OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS

7/21/2019 OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS

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I. Partículas e Distribuições de Tamanhos.................................................................. .........3

I.1 Caracterização de Partículas Isoladas....................................................................3

I.2.Estatística de Partículas: distribuições........................................................... ...........4

I.3 Determinação Experimental da Distribuição de Tamanhos.............................. .......5

I.4 Balanços Materiais..................................................................................................7

II.PENEIRAÇÃO............................................................................................. ......................8

III. COMINUIÇÃO, MOAGEM................................................................. ..............................9

III.1 Introdução...................................................................................................... ............9

III.2 Moagem Primária.......................................................................................................9

III.3 Moagem Secundária................................................................................................10

III.4 Moagem Autógena...................................................................................................10

III.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos............. ..................10

IV. DINÂMICA DA INTERAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO............................................................11

IV.1 Movimento da Partícula.............................................. ............................................ 11

IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e Intermediário....... .............................................12

IV.2 VelocidadeTerminal.................................................. ...............................................13

IV.3 Diâmetro de Sedimentação.................................... .................................................14

IV.4 Efeito de Parede.................................................... ..................................................15

IV.5

Efeito da Concentração de Partículas ....................... Erro! Indicador não definido.

IV.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos .................................................................17

V. DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO.......................................................18

V.1 Câmara de Poeira.....................................................................................................18

V.2 Projetos de Ciclones Industriais................................................................................19

IV.3 Hidrociclones............................................................................................................22

VI INTRODUÇÃO AO BENEFICIAMENTO DE MINÉRIOS ...............................................23

VI.1 Elutriaçao .................................................................................................................24

VI.2 Flotação ...................................................................................................................25

VI.3 Jigagem....................................................................................................................28

VII SISTEMAS PARTICULADOS........................................................................................28

VII.1

Balanços de massa.................................................................................................28

VII.2 Balanços de Momento ............................................................................................30

VII.3 Escoamentos através de Meios Porosos ...............................................................31

VII.4 Permeabilidade.......................................................................................................33

VII .5 Escoamentos de Fluidos Não-Newtonianos..........................................................35

VII.6 Aplicações...............................................................................................................35

VIII FLUIDIZAÇÃO..............................................................................................................36

VIII.1 Teoria da Fluidização.............................................................................................37

VIII.2 Tipos de Fluidização a Gás ...................................................................................38

VIII.3 Teoria das Duas Fases........................ ..... ............................................................39

VIII.4 Mistura e Segregação............................ ..... ..........................................................40

IX

SEPARAÇÃO DE FASES...............................................................................................41 IX.1 Referencias e Aspectos Gerais ...............................................................................41

IX.2 Sedimentação em Batelada.....................................................................................42

IX.3 Sedimentação Contínua..................................................... .....................................44

IX.4FILTRAÇÃO..............................................................................................................46

Seleção de um sistema de filtração....................................................................... .........46

Teoria simplificada da filtração com formação de torta.......................................... ........47

Filtração a pressão constante.........................................................................................48

Lavagem da torta............................................................................................................49

Produção máxima, dimensionamento de um filtro..........................................................49

IX.5Filtração em filtro rotativo......................................................................................... 51

IX.6 Avaliação da teoria simplificada...............................................................................51

IX.7 Filtração em leito granular .......................................................................................52

2



I. Partículas e Distribuições de TamanhosEsta disciplina trata de diversos sistemas, operações e equipamentos nos quais há a

participação de uma fase descontínua, composta por partículas sólidas, ou gotas de umlíquido, quase sempre interagindo com uma fase gasosa ou líquida. A primeira destas duasserá denominada “fase particulada”, e a segunda de “fase contínua” ou “fluida”. Suasaplicações vão desde o controle da emissão de particulados para a atmosfera ao projeto deprocessos e de equipamentos comuns a diferentes indústrias de processamento químico.

É possível fazer a distinção entre os métodos de estudo dos sistemas particulados porsua faixa de aplicação a sistemas diluídos e sistemas concentrados. Nos sistemas diluídos aatenção é dirigida à fase particulada, e o estudo das possíveis interações sólido-fluido tem porbase o que acontece a uma partícula isolada, uma vez que estas estão distantes, uma dasoutras, e os efeitos da concentração de partículas são pequenos e podem, quandonecessário, ser considerados como correções a serem introduzidas nos resultadossimplificados. No outro extremo têm-se os sistemas concentrados, para os quais as duasfases interagem fortemente, tornando-se mais eficiente a abordagem do sistema por seusparâmetros macroscópicos, e menosprezando-se o comportamento individual das partículas.Com esta abordagem estudam-se os escoamentos em meios porosos em particular ou a

teoria mecânica de sistemas multifásicos.Na primeira parte deste curso trataremos dos sistemas diluídos visando à descrição dos

processos de arraste e coleta de sólidos particulados. Antes porem é necessário acaracterização das partículas isoladamente e em conjunto.

I.1 Caracterização de Partículas Isoladas

Consideramos uma amostra de partículas, a cada uma delas podemos associar certaspropriedades, algumas das quais estão listadas no seguinte quadro.

propriedade símbolo descrição unidadesdensidade ρp massa /p.u.volume Kg/m3 (g/cm3)

tamanho Dp, L uma dimensão linear m; mm; µm, nmárea superficial Sp área da superfície m2; mm2; µm2, nm2

volume Vp m3; mm3; µm3, nm3

esfericidade φ sem dimensãomassa mp p pm / Vρ = p

Kg; g

A esfericidade é um fator de forma definido como a relação entre a área superficial daesfera de mesmo volume e a área superficial da partícula.

23

p

p

6V

S

π ⎛ ⎞φ = ⎜ ⎟π⎝ ⎠

.

1,

Uma vez que a esfera é o sólido de menor área superficial, conclui-se que 0 ≤ φ ≤ e φ=1se e apenas quando a partícula é esférica.

Exercício 1.Calcule a esfericidade de um cubo e de um paralelepípedo com arestas l, l, e 1,5l.Partículas irregulares são caracterizadas por diferentes tipos dimensões lineares,

denominadas diâmetros ou tamanhos. Alguns destes são apresentados a seguir:

• Diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula

13

p p

6D V

⎛ ⎞= ⎜ ⎟π⎝ ⎠;

• D# diâmetro de peneira, valor médio das aberturas de malhas de peneirasconsecutivas pelas quais a partícula passa e é retida ( )1

# 2D D D+ −= + ;

3



• Diâmetro de Ferret, DFe, valor médio da distancia entre tangentes paralelas à áreaprojetada da partícula. Obtido por microscopia;

• Diâmetro de sedimentação Dsed, diâmetro da esfera de mesma densidade, quesedimenta com a mesma velocidade que a partícula;

• Diâmetro de Stokes diâmetro de sedimentação no regime de Stokes;

I.2. Estatística de Partículas: distribuiçõesUma amostra de um sistema particulado conterá partículas de diferentes tamanhos. Assim

poderemos observar, ou medir as distribuições associadas a cada uma das seguintesquantidades:

1. número de partículas,2. massa total da amostra,3. volume total da amostra,4. área superficial de todas as partículas,5. tamanho, soma dos tamanhos individuais.

As distribuições estatísticas têm por base a quantidade de partículas associadas a uma

determinada propriedade de seu conjunto, ou de uma amostra. Alguns exemplos servirãopara elucidar estas questões. Número de partículas com massa menor que m, ( )pN m ;

Fração numérica de partículas com massa menor que m, ;( )pn m

Massa de partículas com massa menor que m, ( )pM m ;

Fração ponderal de partículas com massa menor que m, ;( )pX m

Volume de partículas com massa menor que m, ( )pV m ;

Fração volumétrica de partículas com massa menor que m, ;( )pv m

Distribuições associadas à área superficial, ou ao tamanho podem também ser definidas.O argumento das distribuições apresentadas pode ser outro no lugar da massa. Assimpodemos falar de ( ) ( ) ( )p pN V , ou M S , ou M Dp para:

• o número de partículas com volume menor que V;• a massa de partículas com área superficial menor que S;• a massa de partículas com tamanho menor que D.

A distribuição mais freqüentemente utilizada na descrição de sistemas particulados éaquela que representa a fração ponderal de partícula com diâmetros menores que D,denominada distribuição granulométrica.

As derivadas destas distribuições em relação aos respectivos argumentos representam:

( ) ( )

( ) ( )dX D

x D , x D dD dX DdD≡ = = fração de partículas com diâmetros entre

D e D+dD. A inversa desta relação determina a distribuição original.

( ) ( )D

0

X D x D dD.= ∫ (I.2.1)

As duas funções ( ) (X D , e x D ,)

expressão aplica-se a diâmetros compreendidos entre .

possuem a mesma informação, pois o conhecimento de

uma delas fornece o conhecimento da outra através de uma simples operação matemática. Análise granulométrica diz respeito a uma técnica experimental que visa a determinação

da distribuição de tamanho de partículas de uma dada amostra. Expressões matemáticas

para distribuições são múltiplas, e quase todas são contínuas, i.e. o argumento da expressãoé um número real variando numa faixa de valores conhecidos. Assim, por exemplo, a

min maxD D D≤ ≤ Existem muitos

4



analisadores de distribuição de tamanhos de partículas, que ara o controle daprodução de pós. Em diversos setores industriais como: cimentos e cerâmicos; corantes epigmentos; alimentos; fármacos; e muitos outros o controle da distribuição granulométrica écrítica.

As técnicas mais empregadas para medida de distribuições granulométricas são:

são usados p

• a análise de peneiras [ ]200 m D 20mmµ ≤ ≤

• observação microscópica• difração de laser [ ]0,04 mµ ≤ D 2000 m≤ µ

Algum e as para as distribuições granulométricas são dadas abaixo.as xpressões analítici). Distribuição de Weibull a três parâmetros:

( )D D

X D 1 exp 0,

α⎧ ⎫, D D, D 0,

D

⎛ ⎞′ >⎨ ⎬⎜ ⎟′⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

(I.2.2)−⎪ ⎪

= − − ≥ α >

( )1

D D D Dx D exp

D D D

α− α⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞α − −⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

′ ′ ′⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

⎥⎦

. (I.2.3)

é um diâmetro inferior de corte para o qual se supõe que inexistam partículas menoresD porD

´, e α são parâmetros indicativos da dispersão das partículas, e devem ser determinadosajuste aos dados da distribuição de tamanhos.ii). Distribuição de Weibull a 2 parâmetros

É a que resulta quando se faz D 0= , i.é:

( )D

X D 1 exp 0,α⎡ ⎤⎛ ⎞= − − ≥⎢ ⎥ , D 0, D 0,

D ′α > >⎜ ⎟′⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(I.2.4)

( )

1D D

x D exp .D D D

α− α⎡ ⎤α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎣ ⎥⎦ (I.2.5)

Estas duas distribuições são muito utilizadas para as distribuições de tamanho de partículas.riii) Distribuição lognormal A distribuição norma não deve ser utilizada por não faze

sentido seu ramo negativo. Uma variável X é de distribuição lognormal se Y =lnX é dedistribuição normal,

( ) ( )

21

x D2

lnDexp , D 0, 0.

2 D 2

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ≥ σ >⎨ ⎬

πσ σ⎪ ⎪⎩ ⎭ (I.2.6)

( )lnD

X D ,⎛ ⎞= φ⎜ ⎟

σ⎝ ⎠

(I.2.7)

I.3 Determinação Experimental da Distribuição de Tamanhos

Análise deis simples e diretas para a determinação da distribuição de tamanho

de

PeneiraUma das técnicas mauma amostra de partículas é a análise de peneiras. Peneiras padronizadas, com malhas

precisas, formando uma série com abertura de malhas cada vez mais finas. As peneirasselecionadas são empilhadas, como mostra a figura, e colocadas sobre um vibrador, aamostra sendo colocada na peneira superior, a mais aberta.

5



As peneiras ficam encaixadas sobre uma panela destinada a recolher a parcela departículas mais finas, que passam por todas as malhas das peneiras. Após certo tempo,previamente determinado retira-se e pesa-se o material retido em cada uma das peneiras dosistema.

As peneiras de serie Tyler são produzidas de diferentes materiais, formando uma malha

quadrada com aberturas que decrescem na proporção de 42, ou 2 .Exemplo 2. A seguinte seqüência de uma série Tyler é dada, com resultados de uma

análise. Para esta análise determine as curvas de x(D) e a distribuição cumulativa, X(D), eainda determine os parâmetros ótimos para a distribuição de Weibull.

Peneira#

Abertura(µm)

Massaretida(g)

Peneira#

Abertura(µm)

Massaretida(g)

4 4750,0 8,8534 50 299,9 51,2316 3350,0 21,592 60 248,8 26,978 2360,0 39,33 80 178,9 21,708

12 1680,0 60,048 100 148,9 17,44516 1180,0 79,764 140 105,0 15,17820 850,9 87,026 200 74,1 15,89430 601,0 71,288 270 53,0 17,6140 426,1 66,549 fundo 0 12,08

Difração de Laser Analisadores da distribuição de tamanhos de partículas por difração de laser são

empregados para o controle da produção de pós em todas as situações onde o estado dadistribuição é determinante da qualidade do produto. Entre estas exclui se a produção demateriais cerâmicos, de fármacos e de alimentos.

Os analisadores por difração de laser dão resultados rápidos, seguros e precisos sobre adistribuição de tamanhos permitindo o controle de qualidade. Produzem resultados bem

precisos na análise de partículas numa larga faixa de tamanhos desde 0,1 mícron até 2mm.

6



Malvern é um dos produtores de sistemas automáticos para esta faixa de tamanhos. APolymer Laboratories lançou recentemente um sistema que alcança a faixa denonopartículas, compreendendo de 5nm ate 300nm.

I.4 Balanços Materiais

Consideremos uma corrente de particulados com distribuição de tamanhos conhecida quealimenta um sistema de separação por tamanhos. O sistema possui uma alimentação A, comvazão mássica M A, e produtos de topo T, e de fundo F, respectivamente com vazõesmássicas MT, e MF

..Balanço Global: (para o regime permanente)

A TM M M= + F. (I.2.8)

Balanço de partículas com diâmetros na faixa D e D+dD( ) ( ) ( ) A A T T F F

A A T T F F

M x D dD M x D dD M x D dD, ou

M x M x M x .

= +

= + (I.2.9)

Quanto da alimentação é retirado pelo fundo é dado pela relação Com ela

podemos escrever o balanço acima sob a forma:

F F AR M /M= .

( ) A F T Fx 1 R x R x= − + F.

