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1 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
Observe:
6
01
36
510
, ou seja,
6
01
9
51
3
5
6
10
3
5
36
510
, ou seja,
3
5
9
51
Obtenha as transformadas por meio da adição dos antecedentes com os conseqüentes:
40
25
408
25 5
8
5
408
25 5
10
9
1040
9 36
40
36
1040
9 36
9
21
93
21 7
3
7
93
21 7
40
25
8
5
10
9
40
36
9
21
3
7
)3
)2
)1
12
21
124
21 7
4
7
124
21 7
30
12
305
12 2
5
2
305
12 2
2
3
216
3 24
16
24
216
3 24
12
21
4
7
30
12
5
2
2
3
16
24
)6
)5
)4
Observe agora como podemos resolver problemas com o auxílio dessas transformadas.
Dada a proporção 6
b
5
a , determine os números a e b, sabendo que a + b = 44.
5
a
65
ba
Logo,
5
a
11
44 11 . a = 44 . 5 11 a = 220
6
b
5
a a = 220 : 11 = 20
6
b
65
ba
Logo,
6
b
11
44 11 . b = 44 . 6 11 b = 264
b = 264 : 11 = 24
Resposta: Os números são 20 e 24.
Adição dos antecedentes com os consequentes das duas razões
2 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
Exercícios resolvidos
1 A soma de dois números x e y é 35. Determine estes números, sabendo que x está para 3, assim como y está
para 4.
Resolução:
x + y = 35 e 4
y
3
x
3
x
43
yx
Logo,
3
x
7
35 x = 15
4
y
3
x
4
y
43
yx
Logo,
4
y
7
35 y = 20
Resposta: Os números são 15 e 20.
2 A idade de um filho está para 2, assim como a idade de seu pai está para 10. Ache essas idades, sabendo que a
soma delas é 54.
Resolução:
10
y
2
x e x + y = 54
2
x
102
yx
Logo,
2
x
12
54 x = 9
10
y
2
x
10
y
102
yx
Logo,
10
y
12
52 y = 45
Resposta: O filho tem 9 anos, e o pai, 45 anos.
3 O perímetro de um quadrado está para 6, assim como o perímetro de outro quadrado está para 8. Quais são
esses perímetros, sabendo que a soma deles é 84 m?
Resolução:
8
y
6
x e x + y = 84
6
x
86
yx
Logo,
6
x
14
84 x = 36
8
y
6
x
8
y
86
yx
Logo,
8
y
14
84 y = 48
Resposta: 36 m e 48 m.
3 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
4 Determine dois números, sabendo que o primeiro está para 7, assim como o segundo está para 9 e que a soma
deles é igual a 80.
Resolução:
9
y
7
x e x + y = 80
7
x
97
yx
Logo,
7
x
16
80 x = 35
9
y
7
x
9
y
97
yx
Logo,
9
y
16
80 y = 45
Resposta: Os números são 35 e 45.
4 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
Observe:
6
01
36
510
, ou seja,
6
01
3
5
3
5
6
10
3
5
36
510
, ou seja,
3
5
3
5
Obtenha, através desse método, as transformadas das seguintes proporções:
6
5
624
5 20
24
20
624
5 20
5
4
515
4 12
15
12
515
4 12
6
5
24
20
5
4
15
12
)2
)1
9
11
927
11 33
27
33
927
11 33
10
7
1060
7 42
60
42
1060
7 42
9
11
27
33
10
7
60
42
)4
)3
Exercícios resolvidos
1 Determine os números a e b, sabendo que 3
b
5
a e que a – b = 8.
Resolução:
5
a
35
ba
Logo,
5
a
2
8 a = 20
35
b
a
3
b
35
ba
Logo,
3
b
2
8 b = 12
Resposta: Os números são 20 e 12.
Subtração dos antecedentes com
os consequentes das duas razões
5 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
2 Determine as idades de dois irmãos, sabendo que uma delas está para 7, assim como a outra está para 4 e que
a diferença entre elas é de 9 anos.
