oscilacoes3_ns1

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Um bloco de massa m = 0,25 kg ligado a uma mola de constante elstica k = 16,25 N /m e a um amortecedor de constante de amortecimento b = 0,5 N.s/m . O bloco deslocado de sua posio de

equilbrio O at um ponto P a 0,1m e lanado se afastando do ponto de equilbrio com velocidade inicial de 0,7 m/s . Adotando que a fora de amortecimento

proporcional a velocidade, determine:a) A equao do movimento;b) Classifique o tipo de oscilao;c) O grfico da posio x em funo do tempo t.

Dados do problema

massa do corpo: m = 0,25 kg ; constante elstica da mola: k = 16,25 N /m ; constante de amortecimento: b = 0,5 N.s/m ; posio inicial (t = 0): x0 = 0,1 m ; velocidade inicial (t = 0): v0 = 0,7 m/s .

Esquema do problema

Adota-se um sistema de referncia com sentido positivo para a direita. O bloco deslocado at a posio x0 = 0,1 m e lanado com velocidade inicial v0 = 0,7 m/s no mesmo sentido do referencial. Quando solto a fora elstica da mola atuar no sentido de restabelecer o posio de equilbrio (figura 1). Com isto escrevemos as Condies Iniciais do problema:

x 0 = 0,1 m v0 =d x 0

d t= 0,7 m/s

Soluo

a) Aplicando a 2.a Lei de Newton

F = m d2 x

d t2(I)

temos que as foras que atuam no bloco so a fora elstica da mola ( F E ) e a fora de amortecimento ( F R ), dadas, em mdulo, por

F E =k x F R =bv =bd xd t (II)

o sinal de negativo na fora elstica representa que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco (atua no sentido de restabelecer o equilbrio), na fora de amortecimento representa que ela atua contra o sentido da velocidade (atua no sentido de frear o movimento). Substituindo as expresses de (II) em (I), obtemos

k xb d xd t

=m d2 x

d t2

m d2 x

d t2b d x

d tk x = 0

1

figura 1


esta uma Equao Diferencial Ordinria de 2.a Ordem. Dividindo toda a equao pela massa m, temos

d 2 xd t2

bm

d xd t

km

x = 0

substituindo os valores dados no problema

d 2 xd t2

0,50,25

d xd t

16,250,25

x = 0

d 2 xd t2

2 d xd t

65 x = 0 (III)

a soluo deste tipo de equao encontrada fazendo-se as substituies

x = e t d xd t

= et d2 x

d t2=2 e t

2et2et65et = 0e t 2265 = 02265 = 0

et

2265 = 0

esta a Equao Caracterstica que tem como soluo

= b24a c=224.1 .65 = 4260 =256

para


x = et [ C 1C 2 cos8 t iC1iC 2 sen8 t ]x = et [ C1C 2 cos8 ti C1C2 sen8 t ]

definindo duas novas constantes e em termos de C 1 e C 2, ficamos com

C 1C 2 e i C 1C 2

x = et [ cos 8t sen8 t ] (IV)

multiplicando e dividindo esta expresso por 22

x = e t [ cos8 t sen8 t ] 22

22

x = 22 et [ 22 cos 8 t 22 sen8t ]fazendo as seguintes definies

A 22 , cos

22 e sen

22

x = A et [ cos cos8 tsen sen8t ]

Observao: lembrando da seguinte propriedade trigonomtrica

os ab = cosa cosbsena senb

x = A et cos 8 t (V)

onde A e so constantes de integrao determinadas pelas Condies Iniciais, derivando a expresso (V) em relao ao tempo, obtemos

derivao de x = A et cos 8 t

derivando o produto de funes na forma:

uv = u ' vuv '

onde u = A et e v = cos 8 t e a funo cosseno uma funo composta cuja derivada do tipo

d v [w t]d t

= d vd w

d wd t

com w = 8 t

d vd w

=senw =sen 8t e d wd t

= 8

d xd t

= A 1. et cos 8t A et [sen 8t .8 ] =

= A et cos 8t 8 A et sen 8 t

3


d xd t

=A et cos 8 t 8A e t sen 8 t (VI)

substituindo as Condies Iniciais em (V) e (VI), temos

x 0 = 0,1= A e0 cos 8.0 0,1 = A e0 cos 8.0

0,1 = A cos

como o co-seno uma funo par temos cos = cos e a expresso acima fica

0,1= A cos (VII)

d x 0d t

= 0,7 =A e0 cos 8.0 8A e0 sen 8. 0

0,7=A e0 cos 8.0 8 A e0 sen 8.0 0,7 =A cos 8 A sen

como o co-seno uma funo par e seno uma funo mpar sen =sen ficamos com

0,7=A cos8 A sen (VIII)

isolando o valor de A na expresso (VII)

A = 0,1cos (IX)

e substituindo em (VIII), obtemos

0,7= 0,1cos

.cos 8. 0,1cos

. sen

0,7 =0,10,8 tg 0,8 tg = 0,70,1

0,8 tg = 0,8

tg = 0,80,8

tg = 1 = arc tg1

= 4

substituindo o valor de em (IX)

A = 0,1

cos 4

A = 0,1 22

A = 0,1.2 2

A= 0,2 2

4


multiplicando o numerador e o denominador por 2

A = 0,2 2

. 2 2

A = 0,2 22

A = 0,1 2

substituindo estas constantes na expresso (IV), temos

x t = 0,1 2 et cos 8 t 4 b) Como


para esses valores de t temos as razes da funo co-seno, os quatro primeiros valores sero, para n = 0, 1, 2 e 3, respectivamente, t = 0,29; 0,69; 1,08 e 1,47 estes valores esto mostrados no grfico 1.

Para f t = 0 , temos

f t = 0,1 2 et = 00,1 2 et = 0e t = 0

0,1 2et = 0

como no exite t que satisfaa essa igualdade a funo f t no cruza o eixo das abscissas.Para qualquer valor de t real a funo ser sempre positiva f t 0 .

Derivando a expresso f t , temos

d fd t

= 1 .0,1 2 e t

d fd t

=0,1 2 et

para qualquer valor de t real a derivada ser sempre negativa d f t d t 0 e a funo decresce sempre. Fazendo

d f t d t

=0 encontramos pontos de mximos e mnimos da funo.

d fd t

=0,1 2 et = 0

et = 00,1 2

et = 0

como no exite t que satisfaa essa igualdade no existem pontos de mximo ou mnimo da funo.

Derivando uma segunda vez a funo temos

d 2 fd t 2

=1.0,1 2 et

d 2 fd t 2

= 0,1 2 et

6

grfico 1


para qualquer valor de t real a derivada segunda ser sempre positiva d 2 f td t 2 0 e a funo possui boca voltada para cima. Fazendo d

2 f t d t 2

=0 encontramos pontos de inflexo na

funo.

d 2 fd t 2

= 0,1 2 et = 0

0,1 2 et = 0et = 0

0,1 2et = 0

como no exite t que satisfaa essa igualdade no existem pontos de inflexo na funo.Para t = 0 a expresso de f 0 fornece

f 0 = 0,1 2 e0f 0 = 0,1 2f 0 = 0,1.1,4

f 0= 0,14

Como a varivel t representa o tempo no tem sentido o calculo de valores negativos (t0 ), para t tendendo a infinito, temos

limt

f t = limt

0,1 2 et = limt

0,1 2et

= 0

Da anlise feita acima traamos o grfico de f em funo de t mostrado no grfico 2.

Como x t = f t g t a combinao dos grficos produz uma curva que oscila como a funo co-seno amortecida pela exponencial (grfico 3).

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grfico 2

grfico 3

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