Parte 6 matematicacdn.uahora.com/psa2014/matematicas.pdf · U.A.G.R.M. SANTA CRUZ DE LA SIERRA – BOLIVIA Prohibida la reproducción total o parcial de la presente obra sin el permiso

PAB - 2013

CARLOS BURGOA MOLINA 347

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “GABRIEL RENÉ MORENO”

MATEMÁTICAS

Elaborado por: CARLOS BURGOA MOLINA

Coordinador de la materia de Matemáticas U.A.G.R.M.

SANTA CRUZ DE LA SIERRA – BOLIVIA

Prohibida la reproducción total o parcial de la presente obra sin el permiso del autor y del Departamento de Admisiones Estudiantiles de la U.A.G.R.M.

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PRESENTACIÓN

El presente texto de MATEMÁTICAS GUÍA PRÁCTICA DE

EJERCICIOS, es un material de apoyo para los docentes y

estudiantes del PAB VERANO 2012-13 de la Universidad

Autónoma “Gabriel René Moreno”, para consolidar y fortalecer las

bases de la secundaria, considerados necesarios para la admisión

a nuestra superior casa de estudios.

Por la corta duración del PAB el contenido ofrece ejercicios

resueltos y propuestos con sus respectivos formularios, desde

conjuntos, aritmética, exponentes y radicales, valor numérico,

signos de agrupación, operaciones con polinomios, productos

notables, factorización, fracciones algebraicas, ecuaciones,

sistemas de ecuaciones, inecuaciones, logaritmos, trigonometría y

geometría plana.

A. CARLOS BURGOA MOLINA COORDINADOR PAB/PSA - U.AG.R.M.

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ÍNDICE

Signos y símbolos ……………………………………………………

Formulario Básico ……………………………………………………

Conjuntos ……………………………………………………………….

Aritmética ……………………………………………………………….

Valor Numérico ……………………………………………………….

Signos de Agrupación ………………………………………………

Ejercicios de Autoevaluación 1 ………………………………..

Binomio de Newton ………………………………………………..

Teorema del Resto …………………………………………………

Operaciones con Polinomios …………………………………..


Productos Notables …………………………………………………

Factorización …………………………………………………………..


Fracciones Algebraicas …………………………………………….


Ecuaciones Lineales …………………………………………………


Ecuaciones no lineales …………………………………………….


Inecuaciones ……………………………………………………………


352

353

359

363

363

363

366

368

368

368

371

373

373

379

381

382

384

386

389

390

393

394

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Logaritmos ………………………………………………………………


Trigonometría …………………………………………………………


Geometría Plana ……………………………………………………..

Ejercicios de Autoevaluación 10 ………………………………

Olimpiadas del Saber ………………………………………………

Bibliografía ………………………………………………………………

398

404

411

417

424

425

435

445

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SIGNOS Y SÍMBOLOS = Igual que ≠ Diferente de ± Más o menos ~ Aproximadamente ≅ Aproximadamente igual ∞ Infinito × Signo de multiplicación ÷ Signo de división ! Factorial ≡ Idéntico < Menor que > Mayor que ≤ Menor o igual que ≥ Mayor o igual que ≈ Casi igual (asintótico a) ∀ Para todo ∪ Unión de conjuntos ∩ Intersección de conjuntos ∅ Conjunto vacío ° Grados % Tanto por ciento ‰ Tanto por mil ∁ Complemento Derivada parcial ℉ Grados Fahrenheit ℃ Grados centígrados ∴ Por lo tanto # Número ∆ Incremento ∇ Decremento ∈ Pertenece a ∉ Nopertenecea ∃ Existe ∄ No existe

Alfa Beta

Theta Pi

@ Arroba ConjuntoUniversal ⟺ Equivalente ⟹ Entonces∧ y ∨ oN NúmerosNaturales ℤ NúmerosEnterosℚ NúmerosRacionales ℝ NúmerosReales

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⊂ Estáincluidooessubconjunto ⊃ Contieneoessuperconjunto⅀ Sumatoria ∕ Talque

