Os Quatro Tipos de Simetrias No Plano

7/22/2019 Os Quatro Tipos de Simetrias No Plano

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Os quatro tipos de simetrias no plano

Um modelo simtrico se houver ao menos uma simetria

(rotao, transtao, reflexo, reflexo do deslize)que no muda o modelo .

Rotao

Rotacionar um objeto significa gir-lo ao redor de um ponto. Cada rotao tem umcentro e um ngulo.

Translao

Transladar um objeto significa mov-lo sem gir-lo ou refletir. Cada translao tem umsentido e uma distncia.

Reflexo

Refletir um objeto significa produzir sua imagem no espelho. Cada reflexo tem umeixo "a linha do espelho". Uma reflexo de um " R " um R para trs.

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Reflexo com Deslizamento

Uma reflexo com deslizamento combina uma reflexo com uma translao ao longo dosentido da linha do espelho. As reflexes com deslizamento so os nicos tipos desimetria que envolvem mais de uma etapa.

As simetrias cram modelos que nos ajudam a organizar o nosso mundoconceitualmente. Os modelos simtricos ocorrem na natureza, so inventados porartistas, por msicos, por coregrafos, e por matemticos.

Na matemtica, a idia da simetria d-nos uma maneira precisa de pensar sobre esteassunto. Ns trabalharemos aqui s com simetrias planas, aquelas que ocorrem em umplano liso, mas as idias generalizam s simetrias espaciais .

A simetria plana consiste em mover todos os pontos sobre o plano de modo que suasposies relativas permaneam as mesmas, embora suas posies absolutas possammudar. Distncias, ngulos, tamanhos, e forma so preservadas por simetrias.

1. Por exemplo, a rotao de 90 graus sobre um ponto fixo um exemplo de umasimetria plana.

2. Um outro tipo bsico de simetria uma reflexo. A reflexo de uma figura noplano em relao a uma reta move sua imagem refletida para onde apareceria sevoc a visse atravs de um espelho colocado na linha. Uma outra maneira de fazeruma reflexo dobrar uma folha de papel e seguir a figura no outro lado da dobra.

3. Um terceiro tipo de simetria a translao. Transladar um objeto significa mov-lo sem gir-lo ou refleti-lo. Voc pode descrever uma translao indicando a quedistncia vai mover oobjeto, e em que sentido.

4. O quarto (e ltimo) tipo de simetria uma reflexo com deslizamento. Umareflexo com deslizamento combina uma reflexo com uma translao ao longodo sentido da linha do espelho.

Uma figura, um retrato, ou um modelo so ditos simtricos se houver ao menos umasimtria que deixa a figura inalterada. Para o exemplo, as letras




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ATOYOTA

formam um modelo simtrico: se voc desenhar uma linha vertical atravs do centro do" Y " e refletir ento a palavra atravs da linha, o lado esquerdo transforma-se no ladodireito e versa vice. A palavra no muda.

Se voc desenhar a figura de uma pessoa que anda e copiar para fazer uma linha infinitade pessoas andando em ambos os sentidos, voc fez um modelo simtrico. Voc podetransladar o grupo inteiro adiante de uma pessoa, e a procisso ficar a mesma. Este

padro tem um nmero infinito de simetrias, desde que voc pode transladar para afrente uma pessoa, dois pessoas, ou trs pessoas, ou para trs os mesmos nmeros. Huma simetria deste modelo para cada nmero inteiro zero, inteiro positivo ou negativo.

Problemas

1. Classifique todas as letras maisculas do alfabeto de acordo com suas simetrias. Para oexemplo, " A " tem uma reflexo em torno de uma linha vertical, e " R " no tem nenhumasimetria (exceto a rotao por 0 graus).

2. Faa um modelo simtrico comeando com uma forma assimtrica realizando uma nicatranslao repetidamente ( translao tambm para trs pode ser usada). Isto , decida em umsentido e em uma distncia para sua translao (por exemplo, 5 cm direita). Translade sualetra 5 cm ao direita, a seguir translade a letra novamente 5 cm direita, etc.. Transladetambm a letra original 5 cm. esquerda, etc.. Voc obteve algum outro tipo de simetria(reflexes, reflexes com deslizamento, ou rotaes) no processo?

3. Faa um modelo simtrico comeando com uma forma assimtrica e realize uma nicareflexo com deslizamento repetidamente ( deslize tambm para trs). Isto , escolha uma

linha de reflexo e uma translao em um sentido paralelo linha da reflexo. Aplique amesma reflexo com deslizamento forma nova que voc gerou at que voc chegue fora dopapel. Voc encontrou algum outro tipo de simetria (reflexes, tradues, ou rotaes) noprocesso?

4. Em uma folha de papel, desenhe uma letra R (chame ele R1) e duas linhas paralelasaproximadamente 3 cm separadas. Chame as linhas L1 e L2. Reflita o R atravs da primeiralinha, L1, e chame-o R2. Reflita R2 atravs da linha L2 e chame-o R3.

a. Como R3 est relacionado a R1? (por que tipo de simetria?)

b. Continue seu modelo refletindo o novo R atravs de L1 e de L2. Continue atsair fora do papel ou at que voc no obtenha nenhuma coisa nova. Este seria ummodelo infinito se voc tivesse um pedao de papel infinitamente grande?

c. Que simetrias seu modelo tem alm das reflexes atravs de L1 e de L2?

5. Repita a atividade precedente usando llinhas que no sejam paralelas mas cruze-a em umngulo dos 45-graus.

a. Agora como R3 est relacionado a R1?

b. Continue seu modelo refletindo os novos Rs atravs de L1 e L2. Continue at

voc sair do papel ou voc no obter nenhuma coisa nova. Este um modeloinfinito se voc tivesse um pedao de papel infinitamente grande?

c.Quais simetrias o seu modelo possui alm das reflexes em torno de L1 e L2?




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6. Lembra-se como fazer correntes de bonecas cortando fitas de papel dobradas? Adapte umadestas atividades de modo que possamos falar de simetrias. Invente alguma questo sobre oassunto e que seja apropriada para crianas.

7. (Extenso) Considere modelos gerados por reflexo atravs de duas retas que se interceptam,mas use outros ngulos. Por exemplo, o que acontece se as retas formam angulos de 111 grausou 60 graus? Se voc puder, encontre um modelo geral que ir prever resultados para qualquerngulo.


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