Os sólidos platónicos são sólidos convexos cujas arestas formam

polígonos planos regulares congruentes. A sua designação deve-

se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C.. A existência

destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e os egípcios

utilizaram alguns deles na arquitetura e noutros objetos que

construíram.

Estes sólidos foram adquirindo ao longo dos tempos

diversos significados místicos. Por exemplo, Kepler sentia

uma grande admiração e reverência por eles (Porquê

apenas cinco?) e chegou mesmo a tentar explicar os

movimentos planetários a partir deles. Além disso, interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de

Platão da seguinte forma:

Uma demonstração de que são apenas cinco os sólidos

platónicos pode ser obtida através do processo da sua

construção, como Platão fez num seu texto incluído no

diálogo Timeu.

Para a construção dos sólidos platónicos, por definição, apenas

podemos utilizar polígonos regulares congruentes. Comecemos por

considerar o triângulo equilátero, que é o polígono regular com

menos lados. Quantos poliedros, cujas faces são apenas este

polígono, conseguimos construir? Para responder a esta pergunta,

centremos a nossa atenção nos vértices dos possíveis poliedros

(basta considerar apenas um, pois os restantes são idênticos).

Com dois triângulos equiláteros, não se consegue

constituir um vértice de um poliedro, pois um ângulo

sólido tem que ser constituído pelo menos por três planos.

Com três triângulos equiláteros é possível constituir um

vértice de um poliedro, que é concretamente o tetraedro.

Esta possibilidade prende-se com facto de a soma das

amplitudes dos ângulos internos dos diversos triângulos

adjacentes, no vértice, ser inferior a 360º, exatamente

180º.

Se considerarmos quatro triângulos equiláteros, cuja soma

das amplitudes dos ângulos internos adjacentes no vértice

é de 240º, obtemos o octaedro. Considerando cinco

desses triângulos num vértice, essa soma é de 300º,

ainda inferior a 360º, e obtemos o icosaedro. Passando

para seis triângulos equiláteros, chegamos a uma

impossibilidade. A soma das amplitudes dos ângulos

internos adjacentes no vértice é, neste caso, 360º, o que não permite "fechar" o vértice, isto é, formar um ângulo

sólido, pois os triângulos ficam todos sobre o mesmo

plano (formando uma pavimentação do plano em torno do

suposto vértice). A consideração de um número maior de

triângulos equiláteros em torno de um vértice, obviamente

já não possibilita a construção de um poliedro.

O pressuposto de construção que tem estado a ser

utilizado é o de que a formação de um ângulo sólido no

vértice de um poliedro só é possível se a soma das

amplitudes dos ângulos internos dos polígonos

adjacentes no vértice for inferior a 360º.

Considerando o quadrado, e o pressuposto atrás enunciado, chegamos à conclusão de que apenas

conseguimos construir o cubo. Com pentágonos,

apenas conseguimos construir o dodecaedro.

Com hexágonos não se consegue construir nenhum

sólido platónico. Basta verificar que três hexágonos adjacente em torno de um ponto (supostamente um

vértice) pavimentam o plano, pois a soma das

amplitudes dos ângulos internos desses hexágonos é

precisamente 360º, o que não permite formar um

ângulo sólido. Um número maior de hexágonos,

obviamente, que também não permite a construção de

um sólido platónico. Analogamente, com polígonos com

um número maior de lados isso também não é possível.

Enumeremos então os sólidos que acabámos de

construir: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo e

dodecaedro. São precisamente cinco, como se queria

demonstrar.

Outra forma demonstrar a existência de apenas cinco

sólidos platónicos é através da fórmula de Euler,

considerando as restrições relativas aos vértices,

arestas e faces inerentes aos sólidos platónicos.