FORMULARIO BÁSICO

LEYES DE EXPONENTES Y RADICALES

1. ∙ =

2. =

3. ( ∙ ) = ∙

4. =

5. = 1, ≠ 0

6. ( ) = ∙

7. =

8. =

9. = √

10. √ ∙ √ = √ ∙

11. = √√

12. √ = √∙

13. √− , ú , º ,

14. = ↔ =

TÉRMINO GENERAL DE UN BINOMIO: ( + ) = ∙ ( − 1) ∙ ( − 2) ∙ ( − 3) ∙ ………… ∙ ( − 1)1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ ………… ∙ ( − 1) ∙ ( ) ( )

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PRODUCTOS NOTABLES

1. ( + ) = + 2 +

2. ( − ) = − 2 +

3. ( + ) = + 3 + 3 +

4. ( − ) = − 3 + 3 −

5. ( + ) ∙ ( − ) = −

6. ( + ) ∙ ( − + ) = +

7. ( − ) ∙ ( + + ) = −

8. ( + + ) = + + + 2 + 2 + 2

ECUACIÓN CUADRÁTICA. Su forma general es: + + = 0.

Fórmula Cuadrática: = ±

Suma de Raíces: = = −

Producto de Raíces: = ∙ =

Diferencia de Raíces: = − =

Condiciones: − 4 > 0, existen dos soluciones reales − 4 < 0, existen dos soluciones imaginarias − = , existe una solución (raíces iguales)

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PROPIEDADES DE LOGARITMOS

1. ( ∙ ) = +

2. = −

3. = ∙

4. √ = ∙ =

5. =

6. =

7. ( ) =

8. =

9. =

LOGARITMOS ESPECIALES = 1 1 = 10 = 0 10 = 10 = 1 100 = 10 = 2 1000 = 10 = 3

.

. 10 =

DEFINICIÓN DE LOGARITMOS = ⇔ =

CAMBIO DE BASE =

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS = ℎ

= ℎ

=

=

= ℎ

= ℎ

TEOREMA DE PITÁGORAS: = + = + = − = −

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS + = 1 = = = = = = 2 = 2 ∙ 2 = − 2 = ( ± ) = ∙ ± ∙ ( ± ) = ∙ ∓ ∙ ( ± ) = ±∓ ∙

= 2 = 1+2

= = =

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ÁNGULOS NOTABLES

FUNCIÓN 0° 30° 45° 60° 90°

Seno 0 12 √22 √32 1

Coseno 1 √32 √22

12 0

Tangente 0 √33 1 √3 ±∞

Cotangente ±∞ √3 1 √33 0

Secante 1 2√33 √2 2 ±∞

Cosecante ±∞ 2 √2 2√33 1

1лrad=180°

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GEOMETRÍA PLANA

Área de un Cuadrado: =

Perímetro de un Cuadrado: = 4

Diagonal de un Cuadrado: = √2

Área de un Rectángulo: = ∙

Perímetro de un Rectángulo: = 2( + ) Diagonal de un Rectángulo: = √ +

Área de un Triángulo: = ∙

Perímetro de un Triángulo: = + +

Área de un Círculo: = л∙ = л ∙

Perímetro de un Círculo: = л ∙ = 2л ∙

Área de un Trapecio: ( )

Área de un Triángulo Equilátero: = √

Altura de un Triángulo Equilátero: ℎ = √

Perímetro de un Triángulo Equilátero: = 3

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1. CONJUNTOS

Un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos. Los términos: conjunto, pertenencia y elemento; son considerados como primitivos (términos no definidos).

Notación.- Para denotar conjuntos se utiliza generalmente letras mayúsculas y para especificar elementos se usarán letras minúsculas o números, a no ser que dichos elementos sean conjuntos.