T

(I.2.10)

Note que a situação em que A Ff f f = = representa uma solução trivial, para a qual o

sistema nada faz; os dois produtos de fundo e de topo são idênticos à entrada. A eficiência de coleta das partículas é definida pela relação entre o que sai pelo fundo

sobre a alimentação.

( ) F F A AD M x /M xη = . (I.2.11)

F A TF F

1x x , x

R 1 R

η −= =

− Ax .η

(I.2.12)

Note que esta eficiência depende do tamanho da partícula. Partículas diferentes serãocoletadas com eficiências diferentes. Em geral a eficiência de coleta é maior para as maiorespartículas. Conhecida uma expressão para a eficiência de coleta em função do diâmetropodemos calcular a eficiência média de coleta pela expressão:

( ) ( ) A0

D x D dD.∞

η = η∫ (I.2.13)

Outros arranjos de correntes de sistemas particulados são possíveis. Alguns exemplossão:

1) Mistura de duas (ou mais) correntes P Ai

1x

M= ∑ Ai AiM x .

∑ (I.2.14)

2) Associação de separadores, pelo fundo ou pelo topo.Balanço no primeiro separador

1 1 A TM M M= + 1

F,

1F,

A

1 ,

(I.2.15) 1 1 1 1 1 1 A A T T F FM x M x M x .= + (I.2.16)

Balanço no segundo separador2 2 2 2 A T F AM M M , M M= + = (I.2.17)1 1 2 2 2 2F F T T F FM x M x M x .= + (I.2.18)

Razões de fundo1 1 1 2 2 2 2 1F F A F F A FR M /M , R M /M M /M .= = = (I.2.19)

Eficiências de coleta( )1 1 1 1

F F A AD M x /M xη = (I.2.20)

7



( )2 2 2 2F F A AD M x / M xη = 2 . (I.2.21)

As soluções destas equações dão os seguintes resultados:1 1

1 1 1F A T1

F F

1x x , x

R 1 R

η −= =

−1 A1

x ;η

(I.2.22)

2 22 1 2

F F T2F F

1

x x , xR 1 R

η −

= = −

1

F2 x ;

η

(I.2.23)2 1 2 1

2 1 2F A T2 1 2 1

F F F F

1x x , x

R R 1 R R

η η − η η= =

−1 Ax . (I.2.24)

II. PENEIRAÇÃOSistemas de peneiração podem ser empregados para produzir de 2 a 4 correntes de

produtos. Uma boa capacidade é alcançada pela “vibração circular” no plano vertical.Usualmente são fabricadas de aço carbono ou aço inoxidável, e ativadas por um motor comexcêntrico ajustável. Este ajuste permite características de vibração diferentes, para uma

peneiração suave e grandes tempos de residência, ou alta capacidade mesmo para materiaisde difícil tratamento. A capacidade das peneiras depende do seguinte:1. largura da área onde o material está sendo alimentado;2. relação entre abertura da malha e tamanho das partículas;3. vibração imposta à peneira;4. inclinação da peneira.

Pode-se aumentar a capacidade da peneira aumentando a freqüência da vibração, ou oângulo de sua inclinação. Usualmente as peneiras são calculadas para suportar 5g deaceleração.

8





estreita e o ciclo se repete. A abertura máxima determina o tamanho máximo de partícula quepode ser admitido, enquanto que a mínima relaciona-se com o tamanho do produto. A razãode moagem de um britador de mandíbulas varia entre 3 e 7.

Britadores GiratóriosOs britadores giratórios possuem um elemento central, vertical, rotativo em forma de

cone, operando numa câmara aberta. A cabeça de moagem na forma de um cone truncado

está montada num eixo vertical excêntrico. O espaço entre o cone e a parede da câmaradecresce gradualmente. O material a ser moído é alimentado no topo. Quando o britador éacionado o cone gira em torno de seu eixo. O material é comprimido entre o cone móvel e ocone fixo. A relação de moagem situa-se entre e 3 e 10.

Britador de RolosUm britador de rolos consiste de dois rolos com superfície de aço com eixos horizontais

entre os quais a moagem se dá. O eixo de um dos rolos é fixo à estrutura do britador, porrolamentos e o outro rolo é sustentado por molas. O ajuste do britador, i.e. a distância entreos rolos é ajustável. Britadores de rolos são empregados para moagem fina.

Britador de impactoBritadores de impacto são usados para materiais friáveis ou maleáveis. Uma de suas

características é que a moagem é baseada no impacto e não na pressão, como nosbritadores comuns. Impactos se sucedem continuamente, em séries rápidas. A relação demoagem é muito alta. Depende do material a ser moído, da velocidade de rotação dosmartelos e do ajuste entre martelos e a carcaça. O britador é frequentemente aberto no fundo,mas pode possuir uma superfície de peneiramento. Assim o material não deixa o britadorantes de estar suficientemente moído.

III.3 Moagem Secundária

Na britagem secundária o material é transformado em pós finos levados até a ordem dealguns micra, ou até a nanômetros, atualmente necessários à nanotecnologia.

Moinho de bolas Pesquisa Google: moinhos de bolasMoinho de bastões

III.4 Moagem Autógena

Na moagem autógena o material a ser moído tem a função de moer. Tipicamente ummoinho de cilindro rotativo, semelhante ao moinho de bolas é utilizado, mas o agente damoagem é o próprio material a ser moído. O material é alimentado ao moinho e suamovimentação causada pela rotação do moinho provoca a moagem. Um catalogo da MetsoMinerals Industries encontra-se no: http://www.metsominerals.com/

III.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos

O custo da energia despendida na moagem é elevado, por conseqüência seu controle éimportante. A mais antiga relação proposta para o cálculo da energia gasta na moagem é a leide Rittinger, segundo a qual o trabalho é proporcional à criação de superfície. Para a moagemde m [ de matéria prima alimentada ao moinho, há um consumo de energiakg/s]

m r prod. a lim.

1 1P / m K

Dp Dp

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ . 2m

pp

dPD

dD−

∼ (III.5.1)

Nesta equação Kr é a constante de Rittinger, alim.Dp é diâmetro médio da alimentação

prod.Dp é o diâmetro médio do produto.

10

http://www.cmis.csiro.au/cfd/dem/ballmill_3D

http://www.cmis.csiro.au/cfd/dem/ballmill_3D





O gráfico mostra uma assintota, reta com inclinação logarítmica igual a -1, válida para

pequenos valores do número de Reynolds ( )Du

Re 0,2 , Re ρ

≤ =µ

, e uma segunda assintota

para ( )25 *10 Re 3 *10≤ ≤ 5

ue

. Na região entre este valor e há uma redução do valor

do coeficiente de arraste causado pela redução da região de separação da camada limite.

7Re 10≈

IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e Intermediário

Um caso especial, simples, mas importante é o da solução dada por Stokes, com a forma:. (IV.1.5)p p3 D 3 D u= πµ = πµu

Esta solução aplica-se quando as seguintes condições são válidas:a) partícula esférica,b) regime laminar,c) escoamento lento com aceleração desprezível,d) fluido newtoniano,

e) partícula lisa,f) partícula isolada,g) região infinita (longe de quaisquer outros sólidos).

Regime de StokesSob qualquer desvio destas condições aplicam-se correções e assim torna-se necessário

levantar cada uma das restrições listadas. Para exemplificar estes efeitos vamos comparar asexpressões (IV.1.4) e (IV.1.5), obtendo-se:

( )2 2p F D p D

p

D /8 u C 3 D u C 24 ,D u

µπ ρ = πµ ⇒ =

ρ (IV.1.6)

Isto é (IV.1.7)DC 24 /Re, Re D u /= = p .ρ µ

A expressão para o coeficiente de arraste inversamente proporcional ao número deReynolds permanece sujeita às sete restrições enumeradas acima. Em especial aplica-separa valores do número de Reynolds menores que 0,2. Por outro lado a definição docoeficiente de arraste, CD dada pela eq.(IV.1.4), é geral e válida para todo número deReynolds.

Regime de Newton

Para altos valores do número de Reynolds verifica-se que o coeficiente de arraste atingeo valor assintótico,

(IV.1.8)DC 0,43.=

As duas assíntotas podem ser combinadas e expressas por uma equação geral, i.e. válidapara todos os valores de Re, com a forma:

12



( )

1nn

n

D

24C 0,

Re

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

43 ⎥ . (IV.1.9)

O ajuste desta expressão aos dados experimentais fornece como o melhor valor para oexpoente n = 0,63.

Até aqui consideramos apenas as expressões do coeficiente de arraste para partículas

esféricas, a primeira restrição presente na lista. Uma correção aplicável a partículas para asquais está determinada sua esfericidade consiste na alteração das duas constantes quedeterminam as duas assíntotas. Escreve-se:

1nn

nD 2

1

24C K , se 0,6 0,9 n 0,9,

K Re

e se 0,9 1 n 3,15 2,59 .

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ≤ φ ≤ ⇒ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

≤ φ ≤ ⇒ = − φ

(IV.1.10)

Nesta equação há primeiramente um ajuste dos fatores de correção a partir de

dados com partículas com esfericidade conhecidas,1K , e K2

( )1 10 2K 0,843log / 0,065 , e K 5,31 4,88 , 0,85 1.= φ = − φ ≤ φ ≤ (IV.1.11)

E a seguir o ajuste do expoente n na expressão (IV.1.10) resultando n = 0,85. Esta formade abordagem do ajuste é devida ao prof. Massarani. Como veremos ela é de grandeutilidade.

IV.2 Velocidade Terminal

Há uma solução da equação do movimento (IV.1.2) para a qual a aceleração da partículaé nula. Tal situação costuma ocorrer, por exemplo, sempre que a partícula parte do repousosob a ação de um campo externo g, como o campo gravitacional, e enquanto se acelera, suavelocidade aumenta até que a força de arraste se iguala ao efeito do campo externo na forma

de peso – empuxo. Partimos da equação do movimento da partícula, escrita sob a forma daeq.(IV.1.2):

21p p p F p D g p g2m A v C V g= − ρ + ∆ρa e .e (IV.2.1)

Os termos à direita na equação têm sinais opostos. Inicialmente a velocidade da partículaé baixa e a ação do campo externo prevalece e a aceleração é positiva. Com a aceleração otermo de araste aumenta até o instante no qual a aceleração se anula. A velocidade dapartícula é chamada de “velocidade terminal”.

21p F t D p2 A v C V g

força de arraste=peso-empucho.

ρ = ∆ρ (IV.2.2)

p p pD p D2

F t p p F t

V V 2 D2 gC , D , Cv A A v2

g∆ρφ∆ρ= ≈ φ ⇒ =ρ ρ (IV.2.3)

pD 2

F t

2 D gC

v

∆ρφ=

ρ. (IV.2.4)

É importante ressaltar que o coeficiente de arraste depende da velocidade da partícula, eque portanto a fórmula acima não é conveniente para o cálculo da velocidade terminal. Ela sereduz às seguintes expressões para os regimes de Stokes e o de Newton:

2p1

t

g DKv , para o regime de Stokes,

18

∆ρ φ=

µ (IV.2.5)

e pt2 F

g D4v , para o regime de Newton.3K

∆ρ φ= ρ (IV.2.6)

13







Variávela ser

estimada

Assíntota para Re<0,2 Desvio máximos%

CD D 1 p tC 24 /K Re, Re D v /= = .ρ µ 12

( )tRe v ( )21 DK C Re

24

6

( )pRe D

( )

0,5

1 D

24

K C /Re

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

12

AssíntotaparaRe>3x103

Correlação n

K21nn

nD 2

1

24C K

K Re

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

se 0,6 0,9 n 0,9≤ φ ≤ ⇒ = se0,9 1, n 3,15 2,5≤ φ ≤ = − φ

0,52D

2

C ReK

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( )

21

1/ nn0,50,521 2

D

K / 24 CdReReK K

1 C Re24

=⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪

+⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

se 0,6 0,8, n 1,3se 0,8 1, n 2,7 1,75

≤ φ ≤ =≤ φ ≤ = − φ

( )2

D

K

C /Re

( ) ( )

1n n2 n

2

1 D D

K24Re

K C /Re C /Re

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥

se 0,6 0,8, n 1,5

se 0,8 1, n 3,62 2,65⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎢⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

≤ φ ≤ =

≤ φ ≤ = − φ

( )1 2K 0,843log 15,4 , K 5,31 4,88 .φ = − φ

Ref. Prof. Giulio Massarani: “Novas Correlações para a Dinâmica de PartículasIsométricas”.

Relatório n0 4/84, LSP PEQ, COPPE/UFRJ (1984).

IV.5 Efeito da Concentração de Partículas

A concentração volumétrica das partículas é a principal variável determinante do efeito de

população. Esta é definida pelo volume total das partículas sólidas numa determinada regiãodo espaço V . É definida pela expressão

( ) ( )s sV = ε∫ xV

V , t dV.

t dV.

(IV.4.8)

De modo análogo define-se a concentração volumétrica de fluido, também denominadade porosidade:

(IV.4.9)( ) ( )f V ,= ε∫ xV

V

Se o espaço é integralmente ocupado pelas duas espécies, partículas sólidas e fluido,

então verifica se a relação:(IV.4.10)s 1.ε + ε =

16



Foi Einstein, em seu estudo sobre o movimento Browniano quem determinou a seguinterelação entre a velocidade terminal reduzida pelo efeito de população e a velocidade terminal àdiluição infinita.

(IV.4.11)(t t sv / v 1/ 1 2,5 .∞ = + ε )

ε

∞ ≤

≤

Este trabalho foi complementado por Richardson e Zaki com base na seguinte expressão:(IV.4.12)( ) n

t tv / v f Re , ,∞ ∞= ε =

(IV.4.13)0,03

0,1

n 4,65 para Re 0,2

n 4,45Re para 0,2 Re 1,

n 4,45Re para 1 Re 500,

n 2,39 para Re 500.

∞

−∞

−∞ ∞

∞

= ≤

= ≤

= ≤

= >

IV.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos

O movimento de partículas no seio de um fluido não-Newtoniano é determinado pelasequações apresentadas nos itens anteriores, substituindo-se a viscosidade pela viscosidade

efetiva , definida pela relação entre a tensão de cisalhamentoef µ

( ) xdv, onde taxa de cisalhamento.

dyτ = γ γ = =τ é a taxa de cisalhamento.

( )γτ é a curva material do fluido com a qual define-se a viscosidade efetiva:

( ) tef ef ef ef 2

p

v1/ , onde 9 ,

D

− εµ = γ γ γ =

ε φτ (IV.5.1)

conforme dados experimentais de Massarani. Em todas as equações onde está presente aviscosidade do fluido, esta deve ser substituída pela viscosidade efetiva ef µ dada pela eq.(IV.5.1).

