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Um corpo, de massa m, está preso a extremidade de uma mola, de constante elástica k, e apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito. A outra extremidade da mola se encontra presa em ponto fixo. Afasta-se o corpo da posição de equilíbrio e libera-se o corpo. Determine:a) A equação de movimento do corpo;b) A velocidade em função da massa m, da constante elástica k, da amplitude A e da distância x entre o corpo e o ponto de equilíbrio da mola;c) O módulo da velocidade máxima;d) A aceleração em função da massa m, da constante elástica k e da distância x entre o corpo e o ponto de equilíbrio da mola;e) O módulo da aceleração máxima;f) A energia cinética;g) A energia potencial;h) A energia total.

Dados do problema

• massa do corpo: m;• constante elástica da mola: k.

Esquema do problema

Adota-se um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco é deslocado e solto a força elástica da mola fará com que retorne à posição de equilíbrio, a velocidade estará apontando no sentido contrário do referencial e aumentando em módulo no sentido da posição de equilíbrio (figura 1).

Solução

a) Aplicando a 2.a Lei de Newton

F = m d 2 xd t 2 (I)

temos que a única força que atua no bloco é a força elástica da mola ( F E ), dada por

F E =−k x (II)

o sinal de negativo na força elástica representa que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco (atua no sentido de restabelecer o equilíbrio). Substituindo a expressão de (II) em (I), obtemos

−k x = m d 2 xd t 2

m d 2 xd t 2 k x = 0

esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.a Ordem. Dividindo toda a equação pela massa m, temos

1

figura 1

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d 2 xd t 2

km

x = 0

fazendo a definição 02 ≡ k

m , escrevemos

d 2 xd t 2 0

2 x = 0

a solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições

x = e t d xd t

=e t d 2 xd t 2 = 2 e t

2 e t 02 e t = 0

e t 2 02 = 0

2 02 = 0

e t

2 02 = 0

2 =− 02

= − 02

1, 2 =± 0 i

a solução será

x =C 1 e 1 tC 2e2 t

x = C1 e 0 i tC 2e− 0 i t

onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a Relação de Euler (leia-se óiler) e i θ = cos θi sen θ

x = C1 cos 0 ti sen 0t C2 cos m 0 t−i sen 0 t x =C 1 cos 0 ti C1 sen 0 tC2 cos 0 t−iC 2 sen 0 t

coletando os termos em seno e co-seno, temos

x = C 1C 2 cos 0 t i C1−i C2 sen 0 tx = C1C2 cos 0ti C1−C2 sen 0 t

definindo duas novas constantes α e β em termos de C 1 e C 2, ficamos com

≡ C1C2 e ≡ i C 1−C 2

x = cos 0 t sen 0t (IV)

multiplicando e dividindo esta expressão por 2 2

x = cos 0 t sen 0 t 2 2

2 2

x = 22

2 2cos 0 t

2 2sen 0t

2

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fazendo as seguintes definições

A ≡ 2 2 , cos φ≡

2 2 e sen φ≡

2 2

x = A cos φ cos 0tsen φ sen 0t

Observação: lembrando da seguinte propriedade trigonométrica

oos a−b = cosa cos bsena senb

x = A cos 0 t−φ

b) A velocidade é dada por

v = d xd t

derivação de x = A cos 0 t−φ

a função x( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo

d x [u t ]d t

= d xd u

d ud t

com x u = cos u e u t = 0 t−φ , assim as derivadas serão

d xd u

=−sen u =−sen 0 t−φ e d ud t

= 0

d xd t

= A [ −sen 0t−φ . 0 ]=− 0 A sen 0t−φ

v =− 0 A sen 0 t−φ (V)

sendo o seno dado por

cos2θsen 2θ = 1senθ= 1−cos2θ

v =− 0 A 1−cos 2 0 t−φ

v =− 02 A2 [ 1−cos 2 0 t−φ ] (VI)

escrevendo a solução do item (a) na forma

cos 0 t−φ = xA

cos 2 0 t−φ = x 2

A2 (VII)

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substituindo a expressão (VII) em (VI) e a definição de 02 feita acima, temos

v =− km

A2 1− x 2

A 2 v =− k

mA 2 A 2−x 2

A2 v =− k

m A2−x 2

c) Na solução do item (b) analisando o termo entre parênteses A 2−x 2 temos que x 2 é sempre positivo, portanto este termo terá um valor máximo para x = 0, assim o módulo da velocidade máxima será

∣v máx ∣= km

A2−0 2

∣v máx ∣= km

A 2

∣v máx ∣= A km

d) A aceleração é dada por

a = d vd t

derivando a expressão (V) do item (b), temos

derivação de v =− 0 A sen 0 t−φ

a função v( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo

d x [u t ]d t

= d xd u

d ud t

com v u = sen u e u t = 0 t−φ , assim as derivadas serão

d vd u

= cos u = cos 0 t−φ e d ud t

= 0

d vd t

=− 0 A [ cos 0 t−φ . 0 ] =− 02 A cos 0 t−φ

a =− 02 A cos 0t−φ

comparando esta expressão com a solução do item (a) e com a definição de 02 feita acima,

obtemos

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a =− km

A cos 0t−φ x

a =− km

x

e) A aceleração máxima ocorre para o valor máximo de x que ocorre quando a amplitude é máxima, ou seja, x = A, assim

∣a máx ∣=− km

A

f) A energia cinética é dada por

E C =mv 2

2(VIII)

substituindo a expressão (V) em (VIII)

E C=m− 0 A sen 0t−φ

2

2

E C =m 0

2 A 2 sen 2 0 t−φ 2

substituindo a definição de 02 feita acima, temos

E C=m− 0 A sen 0t−φ

2

2

E C= m km

A 2 sen 2 0 t−φ 2

E C =k A 2

2sen 2 0 t−φ

g) A energia potencial elástica é dada por

E P =k x 2

2(IX)

substituindo a solução do item (a) na expressão (IX)

E P =k [ A cos 0t−φ ]

2

2

E P =k A 2

2cos2 0 t−φ

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h) A energia total será dada pela soma dos resultados dos itens (f) e (g)

E T =E CE P

E T =k A 2

2sen 2 0 t−φ k A 2

2cos2 0 t−φ

E T =k A 2

2 [ sen 2 0 t−φ cos2 0 t−φ ]

da Trigonometria temos que cos 2 θsen 2 θ= 1 , assim obtemos

E T =k A 2

2

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