Los símbolos a utilizar más empleados son:

Símbolo Significado Símbolo Significado

ε Pertenece ≤ Menor o igual que

Ц Conjunto Universal ≥ Mayor o igual que

Ø Conjunto Vacío < Menor que

/ Tal que > Mayor que ∀ Para todo ≠ Distinto ∃ Existe ⟹ Entonces ∴ Por lo tanto ⟺ Equivalente ∪ Unión ∧ Y ∩ Intersección ∨ O

Ac Complemento de A ∉ No pertenece

Formas de Expresar un Conjunto.- Los conjuntos se pueden expresar por extensión y por comprensión.

Un conjunto está expresado por extensión si y solo si se enumeran todos los elementos que lo componen.

Un conjunto está expresado por comprensión si y solo si se da la propiedad que caracteriza a sus elementos.

CONJUNTOS NUMÉRICOS. Los más utilizados son:

Números Naturales (N).- Son aquellos que sirven para contar. También se llaman enteros positivos.

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N={1,2,3,4,……}

Números Enteros (Z).- Es el conjunto de los naturales unidos con sus opuestos más el cero.

Números Fraccionarios (F).- Son los de la forma a/b (b≠0) donde a es menor que b.

Ejemplos: 4/5, 3/7, 10/11, 15/19, 1/8, etc.

Números Racionales (Q).- Es el conjunto que resulta de unir los enteros con los fraccionarios.

Ejemplos: -2, 0, 8, 5/9, 7/3, 80/77, etc.

Números Irracionales.- Son los no racionales.

Ejemplos: √2, ∏, etc.

Números Reales.- Es el conjunto de unir los racionales con los irracionales.

Ejemplos: -7, -1, 0, 5, 48, 3/10, 15/4, 5, ∏, etc.

Números Imaginarios.- Son los no reales.

Ejemplos: √−2, √−5, etc.

Números Complejos.- Es el conjunto de unir los reales con los imaginarios.

Ejemplos: -4, 0, 7, 2/7, 11/8, ∏,√−2, √−5, etc.

Conjuntos Especiales. Extendemos la noción intuitiva de conjunto sus casos especiales.

Conjunto Vacío (Φ).- Es aquel que carece de elementos.

Ejemplo. Escribir por extensión el conjunto: A= {xεN/x<1}

Como no existen números naturales menores que 1, tenemos: A=Φ= { }

Conjunto Unitario.- Es aquel que está formado por un solo elemento.

Ejemplo. Escribir por extensión el conjunto: B= {x ε F/5x2+18x-8=0}

Factorizando tenemos: (x+4) (5x-2)=0

Igualando a cero cada factor y despejando “x” tenemos: x1=-4 y x2=2/5

{ } ....,.........4,3,2,1,0,1,2,3,4..,.......... −−−−=Z

, , ,2 e

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Como solamente 2/5 es fraccionario, tenemos: B= {2/5}

Conjunto Universo (Ц).- El conjunto universal depende de la disciplina de estudio, se fija de antemano, y está formado por todos los elementos que intervienen en el tema de interés.

Operadores de Conjuntos.- Los operadores conjuntistas son:

Unión de Conjuntos (∪).- La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que están en a o en B.

Simbólicamente tenemos: ∪ = ∨

Intersección de Conjuntos (∩).- La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos comunes que están en a y en B.

Simbólicamente tenemos: ∩ = ∧

Diferencia de Conjuntos.- La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que están en A y no en B.

Simbólicamente tenemos: − = ∧ ∉

Complemento de un Conjunto.- El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por los elementos que están en el Universo y no en A.

Simbólicamente tenemos: = ∧ ∉ A

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EJEMPLOS PARA PRACTICAR

1. Expresar por comprensión los siguientes conjuntos:

a) A= {1,2,3,4,5,6} b) B={-2,-1,0,1,2,3,4,5}

2. Teniendo los conjuntos: A= {xεZ/x3-4x-x2+4=0} y B= {xεN/x2-3x+2=0} y Ц=

{xεZ/-3≤x≤3}. Se pide:

a) ( ∪ ) − ( ∩ ) b) ( ∪ ) − ( ∩ )

c) ( − ) ∪ ( ∩ ) d) ( ∩ ) ∪ ( − )