Por exemplo no caso de um fluido que se ajusta à lei da potência( )

n 1−γ = κ γ γτ , a viscosidade

efetiva será dada por:n 1

tef 2

p

v19

D

−

− εµ = κ

ε φ. (IV.5.2)

17



V. DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO Alguns sistemas empregados para a coleta de poeira visando a redução da emissão de

particulados, tanto para a atmosfera quanto para corpos de água serão analisados agora. Asprincipais finalidades são:

• Controle de poluição;

• Segurança industrial, prevenção de acidentes, redução de risco à saúde:• Produção de ar, ou de outros gases de processo;• Coleta de produtos como Leite em pó; Café solúvel; Óxido de Zinco; Negro de fumo.Tamanho comum das partículasSólidos na atmosfera –poeiras de 1 mµ a 200 mµ

fumaças de 0,001 mµ a 1 mµ Líquidos na atmosfera neblina 0,01 mµ a 2 mµ

nuvens 2 mµ a 50 mµ chuva 100 mµ a 5000 mµ

Partículas típicas CO2 0,0005 mµ

negro de fumo 0,01 mµ a 0,5 mµ pigmentos 0,1 mµ a 5 mµ vírus 0,005 mµ a 0,05 mµ bactérias 0,3 mµ a 20 mµ

A análise tem por base a velocidade terminal estudada no capítulo anterior.

V.1 Câmara de Poeira

A Câmara de poeira é simplesmente uma caixa suficientemente ampla de modo a reduzir avelocidade do fluido a um valor que permita a sedimentação das partículas. O fluido contendopartículas é admitido através da face de altura H e largura B, e o comprimento da caixa é L. Avelocidade média do fluido é conhecida em função da vazão,

( )u Q/ BH .= (V.1.1)

Admite-se que as partículas sejam arrastadas pelo fluido, sem deslizamento i.e.: xv u= , e

que caem por ação do campo gravitacional com velocidade yv v t= . Uma partícula admitida na

posição h a partir da base da caixa será depositada no fundo da caixa se o seu tempo de quedafor menor que seu tempo de residência.

(V.1.2)queda t resid.t h / v t L /= ≤ = u.

.

Vale dizer que serão integralmente coletadas todas as partículas com velocidade terminal

maior que uH ./L (V.1.3)tv uH/L 1≥ ⇒ η =Partículas menores serão recolhidas com eficiência menor, e partículas admitidas a uma

altura h < H , com t

uhv

L= terão eficiência de coleta p

hD u h/H.

L

⎡ ⎤⎛ ⎞η =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Considerando que

poeiras possuem pequeno diâmetro, é justificável supor que a queda se dê no regime de Stokes.

18



2p 1

t

gD K uh uH h uHv

18 L L H L

∆ρ= = = =

µ.η (V.1.4)

Ou seja:2p 1

p1

gD KLse 1,

uH 18

18 uH /L1 se D .gK

⎧ ∆ρη ≤⎪

µ⎪η = ⎨

µ⎪ >⎪ ∆ρ⎩

(V.1.5)

Diâmetro de corte é definido como aquele para o qual a eficiência de coleta é de 50%. Isto é:para , (diâmetro de corte ou Dp pc0,5 D D Dη = = = 50 50). Fazendo na eq.(V.1.5)e

resolvendo para o diâmetro obtêm-se:

0,5η =

pc1 1

9 uH/L 9 QD , onde u Q/BH.

gK BL gK

µ µ= = =

∆ρ ∆ρ (V.1.6)

Tamanho da menor partícula coletada com 100% de eficiência:

pm pc1

18 uH /LDgK

µ= =∆ρ

2D . (V.1.7)

Com o auxílio da expressão para a eficiência, eq.(V.1.5) podemos escrever2

pp pc p

pc

D1, para D 2D , e 1, para D 2D .

2 D

⎛ ⎞η = ≤ η = >⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠pc (V.1.8)

Esta expressão para a eficiência de coleta de uma câmara de poeira é, usualmentesubstituída por uma expressão, de base empírica, contínua e diferenciável com a forma:

( )

( )

2

p pc

2p pc

D /D.

1 D /Dη =

+ (V.1.9)

Exercício

Dados: Vazão de ar a 1atm e 30C, Q = 0,9 m3/s, contendo um corante, na

faixa com a seguinte distribuição cumulativa: X(15)=10%, X(30)=20%,

X(50)=40%, X(80)=70%, X(100)=90%, X(120)=100%. A vazão mássica de corante é de10 kg/hr.Projetar uma câmara de poeira para recuperar 95% do corante.

( )3p 1500kg/mρ =

p5 m D 120 mµ ≤ ≤ µ

V.2 Projetos de Ciclones Industriai

Configurações padronizadas de ciclones industriais para a remoção de particulados estãodisponíveis como resultados de uma compilação de resultados experimentais. A tabela abaixolista alguns dos projetos padronizados. Estão grupados e 3 classes: alta eficiência, mediaeficiência, e multi- propósito. Todas as dimensões listadas estão normalizadas pelo diâmetro docorpo do ciclone.

19



Alta eficiência Mêdiaeficiência

Multi-propósito

Símbolo Descrição Stairmand Swift Shephard &Lapple

Swift Peterson & Whitby

Dc, D Diâmetro do corpo 1 1 1 1 1Hc, b Altura da admissão Ka=a/D 0,5 0,44 0,5 0,5 0583Bc,a Comprimento da

saída=b/D 0,2 0,21 0,25 0,25 0,208

s Diâmetro da saídade gás

Ks=S/D 0,5 0,5 0,625 0,6 0,588

Lc Altura do corpocilíndrico

KH=H/D 1,5 1,4 2 1,75 1,33

Hc Altura Total H 4 3,9 4 3,75 3,17Bc Diâmetro da saída

do póKb=B/D 0,375 0,4 0,25 0,4 0,5

Eficiência de Coleta - Modelo de Lapple

O primeiro modelo foi desenvolvido por Lapple, baseado na suposição de escoamentoempistonado, sem mistura axial ou radial. Para o cálculo da eficiência calcula-se primeiramente odiâmetro de corte com base no seguinte argumento de transposição dos resultados da câmarade poeira:

H→ Bc,B→ Hc,L→ ,c cN Dπ

g→ ,( )2F cv / D / 2

( )

0,50,5

F c c cpc 2

c c c F c c F

9 v B H 9 B9 QD .

BL g H N D v / D / 2 2 N v

⎛ ⎞⎛ ⎞ µ µµ= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ρ π ∆ρ π∆ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(V.2.1)

Nesta expressão Nc é o número efetivo de voltas que o fluido dá desde a admissão até ocentro do ciclone.

( )

( )

2

2

Dp/Dpc

1 Dp /Dpcη =

+ (V.2.2)

20



Nc é determinado experimentalmente e situa-se na faixa c5 N 10≤ ≤ , e para um ciclone

Lapple bem operado, quando então a re - suspensão de partícula e pouco significativa, eé um valor conservativo empregado com o propósito de dimensionamento.cN 5=

Perda de CargaComo o funcionamento do ciclone depende da velocidade do fluido, e alta eficiência

depende da alta velocidade o aumento de eficiência é acompanhado por um aumento daqueda de pressão, que se traduz em custo operacional.

A queda de pressão pode ser calculada por:21

F F F F2p v 0,068 v ,∆ = βρ = ρ 2 (V.2.3)

O valor apresentado é o empregado para o ciclone Lapple. A potencia do ventilador é, o custo de bombeamento évP Q p= ∆ vC P $= , e $ o custo da energia elétrica.

Fatores de Projeto. Note que a eficiência cresce com a velocidade do fluido na entrada. Por outro lado a

perda de carga é proporcional ao quadrado desta velocidade. Estabelece-se um balançoentre: ganhos devidos ao aumento de eficiência, versus perdas com o consuma de energia. A

velocidade recomendada situa-se na faixa F6 m / s v 21m / s≤ ≤ , sendo de 15 avelocidade usualmente recomendada. Para este valor, e para um ciclone de 0,5m de diâmetro

tem-se um campo

m / s

( ) ( )2 215 / 0,5 / 2 900 m/ s 90g s′≈ ∼ . Para o projeto são dados:

Q a vazão de gás m3/s,

p F, ,ρ ρ µ propriedades físicas,

( )px D distribuição de tamanhos de partículas.

Seqüência de cálculo

a) arbitrar ,Fv 15 m/ s= 2c c c A B H D / 8= = , c

F

8Q 8QD

v 15

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

o diâmetro do ciclone

e todas as demais dimensões do ciclone estão determinas.

b) cpc

c F

9 BD

2 N v

µ=

π∆ρ, pode ser calculado, e também, a eficiência de coleta associada ao

tamanho das diferentes partículas.c) com estes resultados é possível calcular a eficiência média de coleta,

( ) ( ) ( ) ( )p,max p,max

p,minp,min

D D

p p pc p p,i p,i pc p,iDD

x D D /D dD x D D /D D .η = η ≈ η ∆∑∫ (V.2.4)

Se a distribuição de tamanhos das partículas segue a distribuição de Weibull a doisparâmetros, então a eficiência média pode se calculada pela expressão:

( ) pc

pc

1,11n0,118 n D /D ,

1,81 0,332n D /D+ ′η =

′− + (V.2.5)

que só depende de Dpc, e dos dois parâmetros da distribuição n, e D´.d) cálculo da perda de carga 2 21

F F H F F2p v N 0,068∆ = ρ = ρ v

F

.

e) os valores obtidos para a eficiência média e para a perda de carga permitem aavaliação econômica do custo total e alteração do valor para a velocidade vF empregada. Aumento da velocidade traz como conseqüência o aumento da eficiência, e da perda decarga.

Observe a expressão que determina o diâmetro do ciclone, cD 8Q / v= . Grandes vazõesdeterminam grandes ciclones ( , e por conseqüência o campo centrifugo)cQ D↑⇒ ↑

21



(2F cv / D / 2) torna-se pequeno e ineficaz. Neste caso é recomendável a divisão da vazão total

por dois ou mais ciclones em paralelo. Testando o caso de 2 ciclones D c fica dividido por 2, ea eficiência de coleta aumenta. Mantida a mesma velocidade a perda de carga não é alterada.

ExercícioProjetar uma bateria de ciclones Lapple e o compressor, para tratar 100 m3/min de gás

com cinzas de carvão , com eficiência

superior a 90%. A distribuição granulométrica se ajusta à de Weibull com:

3 3p F2300kg/m , 0,443kg/m , 0,035cpρ = ρ = µ =

( ) ( ){ }n

p pX D 1 exp D /D , D 37,3, n 1,5.′ ′= − − = = (V.2.6)

IV.3 Hidrociclones

Hidrociclones são empregados para uma grande faixa de aplicações dentre as quais cita-se:

a) clarificação de líquidos com baixa concentração de sólidos;b) concentração de lamas;

c) classificação de sólidos;d) separação de líquidos imiscíveis.

Dentre suas vantagens inclui-se os fatos de serem simples, baratos, fáceis de instalar,baixo custo de manutenção, e baixo custo operacional. Adicione-se o fato de serem pequenosem relação a outros separadores. Em contrapartida são inflexíveis, e uma vez instaladosapresentam forte dependência da eficiência nas variáveis de projeto, em especial na vazão dealimentação e na concentração de sólidos. Acresce os problemas de abrasão e a formaçãode incrustações.

Três tipos de hidrociclones disponíveis no mercado têm suas proporções listadas natabela abaixo

Di/Dc Do/Dc l/Dc L/Dc θ K Np A B C βRietema 0,28 0,34 0,40 5,00 20o 0,039 0,134 1,73 145 4,76 1200Bradley 0,133 0,20 0,33 6,85 9o 0,016 0,323 1,73 55,3 2,63 7500

Di diâmetro do tubo de admissão. l altura da parte cilíndrica. θ ângulo do cone.Do diâmetro do tubo de saída. L altura total.

Há um grande número de configurações para arranjos de hidrociclones em paralelo.Diâmetro de corteSegundo Massarani o diâmetro de é dado pela seguinte expressão:

( ) ( )

12

cp pc L s

DD /D K f R g ,

Q

µ⎡ ⎤= ⎢ ⎥∆ρ⎣ ⎦

ε (V.3.1)

onde ( )LL

1f R1 AR

= +, (V.3.2)

( )( ) ( )

12

s2

s s

1g

4,8 1 3,8 1ε =

⎡ ⎤− ε − − ε⎣ ⎦

. (V.3.3)

A razão de líquido pode ser estimada pela seguinte relação:

[ ]C

L u cR B D /D= . (V.3.4)

Eficiência de coleta A expressão empregada para o cálculo da eficiência de coleta de partículas é puramenteempírica e tem a forma:

( ) ( )( )

p pc

p pc

p pc

exp 5D /D 1D /D

exp 5D /D 146

−′η =+

. (V.3.5)

22



Esta é uma eficiência reduzida ao efeito do campo centrífugo, da qual é subtraída o efeito doansporte de sólidos carreados pela vaz

obrigatoriamente com uma vazão de fundo, dada por , e que esta vazão aporta sólidos,tr ão de fundo. Uma vez que os hidrociclones operam

L

então o efeito centrífugo se dá apenas sobre a vazão

QR

( )LQ 1 R− . De acordo com esta

hipótese escreve-se para a eficiência média:

( ) ( ) ( )L p p pc p L

0

1 R x D ,D ,n D ,D dD R

∞

′ ′η = − η +∫ . (V.3.6)

O integrando desta equação, para a distribuição d

e Weibull pode ser estimado pelo seguintesultado:re

( )0,118 n D /D ,+′ ′η = (V.3.7)pcpc

1,11n

1,81 0,322n D / D′− +

( )L L1 R R′η = − η + (V.3.8)

queda de pressão é calculada por um A a expressão similar à empregada para ciclones,

2F F

1p 2∆ = β ρ v ,

onvêm ressaltar quaralelo, e de pe

ção do número de

Re 50x10

y 3x10 Re x10

≤ ≤

≤ ≤

ExercícioProjetar uma bateria de hidroc

para tratar 200 m3/hr de uma suspensão de um sal insoluvel em água, 1000kg/m , 1,5cpρ = ρ = µ = , com eficiência superior a 90%, e queda de

(V.3.9)

na qual β está listado na tabela acima.C e a questão levantada a respeito da necessidade de se ter hidrociclonesem p queno diâmetro para boa eficiência é muito mais crítica. No seguinteendereçohttp://www.natcogroup.com/Content.asp?t=ProductPage&ProductID=71,são mostrados equipamentos com mais de 50 hidrociclones que operam em paralelo,contidos no interior de um vaso de pressão. A especificação da velocidade do fluido nos hidrociclones é dada em funReynolds. Tem-se: 2

c cQ/N / 4D v= π , onde Q é a vazão total e N o número de ciclones em

paralelo. Re D v /= ρ µ , e:c c F

3 3Rietema 5x10

Bradle 20 (V.3.10)

3 3

iclones Rietema e Bradley e o sistema de bombeamento,

3 3p F3500kg/m

pressão 5p 3x10 Pa∆ ≤ . A distribuição granulométrica se ajusta à de Weibull com:

( ) ( ){ }

n

p p

X D 1 exp D /D , D 37,3, n 1,5.= (V.3.11)′ ′= − − =

VI INTRODUÇÃO AO BENEFICIAMMinérios são distribuídos na crosta terrestre em diversas constituições, composições,

esta ecessitamde listadas aseg

Cominuição

ENTO DE MINÉRIOS

dos de agregação, etc. Raramente são comercializados no estado natural e num beneficiamento. Algumas das operações do tratamento de minérios sãouir:

AmostragemCaracterização Mineralógica de Minérios

e PeneiraçãoClassificaçãoElutriaçaoSeparação em Meio DensoSeparação Magnética e Eletrostática

23



FlotaçãoFlotação em Coluna

tamento de Efluentes na Mineração

neficiamento: Princípios Básicosecialistas no Processamento de Minérios

ção A cominui III, e agora trataremos a elutriação.

