Os sólidos platônicos

Os sólidos PlatônicosOs sólidos Platônicos

HistóriaHistória

Os sólidos platônicos são conhecidos desde a Os sólidos platônicos são conhecidos desde a antiguidade. Foram encontradas pequenas peças antiguidade. Foram encontradas pequenas peças de pedra arredondadas, esculpidas pelos povos de pedra arredondadas, esculpidas pelos povos neolíticos que habitavam a região da atual Escócia neolíticos que habitavam a região da atual Escócia que já era uma representação de suas que já era uma representação de suas propriedades.propriedades.

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Os antigos gregos Os antigos gregos estudaram os sólidos estudaram os sólidos platônicos à exaustão. platônicos à exaustão. Algumas fontes históricas Algumas fontes históricas (como Proclo) creditam a (como Proclo) creditam a Pitágoras sua Pitágoras sua descoberta.Outras descoberta.Outras evidências sugerem que evidências sugerem que ele apenas conheceu o ele apenas conheceu o tetraedro, o hexaedro tetraedro, o hexaedro (cubo) e o dodecaedro.(cubo) e o dodecaedro.

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Nesse caso, a descoberta do octaedro e do Nesse caso, a descoberta do octaedro e do icosaedro foram atribuídas a outro matemático icosaedro foram atribuídas a outro matemático grego: Teeteto, amigo de Platão. De qualquer grego: Teeteto, amigo de Platão. De qualquer forma, foi Teeteto quem deu uma descrição forma, foi Teeteto quem deu uma descrição matemática outros poliedros regulares convexos.matemática outros poliedros regulares convexos.

HistóriaHistória

Os sólidos Platônicos são Os sólidos Platônicos são proeminentes na filosofia proeminentes na filosofia de Platão, como o próprio de Platão, como o próprio nome já diz. Platão tratou nome já diz. Platão tratou deles no diálogo de sua deles no diálogo de sua autoria entitulado autoria entitulado TimeuTimeu onde ele os associa com onde ele os associa com cada um dos quarto cada um dos quarto elementos clássicos (terra, elementos clássicos (terra, ar, água e fogo). ar, água e fogo).

As chamas do fogo parecem afiadas As chamas do fogo parecem afiadas e pontiagudas, como um tetraedro. e pontiagudas, como um tetraedro. Este, portanto, representa o fogo. Este, portanto, representa o fogo.

O ar é feito do octaedro ; seus O ar é feito do octaedro ; seus componentes minúsculos são tão componentes minúsculos são tão suaves que quase podemos sentir. suaves que quase podemos sentir.

Água, o icosaedro, parece fluir pela Água, o icosaedro, parece fluir pela mão de quem tentar agarrá-lo, como mão de quem tentar agarrá-lo, como se ele é fosse feito de minúsculas se ele é fosse feito de minúsculas bolinhas. bolinhas.

Por contraste, um sólido altamente Por contraste, um sólido altamente não-esférico como o hexaedro – o cubo não-esférico como o hexaedro – o cubo – representa a terra. – representa a terra. O cubo, por seu O cubo, por seu formato, é o responsável pela solidez formato, é o responsável pela solidez do mundo terrestre. do mundo terrestre.

O quinto sólido platônico, o O quinto sólido platônico, o dodecaedro, é muito obscuramente dodecaedro, é muito obscuramente tratado por Platão: "... o deus usou tratado por Platão: "... o deus usou para organizar as constelações de todo para organizar as constelações de todo o céu ". o céu ".

Aristóteles, posteriormente, acrescentou um Aristóteles, posteriormente, acrescentou um quinto elemento, quinto elemento, AitherAither ( éter em latim) e ( éter em latim) e postulou que os céus foram feitos deste elemento postulou que os céus foram feitos deste elemento , mas ele não tinha nenhum interesse em , mas ele não tinha nenhum interesse em combinar isso com o quinto sólidos de Platão.combinar isso com o quinto sólidos de Platão.

Por excêntrica e fantástica que esta teoria possa parecer a nós, nos séculos XVI e XVII foi levada a sério. Mesmo que não fosse completamente aceita, como quando Johanes Kepler começou suas buscas sobre a ordem matemática no mundo à sua volta. Os desenhos reproduzidos na figura são ilustrações do próprio Kepler sobre a teoria atómica de Platão.

PropriedadesPropriedades

• Em Em geometriageometria um um sólido platônicosólido platônico é é um um poliedropoliedro convexo onde: convexo onde:

1.1. Todas as faces são Todas as faces são polígonospolígonos congruentescongruentes e e regularesregulares

2.2. O mesmo número de arestas encontra-se em O mesmo número de arestas encontra-se em todos os vérticestodos os vértices

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria

http://pt.wikipedia.org/wiki/Poliedro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonos

http://pt.wikipedia.org/wiki/Congru%C3%AAncia_(geometria)

AtividadesAtividades

Clique no ícone do programa Clique no ícone do programa PolyPoly

TetraedroTetraedro

Observe um tetraedro no Poly, e Observe um tetraedro no Poly, e responda:responda:

1.1. Quantas Quantas FacesFaces ele possui? ele possui?

2.2. Quantas Quantas ArestasArestas ele possui? ele possui?

3.3. Quantos Quantos VérticesVértices ele possui? ele possui?

4.4. Quantos Quantos VérticesVértices por facepor face ele possui? ele possui?

5.5. Quantos Quantos Encontros de faces em cada Encontros de faces em cada vérticevértice ele possui? ele possui?

6.6. Qual polígono compõe as faces desse sólido?Qual polígono compõe as faces desse sólido?

Hexaedro (Cubo)Hexaedro (Cubo)

Observe um cubo no Poly, e responda:Observe um cubo no Poly, e responda:1.1. Quantas Quantas FacesFaces ele possui? ele possui?






OctaedroOctaedro

Observe um octaedro no Poly, e Observe um octaedro no Poly, e responda:responda:







DodecaedroDodecaedro

Observe um dodecaedro no Poly, e Observe um dodecaedro no Poly, e responda:responda:







IcosaedroIcosaedro

Observe um tetraedro no Poly, e Observe um tetraedro no Poly, e responda:responda:







Relação de Euler em poliedros Relação de Euler em poliedros regularesregulares

Verifique se nos sólidos platônicos Verifique se nos sólidos platônicos também se cumpre a relação de Euler!também se cumpre a relação de Euler!

F + V – A = 2 ou F + V = A + 2F + V – A = 2 ou F + V = A + 2

onde onde VV é o número de vértices, é o número de vértices, AA é o número de é o número de arestas e arestas e FF é o número de faces. é o número de faces.

Por que não há mais sólidos Por que não há mais sólidos platônicos?platônicos?

Como já foi dito, os gregos já haviam Como já foi dito, os gregos já haviam provado que só podem haver 5 sólidos provado que só podem haver 5 sólidos com as propriedades dos sólidos com as propriedades dos sólidos platônicos. A chave para essa platônicos. A chave para essa demonstração está no fato de que os demonstração está no fato de que os ângulos internos dos polígonos que se ângulos internos dos polígonos que se encontram em um vértice do poliedro encontram em um vértice do poliedro devem somar devem somar menos que 360ºmenos que 360º..

Assim...Assim...

• Tetraedro: Tetraedro: 3 triângulos 3 triângulos em um vértice: 3 x 60 = em um vértice: 3 x 60 = 180 graus180 graus

• Octaedro: Octaedro: 4 triângulos 4 triângulos em um a vértice: 4 x 60 = em um a vértice: 4 x 60 = 240 graus240 graus

• Icosaedro: Icosaedro: 5 5 triângulos em um triângulos em um vértice: 5 x 60 = 300 vértice: 5 x 60 = 300 grausgraus

• Cubo: Cubo: 3 quadrados 3 quadrados em um vértice: 3 x 90 em um vértice: 3 x 90 = 270 graus= 270 graus

• Dodecaedro: Dodecaedro: 3 3 pentágonos em um pentágonos em um vértice: 3 x 108 = 324 vértice: 3 x 108 = 324 grausgraus

Acompanhe nas planificações Acompanhe nas planificações do Poly e...do Poly e...1.1. Responda: Por que a Responda: Por que a

soma dos ângulos não soma dos ângulos não pode ser pode ser igualigual a 360? a 360?

2.2. E se tentássemos fazer E se tentássemos fazer um poliedro de:um poliedro de:

• 6 triângulos por vértice: 6 triângulos por vértice: • 4 quadrados por vértice: 4 quadrados por vértice: • 4 pentágonos por vértice: 4 pentágonos por vértice: • 3 hexágonos por vértice:3 hexágonos por vértice:

Conseguiríamos? Por que?Conseguiríamos? Por que?

Investigue mais sobre o Investigue mais sobre o tema:tema:Na internet: Na internet: • http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solidhttp://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid##

HistoryHistory (em inglês) (em inglês)• http://sempreamathematicarcommusica.blhttp://sempreamathematicarcommusica.bl

ogspot.com.br/2010/10/planificacao-de-pologspot.com.br/2010/10/planificacao-de-poliedros-regulares-ou.htmliedros-regulares-ou.html (em português) (em português)

• http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/mathshttp://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/mathsolid/mathsolid_en.htmlolid/mathsolid_en.html (em inglês) (em inglês)

http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid#History



http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2010/10/planificacao-de-poliedros-regulares-ou.html



http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/mathsolid/mathsolid_en.html

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