Otimização da distribuição de sistemas de dissipação

de energia em edifícios altos

Isabel Maria da Costa Brás

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientador: Professor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Júri

Presidente: Professor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro

Orientador: Professor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Vogal: Professor João José Rio Tinto de Azevedo

Outubro de 2015

iii

Agradecimentos

Este trabalho completa um ciclo importante da minha vida, a partir do qual outro se inicia!

Como sinal de reconhecimento, quero dedicá-lo a todas as pessoas que, ao longo destes cinco

anos, contribuíram para a minha formação académica e para o meu desenvolvimento pessoal.

Ao Professor Luís Guerreiro, orientador da dissertação, quero agradecer toda a dedicação e todo

o apoio. Os conselhos relativos à boa prática de engenheira e o grande sentido crítico tornaram

este trabalho possível.

Um agradecimento muito especial aos meus pais e irmão, por todo o incentivo e paciência

demonstrada ao longo destes anos.

Ao resto da família e amigos, também um grande obrigado.

v

Resumo

Os sistemas de dissipação de energia são dispositivos de proteção sísmica que permitem

melhorar o desempenho das estruturas face ao sismo.

A problemática da escolha das posições onde colocar os dissipadores num edifício alto tem vindo

a ser estudada nos últimos anos. O problema passa por encontrar as localizações em que os

dispositivos dissipem mais energia. A distribuição que contém o conjunto dos dissipadores que

verifiquem esta condição é a distribuição ótima de dissipadores (para um dado número de

dissipadores definido). Para o efeito, na abordagem proposta, pretende-se estimar as

localizações onde a energia dissipada seja a mais elevada. O objetivo último é obter distribuições

ótimas cujos custos globais sejam inferiores aos da colocação uniforme de dissipadores em

altura (um dissipador em todos os pisos).

Dado que os dissipadores estão assentes nos pisos do edifício, a dissipação de energia deve-se

ao movimento relativo entre os pisos. Nos dissipadores do tipo viscoso a grandeza física de que

depende a força de dissipação é a velocidade relativa entre as extremidades do dissipador. A

grandeza que estima a medida da energia dissipada é o valor esperado do quadrado da

velocidade relativa entre os pisos onde assentam os dissipadores. Este valor é obtido pelo

espetro de potência da resposta em velocidades relativas entre pisos, recorrendo-se, para o

efeito, ao conceito de função de transferência da estrutura.

Neste trabalho analisa-se ainda o efeito da variação do comportamento dos edifícios tendo em

conta os diferentes tipos de edifício: pórtico puro, misto (pórtico-parede) e parede simples.

Palavras-chave

Dissipadores viscosos

Distribuição ótima

Edifícios altos

Espetro de potência

vii

Abstract

The use of damping systems is one of the seismic protection techniques that improve the seismic

response of structures.

The problem of choosing the optimal location to install the dampers in tall buildings has been

studied over the past years. The key focus is finding the location where dampers can dissipate

the most amount of energy. The optimal placement is achieved when this condition is satisfied.

The proposed methodology estimates the location where the dampers must be placed as to

dissipate the maximum energy. The ultimate goal is cost reduction comparing the optimal

placement to a uniform damper placement (one damper by floor).

Since the dampers are connected between storeys, the energy dissipation is the result of the

interstorey movement. In the case of viscous dampers the dissipation force depends on the end

to end velocity across the damper. The physical quantity that estimates the measure of the

dissipated energy is the expected value of the square of the interstorey velocity. This value is

obtained using the Power Spectral Density of the interstorey velocity, resorting to the transfer

function of the structure.

In this dissertation it is also analysed the influence of different structures’ behaviour, taking into

account different types of structures: frame structures; frame-wall structures and wall structures.

Keywords

Viscous dampers

Tall buildings

Optimal placement

Power Spectral Density

ix

ÍNDICE GERAL

1. Introdução .............................................................................................................................. 1

1.1. Enquadramento ............................................................................................................. 1

1.2. Introdução à análise adotada ........................................................................................ 1

1.3. Organização da dissertação .......................................................................................... 2

2. Ação sísmica em Portugal continental e o caso de edifícios altos ....................................... 5

2.1. Definição de espetro de resposta .................................................................................. 7

2.2. Ação sísmica regulamentar ........................................................................................... 8

2.2.1. Zonamento sísmico ............................................................................................... 8

2.2.2. Espetro de resposta elástico horizontal ................................................................ 9

3. Estado do conhecimento sobre técnicas de proteção sísmica ........................................... 11

3.1. Noções gerais sobre risco sísmico e intervenção ....................................................... 11

3.2. Conceito de sistema de proteção sísmica .................................................................. 13

3.3. Sistemas de proteção ativos e passivos ..................................................................... 13

3.4. Dissipadores de energia .............................................................................................. 14

3.4.1. Histeréticos .......................................................................................................... 17

3.4.2. Viscosos .............................................................................................................. 18

3.4.2.1. Evolução histórica e aplicação ........................................................................ 18

3.4.2.2. Componentes da estrutura do dissipador ....................................................... 20

3.4.2.3. Modo de funcionamento .................................................................................. 20

3.4.2.4. Força no dissipador ......................................................................................... 21

3.4.3. Viscoelásticos ...................................................................................................... 22

3.5. Otimização da distribuição em altura .......................................................................... 22

4. Conceitos para a metodologia de cálculo ........................................................................... 25

4.1. Estrutura tipo pórtico e estrutura tipo parede .............................................................. 25

4.2. Energia dissipada no dissipador viscoso .................................................................... 27

4.3. Função de transferência .............................................................................................. 28

4.4. Função de densidade espectral de um sinal ............................................................... 32

4.5. Espectro de potência da resposta ............................................................................... 32

Medida da energia dissipada nos dissipadores .................................................................. 33

5. Metodologia de cálculo ........................................................................................................ 35

5.1. Obtenção da distribuição ótima ................................................................................... 35

1) Definição da função de transferência .......................................................................... 35

2) Definição do espetro de potência da ação .................................................................. 37

3) Avaliação da energia dissipada ................................................................................... 38

3.1. Determinação do espetro de potência da resposta ............................................ 38

3.2. Estimativa da medida da energia dissipada e ordenação dos valores ............... 38

x

5.2. Avaliação do desempenho .......................................................................................... 38

4) Definição do modelo computacional do dissipador ......................................................... 39

5) Especificação da série de acelerogramas ...................................................................... 39

6) Apuramento de resultados .............................................................................................. 40

6.1. Estimativa de Ctot_uni ............................................................................................ 40

6.2. Estimativa de Ctot_opt ............................................................................................ 42

6. Descrição dos casos de estudo .......................................................................................... 43

6.1. Estruturas tipo pórtico e parede puros ........................................................................ 44

6.1.1. Modelo teórico de referência ............................................................................... 44

Frequências e configuração modal ................................................................................. 45

Massa .............................................................................................................................. 46

6.1.2. Modelo numérico ................................................................................................. 46

Atribuição da massa e da rigidez .................................................................................... 47

Frequências e configuração modal ................................................................................. 48

Fator de participação modal e amortecimento inicial ...................................................... 49

6.2. Estruturas mistas pórtico-parede ..................................................................................... 50

Especificação do material e atribuição de massa ............................................................... 52

Inclinação do dissipador ...................................................................................................... 52

Frequências e configuração modal ..................................................................................... 53

Fator de participação modal e amortecimento inicial .......................................................... 54

7. Resultados ........................................................................................................................... 55

7.1. Estruturas tipo pórtico e parede puros ........................................................................ 55

7.1.1. Função de transferência ...................................................................................... 55

Edifício tipo pórtico .......................................................................................................... 55

Edifício tipo parede .......................................................................................................... 56

7.1.2. Espetro de potência da resposta ......................................................................... 56

Edifício tipo pórtico .......................................................................................................... 57

Edifício tipo parede .......................................................................................................... 58

7.1.3. Otimização em altura ........................................................................................... 60

Energia dissipada e distribuição ótima ............................................................................ 60

7.2. Estruturas mistas pórtico-parede ................................................................................ 62

7.2.1. Função de transferência ...................................................................................... 62

7.2.2. Espetro de potência da resposta ......................................................................... 65

7.2.3. Otimização em altura ........................................................................................... 67

7.2.3.1. Distribuição ótima ............................................................................................ 67

Estimativa da energia dissipada ...................................................................................... 67

Distribuição ótima de dissipadores .................................................................................. 68

7.2.3.2. Avaliação do desempenho .............................................................................. 70

7.3. Análise dos resultados da redução do custo total ....................................................... 75

8. Conclusões .......................................................................................................................... 79

xi

8.1. Localização ótima de dissipadores do tipo viscoso .................................................... 79

8.2. Redução do custo dos dissipadores ........................................................................... 82

8.3. Considerações sobre trabalhos futuros....................................................................... 83

Referências bibliográficas ........................................................................................................... 85

Anexos ......................................................................................................................................... 91

Anexo 1 - Espetro de potência da ação .................................................................................. 91

Anexo 2 – Série de acelerogramas artificiais .......................................................................... 93

Anexo 3 - Modelos (SAP2000) das estruturas pórtico e parede puros ................................... 97

Anexo 4 - Frequências de vibração das estruturas mistas pórtico-parede ............................. 99

Anexo 5 – Configurações modais das estruturas mistas pórtico-parede ............................. 101

Anexo 6 - Fatores de participação modal das estruturas mistas pórtico-parede .................. 103

Anexo 7 - Funções de transferência das estruturas mistas pórtico-parede.......................... 105

Anexo 8 - Espetros de potência da resposta das estruturas mistas pórtico-parede ............ 109

xiii

Índice de tabelas

Tabela 1 - Algumas das primeiras estruturas equipadas com dissipadores viscosos (Net 8) ... 18

Tabela 2 – Características gerais do caso das estruturas tipo pórtico e parede ........................ 44

Tabela 3 – Características dinâmicas genéricas no modelo de referência para as estruturas tipo

pórtico e parede (Guerreiro, 1999b). ........................................................................................... 45

Tabela 4 – Frequências de vibração no modelo de referência para as estruturas tipo pórtico e

parede ......................................................................................................................................... 46

Tabela 5 – Frequências de vibração das estruturas tipo pórtico e parede ................................. 48

Tabela 6 - Configurações modais do edifício tipo pórtico ........................................................... 48

Tabela 7 - Configurações modais do edifício tipo parede ........................................................... 49

Tabela 8 – Fator de participação modal das estruturas tipo pórtico e parede ............................ 49

Tabela 9 – Características gerais das estruturas mistas pórtico-parede .................................... 50

Tabela 10 – Características geométricas dos elementos de cada estrutura mista pórtico-parede

..................................................................................................................................................... 51

Tabela 11 – Massa de cada piso para cada estrutura mista pórtico-parede .............................. 52

Tabela 12 – Primeiras frequências de vibração das estruturas mistas pórtico-parede .............. 53

Tabela 13 – Primeiras configurações modais da estrutura mista pórtico-parede – Mista 1 ....... 53

Tabela 14 – Primeiros fatores de participação modal das estruturas mistas pórtico-parede ..... 54

Tabela 15 – Comparação do fator de participação modal nas estruturas mistas pórtico-parede

..................................................................................................................................................... 63

xv

Índice de figuras

Figura 1 – Danos causados pela ação sísmica – esquerda: Nepal 2015; direita: Chile 2010 (Net

4) ................................................................................................................................................... 5

Figura 2 – Movimento das placas tectónicas norte americana, africana e euroasiática (Net 5) .. 6

Figura 3 – Espetros de potência de acelerações - sismo de Kobe 1995 (adaptado de Guerreiro,

2011a) ........................................................................................................................................... 7

Figura 4 – Zonamento sísmico regulamentar em Portugal continental (NP EN1998-1) ............... 8

Figura 5 – Comparação do espetro de resposta da ação sísmica tipo 1 e tipo 2 (Guerreiro,

2011a – adaptado) ........................................................................................................................ 9

Figura 6 – Risco sísmico (perigosidade, vulnerabilidade e exposição) e medidas de intervenção

..................................................................................................................................................... 12

Figura 7 – Sistemas de proteção sísmica passivos, ativos e semiativos (Guerreiro, 2011b –

adaptado) .................................................................................................................................... 14

Figura 8 – Exemplos de colocação de dissipadores (Guerreiro, 2011b - adaptado) .................. 14

Figura 9 – Efeito nas acelerações e nos deslocamentos da estrutura sem e com sistemas de

dissipação (Guerreiro, 2011b- adaptado) ................................................................................... 15

Figura 10 – Dissipadores num edifício em São Francisco (San Francisco Civic Center) (Taylor,

1999 – adaptado) ........................................................................................................................ 15

Figura 11 – Dissipador da Ponte Simone de Beauvoir (Duflot, 2008) ........................................ 16

Figura 12 – Relação força-deslocamento para dissipador do tipo histerético (Guerreiro, 2003 -

adaptado) .................................................................................................................................... 17

Figura 13 – Ponte Vasco da Gama em Lisboa – esquerda: fotografia da ponte; direita:

dissipador histerético (Azevedo et al, 2007) ............................................................................... 17

Figura 14 – Esquema de um dos primeiros dissipadores do tipo viscoso (Taylor, 2000) .......... 18

Figura 15 – Dissipadores do tipo viscoso em edifícios - direita: (Miyamoto, 2015); esquerda

(Karavasilis, 2015) ....................................................................................................................... 19

Figura 16 - Viaduto do Loureiro - cima: fotografia do viaduto (Net 9); baixo: dissipador viscoso

(Infanti et el, 2006) ...................................................................................................................... 19

Figura 17 – Exemplo de um esquema dos componentes de um dissipador do tipo viscoso

(Alga, 2015) ................................................................................................................................. 20

Figura 18 – Esquema de funcionamento de um dissipador do tipo viscoso ............................... 20

Figura 19 – Relação constitutiva dos dissipadores do tipo viscoso em função do parâmetro α -

esquerda: relação força-velocidade; direita: relação força-deslocamento (Guerreiro, 2003 -

adaptado; Alga, 2015 - adaptado) ............................................................................................... 21

xvi

Figura 20 – Técnicas de otimização da distribuição em altura (Whittle, 2011 - adaptado) ........ 23

Figura 21 – Edifício tipo pórtico – esquerda: deformada; centro: deslocamentos entre pisos num

alinhamento vertical de pilares; esquerda: deformada média (Lopes et al, 2008 – adaptado) .. 26

Figura 22 – Edifício tipo parede – esquerda: deslocamentos entre pisos; direita: deformada

média ........................................................................................................................................... 26

Figura 23 – Relação força-deslocamento num dissipador viscoso............................................. 27

Figura 24 – Função de transferência de deslocamentos para diferentes valores de

amortecimento ............................................................................................................................. 30

Figura 25 – Relação entre a área sob a curva do espetro de potência da resposta (em

velocidades relativas) e a medida da energia dissipada ............................................................ 33

Figura 26 – Componente da configuração modal na direção do dissipador – esquerda: com

deslocamentos verticais; direita: sem deslocamentos verticais .................................................. 36

Figura 27 – Decomposição do vetor da configuração modal na parcela segundo a direção do

dissipador .................................................................................................................................... 37

Figura 28 – Exemplo ilustrativo dos valores da energia dissipada por piso e da distribuição

ótima correspondente .................................................................................................................. 38

Figura 29 – Modelo computacional do dissipador em SAP2000 ................................................ 39

Figura 30 – Esquerda: espetro de resposta médio (Guerreiro, 2010); direita: acelerogramas

artificiais ....................................................................................................................................... 40

Figura 31 – Estimativa de Ctot_uni ................................................................................................. 41

Figura 32 – Estimativa de Ctot_opt ................................................................................................. 42

Figura 33 – Estimativa da rigidez de flexão equivalente da estrutura tipo pórtico ...................... 47

Figura 34 – Pórtico-tipo representativo das estruturas mistas pórtico-parede ........................... 50

Figura 35 – Inclinação do dissipador nas estruturas mistas pórtico-parede ............................... 53

Figura 36 - Funções de transferência de velocidades relativas para o edifício tipo pórtico ....... 55

Figura 37 – Funções de transferência de velocidades relativas para o edifício tipo parede ...... 56

Figura 38 - Espetros de potência da resposta para o edifício tipo pórtico .................................. 57

Figura 39 - Espetros de potência da resposta para o edifício tipo pórtico (primeiro pico).......... 57

Figura 40 - Espetros de potência da resposta para o edifício tipo pórtico (segundo pico) ......... 58

Figura 41 – Espetros de potência da resposta para o edifício tipo parede ................................ 58

Figura 42 - Espetros de potência da resposta para o edifício tipo parede (primeiro pico) ......... 59

Figura 43 - Espetros de potência da resposta para o edifício tipo parede (segundo pico) ........ 59

Figura 44 – Energia dissipada nos pisos da estrutura tipo pórtico e da estrutura tipo parede ... 60

xvii

Figura 45 – Distribuição ótima para a estrutura tipo pórtico e para a estrutura tipo parede (dez

dissipadores) ............................................................................................................................... 61

Figura 46 – Funções de transferência da estrutura mista pórtico-parede – Mista 1 .................. 62

Figura 47 – Amplificação dos modos superiores devido à inflexão na configuração modal ...... 64

Figura 48 – Espetros de potência da resposta da estrutura mista pórtico-parede – Mista 1 ..... 65

Figura 49 - Espetros de potência de resposta (primeiro modo de vibração) - cima: Mista 1;

baixo: Mista 6 .............................................................................................................................. 66

Figura 50 – Energia dissipada por piso na estrutura mista pórtico parede – esquerda: Mista 1;

direita: Mista 2 ............................................................................................................................. 67

Figura 51 - Energia dissipada por piso na estrutura mista pórtico parede – esquerda: Mista 3;

direita: Mista 4 ............................................................................................................................. 67

Figura 52 - Energia dissipada por piso na estrutura mista pórtico parede – esquerda: Mista 5;

direita: Mista 6 ............................................................................................................................. 68

Figura 53 – Distribuições ótimas para as estruturas mistas pórtico-parede (dez dissipadores) 68

Figura 54 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 1 .................... 71

Figura 55 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 2 .................... 72

Figura 56 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 3 .................... 72

Figura 57 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 4 .................... 73

Figura 58 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 5 .................... 73

Figura 59 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 6 .................... 74

Figura 60 – Valores de Ctot_uni e Ctot_opt das estruturas mistas pórtico-parede com dissipadores

do tipo linear ................................................................................................................................ 75

Figura 61 – Valores de Ctot_uni e Ctot_opt das estruturas mistas pórtico parede com dissipadores

do tipo não linear ......................................................................................................................... 75

Figura 62 – Otimização (%) para cada estrutura mista pórtico-parede com dissipadores do tipo

linear e não linear ........................................................................................................................ 77

xix

Lista de abreviaturas

Ctot_uni – Custo global dos dissipadores na distribuição uniforme

Ctot_opt – Custo global dos dissipadores na distribuição ótima

Robjetivo – Nível de desempenho a alcançar

Lista de variáveis

A’ – Área de corte da secção

C – Constante característica do dissipador

Ctot – Custo global dos dissipadores

E – Módulo de elasticidade

Edissipada – Energia dissipada no dissipador (por ciclo)

F – Força de dissipação no dissipador viscoso

FP – Fator de participação modal

Fy – Força do nível de cedência (dissipador histerético)

G – Módulo de distorção

H – Função de transferência

I – Inércia da secção

K – Rigidez da mola

K1 - Rigidez inicial (dissipador histerético)

K2 – Rigidez pós-cedência (dissipador histerético)

L – Comprimento de um ciclo

m – Massa por unidade de comprimento linear

N – Número de dissipadores

p – Frequência angular de vibração não amortecida

S(w) – Função densidade espetral de potencia (espetro de potência)

t – Tempo

T – Tempo de um ciclo

us– Aceleração do solo

xx

v – Velocidade relativa entre as extremidades do dissipador

x, u – Deslocamento

xG – Coordenada generalizada (deslocamento)

X(t) – Sinal variável no tempo

α – Parâmetro característico do dissipador

Δk – Alongamento da mola

Δd – Deformação do dissipador

Θ – Ângulo do dissipador com a horizontal

λ – Vetor unitário

ξ – Coeficiente de amortecimento

Ф – Deslocamento da configuração modal

Ψ – Coeficiente de minoração das sobrecargas

ω – Frequência angular

1

1. Introdução

No presente capítulo faz-se um enquadramento geral ao tema da dissertação e uma introdução à

análise adotada. Por último, apresenta-se a estrutura da dissertação pelos diferentes capítulos.

1.1. Enquadramento

O presente trabalho começou a ser desenvolvido no âmbito da bolsa de iniciação à investigação

científica do ICIST, tendo depois sido continuado como tema de dissertação final de mestrado.

