Otimização Multiobjectivo do Núcleo de uma Máquina ......Figura 10 - Curvas de densidades de perdas de VaCoFe para estampagem (ST), estampagem seguida de recozimento (STfA), corte

Otimização Multiobjectivo do Núcleo de uma Máquina Elétrica

usando uma liga de Vanádio-Cobalto

Pedro Pracash Claro Bhagubai

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Orientador: Prof. Dr. João Filipe Pereira Fernandes

Júri

Presidente: Prof.ª Dr.ª Célia Maria Santos Cardoso Jesus

Orientador: Prof. Dr. João Filipe Pereira Fernandes

Vogal: Prof. Dr. Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado

Junho 2019

I

DECLARAÇÃO

Declaro que o presente documento é um trabalho original da minha autoria e que cumpre todos os requisitos do

Código de Conduta e Boas Práticas da Universidade de Lisboa.

II

III

AGRADECIMENTOS

Agradeço imenso ao Professor João Fernandes pelo seu trabalho, ajuda e orientação, indispensáveis à realização

deste projeto. A oportunidade e confiança depositadas em mim são privilégios dos quais estou extremamente

grato.

Um agradecimento à equipa da Formula Student (FST) pela aquisição e teste do material de VaCoFe.

Aos meus pais e família agradeço o apoio e amor incondicionais que me permitiram chegar onde estou hoje.

Aos amigos e colegas um grande obrigado pelo humor e camaradagem neste caminho que percorremos.

À Bruna por toda a paciência, amor e carinho que me deram a força para continuar e enfrentar até os dias mais

difíceis.

IV

V

RESUMO

A procura pela inovação no campo das máquinas elétricas tem-se focado no aumento dos rendimentos e

densidades de potência elétrica, recorrendo a processos de otimização e à utilização de novos materiais. Um

material promissor para máquinas elétricas é a liga de Vanádio-Cobalto-Ferro (VaCoFe) que apresenta um elevado

ponto de saturação (2.2-2.4T), mas também perdas no ferro maiores que as ligas clássicas de Ferro-Silício (FeSi).

Neste trabalho pretende-se clarificar as condições em que as características de VaCoFe se apresentam vantajosas

numa máquina elétrica, especialmente nas relações entre rendimento, potência e volume.

Analisa-se a sua utilização num circuito magnético simples, um transformador monofásico, a partir do qual se

podem transpor conclusões para outras máquinas. Determinam-se experimentalmente as curvas B-H e de perdas

de cada material. Desenvolvem-se modelos eletromagnético e térmico no domínio da frequência, que permitem a

sua utilização em algoritmos de otimização. No modelo eletromagnético, a transformação para o domínio da

frequência é feita através de uma curva B-H equivalente, independente do tempo. O modelo térmico é baseado

num circuito equivalente de resistências térmicas. Os modelos são validados experimentalmente e recorrendo a

modelos em elementos finitos. Recorre-se a um algoritmo genético multiobjectivo para otimizar a geometria do

transformador, com núcleo de cada material, de modo a maximizar a potência e minimizar o volume.

Os resultados mostram que, para baixas frequências, a liga VaCoFe permite densidades de potência superiores

a transformadores de FeSi. No entanto, devido ao impacto das perdas no ferro e ao limite de temperatura imposto,

não é possível atingir o ponto de saturação do VaCoFe para frequências mais elevadas. Nestas últimas condições

não são claras as vantagens do VaCoFe em relação ao FeSi. Assim, a liga VaCoFe apresenta vantagens

relativamente ao FeSi para baixas frequências, que são minimizadas para frequências superiores.

Palavras-chave: Ligas de Cobalto, Ligas de Vanádio, Máquinas elétricas, Métodos de otimização, Rendimento

elétrico, Transformador.

VI

VII

ABSTRACT

Innovation in the field of electrical machines has been focused on increasing efficiencies and power densities

through the application of optimization techniques and new materials. The Vanadium-Cobalt alloy (VaCoFe) is a

promising material that presents a high saturation point (2.2-2.4T) but has higher losses than classical Silicon-Iron

alloys (FeSi). This work is presented in an attempt to clarify the conditions in which VaCoFe’s proprieties are

advantageous on the design of electrical machines, in particular in the relations between efficiency, power and

volume.

The application of VaCoFe in a simple magnetic circuit, a single-phase transformer, is analysed. Each material’s

B-H and losses curves are experimentally determined. Electromagnetic and thermal models are developed in

frequency domain, to be used in optimization tools. The electromagnetic model transformation to the frequency

domain is done through an equivalent B-H curve, independent of time. The thermal model is based on an

equivalent circuit of thermal resistances. The models are validated experimentally and with finite element models.

A multi-objective genetic optimization algorithm is applied to optimize the transformer’s geometry, maximizing

its output power and minimizing its volume, for VaCoFe and FeSi cores.

Results show that, for low frequencies, transformers with VaCoFe cores allow higher power densities than with

FeSi cores. However, for higher frequencies, the impact of higher core losses and the temperature limits imposed

prevent reaching the saturation point of the VaCoFe, such that the advantages of one material over the other are

not clear. Therefore, the new VaCoFe alloy presents clear advantages when compared to FeSi for low frequency

values, however, for higher ones these advantages are reduced.

Keywords: Cobalt Alloys, Electrical Machines, Electrical Performance, Optimization methods, Vanadium

Alloys, Transformers.

VIII

IX

ÍNDICE

Declaração ............................................................................................................................................................... I

Agradecimentos .................................................................................................................................................... III

Resumo .................................................................................................................................................................. V

Abstract............................................................................................................................................................... VII

Índice .................................................................................................................................................................... IX

Lista de Figuras .................................................................................................................................................... XI

Lista de Tabelas ................................................................................................................................................. XIII

Lista de Símbolos ............................................................................................................................................... XV

Lista de Acrónimos ........................................................................................................................................... XVII

1. Introdução .................................................................................................................................................. 1

1.1. Motivação ......................................................................................................................................... 1

1.2. Objetivos ........................................................................................................................................... 1

1.3. Estrutura da Tese .............................................................................................................................. 2

2. Estado da Arte ........................................................................................................................................... 5

2.1. Materiais Eletromagnéticos .............................................................................................................. 5

2.1. Algoritmos de Otimização Genéticos ............................................................................................. 12

3. Determinação de curvas B-H e de perdas ................................................................................................ 15

3.1. Circuito Magnético de Vanádio-Cobalto-Ferro .............................................................................. 15

3.2. Circuito Magnético de Ferro-Silício ............................................................................................... 16

3.3. Gerador de impulsos ....................................................................................................................... 16

3.4. Resultados experimentais ............................................................................................................... 17

4. Modelo Eletromagnético ......................................................................................................................... 19

4.1. Geometria do Transformador .......................................................................................................... 19

4.2. Circuito Equivalente ....................................................................................................................... 20

4.3. Curvas de Magnetização – B-H equivalente ................................................................................... 23

5. Modelo Térmico ...................................................................................................................................... 27

6. Validação dos Modelos ........................................................................................................................... 31

6.1. Transformador monofásico real ...................................................................................................... 31

6.2. Validação do modelo eletromagnético ............................................................................................ 32

6.3. Validação do modelo térmico ......................................................................................................... 37

7. Otimização de um Transformador Monofásico ....................................................................................... 39

7.1. Definição do Problema de Otimização ........................................................................................... 39

7.2. Algoritmo de Otimização ................................................................................................................ 40

7.3. Resultados ....................................................................................................................................... 41

8. Conclusão ................................................................................................................................................ 45

8.1. Trabalho Futuro .............................................................................................................................. 45

Referências ........................................................................................................................................................... 47

X

XI

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Saturação magnética em função da coercividade para vários tipos de materiais. Fonte: [1].................. 5 Figura 2 - Permeabilidade relativa de diferentes materiais em função do seu ponto de saturação. Fonte: [6].

Finemet, Nanoperm e Hipterm são designações comerciais para diferentes ligas nano-cristalinas. ....................... 6 Figura 3 - Perdas nos materiais para B = 1T para frequência a) 50Hz e b) 400Hz. Fonte: [1]. .............................. 6 Figura 4 - Curvas B-H de vários materiais e respetivas densidades de perdas. Fonte: [5]. ..................................... 7 Figura 5 - Distribuição do mercado global em 2015 de materiais ferromagnéticos por tipo de material. Fonte:

[6]. .......................................................................................................................................................................... 8 Figura 6 - Estrutura granular de VaCoFe a) sem tratamento térmico; b) com recozimento durante 2h a 760ºC; c)

com recozimento durante 3h a 850ºC. Fonte: [5]. ................................................................................................ 10 Figura 7 - Microscopia de arestas de chapa de VaCoFe a) cortadas por eletroerosão a fio; b) cortadas por

eletroerosão a fio seguido de recozimento; c) recozimento seguido de corte por eletroerosão. Fonte: [3]........... 10 Figura 8 - Microscopia da aresta de uma chapa de VaCoFe a) cortada por estampagem; b) estampada seguida de

recozimento; c) com recozimento seguida de estampagem. Fonte: [3]. ............................................................... 11 Figura 9 - Curvas B-H de VaCoFe para estampagem (ST), estampagem seguida de recozimento (STfA), corte

por eletroerosão a fio (ED), corte por eletroerosão seguido de recozimento (EDfA) e recozimento seguido de

corte por eletroerosão (AfED). Fonte: [3]. ........................................................................................................... 11 Figura 10 - Curvas de densidades de perdas de VaCoFe para estampagem (ST), estampagem seguida de

recozimento (STfA), corte por eletroerosão a fio (ED), corte por eletroerosão seguido de recozimento (EDfA) e

recozimento seguido de corte por eletroerosão (AfED) a a) 60Hz e b) 400Hz). Fonte: [3]. ................................ 12 Figura 11 - Procedimento de seleção de gerações do algoritmo NSGA-II. Fonte [7]. ......................................... 13 Figura 12 - Fluxograma do algoritmo NSGA-II. .................................................................................................. 14 Figura 13 - Esquema do circuito magnético de teste de VaCoFe. ........................................................................ 15 Figura 14 - Circuito magnético de teste de VaCoFe. a) Núcleo de VaCoFe utilizado; b) Circuito com

enrolamentos. ........................................................................................................................................................ 16 Figura 15 – a) Circuito magnético de teste de FeSi; b) Geometria do núcleo. ..................................................... 16 Figura 16 - Circuito gerador de pulsos utilizado no teste dos materiais. .............................................................. 17 Figura 17 - Propriedades magnéticas de VaCoFe e FeSi. a) Curvas B-H obtidas experimentalmente e ideal; b)

Curvas de densidade de perdas para 50Hz e 400Hz. ............................................................................................ 18 Figura 18 – Geometria do transformador estudada. .............................................................................................. 19 Figura 19 - Circuito equivalente em "T" do transformador. ................................................................................. 20 Figura 20 - Caminho médio no circuito magnético. ............................................................................................. 22 Figura 21 - H(t) para Bmax = 1.86 T obtido a partir da curva B-HDC de FeSi. .................................................. 24 Figura 22 - H(t) para Bmax = 1 T obtido a partir de curva B-HDC de FeSi. ....................................................... 24 Figura 23 - Exemplos de curvas B-H DC de FeSi e VaCoFe. .............................................................................. 25 Figura 24 - Curvas B-H equivalente obtidas para FeSi e VaCoFe. ...................................................................... 26 Figura 25 - Modelo aproximado do transformador do ponto de vista térmico ..................................................... 27 Figura 26 - Circuito térmico equivalente do transformador ................................................................................. 29 Figura 27 - a) Transformador monofásico em laboratório. b) Esquema e dimensões da geometria do

transformador ....................................................................................................................................................... 31 Figura 28 - Curva B-H DC de FeSi. ..................................................................................................................... 32 Figura 29 - Densidade de perdas no material de FeSi obtidas para frequência 50Hz e placa de espessura 0.3mm.

.............................................................................................................................................................................. 32 Figura 30 - Modelo FEM 2D utilizado. a) Geometria e materiais; b) Malha utilizada. ........................................ 34 Figura 31 - Circuito elétrico e ligação ao modelo eletromagnético. ..................................................................... 34 Figura 32 - Resultados dos modelos analítico (Anal.), FEM e experimentais (Exp.). Tensão no secundário para

circuito aberto a) R=Inf e carga b) R=200Ω, c) R=100Ω, d) R=60Ω. Corrente no e) primário e f) secundário.

Pot. ativa vista do g) primário e h) secundário. i) Pot. Aparente, j) Pot. de perdas. A tracejado estão

representados os resultados do modelo analítico (Anal.), a pontilhado os de FEM e a traço contínuo os

experimentais (Exp.). Curvas a preto, vermelho, azul e verde correspondem aos casos de R=Inf, 200Ω, 100Ω e

60Ω respetivamente .............................................................................................................................................. 36 Figura 33 - Modelo térmico FEM 3D. a) Geometria; b) Malha utilizada; c) Resultado da temperatura na

superfície para R=100 e Um=220V. ...................................................................................................................... 38 Figura 34 - Flowchart da avaliação das funções objetivo e restrições no algoritmo de otimização. .................... 40 Figura 35 - Resultados da otimização do transformador monofásico de FeSi e VaCoFe em função do volume do

seu núcleo para 1) 50Hz e 2) 400Hz. a) Potência de saída, b) rendimento c) perdas no núcleo, d) perdas nos

enrolamentos, e) indução magnética na coluna central, f) altura do núcleo g) largura do núcleo. ....................... 42

https://d.docs.live.net/bdba7fc791d67b62/Documents/transformador/doc/Dissertacao/Dissertacao_PB_Otimização_Núcleo_Máquina_de_VaCo.docx#_Toc12809165






































XII

Figura 36 - Resultados da otimização do transformador monofásico de FeSi e VaCoFe em função do volume do

seu núcleo para 1) 50Hz e 2) 400Hz. h) área da secção transversal da coluna central. ........................................ 43




XIII

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Temperaturas previstas pelos modelos analítico (Anal.) e FEM para diferentes tensões e cargas do

transformador. ...................................................................................................................................................... 38 Tabela 2 - Variáveis de otimização, descrição e intervalos de valores que podem tomar. ................................... 40 Tabela 3 - Características do circuito magnético de FeSi e VaCoFe a 50Hz. ....................................................... 43 Tabela 4 - Características do circuito magnético de FeSi e VaCoFe a 400Hz. ..................................................... 44

XIV

XV

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolo Descrição Unidade

𝛼𝐶𝑢 Coeficiente de temperatura do cobre 1/K

𝛽 Coeficiente de expansão volumétrico 1/K

𝜆1 Coeficiente de indução de dispersão no primário do transformador H

𝜆2 Coeficiente de indução de dispersão no enrolamento secundário H

𝜆2′ Coeficiente de indução de dispersão no secundário referente do primário H

𝜇𝑒𝑞 Permeabilidade magnética equivalente H/m

𝜇𝑣 Viscosidade dinâmica do ar kg/m·s

𝜌 Densidade do material kg/m3

𝜌𝐶𝑢 Resistividade do cobre Ω·s

𝜙𝑐 Fluxo magnético na coluna central do núcleo do transformador Wb

𝜙𝑙𝑎𝑡 Fluxo magnético na coluna lateral do núcleo do transformador Wb

𝜓1 Fluxo ligado ao enrolamento primário Wb·volta

𝜓2 Fluxo ligado ao enrolamento secundário Wb·volta

𝜔 Frequência angular elétrica rad/s

𝐴 Área de superfície m2

𝑨 Vetor potencial V·s·m-1

B Indução magnética T

𝐵𝑐 Indução magnética na coluna central do núcleo do transformador T

𝐵𝑙𝑎𝑡 Indução magnética na coluna lateral do núcleo do transformador T

𝑩 Vetor da indução magnética T

𝐶𝑝 Calor específico a pressão constante J/kg·K

𝑓 Frequência elétrica Hz

𝑔 Aceleração gravítica m/s2

ℎ𝑐𝑜𝑟𝑒 Altura do núcleo do transformador M

ℎ𝐶𝑢 Altura da janela disponível para enrolamento de cobre do núcleo do

transformador M

ℎ Coeficiente de convecção

𝐻𝑒𝑞 Intensidade de campo magnético equivalente A/m

H Intensidade de campo magnético A/m

𝑯 Vetor da intensidade de campo magnético A/m

𝐼1, 𝐼2 Amplitude complexa da corrente no primário e secundário do transformador

𝐼2′

Amplitude complexa da corrente no secundário do transformador referente do

primário

𝐼 Amplitude complexa da corrente de magnetização do circuito equivalente do

transformador

𝑱 Vetor de densidade de corrente A/m2

𝑘𝑠 Fator de empilhamento

𝑘 Condutividade térmica W/m·K

𝑙𝑐 Comprimento médio do troço central do circuito magnético m

𝑙𝑐𝑜𝑖𝑙 Comprimento médio de uma volta de enrolamento do transformador m

𝑙𝑙𝑎𝑡 Comprimento médio do troço lateral do circuito magnético m

𝐿𝑚 𝑒𝑞 Coeficiente de autoindução equivalente do primário do transformador H

𝐿 Comprimento característico da placa m

𝑙 Comprimento do percurso médio do circuito magnético m

N Número de elementos da população

XVI

𝑁1, 𝑁2 Número de voltas do enrolamento primário e secundário

Nger Número de gerações total

𝑁𝑢 Número de Nusselt

𝑚 Densidade de perdas no material do núcleo do transformador W/kg

𝑃1, 𝑃2 Potência no enrolamento primário e secundário do transformador W

𝑃𝐶𝑢 Potência de perdas nos enrolamentos W

𝑃𝐽 Potência de perdas por efeito Joule W

𝑃𝑚 Potência de perdas no núcleo do transformador W

𝑃𝑜𝑢𝑡 Potência de saída do transformador W

𝑃𝑟 Número de Prandtl

Pt Conjunto dos elementos da população da geração t

𝒒𝑟 Fluxo de calor por radiação W/m2

Qt Conjunto dos elementos de descendentes de Pt

𝑄𝑡𝑒𝑑 Energia por efeito termoelástico

𝑄 Energia de uma fonte de calor

𝒒 Fluxo de calor por condução W/m2

𝑟1, 𝑟2 Resistência do enrolamento primário e secundário do transformador Ω

𝑟2′ Resistência do enrolamento secundário do transformador referente do primário Ω