3. Teniendo: A= {x/x es divisor de 15} y B= {x/x es divisor de 20}. Se pide:

a) ( ∪ ) − ( ∩ ) b) ( − ) ∩ ( − )

c) ( ∩ ) ∪ ( − ) d) ( − ) ∩ ( − )

Considerar: = ∪

4. Teniendo: A= {x/x es divisor de 30} y B= {x/x es divisor de 25}. Se pide:

a) ( ∪ ) − ( ∩ ) b) ( − ) ∩ ( − )

c) ( ∩ ) ∪ ( − ) d) ( − ) ∩ ( − )

Considerar: = ∪

5. Teniendo: E= {x/x es múltiplo de 3, x<21} y F= {x/x múltiplo de 5, x≤30}. Se pide:

a) ( ∪ ) − ( ∩ ) b) ( − ) ∩ ( − )

c) ( ∩ ) ∪ ( − ) d) ( − ) ∩ ( − )

Considerar: = ∪

6. Se considera un experimento aleatorio consistente en lanzar 3 monedas. Si una moneda cae cara, se anota 1, y si cae sello se anota 0. Formar el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados del experimento.

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2. ARITMÉTICA-VALOR NUMÉRICO-SIGNOS DE AGRUPACIÓN

ARITMÉTICA

La Aritmética aquella rama dentro de las matemáticas que se ocupa del estudio de los números y

las operaciones elementales que pueden realizarse con ellos.

Fundamentalmente, la aritmética estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades

más importantes, siendo sus operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, división,

potenciación, radicación y logaritmación.

LEYES DE EXPONENTES Y RADICALES

1. ∙ = 2. =

3. ( ∙ ) = ∙ 4. =

5. = 1, ≠ 0 6. ( ) = ∙

7. = 8. =

9. = √ 10. √ ∙ √ = √ ∙

11. = √√ 12. √ = √∙

13. √− , ú , º ,

14. = ↔ =

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

La expresión algebraica es una combinación de letras y números ligar por los signos de las

operaciones: suma, resta, multiplicación, división y potenciación

VALOR NUMÉRICO

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se

obtiene al reemplazar en ésta por un valor numeral dado y realizar las operaciones indicadas hasta

reducir a su mínima expresión.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación consisten en eliminar los paréntesis, los corchetes y las llaves y realizar

las operaciones indicadas hasta reducir a su mínima expresión.

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Ejemplos Aclaratorios:

1. Simplificar la expresión: 4 − 3√8 + 2√18

= 4 − 3√8 + 2√18 = 4 ∙∙ − 3√2 ∙ 2 + 2√3 ∙ 2

= 4 √ − 3 ∙ 2√2 + 2 ∙ 3√2 = 2√2 − 6√2 + 6√2 = 2√2 R.

2. Reducir la expresión: ∙ ∙∙ ∙

= 216∙353∙803154∙149∙302 = (3∙7)6∙(5∙7)3∙ 24∙5 3(3∙5)4∙(2∙7)9∙(2∙3∙5)2 = 36∙76∙53∙73∙212∙5334∙54∙29∙79∙22∙32∙52

= 212∙36∙56∙79211∙36∙56∙79 = 2 R.

3. Simplificar la expresión: −

= − = −

= 94− 11+32 −1 = 94− 152 −1 = 94− 25 −1

= = = = = R.

4. Encontrar el valor numérico de = , para = 3, = 4, = 8

= = = √3 = 3 = 9 R.

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5. Aplicando signos de agrupación simplificar la siguiente expresión:

− ( + ) − 3 −2 + −2 − 2( − 1) − ( + − 1) − (14 + 8 − 9) = − − − 3 −2 + −2 − 2 + 2 − − + 1 − 14 − 8 + 9

= − − 3 −2 − 3 − 3 + 3 = − − 3 −5 − 3 + 3 − 14 − 8 + 9

= − + 15 + 9 − 9 − 14 − 8 + 9 = R.