Resolução:
4
y
7
x e x – y = 9
7
x
47
yx
Logo,
7
x
3
9 x = 21
4
y
7
x
4
y
47
yx
Logo,
4
y
3
9 y = 12
Resposta: 21 anos e 12 anos.
Observe:
2
2
6
01
36
510
, ou seja,
36
001
18
50
3
5
6
10
2
2
3
5
36
510
, ou seja,
9
52
18
50
Obtenha por meio desse método as transformadas das seguintes proporções:
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
416
3 12
16
12
416
3 12
9
6
93
6 2
3
2
93
6 2
4
3
16
12
9
6
3
2
)2
)1
2
2
2
2
2
2
2
2
5
2
520
2 8
20
8
520
2 8
8
14
84
14 7
4
7
84
14 7
5
2
20
8
8
14
4
7
)4
)3
Multiplicação dos antecedentes com
os consequentes das duas razões
6 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
Exercícios com respostas
a Dê as transformadas das seguintes proporções, utilizando o método da permutação e o da inversão:
3
1
15
5
1
5
3
15
15
3
5
1
9
12
3
4
12
4
9
3
3
9
4
12
1
3
5
15
12
9
4
3
)2
)1
5
11
20
44
11
44
5
20
20
5
44
11
24
40
3
5
40
5
24
3
3
24
5
40
11
5
44
20
40
24
5
3
)4
)3
b Dê as transformadas das seguintes proporções, utilizando o método da adição dos termos da mesma razão:
3
2 3
21
14 21
2
2 3
14
14 21
5
10 5
1
2 1
10
10 5
2
2 1
2
3
14
21
10
5
2
1
)2
)1
6
30 6
1
5 1
30
30 6
5
5 1
20
28 20
5
7 5
28
28 20
7
7 5
30
6
5
1
28
20
7
5
)4
)3
c Dê as transformadas das seguintes proporções, utilizando o método da subtração dos termos da mesma razão:
18
12 18
3
2 3
12
12 18
2
2 3
5
3 5
15
9 15
3
3 5
9
9 15
12
18
2
3
3
5
9
15
)2
)1
26
16 26
13
8 13
16
16 26
8
8 13
35
5 35
7
1 7
5
5 35
1
1 7
16
26
8
13
5
35
1
7
)4
)3
7 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
d Dê as transformadas das seguintes proporções, utilizando o método da adição dos antecedentes e
consequentes das duas razões:
36
16
369
16 4
9
4
369
16 4
28
8
287
8 2
7
2
287
8 2
36
16
9
4
28
8
7
2
)2
)1
4
1
432
1 8
32
8
432
1 8
9
3
93
3 1
3
1
93
3 1
4
1
32
8
9
3
3
1
)4
)3
e Dê as transformadas das seguintes proporções, utilizando o método da subtração dos antecedentes e dos
consequentes das duas razões:
2
1
216
1 8
16
8
216
1 8
9
1
954
1 6
54
6
954
1 6
2
1
16
8
9
1
54
6
)2
)1
4
5
412
5 15
12
15
412
5 15
3
4
515
4 20
15
20
515
4 20
4
5
12
15
3
4
15
20
)4
)3
f Dê as transformadas das seguintes proporções, utilizando o método da multiplicação dos antecedentes e dos
consequentes das duas razões:
2
2
2
2
2
2
2
2
5
1
520
1 4
20
4
520
1 4
15
12
155
12 4
5
4
155
12 4
5
1
20
4
15
12
5
4
)2
)1
2
2
2
2
2
2
2
2
12
8
126
8 4
6
4
126
8 4
4
12
41
12 3
1
3
41
12 3
12
8
6
4
4
12
1
3
)4
)3
8 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
g Determine os valores de x e y, usando uma transformada conveniente da proporção dada:
(50 e 35)
(20 e 8)
)(6 e
(6 e 14)
)4
)3
30 )2
)1
15 y x e 7
10
y
x
12 y x e 2
5
y
x
36 y x e 5
1
y
x
20 y x e 7
3
y
x
(40 e 16)
(35 e 15)
(6 e 27)
(21 e 28)
)8
)7
)6
)5
24 y x e 4
y
10
x
20 y x e 3
y
7
x
33 y x e 9
y
2
x
49 y x e 4
y
3
x
h Resolva os seguintes problemas:
1) A soma de dois números é 45, e a razão entre eles é de 7
2. Determine esses números.
(10 e 35)
2) Decomponha o número 32 em duas parcelas, x e y, de tal forma que 5
y
3
x .
(12 e 20)
3) Duas pessoas compraram o mesmo objeto em lojas diferentes, e uma delas pagou R$ 20,00 a mais do que a
outra. Descubra quanto cada pessoa pagou por esse objeto, sabendo que seus preços estão na razão 9
4. (R$
16,00 e R$ 36,00)
4) A quantia de R$ 55 000,00 foi repartida entre duas pessoas. Sabendo que as partes que couberam a cada
uma dessas pessoas estão na razão 7
4, descubra quanto recebeu cada uma. (R$ 20 000,00 e R$ 35 000,00)
5) Descubra uma fração equivalente a 4
11, cuja diferença entre seus termos é 28. (44/16)
6) Uma peça de tecido medindo 98 m será dividida em duas partes, x e y. Quanto medirá cada uma dessas
partes, sabendo que 4
y
3
x ? (42 m e 56 m)
7) Decompor o número 60 em duas parcelas, a e b, de tal forma que 11
b
4
a . (16 e 44)
8) A soma de dois números é 84, e a razão entre eles é 4
3. Quais são esses números? (36 e 48)
9 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
Mais exercícios com resposta
a Dê a leitura das razões:
1) 6
1um para seis 4) 2 : 11 = dois para onze
2) 8 : 12 = oito para doze 5) 15
11onze para quinze
3) 15 : 9 = quinze para nove 6) 100
17dezessete para cem
b Estabeleça a razão entre os números abaixo, de modo que os termos sejam números naturais e os menores
possíveis:
1) 8 : 17: 17
8 ou 8 : 17 6) 0,12 e 0,15:
5
4 ou 4 : 5
2) 10
1 e
2
1 3 :
1
35 ou 35 : 1 7) 2,4 m e 0,036 hm:
3
2 ou 2 : 3
3) 1,5 e 0,4: 4
15 ou 15 : 4 8) 0,018 dam2 e 2,1 m2:
7
6 ou 6 : 7
4) 1,6 e 0,8: 1
2 ou 2 : 1 9) 6,4 e
5
1 3 :
1
2 ou 2 : 1
5) 1,8 e 5
3 1 :
8
9 ou 9 : 8 10)
4
1 2 e 5,25:
7
3 ou 3 : 7
c Resolva os problemas:
1) Os lados desiguais de um retângulo medem 25 m e 1,5 dam. Qual é a razão entre essas medidas?
3
5
2) Uma mistura apresenta 0,5 dal de água e 100 dl de álcool. Determine a razão entre:
água e álcool;
2
1
álcool e água;
1
2
água e mistura;
3
1
álcool e mistura.
3
2
10 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
3) Determine a razão entre:
1 mês e 1 ano;
12
1
15 dias e 1 semana;
7
12
1 dia e 20 horas;
5
6
1 hora e 20 minutos;
1
3
1 bimestre e 6 meses;
3
1
1 minuto e 45 segundos.
3
4
4) A população de uma cidade é de 72 000 habitantes, dos quais 48 000 são mulheres. Ache a razão entre:
mulheres e homens;
1
2
homens e mulheres;
2
1
população e mulheres;
2
3
população e homens.
1
3
5) Suponha que numa sala de aula existem 50 carteiras e 45 alunos. Qual é a razão entre o número de alunos e
o de carteiras?
