PUCRS FAFIS NOTAS DE AULA DE FSICA GERAL B Profa. Maria Eullia Tarrag Ano: 2012/1 OSCILAES E ONDAS MECNCIA 1. OSCILAES MECNICAS Oscilao, do latim, oscillatione, significa movimento de vaivm. Oscilaes mecnicas so movimentos que se repetem em algum meio material. Tm-se oscilaes mecnicas nas cordas vibrantes de um violo, na membrana vibrante de um tambor, nas molculas de ar em vibrao que resultam no som, no movimento de uma mola, etc. As oscilaes mecnicas so geralmente amortecidas, isto , a amplitude do movimento de vibrao se reduz gradualmente, transformando energia mecnica em trmica, pela ao das foras de atrito. Porm vamos estudar nesta disciplina as vibraes mecnicas no amortecidas, correspondentes s situaes ideais. Estudar tais oscilaes importante devido aos conceitos envolvidos e ao formalismo matemtico implicado; tal formalismo no descreve apenas as oscilaes relativas a objetos materiais, aplica-se tambm no estudo das ondas eletromagnticas e na descrio das ondas de matria na mecnica quntica. 2. Qualquer movimento que se repete em intervalo de tempo regular chamado de movimento peridico ou movimento harmnico, logo uma oscilao mecnica que apresenta uma freqncia constante tambm chamada de Movimento Harmnico. Diz-se que um corpo executa um MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES (MHS) quando a sua posio x varia no tempo de acordo com a funo seno ou cosseno. Exemplos de oscilaes mecnicas do tipo MHS so: (i) movimento de oscilao do sistema massa-mola; (ii) movimento do pndulo simples; (iii) movimento do pndulo fsico. 3. RELAO ENTRE MOVIMENTO HARMNICO MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Ver as animaes e os textos dos seguintes links: http://www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto3.htm http://www.pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/multimidia/simulacoes/ondas_mecanic as/mcu_e_mhs http://www.walter-fendt.de/ph14br/ Vamos considerar um ponto P executando um MCU no sentido anti-horrio ao redor de O, como mostra a Figura 1, onde R o raio do crculo, v a velocidade tangencial, ac a acelerao centrpeta, S o arco descrito, o ngulo descrito. SIMPLES (MHS) E

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Figura 1 (obtida de http://educar.sc.usp.br/sam/anexo_1.html, acessado em 23/07/2008). Vamos lembrar brevemente algumas grandezas do MCU (estudado na Fsica Geral Experimental A): a velocidade angular; a posio angular no tempo zero (chamada ngulo de fase); f a freqncia (nmero de voltas na unidade de tempo); T o perodo (tempo necessrio para dar uma volta). O ponto P a projeo (sombra) de P no eixo-x; enquanto P executa o MCU, o ponto P executa o MHS no eixo-x, conforme Figura 2. Vamos deduzir como varia a posio x do ponto P em funo do tempo, isto , vamos mostrar que a funo x(t) cossenoidal, por isto o movimento de P dito MHS. Em termos de descrio do movimento, pode-se dizer que o MHS a projeo do MCU no dimetro do crculo.

Figura 2 (obtida de http://educar.sc.usp.br/sam/anexo_1.html, acessado em 23/07/2008) A funo POSIO x(t) no MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES obtida pela projeo do vetor posio R no eixo-x, x(t ) = xmax cos ( t + ) , onde: xmax a amplitude do movimento (considera-se sempre positiva); xmax o prprio raio R do crculo (no MCU); o deslocamento mximo da partcula (ou ponto P); xmax uma constante. a velocidade angular do movimento circular uniforme executado por P, no S.I, dado em rad/s. a posio angular de P (no MCU) no tempo zero, chamada ngulo de fase. 2

QUESTES: Q1) Uma partcula executa um MHS de acordo com x(t) = 0,30cos(4t+), em unidades S.I. (a) Qual a amplitude do movimento? (b) Qual a velocidade angular? (c) Qual o ngulo de fase? (d) Qual a posio x da partcula em t=0? (e) Qual a posio x da partcula em t=4,0s? (f) Qual o perodo deste movimento? (h) Represente o grfico da posio da partcula em funo de tempo. Q2) Recordando seus conhecimentos do clculo diferencial e integral e por meio das relaes entre posio, x(t), velocidade, v(t), e acelerao, a(t), demonstrar que: (a) a funo velocidade v(t), no MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES, dada por v(t ) = v max sen ( t + ) , onde: vmax a velocidade mxima que P atinge, sendo v max = xmax . (b) a funo acelerao a(t), no MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES, dada por a (t ) = a max cos ( t + ) , onde: 2 amax acelerao mxima que P apresenta, sendo a max = x max . Q3) Uma partcula P executa um MHS de acordo com x(t ) = 1,5 cos (6,0t ) , em unidades S.I. (a) Qual a funo velocidade do MHS? (b) Qual ser a velocidade de P em t=0? (c) Qual o segundo instante de tempo em que a velocidade nula? Onde se encontra P neste momento? (d) Qual a funo acelerao da partcula? (e) Quais so o primeiro e o segundo tempo e quais so as posies x correspondentes em que a acelerao de P apresenta mdulo mximo? Respostas: (a) v(t ) = 9,0 sen (6,0t ) , v ser dada em m/s, t em s, sendo vmax=9,0m/s e =6,0 rad/s; (b) 0; (c )0,52s e -1,5m; (d) a (t ) = 54 cos (6,0t ) , a ser dada em m/s2 e t em s, sendo amax=54m/s2 e =6,0 rad/s; (e) 0 e 0,52 s; a partcula apresenta acelerao mxima quando est em x=xmax e x=-xmax., isto , quando x=1,5m e x=-1,5m. Q4) Uma partcula Q executa um MHS de acordo com x(t ) = 0,300 cos (20,0t + 1,80) , em unidades S.I. (a) Qual a amplitude do movimento? (b) Qual a velocidade angular? (c) Qual o ngulo de fase? (d) Qual a posio x da partcula em t=0? (e) Qual a posio x da partcula em t=0,314s? (f) Qual o perodo do movimento? Respostas: (a) 0,300m; (b) 20,0 rad/s; (c) 1,80 rad; (d) -0,068m; (e) -0,067 m; (f) =0,314s. Q5) Obtendo as RELAES ENTRE MHS E MCU quanto s funes velocidade e acelerao. Por meio das projees do vetor velocidade tangencial e do vetor acelerao centrpeta do ponto P, no eixo-x, demonstre que: (a) a funo velocidade v(t) de P, correspondente ao MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES, dada por v(t ) = v max sen ( t + ) , onde vmax a velocidade mxima que P atinge, sendo v max = xmax . (b) a funo acelerao a(t) de P, correspondente ao MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES, dada por a (t ) = a max cos ( t + ) , onde amax acelerao mxima que P 2 apresenta, sendo a max = xmax .

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4. SISTEMA MASSA-MOLA Considere um bloco de massa m apoiado em uma superfcie horizontal e preso a uma mola de constante elstica k, como mostra a Figura 3. Considere, tambm, que no h atrito entre o bloco e a superfcie e que no existe fora de resistncia do ar ao movimento do bloco.

Figura 3 (obtida de http://www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto2.htm, acessado em 23/07/2008) Buscar simulaes na internet, como, por exemplo, as mostradas em:http://www.fis.unb.br/simulacao/augusto/mcu.html

O movimento que o bloco executa, em torno de sua posio de equilbrio, o MHS; logo a sua posio varia no tempo de acordo com x(t ) = xmax cos ( t + ) onde: xmax a amplitude do movimento, isto , a mxima elongao da mola; a velocidade angular associada a esse MHS; o ngulo de fase associada a esse MHS. 5. A LEI DA FORA NO MHS A toda oscilao mecnica corresponde uma fora restauradora, fora essa que sempre se ope ao deslocamento, fazendo com que o sistema sempre retorne a posio de equilbrio. A segunda lei de Newton relaciona a fora resultante F, que atua num corpo de massa m, com a sua acelerao resultante a, de tal forma que F = ma2 No MHS vimos que o mdulo da acelerao mxima a max = x max . Como a acelerao apresenta sentido contrrio ao deslocamento x podemos escrever, para qualquer tempo, a (t ) = 2 x(t ) , ou, para um determinado valor de deslocamento, a = 2 x . Logo, a segunda lei de Newton para o MHS 2 2 F = ma = m( x) = ( m ) x . Este resultado indica que para o MHS a F x . Como F x1 (pelo fato do expoente de x ser um), os sistemas que executam MHS tambm so chamados Osciladores Lineares.

Considerando o sistema massa-mola, a fora elstica a fora restauradora. A Lei de Hooke diz que a fora elstica F = k x , onde k constante elstica da mola. Com a fora elstica a fora resultante sobre a mola, possvel igualar-se, ento, a constante elstica da mola k com a massa do bloco e a freqncia angular do movimento, obtendok se k = m 2 ou = . m 2 2 m Como = pode-se escrever T = . = 2 T k 6. A ENERGIA NO MHS

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A energia mecnica constante e pode a qualquer instante ser calculada por EM = Ec + E p , onde Ec a energia cintica e E p a energia potencial do oscilador. A energia cintica do oscilador est associada massa e dada por 1 1 Ec = mv 2 = m( xmax ) 2 sen 2 = EM sen 2 e a energia potencial est associada mola 2 2 1 2 1 2 2 2 e dada por E p = kx = k ( xmax ) cos ou E p = EM cos , onde = t + . 2 2 QUESTES Q6) Em um oscilador harmnico simples as grandezas posio e velocidade podem ter o mesmo sinal? Justifique. Q7) Um bloco de 0,25 kg est apoiado em uma superfcie horizontal (sem atrito) e est preso a uma mola ideal cuja constante igual a 30N/m. Para t=0 a mola comprimida de 0,30m e o bloco se move no sentido negativo com velocidade em mdulo igual a 1,2 m/s. (a) Qual o ngulo de fase deste MHS? (b) Qual a amplitude do movimento? (c) Escreva a equao do movimento em funo do tempo. (d) Qual a energia mecnica do sistema e quais os valores da energia potencial elstica e da cintica para x=xmx/2? (e) Traar num mesmo grfico a energia mecnica do sistema, a energia potencial elstica e a cintica, em funo da posio x, explicitando, no mnimo, dois valores de x e os valores das energias correspondentes. Algumas respostas: c) x(t ) = 0,32 cos (10,95t + 2,79) , unidades S.I. Q8) A posio de um bloco de massa m=0,30 kg que est apoiado em uma superfcie horizontal (sem atrito) e que est preso a uma mola horizontal de constante elstica k dada por x(t ) = 0,80 cos (3,0t + ) , em unidades do sistema internacional. a) Em que posio se encontrava o bloco quando se comeou a registrar o movimento (ou seja, quando o tempo t=0)? b) Qual a constante elstica da mola? c) Qual o tempo necessrio para o sistema massa-mola executar uma oscilao completa? d) Qual a mxima velocidade do bloco e em que posio ela ocorre? R.: (a) -0,80m; (b) 2,7 N/m; (c) 2,1s. Q9) Um bloco est apoiado em uma superfcie horizontal (sem atrito) e est preso a uma mola ideal de tal forma que executa um MHS. Para t=0 o bloco est na metade da distncia entre a posio de equilbrio e a posio de mxima compresso, dirigindo-se para a posio de equilbrio. Qual o ngulo de fase ?

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ONDAS MECNICAS

Profa. Maria Eullia Tarrag

Sugestes de sites: 1) http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/ondas1/ondulatorio.html: (alm de um bom texto oferece animaes) 2) http://www.fisicanimada.net.br/ (animaes sobre presso sonora) 1. Uma onda uma oscilao que se propaga no espao e transporta energia sem, no entanto, transportar massa. A figura abaixo ilustra o transporte de energia por uma onda propagando-se numa corda.

(Adaptado de SERWAY, R. Fsica: Ondas, Mecnica e Termodinmica. 3a ed., RJ: LTC, 1996.) 2. Classificao das ondas quanto natureza: Ondas Mecnicas: necessitam de um meio material para se propagar, pois o prprio meio que vibra enquanto a energia se propaga; so regidas pelas leis de Newton. Exemplos: ondas em cordas e ondas sonoras. Ondas Eletromagnticas: no necessitam de um meio material para se propagar, pois se propaga inclusive no vcuo so os campos eltricos e magnticos que vibram enquanto a energia se propaga ; so regidas pelas equaes de Maxwell. Exemplos: raios X, ultravioleta e visvel. 3. Classificao das ondas quanto forma de propagao: Ondas Transversais: A direo da oscilao/vibrao perpendicular direo de propagao da onda. Exemplos: ondas em cordas e as ondas eletromagnticas. Na Figura seguinte a direo da vibrao ocorre na vertical, enquanto a direo de propagao na horizontal; esto indicados o comprimento de onda qual significa a o distncia entre duas cristas consecutivas e a amplitude da onda a. Para qualquer onda vale a relao v = f = , onde v a velocidade de T propagao da onda, f a frequncia de oscilao nmero de ondas que ocorrem na o unidade de tempoe T o perodo o tempo para transcorrer uma onda. 6

Fonte: http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ ondulatoria/ Princpio %20da%20Superposio acesso em 15/10/08.

ondas.htm#

Ondas Longitudinais: A direo da oscilao/vibrao paralela direo da propagao (vide Figura seguinte). Exemplos: Ondas numa mola e ondas sonoras.

Fonte: http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ ondulatoria/ Princpio %20da%20Superposio acesso em 15/10/08.

ondas.htm#

4. Descrio de uma Onda Senoidal Transversal: Vamos tomar como exemplo uma onda senoidal transversal que se propaga numa corda. Vamos considerar uma situao ideal onde a onda no amortecida e a corda to longa que a onda no refletida (de volta). Observa-se que uma onda senoidal pode ser descrita pela funo seno ou cosseno; adotaremos a funo seno. Vamos considerar que a onda vibra na direo y e se transporta na direo x. A descrio mais completa da onda aquela que mostra como a vibrao no eixoy (isto , o deslocamento do meio) varia com a posio no eixo-x e com o tempo t. Para uma onda transversal que se propaga no sentido positivo do eixo-x, chamada onda progressiva, a equao da onda y ( x, t ) = y max sen ( Kx t + ) , onde: ymax a amplitude do movimento (amplitude da oscilao); no S.I. sua unidade [m]. K o nmero de onda angular definido como K = A unidade S.I de K [rad.m 1]. o comprimento de onda, significa a distncia entre dois pontos consecutivos ao longo do eixo-x que apresentam o mesmo deslocamento. 1 K k o nmero de onda k = = e significa o nmero de ondas por unidade de 2 comprimento; no S.I. sua unidade [m 1]. 2 = 2f , sendo T o perodo e f a a freqncia angular. Lembra-se que = T freqncia.

2 , sendo o comprimento de onda.

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o ngulo de fase (inicial); quando t=0 e x=0, y = y max sen ( ) . 2f = = f . A velocidade com que essa onda se propaga no eixo-x v = = K K T Q1) Considere trs cordas 1, 2 e 3, nas quais se propagam ondas transversais no sentido positivo do eixo-x de tal forma que na corda 1 a funo de onda y1 ( x, t ) = 2 sen (4 x 5t ) ; na corda 2 a funo y2 ( x, t ) = sen (5 x 4t ) e na corda 3, y3 ( x, t ) = 2sen (3 x 3t ) , unidades S.I. a) Em qual corda a onda apresenta maior comprimento de onda? b) Em qual corda a onda apresenta maior amplitude? c) Em qual corda a velocidade de propagao da onda maior? Q2) Considere uma onda transversal que se propaga numa corda de acordo com y ( x, t ) = 0,100 m sen (31,4rad m 1 x 12,6rad s 1 t ) . a) Qual a amplitude do movimento? b) Qual o comprimento de onda? c) Qual o nmero de onda? Indicar o nmero de onda numa representao de y em funo de x. d) Qual a freqncia e o perodo desta onda? e) Escrever a equao y(x) para o instante de tempo t=0 e desenh-la. f) Escrever a equao y(t) para a posio x=0 e desenh-la. Q3) Considere uma onda transversal se movendo numa corda no sentido positivo do eixox de tal forma que o comprimento de onda 25,0cm, a amplitude da oscilao (ymax) 20,0cm e a freqncia da oscilao 10Hz. Salienta-se que para descrever esta onda, neste caso, considerou-se que em x=0 e t=0, y=ymax. Determinar: a) Qual a funo de onda y(x,t); (b) o valor de y quando x=0 e t=0,1s; o valor de y quando x=1,0m e t=1,0s. (c) Representar y em funo de x, quando t=0. (d) Representar y em funo de t, quando x=0. R: a) ou simplesmente y ( x, t ) = 0,200 m sen (25,1m 1 x 62,8rad s 1 t + rad ) 2 y ( x, t ) = 0,200 sen (25,1x 62,8t + ) , em unidades S.I.; b) y=0,200m; c) y=0,200m. (d) e (e) sero feitos 2em aula.

Q4) Uma onda senoidal transversal, cujo perodo /2 segundos se propaga para a direita no eixo-x. O deslocamento y de uma partcula na corda, para t=0, em funo da posio x, mostrado no grfico seguinte.

a) Escrevam a funo de onda y(x,t);

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b) Desenhem a onda y(t), para um intervalo de tempo que vai desde zero at t=T, para x=0. c) Qual a velocidade de propagao dessa onda? d) Qual a mxima velocidade transversal dessa onda? R: a) y ( x, t ) = 0,02 sen ( 40x 4,0t + ) , unidades S.I.; c) 0,032m/s; d) 0,08m/s 5. Equaes para descrever uma onda transversal progressiva: Vimos que uma onda transversal que se propaga no sentido positivo do eixo-x pode ser descrita por y ( x, t ) = y max sen ( Kx t + ) . Por simplificao, vamos analisar as diversas formas de escrever a funo de uma onda senoidal progressiva para o caso em que =0. a) Explicitando o significado de K e de , temos y ( x, t ) = y max sen ( 2 2 x t ) , logo T

x t y ( x, t ) = y max sen 2 ( ) . T b) Como v = , ento K = , o que permite escrever y ( x, t ) = y max sen ( x t ) , logo K v v x y ( x, t ) = y max sen ( t ) . v

, ento = vK , o que permite escrever y ( x, t ) = y max sen ( Kx vK t ) , K logo y ( x, t ) = y max sen K ( x vt ) . 2 2 2 x v t ) , logo d) Como K = e = vK , pode-se escrever y ( x, t ) = y max sen ( 2 y ( x, t ) = y max sen ( x vt ) . c) Como v = 6. Princpio da Superposio: Quando duas ou mais ondas passam simultaneamente por uma mesma regio ocorre a superposio de ondas. O princpio da superposio diz que a onda resultante a soma algbrica das ondas individuais. Vamos analisar a forma da onda resultante quando temos duas ondas y1 e y2 com a mesma amplitude ymax, com a mesma freqncia angular , propagando-se na mesma direo (direo x): 6.1) no mesmo sentido e estando defasadas pelo ngulo . Se a funo da onda 1 y1 ( x, t ) = y max sen ( Kx t + ) e a funo da onda 2 y 2 ( x, t ) = y max sen ( Kx t ) , a onda resultante ser yR= y1+ y2, ou seja: y R ( x, t ) = y max sen ( Kx t + ) + y max sen ( Kx t ) = y max sen + y max sen , sendo = Kx t + e = Kx t . Porm, usando a relao trignomtrica 1 1 sen + sen = 2 sen ( + ) cos ( ) , a funo da onda resultante poder ser 2 2 1 1 escrita na forma y R ( x, t ) = y max 2 sen ( Kx t + ) cos , isto 2 2

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y R ( x, t ) = 2 y max cos ( / 2) sen ( Kx t + ) , onde a amplitude da onda resultante ymax(R)=2 ymax cos ( /2). 6.1.1) se =0, as ondas esto em fase; o caso de interferncia construtiva como ilustra a Figura abaixo. A onda resultante ser y R ( x, t ) = 2 y max sen ( Kx t ) .

Fonte: http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/ondas1/ondulatorio.html acesso em 15/10/08. 6.1.2) se = rad, as ondas esto em oposio de fase (e o caso de interferncia destrutiva). A funo da onda resultante y R ( x, t ) = 0 .

Adaptada de http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/ondas.htm#Princpio %20da%20Superposio, acesso em 15/10/08. 6.2) em sentidos contrrios: Se a funo da onda 1 y1 ( x, t ) = y max sen ( Kx t ) ou, de outra forma, y1 ( x, t ) = y max sen e a funo da onda 2 y 2 ( x, t ) = y max sen ( Kx + t ) ou y 2 ( x, t ) = y max sen demonstraremos que a onda resultante ser y R ( x, t ) = 2 y max cos (t ) sen ( Kx) . 1 1 Usando a relao trignomtrica sen + sen = 2 sen ( + ) cos ( ) , pode-se 2 2 1 1 y R ( x, t ) = y max 2 sen (2 Kx ) cos (2 t ) . escrever Ou seja 2 2 y R ( x, t ) = 2 y max sen( Kx) cos( 2 t ) . Mas como cos( t ) = cos( t ) , ento y R ( x, t ) = 2 y max sen ( Kx ) cos (t ) , onde a amplitude da onda resultante na posio x y mxcR ( x) = 2 y max sen ( Kx ) . 7. Ondas Estacionrias: Vamos imaginar que estamos produzindo pulsos idnticos em uma corda de comprimento L presa nas duas extremidades. Quando estes pulsos chegam s extremidades da corda se refletem invertidos (pois as extremidades so fixas). A sobreposio das ondas incidentes e refletidas gera uma onda resultante que apresenta ns e ventres que no se propagam na corda, por isso ela chamada de onda estacionria. Diz-se que esta onda estacionria produzida na ressonncia e que a corda ressoa apenas 10

em comprimentos de onda particulares, chamados comprimentos de onda de ressonncia (como f=v/, poderamos falar em freqncias de ressonncia). Os comprimentos de onda das ondas estacionrias produzidas nesta corda so 2L quantizados e valem = , onde n = 1, 2, 3, 4, ..... n A n=1 corresponde o primeiro harmnico, cujo comprimento de onda o maior; n=2, o segundo harmnico; n=3, o terceiro harmnico; etc. O conjunto dos modos de oscilao possveis chamado srie harmnica. Escrevendo a relao anterior em termos v nv de freqncia das ondas estacionrias, teremos f = = . Ao primeiro harmnico 2L v corresponde a freqncia fundamental f1 = =. Em outras palavras, a srie harmnica 2L contem mltiplos inteiros da freqncia fundamental, f n = nf1 .

Fonte:http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/ondas.htm#Princpio%20da %20Superposio acesso em 15/10/08. Ver simulao sobre ondas estacionrias em tubos de ar (excelente!) http://www.fisica.ufs.br/egsantana/ondas/acustica/tubos/tubos.htm Quando um instrumento musical vibra numa determinada nota musical, de fato ele est vibrando na frequncia fundamental (que caracteriza esta nota) e, juntamente, est vibrando numa srie de frequncias harmnicas. A figura abaixo ilustra a forma de onda gerada por um diapaso e por dois instrumentos musicais diferentes, todos afinados na mesma nota.

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As ondas estacionrias mostradas na figura anterior foram decompostas em suas senides fundamentais, por meio de uma anlise matemtica que utiliza as transformadas de Fourier, onde se pode ver a constribuio de cada harmnico que compe a onda, como ilustrado a seguir.

(Adaptado de SERWAY, R. Fsica: Ondas, Mecnica e Termodinmica. 3a ed., RJ: LTC, 1996.) Ver simulao sobre notas musicais: http://www.cefetba.br/fisica/NFL/fge2/harmoniaMusical/harmoniaMusical.html

Q5) Considere uma corda de comprimento L fixa nas duas extremidades onde so produzidas ondas estacionrias. Desenhe os modos de vibrao desde o primeiro harmnico at o quinto harmnico. Q6) Uma corda de violino de 15 cm presa em ambas as extremidades, oscila na freqncia do seu primeiro harmnico. A velocidade das ondas na corda de 250 m/s e a velocidade do som 348 m/s. (a) Qual a frequncia da onda emitida? (b) Qual o comprimento de onda? Q7) Considere uma corda de 10,0 m presa nas duas extremidades, oscilando de acordo

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x) cos( t ) , unidades S.I. 2 (a) Desenhar, observando proporo, esta onda estacionria, representando seus ns e seus deslocamentos mximos e mnimos. (b) Qual seria o mximo comprimento de onda de uma possvel onda estacionria nesta corda? Para este mximo comprimento possvel, se a tenso e a densidade linear de massa permanecessem as mesmas que em (a), o que ocorreria com a velocidade de propagao da onda e com a freqncia angular, em relao ao item (a)?com o padro estacionrio, cuja equao y1 ( x, t ) = 2,0sen ( 8. Batimento a interferncia de duas ondas que se propagam na mesma direo e sentido e apresentam freqncias ligeiramente diferentes. Estas duas ondas esto alternadamente em fase e em oposio de fase, fazendo com que a amplitude da onda resultante alterne entre um valor mximo (correspondendo a interferncia construtiva) e um valor mnimo (correspondendo a interferncia destrutiva).

Ilustrao relativa sobreposio de ondas com freqncias bastante prximas resultando no fenmeno conhecido como batimento (adaptada de SERWAY, R. Fsica: Ondas, Mecnica e Termodinmica. 3a ed., RJ: LTC, 1996).

9. Energia e Potncia transportadas: A energia transportada por uma onda em uma 1 2 corda, por comprimento de onda, dada por E = y max , sendo a densidade 2 linear de massa da corda, isto massa da corda (m) pelo comprimento da corda (L), m = . A potncia (ou taxa de energia transferida) por uma onda em uma corda dada L 1 2 2 por P = ( y max ) v . 2 10. A velocidade v de propagao das ondas depende exclusivamente do meio em que se propagam. A velocidade de propagao de ondas transversais em cordas depende da fora de tenso F sofrida pela corda e da densidade linear de massa , de tal forma que F m v= , sendo = , onde m a massa da corda e L o seu comprimento. L Q8) O sonmero, representado abaixo, um dispositivo que apresenta uma corda tensionada por uma fora F conhecida. A corda fixa nas duas extremidades (A e C) e

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seu comprimento L (entre A e C) pode variar.

Para uma massa de 6125g, cujo peso F, obteve-se o comprimento L(cm) para a frequncia f(Hz) dos diapases utilizados para afinar o sonmero, como mostram os dados abaixo coletados em uma atividade experimental:

a) Com os dados fornecidos, construa o grfico de f em funo de L. b) Aumentando-se o comprimento da corda, para uma mesma fora de tenso, a freqncia aumenta ou diminui? Justifique. c) Quando a corda do sonmero est afinada pelo diapaso de 384Hz: (i) Qual o comprimento de onda do primeiro harmnico na corda? (ii) Lembrando que v=f, qual a velocidade de propagao da onda na corda? (iii) Qual a densidade linear de massa da corda.R: (i) 1,08m; (ii) 414,7m/s; 0,35g/m

Q9) Considerando ondas em cordas, aumentando-se a fora de tenso, para um mesmo comprimento L de uma mesma corda, a freqncia aumenta ou diminui? Justifique. Q10) Ao comparamos o som emitido por duas cordas, sendo uma mais grossa (isto , maior densidade linear de massa) do que a outra, se ambas esto submetidas a uma mesma fora de tenso e apresentam um mesmo comprimento L, qual das duas emitir o som mais grave? Q11) Considere a seguinte srie harmnica na qual falta uma freqncia: 150 Hz, 225 Hz, 300 Hz, 375 Hz. Qual a freqncia que est faltando nesta srie? Q12) Uma corda tem densidade linear 525 g/m e est esticada por uma fora de 45 N. Uma onda de freqncia 120 Hz e amplitude 8,5 mm, se propaga ao longo da corda. A que taxa mdia a onda transporta energia ao longo da corda ? R.99,8W. Q13) Uma corda esticada tem massa 0,180 kg e comprimento de 3,60 m. Qual a potncia fornecida a essa corda capaz de gerar ondas harmnicas com amplitude de 0,500 m e velocidade de propagao de 30,0 m/s ? R.129W Q14) Uma corda de comprimento igual a 125 cm tem massa 2,00 g. Est esticada de modo a suportar uma fora de 7,00 N entre dois pontos fixos. A) Qual a velocidade da

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onda nessa corda? B) Qual a mais baixa freqncia para essa corda ? R.: a) 66,1m/s; b) 26,4Hz. Q15) (adaptada de 46E, Halliday, 4 ed) Considere uma corda, de comprimento L=90cm, presa nas duas extremidades, com densidade linear de massa igual a 7,20 g/m, sujeita a uma tenso de 150N. A corda oscila de acordo com o padro estacionrio mostrado na figura abaixo.

Determinar: (a) a velocidade de propagao da onda; (b) o comprimento de onda; (c) a freqncia de oscilao. R.: a) 144m/s; b) 0,60m; c) 241Hz. Q16) Um corda de 2,7m de comprimento e massa 260g est sob uma tenso de 36,0N. Perturba-se a corda de tal forma que ela vibra produzindo uma onda senoidal de 7,70mm de amplitude, que transporta 85,0W de potncia. Qual a freqncia de vibrao desta onda? R.: 198Hz 11. Ondas Sonoras: As ondas sonoras so ondas mecnicas longitudinais que podem propagar-se em slidos, lquidos e gases. As freqncias das ondas sonoras audveis esto compreendidas num intervalo aproximado de 20Hz a 20kHz. Quando as freqncias forem inferiores ao intervalo audvel temos ondas infra-snicas (por exemplo: ondas ssmicas) e quando as frequncias forem superiores ao intervalo audvel temos ondas ultra-snicas (exemplos: ondas produzidas pelos sonares e pelos aparelhos de ecografia). As ondas audveis originam-se em cordas vibrantes (violino, violo, piano, cordas vocais humanas;...) em colunas de ar em vibrao (tubos de rgo, clarineta, flauta,...) e em placas ou membranas vibrantes (xilofone, tambor, alto-falante,...). Todos estes elementos ao vibrarem produzem compresses e rarefaes do ar em torno deles. Formando-se ondas que ao penetrarem no ouvido originam a sensao sonora.

Fonte: Representao de ondas mecnicas longitudinais: onda em um mola e ondas sonoras (http://www.ufsm.br/gef/Ondas02.htm, acesso em 16/10/08).

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O deslocamento de um elemento do meio, em uma determinada posio, varia senoidalmente no tempo, sendo Smax o deslocamento mximo, a amplitude do movimento. Quando uma onda sonora se propaga, propaga-se uma variao da presso do meio. A amplitude desta variao pmax e significa a variao mxima da presso sofrida pelo meio. Pode-se mostrar que pmax = v S max , onde v a velocidade de propagao da onda, a densidade do meio, =2f a freqncia angular e Smax a amplitude do deslocamento sofrido pelas partculas do meio.

P , sendo: a razo entre o calor especfico molar a presso constante e o calor especfico cp molar a volume constante, = ; P a presso normal do gs; a massa especfica do cv gs.A velocidade v de propagao do som nos gases pode ser calculada por: v = Q17) A frequncia audvel est entre 20Hz e 20kHz. Quais so os comprimentos das ondas sonoras dessas freqncias? Q18) O menor comprimento de onda emitido por um morcego de 3,3 mm. Qual a freqncia correspondente? Q19) Calcular a velocidade do som no ar, a presso normal de 1,0atm, considerando que ar =1,4 e a massa especfica do ar=1,2kg/m3. Q20) Uma pedra cai de um penhasco que apresenta uma profundidade h. Se 10,2s aps a pedra cair escuta-se o som de sua batida contra o cho, calcular h. Usar para a velocidade do som no ar, v=340m/s.R.: 399m

12. Frentes de Ondas: A partir de uma fonte sonora pontual as ondas sonoras se propagam em todas as direes formando frentes de ondas esfricas, centradas na fonte, como ilustra a Figura seguinte. As frentes de ondas so superfcies sobre as quais as oscilaes do ar devido s ondas sonoras tm o mesmo padro.

Frentes de onda esfricas.

13. Intensidade Sonora I: A intensidade do som a taxa mdia de transmisso de P energia por unidade de rea: I = ; a unidade SI para intensidade sonora [W/m2]. A Se o som se propaga atravs de frentes de ondas esfricas, a rea A=4R2, sendo R a distncia at a fonte.

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1 2 2 S max v , 2 onde a densidade do meio, a freqncia angular, v a velocidade de propagao da onda e Smax a amplitude do deslocamento das partculas do meio. A intensidade de uma onda sonora tambm pode ser dada por I = 14. Nvel Sonoro : Como o intervalo de audio humana corresponde a valores de amplitude Smax que vo de 10-5 a 10-11m e a intensidade sonora diretamente proporcional ao quadrado desta amplitude, resulta que a intensidade dos sons audveis abrange 1012 ordens de grandeza (desde 10 10 a 10 22). Para reduzir numericamente este intervalo, adota-se o nvel sonoro definido I como = 10 dB log , onde dB o decibl, a unidade de nvel sonoro no S.I. Io Io a intensidade de referncia padro igual a 10 12W/m2 (escolheu-se este valor por ser a mdia do limite inferior da audio humana). Quando I = I o , = 10 dB log 1 = 0 , isto significa que a intensidade sonora de referncia padro corresponde ao nvel sonoro igual a zero.

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Figura: Intervalo de intensidade sonora percebida pelos (http://www.infoescola.com/fisica/ondas-sonoras/, acesso em 16/10/08).

humanos

Os ndices de poluio sonora aceitveis so estabelecidos pela Lei n. 1.065 de Maio de 1996 e so determinados de acordo com a zona e horrio segundo as normas da ABNT (n. 10.151). Conforme as zonas os nveis de decibis nos perodos diurnos e noturnos so os seguintes: rea Zona de hospitais Perodo Diurno Noturno Zona residencial Diurno urbana Noturno Centro da cidade (negcios, Diurno comrcio, Noturno administrao). rea Diurno predominantemente Noturno industrial dB (A) 45 40 55 50 65 60 70 65

Q21) Um som emitido em todas as direes e a uma distncia de 10,0m da fonte o nvel sonoro de 100dB. a) Qual a intensidade sonora a esta distncia? b) A que distncia da fonte o nvel sonoro ser 50db?Respostas: (a) 10-2W/m2; (b) 3,2Km.

Q22) Se a freqncia de uma onda sonora 400Hz, qual ser a pmax no ar quando a amplitude 10-5m? Considerar: densidade do ar=1,12kg/m3; vsom no ar=340m/s.R.: 9,6Pa

Q23) Qual a intensidade sonora, em W/m2, de uma onda sonora que apresenta nvel sonoro no limiar da dor (130dB)? R.: 10W/m2. Q24) (a) Qual a variao do nvel sonoro quando a intensidade de uma fonte multiplicada por 5, 40 e 100? (b) Qual a razo entre as intensidades sonoras provoca um aumento de 4,0 dB, 25dB e 100dB? R: a) 7,0dB; 16dB; 20dB; b) 2,51; 316; 1010. 15. Aula Experimental sobre Velocidade do Som no Ar. Vamos determinar a velocidade do som no ar, a temperatura ambiente, com o auxlio de um tubo de ressonncia, um diapaso e uma coluna varivel de gua. Fundamentos Tericos: As ondas sonoras ao penetrarem num tubo fechado numa extremidade, se refletem, formando nodos de deslocamento na superfcie fechada do tubo. Se o tubo tiver um comprimento igual a um nmero impar de quartos de comprimento de onda, l = ( 2n + 1) (Eq.1), em sua extremidade aberta se formar um antinodo e as ondas 4

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refletidas encontrando-se com as ondas diretas (incidentes) formaro ondas estacionrias; isto , estaremos na condio de ressonncia. [Em uma anlise cuidadosa, a posio do antinodo ligeiramente superior extremidade, cerca de 0,6 do raio do tubo.] Num tubo de ressonncia pode-se variar o comprimento mediante o auxlio de uma coluna de gua, mantendo a freqncia sempre constante atravs de um diapaso colocado prximo extremidade aberta do tubo. Se o nvel da gua do tubo abaixado (pelo abaixamento do reservatrio), o primeiro modo de ressonncia ocorre quando a posio do nvel da gua corresponder a posio do primeiro nodo. Se o nvel da gua for abaixado ainda mais, um segundo modo de ressonncia poder ocorrer, correspondendo a um segundo nodo. A distancia internodal metade do comprimento de onda. Uma vez determinado o comprimento de onda atravs da experincia e conhecendo-se a freqncia do diapaso, determina-se a velocidade do som no ar, temperatura ambiente, atravs da equao v = f (Eq.2).

Material: a) Um tubo de vidro; b) Um diapaso de freqncia conhecida; c) Um martelo de borracha; d) Um reservatrio de gua; e) Uma haste metlica; f) Um tubo de plstico; g) Um termmetro; h) Uma rgua ou fita mtrica.Montagem: Fazer a montagem da experincia como mostra o esquema seguinte:

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Andamento da Experincia 1. Levantar o reservatrio de maneira que o nvel da gua fique prximo ao topo do tubo. Fazer vibrar diapaso batendo-o levemente com o martelo de borracha (deve-se evitar qualquer tipo de rudo e conversa at a localizao dos pontos de ressonncia). 2. Abaixar lentamente o nvel da gua no tubo pelo abaixamento do reservatrio at se ouvir a primeira ressonncia. Fazer vrias tentativas, abaixando e levantando o nvel da gua at ficar bem localizado o primeiro nodo e marcar com um atilho a posio deste nodo. 3. Abaixar novamente o nvel da gua mantendo sempre a vibrao do diapaso, at localizar a posio do segundo ponto de ressonncia e atravs de outro atilho marcar a posio do segundo nodo. Tarefas: 1. Medir, simultaneamente, a distncia entre o primeiro e o segundo nodos. Obter dez medidas. Calcular a mdia e a incerteza. 2. Calcular o valor mdio da velocidade do som no ar. 3. Determinar a incerteza percentual na velocidade assumindo que a incerteza na frequncia do diapaso desprezvel. 4. Sabendo que a velocidade do som nos gases diretamente proporcional raiz quadrada v1 T1 = da temperatura absoluta, , determinar a velocidade do som no ar a 0C, a partir v2 T2 da velocidade obtida em 2. 5. A velocidade do som no ar a uma determinada temperatura T (em C) pode ser determinada aproximadamente atravs da equao v = 332 + 0,61 T . a) Usando esta equao determinar a velocidade do som no ar temperatura T ambiente. b) Calcular o erro percentual do valor mdio da velocidade do som obtido por voc (no item 2) tendo como referncia o valor obtido em 5(a). 6. Se houver outros diapases determinar a velocidade do som no ar, para vrias frequncias (perguntar ao professor), repetindo 1 e 2. 16. Efeito Doppler A metodologia de trabalho para o estudo do Efeito Doppler consiste na leitura, muito atenta, do texto que segue e a resoluo dos problemas propostos, correspondentes ao mesmo. 20

Em geral, o efeito Doppler observado sempre que h um movimento relativo entre a fonte sonora e o detector. Quando a fonte e o detector se aproximam, um do outro, a freqncia do som ouvido mais elevada que a freqncia da fonte. Quando a fonte e o detector se afastam um do outro, o detector ouve um som de freqncia mais baixa que a freqncia da fonte. Assim, se uma sirene parada ao longo da estrada emite determinada freqncia, um viajante ao se aproximar dessa sirene percebe a freqncia da mesma aumentando e caso se afaste percebe a freqncia diminuindo. O efeito foi estudado em 1842, pelo fsico austraco Johann Christian Doppler e testado experimentalmente em 1845, na Holanda, por Buys Ballot, usando uma locomotiva com vages abertos e vrios trombeteiros. O efeito Doppler estende-se a todas as ondas do espectro eletromagntico, incluindo microondas, sinais de rdio e luz visvel. Os sinais de rdio procedentes dos satlites artificiais da Terra chegam afetados na sua freqncia pelo efeito Doppler. Satlites especializados orbitando em torno da Terra localizam avies cados, medindo o efeito Doppler dos sinais emitidos pelo Transmissor Localizado de Emergncia, que a maioria dos avies privados possui. Automveis multados por excesso de velocidade com auxlio de radar podem culpar o efeito Doppler. Este efeito, por ltimo, usado universalmente em Astronomia, para estudo do movimento das estrelas, galxias e outros corpos em relao a ns. A seguir vamos restringir a anlise considerando ondas sonoras que se propagam dentro da massa de ar atmosfrica.

http://www.py2bbs.qsl.br/image/doppler.gif v vD f '= f v v F , onde:

A freqncia f percebida pelo detector dada por

f a frequncia emitida pela fonte; v a velocidade do som; vD a velocidade do detector; vF a velocidade da fonte; os sinais superiores (+vD e F) se referem ao movimento de aproximao e v os sinais inferiores ( D e +vF) designam o movimento de afastamento. v Observa-se que sempre que houver aproximao entre detector e fonte, f>f; quando houver afastamento, f