (4.76) e (4.77) são postas do lado esquerdo e igualadas a zero, a m

de se determinar a solução em estado esta ionário para as equações (4.74) e (4.75). Após

as manipulações algébri as propostas, hega-se a urva de resposta em frequên ia (CRF),

uma função implí ita de a1 e Ω, dada por

a21[A(Ω)2 +B(Ω)2]− f 2

0 [(1− β−2R(Ω))2 + (β−2R(Ω)η(Ω))2] = 0, (4.78)

onde

A(Ω) =

[(

1− ω210 + µ− 3

4εa21

)

β−2R(Ω)η(Ω) + µ10

(

1− β−2R(Ω))

]

e

B(Ω) =

[

(

1− ω210

)

(

1− β−2R(Ω))

− µβ−2R(Ω)− µ10β−2R(Ω)η(Ω)− 3

4εa21

(

1− β−2R(Ω))

]

.

Após a determinação da amplitude a1 do sistema primário, é possível determinar a am-

plitude a2 do sistema se undário, a qual é dada por

a22[A(Ω)2 +B(Ω)2]− f 2

0 = 0. (4.79)

61

As equações (4.78) e (4.79) forne em a urva de resposta em frequên ia (CRF) para o

sistema omposto proposto.

4.3.10 Parâmetros Equivalentes Generalizados - PEG's

A prin ipal vantagem da utilização dos parâmetros equivalente genaralizados (PEG's)

para os neutralizadores dinâmi os é a possibilidade de modelar o sistema omposto (sis-

tema primário mais neutralizador) em função apenas da oordenada do sistema primário.

Nesse trabalho, serão apresentados, de forma on isa, para um neutralizador vis oelás-

ti o simples, os prin ipais on eitos. Para mais detalhes, re omenda-se Espíndola e Silva

(1992).

Seja o neutralizador vis oelásti o simples de um grau de liberdade representado

na Figura 15. Para uma dada temperatura onstante, a rigidez omplexa LGc(Ω) do

elemento vis oelásti o é dada por

LGc(Ω) = LG(Ω)[1 + iηG(Ω)]. (4.80)

Figura 15: Neutralizador simples om um grau de liberdade.

A partir do desenvolvimento do diagrama de orpo livre desse sistema, hega-se,

após algumas manipulações algébri as, à equação da rigidez dinâmi a na base (também

poderia ser a impedân ia me âni a ou a massa dinâmi a), dada por

kb(Ω) =F (Ω)

Xb(Ω)=

LGc(Ω)(−mΩ2)

LGc(Ω) + (−mΩ2)(4.81)

ou

62

kb(Ω) =F (Ω)

Xb(Ω)=

LG(Ω)[1 + iη(Ω)](−mΩ2)

LG(Ω)[1 + iη(Ω)] + (−mΩ2)(4.82)

onde ηG(Ω) = η(Ω) e LGc(Ω) = LG(Ω)[1 + iη(Ω)].

Da Figura 16, pode-se mostrar que kb(Ω) =F (Ω)

Xb(Ω)= −Ω2meq(Ω) + iΩceq(Ω), em

que meq e ceq são a massa e a onstante de amorte imento equivalentes, respe tivamente.

Voltando à equação (4.82) om as denições Ωn =

√

LG(Ωn)

m, r(Ω) =

G(Ω)

G(Ωn)e

ε =Ω

Ωn

, onde Ωn é a frequên ia natural e m a massa do neutralizador, tem-se, dividindo

(4.82) por LG(Ωn), que

kb(Ω) =(−mΩ2)r(Ω)[1 + iη(Ω)]

[−ε2 + r(Ω)][1 + iη(Ω)]. (4.83)

Multipli ando e dividindo a equação (4.83) pelo omplexo onjugado do denominador, é

possível eviden iar a parte real e a parte imagiária de kb(Ω), a saber

kb(Ω) =−mΩ2r(Ω)[−ε2 + r(Ω)(1 + η2(Ω))]

[−ε2 + r(Ω)]2 + [η(Ω)r(Ω])2

+i [mΩ2η(Ω)r(Ω)ε2]

[−ε2 + r(Ω)]2 + [η(Ω)r(Ω)]2.