10
9
d Dê a leitura das seguintes proporções e indique a propriedade fundamental:
11 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
1) 18
6
6
2 dois está para seis, assim como seis está para dezoito
2x18 = 6x6
2) 5
3
15
9 nove está para quinze, assim como três está para cinco
9x5 = 15x3
3) 40
16
10
4 quatro está para dez, assim como dezesseis está para quarenta
4x40 = 10x16
4) 5
8
20
32 trinta e dois está para vinte, assim como oito está para cinco
32x5 = 20x8
e Determine o termo desconhecido nas seguintes proporções:
1) 52
x
13
6 (24) 6)
10
3
2,1
x
1,4 (0,2)
2) 7 : 15 = 21 : x (45) 7) 0,1 : 0,4 = x : 1,2 (0,3)
3) 4
5 : x
2
3 :
5
3 (1/2) 8)
4
1
x
3
11
3
11
(1/2)
4) 5
4
15
x (12) 9) x : 2 =
4
1 1 :
2
1 2 (4)
5) x: 3
1
4
5 :
2
1 (5/6)
f Resolva os problemas:
1) A capacidade de uma garrafa está para a capacidade de um copo, assim como quatro está para um.
Determine a capacidade do copo, sabendo que a da garrafa é de 900 ml. (225 ml)
2) O antecedente de uma razão é 12. Determine o consequente dessa razão, sabendo que ela forma uma
proporção com a razão 14
3. (56)
3) O antecedente de uma razão é 28. Qual é o seu consequente dessa razão, sabendo que ela forma uma
proporção com a razão 5
70? (2)
4) Num terreno retangular, medindo 8 m por 25 m, foi construída uma casa. Sabendo que a área do terreno está
para a área construída, assim como 10 está para 9, determine a área correspondente à construção. (180 m2)
g Determine a quarta proporcional correspondente aos números:
12 Operações com razões - www.matematica.com.br - Jorge Krug
1) 5, 12 e 20 (48) 4) 1, 4
1 e
2
1 (1/8) 7)
8
1 3 e
4
1 2 ,
2
1 1 (75/16)
2) 17, 2 e 51 (6) 5) 8, 5 e 2 (5/4) 8) 13, 12 e 3,25 (3)
3) 5
1 e
2
1 ,
4
3 (2/15) 6) 9, 8 e 4,5 (4) 9)
2
1 e
4
1 ,
8
1 (1)
h Ache a terceira proporcional correspondente aos números:
1) 50 e 5 (1/2) 4) 2,25 e 3 (4)
2) 24,5 e 7 (2) 5) 8,1 e 9 (10)
3) 4
3 e
2
9 (1/8) 6)
6
5 e
36
1 (25)
i Aplicando as transformadas envolvendo operações, resolva os problemas:
1) Um terreno, cuja área é de 110 m2, foi repartido em duas partes, na razão de 15
7. Qual é a área de cada
parte? (35 m2 e 75 m2)
2) A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como três está para um. Determine essas idades,
sabendo que a diferença entre elas é de 28 anos. (42 anos e 14 anos)
3) Um pai repartiu R$ 500,00 entre seus dois filhos. Quanto recebeu cada filho, sabendo que as partes
recebidas estão entre si assim como 10 : 15? (R$ 200,00 e R$ 300,00)
4) Achar a fração equivalente a 14
5 cuja soma de seus termos é 152. (40/112)
5) Decompor o número 80 em duas partes, a e b, de tal forma que 13
b
7
a . (28 e 52)
6) Numa partida de basquete entre as equipes A e B, o número de pontos feitos pela equipe A está para o
número de pontos feitos pela equipe B assim como quatro está para três. Descubra qual foi o resultado
dessa partida, sabendo que o total de pontos é 210. (120 a 90)
7) Decompor o número 60 em duas partes, x e y, de tal forma que x : 9 = y : 11. (27 e 33)
8) Descubra qual é a fração equivalente a 7
3, cuja diferença entre seus termos é 48. (36/84)