Enquadra-se na área da proteção sísmica de edifícios, pretendendo-se estabelecer uma metodologia

de cálculo para otimizar a distribuição em altura de dissipadores do tipo viscoso num edifício alto.

1.2. Introdução à análise adotada

Pretende-se analisar o problema da otimização da distribuição em altura de dissipadores de energia do

tipo viscoso em edifícios altos, tendo por base a maximização da energia dissipada nos dissipadores.

O objetivo é minimizar o deslocamento máximo e interpisos das estruturas com menor força total de

dissipação, obtendo-se, como consequência, uma redução do custo total dos dissipadores.

A distribuição ótima de dissipadores é aquela que, para um determinado número de dissipadores

especificado, os aplica nos pisos para os quais a energia dissipada é máxima. Então, o que se pretende

é colocar os dissipadores nos pisos onde estes possam dissipar mais energia, o que levanta duas

questões: como avaliar em que situação os dissipadores são mais eficazes (dissipam mais energia), e

em que locais do edifício estas condições ocorrem.

Relativamente à primeira questão, concluiu-se que a dissipação de energia está associada ao quadrado

da velocidade relativa do movimento entre pisos. Quanto à avaliação dos pisos onde a velocidade

relativa é máxima, estimou-se a resposta com base na determinação de funções de densidade espetral

de potência (espetros de potência) em termos de velocidades relativas para os diversos pisos.

A definição de densidade espectral de potência é de natureza estocástica, pelo que, sendo baseada

na teoria das probabilidades, aborda de forma abrangente o problema da representatividade da ação

sísmica e da sua imprevisibilidade. A estimativa dos espetros de potência da resposta, em termos de

velocidades relativas entre pisos, implicou a determinação das características dinâmicas da estrutura,

por pressupor a definição das funções transferência para a velocidade relativa de cada par de pisos

sequenciais.

Também as características da sismicidade do local onde se encontra a estrutura foram tidas em

consideração para a estimativa dos espetros de potência de velocidades relativa entre pisos.

2

Numa primeira fase do trabalho, tendo em conta que, através de uma análise simples em edifícios altos,

é possível obter uma boa aproximação do comportamento da estrutura utilizando modelos contínuos e

aplicando a formulação da elastodinâmica de vigas, consideram-se dois casos distintos: o modelo de

barra contínua com deformação por corte, que simula um edifício com comportamento do tipo pórtico,

e o modelo de viga contínua com deformação por flexão, que representa um edifício com

comportamento do tipo parede. Este caso de estudo permite validar a metodologia proposta, uma vez

que para o caso destas duas estruturas simples, a distribuição ótima de dissipadores é conhecida à

partida.

Numa segunda fase do trabalho, pretende-se avaliar o efeito da variação do comportamento da

estrutura entre situações intermédias entre o comportamento tipo pórtico puro e o comportamento tipo

parede. Para o efeito foi analisado um conjunto de seis pórticos planos, em que se varia o

comportamento misto pórtico-parede desde a situação em que se tem um comportamento de pórtico,

passando pelo caso de comportamento misto com predominância de pórtico, pelo comportamento

misto com predominância de parede, até ao caso de comportamento de parede. Neste caso de estudo

avalia-se a variação da disposição dos dissipadores na distribuição ótima de dissipadores com a

variação do comportamento estrutural da estrutura. Por último, avaliam-se os resultados em termos da

redução do custo na distribuição ótima de dissipadores relativamente à distribuição uniforme de

dissipadores em altura (um dissipador em todos os pisos do edifício).

1.3. Organização da dissertação

O presente trabalho está organizado em três partes. Na primeira parte, referente aos capítulos 2, 3 e

4, encontra-se uma revisão do estado do conhecimento relevante para o tema em análise e os

fundamentos teóricos que estão na base da metodologia de cálculo proposta. Na segunda parte, que

integra o capítulo 5, sintetiza-se a metodologia de cálculo. Por último, os capítulos 6 e 7 constituem

uma terceira parte onde se apresentam os casos de estudo com os respetivos resultados. No capítulo

8 apresenta-se uma síntese das conclusões.

Neste primeiro capítulo é feita a introdução geral ao tema em análise, apresentando-se o

enquadramento do trabalho e a sua descrição, identificando também os objetivos a alcançar.

No capítulo 2 analisa-se a ação sísmica em Portugal, nomeadamente a sua tipificação através dos

cenários do sismo afastado e do sismo próximo. Definem-se espetro de resposta e a ação sísmica

regulamentares, tendo como principal objetivo perceber e avaliar as particularidades existentes da ação

sísmica em estruturas de baixa frequência, como é o caso dos edifícios altos.

No capítulo 3 apresenta-se uma revisão do estado do conhecimento sobre as técnicas de proteção

sísmica: faz-se referência ao conceito de risco sísmico, como enquadramento para a utilização deste

tipo de técnicas, e dá-se ênfase à descrição de técnicas de dissipação de energia, em particular ao

caso dos dissipadores do tipo viscoso. Explica-se o seu modo de funcionamento e apresentam-se

exemplos de aplicação. Referem-se ainda, neste capítulo, algumas metodologias de vários outros

3

autores, para a determinação da distribuição ótima de dissipadores em altura e respetivos

pressupostos.

No capítulo 4 apresentam-se os fundamentos teóricos em que se baseia a abordagem de cálculo aqui

adotada. Apresenta-se, ainda, a justificação do critério de otimização em que assenta a metodologia, o

qual pressupõe o conhecimento dos conceitos de função de transferência e de densidade espetral de

potência. Descreve-se também o comportamento em termos da configuração modal de edifícios tipo

pórtico e tipo parede puros, tendo em vista perceber qual é a distribuição ótima de dissipadores para

cada um destes tipos de estruturas simples.

No capítulo 5 apresenta-se a metodologia de cálculo adotada, descrevendo-se os parâmetros a

determinar nas várias etapas subjacentes à análise.

No capítulo 6 apresentam-se os dois casos de estudo. Em primeiro lugar um caso de estudo preliminar,

que consiste na análise de duas estruturas simples cujas distribuições ótimas em altura são

previamente conhecidas, permitindo assim validar a metodologia proposta no presente trabalho. Em

segundo lugar descreve-se o modelo para o caso de estudo principal, que integra um conjunto de seis

pórticos planos com comportamento intermédio entre o comportamento de pórtico e o comportamento

de parede.

No capítulo 7 apresentam-se os resultados obtidos em cada caso de estudo. Estes resultados dizem

respeito à distribuição ótima de dissipadores em altura, os quais, para o primeiro caso de estudo,

permitem validar a metodologia proposta. No segundo caso de estudo, apresenta-se ainda a redução

do custo global dos dissipadores, que é conseguida para a distribuição ótima relativamente à

distribuição uniforme de dissipadores.

No capítulo 8 apresenta-se a síntese das conclusões do trabalho bem como algumas considerações

para desenvolvimentos futuros.

Por último indicam-se as fontes bibliográficas objeto de leitura e análise e incluem-se anexos referentes

ao espetro de potência da ação (Anexo 1), à serie de acelerogramas artificiais (Anexo 2), aos modelos

em SAP2000 (CSI, 2011) das estruturas simples tipo pórtico e parede (Anexo 3), às frequências de

vibração (Anexo 4), às configurações modais (Anexo 5) e fatores de participação modal (Anexo 6) das

estruturas do segundo caso de estudo, à função de transferência (Anexo 7) e ao espetro de potência

da resposta (Anexo 8) das estruturas mistas pórtico-parede das últimas cinco estruturas do segundo

caso de estudo.

5

2. Ação sísmica em Portugal continental e o caso

de edifícios altos

A ação sísmica está presente de forma generalizada nos diversos continentes. As consequências que

dela resultam, em termos de perdas de vidas humanas e bens, levou a comunidade científica a

intensificar o estudo nesta área.

De facto, muitos países sofreram catástrofes provocadas por esta ação. São exemplos, ainda do século

passado, o sismo de San Francisco, na Califórnia, em 1906 (Net 1), o de Messina, em Itália, em 1908

(Net 2) ou o de Kanto, em 1923, no Japão (Net 3), entre outros.

No entanto, este é ainda um problema atual. Na Figura 1 evidenciam-se algumas consequências da

ação sísmica em dois sismos recentes: um sismo no Chile, em 2010 e um sismo no Nepal, em 2015

(Net 4).

Figura 1 – Danos causados pela ação sísmica – esquerda: Nepal 2015; direita: Chile 2010 (Net 4)

Algumas zonas de Portugal são de elevado risco sísmico, sendo vários os casos marcantes na história

que o comprovam. De seguida faz-se referência a dois dos sismos mais importantes, por cada um ter

subjacente uma natureza distinta: o sismo em Lisboa ocorrido no século XVIII e o sismo de Benavente

no século XX.

Pensa-se que as primeiras medidas preventivas, realizadas de forma sistemática e em termos de

construção metódica e à escala de uma cidade, foram implementadas em Lisboa (Lopes et al, 2008).

De facto, após os efeitos catastróficos do sismo do dia 1 de Novembro de 1755, foram adotadas regras

de urbanismo, como a regularidade e geometria nos quarteirões, e novos métodos racionais na

transmissão de cargas nos elementos estruturais, como a criação do sistema da gaiola pombalina e da

cruz de Santo André (Lopes et al, 2008). Já no século XX, um outro sismo com efeitos históricos em

Portugal continental ocorre, no dia 23 de Abril de 1909 em Benavente, no vale inferior do Tejo.

Estes dois sismos revelam as duas causas distintas da sismicidade em Portugal Continental,

relativamente à localização do epicentro e magnitude, e que estão atualmente contempladas na

regulamentação. Na Figura 2 apresentam-se os movimentos de três placas tectónicas, duas das quais

estão na origem dos sismos que afetam Portugal (Net 5).

6

Figura 2 – Movimento das placas tectónicas norte americana, africana e euroasiática (Net 5)

O sismo de 1755, em Lisboa, com magnitude estimada de 8,75 na escala de Richter, teve origem na

falha entre as placas euroasiática e africana no oceano (Net 6). Por sua vez, o sismo de Benavente,

com magnitude de 6,70 teve o epicentro na falha interna da placa euroasiática (Net 6).

O sismo interplacas é então designado por sismo afastado e o sismo intraplacas é designado por sismo

próximo. O primeiro apresenta magnitudes mais altas e o segundo mais baixas. Por sua vez, pelo facto

da distância do foco ser maior no caso do sismo afastado, este atenua mais energia até alcançar as

estruturas. Desta forma, apesar do sismo afastado apresentar uma maior magnitude que o sismo com

origem mais próxima das estruturas, não se consegue determinar à partida, para uma estrutura

genérica, qual será o mais condicionante.

Sabe-se, no entanto, que a atenuação das ondas sísmicas é maior para gamas de frequências mais

altas, e, por isso, quanto mais afastado estiver o sismo, maior é o conteúdo de energia que este atenua

nas frequências mais elevadas, apresentando assim um conteúdo energético maior nas frequências

mais baixas (Guerreiro, 2011a).

Deste modo, quando um sismo afastado atua em estruturas mais flexíveis e, portanto, com frequências

de vibração mais baixas, como é o caso dos edifícios altos, este deve ser o condicionante quando

comparado com um sismo de menor magnitude mas que apresenta o foco mais perto da estrutura.

Uma vez que a magnitude do sismo afastado é maior que a do sismo próximo, o sismo afastado é o

que deve condicionar o desempenho das estruturas de baixa frequência como é o caso dos edifícios

altos.

7

2.1. Definição de espetro de resposta

Tendo um oscilador de um grau de liberdade, com determinada frequência própria, sujeito a uma dada

ação sísmica, é possível obter o valor máximo de uma dada grandeza que caracteriza a resposta a

essa ação. O espectro de resposta dessa grandeza é o conjunto desses valores máximos, em função

da frequência própria, ou do período próprio, do oscilador de um grau de liberdade. Assim, para

diferentes valores de frequências próprias do oscilador, mantendo o valor do coeficiente de

amortecimento constante, obtém-se o espetro de resposta de uma grandeza para uma ação sísmica.

A forma mais comum de representar um espetro de resposta é em acelerações (Guerreiro, 2011a). No

entanto, é possível representar espetros de resposta para outras grandezas, tal como para velocidades

e deslocamentos, absolutos ou relativos.

Conforme se observa na Figura 3 (Guerreiro, 2011a), para uma estrutura extremamente flexível, ou

seja, com frequência quase nula ou período muito elevado, o oscilador, quando sujeito a um movimento

na base, não se move (ponto 1 da figura). Por outro lado, para o outro caso extremo de uma estrutura

com frequência própria muito elevada ou período quase nulo, espera-se que o movimento do oscilador

acompanhe o movimento do solo, sendo então a aceleração absoluta no oscilador igual à aceleração

da base (ponto 2).

Figura 3 – Espetros de resposta de acelerações - sismo de Kobe 1995 (adaptado de Guerreiro, 2011a)

8

2.2. Ação sísmica regulamentar

2.2.1. Zonamento sísmico

Segundo a regulamentação atual (NP EN1998-1), devem considerar-se dois tipos de ação sísmica: a

ação sísmica tipo 1 e a ação sísmica tipo 2. A ação sísmica tipo 1 tem em conta fenómenos de elevada

magnitude cujo foco do sismo é afastado, ou seja, gerado no oceano, na zona de contacto entre as

placas euroasiática e africana. Pelo contrário, a ação sísmica tipo 2 representa os sismos com

magnitude moderada e origem no território, provocados pelas falhas internas na placa euroasiática.

No Anexo Nacional encontra-se o zonamento do território nacional por grau de sismicidade, tanto em

Portugal continental como nos arquipélagos dos Açores e da Madeira. A ação sísmica tipo 1 contempla

seis zonas distintas e a ação sísmica tipo 2 apresenta cinco. Salienta-se que nos Açores a ação sísmica

a considerar é apenas a ação sísmica tipo 2, e que na Madeira é apenas a ação sísmica tipo 1.

Conforme se observa na Figura 4 (NP EN1998-1), que apresenta as diferentes zonas de Portugal

continental para os dois tipos de ação sísmica, tem-se que para a ação sísmica tipo 1 o grau de

sismicidade é maior no sul do país, diminuindo de sul para norte, enquanto que, para a ação sísmica

tipo 2, devido à proximidade do foco sísmico, a sismicidade é maior no sul do país mas igualmente

gravosa na zona de Lisboa e Vale do Tejo.

Figura 4 – Zonamento sísmico regulamentar em Portugal continental (NP EN1998-1)

9

2.2.2. Espetro de resposta elástico horizontal

Segundo a regulamentação atual (NP EN1998-1), na caracterização do espetro de resposta elástico

horizontal regulamentar é necessário identificar o valor da aceleração máxima de referência de um

terreno do tipo rochoso, o que depende da zona sísmica onde se localiza a estrutura em causa. É

necessário ainda definir o tipo de terreno, existindo sete classificações consoante o perfil estratigráfico.

Por outro lado, para a determinação do valor de cálculo da aceleração máxima à superfície do terreno,

é necessário atribuir um coeficiente de importância, conforme a classe de importância da estrutura em

análise, definindo-se quatro classes distintas, que se relacionam com as consequências do colapso da

estrutura.

Na Figura 5 apresenta-se o espetro de resposta do sismo tipo 1, sismo afastado, e do sismo tipo 2,

sismo próximo, para a mesma região, o mesmo tipo de solo e o mesmo coeficiente de amortecimento

(Guerreiro, 2011a – adaptado).

Figura 5 – Comparação do espetro de resposta da ação sísmica tipo 1 e tipo 2 (Guerreiro, 2011a – adaptado)

Conforme se observa na Figura 5, o sismo tipo 1 apresenta maiores acelerações espectrais que o

sismo tipo 2 para quase a totalidade dos valores das frequências, excetuando os valores dos períodos

mais baixos, ou seja, das frequências mais elevadas, em que a ação sísmica tipo 2 apresenta maiores

magnitudes.

Percebe-se assim que numa estrutura muito flexível, isto é, em que as oscilações próprias de vibração

apresentam períodos elevados, a ação sísmica predominante, em termos da regulamentação

portuguesa (NP EN1998-1), será a ação sísmica tipo 1, ou seja, a do sismo afastado.

11

3. Estado do conhecimento sobre técnicas de

proteção sísmica

Neste capítulo apresenta-se uma revisão do estado do conhecimento sobre técnicas de proteção

sísmica.

Em primeiro lugar, enquadra-se a aplicação de sistemas de proteção sísmica no contexto da redução

da vulnerabilidade sísmica das estruturas. De seguida, indicam-se alguns tipos de sistemas de proteção

sísmica de edifícios, com particular detalhe para o caso dos dissipadores de energia e o caso dos

dissipadores do tipo viscoso.

3.1. Noções gerais sobre risco sísmico e intervenção

Desde sempre que os efeitos da ação sísmica são alvo de preocupação, tendo-se vindo a tentar

caracterizá-la de forma mais rigorosa, dando-se assim uma explicação para os seus efeitos e

minimizando-os. No entanto, apesar da evolução tecnológica e dos avanços científicos nesta área, a

incerteza na definição da ação sísmica e a imprevisibilidade a ela inerente mantêm-se ainda nos tempos

atuais.

De facto, a caracterização da ação sísmica baseia-se em conhecimentos de diferentes áreas, como de

geologia, teoria da elasticidade, da tectónica de placas e da estrutura interna do planeta. Para a sua

caracterização é necessário compreender a génese dos sismos, bem como a propagação das ondas

sísmicas. A instrumentação, designadamente ao nível da introdução de sismógrafos, a partir do início

do século XX, para registo de ondas sísmicas (Lopes et al, 2008), permitiu um desenvolvimento

significativo a este nível, incluindo a caracterização do sismo relativamente à sua magnitude e

localização do foco.

No século XX inicia-se o estudo da teoria da tectónica de placas, o que permite explicar o fenómeno

sísmico com fundamentos racionais (Lopes et al, 2008). A Engenharia Sísmica, como ciência, começa

a instituir-se também por esta altura (Lopes et al, 2008).

Na análise do risco sísmico, o conhecimento da ação sísmica propriamente dita reflete-se na

perigosidade do fenómeno, ou seja, pode considerar-se que a perigosidade da ação sísmica é uma

característica intrínseca do local de ocorrência.

Um outro aspeto determinante no que se refere à previsão das consequências da ação sísmica,

associado à avaliação do risco sísmico de um determinado local, é a vulnerabilidade das estruturas,

nomeadamente ao nível da resistência sísmica das mesmas.

No entanto, é importante também entender que apenas faz sentido analisar o risco sísmico tendo em

consideração a exposição de pessoas e o valor dos bens expostos, dos quais se refere, entre outros,

12

o parque habitacional e o património, infraestruturas, redes e indústria. A exposição de pessoas e bens

está relacionada com a densidade populacional e com o desenvolvimento económico dos locais (Lopes

et al, 2008).

Em suma, o risco sísmico é entendido como o resultado de três fatores distintos: a perigosidade, a

vulnerabilidade e a exposição (Sousa, 2008).

Na Figura 6 encontram-se sintetizadas as principais características de que dependem cada um destes

três fatores, evidenciando-se também algumas das formas de atuar que têm por objetivo reduzir a

vulnerabilidade sísmica das estruturas, dentro das quais os sistemas de proteção sísmica, incluindo os

dissipadores de energia, se enquadram.

De seguida, pretende-se analisar de que forma é possível intervir para reduzir o risco sísmico, tendo

presente estes três fatores.

Figura 6 – Risco sísmico (perigosidade, vulnerabilidade e exposição) e medidas de intervenção

Uma vez que a perigosidade está diretamente ligada às condições locais, e é um parâmetro no qual

não se pode geralmente atuar, sendo considerado dependente de fenómenos naturais. Por outro lado,

a atuação ao nível da exposição das estruturas é difícil, pois implicaria impedir a urbanização em zonas

de elevado risco sísmico. A atenuação do risco sísmico tem, assim, de ser realizada no sentido da

redução da vulnerabilidade das estruturas. Por se relacionar diretamente com a conceção urbanística

e estrutural, a vulnerabilidade é, deste modo, o fator em que a engenharia tem um papel determinante.

Para a redução da vulnerabilidade das estruturas tem de se atuar de forma a melhorar o desempenho

sísmico das mesmas. No entanto, tem de se ter em atenção que esta resistência não pode ser avaliada

unicamente para a estrutura de forma isolada, tendo ainda de se considerar as consequências que

resultem de fatores externos. Ou seja, tem de se ter em atenção as consequências da ação sísmica

que podem não estar associadas diretamente à ação sísmica aplicada nas estruturas. Por exemplo,

entre outras possíveis catástrofes, a ação sísmica pode desencadear deslizamentos de terras,

tsunamis, liquefação dos solos, assentamentos significativos ou incêndios (Lopes et al, 2008). Neste

sentido deve atuar-se não apenas na resistência da estrutura propriamente dita, mas também ao nível

13

da estabilização do terreno, da aplicação de técnicas de prevenção de incêndios e da resistência ao

fogo, evitar a construção sobre falhas tectónicas ativas e analisar a interação da estrutura relativamente

a outras que lhe sejam próximas, como o caso de edifícios em banda encostados. Entende-se assim

que o planeamento urbano é também uma área de intervenção com papel fundamental.