𝑅𝑎 Número de Rayleigh

𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 Resistência térmica de convecção K/W

𝑅𝑓𝑟 Resistência térmica de convecção da placa frontal K/W

𝑅𝑙𝑎𝑡 Resistência térmica de convecção da placa lateral K/W

𝑅𝑚 Resistência de perdas do núcleo do transformador K/W

Rt Conjunto união de Pt e Qt

𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Resistência térmica de convecção total equivalente do transformador K/W

𝑆1, 𝑆2 Amplitude complexa da potência aparente no primário e secundário do

transformador

𝑆𝑐 Área da secção transversal da coluna central do núcleo do transformador VA

𝑆𝐶𝑢 Área da secção do fio de cobre m3

𝑆𝑙𝑎𝑡 Área da secção transversal da coluna lateral do núcleo do transformador m3

𝑆 Área da secção do circuito magnético m3

𝑇𝑎𝑚𝑏 Temperatura ambiente K

𝑇𝑓 Temperatura de filme K

𝑇𝑆 Temperatura de superfície K

𝑈1, 𝑈2 Amplitude complexa da tensão no primário e secundário do transformador

𝑈2′

Amplitude complexa da tensão no secundário do transformador referente do

primário

𝑈𝑚 Amplitude complexa da tensão de magnetização do circuito equivalente do

transformador

𝒖𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 Vetor de velocidade translacional m/s

𝑉𝑐𝑜𝑟𝑒 Volume do núcleo do transformador m3

𝑣 Viscosidade cinética do ar m2/s

𝑚 Densidade de energia magnética W/m3

𝑤𝑐 Largura da coluna central do núcleo do transformador m

𝑤𝑐𝑜𝑟𝑒 Largura do núcleo do transformador m

𝑤𝐶𝑢 Largura da janela disponível para enrolamento de cobre do núcleo do

transformador m

𝑙𝑜𝑎𝑑′ Carga do transformador vista do primário Ω

XVII

LISTA DE ACRÓNIMOS

CoFe Liga de Cobalto-Ferro

EDM Usinagem por Eletroerosão

FEM Método de Elementos Finitos

FeSi Liga de Ferro-Silício

NiFe Liga de Ferro-Níquel

NSGA-II Algoritmo Genético de Ordenação Não dominada (Non-dominated Sorted Genetic Algorithm)

PMSM Máquina Síncrona de Ímanes Permanentes

SRM Máquina de Relutância Síncrona

VaCoFe Liga de Vanádio-Cobalto-Ferro

XVIII

1

1. Introdução

1.1. Motivação

A procura de máquinas elétricas com maiores densidades de potência e melhores rendimentos tem sido

constante em ambas comunidades científicas e industriais. Estes parâmetros são fonte de ganhos económicos

consideráveis uma vez que permitem a utilização de menos material na sua produção, menor peso e menor

consumo de energia ao longo do seu tempo de vida. Estas características também são vantajosas em aplicações

onde o armazenamento de energia é limitado, especialmente na área do transporte e mobilidade elétrica, onde o

peso e volume são parâmetros importantes. O desenvolvimento de máquinas elétricas tem sido feito a partir da

otimização das geometrias de máquinas clássicas existentes e com o desenvolvimento e aplicação de novos

materiais. Para além dos melhoramentos da liga de Ferro-Silício (FeSi) clássica e do desenvolvimento de

diferentes ligas de ferro, como Ferro-Níquel (NiFe) e Ferro-Cobalto (CoFe), têm sido explorados novos tipos de

materiais como compósitos, metais amorfos e nanocristalinos [1].

No entanto, as ligas de FeSi de grão não orientado continuam a constituir a maioria das máquinas elétricas [2].

Apesar do aumento da variedade de materiais oferecer um maior leque de possibilidades no desenho de novas

máquinas, estes são utilizados em aplicações muito específicas às suas características, tornando a sua escolha um

exercício crítico de análise de custo/benefício. Em geral, os parâmetros magnéticos desejados em máquinas são

permeabilidades magnéticas elevadas, altos pontos de saturação e baixos valores de perdas, de coercividade e de

ruído (magnetostrição). Para além dos parâmetros físicos, são relevantes parâmetros económicos como o preço

do material, a necessidade e custo de pós-processamento (recozimento, revestimento, etc…) e a sua

disponibilidade. O FeSi apresenta um bom equilíbrio entre estes parâmetros, não havendo ainda nenhum outro

material claramente mais vantajoso.

As ligas de Vanádio-Cobalto-Ferro (VaCoFe) apresentam os pontos de saturação mais elevados (cerca de 2.4T)

relativamente a outros materiais. Além disso, este apresenta-se mais forte mecanicamente do que as outras ligas

[1]. No entanto, este material apresenta, em geral, perdas magnéticas duas vezes superiores às de FeSi. Outra

desvantagem desta liga é o preço, sendo que devido à presença de Cobalto este torna-se no material mais caro. É

também de notar que as propriedades do material dependem altamente do seu pós-processamento (corte,

temperatura de recozimento, tipo de revestimento), havendo uma relação inversa entre força mecânica e ponto de

saturação & perdas magnéticas [3] [4].

Devido às suas propriedades mecânicas superiores adicionadas ao seu ponto de saturação elevado, põe-se a

possibilidade da construção de máquinas com volumes mais baixos, maiores potências e velocidades de rotação

do que máquinas comuns de FeSi. Sugere-se que este material é adequado a aplicações em máquinas com altas

velocidades de rotação e em sistemas especializados como motores e geradores aeronáuticos e em veículos

elétricos, onde a minimização do volume pode gerar ganhos consideráveis [1] [5]. Por outro lado, as suas perdas

maiores indicam rendimentos mais baixos que podem, ou não, ser compensados pela redução de volume.

A liga VaCoFe surge então como um material promissor, não muito explorado, que, com o tempo, pode surgir

como alternativa ao FeSi. Apresenta-se este trabalho no sentido de clarificar as condições em que as características

de VaCoFe se apresentam adequadas no desenho de uma máquina elétrica, especialmente nas relações entre

rendimento, potência e volume. Para tal, analisa-se a sua utilização num circuito magnético simples, na forma de

um transformador monofásico, a partir do qual se podem transpor conclusões para outros tipos de máquina

específicos.

1.2. Objetivos

O objetivo principal do trabalho é esclarecer as circunstâncias em que a utilização da liga de VaCoFe é vantajosa

em conversores eletromecânicos face à liga clássica de FeSi.

Para tal pretende-se determinar experimentalmente as características magnéticas do VaCoFe e FeSi e compará-

las para uma análise preliminar. Como caso de estudo estas ligas são aplicadas ao núcleo magnético de um

transformador e os seus desempenhos são comparados. Para isto, é necessário desenvolver modelos

eletromagnético e térmico do transformador no domínio da frequência, para que se possam aplicar na otimização

2

da geometria do transformador monofásico com núcleo de FeSi e de VaCoFe, com o objetivo de maximizar a

potência de saída e minimizar o volume, recorrendo a um algoritmo genético de otimização multiobjectivo. Os

modelos analíticos no domínio da frequência, comparados com modelos em elementos finitos (FEM), permitem

um menor custo computacional durante a execução do algoritmo genético de otimização cuja natureza é iterativa.

Assim, como a curva B-H que descreve os materiais é apenas válida no tempo, é preciso desenvolver e aplicar-

lhe uma transformação que permita obter uma curva B-H equivalente, válida para o domínio da frequência. Esta

transformação permite desenvolver um modelo eletromagnético no domínio da frequência. Pela mesma razão o

modelo térmico deve recorrer a um circuito equivalente térmico cujos resultados são válidos para regime

estacionário, independentes do tempo.

Por fim, pretende-se analisar os resultados da influência do núcleo de VaCoFe na potência e volume do

transformador e transpor as conclusões para a aplicação do VaCoFe em conversores eletromecânicos.

1.3. Estrutura da Tese

A tese está organizada em capítulos correspondentes a cada objetivo apresentado:

• Capítulo 2 – Estado da Arte: Apresenta-se uma análise das propriedades dos vários materiais

ferromagnéticos utilizados em conversores eletromecânicos e as suas aplicações. Dá-se especial

atenção à liga de VaCoFe e à influência dos processos de manufatura nas suas propriedades. Discutem-

se as suas aplicações através de estudos da sua utilização em máquinas elétricas. Para além disso,

introduz-se o conceito de algoritmo genético e descreve-se o algoritmo NSGA-II aplicado no trabalho.

• Capítulo 3 – Determinação de Curvas B-H e de Perdas: Apresentam-se circuitos magnéticos

constituídos por laminações de FeSi e VaCoFe presentes em laboratório. Descreve-se a metodologia

seguida e circuito utilizado para medir as curvas B-H recorrendo aos circuitos magnéticos.

Apresentam-se as respetivas curvas de densidade de perdas. Analisam-se e comparam-se as

características magnéticas de cada material.

• Capítulo 4 – Modelo Eletromagnético: Descreve-se o tipo de geometria do transformador monofásico

que se pretende utilizar como aplicação. Desenvolve-se um modelo eletromagnético que descreve esse

tipo de transformador monofásico. O modelo eletromagnético é baseado no circuito equivalente de

Steinmetz do transformador para o domínio da frequência. Isto por se pretender a sua aplicação num

algoritmo de otimização. Apresenta-se o método utilizado para transformar uma curva B-H válida no

tempo numa curva B-H equivalente válida na frequência que permite obter o modelo eletromagnético

apresentado.

• Capítulo 5 – Modelo Térmico: Apresenta-se o modelo térmico do tipo de transformador utilizado

como aplicação. O modelo térmico recorre a um circuito equivalente constituído por resistências

térmicas de convecção correspondentes a cada face do transformador e os seus enrolamentos e núcleo

como fontes de calor. Descrevem-se as expressões para cálculo das resistências de convecção que

recorre a fórmulas e constantes experimentais. Como os valores das resistências de convecção

dependem da temperatura do próprio transformador o modelo desenvolvido é iterativo.

• Capítulo 6 – Validação dos Modelos: Os modelos eletromagnético e térmico apresentados são

validados experimentalmente e recorrendo a modelos FEM. Desenvolve-se um modelo FEM 2D

eletromagnético que simula o transformador. O modelo é constituído pela combinação de um modelo

físico e circuito elétrico externo. Descreve-se um transformador presente em laboratório e a

metodologia utilizada para o testar. Para validar o modelo térmico, desenvolve-se um modelo FEM

3D que considera os fenómenos de convecção e condução. Os resultados obtidos experimentalmente

e com os modelos FEM e analíticos são comparados permitindo a validação dos últimos.

• Capítulo 7 – Otimização de um Transformador Monofásico: Descreve-se o método de aplicação dos

modelos utilizados no algoritmo genético de otimização multiobjectivo NSGA-II. Otimiza-se a

geometria do transformador monofásico de modo a maximizar a potência de saída e minimizar o seu

volume para um núcleo de VaCoFe e de FeSi para as frequências de 50Hz e 400Hz. Os resultados

obtidos para cada material correspondentes à última geração são comparados entre si. Selecionam-se

duas soluções de cada otimização para a mesma potência de saída e faz-se uma comparação direta

entre elas.

3

• Capítulo 8 – Conclusão: Apresentam-se as principais conclusões retiradas dos resultados obtidos ao

longo da tese. Estas são discutidas do ponto de vista da aplicação do VaCoFe em conversores

eletromecânicos. Por fim sugerem-se temas para trabalhos futuros e de continuação do trabalho

realizado no sentido do estudo de aplicações específicas da liga de VaCoFe tendo em conta as

conclusões apresentadas em relação a este material.

4

5

2. Estado da Arte

2.1. Materiais Eletromagnéticos

As características dos conversores eletromecânicos dependem grandemente do material escolhido para formar

os seus estatores e rotores. Este constitui grande parte dos custos da máquina, do seu peso, volume, rendimento e

dissipação térmica. Uma vez que estas aplicações são em corrente alternada (AC), são utilizados materiais com

baixa dureza magnética que não resistem à alternância de fluxo magnético, apresentando baixos valores de

coercividade. Para além da baixa coercividade, preferem-se permeabilidades magnéticas elevadas, altos pontos

de saturação e baixos valores de perdas e de ruído (magnetostrição). Para além disso, são relevantes parâmetros

económicos como o preço do material, a necessidade e custo de pós-processamento (recozimento, revestimento,

etc…) e a sua disponibilidade.

Altos pontos de saturação permitem atingir valores de densidade de potência mais elevados e, por isso,

máquinas com menores volumes. A coercividade magnética relaciona-se com o comportamento de histerese entre

indução magnética e intensidade de campo nos materiais sendo que o seu valor se relaciona com as perdas por

histerese. Em adição às perdas por histerese têm-se perdas por correntes induzidas que dependem principalmente

da resistividade elétrica do material e da espessura das laminações. Muitas vezes é necessário um pós-

processamento dos materiais para atingirem as suas propriedades magnéticas e mecânicas ótimas. Este

processamento inclui o recozimento do material e seu revestimento para além do corte ou moldagem para as

formas desejadas.

Os materiais ferromagnéticos utilizados são, em geral, ligas metálicas sob várias formas como ligas de Ferro-

Silício, de Níquel-Ferro ou de Cobalto-Ferro, ligas amorfas, nano-cristalinas ou compósitos. Nas Figuras Figura

1 a Figura 4 apresentam-se os valores de saturação magnética, coercividade, densidade de perdas e as curvas de

magnetização para os metais referidos.

Figura 1 - Saturação magnética em função da coercividade para vários tipos de materiais. Fonte: [1].

6

Figura 2 - Permeabilidade relativa de diferentes materiais em função do seu ponto de saturação. Fonte: [6].

Finemet, Nanoperm e Hipterm são designações comerciais para diferentes ligas nano-cristalinas.

a) b)

Figura 3 - Perdas nos materiais para B = 1T para frequência a) 50Hz e b) 400Hz. Fonte: [1].

7

Figura 4 - Curvas B-H de vários materiais e respetivas densidades de perdas. Fonte: [5].

Ferro-Silício

Os materiais mais utilizados em máquinas elétricas são baseados em ligas de FeSi (Figura 5) [6]. Estas ligas

apresentam-se em dois tipos: grão orientado (GO) e grão não-orientado (NO). As primeiras apresentam

propriedades magnéticas anisotrópicas, sendo mais utilizadas em transformadores e aplicações onde o fluxo

magnético é unidirecional. Em máquinas elétricas é utlizada a variedade NO que apresenta propriedades

isotrópicas. Ligas de FeSi NO apresentam tipicamente 1% a 3% de Silício uma vez que a sua adição diminui a

condutividade elétrica do material e aumenta a sua rigidez. No entanto isto leva a uma diminuição do seu ponto

de saturação, da permeabilidade e aumento da sua fragilidade [1].

O material é utilizado muitas vezes sem recozimento uma vez que o pós-processamento, em geral, apresenta

ganhos baixos comparativamente ao seu custo e ao aumento do tempo de manufatura.

No sentido de minimizar as perdas magnéticas neste tipo de ligas têm-se observado dois tipos de abordagem.

Uma consiste em aumentar o conteúdo de Silício até 6.5% nestas ligas recorrendo a processos de manufatura

diferentes a custo de densidades de fluxo menores e de tornar o material mais quebradiço. A outra consiste em

fabricar laminações mais finas que as típicas de 0.5mm podendo atingir os 0.1mm de espessura. Isto diminui

substancialmente as correntes induzidas e, por consequente, as perdas no material [5].

Sendo o material menos custoso no presente e as suas propriedades magnéticas equilibradas, retira-se que as

ligas de FeSi apresentam-se como a solução mais equilibrada para a maior parte das máquinas elétricas de

utilização geral.