VI.1

ada para separarpar manhos, ou para o beneficiamento de minérios em razão dadife es das partículas que compõe o minério. Usualmente todo minério

compõe-se de um mineral com valor econômico em mistura com uma ganga imprestável quedev

rminais são menores que a velocidade da corrente de fluido são por estearra

partículascom

FloculaçãoSeparação Sólido-LíquidoBriquetagemProcessos para o Tra

ReciclagemSimulação de Usinas de BeSistemas EspElaboração e Avaliação Econômica de Projetos de Minera

ção já foi tratada no capítulo

Elutriaçao

A elutriação que aqui trataremos é uma operação que pode ser empregtículas por faixas de tarença entre as densidad

e ser descartada. A elutriação emprega uma corrente ascendente de um fluido que,preferencialmente, arrasta as partículas mais leves enquanto que as mais pesadas sesedimentam.

A velocidade terminal das diferentes partículas é a propriedade básica responsável pelaseparação e/ou beneficiamento. Uma corrente de partículas sólidas vai ter ao elutriador, ondehá uma corrente ascendente de um fluido. Este pode ser água ou ar. Partículas cujasvelocidades te

stadas, enquanto que todas as partículas cujas velocidades terminais superam avelocidade do fluido se sedimentam. Há portanto uma corrente de alimentação dos sólidos eduas correntes de saída, o produto de fundo, composto principalmente das partículas mais

pesadas e a corrente de topo composta principalmente das partículas mais leves.Com o emprego das equações que permitem o cálculo da velocidade terminal, e dodiâmetro de sedimentação, eqs.(IV.2.9), e (IV.3.2) é possível calcular todos os parâmetros dedesempenho de um elutriador. Assim, consideremos em primeiro lugar o problema de separarum conjunto de partículas em duas faixas de tamanhos. Tem-se: Um conjunto de

densidade ρp, e diâmetros na faixa m p MD D D≤ ≤ e deseja-se separar em um número de

frações com diâmetros intermediários ( ) ( ) ( )m 1 1 2 N MD ,D , D ,D D ,D . Para tanto basta calcular

as velocidades terminais correspondentes aos diâmetros D1 ... DN, e utilizar elutriadores comcorrestes de fluido correspondentes a es es. Para uma separação em batelada,um único elutriador é suficiente fazen ades correspondentes àsvelocidades terminais das partículas D

tas velocidaddo-o operar com velocid

.

stura de um mineral com valor econômicoagr a ganga sem valor. A liberação das duas espécies se processa por moagemsufi diâmetros na faixa . O que

va correspon

aior que a velocidade

1, ...DN

Exercício Resolva o problema no 1, pg. 34 do livro texto.

Os problemas relacionados ao beneficiamento de minérios são mais interessantes.Considere um minério composto de uma mi

egado a umcientemente fina, conduzindo a um produto com m p M

se deseja é obter a separação completa entre as duas espécies. Suporemos conhecidas suasdensidades P L P L, e , onde .ρ ρ ρ > ρ A curva da velocidade terminal do material pesado, que

denominaremos de minério, situa-se, para todo valor de D

D D D≤ ≤

p, acima da cur dente àganga. Pode acontecer que não existam para, os dois materiais, partículas com idênticas

velocidades terminais. Isto se dá quando a velocidade terminal da menor partícula do materialpesado é m terminal da maior partícula da ganga. I.e. não existempartículas equitombantes na mistura dos dois materiais. Tem-se:

24





Um bom texto sobre o processo da flotação, incluindo alguns aspectos de sua físico-química está disponível em:

http://www.engr.pitt.edu/chemical/undergrad/lab_manuals/flotation.pdf

alcopirita (CuFeS ), galena (PbS), esfarelita (ZnS), pirita (FeS)

Age odem ser tados incluindo, certos álcoois alifáticos com de 5 a 8áto ois cíclicos, óleo e eucalipto polipropileno, e polietilenoglic lecular.

o:

Alg rocessos estão colecionados na tabela.

Exemplos de minérios beneficiados por flotação são listados a seguir: Sulfetos complexos: c 2

Minerios de cobre Cobre e molibdênio

Cobre/chumbo/zinco Ouro e pirita Cobre e níquel Prata Cobre e cobalto Platina Carvão mineralntes espumante p ci

mos de carbono, álco de pinho, e dois de baixo peso mo

Alguns dos agentes coletores, principalmente para os minerais sulfetados são diferentesmisturas de: Ditiofosfatos, mercaptobenzotiazol, tiocarbamato.São três as tecnologias de flotaçã

1. flotação mecânica;2. flotação por ar dissolvido;3. auxiliada.uns dados sobre estes p

Processo de Fluxo de arFlotação m água -3

TaNl.

manhode bolhas

Consumo de energiapor m3 (Wh/m-3)

Tempo de retenção(min )

FlotaçãoA ruxiliada (poadiç )

5-15 100-400 2-5 mm 5-10

ão de óleo

FlotaçãoMecanica (porespuma)

10.000 0.2-2 mm 6 0-120 4-16

Ar Dissolvido

(clarificação)

15-50 40-70 µm 40-80 20-40 indo

a floculação)

(exclu

Cinética da A recup

floeração do mineral desejado em uma flotação em batel m função do

mpo por uma expressão do tipo:

taçãoada é dada e

te

( )max b .+⎣ ⎦ (VI.2.1)

onde R

(R R 1 exp k t⎡= − − )⎤ação possível, e k é uma constante de tempo de primeira

ordem, e onde b um deslocamendo fluxo de área superficial das b

max é a máxima recuper to da origem de t. A constante k é linearmente dependente

olhas, S , S 6J /Db b g b= , e J é o fluxo de gás e D o diâmetrog b

médio das bolhas. A relação é usualmente expressa como bk S , onde é=℘ ℘ um “fator de

flotabilidade”, que inclui diferentes efeitos c fobicidade, tamanho de bolha, etc. Areferência:

“Estimation of flotation kinetic parameters by consider e operatingvariables”, Çilek, E.C., Minerals Engineering 17 (2004) 81–85”, contem algumas expressõespara os parâmetro

om a hidro

ing interactions of th

s presentes nestas equações.

arranjados em serie e paralelo. Uma boarefe

O dimensionamento de um sistema de flotação contínuo depende da determinaçãoexperimental dos valores destes parâmetros, e baseia-se no tempo de residência, dasuspensão que se divide em tanques de flotação

rencia sobre este assunto encontra-se em “Flotation scale up: use of separability curvesq”.,J.B. Yianatos, L.G. Bergh, J. Aguilera. Minerals Engineering 16 (2003) 347–352.

Para um arranjo de N flotadores, idênticos, de mistura perfeita, em série, com um tempo

total de residência F TOTALNV /Qτ = .

26



( )

1 Nk

1 1−⎧ ⎫

max

1N

R Rk

N 1N

⎡ ⎤− + ⎬⎜ ⎟

τ⎪ ⎪⎛ ⎞− ⎨⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭=τ

−. (VI.2.2)

Células de flotação

Uma geometria de célula de flotação em batelada está representada na figura abaixo.Tra com um agitador, por cuja haste o ar necessário é admitido. Oagit

ta-se de um tanqueador garante, simultaneamente a manutenção do sólido em suspensão e a dispersão do

ar em pequenas bolhas. Na superfície da suspensão forma-se a camada de espuma,contendo o concentrado do mineral desejado, que retirado da célula. A ganga hidrofílica seacumula no fundo da célula, e é descartada ao final do processamento.

Células para a operação contínua são semelhantes às mostrada acima tendo, no entanto,um sistema para a admissão da suspensão e outro para a retirada do rejeito, continuamente.Flo

tação em ColunasO desenho esquemático de uma coluna de flotação contínua está representado no desenho

de flotação são eficientes e estão sendo empregadas para efetuar que segue. As colunasbeneficiamentos difíceis. A remoção de enxofre de finos de carvão é um exemplo.

27



VI.3 Jigagem

A jigagem é uma das mais antigas técnicas de beneficiamento de minérios, por gravidade.Nela a mistura minério e ganga, suspensa em água é conduzida a um equipamento onde éimposta uma pulsação à mistura por intermédio de um movimento alternativo, com umafreqüência relativamente alta. Nestas circunstâncias a aceleração e deceleração tornam-se os

termos dominantes da equação do movimento da partícula, e responsáveis pela separação. A jigagem é uma operação simples e barata, mas de eficiência relativamente baixa.

VII SISTEMAS PARTICULADOS

VII.1 Balanços de massa

Este novo capítulo começa a tratar de sistemas de misturas sólido – fluidos intimamentedispersos em uma região do espaço. As duas fases são vistas como uma mistura, e paracada ponto da região ocupada pelas duas fases, e a cada instante, é possível estabelecer:

εs a concentração volumétrica de sólido, ( ) ( ) ss s s

R

VV R ,t dV, ;V

∂= ε ε =∂∫ x (VII.1.1)

εf a concentração volumétrica de fluido, ( ) ( ) f f f f

R

dVV R ,t dV, ;

dV= ε ε =∫ x (VII.1.2)

Como não há um terceiro componente nesta mistura, então cada parte da região parte daregião R, é ocupada ou pelo sólido ou pelo fluido, e portanto:

(VII.1.3)s f 1.ε + ε =

εf é comumente denominado de “porosidade”, ε, e s 1ε = − ε .

ρf densidade parcial do fluido, massa de fluido por volume total,

ρs densidade parcial do sólido, massa de sólido por volume total,;

(VII.1.4)( )s s

R

m R dV,= ρ∫

28



( )f f m R dV,= ρ∫ R

(VII.1.5)

ρS densidade material do sólido, massa de sólido por volume de sólido

( ) sdVm R dV dV dV ,= ρ = ρ = ρ ε ⇔ ρ = ρ ε∫ ∫ ∫ s S s S S s s S s

R R RdV (VII.1.6)

ρF densidade material do fluido, massa de fluido por volume de fluido

( ) f dVm R dV dV dV ,= ρ = ρ = ρ ε ⇔ ρ = ρ ε∫ ∫ ∫ f F f F F f f F f

R R RdV (VII.1.7)

vs campo de velocidade do sólido;

belecimento dos balanços de massas para cada umadas

vf campo de velocidade do fluido.Estas definições permitem o esta duas fases. Em palavras estas são descritas por: “a taxa de variação da massa de uma

das fases contida no interior da região A, é igual ao balanço do que entra menos o que saiatravés da superfície de A, acrescida da taxa de produção desta fase”.

{ }

a a a aR R R

dV dA r dV.∂

ρ = − ρ ⋅ +∫ ∫ ∫v nt

variação entrada menosgeração

da massa saida

∂∂

⎧ ⎫⎧ ⎫⎨ ⎬⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

(VII.1.8)

A aplicação do teorema da divergência permite transformar a integral de superfície emintegral de volume, e disto resulta:

( )a div r dV 0.⎡ ⎤∂ρ

+ ρ − =∫ v a a a

R t⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (VII.1.9)

A integral é nula qualquer que seja R, independentemente de seu tamanho ou formato, porconseqüência seu integrando deve anular-se. Daí resultam as equações da continuidade para

cada uma das fases da mistura,

( )a div r .∂ρ

+ ρ =v a a at∂ (VII.1.10)

Escreve-se para cada uma das duas fases, a fase de sólidos particulados e para o fluido,

( ) ( )s S ss s s S s s sdiv r div r ,

t t

∂ρ ∂ρ ε+ ρ = ⇔ + ρ ε =

∂ ∂v v (VII.1.11)

( ) ( )f F f f f f F f f f div r div r .

t t

∂ρ ∂ρ ε+ ρ = ⇔ + ρ ε =

∂ ∂

v v (VII.1.12)

As duas formas de cada um dos balanços paraequ

as massas de sólidos e de fluidos sãoivalentes. Formas simplificadas podem ser escritas, válidas para os casos em que as

densidades materiais são constantes, i.e.:para um sólido incompressível

( )s div r / ,∂ε

+ ε = ρv s s s St∂ (VII.1.13)

para um fluido incompressível

( )f div r / .∂ε

+ ε = ρv f f f Ft∂ (VII.1.14)

A densidade total, e asomε + ρ ε ρ = ρ ε + ρ εv v v (VII.1.15)

velocidade do centro de massa da mistura são definidos pelasas,ρ = ρS s F f S s s F f f , ,

29



e a soma das duas equações de balanços de massas nos dá:

( ) s f div 0 r r 0.∂

t

ρ+ ρ = ⇔ + =v

∂ (VII.1.16)

ão da continuidade para a

A velocidade vf , é denominada dedo f

f ,q v (VII.1.18)

e qf é a velocidade superficial. Uma velocidade

Interpretações asóli

dA dA.∫ ∫v n q n (VII.1.20)

No caso em que o fluxo seja uniform (VII.1.21)

Expressões para o divergent

A equaç mistura é válida se e apenas quando a soma das geraçõesé nula. Isto significa que as fases podem ganhar ou perder massa, mas o que uma perde aoutra ganha, vale dizer que a mudança de fase se dá sem alteração da massa.