Pode atuar-se ao nível do sistema estrutural, privilegiando-se princípios de simetria, regularidade em

planta e altura, e redundância (Lopes et al, 2008). Também é necessário perceber o comportamento

ao nível do material a adotar, como, por exemplo, as diferenças entre os danos em paredes de alvenaria

não confinada e em elementos de aço ou betão (Net 7).

Ultimamente, com a crescente investigação em técnicas de proteção sísmica de estruturas, nas quais

os sistemas de dissipação de energia se enquadram, consegue-se atuar tanto ao nível das suas

características estruturais como diretamente nos efeitos da ação sísmica, melhorando assim o

desempenho sísmico das estruturas.

As técnicas de dissipação sísmica permitem aumentar a capacidade de dissipação de energia das

estruturas, contribuindo significativamente para a redução da vulnerabilidade das estruturas e

consequente redução do risco sísmico.

3.2. Conceito de sistema de proteção sísmica

Devido ao grande progresso tecnológico, é possível implementar em estruturas, como viadutos e

edifícios, dispositivos que melhoram o desempenho face ao sismo, reduzindo significativamente as

suas deformações e, desta forma, limitando os seus danos. Os sistemas de proteção sísmica são

dispositivos que, ao atuar nas características dinâmicas de uma estrutura ou aumentando a sua

capacidade de dissipação de energia, melhoram o desempenho sísmico da mesma (Guerreiro, 2011b).

3.3. Sistemas de proteção ativos e passivos

Podem classificar-se as técnicas de proteção sísmica como ativas, passivas ou, ainda, semiativas,

relativamente à necessidade ou não de fornecer energia para a seu funcionamento.

Os sistemas ativos são os mais exigentes em termos de quantidade de energia fornecida para controlar

o movimento da estrutura. Têm por base o princípio que consiste em atuar na estrutura, recorrendo à

monitorização das suas deformações durante a ação sísmica, de modo a anular os seus efeitos. É, por

isso, fácil de entender a complexidade subjacente a este tipo de técnica, na utilização de tecnologia

apropriada, e que se revela na menor aplicabilidade deste tipo de mecanismos.

Por sua vez, os sistemas de proteção passivos são mais simples de aplicar que os anteriores e,

contudo, bastante eficazes. Por essa razão, são os mais utilizados. Alguns dos sistemas de proteção

passivos são os dissipadores de energia e o isolamento de base.

14

Os sistemas semiativos são uma solução intermédia entre os sistemas passivos e ativos, pois também

necessitam do fornecimento de energia no seu funcionamento. No entanto, ao contrário do que

acontece no caso dos sistemas ativos, apenas é necessário energia para modificar as características

dos dispositivos e não para modificar o movimento da estrutura propriamente dita.

Alguns exemplos de sistemas de proteção sísmica estão sintetizados na Figura 7 (Guerreiro, 2011b –

adaptado).

Figura 7 – Sistemas de proteção sísmica passivos, ativos e semiativos (Guerreiro, 2011b – adaptado)

3.4. Dissipadores de energia

O recurso a dissipadores de energia tem o objetivo de dissipar parte da energia transmitida pelo sismo

à estrutura, evitando assim que esta absorva a energia através de deformação excessiva (Lopes et al,

2008).

Estes dispositivos devem ser colocados por forma a acompanhar a deformação das estruturas,

otimizando o seu desempenho ao se maximizar a deformação no dissipador. O objetivo destas técnicas

prende-se com a necessidade de reduzir os deslocamentos entre pisos nas estruturas, ou seja, evitar

ou limitar a entrada das estruturas em fase não linear, e que, portanto, não lhes seja exigido um

comportamento dúctil elevado durante a ação sísmica (Guerreiro, 2011b).

Na Figura 8 indicam-se alguns exemplos de possíveis formas de colocação dos dissipadores pelos

pisos de um edifício (Guerreiro, 2011b - adaptado).

Figura 8 – Exemplos de colocação de dissipadores (Guerreiro, 2011b - adaptado)

15

A utilização de sistemas de dissipação de energia, devido ao aumento do amortecimento global da

estrutura e portanto ao aumento da capacidade de dissipação de energia, permite não só reduzir os

deslocamentos na estrutura mas também reduzir as acelerações impostas (Lopes et al, 2008). Este

efeito é ilustrado na Figura 9 (Guerreiro, 2011b - adaptado).

Figura 9 – Efeito nas acelerações e nos deslocamentos da estrutura sem e com sistemas de dissipação (Guerreiro, 2011b- adaptado)

É possível encontrar diversos exemplos da aplicação deste tipo de técnica de proteção sísmica em

estruturas, tanto em pontes como em edifícios. A título de exemplo, apresenta-se na Figura 10 a

aplicação de dissipadores num edifício em São Francisco (San Francisco Civic Center) (Taylor, 1999 –

adaptado) e na Figura 11 um dissipador da Ponte Simone de Beauvoir em Paris (Duflot, 2008).

Figura 10 – Dissipadores num edifício em São Francisco (San Francisco Civic Center) (Taylor, 1999 – adaptado)

16

Figura 11 – Dissipador da Ponte Simone de Beauvoir (Duflot, 2008)

É de salientar ainda, que em Portugal não existe a utilização deste tipo de técnica em edifícios, sendo,

no entanto, prática corrente em viadutos e pontes (Lopes et al, 2008).

Podem encontrar-se algumas justificações para que a aplicação em edifícios deste tipo de dispositivos,

e de sistemas de proteção sísmica no geral, ao contrário do que acontece em pontes e viadutos, não

seja ainda prática corrente em Portugal

Em primeiro lugar, encontra-se a maior complexidade na instalação deste tipo de dispositivos em

edifícios relativamente à sua aplicação em pontes e viadutos (Azevedo et al, 2007), acrescentando-se

o facto de apenas existir regulamentação para estes sistemas de dissipação de energia quando

aplicados em pontes ou viadutos, e não em edifícios. Por outro lado, a maior especialização dos

projetistas de pontes leva a que conheçam melhor este tipo de técnicas e as explorem no sentido da

adoção de práticas mais sofisticadas mas em que se obtêm menores custos globais (Azevedo et al,

2007). De forma geral, tanto em edifícios como em pontes, a aplicação de dissipadores implica o

recurso a análises não lineares no domínio do tempo, sendo esta uma análise dinâmica mais complexa

que as abordagens correntes (Guerreiro, 2003).

Quanto à diferença no comportamento e na relação constitutiva que apresentam, podem distinguir-se

três tipos de dissipadores: os dissipadores do tipo histerético, os do tipo viscoso e os dissipadores

viscoelásticos.

De seguida são apresentados cada um destes tipos de dissipadores de energia, com particular detalhe

os dissipadores do tipo viscoso por serem aqueles que são aplicados no presente trabalho.

17

3.4.1. Histeréticos

Conforme o nome indica, os dissipadores histeréticos, na sua maioria dissipadores em aço, apresentam

um comportamento fisicamente não linear, explorando a capacidade de deformação plástica, ou seja,

de pós cedência dos materiais. É, por isso, necessário definir a rigidez inicial (K1), mas também o nível

de cedência (Fy) e a rigidez pós-cedência (K2), de modo a determinar a força instalada no dissipador.

O comportamento é controlado pelas deformações impostas, sendo que a relação força-deslocamento

é do tipo da ilustrada na Figura 12 (Guerreiro, 2003 - adaptado).

Figura 12 – Relação força-deslocamento para dissipador do tipo histerético (Guerreiro, 2003 - adaptado)

A Ponte Vasco da Gama em Lisboa é um exemplo de aplicação deste tipo de dissipadores em Portugal,

ilustrado na Figura 13 (Azevedo et al, 2007).

Figura 13 – Ponte Vasco da Gama em Lisboa – esquerda: fotografia da ponte; direita: dissipador histerético (Azevedo et al, 2007)

18

3.4.2. Viscosos

O presente trabalho foca-se na aplicação de dissipadores do tipo viscoso, pretendendo-se, por isso,

entender o seu comportamento com mais algum pormenor.

3.4.2.1. Evolução histórica e aplicação

Os primeiros dissipadores viscosos foram inventados por motivos de natureza militar já no século XIX.

Continuaram a ser melhorados durante a II Guerra Mundial e durante a Guerra Fria. Na Figura 14

apresenta-se o esquema de um dos primeiros dissipadores viscosos (Taylor, 2000).

Figura 14 – Esquema de um dos primeiros dissipadores do tipo viscoso (Taylor, 2000)

No entanto, foi só no final do século XX que começaram a ser realizados testes em mesas sísmicas de

modelos de estruturas com este tipo de dissipadores (Taylor, 2000).

Na Tabela 1 indicam-se as primeiras estruturas onde foram implementados dispositivos de dissipação

de energia do tipo viscoso em engenharia civil, para melhorar o desempenho das estruturas face ao

sismo ou ao vento, ou a outro tipo de movimento induzido (Net 8).

Tabela 1 - Algumas das primeiras estruturas equipadas com dissipadores viscosos (Net 8)

Data Nome

1993 Estádio Ralph Wilson

1995 Centro de operações Pacific Bell North Area

1996 Ponte de Montlake

1996 Centro médico regional de Arrowhead

1996 Hotel Woodland

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Na Figura 15 apresentam-se dois exemplos ilustrativos da aplicação de dissipadores de energia do tipo

viscoso em edifícios (Miyamoto, 2015; Karavasilis, 2015)

Figura 15 – Dissipadores do tipo viscoso em edifícios - direita: (Miyamoto, 2015); esquerda (Karavasilis, 2015)

Em Portugal, a aplicação deste tipo de dissipadores em pontes e viadutos é corrente. É o caso do

viaduto sobre a Ribeira da Laje e Rio Grande da Pipa; e também o caso do viaduto do Loureiro em que

os testes à eficiência dos dissipadores viscosos, em termos da relação força-deslocamento, revelaram

um alto desempenho (Paolo et al, 2004).

Na Figura 16 apresenta-se uma fotografia do viaduto do Loureiro e um dissipador do tipo viscoso

aplicado neste viaduto (Net 9; Infanti et el, 2006).

Figura 16 - Viaduto do Loureiro - cima: fotografia do viaduto (Net 9); baixo: dissipador viscoso (Infanti et el, 2006)

20

3.4.2.2. Componentes da estrutura do dissipador

Apresenta-se na Figura 17 o esquema da disposição dos diferentes componentes de um exemplo de

dissipador do tipo viscoso (Alga, 2015). Nomeadamente, quanto à posição do veio do pistão, do cilindro

e da válvula.

Figura 17 – Exemplo de um esquema dos componentes de um dissipador do tipo viscoso (Alga, 2015)

3.4.2.3. Modo de funcionamento

O funcionamento dos dissipadores do tipo viscoso baseia-se na compressão e circulação de um fluido

no dissipador. Na Figura 18 representam-se de forma esquemática as várias fases do funcionamento.

O movimento do dissipador inicia-se quando a ação sísmica força o pistão para o interior do cilindro e,

desta forma, a câmara 2 fica comprimida – seta a verde. De seguida, até a força de compressão na

câmara 1 e na câmara 2 se igualarem, o fluido passa pelos orifícios na cabeça do pistão – setas a

laranja. De modo a controlar o ressalto, existe uma válvula de controlo que, quando necessário, liberta

o fluido para uma câmara de acumulação – setas a branco.

Figura 18 – Esquema de funcionamento de um dissipador do tipo viscoso

21

3.4.2.4. Força no dissipador

Nos dissipadores do tipo viscoso, a força de dissipação (F) no dissipador depende apenas da

velocidade relativa nas suas extremidades (v) e das características do dissipador. Assim, a lei

constitutiva fica definida por dois parâmetros, um relacionado com a dimensão e geometria do

dissipador – constante C – e que é, por isso, o parâmetro associado ao custo do aparelho; e outro que

depende do tipo de fluido – parâmetro alfa (α). A relação constitutiva é então a expressa em (1)

(Guerreiro, 2003).

𝐹 = 𝐶|𝑣|𝛼𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑣) (1)

Dada a dependência da força do dissipador com a variação da velocidade relativa nas suas

extremidades, percebe-se que esta é nula quando os deslocamentos da estrutura atingem os valores

máximos. De facto, quando as extremidades do dissipador atingem o deslocamento máximo a

velocidade é nula, tendo-se então uma velocidade relativa nula, e, portanto, é nula também a força no

dissipador. Relativamente à força máxima no dissipador, esta pode não coincidir com o momento de

deslocamentos mínimos absolutos, pois a velocidade relativa entre pisos pode não estar em perfeita

oposição de fase com o deslocamento.

Quanto maior for a força de dissipação no dissipador, maior é a capacidade que o dissipador tem para

dissipar energia. E como a força de dissipação varia proporcionalmente com a constante C, quanto

maior for o valor desta constante, maior é a força no dissipador, aumentando assim a energia dissipada

no dissipador.

Por outro lado, na Figura 19 apresenta-se a relação constitutiva expressa em (1), isto é, a relação força-

velocidade; e também a variação da forma do diagrama força-deslocamento para três valores diferentes

do parâmetro α (Guerreiro, 2003 - adaptado; Alga, 2015 - adaptado).

Figura 19 – Relação constitutiva dos dissipadores do tipo viscoso em função do parâmetro α - esquerda: relação força-velocidade; direita: relação força-deslocamento (Guerreiro, 2003 - adaptado; Alga, 2015 - adaptado)

Pode inferir-se que quanto menor for o valor do parâmetro α, mais o diagrama força-deslocamento

apresenta uma forma retangular. E uma vez que a área interior à curva do diagrama força-

deslocamento é a energia dissipada por ciclo (Guerreiro, 2003), quanto menor for o valor do parâmetro

α maior é a energia dissipada por ciclo num dissipador.

22

3.4.3. Viscoelásticos

Os dissipadores viscoelásticos comportam-se de forma mais complexa que os dissipadores viscosos,

uma vez que associam o comportamento de uma mola com o comportamento do dissipador. Desta

forma, a força nos dissipadores viscoelásticos depende não só da velocidade, como no caso dos

dissipadores viscosos, mas também do deslocamento elástico. Estes dissipadores são normalmente

constituídos por materiais poliméricos.

3.5. Otimização da distribuição em altura

Nos anos recentes, a problemática da otimização da distribuição em altura de dissipadores de energia

em edifícios tem vindo a ser bastante estudada (Whittle, 2011). Neste sentido, é uma área de

investigação relativamente à qual existem diversas abordagens, cada uma com hipóteses

simplificativas associadas.

É necessário entender que estas abordagens apresentam limitações, sendo por isso muito importante

entender os pressupostos que estão subjacentes a cada uma, e perceber também os casos práticos

para os quais foram realizadas análises mais detalhadas segundo cada uma dessas teorias. Desta

forma, é possível recolher informação relevante para cada problema prático, comparando esses

pressupostos com aqueles que estão na base dos de cada caso a analisar.

De facto, a complexidade na modelação do comportamento estrutural de um edifico real, tal como, por

exemplo, a consideração da estrutura com um comportamento não linear ou o grau de pormenor na

definição da geometria da mesma, depende dos resultados que se pretende obter, sendo que as

abordagens existentes também se distinguem pelas simplificações realizadas a este nível. Por

exemplo, a abordagem de Lopez-Garcia (Lopez-Garcia, 2001; Lopez-Garcia et al, 2002) apenas

revelou eficácia para estruturas com comportamento linear (Whittle, 2011). Relativamente a este

aspeto, é ainda de salientar que a utilização de métodos mais ou menos sofisticados, em termos de

exigência computacional, tem aqui um papel relevante, sendo importante aplicar meios computacionais

em função dos resultados que se pretende obter. É importante garantir que a complexidade inerente a

métodos mais sofisticados conduza a soluções em que o desempenho das estruturas seja melhor que

o dos métodos mais simples de aplicar (Whittle, 2011).

Por outro lado, relativamente à consideração da ação sísmica, há teorias que abordam técnicas de

otimização que sugerem independência da excitação do solo, ou seja, que apresentam soluções de

distribuições dos dissipadores independentemente da ação definida para o local da estrutura. Ao

contrário, há também outros métodos que indicam distribuições que variam consoante a ação sísmica.

Este facto levanta a questão da consideração ou não de dependência entre a distribuição dos

dissipadores e a excitação do solo. Ou seja, se faz sentido considerar o dimensionamento da disposição

de sistemas de dissipação que não tenha em conta as características de sismicidade local que

naturalmente afetam as estruturas.

23

Na bibliografia, encontra-se a classificação dos métodos de otimização da distribuição em altura de

dissipadores em edifícios, pela sua natureza estocástica ou determinística (Whittle, 2011). Conforme o

nome indica, as abordagens de natureza estocástica têm por base a teoria da probabilidade e, portanto,

são naturalmente mais abrangentes que os de origem determinística.

De seguida apresentam-se com maior detalhe alguns tipos de técnicas e exemplos de aplicação das

mesmas. A classificação adotada é referida por Jessica Kaye Whittle (Whittle, 2011). Na Figura 20

apresenta-se um esquema ilustrativo dos vários tipos de análises (Whittle, 2011 – adaptado).

Figura 20 – Técnicas de otimização da distribuição em altura (Whittle, 2011 - adaptado)

Em relação aos métodos determinísticos salientam-se três mais relevantes: os que se baseiam nos

princípios da teoria de controlo ótimo, os métodos de busca baseada em variações (gradient-based

search), dos quais se detalha de seguida a abordagem de Takewaki (Takewaki, 1997), e as análises

baseadas em tensões (fully stressed analysis/redesign), das quais o método de Lavan A/R é exemplo

(Whittle, 2011).

Entre outras técnicas de otimização existentes salientam-se, relativamente aos métodos de natureza

estocástica, os métodos heurísticos, dos quais se especifica de seguida o algoritmo sugerido por Lopez-

Garcia e Soong (Lopez-Garcia, 2001; Lopez-Garcia et al, 2002). Este apresenta uma abordagem de

distribuição sequencial dos dissipadores. Também se salienta, ao nível de soluções estocásticas, as

estratégias evolutivas, baseadas em algoritmos mais específicos, e que são mais exigentes

relativamente ao cálculo computacional necessário.

De seguida, pretende-se perceber melhor duas das técnicas que foram referidas anteriormente, a de

Takewaki (Takewaki, 1997) e a de Lopez-Garcia (Lopez-Garcia, 2001; Lopez-Garcia et al, 2002), e

salientar alguns dos pontos em que estas se diferenciam.

A abordagem de Takewaki (Takewaki, 1997) diverge da de Lopez-Garcia (Lopez-Garcia, 2001; Lopez-

Garcia et al, 2002), tendo, como já foi referido, como primeira diferença a natureza determinística do

primeiro, face à estocástica do segundo.

24

Por outro lado, o método sugerido por Takewaki (Takewaki, 1997) é considerado um método de busca

baseado em variações pois consiste em minimizar a função correspondente à soma das amplitudes da

função de transferência de deslocamentos diferenciais dos pisos do edifício, para um dado valor global

de amortecimento nos dissipadores. Pretende-se então minimizar a soma daquelas amplitudes, sem

recurso a um processo iterativo, pois estas são calculadas na estrutura sem dissipadores.

De forma distinta, o método de Lopez-Garcia (Lopez-Garcia, 2001; Lopez-Garcia et al, 2002) vem a

facilitar, em termos de exigência computacional, o resultado do trabalho desenvolvido por Zhang and

Soong, (Zhang et al, 1992) denominado SSA - the Sequential Search Algorithm, tendo sido este, na

altura em que foi apresentado, um grande contributo neste campo de investigação, dado a sua utilidade

prática, conforme é salientado em (Whittle, 2011).

O algoritmo simplificado de Lopez-Garcia (Lopez-Garcia, 2001; Lopez-Garcia et al, 2002), denominado

de SSSA – the Simplified Sequential Search Algorithm, é sequencial na medida em que a metodologia

se divide por etapas: no final de cada uma, acrescenta-se um dissipador à distribuição obtida na

iteração anterior, alcançando-se, no fim, o número de dissipadores igual ao total que se pretende

colocar. Tem-se, assim, um número total de iterações igual ao número de dissipadores a colocar da

distribuição ótima. Para o efeito, esta abordagem define parâmetros de otimização ao nível dos

resultados na estrutura, os quais têm em consideração o deslocamento diferencial entre pisos ou

velocidades relativas. Também foram realizados estudos (Jui-Liang Lin et al, 2014) em que o parâmetro

de controlo é uma medida da energia de dissipação. Para cada dissipador a colocar, o parâmetro de

controlo é avaliado ao fim de cada etapa para todas as posições disponíveis, sendo colocado naquela

em que este parâmetro apresenta o valor mais favorável.