Dividindo a parte real de kb(Ω) por −Ω2e a parte imaginária por Ω, obtem-se meq(Ω) e

ceq(Ω), respe tivamente. Ou seja,

meq(Ω) =Re[kb(Ω)]

−Ω2

e

ceq(Ω) =Im[kb(Ω)]

Ω,

onde (Re) e (Im) são a parte real e imaginária, respe tivamente. Dessa forma tem-se

meq(Ω) =mr(Ω)[−ε2 + r(Ω)(1 + η2(Ω))]

[−ε2 + r(Ω)]2 + [η(Ω)r(Ω)]2(4.84)

63

e

ceq(Ω) =mΩη(Ω)r(Ω)ε2

[−ε2 + r(Ω)]2 + [η(Ω)r(Ω)]2. (4.85)

Lembrando que ε =Ω

Ωn

e multipli ando o numerador pela unidade

Ωn

Ωn

= 1, então ceq(Ω)

pode ser rees rito omo

ceq(Ω) =mΩnη(Ω)r(Ω)ε

3

[−ε2 + r(Ω)]2 + [η(Ω)r(Ω)]2. (4.86)

Pela Figura 16, pode-se observar que a estrutura primária "sente"o neutraliza-

dor no ponto de ligação omo uma massa meq(Ω), one tada a um referen ial xo por

um amorte edor vis oso de onstante ceq(Ω). Os sistemas da Figura 16 são, portanto,

dinami amente equivalentes (Espíndola e Silva, 1992).

Figura 16: Sistemas equivalentes.

Para um sistema primário om um grau de liberdade, ontendo um neutralizador

dinâmi o simples, modelado omo exposto a ima, a FRF é dada por

H(Ω) =1

−Ω2[m1 +meq(Ω)] + iΩ[c1 + ceq(Ω)] + k1, (4.87)

onde m1, c1 e k1 são os parâmetros do sistema primário.

64

4.3.11 Sistema Composto om Parâmetros Equivalentes Generalizados - (PEG's)

Com o onhe imento prévio do on eito de parâmetros equivalentes generalizados

(PEG's), e uma vez que o seu uso leva a uma formulação mais e iente do ponto de vista

omputa ional (Bavastri et al, 1997) apresenta-se, abaixo, a solução do sistema dado na

Figura 14. Esse sistema é representado de forma equivalente na Figura 17.

Figura 17: Modelo do sistema om PEG's.

Fonte: Bavastri (2013)

O sistema a ser ontrolado tem um omportamento não linear úbi o enquanto

o sistema de ontrole é um neutralizador dinâmi o vis oelásti o om omportamento

linear. De a ordo om a 2

a

lei de Newton, e om a utilização dos parâmetros equivalentes

generalizados, a equação do sistema é dada por:

[(m1 +meq(Ω)]x′′1 + k1x1 + k3x

31 + [c1 + ceq(Ω)]x

′ = fcos(Ωt), (4.88)

onde:

m1 é a massa do sistema primário;

c1 é a onstante de amorte imento do sistema primário;

k1 é a par ela linear da rigidez do sistema primário;

k3 é a par ela não linear ( úbi a) da rigidez do sistema primário;

x1 é a oordenada generalizada do sistema primário;

ma é a massa do neutralizador;

meq é a massa equivalente do neutralizador;

ceq é a amorte imento equivalente do neutralizador;

f é a amplitude da ex itação apli ada no sistema primário.

Denindo os seguintes parâmetros:

65

ω10 =

√

k1m1

; α3 =k3m1

; µeq =meq

m1; µ =

ma

m1; f0 =

f

m1; λ1 =

c1m1

; λeq(Ω) =ceq(Ω)

m1

e dividindo a equação (4.88) por m1, obtem-se

[1 + µeq(Ω)]x′′1 + ω2

10x1 + α3x31 + [λ1 + λeq(Ω)]x

′ = f0cos(Ωt). (4.89)

Se for feita uma mudança de fase (ϕ) na força de ex itação, substituindo cos(Ωt) por

cos(Ωt+ ϕ), a solução aproximada do estado esta ionário do sistema pode ser dada por

x1 = a1cos(Ωt). (4.90)

A partir da apli ação do método do balanço harmni o (MBH) (Nayfeh e Mook, 1979),

a urva de resposta em frequên ia (CRF) é dada por

a21

[

ω210 − Ω2((1 + µeq)(Ω)) + α3

3

4a21

]2

+ [λ1 + λeq(Ω)]2Ω2a21 = f 2

0 . (4.91)

Dessa forma, tanto a equação (4.78), obtida pelo método lássi o, quanto a equação

(4.91) representam a resposta do sistema omposto medido no sistema da Figura (14).