Se a concentração volumétrica de sólidos é constante, vale dizer que o sólido particuladotem porosidade constante, tanto em relação ao tempo, quanto em relação ao espaço, então:

( ) ( )s s s f f f div r / , e div r / .= ρ = ρv v (VII.1.17)

velocidade intersticial, visto que descreve o movimentoluido no interior dos poros do meio poroso. Seja A uma seção do escoamento. A vazão de

fluido através desta seção é dada por:

f f f f Q dA dA, onde= ε ⋅ = ⋅ = ε∫ ∫v n q n f f

A A

calculada como se o fluido ocupasse toda aseção do escoamento. No caso em que o perfil da velocidade é constante temos:

f f f Q A A.= ε =v q (VII.1.19)nálogas aplicam-se à fase sólida. Define-se a vazão volumétrica dedos

sQ = − ε ⋅ = − ⋅s s s

A A

e em todos os pontos de A, tem-se:

( )s s s s sQ A 1 A A.= ε = − ε =v v q

e 1. Coordenadas cartesianas ( )x,y,z

yx zqq q

div ,

∂∂ ∂

= + +q (VII.1.22)x y z∂ ∂ ∂2. Coordenadas cilíndricas ( ) ( )r, z base , , q q qθ = + +e e e q e e e r z r r z zθ θ θ

x r cos , y rsen , z z.= θ = θ =

r zqrq qdiv

r zθ∂∂ ∂

= + +∂ ∂θ ∂

1q

r (VII.1.23)

3. Coordenadas esféricas ( ) ( )r, , base , , q q qr r r θ φ θ θ φ φθ φ = + +e e e q e e e

z r cosx rsen cos , y rsen sen= φ θ = φ θ = φ

( )2r

sen qr q 1 1 qdiv .

r rsen rsen

φθ∂ θ∂= + +

1q

∂

∂ θ ∂θ θ ∂φ2

r (VII.1.24)

Outras expressões para o divergente de um campo vet

VII.2 Balanços de Momento

pelas equações de balanço de momento, querepr

orial para

O movimento das fases é determinadoesentam expressões para a segunda lei de Newton. Massa, por unidade de volume,

vezes a aceleração, de cada fase é igual à soma das forças que sobre cada fase atuam. Asacelerações são compostas de dois termos correspondentes a uma parcela de aceleraçãolocal, e outra de aceleração convectiva.

30



( )

{ } {

aa agrad

t

local convectiva .

∂= +

∂

+

va v

}

av (VII.2.1)

Esta expressão é válida para as duas fases. As forças que atuam sobre estas são divididas em:

1. forças de tensão sobre a superfície de cada região (VII.2.2)aR

dA;∂∫ T n

2. forças de interação entre as fases a

R

dV;∫ l (VII.2.3)

3. forças de campo externo . (VII.2.4)a

R

dVρ∫ g

Em conformidade com a lei de Newton escreva-se, para cada fase

(VII.2.5)( )a a a a a

R R R

dV dA dV.∂

ρ = + + ρ∫ ∫ ∫a T n l g

Novamente a equação de balanço apresenta duas integrais de volume e uma integral desuperfície. A aplicação do teorema da divergência transforma a integral de superfície emintegral de volume, e obtêm-se:

[ ]a a a a a

R

div dV .ρ − − − ρ =∫ a T l g 0

g

(VII.2.6)

A integral deve anular-se independentemente da região de integração, isto é,independentemente de seu tamanho ou formato, e deste fato conclui-se que o própriointegrando seja nulo em todos os pontos da região, e para todo instante,

a a a a adiv .ρ = + + ρa T l (VII.2.7)

Estas são as equações do movimento das fases. Elas se assemelham às equações paramovimento de um fluido puro em escoamento monofásico,

( )grad div .t

⎡ ⎤∂ρ = ρ + = + ρ

⎢ ⎥∂⎣ ⎦

va v v T g (VII.2.8)

O termo da esquerda, correspondente à aceleração de cada fase é perfeitamente análogo, eà direita da equação há a divergência da tensão e o termo de força de campo externo. Acrescentou-se apenas um termo de interação entre as duas fases, que pode ser descritocomo a força que cada fase faz sobre a outra. No caso do sistema sólido-fluido, ls é a forçaque o fluido faz sobre o sólido particulado, e lf a força que o sólido faz sobre o fluido. Aterceira lei de Newton conduz à reciprocidade destas duas forças, que se expressa por:

s f .+ =l l 0 (VII.2.9)

Com o auxílio das expressões para as acelerações provenientes da eq.(VII.2.1) escreve-se:

( ) Ef f f f f f s f f f grad gradp div , p ,

t

⎡ ⎤∂ρ + = − + − + ρ = − +⎢ ⎥

∂⎣ ⎦

vv v T l g T 1 TE

f (VII.2.10)

( ) Ess s s s s s s s sgrad gradp div , p .

t

⎡ ⎤∂ρ + = − + + + ρ = − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦

vv v T l g T 1 TE

s

Consideramos o escoamento de um fluido newtoniano através de um meio poroso rígidocom porosidade constante, e estacionário. O escoamento é permanente, e a aceleração dofluido é nula, ou ao menos desprezível. A equação do movimento do fluido se simplifica para

(VII.2.11)

Estas são equações gerais capazes de descrever o movimento simultâneo das duas fasesnas mais diversas situações. Um caso particular, mas de grande importância será estudado aseguir.

VII.3 Escoamentos através de Meios Porosos

31



f s Fgradp ,= − − + ρ ε0 l g (VII.3.1)

( )s s Sgradp 1 .= − + + ρ − ε0 l g (VII.3.2)

lf representa a ação do fluparcelas, a primeira delas éforma oposta à gravidade e prop

de dinâmrelativa entre as fases é nula, m

)1 .− ε g (VII.3.5)

A equação (VII.3.4), parapiezométrica,

ido sobre os sólidos particulados. Esta pode ser dividida em duasuma ação de empuxo, estática, que segundo Arquimedes tem a

orcional ao peso do volume de fluido deslocado,

( )s s F F1 .= −ε ρ − = − − ε ρ −l g m g m (VII.3.3)a segunda, m, é a força dinâmica devida à velocidade relativa entre as duas fases. Estamosqualificando esta força ica por que se anula se e apenas quando a velocidade

⇔ =0 v 0 . A substituição desta expressão nas duasf

equações simplificadas dá:

f Fgradp ,= − − + ρ0 m g (VII.3.4)

( ) (s Sgradp= − + + ρ − ρ0 m

=

F

o movimento do fluido pode ser escrita em termos da pressão

f f Fp gH, onde g ,℘ = − ρ = g

o fluido fica:

marcda a

A força dinâmica m foi estu

(VII.3.6)

que acrescenta a carga de altura de fluido à pressão estática. Com esta definição a equaçãodo movimento d

f

Deve ficar claro que a “causa” do movimento é o gradiente da pressão piezométrica, poisgrad 0℘ = ⇔ = ⇔ =m 0 v

grad .− ℘ = m (VII.3.7)

f f .0 Manômetros contendo o fluido que satura o meio poroso,

ilíbrio, valores idênticos para a pressão piezométrica, independentementearão, no equltura da tomada de pressão.

dada primeiramente por Darcy, que propôs a linear da força avelocidade do fluido. Propôs ainda a dependência na viscosidade do fluido, chegando aseguinte relação:

f f .k kµε µ= =m v q (VII.3.8)

Nela k é a permeabilidade do meio poroso, uma grandeza com dimensões de L2, portanto denatureza geométricamovimento do fluido

. Substituindo a lei de Darcy na forma simplificada da equação doobtêm-se a equação de Darcy,

f f

kgrad .= − ℘

µq (VII.3.9)

Esta equação foi durante um longo tempo interpretada como uma equação constitutiva, àsemelhança com as leis: de Fourier ( )kgrad= − θq que determina o fluxo térmico proporcional

ao gradiente da temperatura; a lei de Fick ( )gradc= − j D que determina o fluxo de um

componente químico em solução pro gradiente de sua concentração; e diversasoutras “leis” lineares entre fluxos e forç micas. Acresce que sua substituição naeq.(VII.1.14) escrita para o regime permanen nula dá como resultado umaequação idêntica à da condução de calor.

porcional aoas termodinâ

te e geração

( ) 2f f f

kdiv div grad 0 0.= − ℘ = ⇒ ∆ ℘ =

µq (VII.3.10)

Note que a formulação desta equação só depende da equação de balanço de massa dofluido e da equação de Darcy. Nela se obcondições de regime permanente, e geraçãentr

serva a analogia com a condução de calor naso nula. Existem duas diferenças fundamentais

e a lei de Darcy e a de Fourier. A primeira fica aparente na diferença entre as equações

que regem o transiente.

32



2f

k0;

t

∂ε− ∆ ℘ =

∂ µ

2 0.t

∂θ− α∆ θ =

∂

(VII.3.11)

Na primeira destas o balanço de massa envolve duas variáveis ( )f ,ε ℘ , enquanto que no

operaalque

balanço de energia a temperatura é a variável presente nos dois dores. A segundadiferença, talvez mais fundamental, reside no fato de que em qu r escoamento, sejaatravés de meios porosos ou não, há massa em movimento. Massa possui inércia e asequações de balanço de momento devem ser satisfeitas. Nos casos onde as acelerações nãose anulam obtêm-se o seguinte resultado:

( )f F f f f grad grad .

t k

⎡ ⎤∂ µρ ε + = − ℘ − ε⎢ ⎥∂⎣ ⎦

vv v v (VII.3.12)f

Se as duas fases estão em movimentovelocidade do fluido pela velocidade relativa entre as fases u ,

, então na lei de Darcy deve-se substituir a

f f s→ − =v v v

( )f s .k k

µε µε

= − =m v v u (VII.3.13)

VII.4 Permeabilidade

característico do meio poroso. É uma propriedade doarranjo e distribuição de tamanho dos poros por onde o fluido deve passar. Sua dimensão éde

or de umtubo o transversal arbitrária, e a correspondente queda de pressão no meiopor

Permeabilidade é um parâmetro

quadrado de comprimento, razão pela qual diz-se que seja de natureza geométrica.Permeabilidade deve ser determinada experimentalmente. O meio poroso é inserido numtubo, bem ajustado de modo a não permitir o escoamento entre a parede do tubo e o meioporoso. Um fluido newtoniano com viscosidade conhecida é bombeado a diferentes valores

de vazão e a queda de pressão piezométrica é medida. A eq.(VII.3.9) permite o cálculo dapermeabilidade. Não há substituto para o dado de laboratório, obtido cuidadosamente. Umaestimativa da permeabilidade pode ser obtida por intermédio de um modelo capilar.

Modelo Capilar Admite-se a equivalência entre a queda de pressão no regime laminar no interi capilar de seçã

oso em regime darciano.Escoamento no capilar. analogia com Escoamento no meio poroso

2hv Rf

x R /=

∂ β

h

v∂℘ µ− f f k

x k

∂℘ µε ε− = ⇒ =

∂ β

β = constante carav = velocidade média β = 2 para seção circular

as paralelasefinid seção transversal do tubo para o

o luido-

cterística do capilar

Rh= raio hidráulico β = 3 para placO raio hidráulico é d o pela relação da área daperímetro de contat f sólido.

h

área da seção livreR

perímetro de contacto= h

volume vazioR =

área de contacto A justificativa para a interpretaçã io hidráulico do meio poroso é obtidapor “multiplicação” pelo comprime

o que é dada para o ranto. Daí resulta:

( )hS m

R .1 S

ε=

− ε ρ (VII.4.1)

Nesta última relação Sm é a superfície específica do meio poroso, dada por ( )m S pS 6 / D= ρ φ .

É fácil passar deste ponto à “Equação de Kozeny-Kármán”,

33



( )( )

23

p

2

Dk .

36 1

φ ε=

β − ε (VII.4.2)

A comparação de suassituando-se na faixa ≤

previsões com dados experimentais dá como resultado o valor de β 54 β ≤ , o que dá para o denominador da equação 144 36 180≤ β ≤ .

No caso de haver uma distribuição de tamanhos das partículas deve-se empregar um

diâmetro médio, e há es de que o diâmetro médio de Sauter é o m aindicaçõ ais propriado.

( )p 1p

D .dX D

=

∫ (VII.4.3)

1

p0 D

Forma quadrática de Forscheimer Agora faz-se a analogia com a força por unidade de volume sobre partículas isoladas com

o que ocorre nos meios porosos.Partículas Meio Poroso

2

pD

uRegime de Stokes m ,

µ∼ f Regime de Darcy m q .

k

=

Desta comparação resulta que

µ

p ∼D k .2

p

u,

D FRegime de Newton m ρ

2f

F

qm .

kρ

Desta analogia resulta a forma para a força a para o escoamento defluidos newtonianos em meios poros os, a “forma uadrática de Forscheimer”.

completa resistivos isotrópic q

F f f f f f

qc , onde q .

k k

ρµ= + =m q q q (VII.4.4)

A constante c, de proporcionalidade, vem de trabalhos experimentais; as formas mais

comumente citadas são as propostas por Ergun,3

2

0,14c .=

ε (VII.4.5)

e por Ma i,ssaran

( ) ( )0,980,37 0,01 60,13 k /k 0,1 k /k , onde k 10

32

0 0 0c 1/ −⎡ ⎤+ = , (VII.4.6)= ε

0,75, e para 10 k 10 cm.− −ε ≤ ≤ ≤ Expressões equivalentes são encontradas na literatura dentre a

⎣ ⎦válida para 0,15 ≤ 9 3

s quais estão

[ ]

F f f k µ⎢ ⎥⎣ ⎦

f

c kq

1 Re ,k

⎤ρ+ ⎥

µ= +

q

m q

(VII.4.7)

Nesta última empregou-se a seguinte definição para o número de Reynolds

1 ,⎡µ

= ⎢m

F f c kqRe

ρ=

µ,

que tem por dimensão linear característica k . Uma forma simplificada para aresulta com a substituição de (VII.4.2), e de (VII.4.5) na equação (VII.4.7), obtid e

4,2

eq.(VII.4.7)a utilizando-s

β =

( )

( )

( )

( )

2

F1 1150 1,75 ,

⎡ ⎤

f f 2 33pp DD

− ε

⎢ ⎥ε φε φ⎣ ⎦

m q

Esta sendo a equação de Ergun.