Uma das principais diferenças do método de Takewaki (Takewaki, 1997) face à de Lopez-Garcia

(Lopez-Garcia, 2001; Lopez-Garcia et al, 2002) reside no facto de o primeiro explorar uma abordagem

em que a solução é independente do movimento do solo, ao contrário da solução de Lopez-Garcia que

é dependente da excitação. Este facto tem bastante importância, nomeadamente quando se pretende

extrapolar resultados para diferentes condições de movimento do solo, pelo que a abordagem de

Takewaki (Takewaki, 1997) pode ser mais atrativa. No entanto, segundo explica Jessica Kaye Whittle

(Whittle, 2011), a abordagem de Lopez-Garcia (Lopez-Garcia; Lopez-Garcia et al, 2002) é mais fácil de

aplicar, dada a sua natureza ser sequencial e possibilitar a utilização de programas de cálculo mais

simples.

É ainda importante salientar que, independentemente da abordagem adotada ou até mesmo da

disposição de dissipadores encontrada consoante cada uma das diferentes metodologias apresentadas

ou outras, o aspeto de maior relevância e interesse é a minimização dos efeitos da ação sísmica nas

estruturas, nomeadamente em termos de deslocamentos, velocidades e acelerações. Neste sentido,

salienta-se novamente, de acordo com o que já foi referido inicialmente, a importância de entender as

semelhanças entre cada um dos métodos e os pressupostos inerentes a cada um, por forma a poder

comparar diferentes resultados.

25

4. Conceitos para a metodologia de cálculo

A metodologia de cálculo proposta baseia-se na determinação de uma estimativa da energia dissipada

em cada dissipador. Para o efeito, é necessário ter o conhecimento de diversos conceitos, os quais se

descrevem de seguida, designadamente: a definição da força no dissipador e da respetiva energia

dissipada, a definição de função de transferência de velocidades, bem como o conceito de função

densidade espetral de um sinal.

Apresenta-se ainda o conceito de estrutura com comportamento tipo pórtico puro e de estrutura com

comportamento tipo parede, relativo à deformada da configuração modal do primeiro modo de vibração.

4.1. Estrutura tipo pórtico e estrutura tipo parede

Pretende-se analisar a configuração modal, correspondente ao primeiro modo de vibração, dos

edifícios com comportamento do tipo pórtico puro e do tipo parede. Seguidamente, avalia-se a

combinação destes dois sistemas, resultando numa estrutura mista pórtico-parede.

Esta análise é relevante uma vez que a aplicação de dissipadores de energia é mais eficiente quando

se maximiza a deformação nestes dispositivos, sendo por isso importante perceber as diferenças na

deformação entre cada sistema estrutural onde os dissipadores vão ser aplicados.

Nos pórticos sujeitos a cargas horizontais, os pilares e as vigas deformam-se por flexão, restringindo-

se a rotação dos pilares por imposição das vigas. Então, conforme se indica na Figura 21 o

deslocamento entre pisos, ou seja, o acréscimo de deslocamento de um piso relativamente ao piso

imediatamente abaixo, apenas depende da força de corte global ao nível da base de cada piso, sendo

que esta diminui em altura, sob o efeito da ação sísmica.

Desta forma, o deslocamento entre pisos em edifícios com comportamento tipo pórtico puro é apenas

função das forças de corte ao nível da base dos pisos, sendo por isso independente da deformação

nos restantes pisos. Por outro lado, uma vez que a força de corte diminui em altura, o deslocamento

entre pisos nos pórticos também diminui em altura. Na Figura 21 ilustra-se a configuração modal média

do primeiro modo de vibração de uma prumada de pilares.

A deformação das paredes é por flexão, conforme se ilustra na Figura 22. Uma vez que nos edifícios

com comportamento de parede, a rotação dos pisos aumenta em altura, o deslocamento entre pisos

também aumenta, evidenciando-se assim a diferença entre o que acontece no caso anterior do edifício

tipo pórtico. Na Figura 22 apresenta-se a deformada média correspondente ao primeiro modo de

vibração de uma parede.

26

Figura 21 – Edifício tipo pórtico – esquerda: deformada; centro: deslocamentos entre pisos num alinhamento vertical de pilares; esquerda: deformada média (Lopes et al, 2008 – adaptado)

Figura 22 – Edifício tipo parede – esquerda: deslocamentos entre pisos; direita: deformada média

Os edifícios correntes são sistemas mistos pórtico-parede, onde o comportamento é intermédio entre

o de pórtico e o de parede, devido ao funcionamento conjunto dos pilares e das paredes.

De facto, em edifícios de betão armado, ao se assumir que as lajes são rígidas no próprio plano, admite-

se que os deslocamentos horizontais, ao nível de cada piso, têm o mesmo valor em cada um dos

elementos. Então, dado que nas paredes, contrariamente ao que acontece nos pilares, o deslocamento

relativo aumenta em altura, percebe-se que, para o estabelecimento desta condição de compatibilidade

numa estrutura mista, a parede impõe que os deslocamentos no pórtico aumentem em altura; e o pilar

impõe que os deslocamentos na parede diminuam em altura.

27

Desta forma, sabe-se à partida que o máximo deslocamento relativo numa estrutura mista pórtico-

parede acontece para uma localização intermédia entre a base e o topo.

Se o sistema for predominantemente constituído por pilares, o valor máximo do deslocamento relativo

será mais perto dos pisos inferiores, enquanto que, no caso de um edifício com grande número de

paredes, o deslocamento relativo máximo será nos pisos superiores.

Uma vez que a energia dissipada nos dissipadores, ligados aos pisos do edifício, se deve ao movimento

relativo entre os pisos, desta análise resulta que:

Num edifício tipo pórtico puro, a energia dissipada é máxima na base do edifício e os

dissipadores devem ser colocados nos pisos inferiores.

Num edifício tipo parede, a energia dissipada é máxima no topo do edifício e os dissipadores

devem ser colocados nos pisos superiores.

Num edifício com comportamento misto pórtico-parede, a energia dissipada é máxima para

locais intermédios entre a base e o topo, e os dissipadores devem ser colocados em pisos

intermédios; tanto mais para o topo do edifício, quanto maior for a predominância do

comportamento tipo parede.

4.2. Energia dissipada no dissipador viscoso

Um dissipador do tipo viscoso apresenta a seguinte relação força-velocidade, definida na equação (2),

𝐹 = 𝐶|𝑣|𝛼𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑣) (2)

em que v representa a velocidade relativa entre as extremidades do dissipador; e C e α são constantes

que dependem, respetivamente, das características geométricas e do tipo de fluido do dissipador. Ao

se considerar α=1 assume-se um comportamento linear entre a força e a velocidade no dissipador.

Para um determinado valor de α constante e um dado instante de tempo, é a variação da constante C

que faz variar a força no dissipador.

A energia dissipada por ciclo é dada pela área interior à curva do gráfico força-deslocamento para um

ciclo completo (Guerreiro, 2003). Na Figura 23 apresenta-se a relação força-deslocamento para o

conjunto de vários ciclos.

Figura 23 – Relação força-deslocamento num dissipador viscoso

28

Velocidade relativa nas extremidades do dissipador

Uma vez que a força é proporcional à velocidade para α=1, tem-se que a energia dissipada para um

um ciclo é dada pela equação (3) seguinte:

𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 = ∫ 𝐹𝑑𝑥 = 𝐶 ∫ 𝑣𝑑𝑥

𝐿

0

𝐿

0

(3)

E tendo também a relação expressa em (4):

𝑣 =

𝑑𝑥

𝑑𝑡→ 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑡 (4)

A equação (3) reescreve-se na equação (5), mudando para o integral na variável tempo

𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 = 𝐶 ∫ 𝑣. 𝑣 𝑑𝑡

𝑇

0

(5)

Pelo que, se tem na equação (6), que a energia dissipada por ciclo é dada por:

𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 = 𝐶 ∫ 𝑣2 𝑑𝑡

𝑇

0

(6)

Percebe-se assim que a grandeza que define uma medida da energia dissipada num dissipador com

comportamento linear é a variação no tempo do quadrado da velocidade relativa entre as extremidades

do dissipador.

4.3. Função de transferência

Entende-se por função de transferência de uma determinada grandeza física, a função complexa que

permite relacionar os valores representativos de uma ação com os dessa grandeza física, ou seja, a

função de transferência relaciona a ação com uma dada resposta relativamente a essa ação.

Sendo essa ação a ação sísmica, a função de transferência contém assim muita da informação

relevante em termos do comportamento dinâmico de uma estrutura com comportamento linear.

Define-se de seguida a função de transferência para deslocamentos - também denominada por função

recetância (Proença et al, 1999) e de velocidades – também designada por função mobilidade (Proença

et al, 1999) - quando uma estrutura de vários graus de liberdade é sujeita a uma excitação harmónica.

Na equação (7) apresenta-se a definição da excitação do tipo harmónico, em que w é a frequência

angular do movimento imposto e a constante A é a amplitude máxima.

��𝑠(𝑡) = 𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (7)

29

A resposta em regime permanente (solução geral da equação homogénea) a esta excitação é dada

pela solução genérica expressa pela equação (8), em que a constante X é a amplitude máxima da

resposta (Proença et al, 1999).

𝑥𝐺(𝑡) = 𝑋𝑒𝑖𝑤𝑡 (8)

Define-se então na equação (9), a equação de equilíbrio dinâmico em termos de coordenadas

generalizadas para um dado modo de vibração n, após aplicação das condições de ortogonalidade

(Clough, 1995) às matrizes de massa e rigidez e normalização (Clough, 1995) em relação à matriz de

massa (Proença et al, 1999; Guerreiro, 1999a).

𝑥��𝑛(𝑡) + 2𝜉𝑝𝑛��𝐺𝑛

(𝑡) + 𝑝𝑛2𝑥𝐺𝑛

(𝑡) = −𝐹𝑃𝑛��𝑠(𝑡) = −𝐹𝑃𝑛𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (9)

As condições de ortogonalidade permitem desacoplar a contribuição dos diferentes modos de vibração

de um dado sistema estrutural, transformando-o na sobreposição de um conjunto de sistemas de um

grau de liberdade, resultando daí a definição de um fator de participação modal de cada modo (FPn).

A normalização relativamente à matriz de massa permite obter um conjunto de sistemas de um grau

de liberdade em que as variáveis a definir são diretamente o coeficiente de amortecimento da estrutura

(ξ) e a frequência angular não amortecida do modo de vibração n (pn).

a) Função de transferência de deslocamentos

Para um modo de vibração genérico n a equação (8) é reescrita na equação (10) seguinte, tendo por

base a definição de função de transferência de deslocamentos em coordenadas generalizadas.

𝑥𝐺𝑛(𝑡) = 𝑯𝒏

𝒅𝒆𝒔𝒍��𝑠 = 𝐻𝑛𝑑𝑒𝑠𝑙𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (10)

E então, derivando a equação anterior, a velocidade e a aceleração são dadas pelas equações (11) e

(12), respetivamente:

𝑥��𝑛(𝑡) = 𝐻𝑛

𝑑𝑒𝑠𝑙𝑖𝑤𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (11)

��𝐺𝑛(𝑡) = −𝐻𝑛

𝑑𝑒𝑠𝑙𝑤2𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (12)

Pelo que se obtém na equação (13) a função de transferência de deslocamentos para um dado modo

de vibração genérico n, substituindo em (9) as equações anteriores e simplificando a equação em

ordem ao valor da função de transferência.

𝐻𝑛

𝑑𝑒𝑠𝑙 = −𝐹𝑃𝑛

(𝑝𝑛2 − 𝑤2) − (2𝜉𝑝𝑛𝑤)𝑖

(𝑝𝑛2 − 𝑤2)2 + (2𝜉𝑝𝑛𝑤)2

(13)

Na Figura 24 ilustra-se a forma do gráfico do quadrado do módulo da função de transferência de

deslocamentos para um modo de determinada frequência, representando-se também o efeito da

variação do coeficiente de amortecimento na forma da função.

30

Figura 24 – Função de transferência de deslocamentos para diferentes valores de amortecimento

Na Figura 24 evidenciam-se os seguintes aspetos relativos à função de transferência:

A função de transferência apresenta um valor de pico em torno da vizinhança próxima da frequência

própria.

Para níveis de amortecimento mais elevados a função de transferência apresenta valores de pico

menos pronunciados.

b) Função de transferência de velocidades

Para um modo de vibração genérico n define-se na equação (14) a função de transferência de

velocidades em coordenadas generalizadas.

��𝐺𝑛(𝑡) = 𝑯𝒏

𝒗𝒆𝒍��𝑠 = 𝐻𝑛𝑣𝑒𝑙𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (14)

Pelo que, integrando a equação anterior e derivando-a obtém-se, respetivamente, a solução em termos

de deslocamentos e velocidades, conforme se indica em (15) e (16).

𝑥𝐺𝑛

(𝑡) = 𝐻𝑛𝑣𝑒𝑙

𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡

𝑖𝑤 (15)

��𝐺𝑛(𝑡) = 𝐻𝑛

𝑣𝑒𝑙𝑖𝑤𝐴𝑒𝑖𝑤𝑡 (16)

Então, reescrevendo a equação (9) em ordem à função de transferência de velocidades, obtém-se na

equação (17) a função de transferência de velocidades para um dado modo de vibração genérico n.

𝐻𝑛

𝑣𝑒𝑙 = −𝐹𝑃𝑛

−(2𝜉𝑝𝑛𝑤2) − 𝑤 (𝑝𝑛

2 − 𝑤2)𝑖

(𝑝𝑛2 − 𝑤2)2 + (2𝜉𝑝𝑛𝑤)2

(17)

31

Por observação das expressões atrás deduzidas, confirma-se que a função de transferência contém as

características fundamentais de uma estrutura, nomeadamente, frequência de vibração e

amortecimento. A massa da estrutura está também implícita na dedução, salientando-se que devido à

normalização relativamente à massa não é um parâmetro explícito. Pela mesma razão, a rigidez da

estrutura é representada pela frequência de vibração. Percebe-se então que a função de transferência

é uma função que apenas depende de características intrínsecas da estrutura e que, portanto, não é

dependente da ação em causa.

A relação expressa em (18) define a resposta nos graus de liberdade da estrutura para um dado modo

de vibração genérico n.

{𝑥𝑛} = {𝜙𝑛}𝑥𝐺𝑛 (18)

Tendo-se assim nas expressões (19) e (20), respetivamente, o deslocamento e a velocidade de um

grau de liberdade genérico i em função da excitação do solo.

𝑥𝑛𝑖= ф𝑛𝑖

𝑥𝐺𝑛= ф𝑛𝑖

𝐻𝑛𝑑𝑒𝑠𝑙��𝑠 → 𝑥𝑖 = ∑ф𝒏𝒊

𝑯𝒏𝒅𝒆𝒔𝒍��𝑠 = 𝑯𝒊

𝒅𝒆𝒔𝒍��𝑠

𝒏

(19)

��𝑛𝑖= ф𝑛𝑖

��𝐺𝑛= ф𝑛𝑖

𝐻𝑛𝑣𝑒𝑙��𝑠 → ��𝑖 = ∑ф𝒏𝒊

𝑯𝒏𝒗𝒆𝒍��𝑠 = 𝑯𝒊

𝒗𝒆𝒍��𝑠

𝒏

(20)

Então, para cada grau de liberdade genérico i, ou seja, associado ao movimento de um dado piso, tem-

se na equação (21) e na equação (22), a contribuição dos vários modos de vibração para a função de

transferência de deslocamentos relativos entre pisos e velocidades relativas entre pisos,

respetivamente.

Nestas expressões, o fator que contém a diferença entre os valores da configuração modal indica

precisamente a contribuição da posição do piso para o qual se calcula a função de transferência e o

piso imediatamente abaixo, obtendo-se assim os valores relativos das referidas grandezas.

𝑯𝒊

𝒅𝒆𝒔𝒍𝒓𝒆𝒍 = ∑(𝜙𝑛𝑖− 𝜙𝑛𝑖−1

) 𝐻𝑛𝑑𝑒𝑠𝑙 = ∑−𝑭𝑷𝒏(𝝓𝒏𝒊

− 𝝓𝒏𝒊−𝟏)

𝒏

(𝒑𝒏𝟐 − 𝒘𝟐) − (𝟐𝝃𝒑𝒏𝒘)𝒊

(𝒑𝒏𝟐 − 𝒘𝟐)𝟐 + (𝟐𝝃𝒑𝒏𝒘)𝟐

𝑛

(21)

𝑯𝒊

𝒗𝒆𝒍𝒓𝒆𝒍 = ∑(𝜙𝑛𝑖− 𝜙𝑛𝑖−1

)𝐻𝑛𝑣𝑒𝑙 = ∑−𝑭𝑷𝒏(𝝓𝒏𝒊

− 𝝓𝒏𝒊−𝟏)

𝒏

−(𝟐𝝃𝒑𝒏𝒘𝟐) − 𝒘 (𝒑𝒏

𝟐 − 𝒘𝟐)𝒊

(𝒑𝒏𝟐 − 𝒘𝟐)𝟐 + (𝟐𝝃𝒑𝒏𝒘)𝟐

𝑛

(22)

E em que o termo FPn é o fator de participação de um dado modo de vibração genérico n, e é dado pelo

integral da equação (23), para sistemas contínuos, e pelo somatório da equação (24), para sistemas

discretos. Nestas expressões h é a altura total do edifício e j é o número total de graus de liberdade; m

é massa da estrutura por metro linear e Mi é a massa associada ao grau de liberdade i.

𝐹𝑃𝑛 =

∫ 𝜙𝑛𝑚ℎ

𝑜𝑑𝑥

∫ 𝜙𝑛2𝑚

ℎ

𝑜𝑑𝑥

(23)

𝐹𝑃𝑛 =

∑ 𝜙𝑛𝑖𝑀𝑖

𝑗𝑖=1

∑ 𝜙𝑛𝑖2 𝑀𝑖

𝑗𝑖=1

(24)

32

4.4. Função de densidade espectral de um sinal

Para um dado sinal variável no tempo (X(t)), define-se a função de densidade espectral como a função

Transformada de Fourier da Função de autocorrelação dessa variável (Guerreiro, 2011a). Em termos

práticos, a função densidade espectral é uma grandeza representada no domínio da frequência (Sx(w)),

em que, para um dado intervalo infinitesimal, a área sob a curva nesse intervalo é uma medida da

energia associada à frequência central do intervalo (Guerreiro, 2011a).

Como as unidades de densidade espectral são unidades iguais ao quadrado das unidades do sinal por

unidade de frequência, se o sinal for um registo de acelerações, as unidades de densidade espectral

são, para uma massa unitária, unidades de potência. Neste caso, e como se passará a designar no

presente trabalho para o caso da ação sísmica, dá-se então o nome de densidade espectral de

potência, ou simplesmente espectro de potência, à função densidade espectral do sinal.

O valor esperado do quadrado do sinal a que está associado o espetro de potência é dado pela área

total sob a curva do espectro de potência, o que, matematicamente, se descreve na equação (25)

(Azevedo, 1996)

𝐸[𝑋2(𝑡)] = ∫ 𝑆𝑥(𝑤)𝑑𝑤

+∞

−∞

(25)

4.5. Espectro de potência da resposta

É possível obter o espectro de potência de uma grandeza em resposta (Sresposta(w)) a uma dada ação

dinâmica, tendo-se previamente definido o módulo da função de transferência (|H(w)|) entre a variável

que define essa excitação e a resposta a analisar, bem como o espectro de potência da ação (Sação(w)).

Essa relação é traduzida na equação (26) (Guerreiro, 2011a).

𝑆𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎(𝑤) = |𝐻(𝑤)|2𝑆𝑎𝑐çã𝑜(𝑤) (26)

Nesta relação fica explícita a influência da ação na amplificação ou na redução da resposta, ou seja,

que os efeitos na resposta não dependem unicamente de características da estrutura, tais como a

rigidez, a massa e o amortecimento, contempladas na função de transferência.

De facto, os modos para as quais a resposta é máxima resultam da influência conjunta destas

características da estrutura com o efeito da amplificação para as frequências em que a ação sísmica é

predominante.

Da mesma forma que anteriormente, ao se aplicar a equação (25) ao espetro de potência da resposta,

obtém-se o valor esperado do quadrado da grandeza que se está a avaliar no espetro de potência da

resposta.

33

Medida da energia dissipada nos dissipadores

Anteriormente percebeu-se que o parâmetro que representa a medida da energia dissipada num

dissipador é o quadrado da velocidade relativa entre as extremidades do dissipador. Concluiu-se

também que o valor esperado do quadrado da grandeza que se avalia através do espetro de potência

da resposta é dado pela equação (25).

