Operações de SimetriaSão operações que levam a rede a coincidir com ela própria

• Identidade• Translacção• Rotação• Reflexão• Inversão• Roto-inversão ou rotação imprópria

Identidade

• É a operação em que não se faz nada ao objecto ou em que ele sofre uma rotação de 360º, e que todos os objectos apresentam. Necessário para definir inversos, é equivalente ao 1 na multiplicação.

• Simbologia:– Notação Internacional: 1 – Notação de Schoenflies: E (do alemão Einheit,

que quer dizer unidade)

Translacção

• É a operação de simetria que consiste no deslocamento do motivo paralelamente a si próprio e que ocorre numa rede cristalina.

Rotação

• Operação definida por um eixo e um ângulo de rotação.

• Eixo de rotação de grau n → recta em torno da qual se roda a rede cristalina de 2π/n, de forma a haver coincidência da rede.

• n → ordem de rotação (n = 1, 2, 3, 4 ou 6)• Simbologia:

– Notação Internacional: n – Notação de Schoenflies: Cn– Símbolo: ▲ ■

Rotação

Rotação de 180º(1/2 volta)

Rotação de 120º(1/3 volta)

Rotação de 90º(1/4 volta)

Rotação de 60º(1/6 volta)

Rotação

A rotação de 180º (2(C2)) permite obter novamente a molécula de H2O, pelo que H2O tem o elemento de simetria 2 (C2). O mesmo não acontececom o elemento 4 (C4).

Reflexão (espelho)• Operação que divide a rede em duas partes

iguais em que uma está para a outra como um objecto está para a sua imagem.

• Operação definida pelo plano de simetria e pela sua perpendicular.

• Simbologia:– Notação Internacional: m – Notação de Schoenflies: σ (σh,σv,σd)

Reflexão (espelho)

A molécula de H2O apresenta 2 planos de reflexão, ambos paralelos aoprincipal eixo de rotação.

Inversão

• Operação que relaciona duas figuras tal que, a cada ponto de uma figura, corresponde na outra um ponto oposto, relativamente a um ponto no espaço.

• Operação definida por um ponto ou um centro, o centro de inversão ou centro de simetria.

• Simbologia: _– Notação Internacional: 1 – Notação de Schoenflies: i

Rotação-inversão ou rotação imprópria

• Operação composta por rotação de 2π/n em torno de um eixo, seguida de reflexãono plano perpendicular ao eixo de rotação.

• Simbologia: _– Notação Internacional: n – Notação de Schoenflies: Sn

Exemplos

SimetriaAs propriedades de simetria de um objecto (ou de uma molécula) podem ser descritas em termos dapresença de certos elementos de simetria e dasoperações de simetria associadas.

_n (Sn)

Rotação de um eixo de 2π/n, seguido de reflexão no plano ┴ ao eixo de rotação

Eixo de rotação impróprio

n (Cn)Rotação de um eixo de 2π/nEixo de rotação próprio

_ 1 (i)

Inversão: cada ponto x, y, z sofre uma translacção para -x, -y, -z.

Centro de inversão

m (σ)Reflexão no planoPlano de simetriaSímboloOperação Elemento

Simetria

• Elementos de simetria: elementos geométricos (eixo de rotação, plano de reflexão, vector de translacção, ...) relativamente aos quais se realizam determinadas operações de simetria, tal que o cristal coincide consigo próprio.

• Operações de simetria: São operações que levam a rede a coincidir com ela própria (identidade, reflexão, rotação,...).

Grupos de Simetria

• Grupos de simetria: conjunto de operações de simetriaque garante a coincidência da rede antes e após a suaaplicação e que formam um grupo no sentido matemáticodo termo:

1. Tem elemento neutro, a identidade 1(E). P1=1P=P2. O produto de duas operações também pertence ao grupo. PQ=R3. Para cada operação R, existe o seu inverso R-1, tal que RR-1=1(E) 4. A multiplicação de operações é associativa. (PQ)R=P(QR)

• Grupos pontuais de simetria: Grupos de simetria centrados num ponto fixo, tal que esse ponto fica imutável após qualquer operação de simetria, por não incluirem translacção.

• Grupos espaciais de simetria: englobam todos os elementos de simetria.