Contudo, o uso do on eito de parâmetros equivalentes generalizados (PEG's) permite

que se obtenha a resposta do sistema omposto de forma mais simples e direta.

4.3.12 Sistema Composto - Transmissibilidade e PEG's

A solução para a transmissibilidade do sistema omposto, tal omo ilustrado na

Figura 18, é obtida de maneira análoga a apresentada anteriormente. A equação de

movimento do sistema omposto, de a ordo om o on eito de parâmetros equivalentes

generalizados (PEG's), é dada por

[m1 +meq(Ω)]z′′1 + k1z1 + k3z

31 + [(c1 + ceq(Ω)]z

′1 = −mx′′

b , (4.92)

onde z1 = atcos(Ωt) e xb = Xbsen(Ωt).

66

Figura 18: Modelo do sistema omposto para transmissibilidade.

Da mesma forma que em (4.91), a urva de resposta em frequên ia para a transmissibili-

dade (at) é dada por

a2t

[

ω210 − Ω2((1 + µeq)(Ω)) + α3

3

4a2t

]2

+ [λ1 + λeq(Ω)]2Ω2a2t = m2Ω4X2

b . (4.93)

A partir dos modelos analíti os até aqui apresentados, são abordados, no próximo

apítulo, os métodos omputa ionais para a identi ação e para o projeto de ontrole

ótimo do sistema não linear úbi o, que é o objetivo deste trabalho.

67

5 PROJETO ÓTIMO - PROGRAMAÇO NO LI-

NEAR

Após a espe i ação do modelo matemáti o do sistema omposto (sistema primário

mais neutralizador), um método numéri o de otimização não linear pode ser utilizado a

m de obter os parâmetros ótimos do neutralizador dinâmi o vis oelásti o, que irá reduzir

a resposta do sistema primário não linear úbi o. Por outro lado, para poder implementar

a metodologia de projeto é ne essário identi ar o sistema primário não linear úbi o. Isto,

portanto, deve ser realizado previamente.

Este apítulo apresenta a identi ação do sistema primário e o projeto ótimo do sis-

tema de ontrole empregados na dissertação. Ambos utilizam uma té ni a de otimização

não linear.

5.1 Té ni a de Otimização Não Linear

As té ni as de otimização não linear têm o objetivo de identi ar mínimos ou

máximos de uma determinada função, as quais podem estar ou não sujeitas a restrições.

Uma té ni a de otimização não linear é um método numéri o de otimização, utilizado

para determinar os parâmetros ótimos após um modelo matemáti o ser pré-estabele ido.

Pode-se apresentar um problema de otimização omo (Arora, 2004)

minf(x)

sendo f : Rn → R e x ∈ Rn

sujeita a restrições:

hi(x) = 0 i = 1, ..., m

gj(x) ≥ 0 j = m+ 1, ..., p.

Em palavras, deseja-se minimizar a função f(x), hamada aqui de função objetivo, sendo

x o vetor projeto e hi(x) e gj(x), a i -ésima e j -ésima restrições de igualdade e desigualdade,

respe tivamente. A região viável que o projeto pode assumir é determinada pelo onjunto

de pontos x na interseção das restrições a ima men ionadas.

Para en ontrar o ponto ótimo da função f(x) no espaço n dimensional, existem

té ni as que determinam uma direção de bus a, a partir de um ponto qualquer de partida.

Uma vez que determinada essa direção, deve-se apli ar uma té ni a unidimensional para

a denição do tamanho do passo. Os dois pro essos anteriores são iterativos. Os métodos

para direção de bus a podem ou não utilizar a informação da derivada, assim omo as

té ni as unidimensionais.

Neste trabalho, as funções a serem otimizadas são, em geral, multidimensionais

e não determinadas analiti amente. A té ni a adotada é a apresentada por Nelder e

68

Mead em 1965 (Himmelblau, 1972; Bazaraa e Shetty, 1979), hamada "Nelder and Mead

Method" e implementada através da função fminsear h do MatLabr. Essa té ni a é mul-

tidimensional e não utiliza informação da derivada da função (Nas imento e Yoneyama,

1997).