Tendo ainda em consideração o objetivo, para a metodologia aqui abordada, de maximizar a energia

dissipada nos dissipadores, os quais têm as suas extremidades ligados nos pisos do edifício, conclui-

se:

O espetro de potência da resposta relevante nesta metodologia é o espetro de potência da resposta

em velocidades relativas entre as extremidades dos dissipadores, salientando-se ainda que este

espetro de potência resulta da aplicação da equação (26), recorrendo-se à função de transferência

da estrutura para velocidades relativas entre pisos.

Da aplicação da expressão (25) para este espetro de potência da resposta resulta então o valor

esperado do quadrado da velocidade relativa entre as extremidades dos dissipadores, ou seja,

resulta o valor esperado da grandeza que representa a energia dissipada nos dissipadores.

De acordo com a metodologia proposta, os dissipadores serão colocados preferencialmente nos locais

onde a previsão da energia dissipada é máxima, e em que a estimativa da energia dissipada é feita, tal

como foi atrás referido, através do resultado da expressão (25) aplicada ao espetro de potência da

resposta em velocidades relativas entre pisos.

A estimativa da energia dissipada tem em consideração dois fatores distintos: por um lado, as

características dinâmicas da estrutura sem dissipadores; por outro lado, as condições de sismicidade

do local onde se encontra o edifício. E é, na prática, tal como é ilustrado na Figura 25, a área sob a

curva do espetro de potência da resposta em velocidades relativas entre pisos.

Figura 25 – Relação entre a área sob a curva do espetro de potência da resposta (em velocidades relativas) e a medida da energia dissipada

34

Assim sendo, foi calculado o valor esperado do quadrado da velocidade relativa entre pisos para todas

as localizações possíveis, sendo posteriormente feita a ordenação destes valores. Os dissipadores

serão colocados nos locais que apresentem valores mais altos desta grandeza.

Faz-se notar que se pressupõe, nesta abordagem, que a melhor distribuição dos dissipadores (para

um número fixo de dissipadores a colocar) não sofre influência do próprio comportamento dos

dissipadores, ou seja, assume-se que para o comportamento geral da estrutura que define quais os

pisos a incluir na distribuição ótima de dissipadores, apenas o comportamento estrutural do próprio

edifício é relevante. Desta forma a distribuição ótima de dissipadores em altura é obtida tendo em conta

as características da estrutura sem dissipadores.

Comportamento não linear

Salienta-se que esta metodologia foi deduzida para o caso da estrutura com comportamento linear,

tanto ao nível do edifício (resultado da aplicação da função de transferência da estrutura), como ao

nível do comportamento presente na relação força-velocidade dos dissipadores (α=1,0).

Por um lado, faz sentido analisar a estrutura com base no seu comportamento em fase linear dado que

com dissipadores de energia se evita que a estrutura atinja deformações ao nível do comportamento

não linear.

Por outro lado, é também de esperar que o comportamento não linear do dissipador não venha a

provocar alterações quanto ao ser a velocidade relativa entre as extremidades do dissipador a

característica física da estrutura determinante da energia dissipada por piso. Ainda que a medida da

energia dissipada não dependa exatamente do quadrado da velocidade relativa, faz sentido assumir

que a medida da energia continue a depender, em termos relativos e para efeitos de ordenação dos

valores, apenas da velocidade relativa e não de outra grandeza. Espera-se por isso que a ordenação

dos pisos por ordem de quantidade de energia dissipada no dissipador desse piso também não seja

influenciada pelo comportamento não linear do dissipador.

35

5. Metodologia de cálculo

Apresenta-se de seguida a metodologia de cálculo proposta, que tem por base os conceitos teóricos

explicados, e que foi aplicada nos casos de estudo apresentados no capítulo 6.

As várias etapas permitem a obtenção da distribuição ótima de dissipadores segundo esta abordagem,

bem como a avaliação do desempenho face ao sismo, relativamente aos efeitos na estrutura e possível

redução dos custos nos dissipadores.

5.1. Obtenção da distribuição ótima

Pretende-se obter a melhor distribuição de dissipadores pelos pisos de um edifício alto. Como a

metodologia proposta tem por base a determinação do espetro de potência da resposta em velocidades

relativas entre pisos, que pressupõe a definição da função de transferência de velocidades relativas e

também o espetro de potência da ação, as três principais etapas segundo esta abordagem são:

Estabelecer as características dinâmicas da estrutura para a definição da função de transferência

de cada piso.

Definir a ação atuante na estrutura, em termos do espetro de potência correspondente.

Avaliar a energia dissipada por piso tendo por base a função do espetro de potência da resposta

de cada piso.

Seguidamente, descreve-se com detalhe cada uma destas etapas, sendo de notar que os valores

destas três variáveis, isto é, da função de transferência, do espetro de potência da ação e do espetro

de potência da resposta, são definidos para uma dada gama de frequências, apresentando valores

reduzidos para frequências muito elevadas. Os modos de vibração a considerar são os modos de

vibração da estrutura mais relevantes, tendo em conta também os que abranjam os valores de

frequência para os quais os valores do espetro de potência da ação têm significado.

1) Definição da função de transferência

A expressão da função de transferência de velocidades relativas de cada piso i, equação (22), transcrita

novamente em (27), salienta todos os parâmetros a especificar, para um determinado nível e

amortecimento da estrutura (𝜉), que se descrevem de seguida.

𝐻𝑖

𝑣𝑒𝑙𝑟𝑒𝑙 = ∑−𝑭𝑷𝑛(𝝓𝑛𝑖− 𝝓𝑛𝑖−1

)

𝑛

−(2𝜉𝒑𝑛𝑤2) − 𝑤 (𝒑𝑛

2 − 𝑤2)𝑖

(𝒑𝑛2 − 𝑤2)2 + (2𝜉𝒑𝑛𝑤)2

(27)

36

Configurações modais e posição dos dissipadores

Para estabelecer a função de transferência de cada piso, é necessário determinar as configurações

modais dos nós de extremidade de cada dissipador. Percebe-se que a função de transferência resulta

da diferença do valor do deslocamento modal entre dois graus de liberdade adjacentes, isto é, a função

de transferência é definida para cada piso, e os seus valores resultam da contribuição da diferença de

deslocamento entre a extremidade do dissipador num dado piso para o qual se calcula a função de

transferência e a extremidade assente no piso imediatamente abaixo, e que portanto os valores da

configuração modal a considerar correspondem apenas aos dos níveis dos pisos.

Se os elementos verticais não forem axialmente indeformáveis ou os dissipadores apresentarem

inclinações diferentes por piso, é necessário obter não só as componentes horizontais (фh), mas

também as componentes verticais (фv) das configurações modais, por forma a ter em conta a inclinação

dos dissipadores com a horizontal (Θ).

Isto deve-se ao facto de que ao considerar o dissipador como um elemento que apenas deforma

axialmente, a direção que efetivamente dissipa energia passa a ser a direção do próprio dissipador e

não a direção horizontal. Contundo, este efeito pode ser ignorado no caso de não haver deslocamentos

verticais e os dissipadores apresentarem a mesma inclinação em todos os pisos, uma vez que a

componente horizontal da configuração modal e a da direção do dissipador (фd) são proporcionalmente

iguais em todas as extremidades dos dissipadores, na razão da constante cosΘ. Este efeito é ilustrado

na Figura 26.

Figura 26 – Componente da configuração modal na direção do dissipador – esquerda: com deslocamentos verticais; direita: sem deslocamentos verticais

Desta forma, no caso de ser necessário considerar este efeito tem-se então de determinar cada vetor

de deslocamento modal e calcular a parcela deste vetor segundo a direção do dissipador. Tendo as

componentes horizontais e verticais da configuração modal, pode-se proceder da forma como se

esquematiza na Figura 27 e respeitando as expressões (28), (29) e (30).

37

Figura 27 – Decomposição do vetor da configuração modal na parcela segundo a direção do dissipador

ф 𝑖𝑟𝑒𝑙 = (фℎ

𝑖 −фℎ𝑖−1)𝑒 ℎ + (ф𝑣

𝑖 −ф𝑣𝑖−1)𝑒 𝑣 (28)

𝜆 𝑑 =

(𝐻𝑖 − 𝐻𝑖−1)𝑒 ℎ + (𝑉𝑖 − 𝑉𝑖−1)𝑒 𝑣

√(𝐻𝑖 − 𝐻𝑖−1)2 + (𝑉𝑖 − 𝑉𝑖−1)2 (29)

ф𝑑𝑖

𝑟𝑒𝑙 = ф 𝑖𝑟𝑒𝑙 . 𝜆 𝑑 =

(фℎ𝑖 −фℎ

𝑖−1)(𝐻𝑖 − 𝐻𝑖−1) + (ф𝑣𝑖 −ф𝑣

𝑖−1) (𝑉𝑖 − 𝑉𝑖−1)

√(𝐻𝑖 − 𝐻𝑖−1)2 + (𝑉𝑖 − 𝑉𝑖−1)2 (30)

Tendo em consideração o valor do deslocamento relativo de um piso i para um dado modo de vibração,

expresso em (30), a função de transferência de velocidades relativas entre pisos fica então expressa

na equação (31).

𝑯𝒊

𝒗𝒆𝒍𝒓𝒆𝒍 = ∑−𝑭𝑷𝒏 ф𝒅𝒊

𝒓𝒆𝒍

𝒏

−(𝟐𝝃𝒑𝒏𝒘

𝟐) − 𝒘 (𝒑𝒏𝟐 − 𝒘𝟐)𝒊

(𝒑𝒏𝟐 − 𝒘𝟐)𝟐 + (𝟐𝝃𝒑𝒏𝒘)𝟐

(31)

Frequências próprias e fatores de participação modal

Os fatores de participação modal a considerar são os que são associados à direção da ação imposta,

sendo necessário ainda definir as frequências próprias do modelo.

2) Definição do espetro de potência da ação

É necessário especificar o espetro de potência da ação. Para o efeito, pode-se recorrer ao espetro de

resposta regulamentar da ação em causa. Ao se utilizar a definição presente na regulamentação

portuguesa (NP EN1998-1) é necessário especificar o tipo de sismo, o tipo de solo e a localização da

estrutura.

De seguida, é necessário estimar o espetro de potência associado a este espetro de resposta,

recorrendo-se a um processo iterativo na sua estimativa. Este método iterativo baseia-se na sucessiva

correção de um espectro de potência inicialmente estimado (Guerreiro, 2011a). Para efetuar estas

correções comparam-se os valores do espectro de resposta associado ao espectro de potência obtido

em cada iteração com o espectro de resposta que se definiu inicialmente. Estão tabelados (Guerreiro,

2010) os valores do espetro de potência para quatro tipos diferentes, consoante as características do

sismo em causa, designadamente o tipo de sismo e o tipo de solo.

38

3) Avaliação da energia dissipada

3.1. Determinação do espetro de potência da resposta

A determinação do espetro de potência da resposta de cada piso baseia-se na aplicação direta da

expressão (26) do capítulo 4.

3.2. Estimativa da medida da energia dissipada e ordenação dos valores

A cada espetro de potência da resposta de um dado piso aplica-se a expressão (25) do capítulo 4,

obtendo-se a medida da energia dissipada por piso e gráficos como o representado na Figura 28.

Para finalizar, para a determinação da distribuição ótima de dissipadores é necessário ordenar estes

valores, do maior ao menor, estabelecendo assim a ordem preferencial de colocação dos dissipadores.

Desta forma, conforme ilustrado também na Figura 28, sabendo quantos dissipadores a colocar na

distribuição ótima (definindo-se, por exemplo, um único dissipador por piso), ficam identificadas as

melhores posições de colocação dos dissipadores. No exemplo representado na Figura 28, tendo-se

optado por considerar somente cinco dissipadores, eles são preferencialmente colocados nos pisos 3

a 7.

Figura 28 – Exemplo ilustrativo dos valores da energia dissipada por piso e da distribuição ótima correspondente

5.2. Avaliação do desempenho

Tendo assumido a distribuição ótima de dissipadores em altura segundo a abordagem em estudo, é

importante avaliar os seus resultados ao nível do desempenho das estruturas.

Importa desde já salientar duas condições subjacentes a esta abordagem:

Assumiu-se que para cada distribuição de dissipadores, estes são iguais em todos os pisos.

Percebe-se que o custo dos dissipadores aumenta com as dimensões dos mesmos. Nesta

abordagem assumiu-se esta relação como aproximadamente linear. Desta forma, como a

constante C do dissipador é a característica que tem em conta a geometria do mesmo, assume-se

que o custo de um dissipador varia linearmente com a constante C de cada dissipador.

39

É necessário perceber que ao se assumir que o custo dos dissipadores varia linearmente com a

constante C de cada um, o valor do custo total (Ctot) está associado ao somatório dos valores das

constantes C no número total de dissipadores (N), o que, uma vez que todos os dispositivos aplicados

numa dada distribuição são iguais entre si, é dado pela expressão (32).

𝐶𝑡𝑜𝑡 = 𝑁 × 𝐶 (32)

Desta forma, ao se estabelecer que os dissipadores colocados em altura são todos iguais, podendo-se

aplicar dissipadores com comportamento linear (α=1,0) ou não linear, a única variável a avaliar é a

constante característica do dissipador (C), que para cada instante de tempo e para α constante é o

parâmetro que faz variar a força máxima de dissipação no dissipador.

Apresentam-se de seguida as restantes etapas da metodologia proposta que permitem estimar a

redução do custo global dos dissipadores.

4) Definição do modelo computacional do dissipador

No presente trabalho recorreu-se ao software SAP2000, que tem um elemento de ligação do tipo

dissipador com comportamento mecânico de Maxwell, isto é, um dissipador em série com uma mola

com dada rigidez (K), ilustrado na Figura 29, e que apresenta o comportamento expresso em (33).

Figura 29 – Modelo computacional do dissipador em SAP2000

𝐹 = 𝐾𝛥𝑘 = 𝐶|𝑣|𝛼𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑣) (33)

Nos casos em estudo, a mola pretende representar o efeito do alongamento da estrutura do próprio

dissipador (𝛥𝑘), pelo que a deformação a ela associada deve ser pequena em comparação com a

deformação do dissipador onde efetivamente se dissipa a energia (𝛥𝑑). Este efeito é considerado na

estimativa da rigidez K da mola, tendo-se assumido a relação expressa em (34).

100 <

𝛥𝑑

𝛥 𝑘< 1000 (34)

5) Especificação da série de acelerogramas

A única forma de considerar o efeito dos dissipadores no edifício é através de uma análise dinâmica no

domínio do tempo, ou seja, através de integração passo-a-passo. Para tal é necessário dispor de uma

série de sismos compatível com o tipo de sismo especificado para a definição do espetro de potência

da ação.

40

Dispondo da função densidade espetral de potência representativa da ação é possível gerar um

conjunto de acelerogramas compatíveis com o sismo em causa, em que a média do conjunto de

espetros de resposta individuais, ou seja, dos espetros de resposta associados a cada acelerograma,

se deve aproximar do espetro de resposta regulamentar de partida, tal como se ilustra na Figura 30.

Figura 30 – Esquerda: espetro de resposta médio e espetro alvo (Guerreiro, 2010); direita: acelerogramas artificiais

De forma geral, cada acelerograma artificial resulta da sobreposição de várias harmónicas. Esta

sobreposição resulta da divisão do espetro de potência da ação em várias bandas. Por sua vez, as

harmónicas são calculadas tendo em consideração o valor do espectro de potência definido através do

valor espectral para a frequência central da respetiva banda (Guerreiro, 2011a).

6) Apuramento de resultados

Para a obtenção dos resultados relativos à resposta da estrutura, recorreu-se a uma análise não linear

no domínio do tempo (Time history – nonlinear – SAP2000), procedendo-se à combinação da resposta

de vários sismos de modo a obter o valor médio da resposta máxima no tempo.

6.1. Estimativa de Ctot_uni

O valor de referência do custo total utilizado nesta abordagem é o da distribuição uniforme (Ctot_uni).

Esta distribuição é constituída por um dissipador em todos os pisos.

Este valor é estabelecido por forma a que a estrutura cumpra um determinado nível de desempenho,

como por exemplo um certo nível de deslocamento num ponto específico da estrutura. Este nível de

desempenho deve corresponder a uma melhoria face ao valor da mesma grandeza na estrutura sem

dissipadores (Ctot=0).

O valor do nível de desempenho indicado constitui o parâmetro de resposta que se tem por objetivo

alcançar (Robjetivo) também na distribuição ótima de dissipadores. É então necessário definir Robjetivo, ou

seja, o objetivo de referência.

41

Em suma, Robjetivo é então o valor que se pretende alcançar para um determinado parâmetro de resposta

da estrutura, avaliado inicialmente na distribuição uniforme, e que apresenta o custo Ctot_uni na

distribuição uniforme.

Conforme se ilustra na Figura 31, este parâmetro Robjetivo é obtido à custa do aumento do valor de Ctot

a partir da situação da estrutura sem dissipadores.

Figura 31 – Estimativa de Ctot_uni

É ainda necessário ter em conta as seguintes situações, igualmente ilustradas na Figura 31, na

determinação de Ctot_uni:

A partir de determinado nível de Ctot pode já não compensar o aumento deste parâmetro, devido

ao reduzido melhoramento na redução da resposta da estrutura.

Na análise da resposta das estruturas sem dissipadores deve ser considerado um amortecimento

intrínseco superior ao caso das estruturas com dissipadores, por ser possível atingir naquele caso

um nível mais elevado de fendilhação.

Este facto leva a que na curva para a qual o coeficiente de amortecimento corresponde ao de uma

estrutura com dissipadores de energia (e portanto com este coeficiente de valor mais baixo), só

tenha sentido analisar soluções para valores de Ctot acima de um determinado nível. Isto é, só faz

sentido analisar soluções para valores em que efetivamente haja redução da deformação da

estrutura pela presença dos dissipadores e, assim, se obtenham valores na redução da resposta

com resultados mais favoráveis para a estrutura com dissipadores do que sem dissipadores.

42

6.2. Estimativa de Ctot_opt

Na avaliação da redução dos custos, procede-se, por último, à avaliação na distribuição ótima de

dissipadores do mesmo parâmetro Robjetivo definido anteriormente para a distribuição uniforme.

Uma vez que a distribuição ótima tem menor número total de dissipadores que a distribuição uniforme,

começa-se por aumentar o valor do custo individual de cada dispositivo de modo a se estabelecer um

valor de custo global igual ao da distribuição uniforme, ou seja, igual ao valor Ctot_uni.

O que significa que, como na distribuição ótima se tem um menor número de dissipadores, para o

mesmo valor de amortecimento global Ctot_uni, tem-se na distribuição ótima a capacidade de dissipação

de energia mais concentrada nos dissipadores que dissipam mais energia, relativamente à

concentração na distribuição uniforme. Relativamente a este aspeto, relembra-se que Ctot é o valor

associado ao somatório das constantes C de todos os dissipadores, a característica que define a força

de dissipação no dissipador para um determinado parâmetro α constante e instante de tempo.

Conforme indica o gráfico da Figura 32, é de esperar que nas referidas circunstâncias, a resposta da

estrutura seja melhorada (ponto A) relativamente ao valor de Robjetivo obtido na distribuição uniforme

(ponto a laranja). Desta forma, é também possível reduzir o valor de Ctot até se obter o valor do

parâmetro de resposta que se pretende alcançar, ou seja, igual a Robjetivo (ponto B).

É fácil de entender então que, para um determinado parâmetro de resposta, o valor de Ctot da

distribuição ótima que produz na estrutura o valor Robjetivo é o valor do custo global associado à

distribuição ótima (Ctot_opt).

Figura 32 – Estimativa de Ctot_opt

Dado que o valor de Ctot_opt deve ser inferior a Ctot_uni, reduz-se, conforme pretendido, os custos globais

dos dissipadores. E, relembrando novamente que, nesta abordagem, o custo total representa um valor

análogo à capacidade de dissipação global dos dissipadores, ao se reduzir Ctot_opt em relação a Ctot_uni

obtém-se também uma menor resultante total das forças de dissipação, conforme também se pretendia.

43

6. Descrição dos casos de estudo

Neste capítulo são apresentados os dois casos de estudo analisados. Como se recorreu ao programa

de cálculo automático de estruturas SAP2000 (CSI, 2011) para a obter as características dinâmicas

das estruturas, tem-se para os dois casos de estudo a descrição dos respetivos modelos numéricos.

Estas características serão posteriormente aplicadas na metodologia de cálculo apresentada

anteriormente, sendo que esta tem por base a formulação teórica explicada.

O objetivo geral passa pela determinação do espetro de potência da resposta em velocidades relativas

entre as extremidades dos dissipadores, para que, com base nesta informação, seja possível estimar

a energia dissipada nestes dispositivos e escolher os locais onde a energia dissipada é máxima.