8

Figura 5 - Distribuição do mercado global em 2015 de materiais ferromagnéticos por tipo de material. Fonte:

[6].

Níquel-Ferro

Com a liga de NiFe é possível produzir laminações que apresentam entre as menores perdas magnéticas devido

à sua baixa coercividade (𝐻𝑐~0.3A/m) e altas permeabilidades magnéticas (𝜇𝑟~105). Assim apresentam-se

promissoras no contexto de pequenas máquinas de altas velocidades de rotação. A grande desvantagem é o baixo

valor de saturação (até 1T).

Tipicamente o conteúdo de Níquel encontra-se entre os 40% a 50%, sendo que a permeabilidade e a

condutividade elétrica aumentam quanto maior for o seu conteúdo. Este tipo de ligas requere um pós-

processamento custoso, sendo necessário um recozimento a altas temperaturas (>1100ºC) e o revestimento de

uma superfície de óxido [5].

Em termos de custo o NiFe apresenta-se entre o FeSi clássico e as ligas de CoFe mais caras.

Este material é utilizado em motores elétricos onde as perdas e temperaturas são críticas em indústrias como a

aeronáutica e em aplicações médicas [6].

Materiais Amorfos e Nano-cristalinos

Materiais magnéticos amorfos e nano cristalinos são obtidos a partir do rápido arrefecimento de um metal

derretido dando origem a finas tiras de material. O rápido arrefecimento permite a rápida fixação das moléculas

de ferro dando origem a uma estrutura fracamente cristalina e desorganizada.

Estes materiais apresentam perdas muito baixas devido à sua estrutura muito fina, com espessuras típicas

inferiores a 0.025mm, e à sua estrutura não cristalina. Estes são constituídos por ligas resultantes da combinação

de Ferro ou Cobalto com elementos metaloides como Boro, Silício, Fósforo ou Carbono. Em geral, materiais

baseados em Cobalto apresentam estado amorfo e os baseados em Ferro atingem o estado nano cristalino. A

presença de um elemento deste segundo grupo é essencial para que seja possível que a liga atinja um estado de

desorganização atómica (amorfo) em oposição a uma estrutura cristalina. A estrutura amorfa permite atingir

resistências elétricas elevadas e uma coercividade muito baixa (~0.2A/m). Para além disso, obtêm-se materiais

muito resistentes mecanicamente, apesar de quebradiços (baixa elasticidade). e com um baixo ponto de saturação

magnético (<1.3T) [6] [7].

Os materiais amorfos são utilizados geralmente na área da eletrónica e em sensores onde é necessária uma alta

sensibilidade aos campos magnéticos. No contexto de máquinas elétricas, devido à pequena espessura das tiras, a

geometria não pode ser baseada no empilhamento do material, pelo que a sua aplicação neste contexto tem vindo

a ser explorada no desenvolvimento de novas geometrias [6].

Os materiais nano-cristalinos baseados em Ferro apresentam um ponto de saturação superior aos amorfos para

as mesmas permeabilidades como se pode observar na Figura 1.

Em aplicações onde as perdas são críticas e se exigem altas permeabilidades os materiais nano cristalinos

apresentam-se como opções relevantes. A sua grande desvantagem é a sua fragilidade superior aos materiais

amorfos, apresentando elasticidades muito baixas. Por estas razões têm vindo a ser utilizados principalmente em

transformadores de alta frequência [1].

9

Compósitos magnéticos

Compósitos magnéticos (SMC) são constituídos por finas partículas de Ferro ou de ligas de Ferro como Ferro-

Fósforo, Ferro-Silício e Ferro-Cobalto. Núcleos formados com estes materiais são construídos por compactação

do pó nas formas desejadas. A grande vantagem desta construção é a possibilidade de construção de núcleos com

formas não convencionais. Sendo constituídos por peças individuais em vez de laminações e apresentando o

compósito baixa anisotropia, abre-se a possibilidade de tirar proveito de fluxos magnéticos tridimensionais na

construção de máquinas [8]. No entanto, como os núcleos são construídos por compactação a solidez dos mesmos

não é tão grande, apresentando resistências mecânicas menores que as de ligas metálicas laminadas. Do ponto de

vista das propriedades magnéticas os compósitos não se apresentam muito vantajosos, apresentando baixos pontos

de saturação (~1.5T) e baixa permeabilidade (𝜇𝑟~103), no entanto são relevantes as baixas perdas obtidas graças

à constituição do material. Sendo feito de pequenas partículas, a indução de correntes é feita em caminhos mais

pequenos, limitados ao tamanho das mesmas [5].

A exploração de geometrias de fluxo tridimensionais pode resultar em melhorias de rendimento e redução de

volume. É também possível contruir pólos arredondados permitindo enrolamentos mais justos e curtos. Máquinas

com fluxo transversal ou axial tiram partido da redução do comprimento de enrolamentos, de perdas no cobre e

no volume [6] .

Cobalto-Ferro

A adição de Cobalto ao Ferro permite que este tipo de ligas apresente o maior valor de saturação magnética de

entre os materiais apresentados (2.4T). O conteúdo de Cobalto varia entre 15% a 49%. Em termos de custos,

devido ao elevado preço do Cobalto, esta liga apresenta-se como a mais cara em relação a ligas de FeSi e de NiFe.

Sendo que este tem o maior impacto no custo, ligas com percentagens mais baixas de cobalto apresentam um

compromisso entre propriedades magnéticas e preço do material [8]. As propriedades mecânicas e magnéticas da

liga variam com a relação entre os elementos sendo que uma percentagem entre os 40% e 49% de Cobalto resulta

no maior ponto de saturação e de forças mecânicas. No entanto, observou-se que uma liga binária de FeCo

apresenta baixa ductilidade o que dificulta o seu processamento em chapas ou tiras adequadas para a construção

de máquinas elétricas. A adição de pequenas percentagens de Vanádio (<3%) contribui para a melhoria da

ductilidade do material bem como para o aumento da sua resistividade elétrica, mantendo a elevada resistência

mecânica do material. Por outro lado, a adição de um terceiro elemento prejudica o alto ponto de saturação

apresentado, pelo que a maior parte das ligas comercializadas apresenta apenas cerca de 2% de vanádio [9]. O

material suporta também altos valores de temperatura sem perder propriedades de magnetização, com uma

temperatura de Curie aproximadamente de 950ºC. No entanto, apresenta uma elevada coercividade quando

comparado com outros materiais (30-80A/m), o que resulta em perdas por histerese maiores [4] [5].

Refere-se que, ao contrário dos outros materiais, as propriedades mecânicas e magnéticas de ligas de FeCo e

NiFe são muito sensíveis à pureza do material e ao seu pós-processamento. No caso de FeCo, a pureza do material

influencia a coercividade e, portanto, perdas por histerese tal que, mantendo um teor de impurezas muito baixo,

se podem atingir coercividades até 20A/m e permeabilidades relativas na ordem dos 𝜇𝑟~2 × 104, podendo este

apresentar-se vantajoso em relação ao FeSi [6].

Em termos de pós-processamento, em particular durante o recozimento, existe uma relação inversa entre

propriedades mecânicas e magnéticas. O recozimento do material deve ser feito numa atmosfera fechada em

hidrogénio ou em vácuo, entre os 704ºC e 871ºC durante 2h a 4h. Dentro destes limites, quanto maior a

temperatura do tratamento térmico maior será o tamanho dos grãos no material [5]. Na Figura 6, onde se

apresentam as estruturas granulares para uma chapa de VaCoFe para diferentes tratamentos térmicos, é possível

observar este efeito. A magnetização dos materiais depende dos domínios magnéticos formados que estão

relacionados com a estrutura e tamanho dos seus grãos. Maiores grãos levam a domínios magnéticos maiores e,

por isso, a maiores pontos de saturação e menores coercividades. No entanto, quanto maiores forem os grãos

menor será a elasticidade e resistência do material a forças de tração. Para além do tamanho dos grãos, o

recozimento também afeta a própria estrutura do material sendo que esta se apresenta com uma estrutura cada vez

mais definida com o aumento da temperatura durante o tratamento [5].

10

Figura 6 - Estrutura granular de VaCoFe a) sem tratamento térmico; b) com recozimento durante 2h a 760ºC;

c) com recozimento durante 3h a 850ºC. Fonte: [5].

Outra fase de processamento do material que tem impacto nas propriedades das ligas de FeCo é o corte das

chapas. O tipo de corte escolhido para o material durante a manufatura pode ser causador de deterioração do

mesmo o que afeta as suas propriedades magnéticas. O recozimento do material é um processo que pode suavizar

esse impacto. Assim, a ordem seguida entre corte e recozimento durante a manufatura tem um impacto importante

no produto final.

Em [3] analisam-se dois tipos de corte, o tradicional corte por estampagem e o corte por eletroerosão a fio (wire

EDM), antes e depois do recozimento. A eletroerosão a fio é um processo onde um fio de cobre ou estanho e o

material são imersos num líquido dielétrico. O fio funciona como elétrodo onde se aplica um potencial elevado

causando descargas elétricas entre o fio e o material. As descargas elétricas desgastam o material e a

movimentação do fio dá forma ao corte. Este processo permite obter formas mais elaboradas e mais precisas que

com a estampagem. Apresenta-se uma análise microscópica das arestas de chapas metálicas cortadas por

eletroerosão a fio antes e depois do recozimento apresentam-se na Figura 7. As zonas acobreadas designam zonas

com Cobre.

Figura 7 - Microscopia de arestas de chapa de VaCoFe a) cortadas por eletroerosão a fio; b) cortadas por

eletroerosão a fio seguido de recozimento; c) recozimento seguido de corte por eletroerosão. Fonte: [3].

As curvas B-H do material cortado por eletroerosão a fio seguido de recozimento (EDfA) e recozimento seguido

por corte a eletroerosão a fio (AfED) apresentam-se na Figura 9. Retira-se das figuras que este tipo de corte

contamina o material com Cobre tendo implicações na diminuição do seu ponto de saturação e no aumento das

suas perdas. Verifica-se também que o recozimento do material seguido do corte contribui para uniformizar a

distribuição do Cobre ao longo da aresta (Figura 7c)) o que, apesar de não alterar o ponto de saturação reduzido,

tem efeitos positivos na amenização das perdas, como se pode observar na Figura 10 onde se apresentam as curvas

de perdas para cada processamento.

O corte por estampagem é feito recorrendo a uma prensa que pressiona uma lâmina com a forma desejada

contra uma chapa de material. As curvas B-H do material cortado por estampagem seguido de recozimento (STfA)

e de recozimento seguido de estampagem (AfST) apresentam-se na Figura 9. Retira-se que o stress deste processo

no material altera a sua estrutura e tem efeitos adversos nas suas perdas e ponto de saturação. Arestas de corte por

estampagem antes e depois do recozimento apresentam-se na Figura 8. É possível verificar o efeito do recozimento

seguido ao corte na homogeneização da estrutura física da aresta, corrigindo a deterioração causada pelo corte.

a) b) c)

a) b) c)

11

Figura 8 - Microscopia da aresta de uma chapa de VaCoFe a) cortada por estampagem; b) estampada seguida

de recozimento; c) com recozimento seguida de estampagem. Fonte: [3].

Analisando as Figuras Figura 9 e Figura 10 retira-se que o processamento que resulta nas propriedades

magnéticas ótimas é o corte por estampagem seguido do tratamento térmico. Observa-se também que a sequência

de corte e recozimento é mais crítica no caso da estampagem. Neste caso, o corte depois do recozimento apresenta

propriedades magnéticas muito diferentes quando comparado com o recozimento depois do corte. Por outro lado,

no caso do corte por eletroerosão a fio a sequência entre corte e recozimento afeta principalmente as perdas,

mantendo-se o ponto de saturação semelhante.

Devido às suas características mecânicas, térmicas e magnéticas, o material diz-se adequado em aplicações

onde o volume é um parâmetro importante, para altas velocidades de rotação e em situações onde as temperaturas

atingidas são elevadas como na indústria aeronáutica.

Figura 9 - Curvas B-H de VaCoFe para estampagem (ST), estampagem seguida de recozimento (STfA), corte

por eletroerosão a fio (ED), corte por eletroerosão seguido de recozimento (EDfA) e recozimento seguido de

corte por eletroerosão (AfED). Fonte: [3].

a) b) c)

12

Figura 10 - Curvas de densidades de perdas de VaCoFe para estampagem (ST), estampagem seguida de

recozimento (STfA), corte por eletroerosão a fio (ED), corte por eletroerosão seguido de recozimento (EDfA)

e recozimento seguido de corte por eletroerosão (AfED) a a) 60Hz e b) 400Hz). Fonte: [3].

Alguns estudos comparativos entre VaCoFe e FeSi têm sido feitos. No caso de máquinas de relutância síncrona

(SRM) de alta velocidade de rotação observam-se resultados mistos. Em [10] otimizou-se a geometria de duas

máquinas com a mesma dimensão (diâmetro e comprimento) para várias potências e velocidades (0.8-8kW 5 000-

50 000rpm) e mostra-se que o VaCoFe é a melhor solução até uma certa velocidade de rotação (25 000rpm) a

partir da qual o FeSi apresenta melhores rendimentos. Isto devido às maiores perdas no núcleo de VaCoFe e

temperaturas superiores atingidas. Em [11] a análise do impacto da substituição de FeSi por VaCoFe numa

máquina SRM de alta velocidade (300kW 100,000rpm) sugere uma redução na massa da máquina de 30% e uma

melhoria do seu rendimento de 40% para 90%. Em [12] construíram-se duas máquinas de indução de alta

velocidade (20kW 30 000rpm) com VaCoFe e FeSi. Mostrou-se um rendimento ligeiramente maior para a

máquina de VaCoFe à custa de temperaturas de operação mais elevadas, não sendo clara a vantagem da sua

utilização face ao seu preço. Para aplicações em veículos, mostram-se vantagens na substituição do FeSi por

VaCoFe em máquinas síncronas de ímanes permanentes (PMSM) sendo apresentados ganhos de 20% a 53% no

binário nominal e até 20% na potência nominal [13] [14] [15].

2.1. Algoritmos de Otimização Genéticos

O desenho de máquinas elétricas requer atingir vários objetivos que podem não ser coincidentes como por

exemplo aumento da potência e diminuição do volume. Por esta razão, o uso de algoritmos multiobjectivo permite

descobrir as melhores geometrias que permitem a construção de máquinas ótimas adaptadas aos requerimentos

desejados. Devido às complexidades dos problemas enfrentados e dos vários tipos de equações físicas envolvidas,

os algoritmos de otimização multiobjectivo mais explorados no desenho de máquinas são genéticos.

Os algoritmos genéticos são inspirados em conceitos da biologia evolucionária tais como indivíduos

pertencentes a populações, reprodução, mutação e seleção natural. Tal como através da evolução biológica é

possível selecionar as espécies mais adaptadas partindo de um conjunto inicial extremamente variado de espécies,

é possível aplicar os mesmos mecanismos evolutivos para encontrar soluções ótimas para problemas

computacionais complexos e de grandes dimensões.

No caso de problemas de otimização, uma população é constituída por um conjunto de indivíduos que

representam candidatos a solução. O código genético de cada indivíduo é representado por um vetor de otimização

que gera valores de funções objetivo. Toda população pode ser representada num espaço formado pelo conjunto

a que pertencem as funções objetivo, onde cada ponto representa um indivíduo. Depois de gerar uma população

aleatória, um algoritmo genético típico ordena os indivíduos de melhor para pior com base no valor das funções

objetivo atingidos por cada um. De seguida, escolhe alguns dos melhores pares de indivíduos para se reproduzirem

e recombina os seus códigos genéticos para formar dois descendentes por par. Esses descendentes são passíveis

de sofrerem mutações aleatórias. Os indivíduos que não se reproduziram juntam-se aos descendentes para formar

a) b)

13

uma nova geração. Itera-se este processo ao longo de um certo número de gerações até se obterem soluções

aproximadamente ótimas. Para toda a população representada no espaço das funções objetivo, os indivíduos

ótimos encontram-se na chamada frente de Pareto. Idealmente, havendo convergência, na infinitésima geração as

soluções na frente de Pareto, serão aquelas em que já não é possível melhorar um dos objetivos sem prejudicar o

outro, sendo estas as soluções ótimas [16].

No caso da aplicação de algoritmos genéticos a problemas de otimização multiobjectivo, a operação de

ordenação dos indivíduos de melhor para pior tem uma complexidade crescente com o cubo da dimensão do

problema [17]. Para além disso, os algoritmos genéticos, dependendo das funções objetivo, têm tendência para

convergir para um mínimo local, mesmo com a introdução de mutações aleatórias. Isto porque se favorecem os

melhores indivíduos de uma geração para a outra e se descartam outros que, dadas algumas gerações, poderiam

evoluir para soluções melhores que os primeiros [16].

Diferenças entre vários algoritmos genéticos encontram-se na escolha de estratégias de seleção de indivíduos

para reprodução, de recombinação de genes e de escolha de indivíduos para a geração seguinte, que permitam

combater as desvantagens apresentadas.

Algoritmo NSGA-II

O algoritmo NSGA-II (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm) [17], em particular, apresenta um método

ordenação mais rápida, mecanismos de preservação dos melhores indivíduos de uma geração para a outra

(elitismo) e de garantia de uma boa distribuição de indivíduos no espaço das funções objetivo. As primeiras

características melhoram o desempenho do algoritmo em termos de complexidade e velocidade, e a segunda

combate o problema de convergência para mínimos locais.

Descreve-se de forma geral o processo do algoritmo NSGA-II. Dados uma população aleatória da geração t, Pt,

de N elementos e os seus descendentes, Qt, com o mesmo tamanho, estes são unidos num conjunto Rt com 2N

elementos. As funções objetivo são avaliadas para cada elemento de Rt. Os elementos de Rt são, então, ordenados

através de um processo denominado non-dominated sorting. Neste processo, os indivíduos são ordenados

consoante os seus valores de funções objetivo e restrições. Indivíduos que não violem as restrições e não sejam

dominados por nenhum outro elemento da população em ambos objetivos são identificados como pertencentes a

uma frente F1; indivíduos que não são dominados em nenhum dos objetivos a não ser por elementos de F1 são

identificados numa frente F2, etc. Os elementos que violem restrições são ordenados pelo quanto estas são

violadas e organizados em frentes subsequentes. Para a geração seguinte, Pt+1, são selecionadas as frentes por

ordem crescente. Este processo garante elitismo das melhores soluções. Caso a última frente tenha elementos em

excesso, estes são ordenados por um processo denominado crowding distance sorting. Neste processo os

elementos que se encontram mais isolados no espaço das funções objetivo são preferenciais a elementos que se

encontram rodeados ou perto de grupos. Define-se um parâmetro, corwding distance, que quantifica este

isolamento. Este processo garante a distribuição dos elementos pelo espaço das funções objetivo. Obtém-se assim

a população para a geração seguinte com N elementos, Pt+1. Este processo encontra-se esquematizado na Figura

11, retirada de [17].

Figura 11 - Procedimento de seleção de gerações do algoritmo NSGA-II. Fonte [7].

14

De entre a nova população, a seleção para reprodução é feita recorrendo a um torneio binário. Neste processo,

escolhe-se aleatoriamente um par de elementos de Pt+1 para serem comparados em relação à frente a que pertencem

e à sua medida de crowding distance. O torneio é vencido pelo elemento que pertence à melhor frente. Entre

elementos que pertençam à mesma frente, prefere-se o mais isolado. O elemento que vence o torneio é selecionado

para se reproduzir. O processo repete-se para se obter outro progenitor. Os progenitores são então combinados

num processo de cross-over. Metade dos genes de cada um deles são selecionados aleatoriamente e combinados

dando origem a um filho. O segundo filho é resultado da combinação dos genes não selecionados de cada

progenitor. Estes filhos são sujeitos a mutação aleatória com uma certa probabilidade. Caso uma mutação ocorra,

escolhe-se um gene aleatoriamente que é alterado para um outro valor dentro do intervalo a que pertence. Os

processos de torneio, cross-over e mutação repetem-se até se atingirem N descendentes, agrupados num conjunto

Qt+1. Este é unido ao conjunto Pt+1 formando Rt+1, repetindo-se os processos descritos anteriormente até se

atingirem o número de gerações definido.

A solução final apresenta-se numa só frente, a frente de Pareto, que contém as soluções mais ótimas. O processo

completo apresenta-se esquematizado na Figura 12, onde t é o número da geração, Nger é o número de gerações

total definido e N é o número de elementos de uma população.

Figura 12 - Fluxograma do algoritmo NSGA-II.

15

3. Determinação de curvas B-H e de perdas

Neste capítulo determinam-se experimentalmente as curvas B-H de VaCoFe e de FeSi. Para obter as curvas,

construíram-se circuitos magnéticos com um enrolamento primário e um secundário. Uma tensão é então imposta

no primário e no secundário mede-se a tensão induzida a partir da qual se estima a indução magnética no núcleo.

Para evitar atingir os limites de temperatura devido a correntes elétricas elevadas, utilizou-se um gerador de

impulsos em vez de uma onda sinusoidal. Assim, é possível atingir valores de corrente e campo magnético

superiores e, por isso, níveis de saturação dos materiais mais elevados. Assim, a utilização de impulsos permite

uma caracterização mais completa dos limites magnéticos dos materiais.

3.1. Circuito Magnético de Vanádio-Cobalto-Ferro

A geometria do circuito magnético de teste utilizado apresenta-se na Figura 13. O núcleo do circuito é

constituído por 19 laminações de VaCoFe retangulares de 55x35mm, Figura 14a). Os enrolamentos primário e

secundário encontram-se em lados opostos do circuito, Figura 14b).

A liga de VaCoFe utilizada é fabricada pela Carpenter sob a designação Hiperco® 50, sendo constituída

principalmente por cerca de 49% de Cobalto e 2% de Vanádio [18], tendo um ponto de saturação entre 2.0 e 2.4T.

O material é fornecido sob a forma de chapas sem o processamento final que permite atingir as propriedades

magnéticas ótimas. O processamento recomendado pelo fabricante é o de um tratamento térmico (recozimento)

das chapas numa atmosfera fechada em hidrogénio ou em vácuo, entre os 704ºC e 871ºC durante 2h a 4h. Refere-

se que, dentro dos limites, quanto maior a temperatura do tratamento melhores serão as propriedades magnéticas

sacrificando-se, no entanto, as mecânicas (força de tração e elasticidade). Alerta-se também para a importância de

um ambiente livre de contaminantes uma vez que estes podem ter efeitos adversos no resultado final [18].

Para além da influência do tratamento térmico nas propriedades magnéticas, verifica-se que estas também

variam com o tipo de corte das chapas e da sua sequência com o tratamento térmico [3]. Em [3] analisam-se dois

tipos de corte, estampagem e eletroerosão a fio (wire EDM), antes e depois do recozimento. Conclui-se que o

único processo que permite atingir os 2.4T de saturação é o corte por estampagem seguido de recozimento. O

material testado em laboratório foi primeiro cortado por eletroerosão a fio seguido de recozimento. Assim, prevê-

se uma redução do seu ponto de saturação para os 2.0T de acordo com [3].

Figura 13 - Esquema do circuito magnético de teste de VaCoFe.

16

a) b)

3.2. Circuito Magnético de Ferro-Silício

O circuito magnético de teste de FeSi apresenta-se na Figura 15a). Este circuito pré-existente é constituído por

40 pares de laminações “E-I” formando um núcleo com 2cm de espessura, Figura 15b). Os enrolamentos primário

e secundário encontram-se no troço central do núcleo.

3.3. Gerador de impulsos

Utiliza-se o circuito apresentado na Figura 16, ligado ao primário do circuito magnético, para gerar os impulsos

necessários ao teste dos materiais. No circuito, a fonte DC carrega o condensador, C, que, com a ativação de S, é

descarregado no primário do circuito magnético, criando um impulso de corrente. Os díodos D1, D2 e a

resistência, R, são elementos de proteção contra polarização inversa e sobrecorrentes.

Registam-se num osciloscópio a corrente elétrica no enrolamento primário e a tensão induzida no secundário.

A corrente é utilizada para se estimar o valor da intensidade de campo magnético, H, a partir da Lei de Ampère

(1.1). No caso do circuito de VaCoFe, a intensidade de campo é dada por (1.2), onde 𝑙=156mm é o comprimento

do percurso médio, e no caso de FeSi por (1.3) onde o comprimento característico é dado por (𝑙𝑐 + 𝑙𝑙𝑎𝑡)=130mm.

𝑁1 é o número de voltas do enrolamento primário.

∮𝑯(𝑡) ∙ 𝑑𝒍𝑐

= ∫𝑱 ⋅ 𝒏 𝑑𝑆𝑆

(1.1)

Figura 15 – a) Circuito magnético de teste de FeSi; b) Geometria do núcleo.

a) b)

Figura 14 - Circuito magnético de teste de VaCoFe. a) Núcleo de VaCoFe utilizado; b)

Circuito com enrolamentos.

17

𝐻𝑉𝑎𝐶𝑜𝐹𝑒(𝑡) =𝑁1𝑖1(𝑡)

𝑙(1.2)

𝐻𝐹𝑒𝑆𝑖(𝑡) =𝑁1𝑖1(𝑡)

( 𝑙𝑐 + 𝑙𝑙𝑎𝑡) (1.3)

A tensão induzida é registada para estimar a indução magnética, B, recorrendo-se à Lei de Faraday (2), onde 𝑆

é a área de secção transversal do circuito no enrolamento secundário e 𝑁2 o seu número de espiras. Aplicam-se

impulsos de amplitude crescente até se atingir a saturação. Para cada impulso, registam-se os valores de 𝐻(𝑡) e

𝐵(𝑡). Estes valores são desenhados num gráfico em função um do outro, obtendo-se assim a curva B-H de cada

material.

∮𝑬 ⋅ 𝑑𝒍𝐶

= −𝑑

𝑑𝑡∫𝑩 ⋅ 𝐧 𝑑𝑆𝑆

⇒

⇒ 𝐵(𝑡) =1

𝑁2𝑆∫𝑢2(𝑡)𝑑𝑡 (2)

3.4. Resultados experimentais

As curvas B-H obtidas experimentalmente para o FeSi e o VaCoFe apresentam-se na Figura 17a), bem como a

curva ideal do VaCoFe prevista em [3] para o processamento ótimo (corte por estampagem seguido do tratamento

térmico). Observa-se que, como esperado, devido ao processamento do material o ponto de saturação obtido para

o VaCoFe em laboratório é menor que o da curva ideal. Para além disso, é necessária uma intensidade de campo

magnético muito maior no material testado para atingir os mesmos valores de densidade de campo que na curva

ideal, ou seja, a permeabilidade magnética medida é menor que a ideal.

Comparando VaCoFe com FeSi, a indução magnética máxima obtida no primeiro caso é maior e, idealmente,

a sua permeabilidade magnética também. No entanto, observa-se que as curvas de VaCoFe e FeSi obtidas

experimentalmente apresentam permeabilidades comparáveis. Os pontos do joelho das curvas encontram-se

aproximadamente nos (1.35T, 1400A/m) para o FeSi e nos (1.8T, 800A/m) para o VaCoFe ideal.

Em relação às perdas magnéticas nos materiais, apresentam-se na Figura 17b) as curvas de perdas dadas pelos

fabricantes para o VaCoFe e FeSi. Observa-se que, para as frequências apresentadas, o VaCoFe apresenta uma

densidade de perdas superior. Isto, juntamente com a permeabilidade magnética maior, sugere inicialmente que

máquinas construídas com VaCoFe possam atingir potências superiores à custa de rendimentos inferiores em

relação a máquinas de FeSi.

Figura 16 - Circuito gerador de pulsos utilizado no teste dos materiais.

18

a) b)

Figura 17 - Propriedades magnéticas de VaCoFe e FeSi. a) Curvas B-H obtidas experimentalmente e ideal;

b) Curvas de densidade de perdas para 50Hz e 400Hz.

19

4. Modelo Eletromagnético

O tempo que um algoritmo de otimização demora a obter uma solução depende, em grande parte, do modelo

utilizado para representar o objeto em estudo. Para se obter resultados do algoritmo de otimização em tempo

viável, é necessário um modelo do transformador que possa ser resolvido com o mínimo custo computacional. No

caso do transformador, as propriedades relevantes a modelar são as eletromagnéticas e térmicas. Um modelo

eletromagnético relaciona as grandezas elétricas, como tensões e correntes, com as grandezas magnéticas, como

fluxos magnéticos e intensidades de campo magnético, que determinam o funcionamento do transformador.

Em geral, estes modelos podem ser analíticos ou numéricos, como por exemplo, baseados em métodos de

elementos finitos (FEM). Modelos analíticos recorrem a equações matemáticas para descrever os fenómenos

físicos. Soluções analíticas são obtidas a partir de aproximações das leis físicas. Modelos baseados em FEM

consistem na divisão do sistema em parcelas mais pequenas (elementos finitos) descritas por equações de Maxwell

locais, onde os campos são descritos como funções de base (lineares, quadráticas, cúbica, etc). Estas dão origem

a um sistema de equações matricial que descreve todo o sistema e cuja solução é aproximada numericamente e

que satisfaz as equações de Maxwell em todo o domínio do problema.

Devido à natureza dos dois tipos de modelo, em geral um modelo analítico é mais rápido computacionalmente

quando comparado a um método FEM, se bem que à custa de aproximações físicas. Por essa razão, prefere-se a

utilização de um modelo analítico rápido com aproximações adequadas, tal que as suas soluções sejam

aproximadamente iguais às obtidas a partir de um FEM. Note-se que, mesmo os modelos FEM possuem

aproximações devido à aplicação de condições fronteira, como por exemplo, devido à limitação geométrica do

problema. Assim, modelos FEM também possuem aproximações que, em certas condições, podem incluir erros

superiores às dos modelos analíticos.

A análise do transformador está focada num regime estacionário, sinusoidal a frequência constante. Logo é

possível utilizar um modelo analítico baseado num circuito elétrico equivalente. Neste capítulo, começa-se com a

análise da geometria em estudo, segue-se a descrição do circuito equivalente e determinação dos seus parâmetros

e, por fim, descreve-se a aproximação utilizada para fenómenos não lineares, nomeadamente devido à curva B-H

do material.

4.1. Geometria do Transformador

O tipo de geometria do transformador em estudo é apresentado na Figura 18. O núcleo é simétrico com três

colunas verticais e duas horizontais. A coluna central possui uma secção quadrada de área 𝑤𝑐 × 𝑤𝑐 e as laterais

uma secção retangular de 𝑤𝑐 × 𝑤𝑐/2. Isto permite que o fluxo magnético nas colunas laterais seja metade do fluxo

central 𝜙𝑐 = 2𝜙𝑙𝑎𝑡 , e que a indução magnética seja igual em ambas as secções, 𝐵𝑐 = 𝐵𝑙𝑎𝑡. Os enrolamentos

primário e secundário encontram-se na coluna central. Cada enrolamento ocupa metade das janelas de área

ℎ𝐶𝑢 × 𝑤𝐶𝑢. Considera-se que o número de voltas de cada enrolamento é o mesmo e com o mesmo tipo de fio de

cobre.

Figura 18 – Geometria do transformador estudada.

20

4.2. Circuito Equivalente

Utiliza-se um modelo baseado no circuito equivalente de Steinmetz em ‘T’ do transformador (Figura 19) no

domínio da frequência [19]. Assim é possível tirar partido da rapidez computacional de uma formulação em

amplitudes complexas, ao invés de uma formulação no domínio do tempo. No entanto, o custo da escolha deste

modelo é a necessidade de aproximar o funcionamento não linear do transformador à aplicação do esquema

equivalente. Em particular, as características do núcleo, descritas pela curva B-H do material invalidam a definição

de um coeficiente de coeficiente de indução constante no tempo. Como tal, introduz-se um material equivalente,

linear ao longo do tempo, descrito por uma curva B-H equivalente. Esta é obtida a partir da curva B-H(t), e

aproxima o material original. Torna-se possível definir um coeficiente de coeficiente de indução equivalente, que

varia com a amplitude do campo.

Figura 19 - Circuito equivalente em "T" do transformador.

O circuito equivalente é constituído por parâmetros concentrados que representam quantidades físicas. 𝑟1

representa a resistência do enrolamento primário. É dada por (3) onde 𝑆𝐶𝑢 é a área da secção do fio de cobre, 𝑁1

é o número de voltas do primário e 𝑙𝑐𝑜𝑖𝑙 é o comprimento médio de uma volta do enrolamento. 𝜌𝐶𝑢 é a resistividade

do fio de cobre, que se considera dependente da temperatura de forma aproximadamente linear (4). Considera-se

𝛼𝐶𝑢 = 0.00404 K−1, o coeficiente de temperatura do cobre [20], e 𝜌0(𝑇𝑎𝑚𝑏 = 293.15 K) = 1.68 × 10

−8 Ω ∙ 𝑚,

a resistividade do Cobre à temperatura de 20ºC.

𝑟1 =𝜌𝐶𝑢 𝑁1 𝑙𝑐𝑜𝑖𝑙

𝑆𝐶𝑢(3)

𝜌𝐶𝑢(𝑇) = 𝜌𝐶𝑢(𝑇𝑎𝑚𝑏)[1 + 𝛼𝐶𝑢(𝑇 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)] (4)

𝑈1 e 𝐼1 são as amplitudes complexas da tensão e corrente no primário, 𝑙𝑜𝑎𝑑′ é a carga vista do primário e 𝜆1 é

o coeficiente de indução de dispersão. Neste caso, considera-se que a dispersão é suficientemente pequena que

pode ser negligenciada, 𝜆1 ≈ 0 e 𝜆2′ ≈ 0. As quantidades 𝑟2

′, 𝜆2′ , 𝑈2

′ e 𝐼2′ são referentes ao secundário, mas vistas

do primário. Relacionam-se com as quantidades vistas do secundário através da razão do número de voltas dos

enrolamentos (5.1 – 5.4).

𝑈2′ = −

𝑁1𝑁2𝑈2 (5.1)

𝐼2′ = −

𝑁2𝑁1𝐼2 (5.2)

𝜆2′ = (

𝑁1𝑁2)2

𝜆2 (5.3)

𝑟2′ = (

𝑁1𝑁2)2

𝑟2 (5.4)

𝑈𝑚 e 𝐼 são a tensão e a corrente no ramo de magnetização do circuito, ambas referidas ao primário. 𝑅𝑚 é a

21

resistência de perdas do núcleo e 𝐿𝑚 𝑒𝑞 é o coeficiente de autoindução equivalente do primário. Ambas 𝑅𝑚 e 𝐿𝑚 𝑒𝑞

dependem da geometria do núcleo, das características do material e do campo aplicado.

A tensão 𝑈𝑚 relaciona-se com o fluxo magnético no tronco central, 𝜙, pela Lei de Faraday (6).

∮𝑬 ⋅ 𝑑𝒍𝐶

= −𝑑

𝑑𝑡∫𝑩 ⋅ 𝐧 𝑑𝑆𝑆

⇒

⇒ 𝑢𝑚(𝑡) = 𝑁1𝑑𝜑

𝑑𝑡(6)

Sendo a tensão no primário sinusoidal, a tensão de magnetização e o fluxo também o são (aproximadamente),

(7) e (8), onde 𝑈𝑚 e 𝛷 são os valores eficazes da tensão de magnetização e do fluxo magnético na coluna central

do núcleo e 𝜔 a frequência angular elétrica. A relação entre as amplitudes é dada por (9).

𝑢𝑚(𝑡) = √2𝑈𝑚 cos(𝜔𝑡) (7)

𝜙(𝑡) =1

𝑁1∫𝑢𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 =

√2𝑈𝑚𝜔𝑁1

sin(𝜔𝑡) = √2Φsin(𝜔𝑡) (8)

Φ =𝑈𝑚𝜔𝑁1

(9)

Sob a forma de amplitudes complexas tem-se (10) e (11).

𝑈𝑚 = √2𝑈𝑚𝑒𝑗0º = √2𝜔𝑁1Φ (10)

= Φ𝑒−𝑗90º =√2𝑈𝑚𝑗𝜔𝑁1

(11)

Devido à simetria do circuito, e tendo em conta a conservação de fluxo, tem-se 𝜙 = 𝜙𝑐 = 2𝜙𝑙𝑎𝑡 . O fluxo

magnético é definido a partir da sua densidade numa secção por (12), onde 𝑩(𝑡) é o vetor de indução magnética

numa superfície 𝑆 com vetor unitário normal 𝒏. Assumindo que a indução magnética se distribui uniformemente

no circuito, tem-se B constante em cada uma das secções. Além disso, sendo 𝜙 sinusoidal no tempo, B também o

será. Obtém-se 𝐵𝑐(𝑡) no tronco central (13), e 𝐵𝑙𝑎𝑡(𝑡) em cada lateral (14).

𝜙(𝑡) = ∫𝑩(𝑡) ⋅ 𝐧 𝑑𝑆S

(12)

𝐵𝑐(𝑡) =𝜙(𝑡)

𝑆𝑐(13)

𝐵𝑙𝑎𝑡(𝑡) =𝜙(𝑡)

𝑆𝑙𝑎𝑡=𝜙(𝑡)

2𝑆𝑙𝑎𝑡(14)

Devido à geometria do núcleo, tem-se que 𝑆𝑐 = 2𝑆𝑙𝑎𝑡 , o que resulta numa indução magnética constante em

todo o núcleo, 𝐵(𝑡) = 𝐵𝑐(𝑡) = 𝐵𝑙𝑎𝑡(𝑡), o que resulta na relação com a tensão 𝑈𝑚 em (15).

𝐵(𝑡) = √2𝐵 sin(𝜔𝑡)

𝐵 =Φ

𝑆𝑐=

𝑈𝑚𝜔𝑁1𝑆1

(15)

A corrente de magnetização, 𝐼, divide-se numa componente de perdas, 𝐼𝑅, e numa componente de

22

magnetização do núcleo, 𝐼𝐿𝑒𝑞. A parcela da corrente de magnetização 𝐼𝐿𝑒𝑞

é necessária para magnetizar o núcleo

e gerar a intensidade de campo H. Esta corrente relaciona-se com H pela Lei de Ampère (16), onde 𝑯(𝑡) é o vetor

de intensidade de campo magnético, 𝑐 um caminho fechado percorrido no sentido de 𝒍 um vetor unitário. 𝑱 é a

densidade de corrente elétrica que atravessa a superfície 𝑆 apoiada em 𝑐 com normal unitária 𝒏.

O campo H relaciona-se no tempo com a indução magnética B através de uma curva B-H que caracteriza o

material do núcleo magnético. No entanto, sendo esta curva não linear, o campo H correspondente a um B

sinusoidal no tempo, não será sinusoidal. Por isso, utiliza-se no seu lugar uma curva equivalente.

A curva B-H equivalente relaciona o valor eficaz de B sinusoidal, com o valor eficaz de um H fictício, também

sinusoidal no tempo em fase com B, 𝐻𝑒𝑞(𝐵) = √2𝐻𝑒𝑞(𝐵) sin(𝜔𝑡). Este valor é determinado de forma a que a

energia magnética média no circuito seja igual nos dois casos. Este processo de conversão será detalhadamente

apresentado na secção 4.3.

Aplicando a Lei de Ampére (16) ao caminho de integração constituído pelo caminho médio do núcleo,

apresentado na Figura 20, obtém-se a relação entre o campo magnético e a componente da corrente de

magnetização 𝐼𝐿𝑒𝑞, (20). O troço central tem comprimento 𝑙𝑐 e os laterais têm comprimento 𝑙𝑙𝑎𝑡 . Como 𝐵 =

𝐵𝑐 = 𝐵𝑙𝑎𝑡 da geometria do núcleo, tem-se que 𝐻𝑐(𝐵𝑐) = 𝐻𝑙𝑎𝑡(𝐵𝑙𝑎𝑡) = 𝐻(𝐵), logo resulta (18).

∮𝑯(𝑡) ∙ 𝑑𝒍𝑐

= ∫𝑱 ⋅ 𝒏 𝑑𝑆𝑆

(16)

⇒ 𝐻𝑐(𝐵𝑐) 𝑙𝑐 + 𝐻𝑙𝑎𝑡(𝐵𝑙𝑎𝑡) 𝑙𝑙𝑎𝑡 = 𝑁1𝑖𝑚(𝑡, 𝐵) (17)

⇒ 𝑖𝑚(𝑡, 𝐵) =1

𝑁1∙ 𝐻(𝑡, 𝐵) ∙ ( 𝑙𝑐 + 𝑙𝑙𝑎𝑡) (18)

Utilizando-se a curva B-H equivalente obtém-se uma corrente sinusoidal (19) que resulta em (20), sob a forma

de amplitude complexa.

𝑖𝑚𝑒𝑞(𝑡, 𝐵) = √2𝐼𝑚𝑒𝑞(𝐵) sin(𝜔𝑡) = 𝐻𝑒𝑞(𝐵, 𝑡) ∙

( 𝑙𝑐 + 𝑙𝑙𝑎𝑡)

𝑁1= √2𝐻𝑒𝑞(𝐵) sin(𝜔𝑡) ∙


𝑁1(19)

𝐼𝐿𝑒𝑞= (√2𝐻𝑒𝑞(𝐵) ∙


𝑁1 ) 𝑒−𝑗90º (20)

Considerando a aproximação realizada da curva B-H equivalente, o sistema resultante será linear. Nestas

condições o coeficiente de indução visto do primário, 𝐿𝑚 𝑒𝑞, define-se como o quociente entre o fluxo ligado ao

enrolamento primário, 𝜓1(𝑡) = 𝑁1𝜙(𝑡) = √2𝑁1Φsin(𝜔𝑡), e a parcela da corrente de magnetização que o gera,

𝑖𝑚𝑒𝑞(𝑡, 𝐵) (21). Esta fórmula pode ser aplicada já que tanto o fluxo como a corrente são alternados sinusoidais.

𝐿𝑚 𝑒𝑞 =𝜓1(𝑡)

𝑖𝑚𝑒𝑞(𝑡, 𝐵)

=𝑁1Φ

𝐼𝑚𝑒𝑞

=𝑁1𝑈𝑚

𝐻𝑒𝑞(𝐵) ∙ ( 𝑙𝑐 + 𝑙𝑙𝑎𝑡) ∙ 𝜔(21)

Figura 20 - Caminho médio no circuito magnético.

23

A resistência 𝑅𝑚 é obtida a partir de uma curva de perdas magnéticas do material. Esta fornece a densidade de

perdas no material, 𝑚, para um certo valor de amplitude de B. Esta amplitude é determinada a partir de 𝑈𝑚 por

(15), obtendo-se da curva a densidade de perdas para todo o núcleo, onde B se assume constante. As perdas totais

no núcleo são dadas por (22) onde 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑒 é o volume do núcleo.

𝑃𝑚 = 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑒 𝑚 (22)

No circuito equivalente, as perdas totais no material dissipam-se em 𝑅𝑚. Logo é obtido a partir de 𝑈𝑚 por (23).

𝑅𝑚 =(𝑈𝑚)

2

𝑃𝑚(23)

Do circuito retiram-se equações que permitam obter tensões e corrente no primário e secundário a partir de uma

certa tensão de magnetização (24.1 – 24.5).

𝐼′2 =𝑚

𝑟2′ + 𝑍𝑙𝑜𝑎𝑑

′ (24.1)

𝑈′2 = 𝑍𝑙𝑜𝑎𝑑′ 𝐼2 (24.2)

𝐼 =𝑈𝑚

(𝑅𝑚 ∥ 𝑗𝜔𝐿𝑚𝑒𝑞)(24.3)

𝐼1 = 𝐼 + 𝐼′2 (24.4)

𝑈1 = 𝑟1𝐼1 + 𝑈𝑚 (24.5)

4.3. Curvas de Magnetização – B-H equivalente

O material que constituí o núcleo do transformador é descrito, do ponto de vista eletromagnético, pelas suas

relações constitutivas 𝑩(𝑯). Estas relações determinam o grau de magnetização atingido para um certo campo

aplicado, ou seja, qual a intensidade de campo magnético atingida para uma certa indução magnética. As relações

constitutivas têm a forma em (25), onde 𝜇 é a permeabilidade magnética.

𝑩(𝑯) = 𝜇𝑯 (25)

Em materiais ferromagnéticos, a relação 𝑩(𝑯) não é linear, tal que a permeabilidade depende da própria

intensidade de campo magnético. Estes materiais são constituídos, geralmente, por ferro ou ligas de ferro e

apresentam uma permeabilidade relativa, μr = 𝜇/𝜇0, elevada. Torna-se possível assim construir circuitos

magnéticos onde as linhas de fluxo podem ser guiadas para obter os efeitos desejados, como no núcleo de um

transformador.

A relação 𝑩(𝑯) é geralmente apresentada graficamente na forma de uma curva B-H, que relaciona as normas

dos vetores B e H, obtida experimentalmente pelo fornecedor do material

Para o transformador, a quantidade imposta é a tensão no primário e, por consequente, a tensão de magnetização

𝑈𝑚. Isto resulta em B imposto sinusoidal, (26), devido a (15).

𝐵(𝑡) = √2𝐵 sin(𝜔𝑡) (26)

Obtém-se, a partir da curva B-HDC, o valor da intensidade do campo magnético 𝐻(𝐵) dependendo do valor de

𝐵. Se a amplitude de 𝐵 for tal que se encontra na zona linear da curva, 𝐻(𝐵) será aproximadamente sinusoidal.

Se a amplitude se aproximar de valores na zona de saturação, 𝐻(𝐵) será marcadamente não sinusoidal. Apresenta-

24

se na Figura 22 um exemplo do primeiro caso e na Figura 21 para o segundo caso. Ambas foram obtidas a partir

da curva B-HDC de Ferro-Silício (FeSi) apresentada na Figura 23.

O objetivo de uma curva B-H equivalente é obter uma relação linear entre B e H, ou seja, uma permeabilidade

magnética equivalente constante, 𝜇𝑒𝑞, dependente da excitação, de forma a aproximar o material não linear a outro

material linear com a mesma densidade de energia magnética. Sendo Heq equivalente sinusoidal e linear com B

(27), obtém-se uma relação entre os seus valores eficazes (28).

𝐻𝑒𝑞(𝑡) = √2𝐻𝑒𝑞 sin(𝜔𝑡) (27)

𝐵 = 𝜇𝑒𝑞 𝐻𝑒𝑞 (28)

Existem vários métodos para se obter uma permeabilidade equivalente, para uma formulação baseada em Heq

sinusoidal, ou seja, em que o H é a grandeza imposta [21]. Porém para o caso do transformador o que é imposto

é a tensão de magnetização e, consequentemente, o valor do B no núcleo. Desta forma será necessário adaptar os

métodos em [21] para um campo B imposto e sinusoidal.

O método escolhido é análogo ao descrito em [21] como Método da Energia Média (Average Energy Method).

Neste método, considera-se que o valor médio da energia magnética se conserva. Assim, Heq equivalente é uma

sinusoide com a amplitude necessária para gerar a mesma energia média que H real, para a mesma amplitude de

Figura 22 - H(t) para Bmax = 1 T obtido a partir de curva B-HDC de FeSi.

Figura 21 - H(t) para Bmax = 1.86 T obtido a partir da curva B-HDC de FeSi.

25

B. A partir da curva B-HDC, a densidade de energia média para uma onda de período T é dada por (29). Nota-se

que 𝐻(𝐵) obtido a partir da curva B-HDC tem simetria de quarto de período.

⟨𝑚⟩ =4

𝑇∫ (∫ 𝐻(𝐵)𝑑𝐵

𝐵(𝑡)

𝐵(0)

)

𝑇4

0

𝑑𝑡 (29)

A partir do campo magnético equivalente, Heq, a densidade de energia média é dada por (30).

⟨𝑚⟩ =1

2⟨𝐻𝑒𝑞𝐵⟩ =

1

2

𝐵2

𝜇𝑒𝑞 (30)

Igualando (29) e (30) obtém-se a definição da permeabilidade equivalente, 𝜇𝑒𝑞, (31) e o valor eficaz de Heq

(32).

𝜇𝑒𝑞 =𝐵2

8𝑇 ∫

(∫ 𝐻(𝐵)𝑑𝐵𝐵(𝑡)

𝐵(0)) 𝑑𝑡

𝑇40

(31)

𝐻𝑒𝑞 =𝐵

𝜇𝑒𝑞=1

𝐵 8

𝑇∫ (∫ 𝐻(𝐵)𝑑𝐵

𝐵(𝑡)

𝐵(0)

)

𝑇4

0

𝑑𝑡 (32)

A curva B-H equivalente é obtida aplicando-se a equação (32) para determinar 𝐻𝑒𝑞 para valores crescentes de

B. Note-se que, para determinar 𝐻𝑒𝑞 é necessário calcular 𝐻(𝑡) para cada instante de tempo, durante um quarto

de período, a partir da curva B-HDC. Além disso, o cálculo dos integrais é feito recorrendo-se a métodos numéricos.

Isto torna a obtenção da curva um processo potencialmente pesado computacionalmente quando comparado a

outros métodos mais simples. No entanto, é possível determinar um número de pontos limitado da curva e

interpolá-los. Por outro lado, a curva equivalente é característica do material sendo válida independentemente da

geometria. Além disso é o que mais se adequa aos objetivos do trabalho, uma vez que se está interessado em

otimizar geometrias do transformador do ponto de vista energético (rendimento e potência). Desta forma pode-se

determinar a curva B-H equivalente à priori do processo de otimização.

Apresentam-se exemplos de curvas B-HDC da liga de Vanádio-Cobalto (VaCoFe) e de Ferro-Silício (FeSi) na

Figura 23 e as suas curvas equivalentes na Figura 24.

Figura 23 - Exemplos de curvas B-H DC de FeSi e VaCoFe.

26

Figura 24 - Curvas B-H equivalente obtidas para FeSi e VaCoFe.

27

5. Modelo Térmico

A temperatura é uma restrição importante no desenho de um transformador. O aquecimento do equipamento

afeta o seu próprio funcionamento devido ao efeito na resistência dos enrolamentos, e à sua viabilidade devido

aos limites térmicos do isolante do fio de cobre. Torna-se, por isso, relevante ter um modelo que permita estimar

a temperatura dependente do ponto de funcionamento do transformador.

As principais fontes de calor são perdas por efeito Joule nos enrolamentos e no núcleo do transformador, por

histerese ou correntes turbilhonares. As perdas estão representadas no esquema equivalente pela resistência 𝑅𝑚,

para o núcleo do transformador, e 𝑟1 e 𝑟′2, para as perdas nos enrolamentos. A potência de Joule total é dada por

(33).

𝑃𝐽 = 𝑃𝑚 + 𝑃𝐶𝑢 =(𝑈𝑚)

2

𝑅𝑚+ (𝑟1𝐼1

2 + 𝑟′2𝐼′22) (33)

Os mecanismos de transferência de calor mais relevantes neste caso são o de condução e convecção térmicas.

Sendo metálicos os materiais do transformador (Cobre e ligas de Ferro) com coeficientes de condução elevados,

o mecanismo limitador da transferência de calor é a convecção natural entre a superfície do transformador e o ar.

Optou-se por modelar as transferências de calor com um circuito térmico equivalente, análogo a um circuito

elétrico. Neste circuito a fonte de calor é equivalente a uma corrente elétrica e a temperatura a uma tensão elétrica.

As resistências são resistências térmicas por convecção, desprezando-se as por condução. Estas correspondem às

superfícies através do qual se transfere calor para o ar. Considera-se uma geometria simplificada em que o

transformador é aproximado por um paralelepípedo, cujas faces são placas verticais e horizontais. Existe

convecção em 5 das suas faces, estando a base sem contacto com o ar. Considera-se que o calor transferido em

cada uma das faces é constante e que, em equilíbrio, atingem a mesma temperatura. Apresenta-se uma

representação deste modelo na Figura 25.

Figura 25 - Modelo aproximado do transformador do ponto de vista térmico

A transferência de calor por convecção é descrita pela Lei do arrefecimento de Newton [22] dada por (34) onde

ℎ é o coeficiente de convecção, 𝐴 é a área da superfície e (𝑇𝑆 − 𝑇𝑎𝑚𝑏) a diferença de temperatura entre a superfície

e o ambiente. A resistência de convecção é definida por (35).

𝑃𝐽 = ℎ𝐴(𝑇𝑆 − 𝑇𝑎𝑚𝑏) ⇒ (𝑇𝑆 − 𝑇𝑎𝑚𝑏) = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑃𝐽 (34)

𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 =1

ℎ ∙ 𝐴(35)

Sendo a convecção um fenómeno não linear, dependente de vários parâmetros, incluindo da geometria da

superfície e das características do fluído, o coeficiente ℎ é definido a partir de constantes determinadas

experimentalmente, dependentes dessas características. Neste exemplo do transformador foram considerados

diferentes os coeficientes de convecção para as superfícies verticais e horizontais, hvert e hhor, respetivamente por

28

(36) e (37). Nestes 𝑘 é a condutividade térmica do fluído, 𝑁𝑢 é o número de Nusselt, dependente do fluído e da

geometria da superfície, e 𝐿 um comprimento característico da geometria. 𝑁𝑢 e 𝐿 são constantes cujas fórmulas

são obtidas experimentalmente.

ℎ𝑣𝑒𝑟𝑡 = 𝑘 ∙𝑁𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡𝐿𝑣𝑒𝑟𝑡

(36)

ℎℎ𝑜𝑟 = 𝑘 ∙𝑁𝑢ℎ𝑜𝑟𝐿ℎ𝑜𝑟

(37)

O número de Nusselt para placas verticais é dado por (38) e para placas horizontais por (40), e os comprimentos

característicos por (39) e (41) respetivamente [22].

𝑁𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡 =

0.825 +0.387 ∙ (𝑅𝑎)

16

[1 + (0.492𝑃𝑟

)

916]

827

(38)

𝐿𝑣𝑒𝑟𝑡 = ℎ𝑐𝑜𝑟𝑒 (39)

𝑁𝑢ℎ𝑜𝑟 = 0.54 ∙ (𝑅𝑎)14 (40)

𝐿ℎ𝑜𝑟 =𝐴𝑟𝑒𝑎

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟=

𝑤𝑐𝑜𝑟𝑒 ∙ 𝑑𝑐𝑜𝑟𝑒2(𝑤𝑐𝑜𝑟𝑒 + 𝑑𝑐𝑜𝑟𝑒)

(41)

Os números de Rayleigh, 𝑅𝑎, são dados por (42) e (43) [22]. Estes dependem do número de Prandtl, 𝑃𝑟, da

diferença de temperatura entre a superfície e o ambiente e de parâmetros dependentes da mesma. 𝑇𝑆 e 𝑇𝑎𝑚𝑏 são a

temperatura da superfície e a temperatura ambiente, 𝑔 a aceleração gravítica, 𝑣 a viscosidade do fluído e 𝛽 o

coeficiente de expansão em volume. 𝛽 é dado por (44) onde 𝑇𝑓 =𝑇𝑆+𝑇𝑎𝑚𝑏

2 é a média da temperatura da superfície

e do ambiente (film temperature). O número de Prandtl é adimensional e característico do fluído, neste caso o ar,

sendo dado por (45) onde 𝜇𝑣 é a viscosidade dinâmica do ar, 𝑘 a sua condutividade térmica e 𝐶𝑝 o seu calor

específico.

𝑅𝑎ℎ𝑜𝑟 = 𝑃𝑟 ∙𝑔𝛽𝐿ℎ𝑜𝑟

3

𝑣2(𝑇𝑆 − 𝑇𝑎𝑚𝑏) (42)

𝑅𝑎𝑣𝑒𝑟𝑡 = 𝑃𝑟 ∙𝑔𝛽𝐿𝑣𝑒𝑟𝑡

3

𝑣2(𝑇𝑆 − 𝑇𝑎𝑚𝑏) (43)

𝛽 =1

𝑇𝑓(44)

𝑃𝑟 =𝜇𝑣𝐶𝑝

𝑘(45)

Nota-se que no caso da placa vertical, para uma transferência constante de potência, a placa não é isotérmica.

Como o ar quente sobe, a temperatura é superior no topo da placa. No entanto, as expressões são aplicáveis

considerando-se que a temperatura da superfície é igual à temperatura a meia altura da placa, 𝑇𝑆 = 𝑇𝐿2

. A

temperatura de equilíbrio do transformador 𝑇𝑆 é então a temperatura a meio das placas verticais, igual à

temperatura no topo.

Conhecidos os valores dos coeficientes de convecção, é possível obter o circuito térmico (Figura 26)

caracterizado por 5 resistências térmicas correspondentes a cada uma das faces (46.1 – 46.3) que podem ser

agregadas numa resistência total equivalente (46.4). A temperatura de equilíbrio da superfície do transformador é

29

dada por (46.5).

𝑅𝑙𝑎𝑡 =1

ℎ𝑣𝑒𝑟𝑡 ∙ 𝐴𝑙𝑎𝑡=

1

ℎ𝑣𝑒𝑟𝑡 ∙ 𝑑𝑐𝑜𝑟𝑒 ∙ ℎ𝑐𝑜𝑟𝑒(46.1)

𝑅𝑡𝑜𝑝 =1

ℎℎ𝑜𝑟 ∙ 𝐴𝑡𝑜𝑝=

1

ℎℎ𝑜𝑟 ∙ 𝑑𝑐𝑜𝑟𝑒 ∙ 𝑤𝑐𝑜𝑟𝑒(46.2)

𝑅𝑓𝑟 =1

ℎ𝑣𝑒𝑟𝑡 ∙ 𝐴𝑓𝑟=

1

ℎ𝑣𝑒𝑟𝑡 ∙ 𝑤𝑐𝑜𝑟𝑒 ∙ ℎ𝑐𝑜𝑟𝑒(46.3)

𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (𝑅𝑙𝑎𝑡 ∥ 𝑅𝑡𝑜𝑝 ∥ 𝑅𝑓𝑟) =1

ℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∙ 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(46.4)

𝑇𝑆 = 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑃𝐽 + 𝑇𝑎𝑚𝑏 (46.5)

Figura 26 - Circuito térmico equivalente do transformador

Devido à dependência de 𝑅𝑎 e das propriedades do fluído da temperatura, as resistências térmicas também

dependem da temperatura, 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑇𝑆), pelo que esta é determinada a partir de um método iterativo (47).

𝑇𝑆(𝑛+1) = 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑇𝑆

(𝑛))𝑃𝐽 + 𝑇𝑎𝑚𝑏 (47)

A cada iteração atualiza-se o valor da temperatura de filme (𝑇𝑓), os valores das propriedades do ar (𝑘, 𝑃𝑟 e 𝑣)

e o número de Rayleigh (𝑅𝑎) para cada placa.

30

31

6. Validação dos Modelos

Pretende-se que os modelos propostos sejam representações suficientes do funcionamento de transformadores

de uma forma geral, para quaisquer dimensões, grandezas elétricas nominais e material do núcleo. No sentido de

validar os modelos analíticos propostos, estes são comparados com modelos FEM e com resultados experimentais.

Em geral, os modelos FEM, recorrendo a mais recursos computacionais, produzem resultados mais exatos do que

aqueles obtidos com modelos analíticos com simplificações para geometrias complexas. Por esta razão, tornam-

se bons pontos de comparação para o modelo analítico. Os resultados experimentais permitem ter em conta certos

efeitos não-ideais e retirar conclusões acerca do seu impacto em relação aos resultados dos modelos analíticos.

Os modelos analíticos eletromagnético e térmico são validados para um transformador monofásico com núcleo

de FeSi, existente em laboratório, para vários pontos de funcionamento. Desenvolve-se um modelo FEM desse

transformador que é simulado para esses pontos de funcionamento e obtêm-se resultados experimentais para os

mesmos. Os resultados obtidos em ambos os casos são comparados com os obtidos com os modelos analíticos

propostos.

As conclusões retiradas a partir das comparações de resultados permitem ter noção do impacto das

aproximações feitas na exatidão dos modelos dependendo do ponto de funcionamento do transformador.

6.1. Transformador monofásico real

O transformador existente em laboratório apresenta-se na Figura 27. O seu núcleo é constituído por dois

conjuntos de laminações de FeSi em ‘E’, com uma espessura de 0.3 mm e com um fator de empilhamento de 0.9.

O comprimento dos entreferros é ajustável, sendo regulado para comprimento nulo para cumprir a geometria-tipo

pretendida. Nota-se que, mesmo com as duas metades juntas, existe um entreferro inerente a esta configuração,

mesmo que diminuto. A curva B-HDC do material é a apresentada na Figura 28 para o FeSi, juntamente com a sua

curva de densidade de perdas na Figura 29, obtida para placas de 0.3 mm e frequência de 50 Hz. Os enrolamentos

primário e secundário encontram-se à volta da perna central com cerca de 𝑁1 = 𝑁2 = 400 voltas, não ocupando

toda a janela disponível.

A resistência de cada enrolamento, medida com um ohmímetro, é 𝑟1 = 𝑟2 = 1.3 Ω e o diâmetro do fio é

1.291mm.

a) b)

Figura 27 - a) Transformador monofásico em laboratório. b) Esquema e dimensões da geometria do

transformador

32

Figura 28 - Curva B-H DC de FeSi.

Figura 29 - Densidade de perdas no material de FeSi obtidas para frequência 50Hz e placa de espessura 0.3mm.

6.2. Validação do modelo eletromagnético

Para validar o modelo analítico, ensaiou-se o transformador em laboratório para tensões de valor eficaz no

primário entre 50 V e 220 V, para os casos de circuito aberto (𝑅𝑙𝑜𝑎𝑑 = 𝐼𝑛𝑓) e para vários valores de cargas

resistivas (𝑅𝑙𝑜𝑎𝑑 = 200, 100, 60 Ω) no secundário. Registaram-se as ondas de tensão e corrente com um

osciloscópio, medidas nos terminais dos enrolamentos primário e secundário.

As medidas são depois utilizadas no cálculo da potência ativa, reativa e aparente no primário e secundário, bem

como as perdas por aquecimento do transformador. A tensão imposta no transformador é a da rede elétrica,

regulada por um autotransformador, sendo esta sinusoidal. Sendo assim, a tensão no secundário será sinusoidal,

assim como a corrente, devido à carga resistiva. No entanto, dado que em alguns casos testados se atinge a

saturação do núcleo, a corrente no primário não é aproximadamente sinusoidal em todos eles. Por essa razão o

cálculo das potências ativa, reativa e aparente não é feito a partir das expressões tradicionais. A potência ativa é

definida como o valor médio da potência instantânea (48) [23], onde 𝑢(𝑡) e 𝑖(𝑡) são a tensão e corrente

instantâneas. Sendo estas periódicas no caso em análise, podem ser expressas sob a forma de séries de Fourier,

obtendo-se (49). 𝑈(𝑛) e 𝐼(𝑛) são o valor eficaz da harmónica de ordem n da tensão e corrente, respetivamente, e

𝜑(𝑛) a diferença de fases entre as harmónicas n das mesmas.

𝑃 = ⟨𝑢(𝑡)𝑖(𝑡)⟩ (48)

𝑃 =∑(𝑈(𝑛)𝐼(𝑛) cos𝜑(𝑛))

𝑛

(49)

33

Visto que as tensões envolvidas são sinusoidais e por isso sem harmónicas de ordem superior, considera-se

(50.1) e (50.2) para a potência ativa no primário e secundário. 𝑈1 e 𝑈2 são os valores eficazes das tensões no

primário e secundário, 𝐼1(1)

e 𝐼2(1)

são os valores eficazes da harmónica fundamental das correntes no primário e

secundário, e 𝜑1(1)

e 𝜑2(1)

as diferenças de fase.

𝑃1 = 𝑈1𝐼1(1) cos 𝜑1

(1) (50.1)

𝑃2 = 𝑈2𝐼2(1) cos𝜑2

(1) (50.2)

As perdas no transformador são dadas pela sua diferença (51), sendo a componente de perdas nos enrolamentos

(𝑃𝐶𝑢) dada por (52) e no núcleo (𝑃𝑚) por (53). 𝐼1 e 𝐼2 são os valores eficazes das correntes no primário e

secundário.

𝑃𝑙𝑜𝑠𝑠 = 𝑃1 − 𝑃2 = 𝑃𝐶𝑢 + 𝑃𝑚 (51)

𝑃𝐶𝑢 = 𝑟1(𝐼1)2 + 𝑟2(𝐼2)

2 = 𝑟1∑(𝐼1(𝑛))

𝑛

+ 𝑟2∑(𝐼2(𝑛))

𝑛

(52)

𝑃𝑚 = 𝑃𝑙𝑜𝑠𝑠 − 𝑃𝐶𝑢 (53)

A potência aparente é geralmente definida por (54.1), mesmo para condições não sinusoidais [24]. A potência

aparente no primário e no secundário é dada por (54.2) e (54.3).

𝑆 = 𝑈𝐼 = √∑(𝑈(𝑛))

𝑛

∑(𝐼(𝑛))

𝑛

(54.1)

𝑆1 = √∑(𝑈1(𝑛))

𝑛

∑(𝐼1(𝑛))

𝑛

(54.2)

𝑆2 = √∑(𝑈2(𝑛))

𝑛

∑(𝐼2(𝑛))

𝑛

(54.3)

Recorreu-se também a um modelo FEM a 2 dimensões (2D) do transformador para tirar conclusões da precisão

do modelo analítico em relação a ferramentas FEM. O modelo FEM 2D, simétrico ao longo do eixo da

profundidade, apresenta-se na Figura 30a). A aproximação a 2D é utilizada dado o núcleo ser constituído por

placas de FeSi e as componentes do campo magnético na direção da profundidade serem negligenciáveis. As

placas de FeSi têm propriedades magnéticas descritas pela curva B-HDC daFigura 28. Considera-se que quase toda

a janela disponível para os enrolamentos é utilizada, e que a união entre as duas peças que constituem o núcleo

do transformador é perfeita, não havendo entreferro entre as mesmas.

Na Figura 30b) apresenta-se a malha utilizada para o cálculo dos elementos finitos. O modelo FEM foi

desenvolvido no COMSOL Multiphysics, sendo composto por dois submodelos, um eletromagnético e um de

circuitos elétricos. O submodelo eletromagnético é regido pelas equações (55.1) a (55.4), onde J é o vetor da

densidade de corrente, H e B são os vetores do campo magnético e campo de indução magnética, E é o vetor

campo elétrico, A é o vetor potencial e v é a velocidade dos meios, que neste caso é nula. O parâmetro Je é

correspondente às densidades de corrente impostas, que neste caso, serão definidas por um circuito elétrico

externo.

∇ × 𝑯 = 𝑱 (55.1)

𝑩 = ∇ × 𝑨 (55.2)

𝑱 = 𝜎𝑬 + 𝜎𝐯 × 𝑩 + 𝑱𝑒 (55.3)

𝑬 = −𝜕𝑨

𝜕𝑡(55.4)

34

De forma a simular o transformador quando imposta uma tensão alternada sinusoidal no enrolamento primário,

foi usado um submodelo de circuito elétrico em parâmetros concentrados acoplado ao eletromagnético, Figura 31.

O acoplamento entre os submodelos é feito através do cálculo iterativo dos coeficientes de indução. Este processo

iterativo é composto pelas seguintes etapas: 1) primeiro impondo uma corrente elétrica no enrolamento primário,

2) seguido do cálculo da densidade do fluxo magnético no modelo eletromagnético e consequente determinação

dos coeficientes de indução dos enrolamentos, 3) através do circuito elétrico, são recalculadas as tensões e

correntes nos enrolamentos e, finalmente, 4) o processo é repetido até garantir a convergência de ambos os

submodelos.

O teste do modelo FEM é semelhante ao experimental, aplicando-se as mesmas tensões no primário para as

mesmas cargas resistivas. Os resultados retirados deste modelo são as ondas temporais das tensões e correntes nos

enrolamentos, sendo as potências calculadas com as expressões anteriores.

Figura 31 - Circuito elétrico e ligação ao modelo eletromagnético.

Figura 30 - Modelo FEM 2D utilizado. a) Geometria e materiais; b) Malha utilizada.

a) b)

35

As variáveis que definem o transformador no modelo eletromagnético analítico são as suas dimensões, a

resistência do fio de cobre e o número de voltas do enrolamento, bem como as curvas B-H equivalente (obtida a

partir do método apresentado na secção 4.3) e de densidade de perdas. Para o transformador real considerado,

estas variáveis dimensionais assumem os valores ℎ𝑐𝑜𝑟𝑒 = 16 cm, 𝑤𝑐𝑜𝑟𝑒 = 12 cm, 𝑤𝑐 = 4 cm, 𝑟1 = 𝑟2 = 1.3 Ω

e consideram-se as curvas B-H equivalente e de densidade de perdas apresentadas para o FeSi, na Figura 28 e

Figura 29 respetivamente. Nota-se que devido ao fator de empilhamento é necessário calcular as secções

transversais das pernas central e lateral tendo em conta este parâmetro. Estes são dados por (56.1) e (56.2) onde

𝑘𝑠 = 0.9 é o fator de empilhamento do transformador.

𝑆𝑐 = 𝑘𝑠𝑤𝑐2 (56.1)

𝑆𝑐 =𝑘𝑠𝑤𝑐

2

2 (56.2)

Os parâmetros do esquema equivalente são obtidos a partir destas variáveis através das equações (21) e (23),

apresentadas na secção 4.2.

A variável elétrica imposta no modelo é o valor eficaz da tensão de magnetização 𝑈𝑚. Como se pretende fazer

uma análise comparativa com base na variação da tensão no primário, 𝑈𝑚 é estimada a partir da tensão eficaz

aplicada no primário, 𝑈1𝑒𝑥𝑝

, e na corrente eficaz medida, 𝐼1𝑒𝑥𝑝

, na experiência em laboratório (57). A tensão no

primário no modelo analítico é então obtida através da expressão (24.5) usando o resultado de (57). Assim é

possível cobrir, com o modelo analítico, aproximadamente o mesmo intervalo de tensões no primário que nos

casos da experiência laboratorial e FEM.

𝑈𝑚 ≃ 𝑈1𝑒𝑥𝑝

− 𝑟1𝐼1𝑒𝑥𝑝 (57)

O modelo analítico apresentado utiliza amplitudes complexas. Assim, as potências aparentes são dadas por

(58.1) e (58.2) e as ativas por (59.1) e (59.2) [23].

𝑆1 = 𝑈1 𝐼1∗ (58.1)

𝑆2 = 𝑈2 𝐼2∗ (58.2)

𝑃1 = 𝑅𝑒𝑆1 (59.1)

𝑃2 = 𝑅𝑒𝑆2 (59.2)

Na Figura 32 apresentam-se os resultados dos vários modelos para tensões no primário entre 50V e 220V para

cargas de R = 200Ω, 100Ω, 60Ω e circuito aberto, R = Inf. A tracejado estão representados os resultados do

modelo analítico (Anal.), a pontilhado os de FEM e a traço contínuo os resultados experimentais (Exp.). Nas

figuras a) a d) apresentam-se os valores eficazes da tensão no secundário em relação à do primário, para cada

valor de carga. O modelo analítico prevê bem a tensão no secundário, sendo que o erro em relação aos resultados

experimentais aumenta com a diminuição da carga atingindo os 9.8% para os 60 Ω. Para cargas menores, a

corrente nos enrolamentos é maior para a mesma tensão no primário. Assim as quedas de tensão devidas a

fenómenos de dispersão são relevantes, resultando em tensões no secundário experimentais menores do que o

previsto com o modelo analítico, que despreza estes fenómenos. O mesmo acontece com os resultados do modelo

FEM que, apesar de considerar o fenómeno de dispersão, não tem em conta não-idealidades da construção dos

enrolamentos, por exemplo, o espaço entre o enrolamento e a perna do núcleo. Este fator e outros potenciam a

dispersão dando origem a quedas de tensão superiores às esperadas.

Na figura e) representa-se a corrente eficaz no enrolamento primário. Para os casos em carga, o erro é menor,

sendo inferior a 10% em relação aos resultados experimentais e FEM. O impacto causado pelo erro na corrente

de circuito aberto é menor quanto maior a corrente na carga, uma vez que estas estão desfasadas de

aproximadamente 90º. O erro deve-se então principalmente ao erro da tensão na carga.

Na figura f) representa-se a corrente eficaz na carga. Uma vez que a carga é resistiva e o erro da tensão no

secundário aumenta com o seu valor, também o erro da corrente segue este comportamento, atingindo um máximo

de 9.8% para os 60 Ω.

36

a) b)

c) d)

f) e)

h) g)

i) j)

Figura 32 - Resultados dos modelos analítico (Anal.), FEM e experimentais (Exp.). Tensão no secundário para

circuito aberto a) R=Inf e carga b) R=200Ω, c) R=100Ω, d) R=60Ω. Corrente no e) primário e f) secundário.

Pot. ativa vista do g) primário e h) secundário. i) Pot. Aparente, j) Pot. de perdas. A tracejado estão representados

os resultados do modelo analítico (Anal.), a pontilhado os de FEM e a traço contínuo os experimentais (Exp.).

Curvas a preto, vermelho, azul e verde correspondem aos casos de R=Inf, 200Ω, 100Ω e 60Ω respetivamente

37

Nas figuras g) e h) representam-se a potência ativa fornecida ao transformador e a entregue à carga, calculadas

a partir de (47.1) e (47.2). Nota-se no caso da potência fornecida que, com o aumento da corrente de carga e do

efeito da dispersão, sendo este um efeito indutivo, também a diferença de fases entre a tensão e corrente no

primário aumenta afetando também o desvio entre a potência ativa esperada e experimental. O erro aumenta com

a diminuição da carga, sendo, em média, aproximadamente 10% e sempre inferior a 20% em ambos os casos em

relação aos resultados experimentais.

Na figura i) apresenta-se a potência aparente vista no primário (51.1). Os resultados recorrendo aos modelos

analítico e FEM preveem esta quantidade, sendo o maior erro no caso em circuito aberto (em média 41%), devido

às diferenças nos valores eficazes da corrente de magnetização previsto e experimental. Para os outros casos o

erro é baixo sendo em média de 5%.

As perdas no transformador (48) apresentam-se na figura j). Em geral as perdas obtidas experimentalmente são

muito maiores do que as previstas por ambos os modelos. Como as correntes são bem previstas pelos modelos, as

perdas nos enrolamentos também o são, sendo que o maior erro se deve às diferenças nas perdas no núcleo. Este

é maior nos ensaios experimentais uma vez que nos modelos se desprezam efeitos como imperfeições nas placas

que constituem o núcleo e vibrações causadas por magnetostrição. Estes efeitos não-ideais são mais evidentes

para tensão e campos magnéticos maiores. Como o modelo FEM não considera perdas no núcleo por histerese, as

perdas previstas pelo modelo analítico, com base na curva de perdas do fabricante, são mais precisas.

Conclui-se que o modelo analítico apresentado é uma aproximação razoável do transformador real. Este modelo

é mais adequado para funcionamentos na zona linear, sendo que o erro aumenta em casos de saturação sem, no

entanto, se tornar desadequado o objetivo proposto. As correntes e tensões previstas são ligeiramente mais

elevadas, tal como as potências, proporcionando-se um pequeno fator de segurança. Em geral, o modelo mostra-

se adequado para uma análise inicial e aplicação em algoritmos de otimização, sendo suficientemente preciso para

se obterem bons candidatos otimizados de entre os quais se podem escolher alguns elementos. Estes podem ser

analisados posteriormente com recurso a ferramentas mais precisas, como modelos FEM, e melhorados até se

atingir um desenho final.

6.3. Validação do modelo térmico

No sentido de validar o modelo térmico proposto, desenvolve-se um modelo FEM a 3 dimensões do

transformador real apresentado. Este modelo é regido pela equação de balanço de energia aplicado a sólidos (60).

A equação considera o balanço da variação da energia interna com as transferências de calor por condução,

radiação, dissipação de stresses mecânicos e fontes de calor. 𝜌 é a densidade do material, 𝐶𝑝 a capacidade térmica

a pressão constante, 𝒖𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 o vetor de velocidade translacional, 𝒒 e 𝒒𝑟 o fluxo de calor por condução e radiação,

𝑄𝑡𝑒𝑑 o efeito termoelástico nos sólidos e 𝑄 as fontes de calor.

𝜌𝐶𝑝 (𝜕𝑇

𝜕𝑡+ 𝒖𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 ∙ ∇𝑇) + ∇ ∙ (𝒒 + 𝒒𝑟) = 𝑄𝑡𝑒𝑑 + 𝑄 (60)

Consideram-se como principais fontes de calor as perdas por efeito Joule nos enrolamentos e no núcleo do

transformador, por histerese ou correntes turbilhonares. Assim, as primeiras são dissipadas a partir dos

enrolamentos e as segundas a partir do núcleo. Para um certo ponto de funcionamento do transformador de tensão

e carga o modelo analítico prevê a quantidade de perdas nos enrolamentos e no núcleo. Consideram-se as zonas

dos enrolamentos e do núcleo no modelo FEM como fontes de calor que transferem energia seguindo a equação

(61). Define-se o coeficiente h igual a hTotal previsto pelo modelo analítico. A temperatura em regime estacionário

é obtida iterativamente, segundo as equações (60) e (61) até se atingir uma temperatura final para cada elemento

finito.

𝒒𝑜 = ℎ(𝑇𝑎𝑚𝑏 − 𝑇) (61)

É possível ter em conta transferências de calor por condução entre peças do transformador e por convecção

com o ar circundante. Na Figura 33 apresenta-se o modelo FEM 3D utilizado, juntamente com a malha

considerada (Figura 33b)). Os enrolamentos e o núcleo são aproximados por volumes de cobre e FeSi,

38

respetivamente.

Definiu-se o modelo analítico para a geometria do transformador real e analisou-se a temperatura atingida para

os casos de tensão de magnetização 𝑈𝑚 = 220𝑉 e 𝑈𝑚 = 100𝑉 para carga 𝑅 = 100Ω e circuito aberto. Com base

nas potências dissipadas previstas pelo modelo (33), nos enrolamentos e no núcleo, comparam-se as temperaturas

obtidas a partir do modelo analítico e FEM na Tabela 1. Apresenta-se a temperatura prevista pelo modelo analítico

(TAnal) e as temperaturas máxima (Max(TFEM)) e média (TFEM) obtidas com o modelo FEM. Os resultados são

obtidos para uma temperatura ambiente 𝑇𝑎𝑚𝑏 = 20º𝐶.

Analisando os valores da Tabela 1, conclui-se que o modelo analítico é capaz de prever corretamente a

temperatura atingida pelo transformador, prevendo valores aproximados à temperatura média e máxima previstas

pelo modelo FEM. Para potências de perdas mais elevadas a diferença entre temperatura máxima e média é maior

uma vez que se considera que a base do transformador se encontra isolada do ponto de vista térmico. Nestes casos

a previsão do modelo encontra-se entre os valores máximos e mínimos. O erro máximo atingido é de 9% em

relação à temperatura média TFEM e de 8% em relação à temperatura máxima Max(TFEM).

Tabela 1 - Temperaturas previstas pelos modelos analítico (Anal.) e FEM para diferentes tensões e cargas do

transformador.

Um [V] R[Ω] PCu[W] PFe[W] htotal [W/m2K] TAnal [ºC] TFEM [ºC] Max(TFEM) [ºC]

220 Inf. 1.70 6.03 5.218 46.4 42.8 50.5

100 14.12 6.03 6.357 76.6 70.3 80.2

100 Inf. 0.179 1.11 3.587 26.4 25.4 26.2

100 2.74 1.11 4.510 35.2 33.1 35.1

a) a) b) c)

Figura 33 - Modelo térmico FEM 3D. a) Geometria; b) Malha utilizada; c) Resultado da temperatura na

superfície para R=100 e Um=220V.

39

7. Otimização de um Transformador Monofásico

No sentido de se estudar o impacto da liga VaCoFe no contexto de aplicações em máquinas elétricas, começa-

se por analisar o seu desenho como circuito magnético de um transformador monofásico. Esta análise num circuito

magnético mais simples permite tirar conclusões preliminares sobre as potenciais vantagens e limitações na

utilização de VaCoFe em aplicações mais complexas.

Pretende-se então otimizar a geometria de um transformador monofásico do tipo descrito na secção 4.1, com

um núcleo de FeSi e de VaCoFe, e comparar as soluções obtidas. As otimizações mais relevantes no caso de

circuitos magnéticos focam-se na potência que o material permite atingir para o mínimo volume possível, sem

violar restrições de temperatura. Devido ao número de equações que descrevem o modelo analítico proposto e

tendo-se uma otimização multiobjectivo, recorre-se ao algoritmo de otimização genético NSGA-II (Non-

dominated Sorting Genetic Algorithm) [17]. Este algoritmo permite otimização de várias funções objetivo com

restrições utilizando um princípio elitista, onde se preservam as melhores soluções de cada geração para serem

melhoradas em gerações seguintes, e um mecanismo de preservação de diversidade explícito, que melhora a

diversidade dos indivíduos em cada geração.

Realizam-se otimizações do transformador para cada material de núcleo, FeSi e VaCoFe, para frequências de

50Hz e 400Hz. A comparação entre o FeSi e o VaCoFe é feita entre os indivíduos das frentes de Pareto finais

obtidas para cada otimização.

7.1. Definição do Problema de Otimização

Em aplicações como máquinas elétricas, pretende-se atingir a maior potência de saída para o menor volume

possível, bem como maximizar a eficiência. Como se pretende comparar o FeSi e VaCoFe na aplicação de um

transformador monofásico escolhem-se como objetivos a maximização a sua potência de saída, Pout, e

minimização do volume do seu núcleo, Vcore. Uma vez que a potência de entrada é limitada pelos limites das

variáveis de decisão e restrições, a maximização da potência de saída está associada à maximização da eficiência.

Assim, as funções objetivo são (62).

𝑓1,2 = max(𝑃𝑜𝑢𝑡)

min(𝑉𝑐𝑜𝑟𝑒)(62)

As variáveis de decisão são as variáveis de desenho do transformador, ou seja, as variáveis independentes que

definem o modelo. Estas são: dimensões, secção transversal do fio de cobre, resistência de carga e tensão eficaz

no enrolamento primário. Dado se tratar de uma otimização multiobjectivo, os candidatos a solução apresentam-

se no espaço formado pelas funções objetivo, 𝑓1 e 𝑓2, formando a frente de Pareto. Os pontos pertencentes a este

conjunto são candidatos onde uma melhoria do objetivo 𝑓1 implica piorar 𝑓2 ou vice-versa, sendo considerados

pontos ótimos. Cada candidato a solução da frente de Pareto representa um par de valores 𝑃𝑜𝑢𝑡 e 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑒 dado para

cada conjunto de variáveis de decisão único. Para se atingirem soluções realistas, é necessário restringir os valores

que estas variáveis podem assumir a intervalos fisicamente realizáveis e dentro da análise pretendida. Na Tabela

2 apresentam-se as variáveis e respetivos limites considerados. O vetor de otimização é então constituído por 6

variáveis de decisão, 𝒙 = [U1 rms, R2 load, ACu, hcore, wcore, Sc], que pertencem aos intervalos apresentados na

tabela.

Do ponto de vista da realizabilidade das soluções, para além dos intervalos a que pertencem as variáveis de

otimização, é necessário considerar restrições que limitem as variáveis dependentes. As primeiras restrições (63)

garantem que a geometria do núcleo é possível, impedindo soluções com dimensões fisicamente impossíveis com

sobreposição de colunas e janelas com área negativa. A outra restrição (64) garante que não existam soluções cuja

operação ultrapasse limites térmicos de segurança do isolamento dos enrolamentos. Considera-se neste problema

que o limite térmico se encontra nos 90ºC.

𝑤𝐶𝑢 > 0, ℎ𝑐𝑢 > 0 (63)

𝑇𝑆 ≤ 90º𝐶 (64)

40

Tabela 2 - Variáveis de otimização, descrição e intervalos de valores que podem tomar.

Variáveis Descrição Intervalo

U1 rms [kV] Tensão no primário [1 10]

R2 load [Ω] Carga resistive no secundário [0 10000]

Acu [mm2] Secção transversal do fio de Cobre [0.005 3.3] =

[AWG40 AWG12]

hcore [cm] Altura do núcleo [0.1 100]

wcore [cm] Largura do núcleo [0.1 100]

Sc [cm2] Secção transversal da coluna central do núcleo [0.01 100000]

7.2. Algoritmo de Otimização

Para resolver o problema de otimização descrito utiliza-se o algoritmo NSGA-II descrito anteriormente. As

soluções existem no espaço das funções 𝑓1 e 𝑓2. As populações iniciais e as mutações são geradas com genes

dentro dos limites apresentados na Tabela 2.

Em cada iteração a avaliação das funções objetivo e de restrições é feita recorrendo aos modelos analíticos

apresentados. Cada indivíduo n, da geração t em Rt é descrito pelo vetor de otimização 𝒙𝑛𝑡 ∈ 𝑅𝑡 , 𝑛 ∈ [1, … ,2N],

que é input dos modelos, juntamente com as curvas B-H equivalente e de perdas do material em análise e

constantes termodinâmicas do ar. Os resultados dos modelos são então usados para avaliar as funções objetivo e

as restrições. O processo de avaliação da potência de saída 𝑃𝑜𝑢𝑡 , do volume do núcleo, 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑒 , e da temperatura da

superfície do transformador, 𝑇𝑆 são obtidos recorrendo aos modelos eletromagnético e térmico. Este processo está

representado esquematicamente na Figura 34. Representam-se também os parâmetros necessários aos modelos

para além do vetor de otimização, como as curvas que descrevem as propriedades do material do núcleo e os

parâmetros que caracterizam o ar do ponto de vista termodinâmico. O cálculo de 𝑤𝐶𝑢 e ℎ𝐶𝑢 é feito diretamente a

partir das variáveis 𝑤𝑐𝑜𝑟𝑒 e ℎ𝑐𝑜𝑟𝑒 ((65.1) e (65.2)), dada a geometria apresentada na Figura 18. A resistência dos

enrolamentos 𝑟1 e 𝑟2 é calculada a partir de (1), sendo a resistividade calculada a 90ºC, ou seja, o caso limite da

temperatura permitida.

𝑤𝐶𝑢 = 𝑤𝑐𝑜𝑟𝑒 − 2√𝑆𝑐 (65.1)

ℎ𝐶𝑢 = ℎ𝑐𝑜𝑟𝑒 −√𝑆𝑐 (65.2)

Figura 34 - Flowchart da avaliação das funções objetivo e restrições no algoritmo de otimização.

41

7.3. Resultados

Realizaram-se otimizações a 50Hz e a 400Hz para cada material. Para cada otimização os elementos solução

da frente de Pareto são ordenados pela sua potência de forma crescente. Representam-se então várias

características de cada solução em função do seu volume, pela mesma ordem. Estes resultados apresentam-se na

Figura 35 e Figura 36.

Uma análise geral dos resultados permite identificar algumas vantagens na utilização do VaCoFe, à custa de

perdas no núcleo mais elevadas devido ao ponto de saturação magnética mais elevado.

Dos resultados das otimizações a 50Hz, a potência de saída, 𝑃𝑜𝑢𝑡 , atingida com VaCoFe é, em média, 25%

maior do que a atingida com FeSi, para o mesmo volume e temperatura, Figura 35a1). O rendimento atingido com

VaCoFe apresenta-se superior até 𝑃𝑜𝑢𝑡 = 20kW e 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑒 = 0.007 m3, ponto a partir do qual o FeSi permite

melhores resultados (Figura 35b1)). Este comportamento é explicado pela relação entre o volume do núcleo e

perdas no núcleo (66) e nos enrolamentos (67) e o seu impacto na temperatura da superfície do transformador

(68).

𝑃𝑚 = 𝑘𝐵2𝑓𝑉𝑐𝑜𝑟𝑒 (66)

𝑃𝐶𝑢 = 𝜌𝐶𝑢𝐽2𝑉𝐶𝑢 (67)

𝑇𝑆 =1

ℎ𝐴(𝑃𝑚 + 𝑃𝐶𝑢) + 𝑇𝑎𝑚𝑏 (68)

A perdas no núcleo são proporcionais ao quadrado da indução magnética, 𝐵, da frequência, 𝑓, e do volume do

núcleo, 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑒 , ou seja, do cúbico das dimensões do circuito magnético (69), onde 𝑙 é uma dimensão linear do

núcleo. As perdas nos enrolamentos variam com o quadrado da densidade de corrente no enrolamento, 𝐽𝐶𝑢, e do

volume de cobre, 𝑉𝐶𝑢. Este volume depende da área da janela, relacionada com o volume do núcleo e, por isso,

com o cubo das suas dimensões (70). Dadas as relações (69) e (70) retira-se que a temperatura é proporcional à

dimensão do circuito magnético (70).

𝑃𝑚 ∝ 𝐵2𝑓𝑙3 (69)

𝑃𝐶𝑢 ∝ 𝐽2𝑙3 (70)

𝑇𝑆 ∝ (𝐵2𝑓 + 𝐽2)𝑙 (71)

O aumento das dimensões do circuito, associadas ao aumento da potência de saída, implicam um aumento da

temperatura do transformador, para valores de indução magnética e densidade de corrente constantes. As soluções

obtidas apresentam-se com temperaturas muito próximas ou iguais ao valor máximo permitido. Assim, para se

manterem abaixo desse limite com o aumento das dimensões e da potência de saída, as soluções apresentam

valores de indução magnética ou de corrente menores.

No caso do VaCoFe, observa-se que as perdas no núcleo atingem valores muito maiores que no caso do FeSi

devido à suas perdas superiores. Comparando as Figura 35c1) e d1) retira-se que as perdas no núcleo crescem

mais com o volume do que as perdas nos enrolamentos. As perdas no núcleo são então a componente com maior

impacto na temperatura da superfície do transformador. Assim, para manter a temperatura constante com o

aumento de volume e potência de saída, há uma diminuição das perdas no núcleo devida a uma diminuição da

indução magnética, a partir dos 20kW e 0.007m3 (Figura Figura 35e1)). A partir dos 0.010m3 também as perdas

nos enrolamentos são aproximadamente constantes à custa da diminuição da densidade de corrente.

No caso do FeSi, as perdas no núcleo apresentam-se baixas em comparação com as do VaCoFe e crescem

lentamente com o volume em relação às perdas nos enrolamentos, Figura 35c1) e d1). No entanto, a sua

permeabilidade magnética menor em relação ao VaCoFe leva a maiores correntes nos enrolamentos e

consequentes perdas. As perdas nos enrolamentos são então as que têm maior impacto na temperatura, o que

permite manter o valor da indução magnética constante com o volume (Figura 35e1)). No entanto, a partir dos

0.008m3, atinge-se o limite da temperatura e as perdas nos enrolamentos ficam aproximadamente constantes

devida a uma diminuição da densidade de corrente (Figura 35d1)).

42

Figura 35 - Resultados da otimização do transformador monofásico de FeSi e VaCoFe em função do volume

do seu núcleo para 1) 50Hz e 2) 400Hz. a) Potência de saída, b) rendimento c) perdas no núcleo, d) perdas nos

enrolamentos, e) indução magnética na coluna central, f) altura do núcleo g) largura do núcleo.

a1) a2)

b1) b2)

c1) c2)

d1) d2)

e1) e2)

f1) f2)

g2) g1)

50Hz 400Hz

43

Para volumes mais elevados, as perdas nos enrolamentos para o VaCoFe e FeSi são aproximadamente

constantes e iguais, enquanto que as perdas no núcleo são muito mais elevadas no primeiro caso do que no

segundo. Isto permite que o rendimento das soluções de FeSi ultrapasse as de VaCoFe com o aumento do volume.

Dos resultados das otimizações a 400Hz, não é clara a diferença entre soluções de VaCoFe e o FeSi,

apresentando ambos os casos potências semelhantes para os mesmos volumes. VaCoFe apresenta potências

ligeiramente superiores de 0 a 10kW e de 45kW a 50kW. Os rendimentos são aproximadamente iguais, com um

desvio menor que 0.5% entre eles, apresentando o FeSi melhores resultados.

Observam-se os mesmos fenómenos em relação às perdas descritos para as otimizações a 50Hz. O VaCoFe

apresenta dominância das perdas no núcleo no valor da temperatura (Figura 35c2)), resultando na descida da

indução magnética a partir de um certo volume para as limitar (Figura 35e2). No caso do FeSi as perdas nos

enrolamentos apresentam-se dominantes resultando numa descida da densidade de corrente. No entanto nota-se,

que a partir de 0.004m3 a indução magnética desce ligeiramente, limitando as perdas no núcleo em conjunto com

a limitação das perdas nos enrolamentos.

Para uma comparação mais direta entre soluções com VaCoFe e FeSi, escolhem-se soluções com a mesma

potência de saída para as duas frequências analisadas. Comparam-se transformadores monofásicos com potências

de saída de 5kW e 25kW para as frequências de 50Hz e 400Hz. Para 50Hz (Tabela 3), um transformador com

núcleo de VaCoFe em relação a um com núcleo de FeSi apresenta vantagens significativas na redução do volume

para as mesmas potências de saída e rendimentos semelhantes. Para 5kW e 25kW há uma redução de 30% e 17.6%

no volume, respetivamente. Para níveis de potência mais elevado, a 25kW, a redução do volume é menor, sendo

que há a necessidade da redução na indução magnética para 1.16T para diminuir a densidade de perdas no núcleo

e manter a temperatura do transformador dentro do limite.

Tabela 3 - Características do circuito magnético de FeSi e VaCoFe a 50Hz.

@50Hz FeSi VaCoFe FeSi VaCoFe

Pout [kW] 5 5 25 25

Vcore [dm3] 2.763 1.932

(-30.0%)

18.66 15.37

(-17.6%)

Weight [kg] 21.0 15.7 141.8 124.7

η [%] 97.4% 97.7% 98.9% 98.4%

Pcu [W] 122.0 69.1 199.2 234.0

Pcore [W] 12.8 49.0 77.8 167.4

Bc [T] 1.25 2.28 1.17 1.16

Hcore [cm] 48.4 46.2 82.9 100.0

Wcore [cm] 30.3 27.6 31.3 42.8

Sc [cm2] 23.7 17.3 105.7 68.1

h1) h2) Figura 36 - Resultados da otimização do transformador monofásico de FeSi e VaCoFe em função do volume

do seu núcleo para 1) 50Hz e 2) 400Hz. h) área da secção transversal da coluna central.

44

Para 400Hz (Tabela 4) os resultados são mistos. Para potência de saída de 5kW há uma redução de 14.2% no

volume, no entanto, para 25kW há um aumento de 13.2%. A esta frequências, para potências mais elevadas, não

é possível tirar proveito do ponto de saturação magnética mais elevado do VaCoFe, chegando este a ser mais

baixo do que para um núcleo de FeSi devido às restrições de temperatura.

Tabela 4 - Características do circuito magnético de FeSi e VaCoFe a 400Hz.

@400Hz FeSi VaCoFe FeSi VaCoFe

Pout [kW] 5 5 25 25

Vcore [dm3] 0.571 0.490

(-14.2%)

2.43 2.75

(+13.2%)

Weight [kg] 4.34 3.97 18.5 22.3

η [%] 99.3% 98.8% 99.6% 99.3%

Pcu [W] 29.3 29.5 62.5 91.9

Pcore [W] 8.3 32.5 35.7 75.7

Bc [T] 1.23 1.61 1.24 0.99

Hcore [cm] 31.8 59.2 56.2 86.2

Wcore [cm] 16.4 15.5 29.8 28.5

Sc [cm2] 7.67 3.76 18.2 14.2

45

8. Conclusão

Foi feita uma análise comparativa entre a liga metálica de VaCoFe e uma liga clássica de FeSi no contexto da

sua aplicação num circuito magnético, um transformador monofásico, otimizado. Para tal começou-se por obter

experimentalmente as curvas B-H de cada material e compará-las. Analisou-se o impacto do tipo de

processamento feito nas chapas de VaCoFe nas suas propriedades magnéticas finais, confirmando-se a

sensibilidade. Esta análise inicial é feita na secção 3.

Desenvolveram-se modelos eletromagnético (secção 4) e térmico (secção 5) para a avaliação das funções

objetivo e restrições para geometrias candidatas a solução durante a otimização. O modelo eletromagnético do

transformador é baseado num circuito equivalente do transformador no domínio da frequência. Para cada

geometria, o cálculo dos parâmetros concentrados recorreu às curvas de perdas e de B-H de cada material. A

aproximação ao domínio da frequência é feita aproximando a curva B-H, válida no tempo, a uma equivalente

válida no domínio da frequência. Isto é feito recorrendo a um método baseado na conservação da energia média

por ciclo.

O modelo térmico é baseado num esquema equivalente, análogo a um circuito elétrico, constituído por uma

rede de resistências térmicas. Consideram-se apenas resistências térmicas de convecção uma vez que este é o

mecanismo principal de transferência de calor no transformador.

Os modelos apresentados são validados (secção 6) experimentalmente recorrendo a um transformador existente

em laboratório e a modelos FEM. Mostra-se que estes são aproximações com erros suficientemente baixos para

serem aplicados em algoritmos de otimização para retirar conclusões gerais sobre os materiais analisados.

Por fim, realiza-se a otimização da geometria do transformador com os objetivos de maximizar a sua potência

e minimizar o seu volume para cada material. Recorre-se ao algoritmo genético multiobjectivo NSGA-II. As

soluções obtidas são analisadas e comparadas na secção 7. Das análises dos resultados retira-se que o VaCoFe

oferece vantagens consideráveis a frequências baixas, permitindo o aumento, em média, de 25% da potência de

saída para o mesmo volume de FeSi ou a redução de até 30% do volume do núcleo para a mesma potência. No

entanto, para frequências mais elevadas não se observam vantagens claras, chegando o VaCoFe a ser uma opção

pior que o FeSi. Para além disso, apesar do VaCoFe apresentar melhores rendimentos para volumes mais baixos,

o FeSi apresenta-se superior com o aumento da potência.

Estas conclusões podem variar consoante o tipo de máquinas e os seus pontos de funcionamento. No entanto,

em geral, conclui-se que o VaCoFe se apresenta superior ao FeSi em aplicações onde as perdas no núcleo

superiores não são críticas. Por outro lado, em aplicações para frequências/velocidades de rotação elevadas o

impacto destas perdas na temperatura do transformador torna-se considerável limitando o rendimento e potência

possíveis com VaCoFe. Estas conclusões vão no mesmo sentido de [11], onde, para máquinas de relutância

síncrona (SRM) se revela uma preocupação com a temperatura do material, especialmente a velocidades de

rotação elevadas quando comparado com FeSi.

O problema da temperatura leva à necessidade de se considerar um sistema de arrefecimento mais robusto e

melhores isolamentos no projeto de máquinas com VaCoFe. Estes sistemas podem recorrer a ventilação forçada

de ar ou mesmo recorrendo a líquidos, tendo um impacto nas dimensões e desenho e geometria da máquina [25].

Assim, no projeto, é necessário ter em conta não só o custo do material e o seu pós-processamento, mas também

o do sistema de arrefecimento. Os ganhos conseguidos com o aumento de potência e diminuição de volume podem

não valer a pena tendo em conta estes custos adicionais, sendo necessária uma análise específica à aplicação.

Mesmo em sistemas de baixa frequência o custo do material tem um impacto significativo quando comparado

com o FeSi podendo os ganhos não serem compensados. Confirma-se, em princípio, a utilidade do material em

aplicações onde o peso é um parâmetro crítico, como na aeronáutica e automobilismo desportivo, no entanto, para

velocidades de rotação superior essa vantagem é menos óbvia, devido à necessidade de melhores isolamentos e

sistema de arrefecimento que contrapesam esses ganhos de peso e volume.

8.1. Trabalho Futuro

Trabalhos futuros podem focar-se no desenho de máquinas específicas, nomeadamente máquinas SRM e de

ímanes permanentes cujos rotores apresentam campos magnéticos aproximadamente constantes, não sendo estes

uma fonte de perdas elevadas. Concluir-se-ia, mais precisamente, sobre as relações custo/benefício da utilização

46

do VaCoFe tendo em conta a possível necessidade de arrefecimento e o custo do material em geometrias

otimizadas.

Abre-se também a possibilidade de desenhar máquinas que tiram proveito de ambos os materiais, FeSi e

VaCoFe, por exemplo, em motores de indução de alta velocidade de rotação. No rotor, onde a frequência elétrica

é mais baixa, dada pela diferença entre a frequência no estator e velocidade de rotação, uma construção com

VaCoFe permite tirar proveito das densidades de fluxo superiores limitando as perdas. No estator onde as

frequências são maiores, o FeSi apresenta-se como a alternativa para minimizar as perdas sacrificando o volume.

47

REFERÊNCIAS

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