Figura 19: Método de Nelder e Mead.

Fonte: Bavastri (1997)

Denominado também método do poliedro exível ou simplex, esse método utiliza

um poliedro de n+ 1 vérti es onstruído para x ∈ Rn. Na pro ura do mínimo, o valor da

função é en ontrado para ada vérti e e o maior valor é abandonado. Ou seja, om o valor

da função em ada ponto, des obre-se o pior ponto; em seguida, é al ulado o entróide

da fa e oposta a esse pior ponto e há um rebatimento desse ponto, fazendo uma reexão

baseada no entro de gravidade do poliedro.

Esse pro edimento é repetido até a satisfação de um ritério de onvergên ia, que

pode ser determinado pela norma da soma dos vetores de pontos do poliedro orrente, om

a ex eção do pior ponto. Assim, o ponto de mínimo é extraído da média aritméti a dos

pontos do poliedro. A Figura 19 mostra um grá o om as urvas de nível de uma função

qualquer e a apli ação do método nos moldes des ritos a ima para uma função bidimen-

sional. Outras operações, além da reexão podem ser realizadas a m da deformação do

poliedro em ada iteração: são elas expansão, redução e ontração.

Apesar de ser um método rápido de programar, tem a desvantagem da lentidão

de exe ução quando omparado a métodos que utilizam informação da derivada. Esse

método on ede ex elentes resultados e depende muito do ponto ini ial, uma vez que

esta iona no primeiro ponto ótimo lo al que en ontra.

As próximas seções trazem os problemas de otimização espe í os da identi ação

do sistema primário e do ontrole do sistema omposto.

69

5.2 Identi ação do Sistema

O pro edimento de identi ação do sistema primário é realizado através de um

pro esso inverso de identi ação. Para isto, uma urva ara terísti a é obtida experimen-

talmente e a esta é ajustada, por mínimos quadrados, uma urva numéri a equivalente.

O método dos mínimos quadrados

6

foi o pro esso matemáti o adotado para o ajuste e o

vetor projeto está omposto pelos parâmetros do sistema primário não linear úbi o (m1,

c1, k1 e k3).

Com a té ni a de otimização não linear adotada, qual seja, o método do poliedro

exível, dene-se a função objetivo

fobj(x) : Rn → R = [erro]T · [erro],

onde

[erro] =

.

.

.

.

.

.

(Texperimental(Ωk)− Tmatemáti a

(Ωk)).

.

.

.

.

.

e

errok = (Texperimental(Ωk)− Tmatemáti a

(Ωk)),

sendo Ωk a k -ésima frequên ia, T a urva de resposta em frequên ia (CRF) da transmis-

sibilidade e o vetor projeto dado por x = (m1, c1, k1, k3).

Determinados os parâmetros do sistema primário, o projeto do sistema de ontrole

de vibração pode ser realizado.

5.3 Controle do Sistema

No ontrole do sistema primário, uma vez onhe ido, através de neutralizadores

dinâmi os, o objetivo é bus ar o valor da frequên ia natural do neutralizador que, quando

a oplado ao sistema primário, onduz à menor amplitude de resposta possível. Conforme

dito anteriormente, pre isa-se de um modelo matemáti o previamente estabele ido. Nesse

6

Esse método possibilita obter uma função real que passe o mais próximo possível dos pontos (xi, yi)dados. As urvas mais omuns utilizadas no ajuste são: reta, parábola, úbi a e quárti a. Por exemplo:

seja uma função y = a + bx + cx2 + dx3, tenta-se des obrir para a função y, quais são os valores dos

oe ientes a, b, c e d, de tal forma que a soma dos quadrados das distân ias (tomadas na verti al) da

urva y a ada um dos pontos dados yi seja a menor possível, por isso o nome método dos mínimos

quadrados.

70

aso, é empregado o modelo do sistema omposto, om o uso dos parâmetros equivalentes

generalizados, para a transmissibilidade que é o omputa ionalmente mais rápido.

A função objetivo utilizada nesse pro esso de otimização é a norma de Frobenius

da amplitude (at(Ω, x)), ou seja,

fobj(x) : Rn → R = ‖at(Ω, x)Ωi≤Ω≤Ωf

‖F , (5.1)

onde ‖...‖F representa a norma de Frobenius

7

, Ωi e Ωf são os limites inferior e superior

da faixa de frequên ia de interesse, respe tivamente, e x é o vetor projeto, que, neste aso,

é denido omo a frequên ia natural do neutralizador, ou seja,

x = Ωa.

O problema padrão de otimização para o aso do ontrole resume-se a

minfobj(x)

fobj(x) : Rn → R = ‖at(Ω, x)Ωi≤Ω≤Ωf

‖F

O objetivo, então, é reduzir tanto quanto possível a amplitude do sistema primário quando

o neutralizador ótimo é one tado. O pro esso onsiste na bus a de um x (frequên ia

ótima) que orresponda ao menor valor da amplitude para a faixa de frequên ia on-

siderada [Ωi, Ωf . Restrições de igualdade e desigualdade não serão empregadas, assim

omo também não foram no pro esso de identi ação. Após a determinação da frequên ia

ótima do neutralizador, é possível, omo se verá adiante, al ular o fator geométri o L

orrespondente assim onstruir o dispositivo, onforme Espíndola et al. (2010).

5.3.1 Neutralizador Dinâmi o Vis oelásti o - (NDV)

Neutralizador dinâmi o, ou absorvedor dinâmi o, de vibrações é um sistema res-

sonante que quando devidamente projetado e xado em um sistema me âni o qualquer,

reduz o nível de vibração deste último (vide Figura 20). A vibração estrutural é um

dos problemas prin ipais na engenharia, que podem levar ao olapso de estruturas ou

sistemas me âni os ou produzir um elevado nível de ruído irradiado (Cruz, 2004). Um

neutralizador é omposto de uma erta massa xada a um material resiliente (material

vis oelásti o), que é a oplado ao sistema primário.

7‖A‖F =

√

√

√

√

m∑

i=1

n∑

j=1

|aij |2 =√

traço(AAT ).

71

Figura 20: FRF para um sistema linear om NDV.

Fonte: Bavastri et al. (2012)

Os efeitos da introdução de amorte imento no sistema primário, quando da realiza-

ção do projeto ótimo do neutralizador, têm sido estudados por diversos autores (Warbur-

ton e Ayorinde, 1980; Kitis, 1983; Espíndola e Bavastri, 1995; Dayou e Brennan, 2003).

Determinar o ponto ótimo, ou seja, os parâmetros ótimos de um neutralizador para um

sistema me âni o, resume-se em obter os parâmetros físi os do neutralizador que devem

onduzir à mínima resposta do sistema.

72

6 EXEMPLO NUMÉRICO

A m de veri ar o desempenho e a generalidade da metodologia proposta para

identi ação de um sistema não linear úbi o e o ontrole de vibração do mesmo, apresenta-

se uma implementação numéri a, omo ilustrado na Figura 21.

Sistema Real

Modelo Matemáticosistema_nao_linear_trans2.m

Identi caçãofi Projeto do Neutralizador

identi cacao_trans2.mfi Otimizacao_viscoelastico_trans.m

curva de transmissibilidade parâmetros equivalentes

Figura 21: Esquema de otimização não linear - Identi ação + Controle.

A identi ação dos parâmetros do sistema primário é estabele ida após uma apro-

ximação por mínimos quadrados das urvas de transmissibilidade experimental e de trans-

missibilidade obtida numeri amente. A formulação do sistema omposto é feita em termos

das oordenandas generalizadas do sistema primário, devido à introdução do on eito de

parâmetros equivalentes generalizados. O modelo vis oelásti o, mediante o ál ulo fra-

ionário, é usado em forma geral para modelar o material vis oelásti o do neutralizador

dinâmi o.

Conhe endo-se os parâmetros do sistema primário, o ontrole de vibração sobre o

mesmo é realizado. O ontrole requer que seja en ontrada uma frequên ia ótima para o

neutralizador. A partir dessa frequên ia, determinam-se os parâmetros físi os do disposi-

tivo, para que, posteriormente, ele possa ser onstruído.

6.1 Identi ação

O pro esso de identi ação, onforme já men ionado, a onte e através de um pro-

esso inverso: tem-se a priori uma urva medida experimentalmente e a ela aproxima-se

uma urva obtida a partir de um modelo numéri o. Neste trabalho, a urva experimental

é gerada numeri amente, uma vez que, por exiguidade de tempo não foi possível obter

urvas medidas. A função objetivo na identi ação orresponde a de um pro esso de

ajuste de urvas. Trata-se da minimização de diferença (erro), por mínimos quadrados

entre as duas urvas de transmissibilidade, a experimental hipotéti a, obtida do sistema

real, e a ofere ida pelo modelo matemáti o (vide equação 4.35). Assim,

fobj(x) : Rn → R = [erro]T · [erro],

73

onde

[erro] =

.

.

.

.

.

.

(Texperimental(Ωk)− Tmatemáti a(Ωk)).

.

.

.

.

.

om

errok = [Texperimental(Ωk)− Tmatemáti a(Ωk)].

A amplitude da a eleração na base é 2500[m/s2] e a faixa de frequên ia Ωi =

40[rad/s] a Ωf = 160[rad/s], dis retizada em 1000 pontos. As estimativas in iais no

pro esso de otimização foram estabele idas de modo a garantir a onvergên ia da função

objetivo. Os dados empregados na simulação numéri a forne idos pelo modelo matemáti o

são: k1 = 732[N/m], c1 = 2[N.s/m], k3 = 20[N/m3] e m1 = 1[Kg]. Já os dados oriundos

do sistema real são: k1 = 702[N/m], c1 = 1[N.s/m], k3 = 30[N/m3] e m1 = 1[Kg].

Per ebeu-se que para valores distantes dos a ima estabele idos para c e k3, xando

os demais parâmetros, a função não onvergia. Re orda-se que o vetor projeto é formado

por x = (k1 c1 m1 k3), onde k3 é a onstante não linear úbi a do sistema.

A equação (4.36) foi a equação utilizada para determinar a Curva de Resposta em

Frequên ia (CRF) para a transmissibilidade. Como a transmissibilidade dependente do

movimento da massa em relação a base Z, a relação da equação (3.38) onsequentemente

foi utilizada no pro esso de otimização.

A Figura 22 apresenta um determinado instante do pro esso de ajuste de urvas

em bus a do menor erro entre as duas urvas, enquanto a Figura 23 mostra o ajuste nal.

Note-se que, na Figura 23 as linhas em vermelho e verde indi am a região instável do

sistema, além de mostrar um zoom do ajuste de urvas nal.

O vetor projeto (parâmetros do sistema primário) en ontrado no pro esso de oti-

mização foi o seguinte: x = (72.99972[N/m] 1.9983[N.s/m] 20.0007[N/m3] 1[Kg]).

Determinados os parâmetros ótimos do sistema primário, passou-se para o ontrole

de vibração do mesmo, o que é detalhado na próxima seção.

74

Figura 22: Instante do ajuste de urvas de transmissibilidade.

Zoom

Figura 23: Ajuste nal das urvas de transmissibilidade.

6.2 Controle

Obtidos os parâmetros do sistema primário, o projeto do sistema de ontrole foi re-

alizado. A função objetivo utilizada nesse pro esso de otimização é a norma da amplitude

(at(Ω, x)), qual seja,

fobj(x) : Rn → R = ‖at(Ω, x)Ωi≤Ω≤Ωf

‖F , (6.1)

onde Ωi = 40[rad/s] e Ωf = 160[rad/s] são os limites inferior e superior da faixa de

frequên ia de interesse, respe tivamente, enqunato x é o vetor projeto, que nesse aso é

denido pela frequên ia natural do neutralizador, ou seja,

75

x = Ωa.

Diferentes materiais vis oeláti os foram testados neste trabalho, devido ao onhe-

imento prévio de suas propriedades por parte do Grupo de Pesquisa de Vibrações e Som

em Sistemas Me âni os (GVIBS). Os materiais utilizados foram: neoprene, borra ha bu-

tíli a e EAR-C1002. Para des rição de ada material vis oelásti o, foi usado o modelo a

derivada fra ionária de quatro parâmetros, onforme a equação (3.18). As Tabelas 1 e 2

exibem os quatro parâmetros asso iados aos três materiais adotados na simulação, bem

omo os parâmetros omplementares, respe tivamente.

Tabela 1: Modelo de derivada fra ionária de quatro parâmetros dos materiais vis oelás-

ti os.

Material G0 [N/m2] G∞ [N/m2] α bα

Neoprene 4.55e6 4.18e8 0.319 0.00274Borra ha butíli a 1.76e5 2.41e8 0.424 0.00424

EAR-C1002 6.19e5 9.997e8 0.5463 7.107e− 4

Tabela 2: Parâmetros omplementares dos materiais vis oelásti os.

Material θ1 θ2 T [K] T0[K]Neoprene 5.09 46.5 303 273

Borra ha butíli a 9.91 119 303 273EAR-C1002 17.805 177.119 303 284.61

O sistema omposto é modelado em termos do on eito de parâmetros equivalentes

generalizados (PEG's) e a urva de transmissibilidade é obtida pela equação (4.93). A

temperatura, onsiderada onstante em todo o pro esso de otimização, foi T = 303[K].

As Figuras 24, 25 e 26 expõem o omportamento do ontrole de vibração para o neoprene,

a borra ha butíli a e o EAR-C1002, respe tivamente.

O vetor projeto, dado pela frequên ia ótima do neutralizador linear para ada

material adotado, é exibido na Tabela 3.

Tabela 3: Frequên ia ótima do neutralizador vis oelásti o linear.

Material Frequên ia [rad/s]Neoprene 67, 7764

Borra ha butíli a 60, 3597EAR-C1002 65, 5041

76

Figura 24: Sistema sem e om NDV - Neoprene.

Figura 25: Sistema sem e om NDV - Borra ha Butíli a.

Após a determinação da frequên ia ótima de ada neutralizador, en ontra-se atra-

vés do nomograma de frequên ia reduzida orrespondente ao material empregado (vide

Figura 3), o módulo de isalhamento asso iado. Na sequên ia, obtem-se o fator geométri o

de ada neutralizador para o posterior projeto.

Isso se dá através da equação (6.2) abaixo, em que se expressa a rigidez dinâmi a

k do material vis oelásti o na frequên ia ótima por

k(Ωa) = LGc(Ωa), (6.2)

77

Figura 26: Sistema sem e om NDV - EAR-C1002.

onde o fator geométri o do sistema L =A

h(vide seção 2.1). Então, a frequên ia ótima é tal

que Ω2a =

LG(Ωa)

ma

, de modo que a área A =Ω2

a.h.ma

G(Ωa). A realização físi a do neutralizador,

a partir de valores adequados de A e h, é itada omo sugestão de trabalhos futuros.

78

7 CONCLUSO

No presente trabalho foi proposta e testada, através de simulações numéri as, uma

metodologia para identi ação e ontrole de um sistema não linear úbi o om um grau

de liberdade, utilizando um neutralizador dinâmi o vis oelásti o linear.

Tanto no sistema primário não linear, quanto no sistema omposto, foi usado o

método do balanço harmni o (MBH) para a determinação da solução aproximada do

sistema. Um modelo matemáti o para a urva de transmissibilidade foi implementado.

A ex itação imposta ao sistema foi do tipo harmni a. Uma urva experimental hipo-

téti a foi proposta para veri ar os algoritmos implementados. O ajuste de urvas por

mínimos quadrados entre a urva experimental e uma equivalente numéri a determinou

os parâmetros do sistema primário através de uma té ni a de otimização não linear.

O sistema omposto (sistema primário não linear úbi o + sistema se undário -

neutralizador dinâmi o) foi modelado om base no on eito de parâmetros equivalentes

generalizados (PEG's). Este on eito aqui revisado, permite a representação das equa-

ções de movimento do sistema omposto em termos apenas das oordenadas do sistema

primário.

O material vis oelásti o foi des rito matemati amente pelo modelo de derivada

fra ionária de quatro parâmetros, o qual permite predizer om exatidão o omportamento

dinâmi o desses materiais. O uso de uma té ni a de otimização não linear permitiu obter

a frequên ia natural do neutralizador dinâmi o vis oelásti o para uma dada temperatura

de trabalho. Três materiais diferentes para o neutralizador foram adotados no exemplo

numéri o: neoprene, borra ha butíli a e EAR-C1002.

A implementação numéri a para os dois momentos, de identi ação e de ontrole,

foi realizada om o intuito de validar a metodologia proposta neste estudo. Um exemplo

numéri o ilustrou a identi ação do sistema primário não linear om a obtenção dos

seus parâmetros, e o ontrole desse sistema, os três tipos de materiais vis oelásti os. As

respe tivas frequên ias ótimas dos neutralizadores foram exibidas.

7.1 Sugestões para Trabalhos Futuros

• A implementação numéri a de veri ação da inuên ia dos harmni os superiores

não foi realizada neste trabalho (vide apítulo 3), embora o Grupo de Pesquisa de

Vibrações e Som em Sistemas Me âni os (GVIBS) já tenha familiaridade om este

fato. Assim, a omo proposta de omplementação e/ou ampliação a realização

deste estudo.

• As estimativas ini iais da simulação numéri a de identi ação do sistema primá-

rio podem ser melhor obtidas através da análise grá a da função objetivo aqui

formulada ou om a utilização da transformada Hilbert.

79

• Outro tópi o que pode dar ontinuidade a este trabalho é o estudo de outros tipos

de não linearidade e da estabilidade do sistema omposto, além de uma omparação

do ontrole realizado para os três tipos de materiais vis oelásti os utilizados.

• Por m, sugere-se o uso de urvas experimentais, e não simuladas numeri amente,

para a identi ação dos parâmetros do sistema primário. Uma possível realização

experimental é detalhada no Apêndi e A.

80

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Apêndi e A - Realização experimental

Apresenta-se, nesse apêndi e, a montagem experimental sugerida para a exe ução

de experimentos orrespondentes ao investigado na dissertação. A Figura 27 mostra, em

destaque, o sistema não linear úbi o sob ex itação. Uma pequena massa é xada por

quatro elementos, a um suporte de a ríli o, que é, por sua vez, ex itada por "shaker".

Os quatro elementos entre a massa e o suporte são feitas de linha de pes a e podem ser

modelados omo uma mola em paralelo a um amorte edor. A tensão ini ial nos os pode

ser ajustada e tem um efeito onsiderável na rigidez do sistema. Quando a massa vibra

na direção horizontal, os os se esti am em tração, riando, assim, uma não linearidade

geométri a. A ex itação produzida pelo "shaker"pode ser modelada omo uma força

harmni a.

Massa

Acelerômetros

Suporte de acrílico

Shaker

Molas

Molas

Figura 27: Sistema não linear úbi o sob ex itação.

O onjunto experimental é ilustrado na Figura 28. O "shaker"eletrodinâmi o é

impulsionado, através de um ampli ador, por um gerador de sinais, que forne e um

sinal senoidal. A elermetros são one tados à estrutura do suporte e à pequena massa,

sendo os sinais orrespondentes adquiridos e pro essados num analisador. Esses sinais são

visualizados num omputador portátil, interfa eado ao analisador. Gerador de sinais e

analisador en ontram-se num úni o módulo de sinais.

Módulo de Sinais

Figura 28: Conjunto experimental.

Os omponentes prin ipais da montagem experimental são des ritos abaixo e ilus-

trados nas Figuras 29 a 33, direta ou indiretamente.

• "Shaker"(Brüel & Kjaer tipo 4824)

• Ampli ador (Brüel & Kjaer tipo 2732)

• A elermetros (PCB tipo 352C68 e PCB tipo 352C65)

• Módulo de Sinais (Brüel & Kjaer tipo 3160-B-042)

• Suporte de a ríli o om massa one tada por os

Enfatiza-se que os neutralizadores sejam onstruídos om materiais vis oelásti os

já ara terizados, a saber neoprene, borra ha butíli a e EAR-C1002.

O intuito om essa montagem sistema experimental é, omo já ante ipado, vali-

dar os resultados numéri os obtidos, tanto na identi ação quanto no projeto ótimo de

ontrole, através de um neutralizador dinâmi o vis oelásti o.

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Figura 29: Conjunto experimental real.

90

Figura 30: Sistema Não Linear Cúbi o.

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Amplitude

Fase

Excitação

Figura 31: Curva Experimental (variação res ente de frequên ia).

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Figura 32: Módulo de sinais.

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Figura 33: Ampli ador.

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