Para o efeito, foi utilizado o espetro de potência da ação para um sismo tipo 1, com local em Lisboa

com solo do tipo B1. A representação gráfica e os respetivos valores do espetro de potência da ação

encontram-se no Anexo 1.

Em primeiro lugar, tem-se um caso de estudo que engloba duas estruturas simples de betão armado

que representam os casos de edifícios tipo pórtico e tipo parede puros. Uma vez que os resultados da

distribuição ótima são conhecidos à partida, devido à simplicidade estrutural que apresentam, este

primeiro caso de estudo permite validar a metodologia proposta.

Em segundo lugar, apresenta-se o caso de estudo que envolve seis pórticos planos de betão armado

com comportamento misto pórtico-parede. Tratam-se então de situações intermédias entre o

comportamento de pórtico e de parede, aumentando-se a predominância do comportamento de parede

da primeira estrutura à última. Este segundo caso de estudo permite obter conclusões para estruturas

de comportamento misto pórtico-parede.

Na análise da resposta da estrutura recorreu-se a dissipadores do tipo linear (α=1,0) e do tipo não linear

(α=0,30). O parâmetro de controlo da resposta foi o deslocamento horizontal absoluto no topo do

edifício resultante da média dos valores máximos dos deslocamentos obtidos para cada um dos

acelerogramas da série testada.

Nesta análise foi utilizada uma série de 10 acelerogramas artificiais representativa do sismo do tipo 1,

em solo do tipo B e localizado em Lisboa. Esta série de acelerogramas artificias é a apresentada no

Anexo 2, tendo-se em atenção que (Guerreiro, 2010):

A duração do sismo é 30 segundos por se ter utilizado um sismo do tipo 1.

A duração total do acelerograma é de 40 segundos para permitir um período inicial e um

período final de transição, e uma duração de sinal estacionário compatível com a imposição

regulamentar.

1 Depósitos de areia muito compacta, de seixo (cascalho) ou de argila muito rija, com uma espessura de, pelo

menos, várias dezenas de metros, caracterizados por um aumento gradual das propriedades mecânicas em profundidade (NP EN 1998-1).

44

6.1. Estruturas tipo pórtico e parede puros

No caso de estudo das estruturas tipo pórtico e parede puros, tem-se a representação de dois edifícios

de betão armado de vinte pisos, um com comportamento tipo pórtico e outro tipo parede. Foi definida

a distância entre os pisos e a frequência própria de vibração. Estas características encontram-se

resumidas na Tabela 2.

Tabela 2 – Características gerais do caso das estruturas tipo pórtico e parede

Número de pisos 20

Distância entre pisos 4 m

Frequência própria de vibração 1Hz

Tem-se por objetivo a determinação do espetro de potência da resposta em velocidades relativas entre

pisos e consequente estimativa da medida da energia dissipada nos dissipadores.

Dado que para estes dois tipos de estruturas simples a distribuição ótima de dissipadores é conhecida

à partida (pela análise da deformada da configuração modal correspondente ao primeiro modo de

vibração), com este caso de estudo é possível validar a metodologia proposta.

Na modelação das estruturas e posterior determinação das respetivas características dinâmicas teve-

se por base modelos contínuos da elastodinâmica de vigas, relativamente às equações de vibração de

barras. Tem-se então um edifício com comportamento tipo pórtico, ou seja, com um modelo

elastodinâmico apenas com deformação por corte, e outro caso de edifício tipo parede, ou seja,

somente com deformação por flexão.

Em primeiro lugar, indicam-se as características definidas nos modelos teóricos de osciladores lineares

contínuos que serviram de referência para a definição dos modelos numéricos do tipo pórtico puro e

parede. De seguida, descrevem-se os aspetos relevantes na determinação dos modelos numéricos

propriamente ditos, fazendo-se também referência aos aspetos que diferenciam os dois tipos de

edifícios.

É de salientar ainda que os elementos verticais foram considerados axialmente indeformáveis e que a

inclinação dos dissipadores é igual em todos os pisos, e que portanto é dispensado ter em consideração

a posição dos dissipadores no cálculo da função de transferência das estruturas, conforme foi

anteriormente explicado do capítulo 5.

6.1.1. Modelo teórico de referência

O modelo teórico de referência contém a formulação de osciladores contínuos necessária à definição

das estruturas tipo pórtico e parede puros. A consideração deste tipo de modelos contínuos na definição

de edifícios altos é possível porque para o mesmo valor da distância entre os pisos de um edifício, onde

se consideram concentradas as massas, este é proporcionalmente menor, quando comparado com a

altura total do mesmo, à medida que se aumenta a altura do edifício, aumentando por isso o número

45

total de pisos. Neste sentido, consideram-se as equações de osciladores lineares contínuos como

simplificação da resposta da estrutura, tanto para o edifício tipo pórtico como para o edifício parede.

De seguida é apresentada com detalhe a determinação das características dinâmicas e das

propriedades elásticas para o caso do modelo teórico, que servirá de base à modelação das estruturas.

Frequências e configuração modal

Na determinação das configurações modais do edifício utilizaram-se as equações de osciladores

lineares contínuos. Pelo que, no caso da estrutura tipo pórtico, o modelo teórico da barra apresenta

vibração transversal apenas com deformabilidade por corte, e o modelo de parede apresenta vibração

transversal com deformabilidade de flexão. Por outro lado, foi adotado, em termos de condições de

fronteira, o modelo encastrado-livre (encastrado numa extremidade e livre na outra), por ser o que

melhor representa as condições de apoio do edifício.

Obtêm-se assim as características genéricas da estrutura, designadamente, a relação entre a massa e

as propriedades elásticas como a rigidez de corte no caso do edifício tipo pórtico e a rigidez de flexão

no caso do edifício tipo parede, e também as características dinâmicas, nomeadamente as frequências

e as configurações modais genéricas de cada um destes tipos de estruturas.

Na Tabela 3 apresenta-se as frequências de vibração e configuração modal genérica para cada um

dos dois tipos de edifício, bem como as constantes necessárias à sua definição (Guerreiro, 1999b).

Tabela 3 – Características dinâmicas genéricas no modelo de referência para as estruturas tipo pórtico e parede (Guerreiro, 1999b).

Pórtico Parede

Frequências

(rad/s) pn =

(2n − 1)π

2Lc0 pn = αn

2√EI

m

Configuração

modal

genérica

u(x) = C sin (p

c0

x) u(x) = cosh(αnx)−cos(αnx) − βn(sinh(αnx) − sin(αnx))

Constantes c0 = √GA′

m

α1 =1,875

L, α2 =

4,694

L, α3 =

7,855

L, α4 =

10,996

L, … ,

α𝑛 ≅(2n − 1)π

2L

βn =cosh(αnL) + cos(αnx)

sinh(αnL) + sin(αnL)

n representa um número natural; a constante C é a amplitude

Tendo-se fixado o valor da frequência fundamental em 1 Hz, conforme se indicou no início do presente

capítulo, e tendo por base a relação entre as frequências de vibração definidas na Tabela 3 para cada

um dos tipos de edifícios, as frequências dos modos superiores ficam automaticamente determinadas.

46

Na Tabela 4 seguinte apresentam-se os valores das frequências de vibração para os dois edifícios de

vinte pisos que serviram de referência aos edifícios a estudar neste caso de estudo.

Tabela 4 – Frequências de vibração no modelo de referência para as estruturas tipo pórtico e parede

Modo Frequências (Hz)

Pórtico Parede

1 1,00 1,00

2 3,00 6,27

3 5,00 17,55

4 7,00 34,39

5 9,00 56,85

6 11,00 84,92

Massa

A massa do edifício foi atribuída por forma a apresentar valores correntes para edifícios de habitação,

tendo sido considerado para o efeito a combinação quase permanente de ações. Obteve-se o valor de

0,8 ton/m2, associado a cada piso.

Esta estimativa resulta da atribuição de um valor de carga permanente de 7 kN/m2, que tem

contabilizado o peso das vigas e dos pilares no piso, e uma sobrecarga de utilização de 2 kN/m2, para

um coeficiente de minoração da sobrecarga para a combinação quase permanente de ações (Ψ) no

valor de 0,4.

6.1.2. Modelo numérico

O modelo numérico tem por base a modelação da estrutura no programa de cálculo estrutural. Como

se pretende obter edifícios com comportamento de pórtico puro e parede, modelaram-se as estruturas

no sentido de atribuir a rigidez e a massa necessárias para que as características dinâmicas do edifício,

tanto no edifício tipo pórtico como no edifício tipo parede, sejam comparáveis com as do modelo teórico

de referência, igualando então as hipóteses assumidas em ambos, designadamente quando se adotou

os pressupostos de vibração de barras contínuas do tipo encastrada-livre.

Para se perceber melhor as estruturas em análise, apresentam-se no Anexo 3 as figuras

correspondentes aos modelos em SAP2000 tanto para o edifício tipo pórtico como para o edifício tipo

parede.

De seguida são apresentados os parâmetros necessários à determinação da função de transferência

para o caso do edifício tipo pórtico puro e parede, para posterior determinação do espetro de potência

da resposta e estimativa da energia dissipada nos dissipadores, apresentando-se alguns aspetos

considerados na modelação propriamente dita das estruturas.

47

Atribuição da massa e da rigidez

Quanto à atribuição da massa no programa de cálculo de estruturas, esta foi estabelecida no sentido

de igualar o valor global da massa neste modelo numérico com o valor no modelo teórico contínuo de

referência, ou seja, uma massa com o valor de 0,80 ton/piso.

No caso do modelo tipo pórtico, atribuíram-se massas concentradas ao nível de cada piso, sendo que,

tendo esta discretização nas massas, na passagem de um modelo contínuo em termos teóricos para

um modelo numérico discreto, é expectável que as frequências da estrutura tendam a ser inferiores

relativamente ao modelo teórico equivalente.

Tendo por base o modelo de referência, e tendo definida a massa e a frequência fundamental da

estrutura, a determinação da rigidez de corte para o edifício tipo pórtico, e da rigidez de flexão para o

edifício tipo parede, é direta, por aplicação das expressões da Tabela 3, que relacionam estas variáveis.

No entanto, de modo a obter um comportamento dinâmico comparável com o do modelo teórico de

referência, foi necessário estimar, no modelo numérico do edifício tipo pórtico, a rigidez de flexão

equivalente à rigidez por corte do modelo teórico, por terem sido adotados elementos de barra com

deformação por flexão no programa de elementos finitos.

Esta rigidez de flexão equivalente foi determinada de modo a que a força total nos dois modelos fosse

igual para um mesmo deslocamento horizontal relativo, como se ilustra na Figura 33. Por outro lado,

também foram bloqueadas as rotações dos nós de extremidade de cada pilar.

Figura 33 – Estimativa da rigidez de flexão equivalente da estrutura tipo pórtico

O valor da rigidez de flexão atribuído no caso do edifício tipo pórtico foi de 1,36 E+04 kNm2 e no caso

do edifício tipo parede foi de 2,60E+07 kNm2. No caso do modelo do edifício tipo pórtico, foi tida em

consideração a correção de rigidez devido ao efeito da discretização das massas, no sentido de que a

primeira frequência fosse de valor igual à do modelo teórico contínuo (1,0 Hz).

Por forma a obter estruturas com comportamento do tipo pórtico puro e parede, não foi considerada a

deformabilidade axial dos elementos verticais nos dois edifícios. Por outro lado, de modo a que os

deslocamentos horizontais de um dado piso sejam iguais em todos os pontos desse piso, no caso do

edifício tipo pórtico também os elementos horizontais foram considerados axialmente rígidos.

48

Frequências e configuração modal

Na Tabela 5, Tabela 6 e Tabela 7 apresentam-se os valores das frequências de vibração do edifício

para o modelo numérico, que se verifica serem semelhantes às frequências do modelo teórico de

referência, e as configurações modais para o caso de edifício tipo pórtico e parede.

Tabela 5 – Frequências de vibração das estruturas tipo pórtico e parede

Modo Frequências (Hz)

Pórtico Parede

1 0,99 0,99

2 2,99 6,21

3 4,97 17,23

4 6,92 33,32

5 8,82 54,19

6 10,68 79,40

Tabela 6 - Configurações modais do edifício tipo pórtico

Modo 1 Modo 2

Modo 3 Modo 4

Modo 5 Modo 6

49

Tabela 7 - Configurações modais do edifício tipo parede

Modo 1 Modo 2

Modo 3 Modo 4

Modo 5 Modo 6

Fator de participação modal e amortecimento inicial

Na Tabela 8 apresentam-se os valores do fator de participação modal dos modelos numéricos para o

edifício tipo pórtico e parede.

Tabela 8 – Fator de participação modal das estruturas tipo pórtico e parede

Modo Pórtico Parede

1 3,634 -3,122

2 1,207 -1,734

3 0,718 -1,019

4 0,507 -0,731

5 0,388 0,571

6 0,311 0,468

Considerou-se o valor de amortecimento inicial do edifício, a utilizar na definição da função de

transferência, ou seja, analisando a estrutura sem dissipadores, referente a uma estrutura corrente de

betão armado. Deste modo, considerou-se o valor de amortecimento inicial de 5%.

50

6.2. Estruturas mistas pórtico-parede

No presente caso de estudo pretende-se avaliar a distribuição de dissipadores em altura, fazendo variar

o comportamento da estrutura, pelo aumento do contributo do comportamento do tipo parede em

relação ao comportamento tipo pórtico.

Para o efeito, é analisado um conjunto de seis estruturas distintas de betão armado de vinte pisos cada

uma, em que a estrutura base é definida por um pórtico composto por cinco elementos de barra

verticais, cujos comprimentos dos vãos estão representados na Figura 34. Conforme se observa na

referida figura, existem dois pilares em cada uma das extremidades e um elemento central do tipo

parede. As características gerais da estrutura são apresentadas na Tabela 9.

Figura 34 – Pórtico-tipo representativo das estruturas mistas pórtico-parede

Tabela 9 – Características gerais das estruturas mistas pórtico-parede

Número de pisos 20

Distância entre pisos 4 m

Afastamento entre pórticos 5 m

Espessura das lajes 0,20 m

Betão utilizado C40/50

51

A largura do elemento central é aumentada, de forma sucessiva, para cada uma das estruturas, por

forma a aumentar o efeito da parede no comportamento global da estrutura. Este aumento é feito de

forma gradual, sendo que na primeira estrutura a analisar o elemento central apresenta a mesma

secção que os pilares exteriores, até à penúltima e última estruturas em que este elemento preenche

a totalidade dos dois vãos interiores. Na última estrutura a espessura da parede é aumentada

relativamente à espessura da parede nas estruturas anteriores. Na Tabela 10 apresentam-se as

características geométricas de cada estrutura.

Tabela 10 – Características geométricas dos elementos de cada estrutura mista pórtico-parede

Designação Pilares de extremidade Elemento central Vigas Imagem ilustrativa

Mista 1 0,80x0,80 m2 0,80x0,80 m2 0,25x0,75 m2

Mista 2 0,80x0,80 m2 2,5x0,20 m2 0,25x0,75 m2

Mista 3 0,80x0,80 m2 5,0x0,20 m2 0,25x0,75 m2

Mista 4 0,80x0,80 m2 7,5x0,20 m2 0,25x0,75 m2

Mista 5 0,80x0,80 m2 10,0x0,20 m2 0,25x0,75 m2

Mista 6 0,80x0,80 m2 10,0x1,0 m2 0,25x0,75 m2

De seguida são apresentados os parâmetros necessários para a definição completa da função de

transferência de cada uma das estruturas mistas pórtico-parede para posterior definição do respetivo

espetro de potência da resposta e estimativa da energia dissipada.

52

Especificação do material e atribuição de massa

Tendo em conta a especificação do betão, atribuiu-se o módulo de elasticidade não fendilhado

correspondente. A massa foi considerada concentrada nos nós centrais de cada piso, tendo a direção

horizontal do plano da estrutura, especificando-se por isso o peso do material como nulo.

Para cada estrutura, o valor da massa a atribuir a casa piso foi calculado assumindo que o pórtico em

análise corresponde a um pórtico interior afastado de cinco metros relativamente aos adjacentes e teve

em consideração as seguintes parcelas:

Laje

Peso próprio.

Restante carga permanente no valor de 2,0 kN/m2 correspondente a revestimento de

piso corrente de habitação (Gomes, 1997).

Parcela quase permanente da sobrecarga (Ψ=0,30) no valor de 2,0 kN/m2

correspondente a um piso corrente de habitação (NP EN1991-1)

Pilares, paredes e vigas

Peso próprio.

A massa de cada piso para cada uma das estruturas encontra-se definida na Tabela 11, percebendo-

se que devido ao aumento significativo da espessura da parede no caso da estrutura Mista 6, o

acréscimo de massa é bastante superior nesta última estrutura. Na estrutura Mista 5 há uma ligeira

diminuição da massa devido à anulação da massa dos dois pilares interiores.

Tabela 11 – Massa de cada piso para cada estrutura mista pórtico-parede

Designação Massa (103 kg)

Mista 1 110,95

Mista 2 109,51

Mista 3 114,62

Mista 4 119,71

Mista 5 111,76

Mista 6 193,31

Inclinação do dissipador

Uma vez que os elementos verticais, pilares e parede central, apresentam deformabilidade axial, teve-

se em consideração no cálculo da função de transferência a decomposição do vetor deslocamento da

configuração modal na direção do dissipador.

Os dissipadores serão colocados entre os pilares do vão exterior esquerdo, sendo, pela geometria da

estrutura, a inclinação do dissipador 45º com a horizontal, conforme se ilustra na Figura 35.

53

Figura 35 – Inclinação do dissipador nas estruturas mistas pórtico-parede

Frequências e configuração modal

Na Tabela 12 apresentam-se as primeiras três frequências de vibração do modelo numérico de cada

uma das seis estruturas mistas. Para os restantes modos de vibração as frequências encontram-se no

Anexo 4.

Tabela 12 – Primeiras frequências de vibração das estruturas mistas pórtico-parede

Frequências (Hz)

Mista 1 Mista 2 Mista3 Mista 4 Mista 5 Mista 6

Modo 1 0,44 0,56 0,71 0,81 0,91 0,91

Modo 2 1,39 1,78 2,50 3,36 4,06 4,79

Modo 3 2,51 3,29 5,05 7,48 9,61 12,56

Percebe-se que devido ao aumento significativo da massa na estrutura Mista 6 relativamente à massa

das restantes estruturas, o valor da frequência do primeiro modo de vibração nesta estrutura não

aumenta na proporção que as restantes estruturas apresentam nos valores desta frequência.

Na Tabela 13 encontram-se as respetivas configurações modais correspondentes à estrutura Mista 1.

Quanto às restantes estruturas encontram-se no Anexo 5.

Tabela 13 – Primeiras configurações modais da estrutura mista pórtico-parede – Mista 1

Modo 1 Modo 2 Modo 3

54

Fator de participação modal e amortecimento inicial

Na Tabela 14 apresenta-se o fator de participação modal dos três primeiros modos de vibração para

cada uma das seis estruturas mistas. Para os restantes modos de vibração os fatores de participação

modal encontram-se no Anexo 6.

Tabela 14 – Primeiros fatores de participação modal das estruturas mistas pórtico-parede

Mista 1 Mista 2 Mista3 Mista 4 Mista 5 Mista 6

Modo 1 -41,402 40,821 -40,475 -40,268 -38,520 49,867

Modo 2 -15,280 -16,633 18,704 -20,349 -19,846 -26,695

Modo 3 9,085 9,053 10,092 11,369 -11,370 15,627

Tal como no caso de estudo anterior, considerou-se nas estruturas mistas pórtico-parede um

amortecimento inicial equivalente a uma estrutura sem dissipadores, correspondente a um edifício de

betão armado corrente, no valor de 5%.

55

7. Resultados

Na presente secção são apresentados os resultados obtidos para cada um dos modelos analisados

nos casos de estudo das estruturas tipo pórtico e parede puros (primeiro caso de estudo), bem como

das seis estruturas mistas pórtico-parede (segundo caso de estudo).

7.1. Estruturas tipo pórtico e parede puros

Apresentam-se de seguida os resultados em termos de função de transferência para os dois edifícios

tipo pórtico e parede puros, assim como os espetros de potência da resposta, conjugando os resultados

da função de transferência com o espectro de potência da ação para o sismo tipo 1, definido no Anexo

1. Tendo por base estes resultados, apresenta-se ainda a distribuição ótima (tendo-se definido, a título

de exemplo, a colocação de dez dissipadores) obtida pela metodologia proposta para cada um dos

edifícios.

7.1.1. Função de transferência

Edifício tipo pórtico

Para o edifício tipo pórtico, apresentam-se na Figura 36 as funções de transferência de velocidades

relativas de cada piso. Na Figura 37 apresentam-se as funções de transferência de velocidades

relativas de cada piso para o caso do edifício tipo parede.

Figura 36 - Funções de transferência de velocidades relativas para o edifício tipo pórtico

56

Edifício tipo parede

Figura 37 – Funções de transferência de velocidades relativas para o edifício tipo parede

7.1.2. Espetro de potência da resposta

Na Figura 38, Figura 39 e Figura 40 apresentam-se os espetros de potência da resposta do edifício tipo

pórtico com pormenor para os dois primeiros valores de pico.

Da mesma forma, apresenta-se na Figura 41, Figura 42 e Figura 43 os espetros de potência da resposta

para o edifício tipo parede.

57

Edifício tipo pórtico

Figura 38 - Espetros de potência da resposta para o edifício tipo pórtico

Figura 39 - Espetros de potência da resposta para o edifício tipo pórtico (primeiro pico)

58

Figura 40 - Espetros de potência da resposta para o edifício tipo pórtico (segundo pico)

Edifício tipo parede

Figura 41 – Espetros de potência da resposta para o edifício tipo parede

59

Figura 42 - Espetros de potência da resposta para o edifício tipo parede (primeiro pico)

Figura 43 - Espetros de potência da resposta para o edifício tipo parede (segundo pico)

60

Tanto no caso do edifício tipo pórtico como no caso do edifício tipo parede verifica-se, conforme o

esperado, que os valores máximos da função de transferência ocorrem para as frequências de vibração

da estrutura.

Quanto aos espetros de potência da resposta, verifica-se que os valores de pico também ocorrem para

valores de frequência aproximadamente iguais aos das frequências de vibração da estrutura.

Desta forma, verifica-se não haver alteração significativa das frequências amplificadas na função de

transferência, que apenas contém as características da própria estrutura, relativamente às que são

amplificadas no espetro de potência da resposta, o qual, para além das características da estrutura,

também contém as características intrínsecas da ação (presentes no espetro de potência da ação).

7.1.3. Otimização em altura

Energia dissipada e distribuição ótima

Na Figura 44 apresenta-se os gráficos do valor da medida da energia dissipada para cada um dos

pisos, para os edifícios tipo pórtico e parede puros.

Figura 44 – Energia dissipada nos pisos da estrutura tipo pórtico e da estrutura tipo parede

61

Tendo por base o gráfico anterior apresenta-se na Figura 45, a título de exemplo, a representação

esquemática dos dez melhores pisos onde se prevê, segundo esta abordagem, que seja mais eficaz

colocar os dissipadores, para cada um dos edifícios estudados.

Figura 45 – Distribuição ótima para a estrutura tipo pórtico e para a estrutura tipo parede (dez dissipadores)

Desta análise resulta que a distribuição obtida pela metodologia proposta confirma os resultados

esperados.

No caso de um edifício com comportamento tipo pórtico puro os dissipadores devem ser colocados nos

pisos inferiores, uma vez que a deformação relativa máxima neste tipo de estruturas dá-se ao nível da

base e diminui em altura.

Quanto à estrutura com comportamento do tipo parede, a solução obtida também valida a metodologia

proposta, uma vez que neste tipo de edifícios, de forma inversa ao que acontece nos pórticos, a

configuração da deformada apresenta maiores valores de deslocamento relativo no topo da estrutura

e, portanto, os dissipadores devem ser colocados nessas posições.

62

7.2. Estruturas mistas pórtico-parede

Na presente secção apresentam-se os resultados de cada uma das seis estruturas mistas pórtico-

parede em análise. Indicam-se em primeiro lugar, a função de transferência e o espetro de potência da

resposta por piso. De seguida, apresentam-se as distribuições ótimas obtidas segundo a abordagem

adotada, bem como a avaliação da resposta da estrutura e a redução dos custos totais nos

dissipadores.

7.2.1. Função de transferência

Apresenta-se de seguida as funções de transferência de cada estrutura mista pórtico-parede,

verificando-se que, conforme o esperado, os valores máximos desta grandeza encontram-se na

vizinhança próxima das frequências de vibração das estruturas.

Devido à semelhança entre estes gráficos nas seis estruturas, apresenta-se apenas na Figura 46 esta

função para a estrutura Mista 1, sendo que as restantes se encontram no Anexo 7.

Figura 46 – Funções de transferência da estrutura mista pórtico-parede – Mista 1

63

Na contribuição dos modos de vibração superiores para a função de transferência devem ter-se em

conta dois fatores distintos:

Comportamento tipo parede face ao comportamento tipo pórtico

Considerando apenas o fator de participação modal, verifica-se que o contributo dos modos de

vibração superiores é mais importante quanto mais relevante for o comportamento tipo parede na

estrutura.

Na Tabela 15 indicam-se os valores relativos do fator de participação modal dos três primeiros

modos de vibração para cada estrutura do caso de estudo. Estes valores confirmam este efeito

dado que são sucessivamente maiores desde a estrutura Mista 1 até à estrutura Mista 6.

Tabela 15 – Comparação do fator de participação modal nas estruturas mistas pórtico-parede

Mista 1 Mista 2 Mista3 Mista 4 Mista 5 Mista 6

Modo 1 -41,402 40,812 -40,475 -40,268 -38,520 49,87

Modo 2 -15,280 -16,633 18,704 -20,349 -19,846 -26,7

Modo 3 9,085 9,053 10,092 11,369 -11,370 15,63

Modo 2/ Modo 1

(valor absoluto) 0,37 0,41 0,46 0,51 0,52 0,54

Modo 3/ Modo 1

(valor absoluto) 0,22 0,22 0,25 0,28 0,30 0,31

Localização do ponto de inflexão

Tem de se ter em consideração que o contributo dos modos de vibração mais elevados está

associado aos pisos que apresentam deslocamentos relativos elevados, o que acontece muitas

vezes na zona em que se inverte o sentido do deslocamento da configuração modal segundo a

direção do dissipador, ou seja, na zona de inflexão da configuração modal.

A título de exemplo mostra-se, na Figura 47, o caso da função de transferência das estruturas Mista

3, Mista 4 e Mista 5 e os respetivos pisos 3, piso 10 e piso 15, para o segundo e terceiro modos de

vibração.

Após a análise da configuração modal das três estruturas referidas, percebeu-se que o piso 15 é o

ponto de inflexão do segundo modo de vibração, que o piso 10 é um dos pontos de inflexão do

terceiro modo de vibração e que o piso 3 não se encontra na zona de inflexão de nenhum dos

modos de vibração referidos.

64

Figura 47 – Amplificação dos modos superiores devido à inflexão na configuração modal

A Figura 47 torna evidente que:

Na vizinhança das frequências em que o piso 15 e o piso 10 apresentam inflexão

(respetivamente, segundo e terceiro modos), os valores da função de transferência são mais

amplificados relativamente aos valores para os modos em que estes pisos não apresentam

inflexão.

O aspeto referido no ponto anterior é mais evidente no piso 10, o qual, por se localizar na zona

de inflexão do terceiro modo de vibração, apresenta os valores da função de transferência na

vizinhança próxima deste modo superiores aos valores do segundo modo de vibração (apesar

do segundo modo de vibração ter um fator de participação modal superior).

No piso 3 os valores da função de transferência são mais amplificados para a frequência do

segundo modo do que para a do terceiro modo, apenas pelo facto do fator de participação

modal do segundo modo ser superior ao do terceiro. Isto porque este piso não se encontra na

zona de inflexão de nenhum destes modos.

Nas frequências próximas do segundo modo de vibração a amplificação do piso 3 é menor que

a amplificação do piso 15, devido ao facto de o piso 15 se situar na zona de inflexão.

Nas frequências próximas no terceiro modo de vibração a amplificação do piso 3 é menor que

a amplificação do piso 10, devido ao facto de o piso 10 se situar zona de inflexão.

65

7.2.2. Espetro de potência da resposta

De seguida apresentam os espetros de potência da resposta para cada uma das estruturas mistas

pórtico-parede, resultantes do espetro de potência da ação definida no Anexo 1. A título de exemplo, e

devido à semelhança entre as curvas das seis estruturas, apenas se apresenta o espetro de potência

da resposta da estrutura Mista 1 na Figura 48. Os espetros de potência da resposta das restantes

estruturas encontram-se no Anexo 8.

Figura 48 – Espetros de potência da resposta da estrutura mista pórtico-parede – Mista 1

Os gráficos anteriores têm em conta a presença de dois efeitos: a combinação das características

dinâmicas da própria estrutura, dadas pela função de transferência; bem como as condições de

sismicidade local, dadas pelo espetro de potência da ação.

Salienta-se, no entanto, que não existe uma diferença significativa na forma que as curvas do espetro

de potência da resposta apresentam relativamente às curvas da função de transferência. Os valores

de frequência amplificados nestas duas grandezas são aproximadamente os mesmos e de valor

semelhante às frequências de vibração da estrutura. Por isso, conclui-se que as características da ação

não alteram, neste caso, as conclusões sobre os modos que têm maior contributo para a resposta

global da estrutura relativamente às conclusões obtidas através da análise da função de transferência,

que apenas contém a influência das propriedades estruturais.

Na Figura 49 apresenta-se o pormenor das curvas do espetro de potência da resposta de cada piso da

estrutura Mista 1 e Mista 6 para valores na proximidade do primeiro modo de vibração.

66

Figura 49 - Espetros de potência de resposta (primeiro modo de vibração) - cima: Mista 1; baixo: Mista 6

Conforme o esperado pela diferença na deformada da configuração modal, para este modo de vibração,

observa-se na Figura 49 que a contribuição do primeiro modo de vibração para a energia dissipada na

estrutura Mista 1 (caso extremo de estrutura com comportamento predominante do tipo pórtico) é mais

significativa nos pisos inferiores; e que na estrutura Mista 6 (caso extremo de estrutura com

comportamento predominante do tipo parede) se tem um maior contributo para pisos mais superiores.

67

7.2.3. Otimização em altura

De seguida apresentam-se os resultados da otimização em altura, quer em termos da distribuição

propriamente dita, quer relativamente à avaliação do desempenho das estruturas e da estimativa da

redução dos custos globais dos dissipadores.

7.2.3.1. Distribuição ótima

Para obtenção da distribuição ótima obteve-se, em primeiro lugar, a estimativa da energia dissipada

em cada dissipador (em cada piso) e, em segundo lugar, a ordenação destes valores de modo a obter

uma distribuição ótima com dado número total de dissipadores. Para o efeito, escolheram-se as dez

melhores posições.

Estimativa da energia dissipada

Na Figura 50, Figura 51 e Figura 52 apresentam-se os gráficos do valor da medida da energia dissipada

em cada um dos pisos, para cada uma das estruturas mistas pórtico-parede analisadas.

Mista 1

Mista 2

Figura 50 – Energia dissipada por piso na estrutura mista pórtico parede – esquerda: Mista 1; direita: Mista 2

Mista 3

Mista 4

Figura 51 - Energia dissipada por piso na estrutura mista pórtico parede – esquerda: Mista 3; direita: Mista 4

68

Mista 5

Mista 6

Figura 52 - Energia dissipada por piso na estrutura mista pórtico parede – esquerda: Mista 5; direita: Mista 6

Por observação dos gráficos anteriores, percebe-se que aumentando o contributo do comportamento

de parede na estrutura face ao comportamento tipo pórtico, existe diminuição da energia dissipada, o

que se justifica pelo facto deste tipo de estruturas se deformarem menos que as estruturas com maior

contribuição de pilares. Este resultado leva à conclusão de que o uso de dissipadores viscosos pode

ser mais eficaz em estruturas tipo pórtico do que em estruturas do tipo parede.

Distribuição ótima de dissipadores

Para cada estrutura mista pórtico-parede e tendo por base o gráfico anterior, apresenta-se, a título de

exemplo na Figura 53, a representação esquemática dos dez pisos que esta metodologia indica como

sendo as dez localizações mais eficazes das vinte possíveis para colocar os dissipadores.

Figura 53 – Distribuições ótimas para as estruturas mistas pórtico-parede (dez dissipadores)

69

Estas representações esquemáticas resultaram da ordenação dos valores da medida da energia

dissipada por piso, tendo-se posteriormente selecionado os dez pisos com maior valor desta grandeza.

Sabe-se, à partida, que o comportamento tipo pórtico puro (sem rotações nos nós) não está presente

em nenhuma das estruturas, nem mesmo na estrutura Mista 1, em que os elementos verticais são

todos pilares, devido ao facto das rotações nos nós de extremidade de cada piso não estarem

restringidas, aproximando desta forma o seu comportamento ao das estruturas reais.

Este aspeto leva a que, tal como se ilustra na Figura 53, já na estrutura Mista 1 se obtenha a colocação

de dissipadores em posições intermédias e não apenas nos primeiros pisos, como no caso da estrutura

tipo pórtico puro, e que em todas as outras estruturas, as posições de colocação dos dissipadores

sejam em pisos mais elevados, relativamente às mesmas estruturas mas com as rotações dos nós que

ligam aos pilares bloqueadas.

Por observação da Figura 53 também se percebe que existe uma tendência para a colocação de

dissipadores em posições superiores à medida que o comportamento do tipo parede é mais

predominante na estrutura. Este resultado vai ao encontro do que seria expectável, dado que o

deslocamento entre pisos é maior para posições mais altas do edifício no caso do comportamento tipo

parede estar mais presente que o comportamento tipo pórtico.

Por outro lado, a distribuição dos dissipadores não é contínua, apresentando-se uma tendência de

colocação dos dissipadores em duas zonas distintas, uma em posições mais altas e outra em posições

mais próximas do piso térreo. Este tipo de distribuição em duas zonas distintas reflete o comportamento

misto pórtico-parede da estrutura.

É de salientar, ainda, que os aspetos anteriormente referidos quanto à influência dos modos de vibração

superiores na curva da função de transferência dos vários pisos (a influência do comportamento tipo

parede face ao comportamento tipo pórtico e a localização da zona de inflexão da configuração modal)

tiveram idêntica repercussão na determinação do perfil da distribuição ótima de dissipadores.

A título de exemplo, e como se verifica pela observação da Figura 53 apresenta-se o caso do piso 10,

que faz parte da distribuição ótima de dissipadores nas estruturas Mista 4 e Mista 5.

Relembra-se que o piso 10 se localiza na zona de inflexão das estruturas Mista 3, Mista 4 e Mista 5 no

terceiro modo de vibração. Por este motivo apresenta um deslocamento relativo elevado para este

modo de vibração, o que aumenta a energia dissipada no dissipador colocado nesse piso.

Assim, e apesar da contribuição para a energia dissipada global das estruturas do deslocamento

relativo do piso 10 no segundo modo de vibração ser pouco relevante, o deslocamento relativo deste

piso fornece um contributo significativo no terceiro modo de vibração. Como consequência, este piso

faz parte do perfil da distribuição ótima de dez dissipadores nas estruturas Mista 4 e Mista 5.

Isto acontece apenas nestas duas estruturas (Mista 4 e Mista 5) e não no caso da estrutura Mista 3

uma vez que, tal como foi referido anteriormente, as duas estruturas referidas têm maior predominância

do comportamento tipo parede relativamente ao comportamento tipo parede da estrutura Mista 3. As

estruturas Mista 4 e Mista 5 recebem, por isso, um maior contributo para a energia dissipada dado pelo

70

fator de participação modal nos modos de vibração superiores do que aquele que a estrutura Mista 3

recebe. Com efeito, nestas duas estruturas, este maior contributo em termos de fator de participação

modal leva a que se reforce ainda mais o contributo já dado pelo deslocamento relativo desse piso 10,

devido à inversão de sentidos (inflexão) na deformada da configuração modal, para valores próximos

do terceiro modo de vibração.

7.2.3.2. Avaliação do desempenho

Na escolha da melhor solução em termos de dissipadores o objetivo foi reduzir o deslocamento

horizontal absoluto no topo do edifício com o menor custo possível. Salienta-se, conforme foi explicado

no capítulo 5, que o custo dos dissipadores foi avaliado através do somatório das forças de dissipação

máximas necessárias em cada um dos dissipadores. O uso do valor da força máxima no dissipador é

uma boa medida do seu custo ao se assumir que o preço destes equipamentos varia de forma

aproximadamente linear com o valor máximo deste parâmetro, o que resultou de perceber que o custo

dos dissipadores aumenta com as dimensões do mesmo.

Apresenta-se de seguida a avaliação do desempenho das estruturas mistas pórtico-parede analisadas,

apresentando-se a estimativa dos custos na distribuição ótima para cada uma das estruturas.

Definiu-se para nível de desempenho, a título de exemplo, a redução do deslocamento horizontal no

topo para 50% do valor desse deslocamento na estrutura para a situação sem dissipadores e com

amortecimento intrínseco de 2% (indicado nas legendas das figuras seguintes como “50% desloc 2%”).

Este valor é inferior ao deslocamento para a situação da estrutura sem dissipadores mas com

amortecimento intrínseco de 5% (indicado nas figuras seguintes como “Ctot=0 5%”).

Estes deslocamentos resultam do valor médio dos valores máximos dos deslocamentos obtidos através

de análises não lineares no domínio do tempo para a série de acelerogramas artificias especificada no

Anexo 2.

Na Figura 54 a Figura 59 apresentam-se os gráficos dos deslocamentos para cada tipo de dissipador,

linear (α=1,0) e não linear (α=0,3), para um dado valor de Ctot e para cada uma das três distribuições

estudadas: a distribuição de vinte pisos, ou seja, a distribuição uniforme de dissipadores, e as

distribuições ótimas correspondentes aos dez melhores e aos cinco melhores pisos.

Estes gráficos indicam também a redução do custo dos dissipadores, na medida em que se obtêm,

para o nível de desempenho acima especificado, valores de Ctot inferiores nas distribuições ótimas de

dissipadores (Ctot_opt ) face ao valor de Ctot da distribuição uniforme (Ctot_uni). Os valores destes

parâmetros são indicados nas legendas das figuras, indicando-se também o esquema das cinco

melhores e dez melhores posições de dissipadores.

71

Mista 1

Figura 54 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 1

Os resultados apresentados na Figura 54 mostram que com um custo total de 1000000 e dissipadores

lineares, é possível uma redução maior do deslocamento quando se usam apenas dez dissipadores

nas dez melhores localizações, do que aquela que é obtida com uma distribuição uniforme de

dissipadores em altura. Já com os cinco melhores dissipadores e o mesmo custo total a resposta é

menos eficaz.

É possível também verificar que com os dez melhores dissipadores, e somente com o custo de 770000,

é possível obter uma solução com desempenho semelhante á da distribuição uniforme (com custo de

1000000), representando uma redução de 23% no custo dos dissipadores.

As soluções com dissipadores não lineares revelaram sempre valores de Ctot menores. No entanto,

também no caso das cinco melhores posições não apresentaram uma redução do deslocamento maior

que a redução da distribuição uniforme em altura.

72

Mista 2

Figura 55 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 2

Mista 3

Figura 56 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 3

73

Mista 4

Figura 57 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 4

Mista 5

Figura 58 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 5

74

Mista 6

Figura 59 - Redução do custo global na estrutura mista pórtico-parede – Mista 6

Verifica-se que tirando dois casos particulares, foi conseguida a redução do custo global em todas as

estruturas mistas pórtico-parede, tanto no caso do dissipador linear como não linear, e tanto para as

cinco como para as dez melhores posições encontradas para colocar os dissipadores pelos pisos do

edifício.

No entanto, salienta-se que nas duas estruturas de comportamento extremo, ou seja, a estrutura Mista

1 e na estrutura Mista 6, a estrutura analisada com os dissipadores colocados nas cinco melhores

posições não foi capaz de reduzir o custo dos dissipadores, tendo-se por isso, para o caso particular

destas duas distribuições, pontos com níveis de deslocamento superiores ao da distribuição uniforme

com dado valor de Ctot_uni, ou seja, superiores ao nível de desempenho pretendido.

75

7.3. Análise dos resultados da redução do custo total

Indicam-se de seguida na Figura 60 e na Figura 61 os gráficos que sintetizam os valores absolutos dos

custos otimizados em relação ao custo da distribuição uniforme de dissipadores para cada uma das

estruturas mistas pórtico-parede e para o caso de dissipadores do tipo linear e não linear,

respetivamente.

Figura 60 – Valores de Ctot_uni e Ctot_opt das estruturas mistas pórtico-parede com dissipadores do tipo linear

Figura 61 – Valores de Ctot_uni e Ctot_opt das estruturas mistas pórtico parede com dissipadores do tipo não linear

76

Por observação das figuras anteriores, conclui-se que entre a estrutura Mista 1 e a estrutura Mista 4

existe uma diminuição do custo total, para o qual a estrutura apresenta o nível de desempenho

especificado. Isto significa que estas estruturas são sucessivamente mais eficientes na redução do

deslocamento para 50% do valor do deslocamento no caso da estrutura sem dissipadores e com

amortecimento de 2%.