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EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN # 1

ARITMÉTICA-VALOR NUMÉRICO -SIGNOS DE AGRUPACIÓN

1. Si se simplifica la expresión √80 + 5 − 3√5 + √125, tenemos como resultado:

a) 3√5 b) 4√5 c) 5√5 d) √5 e) NA

2. Reduciendo la expresión , queda como resultado:

a) 16/7 b) -16/7 c) 5/7 d) -5/7 e) NA

3. Realizando operaciones de C=∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ , obtenemos como resultado:

a) 2 b) 1/2 c) 1 d) 5 e) NA

4. Aplicando signos de agrupación y simplificando la siguiente expresión:

3 − − 5 + (3 − ) + 2 − 4( − − 3 + 4) − ( − ), tenemos:

a) a b) b c) a+b d) a-b e) NA

5. El valor numérico de la expresión , para = 2, = , = − , es:

a) 2 b) 1/2 c) 1 d) 5 e) NA

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6. Simplificando la expresión ÷ . ÷ . . ÷ .× . × . . , el resultado es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA

7. Reduciendo la expresión = 4− − − , tenemos como resultado:

a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA

8. Simplificando la expresión √ √ √ √ √ √, el resultado es:

a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) NA

9. El valor numérico de la expresión A=− ( )( )

a) 2 b) -2 c) 1/2 d) -1/2 e) NA

10. Si se vende los 5/8 de una pieza de tela quedan 27 metros. El número de metros que tenía

la pieza es:

a) 80 b) 45 c) 90 d) 72 e) NA

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3. BINOMIO DE NEWTON-TEOREMA DEL RESTO-OPERACIONES CON POLINOMIOS

BINOMIO DE NEWTON

Cuando hablamos de un binomio, nos referimos a la suma o diferencia de dos elementos. La

fórmula que nos permite encontrar directamente cualquier término de un binomio es:

TÉRMINO GENERAL DE UN BINOMIO: ( + ) = ∙ ( − 1) ∙ ( − 2) ∙ ( − 3) ∙ ………… ∙ ( − 1)1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ ………… ∙ ( − 1) ∙ ( ) ( ) TEOREMA DEL RESTO

El Teorema del Resto es un método por el cual podemos obtener el resto o residuo de una división

algebraica, en la cual no es necesario efectuar división alguna. Este teorema se aplica para

encontrar el resto y para hallar una variable cuando nos dan el resto.

Para aplicar el Teorema del Resto su utilizan dos pasos:

Paso 1: El divisor se iguala a cero y se despeja la variable a reemplazar en el siguiente paso.

Paso 2: El valor del paso anterior se reemplaza en el dividendo para obtener el resto.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Las operaciones algebraicas que se pueden realizar con los polinomios son: la suma, la resta, la

multiplicación y la división algebraica.


1. Encontrar el quinto término del desarrollo de: −

TÉRMINO GENERAL DE UN BINOMIO: ( + ) = ∙ ( − 1) ∙ ( − 2) ∙ ( − 3) ∙ ………… ∙ ( − 1)1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ ………… ∙ ( − 1) ∙ ( ) ( ) = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 61 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 12 ∙ − 13

= 126 ∙ ∙ − = 126 ∙ ∙ = R.

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2. Hallar k para que el polinomio (3 − 5 + 6 − 1) dividido entre (2 − 4), tenga resto

igual a -5.

Por el Teorema del Resto

Paso 1: El divisor igualar a cero y despejar x

(2 − 4) = 0 → = 2

Paso 2: Reemplazar x=2 en el dividendo y se obtiene el resto (R)

= 3(2) − 5(2) + 6 − 1 = −5 12 − 10 + 6 − 1 = −5

1 + 6 = −5 6 = −6 → = −1 R.

3. Multiplicar y simplificar: ( − 2)( + 5)( − 5)( + 2) Para aplicar ( − )( + ) = − , agrupamos en ese orden:

Multiplicando ( − 2)( + 2) = − 4

Multiplicando ( − 5)( + 5) = − 25

Multiplicando los resultados tenemos ( − 4) ∙ ( − 25) = − 29 + 100 R.

4. Dados los polinomios: ( ) = 2 − 7 + 5, ( ) = − 1, ( ) = 2 + 2 − 10

Encontrar ( )( ) − ( ):

Dividiendo ( )( ) tenemos 2 + 2 − 5

Entonces ( )( ) − ( ) = (2 2 + 2 − 5) − (2 2 + 2 − 10)

= ( )( ) − ( ) = 2 + 2 − 5− 2 − 2 + 10 = 5 R.

5. Encontrar el 4º término del desarrollo de: √ ∙ √ − 3√

TÉRMINO GENERAL DE UN BINOMIO: ( + )

= ∙( )∙( )∙( )∙…………∙( )∙ ∙ ∙ ∙…………∙( ) ∙ ( ) ( ) = ∙ ∙∙ ∙ ∙ √ ∙ √ ∙ −3√

= 165 ∙ ∙ (−27 ) = −55 R.

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6. Encontrar el término medio del desarrollo de: ∙ √ −

TÉRMINO GENERAL DE UN BINOMIO: ( + )

= ∙( )∙( )∙( )∙…………∙( )∙ ∙ ∙ ∙…………∙( ) ∙ ( ) ( ) = ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ 29 ∙ √ ∙ − 34 √

= 70 ∙ ∙ = 70 ∙ = ∙ = R.

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BINOMIO DE NEWTON-TEOREMA DEL RESTO –OPERACIONES CON POLINOMIOS

1. El 4º término del desarrollo de − 2 , es:

a) −14

b) 14

c) −14

d) −7

e) NA

2. El término central del desarrollo de − , es:

a) 252

b) −252

c) 252

d) −

e) NA

3. Para que el polinomio (4 − 4 − 2 + ) sea divisible entre + , el valor de k

es:

a) 1/2

b) 3/2

c) 2

d) -1/2

e) NA

4. Al dividir el polinomio (3 + + 17) entre ( − 1) , el residuo es igual al doble que

se obtiene al dividir (2 + − 7) entre ( − 2). Entonces el valor de k es:

a) 10 b) -10 c) 5 d) -5 e) NA

5. Después de multiplicar y simplificar: ( − 3)( + 4)( − 4)( + 3), se obtiene:

a) − 25 + 144

b) + 25 + 144

c) − 25 − 144

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d) + 25 − 144

e) NA

6. Dados los polinomios: ( ) = 3 − 7 + 10, ( ) = + 2, ( ) = 3 − 6

Encontrar ( )( ) − ( ):

a) 4 b) -4 c) 5 d) -5 e) NA

7. Dados los polinomios: ( ) = − 2 + 4, ( ) = + 2 + 4, ( ) = + 4

Encontrar ( ) ∙ ( ) − ( ):

a) -16 b) -24 c) 24 d) 16 e) NA

8. Después de desarrollar y simplificar la expresión (2 − 3 ) − (2 + 3 ) + 54 , se

tiene como resultado:

a) −72 b) 72 c) −72 d) −72 e) NA

9. El resto de la división del polinomio ( − 3 + 2) ( + 4 − 8) entre el binomio ( − 2) es:

a) 4 b) 8 c) 16 d) 64 e) NA

10. ¿Qué número se debe restar al coeficiente del término lineal del polinomio

(2 − 5 + 3 − 2) para que al dividir entre ( − 1) su resto sea 12?

a) 6 b) -14 c) 14 d) -6 e) NA

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4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables más utilizados son:

1. ( + ) = + 2 +

2. ( − ) = − 2 +

3. ( + ) = + 3 + 3 +

4. ( − ) = − 3 + 3 −

5. ( + ) ∙ ( − ) = −

6. ( + ) ∙ ( − + ) = +

7. ( − ) ∙ ( + + ) = −

8. ( + + ) = + + + 2 + 2 + 2

5. FACTORIZACIÓN

Factorizar es escribir una expresión algebraica en forma de producto. Los casos que se aplican son:

• Factor Común

• Agrupación de Términos

• Diferencia de Cuadrados: − = ( + ) ