Otimização de Pistas de Corrida Curva de Entrada · 1. RESUMO: A otimização de um pista de corrida de forma bem realista é enormemente precisa e requer ... A trigonometria do

Departamento de Controle e Automação

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Otimização de Pistas de Corrida – Curva de Entrada

Aluno: Rodrigo Simões Pessoa

Orientador: Sidnei Paciornik

Co-Orientador: Mauro Speranza Neto


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OTIMIZAÇÃO DE PISTAS DE CORRIDA – CURVA DE ENTRADA

Aluno: Rodrigo Simões Pessoa

Orientador: Sidnei Paciornik

Co-Orientador: Mauro Speranza Neto

1. RESUMO:

A otimização de um pista de corrida de forma bem realista é enormemente precisa e requer

inúmeros conceitos de fisica e matemática, alguns muito complexos e trabalhosos para poder

criar um modelo matemático impecável: uma estratégia para chegar a tal modelo é utilizar

diversas simplificações e analisar casos pontuais. A partir disso, é possivel ir combinando os

casos pontuais em um método único e, gradualmente, tornar o modelo mais complexo e preciso.

É importante notar que há varias possiveis simplificações que podem ser feitas, mas que

algumas podem comprometer a base, em termos da ciência por tras do problema, do modelo.

Para evitar isso, será necessário utilizar a física e matemática básicas para que ideias mais

complexas possam ser introduzidas ao longo deste projeto. Falta, então, criar um objetivo de

forma a dar uma direção à este projeto:

O objetivo deste projeto é criar um modelo que minimize o tempo necessário para se

percorrer uma pista e que possa ser aplicado para qualquer pista possivel, independente de

sua complexidade, tamanho ou sistema de coordenadas utilizado.

2. INTRODUÇÃO:

2.1. Otimização e pistas de corrida

Seguindo a invenção do motor de combustão a gasolina e a prévia popularidade dos

carrinhos de corrida; a corrida de carro, intitulada como “automobilismo” surgiu em meados do

século XIX. A primeira corrida de carro aconteceu na França, por volta de 1894 e foi organizada

pelo Parisian magazine Le Petit Journal of Paris to Rouen1 para determinar a melhor

performance dos novos carros. Desde então, o automobilismo veio ganhando mais populariedade

e hoje em dia tem uma grande reputação, sendo bem conhecido e possuindo muitos entusiastas

além, é claro, de fans. O automobilsmo, atualmente, possue um numero bem variado de

modalidades tais como, rally, stock cars, corridas em pistas fechadas, corridas lineares (em linha

reta), corrida clássica, corrida de kart, etc.

1 Extraído do site http://pt.wikipedia.org/wiki/Automobilismo.


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O automobilismo é e sempre foi muito relacionado com a engenharia, visto que os carros

foram e são desenvolvidos, melhorados e adaptados às diversas modalidades através da

engenheria. Pode-se argumentar que, no começo, os carros eram montados com dados impiricos

e sem muito tratemento científico e, portanto, não eram interesses da engenharia propriamente

dito; mesmo assim, agora eles possuem um rigoroso tratemento científico em todas as etapas

(desenvolvimento, criação, corrida, manutenção, etc) e são, indiscutivelmente, um grande

interesse para a engenharia.

Acompanhando a crescente fama do esporte, a necessidade de criar carros de alto

desempenho, assim como minimizar o tempo gasto para percorrer um circuito, aumentou. A

engenharia, logo, se tornou mais e mais importante, pois ela providenciava o método científico

necessario para que novas tecnologias pudesse ser aplicadas nos carros. Ela tambem trouxe

consigo o processo de otimização, que viria a minimizar o tempo gasto percorrendo as pistas

através, principalmente, da física e da matemática aplicada.

2.2. A Importancia da Otimização

O processo de otimização, aplicado à engenharia, se resume em achar a melhor solução

ou solução ideal para um problema. Por causa da natureza exata da engenharia como um todo,

estes problemas envolvem, na grande maioria das vezes, conceitos que geram formulas ou então

dados empiricos. A vantagem dessa exatidão é que ela torna possivel a criação de modelos

matemáticos que, por sua vez, possuem tremenda precísão assim como a habilidade de levar em

conta erros, simplificações, desvios ou ajustes, de forma a encontrar uma solução real, acessivel

e otima.

A evolução tecnológica trouxe uma outra grande vantagem para o processo de otimização

em engenharia: a possibilidade de criar simulações de comportamentos e eventos de forma

tremendamente realista. Estas simulações acarretaram em uma redução brutal de custos (já que

os projetos poderiam ser „testados‟ inumeras vezes em meio digital antes de ser fabricado ou

produzido) assim como uma redução incrivel em tempo, diminuindo, como consequencia, o

custo de oportunidade2 de todos os projetos, especialmente os de grande porte.

A otimização aplicada a engenharia, em si, é achar o melhor meio de se fazer algo,

levando em consideração varios fatores tal como, mas não restrito à, qualidade, custo e tempo.

Em grande parte, pode-se dizer que a otimização consiste em aplicar diversos conceitos

científicos a um determinado problema, de forma a criar um modelo matemático e resolve-lo.

As definições dadas acima são, no entanto, um pouco vagas e são melhores explicadas

através de exemplos como este projeto. A otimização de uma pista de corrida é, simplesmente,

achar o caminho e as técnicas de direção mais adequadas de forma a minimizar o tempo que

demora para se percorrer a pista, dadas certas condições e restrições.

2 Custo de oportunidade é uma expressão usada para representar todas as outras alternativas que poderiam ter sido

escolhidas e feitas no mesmo espaço de tempo da alternativa escolhida.


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3. METODOLOGIA:

3.1. Curva de Entrada:

A curva de entrada é muito semelhante à curva de noventa graus pois a curva de entrada é

nada mais do que uma curva que possui um trecho reto logo em seguida.

Ao lado, encontra-se uma figura contendo a geometria da curva de entrada e pode-se

perceber que a curva tipo 1 é marcada por uma ápice tardio.

O objetivo desta curva é maximizar a velocidade de saida (ou velocidade tangencial no final

da curva) para que o carro possua a maior velocidade possivel no começo do trecho reto.

Fig.1 – Uma curva tipo 1 (curva de entrada) entrando em um trecho reto.


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A restrição da velocidade maxima em uma curva, dada pela função ( ( ) √ ), não

pode ser ultrapassada pois, se não, o carro começa a derrapar, perde velocidade e talvez não seja

capaz de concluir a curva. A função acima implica, no entanto, que quanto menor for a

velocidade tangencial em um curva, mais fechada ela poderá ser, isto é, a curva poderá ter um

raio menor, ja que ambas as grandezas são proporcionais.

A implicação vista acima permite que o carro reduza a velocidade, faça, inicialmente,

uma curva mais fechada, para que depois este possa fazer uma curva mais aberta (com uma

velocidade maior). Ja foi visto que quanto mais aberta a curva for, maior a sua velocidade

maxima será (pois o seu raio será maior) e, entao, o carro sairá com uma velocidade tangencial

maior. O carro entra em um curva mais fechada do que a curva otima de :

Observe que, embora a velocidade tangencial seja bem menor, a mudança de direção é

bem mais rapida. O carro chega, então, no ponto de transição ( ), chamado de ápice, e acelera.

Para que o carro se mantenha na pista e não deslize, o piloto abre mais a curva, de forma que a

sua nova velocidade máxima seja a mesma que aquela permitida pela nova curva de . A curva

de é consideravelmente maior do que a curva otima de :

Fig.2 – Trajetória simétrica ótima para uma curva de 90 graus


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Desta maneira, o carro sai com uma velocidade tangecial muito maior do que a permitida

pela curva otima de e, ao percorrer a reta, parte de uma velocidade incial muito maior que,

por sua vez, acarreta em uma drástica diminuição do tempo necessário para percorrer a reta. É

importante observar que quanto mais trechos retos a pista possuir, maior será esse ganho de

tempo.

Voltando a geometria da curva, é possivel escrever a seguinte relação trigonométrica, baseada no

triangulo (maior) formado (lembrando que cosseno de theta é igual a cateto adjacente sobre

hipotenusa):

( )

( )

Do segundo triangulo (menor) formado, pode-se escreve a seguinte relação

trigonométrica:

( ) ( )

( )

A figura ao lado mostra a curva otima de . Note que a grandez é a largura da pista

que pode ser escrito como ( ). Portanto, igualando as expressões e rescrevendo a

expressão, tem-se:

( )

( )

( )

Esta equação fornece o raio da curva aberta que definirá, por sua vez, a velocidade

máxima permitida na curva e, consequentemente, a maxima velocidade de saida do carro. Para

descobrir a velocidade máxima de saida, basta substituir a equação acima na função ( ( )

√ ):

( ) √ (( )

( ) )

Uma importante observação é que o valor de theta é

ou no caso da curva simples de

noventa graus, logo, no caso de uma curva tipo 1, em que o ápice é tardio, o verdadeiro valor de

theta será:


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Onde é o angulo entre o ápice da curva simétrica até o novo ápice. Com estas relações

trigonométricas, é possível começar a montar um programa que gere o traçado ideal de curvas

tipo 1. A contrução da trajetória tipo 1 foi dividida em duas etapas: montar a primeira curva (a

com o maior raio) e, depois, a segunda, que tem o raio menor e suaviza a entrada para a primeira

curva. Este relatório focará, primeiramente, na criação da primeira trajetória. Depois, disto, ele

irá discutir o método usado para a criação da segunda curva.

3.2. Construção da Curva de Maior Raio:

A curva de maior raio possui um ápice tardio e, como já foi préviamente discutido, possui

um raio dado pela equação:

( )

( )

Considere a equação geral de um círculo:

( ) ( )

Um círculo pode ser escrito desta forma se o raio e as coordenadas e forem

conhecidas. A trigonometria do problema forneceu uma equação para o raio, portanto, resta

apenas achar as coordenadas do centro do círculo.

Considere a trajetória simétrica ótima (Fig 3). A nova trajetória possuí um ápice tardio,

theta rad do ápice da trajetória simétrica ótima, e possuí uma raio maior. Isto implica que o

centro da nova curva é o mesmo centro da curva simétrica aplicando uma translação e uma

rotação de theta rad. A figura abaixo mostra o processo de achar o centro da nova curva de

maneira mais clara.

Da Figura 3 percebe-se que existe uma relação entre a distância e as novas distâncias

: uma translação e uma rotação. Considerando a translação e as relações trigonométricas

da figura, tem-se que:


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𝜆

𝜆𝑦 𝑑

𝜆

𝜆𝑥

𝜗

𝜗

Onde é o raio da trajetória ótima (dado pela equação ( )

( ) ) e é o

raio interno da curva. A partir da equação acima e das relações trigonométricas, tem-se que:

√ √ √

√

Onde é o fator de translação da curva simétrica ótima transladado. O novo centro

transladado (em marrom na Fig.3) é:

. / .

/ (

)

Agora que a translação foi encontrada, resta fazer a rotação do ponto. É importante

observar que a rotação será feita usando o centro do eixo de coordenadas e que este não é

Fig 3. - A figura mostra a curva

simétrica ótima (vermelha) e a nova

curva (azul) e os respectivos centros

(circulados em vermelho e azul).

Também mostra o centro da curva

simétrica ótima transladado (em

marrom). Esta figura ilustra o processo

usado para encontrar o centro da nova

curva.

OBS: Embora não esteja claro na

figura, o raio da nova curva (azul) é

maior que o da curva simétrica ótima

(vermelha).


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necessariamente o ponto ( ) e, como consequência, a matriz de rotação em relação à origem

não será suficiente para achar o novo ponto. Para resolver este problema, uma abordagem

vetorial será usada. Considere o vetor que liga a origem (B) do sistema de referencia sendo

usado ao centro transladado (A) que necessita a rotação. A rotação, agora, pode ser feita no vetor

a partir do ponto ( ) usando a matriz de rotação em relação a origem. Para achar as novas

coordenadas do ponto (A), basta subtrair as coordenadas do ponto (B), da seguinte maneira:

( )

. / (

( ) ( ) ( ) ( )

) .

/ . /

Aplicando este tratamento ao problema:

( ) (

( ) ( ) ( ) ( )

) (

) . / (

( ) ( ) ( ) ( )

)

(

√

√ )

. /

Voltando a equação do círculo, pode-se definir a primeira curva como:

( ) ( )

Agora resta apenas a determinação do domínio, que, inicialmente, irá ser definido como:

, -

Onde é a coordenada x da origem do eixo de coordenadas usado.

Antes de abordar a programação do problema, a construção do programa, é preciso

definir a segunda parte da curva que, como dito antes, possuí um raio muito menor e suaviza a

entrada para a curva de raio maior.

3.3. Construção da Curva de Menor Raio e o Método de Aproximação da Elipse:

Através do método de aproximação da elipse, é possível construir uma curva com um

raio menor, da forma elíptica. Esta curva, por possuir um raio menor, tem uma velocidade

máxima menor do que a curva de raio maior e, portanto, é responsável pela rápida mudança de

direção do carro, que é necessário para percorrer a curva. Ela também é responsável pela entrada

suave do carro na segunda parte da curva (a curva de raio maior).

Este método presume que a trajetória que necessita ser encontrada seja uma trajetória

elíptica posicionada em algum lugar pré-definido do espaço de forma que a trajetória seja


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𝑑 𝑑

𝑑

𝑑𝑛

tangente à curva de raio maior. Um dos parametros é descoberto através de iterações e

aproximações.

Primeiro, é preciso definir um ponto no espaço que será o centro da elipse. Note que

quanto mais o centro da elipse estiver para esquerda, menor o comprimento da trajetória de

maior raio (em azul na Fig.5, acima). Por outro lado, quanto mais o centro da elipse estiver para

a direita, mais brusca será a entrada (pois a curva mudará de direção muito rapidamente).

Levando essa consequências em conta e, pela simetria do problema, o centro da elipse será

definido como a metade do raio externo da curva, coincidindo com o eixo x dos eixos de

coordenadas. Isto permite que a trajetória seja suave e curta. Note, ainda, que mudanças na altura

do centro da elipse levam a grandes complicações (que, por sua vez, demandam um grande

esforço computacional) que podem ser facilmente evitadas.

Considere a equação genérica de uma elipse:

.

/

.

/

A equação da elipse com os parametros pré-definidos deste problema fica:

( ( )

)

.

/

Fig 4. - A figura

mostra o método de

aproximação da

elipse, mostrando três

iterações do método

(“𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑”). e o

resultado final

(“𝒅𝒏”).


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É preciso, então, determinar os parametros „a‟ e „b‟ que são os tamanhos dos semi-eixos

x e y respectivamente. Mais um vez, para evitar uma complicação muito grande assim como um

grande esforço computacional, define-se o parametro „a‟ como sendo metade do raio externo da

curva . A elipse fica, para valores diferentes de „b‟, igual às elipses mostradas na Fig 5. A

equação da elipse se torna, então:

(

( )

( ⁄ )

)

.

/

É necessário descobrir o valor aproximado do parametro „b‟ (o tamanho do semi-eixo y).

A aproximação começa com uma estimação que com certeza seja maior que o valor aproximado

de ‘b’. É importante que o valor estimado seja maior que o valor aproximado de „b‟ pois é

necessário (para esta aproximação) que a elipse corte a curva de raio maior (em azul na Fig. 5).

Considere um valor de „b‟ tal que:

A elipse cortará a curva de maior raio duas vezes (dentro do domínio da curva):

(

( )

( ⁄ )

)

.

/

( ) ( )

*

+

A medida que „b‟ for diminuindo em módulo (a cada iteração), os valores de

se

aproximarão em módulo e a diferença tenderá a zero.

E, depois da n-ésima iteração (depois de infinitas iterações):

{

A aproximação funciona da seguinte maneira: primeiramente, chuta-se um valor de „b‟

que seja maior que o valor aproximado, portanto, pela geometria do problema, será suposto que o


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valor inicial de „b‟ é o mesmo de . Construa a elipse e ache os dois pontos de interseções desta

com a curva de maior raio (naturalmente, os dois pontos de interseções devem estar no domínio

da curva). Calcule a diferença „d‟ entre os pontos de interseções. Caso esta diferença seja muito

grande (isto é, seja maior que um valor de controle pré-definido), subtraia „b‟ por um valor

proporcional à diferença „d‟. Primeiro, estima-se um valor para b:

Monta-se a equação da elipse:

(

( )

( ⁄ )

)

(

)

Calcula-se a interseção entre a elipse e a trajetória circular:

(

( )

( ⁄ )

)

(

)

( ) ( )

, -

*

+

Calcula-se a diferença entre as interseções:

Se a diferença não for menor que a condição limite (ex. ), subtraia, de

„b‟, um valor proporcional à diferença (ex.

) e repita o processo:

(

)

(

)

Se a diferença for menor que a condição limite (ex. ), encerre o processo:


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A junção das duas curvas (a de menor e maior raio) compoem, finalmente, a curva de

entrada. Abaixo encontra-se um exemplo da curva completa para certos parametros, com e sem o

domínio própriamente definido:

3.4. Ajustes e Generalizações:

Uma vez que a trajetória ótima da curva de entrada foi definida, foi preciso criar um

método para que esta trajetória pudesse ser feita para qualquer angulo inicial e final (assumindo

que a diferença entre o angulo inicial e final seja de noventa graus). Surge, então, a necessidade

de rotacionar a trajetória. Para rotacionar a parte circular da trajetória (o trecho com o maior raio)

basta rotacionar o centro do circulo usando o mesmo processo de rotação que foi explicado na

seção “Construção da Curva de Maior Raio”. No caso do trecho elíptico (o de menor raio), é

necessário rotacionar o centro da elipse, porém, também é necessário mudar a orientação da

elipse. Para resolver este problema, a formula geral para uma elipse levando em conta a

orientação foi usada:

(( ) ( ) ( ) ( )

)

(( ) ( ) ( ) ( )

)

A parte rotacional da generalização foi descrita acima porém ainda resta um problema: a

trajetória otima só está definida para curvas no sentido anti-horário, isto é, curvas, em geral, para

esquerda. A abordagem usada para definir as trajetórias ótimas de curvas no sentido horário (ou

curvas para direita) foi: tratar a curva como inicialmente para esquerda, e depois refletí-la ao

longo do eixo. Para que este método funcione, é preciso usar a equação geral que da esta

reflecção ao longo do eixo:

{

Fig 5. - A figura mostra a curva de entrada para certos parametros, primeiro com o domínio própriamente

definido e depois, com o domínio não-definido. OBS: A forma elíptica da curva de raio menor é bem aparente

no segundo caso, em que o domínio não esta bem definido.


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Onde é a coordenada x do eixo vertical utilizado para fazer o reflexo. Com estes dois

ajustes finais, todas as curvas de entradas que podem ser analisadas são contempladas: ambos os

sentidos são considerados (horário e anti-horário), os angulos inicias e finais são considerados e

qualquer centro (isto é, qualquer sistema de referência escolhido) é considerado.

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES:

4.1. A Construção do GUI:

Para contruir a interface gráfica para usuário (GUI), o programa MATLAB foi usado. O

MATLAB possui um GUI para assistir na criação de GUIs chamado GUIDE. O layout do GUI

foi personalizado tal como na figura abaixo:

A figura 6 mostra o layout do programa. Há dois gráficos, um na esquerda e outro na

direita, ambos os gráficos delimitados pelo quadrado com um „X‟ no meio. No meio está o painel

de parametros, que dará os parametros a serem usados na geração do traçado ideal da curva. Será

lá que a largura do carro, raio interno e externo da curva (assim como outros dados) serão postos

para que a curva seja gerada da forma correta. Abaixo se encontram 5 botões: o mais da esquerda

gera o traçado ideal da curva, o segundo da esquerda para a direita limpa o a área do gráfico, o

do meio habilita uma analise rápida que resulta em uma curva mais imprecisa na hora de gerar o

traçado ideal (usado mais para testes internos do próprio programa), o quarto botão da esquerda

para a direita adiciona o gráfico atual na outra área de gráfico (usado para poder manusear

multiplos gráficos) e o botão mais da direita limpa a área do segundo gráfico. As duas áreas

brancas escrito “N/A” (no canto esquerdo inferior do programa) é onde as equações implícitas

das partes da curva ideal aparecerão escritas. Finalmente, do lado destas duas áreas brancas há

tres caixas que podem ser marcadas: a primeira mostra no gráfico a „curva real‟ isto é, a curva

Fig 6. - A figura mostra o layout do

GUI (software) que gerará os

traçados ideias.


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que o carro poderá fazer sem sair da pista, levando em consideração a largura do carro. A

segunda opção habilita os pontos de junção da curva, ou seja, o ponto em que o carro começa a

curva, o ponto em que a curva muda drásticamente de curvatura (ou o ponto em que a curva de

raio menor passa a ser a curva de raio maior), e o ponto onde o carro conclui a curva. A ultima

opção habilita o domínio usado para testar o funcionamento do programa. Esta ultima opção é

mais usada para testes interno do funcionamento do programa ou „debug3‟. A análise detalhada

da programação será omitida neste relatório pois seria muito grande (em termos de quantidade de

páginas necessárias) e não é necessário, uma vez que é a implementação do que foi discutido no

relatório até agora.

5. CONCLUSÃO:

Conclui-se que a análise de uma curva não é trivial como muitos podem pensar: a base de

física e matemática necessária para a compreensão de tal análise pode ser razoavelmente

fundamental, no entanto, a quantidade de detalhes minunciosos, assim como à abstração

necessária para levar em conta os diverosos casos (analisar a curva independente do sistema de

referencia escolhido, curvas para a esquerda e a direita, curvas de noventa graus que começam

com um certo angulo, etc) trazem consideráveis complicações, que são, em sua maioria,

matemáticamente intensas. Cabe lembrar que a curva de entrada é somente uma dos três tipo de

curvas de noventa graus, e que, para a análise completa de uma pista de corrida, ainda faltam as

curvas menores e maiores que noventa graus e os trechos retos. Fica claro, então, o tamanho do

trabalho, assim como a sua profundidade física e matemática. Finalmente, conclui-se que o

programa foi montado com sucesso e que ele atende satisfatóriamente a necessidade de analisar

as curvas de entradas ou curvas tipo 1. Sua natureza modular facilita a sua integração com outros

módulos afim de criar um programa completo de otimização de pista de corrida.

5.1. Perspectivas de continuidade e possibilidades de desdobramento do trabalho:

Por diversos motivos que variam desde a dificuldade de encontrar equação gerais para

certos processos até a própria implementação e programação de conceitos matemáticos assim

como a contemplação da análise de todos os possíveis casos, o programa não foi completo como

o esperado. Por esta razão, há espaço para crescimento neste programa e para a adição de novos

módulos. Tem-se como futuros projetos:

Módulo para a análise de curvas de saída (curvas tipo 2) e gerador de traçado ideal para

curvas de saída.

Módulo para a análise de curvas de transição (curvas tipo 3) e gerador de traçado ideal

para curvas de transição.

Módulo para a análise de trechos retos e gerador de traçado ideal para trechos retos.

Módulo para resolução de pequenas descontinuidades e „suavização‟ do traçado final.

3 “O comando é tido como especialmente útil para interpretar e monitorar o funcionamento de programas executáveis, bem como

encontrar possíveis erros operacionais” – extraído de http://pt.wikipedia.org/wiki/Debug_(comando)


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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

6.1.Sites:

http://inventors.about.com/library/weekly/aacarsgasa.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Automobilismo

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=499360

http://www.mathworks.com/videos/creating-a-gui-with-guide-68979.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_representation_of_conic_sections

http://matlab.cheme.cmu.edu/2011/08/01/basic-plotting-tutorial/

http://www.alecjacobson.com/weblog/?p=1659

http://www.math.utah.edu/~eyre/computing/matlab-intro/matrices.html

6.2.PDFs:

https://www2.bc.edu/~reederma/llinalg5.pdf

http://www4.ncsu.edu/~scroggs/ma591matlab/lecturenotes/L03_Functions.pdf

http://users.isr.ist.utl.pt/~pedro/ifac2011workshop/Hauser.pdf

http://www.math.tamu.edu/~phoward/m442/matbasics.pdf

http://www.uccs.edu/Documents/math/Calc3MatlabTutorial1.pdf

http://msenux.redwoods.edu/Math4Textbook/FunctionFunctions/Zeros.pdf

http://www.ee.columbia.edu/~marios/matlab/mtt.pdf

6.3.Livros:

EDMONDSON, Chuck, Fast Car Physics

6.4.Outros:

Diversos slides/apresentações de powerpoint e PDFs providos pelo curso de Integrador

Básica 1, ENG 1780, PUC-RIO, 2012.2


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7. Agradecimentos:

O autor agradece o CNPq pelo apoio no desenvolvimento deste pesquisa. Agradece também

a Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-RJ) pela oportunidade e a

colaboração dos orientadores.