Na estrutura Mista 5 o custo global dos dissipadores sobe ligeiramente relativamente à estrutura Mista

4, pois a parede central nesta estrutura ocupa a totalidade dos dois vãos interiores. Há por isso uma

diferença mais significativa no comportamento estrutural desta estrutura relativamente à diferença de

comportamento entre as estruturas referidas anteriormente (Mista 1 a Mista 4).

Quanto à estrutura Mista 6, pode-se ter em consideração na análise a relação entre o coeficiente de

amortecimento e o amortecimento crítico - expressão (35), em que m é a massa da estrutura e cc é o

amortecimento crítico.

𝜉 =𝑐

𝑐𝑐

=𝑐

2𝑚𝑝 (35)

Desta relação pode-se concluir que para o mesmo coeficiente de amortecimento e em duas estruturas

com aproximadamente a mesma frequência de vibração e com comportamento estrutural semelhante,

o valor da razão entre as constantes C no dissipador, por forma a alcançar um nível de desempenho

semelhante em ambas as estruturas, é proporcional à razão entre as massas das estruturas.

Desta forma, o acréscimo significativo do custo global na estrutura Mista 6 é justificado pelo aumento

significativo da massa da estrutura, devido ao aumento da espessura da parede central.

Percebe-se também que a ordem de grandeza do caso dos dissipadores do tipo linear é bastante

superior (cerca de vinte e cinco vezes mais) que no caso de aplicação de dissipadores do tipo não

linear. Isto pode indicar que a utilização de dissipadores do tipo não linear seja mais eficiente.

De seguida apresenta-se na Figura 62 a otimização em valores percentuais para cada estrutura mista

pórtico-parede, dada pela expressão (36).

𝑂𝑡𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎çã𝑜 (%) =

𝐶𝑡𝑜𝑡_𝑢𝑛𝑖 − 𝐶𝑡𝑜𝑡_𝑜𝑝𝑡

𝐶𝑡𝑜𝑡_𝑢𝑛𝑖

× 100 (36)

77

Figura 62 – Otimização (%) para cada estrutura mista pórtico-parede com dissipadores do tipo linear e não linear

Por observação da Figura 62, percebe-se que em termos percentuais não é possível estabelecer

nenhuma conclusão relativamente à variação do comportamento misto pórtico-parede, ou seja, com

maior predominância do tipo pórtico ou do tipo parede, concluindo-se apenas que os valores obtidos

se encontram todos dentro da mesma ordem de grandeza.

Observa-se ainda que a otimização em termos percentuais é sempre inferior para o caso de

dissipadores do tipo não linear, em comparação com a utilização de dissipadores do tipo linear, tendo-

se no primeiro caso reduções médias na ordem dos 13% e no segundo caso na ordem dos 20%. Esta

diferença deve-se ao facto de que, como a ordem grandeza dos valores de Ctot no caso de dissipadores

do tipo não linear é bastante inferior que no caso de serem lineares, a gama de valores possível para

otimização é também inferior.

Desta forma, apesar de em termos relativos a otimização ter parecido menos eficaz no caso de

dissipadores do tipo não linear, em valores absolutos do custo, tal como foi referido anteriormente, a

utilização deste tipo de dissipadores permitiu a obtenção de custos menores comparativamente com o

caso dos dissipadores lineares.

79

8. Conclusões

Neste capítulo é apresentada uma síntese das conclusões respeitantes ao perfil da distribuição ótima

de dissipadores e à redução do custo dos dissipadores na distribuição ótima.

Para finalizar, são tecidas algumas considerações sobre possíveis desenvolvimentos futuros relativos

ao tema.

8.1. Localização ótima de dissipadores do tipo viscoso

Conclusões gerais

A problemática da escolha dos pisos onde colocar os dissipadores de energia tem vindo a ser estudada

por vários autores, existindo metodologias de natureza determinística, como o método de Takewaki

(Takewaki, 1997) e abordagens de natureza estocástica, como o algoritmo sequencial desenvolvido

por Lopez-Garcia e Soong (Lopez-Garcia, 2001; Lopez-Garcia et al, 2002) (Whittle, 2011).

No entanto, não tem havido consenso quanto à prevalência de uma dessas metodologias de análise

sobre as restantes. Existem várias hipóteses e condições simplificativas de cada método e com

limitações específicas. A escolha do método a aplicar depende também da sua complexidade, devendo,

por isso, ter-se em consideração o caso concreto em estudo e avaliar o melhoramento que resultará

no desempenho das estruturas face a um acréscimo de complexidade (Whittle, 2011).

Na metodologia proposta chegou-se à conclusão de que o quadrado da velocidade relativa entre as

extremidades do dissipador é a grandeza que define a medida da energia a dissipar por cada

dissipador, e, com base no seu valor é possível ordenar as posições onde os dissipadores podem ser

instalados.

A estimativa da energia dissipada por dissipador é, assim, função do valor esperado do quadrado da

velocidade relativa entre os pisos onde estão ligados os dissipadores. Desta forma, tendo um único

dissipador por piso foi possível atribuir um valor da medida da energia dissipada por piso. Este valor

tem em conta não apenas as características da própria estrutura, mas também as propriedades do

sismo considerado no dimensionamento do edifício.

Estabeleceu-se, assim, que a distribuição ótima de dissipadores segundo a metodologia de cálculo

proposta corresponde às localizações entre pisos que apresentam o valor da medida da energia

dissipada mais elevado.

Na metodologia proposta a distribuição ótima de dissipadores não depende das características do

próprio dissipador. Depende apenas das características dinâmicas da estrutura, para a situação sem

dissipadores, e das características da sismicidade local. Quanto aos dissipadores, a metodologia

80

proposta depende apenas da inclinação destes com a horizontal, que deve ser condicionada pela

geometria dos pisos do próprio edifício.

Desta forma, a especificação das características dos dissipadores a aplicar e a definição do número

total de dissipadores a colocar na distribuição ótima são realizadas apenas numa fase final de

apuramento dos resultados relativos ao desempenho da estrutura na distribuição ótima.

Casos de estudo

Foram analisados dois casos de estudo: um primeiro caso que engloba um edifício tipo pórtico puro e

um edifício tipo parede; e um segundo caso relativo a seis pórticos planos diferentes com

comportamento misto pórtico-parede.

Os resultados do primeiro caso de estudo permitiram validar a metodologia proposta. Enquanto que os

resultados do segundo caso foram eficazes na avaliação das diferenças na distribuição ótima

correspondentes à variação do comportamento da estrutura entre o comportamento tipo pórtico,

comportamento misto com predominância de pórtico, comportamento misto com predominância de

parede e comportamento de parede.

Os resultados do segundo caso de estudo evidenciaram que a distribuição ótima de dissipadores (para

um dado número de dissipadores a colocar) depende tanto do valor do deslocamento relativo nas suas

extremidades, como do valor do fator de participação modal do modo para o qual se tem esse valor de

deslocamento relativo.

Para um determinado valor de fator de participação modal, quanto maior for o deslocamento entre as

extremidades do dissipador, maior é a energia dissipada nesse dissipador e, como consequência, maior

é a possibilidade de esse dissipador integrar o perfil de distribuição ótima de dissipadores.

Para um determinado valor de deslocamento relativo de um dado dissipador, quanto maior for o fator

de participação modal, maior é a importância desse modo para a energia total dissipada nesse

dissipador.

Isto leva a que o perfil da distribuição ótima de dissipadores dependa do conjunto dos seguintes fatores:

(1) das frequências com maior conteúdo energético em termos da ação sísmica local;

(2) do(s) modo(s) de vibração da estrutura com fator(es) de participação modal mais elevado(s);

(3) de outros modos de vibração da estrutura para determinadas situações específicas (zonas de

inflexão).

(1) Ação sísmica local

Foi ainda importante perceber que, em Portugal continental e em edifícios altos, o sismo condicionante

deverá ser o sismo interplacas (sismo tipo 1 segundo a nomenclatura da regulamentação atual

portuguesa (NP EN1998-1)). Desta forma, a metodologia aplicada aos casos de estudo teve apenas

em consideração os efeitos da sismicidade local para este tipo de sismo.

81

(2) Modo de vibração com fator de participação modal mais elevado

Quanto ao modo de vibração com maior fator de participação modal, ou seja, o primeiro modo de

vibração nos casos de estudo, verificou-se que apresenta um contributo significativamente elevado

para a determinação dos pisos que integram a distribuição ótima de dissipadores.

Para cada uma das estruturas estudadas as próprias configurações modais correspondentes a este

primeiro modo de vibração evidenciaram a diferença entre a deformada da estrutura tipo pórtico puro e

a da estrutura tipo parede (1º caso de estudo); o mesmo aconteceu no comportamento misto entre as

deformadas das estruturas com predominância do comportamento tipo pórtico e as das estruturas com

predominância do comportamento tipo parede (2º caso de estudo).

Por outro lado, o perfil da distribuição ótima de dissipadores pelos pisos sofreu variações com esta

diferença de comportamento estrutural das diferentes estruturas analisadas. Esta variação manifestou-

se da seguinte forma: os pisos do perfil da distribuição ótima são progressivamente mais elevados

quanto maior for a predominância do comportamento tipo parede relativamente ao comportamento tipo

pórtico.

(3) Outros modos de vibração – zonas de inflexão

Quanto à contribuição de outros modos de vibração, verificou-se que, uma vez que o deslocamento

relativo pode ser mais elevado nos dissipadores cujas extremidades se localizem na zona de inflexão

da deformada da configuração modal dos modos de vibração superiores, estes modos também podem

contribuir de modo significativo para a distribuição ótima de dissipadores.

Os pisos nestas condições, ou seja, onde se verifica inflexão da deformada da configuração modal, são

casos particulares. Devendo também ter-se em consideração o valor do fator de participação modal do

modo de vibração para o qual a configuração modal apresenta a inflexão.

Relativamente a este aspeto verificou-se que, à medida que o comportamento tipo parede é

sucessivamente mais predominante que o comportamento tipo pórtico, a contribuição dos modos

superiores, em termos de fator de participação modal, vai-se tornando progressivamente mais relevante

para a distribuição ótima. Significa isto que, inversamente, quando o comportamento tipo pórtico é

predominante, os modos de vibração mais baixos têm um peso muito mais significativo em termos de

fator de participação modal do que os modos de vibração superiores.

Concluiu-se, assim, que a consideração do deslocamento relativo nos dissipadores localizados na zona

de inflexão, em simultâneo com a do contributo do fator de participação modal justifica a existência de

alguns pisos na distribuição ótima de dissipadores, os quais não existiriam se apenas se considerassem

os valores dos fatores de participação modal. Por outro lado, quanto maior é a predominância do

comportamento tipo parede, maior é a possibilidade de existirem pisos nestas condições.

Como daqui se conclui, esta metodologia permite ter em consideração, para a distribuição ótima de

dissipadores, os pisos que ganham relevância por se localizarem na zona de inflexão da configuração

modal de um modo de vibração elevado, ainda que o fator de participação modal seja mais baixo que

o de um modo de vibração inferior, para o qual o piso não se encontra na zona de inflexão.

82

Outras conclusões

O comportamento misto pórtico-parede ficou evidenciado devido ao facto de que os contributos de

todos os modos de vibração resultaram em perfis de distribuição ótima de dissipadores com duas zonas

distintas de distribuição: uma zona com dissipadores nos pisos mais inferiores e outra zona com

dissipadores em posições mais altas. A primeira zona reflete a influência do comportamento do tipo

pórtico e a segunda zona a do comportamento do tipo parede.

Salienta-se, ainda, que as estruturas do tipo parede revelaram menor energia dissipada do que as

estruturas do tipo pórtico. Isto parece indiciar que os dissipadores do tipo viscoso têm uma

aplicabilidade mais eficaz em estruturas do tipo pórtico do que em estruturas do tipo parede.

Por último, é de referir que a metodologia proposta permite que se tenha em consideração a inclinação

dos dissipadores na estimativa da energia dissipada. Esta consideração revelou-se importante quando

os elementos verticais não podem ser considerados como axialmente indeformáveis; ou quando a

inclinação dos dissipadores não é a mesma em todos os pisos.

8.2. Redução do custo dos dissipadores

Sabe-se que a força de dissipação no dissipador varia com um parâmetro α e uma constante C. A

constante C do dissipador, por estar associada às dimensões do mesmo, é o fator principal de que

depende o custo do dissipador. Assumiu-se que esta relação (dimensões/custo) é linear. Desta forma,

a constante C do dissipador foi utilizada como uma medida do seu custo.

Obtiveram-se níveis de desempenho significativamente favoráveis, correspondentes à redução do

deslocamento no topo da estrutura, tanto no caso dos dissipadores do tipo linear (α=1,0) como no caso

dos do tipo não linear (α=0,3). Para este nível de desempenho, na distribuição ótima de dissipadores

(para as cinco e dez melhores localizações) foi possível reduzir o custo global dos dissipadores

relativamente ao custo global na distribuição uniforme.

Estas reduções foram, em média, de 13% no caso dos dissipadores não lineares e de 20% do caso

dos dissipadores do tipo linear.

Apenas nos casos de estruturas com comportamento extremo tipo pórtico (Mista 1) e comportamento

tipo parede (Mista 6) essa redução não foi verificada para o caso do perfil de distribuição ótima das

cinco melhores localizações.

83

8.3. Considerações sobre trabalhos futuros

Após a realização deste trabalho, colocam-se à consideração alguns aspetos relacionados com o tema

abordado, tendo em vista eventuais futuros desenvolvimentos no que respeita, designadamente, ao

aperfeiçoamento da metodologia apresentada e a novas aplicações da mesma.

Em primeiro lugar convém referir e salientar a importância de se vir a poder introduzir nos regulamentos

de dimensionamento de estruturas uma metodologia que, ao mesmo tempo que possa ser fácil de

implementar, promova de forma eficaz a aplicação generalizada de sistemas de dissipação de energia

em edifícios.

Um dos aspetos interessantes a prosseguir na análise é o da melhor avaliação da inclinação dos

dissipadores. Verificou-se que esta inclinação está diretamente associada às localizações das

extremidades do dissipador; e que dela depende o valor da energia dissipada por piso. Poderá, assim,

ser estudado, para cada estrutura específica, o impacto da estimativa da medida da energia dissipada

obtido com a variação da posição dos dissipadores. Desta forma poderia, eventualmente, chegar-se à

conclusão, por exemplo, de que a ligação dos dissipadores de dois em dois pisos, face à colocação

dos dissipadores entre dois pisos consecutivos, seria mais eficiente em termos do valor da estimativa

da medida da energia dissipada. E, assim, conseguir obter-se melhorias significativas na resposta das

estruturas face ao sismo, podendo refletir-se essas melhorias numa redução dos custos dos

dissipadores.

Outro aspeto que parece relevante desenvolver será o da avaliação mais aprofundada dos valores das

estimativas da medida da energia dissipada, cujo resultado pode mudar a determinação do número de

dissipadores a colocar na distribuição ótima. A ideia passa por ter a possibilidade de determinar quais

os dissipadores com maior capacidade de dissipação de energia, não apenas para um determinado

número previamente fixado de dissipadores (que tem por base razões de natureza puramente

económica), mas fixar este número tendo em conta, também, uma avaliação mais científica, ou seja,

considerando o valor da estimativa da energia dissipada.

Esta avaliação torna-se pertinente quando, numa dada estrutura, a discrepância de valores na

estimativa da energia dissipada, nos vários dissipadores, é significativa; isto leva a que, a partir de um

determinado valor da estimativa da energia dissipada, deixe de ter relevância a colocação, na

distribuição ótima, os dissipadores cuja medida da energia dissipada tenha pouco significado. Neste

sentido, o número total de dissipadores a colocar na distribuição ótima, continuando a ser definido por

motivos de natureza económica, passaria também a ser baseado numa avaliação técnica

fundamentada, tendo em consideração a variação dada pelo gráfico da estimativa da energia dissipada

por piso.

Como daqui se pode concluir, a partir dos resultados da análise acima referida, torna-se também

importante avaliar se as estruturas nestas condições são de facto mais eficientes para soluções de

84

dimensionamento dos dissipadores em que se aumenta a capacidade de dissipação nos dissipadores

cuja medida da estimativa da energia dissipada tem um valor mais relevante.

É importante salientar, ainda, que a estimativa dos custos globais dos dissipadores, apresentada neste

trabalho, assentou em bases muito simplistas. As hipóteses adotadas não permitiram, desta forma, que

a análise dos custos permitisse estabelecer conclusões quantitativas e com valores de significado

relevante para o projeto de estruturas. Desta forma, é de todo o interesse proceder a uma avaliação

mais detalhada do custo real dos dissipadores, do tipo linear e não-linear, tendo em vista a elaboração

de estudos e análises do tipo custo-benefício, a partir dos quais se estabeleçam as diferenças nos

custos de cada um deste tipo de dissipador. Poderá chegar-se, assim, a resultados melhor

quantificados quanto à eficiência real das distribuições ótimas de dissipadores, quando comparada com

a eficiência da distribuição uniforme.

85

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Anexos

91

Anexo 1 - Espetro de potência da ação

Frequência

(Hz)

S(f)

(m2/s3)

Frequência

(rad/s)

S(w)

(m2/s3)

0,05 0,00000 0,31 0,00000

0,30 0,00907 1,88 0,00144

0,55 0,03823 3,46 0,00608

1,67 0,08683 10,49 0,01382

2,50 0,04925 15,71 0,00784

3,50 0,03499 21,99 0,00557

5,00 0,01912 31,42 0,00304

10,00 0,00810 62,83 0,00129

15,00 0,00259 94,25 0,00041

20,00 0,00130 125,66 0,00021

25,00 0,00000 157,08 0,00000

93

Anexo 2 – Série de acelerogramas artificiais

94

95

97

Anexo 3 - Modelos (SAP2000) das estruturas pórtico e

parede puros

99

Anexo 4 - Frequências de vibração das estruturas mistas

pórtico-parede

Frequências (Hz)

Mista 1 Mista 2 Mista 3 Mista 4 Mista 5 Mista 6

Modo 1 0,44 0,56 0,71 0,81 0,91 0,91

Modo 2 1,39 1,78 2,50 3,36 4,06 4,79

Modo 3 2,51 3,29 5,05 7,48 9,61 12,56

Modo 4 3,66 4,84 7,93 12,51 16,91 23,77

Modo 5 4,92 6,59 11,39 18,62 26,11 38,57

Modo 6 6,29 8,54 15,46 25,84 - -

Modo 7 7,80 10,73 20,21 34,26 - -

Modo 8 9,45 13,16 25,65 43,90 - -

Modo 9 11,25 15,85 31,79 54,76 - -

Modo 10 13,18 18,77 38,61 66,82 - -

Modo 11 15,24 21,93 - - - -

Modo 12 17,40 25,268 - - - -

Modo 13 19,64 28,745 - - - -

Modo 14 21,90 32,285 - - - -

Modo 15 24,11 35,793 - - - -

101

Anexo 5 – Configurações modais das estruturas mistas

pórtico-parede

(três primeiros modos)

Mista 2

Modo 1 Modo 2 Modo 3

Mista 3

Modo 1 Modo 2 Modo 3

Mista 4

Modo 1 Modo 2 Modo 3

102

Mista 5

Modo 1 Modo 2 Modo 3

Mista 6

Modo 1 Modo 2 Modo 3

103

Anexo 6 - Fatores de participação modal das estruturas

mistas pórtico-parede

Mista 1 Mista 2 Mista 3 Mista 4 Mista 5 Mista 6

Modo 1 -41,402 40,821 -40,475 -40,268 -38,520 49,867

Modo 2 -15,280 -16,633 18,704 -20,349 -19,846 -26,695

Modo 3 9,085 9,053 10,092 11,369 -11,370 15,627

Modo 4 6,591 -6,648 -7,424 8,155 8,194 -11,249

Modo 5 5,274 -5,274 5,891 -6,358 6,393 8,772

Modo 6 -4,461 -4,460 -4,968 5,269 - -

Modo 7 3,866 -3,866 -4,289 4,507 - -

Modo 8 -3,433 -3,433 -3,784 3,946 - -

Modo 9 -3,080 3,080 -3,376 -3,506 - -

Modo 10 -2,718 -2,793 -3,044 3,150 - -

Modo 11 -2,544 2,544 - - - -

Modo 12 -2,259 2,326 - - - -

Modo 13 2,059 2,124 - - - -

Modo 14 -1,867 1,933 - - - -

Modo 15 1,672 1,740 - - - -

105

Anexo 7 - Funções de transferência das estruturas mistas

pórtico-parede

Mista 2

Mista 3

106

Mista 4

Mista 5

107

Mista 6

109

Anexo 8 - Espetros de potência da resposta das estruturas

mistas pórtico-parede

Mista 2

Mista 3

110

Mista 4

Mista 5

111

Mista 6