Otimização e Incertezas para o Projeto Preliminar de Veleirosmonografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10023517.pdf · 2018. 4. 2. · Christo, Diogo Fernandes Otimização e

OTIMIZAÇÃO E INCERTEZAS PARA O PROJETO PRELIMINAR DE VELEIROS

Diogo Fernandes Christo

Projeto de Graduação apresentado ao Departamento de Engenharia Naval e Oceânica, da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Bacharel em Engenharia Naval e Oceânica.

Orientador: José Marcio Vasconcellos

Rio de Janeiro

Novembro de 2017

OTIMIZAÇÃO E INCERTEZAS PARA O PROJETO PRELIMINAR DE VELEIROS


PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS

PARA A CONCLUSÃO DO CURSO DE ENGENHARIA – HABILITAÇÃO NAVAL E OCEÂNICA.

Aprovado por:

_______________________________________________

Prof. José Marcio Vasconcellos, Ph.D.

_______________________________________________

Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D.Sc.

_______________________________________________

Prof. Marta Cecilia Tápia Reyes, D.Sc.

Rio de Janeiro

Novembro de 2017

Christo, Diogo Fernandes

Otimização e Incertezas para o Projeto Preliminar de Veleiros /

Diogo Fernandes Christo – Rio de Janeiro: UFRJ /

Escola Politécnica, 2017.

IX, p. 176: I1; 19,7 cm

Orientador: José Marcio Vasconcellos

Projeto de Graduação – UFRJ / Escola Politécnica /

Curso de Engenharia Naval e Oceânica, 2017.

Referências Bibliográficas: p. 175-176.

1. Dimensões Principais. 2. Geometria do Casco. 3. Apêndices do

Casco. 4. Equilíbrio Hidrostático. 5. Velas. 6. VPP. 7. Estrutura do Casco

8. Estabilidade. 9. Parâmetros de Análise e Avaliação. 10. Otimização e

Estudo de Casos. 11. Incertezas e Estudo de Casos. I. Vasconcellos, José

Marcio. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. III. Otimização e

Incertezas para o Projeto Preliminar de Veleiros.

RESUMO

Otimização e Incertezas para o Projeto Preliminar de Veleiros


Novembro/2017

Orientador: José Marcio Vasconcellos, Ph.D.

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

O projeto de qualquer embarcação é um processo iterativo que envolve diversos fatores, não

sendo possível focar em apenas um e ignorar os demais. Ao se utilizar softwares distintos para

o cálculo de cada fator de projeto, o projetista necessita transferir resultados entre softwares.

Caso uma alteração seja realizada em uma plataforma de cálculo, a inter-relação entre os

fatores faz com que as demais plataformas também necessitem ser alteradas. Esse trabalho

envolve, através do software Microsoft Excel, o desenvolvimento de uma plataforma única

para o cálculo dos principais fatores do projeto preliminar de um barco a vela. São discutidos

os seus conceitos e relações entre os principais fatores do projeto, apresentando as

expressões matemáticas e os algoritmos necessários para o desenvolvimento dos principais

módulos do programa. As etapas apresentadas envolvem: a previsão estatística das

dimensões principais; a representação numérica do casco; as alterações na forma do casco; o

equilíbrio hidrostático; o projeto da quilha, bulbo e leme; o projeto das velas, do mastro e dos

demais equipamentos; o balanço das forças hidrodinâmicas e aerodinâmicas criando um

programa de VPP; o cálculo estrutural; e o cálculo estabilidade. Ao final da elaboração da

ferramenta, é utilizado o @Risk, o qual é um add-in do Microsoft Excel, para alterar algumas

variáveis do projeto e buscar uma solução ótima. Utilizando também o @Risk, adicionam-se

incertezas em variáveis visando dois objetivos diferentes: realizar simulações para uma

condição conhecida; e incorporar simulações de probabilidade no processo de otimização.

Palavras-chave: Otimização, Incertezas, Projeto, Barco a Vela, Veleiro, Excel, @Risk.

ABSTRACT

Optimization and Uncertainty for the Preliminary Design of a Sailing Yacht


November/2017

Advisor: José Marcio Vasconcellos, Ph.D.

Curse: Marine Engineering and Naval Architecture

The design of any vessel is an iterative process that involves several factors. It is not possible

to focus on only one and ignore the others. When using different software to calculate each

project factor, the designer needs to transfer results between platforms. If a change is made

on a calculation platform, the interrelationship between the factors creates the need to

change the other platforms also well. This work involves, by using Microsoft Excel software,

the development of a single platform for calculating the main factors of the preliminary design

of a sailing yacht. The concepts and relationships between the main factors of the project are

discussed, presenting the mathematical expressions and the necessary algorithms for the

development of the main modules of the program. The stages presented involve: the

statistical forecast of the main dimensions; the numerical representation of the hull; the

changes in hull shape; the hydrostatic balance; the design of keel, bulb and rudder; the design

of sails, mast and other equipment; the balance of hydrodynamic and aerodynamic forces

creating a VPP program; the structural calculation; and the stability calculation. At the end of

the development of this tool, @Risk, which is a Microsoft Excel add-in, is used to change some

project variables and to find an optimal solution. Also using @Risk, we add uncertainties in

variables for two different purposes: to perform simulations for a known condition; and

incorporate probability simulations into the optimization process.

Keywords: Optimization, Uncertainties, Design, Sailing Ship, Sailboat, Excel, @Risk.

i

SUMÁRIO

Sumário ......................................................................................................................... i

Índice de Figuras ........................................................................................................... v

Índice de Tabelas ........................................................................................................ viii

Introdução .................................................................................................................... 1

1.1 Motivação ...................................................................................................... 1

1.2 Visão Geral do Método de Projeto ............................................................... 3

1.3 Considerações Iniciais ................................................................................... 7

1.3.1 Código de Programação ............................................................................ 7

1.3.2 Corpo da Canoa ......................................................................................... 8

1.3.3 Origem do Sistema .................................................................................... 8

Capítulo 1: Dimensões Principais .............................................................................. 9

1.1 Comprimento de Linha d’Água (LWL) ........................................................... 11

1.2 Boca Máxima (BMAX) .................................................................................... 11

1.3 Calado Total (T) ........................................................................................... 12

1.4 Calado da Canoa (TC) ................................................................................... 14

1.5 Volume Deslocado (∇1/3) ............................................................................. 14

1.6 Borda Livre (FF, FA) ....................................................................................... 15

1.7 Lastro (Blst).................................................................................................. 16

ii

1.8 Coeficiente Prismático (CP) .......................................................................... 17

1.9 Coordenada Longitudinal do Centro de Carena (LCB) ................................ 18

Capítulo 2: Geometria do Casco .............................................................................. 20

2.1 Forma Adimensional ................................................................................... 22

2.2 Alteração do Comprimento ......................................................................... 29

2.3 Alteração da Boca........................................................................................ 30

2.4 Alteração do Pontal ..................................................................................... 30

2.5 Alteração da Posição Longitudinal da Boca Máxima .................................. 32

2.6 Alteração da Porção a Vante e a Ré ............................................................ 36

Capítulo 3: Apêndices do Casco ............................................................................... 39

3.1 Quilha e Leme.............................................................................................. 41

3.1.1 Definição da Geometria da Quilha e do Leme ........................................ 41

3.1.2 Definição da Posição Longitudinal da Quilha e do Leme ........................ 45

3.1.3 Volume, Áreas e Centro de Gravidade da Quilha e do Leme.................. 47

3.1.4 Centro de Resistência Lateral da Quilha e do Leme ............................... 50

3.2 Bulbo ........................................................................................................... 51

3.2.1 Definição da Geometria do Bulbo ........................................................... 51

3.2.2 Definição da Posição Longitudinal do Bulbo ........................................... 51

3.2.3 Volume, Áreas e Centro de Gravidade do Bulbo .................................... 52

3.2.4 Centro de Resistência Lateral do Bulbo .................................................. 54

Capítulo 4: Equilíbrio Hidrostático........................................................................... 55

4.1 Tabelas Hidrostáticas .................................................................................. 55

4.1.1 Corpo da Canoa ....................................................................................... 59

4.1.2 Quilha e Leme .......................................................................................... 62

4.1.3 Bulbo ....................................................................................................... 64

iii

4.1.4 Validação dos resultados......................................................................... 69

4.2 Busca da Condição de Equilíbrio ................................................................. 71

Capítulo 5: Velas ...................................................................................................... 73

5.1 Tipo de Mastreação ..................................................................................... 73

5.2 Geometria das Velas ................................................................................... 76

5.3 Centro de Esforço (CE) ................................................................................ 78

5.4 Estrutura da Mastro .................................................................................... 78

5.4.1 Momento de Endireitamento (RM) ........................................................ 78

5.4.2 Brandais ................................................................................................... 79

5.4.3 Estais ........................................................................................................ 84

5.4.4 Vaus ......................................................................................................... 85

5.4.5 Mastro ..................................................................................................... 86

5.4.6 Retranca .................................................................................................. 89

Capítulo 6: VPP ........................................................................................................ 91

6.1 Forças Aerodinâmicas ................................................................................. 92

6.1.1 Velocidade e Ângulo de Vento Aparente ................................................ 92

6.1.2 Coeficientes Aerodinâmicos .................................................................... 93

6.1.3 Força Propulsiva e Força Lateral ............................................................. 97

6.2 Forças Hidrodinâmicas ................................................................................ 98

6.2.1 Corpo da Canoa ..................................................................................... 100

6.2.2 Bulbo ..................................................................................................... 106

6.2.3 Quilha .................................................................................................... 108

6.2.4 Leme ...................................................................................................... 114

6.2.5 Centro de Resistência Lateral (CLR) ...................................................... 121

6.3 Balanço ...................................................................................................... 122

iv

6.3.1 Graus de Liberdade ............................................................................... 122

6.3.2 Forças no Eixo Longitudinal: ∑ FX .......................................................... 124

6.3.3 Forças no Eixo Transversal: ∑ FY ............................................................ 125

6.3.4 Momentos no Eixo Longitudinal: ∑ MX ................................................. 125

6.3.5 Momentos no Eixo Vertical: ∑ MZ ......................................................... 128

6.3.6 Programa ............................................................................................... 128

6.4 Lead ........................................................................................................... 132

Capítulo 7: Estrutura do Casco .............................................................................. 134

7.1 Superfície do Casco ................................................................................... 134

7.2 Longitudinais ............................................................................................. 139

7.3 Hastilhas e Anteparas ................................................................................ 142

7.4 Lastro ......................................................................................................... 145

Capítulo 8: Estabilidade ......................................................................................... 146

8.1 Curva de Estabilidade ................................................................................ 147

8.2 Fator de Estabilidade Dinâmica (DSF) ....................................................... 149

8.3 Índice de Estabilidade (STIX) ..................................................................... 150

Capítulo 9: Parâmetros de Análise e Avaliação ..................................................... 151

Capítulo 10: Otimização e Estudo de Casos .......................................................... 156

10.1 Primeira Tentativa ..................................................................................... 158

10.2 Segunda Tentativa ..................................................................................... 163

Capítulo 11: Incertezas e Estudo de Casos ............................................................ 167

Conclusão ................................................................................................................. 173

Referências ............................................................................................................... 175

v

ÍNDICE DE FIGURAS

FIGURA 1-1: RELAÇÃO ENTRE O COEFICIENTE LOA/BMAX E O COMPRIMENTO DE LINHA D’ÁGUA EM METROS. [4] ........................... 12

FIGURA 1-2: RELAÇÃO ENTRE O COEFICIENTE LWL/T E O COMPRIMENTO DE LINHA D’ÁGUA EM METROS. [4] ................................ 13

FIGURA 1-3: RELAÇÃO ENTRE O COEFICIENTE LWL/∇1/3 E O COMPRIMENTO DE LINHA D’ÁGUA EM METROS. [4] ............................ 15

FIGURA 1-4: RELAÇÃO ENTRE A BORDA LIVRE A VANTE (FF) E O COMPRIMENTO DE LINHA D’ÁGUA EM METROS. [4] ....................... 16

FIGURA 1-5: RELAÇÃO ENTRE O COEFICIENTE PRISMÁTICO ÓTIMO (CP) E O NÚMERO DE FROUDE (FN). [4] .................................. 17

FIGURA 1-6: RELAÇÃO ENTRE A COORDENADA LONGITUDINAL DO CENTRO DE CARENA ÓTIMA (LCB) E O NÚMERO DE FROUDE. [3] .. 18

FIGURA 2-1: EXEMPLOS DE PADRÕES DE CASCOS DIFERENTES. PLANO DE BALIZAS DE DOIS MODELOS PRINCIPAIS DELFT. [4] [5] ...... 21

FIGURA 2-2: REPRESENTAÇÃO INICIAL DE UM CASCO QUALQUER DE VELEIRO NO FREESHIP; POSIÇÃO INCORRETA DAS BALIZAS. ........ 23

FIGURA 2-3: POSIÇÃO LONGITUDINAL DA PRIMEIRA BALIZA (A RÉ): 0,187M. ......................................................................... 23

FIGURA 2-4: POSIÇÃO LONGITUDINAL DA ÚLTIMA BALIZA (A VANTE): 11,401M. .................................................................... 24

FIGURA 2-5: TRANSLAÇÃO TRANSVERSAL E LONGITUDINAL DO CASCO. .................................................................................. 24

FIGURA 2-6: EXEMPLO DE ADIÇÃO DAS BALIZAS. ............................................................................................................... 25

FIGURA 2-7: REPRESENTAÇÃO FINAL DO PADRÃO DE CASCO SELECIONADO COM AS BALIZAS CORRETAMENTE POSICIONADAS. .......... 25

FIGURA 2-8: CORTE DA REGIÃO DA PLANILHA CONTENDO AS COORDENADAS ADIMENSIONAIS DO CASCO. .................................... 29

FIGURA 2-9: EXEMPLO DE PLANO DE BALIZAS GERADO PELA PLANILHA DESENVOLVIDA. ............................................................ 31

FIGURA 2-10: EXEMPLO DE VARIAÇÃO DA POSIÇÃO LONGITUDINAL DA BOCA MÁXIMA. DE 20% (EM PRETO) A 30% (EM VERMELHO).

..................................................................................................................................................................... 33

FIGURA 2-11: EXEMPLO DE PLANO DE BALIZAS COM A BOCA MÁXIMA A 10% DO LPP. ............................................................. 35





FIGURA 2-16: EXEMPLO DE VARIAÇÃO PORÇÃO A VANTE E A RÉ DA BOCA MÁXIMA. MEIA-BOCA ORIGINAL EM PRETO E SUA VARIAÇÃO

EM VERMELHO. FATOR A RÉ: 50%; FATOR A VANTE: 50%. ....................................................................................... 36

FIGURA 2-17: EXEMPLO DE VARIAÇÃO PORÇÃO A VANTE E A RÉ DA BOCA MÁXIMA. MEIA-BOCA ORIGINAL EM PRETO E SUA VARIAÇÃO

EM VERMELHO. FATOR A RÉ: -50%; FATOR A VANTE: -50%. ..................................................................................... 37

vi

FIGURA 2-18: EXEMPLO DE VARIAÇÃO POSIÇÃO LONGITUDINAL DA BOCA MÁXIMA, JUNTAMENTE COM A VARIAÇÃO DA PORÇÃO A

VANTE E A RÉ. MEIA-BOCA ORIGINAL EM PRETO E SUA VARIAÇÃO EM VERMELHO. POSIÇÃO DA BOCA MÁXIMA: 30%; FATOR A

RÉ: 50%; FATOR A VANTE: -50%. ........................................................................................................................ 37

FIGURA 3-1: EQUILÍBRIO DE FORÇAS EM UM VELEIRO. [4] .................................................................................................. 40

FIGURA 3-2: REPRESENTAÇÃO DA GEOMETRIA DA QUILHA E DO LEME. [4] ............................................................................. 42

FIGURA 3-3: RELAÇÃO ÓTIMA ENTRE A RAZÃO DE AFILAMENTO E O ÂNGULO DA FLECHA. [4] ..................................................... 43

FIGURA 3-4: COEFICIENTES DA ÁREA DO LEME. [8] ........................................................................................................... 45

FIGURA 3-5: EXEMPLO DE VISTAS GERADAS PELA PLANILHA. ............................................................................................... 46

FIGURA 3-6: EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO DO LEME E DA QUILHA GERADA PELA PLANILHA. PRIMEIRA IMAGEM: PERFIL DO LEME;

SEGUNDA IMAGEM: PERFIL DA QUILHA; TERCEIRA IMAGEM: VISTA FRONTAL DA QUILHA................................................... 50

FIGURA 3-7: EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO DO BULBO GERADA PELA PLANILHA. ..................................................................... 51

FIGURA 3-8: TIPOS DE BULBOS UTILIZADOS NO PROJETO. TIPO T, À ESQUERDA, E TIPO L, À DIREITA. ........................................... 52

FIGURA 4-1: REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DE UM CORTE DA QUILHA OU LEME PELO PLANO DE FLUTUAÇÃO. ............................ 63

FIGURA 4-2: REPRESENTAÇÃO DA ÁREA SUBMERSA DO BULBO. ........................................................................................... 65

FIGURA 5-1: TIPOS DE ARRANJO ESTRUTURAL LONGITUDINAL DE MASTROS RECONHECIDOS PELA NBS. [11] [4] ........................... 75

FIGURA 5-2: EXEMPLO DE UM VELEIRO QUALQUER FORMADO PELA PLANILHA E NOMENCLATURA DE ALGUMAS DIMENSÕES E

COMPONENTES DO MASTRO. ............................................................................................................................... 76

FIGURA 5-3: FORÇAS TRANSVERSAIS. [4] ........................................................................................................................ 80

FIGURA 5-4: CÁLCULO DAS FORÇAS NOS BRANDAIS (SHROUD TENSION) PARA O CASO COM UM MASTRO DE UM VAU. [4] ............... 82

FIGURA 5-5: CÁLCULO DAS FORÇAS NOS BRANDAIS (SHROUD TENSION) PARA O CASO COM UM MASTRO DE DOIS VAUS. [4] ............ 83

FIGURA 5-6: TOPO DOS MASTROS FRACIONADOS. [4] ....................................................................................................... 88

FIGURA 5-7: REPRESENTAÇÃO DAS DIMENSÕES E FORÇAS NA RETRANÇA. .............................................................................. 90

FIGURA 6-1: TRIÂNGULO DE VELOCIDADE. [4] ................................................................................................................. 92

FIGURA 6-2: ÂNGULO EFETIVO DE VENDO APARENTE PARA ÂNGULO DE BANDA DIFERENTE DE ZERO. [4] ...................................... 93

FIGURA 6-3: RESUMO DAS COMPONENTES DE RESISTÊNCIA DO CASCO, UTILIZANDO O MODELO DE VELEIRO APRESENTADO NO LIVRO

PYD. [4] ......................................................................................................................................................... 99

FIGURA 6-4: GRÁFICO DA RESISTÊNCIA RESIDUAL EM RELAÇÃO COM O NÚMERO DE FROUDE DE UM VELEIRO QUALQUER GERADO PELA

PLANILHA E UTILIZANDO O MÉTODO DE GERRITSMA ET AL [12]. ............................................................................... 103

FIGURA 6-5: RESULTADOS DO VPP OBTIDOS PARA UM VELEIRO QUALQUER UTILIZANDO A PLANILHA DESENVOLVIDA. .................. 132

FIGURA 8-1: EXEMPLO DE CURVA DE ESTABILIDADE GERADA PELA PLANILHA. ....................................................................... 148

FIGURA 8-2: CÁLCULO DO FATOR DE ESTABILIDADE DINÂMICA (DSF). [4] .......................................................................... 149

FIGURA 8-3: CÁLCULO DO ÍNDICE DE ESTABILIDADE (STIX). [4] ........................................................................................ 150

FIGURA 9-1: TOPO DO WORKSHEET PRINCIPAL DA PLANILHA, MOSTRANDO OS DADOS DE ENTRADA FIXOS DO PROJETO. ................ 152

FIGURA 9-2: EXEMPLO DOS COEFICIENTES DE AVALIAÇÃO DO PROJETO CALCULADOS PELA PLANILHA. ........................................ 154

FIGURA 9-3: EXEMPLO DOS DADOS DE SAÍDA DO VPP GERADOS PELA PLANILHA. .................................................................. 155

FIGURA 10-1: EXEMPLO DE UMA TENTATIVA QUALQUER EXECUTADA PELO OTIMIZADOR. ....................................................... 157

FIGURA 10-2: DADOS DE ENTRADA MANTIDOS CONSTANTES PARA AS TRÊS TENTATIVAS DE OTIMIZAÇÃO APRESENTADAS. ............. 158

vii

FIGURA 10-3: DADOS DE ENTRADA DA PRIMEIRA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. ..................................................................... 159

FIGURA 10-4: ILUSTRAÇÃO DO RESULTADO OBTIDO PARA A PRIMEIRA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. .......................................... 159

FIGURA 10-5: PLANO DE BALIZAS DO RESULTADO OBTIDO PARA A PRIMEIRA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. .................................. 160

FIGURA 10-6: RESULTADO OBTIDO DA CURVA DE ESTABILIDADE PARA A PRIMEIRA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. .......................... 160

FIGURA 10-7: RESULTADOS OBTIDOS PELO VPP PARA A PRIMEIRA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. ............................................... 160

FIGURA 10-8: RESULTADO OBTIDO DO VPP PARA A PRIMEIRA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. .................................................... 161

FIGURA 10-9: RESULTADOS OBTIDOS PARA AS VARIÁVEIS DEFINIDAS PELO OTIMIZADOR NA PRIMEIRA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. . 161

FIGURA 10-10: RESULTADOS OBTIDOS PARA OS PARÂMETROS DE ANÁLISE E AVALIAÇÃO NA PRIMEIRA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. 161

FIGURA 10-11: GRÁFICO DO PROGRESSO DA PRIMEIRA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. ............................................................. 162

FIGURA 10-12: DADOS DE ENTRADA DA SEGUNDA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. ................................................................... 163

FIGURA 10-13: ILUSTRAÇÃO DO RESULTADO OBTIDO PARA A SEGUNDA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. ........................................ 163

FIGURA 10-14: PLANO DE BALIZAS DO RESULTADO OBTIDO PARA A SEGUNDA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. ................................ 164

FIGURA 10-15: RESULTADO OBTIDO DA CURVA DE ESTABILIDADE PARA A SEGUNDA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. ........................ 164

FIGURA 10-16: RESULTADOS OBTIDOS PELO VPP PARA A SEGUNDA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. ............................................ 164

FIGURA 10-17: RESULTADO OBTIDO DO VPP PARA A SEGUNDA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. .................................................. 165

FIGURA 10-18: RESULTADOS OBTIDOS PARA AS VARIÁVEIS DEFINIDAS PELO OTIMIZADOR NA SEGUNDA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO.165

FIGURA 10-19: RESULTADOS OBTIDOS PARA OS PARÂMETROS DE ANÁLISE E AVALIAÇÃO NA SEGUNDA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. 165

FIGURA 10-20: GRÁFICO DO PROGRESSO DA SEGUNDA TENTATIVA DE OTIMIZAÇÃO. ............................................................. 166

FIGURA 11-1: CURVA DE PROBABILIDADES DEFINIDA PARA A VELOCIDADE DE VENTO VERDADEIRA, EM NÓS. .............................. 168

FIGURA 11-2: GRÁFICO DO PROGRESSO DA OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZAS. ......................................................................... 168

FIGURA 11-3: DADOS DE ENTRADA DA OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZA. ................................................................................ 169

FIGURA 11-4: ILUSTRAÇÃO DO RESULTADO OBTIDO PARA A OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZA. ..................................................... 169

FIGURA 11-5: PLANO DE BALIZAS DO RESULTADO OBTIDO PARA A OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZA. ............................................. 170

FIGURA 11-6: RESULTADO OBTIDO DA CURVA DE ESTABILIDADE PARA A OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZA. ..................................... 170

FIGURA 11-7: RESULTADOS OBTIDOS PELO VPP PARA A OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZA. ......................................................... 170

FIGURA 11-8: RESULTADO OBTIDO DO VPP PARA A OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZA. ............................................................... 171

FIGURA 11-9: RESULTADOS OBTIDOS PARA AS VARIÁVEIS DEFINIDAS PELO OTIMIZADOR NA OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZA. ............ 171

FIGURA 11-10: RESULTADOS OBTIDOS PARA OS PARÂMETROS DE ANÁLISE E AVALIAÇÃO NA OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZA. ........... 171

viii

ÍNDICE DE TABELAS

TABELA 2-1: EXEMPLO DE ALTERAÇÃO DA POSIÇÃO LONGITUDINAL DA BOCA MÁXIMA. ............................................................ 33

TABELA 4-1: TABELA HIDROSTÁTICA OBTIDA NO FREESHIP PARA O EXEMPLO DE CASCO APRESENTADO NO CAPÍTULO 2:. ................ 69

TABELA 4-2: TABELA HIDROSTÁTICA COM 50 BALIZAS. ...................................................................................................... 70

TABELA 4-3: TABELA HIDROSTÁTICA COM 30 BALIZAS. ...................................................................................................... 70

TABELA 4-4: TABELA HIDROSTÁTICA COM 10 BALIZAS ....................................................................................................... 70

TABELA 4-5: TABELA HIDROSTÁTICA COM 100 BALIZAS. .................................................................................................... 70

TABELA 4-6: COMPARAÇÃO ENTRE A MÉDIA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES E DO TEMPO GASTO PELO PROGRAMA DE BUSCA DA

CONDIÇÃO DO EQUILÍBRIO HIDROSTÁTICO PARA ALGUMAS CONDIÇÕES. ....................................................................... 72

TABELA 5-1: DIMENSIONAMENTO DAS FORÇAS NOS VAUS. [4] ............................................................................................ 81

TABELA 5-2: RELAÇÃO DOS CABOS DE AÇO UTILIZADOS. [4] ................................................................................................ 83

TABELA 5-3: FATOR DO PAINEL K1. [4] ........................................................................................................................... 87

TABELA 5-4: FATOR DOS ESTAIS K2. [4] .......................................................................................................................... 87

TABELA 5-5: DIMENSÕES PRINCIPAIS TÍPICAS DE SEÇÕES DE MASTROS E SUAS PROPRIEDADES. [4] .............................................. 89

TABELA 5-6: DIMENSÕES PRINCIPAIS TÍPICAS DE SEÇÕES DE RETRANCA E SUAS PROPRIEDADES. [4] ............................................. 90

TABELA 6-1: COEFICIENTES DE SUSTENTAÇÃO (𝐶𝐿) E DE ARRASTO PARASÍTICO (𝐶𝐶𝑃) PARA CADA VELA EM RELAÇÃO AO ÂNGULO DE

VENTO APARENTE (𝛽𝐴𝑊). ................................................................................................................................. 94

TABELA 6-2: EXTENSÃO DOS PARÂMETROS DO CASCO DA SÉRIE DELFT. [12] ........................................................................ 101

TABELA 6-3: COEFICIENTES UTILIZADOS PARA O CÁLCULO DA RESISTÊNCIA RESIDUAL PARA NÚMEROS DE FROUDE VARIANDO DE 0,125

A 0,450. [12] ............................................................................................................................................... 102

TABELA 6-4 COEFICIENTES UTILIZADOS PARA O CÁLCULO DA RESISTÊNCIA RESIDUAL PARA NÚMEROS DE FROUDE VARIANDO DE 0,475 A

0,750. [12] .................................................................................................................................................. 102

TABELA 7-1: REGIÕES DE LAMINAÇÃO. ......................................................................................................................... 136

TABELA 7-2: TIPOS DE CAMADAS DE VIBRA DE VIDRO E SUAS PROPRIEDADES. ....................................................................... 138

TABELA 7-3: EXEMPLO DE CÁLCULO DAS ESPESSURAS E MASSA FINAL DA SUPERFÍCIE DO CASCO. .............................................. 139

TABELA 7-4: TIPOS DE MATERIAIS PARA OS REFORÇADORES. ............................................................................................. 141

TABELA 7-5: EXEMPLO DE CÁLCULO DAS DIMENSÕES DAS LONGITUDINAIS. .......................................................................... 141

TABELA 7-6: EXEMPLO DE CÁLCULO DAS DIMENSÕES DAS HASTILHAS E ANTEPARAS. .............................................................. 144

ix

TABELA 7-7: RESULTADO FINAL DOS EXEMPLOS APRESENTADOS. ....................................................................................... 145

TABELA 8-1: EXEMPLO DOS CÁLCULOS DA CURVA DE ESTABILIDADE COMPUTADA PELA PLANILHA. ............................................ 148

INTRODUÇÃO

1.1 MOTIVAÇÃO

Como é de conhecimento de todos os arquitetos navais, projetar uma embarcação é

um processo iterativo. Esse processo envolve inúmeras alterações até que se atinja um

resultado o qual seja julgado como suficiente. O projeto de embarcações, de certa forma, se

diferencia do projeto de outros veículos pela alta dependência da forma do casco como

praticamente todos os demais fatores de projeto. Uma pequena alteração na forma ocasiona

uma alteração de resultados em praticamente todos os demais fatores de projeto. No caso de

veleiros, digamos que essa relação com a forma é ainda mais acentuada quando comparada

com outros tipos embarcações. A forma dos apêndices do casco pode representar uma grande

parcela do seu volume deslocado, bem como do seu peso.

No caso do projeto das velas de um veleiro, é fundamental avaliar as forças

aerodinâmicas geradas, as quais tendem a gerar um momento de emborcamento. Essas forças

são equilibradas principalmente com as forças hidrodinâmicas geradas pelo casco e seus

apêndices. Ou seja, não é possível projetar as velas de um veleiro sem considerar o casco e

seus apêndices, principalmente a quilha. Uma quilha grande pode auxiliar nesse equilíbrio de

forças, permitindo velas com maior área, o que gera maiores velocidades. Contudo, quilhas

maiores aumentam a superfície molhada do casco, aumentando a resistência ao avanço.

Existem muitas outras relações entre os parâmetros de projeto e o equilíbrio, como a relação

entre o volume da quilha e a altura do centro de gravidade; a altura do centro de gravidade e

a estabilidade; a estabilidade e os ângulos de banda em ventos severos; o ângulo de banda e

a parcela de resistência ao avanço devido à banda, etc.

2

A motivação pelo desenvolvimento desse projeto envolve três grandes aspectos. O

primeiro é a criação de uma ferramenta única que seja capaz de calcular os principais fatores

de projeto separadamente e considerar a relação entre eles. Ao invés de o projetista ter que

transferir resultados de um software para outro, este trabalho pode ser feito por uma

máquina. Assim, ao alterar a boca do casco, por exemplo, todos os demais cálculos referentes

à essa nova forma são calculados automaticamente. Apenas essa forma de unir os resultados

pode se tornar uma grande ferramenta na buscar soluções rápidas e aumentar o número de

iterações nessa busca.

Outra motivação par esse projeto é a possibilidade de permitir que um computador

altere as principais variáveis do projeto na tentativa de buscar a melhor solução dadas certas

características requeridas. Esse processo, conhecido como otimização, utiliza restrições

estabelecidas pelo projetista para permitir que o computador avalie os resultados obtidos a

cada iteração, convergindo para uma solução cada vez melhor. Sabe-se que o resultado final

de um projeto de embarcação depende de inúmeros fatores, inclusive de uma análise racional

do projetista. O que motiva essa etapa do projeto não é necessariamente obter um resultado

definitivamente melhor, mas sim abranger as possibilidades de forma que o projetista possa

ter mais ferramentas na hora da decisão.

A terceira motivação é a análise de incertezas. As condições climáticas, por exemplo,

não são constantes na natureza. Um barco não costuma velejar sempre nas mesmas condições.

Por conta disso, visa-se adicionar incerteza a certas variáveis importantes para o projeto no

intuito de obter resultados que abranjam mais essas condições reais da natureza. Assumindo

distribuições probabilísticas a certas variáveis, é possível realizar simulações e colher os

resultados obtidos em um conjunto de condições. A simulação de incerteza pode ser realizada

para uma embarcação específica, ou em conjunto com a otimização. Nesse último caso, são

realizadas simulações com um número definido de amostras entre cada iteração da

otimização.

Para finalizar, espera-se obter uma boa ferramenta de cálculo, análise e avaliação de

projetos de veleiros utilizando ou não a otimização, assim como utilizando ou não a análise de

incerteza. As etapas percorridas para a elaboração dessa ferramenta envolvem grande parte

dos principais aspectos da engenharia naval: cálculo hidrostático; equilíbrio hidrostático;

estabilidade; perfis de asa (hidrodinâmica e aerodinâmica); resistência ao avanço; balanço

3

dinâmico de forças e momentos de um barco em movimento; cálculo estrutural; e projeto de

sistemas oceânicos. Além dos itens citados, esse projeto inclui: alteração computacional da

forma do casco; cálculo numérico; programação; otimização; simulação; e análise de

probabilidades.

1.2 VISÃO GERAL DO MÉTODO DE PROJETO

O projeto de qualquer embarcação tem como um dos seus primeiros passos a análise

das dimensões principais e suas inter-relações. Então, a partir de uma ideia geral dessas

dimensões, inicia-se a busca por uma forma preliminar de casco que atenda aos requisitos e

expectativas obtidas. O método de projeto desenvolvido inicia-se da mesma forma. Relações

estatísticas das dimensões principais foram transformadas em expressões matemáticas e

incorporadas à planilha Excel desenvolvida, como será apresentado no Capítulo 1: Dimensões

Principais. Dessa forma, uma vez iniciado o projeto de um novo veleiro, o projetista poderia

obter facilmente as dimensões médias, bem como seus limites máximos e mínimos, para o

desenvolvimento de um padrão de casco inicial.

O padrão de casco é uma forma de casco a qual não necessariamente contém as

dimensões exatas do projeto, mas contém a ideia global da forma que o casco final deverá ter.

Por exemplo, o padrão de casco inclui o tipo de popa, proa, deadrise, etc. Essa forma padrão

poderá sofrer alterações de comprimento, boca, pontal, posição longitudinal da boca máxima

e alargamento ou afinamento da porção a vante ou a ré do casco. Essas alterações são capazes

de adaptar o casco a fim de obter um melhor desempenho para as condições de projeto, sem

alterar o padrão global que o projetista gostaria que a forma final possuísse. As alterações da

forma serão discutidas em mais detalhes no Capítulo 2: Geometria do Casco.

O padrão de casco é, então, desenvolvido por um software de modelagem 3D, como

o FreeShip, ou então obtido a partir de um veleiro conhecido. Esse casco inicial precisa ser

obtido sem os apêndices, como quilha, leme e bulbo, visto que os apêndices serão

introduzidos e calculados pela planilha. Então, a partir dessa forma de casco, é possível utilizar

um software como o FreeShip para gerar um arquivo de texto contendo as coordenadas de

4

cada ponto das balizas. Com isso, utilizando o Excel Visual Basic for Applications [1] (código de

programação integrado ao Excel), foi possível desenvolver um programa no Excel, também

chamado de macro, especialmente para esse método de projeto. Com essa macro, é possível

incorporar todos os pontos do casco à planilha em poucos segundos.

O casco inserido na planilha é adimensionalizado; ou seja, cada uma das suas

coordenadas (x, y e z) é dividia pelo seu maior valor, de forma que as coordenadas possuem

um valor que varie de zero a um. Assim, ao atribuir um valor para o comprimento, boca e um

pontal do barco, cada coordenada é multiplicada pela dimensão atribuída e o casco alterado

é então representado. Outras alterações como a posição longitudinal da boca máxima e o

alargamento ou afinamento da porção a vante ou a ré do casco também podem ser realizadas,

mas como foi dito anteriormente, esses detalhes serão apresentados no Capítulo 2:

Geometria do Casco.

Então, a partir da geometria do casco, inicia-se o projeto dos apêndices do casco

(quilha, do leme e do bulbo), o qual será apresentado no Capítulo 3: Apêndices do Casco. É

possível inserir no início do projeto algumas características como perfil utilizado para a quilha,

perfil utilizado para o leme, utilização ou não de bulbo na quilha, tipo de bulbo utilizado, e etc.

Com os dados definidos pelo usuário e com os dados outras variáveis geradas pelo otimizador,

é possível obter a forma de todos os apêndices, inseri-los ao casco, representa-los visualmente

e calcular as suas características hidrostáticas e hidrodinâmicas.

Para o cálculo hidrostático, foi desenvolvida uma função, também utilizando código

de programação em Excel VBA (Visual Basic for Applications) [1] a qual, inserindo o calado

médio, o ângulo de trim e o ângulo de banda, obtém-se todos os valores hidrostáticos

necessários para o projeto. A função considera, não apenas o casco inserido, a partir das

coordenadas dos pontos, mas também a quilha, o leme e o bulbo. Foi desenvolvida uma outra

função a qual, a partir da massa total do barco e do seu centro de gravidade, busca-se a

condição final de equilíbrio do barco, tendo como outputs o calado médio, o ângulo de trim e

o ângulo de banda. Essa função iterativa, juntamente com a função hidrostática, será discutida

no Capítulo 4: Equilíbrio Hidrostático.

O projeto da vela, semelhantemente ao projeto dos apêndices do casco, é gerado a

partir de um conjunto de variáveis, parte definidas pelo projetista, como a definição do tipo

5

de vela utilizada, e parte definidas pelo otimizador, como a posição longitudinal do mastro e

sua altura. Esta parte do projeto será apresentada no Capítulo 5: Velas.

Para a finalização do projeto das velas e dos apêndices do casco, é necessário obter

o balanço das forças geradas por ambos, incluindo as forças geradas pelo próprio casco. Esse

balanço de forças varia de acordo com a intensidade do vento, bem como o seu ângulo de

atuação em relação a direção do veleiro. Os softwares desenvolvidos para encontrar essa

condição de equilíbrio são conhecidos como VPP (Velocity Prediction Programs), uma vez que

os resultados finais do programa são as velocidades que o veleiro possuiria em relação a cada

velocidade de vendo e ângulo de atuação. Outros valores de saída do programa são os ângulos

de banda, ângulos de deriva e ângulos de ataque do leme, os quais o barco possui em cada

condição de equilíbrio. Esse assunto será abordado em mais detalhes no Capítulo 6: VPP.

Após definido o casco, incluindo os seus apêndices, e a mastreação, é possível obter

o peso final desses elementos. O peso do casco é obtido a partir do cálculo estrutural

apresentado no Capítulo 7: Estrutura do Casco. Então, somando cada respectivo valor

calculado nesse capítulo, o peso do mastro e dos equipamentos calculado no Capítulo 5: Velas,

e os demais valores de peso introduzidos pelo projetista, obtém-se o peso final do barco. De

forma semelhante, considerando os respectivos cálculos, obtém-se o centro de gravidade final

do veleiro.

A partir de todos os valores obtidos anteriormente, é possível calcular a curva de

estabilidade e os índices de avaliação. Para isso, foi desenvolvida mais uma função iterativa,

semelhante a função utilizada para obter a condição de equilíbrio. A diferença entre a função

para obter a condição de equilíbrio e a função para o cálculo da estabilidade se dá no fato de

que a função desenvolvida para a estabilidade tem como dados de entrada apenas o

deslocamento e o ângulo de banda. A função, então, obtém a condição de equilíbrio apenas

para esse ângulo de banda, e retira parte dos cálculos desnecessários que poderiam torná-la

desnecessariamente mais lenta. Assim, utilizando-a para diversos ângulos de banda entre 0°

e 180°, bem como a posição do centro de gravidade, obtém-se a curva de estabilidade. A

curva de estabilidade é, então, utilizada para obter o índice STIX (Stability Index), e o fator DSF

(Dynamic Stability Factor). A estabilidade será discutida no Capítulo 8: Estabilidade.

6

Uma vez terminados todos os cálculos anteriores, obtemos um modelo fechado em

que todos os fatores de projeto apresentados estão inter-relacionados. Assim, a alteração de

apenas uma variável em um fator de projeto é capaz de alterar os resultados de todos os

demais fatores de projeto de forma automática, tornando simples e rápida a obtenção de

resultados para análise. Assim, visando uma visualização prática dos resultados obtidos para

cada condição estudada, foi desenvolvido, no worksheet principal da planilha, uma tabela com

os resultados principais do barco. Cada um dos coeficientes, juntamente com os critérios de

avaliação, será abordado no Capítulo 9: Parâmetros de Análise e Avaliação.

A partir de então, utilizando o software @Risk [2], o qual é um add-in do Microsoft

Excel, para fazer algumas variações e análises. Utilizando este software, é possível tornar

certas variáveis importantes para o projeto, antes definidas como valores fixos, como uma

incerteza referente à uma distribuição de probabilidade. Essas variáveis produzem uma

distribuição de resultados, os quais podem ser utilizados para uma melhor abordagem do

projeto. Também, ainda utilizando @Risk, é possível configurar as suas ferramentas de

otimização buscar um bom resultado para o projeto. O caítulo que aborda a otimização é o

Capítulo 10:, e o capítulo que aborda a otimização com incertezas é o Capítulo 11:.

Uma vez terminada a otimização e análise das incertezas, encerram-se os cálculos

desenvolvidos na planilha Excel. Assim, além do programa desenvolvido auxiliar no projeto da

vela e dos apêndices do casco, ele também altera a forma inicial, gerando um casco diferente

do casco inicial, porém mantendo o seu padrão, como foi explicado anteriormente. Nessa

etapa do projeto, o projetista pode querer fazer outras alterações no casco, corrigir alguns

detalhes. Então, pensando nisso, foi desenvolvida uma nova macro na planilha a qual exporta

os pontos do novo casco gerado para outro arquivo de texto, o qual pode ser lido por outro

software de modelagem 3D, como o FreeShip. Assim, após as alterações do projetista, o

processo pode ser retomado e o casco pode ser reinserido à planilha, gerando mais uma

execução de otimização.

Após os passos descritos acima, encerra-se a descrição do método de projeto

desenvolvido nesse trabalho. Então, com o objetivo de verificar os resultados o método criado,

foram analisados dois casos de otimização sem a presença de incertezas, os quais estão

apresentados no Capítulo 10: Otimização e Estudo de Casos. No caso da aplicação de incerteza,

7

foi analisado mais um resultado de otimização, o qual está apresentado no Capítulo 11:

Incertezas e Estudo de Casos.

1.3 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

1.3.1 Código de Programação

O software principal utilizado para o projeto foi o Microsoft Excel [3]. As vantagens

de utilizar essa ferramenta são inúmeras. A praticidade e a facilidade de acesso são apenas

algumas delas. Outra vantagem é que o software @Risk [2], o qual foi utilizado para o cálculo

das incertezas, é um add-in do Microsoft Excel, o qual possui, tanto ferramentas de análise de

risco, quanto ferramentas de otimização. Uma outra vantagem da utilização desse software

está relacionada à facilidade de se criar programas personalizados e acoplados à planilha, os

quais também estariam associados com @Risk.

Como foi dito anteriormente, o código de programação utilizado para a elaboração

de tais programas foi o Excel VBA (Visual Basic for Applications) [1]. Com o Excel aberto, basta

pressionar o botão Alt, do teclado, em seguida de F11, e a janela do Microsoft VBA será aberta.

Então, seguindo o caminho: Inserir > Módulo, e a janela responsável pela inserção dos códigos

de programação será inserida à planilha.

A partir de então, dois tipos distintos de programas podem ser inseridos:

• Sub;

• Function.

Existem vantagens e desvantagens para a utilização de ambos os tipos de programas.

Subs são programas os quais podem alterar quaisquer células da planilha, inserindo valores,

funções, formatações e etc. Contudo, as tarefas programadas por uma sub só são executadas

quando está é inicializada, através de um botão ou na própria janela do Excel VBA. Após a

execução, as subs não são capazes de interagir com a planilha. Esse tipo de programa é

também conhecido como macro.

Functions são as funções do Microsoft Excel. Quando utilizamos as fórmulas básicas

do Excel, como “=SOMA()”, “=MÉDIA()”, “=SE()”, “=MÁXIMO()”, “=MÍNIMO()”, “=COS()”,

8

estamos utilizando functions pré-programadas pela Microsoft. As functions têm a vantagem

de poderem interagir com a planilha de forma automática, sem a necessidade de serem

iniciadas por um botão. Contudo, elas têm a desvantagem de não poder alterar valores em

outras células, apenas em sua própria célula.

No decorrer deste trabalho, sempre que houver a descrição de um novo programa,

esses serão descritos ou como macros, no caso de subs, ou como funções, nos casos de

functions.

Uma boa vantagem em relação à utilização do software @Risk para a otimização é

que este abre a possibilidade da execução de macros entre as iterações.

1.3.2 Corpo da Canoa

Outra consideração importante é no que se refere ao corpo da canoa. Alguns autores

fazem a distinção entre o que eles chamam de calado 𝑇 e calado da canoa 𝑇𝐶. O subscrito 𝑐

indica que o valor se refere ao casco sem os apêndices, como quilha, leme e bulbo,

representando apenas a parte da canoa do casco. Todos os demais valores como o volume

deslocado da canoa 𝛻𝐶 se referem igualmente à mesma região do casco, em contraponto com

o volume descolado total do barco ∇.

1.3.3 Origem do Sistema

No decorrer de praticamente todos os cálculos, salvo quando for dito diferente, a

origem do sistema utilizado pela planilha é o ponto onde a linha de base do barco cruza com

a perpendicular de ré e a linha de centro. Esse padrão será mantido no decorrer de todo o

projeto.

Capítulo 1: DIMENSÕES PRINCIPAIS

Como foi dito no capítulo anterior, o projeto de qualquer embarcação tem como um

dos seus pontos de partida a análise das dimensões principais e suas inter-relações. Seguindo

essa mesma metodologia inicial, foram utilizados os dados estatísticos presentes no livro

Principle of Yacht Design (PYD) [4] para obter as dimensões principais esperadas e os seus

limites mínimos e máximos.

O livro citado apresenta as seguintes relações:

• Comprimento total/Comprimento de linha d’água (𝐿𝑂𝐴/𝐿𝑊𝐿);

• Comprimento total/Boca máxima (𝐿𝑂𝐴/𝐵𝑀𝐴𝑋);

• Comprimento de linha d’água/Calado total (𝐿𝑊𝐿/𝑇);

• Comprimento de linha d’água/Calado da canoa (𝐿𝑊𝐿/𝑇𝐶);

• Comprimento de linha d’água/Volume deslocado1/3 (𝐿𝑊𝐿/∇1/3);

• Borda livre a vante e a ré (𝐹𝐹, 𝐹𝐴);

• Razão de lastro (𝐵𝑙𝑠𝑡);

• Coeficiente prismático (𝐶𝑃);

• Coordenada longitudinal do centro de carena (𝐿𝐶𝐵).

A partir dessas relações, uma vez definindo o comprimento total do barco, podemos

definir os valores médios, mínimos e máximos de todas as demais dimensões principais. Cada

uma das seguintes relações será vista em mais detalhes no decorrer deste capítulo.

10

As relações entre essas dimensões foram transformadas em expressões matemáticas

e incorporadas à planilha Excel desenvolvida. Dessa forma, uma vez iniciado o projeto de um

novo veleiro, o projetista poderia obter facilmente as dimensões médias, bem como seus

limites máximos e mínimos, para o desenvolvimento do padrão de casco inicial. O casco então

é obtido através de um software de modelagem 3D, como o FreeShip, e inserido na planilha

através de uma criada especialmente para esta planilha, o que será discutido no próximo

capítulo.

Assim, as expressões matemáticas adicionadas à planilha para obter as dimensões

principais têm duas utilizações. A primeira utilização é uma abordagem preliminar do casco

que será projetado; uma abordagem anterior até à própria inserção do padrão de casco na

planilha. Essa abordagem pode ser realizada independentemente do método de otimização e

dos cálculos subsequentes. Já segunda utilidade para as expressões relativas às dimensões

principais é a obtenção dos limites superiores e inferiores em que tais variáveis podem

adquirir no processo da otimização. Também, as expressões permitem obter um valor médio

inicial para que o otimizador tenha uma primeira estimativa para os cálculos.

Como será visto mais adiante, todos os coeficientes obtidos pelo PYD [4] estão em

função do comprimento de linha d’água. Assim, no momento em que se realiza uma

abordagem inicial das dimensões principais a partir do comprimento total desejado, é

necessário iniciar os cálculos pela relação 𝐿𝑂𝐴/𝐿𝑊𝐿, para que o valor de 𝐿𝑊𝐿 seja utilizado

para obter os demais coeficientes. Contudo, no momento em que o processo de otimização

está sendo realizado, o valor do comprimento de linha d’água torna-se um resultado obtido a

partir de outras variáveis, como o tipo de carregamento do barco, o qual gera uma alteração

de calado e uma consequente alteração do comprimento de linha d’água. Da mesma forma,

o calado da canoa 𝑇𝐶 torna-se uma variável resultante do descolamento, e o calado total 𝑇

torna-se também dependente de variáveis como o comprimento da quilha e do bulbo, os

quais, por sua vez, também alteram o percentual do volume deslocado nos apêndices,

gerando uma consequente alteração em 𝑇𝐶.

Assim, para o caso da otimização, todos os valores máximos e mínimos utilizados para

os limites das dimensões principais tornam-se variáveis com as alterações do casco, uma vez

que elas também variam o comprimento de linha d’água.

11

Uma outra observação necessária é que as estimativas das dimensões principais

fornecidas pelo PYD [4] foram desenvolvidas a partir de um banco de dados de iates variando

entre 5 e 15 metros de comprimento. Para o projeto de barcos com comprimentos menores

que 5 metros, ou maiores que 15 metros, os valores obtidos podem não representar uma boa

estimativa.

1.1 COMPRIMENTO DE LINHA D’ÁGUA (LWL)

Como foi dito anteriormente, o livro PYD [4], o qual foram tirados os dados

estatísticos para as dimensões principais, apresenta todas as relações em função do

comprimento de linha d’água. Por esta razão, e pelo fato do que o comprimento total do barco

ser geralmente um valor conhecido, iniciou-se pela relação entre o comprimento total e o seu

comprimento de linha d’água. A partir de então, obtém-se o comprimento de linha d’água, o

qual será utilizado para a definição de todas as demais dimensões.

De acordo com a referência, um valor médio para a razão 𝐿𝑂𝐴/𝐿𝑊𝐿 é de 1,23 ,

possuindo uma variação de ± 0,15 . Então os valores médios, máximos e mínimos foram

obtidos pelas seguintes expressões:

𝐿𝑊𝐿𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 𝐿𝑂𝐴/1,23

𝐿𝑊𝐿𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝐿𝑂𝐴/1,08

𝐿𝑊𝐿𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 𝐿𝑂𝐴/1,38

1.2 BOCA MÁXIMA (BMAX)

O livro PYD [4] apresenta um gráfico com a relação entre o coeficiente 𝐿𝑂𝐴/𝐵𝑀𝐴𝑋 e

o comprimento de linha d’água 𝐿𝑊𝐿, o qual está representado na Figura 1-1. Então, utilizando

a linha central, foram obtidas as coordenadas de diversos pontos, os quais estão

12

representados na mesma figura. Com isso, os pontos da reta foram utilizados para obter a sua

equação, a qual consta representada abaixo da figura.

Figura 1-1: Relação entre o coeficiente LOA/BMAX e o comprimento de linha d’água em metros. [4]

𝐿𝑂𝐴𝐵𝑀𝐴𝑋

= 2,1749 + 0,1146 ∙ 𝐿𝑊𝐿

O limite inferior para o coeficiente foi apresentado como 15%, enquanto que o limite

superior é um valor constante igual a cinco.

1.3 CALADO TOTAL (T)

O gráfico referente ao coeficiente 𝐿𝑊𝐿/𝑇 e o comprimento de linha d’água 𝐿𝑊𝐿 está

representado na Figura 1-2. Então, semelhantemente ao coeficiente anterior, foi utilizada a

linha central para obter as coordenadas de diversos pontos, os quais estão representados na

13

mesma figura. Com isso, os pontos da reta foram utilizados para obter a sua equação

matemática, representada abaixo da figura.

Figura 1-2: Relação entre o coeficiente LWL/T e o comprimento de linha d’água em metros. [4]

𝐿𝑊𝐿𝑇

= 3,6731 + 0,1549 ∙ 𝐿𝑊𝐿

Os limites inferiores e superiores para o coeficiente foram apresentados como 15%.

Outro fator interessante relativo à estimativa do calado é que o livro PYD [4] afirma

que a boca máxima 𝐵𝑀𝐴𝑋 é um melhor de referência parâmetro para o calado do que o

comprimento de linha d’água 𝐿𝑊𝐿. Assim, uma boa estimativa inicial para o calado segue a

seguinte relação:

𝐵𝑀𝐴𝑋 = 1,6 ∙ 𝑇

14

1.4 CALADO DA CANOA (TC)

O valor médio apresentado pelo PYD [4] para a razão entre o coeficiente de linha

d’água e o calado da canoa é uma constante igual a 18. Esse coeficiente pode chegar a valores

superiores de até 26 e a valores inferiores de até 12. Sendo assim, não precisou obter

expressões polinomiais para a obtenção de 𝑇𝐶.

1.5 VOLUME DESLOCADO (∇1/3)

A razão entre o comprimento de linha d’água e a raiz cubica do volume deslocado

(𝐿𝑊𝐿/𝛻1/3) é um dos coeficientes mais importantes para a análise da forma do casco.

Inclusive, este coeficiente está dentro dos coeficientes de análise e avaliação da forma final

obtida, o que será discutido no Capítulo 9: Parâmetros de Análise e Avaliação. Este valor

representa um bom parâmetro para analisar a capacidade que o veleiro tem de possuir atingir

altas velocidades, uma vez que ele estabelece uma relação entre o peso e o seu comprimento.

Quanto maior for este valor, mais rápido poderá barco poderá ir. O livro PYD [4] afirma que,

para que o veleiro seja capaz de superar a barreira de número de Froude de cerca de 0,45,

este coeficiente deve ser superior a 5,7. Contudo, segundo o mesmo livro, é difícil construir

barcos que tenham este coeficiente superior a 5,2.

Assim, através do gráfico apresentado na Figura 1-3, foi possível obter as

coordenadas dos pontos da linha central mais uma vez e obter a sua equação matemática,

representada abaixo da figura.

15

Figura 1-3: Relação entre o coeficiente LWL/∇1/3 e o comprimento de linha d’água em metros. [4]

𝐿𝑊𝐿∇1/3

= 4,5883 + 0,0619 ∙ 𝐿𝑊𝐿

O limite superior para este coeficiente é de 20%, enquanto que o limite inferior é de

12% em relação a linha central.

1.6 BORDA LIVRE (FF, FA)

O livro PYD [4] apresenta o gráfico da Figura 1-4 para a relação entre a borda livre a

vente e o comprimento de linha d’água. Contudo, os autores não estabeleceram limites

superiores e inferiores para a estimativa, visto eu o número de barcos utilizados na estatística

foram poucos (cerca de 50). Então, como nos casos anteriores, foram obtidas as coordenadas

de diversos pontos da reta e obtida a sua equação, representada abaixo da figura.

16

Figura 1-4: Relação entre a borda livre a vante (Ff) e o comprimento de linha d’água em metros. [4]

𝐹𝑓

𝐿𝑊𝐿= 0,1921 − 0,0054 ∙ 𝐿𝑊𝐿

A partir da borda livre a vante, pode-se obter a borda livre a ré através da razão típica

borda livre a vante/borda livre a ré igual a 1,3.

1.7 LASTRO (BLST)

De acordo com o PYD [4], a razão de lastro em relação à massa total do barco varia

consideravelmente em iates modernos. Um bom valor médio é 0,45, sendo que a maioria dos

barcos se encontram na faixa que vai de 0,35 e 0,55.

17

1.8 COEFICIENTE PRISMÁTICO (CP)

A relação apresentada pelo livro PYD [4] para o coeficiente prismático foi obtida

através das expressões utilizadas no cálculo da resistência residual, a fim de obter o

coeficiente prismático ótimo para um determinado número de Froude. Dessa forma, o casco

pode ser projetado para ter um comportamento ótimo em uma determinada velocidade.

Como a velocidade do veleiro está vinculada à intensidade e ângulo de atuação do vendo, o

projeto otimizado do casco tem que levar em consideração uma condição específica de vento.

Como as condições de vendo estão sujeitas à variações, utilizar distribuições de probabilidade

e análise de incertezas pode ser um bom diferencial no projeto otimizado de um veleiro.

Assim, semelhantemente ao processo utilizado para a obtenção das equações

matemáticas das dimensões anteriores, foram obtidas as coordenadas de diversos pontos no

decorrer da curva, como consta representado na Figura 1-5. A partir dos pontos, foi obtido

um polinômio do sexto grau, o qual consta representado a seguir.

Figura 1-5: Relação entre o coeficiente prismático ótimo (CP) e o número de Froude (Fn). [4]

18

𝐶𝑃 = 103,3350058 − 1694,379225 ∙ 𝐹𝑛 + 11542,65585 ∙ 𝐹𝑛2 − 41697,90013 ∙ 𝐹𝑛3 +

84354,29934 ∙ 𝐹𝑛4 − 90639,50588 ∙ 𝐹𝑛5 + 40413,76495 ∙ 𝐹𝑛6

1.9 COORDENADA LONGITUDINAL DO CENTRO DE CARENA (LCB)

Assim como no processo descrito para o coeficiente prismático, a coordenada

longitudinal do centro de carena foi obtida pelo PYD [4] a fim de obter o casco com menor

resistência residual para um determinado valor de 𝐿𝐶𝐵. Então, os pontos do gráfico foram

igualmente mapeados, como costa representado na Figura 1-6, e o polinômio do sexto grau,

representado abaixo da figura, foi obtido.

Figura 1-6: Relação entre a coordenada longitudinal do centro de carena ótima (LCB) e o número de Froude. [3]

𝐿𝐶𝐵 = 1099,130536 − 17029,97584 ∙ 𝐹𝑛 + 109434,5179 ∙ 𝐹𝑛2 − 373622,641 ∙ 𝐹𝑛3 +

713917,8635 ∙ 𝐹𝑛4 − 723856,2297 ∙ 𝐹𝑛5 + 304590,6343 ∙ 𝐹𝑛6

19

Os valores de 𝐿𝐶𝐵 estão em percentuais do comprimento de linha d’água 𝐿𝑊𝐿 ,

contados a partir da metade do comprimento de linha d’água, sendo positivo a vante.

20

Capítulo 2: GEOMETRIA DO CASCO

Como foi explicado anteriormente, a parte referente à geometria do casco no

presente método de projeto se resume à utilização de um padrão de casco estabelecido pelo

projetista, o qual pode ser desenvolvido ou apenas retirado de um software de modelagem

3D como o FreeShip. Então, o padrão de casco é incorporado à planilha através das

coordenadas de cada ponto das balizas. Com isso, a partir do padrão de casco, alterações na

forma são realizadas para que o casco possa ser otimizado.

O padrão de casco é uma forma de casco a qual não necessariamente contém as

dimensões exatas do projeto, mas contém a ideia global da forma que o casco final deverá ter.

Por exemplo, o padrão de casco inclui o tipo de popa, proa, deadrise, etc. A partir de então,

essa forma padrão poderá sofrer seis tipos distintos de alterações, as quais serão abordadas

em detalhes nesse capítulo. Essas alterações são capazes de adaptar o casco a fim de obter

um melhor desempenho para as condições de projeto, sem alterar o padrão global que o

projetista gostaria que a forma final possuísse. A Figura 2-1, retirada do PYD [4], apresenta

dois padrões de casco diferentes utilizados no método de obtenção da resistência ao avanço

proposto por Gerritsma [5]. As alterações realizadas pela planilha não alteram, por exemplo,

o tipo de fundo e o tipo de arqueação; essas são definidas pelo padrão de casco estabelecido

pelo projetista.

O padrão de casco é, então, desenvolvido por um software de modelagem 3D, como

o FreeShip, ou então obtido a partir de um veleiro conhecido. Esse casco inicial precisa ser

obtido sem os apêndices, como quilha, leme e bulbo, visto que os apêndices serão

introduzidos e calculados pela planilha. Então, a partir dessa forma de casco, é possível utilizar

um software como o FreeShip para gerar um arquivo de texto contendo as coordenadas de

cada ponto das balizas. Com isso, utilizando o Excel Visual Basic for Applications [1], foi

21

possível desenvolver um programa no Excel especialmente para esse método de projeto. Essa

macro criada é capaz incorporar todos os pontos do casco à planilha em poucos segundos.

Figura 2-1: Exemplos de padrões de cascos diferentes. Plano de balizas de dois modelos principais Delft. [4] [5]

O casco inserido na planilha é adimensionalizado; ou seja, cada uma das suas

coordenadas (x, y e z) é dividia pelo seu maior valor, de forma que as coordenadas possuem

um valor que varie de zero a um. Assim, ao atribuir um valor para o comprimento, boca e um

pontal do barco, cada coordenada é multiplicada pela dimensão atribuída e o casco alterado

é então representado. Outras alterações a forma também podem ser realizadas.

As alterações do casco realizadas pela planilha são as seguintes:

• Comprimento: multiplicação das coordenadas em x pelo comprimento

desejado;

22

• Boca: multiplicação das coordenadas em y pela metade da boca desejada;

• Pontal: multiplicação das coordenadas em z pelo pontal desejado;

• Boca Máxima: alteração da posição da boca máxima;

• Porção a vante: altera apenas as coordenadas a vante do casco;

• Porção a ré: altera apenas as coordenadas a ré do casco.

Cada uma das alterações da forma do casco, juntamente com o processo de inserção

do casco adimensionalizado na planilha, será abordada em detalhes no decorrer desse

capítulo.

2.1 FORMA ADIMENSIONAL

Os pontos do casco são organizados na planilha através de balizas equidistantes. O

casco pode ser seccionado em no mínimo 10 balizas e no máximo 100 balizas. Também, a

primeira baliza deve estar posicionada o mais à ré possível, sem ultrapassar a região do convés.

Da mesma forma, a última baliza deve estar posicionada o mais à vante possível, sem

ultrapassar a roda de proa. Assim, uma vez definido o casco a ser utilizado, este precisa ser

seccionado para estar de acordo com estes critérios.

A Figura 2-2 apresenta um casco qualquer de veleiro que poderia ser utilizado como

padrão de casco pela planilha. O arquivo, obtido em um banco de formas de cascos do

FreeShip, já possui balizas, linhas d’água, e linha de alto definidas. Embora o número de balizas

esteja de acordo com os critérios estabelecidos anteriormente, a primeira valiza (a ré) não

está posicionada corretamente. Assim, no intuito de arrumar o arquivo de texto que será

exportado, são eliminadas as balizas, linhas d’água, e linhas de alto. Então, as posições

longitudinais das duas balizas nas extremidades a vante e a ré do barco são encontradas, como

está representado na Figura 2-3 e na Figura 2-4.

O comprimento entre a primeira e a última baliza é definido como o comprimento

entre perpendiculares que será utilizado apenas para os cálculos da planilha. Assim, a primeira

baliza está na perpendicular de ré e a última na perpendicular de vante. Então, com essas duas

23

balizas, obtém-se o seu comprimento. No exemplo utilizado, esse comprimento é de

11,401 𝑚 − 0.187 𝑚 = 11,214 𝑚.

Figura 2-2: Representação inicial de um casco qualquer de veleiro no FreeShip; posição incorreta das balizas.

Figura 2-3: Posição longitudinal da primeira baliza (a ré): 0,187m.

24

Figura 2-4: Posição longitudinal da última baliza (a vante): 11,401m.

Como mostra a Figura 2-3, a linha de base do barco está configurada a 0,383 𝑚. Para

ser utilizado corretamente pela planilha, essa linha de base deve possuir sua coordenada

vertical igual a zero, assim como a perpendicular de ré deve ter sua coordenada longitudinal

igual a zero. Então, o casco inteiro é transladado no eixo vertical e no eixo longitudinal, como

mostra a Figura 2-5.

Figura 2-5: Translação transversal e longitudinal do casco.

Então, as balizas desejadas podem ser adicionadas no FreeShip de forma prática e

rápida. O primeiro passo é definir o número de balizas que será utilizado. Então, divide-se o

comprimento entre perpendiculares obtido pelo número de balizas menos um para obter-se

o espaçamento entre balizas. Utilizando, por exemplo 10 balizas para o exemplo apresentado,

o espaçamento entre balizas seria:

25

𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑠 =11,214 𝑚

10 − 1=11,214 𝑚

9= 1,246 𝑚

Com isso, adicionam-se as balizas de acordo com a Figura 2-6, onde o resultado

consta representado na Figura 2-7.

Figura 2-6: Exemplo de adição das balizas.

Figura 2-7: Representação final do padrão de casco selecionado com as balizas corretamente posicionadas.

A partir das alterações realizadas nas posições das balizas, é possível exportar os

pontos das balizas para um arquivo de texto pelo software FreeShip ao clicar em File > Export

> Offsets...

Como foi dito na introdução e pode ser visto no exemplo apresentado, a origem do

sistema utilizada pela planilha é o ponto onde a linha de base cruza com a perpendicular de

ré e a linha de centro. Esse padrão será mantido no decorrer de todo o projeto.

26

Então, através de um botão “Open FreeShip Text File” colocado na planilha criada, é

possível acessar a macro que foi desenvolvida para este método; abrir o arquivo de texto

gerado pelo FreeShip; identificar o número de balizas; ler cada uma de suas coordenadas;

identificar o comprimento, boca e pontal do barco; adimensionalizar as suas coordenadas; e

imprimir os valores finais nos locais adequados da planilha.

Outra função importante do programa criado é a de inserir os pontos extremos do

casco, os quais estão a vante da perpendicular de vante, e a ré da perpendicular de ré. Assim,

a partir do momento em que o arquivo de texto é lido pela planilha, uma caixa de texto abre

a opção para serem inseridos cada uma as coordenadas dos pontos. Os pontos inseridos são

apenas dois: o ponto extremo a vante e o ponto extremo a ré. Assim, são inseridas apenas as

coordenadas verticais e longitudinais de cada um dos dois pontos, visto que a coordenada

transversal é igual a zero.

INÍCIO

Lê o arquivo uma vez para identificar o número de balizas e o número máximo de pontos por baliza.

Número de balizas é maior ou igual a 10 e menor ou igual a 100?

Dimensiona todas as variáveis do tipo array para o número utilizado de balizas e para o número máximo de pontos por baliza.

Lê o arquivo pela segunda vez e adiciona todos os pontos em variáveis do tipo array.

Identifica o maior valor de Y por baliza.

Identifica o maior valor de Z por baliza.

.

B

Mensagem de erro.

NÃO

A

27

FIM

B

Identifica o maior valor de Y de todas as balizas para obter a metade da boca máxima.

Identifica o maior valor de Z da primeira baliza para obter o pontal.

Identifica o comprimento entre perpendiculares.

Verifica se existem pontos duplicados e retira-os.

Lê e adiciona os pontos extremos.

Divide cada valor de X pelo comprimento entre perpendiculares.

Divide cada valor de Y pelo valor máximo de Y da baliza para obter as coordenadas adimensionais referentes a cada baliza.

Divide cada valor de Z pelo valor máximo de Z da baliza para obter as coordenadas adimensionais referentes a cada baliza.

Divide cada valor máximo de Y da baliza pela metade da boca máxima para obter o coeficiente adimensional de Y em cada baliza.

Divide cada valor máximo de Z da baliza pela metade da boca máxima para obter o coeficiente adimensional de Z em cada baliza.

Identifica a baliza que contém o maior valor de Y para definir a posição longitudinal da boca máxima.

Limpa as coordenadas anteriores escritas na planilha.

Imprime os valores novos na planilha.

A

28

Então, a partir da utilização do programa apresentado, as coordenadas adimensionais

do casco são impressas na planilha, como consta representado na Figura 2-8. Na figura, é

possível verificar que, na parte superior, está indicado o número de balizas (stations), os

pontos extremos do casco (stern, bow), a posição percentual da boca máxima em relação ao

comprimento entre perpendiculares (LP BMAX) e o comprimento total do barco (𝐿𝑂𝐴 ). É

possível verificar que o comprimento total é um valor maior do que um, isso de dá pelo fato

de que o comprimento entre perpendiculares é igual a um, resultando em um valor maior do

que um ao adicionar os pontos extremos do casco (stern, bow).

Na parte inferior da Figura 2-8, é possível verificar que cada conjunto de duas linhas

representam uma baliza. A primeira coluna indica o número da baliza; a segunda coluna indica

o número de pontos presentes na baliza (conjuntos de coordenadas nos eixos Y e Z); a terceira

coluna indica o valor da meia-boca como um percentual da meia-boca máxima do navio, assim

como a quarta coluna referente ao pontal; por último, a quinta coluna indica o valor da

coordenada no eixo X.

O valor de cada percentual de meia-boca (𝑏/2) é um valor que vai de zero a um, onde

o valor um indica que a baliza contém a boca máxima do casco. De forma semelhante, o

percentual do pontal (𝑑 ) é um coeficiente que, quanto este é igual a um, o tosamento

referente à baliza é igual à altura do pontal do barco. Assim, o pontal foi definido como a altura

da primeira baliza. Dessa forma, quanto há um tosamento no padrão de casco inserido, esse

valor tende a variar, podendo ir para menos ou mais do que um. Nos cascos em que a borda

livre a vante é superior a borda livre a ré, esse valor aumentará no decorrer do comprimento,

sendo superior a um. No exemplo da Figura 2-8, a linha do convés diminui nas balizas 1 e 2,

seguido de um aumento progressivo até a baliza 10, como pode também ser visualizado na

Figura 2-7.

As demais colunas da Figura 2-7 indicam as coordenadas Y e Z de cada um dos pontos

da baliza. Como todos os pontos possuem a mesma coordenada X, esta só precisa ser

representada uma única vez. Assim, observando a Figura 2-8, podemos verificar que os

primeiros pontos de todas as balizas possuem tanto as coordenadas Y, como as coordenadas

Z, iguais a um. Isso se dá pelo fato de as coordenadas dos pontos não foram

adimensionalizadas em relação à meia-boca máxima ou ao pontal do barco, mas sim em

relação a meia-boca e o tosamento local de cada baliza. Essa disposição das coordenadas

29

permite a variação de apenas uma baliza do conjunto, alterando apenas o valor de 𝑏/2 ou de

𝑑. Isso será importante para as alterações das porções a vante e a ré do casco, o qual será

apresentado mais a diante neste capítulo.

Figura 2-8: Corte da região da planilha contendo as coordenadas adimensionais do casco.

Assim, após definida a forma de representação do casco e os seus coeficientes, é

possível abordar cada uma das alterações da forma utilizadas nesse método.

2.2 ALTERAÇÃO DO COMPRIMENTO

A alteração do comprimento do casco é a mais simples de todas as alterações. Para

tal, basta multiplicar cada uma das coordenadas X dos pontos pelo comprimento entre

perpendiculares desejado. A única questão que torna essa alteração pouca coisa mais

complicada é o fato de que geralmente o ponto de partida é o comprimento total do barco, e

não o seu comprimento entre perpendiculares. Por conta disso, uma vez conhecendo o

comprimento total desejado, obtém-se o seu referente comprimento entre perpendiculares

dividindo o comprimento total desejado pelo comprimento total adimensionalizado, o mesmo

representado na Figura 2-8.

30

Dessa forma, seguindo o exemplo anterior, considere que o comprimento total

desejado para o barco da Figura 2-8 seja de 10 metros. Assim, o seu comprimento entre

perpendiculares seria:

𝐿𝑃𝑃 =𝐿𝑜𝑎

1,0168=

10 𝑚

1,0168= 9,835 𝑚

Feito isso, basta multiplicar todas as coordenadas X pelo comprimento entre

perpendiculares obtido e a forma possuirá o comprimento total desejado.

2.3 ALTERAÇÃO DA BOCA

A alteração da boca é semelhante à alteração do comprimento, onde as coordenadas

adimensionais precisam ser multiplicadas pela meia-boca desejada. Contudo, a grande

diferença está no fato de que cada coordenada Y é, primeiramente, multiplicada pelo

coeficiente (𝑏/2), o qual consta representado na Figura 2-8, e apenas depois esse resultado é

multiplicado pela meia boca.

2.4 ALTERAÇÃO DO PONTAL

O processo utilizado para a alteração do pontal é igual ao processo utilizado para a

alteração da boca. A única variação se faz nas coordenadas em questão, as quais são as

coordenadas Z. Assim, essas coordenadas são multiplicadas primeiramente pelo coeficiente

(𝑑) e, posteriormente, pelo pontal desejado.

A partir das alterações apresentadas até aqui, é possível gerar a forma do casco para

qualquer valor de comprimento, boca e pontal. Assim, no intuito de visualizar o casco formado,

foi gerado um gráfico para representar o plano de balizas do casco. Contudo, os gráficos do

Microsoft Excel costumam ajustar automaticamente os seus eixos para visualizar todos os

pontos presentes, sem ter compromisso com as proporções adequadas. Outra complicação

relativa aos gráficos do Microsoft Excel se diz no fato de que o projetista poderia escolher

31

inserir um casco com um número diferente de balizas, trazendo a necessidade da imagem ser

adaptada a cada projeto. Também, mesmo dentro de um único projeto, alterações na boca e

no pontal poderiam trazer uma falta de foco correto na imagem, uma vez que os eixos estejam

fixados a um determinado valor. Com isso, levando em conta todos esses problemas

relacionados ao gráfico, foi desenvolvido mais uma macro para ajustar o plano de balizas. O

programa citado, primeiramente, deleta todas as curvas anteriores do gráfico, limpando-o de

dados. Então, ela identifica o número de balizas utilizadas no projeto e adiciona o número

correto de curvas. Para finalizar, ela identifica a boca e o pontal do casco e regula os eixos para

uma visualização ampla das curvas, mantendo a mesma escala em ambos os eixos, no intuito

de manter a proporção do desenho

A Figura 2-9 indica um exemplo de plano de balizas gerado na planilha. É possível ver

o botão no canto direito superior, o qual aciona a macro citada.

Figura 2-9: Exemplo de plano de balizas gerado pela planilha desenvolvida.

32

2.5 ALTERAÇÃO DA POSIÇÃO LONGITUDINAL DA BOCA MÁXIMA

Como foi discutido na Seção 1.8 e na Seção 1.9, o coeficiente prismático 𝐶𝑃 e o a

coordenada longitudinal do centro de carena 𝐿𝐶𝐵 representam valores importantes na

otimização do casco. Contudo, até o presente momento, as alterações da forma apresentadas

não capazes de gerar alterações nesses aspectos do casco, bem como em outros coeficientes

hidrostáticos. Visando solucionar esse problema, foram geradas as três formas seguintes de

alteração do casco.

A alteração da seção posição longitudinal da boca máxima se baseia na definição da

sua posição em relação à perpendicular de ré. Como foi visto anteriormente, a macro

desenvolvida para obter os pontos do casco também obtém essa posição, imprimindo o seu

valor na planilha, como mostra a Figura 2-8. O valor obtido é um valor percentual em relação

ao comprimento entre perpendiculares. Ou seja, 20% indica que a boca máxima está a 20%

do comprimento entre perpendiculares a partir da perpendicular de ré. Este é o valor original

da forma do casco no exemplo apresentado. Assim, é possível alterar esse valor atribuindo

um coeficiente diferente, o qual varie de 0 a 100%. A Figura 2-10 demonstra um exemplo de

variação da posição longitudinal da boca máxima. A linha preta representa a meia-boca da

condição original (20%); já a linha vermelha representa a meia-boca da condição alterada

(30%).

O método desenvolvido para realizar essa alteração nas coordenadas é um pouco

complexo. Ele se baseia em duas alterações sequenciais dos coeficientes de meia-boca (𝑏/2),

apresentados anteriormente. Como foi explicado, esses coeficientes representam o

percentual da meia-boca local da baliza em relação à meia-boca máxima do barco. Assim, se

esse valor for igual a 1, a meia-boca da local baliza é igual à meia-boca máxima do barco,

caracterizando a sua posição longitudinal. Em todas as demais balizas, o valor de 𝑏/2 será um

valor menor do que 1. Assim, alterando esses coeficientes, é possível expandir transversal-

mente todos os pontos dessa baliza, sem alterar as demais.

33

Figura 2-10: Exemplo de variação da posição longitudinal da boca máxima. De 20% (em preto) a 30% (em vermelho).

Como foi dito anteriormente, o método desenvolvido para realizar a alteração da

posição longitudinal da meia boca se baseia em duas alterações sequenciais, a primeira das

coordenadas longitudinais 𝑋 e a segunda dos coeficientes de meia-boca 𝑏/2. A Tabela 2-1

apresenta um exemplo das alterações realizadas. As primeiras colunas contendo os valores de

𝑋 e 𝑏/2 indicam os valores originais de 𝑏/2 referentes à cada baliza. As colunas do meio, com

o título “Alteração em X”, referem-se aos valores obtidos alterando apenas os valores de 𝑋 e

mantendo os valores de 𝑏/2 . Os valores de 𝑋 são alterados de forma que o novo valor

percentual desejado esteja na mesma baliza que o valor anterior. Por exemplo, o valor 𝑋 =

0,30 está na baliza 2, assim como o valor original de 𝑋 = 0,20.

Valores originais Alteração em X Alteração em b/2

Balizas X b/2 X b/2 X b/2

0 0.000 0.931 0.000 0.931 0.000 0.931

1 0.100 0.981 0.150 0.981 0.100 0.968

2 0.200 1.000 0.300 1.000 0.200 0.991

3 0.300 0.990 0.388 0.990 0.300 1.000

4 0.400 0.950 0.475 0.950 0.400 0.986

5 0.500 0.882 0.563 0.882 0.500 0.933

6 0.600 0.785 0.650 0.785 0.600 0.844

7 0.700 0.656 0.738 0.656 0.700 0.716

8 0.800 0.490 0.825 0.490 0.800 0.540

9 0.900 0.277 0.913 0.277 0.900 0.310

10 1.000 0.027 1.000 0.027 1.000 0.027

Tabela 2-1: Exemplo de alteração da posição longitudinal da boca máxima.

As alterações através das seguintes equações:

34

𝑋𝑖,1 = 𝑋𝑖,0 ∗𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥,1𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥,0

𝑠𝑒 𝑋𝑖,0 ≤ 𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥,0

𝑋𝑖,1 = 𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥,0 + (𝑋𝑖,0 − 𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥,0) ∗1 − 𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥,11 − 𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥,0

𝑠𝑒 𝑋𝑖,0 > 𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥,0

onde 𝑋𝑖,1 = nova posição longitudinal da baliza;

𝑋𝑖,0 = posição longitudinal original da baliza;

𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥,0 = posição longitudinal original da boca máxima;

𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥,1 = nova posição longitudinal da boca máxima.

Assim, feita esta alteração, são obtidos novos valores de 𝑋. Contudo, as balizas estão

espaçadas de forma equidistante, não podendo ser alterados as suas posições longitudinais.

Por conta disso, precisa-se obter os novos valores de 𝑏/2, equivalentes aos novos valores de

𝑋 obtidos, para os valore de 𝑋 originais. Para tal, foi desenvolvida uma função especial no

Microsoft Excel, a qual é capaz de regredir os pontos de uma função a fim de obter um

polinômio que a represente numericamente. Assim, os pontos do casco são regredidos e

obtidos os coeficientes de um polinômio do quinto grau. Então, a partir da equação

encontrada, são obtidos os valores de 𝑏/2 equivalentes a cada valor de 𝑋 original das balizas.

Esses novos valores estão representados nas colunas com o título “Alteração em b/2”, a qual

consta representada na Tabela 2-1. Na tabela, é possível verificar que os valores de 𝑋

encontram-se iguais ao original, e que os valores de 𝑏/2 foram alterados de forma que o valor

de 𝑏/2 = 1 encontra-se na baliza 3.

As próximas cinco figuras apresentam os resultados obtidos para a variação da posição

da boca máxima do exemplo anterior. São apresentadas variações de 10% em 10% do

comprimento entre perpendiculares 𝐿𝑃𝑃, sendo a primeira igual a 10% e última igual a 50%.

35

Figura 2-11: Exemplo de plano de balizas com a boca máxima a 10% do Lpp.




36


2.6 ALTERAÇÃO DA PORÇÃO A VANTE E A RÉ

As alterações da porção a vante e da porção a ré do casco são dois outros tipos de

alteração desenvolvidos para que o otimizador seja capaz de variar alguns coeficientes

importantes para o casco. Esse tipo de alteração basicamente aumenta ou diminui os

coeficientes das balizas a vante ou a ré da boca máxima do casco. Dessa forma, a porção a

vante ou a ré do casco pode se tornar mais robusta ou mais esbelta. A Figura 2-16, juntamente

com a Figura 2-17 e a Figura 2-18, apresenta alguns exemplos de variações.

Figura 2-16: Exemplo de variação porção a vante e a ré da boca máxima. Meia-boca original em preto e sua variação em vermelho. Fator a ré: 50%; fator a vante: 50%.

37

Figura 2-17: Exemplo de variação porção a vante e a ré da boca máxima. Meia-boca original em preto e sua variação em vermelho. Fator a ré: -50%; fator a vante: -50%.

Figura 2-18: Exemplo de variação posição longitudinal da boca máxima, juntamente com a variação da porção a vante e a ré. Meia-boca original em preto e sua variação em vermelho.

Posição da boca máxima: 30%; fator a ré: 50%; fator a vante: -50%.

Para realizar as variações a vante e a ré, foram criados os fatores 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑎 ,

representando a porção a ré, e 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑓 , representando a porção a vante. Quando esses

fatores são iguais a zero, as coordenadas permanecem de acordo com o casco original. Caso

esse fator seja maior do que zero, a porção referente do casco se torna mais robusta. Da

mesma forma, caso esse fator seja menor do que zero, a mesma porção torna-se mais esbelta.

Foi definido que o limite utilizado para esses fatores seria de −0,5 a 0,5, ou seja, de −50%

a 50%.

A Figura 2-16 apresenta as curvas de meia-boca utilizando o casco do exemplo

anterior. Foi estabelecido um valor de 50% para ambos os fatores, tornando a forma mais

robusta em todo o seu comprimento, mas mantendo a posição longitudinal da boca máxima.

38

A Figura 2-17 apresenta o mesmo exemplo; porém, os fatores utilizados foram de

−50%, tanto para a porção a vante, como para a porção a ré.

Já na Figura 2-18, foi utilizado também a variação da posição longitudinal da boca

máxima do barco. A boca máxima foi definida para estar a 30% do comprimento entre

perpendiculares. Também, foi definido um valor de −50% para o fator a ré, tornando esta

porção mais esbelta, e um valor de 50% para o fator a vante, tornando esta porção mais

robusta.

Os cálculos utilizados para as alterações foram os seguintes:

𝑏𝑖,1/2 = 𝑏𝑖,0/2 ∙ (1 + 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 ∙ (1 − 𝑏𝑖,0/2))

onde 𝑏𝑖,0/2 = meia-boca original da baliza 𝑖;

𝑏𝑖,1/2 = meia-boca nova da baliza 𝑖;

𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 = 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎 se 𝑋𝑖 ≤ 𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥;

= 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑓 se 𝑋𝑖 > 𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥;

𝑋𝑖 = posição longitudinal da baliza;

𝑋𝐵𝑚𝑎𝑥 = posição longitudinal da boca máxima.

Capítulo 3: APÊNDICES DO CASCO

Neste projeto, os apêndices do casco se caracterizam basicamente por um leme, uma

quilha central fixa, e um bulbo posicionado na ponta da quilha. Outros apêndices poderiam

ser utilizados, como fólios horizontais, mais de uma quilha ou leme, e etc. Contudo, neste

método de projeto, foram utilizados apenas esses três apêndices. Há também a possibilidade

de não se utilizar o bulbo; para tal, basta o projetista selecionar essa opção no início do projeto.

O projeto dos apêndices do casco não pode ser realizado independente do projeto

das velas. A Figura 3-1, a qual foi retirada o livro PYD [4], representa as forças hidrodinâmicas

e aerodinâmicas responsáveis pelo equilíbrio de um veleiro em movimento. A força resultante

nas velas gera uma força propulsiva e uma força lateral aerodinâmica, a qual tende a adernar

o veleiro. Então, essa força lateral é equilibrada com as forças hidrodinâmicas geradas pelo

casco e seus apêndices. A quilha e o leme contribuem com a maior parcela dessas forças

hidrodinâmicas.

O equilíbrio de todas essas forças e momentos gerados é chamado de balanço.

Encontrar a condição de equilíbrio envolve obter as forças hidrodinâmicas e aerodinâmicas,

bem como as demais forças e momentos (peso do barco, empuxo e momento adicional gerado

pela tripulação sentada no bordo). Também, obter os pontos de atuação das forças é

imprescindível para definir a condição de equilíbrio. Dessa forma, o resultado gerado depende

da intensidade e direção do vento, o que resulta na velocidade do barco para essa condição,

o seu ângulo de banda, ângulo de deriva e ângulo de ataque do leme. Devido ao fato de que

um dos principais objetivos da obtenção do balanço é a previsão da velocidade do barco, os

programas que encontram esse equilíbrio de forças são chamados de VPP (Velocity Prediction

Program). Para a elaboração desse método de projeto, foi necessário desenvolver um

programa VPP especialmente para essa planilha, o qual foi programado por VBA, igual às

40

demais funções apresentadas. Os cálculos utilizados para a programação do VPP foram

obtidos através de diversas fontes, as quais serão apresentadas no Capítulo 6: VPP.

Figura 3-1: Equilíbrio de forças em um veleiro. [4]

41

Neste capítulo, serão apresentados apenas os cálculos utilizados para a determinação

da forma dos apêndices e alguns de seus valores associados à forma, como volume, centro de

gravidade e etc. Os coeficientes utilizados para a obtenção das forças hidrodinâmicas, assim

como as forças em si, serão apresentados apenas no Capítulo 6:, uma vez que elas dependem

da velocidade do barco, ângulo de deriva e etc. Também, a posição do centro de resistência

lateral CLR (Centre of Lateral Resistance) dos apêndices será obtida neste capítulo.

3.1 QUILHA E LEME

O projeto do leme é muito semelhante ao projeto de uma quilha de veleiro comum.

Ambos se baseiam na teoria de seções de asa [6]. Contudo, as funções de ambos são

evidentemente diferentes. Muito embora a função primordial do leme seja de manobrar a

embarcação, o leme também contribui para uma parcela considerável do balanço de forças

apresentado neste capítulo. Visto que as características das seções do leme e da quilha são

muito semelhantes, os dois tópicos foram unidos nesta seção e as equações utilizadas para

ambos serão apresentadas uma única vez.

3.1.1 Definição da Geometria da Quilha e do Leme

A Figura 3-2, a qual foi retirada do livro PYD [4], apresenta um modelo de geometria

da quilha e do leme. Esse modelo, modelo contém as principais dimensões da seção, com

exceção dos perfis utilizados para a raiz e para a ponta, bem como as suas espessuras.

Antes de entrar em detalhes sobre o processo utilizado para a definição das variáveis

relativas a geometria na planilha, faz-se necessário abordar em mais detalhes a relação entre

o ângulo da flecha (sweep angle) e a razão de afilamento (taper ratio).

O livro PYD [4] aborda o conceito de que a pressão hidrodinâmica na quilha e no leme

tende a ter uma distribuição elíptica. Por conta disso, no intuito de aproveitar melhor a essa

distribuição de pressão, o formato dessas seções deveria ser igualmente elíptico. Contudo,

devido às dificuldades de construção, quilhas elípticas tendem a não ser práticas. No entanto,

é possível obter uma distribuição de forças que seja bem próxima da elíptica utilizando quilhas

42

trapezoidais, desde que seja utilizado uma razão de afilamento adequada para o ângulo da

flecha. A Figura 3-3 apresenta a curva que contém a relação ótima entre essas duas variáveis.

Os pontos vermelhos, assim como nos gráficos das dimensões principais, apresentam os

pontos que foram selecionados para regredir a curva em um polinômio do quarto grau, a fim

de obter a equação matemática que seria utilizada pela planilha.

Figura 3-2: Representação da geometria da quilha e do leme. [4]

Com isso, utilizando a equação apresentada após a Figura 3-3, é possível vincular

essas variáveis de forma a fazer com que a razão de afilamento seja um resultado do ângulo

da flecha, diminuindo o número de variáveis livres e auxiliando na otimização da forma da

quilha e do leme. Então, como a razão de afilamento também é uma resultante da corda na

raiz e da corda na ponta, é possível vincular essas variáveis também. Para resumir, basta

definir a corda na raiz e o ângulo da flecha, e a corda na ponta é obtida como um resultado.

Contudo, para os casos em que um bulbo é utilizado na ponta da quilha, essa relação

não necessariamente apresenta bons resultados. Com a presença do bulbo, a forma da ponta

da quilha estaria alterada, interferindo na distribuição de pressões. Também, mantendo essa

𝑏

𝑐̅

43

a relação, a corda ponta da quilha, a qual precisaria suportar o peso do bulbo, precisaria ser

bem menor que a da raiz, podendo levar a restrições estruturais. Um outro fator seria a

tendência de projetistas em aumentar a espessura dos perfis da quilha próximos a sua ponta,

no intuito de descer o centro de gravidade do barco, o que se torna mais complicado com uma

variação tão grande da corda da raiz e da ponta. Por conta dos motivos apresentados, foi

deixada livre a opção de se estipular uma razão de afilamento ou de deixar a planilha obter o

valor hidrodinâmico ótimo a partir da relação apresentada na Figura 3-3.

Figura 3-3: Relação ótima entre a razão de afilamento e o ângulo da flecha. [4]

A equação obtida para a relação entre a razão de afilamento (𝑇𝑅) e o ângulo da

flecha (𝛬) foi a seguinte:

𝑇𝑅 = 0,45106 − 0,0171789 ∙ 𝛬 + 0,00033812 ∙ 𝛬2

−3,9033 ∙ 10−6 ∙ 𝛬3 + 1,8922 ∙ 10−8 ∙ 𝛬4

44

Assim, para a definição da geometria, é necessário conhecer os seguintes dados:

• perfil da raiz;

• corda da raiz (𝑐1);

• razão da espessura da raiz (𝑡1/𝑐1);

• perfil da ponta;

• razão da espessura da ponta (𝑡1/𝑐1);

• envergadura (𝑏);

• ângulo da flecha (𝛬);

• razão de afilamento (𝑇𝑅), opcional para a quilha.

Então, a partir das expressões apresentadas na Figura 3-2 e da equação da razão de

afilamento, é possível obter:

• razão de afilamento (𝑇𝑅), para os casos da relação da Figura 3-3;

• corda da ponta (𝑐2);

• corda média (𝑐̅);

• razão de aspecto (𝐴𝑅).

Nos casos em que existe uma superfície plana horizontal acima da quilha e do leme,

a razão de aspecto efetiva (𝐴𝑅𝑒) é o dobro da razão de aspecto real, como define o livro PYD

[4] e o artigo de Van Oossanen, Predicting the Speed of Sailing Yachts [7]. Dessa forma,

considerando que tanto a quilha como o leme se encontram nessa condição, de forma que o

leme não esteja a ré do casco, calculamos a razão de aspecto efetiva a partir da seguinte

expressão:

𝐴𝑅𝑒 = 2 ∙ 𝐴𝑅 =2 ∙ 𝑏

𝑐̅

A definição dos perfis utilizados é um critério que não pode ser definido pelo

otimizador, e sim pelo projetista. Dessa forma, no início do projeto, há a opção para selecionar

diversas características fixas para o projeto, incluído o perfil utilizado para o leme e para a

quilha. É possível também utilizar um perfil para a raiz da quilha e um perfil diferente para a

ponta da quilha. Os perfis geralmente utilizados são os perfis NACA de 4 dígitos e as séries 63

e 65 de 5 dígitos. Por conta disso, foi definido apenas essas opções para o presente modelo

45

de projeto, o que pode ser expandido posteriormente para a utilização de outros perfis. O

livro PYD [4] sugere, para a raiz da quilha, a utilização da série 65 com uma razão de espessura

de 12%, evoluindo gradativamente para a série 63 com espessura de 18% na ponta.

Para o caso da geometria do leme, outros fatores são importantes. Visando auxiliar

o processo de definição da geometria do leme, foi utilizada a Figura 3-4, a qual foi retirada do

terceiro volume do livro Principles of Naval Architecture [8]. Com essas informações, e a partir

do comprimento e do calado do barco, é possível obter os limites inferiores e superiores da

área que o leme deverá ter.

Figura 3-4: Coeficientes da área do leme. [8]

3.1.2 Definição da Posição Longitudinal da Quilha e do Leme

A posição longitudinal da quilha pode ser obtida de duas formas: uma é fixando-a no

início ou no decorrer do projeto, e a outra é permitindo que a planilha obtenha o seu valor a

partir de um conjunto de parâmetros os quais envolvem a posição da vela, balanço de forças,

e etc. No caso do leme, a sua posição longitudinal é definida pelo projetista ao estipular a

posição longitudinal do bordo de fuga na raiz do leme, a partir da perpendicular de ré. A Figura

3-5 apresenta um exemplo de um veleiro qualquer feito pela planilha. No caso da figura, a

46

posição longitudinal foi definida com o valor de zero, posicionado o bordo de fuga da raiz do

leme exatamente na perpendicular de ré.

Figura 3-5: Exemplo de vistas geradas pela planilha.

A é uma imagem gerada pela planilha a qual possibilita o projetista observar a vista

de perfil e frontal do casco, as dimensões e posições do leme, quilha, bulbo, componentes

estruturais do mastro, mastro e velas, assim como o calado obtido pela condição de equilíbrio,

a qual será apresentada no Capítulo 4: Equilíbrio Hidrostático. Todas as partes apresentadas

estão nas proporções corretas, incluindo as espessuras longitudinal e transversal do mastro,

a qual não necessariamente são iguais, e a espessura da retranca. Os demais parâmetros da

vela e do mastro serão discutidos no Capítulo 5: Velas.

47

3.1.3 Volume, Áreas e Centro de Gravidade da Quilha e do Leme

Uma vez definindo o perfil utilizado e a sua razão de espessura (𝑡/𝑐), sabendo que

são conhecidos todos os demais valores acima, é possível obter a espessura (𝑡) do perfil.

Também, como a corda da raiz costuma ser diferente da corda da ponta, são obtidas as

espessuras em cada uma das duas extremidades.

No intuito de obter o volume, o centro de gravidade e a superfície molhada da quilha

e do leme, foi criada uma forma de calcular a área horizontal da seção, o seu respectivo

centroide, e o seu perímetro. Para tal, foi obtida a área e a coordenada longitudinal do

centroide de área para os perfis NACA de 4 dígitos e as séries 63 e 65 de 5 dígitos, todos

utilizando uma espessura de 10% da corda e uma corda de valor igual a um. A unidade não é

importante pois esses valores serão adimensionalizados. Então, uma vez obtida a área, esta

foi dividida pela corda e pela espessura, obtendo um coeficiente semelhante ao coeficiente

de seção mestra (𝐶𝑀). Nos perfis de 4 dígitos, este coeficiente é igual para qualquer valor de

espessura e corda, podendo ser multiplicado por essas dimensões para obter a área real. Nos

casos dos perfis de 5 dígitos, essa relação acompanha a corda, mas tende a apresentar

pequenas diferenças de resultados quando as espessuras se distanciam da espessura utilizada

para o cálculo. Contudo, como consta no PYD [4], essa é uma boa aproximação.

Os coeficientes de área obtidos foram:

• NACA 4 dígitos: 0,6818;

• NACA Série 63: 0,6497;

• NACA Série 65: 0,6305.

No caso das coordenadas longitudinais dos centroides de área, o valor obtido foi

dividido pela corda, resultando em um outro coeficiente. Esse coeficiente representa um

percentual da posição longitudinal do centroide em relação a sua corda, a partir do bordo de

ataque. Assim, é possível obter a coordenada longitudinal do centroide de área ao multiplicar

esse coeficiente pela corda da seção.

48

Os valores obtidos para o percentual da coordenada longitudinal do centroide de

área em relação à sua corda foram:

• NACA 4 dígitos: 0,4191;

• NACA Série 63: 0,4310;

• NACA Série 65: 0,4094.

No caso do perímetro, não foi encontrada uma relação direta como as da área e

centroide de área. Embora fosse possível verificar uma relação linear entre o perímetro e a

corda do perfil, não foi possível verificar uma relação igual para o aumento da espessura.

Então, foram calculados os perímetros para diversos valores de razão de espessura (𝑡/𝑐),

obtendo os pontos de uma curva que relaciona os dois valores. Com isso, os pontos foram

regredidos para se obter um polinômio do terceiro grau. Assim, foi obtida a seguinte equação:

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 ∙ 𝑐 ∙ [ 0,99769 + 0,07163 ∙ (𝑡

𝑐) + 0,95120 ∙ (

𝑡

𝑐)2

− 0,75031 ∙ (𝑡

𝑐)3

]

Então, a partir dos valores calculados, é possível obter o volume, a coordenada

longitudinal do centro de gravidade (𝐿𝐶𝐺), a coordena vertical do centro de gravidade (𝑉𝐶𝐺),

a área da superfície molhada (𝑆𝑊), e a área lateral (𝐴𝐿) utilizando as seguintes equações:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = (Á𝑟𝑒𝑎𝑅 + Á𝑟𝑒𝑎𝑃) ∙ 𝑏/2

𝑆𝑊 = (𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑅 + 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑃) ∙ 𝑏/2

𝐿𝐶𝐺 =(𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒𝑋,𝑅 ∙ Á𝑟𝑒𝑎𝑅 + 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒𝑋,𝑃 ∙ Á𝑟𝑒𝑎𝑃) ∙ 𝑏/2

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

𝑉𝐶𝐺 =(𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒𝑍,𝑅 ∙ Á𝑟𝑒𝑎𝑅 + 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒𝑍,𝑃 ∙ Á𝑟𝑒𝑎𝑃) ∙ 𝑏/2

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

𝐴𝐿 = 𝑐̅ ∙ 𝑏

49

onde Á𝑟𝑒𝑎𝑅 = área da seção horizontal do perfil da raiz;

Á𝑟𝑒𝑎𝑃 = área da seção horizontal do perfil da ponta;

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑅 = perímetro da seção horizontal do perfil da raiz;

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑃 = perímetro da seção horizontal do perfil da ponta;

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒𝑋,𝑅 = coordenada longitudinal do centroide de área do perfil da

raiz;

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒𝑋,𝑃 = coordenada longitudinal do centroide de área do perfil da

ponta;

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒𝑍,𝑅 = coordenada vertical do centroide de área do perfil da

raiz;

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒𝑍,𝑃 = coordenada vertical do centroide de área do perfil da

ponta;

𝑏 = envergadura;

𝑐̅ = corda média.

No caso da superfície molhada do leme, é adicionado também o valor de Á𝑟𝑒𝑎𝑃, uma

vez que não há um bulbo abaixo da quilha.

As coordenadas dos centroides são obtidas em relação ao referencial utilizado pela

planilha. Dessa forma, as coordenadas longitudinais precisam ser obtidas utilizando as

posições definidas na Subseção 3.1.2: Definição da Posição Longitudinal.

Uma vez definida as essas coordenadas longitudinais, é possível obter as suas

coordenadas verticais utilizando a geometria do casco. Como essa geometria é conhecida,

pode-se obter a coordenada vertical do ponto inferior do casco para uma determinada

posição longitudinal. Assim, utilizando as coordenadas longitudinais obtidas para as seções da

raiz, obtém-se as suas respectivas coordenadas verticais. Com isso, ao subtrair o valor da

envergadura da quilha e da envergadura do leme, obtém-se as coordenadas verticais das

seções da ponta.

Evidentemente, para esse modelo de projeto, o qual inclui apenas uma quilha e um

leme, todas as coordenadas transversais são iguais a zero.

50

3.1.4 Centro de Resistência Lateral da Quilha e do Leme

A posição do centro de resistência lateral foi obtida primeiramente para cada um dos

apêndices. Seguindo o modelo do PYD [4], uma boa aproximação para o centro de resistência

lateral baseia-se em considera-lo sobre a linha referente ao ângulo da flecha (25% da corda)

e a 45% da envergadura, a partir da raiz. Assim, como são conhecidas todas as coordenadas

da quilha e do leme em relação ao referencial utilizado na planilha, obtém-se as coordenadas

dos centros de resistência lateral da quilha e do leme.

A partir de todos os valores calculados até aqui, é possível representar o leme e em

vistas como as da Figura 3-6. Essas figuras são representadas na planilha para uma rápida

visualização das geometrias obtidas. A primeira imagem representa a vista de perfil do leme;

a segunda imagem representa a vista de perfil da quilha; e a terceira imagem representa a

vista frontal da quilha. É possível verificar que as linhas referentes ao ângulo da flecha (25%

da corda) estão representadas, indicando que o leme possui ângulo da flecha igual a zero,

enquanto que a quilha possui esse ângulo maior do que zero. Também, é possível verificar

que tanto os centros de gravidade quanto os centros de resistência lateral (𝐶𝐿𝑅) da quilha e

do leme estão representados nas imagens.

Como cada projeto possui apêndices com coordenadas distintas, se os eixos desses

gráficos fossem fixados a valores específicos, nem sempre as imagens estariam centralizadas.

Porém, se os eixos estivessem livres para que o Microsoft Excel os ajustasse de forma

automática, suas proporções tenderiam a ficar distorcidas. Por conta disso, foi gerada uma

nova macro capaz de verificar as dimensões das imagens e ajustar os eixos dos gráficos para

ficaram com as proporções exatas.

Figura 3-6: Exemplo de representação do leme e da quilha gerada pela planilha. Primeira imagem: perfil do leme; segunda imagem: perfil da quilha; terceira imagem: vista frontal da quilha.

51

3.2 BULBO

3.2.1 Definição da Geometria do Bulbo

A definição da geometria do bulbo foi tomada a partir de um de um perfil NACA de 4

dígitos, como uma superfície de revolução. Dessa forma, basta definir o comprimento do

bulbo (𝐿𝐵) , o qual é equivalente à corda do perfil, e a altura do bulbo (ℎ𝐵) , o qual é

equivalente a espessura do perfil. Com isso, define-se a geometria do bulbo utilizado.

Figura 3-7: Exemplo de representação do bulbo gerada pela planilha.

A Figura 3-7 é um exemplo de representação do bulbo, o qual também foi gerado

pela planilha. Para essa figura, foi utilizada uma quilha com razão de afilamento igual a 0,90 e

ângulo da flecha igual a zero.

3.2.2 Definição da Posição Longitudinal do Bulbo

A posição longitudinal do bulbo em relação ao barco está diretamente vinculada à

posição longitudinal da quilha, não havendo muito o que ser definido além disso. A única coisa

extra que o projetista poderia estipular é a posição do bulbo em relação à quilha; ou seja, se

o bulbo utilizado seria do tipo T ou do tipo L. A Figura 3-8 exemplifica os dois tipos de bulbo

que podem ser utilizados, representados pela própria planilha desenvolvida.

52

Figura 3-8: Tipos de bulbos utilizados no projeto. Tipo T, à esquerda, e tipo L, à direita.

Na Figura 3-8, é possível verificar também que houve uma pequena alteração de trim

com a mudança do buldo do tipo T para a do tipo L, o qual moveu o centro de gravidade um

pouco para ré. O que foi captado pela função de equilíbrio hidrostático que será apresentada

no próximo capítulo.

3.2.3 Volume, Áreas e Centro de Gravidade do Bulbo

O processo utilizado para a obtenção do volume do bulbo foi semelhante ao processo

utilizado para obter a área da seção horizontal dos perfis da quilha e do leme. Foi obtido o

volume de um bulbo qualquer utilizando um perfil NACA de 4 dígitos. Então, dividindo o

volume obtido pelo comprimento largura e altura do bulbo, obteve-se um coeficiente

semelhante ao coeficiente de bloco de uma embarcação. Esse coeficiente, ao ser multiplicado

pelo comprimento (𝐿𝐵) e atura (ℎ𝐵) do bulbo ao quadrado, obtém-se o volume do bulbo

para as determinadas dimensões. O valor do coeficiente encontrado foi de 0,8625. Então, o a

expressão para obter o volume do bulbo é a seguinte:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝐵𝑢𝑙𝑏𝑜 = 0,8625 ∙ 𝐿𝐵 ∙ ℎ𝐵2

53

Da mesma forma, foi obtido o coeficiente relativo à superfície molhada do bulbo ao

dividir a sua superfície molhada pelo comprimento (𝐿𝐵) e altura do bulbo (ℎ𝐵) . Assim,

obteve-se o valor de 2,1417. Foi observado que a relação estabelecida se mantinha verídica

para qualquer combinação de comprimento e altura de bulbo utilizados. Então, obteve-se a

seguinte expressão para área da superfície molhada do bulbo:

𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑀𝑜𝑙ℎ𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝐵𝑢𝑙𝑏𝑜 = 2,1417 ∙ 𝐿𝐵 ∙ ℎ𝐵

Para a área lateral do bulbo, foi utilizado o coeficiente de área do perfil NACA de 4

dígitos, o qual foi definido na seção anterior. Então, obteve-se a seguinte equação:

Á𝑟𝑒𝑎 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝐵𝑢𝑙𝑏𝑜 = 0,6818 ∙ 𝐿𝐵 ∙ ℎ𝐵

A posição longitudinal do centro de gravidade do bulbo também foi obtida a partir

dos coeficientes definidos na seção anterior para um perfil NACA de 4 dígitos. Foi utilizado o

percentual da coordenada longitudinal do centroide de área em relação à sua corda. Assim,

foi define-se a seguinte equação para a posição longitudinal do centro de gravidade do bulbo.

𝐿𝐶𝐺 𝑑𝑜 𝐵𝑢𝑙𝑏𝑜 = 𝑃𝐿𝐵 − 0,4191 ∙ 𝐿𝐵

onde 𝑃𝐿𝐵 = posição longitudinal do bordo de ataque do bulbo.

54

3.2.4 Centro de Resistência Lateral do Bulbo

O critério estabelecido para a determinação do centro de resistência lateral do bulbo

foi obtido de acordo com a referência [9]. A sua posição vertical foi definida na metade da

altura do bulbo, e a sua posição longitudinal foi definida como a 37% do comprimento do

bulbo a partir do seu bordo de ataque.

Capítulo 4: EQUILÍBRIO HIDROSTÁTICO

Uma vez que tanto a geometria do corpo da canoa, como a geometria dos apêndices

do casco estão definidas, é possível obter as tabelas hidrostáticas para uma determinada

condição de flutuabilidade. Para tal, foi necessário criar um programa do tipo function, o qual

se baseia em uma função com apenas 3 variáveis de entrada e 23 variáveis de saída. As

variáveis de entrada são as 3 variáveis necessárias para determinar um plano de flutuação: o

calado médio, o ângulo de trim e o ângulo de banda. É evidente que outros dados de entrada

são importantes, como a geometria do casco, a posição dos apêndices, e etc. Contudo, como

essas informações estão armazenadas sempre nos mesmos locais da planilha, elas não

precisam sempre serem inseridas na função. A função simplesmente busca essas informações

sempre no mesmo lugar. No entanto, os dados do plano de flutuação podem alterar de forma

mais significativa.

Então, a pós a determinação das hidrostáticas, foi desenvolvida uma outra função

para encontrar a condição de equilíbrio. Está é uma função que possui quatro variáveis de

entrada e três variáveis de saída. As variáveis de entrada são: o deslocamento e cada uma das

três coordenadas do centro de gravidade. Com essas quatro variáveis, obtém-se a condição

de carregamento. Então, após encontrar a condição de equilíbrio, a função exporta o calado

médio, o ângulo de trim e o ângulo de banda.

4.1 TABELAS HIDROSTÁTICAS

O programa desenvolvido para a determinação das tabelas hidrostáticas se baseia

em duas partes: os cálculos referentes ao corpo da canoa, e os cálculos referentes aos

56

apêndices do casco. O fluxograma apresentado a seguir é apenas um resumo dos cálculos

desenvolvidos, no intuito de permitir uma rápida visualização do passo-a-passo geral do

programa.

INÍCIO

Recebe dados do plano de flutuação: Calado médio, ângulo de trim e ângulo de banda.

Lê os pontos do corpo da canoa e os dados dos apêndices do casco.

Obtém os pontos de interseção do plano de flutuação com cada baliza, adiciona esses pontos nas variáveis e elimina os pontos acima desse plano.

Para cada baliza 𝑖, calcula-se: ▪ Área: 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑖; ▪ Coordenada longitudinal da baliza: 𝑋𝑖; ▪ Coordenada transversal do centroide de área: 𝑌𝑖; ▪ Coordenada vertical do centroide de área: 𝑍𝑖; ▪ Perímetro molhado: 𝑃𝑖; ▪ Ponto mais baixo da baliza: 𝐾𝑖; ▪ Boca: 𝐵𝑖; ▪ Calado: 𝑇𝑖; ▪ Altura do centro do calado: ℎ𝑇𝑖.

Obtém a área da seção mestra: 𝐴𝑀 = 𝑀𝐴𝑋{𝐴𝑟𝑒𝑎𝑖}.

.

Obtém a boca de linha d’água: 𝐵𝑊𝐿 = 𝑀𝐴𝑋{𝐵𝑖}.

.

Acha o primeiro 𝑋𝑊𝐿,𝑏 e o último 𝑋𝑊𝐿,𝑒 ponto do corpo submerso ao obter

a interseção do plano de flutuação com a curva do fundo do casco 𝐾𝑖.

Obtém o comprimento de linha d’água: 𝐿𝑊𝐿 = 𝑋𝑊𝐿,𝑒 − 𝑋𝑊𝐿,𝑏.

A

57

A

Calcula-se: ▪ Volume submerso do corpo da canoa: ∇𝐶= ∫𝐴𝑟𝑒𝑎𝑖; ▪ Coordenada longitudinal do centro de carena: 𝐿𝐶𝐵𝐶 = ∫(𝑋𝑖 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑖) / ∇𝐶; ▪ Coordenada transversal do centro de carena: 𝑇𝐶𝐵𝐶 = ∫(𝑌𝑖 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑖) / ∇𝐶; ▪ Coordenada vertical do centro de carena: 𝑉𝐶𝐵𝐶 = ∫(𝑍𝑖 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑖) / ∇𝐶; ▪ Área de linha d’água 𝐴𝑊 = ∫𝐵𝑖; ▪ Coordenada longitudinal do centro de flutuação: 𝐿𝐶𝐹 = ∫(𝑋𝑖 ∙ 𝐵𝑖) / 𝐴𝑊; ▪ Coordenada transversal do centro de flutuação: 𝑇𝐶𝐹 = ∫(𝑌𝐵,𝑖 ∙ 𝐵𝑖) / 𝐴𝑊;

▪ Coordenada vertical do centro de flutuação: 𝑉𝐶𝐹 = ∫(𝑍𝐵,𝑖 ∙ 𝐵𝑖) / 𝐴𝑊;

▪ Superfície molhada: 𝑆𝑊 = ∫𝑃𝑖; ▪ Área lateral: 𝐴𝐿 = ∫𝑇𝑖; ▪ Coordenada longitudinal do centroide da área lateral: 𝐴𝐿,𝑋 = ∫(ℎ𝑇𝑖 ∙ 𝑇𝑖) /𝐴𝐿;

▪ Coordenada vertical do centroide da área lateral: 𝐴𝐿,𝑍 = ∫(ℎ𝑇𝑖 ∙ 𝑇𝑖) /𝐴𝐿.

Para cada baliza 𝑖, calcula-se: ▪ Inércia transversal: 𝐼𝑇 = ∬𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦; ▪ Inércia longitudinal: 𝐼𝐿 = ∬𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑦.

Para cada um dos apêndices do casco, verifica-se as posições de seus pontos em relação ao plano de flutuação:

Calcula-se o volume final do casco e o seu centro de carena: ▪ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝐶 + 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠;

▪ 𝐿𝐶𝐵 = (𝐿𝐶𝐵𝐶 ∙ ∇𝐶 + 𝐿𝐶𝐵𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠 ∙ ∇𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠)/ ∇;

▪ 𝑇𝐶𝐵 = (𝑇𝐶𝐵𝐶 ∙ ∇𝐶 + 𝑇𝐶𝐵𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠 ∙ ∇𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠)/ ∇;

▪ 𝑉𝐶𝐵 = (𝑉𝐶𝐵𝐶 ∙ ∇𝐶 + 𝑉𝐶𝐵𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠 ∙ ∇𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠)/∇ .

B

Calcula-se o volume correto do apêndice e o seu respectivo centro de carena. Calcula-se também a área da linha d’água e adiciona seu valor ao total.

Considera o volume todo do apêndice e seu o respectivo centro de carena.

Faz o volume e as coordenadas do centro de carena do apêndice ser igual a zero.

Todos os

pontos acima Todos os

pontos abaixo Parte dos pontos acima e parte abaixo

58

FIM

É possível verificar que o programa não gera os coeficientes do casco, como o

coeficiente de bloco, o coeficiente prismático, e etc. Contudo, todos esses coeficientes podem

ser facilmente obtidos a partir dos dados encontrados por uma simples programação das

células do Excel. Assim, as seguintes expressões foram utilizadas:

Coeficiente de bloco: 𝐶𝐵 = ∇𝐶/(𝐿𝑊𝐿 ∙ 𝐵𝑊𝐿 ∙ 𝑇𝐶)

Coeficiente da seção mestra: 𝐶𝑀 = A𝑀/(𝐵𝑊𝐿 ∙ 𝑇𝐶)

Coeficiente de linha d’água: 𝐶𝑊 = A𝑊/(𝐿𝑊𝐿 ∙ 𝐵𝑊𝐿)

Coeficiente prismático: 𝐶𝑃 = A𝑊/(𝐴𝑀 ∙ 𝐿𝑊𝐿)

O padrão utilizado pelo programa envolve manter os pontos do casco sempre fixos

na mesma posição, independentemente dos ângulos de trim e banda. Para os casos em que

esses ângulos são diferentes de zero, o que varia é a definição do plano de flutuação, e não a

alteração de todas as coordenadas dos pontos do casco. Esse modelo foi tomado por motivos

de praticidade, pois seria muito mais complicado e computacionalmente mais pesado alterar

todas as coordenadas dos pontos para cada alteração de ângulo de trim ou banda.

B

Calcula-se: ▪ Posição vertical do metacentro transversal: 𝐾𝑀𝑇 = 𝑉𝐶𝐵 + 𝐼𝑇/𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒; ▪ Posição vertical do metacentro longitudinal: 𝐾𝑀𝐿 = 𝑉𝐶𝐵 + 𝐼𝐿/𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒.

Exporta os 23 dados de saída nessa ordem: ∇𝐶 , ∇, 𝐿𝐶𝐵, 𝑇𝐶𝐵, 𝑉𝐶𝐵, 𝐿𝑊𝐿 , 𝐵𝑊𝐿, 𝐴𝑀, 𝐴𝑊, 𝐿𝐶𝐹, 𝑇𝐶𝐹, 𝑉𝐶𝐹, 𝑆𝑊, 𝐴𝐿, 𝐴𝐿,𝑋, 𝐴𝐿,𝑍, 𝐾𝑀𝑇, 𝐾𝑀𝐿, 𝐿𝐶𝐵𝐶, 𝑋𝑊𝐿,𝑎, 𝑋𝑊𝐿,𝑓, 𝑍𝑊𝐿,𝑎, 𝑍𝑊𝐿,𝑓.

59


Como a quantidade de pontos fornecidos pelo FreeShip para cada uma das balizas é

geralmente muito grande (mais de 100), e os pontos não possuem espaçamentos distintos,

foi selecionado o método dos trapézios para a obtenção da área das balizas. As expressões

utilizadas para a obtenção da área e do centroide de área são as seguintes:

𝐴𝑟𝑒𝑎 =1

2∑(𝑧𝑗 ∙ 𝑦𝑗+1 − 𝑧𝑗+1 ∙ 𝑦𝑗)

𝑛−1

𝑗=0

𝑌 =1

6 ∙ 𝐴∑(𝑦𝑗 + 𝑦𝑗+1) ∙ (𝑧𝑗 ∙ 𝑦𝑗+1 − 𝑧𝑗+1 ∙ 𝑦𝑗)

𝑛−1

𝑗=0

𝑍 =1

6 ∙ 𝐴∑(𝑧𝑗 + 𝑧𝑗+1) ∙ (𝑧𝑗 ∙ 𝑦𝑗+1 − 𝑧𝑗+1 ∙ 𝑦𝑗)

𝑛−1

𝑗=0

A vogal 𝑗 se refere ao índice do ponto na baliza, indo de 0 a 𝑛, onde 𝑛 é o número

máximo de pontos. Então, como essa expressão se refere ao cálculo da área de polígonos

fechados, há a necessidade de repetir o primeiro ponto ao final do array, adicionando-o como

mais um ponto e tornando iguais o primeiro e último ponto.

O perímetro, seguindo a mesma metodologia, foi obtido através da expressão a

seguir. A única diferença é que, nesse caso, não foi necessário repetir o primeiro ponto ao

final, uma vez que se busca obter apenas o comprimento referente à parte molhada do casco.

𝑃 =1

2∑√(𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗)

2+ (𝑧𝑗+1 − 𝑧𝑗)

2𝑛−1

𝑗=0

O ponto mais baixo 𝐾 da baliza foi selecionado ao obter o menor valor de 𝑧𝑖 da baliza.

Com isso, o valor do calado 𝑇 referente à cada baliza foi obtido ao subtrair o ponto referente

ao plano de flutuação na linha de centro e na baliza em questão pelo valor de 𝐾. Da mesma

60

forma, o valor da altura do centro do calado ℎ𝑇 foi obtido ao dividir o calado por dois e somar

o seu resultado ao valor de 𝐾. A boca 𝐵 foi obtida ao obter o comprimento entre os dois

pontos do plano de flutuação que cruzam o casco.

A integração desses valores em relação ao comprimento do barco foi realizada

utilizando o método de Simpson, apresentado nas referências [10] e [4]. Dessa forma, temos

as seguintes expressões:

∇𝐶 =𝑆

3[𝐴𝑟𝑒𝑎0 + 4 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎1 + 2 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎2 + 4 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎3 +⋯+ 4 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛−2 + 2 ∙ 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛−1

+ 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛]

S𝑊 =𝑆

3[𝑃0 + 4 ∙ 𝑃1 + 2 ∙ 𝑃2 + 4 ∙ 𝑃3 +⋯+ 4 ∙ 𝑃𝑛−2 + 2 ∙ 𝑃𝑛−1 + 𝑃𝑛]

A𝑊 =𝑆

3[𝐵0 + 4 ∙ 𝐵1 + 2 ∙ 𝐵2 + 4 ∙ 𝐵3 +⋯+ 4 ∙ 𝐵𝑛−2 + 2 ∙ 𝐵𝑛−1 + 𝐵𝑛]

A𝐿 =𝑆

3[𝑇0 + 4 ∙ 𝑇1 + 2 ∙ 𝑇2 + 4 ∙ 𝑇3 +⋯+ 4 ∙ 𝑇𝑛−2 + 2 ∙ 𝑇𝑛−1 + 𝑇𝑛]

Para a obtenção das coordenadas, as fórmulas utilizas são as seguintes:

𝐿𝐶𝐵 =𝑆

3 ∙ ∇𝐶[𝑋0𝐴𝑟𝑒𝑎0 + 4 ∙ 𝑋1𝐴𝑟𝑒𝑎1 + 2 ∙ 𝑋2𝐴𝑟𝑒𝑎2 + 4 ∙ 𝑋3𝐴𝑟𝑒𝑎3 +⋯

+4 ∙ 𝑋𝑛−2𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛−2 + 2 ∙ 𝑋𝑛−1𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛−1 + 𝑋𝑛𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛]

𝑇𝐶𝐵 =𝑆

3 ∙ ∇𝐶[𝑌0𝐴𝑟𝑒𝑎0 + 4 ∙ 𝑌1𝐴𝑟𝑒𝑎1 + 2 ∙ 𝑌2𝐴𝑟𝑒𝑎2 + 4 ∙ 𝑌3𝐴𝑟𝑒𝑎3 +⋯

+4 ∙ 𝑌𝑛−2𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛−2 + 2 ∙ 𝑌𝑛−1𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛−1 + 𝑌𝑛𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛]

𝑉𝐶𝐵 =𝑆

3 ∙ ∇𝐶[𝑍0𝐴𝑟𝑒𝑎0 + 4 ∙ 𝑍1𝐴𝑟𝑒𝑎1 + 2 ∙ 𝑍2𝐴𝑟𝑒𝑎2 + 4 ∙ 𝑍3𝐴𝑟𝑒𝑎3 +⋯

+4 ∙ 𝑍𝑛−2𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛−2 + 2 ∙ 𝑍𝑛−1𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛−1 + 𝑍𝑛𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛]

𝐿𝐶𝐹 =𝑆

3 ∙ A𝑊[𝑋0𝐵0 + 4 ∙ 𝑋1𝐵1 + 2 ∙ 𝑋2𝐵2 + 4 ∙ 𝑋3𝐵3 +⋯+4 ∙ 𝑋𝑛−2𝐵𝑛−2 + 2 ∙ 𝑋𝑛−1𝐵𝑛−1 + 𝑋𝑛𝐵𝑛

]

𝑇𝐶𝐹 =𝑆

3 ∙ A𝑊[𝑌𝐵,0𝐵0 + 4 ∙ 𝑌𝐵,1𝐵1 + 2 ∙ 𝑌𝐵,2𝐵2 + 4 ∙ 𝑌𝐵,3𝐵3 +⋯

+4 ∙ 𝑌𝐵,𝑛−2𝐵𝑛−2 + 2 ∙ 𝑌𝐵,𝑛−1𝐵𝑛−1 + 𝑌𝐵,𝑛𝐵𝑛]

61

𝑉𝐶𝐹 =𝑆

3 ∙ A𝑊[𝑍𝐵,0𝐵0 + 4 ∙ 𝑍𝐵,1𝐵1 + 2 ∙ 𝑍𝐵,2𝐵2 + 4 ∙ 𝑍𝐵,3𝐵3 +⋯

+4 ∙ 𝑍𝐵,𝑛−2𝐵𝑛−2 + 2 ∙ 𝑍𝐵,𝑛−1𝐵𝑛−1 + 𝑍𝐵,𝑛𝐵𝑛]

𝐴𝐿,𝑋 =𝑆

3 ∙ A𝐿[𝐴𝐿,𝑋,0𝑇0 + 4 ∙ 𝐴𝐿,𝑋,1𝑇1 + 2 ∙ 𝐴𝐿,𝑋,2𝑇2 + 4 ∙ 𝐴𝐿,𝑋,3𝑇3 +⋯

+4 ∙ 𝐴𝐿,𝑋,𝑛−2𝑇𝑛−2 + 2 ∙ 𝐴𝐿,𝑋,𝑛−1𝑇𝑛−1 + 𝐴𝐿,𝑋,𝑛𝑇𝑛]

𝐴𝐿,𝑍 =𝑆

3 ∙ A𝐿[𝐴𝐿,𝑍,0𝑇0 + 4 ∙ 𝐴𝐿,𝑍,1𝑇1 + 2 ∙ 𝐴𝐿,𝑍,2𝑇2 + 4 ∙ 𝐴𝐿,𝑍,3𝑇3 +⋯

+4 ∙ 𝐴𝐿,𝑍,𝑛−2𝑇𝑛−2 + 2 ∙ 𝐴𝐿,𝑍,𝑛−1𝑇𝑛−1 + 𝐴𝐿,𝑍,𝑛𝑇𝑛]

onde 𝑆 = espaçamento entre as balizas;

𝑌𝐵,𝑖 = média entre as coordenadas transversais dos dois pontos em que o

plano de flutuação cruza o casco em uma determinada baliza 𝑖;

𝑍𝐵,𝑖 = média entre as coordenadas verticais dos dois pontos em que o

plano de flutuação cruza o casco em uma determinada baliza 𝑖.

Dois problemas referentes a esse modo de integração são relativos aos pontos

extremos do casco, os quais geralmente não possuem espaçamentos iguais a 𝑆, e ao fato de

haver a possibilidade de o número de balizas ser um número ímpar. No caso de haver um

número ímpar de balizas, a contribuição da última baliza é adicionada pelo método dos

trapézios, o qual foi apresentado anteriormente. Da mesma forma, as contribuições dos

pontos extremos do casco são adicionadas pelo mesmo método, considerando que o valor da

área no ponto extremo é igual a zero na proa e igual à área transom submersa na popa. Assim,

são repetidos os cálculos anteriores, incluindo as partes citadas, para cada um dos valores

apresentados, finalizando a integração do corpo da canoa.

Após finalizada esta parte, resta apenas calcular o momento de inércia transversal 𝐼𝑇

e longitudinal 𝐼𝐿 da área de linha d’água para finalizar os cálculos do corpo da canoa. Assim,

as integrações foram realizadas em duas partes: primeiro integrando em relação a 𝑦 e depois

em relação a 𝑥, como consta representado nas seguintes fórmulas utilizadas:

62

𝜕𝐼𝑇𝜕𝑥 𝑖

= ∫ 𝑦`2𝐵𝑖2

−𝐵𝑖2

𝑑𝑦 = [𝑦3

3]−𝐵𝑖2

𝐵𝑖2

=𝐵𝑖3

3

𝐼𝑇 = ∫𝜕𝐼𝑇𝜕𝑦

𝑖

𝑛

0

𝑑𝑥 ≅∑(𝜕𝐼𝑇𝜕𝑦

𝑖

+𝜕𝐼𝑇𝜕𝑦

𝑖+1

)

𝑛

𝑖=0

∙(𝑋𝑖+1 − 𝑋𝑖)

2

𝜕𝐼𝐿𝜕𝑥 𝑖

= ∫ 𝑥`2𝐵𝑖/2

−𝐵𝑖/2

𝑑𝑦 = 𝐵𝑖 ∙ 𝑥`𝑖2 = 𝐵𝑖 ∙ [(𝑋𝑖 − 𝐿𝐶𝐹)

2 + (𝑃𝐹𝑧𝑖 − 𝑉𝐶𝐹)2]

𝐼𝐿 = ∫𝜕𝐼𝐿𝜕𝑦

𝑖

𝑛

0

𝑑𝑥 ≅∑(𝜕𝐼𝐿𝜕𝑦

𝑖

+𝜕𝐼𝐿𝜕𝑦

𝑖+1

)

𝑛

𝑖=0

∙(𝑋𝑖+1 − 𝑋𝑖)

2

onde 𝑃𝐹𝑧𝑖 = a coordenada vertical do plano de flutuação para uma determinada

baliza 𝑖.

4.1.2 Quilha e Leme

Como pode ser visto no fluxograma, o primeiro passo do programa criado, no que se

diz respeito aos cálculos referentes aos apêndices do casco, é identificar se os pontos do

apêndice em questão estão acima ou abaixo do plano de flutuação. Caso todos os pontos

estejam abaixo, isso significa que o apêndice está submerso, e o seu volume é considerado

por inteiro no cálculo do volume submerso. Caso todos os pontos do casco estejam acima do

plano de flutuação, o apêndice está emerso e o seu volume não é considerado. Para ambos

os casos, os cálculos são simples. O caso mais complicado é quando parte dos pontos estão

acima e parte estão abaixo do plano de flutuação, indicando que apenas parte do volume está

submersa.

No caso de leme, esta condição pode acontecer com mais frequência. No entanto, no

caso da quilha e do bulbo, dificilmente haverá uma condição de carregamento em que o plano

de flutuação esteja cruzando esses apêndices. Essa situação só ocorreria para os casos em que

63

Figura 4-1: Representação esquemática de um corte da quilha ou leme pelo plano de flutuação.

se esteja analisando a estabilidade em grandes ângulos e apenas nos momentos em que esses

cálculos estejam próximos do ângulo de banda de 90°. Muito embora essa condição seja rara,

ela foi adicionada ao programa, onde cálculos de aproximação foram elaborados. Neste tópico,

serão abordados os cálculos realizados para o leme e para a quilha, os quais são iguais; no

tópico seguinte, serão abordados os cálculos do bulbo.

Os dados do quilha e do leme que são lidos pelo programa são os seguintes:

• Área da raiz: 𝐴1

• Área da ponta: 𝐴2

• Coordenada longitudinal do centroide da área da raiz: 𝐶𝑥1

• Coordenada longitudinal do centroide da área da ponta: 𝐶𝑥2

• Coordenada vertical do centroide da área da raiz: 𝐶𝑧1

• Coordenada vertical do centroide da área da ponta: 𝐶𝑧2

Digamos que o plano de flutuação corte a quilha ou leme como consta representado

na Figura 4-1. As linhas em preto indicam o formato correto do apêndice em uma vista de

perfil, já a linha em cinza indica o corte gerado pelo plano de flutuação, onde a sua área está

representada pela letra 𝐴. Assim, basta obter esta área e o valor da altura 𝑃𝐹𝑧, que o cálculo

do volume submerso pode ser obtido. O valor de 𝑃𝐹𝑧 é simplesmente a coordenada vertical

do plano de flutuação na metade da quilha ou leme.

𝐴2

𝐴

𝐶𝑧1

𝐶𝑧2

𝐴1

𝑃𝐹𝑧

64

Assim, por interpolação linear, é possível obter a área 𝐴:

𝐴 = 𝐴2 + (𝐴1 − 𝐴2) ∙𝑃𝐹𝑧 − 𝐶𝑧2𝐶𝑧1 − 𝐶𝑧2

Igualmente, obtém-se a coordenada longitudinal e vertical do centroide da área 𝐴:

𝐶𝑥 = 𝐶𝑥2 + (𝐶𝑥1 − 𝐶𝑥2) ∙𝑃𝐹𝑧 − 𝐶𝑧2𝐶𝑧1 − 𝐶𝑧2

A coordenada vertical do centroide da área 𝐴 é igual a 𝑃𝐹𝑧. Ou seja: 𝐶𝑥 = 𝑃𝐹𝑧.

Com esses valores, calcula-se todos os demais através das expressões a seguir:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = (𝐴 + 𝐴2) ∙ (𝐶𝑧 − 𝐶𝑧2) / 2

𝐿𝐶𝐵 = (𝐴 ∙ 𝐶𝑥 + 𝐴2 ∙ 𝐶𝑥2) ∙ (𝐶𝑧 − 𝐶𝑧2) / (2 ∙ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒)

𝑇𝐶𝐵 = 0

𝑉𝐶𝐵 = (𝐴 ∙ 𝐶𝑧 + 𝐴2 ∙ 𝐶𝑧2) ∙ (𝐶𝑧 − 𝐶𝑧2) / (2 ∙ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒)

4.1.3 Bulbo

O cálculo do volume submerso do bulbo, para as condições em que o plano de

flutuação o intercepta, é um pouco mais complicada. Para tal, foi desenvolvida uma forma de

aproximação a qual, através do plano de flutuação, obtém-se uma estimativa da porcentagem

do bulbo que estará submersa. Assim, utilizando o volume total do bulbo como dado de

entrada, é possível obter o volume submerso.

65

Figura 4-2: Representação da área submersa do bulbo.

A estimativa da porcentagem submersa do bulbo não pode ser obtida por

interpolação linear, uma vez que a área do bulbo não é trapezoidal como a da quilha e do

leme. Por conta disso, foi obtida uma expressão utilizando a porcentagem da área interna de

um círculo. A Figura 4-2 representa a vista frontal do bulbo, cortado por um plano de flutuação

gerado por um grande ângulo de banda. O valor de 𝑟 representa o raio do círculo formado

pela vista frontal e 𝑎 é a distância da extremidade emersa do círculo ao plano de flutuação.

A partir da imagem apresentada, é possível utilizar a equação de uma circunferência

para integrá-la e obter a área da parte emersa. No caso, utiliza-se o eixo 𝑥` como o eixo

perpendicular ao plano de flutuação, passando pelo centro da circunferência, como consta

representado na Figura 4-2.

Equação da circunferência: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 ⟹ 𝑦 = ±√𝑟2 − 𝑥2

66

Então, obtendo a sua integral de 𝑎 a 𝑟:

𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 Á𝑟𝑒𝑎 = 2∫ 𝑦𝑟

𝑎

𝑑𝑥 = 2∫ √𝑟2 − 𝑥2𝑟

𝑎

𝑑𝑥 = [𝑟2 sin−1 (𝑥

𝑟) + 𝑥√𝑟2 − 𝑥2]

𝑎

𝑟

= 𝑟2 sin−1(1) − 𝑟2 sin−1 (𝑎

𝑟) − 𝑎√𝑟2 − 𝑎2

Multiplicando o resultado por 𝑟

𝑟

√𝑟2

√𝑟2 , obtemos o valor final da área em função do

valor de 𝑟, e da porcentagem 𝑎

𝑟:

𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑟2 [ 𝜋

2− sin−1 (

𝑎

𝑟) −

𝑎

𝑟√1 − (

𝑎

𝑟)2

]

Para obter a estimativa da posição do centroide de área, calcula-se a seguinte

integral:

2∫ 𝑥 ∙ 𝑦𝑟

𝑎

𝑑𝑥 = −2

3[(𝑟2 − 𝑥2)2/3]

𝑎

𝑟=2

3(𝑟2 − 𝑎2)

Multiplicando o resultado por (𝑟2)3/2

(𝑟2)3/2 , obtemos a expressão anterior em função do

valor de 𝑟, e da porcentagem 𝑎

𝑟:

2∫ 𝑥 ∙ 𝑦𝑟

𝑎

𝑑𝑥 =2

3𝑟3 (1 − (

𝑎

𝑟)2

)3/2

Então, dividindo o valor encontrado pela área, obtém-se a coordenada do centroide

de área no eixo 𝑥`.

𝐶𝑥` =2∫ 𝑥 ∙ 𝑦

𝑟

𝑎𝑑𝑥

2 ∫ 𝑦𝑟

𝑎𝑑𝑥

=2

3𝑟

(1 − (𝑎

𝑟)2

)3/2

𝜋

2− sin−1 (

𝑎

𝑟) −

𝑎

𝑟√1 − (

𝑎

𝑟)2

67

Com isso, para analisar mais especificamente os cálculos que o programa realiza, faz

necessário verificar os dados do bulbo que são lidos pelo programa:

• Posição longitudinal do bulbo: 𝐿𝑃𝐵

• Comprimento do bulbo: 𝐿𝐵

• Altura do bulbo: ℎ𝐵

• Volume do bulbo: ∇𝐵

• Coordenada longitudinal do centro de carena do bulbo: LCB𝐵

• Coordenada vertical do centro de carena do bulbo: VCB𝐵

O valor do raio 𝑟 é definido como: 𝑟 = ℎ𝐵/2.

A coordenada vertical do centro do bulbo é obtida: 𝐵𝑢𝑙𝑏𝑜𝑍 = 𝐶𝑥𝑘,1 − 𝑟

onde 𝐶𝑥𝑘,1 = coordenada vertical da ponta da quilha.

Então, as coordenadas y e z dos dois pontos do ponto da circunferência que cruzam

a reta perpendicular ao plano de flutuação que passa pelo centro da circunferência são obtidas

pelas seguintes expressões, onde 𝜑 é o ângulo de banda:

𝑦1 = 𝑟 ∙ cos(𝜑 + 90°)

𝑧1 = 𝐵𝑢𝑙𝑏𝑜𝑍 + 𝑟 ∙ sin(𝜑 + 90°)

𝑦2 = −𝑦1

𝑧2 = 𝐵𝑢𝑙𝑏𝑜𝑍 − 𝑟 ∙ sin(𝜑 + 90°)

Então, utilizando esses pontos, calcula-se a interseção entre a reta formada por esses

pontos e a reta formada pelo plano de flutuação. Com isso, obtém as duas coordenadas do

ponto de interseção:

𝑦𝑊𝐿 = coordenada transversal do ponto de interseção;

𝑧𝑊𝐿 = coordenada vertical do ponto de interseção.

68

A partir dos pontos três pontos obtidos é possível verificar se o ponto de interseção

com o plano de flutuação está acima dos dois pontos do bulbo, indicando que o bulbo está

completamente submerso; se o ponto de interseção com o plano de flutuação está abaixo dos

dois pontos do bulbo, indicando que o bulbo está completamente emerso; ou se o ponto de

interseção com o plano de flutuação está entre os dois pontos do bulbo, indicando que o bulbo

está parcialmente imerso. Nesse caso, calcula-se:

𝑎

𝑟=𝑟 − √(𝑦1 − 𝑦𝑊𝐿)2 + (𝑧1 − 𝑧𝑊𝐿)2

𝑟

Então, obtém-se o segmento de área utilizando o valor de 𝑟 e de 𝑎/𝑟 e, com isso, é

possível obter o volume imerso do bulbo a partir da expressão a seguir:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝐼𝑚𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑜 𝐵𝑢𝑙𝑏𝑜 = ∇𝐵 (1 −𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 Á𝑟𝑒𝑎

𝜋𝑟2)

Da mesma forma, pode-se obter a coordenada vertical do centro de carena do bulbo

ao subtrair a coordenada do centro do bulbo pelo cosseno do valor de 𝐶𝑥` obtido

anteriormente.

VCB𝐵 = 𝐵𝑢𝑙𝑏𝑜𝑍 − cos(𝜑) ∙ 𝐶𝑥`

Assim, enceram-se os cálculos referentes ao volume e coordenadas do centro de

carena do bulbo e, consequentemente, de todos os apêndices do casco. Com isso, segue-se o

fluxograma, calcula-se o volume total e o centro de carena final do casco, calcula-se a posição

vertical do metacentro transversal e a posição vertical do metacentro longitudinal, e

exportam-se todos os dados de saída, finalizando o programa.

69

4.1.4 Validação dos resultados

No intuito de validar o programa criado, foram obtidas as tabelas hidrostáticas para

o casco do exemplo apresentado na Capítulo 2: Geometria do Casco. Como o casco original

não possuía apêndices, esses foram removidos da planilha e obtidas as tabelas hidrostáticas

para o corpo da canoa. Foi inserido os valores de comprimento, boca e pontal iguais aos

valores do casco do FreeShip. Também, foram utilizados os valores originais para a posição

longitudinal da boca máxima e os fatores de alteração da porção a vante e a ré do casco. As

tabelas hidrostáticas na planilha foram obtidas para o mesmo casco, porém utilizando 10

balizas, 30 balizas, 50 balizas e 100 balizas, e os seus resultados podem ser comparados com

os resultados obtidos pelo FreeShip. A Tabela 4-1 apresenta os valores obtidos pelo FreeShip,

e as Tabela 4-3, Tabela 4-4, Tabela 4-2 e Tabela 4-5 apresentam os resultados obtidos pela

planilha para as diferentes quantidades de balizas.

Tabela 4-1: Tabela hidrostática obtida no FreeShip para o exemplo de casco apresentado no Capítulo 2:.

É possível verificar que, em todos os casos, os valores estão suficientemente

próximos. Contudo, como era de se esperar, os valores referentes à utilização de 100 balizas

estão mais próximos dos valores obtidos pelo FreeShip. No caso da útilização de 10 balizas,

verifica-se que alguns de seus valores apresentam uma discrepância maior do que os demais,

como é o caso do 𝐾𝑀𝐿, 𝑆𝑊, 𝐿𝐶𝐹 e 𝐴𝑊. Contudo, é possível verificar que, após a utilização de

30 balizas, esses mesmos valores tendem a estar muito mais próximos entre si do que os

valores obtidos com 10 balizas.

70

Tabela 4-4: Tabela hidrostática com 10 balizas Tabela 4-3: Tabela hidrostática com 30 balizas.

Tabela 4-2: Tabela hidrostática com 50 balizas. Tabela 4-5: Tabela hidrostática com 100 balizas.

71

4.2 BUSCA DA CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO

A busca da condição de equilíbrio é um processo iterativo que utiliza a condição de

carregamento (deslocamento e centro de gravidade) e a função das tabelas hidrostáticas para

definir a posição final do plano de flutuação a qual represente a condição de equilíbrio

hidrostático. Para tal, como foi dito anteriormente, foi criado um outro programa na planilha

utilizando Excel VBA [1]. O fluxograma a seguir apresenta um resumo dos cálculos realizados

pelo programa criado.

INÍCIO

FIM

Recebe dados da condição de carregamento: deslocamento (∆) , e coordenadas do centro de gravidade (𝐿𝐶𝐺, 𝑇𝐶𝐺, 𝑉𝐶𝐺).

Estabelece um valor para a precisão.

Estipula um calado inicial (𝑇𝑚), e ângulos de trim (𝜃) e banda (𝜑).

Cálculo hidrostático.

Calcula-se: ▪ Erro do ∆ ⇐ (∆ − ∇ ∙ 𝜌)/ ∆ ▪ 𝑀𝑅𝑇 ⇐ ∆ ∙ (𝑇𝐶𝐺 ∙ cos𝜑 + 𝑉𝐶𝐺 ∙ sin𝜑) − ∇ ∙ 𝜌 ∙ (𝑇𝐶𝐵 ∙ cos𝜑 + 𝑉𝐶𝐵 ∙ sin𝜑) ▪ 𝑀𝑅𝐿 ⇐ ∆ ∙ (𝐿𝐶𝐺 ∙ cos 𝜃 + 𝑉𝐶𝐺 ∙ sin𝜃) − ∇ ∙ 𝜌 ∙ (𝐿𝐶𝐵 ∙ cos 𝜃 + 𝑉𝐶𝐵 ∙ sin 𝜃)

|Erro do ∆| > 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 ? |MRT| > 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 ? |MRL| > 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 ?

𝑇𝑃𝑀 ⇐ 𝐴𝑊 ∙ 𝜌

𝐺𝑀𝑇 ⇐ 𝐺𝑀𝑇 − 𝑉𝐶𝐺

𝐺𝑀𝑇 ⇐ 𝐺𝑀𝑇 − 𝑉𝐶𝐺

𝑇𝑚 ⇐ 𝑇𝑚 +(∆ − ∇ ∙ 𝜌)

𝑇𝑃𝑀 ∙ cos𝜑

𝜑 ⇐ 𝜑 +(∆ − ∇ ∙ 𝜌)

∇ ∙ 𝜌 ∙ 𝐺𝑀𝑇

𝜃 ⇐ 𝜃 +(∆ − ∇ ∙ 𝜌)

∇ ∙ 𝜌 ∙ 𝐺𝑀𝐿

Exporta três dados de saída: 𝑇𝑚, 𝜑, 𝜃.

NÃO

NÃO

72

Então, foram analisados o tempo de execução e o número de iterações necessárias

para que o programa encontre a condição final de equilíbrio utilizando algumas condições. Foi

regulada a precisão para 0,001, e utilizado o casco do exemplo apresentado no Capítulo 2:

Geometria do Casco. Mais uma vez, foram utilizados cascos com 10, 30, 50 e 100 balizas. As

médias dos resultados obtidos para um computador simples com um processador de Pentium

Dual-Core de 3GHz e 2GB de memória RAN podem ser vistos na Tabela 4-6.

A partir dos resultados, pode-se observar que, nos casos em que a coordenada

transversal do centro de gravidade é igual a zero, o número de iterações é menor. Isso ocorre

porque, para essas condições, há a necessidade de alterar o ângulo de banda, alterando-se

apenas o calado e o ângulo de trim. Também, como era de se esperar, o tempo de execução

aumenta muito com o aumento do número de balizas. Contudo, o número de iterações é mais

alto para a quantidade de 10 balizas, como se a ausência de balizas intermediárias dificultasse

o processo iterativo.

Nº de Balizas 10 30 50 100

Variação de LCG Iterações: 11 8 8 8

Tempo (s): 0,8 1,6 2,9 5,7

Variação de LCG e TCG

Iterações: 24 18 19 18

Tempo (s): 1,8 3,7 6,8 12,6 Tabela 4-6: Comparação entre a média do número de iterações e do tempo gasto pelo

programa de busca da condição do equilíbrio hidrostático para algumas condições.

Capítulo 5: VELAS

As velas de um veleiro, assim como a quilha e o leme, se comportam como asas,

gerando uma força a qual pode ser subdividida em duas componentes: sustentação e arrasto.

Com isso, faz-se necessário obter os coeficientes aerodinâmicos das velas para poder calcular

as suas respectivas forças. Também, é necessário obter os ângulos de atuação do vento sobre

as velas, uma vez que o ângulo aparente efetivo é diferente do ângulo do vento real.

A cálculo das forças aerodinâmicas é apresentado apenas no Capítulo 6: VPP, uma

vez que elas dependem de diversos fatores, como a velocidade do barco, a velocidade do

vento e o ângulo de incidência do vento. Neste capítulo, será abordado principalmente a

definição do tipo de mastreação, a geometria e posição das velas, a posição do centro de

esforço das velas, e o cálculo estrutural do mastro.

5.1 TIPO DE MASTREAÇÃO

A obtenção da geometria das velas começa pela definição do tipo de mastro e velas

utilizadas. Essa parte do cálculo não pode ser simplesmente obtida por um otimizador; muitos

de seus parâmetros precisam ser definidos pelo projetista.

Primeiramente, foi estipulado que as únicas velas utilizadas pelo método de projeto

desenvolvido seriam: vela grande (mainsail) e buja (jib) ou genoa. Futuramente, os programas

criados podem ser expandidos para a abranger outros tipos de vela, bem como outros tipos

de quilhas, lemes e etc.

Com isso, o projetista precisa definir os seguintes parâmetros:

74

• tipo de mastro: tope (masthead) ou fracionada (fractional rig);

• percentual da área da buja ou genoa em relação à área do triângulo de vante;

• se a vela principal é do tipo full-batten;

• altura da retranca (boom) em relação ao pontal;

• número de vaus (spreaders) do mastro.

• tipo de arranjo estrutural longitudinal;

• ângulo dos brandais inferiores (lower shrouds);

• ângulo do estai de proa interno (inner forestay), caso haja

• material do mastro.

Foi definido que, inicialmente, a única opção para o material do mastro seria o

alumínio, havendo a possibilidade de abranger outros materiais em trabalhos futuros.

Mastros do tipo tope possuem tanto a vela grande como a buja ou genoa

posicionadas próximas ao topo do mastro. No caso de velas fracionadas, a buja ou genoa

possui um comprimento menor, o qual é relativo a uma fração do comprimento total mastro.

Para o caso em que o equipamento do mastro é do tipo fracionado, decidiu-se limitar o projeto

às seguintes relações: 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 8/9, 9/10. A Figura 5-2, apresentada na

seção seguinte, representa um mastro fracionado do tipo 6/7.

A genoa se diferencia da buja pela capacidade de uma área que seja superior à área

do triângulo de vante. Assim, para a buja ou genoa, basta definir esse percentual. Para essa

variável, designou-se que poderiam ser selecionados valores de 90% a 160%. A Figura 5-2

possui uma genoa de 120%.

Vaus (ou cruzetas) é o nome das vigas horizontais para bombordo e estibordo do

mastro dos veleiros onde se apoiam os brandais, com a finalidade de fixar o mastro e de

diminuir a pressão exercida sobre ele. O número de vaus do mastro foi limitado a 1 ou 2. A

Figura 5-2 ilustra um barco com dois vaus. Detalhes estruturais sobre os vaus e brandais serão

discutidos na Seção 5.4, assim como os ângulos dos brandais inferiores e do estai de proa

interno.

Os tipos de arranjos longitudinais reconhecidos pela NBS [11] são seis tipos

representados na Figura 5-1, a qual foi retirada do PYD [4]. Para o método de projeto

selecionado, foi definido que os únicos tipos utilizados seriam os dois primeiros, o que pode

75

ser expandido futuramente a fim de abranger mais opções estruturais. Dessa forma, os dois

tipos utilizados foram os seguintes:

1. brandais inferiores duplos;

2. brandais inferiores únicos com estai de proa interno.

Figura 5-1: Tipos de arranjo estrutural longitudinal de mastros reconhecidos pela NBS. [11] [4]

Com isso, a partir da determinação dessas variáveis, definem-se os parâmetros fixos

estipulados pelo projetista.

76

Figura 5-2: Exemplo de um veleiro qualquer formado pela planilha e nomenclatura de algumas dimensões e componentes do mastro.

5.2 GEOMETRIA DAS VELAS

Uma vez que os parâmetros anteriores foram definidos, a geometria da vela pode ser

obtida pelo otimizador ao definir apenas a posição longitudinal do mastro e a sua altura. Todas

as demais variáveis da vela estão relacionadas com as anteriores. A Figura 5-2 ilustra a

geometria de uma vela qualquer obtida pela planilha. Como a posição do mastro e sua altura

são definidas pelo otimizador, a geometria e posição de cada uma das duas velas são definidas

apenas pela determinação da base e da altura de cada uma das velas.

A altura da vela grande (𝑃) foi definida como 98 por cento da altura do mastro menos

a altura da retranca. O comprimento da retranca foi definido utilizando o estai de popa como

referência. Este foi definido como uma reta entre o topo do mastro e o topo do espelho de

popa, como mostra a Figura 5-2. Então, foi obtida a distância entre o estai de popa e o mastro

na altura da retranca. O comprimento da retranca (𝐸) foi então definido como essa distância

menos dez por cento do comprimento total do veleiro.

𝑃

𝐸

𝐼

𝐽

𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑎𝑖𝑠

𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠

𝑣𝑎𝑢𝑠

𝑔𝑒𝑛𝑜𝑎

𝑣𝑒𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

𝑟𝑒𝑡𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎

77

A altura da buja ou genoa (𝐼) foi definida baseada no tipo de mastro selecionado pelo

projetista. Caso este seja do tipo tope (masthead), o topo desta vela se equivale ao topo da

vela grande. Caso contrário, o topo desta vela é definido a partir da fração selecionada pelo

projetista. Por exemplo, caso esta seja do tipo 4/5, o topo dessa vela está a 4/5 da altura do

mastro. A Figura 5-2 apresenta um exemplo de mastreação fracionada do tipo 6/7. A base da

buja ou genoa também é definida com base nos parâmetros estabelecidos pelo projetista; no

caso, utiliza-se o seu percentual de área em relação à área do triângulo de vante ( 𝐽%). Caso

este valor seja 100%, a base da buja é igual à base do triângulo de vante ( 𝐽), a qual se refere

à distância entre a extremidade proa e o mastro. Caso este seja diferente de 100%, o valor

definido para a base é a porcentagem dessa distância.

Com essas informações, é possível utilizar as expressões contidas na referência [4]

para a determinação da área das velas, sendo 𝐴𝑚 a área da vela grande e 𝐴𝑓 a área do

triângulo de vante.

𝐴𝑚 = 0,5 ∙ 𝑃 ∙ 𝐸

𝐴𝑓 = 0,5 ∙ 𝐼 ∙ 𝐽

Então, com o percentual da área da buja ou genoa em relação à área do triângulo de

vante ( 𝐽%), obtém-se a área da buja ou genoa (𝐴𝑗) a partir da seguinte expressão:

𝐴𝑗 = 𝐽% ∙ 𝐴𝐹

Como todos os cálculos referentes ao balanço de forças do Capítulo 6: são quase que

inteiramente baseados no paper de Van Oossanen (Predicting the Speed of Saling Yachts) [7],

a área de referência das velas (𝐴𝑁) foi obtida a partir da expressão encontrada nesse paper:

𝐴𝑁 = 𝐴𝑓 + 𝐴𝑚/1,16

78

5.3 CENTRO DE ESFORÇO (CE)

O centro de esforço das velas (𝐶𝐸) é determinado através do método apresentado

no livro PYD [4]. Ele se baseia na obtenção do centro geométrico de vela grande e do triângulo

de proa. A partir de ambos os pontos, e obtém-se o centro de esforço das velas a partir de

uma distância 𝑎 entre os dois centros geométricos obtidos. Dessa forma, é possível calcular

tanto a coordenada longitudinal, como a coordenada vertical do centro de esforço das velas.

O valor de 𝑎 é obtido a partir da seguinte expressão:

𝑎 =𝑙

𝐴𝑚

𝐴𝑓+ 1

onde 𝑙 = distância entre o centro geométrico das velas;

𝐴𝑚 = área da vela grande;

𝐴𝑓 = área do triângulo de vante.

5.4 ESTRUTURA DA MASTRO

5.4.1 Momento de Endireitamento (RM)

O cálculo estrutural do mastro foi realizado com o principal objetivo de obter a massa

dos equipamentos, a sua respequitiva posição do centro de gravidade, e da área exposta ao

vento. Esses cálculos forem baseados no livro PYD [4], o qual se inicia calculando o momento

de endireitamento do barco para um ângulo de banda igual a 30°. Para calcular esse momento,

foram utilizadas as seguintes expressões:

𝑅𝑀 = 𝑅𝑀30 ∙ ∆/𝐺 + 𝛿𝑅𝑀

𝛿𝑅𝑀 = 75 ∙ 𝑛 ∙ (3,4 ∙ 𝐵𝑚𝑎𝑥 − 4,9 ∙ 𝑓𝑆)

79

onde 𝑅𝑀 = momento de endireitamento de referência;

𝑅𝑀30 = momento de endireitamento do barco vazio a 30°;

∆ = deslocamento total do barco;

𝐺 = massa do barco vazio;

𝛿𝑅𝑀 = momento adicional devido à tripulação a barlavento;

𝑛 = número de tripulantes;

𝐵𝑚𝑎𝑥 = boca máxima do barco;

𝑓𝑆 = borda livre no mastro.

O cálculo para obter o momento de endireitamento do barco vazio a 30° (𝑅𝑀30) é

realizado a partir da função desenvolvida para o cálculo da curva de estabilidade, a qual está

apresentada no Capítulo 8: Estabilidade.

Em relação a esse momento de endireitamento e a área das velas, o livro PYD [4]

trouxe duas condições importantes para a classificação de um veleiro. A primeira é que a área

do triangulo de proa não deve ser maior do que 1,6 vezes a área da vela grande. A segunda é

que a área das velas deve ser maior do que o momento de endireitamento dividido por 128

vezes braço de emborcamento. O braço de emborcamento é a distância vertical entre o centro

de esforço das velas, apresentado na seção anterior, e o plano de flutuação. Se esses critérios

não forem estabelecidos, o barco é classificado como um barco a motor com uma vela estável.

Por conta disso, foi adicionado à planilha uma verificação dessas condições, a qual é utilizada

como critérios de referência na otimização.

5.4.2 Brandais

O cálculo da espessura necessária aos brandais inicia-se pelo cálculo das forças

transversais, utilizando o momento de endireitamento calculado na subseção anterior. A

Figura 5-3, retirada do PYD [4], apresenta as forças transversais, bem como as expressões

utilizadas para o cálculo de cada uma delas. São utilizados dois casos: caso 1 (letra A da figura)

e caso 2 (letra B da figura). No caso 1, o mastro é carregado apenas pela buja ou genoa; no

caso 2, o mastro é carregado por uma vela grande com área bem reduzida. Para o caso 2,

considera-se que a vela grande possui uma altura igual a 60% da sua altura máxima.

80

Figura 5-3: Forças transversais. [4]

81

Então, utilizando as expressões da figura, são obtidas as respectivas forças. A partir

delas, calcula-se as forças 𝐹1 , 𝐹2 , e 𝐹3 , as quais representam as componentes do

carregamento em cada um dos vaus do mastro e no topo da buja ou genoa. A força 𝐹1

representa a força no vau mais próximo do convés. A força 𝐹2 representa a força no vau

seguinte, para o caso de dois vaus, ou no topo da buja ou genoa, para o caso de mastros de

apenas um vau. A força 𝐹3 representa a força no topo da buja ou genoa para os casos em que

são utilizados dois vaus no mastro.

A Tabela 5-1 pode ser utilizada como base para o cálculo de cada uma dessas três

forças em cada um dos dois casos. A letra F indica o mastro do tipo fracionado (fractional rig),

enquanto que a letra M indica mastros do tipo tope (mastehead). Os números 0, 1 e 2, ao lado

de cada letra, indicam o número de vaus no mastro. Ou seja, o tipo F-2 é um mastro fracionado

com dois vaus.

Tipo Caso 1 Caso 2 F1 F2 F3 F1 F2 F3

F-0 T1 0 0 Thu + Tbu 0 0

M-1 / F-1 0 T1 0 Thl + Tbu Thu 0

M-2 / F-2 1) 0 0 T1 Tbu Thl Thu

M-2 / F-2 2) 0 0 T1 Thl + Tbu Thu 0

Tabela 5-1: Dimensionamento das forças nos vaus. [4]

1) 𝑆𝑒 𝐵𝐷 + 0,6𝑃 > 𝐼1 + 𝐼2

2) 𝑆𝑒 𝐵𝐷 + 0,6𝑃 > 𝐼1 + 𝐼2

onde 𝐵𝐷 = altura da retranca em relação à arqueação no mastro;

𝑃 = altura máxima da vela grande;

𝐼1 = distância vertical entre a posição das forças 𝐹1 e 𝐹2;

𝐼2 = distância vertical entre a posição das forças 𝐹2 e 𝐹3.

Então, com o auxílio da Tabela 5-1, algumas células da planilha foram programadas

para poder apresentar o valor de cada uma dessas forças, identificando qual foi o tipo de

82

mastro selecionado. Como foi dito na Seção 5.1, os tipos de mastro que foram programados

pela planilha são: M-1, M-2, F-1 e F-2.

A Figura 5-4, bem como a Figura 5-5, foram retiradas do PYD [4]. A primeira apresenta

as expressões do cálculo das forças nos brandais para o caso com um mastro de um vau, e a

segunda apresenta as expressões do cálculo das forças nos brandais para o caso com um

mastro de dois vaus. Então, cada uma dais forças das figuras são calculadas para o Caso 1 e

para o Caso 2. A partir dos valores obtidos, são considerados apenas os seus valores máximos

para o dimensionamento dos cabos. Os valores de 𝑃𝐷1 , 𝑃𝐷2 , e 𝑃𝐷3 são utilizados para

dimensionar os cabos diagonais, e os valores de 𝑃𝑉1 e 𝑃𝑉2 são utilizados para dimensionar os

cabos verticais.

Figura 5-4: Cálculo das forças nos brandais (shroud tension) para o caso com um mastro de um vau. [4]

83

Figura 5-5: Cálculo das forças nos brandais (shroud tension) para o caso com um mastro de dois vaus. [4]

Diametro (mm)

Tensão de Ruptura

(N)

Peso (kg/m)

3 7700 0,040

4 13800 0,073

5 21600 0,113

5,5 25700 0,139

6 30000 0,165

7 40900 0,225

8 53500 0,327

10 69100 0,475

11 83500 0,648

12 120200 0,820

14 160100 1,000 Tabela 5-2: Relação dos cabos de aço utilizados. [4]

84

A determinação dos cabos de aço utilizados para cada projeto é realizada a partir da

Tabela 5-2, também fornecida pelo PYD [4]. Foi desenvolvida mais uma função por VBA [1]

especialmente para essa planilha. Essa função verifica o carregamento máximo requerido para

cada cabo e seleciona o diâmetro de cabo apropriado, levando em consideração a sua

continuidade ao longo de todo o mastro.

5.4.3 Estais

O dimensionamento do diâmetro dos estais é realizado pela mesma função criada

para selecionar o diâmetro dos brandais, as únicas diferenças são as expressões utilizadas para

obter a força de ruptura em cada um dos estais.

A força de ruptura mínima requerida para o estai de proa carregando a vela de vante

é:

𝑃𝑓𝑜 = 15 ∙ 𝑅𝑀/(𝑙 + 𝑓𝑠) [𝑁]

onde 𝑅𝑀 = momento de endireitamento de referência;

𝑙 = distância entre o ponto onde o estai de proa se insere no mastro e

a arqueação no mastro;

𝑓𝑆 = borda livre no mastro.

A força de ruptura mínima requerida para o estai de proa interno é:

𝑃𝑓𝑖 = 12 ∙ 𝑅𝑀/(𝑙 + 𝑓𝑠) [𝑁]

A força de ruptura mínima requerida para o estai de popa é:

𝑃𝑎 = 𝑃𝑓𝑜 ∙ sin 𝛼𝑓 / sin 𝛼𝑎 [𝑁] (𝑚𝑎𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑝𝑒)

𝑃𝑎 = 2,8 ∙ 𝑅𝑀/(𝑙𝑎 + sin 𝛼𝑎) [𝑁] (𝑚𝑎𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑟𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜)

85

onde 𝑙𝑎 = distância entre o ponto onde o estai de popa se insere no mastro e

o plano de flutuação no mastro;

𝛼𝑓 = ângulo entre o estai de proa e o mastro;

𝛼𝑎 = ângulo entre o estai de popa e o mastro.

5.4.4 Vaus

O cálculo do momento de inércia mínimo requerido para os vaus foi realizado

utilizando as componentes transversais das forças dos brandasis (𝐶), calculadas na Subseção

5.4.2: Brandais. Assim, utiliza-se a seguinte expressão:

𝐼 = 0,8 ∙ 𝐶(𝑛) ∙ 𝑆(𝑛)2/(𝐸 ∙ cos 𝛿) [𝑚𝑚4]

onde 𝐶(𝑛) = componente transversal das forças no brandal;

𝑆(𝑛) = comprimento do vau;

𝐸 = módulo de elasticidade do vau;

𝛿 = ângulo horizontal do vau.

Perto do mastro, os vaus devem ter um módulo de seção mínimo igual ao obtido pela

seguinte expressão:

𝑆𝑀 = 𝑘 ∙ 𝑆(𝑛) ∙ 𝑉(𝑛) ∙ cos 𝛿 [𝑚𝑚3]

onde 𝑘 = 0,16/𝜎0,2;

𝜎0,2 = limite de escoamento [MPa], (mínimo de 210 MPa para alumínio);

𝑉(𝑛) = 𝑉1 para o vau inferior

= 𝐷3 para o vau superior.

86

Diferentemente dos cabos e das seções dos mastros e da retranca, o PYD não fornece

uma tabela com valores padrões para a seleção dos vaus do mastro. Por conta disso, foi

desenvolvida uma forma de prever as dimensões dos vaus a fim de calcular o seu peso e área

exposta ao vento. Para tal, foi utilizado o alumínio como material, e estipulada uma viga de

seção constante ao longo do comprimento do vau. Foi determinada que a largura da viga seria

de três vezes a sua altura. Dessa forma, uma vez definindo a altura da viga, define-se o seu a

sua largura, o seu momento de inércia e o seu módulo de seção. Com a elaboração de mais

uma simples função, foi possível determinar a altura mínima para a viga, prevendo os demais

resultados.

5.4.5 Mastro

A rigidez longitudinal mínima requerida para o mastro é diferente da rigidez

transversal. Os cálculos são realizados de forma independente, unindo-os apenas no final do

processo, quando haverá a seleção da seção apropriada.

A inércia transversal mínima requerida para o mastro é obtida separadamente em

cada um dos três possíveis paineis. Os painéis são as regiões do mastro entre os pontos de

atuação das forças 𝐹1, 𝐹2, e 𝐹3, calculadas na Subseção 5.4.2. Assim, para cada um dos painéis,

utiliza-se a seguinte expressão para o cálculo do momento de inércia transversal:

𝐼𝑇 = 𝑘1 ∙ 𝑚 ∙ 𝑃𝑇 ∙ 𝑙(𝑛)2 [𝑚𝑚4]

onde 𝑘1 = fator do painel, obtido a partir da tabela a seguir;

𝑚 = 1 para alumínio;

𝑙(𝑛) = comprimento do painel em questão;

𝑃𝑇 = 1,5 ∙ 𝑅𝑀/𝑏, para o painel 1

= 𝐷1 ∙ cos 𝛽1, para o painel 2

= 𝐷1 ∙ cos 𝛽1 + 𝐷2 ∙ cos 𝛽2, para o painel 3.

87

Os valores de 𝐷1, 𝐷2, 𝛽1 e 𝛽2 constam representados na Subseção 5.4.2, e o valor de

𝑅𝑀, calculado na Subseção 5.4.1.

A Tabela 5-3, apresentada a seguir, é utilizada para obter o valor do fator k1, onde k3

é igual a 1,35 para mastros fixados no convés e 1,00 para mastros fixados na quilha.

Tipo de Mastro

Fator do painel k1

Painel 1 Painel 2

M-1 2,5 k3 3,50

F-1 2,4 k3 3,35

M-2 2,7 k3 3,80

F-2 2,6 k3 3,60

Tabela 5-3: Fator do painel k1. [4]

O cálculo do momento de inércia longitudinal do mastro é obtido pela seguinte

expressão:

𝐼𝐿 = 𝑘2 ∙ 𝑘3 ∙ 𝑚 ∙ 𝑃𝑇 ∙ ℎ2 [𝑚𝑚4]

onde 𝑘2 = fator dos estais, obtido a partir da tabela a seguir;

𝑚 = 1 para alumínio;

𝑃𝑇 = 1,5 ∙ 𝑅𝑀/𝑏;

ℎ = altura do mastro acima do convés ou superestrutura até o mais

alto estai carregando vela;

O fator dos estais k2 é obtido a partir da Tabela 5-4, onde os números do tipo de

mastro referem-se aos números da Figura 5-1, apresentada no início desse capítulo.

Tipo de mastro F-0 M-1 F-1 M-2 F-2

1 - 0,85 0,80 0,90 0,85

2 - 0,80 0,75 0,85 0,80

3 - 1,00 0,85 0,95 0,80

4 - - 0,95 - 0,90

5 - - 1,00 - 0,95 Tabela 5-4: Fator dos estais k2. [4]

88

No caso dos mastros fracionados, é possível obter uma seção diferente para o seu

topo. Nesse caso, calcula-se o módulo de seção para essa região utilizando as seguintes

expressões:

𝑆𝑀𝑇 = 8 ∙ 𝑅𝑀 ∙ 𝑂𝑋/𝑃 [𝑚𝑚3]

𝑆𝑀𝐿 = 2100 ∙ 𝑅𝑀 ∙𝑂𝑌

𝜎0,2 ∙ (𝑂𝑌 + ℎ) [𝑚𝑚3]

Onde 𝜎0,2 é o limite de escoamento, em MPa, 𝑃 é a altura da vela grande, e as

dimensões de 𝑂𝑋 e 𝑂𝑌 estão representadas na Figura 5-6, retirada do PYD [4].

Figura 5-6: Topo dos mastros fracionados. [4]

A partir dos valores calculados, é possível obter as dimensões do mastro com o auxílio

da Tabela 5-5, fornecida pelo PYD [4]. Então, foi desenvolvida mais uma função no Microsoft

Excel capaz de identificar os valores requeridos para o mastro e obter a seção apropriada de

menor peso para cada painel.

89

Seção Oval

Diâmetro principal (mm)

IL (cm4)

IT (cm4)

Espessura (mm)

Peso (kg/m)

SML (cm³)

SMT (cm³)

122 85 165 75 2,45 2,43 23,6 17,6

130 93 215 100 2,50 2,71 29,0 21,5

138 95 287 139 2,85 3,35 35,0 29,3

155 104 413 191 3,05 3,69 45,9 36,7

170 115 569 260 3,10 4,11 58,1 45,2

177 124 725 345 3,40 4,75 74,7 55,6

189 132 956 458 3,70 5,73 89,3 69,4

206 139 1310 613 4,10 6,44 115,0 88,2

224 150 1775 830 4,50 7,32 143,0 111,0

237 162 2360 1120 4,85 8,76 176,0 138,0

274 185 3650 1650 4,90 10,32 232,0 178,0

Seção Delta

121 92 205 122 3,00 3,15 28,9 26,5

129 100 292 175 3,50 3,74 38,9 35,0

137 113 375 250 3,90 4,21 50,0 44,2

146 112 508 310 4,40 5,05 619,0 55,3

160 132 750 500 5,30 6,67 80,6 75,7

Seção Furl.

190 94 580 200 3,00 4,69 55,4 42,5

213 104 850 290 3,15 5,45 73,2 55,7

235 116 1240 435 4,00 6,55 97,6 75,0

232 126 1590 605 5,00 8,71 128,0 96,0

260 136 2400 900 5,75 10,36 176,0 132,0

290 150 3520 1300 6,00 12,63 224,0 173,0

Tabela 5-5: Dimensões principais típicas de seções de mastros e suas propriedades. [4]

5.4.6 Retranca

O cálculo do módulo de seção requerido para a retranca foi obtido a partir da


𝑆𝑀 = 600 ∙ 𝑅𝑀 ∙𝐸 − 𝑑1𝜎0,2 ∙ 𝐻𝐴

[𝑚𝑚3]

Onde 𝜎0,2 é o limite de escoamento, em MPa, 𝐸 é a base da vela grande, 𝐻𝐴 é a do

plano de flutuação ao centro de esforço das velas, e a dimensão de 𝑑1 consta representada

na Figura 5-7, retirada do PYD [4].

90

Figura 5-7: Representação das dimensões e forças na retrança.

A partir do valor calculado, é possível obter as dimensões da retranca com o auxílio

da Tabela 5-6, fornecida pelo PYD [4]. Então, foi utilizada a mesma função desenvolvida no

Microsoft Excel e explicada na subseção anterior para identificar o valor requerido para a

retranca e obter a seção apropriada de menor peso.

A distância 𝑑1 foi estimada como um valor igual ao valor da altura da retranca em

relação convés, a qual é estabelecida pelo projetista.

Seções da

Retranca

Diâmetro principal (mm)

IL (cm4)

IT (cm4)

Espessura (mm)

Peso (kg/m)

SML (cm³)

SMT (cm³)

86 59 60 23 1,80 1,67 14,0 7,8

120 62 155 42 1,80 2,16 24,8 13,7

143 76 290 80 2,20 2,83 39,4 20,9

162 125 615 330 2,80 4,75 76,0 53,0

171 94 610 170 2,80 4,03 67,7 35,7

200 117 1190 325 2,80 5,36 112,0 55,5

250 140 2410 640 3,20 6,96 185,0 91,4

Tabela 5-6: Dimensões principais típicas de seções de retranca e suas propriedades. [4]

Uma vez obtidas as dimensões de cada um dos elementos calculados nesse capítulo,

é possível obter a massa e o centro de gravidade de cada um desses elementos. Esse valores

são, então, adicionados à relação final contendo todos os componentes das massas calculados

pela planilha e inseridos pelo projetista, resultando no peso final do barco.

Capítulo 6: VPP

Existem inúmeras forças atuantes em um veleiro em movimento, não apenas as

forças hidrostáticas, mas também as forças hidrodinâmicas e aerodinâmicas. As forças

aerodinâmicas dependem da intensidade do vento e do seu ângulo de incidência. Contudo,

como será visto na Subseção 6.1.1: Velocidade e Ângulo de Vento Aparente, até a velocidade

e o ângulo de banda são capazes de alterar a atuação do vento sobre as velas. Da mesma

forma, a atuação do vento sobre as velas também induz uma velocidade no barco e um ângulo

de banda.

Como foi visto no Capítulo 3:, o que equilibra as forças aerodinâmicas são as forças

hidrodinâmicas, as quais são geradas principalmente pela quilha e pelo leme. Essas forças são

induzidas por um ângulo de deriva (leeway angle), o que depende das forças aerodinâmicas.

Devido a esse ângulo de deriva, assim como o ânulo de banda, a resistência ao avanço do

casco aumenta, o que ocasiona uma redução da velocidade do barco e uma redução das forças

aerodinâmicas, bem como uma alteração na velocidade e no ângulo aparente do vento sobre

as velas.

Após uma breve análise do balanço dessas forças, é evidente que o processo de

obtenção da condição de equilíbrio dinâmico é um processo iterativo. Também, é evidente

que a condição final de equilíbrio varia com a intensidade do vento e com o seu ângulo de

incidência. Dessa forma, para cada combinação de intensidade do vento e ângulo de

incidência do vendo, há uma velocidade diferente para o barco, assim como um valor

diferente de resistência ao avanço. Também, para cada uma dessas condições, há um ângulo

de banda, um ângulo de deriva e um ângulo de ataque do leme para manter o barco no curso

correto.

92

Neste capítulo, serão primeiramente abordados os cálculos referentes às forças

aerodinâmicas. Depois, serão abordados os cálculos referentes às forças hidrodinâmicas. Após

o cálculo das forças, serão unidos os resultados para realizar o balanço através do processo

iterativo descrito na terceira seção, apresentando o programa criado para o cálculo do VPP. A

quarta e última seção deste capítulo trata da distância entre o centro de esforço das velas e o

centro de resistência lateral do casco, chamado de lead.

6.1 FORÇAS AERODINÂMICAS

6.1.1 Velocidade e Ângulo de Vento Aparente

Nos casos em que o veleiro está em movimento no mar, a velocidade efetiva do vento

que incide sobre as velas não é igual à velocidade verdadeira do vento. Da mesma forma, o

seu ângulo de incidência efetivo também não é igual ao ângulo verdadeiro. A Figura 5-2,

retirada do PYD [4], demonstra a relação entre essas velocidades e os seus ângulos de

incidência no chamado triângulo de velocidades. A figura também demostra a velocidade do

veleiro na direção do vento real, chamada de speed-made-good (𝑉𝑀𝐺).

Figura 6-1: Triângulo de velocidade. [4]

93

Os cálculos referentes à cada condição de equilíbrio foram iniciados a partir de uma

velocidade de vento real (𝑉𝑇𝑊) e de um ângulo de incidência real do vento sobre o a linha de

centro do veleiro (𝛽𝑇𝑊). A partir desses dados, e partindo do pressuposto de que a velocidade

final do barco (𝑉𝐵), o ângulo de banda (𝜙), o ângulo de deriva (𝛽), e o ângulo de ataque do

leme (𝛼) são conhecidos, calcula-se todas as demais forças aerodinâmicas e hidrodinâmicas.

Através da Figura 6-2, também retirada do PYD [4], é possível calcular a velocidade efetiva do

vento aparente (𝑉𝐴𝑊𝑒) e o seu ângulo de incidência (𝛽𝐴𝑊𝑒) a partir de uma velocidade do

vento real e seu ângulo de incidência.

Figura 6-2: Ângulo efetivo de vendo aparente para ângulo de banda diferente de zero. [4]

6.1.2 Coeficientes Aerodinâmicos

Para o cálculo dos coeficientes aerodinâmicos totais de sustentação (CLTA) e arrasto

(CDTA) da vela, foi utilizado o paper de Van Oossanen (Predicting the Speed of Saling Yachts)

[7], onde os coeficientes contidos na Tabela 6-1 foram obtidos.

94

Tabela 6-1: Coeficientes de sustentação (𝐶𝐿) e de arrasto parasítico (𝐶𝐶𝑃) para cada vela em relação ao ângulo de vento aparente (𝛽𝐴𝑊).

Então, uma vez conhecido os ângulos de vento aparente (𝛽𝑇𝑊), os coeficientes de

cada uma das velas podem ser obtidos por interpolação. Como foi dito anteriormente, as

únicas velas utilizadas são as três velas da esquerda da Tabela 6-1, sendo as duas primeiras

referentes à vela grade (mainsail). Caso o projetista tenha selecionado que a vela grande não

é do tipo full-batten, será utilizada a primeira tabela à esquerda, caso contrário, será utilizada

a segunda.

Então, o coeficiente de sustentação (𝐶𝐿), o coeficiente de arrasto parasítico (𝐶𝐷𝑃)

relativos às duas velas são obtidos a partir das seguintes expressões:

𝐶𝐿 = (𝐶𝐿𝑗 ∙ 𝐴𝑗 + 𝐶𝐿𝑚 ∙ 𝐴𝑚)/𝐴𝑁

𝐶𝐷𝑃 = (𝐶𝐷𝑃𝑗 ∙ 𝐴𝑗 + 𝐶𝐷𝑃𝑚 ∙ 𝐴𝑚)/𝐴𝑁

onde 𝐶𝐿𝑗 = coeficiente de sustentação da buja ou genoa;

𝐴𝑗 = área da buja ou genoa (definida na Seção 5.2);

𝐶𝐿𝑚 = coeficiente de sustentação da vela grande;

𝐴𝑚 = área da vela grande (definida na Seção 5.2);

𝐶𝐷𝑃𝑗 = coeficiente de arrasto parasítico da buja ou genoa;

𝐶𝐷𝑃𝑚 = coeficiente de arrasto parasítico da vela grande;

𝐴𝑁 = área de referência das velas (definida na Seção 5.2).

95

O coeficiente de arrasto induzido (𝐶𝐷𝐼) é substancial, e não está incluído no arrasto

parasítico, precisando ser calculado separadamente. Em adição, as velas são geralmente

posicionadas para operar no (ou perto do) maior coeficiente de sustentação, gerando uma

separação do escoamento, a qual precisa ser considerada. Segundo Van Oossanen [7], esses

compodentes do arrasto são considerados proporcionais ao quadrado do coeficiente de

sustentação para cada vela. Dessa forma, o coeficiente de arrasto induzido (𝐶𝐷𝐼) e o

coeficiente de arrasto de separação (𝐶𝐷𝑆) são obtidos a partir das seguintes expressões:

𝐶𝐷𝐼 = (𝐶𝐿𝑗2 ∙ 𝐴𝑗 + 𝐶𝐿𝑚

2 ∙ 𝐴𝑚)/(𝜋 ∙ 𝐴𝑅𝑒𝑆 ∙ 𝐴𝑁)

𝐶𝐷𝑆 = (𝐶𝐿𝑗2 ∙ 𝐴𝑗 ∙ 𝐾𝑃𝑗 + 𝐶𝐿𝑚

2 ∙ 𝐴𝑚 ∙ 𝐾𝑃𝑚)/𝐴𝑁

onde 𝐴𝑅𝑒𝑆 = razão de aspecto específica do plano da vela;

𝐾𝑃𝑗 = coeficiente do arrasto de separação para a buja ou genoa (0,016);

𝐾𝑃𝑚 = coeficiente do arrasto de separação para a vela grande (0,016).

Segundo o PYD [4], a razão de aspecto específica do plano da vela (𝐴𝑅𝑒𝑆) pode ser

obtida a partir da seguinte expressão:

𝐴𝑅𝑒𝑆 =

{

(1,1 ∙ (𝐸𝐻𝑀 + 𝐹𝐴))

2

𝐴𝑁, 𝛽𝑇𝑊 < 50°

(1,1 ∙ 𝐸𝐻𝑀)2

𝐴𝑁, 𝛽𝑇𝑊 ≥ 50°

onde 𝐸𝐻𝑀 = altura do mastro acima da arqueação;

𝐹𝐴 = borda livre média.

96

O coeficiente parasítico (𝐶𝐷0) do casco, equipamentos e tripulação expostos ao

vento são, então, obtidos a partir da seguinte expressão:

𝐶𝐷0 = ((0,2 + 0,7 sin 𝛽𝐴𝑊𝑒) ∙ 𝐴𝑃𝑐ℎ + 𝐴𝑃𝑟𝑖𝑔 + 0.5 ∙ 𝐴𝑃𝑐𝑟𝑒𝑤) /𝐴𝑁

onde 𝐴𝑃𝑐ℎ = área projetada efetiva do casco exposto ao vento;

𝐴𝑃𝑟𝑖𝑔 = área projetada efetiva do mastro e outros equipamentos

expostos ao vento;

𝐴𝑃𝑐𝑟𝑒𝑤 = área projetada total da tripulação exposta ao vento.

A área projetada efetiva do casco exposto ao vento foi aproximada pela seguinte

expressão disponibilizada por Van Oossanen [7]:

𝐴𝑃𝑐ℎ = 𝐴𝑃𝑐ℎ1 + (𝐴𝑃𝑐ℎ2 − 𝐴𝑃𝑐ℎ1) ∙ sin 𝛽𝐴𝑊𝑒

onde 𝐴𝑃𝑐ℎ1 = 𝐻ℎ𝑢𝑙𝑙+𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡 ∙ (𝐵𝑊𝐿 + 𝐵𝑀𝐴𝑋)/2

𝐴𝑃𝑐ℎ2 = 𝐻ℎ𝑢𝑙𝑙+𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡 ∙ (𝐿𝑊𝐿 + 𝐿𝑂𝐴)/2

e 𝐻ℎ𝑢𝑙𝑙+𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡 = altura representativa do casco e superestrutura acima

d’água.

A área projetada do mastro e dos demais equipamentos expostos ao vento é

calculada na Seção 5.4 do Capítulo 5: Velas. Para o cálculo da área projetada efetiva da

tripulação exposta ao vento, utiliza-se os dados de entrada do número de tripulantes no barco

multiplicados pela área projetada média de uma pessoa, a qual também pode ser inserida

como dados de entrada na planilha.

97

A partir de então, os coeficientes aerodinâmicos totais de sustentação (CLTA) e

arrasto (CDTA) das velas podem ser obtidos a partir das seguintes equações:

𝐶𝐿𝑇𝐴 = 𝐶𝐿 ∙ 𝑓 ∙ 𝑟2

𝐶𝐷𝑇𝐴 = 𝐶𝐷0 + 𝐶𝐷𝑃 ∙ 𝑓 ∙ 𝑟2 + (𝐶𝐷𝐼 + 𝐶𝐷𝑆) ∙ 𝑓

2 ∙ 𝑟2

onde 𝑓 = fator referente ao aplanamento das velas, o qual reduz o

coeficiente de sustentação quando o ângulo crítico de banda é

alcançado, antes que comece a redução da área das velas;

𝑟 = fração da área das velas sendo usada.

6.1.3 Força Propulsiva e Força Lateral

A partir dos coeficientes aerodinâmicos, é possível calcular a força de sustentação e

a força de arrasto das velas. Contudo, elas não equivalem diretamente à força propulsiva e

força lateral. No caso do barco velejando na direção do vento, por exemplo, as velas possuem

um ângulo de 90° com o vento, gerando uma força de sustentação igual a zero e um força

resultante igual apenas à força de arrasto. Nesse caso, a força de arrasto é a força propulsiva

do barco, o que difere da ideia de que a força de sustentação é a componente boa e o arrasto

é a componente ruim de uma vela.

Para obter a força propulsiva e a força lateral das velas, calcula-se primeiro as forças

de sustentação (𝐿𝑇𝐴) e arrasto das velas (𝐷𝑇𝐴). Ambas as força são obtidas a partir das

seguintes expressões:

𝐿𝑇𝐴 = 0,5 ∙ 𝜌𝑎𝑟 ∙ 𝑉𝐴𝑊2 ∙ 𝐶𝐿𝑇𝐴 ∙ 𝐴𝑁

𝐷𝑇𝐴 = 0,5 ∙ 𝜌𝑎𝑟 ∙ 𝑉𝐴𝑊2 ∙ 𝐶𝐷𝑇𝐴 ∙ 𝐴𝑁

98

onde 𝜌𝑎𝑟 = massa específica do ar;

𝑉𝐴𝑊 = velocidade do vento aparente;

𝐶𝐿𝑇𝐴 = coeficiente aerodinâmico total de sustentação;

𝐶𝐷𝑇𝐴 = coeficiente aerodinâmico total de arrasto;

𝐴𝑁 = área de referência das velas.

A partir dessas forças, calcula-se a força propulsiva aerodinâmica total (𝐷𝐹𝑇𝐴) e a

força lateral aerodinâmica total (𝑆𝐹𝑇𝐴) a partir das expressões a seguir:

𝐷𝐹𝑇𝐴 = 𝐿𝑇𝐴 ∙ sin 𝛽 − 𝐷𝑇𝐴 ∙ cos 𝛽

𝑆𝐹𝑇𝐴 = (𝐿𝑇𝐴 ∙ cos 𝛽 + 𝐷𝑇𝐴 ∙ sin 𝛽) ∙ cos 𝜙

onde 𝛽 = ângulo de deriva;

𝜙 = ângulo de banda.

A força lateral envolve a multiplicação do cosseno do ângulo de banda devido à

inclinação do perfil da vela a qual acompanha a banda do veleiro, como mostra a Figura 3-1,

apresentada no Capítulo 3: Apêndices do Casco.

6.2 FORÇAS HIDRODINÂMICAS

Basicamente, obter as forças hidrodinâmicas de um veleiro se resume a obter a força

hidrodinâmica de resistência ao avanço total do casco (𝑅𝑇𝐻) e a sua força hidrodinâmica

lateral total (𝑆𝐹𝑇𝐻). Cada uma dessas forças é calculada de forma individual para o corpo da

canoa, a quilha, o bulbo e leme, depois somadas para obter uma força resultante final.

As forças laterais são relativas ao ângulo de deriva e ângulo banda, as quais são

resumidas em uma única expressão referente a cada região do casco. Contudo, a força de

99

resistência se subdivide em diversas componentes. Para ambos os casos, as expressões

utilizadas foram retiradas do paper de Van Oossanen [7].

Tratando-se da força de resistência total do casco, observa-se a existência de sete

grandes componentes, as quais podem ser visualizadas na Figura 6-3. Esta figura foi retirada

do PYD [4] e também contém os resultados das forças, em Newton, para o modelo de veleiro

apresentado no livro. Também, ela contém o seu percentual de cada uma dessas forças em

relação ao valor total.

Figura 6-3: Resumo das componentes de resistência do casco, utilizando o modelo de veleiro apresentado no livro PYD. [4]

O que se considera resistência viscosa é o somatório da resistência friccional com a

resistência de pressão viscosa e resistência devido à rugosidade. A resistência residual é o

somatório da resistência de pressão viscosa com a resistência de onda. Tanto a resistência

viscosa como a resistência residual se referem à condição em que o barco está em águas

tranquilas e sem ângulos de banda e deriva. Então, devido às condições de navegação,

adiciona-se a componente da resistência devido à banda, a componente da resistência devido

ao ângulo de deriva (resistência induzida) e a resistência adicional em ondas.

100

Como a referência principal utilizada para o cálculo das forças desconsidera a

resistência devido à rugosidade, esta não foi adicionada ao programa. Também, devido à

complexidade e variabilidade da resistência adicional em ondas, esta também não foi incluída

ao programa, considerando apenas a resistência em águas tranquilas. Contudo, uma vez que

este modelo de projeto esteja funcionando adequadamente para todas as demais variáveis,

essas componentes podem ser adicionadas em trabalhos futuros, abrangendo ainda mais

condições para este modelo de projeto.

Esta seção foi dividida nas cinco subseções seguintes, cada uma contendo uma parte

dos cálculos necessários para se chegar à força de resistência total do veleiro, a sua força

hidrodinâmica lateral total e o seu centro de resistência lateral (𝐶𝑅𝐿). As subseções seguintes

estão apresentadas na ordem em que os cálculos foram programados. Após obter todas as

forças de resistência, basta somar todos os valores para obter a força hidrodinâmica de

resistência ao avanço total do casco (𝑅𝑇𝐻). Da mesma forma, basta somar todas as forças

hidrodinâmicas laterais para obter a força hidrodinâmica lateral total do casco (𝑆𝐹𝑇𝐻).


6.2.1.1 Força Lateral do Corpo da Canoa (SFC)

A expressão utilizada para obter a força lateral do corpo da canoa é a mesma

expressão utilizada para o bulbo:

𝑆𝐹𝐶 = 0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ (0,5 ∙ 𝜋 ∙ 𝑇𝐶

2 + 1,8 ∙ 𝐴𝐿2 ∙ |𝛽 cos𝜙|) ∙ 𝛽 cos𝜙

onde 𝜌 = massa específica da água;

𝑉𝐵 = velocidade do barco;

𝑇𝐶 = calado da canoa;

𝐴𝐿 = área lateral do corpo da canoa;

𝛽 = ângulo de deriva, em radianos;

cos 𝜙 = cosseno do ângulo de banda.

101

6.2.1.2 Resistência Residual (RR)

A resistência do corpo da canoa foi obtida como a soma da resistência residual, da

resistência friccional, resistência induzida e resistência devido à banda.

A resistência residual foi calculada utilizando as reduções polinomiais estudadas por

Gerritsma et al [12] [5]. A Tabela 6-2 apresenta a extensão dos parâmetros do casco da série

utilizada, e a Figura 2-1, introduzida no Capítulo 2:, demonstra dois exemplos de cascos

utilizados.

Tabela 6-2: Extensão dos parâmetros do casco da série Delft. [12]

A Tabela 6-3 apresenta os coeficientes para as condições com número de Froude

variando de 0,125 a 0,450, onde são utilizados na seguinte expressão:

𝑅𝑅𝑔 ∙ 𝑚𝐶

∙ 103 = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝐶𝑃 + 𝑎2 ∙ 𝐿𝐶𝐵 + 𝑎3 ∙ 𝐵𝑊𝐿/𝑇𝐶 + 𝑎4 ∙ 𝐿𝑊𝐿/∇𝐶1/3

+ 𝑎5 ∙ 𝐶𝑃2

+𝑎6 ∙ 𝐶𝑃 ∙ 𝐿𝑊𝐿/∇𝐶1/3

+ 𝑎7 ∙ 𝐿𝐶𝐵2 + 𝑎8 ∙ (𝐿𝑊𝐿/∇𝐶

1/3)2+ 𝑎9 ∙ (𝐿𝑊𝐿/∇𝐶

1/3)3

A Tabela 6-4 apresenta os coeficientes para os casos de barcos leves, os quais são

capazes de superar a “barreira” do número de Froude próximo de 0,45, atingindo a região de

semi-planeio. Então, a tabela contém os coeficientes onde o número de Froude varia de 0,475

a 0,750, onde são utilizados na seguinte expressão:

𝑅𝑅𝑔 ∙ 𝑚𝐶

∙ 103 = 𝑐0 + 𝑐1 ∙ 𝐿𝑊𝐿/𝐵𝑊𝐿 + 𝑐2 ∙ 𝐴𝑊/∇𝐶2/3

+ 𝑐3 ∙ 𝐿𝐶𝐵

+𝑐4 ∙ (𝐿𝑊𝐿/𝐵𝑊𝐿)2 + 𝑐5 ∙ (𝐿𝑊𝐿/𝐵𝑊𝐿) ∙ (𝐴𝑊/∇𝐶

2/3)3

102

Tabela 6-3: Coeficientes utilizados para o cálculo da resistência residual para números de Froude variando de 0,125 a 0,450. [12]

Tabela 6-4 Coeficientes utilizados para o cálculo da resistência residual para números de Froude variando de 0,475 a 0,750. [12]

a0 a1 a2 a3 a4

a5 a6 a7 a8 a9

-6,735654 38,36831 -0,008193 0,055234 -1,997242

-38,86081 0,956591 -0,002171 0,272895 -0,017516

-0,382870 38,17290 0,007243 0,026644 -5,295332

-39,55032 1,219563 0,000052 0,824568 -0,047842

-1,503526 24,40803 0,012200 0,067221 -2,448582

-31,91370 2,216098 0,000074 0,244345 -0,015887

11,29218 -14,51947 0,047182 0,085176 -2,673016

-11,41819 5,654065 0,007021 -0,094934 0,006325

22,17867 -49,16784 0,085998 0,150725 -2,878684

7,167049 8,600272 0,012981 -0,327085 0,018271

25,90867 -74,75668 0,153521 0,188568 -0,889467

24,12137 10,48516 0,025348 -0,854940 0,048449

40,97559 -114,2855 0,207226 0,250827 -3,072662

53,0157 13,02177 0,035934 -0,715457 0,039874

45,83759 -184,7646 0,357031 0,338343 3,871658

132,2568 10,86054 0,066809 -1,719215 0,095977

89,20382 -393,0127 0,617466 0,460472 11,54327

331,1197 8,598136 0,104073 -2,815203 0,155960

212,6788 -801,7908 1,087307 0,538938 10,80273

667,6445 12,39815 0,166473 -3,026131 0,165055

336,2354 -1085,134 1,644191 0,552702 -1,224173

831,1445 26,18321 0,238795 -2,450470 0,139154

566,5476 -1609,632 2,016090 0,265722 -29,24412

1154,091 51,46175 0,288046 -0,178354 0,018446

743,4107 -1708,263 2,435809 0,013553 -81,16189

937,4014 115,6006 0,365071 1,838967 -0,062023

1200,620 -2751,715 3,208577 0,254920 -132,0424

1489,269 196,3406 0,528225 1,379102 0,013577

0,400

0,425

0,450

0,250

0,275

0,300

0,325

0,350

0,375

0,125

Fn

0,150

0,175

0,200

0,225

Fn c0 c1 c2 c3 c4 c5

0,475 180,1004 -31,50257 -7,451141 2,195042 2,689623 0,006480

0,500 243,9940 -44,52551 -11,15456 2,179046 3,857403 0,009676

0,525 282,9873 -51,51953 -12,97310 2,274505 4,343662 0,011066

0,550 313,4109 -56,58257 -14,41978 2,326117 4,690432 0,012147

0,575 337,0038 -59,19029 -16,06975 2,419156 4,766793 0,014147

0,600 356,4572 -62,85395 -16,85112 2,437056 5,078768 0,014980

0,625 324,7357 -51,31252 -15,34595 2,334146 3,855368 0,013695

0,650 301,1268 -39,79631 -15,02299 2,059657 2,545676 0,013588

0,675 292,0571 -31,85303 -15,58548 1,847926 1,569917 0,014014

0,700 284,4641 -25,14558 -16,15423 1,703981 0,817912 0,014575

0,725 256,6367 -19,31922 -13,08450 2,152824 0,348305 0,011343

0,750 304,1803 -30,11512 -15,85429 2,863173 1,524379 0,014031

103

Na planilha desenvolvida no Microsoft Excel, foi criado um worksheet contendo uma

tabela com todos os coeficientes e apresentados. Então, utilizando as dimensões do casco do

veleiro, foram multiplicados cada um dos seus coeficientes pelos respectivos valores, obtendo

uma outra tabela de igual tamanho. Então, os coeficientes de cada linha foram somados e

multiplicados por 𝑔 ∙ 𝑚𝐶/103 , obtendo uma tabela relacionando a resistência residual do

casco em relação ao seu número de Froude.

A Figura 6-4 contém o gráfico da resistência residual em relação com o número de

Froude de um veleiro qualquer gerado a partir dos pontos obtidos pela planilha desenvolvida.

A linha azul é referente à região com número de Froude variando de 0,125 a 0,450. A linha

vermelha representa a região com número de Froude variando de 0,475 a 0,750. E a linha

laranja representa a região de transição.

No momento em que a função criada no Microsoft Excel para o cálculo do VPP

necessita calcular a resistência residual, ela utiliza os pontos do gerados pela planilha e

armazenados no worksheet correspondente para obter o valor exato da resistência residual

relativo ao número de Froude em questão. Para tal, ela verifica qual é o intervalo da tabela

em que o número de Froude está e obtém o seu valor por interpolação linear.

Figura 6-4: Gráfico da resistência residual em relação com o número de Froude de um veleiro qualquer gerado pela planilha e utilizando o método de Gerritsma et al [12].

104

6.2.1.3 Resistência Friccional do Corpo da Canoa (RF,C)

A resistência friccional do corpo da canoa é calculada utilizando a seguinte equação:

𝑅𝐹,𝐶 = 0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ 𝐶𝐹,𝐶 ∙ 𝑆𝑊

onde 𝐶𝐹,𝐶 = coeficiente friccional do corpo da canoa;

𝑆𝑊 = área da superfície molhada do corpo da canoa.

O coeficiente friccional do corpo da canoa é calculado com base no ITTC-1957 [13]:

𝐶𝐹,𝐶 =0,075

(log 𝑅𝑛𝐶 − 2)2

onde 𝑅𝑛𝐶 = número de Reynolds do corpo da canoa (baseado em 0,7 ∙ 𝐿𝑊𝐿).

6.2.1.4 Resistência Induzida do Corpo da Canoa (RI,C)

A resistência induzida do corpo da canoa é calculada utilizando a seguinte equação:

𝑅𝐼,𝐶 =(𝑆𝐹𝐶/ cos𝜙)

2 ∙ (1 + 𝜎𝐶)

0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ 𝐴𝐿 ∙ 𝜋 ∙ 𝐴𝑅𝑒,𝐶

onde 𝑆𝐹𝐶 = força lateral do corpo da canoa;

cos 𝜙 = cosseno do ângulo de banda;

1 + 𝜎𝐶 = fator relativo ao efeito de planform do corpo da canoa;

𝐴𝐿 = área lateral do corpo da canoa;

𝐴𝑅𝑒,𝐶 = razão de aspecto do corpo da canoa.

105

O fator 1 + 𝜎 é associado com a razão de afilamento (𝑇𝑅). A fórmula a seguir, a qual

é adequada para o cálculo desse efeito, foi introduzida por Van Oossanen em 1981 [14] e

apresenta resultados razoáveis.

1 + 𝜎 = 1 + (0,012 − 0,057 ∙ 𝑇𝑅 + 0,095 ∙ 𝑇𝑅2 − 0,04 ∙ 𝑇𝑅3) ∙ 𝐴𝑅𝑒

No caso do corpo da canoa, obter a razão de afilamento (𝑇𝑅) e razão de aspecto

efetiva (𝐴𝑅𝑒) é não é tão simples como nos casos do leme e da quilha. Então, foi necessário

assumir certas premissas, baseadas em resultados obtidos por testes de modelos. As

expressões encontradas por Van Oossanen [7], as quais também apresentam resultados

razoáveis, são as seguintes:

𝐴𝑅𝑒,𝐶 = 2 ∙𝑇𝐶

0,75 ∙ 𝐿𝑊𝐿 𝑒 𝑇𝑅𝐶 = 0,3

6.2.1.5 Resistência Devido à Banda (Rφ)

Para obter a resistência devido à banda, utiliza-se a seguinte equação:

𝑅𝜙 = 0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ 𝑆𝑊 ∙ 𝜙 ∙ 𝐹𝑛

2 ∙ (0,006747 ∙𝑇𝐶𝑇+ 0,002517 ∙

𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

+ 0,003710 ∙𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

∙𝑇𝐶𝑇)

onde 𝑆𝑊 = área da superfície molhada do corpo da canoa;

𝜙 = ângulo de banda, em radianos;

𝐹𝑛 = número de Froude do barco (referente a 𝐿𝑊𝐿).

106

6.2.2 Bulbo

6.2.2.1 Força Lateral do Bulbo (SFB)

A expressão utilizada para obter a força lateral do bulbo é a mesma expressão

utilizada para o corpo da canoa:

𝑆𝐹𝐵 = 0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ (0,5 ∙ 𝜋 ∙ ℎ𝐵

2 + 1,8 ∙ 𝐴𝐿,𝐵2 ∙ |𝛽 cos𝜙|) ∙ 𝛽 cos𝜙

onde ℎ𝐵 = altura do bulbo;

𝐴𝐿,𝐵 = área lateral do bulbo;


cos 𝜙 = cosseno do ângulo de banda.

6.2.2.2 Resistência Induzida do Bulbo (RI,B)

A resistência induzida do bulbo é calculada utilizando a seguinte equação:

𝑅𝐼,𝐵 =(𝑆𝐹𝐵/ cos𝜙)

2 ∙ (1 + 𝜎𝐵)

0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ 𝐴𝐿,𝐵 ∙ 𝜋 ∙ 𝐴𝑅𝑒,𝐵

onde 𝑆𝐹𝐵 = força lateral do bulbo;


1 + 𝜎𝐵 = fator relativo ao efeito de planform do bulbo;

𝐴𝐿,𝐵 = área lateral do bulbo;

𝐴𝑅𝑒,𝐵 = razão de aspecto do bulbo.

Como foi definido em 6.2.1.4, o fator 1 + 𝜎𝐵 é obtido pela seguinte expressão:

107

1 + 𝜎𝐵 = 1 + (0,012 − 0,057 ∙ 𝑇𝑅𝐵 + 0,095 ∙ 𝑇𝑅𝐵2 − 0,04 ∙ 𝑇𝑅𝐵

3) ∙ 𝐴𝑅𝑒,𝐵

onde 𝑇𝑅𝐵 = razão de afilamento (taper ratio) do bulbo.

No caso do bulbo, assim como no corpo da canoa, obter a razão de afilamento e razão

de aspecto efetiva é não é tão simples como nos casos do leme e da quilha. Então, foi

necessário assumir certas premissas, baseadas em resultados obtidos por testes de modelos.

As expressões encontradas por Van Oossanen [7], as quais apresentam resultados razoáveis,

são as seguinte:

𝐴𝑅𝑒,𝐵 = 2 ∙ℎ𝑏

0,75 ∙ 𝐿𝐵 𝑒 𝑇𝑅𝐵 = 0,3

onde 𝐿𝐵 = comprimento máximo do bulbo.

6.2.2.3 Resistência Viscosa do Bulbo (RV,B)

A resistência viscosa do bulbo, é obtida por uma equação semelhante à equação da

resistência friccional, apresentada em 6.2.1.3.

𝑅𝑉,𝐵 = 0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ 𝐶𝐹,𝐾 ∙ (1 + 𝑘𝐵) ∙ 𝑆𝑊,𝐵

onde 𝐶𝐹,𝐵 = coeficiente friccional do bulbo;

1 + 𝑘𝐵 = fator de forma do bulbo;

𝑆𝑊,𝐵 = área da superfície molhada da quilha.

108

O coeficiente friccional do bulbo é calculado com base no ITTC-1957 [13]:

𝐶𝐹,𝐵 =0,075

(log 𝑅𝑛𝐵 − 2)2

onde 𝑅𝑛𝐵 = número de Reynolds do bulbo (relativo ao comprimento do bulbo 𝐿𝐵).

Não foi possível obter uma expressão simples para a obtenção do fator de forma do

bulbo. Então, de acordo com Van Oossanen [7] um valor médio de 1,09 pode ser utilizado para

o corpo da canoa sem levar a grandes erros na maioria dos casos. Então, este valor foi definido

igualmente definido para o bulbo.

6.2.3 Quilha

6.2.3.1 Efeito de Interação do Corpo da Canoa e Bulbo sobre a Quilha

O fator do corpo da canoa (𝐿𝐶,𝑓𝑎𝑐𝑡) conta com o fato do corpo da canoa não

constituir um plano ortogonal ao qual a quilha esteja conectada, e com o fato de quando o

corpo da canoa tem um deadrise significativo, uma força lateral adicional é induzida pela

quilha no corpo da canoa. Vários estudos mostram que essa força induzida é significativa em

muitos casos, as vezes tanto quanto a força gerada pela própria quilha.

Os resultados gerados pelos estudos de Van Oossanen [7] foram deduzidos para

serem aproximadamente iguais as relações a seguir.

O calado efetivo do corpo da canoa, em relação à área do corpo da canoa influenciada

pelo fluxo ao redor da quilha, é definido como:

𝑇𝐶𝑒1,𝐾 = 0,53𝑐𝐾 ∙ sin(𝛼𝐶,𝐾)

109

onde 𝛼𝐶,𝐾 = ângulo de deadrise efetivo do corpo da canoa em relação à linha a

25% da corda da quilha, relativo ao ponto da superfície a uma

distância igual a 0,5𝑐𝐾 acima de onde a linha de 25% da corda da

quilha intercepta o corpo da canoa, medido ao longo da superfície.

A fim de que a planilha possa obter esse ângulo de forma automática, uma célula da

planilha foi programada para acessar os pontos do casco e interpolar os seus valores, obtendo

as distâncias apropriadas e, com elas, obter esse ângulo de deadrise efetivo.

Esse calado efetivo é para ser comparado com o calado do corpo da canoa, corrigido

para a profundidade da onda através da localização. Uma expressão aproximada para esse

calado efetivo é a seguinte:

𝑇𝐶𝑒2,𝐾 = 𝑇𝐶,𝐾 − 0,75 ∙ 𝐹𝑛4 ∙ (𝐿𝑊𝐿 ∙ cos(2𝜋 ∙ 𝑥𝐾/𝐿𝑊𝐿))

onde 𝑇𝐶,𝐾 = calado onde a linha a 25% da corda da quilha intercepta o corpo da

canoa, para 𝐹𝑛 = 𝜙 = 0;

𝐹𝑛 = número de Froude com base na velocidade do barco e no

comprimento de linha d’água, com um valor máximo de 0,40;

𝑥𝐾 = distância da linha a 25% da corda na raiz da quilha até a

extremidade a vante da linha d’água a uma velocidade igual a zero.

Então, define-se o calado efetivo: 𝑇𝐶𝑒,𝐾 = 𝑀𝐼𝑁{𝑇𝐶𝑒1,𝐾, 𝑇𝐶𝑒2,𝐾}

A envergadura efetiva da quilha é então definida como: 𝑏𝐾 + 𝑇𝐶𝑒,𝐾

A razão da envergadura efetiva com a geométrica (𝑏𝐾) é: 𝛾𝐾 = (𝑏𝐾 + 𝑇𝐶𝑒,𝐾)/𝑏𝐾

110

Então, calcula-se as influências das razões entre o comprimento e a boca e da boca e

o calado do corpo da canoa a partir das seguintes expressões, onde o número de Froude (𝐹𝑛)

deve estar entre 0,25 e 0,40 e o ângulo de banda (𝜑), em radianos:

𝐿𝐶,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡(𝑔𝑒𝑜𝑚)1 = 𝐹𝑛2 [5,935 ∙ (


)−1

4

+ 0,01357 ∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

) − 11,02 ∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

)−2

]

−0,003517 ∙ (𝐿𝑊𝐿𝐵𝑊𝐿

)2

+ 06698 ∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

)−1

+ 8,526 ∙ 10−8 ∙ (𝐿𝑊𝐿𝐵𝑊𝐿

)2

∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

)4

− 0,08376

𝐿𝐶,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡(𝑔𝑒𝑜𝑚)2 = 1,165 − 0.1063 ∙ (𝐿𝑊𝐿𝐵𝑊𝐿

) ∙ 𝐹𝑛 + 2,639 ∙ 𝐹𝑛 ∙ 𝜙2

+0,0001885 ∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

)4

∙ 𝐹𝑛2 ∙ 𝜑3 − 6,0953 ∙ 𝐹𝑛 ∙ 𝜙

3 − 0,09891 ∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

) ∙ 𝜙

A partir de então, é possível calcular o fator de incremento da força lateral a partir da

seguinte fórmula:

𝐿𝐶,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡 = [0,3125/𝐹𝑛2 + (1 + 𝛾𝐾)

2 − 4] ∙ 𝐿𝐶,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡(𝑔𝑒𝑜𝑚)1 ∙ 𝐿𝐶,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡(𝑔𝑒𝑜𝑚)2

Para obter o fator de incremento da força lateral da quilha em relação à presença do

bulbo, utiliza-se a seguinte fórmula:

𝐿𝐵,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡 = (1 + 0,4 ∙ ℎ𝐵/𝑏𝐾)2

111

6.2.3.2 Força Lateral da Quilha (SFK)

A expressão utilizada para obter a força lateral da quilha é a mesma expressão

utilizada para o leme:

𝑆𝐹𝐾 = 0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ 𝑐𝐿𝛼(𝑡𝑖𝑝),𝐾 ∙ (𝜕𝐶𝐿,𝐾/𝜕𝛼) ∙ 𝛽 cos𝜙 ∙ 𝐿𝐶,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡 ∙ 𝐿𝐵,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡 ∙ 𝐴𝐿,𝐾 ∙ cos𝜙

onde 𝑐𝐿𝛼(𝑡𝑖𝑝) = coeficiente dependente da forma da ponta da quilha;

𝜕𝐶𝐿,𝐾/𝜕𝛼 = inclinação do coeficiente de sustentação da curva em relação

ao ângulo de ataque;


cos 𝜑 = cosseno do ângulo de banda;

𝐿𝐶,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡 = fator relativo à interação entre o corpo da canoa sobre a

quilha;

𝐿𝐵,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡 = fator relativo à interação entre o bulbo sobre a quilha;

𝐴𝐿,𝐾 = área lateral da quilha.

O feito da forma da ponta foi dado por Whicker e Fehlner [15], onde os valores de

𝑐𝐿𝛼(𝑡𝑖𝑝) e 𝑐𝐿𝛼2(𝑡𝑖𝑝) são respectivamente 1,0 e 1,60 para pontas quadradas, enquanto que,

para pontas bem arredondadas, com arcos circulares, os valores são aproximadamente:

𝑐𝐿𝛼(𝑡𝑖𝑝) = 1 − 0,135/𝐴𝑅𝑒2

3 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴𝑅𝑒 > 0,75)

𝑐𝐿𝛼2(𝑡𝑖𝑝) = 0,70

A inclinação do coeficiente de sustentação da curva em relação ao ângulo de ataque

também é baseada na expressão desenvolvida por Whicker e Fehlner [15]:

112

𝜕𝐶𝐿,𝐾/𝜕𝛼 =2𝜋 ∙ 𝑘𝑆,𝐾 ∙ 𝐴𝑅𝑒,𝐾

2 ∙ 𝑘𝑆,𝐾 + cosΛ𝐾 √𝐴𝑅𝑒,𝐾

2

(cosΛ𝐾)4+ 4

onde 𝑘𝑆,𝐾 = fator relativo à influência da viscosidade na inclinação da curva do

coeficiente bidimensional de sustentação do perfil da quilha em

relação ao ângulo de ataque;

Λ𝐾 = ângulo da flecha da quilha (sweep angle);

𝐴𝑅𝑒,𝐾 = razão de aspecto efetiva da quilha.

O efeito da viscosidade na inclinação da curva do coeficiente bidimensional de

sustentação é obtido pela expressão de Van Oossanen [14]:

𝑘𝑆,𝐾 = 1 + 0,82 ∙ (𝑡𝐾𝑐𝐾) − tan 𝜏𝑇,𝐾 ∙ (0,117 ∙ (

𝑡𝐾𝑐𝐾)−1

+ 3,2 ∙ (𝑡𝐾𝑐𝐾) + 3,9 ∙ (

𝑡𝐾𝑐𝐾)2

)

onde 𝑡𝐾/𝑐𝐾 = razão média entre a espessura e a corda da quilha;

𝜏𝑇,𝐾 = metade do ângulo médio do bordo de fuga da quilha.

6.2.3.3 Resistência Induzida da Quilha (RI,K)

A resistência induzida da quilha é calculada utilizando a seguinte equação:

𝑅𝐼,𝐾 =(𝑆𝐹𝐾/ cos𝜙)

2 ∙ (1 + 𝜎𝐾)

0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐾2 ∙ 𝐴𝐿,𝐾 ∙ 𝜋 ∙ 𝐴𝑅𝑒,𝐾

onde 𝑆𝐹𝐾 = força lateral da quilha;


113

1 + 𝜎𝐾 = fator relativo ao efeito de planform da quilha;

𝐴𝐿,𝐾 = área lateral da quilha;

𝐴𝑅𝑒,𝐾 = razão de aspecto da quilha.

Como foi definido em 6.2.1.4, o fator 1 + 𝜎𝐾 é obtido pela seguinte expressão:

1 + 𝜎𝐾 = 1 + (0,012 − 0,057 ∙ 𝑇𝑅𝐾 + 0,095 ∙ 𝑇𝑅𝐾2 − 0,04 ∙ 𝑇𝑅𝐾

3) ∙ 𝐴𝑅𝑒,𝐾

onde 𝑇𝑅𝐾 = razão de afilamento (taper ratio) da quilha.

6.2.3.4 Resistência Viscosa da Quilha (RV,K)

A resistência viscosa da quilha, é obtida por uma equação semelhante à equação da


𝑅𝑉,𝐾 = 0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ 𝐶𝐹,𝐾 ∙ (1 + 𝑘𝐾) ∙ 𝑆𝑊,𝐾

onde 𝐶𝐹,𝐾 = coeficiente friccional da quilha;

1 + 𝑘𝐾 = fator de forma da quilha;

𝑆𝑊,𝐾 = área da superfície molhada da quilha.

O coeficiente friccional da quilha é calculado com base no ITTC-1957 [13]:

𝐶𝐹,𝐵 =0,075

(log 𝑅𝑛𝐵 − 2)2

onde 𝑅𝑛𝐵 = número de Reynolds da quilha (relativo à corda média da quilha 𝑐𝐾).

114

Para a obtenção do fator de forma da quilha, foram utilizadas as relações

apresentadas por Hoerner [16], as quais constam a seguir:

Para NACA 4 dígitos: 1 + 𝑘𝐾 = 1 + 2 ∙ (𝑡𝐾

𝑐𝐾) + 60 ∙ (

𝑡𝐾

𝑐𝐾)4

Para NACA 63, 64, 65 e 66: 1 + 𝑘𝐾 = 1 + 1,2 ∙ (𝑡𝐾

𝑐𝐾) + 70 ∙ (

𝑡𝐾

𝑐𝐾)4

6.2.4 Leme

6.2.4.1 Efeito da Fenda entra a Quilha e o Leme

O efeito da fenda entre a quilha e o lemen faz com que o ângulo de incidência do

fluxo seja menor e isso influencia na efetividade dessa superfície de sustentação. O ângulo

induzido devido ao efeito de fenda da quilha no leme é dado pela seguinte equação:

𝛼𝑖𝐾,𝑅 = 1,5 ∙ (𝑥𝑅 − 𝑥𝐾3 ∙ 𝑐𝐾

)1/4

∙𝐿𝐾0

0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙

1

𝜋 ∙ 𝐴𝑅𝑒,𝐾

onde 𝑥𝐾 = distância da linha a 25% da corda na raiz da quilha até a

extremidade a vante da linha d’água a uma velocidade igual a

zero;

𝑥𝑅 = distância da linha a 25% da corda na raiz do leme até a

extremidade a vante da linha d’água a uma velocidade igual a

zero;

𝑐𝐾 = corda média da quilha;

𝐿𝐾0 = força total de sustentação da quilha, incluindo os efeitos

resultantes corpo da canoa e do bulbo, mas excluindo uma parcela

desses efeitos;

𝐴𝑅𝑒,𝐾 = razão de aspecto efetiva da quilha.

115

Para calcular 𝐿𝐾0, calcula-se primeiro a força de sustentação total da quilha a partir

da seguinte expressão:

𝐿𝐾 = 0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ 𝑐𝐿𝛼(𝑡𝑖𝑝),𝐾 ∙ (𝜕𝐶𝐿,𝐾/𝜕𝛼) ∙ 𝛽 cos𝜙 ∙ 𝐿𝐶,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡 ∙ 𝐿𝐵,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡 ∙ 𝐴𝐿,𝐾

onde 𝑐𝐿𝛼(𝑡𝑖𝑝) = coeficiente dependente da forma da ponta da quilha;

𝜕𝐶𝐿,𝐾/𝜕𝛼 = inclinação do coeficiente de sustentação da curva em relação

ao ângulo de ataque;



𝐿𝐶,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡 = fator relativo à interação entre o corpo da canoa sobre a

quilha;

𝐿𝐵,𝐾,𝑓𝑎𝑐𝑡 = fator relativo à interação entre o bulbo sobre a quilha;

𝐴𝐿,𝐾 = área lateral da quilha.

Então, utiliza-se a seguinte expressão:

𝐿𝐾0 =𝐿𝐾

(2 − 1/𝛾𝐶,𝐾) ∙ (1 + 𝜎𝐾)

onde 𝛾𝐶,𝐾 = razão entre envergadura efetiva com a envergadura geométrica

da quilha, definida em 6.2.3.1;

1 + 𝜎𝐵 = fator relativo ao efeito de planform do bulbo, definido em

6.2.3.3.

Com isso, é possível obter o ângulo total de incidência do fluxo o leme (𝛼𝐼), em

radianos, a partir da seguinte equação:

116

𝛼𝐼 = 𝛽 + 𝛼𝑅 − 𝛼𝑖𝐾,𝑅

onde 𝛽 = ângulo de deriva, em radianos;

𝛼𝑅 = ângulo de ataque do leme em relação ao barco, em radianos.

6.2.4.2 Efeito de Interação do Corpo da Canoa sobre o Leme

Assim como no caso da quilha, o calado efetivo do corpo da canoa, em relação à área

do corpo da canoa influenciada pelo fluxo ao redor do leme, é definido como:

𝑇𝐶𝑒1,𝑅 = 0,53𝑐𝑅 ∙ sin(𝛼𝐶,𝑅)

onde 𝛼𝐶,𝑅 = ângulo de deadrise efetivo do corpo da canoa em relação à linha a

25% da corda do leme, relativo ao ponto da superfície a uma

distância igual a 0,5𝑐𝑅 acima de onde a linha de 25% da corda do

leme intercepta o corpo da canoa, medido ao longo da superfície.

A fim de que a planilha possa obter esse ângulo de forma automática, uma célula da

planilha foi programada para acessar os pontos do casco e interpolar os seus valores, obtendo

as distâncias apropriadas e, com elas, obter esse ângulo de deadrise efetivo.

Esse calado efetivo é para ser comparado com o calado do corpo da canoa, corrigido

para a profundidade da onda através da localização. Uma expressão aproximada para esse

calado efetivo é a seguinte:

𝑇𝐶𝑒2,𝑅 = 𝑇𝐶,𝑅 − 0,75 ∙ 𝐹𝑛4 ∙ (𝐿𝑊𝐿 ∙ cos(2𝜋 ∙ 𝑥𝑅/𝐿𝑊𝐿))

117

onde 𝑇𝐶,𝑅 = calado onde a linha a 25% da corda do leme intercepta o corpo da

canoa, para 𝐹𝑛 = 𝜑 = 0;

𝐹𝑛 = número de Froude com base na velocidade do barco e no

comprimento de linha d’água, com um valor máximo de 0,40;

𝑥𝑅 = distância da linha a 25% da corda na raiz do leme até a

extremidade a vante da linha d’água a uma velocidade igual a zero.

Então, define-se o calado efetivo: 𝑇𝐶𝑒,𝑅 = 𝑀𝐼𝑁{𝑇𝐶𝑒1,𝑅, 𝑇𝐶𝑒2,𝑅}

A envergadura efetiva do leme é então definida como: 𝑏𝑅 + 𝑇𝐶𝑒,𝑅

A razão da envergadura efetiva com a geométrica (𝑏𝑅) é: 𝛾𝑅 = (𝑏𝑅 + 𝑇𝐶𝑒,𝑅)/𝑏𝑅

Então, calcula-se as influências das razões entre o comprimento e a boca e da boca e

o calado do corpo da canoa a partir das seguintes expressões, onde o número de Froude (𝐹𝑛)

deve estar entre 0,25 e 0,40 e o ângulo de banda (𝜙), em radianos:

𝐿𝐶,𝑅,𝑓𝑎𝑐𝑡(𝑔𝑒𝑜𝑚)1 = 𝐹𝑛2 [5,935 ∙ (


)−1

4

+ 0,01357 ∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

) − 11,02 ∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

)−2

]

−0,003517 ∙ (𝐿𝑊𝐿𝐵𝑊𝐿

)2

+ 06698 ∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

)−1

+ 8,526 ∙ 10−8 ∙ (𝐿𝑊𝐿𝐵𝑊𝐿

)2

∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

)4

− 0,08376

𝐿𝐶,𝑅,𝑓𝑎𝑐𝑡(𝑔𝑒𝑜𝑚)2 = 1,165 − 0.1063 ∙ (𝐿𝑊𝐿𝐵𝑊𝐿

) ∙ 𝐹𝑛 + 2,639 ∙ 𝐹𝑛 ∙ 𝜙2

+0,0001885 ∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

)4

∙ 𝐹𝑛2 ∙ 𝜙3 − 6,0953 ∙ 𝐹𝑛 ∙ 𝜙

3 − 0,09891 ∙ (𝐵𝑊𝐿𝑇𝐶

) ∙ 𝜙

118

A partir de então, é possível calcular o fator de incremento da força lateral a partir da

seguinte fórmula:

𝐿𝐶,𝑅,𝑓𝑎𝑐𝑡 = [0,3125/𝐹𝑛2 + (1 + 𝛾𝐾)

2 − 4] ∙ 𝐿𝐶,𝑅,𝑓𝑎𝑐𝑡(𝑔𝑒𝑜𝑚)1 ∙ 𝐿𝐶,𝑅,𝑓𝑎𝑐𝑡(𝑔𝑒𝑜𝑚)2

6.2.4.3 Força Lateral do Leme (SFR)

A expressão utilizada para obter a força lateral do leme é a seguinte:

𝑆𝐹𝑅 = 0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ (𝑐𝐿𝛼(𝑡𝑖𝑝),𝑅 ∙ (𝜕𝐶𝐿,𝑅/𝜕𝛼) ∙ 𝛽 cos𝜙 ∙ 𝐿𝐶,𝑅,𝑓𝑎𝑐𝑡 + 𝑐𝐿𝛼2,𝑅 ∙ (𝛽 cos𝜙)

2) ∙ 𝐴𝐿,𝑅 ∙ cos𝜙

onde 𝑐𝐿𝛼,𝑅(𝑡𝑖𝑝) = coeficiente dependente da forma da ponta do leme;

𝜕𝐶𝐿,𝑅/𝜕𝛼 = inclinação do coeficiente de sustentação da curva em




𝐿𝐶,𝑅,𝑓𝑎𝑐𝑡 = fator relativo à interação entre o corpo da canoa sobre o

leme;

𝑐𝐿𝛼2,𝑅 = constante em definição do coeficiente de sustentação não

linear;

𝐴𝐿,𝑅 = área lateral do leme.

O valor da constante 𝑐𝐿𝛼2,𝑅 , como mostrado por Whicker e Fehlner [15], é

dependente da razão de aspecto efetiva, da razão de afilamento (taper ratio) e da forma da

ponta. A fórmula a seguir apresenta bons resultados:

𝑐𝐿𝛼2,𝑅 =𝑐𝐿𝛼2,𝑅(𝑡𝑖𝑝) ∙ 𝑇𝑅𝑅 + 0,1

𝐴𝑅𝑒,𝑅

119

onde 𝑐𝐿𝛼2,𝑅(𝑡𝑖𝑝) = coeficiente dependente da forma da ponta do leme;

𝑇𝑅𝑅 = razão de afilamento (taper ratio) do leme;

𝐴𝑅𝑒,𝑅 = razão de aspecto efetiva do leme.

O feito da forma da ponta foi dado por Whicker e Fehlner [15], onde os valores de

𝑐𝐿𝛼(𝑡𝑖𝑝) e 𝑐𝐿𝛼2(𝑡𝑖𝑝) são respectivamente 1,0 e 1,60 para pontas quadradas, enquanto que,

para pontas bem arredondadas, com arcos circulares, os valores são aproximadamente:

𝑐𝐿𝛼(𝑡𝑖𝑝) = 1 − 0,135/𝐴𝑅𝑒2

3 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴𝑅𝑒 > 0,75)

𝑐𝐿𝛼2(𝑡𝑖𝑝) = 0,70

A inclinação do coeficiente de sustentação da curva em relação ao ângulo de ataque

também é baseada na expressão desenvolvida por Whicker e Fehlner [15]:

𝜕𝐶𝐿,𝑅/𝜕𝛼 =2𝜋 ∙ 𝑘𝑆,𝑅 ∙ 𝐴𝑅𝑒,𝑅

2 ∙ 𝑘𝑆,𝑅 + cos Λ𝑅√𝐴𝑅𝑒,𝑅

2

(cosΛ𝑅)4+ 4

onde 𝑘𝑆,𝑅 = fator relativo à influência da viscosidade na inclinação da curva do

coeficiente bidimensional de sustentação do perfil do leme em


Λ𝑅 = ângulo da flecha da quilha (sweep angle);

𝐴𝑅𝑒,𝑅 = razão de aspecto efetiva do leme.

O efeito da viscosidade na inclinação da curva do coeficiente bidimensional de

sustentação é obtido pela expressão de Van Oossanen [14]:

𝑘𝑆,𝑅 = 1 + 0,82 ∙ (𝑡𝑅𝑐𝑅) − tan 𝜏𝑇,𝑅 ∙ (0,117 ∙ (

𝑡𝑅𝑐𝑅)−1

+ 3,2 ∙ (𝑡𝑅𝑐𝑅) + 3,9 ∙ (

𝑡𝑅𝑐𝑅)2

)

120

onde 𝑡𝑅/𝑐𝑅 = razão média entre a espessura e a corda do leme;

𝜏𝑇,𝑅 = metade do ângulo médio do bordo de fuga do leme.

6.2.4.4 Resistência Induzida do Leme (RI,R)

A resistência induzida do leme é calculada utilizando a seguinte equação:

𝑅𝐼,𝑅 =(𝑆𝐹𝑅/ cos𝜙)

2 ∙ (1 + 𝜎𝑅)

0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝑅2 ∙ 𝐴𝐿,𝑅 ∙ 𝜋 ∙ 𝐴𝑅𝑒,𝑅

onde 𝑆𝐹𝑅 = força lateral do leme;


1 + 𝜎𝑅 = fator relativo ao efeito de planform do leme;

𝐴𝐿,𝑅 = área lateral do leme;

𝐴𝑅𝑒,𝑅 = razão de aspecto do leme.

Como foi definido em 6.2.1.4, o fator 1 + 𝜎𝐾 é obtido pela seguinte expressão:

1 + 𝜎𝑅 = 1 + (0,012 − 0,057 ∙ 𝑇𝑅𝑅 + 0,095 ∙ 𝑇𝑅𝑅2 − 0,04 ∙ 𝑇𝑅𝑅

3) ∙ 𝐴𝑅𝑒,𝑅

onde 𝑇𝑅𝑅 = razão de afilamento (taper ratio) do leme.

6.2.4.5 Resistência Viscosa do Leme (RV,R)

A resistência viscosa do leme, é obtida por uma equação semelhante à equação da


𝑅𝑉,𝑅 = 0,5 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉𝐵2 ∙ 𝐶𝐹,𝑅 ∙ (1 + 𝑘𝑅) ∙ 𝑆𝑊,𝑅

121

onde 𝐶𝐹,𝑅 = coeficiente friccional do leme;

1 + 𝑘𝑅 = fator de forma do leme;

𝑆𝑊,𝑅 = área da superfície molhada do leme.

O coeficiente friccional do leme é calculado com base no ITTC-1957 [13]:

𝐶𝐹,𝑅 =0,075

(log 𝑅𝑛𝑅 − 2)2

onde 𝑅𝑛𝑅 = número de Reynolds do leme (relativo à corda média do leme 𝑐𝑅).

Para a obtenção do fator de forma do leme, foram utilizadas as relações apresentadas

por Hoerner [16], as quais constam a seguir:

Para NACA 4 dígitos: 1 + 𝑘𝑅 = 1 + 2 ∙ (𝑡𝑅

𝑐𝑅) + 60 ∙ (

𝑡𝑅

𝑐𝑅)4

Para NACA 63, 64, 65 e 66: 1 + 𝑘𝑅 = 1 + 1,2 ∙ (𝑡𝑅

𝑐𝑅) + 70 ∙ (

𝑡𝑅

𝑐𝑅)4

6.2.5 Centro de Resistência Lateral (CLR)

A coordenada longitudinal do centro de resistência lateral do casco (𝐶𝐿𝑅𝑋), bem

como a sua coordenada vertical (𝐶𝐿𝑅𝑍), são calculados a partir das seguintes expressões:

𝐶𝐿𝑅𝑋 =𝐶𝐿𝑅𝐶,𝑋 ∙ 𝑆𝐹𝐶 + 𝐶𝐿𝑅𝐵,𝑋 ∙ 𝑆𝐹𝐵 + 𝐶𝐿𝑅𝐾,𝑋 ∙ 𝑆𝐹𝐾 + 𝐶𝐿𝑅𝑅,𝑋 ∙ 𝑆𝐹𝑅

𝑆𝐹𝑇𝐻

𝐶𝐿𝑅𝑍 =𝐶𝐿𝑅𝐶,𝑍 ∙ 𝑆𝐹𝐶 + 𝐶𝐿𝑅𝐵,𝑍 ∙ 𝑆𝐹𝐵 + 𝐶𝐿𝑅𝐾,𝑍 ∙ 𝑆𝐹𝐾 + 𝐶𝐿𝑅𝑅,𝑍 ∙ 𝑆𝐹𝑅

𝑆𝐹𝑇𝐻

122

As coordenadas do centro de resistência lateral do leme (𝐶𝐿𝑅𝑅,𝑋 e 𝐶𝐿𝑅𝑅,𝑍) e as

coordenadas do centro de resistência lateral da quilha (𝐶𝐿𝑅𝐾,𝑋 e 𝐶𝐿𝑅𝐾,𝑍) foram calculadas na

Subseção 3.1.4. Quanto às coordenadas do centro de resistência lateral do bulbo (𝐶𝐿𝑅𝐵,𝑋 e

𝐶𝐿𝑅𝐵,𝑍), estas foram calculadas na Subseção 3.2.4. Sendo assim, as únicas coordenadas que

faltam ser calculadas para obter os resultados das expressões anteriores são as coordenadas

do centro de desistência lateral do corpo da canoa (𝐶𝐿𝑅𝐶,𝑋 e 𝐶𝐿𝑅𝐶,𝑍).

O livro PYD [4], o qual foi utilizado como referência para a determinação do centro

de resistência lateral da quilha e do leme, afirma que o método apresentado só é confiável

quando utilizado em quilha finas, como as quilhas utilizadas em veleiros modernos e neste

método de projeto. No caso de veleiros com quilhas longas, o único método confiável citado

pelo autor é a utilização de centro geométrico da área e relacionar esses valores

empiricamente com a vela. Esta é a regra geral utilizada por séculos, tendo bastante

experiência disponível.

Dessa forma, tratando o corpo da canoa como uma asa de baixa razão de aspecto,

obtém-se o seu centro de resistência lateral a partir do seu centro geométrico. O centro

geométrico da área lateral é obtido pela função criada para calcular as tabelas hidrostáticas,

a qual foi apresentada na Seção 4.1: Tabelas Hidrostáticas.

6.3 BALANÇO

6.3.1 Graus de Liberdade

O processo iterativo para o balanço de forças e momentos do VPP é um tanto

complexo. A princípio, existem seis graus de liberdade para o barco. Quando todas as

resultantes nos seis graus de liberdade estão iguais a zero, o barco está em equilíbrio.

As condições de equilíbrio para os seis graus de liberdade são as seguintes:

1. ∑𝐹𝑥 = 0: Força propulsiva é igual à força de resistência;

123

2. ∑𝐹𝑌 = 0 : Nos ângulos adequados, as forças hidrodinâmicas laterais se

igualam às forças aerodinâmicas laterais;

3. ∑𝐹𝑍 = 0 : Força peso, empuxo e componentes verticais das forças de

sustentação da quilha e da vela se anulam;

4. ∑𝑀𝑋 = 0: O momento de emborcamento das velas é igual ao momento de

endireitamento do casco;

5. ∑𝑀𝑌 = 0: O momento de pitch é igual ao momento de restauração do casco;

6. ∑𝑀𝑍 = 0: O momento total de yaw é igual a zero, uma vez que as forças

hidrodinâmicas e aerodinâmicas estão atuando na mesma linha do plano

horizontal.

Esses são os seis graus de liberdade envolvendo um veleiro. Contudo, segundo o PYD

[4], assume-se que o somatório de forças verticais (3) é automaticamente satisfeito, assim

como o balanço de momento de pitch (5). Poucos programas de VPP incluem o balanço de

yaw (6), mas os mais avançados têm um modelo para ângulos de leme diferentes de zero e,

então, consideram essa relação. Com isso, na prática, a grande maioria dos programas de VPP

se resumem a obter o balanço de apenas três graus de liberdade (1, 2 e 4).

Analisando as questões apresentadas, julgou-se que a influência do ângulo de ataque

do leme é importante para este método de projeto, uma vez que, como será visto na seção

seguinte, os barcos serão projetados para possuir um lead diferente de zero. O lead se refere

à diferença entre a coordenada longitudinal do centro de esforço das velas (𝐶𝐸𝑋) e a

coordenada longitudinal do centro de resistência lateral do casco (𝐶𝐿𝑅𝑋). Assim, possuindo

um lead diferente de zero, há a necessidade de o leme possuir um ângulo de ataque para que

o barco permaneça no curso, aumentando ou diminuindo a força lateral resultante do casco.

Por conta disso, no programa criado para este método de projeto, foram utilizados quatro

124

graus de liberdade, assim como nos programas de VPP mais sofisticados, adotando a

influência de ângulos de leme diferentes de zero para balanço de forças e momentos.

As expressões utilizadas para verificar o balanço foram retiradas do paper de Van

Oossanen [7].

6.3.2 Forças no Eixo Longitudinal: ∑ FX

Especificamente no caso do balanço de forças o eixo longitudinal ao qual essa

subseção se refere não é equivalente ao eixo longitudinal do barco. Nesse caso, o eixo

longitudinal se refere à direção do movimento do veleiro. Uma vez que há um ângulo de deriva,

o barco passa a possuir uma certa velocidade a sotavento. Ao somar esta velocidade com a

velocidade do barco (𝑉𝐵), a velocidade resultante aparece na direção do ângulo de deriva. A

Figura 3-1, apresentada no Capítulo 3:, ilustra essa condição.

A principal resultante desse balanço de forças é a velocidade do barco. Caso a força

propulsiva seja superior à força de resistência ao avanço, a velocidade é aumentada para que

se atinja o equilíbrio. Nesse caso, utilizou-se a diferença entre essas forças para regular a

velocidade do barco no processo iterativo. A velocidade do barco é alterada a cada iteração

até que o equilíbrio de forças seja atingido.

Como a força aerodinâmica propulsiva total (𝐷𝐹𝑇𝐴) e a força hidrodinâmica de

resistência total (𝑅𝑇𝐻) foram calculadas nas seções anteriores, basta apresentar o cálculo da

força resultante no eixo longitudinal (𝐹𝑅,𝑋):

𝐹𝑅,𝑋 = 𝐷𝐹𝑇𝐴 − 𝑅𝑇𝐻

Na condição final de equilíbrio, essa força resultante deve ser igual a zero. Sendo

assim, está se torna uma expressão útil par avaliar o balanço e auxiliar na obtenção da

convergência do programa.

125

6.3.3 Forças no Eixo Transversal: ∑ FY

No caso das forças no eixo transversal, a principal resultante desse balanço é o ângulo

de deriva. Caso haja um aumento da força aerodinâmica lateral, a solução é aumentar a força

hidrodinâmica lateral pelo aumento do ângulo de ataque dos corpos submersos, o que é

ocasionado principalmente pelo aumento do ângulo de deriva. Nesse caso, utilizou-se a

diferença entre essas forças para regular o ângulo de deriva no processo iterativo. O ângulo

de deriva é alterado a cada iteração até que o equilíbrio de forças seja atingido.

Como a força aerodinâmica lateral total (𝑆𝐹𝑇𝐴) e a força hidrodinâmica lateral total

(𝑆𝐹𝑇𝐻) foram calculadas nas seções anteriores, basta apresentar o cálculo da força resultante

no eixo transversal (𝐹𝑅,𝑌):

𝐹𝑅,𝑌 = 𝑆𝐹𝑇𝐴 − 𝑆𝐹𝑇𝐻

Na condição final de equilíbrio, essa força resultante deve ser igual a zero. Sendo

assim, está se torna uma expressão útil par avaliar o balanço e auxiliar na obtenção da

convergência do programa.

6.3.4 Momentos no Eixo Longitudinal: ∑ MX

Como foi dito anteriormente, para que o somatório de momentos em torno do eixo

𝑋 seja igual a zero, o momento de emborcamento das velas deve ser igual ao momento de

endireitamento do casco. Então, no intuito de calcular esses momentos, faz-se necessário

calcular o momento de estabilidade ∆ ∙ 𝐺𝑍, onde ∆ é o deslocamento total do barco, e 𝐺𝑍 é o

braço de alavanca de estabilidade a um ângulo de banda de interesse. A expressão de 𝐺𝑍 é a

seguintes:

𝐺𝑍 = (𝐾𝐵 + 𝐵𝑀 − 𝐾𝐺) sin𝜙 +𝑀𝑁 sin𝜙

126

onde 𝐾𝐵 = coordenada vertical do centro de carena em que 𝜙 = 0;

𝐵𝑀 = raio metacêntrico em que 𝜙 = 0;

𝐾𝐺 = coordenada vertical do centro de gravidade;

𝜙 = ângulo de banda;

𝑀𝑁 sin𝜙 = braço de alavanca de estabilidade residual.

Como a função criada para as tabelas hidrostáticas fornece a coordenada vertical do

metacentro (𝐾𝑀), a expressão anterior pode ser reescrita da seguinte maneira:

𝐺𝑍 = (𝐾𝑀 − 𝐾𝐺) sin𝜙 +𝑀𝑁 sin𝜙

Os resultados dos testes dos modelos padrões Delft, realizados por Gerritsma [12],

também forneceram resultados de estabilidade. A expressão obtida para 𝑀𝑁 sin𝜙, a qual

leva em consideração o efeito da velocidade, é:

𝑀𝑁 sin𝜙 = (𝐷2 ∙ 𝜙 ∙ 𝐹𝑛 + 𝐷3 ∙ 𝜙2) ∙ 𝐿𝑊𝐿

com 𝐷2 = −0,0406 + 0,0109 ∙ (𝐵𝑊𝐿/𝑇𝐶) − 0,00105 ∙ (𝐵𝑊𝐿/𝑇𝐶)2

e 𝐷3 = 0,0636 − 0,0196(𝐵𝑊𝐿/𝑇𝐶)

Então, a partir das expressões anteriores, é possível obter o momento de

endireitamento do casco:

𝑀𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = ∆ ∙ (𝐾𝑀 − 𝐾𝐺 +𝑀𝑁) sin 𝜙

127

O momento de emborcamento é obtido através de um binário resultante entre as

forças hidrodinâmicas e aerodinâmicas laterais. Como essas forças se igualam na condição de

equilíbrio, pode-se utilizar a seguinte expressão:

𝑀𝑒𝑚𝑏𝑜𝑟𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = (𝐶𝐸𝑧 − 𝐶𝐿𝑅𝑧) ∙ 𝑆𝐹𝑇𝐻/ cos𝜙

onde 𝐶𝐸𝑧 = coordenada vertical do centro de esforço das velas;

𝐶𝐿𝑅𝑧 = coordenada vertical do centro de resistência lateral do casco;

𝑆𝐹𝑇𝐻 = força hidrodinâmica lateral total.

No caso em que a tripulação se encontra sentada no bordo a barlavento, o momento

adicional da tripulação pode ser calculado a partir da seguinte expressão:

𝑀𝑡𝑟𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 = 𝑚𝑡𝑟𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 ∙ (0,475 ∙ 𝐵𝑀𝐴𝑋 − 0,305) ∙ cos 𝜙

onde 𝑚𝑡𝑟𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 = massa total da tripulação sentada no bordo a barlavento;

𝐵𝑀𝐴𝑋 = boca máxima no convés do barco.

Uma vez que os momentos em torno do eixo 𝑋 são conhecidos, pode-se calcular o

momento residual transversal:

𝑀𝑅𝑇 = 𝑀𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 +𝑀𝑡𝑟𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 −𝑀𝑒𝑚𝑏𝑜𝑟𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

Para o cálculo do programa, foi acionada a opção na planilha para que o projetista

possa selecionar o número de tripulantes a bordo capazes de auxiliar no momento transversal.

Então, como será visto mais adiante no fluxograma, o programa verifica se o momento total

gerado pela tripulação é maior ou menor que o momento de emborcamento. Caso seja maior,

128

a tripulação é capaz de reduzir completamente a banda do barco, de forma que o ângulo final

seja igual a zero, assim como o momento residual transversal. Caso contrário, o momento

residual transversal é calculado de pela expressão anterior.

6.3.5 Momentos no Eixo Vertical: ∑ MZ

Como foi dito anteriormente, esse somatório de momentos é importante para definir

o ângulo de ataque do leme. Se a distância horizontal entre o centro de esforço das velas e o

centro de resistência lateral do casco fosse igual a zero, não haveria momento resultante, uma

vez que as forças aerodinâmicas e hidrodinâmicas laterais foram igualadas. Contudo, caso essa

distância seja diferente de zero, o momento resultante tenderia a rotacionar o barco em torno

do seu eixo vertical, tirando ele do curso. O ângulo de ataque do leme gera tanto uma

alteração na força hidrodinâmica lateral resultante como uma consequente alteração do

centro de esforço lateral final do casco. A condição de equilíbrio é alcançada quando tanto as

forças laterais são iguais quanto a distância entre esses dois centros é igual a zero.

No processo iterativo descrito ao final dessa seção, o ângulo de ataque do leme é

alterado nas devidas iteração até que a distância horizontal entre os centros de atuação das

forças seja igual a zero.

6.3.6 Programa

Utilizando dos as expressões que foram apresentadas até aqui, foi possível

desenvolver o programa que calcula o balanço de forças e momentos. Este programa utiliza-

se de um processo iterativo que estipula valores para cada uma das quatro variáveis do

equilíbrio: velocidade do barco (𝑉𝐵), ângulo de banda (𝜙), ângulo de deriva (𝛽), e ângulo de

ataque do leme (𝛼𝑅). Então, a partir das relações apresentadas nesta seção, verifica-se a

condição de equilíbrio e alteram-se os valores das variáveis até que todas sejam satisfeitas.

O fluxograma resumido desse programa encontra-se a seguir:

129

INÍCIO

FIM

Recebe variáveis: ▪ velocidade do vento real (𝑉𝑇𝑊); ▪ ângulo do vento real (𝛽𝑇𝑊).

Define um valor para a 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜.

Estipula um valor inicial para: ▪ velocidade para o barco (𝑉𝐵). ▪ ângulo de banda (𝜙); ▪ ângulo de deriva (𝛽); ▪ ângulo de ataque do leme (𝛼𝑅). ▪

Calcula as forças hidrodinâmicas e aerodinâmicas, momentos e ângulos.

|𝐹𝑅,𝑋| < 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 ? Calcula novo 𝛽

|𝐹𝑅,𝑌| < 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 ? Calcula novo 𝛼𝑅

|𝐶𝐸𝑋 − 𝐶𝐿𝑅𝑋| < 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 ?

Calcula nova 𝑉𝐵

Momento de emborcamento é menor que momento adicional total da tripulação?

𝛿𝑀𝑋 ⇐ 0

𝜑 ⇐ 0 Calcula 𝑀𝑅𝑇

|𝑀𝑅𝑇| < 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 ? Calcula novo 𝜙

Exporta as variáveis: 𝑉𝐵, 𝜙, 𝛽, 𝛼𝑅.

Não

Não

Não

Não

Não

130

O método de convergência de um programa de VPP tem que ser analisado com

cuidado, pois ele pode fazer com que o programa não consiga obter o equilíbrio de todas essas

expressões. Antes de se chegar a esse método final, foram testados diversos métodos

diferentes, bem como alterada a ordem de cálculo, até que se obteve esse resultado final. O

modelo utilizado atualmente nesse programa converge bem e é incrivelmente mais rápido

que outras tentativas realizadas anteriormente.

Para todas as variáveis, foi utilizado o método da secante, o qual é uma variação do

método de Newton-Raphson, explicado em detalhes o livro “Cálculo Numérico Aspectos

Teóricos e Computacionais” [10].

𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −𝑓(𝑥𝑘)

𝑓(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘−1)∙ (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1)

Após a desenvolvimento do programa descrito, foi observado que este não consegue

convergir para uma solução quando os ângulos de banda estão muito altos, em torno de 40°.

Julgou-se que, nessas condições, o barco teria ultrapassado a condição crítica. Como o projeto

inclui a automatização dos cálculos e a busca computacional por uma boa condição de projeto,

não é possível deixar que o programa apresente resultados incoerentes com o equilíbrio, nem

que este fique eternamente buscando uma solução impossível para o caso de dados de

entrada ruins. Por conta disso, foram determinados alguns critérios de parada.

O primeiro critério de parada foi o número limite de 500 iteracões, embora essa

condição nunca mais tenha ocorrido após a determinação das demais. A segunda é o limite

de ângulo de banda de 30°. A terceira é a verificação de velocidade suficientemente próximas

de zero. Essa última condição apenas ocorre quando o ângulo de incidência real do vento é

muito pequeno, em torno de 35°, podendo variar para mais ou menos. Caso essa terceira

verificação não fosse adicionada, o processo iterativo buscaria uma condição de equilíbrio

com velocidades incrivelmente baixas e ângulos de deriva ridiculamente grandes com os graus

aos milhares. Obviamente, essa não é uma condição que represente a realidade. Nesse caso,

quando esse tipo de situação ocorre, o programa encerra-se sem obter o equilíbrio.

131

Esse programa de VPP foi introduzido à planilha calculando os resultados para os

ângulos de incidência reais do vento variando de 15° em 15°. Por exemplo, considere que

esse ângulo limite seja de 33° para um determinado barco e intensidade de vento. Nesse caso,

o programa calcularia o ângulo de 30° e não acharia resposta, apresentando resultados só a

partir do ângulo de 45°. Essa também não deveria ser uma forma correta de apresentar os

resultados. Então, no intuito de buscar o ângulo limite em que o equilíbrio é possível, foi criado

um outro programa para trabalhar em parceria com o cálculo do VPP. Esse programa verifica

a impossibilidade de certas condições de equilíbrio e busca esse ângulo limite.

Esse programa de busca do ângulo limite de equilíbrio para a incidência do vento foi

baseado no método iterativo da bisseção, também apresentado no livro “Cálculo Numérico

Aspectos Teóricos e Computacionais” [10]. Dessa forma, considerando o exemplo em que o

ângulo de incidência limite é 33° , o programa calcula o VPP para 30° e não encontra o

equilíbrio. Então, realiza-se uma nova busca para o ângulo igual à média dos ângulos do

intervalo em que a solução se encontre, ou seja: 𝑁𝑜𝑣𝑜 𝐵𝑇𝑊 = (30° + 45°)/2 = 37,5°.

Então, calculando o VPP para o valor de 37,5°, obtém-se o equilíbrio, indicando que

a solução está entre 30,0° e 37,5°. Com isso, calculando o VPP para o novo médio do intervalo,

encontra-se o equilíbrio para o valor de 33,75°. Repetindo o processo, calcula-se o VPP para

o valor de ângulo de 31,88°, não obtendo solução. Uma última iteração é realizada pois o

limite de precisão foi definido como 1°. Assim, ao calcular o VPP para o ângulo de 32,81°, não

é obtida uma solução de equilíbrio, retornando o valor de 33,75° como ângulo mínimo de

incidência, bem como todos os demais resultados do balanço.

Os resultados obtidos pelo programa são as quatro variáveis de saída explicadas do

fluxograma. Uma das variáveis mais importantes é a velocidade do barco, como o próprio

nome do programa sugere: Velocity Prediction Program. A parir dos valores obtidos para a

velocidade em cada ângulo foi possível traçar o gráfico apresentado na Figura 6-5, o qual é

desenvolvido automaticamente na própria planilha. No caso da figura, foi utilizada uma

velocidade de vento igual a 10 nós. Cada um dos círculos do gráfico representa uma

porcentagem dessa velocidade do vento. O círculo maior representa 100% da velocidade do

vento real, ou seja, 10 nós para esse caso. O círculo imediatamente inferior a este representa

80% dessa velocidade, em seguida de 60%, 40% e 20%. A linha vermelha é a indicação da

velocidade do barco obtida para cada valor de ângulo de vento real. No exemplo da figura, o

132

valor limite obtido pelo programa para o ângulo de incidência do vento real foi de 32,8°. Os

valores abaixo deste não são calculados, como foi explicado anteriormente. É possível verificar

também que, na região próxima do ângulo limite de incidência do vento real, a velocidade do

barco reduz acentuadamente, como é o esperado.

Figura 6-5: Resultados do VPP obtidos para um veleiro qualquer utilizando a planilha desenvolvida.

6.4 LEAD

O lead foi explicado sucintamente na seção anterior. Este valor se refere à distância

longitudinal entre o centro de esforço das velas e o centro de resistência lateral do casco para

a condição de ângulo de ataque igual a zero do leme. Ou seja:

𝐿𝑒𝑎𝑑 = 𝐶𝐸𝑋 − 𝐶𝐿𝑅𝑋

133

O livro PYD [4] sugere um método simplificado de obtenção do lead. Nesse método,

o centro de resistência lateral do casco é obtido unicamente a partir da quilha, ignorando a

contribuição dos demais componentes do casco. Então, foi utilizado o programa criado para a

obtenção do lead e comparados os seus resultados com os resultados esperados pelo método

do PYD [4], obtendo valores incrivelmente próximos. Contudo, no caso da utilização do

programa criado, o valor do lead possui uma pequena variação de acordo com cada condição

de equilíbrio.

Para calcular o lead no presente método de projeto, foi utilizado o código do

programa criado para o VPP, retirando toda a parte de iteração, de forma que ele calcule os

valores apenas uma vez, e também deixando o ângulo de ataque do leme igual a zero. Dessa

forma, a função criada exporta unicamente o lead do veleiro para essa condição.

Nos casos em que o lead é maior do que zero, o veleiro tende a mudar o curso a

barvalento, enquanto que, nos casos em que este valor é menor do que zero, o veleiro tende

a mudar o curso a sotavento. Ter um veleiro bem balanceado não significa tornar o lead

próximo de zero, uma vez que as forças geradas pelo leme auxiliam no balaço. Então, o

objetivo do projetista é ter um lead positivo, dentro de uma faixa aceitável. Os valores

sugeridos pelo PYD [4] para as quilhas finas convencionais, em porcentagem do comprimento

de linha d’água, são os seguintes:

• Sloop com mastreação de tope: de 5% a 9%;

• Sloop com mastreação fracionada: de 3% a 7%.

Como o tipo de mastreação é selecionado no início do projeto, a planilha utiliza essa

informação para selecionar os limites superiores e inferiores que o lead deve ter na otimização.

Capítulo 7: ESTRUTURA DO CASCO

A inclusão do cálculo estrutural nesse projeto tem como o maior objetivo a previsão

do peso do casco e do seu centro de gravidade. As contribuições para o peso final de um barco

são inúmeras, muitas das quais dependem diretamente da escolha do projetista. Alguns

desses valores não são tão influenciados pelas variações na forma do casco. Contudo, o peso

do próprio corpo da canoa, bem como o peso dos seus apêndices e da mastreaçao, é

influenciado diretamente pela variação da sua forma, e não pode ser ignorado em um

processo de otimização. Nos casos de barcos a vela, a posição vertical do centro de gravidade

tem um papel essencial no balanço de forças e momentos discutido no Capítulo 6: VPP. Da

mesma forma, a posição vertical do centro de gravidade é indispensável para o cálculo da

estabilidade, apresentado no Capítulo 8: Estabilidade.

Por conta do que foi dito, o cálculo estrutural do casco foi adicionado a esse modelo

no intuito de prever o seu peso e centro de gravidade. Este cálculo não tem como objetivo ser

um cálculo final, mas sim uma previsão coerente do que se é requerido a um casco das devidas

proporções. O cálculo estrutural foi baseado no livro “The Elements of Boat Strength” (EBS),

de Dave Gerr [17]. Este livro traz formulações razoáveis para o cálculo estrutural de barcos de

fibra de vidro, madeira, alumínio, aço e até ligas de cobre e níquel. Contudo, para o método

de projeto desenvolvido, foram utilizadas apenas estruturas de fibra de vidro, o que também

pode ser expandido futuramente.

7.1 SUPERFÍCIE DO CASCO

A primeira etapa dos cálculos é a obtenção do número de escantilhão (𝑆𝑛):

135

𝑆𝑛 = 𝐿𝑂𝐴 ∙ 𝐵𝑀𝐴𝑋 ∙ 𝐷𝐶 / 28,32

onde 𝐿𝑂𝐴 = comprimento total do barco;

𝐵𝑀𝐴𝑋 = boca máxima do barco;

𝐷𝐶 = pontal do corpo da canoa.

Para os casos em que o comprimento total do barco é muito superior ao

comprimento de linha d’água (𝐿𝑊𝐿), faz-se a seguinte correção:

𝐿𝑂𝐴` = (𝐿𝑂𝐴 + 𝐿𝑊𝐿) / 2 𝑠𝑒 𝐿𝑂𝐴/𝐿𝑊𝐿 > 1,08

Para os casos em que a boca máxima do barco é muito superior à boca na linha d’água

(𝐵𝑊𝐿), faz-se a seguinte correção:

𝐵𝑀𝐴𝑋` = (𝐵𝑀𝐴𝑋 + 𝐵𝑊𝐿) / 2 𝑠𝑒 𝐿𝑂𝐴/𝐿𝑊𝐿 > 1,12

A partir da determinação do número de escantilhão, determina-se a espessura base

do casco utilizando a seguinte expressão:

𝑡𝑏𝑎𝑠𝑒 = 0,35 ∙ √𝑆𝑛3

[𝑚𝑚]

Para a determinação das regiões de laminação, faz-se necessário calcular a altura do

laminado inferior (𝐵𝐿𝐻), a qual será utilizada como base para a determinação dessas regiões.

Para obter esse valor, utiliza-se a seguinte expressão:

𝐵𝐿𝐻 = 13,71 ∙ 𝑆𝑛0,38 [𝑐𝑚]

136

Então, o casco é subdividido em três regiões de laminação com espessuras diferentes,

as quais podem ser vistas na Tabela 7-1.

Região Altura Espessura

Topo superior e conveses

Da altura do topo inferior em diante.

0,85 · tbase

Topo inferior Da altura do fundo do casco até metade da arqueação.

tbase

Fundo Até a altura BLH acima do

calado de projeto. 1,15 · tbase

Tabela 7-1: Regiões de laminação.

As regiões da quilha e da roda de proa são reforçadas com uma espessura total igual

a 1,5 vezes a espessura base (𝑡𝑏𝑎𝑠𝑒).

Então, antes determinar as espessuras mínimas requeridas finais, são calculadas

algumas correções.

Para o caso em que o barco tenha sua velocidade máxima acima de 10 nós, aumenta-

se 1 por cento da espessura do fundo para cada nó de velocidade acima de 10 nós que o barco

poderá atingir.

Para o caso de barcos pesados, onde a razão 𝐷/𝐿 é superior a 275 , utiliza-se a

seguinte expressão para calcular o percentual de aumento da espessura devido a barcos

pesados (𝑃𝑝𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜):

𝑃𝑝𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 = 0,89 +𝐷/𝐿

2500

Onde 𝐷/𝐿 é a razão entre o deslocamento e o comprimento de linha d’água. Para o

caso de unidades métricas, é necessário realizar uma conversão desse valor de acordo com a


𝐷/𝐿 = (𝑚/1267)/(𝐿𝑊𝐿/328)3

137

Onde a massa (𝑚) está em toneladas métricas e o comprimento de linha d’água

(𝐿𝑊𝐿) em metros.

Para o caso de barcos leves, onde a razão 𝐷/𝐿 é inferior a 100, utiliza-se a seguinte

expressão para calcular o percentual de aumento da espessura devido a barcos leves (𝑃𝑙𝑒𝑣𝑒):

𝑃𝑙𝑒𝑣𝑒 = 1,13 +𝐷/𝐿

770

Para o caso de barcos de corrida, pode ser utilizado 95% das espessuras calculadas

anteriormente. E para o caso de embarcações de trabalho, como barcos de patrulha, pesca e

passageiros, aumenta-se de 5 a 10 por cento das espessuras calculadas anteriormente. Por

conta dessa e de outras características estruturais, foram adicionadas as determinações do

projeto no workhseet principal da planilha, a quais incluem a função da embarcação e outros

dados de entra que serão analisados mais adiante.

A partir das espessuras mínimas requeridas, é possível especificar quais serão as

camadas de laminação. O tipo de material utilizado na laminação é determinado pelo

projetista. Há três possibilidades de escolha: a primeira é a camada imediatamente abaixo do

gelcoat; a segunda e a terceira são os tipos de fibra de vidro que podem ser combinadas para

fazer as camadas seguintes. Nos três casos, há a possibilidade de selecionar diferentes

espessuras de manta ou tecidos bidimensionais, como consta representado na Tabela 7-2. Os

quatro primeiros tipos são referentes a mantas (mat), onde os números são referentes as

unidades inglesas oz./sq. yd. As quatro seguintes são tecidos bidimensionais (woven roving).

Para cada um dos tipos de materiais da Tabela 7-2, é possível ver o seu peso de fibra de vidro

sem resina em relação à área do material; a espessura equivalente em milímetros, e o peso

total do material com resina por unidade de volume em metros cúbicos.

Há a possibilidade de utilizar apenas um tipo de material, selecionando apenas um e

deixando as demais células da planilha vazias. Contudo, ao selecionar manta e um tecido

bidimensional é possível fazer uma camada combinada. O livro EBS [17] explica que as

camadas combinadas mais comuns são o tipo 24-15 Combi-Mat, o qual envolve 24 Mat e 1.5

Roving, e o tipo 18-10 Combi-Mat, o qual envolve 18 Mat e 1.0 Roving.

138

Tipo Peso sem resina

[g/m²] Espessura

[mm] Peso com resina

[kg/m³]

0.75 Mat 228,75 0,61 1360

1.00 Mat 205,00 0,81 1360

1.50 Mat 457,50 1,22 1360

2.00 Mat 610,00 1,63 1360

14 Roving 475,00 0,61 1360

16 Roving 542,00 0,70 1585

18 Roving 610,00 0,79 1585

24 Roving 814,00 1,05 1585 Tabela 7-2: Tipos de camadas de vibra de vidro e suas propriedades.

Foi desenvolvida uma função no Microsoft Excel utilizando VBA [1] para selecionar o

mínimo possível de material, dentro do que foi selecionado, para atingir as espessuras

mínimas requeridas calculadas anteriormente. Essa função utiliza os dados da Tabela 7-2 e

obtém a espessura final de cada uma das regiões de laminação do casco.

Uma vez obtidas as espessuras reais para cada região, faz-se necessário obter a

superfície em que elas serão aplicadas, bem como o seu respectivo centro de área. Para obter

as superfícies de cada região do casco, foi necessário desenvolver mais uma função no

Microsoft Excel. Essa função utiliza a base da função desenvolvida para os cálculos

hidrostáticos do casco da canoa, excluindo os demais cálculos que não serão necessários nessa

aplicação. A função faz cortes horizontais no casco a uma altura determinada e calcula a área

da superfície entre esses cortes, bem como o seu centro de área.

Uma vez obtidos esses valores, o volume total de material para cada região casco é

calculado ao multiplicar as superfícies pelas respectivas espessuras. Então, a massa de cada

região é obtida a partir da massa específica final da região. Essa massa específica é calculada

levando em consideração as possibilidades de combinação de materiais da Tabela 7-2,

utilizando a massa específica resultante da combinação.

Após o cálculo da massa total de vibra de vidro e resina aplicada à superfície do casco,

faz-se necessário obter a massa do gelcoat. O filme úmido do gelcoat varia em média de 0,5 a

0,6 mm de espessura. Como indicação, cerca de 500 a 750 g/m² da mistura de gelcoat

139

(dependendo do pigmento) garantirá a espessura exigida, acomodando o desgaste natural do

molde durante a sua vida útil. [18]

Dessa forma, calcula-se a massa final de gelcoat com base na superfície do casco. Foi

utilizado um valor médio entre os valores fornecidos pela referência, ou seja, 625 g/m². O

valor da superfície utilizado para o cálculo da massa do gelcoat foi dobrado para considerar a

parte interna e externa do casco.

A Tabela 7-3, a qual foi dividida em duas partes, demonstra um exemplo dos cálculos

realizados pela planilha, onde os valores abaixo em cor mais escura representam a massa total

da superfície casco e as coordenadas do seu centro de gravidade. No exemplo, foi utilizado

uma camada de tecido do tipo 1.0 Roving abaixo do gelcoat e o tipo 24-15 Combi-Mat, o qual

envolve 24 Mat e 1.5 Roving.

Superfície do casco

Altura (m)

Área (m²)

LCG (m)

VCG (m)

Espessura requerida

(mm)

Camadas antes do . gelcoat

Número de camadas

extras

Topo superior 1,197 40,763 4,219 1,025 6,97 1 3

Topo inferior 0,940 12,431 2,745 0,418 8,20 1 4

Fundo 0,669 58,743 2,452 0,139 9,43 1 4

3,032 0,447

Superfície do casco

Espessura Real (mm)

Volume (m³)

Massa específica

final (kg/m³)

Massa da laminação

(kg)

Massa do gelcoat

(kg)

Massa total (kg)

Topo superior 7,62 0,311 1453 451,32 50,95 502,28

Topo inferior 9,89 0,123 1456 178,95 15,54 194,49

Fundo 9,89 0,581 1456 845,63 73,43 919,05

1618,47 Tabela 7-3: Exemplo de cálculo das espessuras e massa final da superfície do casco.

7.2 LONGITUDINAIS

Os requerimentos de acordo com o livro EBS [17] estabelecem que deve haver 5

longitudinais em cada bordo do casco barco, totalizando 10. Para os conveses, o espaçamento

entre longitudinais não deve ser superior à distância máxima entre as longitudinais da região

do topo superior ou 800 milímetros. Em ambos os casos a largura e a altura requerida para o

140

núcleo, bem como as espessuras de laminação são iguais. Calcula-se os seus valores

requeridos a partir das seguintes expressões.

Largura requerida para o núcleo: 𝑏𝐿 = 79,2 ∙ 𝑆𝑛0,28 [𝑚𝑚]

Altura requerida para o núcleo: ℎ𝐿 = 0,5 ∙ 𝑏𝐿

A espessura requerida para a laminação: 𝑡𝐿 = 4,32 ∙ 𝑆𝑛0,38 [𝑚𝑚]

Então, para calcular o peso o centro de gravidade das longitudinais, foi necessário

criar uma outra função no Microsoft Excel para recorrer à forma do casco e obter as suas

respectivas dimensões. Ambas as funções foram desenvolvidas com base nos cálculos

hidrostáticos, retirando partes desnecessárias e adicionados detalhes pertinentes. Para o caso

das longitudinais do casco, foram obtidas cinco linhas em cada bordo, igualmente espaçadas

no fundo e costado, percorrendo todo o comprimento do barco. A função, então, exporta o

comprimento dessas linhas e o seu centro de área. No caso do convés, foi desenvolvida uma

função semelhante a esta, porém essa utiliza o valor definido do espaçamento entre

longitudinais.

Para definir espaçamento real entre longitudinais, utiliza-se o requerimento

explicado no início dessa seção. Após obter o maior valor entre os valores em questão, o

espaçamento real entre longitudinais é obtido ao considerar o número de reforçadores

necessários para cumprir esse requerimento e espaça-los igualmente entre a linha de centro

e a boca máxima do barco, arredondando o seu valor para um valor inteiro em milímetros.

Então, a partir de todos os valores calculados, é possível obter o volume e massa de

todos os materiais envolvidos. O volume do núcleo é calculado ao multiplicar a base, altura e

comprimento de cada longitudinal em questão. A espessura real de laminação é obtida pelo

mesmo método apresentado na seção anterior, e o seu volume é obtido ao multiplicar essa

espessura contorno da longitudinal (2 ∙ ℎ𝐿 + 𝑏𝐿) e ao multiplicar o resultado pelo

comprimento do reforçador em questão. Então, calcula-se o volume necessário de gelcoat

segundo o mesmo modo apresentado na seção anterior.

141

Types of core mat. kg/m³

Foam 5.5 88

Foam 8.0 128

Balsa 6.5 104

Balsa 9.5 152 Tabela 7-4: Tipos de materiais para os reforçadores.

Longitudinais do Casco e do

Convés

Quanti-dade

Compri-mento

(m)

LCG (m)

VCG (m)

Espessura requerida

(mm)

Camadas abaixo do

gelcoat

Número de camadas

extras

Long. do Casco 1 2 11,448 5,679 1,066 5,08 1 2

Long. do Casco 2 2 11,435 5,675 0,739 5,08 1 2

Long. do Casco 3 2 11,414 5,668 0,458 5,08 1 2

Long. do Casco 4 2 11,375 5,654 0,263 5,08 1 2

Long. do Casco 5 2 11,313 5,630 0,168 5,08 1 2

Long. do Convés 0 1 11,214 5,607 1,312 5,08 1 2

Long. do Convés 1 2 10,360 5,180 1,285 5,08 1 2

Long. do Convés 2 2 9,249 4,625 1,253 5,08 1 2

Long. do Convés 3 2 7,854 3,927 1,219 5,08 1 2

Long. do Convés 4 2 5,639 2,820 1,181 5,08 1 2

Long. do Convés 5 2 0,000 0,000 0,000 5,08 1 2

5,196 0,828

Longitudinais do Casco e do

Convés

Espessura real

(mm)

Volume laminação

(m³)

Massa específica laminação

(kg/m³)

Massa de laminação

(kg)

Massa núcleo

(kg)

Massa gelcoat

(kg)

Massa total (kg)

Long. do Casco 1 5,35 0,017 1448 23,95 11,87 1,29 74,22

Long. do Casco 2 5,35 0,017 1448 23,92 11,86 1,29 74,13

Long. do Casco 3 5,35 0,016 1448 23,88 11,83 1,28 73,99

Long. do Casco 4 5,35 0,016 1448 23,80 11,79 1,28 73,74

Long. do Casco 5 5,35 0,016 1448 23,67 11,73 1,27 73,34

Long. do Convés 0 5,35 0,016 1448 23,46 11,63 1,26 36,35

Long. do Convés 1 5,35 0,015 1448 21,68 10,74 1,17 67,16

Long. do Convés 2 5,35 0,013 1448 19,35 9,59 1,04 59,96

Long. do Convés 3 5,35 0,011 1448 16,43 8,14 0,88 50,91

Long. do Convés 4 5,35 0,008 1448 11,80 5,85 0,63 36,56

Long. do Convés 5 5,35 0,000 1448 0,00 0,00 0,00 0,00 620,37

Tabela 7-5: Exemplo de cálculo das dimensões das longitudinais.

Para obter a massa da laminação e do gelcoat a partir do volume, utiliza-se o mesmo

método apresentado na seção anterior. No caso dos núcleos, precisa-se definir qual material

142

será utilizado. Nesse caso, foram predeterminadas as opções de materiais apresentadas na

Tabela 7-4, com as suas respectivas massas específicas:

A Tabela 7-5, a qual foi dividida em duas partes, demonstra um exemplo dos cálculos

realizados pela planilha, onde os valores abaixo em cor mais escura representam a massa total

das longitudinais e as coordenadas do centro de gravidade global delas.

7.3 HASTILHAS E ANTEPARAS

O cálculo das hastilhas foi desenvolvido em conjunto com o cálculo das anteparas

pois eles têm uma certa interdependência no caso dos requerimentos apresentados pelo livro

EBS [17].

Para o caso das anteparas, utilizam-se as expressões a seguir.

Número mínimo de anteparas: 𝑛𝐴 = 1,15 ∙ 𝐿𝑂𝐴0,7

Espessura mínima do compensado: 𝑡𝐴 = 11,43 ∙ 𝑆𝑛0,3 [𝑚𝑚]

Para o caso das hastilhas, utilizam-se as expressões a seguir.

Largura requerida para o núcleo: 𝑏𝐻 = 78,7 ∙ 𝑆𝑛0,3 [𝑚𝑚]

Altura mínima requerida para o núcleo: ℎ𝐻 = 3 ∙ 𝑏𝐿

A espessura requerida para a laminação: 𝑡𝐻 = 4,6 ∙ 𝑆𝑛0,4 [𝑚𝑚]

Espaçamento máximo nas quilhas com lastro: 𝑆 = 406 ∙ 𝑆𝑛0,2 [𝑚𝑚]

Número mínimo de hastilhas no mastro: 𝑛𝐻 = 3 ∙ 𝑆𝑛0,2

No caso da espessura requerida para a laminação das hastlhas, são adicionados os

percentuais de aumento da espessura devido à velocidade e devido ao deslocamento, os quais

foram apresentados na Seção 7.1.

143

Então, uma vez definidas as dimensões mínimas requeridas, faz necessário posicionar

e cada elemento e obter as suas respectivas áreas para o cálculo do peso. A posição desses

elementos é difícil de ser automatizada pois ela depende de uma análise individual do

projetista, relacionando-a com outros fatores de projeto. Este é um dos motivos pelo qual o

projeto estrutural desenvolvido nesse modelo não tem por objetivo ser uma resposta final no

que se diz respeito à estrutura. Como foi dito anteriormente, a intenção é prever o peso do

casco e relacioná-lo com os demais fatores de projeto apresentados nesse modelo. Por conta

disso, optou-se por desenvolver um método de posicionar os elementos de forma a atender

os requerimentos e que seja razoável. No caso das hastilhas do mastro e da quilha, por

exemplo, essas vão acompanhar a alteração de posição do mastro e da quilha.

O método de posicionamento dos elementos transversais inicia-se pelo

posicionamento das hastilhas abaixo do mastro e acima da quilha. Uma vez que são definidas

o número necessário de hastilhas para o mastro e o espaçamento entre as hastilhas da quilha,

essas podem ser posicionadas de forma a atender a ambos os critérios. Primeiro inicia-se com

uma hastilha no centro do mastro, depois são posicionadas uma hastilha a vante e, utilizando

o mesmo espaçamento, posiciona-se uma antepara a vante. A seguir, são posicionadas

hastilhas a ré do mastro de forma a compreender todo o comprimento da quilha. Se o número

necessário de hastilhas não for atingido, posiciona-se mais hastilhas até que o requerimento

seja cumprido. Em seguida são posicionadas as demais anteparas remanescentes na região a

vente e a ré do casco de forma equidistante.

Uma vez obtidas as posições de cada elemento, faz necessário calcular a área e o

centro de área de cada elemento. A função elaborada para esse cálculo é semelhante às

demais funções apresentadas nesse capítulo as quais utilizam a base dos cálculos hidrostáticos

para recorrer à forma do casco e obter esses valores. Esta função obtém a área das balizas e

interpola os seus valores para obter um valor de área intermediário entre uma baliza e outra.

No caso das anteparas, essa função é mais direta. Para o caso das hastilhas, é necessário cortar

as balizas a uma determinada altura para considerar apenas a área dessas balizas abaixo desse

plano de corte. A altura desse plano de corte não é simplesmente a altura requerida para as

hastilhas pois, caso isso tivesse sido feito, haveriam hastilhas com altura inferior à requerida,

uma vez que o fundo possui uma curvatura. Por conta disso, a função utiliza a posição das

144

hastilhas para determinar a altura correta do plano de corte com o objetivo de que todas as

hastilhas tenham altura igual ou superior à requerida na linha de centro.

Elementos Transversais

Quanti-dade

Compri-mento

(m)

LCG (m)

VCG (m)

Espessura requerida

(mm)

Camada abaixo do

gelcoat

Número de camadas

extras

Hastilha 1 1 0,628 4,295 0,211 6,11 1 3

Hastilha 2 1 0,644 4,736 0,204 6,11 1 3

Hastilha 3 1 0,642 5,177 0,201 6,11 1 3

Hastilha 4 1 0,640 5,618 0,197 6,11 1 3

Hastilha 5 1 0,601 6,059 0,199 6,11 1 3

Hastilha 6 1 0,563 6,500 0,201 6,11 1 3

Hastilha 7 1 0,513 6,941 0,206 6,11 1 3

Antepara 1 1 3,094 3,854 0,669 - - -

Antepara 2 1 2,505 7,382 0,716 - - -

Antepara 3 1 2,957 2,891 0,691 - - -

Antepara 4 1 2,703 1,927 0,727 - - -

Antepara 5 1 2,351 0,964 0,778 - - -

Antepara 6 1 3,121 4,620 0,662 - - -

Antepara 7 1 3,052 5,387 0,665 - - -

4,772 0,439

Elementos Transversais

Espessura real

(mm)

Volume laminação

(m³)

Massa específica laminação

(kg/m³)

Mass de laminação

(kg)

Massa núcleo

(kg)

Massa gelcoat

(kg)

Massa total (kg)

Hastilha 1 7,62 0,010 1453 14,90 7,24 0,79 22,92

Hastilha 2 7,62 0,011 1453 15,26 7,42 0,81 23,49

Hastilha 3 7,62 0,010 1453 15,22 7,40 0,80 23,43

Hastilha 4 7,62 0,010 1453 15,16 7,37 0,80 23,33

Hastilha 5 7,62 0,010 1453 14,31 6,93 0,75 21,99

Hastilha 6 7,62 0,009 1453 13,47 6,49 0,70 20,66

Hastilha 7 7,62 0,008 1453 12,35 5,91 0,64 18,89

Antepara 1 - - - 0,00 22,12 0,00 22,12

Antepara 2 - - - 0,00 17,91 0,00 17,91

Antepara 3 - - - 0,00 21,14 0,00 21,14

Antepara 4 - - - 0,00 19,33 0,00 19,33

Antepara 5 - - - 0,00 16,81 0,00 16,81

Antepara 6 - - - 0,00 22,32 0,00 22,32

Antepara 7 - - - 0,00 21,82 0,00 21,82

296,17

Tabela 7-6: Exemplo de cálculo das dimensões das hastilhas e anteparas.

145

A partir de então, utiliza-se os mesmos cálculos apresentados na seção anterior para

obter o peso e centro de gravidade final dos elementos transversais. No caso do cálculo da

massa do compensado, foi utilizada uma massa específica média de 550 kg/m ³. A Tabela 7-6,

a qual foi dividida em duas partes, demonstra um exemplo dos cálculos realizados pela

planilha, onde os valores abaixo em cor mais escura representam a massa total das hastilhas

e anteparas e as coordenadas do centro de gravidade global delas.

A seguir, na Tabela 7-7, constam os resultados finais dos exemplos apresentados. É

possível verificar que só a massa do casco é responsável por cerca de 2,5 toneladas para um

veleiro de 11,4 metros, utilizando o modelo apresentado.

Massa (kg) LCG (m) VCG (m)

Superfície do casco 1618,5 3,032 0,447

Longitudinais 620,4 5,196 0,828

Hastilhas 154,7 5,563 0,203

Anteparas 141,5 3,907 0,697

Total 2535,0 3,765 0,539

Tabela 7-7: Resultado final dos exemplos apresentados.

7.4 LASTRO

Um fator essencial no desempenho de muitos veleiros é a presença de quilhas e

bulbos capazes de transportar uma grande quantidade de lastro sólido. Esse peso

transportado reduz o centro de gravidade do barco aumentando a estabilidade e reduzindo

os ângulos de banda em condições de vento severo.

Foram selecionadas as opções de projetar quilha e bulbos com chumbo (11,34 t/m³)

ou aço (7,86 t/m³). Dessa forma, basta selecionar o material no início do projeto e o cálculo

final da massa é realizado pela planilha. A massa do quilha e do bulbo é calculada

simplesmente pela multiplicação do volume desses apêndices pela massa específica do

material selecionado. Os cálculos dos volumes, bem como o centro de gravidade desses

apêndices, constam apresentados no Capítulo 3: Apêndices do Casco.

Capítulo 8: ESTABILIDADE

Durante décadas, muitos propuseram métodos para avaliar a estabilidade de veleiros

a partir de um critério simples com base em uma "variedade de estabilidade positiva" prescrita.

Embora relativamente fácil de avaliar e, portanto, tentador como um método simples, esta

não é uma imagem completa ou necessariamente adequada. A estabilidade é um evento

dinâmico e é afetada por vários parâmetros de embarcações diferentes. Os métodos mais

recentes para avaliar a estabilidade "dinâmica" de um velerio foram oferecidos sob duas

formas.

Primeiro, um método chamado de Dynamic Stability Factor (DSF) é apresentado em

Principles of Yacht Design [4]. O DSF é o resultado do trabalho realizado por Moon e Oossanen

para propor um critério racional baseado em uma série de fatores que contribuem para o

seakeeping de um barco. Os fatores calculados analisam a relação entre a boca e o

deslocamento; a área vélica, juntamente com deslocamento, a boca e comprimento; o

deslocamento e comprimento; a energia de endireitamento; e, finalmente, as áreas relativas

da região positiva da curva de estabilidade em relação à negativa. Uma "pontuação" é

acumulada ao DSF e o barco é classificado como oceânico; offshore; inshore; ou águas

abrigadas.

Em segundo lugar, o método DSF foi então expandido para incluir inputs de

projetistas de todo o mundo, refinado o método. Os resultados desta pesquisa foram

apresentados por Oossanen em uma publicação do Simpósio de Iate de Vela de Chesapeake

(Chesapeake Sailing Yacht Symposium). Este novo método é referido simplesmente como o

Índice de Estabilidade (STIX). Embora as fórmulas STIX diferem completamente daquelas

usadas pelo método DSF, o método STIX adota uma abordagem similar. STIX analisa a energia

de endireitamento; a recuperação de inversão; a recuperação de knockdown; a relação entre

147

o deslocamento e o comprimento; a relação entre a boca e o deslocamento; o momento do

vento; o ângulo de downflooding; e o tamanho base da embarcação. Os fatores resultantes

são acumulados em uma "pontuação" que novamente classifica um navio como oceânico;

offshore; inshore; ou águas abrigadas.

Embora muitos outros critérios tenham sido propostos, os métodos DSF e STIX são,

de longe, o mais abrangente, e fornecem a maior quantidade de informações sobre a

sobrevivência de um barco a vela. [19]

Este capítulo foi dividido em três seções. A primeira seção é referente aos cálculos da

curva de estabilidade, a qual é necessária para ambos os métodos de avaliação. A segunda

seção aborda os cálculos do método DSF, e a terceira aborda os cálculos do STIX.

8.1 CURVA DE ESTABILIDADE

Para o cálculo da curva de estabilidade foi desenvolvida mais uma função no

Microsoft Excel. Essa função é quase idêntica à função de busca do equilíbrio descrita no

Capítulo 4: Equilíbrio Hidrostático. O que diferencia essa função da função anterior é que essa,

além de não calcular inúmeros parâmetros do casco que são desnecessários para a curva de

estabilidade, ela não varia os ângulos de trim e banda. O ângulo de banda é um valor constante

durante todo o processo de obtenção do equilíbrio, variando apenas o “calado” para obter a

condição com empuxo igual ao peso. A partir dessa função, é possível estipular valores para

os ângulos de banda e obter as coordenadas do seu respectivo centro de carena.

O valor do braço de endireitamento (𝐺𝑍) pode ser calculado a partir de quatro

variáveis: o ângulo de banda (𝜙), a coordenada transversal do centro de carena (𝑇𝐶𝐵), a

coordenada vertical do centro de carena (𝑉𝐶𝐵) , e a coordenada vertical do centro de

gravidade (𝑉𝐶𝐺). As expressões a seguir foram utilizadas para obter o valor de 𝐺𝑍.

𝐺𝑍 = 𝐾𝑁 − 𝑉𝐶𝐺 ∙ sin 𝜙

𝐺𝑍 = 𝑉𝐶𝐵 ∙ sin 𝜙 + 𝑇𝐶𝐵 ∙ cos 𝜙 − 𝑉𝐶𝐺 ∙ sin 𝜙

𝐺𝑍 = (𝑉𝐶𝐵 − 𝑉𝐶𝐺) ∙ sin 𝜙 + 𝑇𝐶𝐵 ∙ cos 𝜙

148

Utilizando a função citada e a expressão do cálculo do GZ, foi possível desenvolver

uma tabela relacionando ângulos e os resultados para cada ângulo. A Tabela 8-1 é um exemplo

de uma tabela gerada pela planilha e a Figura 8-1 representa a sua respectiva curva de

estabilidade. É possível verificar que também existe uma coluna com as iterações necessárias

para que a função obtenha o equilíbrio em cada ângulo. Decidiu-se não programar a planilha

para calcular os valores referentes aos ângulos de -10°, 0° e 180° para não gerar um tempo

computacional desnecessário. Assumiu-se que o 𝐺𝑍 dos ângulos de 0° e 180° são iguais a zero

e que o valor referente ao ângulo de -10° é o inverso do valor de 10°.

φ [graus] TCB [m] VCB [m] Iterações KN [m] GZ [m]

-10.0 - - - -0.327 -0.340

0.0 - - - 0.000 0.000

10.0 0.280 0.291 4 0.327 0.340

20.0 0.535 0.359 4 0.625 0.652

30.0 0.728 0.447 4 0.854 0.892

40.0 0.820 0.510 4 0.956 1.006

50.0 0.865 0.554 4 0.981 1.040

60.0 0.891 0.589 4 0.956 1.024

70.0 0.909 0.625 4 0.898 0.971

80.0 0.927 0.695 5 0.846 0.922

100.0 0.929 0.766 6 0.593 0.669

120.0 0.911 0.820 4 0.255 0.322

140.0 0.856 0.882 4 -0.089 -0.039

160.0 0.690 0.971 3 -0.317 -0.290

180.0 - - - 0.000 0.000

Tabela 8-1: Exemplo dos cálculos da curva de estabilidade computada pela planilha.

Figura 8-1: Exemplo de curva de estabilidade gerada pela planilha.

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-15.0 0.0 15.0 30.0 45.0 60.0 75.0 90.0 105.0120.0135.0150.0165.0180.0

GZ

[m]

Heel angle [deg]

149

8.2 FATOR DE ESTABILIDADE DINÂMICA (DSF)

O fator de estabilidade dinâmica foi calculado bom base nas formulações

apresentadas na Figura 8-2, retirada do livro PYD [4].

Figura 8-2: Cálculo do Fator de Estabilidade Dinâmica (DSF). [4]

150

8.3 ÍNDICE DE ESTABILIDADE (STIX)

O STIX foi calculado bom base na Figura 8-3, retirada do livro PYD [4].

Figura 8-3: Cálculo do Índice de Estabilidade (STIX). [4]

Capítulo 9: PARÂMETROS DE ANÁLISE E AVALIAÇÃO

Uma vez que todas as etapas anteriores foram programadas corretamente, é possível

obter os resultados de qualquer combinação de fatores selecionadas pelo projetista. Os

valores inseridos na planilha geram os seguintes cálculos:

• adaptação da forma de casco;

• calculo do peso de todos os componentes citados nos capítulos anteriores;

• calculo do peso dos demais componentes inseridos pelo projetista;

• cálculo do peso e centro de gravidade final do barco;

• cálculo da condição de equilíbrio estático;

• cálculo do balanço de forças e previsão das velocidades do barco para cada

ângulo de atuação da velocidade de vento inserida;

• cálculo a curva de estabilidade e dos índices DSF e STIX; e

• cálculo dos coeficientes de análise e avaliação.

Todos esses cálculos realizados pela planilha ainda não incluem a otimização e as

incertezas. Um projetista poderia simplesmente utilizar essa ferramenta para selecionar

manualmente os valores desejados para o barco, calcular a sua resposta, e analisar os

resultados obtidos. No intuito de gerar uma interface simples e prática, foi desenvolvido, no

worksheet principal da planilha, uma forma de inserir e avaliar os principais resultados obtidos

pelas alterações dos dados de entrada do projeto. A Figura 9-1, na página seguinte, apresenta

o topo do worksheet principal da planilha, contendo os dados de entrada fixos do projeto em

questão. Nas partes inferiores da figura, é possível visualizar os resultados do equilíbrio, à

esquerda, junto com o início da tabela hidrostática apresentada no Capítulo 4:, a parte central

Figura 9-1: Topo do worksheet principal da planilha, mostrando os dados de entrada fixos do projeto.

153

com as variáveis da otimização, e a parte à direita, com as propriedades físicas e algumas

variáveis calculadas a partir das anteriores. Os resultados das dimensões principais do barco,

contidos na parte central não necessariamente precisam estar entre o mínimo e o máximo,

uma vez que os seus valores foram obtidos por estatística de outros barcos e os seus limites

não correspondem à totalidade dos barcos existentes no mundo, e sim à maioria deles. Os

limites do coeficiente de linha d’água (𝐿𝑊𝐿), por exemplo, o qual o valor real está fora do

intervalo, foram obtidos utilizando unicamente o comprimento total do barco (𝐿𝑂𝐴), o que

não necessariamente corresponde a um limite real, e sim a uma expectativa.

Antes de apresentar os parâmetros de avaliação gerados pela planilha, é necessário

discutir três coeficientes importantes.

O coeficiente 𝑆𝐴/𝑆𝑊 é a razão entre a área velica (𝑆𝐴) e a área molhada (𝑆𝑊) total

incluindo todos os apêndices. Esse é o mais importante parâmetro de velocidade em ares leves,

uma vez que a área velica é o parâmetro de força motora e a resistência friccional é

responsável pela maior parcela da resistência ao avanço em velocidades baixas. Esse valor

precisa estar acima de 2,0 , se não o veleiro será muito lento para essas condições.

Desempenhos altos são alcançados com valores acima de 2,5 para esse coeficiente.

O coeficiente 𝐿𝑊𝐿/∇1/3 relaciona o volume deslocado (∇) com o comprimento de

linha d’água (𝐿𝑊𝐿) . Esse é o coeficiente mais importante no que se refere a grandes

velocidades, uma vez que a resistência de onda se torna a principal componente em questão

para essas condições. Segundo o PYD [4], Para que o barco seja capaz de superar a “barreira”

do número de Froude em torno de 0,45, esse coeficiente deve ser superior a 5,7, o que é

muito raro. Dinghies, claro, estão bem acima desse valor, assim como os Ultra-Light

Displacement Boats (ULDBs), como o Whitbread 60 footers e os iates da America’s Cup.

Contudo, a produção de iates a vela dificilmente atinge valores acima de 5,2, e a grande

maioria dos iates estão bem abaixo desse valor se o deslocamento real for utilizado.

O coeficiente 𝑆𝐴/∇2/3 relaciona a área velica (𝑆𝐴) e o volume deslocado (∇). Esse é

um bom parâmetro para analisar a performance do veleiro em condições de velocidade

intermediárias. Esse parâmetro também mede a habilidade de aceleração do veleiro. Para um

desempenho razoavelmente bom, esse coeficiente deve estar acima de 15. Um desempenho

muito bom é obtido quando este coeficiente está entre 20 e 22.

154

Esses três coeficientes apresentados foram inseridos na planilha juntamente com

outros parâmetros de análise e avaliação. A Figura 9-2 apresenta uma pequena região da

planilha contendo alguns desses coeficientes para um exemplo qualquer. Foi criada a tabela

com os valores bons e muito bons para o desempenho do barco em cada um desses

parâmetros mais importantes (os três coeficientes apresentados e os dois parâmetros de

análise da estabilidade). As células com preenchimento branco indicam que os limites

inferiores podem ser alterados para os valores desejados, a fim de que a otimização utilize

esses parâmetros como critérios de avaliação. No caso dos STIX e do DSF, esses limites são

selecionados automaticamente quando há a seleção do tipo de barco. É possível verificar que

os limites foram selecionados para um barco do tipo offshore. Contudo, o valor do STIX refere-

se a um barco oceânico e o valor do DSF quase supera o valor mínimo para também classifica-

lo como oceânico.

Figura 9-2: Exemplo dos coeficientes de avaliação do projeto calculados pela planilha.

Outros parâmetros de análise são disponibilizados pela planilha, como a Figura 9-3, a

qual apresenta um exemplo dos dados de saída do VPP. O valor 𝛽𝑚𝑖𝑛 indica o menor valor do

ângulo do ângulo real de vento que o veleiro consegue atingir. Não é possível que o veleiro

em questão navegue em ângulos inferiores a este. Esse é um bom parâmetro de avaliação pois

existem condições em que o veleiro não é capaz de atingir ângulos como de 60°, 90° ou até

mais. Isso se dá pelo fato do programa do VPP identificar que não há uma condição possível

de equilíbrio para os parâmetros de projeto inseridos abaixo desse determinado ângulo. Os

motivos podem ser ângulos de banda muito elevados ou até o limite real de impossibilidade

de velejar contra o vento.

155

A planilha também disponibiliza a velocidade máxima do veleiro, o seu respectivo

ângulo de vento real, a velocidade mínima e a velocidade média.

Figura 9-3: Exemplo dos dados de saída do VPP gerados pela planilha.

Outros parâmetros de avaliação do projeto que foram adicionados ao worksheet

principal da planilha incluem algumas relações que foram apresentadas no decorrer dos

capítulos anteriores, como o lead (distância horizontal entre o centro de esforço das velas e o

centro de resistência lateral do casco), a relação entre as área da buja e genoa com a vela

grande, a relação entre a área vélica e o momento de endireitamento do casco para 30° de

banda, etc.

Capítulo 10: OTIMIZAÇÃO E ESTUDO DE CASOS

Como foi dito no capítulo anterior, uma vez que todas os módulos do projeto foram

programados corretamente, é possível obter os resultados de qualquer combinação de

fatores selecionadas pelo projetista. O projetista pode inserir o seu casco base, inserir os

dados de entrada fixos, e alterar manualmente os demais valores. Por exemplo, as dimensões

e posição da do mastro, da quilha, do bulbo e até os fatores de alteração da forma do casco

podem ser alterados de acordo com a vontade do projetista. A grande questão é que, ao

alterar essas variáveis, alteram-se também os resultados de desempenho do veleiro. O

trabalho de alterar essas variáveis, avaliar os resultados e realizar novas alterações no intuito

de obter um desempenho melhor pode ser transferido para um computador. Nesse processo,

basta definir os critérios de avaliação e deixar que o trabalho braçal seja realizado por uma

máquina.

O fato de transferir o trabalho braçal para um processador não diminui o poder de

decisão de um projetista. Os resultados obtidos podem ser viáveis ou não devido a outros

parâmetros que devem ser analisados. Contudo, a possibilidade de ter uma máquina que seja

capaz de analisar tantas condições pode ser uma grande ferramenta para expandir a

capacidade de decisão em um projeto.

Para realizar a otimização, utilizado programa @Risk v7.5.1 [2], o qual é um add-in

do Microsoft Excel [3]. A utilização desse programa tem inúmeras vantagens, não só a

possibilidade de adicionar variáveis com incertezas, fazendo com que um valor que antes era

constante assuma um valor probabilístico, mas também a possibilidade de adicionar a

execução de macros entre as iterações da otimização, gerar relatórios, gráficos e etc. Após

cada execução da otimização, o @Risk gera um log de resultados contendo todas as tentativas

realizadas, inserindo os valores de cada variável e avaliação individual de cada uma, dizendo

157

se estas estão ou não dentro das restrições. Dessa forma, por mais que o projetista não utilize

o resultado final no seu projeto, ele possui uma grande relação de possíveis soluções

envolvendo os resultados finais de cada uma delas.

Para o caso em que se utilizam 10 balizas, o programa demora cerca de 15 segundos

para executar todos os cálculos em um computador simples com um processador de Pentium

Dual-Core de 3GHz e 2GB de memória RAN. Para realizar poucas alterações, é um tempo

relativamente curto, mas para realizar 1000 tentativas, por exemplo, esse mesmo computador

demoraria pouco mais de 4 horas para finalizar o processo.

A Figura 10-1 ilustra uma tentativa qualquer dada pelo otimizador. Evidentemente,

está não é uma solução viável para o projeto. No caso da figura, nem mesmo há a necessidade

de uma avaliação do projetista, pois as próprias restrições estabelecidas para a otimização são

capazes de recusar essa tentativa do otimizador. A figura foi adicionada com o único intuito

de exemplificar uma tentativa ruim do modelo.

Figura 10-1: Exemplo de uma tentativa qualquer executada pelo otimizador.

158

Para estudar os resultados desse trabalho, foram calculados alguns veleiros

colocando a velocidade máxima como um critério de maximização na otimização. Os dois

primeiros resultados estão apresentados nesse capítulo. No intuito de verificar as variações

possíveis, foram mantidos constantes grande parte dos seus dados de entrada, como o

comprimento do barco, o pontal, os materiais utilizados, o peso dos equipamentos restantes

e até mesmo a forma padrão do casco. A Figura 10-2 apresenta alguns dos dados de entrada

mantidos constantes para as duas tentativas de otimização apresentadas nesse capítulo. O

capítulo seguinte discutirá os casos em que variáveis com incertezas são adicionadas ao

processo de otimização e apresentará mais um resultado de otimização.

Figura 10-2: Dados de entrada mantidos constantes para as três tentativas de otimização apresentadas.

10.1 PRIMEIRA TENTATIVA

A Figura 10-3 apresenta mais alguns dados de entrada da primeira tentativa de

otimização e as figuras seguintes apresentam os resultados obtidos.

159

Figura 10-3: Dados de entrada da primeira tentativa de otimização.

Figura 10-4: Ilustração do resultado obtido para a primeira tentativa de otimização.

160

Figura 10-5: Plano de balizas do resultado obtido para a primeira tentativa de otimização.

Figura 10-6: Resultado obtido da curva de estabilidade para a primeira tentativa de otimização.

Figura 10-7: Resultados obtidos pelo VPP para a primeira tentativa de otimização.

161

Figura 10-8: Resultado obtido do VPP para a primeira tentativa de otimização.

Figura 10-9: Resultados obtidos para as variáveis definidas pelo otimizador na primeira tentativa de otimização.

Figura 10-10: Resultados obtidos para os parâmetros de análise e avaliação na primeira tentativa de otimização.

162

Na Figura 10-4, é possível verificar que o bulbo não está bem encaixado com a quilha.

Isso ocorreu pelo fato de que foi definida uma espessura grande para o perfil na ponta da

quilha e o otimizador também obteve uma corda relativamente grande. Nesse caso, talvez

não houvesse a necessidade da presença do bulbo, uma quilha um pouco mais longa poderia

ser suficiente. No que se refere ao restante do veleiro, os resultados parecem bem razoáveis.

Todos os critérios estabelecidos foram atingidos. No caso do comprimento de linha d’água,

este não foi definido como uma restrição, como consta explicado no Capítulo 9: Parâmetros

de Análise e Avaliação.

Para essa tentativa de otimização, foram realizadas 1000 iterações, sendo que o

melhor resultado foi obtido na iteração de número igual a 931. O processo todo demorou 3

horas, 58 minutos e 3 segundo e encontrou 395 resultados dentro das restrições estabelecidas.

Iniciou-se o processo com um valor de velocidade máxima igual a 7,8 nós, terminando com

uma velocidade máxima igual a 10,1 nós.

O gráfico presente na Figura 10-11 foi gerado pelo @Risk [2], sendo uma

representação do progresso total realizado na otimização.

Figura 10-11: Gráfico do progresso da primeira tentativa de otimização.

163

10.2 SEGUNDA TENTATIVA

Figura 10-12: Dados de entrada da segunda tentativa de otimização.

Figura 10-13: Ilustração do resultado obtido para a segunda tentativa de otimização.

164

Figura 10-14: Plano de balizas do resultado obtido para a segunda tentativa de otimização.

Figura 10-15: Resultado obtido da curva de estabilidade para a segunda tentativa de otimização.

Figura 10-16: Resultados obtidos pelo VPP para a segunda tentativa de otimização.

165

Figura 10-17: Resultado obtido do VPP para a segunda tentativa de otimização.

Figura 10-18: Resultados obtidos para as variáveis definidas pelo otimizador na segunda tentativa de otimização.

Figura 10-19: Resultados obtidos para os parâmetros de análise e avaliação na segunda tentativa de otimização.

166

Nessa segunda tentativa, foi selecionado o mastro do tipo tope, alterado o tipo de

arranjo estrutural longitudinal e alterados alguns parâmetros da quilha, como pode ser visto

na Figura 10-12. No caso dessa tentativa, obteve-se uma forma final mais razoável que a

anterior, não só no aspecto visual, mas também nos resultados obtidos. Obteve-se uma

velocidade máxima superior à anterior, apresentando um fator DSF razoavelmente superior e

um valor de 𝑆𝐴/∇2/3 também superior.

Para essa tentativa de otimização, também foram realizadas 100 iterações, sendo

que o melhor resultado foi obtido na iteração de número igual a 468. O processo todo

demorou 4 horas, 01 minutos e 20 segundos e encontrou 423 resultados dentro das restrições

estabelecidas. Iniciou-se o processo com em uma condição não fora das restrições,

terminando com uma velocidade máxima igual a 10,53 nós.


representação do progresso total realizado na otimização.

Figura 10-20: Gráfico do progresso da segunda tentativa de otimização.

Capítulo 11: INCERTEZAS E ESTUDO DE CASOS

Como foi dito anteriormente, uma das grandes utilidades do software @Risk [2] é a

possibilidade de adicionar variáveis com incertezas, fazendo com que um valor que antes era

constante assuma um valor probabilístico. A maior dificuldade encontrada para introduzir as

incertezas nas otimizações do @Risk está relacionada com o tempo de execução. O

procedimento do software inclui simulações que variam de cem a cem mil amostras, a escolha

do usuário. Essas simulações podem ser executadas com ou sem o processo de otimização.

Caso a otimização seja realizada em conjunto com as simulações de incerteza, o software

realiza uma simulação a cada iteração da otimização. Ou seja, caso fosse optado para o menor

número de amostras na simulação, o tempo da otimização tenderia a demorar cem vezes mais.

Na tentativa de contornar essa questão, foi elaborada uma macro que calcula apenas

o VPP, ignorando os demais cálculos. Dessa forma, ao adicionar a velocidade do vento como

uma incerteza, basta calcular o VPP para obter os resultados referentes a cada condição de

vento da simulação.

A Figura 11-1 apresenta a curva de probabilidades definida no @Risk. Essa é uma

curva do tipo Weibull. É possível verificar que o valor de velocidade referente ao pico da curva

está em torno de 10 nós, e a região de 90% de probabilidade vai de cerca de 3 a 24 nós.

O teste de otimização foi selecionado para um número de 250 iterações a qual, cada

uma envolve 100 simulações de probabilidade para a velocidade do vento. O tempo total

desse processo foi de 30 horas, 24 minutos e 52 segundos para o mesmo computador simples

com um processador de Pentium Dual-Core de 3GHz e 2GB de memória RAN. Nesse processo,

foram obtidos 74 resultados aos quais estão dentro das restrições estabelecidas. O log gerado

pelo programa permite o acesso de todos eles.

168

Figura 11-1: Curva de probabilidades definida para a velocidade de vento verdadeira, em nós.


representação do progresso total realizado na otimização. As figuras a seguir apresentam o

resultado final obtido.

Figura 11-2: Gráfico do progresso da otimização com incertezas.

169

Figura 11-3: Dados de entrada da otimização com incerteza.

Figura 11-4: Ilustração do resultado obtido para a otimização com incerteza.

170

Figura 11-5: Plano de balizas do resultado obtido para a otimização com incerteza.

Figura 11-6: Resultado obtido da curva de estabilidade para a otimização com incerteza.

Figura 11-7: Resultados obtidos pelo VPP para a otimização com incerteza.

171

Figura 11-8: Resultado obtido do VPP para a otimização com incerteza.

Figura 11-9: Resultados obtidos para as variáveis definidas pelo otimizador na otimização com incerteza.

Figura 11-10: Resultados obtidos para os parâmetros de análise e avaliação na otimização com incerteza.

172

Nesse caso, verifica-se que a solução encontrada apresenta um grande volume de

lastro sólido. A envergadura da quilha está grande, assim como comprimento do bulbo. Esse

grande volume nos apêndices é o causador desse aumento do valor de GZ próximo ao ângulo

de 100° , o que pode ser visto na Figura 11-6. Os índices de estabilidade estão

significativamente maiores que o requerido para uma embarcação oceânica. A causa disso é

devida ao grande volume de lastro, baixando o centro de gravidade e forçado o aumento boca

para obter, a fim de que o calado esteja na altura correta. Como não houve a inserção de um

critério superior à estabilidade, o otimizador pode obter resultados com estabilidade

excessiva.

É possível verificar que os demais coeficientes de avaliação, presentes na Figura 11-10,

estão com resultados medianos. O coeficiente 𝐿𝑊𝐿/∇1/3 possui um valor inferior devido ao

grande deslocamento do barco. Nesse caso, não foram estabelecidas restrições para esses

coeficientes, deixando-os livres a fim de que fosse feita apenas para uma análise final do

projetista.

Também, na Figura 11-9, verifica-se que o comprimento de linha d’água, quanto o

calado total do barco, está fora do limite estatístico. O caso do comprimento de linha d’água

é igual aos casos apresentados no capítulo anterior. Para o calado total do barco, esse critério

também foi deixado em aberto por representar apenas uma tendência estatística. Existem

barcos que estão fora desse limite. Contudo, caso seja de interesse do projetista, esse critério

pode ser adicionado à otimização, restringindo os resultados a esses limites.

É possível verificar que a velocidade final encontrada para ventos de 10 nós é inferior

a todos os resultados obtidos na otimização sem a análise de incertezas para a velocidade do

vento. É possível que esse resultado tenha sido encontrado porque, nesse caso, são analisadas

diversas condições de vento, não apenas o de 10 nós. Os barcos obtidos nas otimizações

anteriores podem apresentar resultados melhores para esse valor de velocidade de vento

verdadeiro. Também, os resultados obtidos para todas as simulações realizadas estão de

acordo com as restrições estabelecidas, o que não necessariamente é verdade para os

resultados anteriores.

CONCLUSÃO

A partir dos resultados apresentados, verificou-se que o modelo criado pode se

tornar uma boa ferramenta no projeto de barcos a vela. O programa pode ser manuseado de

quatro formas distintas: utilizando apenas alterações manuais do projetista; utilizando a

otimização; utilizando apenas simulações com incertezas em algumas variáveis; ou

combinando a otimização com incertezas. Também, o processo de otimização gera um grande

banco de dados com inúmeras possíveis combinações de formas relacionando-as com os

resultados obtidos. Com isso, por mais que o projetista não selecione a forma final para o seu

projeto, ele passa a possuir uma grande variedade de opções que podem ser exploradas.

Também, o projetista pode partir de uma solução possível para realizar alterações a fim de

adaptar o barco ao seu interesse. O modelo criado pode ser um bom ponto de partida para o

projeto de um veleiro.

Como foi dito anteriormente, o fato de se transferir o trabalho braçal para um

processador fazer combinações de variáveis, avaliações das restrições, e coleta de resultados,

não diminui o poder de decisão de um projetista. Os resultados obtidos podem ser viáveis ou

não devido a outros parâmetros que devem ser analisados. Contudo, a possibilidade de ter

uma máquina que seja capaz de analisar tantas condições pode ser uma grande ferramenta

para expandir a capacidade de decisão em um projeto.

Assim como o modelo criado pode ser um bom ponto de partida para o projeto de

um veleiro, ele também pode ser uma boa ferramenta de análises futuras. Ao manter as

variáveis relacionadas à forma do barco, dos apêndices e do casco fixas, e alterar variáveis de

peso e condições de vento, pode-se calcular e analisar os resultados para inúmeras condições.

Utilizando mais uma vez o software @Risk [2], é possível realizar diversas simulações

174

utilizando incerteza nas variáveis e colhendo resultados com relatórios, gráficos e diversas

formas práticas de análise e avaliação do projeto.

Também, é possível retirar e adicionar outras restrições ao método, bem como

adicionar novas variáveis para alteração. Dentro das opções existentes, as possibilidades são

inúmeras. Pode ser possível permitir que o otimizador altere variáveis como a espessura dos

perfis da quilha ou o ângulo da flecha. Também, realizando alterações mais complexas, pode

ser possível fazer com que o otimizador altere outras variáveis relacionadas com a estrutura

do casco e a mastreação.

Em trabalhos futuros, os módulos dessa ferramenta podem ser programados para

abranger cada vez mais possibilidades de projeto. É possível expandir o programa para incluir

novos materiais, diferentes tipos de velas, diferentes combinações de arranjos estruturais e

etc. Isso tudo sem falar que outros fatores de projeto podem ser adicionados. Uma vez que o

modelo apresentado tenha se provado útil, as possibilidades são inúmeras

REFERÊNCIAS

[1] Microsoft, "Excel VBA (Visual Basic for Applications)," 2016. [Online]. Available:

https://msdn.microsoft.com/en-us/vba/vba-excel.

[2] Palisade, "@Risk v7.5.1," [Online]. Available: http://www.palisade.com/risk/.

[3] Microsoft, "Excel," 2016. [Online]. Available: https://products.office.com/en/excel.

[4] L. Larsson and R. Eliasson, Principles of Yacht Design, London: Adlard Coles Nautical,

2000.

[5] J. K. J. A. a. V. A. Gerritsma, "Sailing Yacht Performance in Calm Water and in Waves," in

Proceedings of the Eleventh Chesapeake Sailing Yacht Symposium, 1993.

[6] I. H. Abbott, Theory of Wing Sections Including a Summary of Airfoil Data, New York:

Dover Publications, Inc., 1959.

[7] P. v. Oossanen, "Predicting the Speed of Sailing Yachts," SNAME Transactions, vol. 101,

pp. 337-397, 1993.

[8] The Society of Naval Architects and Marine Engineers, Principles of Naval Architecture,

vol. III, E. V. Lewis, Ed., Jersey City, NJ: SNAME, 1989.

[9] A. E. L. Veiga, "Uma Contribuição ao Projeto Racional de Veleiros de Regata," UFRJ, Rio

de Janeiro, 2000.

176

[10] M. A. G. Ruggiero and V. L. d. R. Lopes, Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e

Computacionais, São Paulo: MAKRON Books do Brasil Editora Ltda..

[11] NBS, Nordic Boat Standard, Oslo: Det Norske Veritas Classification A/S, 1990.

[12] J. K. J. A. a. O. R. Gerritsma, "Sailing Yacht," in Proceedings of the Twelfth HISWA

Symposium on Yacht Design and Construction, Amsterdam, 1992.

[13] ITTC QS Group, in 8th International Towin Tank Conference, Madrid, 1957.

[14] P. v. Oossanen, "A Method for the Calculation of Resistance," in Calculator and

Computer-Aided Design for, 1981.

[15] L. Whicker and L. Fehlner, "Free-Stream Characteristics of a family of Low-Aspect Ratio,

All Moveable Control Surfaces for Application to Ship Design," David Taylor Model Basin

Report No. 933, 1958.

[16] S. F. Hoerner, Fluid-Dynamic Drag, Hoerner Fluid Dynamics, 1965.

[17] D. Gerr, The Elements of Boat Strength: for builders, designers and owners, Camden:

International Marine, 2000.

[18] Nova Scott Especialidades Químicas Ltda, "Gelcoat Crystic 15PA," Fevereiro 2013.

[Online]. Available: www.novascott.com.br.

[19] M. Kasten, "Essential Design Data," 2010. [Online]. Available:

http://www.kastenmarine.com/design_calcs.htm. [Accessed 18 November 2017].

[20] C. A. Marchaj, Sailing Theory and Practice, Putnam Pub Group, 1985.

[21] G. Trower, Yacht and Small Craft Construction: Design Decisions, Crowood, 1999.

[22] T. Whidden and M. Levitt, The Art and Science of Sails, St. Martin's Press, 1990.

Documents

Otimização e Incertezas para o Projeto Preliminar de Veleirosmonografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10023517.pdf · 2018. 4. 2. · Christo, Diogo Fernandes Otimização e