µ − ε ρ⎢ ⎥= + q (VII.4.8)

34



VII .5 Escoamentos de Fluidos Não-Newtonianos

A determinação da força resistiva para o escoamento de fluidos não-newtonianos tem pore um valor de viscosidade baseada na curva material da

tensão de cisalhamento observada no escoamento viscométrico deste fluido.Um Carreau, que

sati

base o emprego na eq.(VII.4.4) d

modelo bastante amplo e de grande aplicação prática é o modelo de

sfaz à seguinte equação:

( ) ( ){ }n 1

2 20 1 T ,∞ ∞

−

⎡ ⎤

altas taxas de

µ = µ + µ − µ + α γ⎣ ⎦ (VII.5.1)

onde 0, e ∞µ µ são dois valores assintóticos, respectivamente para baixas, e

distensão xv

y

∂γ =

∂. α(T) uma ( ) 0

0

T⎛ ⎞ função da temperatura com a forma T exp

Tα = α ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Para

baixo res da taxa de distensão a va

da taxa

iscosidade tende a µ0, e para os altos valores tende as valo

∞µ . A forma d curva dá a característica de aumento ou da diminuição da viscosidade em

função de distensão. O expoente n é análogo ao expoente da lei da potêncian 1−µ = κ γ .

meios porosos é proposta a validade da equação (VII.4.7), substituindo a viscosidade pelacosidade efetiva expressa em função da taxa de distensão efetiva no escoamento do fluido

no meio poroso.

(

Do ponto de vista da equação constitutiva para a força dinâmica nos escoamentos em

vis

) . (VII.5.2)

Dadef ef µ = µ γ

os experimentais permitiram a Massarani estabelecer a seguinte relação:

( )12

f ef

1,2,

kγ =

ε

q

t

(VII.5.3)

onde t é a tor

ade de 0,45pode-se estimar a t

tuosidade do meio poroso definida pela relação entre o comprimento dodo e o comprimento do meio. Note que O valor frequentemente adotado parapercurso do flui

a tortuosidade é de 2,5= . Com este valor para a tortuosidade, e uma porosidaxa de distensão em:

ef f / kγ ≈ q . (VII.5.4)

tSe a ortuosidade e porosidade são conhecidas então a equação (VII.5.3) deve serempregada. A expressão final para a viscosidade efetiva tem a forma

( ) ( )

( )

12

, .k

n 12 2

1,21 T f

ef 0

−

∞ ∞

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢µ = µ + µ − µ + α ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥

ε⎪ ⎪⎣ ⎦

(VII.5.5)q

⎩ ⎭Ela deve ser empregada no lugar de µ na eq. (VII.4.4).

VII.6 Aplicações

Escoamentos em meios porosos rígidos ade ε independente da posição e do

tempo. Alem disso consideramos a aceleração do fluido desprezível, e que a lei de Darcy éapli

Consideramos um meio poroso rígido, com porosid

cável.

f f

k= − grad .℘

µO balanço de massa expresso,por (VII.1.12) reduz-se a:

q (VII.6.1)

35



f div 0.=q (VII.6.2)

A equação de Kozeny-Kármán demonstra que para este caso a permeabilidade é constante,e se o escoamento é isotérmico podemos escrever, eliminando qf entre as duas últimasequações

div grad 0 0.℘ = (VII.6.3)

Est olução equação diferencial maisestudada. O l

livro clássico de Pelageya Yakovlevna Polubarinova-Kochina considerada umadas mais importantes matemátic

tá contido no interior de um tubo comine a curva de vazão versus queda de0-5cm2.dades constantes tem-se:

ação de carvão. No início da2ª.g cessos detransformação de querosene e óleos leves em gasolinas de alta octanagem para a aviação. Opro to com catalisador de alumina operava intermitentemente poisa d

( ) 2⇒ ∆ ℘ =f f

a expressão determina que pressão piezométrica seja saplaciano da pressão piezométrica sendo nulo, esta variável é harmônica o que

determina a existência, unicidade, e estabilidade das soluções de um grande número deproblemas de importância prática. Toda a hidráulica subterrânea tem por base soluções destaequação. O

as da União Soviética, dedica-se quase que exclusivamentea soluções desta equação.Problema 1. Considere uma barragem que retêm água, a montante, a uma altura H e a jusante à altura h. Sabendo sua permeabilidade (k), de as condições de contorno para oproblema do escoamento da água através da barragem, e esboce a forma da superfície.

Problema 2. Um meio poroso, de comprimento L, esdiâmetro D. Conhecida a sua permeabilidade k determpressão piezométrica. Dados: L= 0,5 m, D=5cm, k=3,21

No escoamento através de um leito fixo com proprie

VIII FLUIDIZAÇÃO A fluidização foi desenvolvida em 1922 durante a primeira guerra para a gaseificação do

carvão visando a produção de gás de síntese para a síntese de combustíveis líquidos. O

gaseificador Winkler foi o primeiro destes sistemas de gaseificuerra, em 1940, engenheiros americanos foram instados a desenvolver pro

cesso Houdry de craquemeneposição de coque obrigava a regeneração do catalisador. A Esso Research e a Kellog

Co. com a participação dos professores Lewis e Gilliland desenvolveram o Fluid CataliticCracking, FCC. Na refinaria de Baton Rouge, da ESSO foi instalado o processo, inicialmentecom a capacidade de 13.000 barris/dia passando depois para 100.000 barris/dia.

O craqueamento de frações de petróleo, e inúmeras outras reações catalisadas porsólidos, com freqüência operam em reatores de leito fluidizado. Alem do craqueamento, acondução de reações químicas industriais em reatores de leito fluidizado é bastante comum.

Um importante exemplo é o da produção de óxido de eteno pela reação de oxidação comoxigênio. Nesta reação ocorrem reações paralelas e consecutivas levando a uma mistura de

36





quadrático da equação de Forscheimer. Em todo este trecho é válida a eq.(VIII.1.2). No trechoBC inicia-se a expansão do leito poroso, com o conseqüente aumento de sua porosidade. DeC para D ocorre a fluidização do leito havendo o equilíbrio entre atrito e peso aparente doleito. A eliminação da queda de pressão entre (VIII.1.1), e (VIII.1.2) conduz a:

( )2

F f f

qq c 1 g

k k

ρµ+ = − ε ∆ .ρ (VIII.1.3)

Esta equação de equilíbrio é satisfeita ao longo de todo o trecho DE, onde se observa afluidização do leito. Os dois parâmetros do leito, k, e c, dependem da porosidade, e daíresulta que a eq.(VIII.1.3) expressa uma relação, não-linear, entre qf e ε. Para cada valor de qf , desde qmf até o valor da velocidade correspondente ao ponto E, resulta de sua resolução umvalor correspondente para a porosidade. A equação de Ergun é particularmente útil:

( )

( )

( )

( ) ( )

2

F 2f f 2 33

pp

1 1150 q 1,75 q 1 g,

DD

− ε µ − ε ρ+ = −

ε φε φε ∆ρ (VIII.1.4)

No caso de escoamento lento, em que a equação de Darcy é válida obtêm-se aexpressão para a velocidade superficial do fluido

( )( )

( )( )

2 23 3p p mf

f mf mf

g D g Dq , q .

150 1 150 1

φ ε ∆ρ φ ε= =

∆ρ

− ε µ − ε µ (VIII.1.5)

Existem diversas correlações empíricas para qmf , independentes da porosidade mínima defluidização.No caso geral há que ser resolvida a equação do 2º.grau (VIII.1.4).Por outro lado, desde que a perda de partículas de sólido seja desprezível tem-se:

Volume de sólidos/A ( ) ( ) ( )0 0 mf mf L 1 L 1 L 1 .= − ε = − ε = − ε (VIII.1.6)

Conhecido o volume de sólidos a ár ea da seção transver sal do vasoleito , podem alcular a sua porosidade inicial, e para cada valor d

, e a altura inicial doL0 os c e qf , corresponde um

valor de porosidade que satisua expansão L/L .

sfaz a eq.(VIII.1.3). Decorre desta a altura do leito fluidizado e0

VIII.2 Tipos de Fluidização a Gás

Geldart, D. em seu artigo de [Powder Technology 7, 285-292 (1973)] estabeleceu umcritério d ção do com de particulados na fluidização a gás, basee classifica portamento ado nosparâmetros:

( )1

1

S sauter p0 D

dX, e Dp ,

−ρ = ∫ o diâmetro médio de Sauter. (VIII.2.1)

3S sauter 1,4g/ cm , e Dp 40 m,ρ ≤ ≤ Grupo A; correspondente a partículas pequenas com µ

para as quais o leito se expande homogeneamcirculação do sólido acompanhado de rápida mque a v

ente até o início do borbulhamento. Há grandeistura. As bolhas sobem com velocidade maior

elocidade superficial do fluido qf . Bolhas de diâmetros menores que 4cm sobem comvelocidade vB de 30 a 40 cm/s.Grupo B rrespondente a partículas com diâmetros 40 m 500 m,µ ≤ µ; co e densidades entre

f . A

exp na.Gru

3f mq qS1,4 4g / cm .≤ ρ ≤ Para estas as bolhas aparecem desde o inicio da fluidização

ansão do leito é pequepo C; pós coesivos, (há coesão entre as partículas). A fluidização normal é extremamente

difícil. O gás levanta o leito como se este fosse uma rolha, ou formam-se canais que

atravessam o leito.Grupo D; partículas grandes ou muito densas.

38



A c e ter uma configuração estável para oleito mento pode ser intenso, mas não hápuls

r transforma um leito borbulhante em um leito turbulento estável. Todos os leitos

catalíticos de sucesso opera coamento turbulento, epeq enas bolhas, cuja existê qu s, A.M., Powder T ,

ação baseada no número de

ondução de uma boa fluidização, no sentido de s requer alta velocidade para o fluido. O borbulhaação. A alta velocidade significa escoamento turbulento, promovendo uma intensa

movimentação da fase particulada. As bolhas são relativamente pequenas. A estabilidade éaumentada com a dispersão da distribuição de tamanhos de partículas. A adição de finos aum catalisado

m com pós do grupo A, com es stável comu ncia pode ser desprezada. ( S ire echnology151, 15-18,(2005).

Recentemente foi apresentada uma nova classific

Arquimedes ( )3 2p F S F Ar D g/⎡ ⎤= ρ

o no valor

ρ − ρ µ⎣ ⎦ , feita por Goossens, W.R.A. Powder Technology 98,

48-53 (1998). A expressão de Ergun, pode ser expressa por uma relação entre o número de Arquimedes e o de Reynolds basead mf 0,383ε = , comumente aceito para a

porosidade mínima da fluidização de partículas esféricas.

)( mmf mf mf

1 f 2 2mf 3 3

1,75

mf mf

Ar 150 Re Re , Ar 1640Re 30Re .= + ⇒ = +ε ε

( )− ε

VIII.2.2

Esta expressão nos dá uma relação entre o número de Arquimedes e o número deReynolds nas condições mínimas de fluidização. Sua solução para Remf dá:

2 5x10 Ar 1.

− − (VIII.2.3)

itamente imposta na eq.(VIII.1.4) é, de fato irrealista. O sistema deequ

mf 60 60Se um valor mais preciso, baseado em observações experimentais da porosidade mínima

de fluidização for conhecido, então a primeira forma desta equação deve ser usada. De todomodo esta é uma expressão geralmente empregada para a previsão da velocidade mínima defluidização.

As expressões que apresentamos acima aplicam-se à fluidização homogênea. Nela aporosidade e a velocidade superficial são independentes da posição e do tempo. A fluidização

ocorre, mais comumente quando o fluido é um líquido. A hipótese de velocidade nula para afase sólida, implic

1640 120Ar 1640 1 4,46Re

+ − += =

ações para as duas fases admite a solução s f f , e q= =q 0 q i com f q , e ε independentes

da posição e entretanto é instável, e a instabilidade determina aexistência de outras soluções mais complexas onde a fase sólida se movimenta, a porosidadedepende da posição e tempo, e ocorrem bolhas em cujo in a porosidade é praticamenteigual a 1.

do tempo. Esta solução

terior

VIII.3 Teoria das Duas Fases

n the two phasetheory of fluidisation. Chem. Eng. Sci.22, 1059-1066 (1967). Esta teoria é uma aproximaçãobem sucedida baseada na suposição de que o leito fluifluid

A “teoria de duas fases” formulada por Davidson, J.F., e Harrison, D. Chem. Eng. Sci. 23,660,(1968). (ver também Lockett, M. J., Davidson, J.F., e Harrison, D. O

dizado é composto de uma faseizada que permanece sob as condições mínimas de fluidização, ( )mf mf q ,ε , e que todo o

excesso de vazão atravessa o leito fluidizado sob a forma de bolhas. A teoria pretende prevero valor de κ na equação para um leito fluidizado

q q= κf mf bolha

Em primeira aproximação κ é, por hipótese igual a 1. Supondo a repartição do meio emuma fase fluidizada com porosidade ε

q .+ (VIII.3.1)

lhas/vol. do leito.

mf , e a fase bolha ocupando o restante do volume doleito é possível demonstrar que:

bolha bolha1 , ondeκ = − ε ε = vol. de todas as bo (VIII.3.2)

39





IX SEPARAEm capítulos anteriores foram apresentados alguns sistemas de separação e

classificação de partículas com metodologias aplicáveis a sistemas diluídos. Foramapr

nd

São todas elas operações importantes seja para o sistema produtivo, seja para otrat

oncha, F. Manual de Filtracion y Separacionha, F

ment ticle, KONA # 20(20022).

ÇÃO DE FASES

esentados: câmaras de poeira, ciclones e hidrociclones. Agora serão tratadas as

operações de separação sólido-fluido, com base nas equações que descrevem sistemasconcentrados, que vimos trata o desde o capítulo VII. As principais operações são:

1. Sedimentação em batelada;2. Sedimentação contínua;3. Filtração em filtro prensa;4. Filtração em filtro rotativo:5. Filtração em filtro de areia.

amento de rejeitos, e para o controle de poluição.

IX.1 Referencias e Aspectos Gerais

Referencias básicas:varovski, L. Solid Liquid SeparationsS

CConc . e Bürger, R. A Century of Research inSedi ation and Thickening, Powder and Par A sedimentação, como normalmente é empregada aplica-se à clarificação de suspensões

diluídas (de 1 a 5% v/v, no máximo até 10%v/v), e ao espessamento de suspensões sólido-líquido, ou líquido-líquido, de 15 a 30% v/v.

Na clarificação, geralmente, o líquido constitui-se no produto desejado. Alguns exemplossão:

O tratamento de água, municipal, ou água para caldeiras;na produção de sal ou de NaOH;

ana.No s sólidos são o produto desejado. Exemplos de

espessa

, ou da secagem; O processamento de minérios.

ld edimentação dos sólidos, seja pelaexistência de m a realização de testes, e o “testede pr a base para todos os cálculos. Os principais fatores que

influ s aquosas são:o de tamanhos; a densidade; a forma; e

f ula a por aditivos. A altaconcentraç centração favorece a

dispers almente negativa,que se destas cargas promovem, ou a atração, ou arepulsão. Alguns mecanismos que favorecem o aparecimento de cargas são:

A clarificação de salmouras A clarificação do caldo de cespessamento, em geral omento são: O desaguamento de lamas na industria do cimento; O espessamento de lamas antes da filtração

As dificu ades da para a previsão da velocidade de s flocos, seja por sua alta concentração obriga

oveta” que constituem

enciam a sedimentação de suspensõea) a natureza das partículas; a distribuiçã

propriedades físico-químicas;b) a concentração de sólidos;c) o tipo de pré-tratamento; condicionamento químico; floculação; tratamento térmico;d) tipo de vaso- efeitos de forma e influência das paredes;e) partículas esféricas (ou quase) sedimentam mais rapidamente que não esféricas. A

floculação que transforma u grupo de partículas irregulares num flocoaproximadamente esférico aumenta grandemente a velocidade de sedimentação.

A loc ção pode dar-se espontaneamente, ou ser provocadão de sólidos favorece a floculação, e por oposição baixa con

ão. Todas as partículas em suspensão possuem carga residual, usu acumula na superfície. O balanço

41



1) defeitos na superfície da rede cristalina; pode favorecer o aparecimento decargas positivas ou negativas;

liberação de H+ resulta nolta no aparecimento

er liberação de outros íons. Em todos os casos a

diçpartículas lguns exemplos de floculantes são: cal; alumem;fosfatos; m omercial: CALGON). São usados na dosagem de 0,1 a0,4 kg/m3.poli ica eito manifesto, mesmo emqua ade

Os segsódio; éste

1)2) adi ossível do ponto onde a floculação deve iniciar-

3) adihom

4) adi5) ;

6)7) par dicione reciclo de sólidos.

, prata, estanho e outros minérios metálicos.São

iver”, em190

Umagora. Umfatoresque emKinch, Sedimentation”. Tratou o assunto soba form a suspensão. A suspensão é tratadacomo resentado pelas equações de

balanço a em um vaso em cujo fundoimp rm aso de materiais incompressíveis, esem geração resultam das equações (VII.1.11), e (VII.1.14) as seguintes expressões:

2) interação iônica da partícula com a água; aaparecimento de carga negativa; e a liberação de –OH resude carga positiva; pode havcarga é altamente sensível ao pH da fase aquosa;

3) adsorção de íons da fase aquosa;4) formação de pontes de hidrogênio entre a superfície de partículas e moléculasde polímeros.

A a ão de eletrólitos desestabilizam os colóides do tipo “sol”. Reduzem a carga dase promovem a floculação. Aetafosfato de sódio (nome c Polímeros com cargas distribuídas em inúmeros pontos ao longo da cadeia

mér são agentes floculantes de grande capacidade. Têm ef ntid s muito pequenas (0,1 a 0,15 g/m3).

uintes monômeros geram polieletrólitos de uso comercial: acrilamida; acrilato deres de amônio quaternário; óxido de etileno; copolímeros de acrilamidas.

Há necessidade de realização de um grande número de testes para a determinação deboas condições para a sedimentação. A concentração de sólidos; o pH da suspensão; anatureza química do agente floculante e de sua concentração, a temperatura; tempo deenvelhecimento, etc. A forma da adição do polieletrólito pode ter importância primacial. Asseguintes regras práticas são aconselháveis:

adicione o polieletrólito à corrente principal em solução muito diluída (<0,1%);cione no ponto mais próximo p

se;cione em local onde haja turbulência que favoreça uma rápida

ogeneização;cione em estágios em diferentes pontos;

adicione a toda a corrente de processo

para alta concentração de sólidos adicione reciclo;a alta diluição a

A sedimentação, como um processo de processamento de minérios é empregado desde o

início do século XVI. Agrícola, na Saxônia, escreveu o famoso “De Re Metallica” que seconstituiu na primeira contribuição ao desenvolvimento da indústria de mineração. Este livrofoi publicado em latim em 1556, e logo depois foi traduzido para o Alemão e Italiano. Neleestão descritos os métodos de lavagem de ouro

descritos tanques de sedimentação e classificadores, jigs, e concentradores. Osdesenvolvimentos modernos iniciam-se com a invenção de concentrador “Dorr-Ol

5. Este invento fez da eliminação contínua de água de polpas diluídas, uma operação

economicamente viável.

IX.2 Sedimentação em Batelada

a breve apresentação da teoria da sedimentação em batelada será apresentadaa das finalidades desta apresentação é a elucidação de alguns dos principais

controladores da sedimentação. Há que mencionar a contribuição de Coe e Clevenger1916 descreveram procedimentos para o projeto de sedimentadores. Mas deve-se a

a apresentação em 1952 do trabalho “Theory of o na da propagação de ondas de concentraçã

um contínuo e o processo de sedimentação é rep

alizads de massas das fases. O caso da batelada reeável, (x = 0) a suspensão sedimenta, e para o ce

42



s f s f s f div 0, div 0, 1.

t t

∂ε ∂ε+ = + = ε + ε =

∂ ∂q q (IX.2.1)

A soma das quais dá para o caso unidirecional

( )s s f f s f

q q0, 0, q q 0.

t x t x x

∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂+ = + = ⇒ + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (IX.2.2)

Em x = 0, a condição de impermeabilidade fornece a condição de contorno, com a qual seobtêm

s f s sq q 0, ou v+ = ε + f f v 0.ε = (IX.2.3)

têm direções opostas, se hásed velocidade relativa entre as fasesdetermina a velocidade de cada fase.

Por esta expressão verifica-se que fluido e sólidoimentação, esta desloca o fluido para cima e a

s f s s f f s s s f u v v , e v v 0, v u,= − ε + ε = ⇒ ε = ε ε (IX.2.4)

[ ] bks f s sf u

0, 0t x t x

∂∂ ε ε∂ε ∂ε+ = ⇒ + =

∂ ∂ ∂ ∂ (IX.2.5)

Nesta equação o termo bk s s= ε εf u é denominado de “fluxo em batelada de Kynch”.

Kynch foi o pioneiro no estudo teórico da sedimentação. Sua suposição básica reside nahipótese de que a velocidade relativa sólido-fluido é função apenas da concentraçãovolumétrica de sólidos εs. Com esta suposição a eq.(IX.2.5) pode ser escrita na forma de umaequação de propagação de onda,

( )bk ss s

s

c 0, onde c .t x

+ = =∂ ∂ ∂ε

rimeira ordem é da formapois:

f ∂ ε∂ε ∂ε (IX.2.6)

A solução desta equação diferencial parcial de p

( ) ( )s sˆx,t X,t , onde X x ct,ε = ε = −

s s s ss

x t X X

d dt dx dt dX

t x t x

ε = + = +⎟ ⎟ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎠ ⎠ ⎠ ⎠

ˆ ˆ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞∂ε ∂ε ∂ε ∂ε

s s s s s s sˆ ˆ ˆd Xc ; e .

⎞ ⎞∂ε ∂ε ε ∂ε= =⎟ ⎟ (IX.2.7)

x x X t tt X t t X x dX x X∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎠ ⎠ ⎠ ⎠ ⎠

A substituição destas derivadas na eq.(IX.2.6) dá o resultado

ˆ ˆX ⎞ ⎞ ⎞∂ε ∂ε∂ ∂= + = −⎟ ⎟ ⎟

∂ε

( )s s s sˆ ˆc 0 c

⎞∂ε ∂ε ∂ε ∂ε+ = ⇒ − + s

X

ˆ ˆc 0

t x t X X

⎞∂ε ∂ε=⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎠

ss s

X

ˆ X .t

⇒ ⇒ ε = ε⎟∂ ⎠Este resultado demonstra a propag

longo das retas = −

imentação dá-se quando a sedimentação se dá com oaparecimento de um sobrenadante livconcentração constante. A curva do fluxo de Kynch tem a forma tal que a derivada do fluxo deKin baixos valoresda concentração volumétrica de sólid itiva para o valor máximo desta concentração.Esta observação demonstra a ex as frentes de propagação dasdescontinuidades presentes na condição inicial (I .2.9). A expressão de Richardson e Zaki

(1954) 1, onde vt é a velocidade terminal de uma partícula isolada numfluido estacionário. Esta equação apresenta o defeito de prever velocidade de sedimentação

(IX.2.8)

ação do perfil inicial da concentração de sólidos aoX ct.= + X x ct, vale dizer x

Dada a condição inicial

( ) 0s s

maxs

0 para x L,x,0 para 0 x L,

para x 0.

=⎧⎪ε = ε < <⎨

⎪ε =⎩

(IX.2.9)

O caso mais simples de sedre de sólidos, e de um sedimento incompressível e de

ch muda de sinal, forçando a velocidade de propagação ser negativa paraos, e pos

istência de duX

( )nbk t s sf v 1 , n= ε − ε >

43



nula apenas quando a concentração volumétrica de sólidos

experimentalmente verifica-se que isto ocorre para

pro

é s 1, enquanto que

Michaels e Bolger (1962)

ε =

maxs0,6 0,7.≤ ε ≤

puseram a expressão a três parâmetros:n

sbk t s max

s

f v 1 n 1ε

= ε − >ε

.

te Shannon et al (1963) determ ram a seguinte expressão por ajuste dedad

4 (IX.2.11)

Esta curva fornece valores nevolta a f bk = 0 para εs = 0,65.

(IX.2.10)

Nesta expressão n = 4,65 é valor adequado para esferas rígidas. Para esferas de vidro dediâmetro constan ina

os experimentais

( )2 2 3bk s s s s sf 10 0,33843 1,37672 1,62275 0,11264 0,902253 m/ s−= ε − + ε − ε − ε + ε

gativos para f bk que passam por um mínimo para εs = 0,2 e

IX.3 Sedimentação Contínua

44





IX.4 FILTRAÇÃO

Filtração é um processo de separação sólido-fluido envolvendo a passagem do fluidoatravés de uma barreira porosa que retêm grande parte do material sólido que compõe asuspensão.

Algumas referências sobre o tema são:

1. Svarovski Solid-Liquid Separations.2. Tiller, F. M. How to select solid-liquid separation equipment. Chem. Eng. 81,

117(1974).3. Fitch, B. When should you use separation techniques other then filtration. Filtration and

Separtion. Mar. 1975 pg. 149.4. Purchar, D.B. Solid liquid separation equipment: a preliminary experimental selection

programme. The Chem. Engineer. Jan. 1987 pg.47.5. Ernst, M. et al. Tackle solid-liquid separation problems Chem. Eng. Progress. June, 91

pg.22.6. Cleaning a gas filter

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713

7. Water bath air filterFiltration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 71

8. Air filter Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713

9. Rotary filters using filter aidFiltration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713

10. Process for making ceramic membrane filters • ABSTRACT Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713

11. Sintered metal filter sheetFiltration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713

12. Separation of mixture components

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 62513. Water bath air filterFiltration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625

14. Discharging filter bed materialFiltration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625

15. Rotary filters using filter aidFiltration & Separation, Volume 31, Issue 6, September-October 1994, Page 625

16. Sintered metal filter sheetFiltration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625

17. Filtration apparatusFiltration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625

18. A filtration engineer's guide to Achema 94Filtration & Separation, Volume 31, Issue 4, June 1994, Page 340

19. Rubber membrane filter plateFiltration & Separation, Volume 29, Issue 5, September 1992, Page 370

20. Chi Tien and Renbi Bai. An assessment of the conventional cake filtration theory Chemical Engineering Science, Volume 58, Issue 7, April 2003, Pages 1323-1336

21.Ka M. Ng Design and development of solids processes—a process systemsengineering perspective. Powder Technology, Volume 126, Issue 3, 12 August2002, Pages 205-210

Seleção de um sistema de filtração. A seleção de um sistema de um sistema de filtração pode passar pelas seguintes etapas:

46



I. Pré-tratamento a) químico: coagulação/floculação – testes de determinação da taxade filtração em função da quantidade de floculante adicionado.

b) físico: cristalização/precipitação/ envelhecimento.adição de auxiliar de filtração.

II. Pós-tratamento Lavagem da torta teste da concentração versus volume de fluidode lavagem.

Secagem pó injeção de ar. Teste umidade versus umidade datorta.Compactação.

III. Tipos de filtraçãoa) Clarificação de suspensões diluídas

a1) em leitos granulares,a2) em velas ou cartuchos filtrantes.

b) Filtração sob pressão ou vácuoc) Filtração centrífuga.IV. Tipos de filtroa) Filtração em bateladas. – vasos de pressão com elementos verticais ou horizontais.

- filtro prensa.b) Filtração contínua. – filtro de tambor rotativo,

- filtro de discos rotativos,- filtro de correia, ou panelas.

c) Filtração centrífuga.

Teoria simplificada da filtração com formação de torta. A seguir será apresentada uma teoria da filtração de suspensões que durante o processo

de filtração formam uma torta incompressível, com porosidade e permeabilidade constantes. A figura abaixo mostra a torta (cake) formada pela acumulação dos sólidos contidos nasuspensão alimentada ao filtro. O meio filtrante retém a totalidade dos sólidos.

A figura IX.4.1 acima mostra uma idealização do processo de filtração com a formação deuma torta de espessura retida pelo meio filtrante. O fluido que acompanha a suspensão

atravessa a torta anteriormente formada, e o meio filtrante. A porosidade da torta é, por

( )L t

47



hipótese, constante tanto em relação ao tempo quanto em relação à posição. Em todas asposições ao longo da torta a velocidade da fase de sólidos, sv 0= . Estas duas hipóteses são

compatíveis com o balanço de massa dos sólidos, pois:

( ) s1 q

0,t x

∂ − ε ∂+ =

∂ ∂ (IX.4.1)

e ε é constante se e apenas quando a velocidade de dos sólidos é nula. A queda de pressãoé determinada pela equação do movimento do fluido, na qual a força resistiva é determinadapela lei de Darcy, que aplica-se à torta e ao meio filtrante.

f

Pq 0, ao longo da torta,

x k

∂ µ− + =

∂ (IX.4.2)

f m

Pq 0, no meio filtrante.

x k

∂ µ− + =

∂ (IX.4.3)

Supondo constantes, no tempo e no espaço, as duas permeabilidades as equações podemser integradas e decorem:

1 m T f

LP P P q

k

µ− = ∆ = , (IX.4.4)

mm 0 m f

m

LP P P q

k

µ− = ∆ = .

) .

(IX.4.5)

A soma destas duas equações dá como resultado a queda de pressão total(IX.4.6)( m m f P L /k L /k q∆ = µ +

O termo é denominado resistência do meio filtrante, e tem dimensões dem m mL /k R≡

[ ] 1mR L−= .

A espessura da torta aumenta, linearmente, com o volume de filtrado, uma vez que elacontém a totalidade dos sólidos contidos na suspensão. Seja c a razão de sólidos contidos na

suspensão i.e. .s Fc massa de sólidos /massa de fluido na suspensão M /M= =

( )

( )S F

F S

1 AL cVc L

V 1

− ε ρ ρ= ⇒ =

ρ −,

Aε ρ (IX.4.7)

Com esta expressão para a espessura da torta em função do volume de filtrado obtém-se

( )F F

m f mS

cV c 1 dVP R q V R

1 A k A A dt

⎡ ⎤ρ αρ⎡ ⎤∆ = µ + = µ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ε ρ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

. (IX.4.8)

Nesta expressão( )S

1

1 kα =

ρ − εé a resistividade da torta. Ela fornece uma relação entre a

queda de pressão na durante a filtração, e a taxa de filtração. Há a necessidade de umarelação adicional entre estas duas variáveis para permitir sua integração.

Filtração a pressão constante.Um sistema de filtração pode ser configurado para manter constante a pressão na

admissão do filtro independentemente da vazão da suspensão. Para este caso a Eq. (IX.4.8)pode ser escrita na seguinte forma.

Fm

cdtV R .

dV A P A

⎡ ⎤αρµ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦

+ ⎥ (IX.4.9)

As suposições feitas no início deste item permitem considerar m, e Rα como constantes, e

a integração conduz ao resultado:

48



2Fm

ct V

A P 2A

⎡ ⎤α ρµ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦

R V ,+ ⎥ (IX.4.10)

conhecido como “parábola de filtração”, que é retificada quando se escreve sob a forma

F2

ct / V aV b, onde a , e b .

2A P A P

µαρ µ= + = =

∆ ∆mR

(IX.4.11)

Esta equação quando locada em gráfico t/V versus V tem a forma de uma reta, comcoeficiente angular igual a “a”, e o linear igual a “b”. Dados experimentais fogem da linha retaquando os quadros do filtro estiverem cheios, caso em que a torta formada não pode maisaumentar de espessura, e a filtração prosseguirá por preenchimento pos poros da torta, i.e.por redução da porosidade. A observação do primeiro desvio da reta permite o cálculo daporosidade da torta, pois a máxima espessura

( )F max

max quadroS

cVL e

1 A

ρ= =

− ε ρ/ 2.

L.

(IX.4.12)

Lavagem da torta.Frequentemente as especificações do processo produtivo incluem a necessidade da

lavagem da torta. Se VL é o volume de água de lavagem a ser empregado, e QL é sua vazão,então o tempo de lavagem será L Lt V /Q= Admite-se a suposição que a vazão será

proporcional à vazão ao final da filtração, o que é justificável se a viscosidade da água delavagem, e a do filtrado forem idênticas, e se o percurso da água ao atravessar a torta éproporcional a espessura da torta. Escreve-se sob estas condições:

L

final

dVQ C , e V BV

dt

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠L F.= (IX.4.13)

C é igual a 1, se o percurso da água é o mesmo que o do fluido filtrado, e igual a ¼ se ofiltro possui “placa de lavagem”, caso em que a água atravessa duas espessuras de torta,com o dobra da velocidade do fluido filtrado. O tempo de lavagem será então:

(FL

final

BV Bt 2

CdVC

dt

= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

)FaV b .+ (IX.4.14)

Com esta expressão podemos calcular o tempo total de um ciclo de filtração

2T F L 0 F F 0

B Bt t t t a 1 2 V b 1 V t ,

C C⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(IX.4.15)

onde t0 é o tempo morto no qual o filtro é aberto, limpo e remontado.

Produção máxima, dimensionamento de um filtro

Neste item consideramos que são conhecidas as seguintes variáveis:1. as propriedades da torta; ; em,R ,α ε

2. as propriedades da suspensão; F Sc, , ,µ ρ ρ .

A produção do filtro é máxima quando o tempo total necessário para a filtração dedeterminado volume VF é mínimo, ou, equivalentemente, quando é máximo.F TV / t

0FF

T F

tV B Ba 1 2 V b 1 , é mínimo.

t C C V⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(IX.4.16)

( )T F 0F2

F F

d t / V t tBa 1 2 0 V .

BdV C Va 1 2

C

⎛ ⎞= + − = ⇒ =⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎝ ⎠

0 (IX.4.17)

Daí deduz-se o tempo ótimo de filtração e o tempo ótimo do ciclo.

49



2 0 0F F F

0T 0

t tt aV bV b

B B1 2 a 1 2

C C

tBt 2t b 1 .

BCa 1 2 C

= + = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠

,

(IX.4.18)

Note que se a operação do filtro prescinde da lavagem então

0F 0 T 0

t tB 0 t t b , e t 2t b .

a a= ⇒ = + = + 0

.

(IX.4.19)

e se a resistência do meio filtrante é desprezível então F 0 T 0t t , e t 2t= = O melhor possível é

dividir igualmente o tempo entre a filtração e o tempo morto empregado na limpeza do filtro. Osistema opera em produção apenas 50% do tempo, e os outros 50% são reservados àabertura, retirada da torta, limpeza do meio filtrante e remontagem do filtro. Quando R m ésignificativo, e quando há lavagem estas a divisão dos tempos obedece relações diferentesdadas pelas equações (IX.4.18).

Suponha agora que se deseje projetar um sistema de filtração a pressão constante parafiltrar de uma suspensão em uma jornada diária de trabalho de t h O número deciclos diários será e o volume de filtrado em cada ciclo deverá ser

Observando as equações (IX.4.18) verifica-se que elas não dependem da

área de filtração já que o termo

3V m∗ oras.∗

ciclos TN t /∗= t ,

.F ciclosV V /N∗=

b / a presente no segundo termo das duas é:

( )mm

FF

P RR / Pb / a .

/ 2/ 2 P

µ∆µ ∆= =

αρµαρ ∆ (IX.4.20)

Este fato é responsável por ser possível a determinação dos tempos ótimos e do número

ótimo de ciclos diários. A partir deste escreve-se a equação da parábola (IX.4.10)2F m

F F F F2ciclos

c R Vt V V , onde V .

P 2A A N

∗⎡ ⎤α ρµ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(IX.4.21)

Nesta apenas a área de filtração é desconhecida, e pode portanto ser calculada. Por fim,e uma vez conhecida a área é possível determinar a espessura do quadro fazendo uso da Eq.(IX.4.7),

( )F F

S

cVL

1 A

ρ= ≤

− ε ρe/2. (IX.4.22)

A área total de filtração, determinada pelo método apresentado deve ser decomposta noproduto do número de quadros vezes a área de cada quadro e isto deve ser feito com o

auxílio do catálogo do fabricante. E comum a apresentação de ampla faixas de área total defiltração, com a recomendação de dimensões nominais dos quadros. A tabela abaixoapresenta a recomendação do fabricante Shriver.

Área de filtração

(pe2)

Dimensões dos

quadros (pol.)

Área efetiva

por quadro (pe2)5 a 35 12 1,7

30 a 100 18 3,975 a 250 24 7,0

150 a 450 30 10,5

250 a 700 36 15,6500 a 1000 43 ¼ 22,2>1000 48 a 56 28,8 a 48

50



IX.5 Filtração em filtro rotativo

Um filtro rotativo opera continuamente, frequentemente a vácuo, e há formação de torta.

O vácuo estabelecido no interior do tambor é mantido por um sistema de bomba de vácuo, deforma que é possível considerar uma operação de filtração a pressão constante. A velocidadede rotação do tambor sendo também constante é possível considerar a evolução daespessura da torta formada sobre um elemento de área na superfície do tambor empregando-se as equações apresentadas no item anterior.

2

mRc V Vt

2 P A P A

µµα ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

.

(IX.5.1)

onde V é o filtrado em um ciclo de revolução do tambor. Se ω é sua velocidade angular e φ oângulo de submergência do tambor, i.e, a fração submersa da circunferência do círculo entãoo tempo de filtração e a vazão de filtrado são dados por:

t / , e Q RHV= φ ω = ω (IX.5.2) A substituição destas interpretações na Eq. (IX.5.1) dá

2

m

P c Q QR

2 RH RH

∆ φ µα ⎛ ⎞ ⎛ = + µ⎜ ⎟ ⎜ω ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞⎟ (IX.5.3)

Esta é uma equação de segundo grau para a vazão cuja raiz positiva é

( )2mR P c / RQ

.RH c

+ ∆ φα µω −⎛ ⎞=⎜ ⎟ω α⎝ ⎠

m (IX.5.4)

Os resultados destas duas últimas seções aplicam-se a sistemas de filtração onde assuposições da teoria simplificada sejam válidas. A validade das suposições básicasempregadas na sua formulação será agora examinada.

IX.6 Avaliação da teoria simplificada

A análise que segue tem por base o trabalho de Tien e Bai 1. Como vimos, durante afiltração os sólidos da suspensão são retidos pelo meio filtrante, e a espessura da torta crescelinearmente com o volume de filtrado. A torta formada é considerada incompressível, o quetraz como conseqüência que as partículas que a compõe são imóveis, e a velocidade relativaentre as fases seja igual à velocidade do fluido. Assim é que a equação de Darcy pode serescrita em termos da velocidade superficial do fluido como está proposto na Eq. (IX.4.4).

Todas as tortas de filtração têm alguma compressibilidade. Por isso, à medida que a

filtração prossegue as varias camadas de torta ficam sujeitas a uma pressão crescenteatuando na fase de sólidos, i.e. ( )sp x,t aumenta com t, para todo valor de x. Como

conseqüência a porosidade decresce expulsando o fluido dos poros da torta. Resulta desteprocesso que as velocidades superficiais das duas fases sejam variáveis.

Consideramos a filtração conforme apresentada na figura IX.4.1, e os balanços de massade cada fase escritos para o escoamento unidirecional, com fases incompres-síveis.

1 1) Chi Tien and Renbi Bai. An assessment of the conventional cake filtration theory.Chemical Engineering Science, Volume 58, Issue 7, April 2003, Pages 1323-1336.

51



( ) ( )s s f s f

s s s s

1 1 v q,

t x t

v q0, .

t x t x

∂ − ε ∂ − ε ∂ε ∂+ = − =

∂ ∂ ∂

∂ε ∂ε ∂∂ε+ = ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂

x∂

s

(IX.6.1)

onde x é a posição de distância ao meio filtrante, e as velocidades superficiais do

fluido e sólido, respectivamente. A velocidade relativa entre as fases é:f q , e q

( )sf

f ss s

qqu v v ,

1= − = −

− ε ε (IX.6.2)

e com ela escreve-se a equação de Darcy Eq. (VIII.3.5),

( ) ( )sf

s s s

qq ku

1 1

∂= − =

− ε ε − ε ∂f p,

x (IX.6.3)

onde a pf , a pressão no fluido e a pressão no sólido são relacionadas à pressão total

f s

dPP p p , e 0

dx= + = ,

= =

em conseqüência da Eq. As condições de contorno na superfície da

torta pressão total na entrada do filtro. A solução destas equaçõesrequer a especificação de equações constitutivas para

( ) ( )s f p L 0, e p L P=

( ) ( ) ( )s s s s sp , e de k k p , ou de pε = ε = α = α . Estas são dadas por equações empíricas da

forma:

0 ss s 0

s

p1

p

β⎛ ⎞

ε = ε −⎜⎝ ⎠

,⎟ (IX.6.4)

0 s0s

pk k 1

p

−δ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (IX.6.5)

n0 s

0s

p1

p

⎛ ⎞α = α −⎜

⎝ ⎠.⎟ (IX.6.6)

onde são constantes empíricas, e é a queda de pressão total até a

interface torta-meio filtrante. Uma vez conhecidas estas relações o sistema de equações podeser resolvido e os resultados comparados com os da teoria simplificada. Gráficoscomparativos são apresentados na referencia citada.

0 0 0s,k , , , , e nε α β δ 0

sp

IX.7 Filtração em leito granular

A filtração em leito granular ocupa uma posição de destaque na remoção de particuladosnos processos de tratamento de água para suprimento de cidades, industrias, na reciclagemda água, e no tratamento de rejeitos industriais. O projeto destas unidades depende de dadosobtidos em planta piloto e de modelos semi-empíricos. O caso unidirecional será tratado aqui.Considera-se um leito de partículas inicialmente co porosidade 0ε , através do qual percola

uma suspensão cujas partículas são parcial e progressivamente retidas pelo meio poroso.Uma boa referencia recente sobre o assunto é deIliuta e Larachi2.

A queda de pressão do fluido que atravessa o leito é dada pela Eq. (IX.4.4).

2 Iliuta, I. and F. Larachi. Colmatage des réacteurs gaz–liquide à lit fixe: Plugging in two-phase flow packedbeds. Comptes Rendus Mecanique, Volume 330, Issue 8, 2002, Pages 563-568.

52



f

Pq

x k

∂ µ− =

∂ (IX.7.1)

Onde a permeabilidade em cada ponto do leito depende da posição, (profundidade), e dotempo, pois as partículas da suspensão são retidas pelo leito de uma forma aleatória. Admite-se que

( )0 x,t ,ε ≥ ε ≥ εc (IX.7.2)

onde é um valor crítico da porosidade para a qual a permeabilidade torna – se nula. O

balanço de massa de sólidos na suspensão que atravessa o meio poroso e a de sólidos nafase particulada são escritos sob a forma, considerando estacionaria esta última:

cε

( ) ( )

( )

f p

p

c q c,

t x

1.

t

∂ ε ∂+ = −

∂ ∂

∂ − ε= σ

∂

σ

(IX.7.3)

pσ é a taxa de captura das partícula em suspensão pelo meio poroso. Esta taxa requer uma

equação constitutiva que adicionada a que determina a permeabilidade em função deporosidade transforma o sistema (IX.7.1) e (IX.7.3) em um sistema fechado.São propostas as seguintes:

( )n

c0 0

0

p f

k k

q c.

⎛ ⎞ε − ε= ε ⎜

ε − ε⎝ σ =

,⎟ ⎠ (IX.7.4)

onde é comumente tomado n = 3, é o fluxo de particulados que passa por um ponto do

meio poroso, por unidade de tempo.f q c

( ) ( )

( )

3

c

f 0 0

f f

f

Pq ,

x kc q c

q c,t x

1q c.

t

−⎛ ⎞ε − ε∂ µ

− = ⎜ ⎟∂ ε − ε⎝ ⎠

∂ ε ∂+ = −

∂ ∂

∂ − ε=

∂

(IX.7.5)

Dada a queda de pressão no leito poroso, com porosidade inicial ε0, que recebe umasuspensão com concentração volumétrica de partículas sólidas c0, então este sistema podeser resolvido numericamente resultando em particular a curva de decaimento da vazão defiltrado.

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OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS