Paralelismo - rc.unesp.brrc.unesp.br/tmelo/aula2.pdf · Teorema das paralelas Recorda˘c~ao (teorema do ângulo externo) Em um triângulo, um ângulo externo e maior que qualquer

ParalelismoMA13 - Unidade 3

Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT

Nomes tradicionais

A reta t corta as retas r e s. Dizemos que a reta t e umatransversal de r e s.

r

s

t

b

b

a

b

c

d

Os angulos a e b chamam-se alternos internos.

Os angulos a e c chamam-se correspondentes.

Os angulos a e d chamam-se colaterais internos.

Paralelismo slide 2/7

Teorema das paralelas

Recordacao (teorema do angulo externo)Em um triangulo, um angulo externo e maior que qualquer um dosangulos internos nao adjacentes.

TeoremaSe a transversal t determina nas retas r e s angulos alternosinternos iguais (congruentes) entao r e s sao paralelas.


Demonstracao

Sejam A e B os pontos de intersecao de t com r e s,respectivamente.

Se as retas r e s nao fossem paralelas entao teriam um pontocomum. Seja C esse ponto. O triangulo ABC possui umangulo externo igual a um angulo interno nao adjacente, oque nao pode acontecer pelo teorema do angulo externo.

r

b

Cs

t

bA

b

B

Logo, o triangulo ABC nao existe e as retas r e s saoparalelas.


Outros teoremas

a) Se duas retas paralelas sao cortadas por uma transversal, doisangulos alternos internos sao iguais.

b) Se em duas retas cortadas por uma transversal dois anguloscorrespondentes sao iguais, essas retas sao paralelas.

c) Se duas retas paralelas sao cortadas por uma transversal, doisangulos correspondentes sao iguais.

d) Se duas retas paralelas sao cortadas por uma transversal, doisangulos colaterais internos sao suplementares (somam 180o).


Teorema de Tales

A soma dos angulos internos de um triangulo e igual a 180o .

bA

b

B

b

C

b

Y

b

X

α

βθ

α′

β′

Considere o triangulo ABC , o prolongamento CX de BC e tracepor C uma paralela CY a AB.

∠A + ∠B + ∠C = 180o

Consequencia:Um angulo externo de um triangulo e a soma dos angulos internosnao adjacentes. Na figura: ∠ACX = ∠A + ∠B.


Problema

No quadrilatero convexo OABC os segmentos OA, OB e OCpossuem mesmo comprimento. Mostre que o angulo AOB e odobro do angulo ACB.

bO

b

A

b

B

b C


TriangulosMA13 - Unidade 3


TeoremaEm um triangulo, se dois lados sao desiguais, os angulos opos-tos sao desiguais e o maior lado esta oposto ao maior angulo.

Demonstracao:

Considere o triangulo ABC com AC > AB. Vamos provar que∠B > ∠C .

bA

b

B

b

C

b D

Seja D um ponto do lado AC tal que AD = AB.

O triangulo ABD e isosceles e, portanto, ∠ABD = ∠ADB.

Entao, ∠B = ∠ABC > ∠ABD = ∠ADB > ∠ACB = ∠C .

Observacao:A recıproca desse teorema e verdadeira.

Triangulos slide 2/8

Problema 1

Na figura a seguir, colocar os cinco segmentos em ordem crescente.

b b

a

70◦

50◦

b

55◦

b

bc

d

e


Problema 2 - Problemas de construcao

Construir o triangulo ABC conhecendo o lado AB = c , o ladoBC = a e o segmento h, que e a altura relativa ao vertice A.

b b

a

b b

c

b b

h


Solucao:

Siga os passos na ordem apresentada. Veja depois a figura paraconferir.

1. Desenha uma reta r .

2. Assinale um ponto B sobre r .

3. Com o compasso desenhe um arco de circunferencia de centroB e raio a. Esse arco corta a reta r no ponto C .

4. Assinale um ponto P qualquer sobre r .

5. Trace a reta s passando por P e perpendicular a r .

6. Com o compasso trace um arco de circunferencia de centro Pe raio h. Esse arco corta a reta s no ponto Q.

7. Trace por Q uma reta t paralela a r .

8. Trace a circunferencia de centro B e raio c . Como h < c essacircunferencia cortou a reta t nos pontos A e A′.

Os triangulos ABC e A′BC sao as solucoes do problema


b b

ab b

cb b

h

b

B

b

Pb

C

bQ

bA

bA′

r

s


Problema 3

Construir o triangulo ABC conhecendo os angulos B e C e operımetro.

Dados:Perımetro = 12cm∠B = 70◦

∠C = 40◦


Solucao:

Siga os passos na ordem apresentada. Veja depois a figura paraconferir.

1. Desenhe um segmento PQ igual ao perımetro dado.

2. Desenhe “acima”da reta PQ o angulo QPX =B

2.

3. Desenhe “acima”da reta PQ o angulo PQY =C

2.

4. A intersecao das semirretas PX e QY e o ponto A.

5. A intersecao da mediatriz de AP com o segmento PQ e oponto B.

6. A intersecao da mediatriz de AQ com o segmento PQ e oponto C . O triangulo foi construıdo.

b

P

b

Q

35◦

20◦

bA

b

B

b

C


Desigualdade triangular IMA13 - Unidade 3


Tres pontos colineares

Se A, B e C estao nessa ordem sobre uma reta temos, pordefinicao, AB + BC = AC .

b

A

b

B

b

C

Desigualdade triangular I slide 2/7

Desigualdade triangular

Sejam A, B e C tres pontos nao colineares. Consideremos AB = c ,AC = b e BC = a.

Prolongue BA de um comprimento AD igual a AC . Assim,AD = b + c .

b

B

b

Ca

bA

bD

bc

b′

No triangulo isosceles ACD, temos AC = AD = b e∠ACD = ∠ADC . Temos entao ∠BCD > ∠ACD = ∠ADC .

No triangulo DBC isso significa que BD > BC , ou seja, b + c > a.

De a < b + c conclui-se que b < a + c e c < a + b. Portanto:

Em um triangulo qualquer lado e menor que a soma dos outros dois.


Problema 1

Se P e um ponto interior ao triangulo ABC entaoPB + PC < AB + AC .


Solucao

bA

b

B

b

C

b

P

bQ

Seja Q o ponto de intersecao da reta BP com o lado AC .

No triangulo BAQ temos BP + PQ < AB + AQ.

No triangulo PQC temos PC < PQ + QC .

Somando membro a membro e cancelando o termo PQ temos

PB + PC < AB + AQ + QC = AB + AC


Problema 2

No triangulo ABC tem-se AB = 9, AC = x e BC = 15− 2x .Quais sao os valores possıveis de x?

Solucao:Vamos aplicar a desigualdade triangular para cada lado dotriangulo.

AB < AC + BC ⇒ 9 < x + 15− 2x ⇒ x < 6

AC < AB + BC ⇒ x < 9 + 15− 2x ⇒ x < 8

BC < AB + AC ⇒ 15− 2x < 9 + x ⇒ x > 2

Para que as tres desigualdades sejam verdadeiras devemos ter2 < x < 6.


Pergunta

No Problema 2 o triangulo pode ser isosceles?


Desigualdade triangular IIMA13 - Unidade 3


Problema 1

No triangulo ABC o ponto M e medio de BC . O segmento AM ea mediana relativa ao vertice A (tambem se diz que AM e amediana relativa ao lado BC ).

Sao dados AB = c , AC = b e AM = m.

a) Mostre que m <b + c

2.

b) Construa o triangulo ABC com os elementos dados.

Procure resolver sem ver logo a solucao que vem a seguir.

Desigualdade triangular II slide 2/10

Solucao

a) Prolongue o segmento AM de um comprimento MD igual aAM.

bA

b

BbC

c b

b

M

b

D

c ′

m

Os triangulos MAB e MCD sao congruentes pelo caso LAL.

Logo, CD = AB = c . Assim, no triangulo ACD temosAD < AC + CD, ou seja, 2m < b + c , como querıamosdemonstrar.


b) Aproveitando o item anterior a construcao pode ser feita daseguinte forma.

Desenhe o segmento AM e a semirreta AM. Desenhe acircunferencia de centro M que passa por A. Sobre a reta AM ficadeterminado o ponto D tal que AM = MD.

bA

b

M

b

D

m


c) Trace a circunferencia de centro A e raio b e a circunferencia decentro D e raio c .

bA

b C

b

b

M

b

D

c

m

Seja C um dos pontos de intersecao dessas circunferencias.


d) Trace a reta CM e a circunferencia de centro M passando por C .

Essa circunferencia determina na reta CM o ponto B e o trianguloesta construıdo.

bA

b

B

b

C

c b

b

M

b

D

m


O caminho mınimo

Considere dois pontos A e B de um mesmo lado da reta r .

Um problema famoso e o de determinar a posicao do ponto Psobre a reta r de forma que a soma das distancias de P aos pontosA e B seja mınima. ( PA + PB deve ser mınima)

bA

bB

b

Pr

Para resolver, desenhe o simetrico de um dos pontos dados emrelacao a reta r .


Na figura a seguir, o ponto C e o simetrico de B em relacao a r .

bA

bB

r

b

C

b

Q

Como a reta r e a mediatriz do segmento BC temos que, paraqualquer ponto Q de r , QB = QC . Assim, AQ + QB e sempreigual a AQ + QC .


Seja P o ponto de intersecao do segmento AC com a reta r .

Pela desigualdade triangular, AP + PC < AQ + QC para todoponto Q diferente de P.

bA

bB

r

b

C

b

Q

b

P

O ponto P esta determinado.


ImportanteObserve que, quando PA + PB e mınima, os segmentos PA e PBfazem angulos iguais com a reta r .

bA

bB

r

b

C

b

P


Quadrilateros notaveis IMA13 - Unidade 4


Paralelogramo

Paralelogramo e o quadrilatero que possui dois pares de ladosparalelos.

b

A

b

B

bD

bC

Quadrilateros notaveis I slide 2/11

Propriedades do paralelogramo

P1 – Os lados opostos sao iguais (congruentes).

AB = DC e AD = BC

b

A

b

B

bD

bC


P2 – Os angulos internos opostos sao iguais.

A = C e B = D

b

A

b

B

bD

bC


P3 – Dois angulos internos vizinhos quaisquer sao suplementares.

A + B = 180◦

b

A

b

B

bD

bC


P4 – As diagonais cortam-se ao meio.

MA = MC e MB = MD

b

A

b

B

bD

bC

b

M


Teoremas

T1) Se um quadrilatero convexo possui dois pares de lados opostosiguais ele e um paralelogramo.

T2) Se um quadrilatero possui os angulos internos opostos iguaisele e um paralelogramo.

T3) Se em um quadrilatero dois angulos internos quaisquersuplementares, ele e um paralelogramo.

T4) Se as diagonais de um quadrilatero se cortam nos respectivospontos medios ele e um paralelogramo.


Retangulo

Retangulo e o quadrilatero que possui todos os angulos iguais.

b

A

b

B

b

Cb

D

O retangulo e um paralelogramo. Logo, possui as propriedades P1a P4 anteriores.

Propriedade exclusiva do retangulo:P5 – As diagonais sao iguais.


Losango

Losango e o quadrilatero que possui todos os lados iguais.

b

Ab

CbM

b

B

bD

O losango e um paralelogramo. Logo, possui as propriedades P1 aP4 anteriores.

Propriedade exclusiva do retangulo:P6 – As diagonais sao perpendiculares.


Quadrado

b

A

b

B

b CbD


Teorema

Se um quadrilatero possui dois lados iguais e paralelos ele e umparalelogramo.

b

A

b

B

bD

bC

b

M

Perguntando ao leitor

Se, na figura acima, as retas AB e CD sao paralelas e, ossegmentos AB e CD tem mesmo comprimento, por que ABCD eum paralelogramo?


Quadrilateros notaveis IIMA13 - Unidade 4


Base media do triangulo

Teoremas:

a) Em um triangulo ABC o ponto M e medio do lado AB. Aparalela tracada por M ao lado BC intersecta esse lado no seuponto medio.

bA

b

B

b

C

bM b N

Quadrilateros notaveis II slide 2/9

b) No triangulo ABC o ponto M e medio do lado AB e N e oponto medio do lado AC . Entao, a reta MN e paralela a reta BC eo segmento MN e a metade do segmento BC .

a

2a

bA

b

B

b

C

bM bN


Trapezio

Trapezio e o quadrilatero convexo que possui apenas um par delados paralelos.

b

A

b

B

bC

bD

Base media do trapezio e o segmento que une os pontos mediosdos lados opostos nao paralelos de um trapezio e paralelo as basese tem comprimento igual a semissoma das bases.

b

A

b

B

bC

bD

bM b N


Teoremas

Considere o trapezio ABCD de bases AB e CD.

a) A paralela as bases tracada pelo ponto medio do lado ADencontra o lado BC no seu ponto medio.

b) O segmento que une os pontos medios dos lados AD e BC dotrapezio e paralelo as bases.

c) A base media do trapezio e igual a semissoma das bases.

b

A

b

B

bC

bD

bM b Nb

P


Baricentro de um triangulo

DefinicaoBaricentro de um triangulo e o ponto de intersecao das medianas.

Ha um problema nessa tradicional definicao. Qual e?


TeoremaO ponto de intersecao de duas medianas de um triangulo dividecada uma delas na razao 2:1.


Demonstracao:No triangulo ABC seja G o ponto de in-tersecao das medianas BM e CN.Seja P o ponto medio de BG e seja Q oponto medio de CG .Considere MN = a.O segmento MN e base media no trianguloABC . Logo, MN//BC e BC = 2a.O segmento PQ e base media no trianguloGBC . Logo, PQ//BC e PQ = a.

bA

b

B

b

C

bM b N

b

Gb

P

b

Q

O quadrilatero MNPQ tem dois lados opostos iguais e paralelos.Logo e um paralelogramo. Assim, PG = GM (diagonais cortam-seao meio).Como ja tınhamos BP = PG (P e medio de BG ), entao

BP = PG = GM e, consequentemente,BG

2=

GM

1.

Analogamente,CG

2=

GN

1.


TeoremaAs tres medianas de um triangulo cortam-se em um unico ponto.

Como voce faria essa demonstracao?


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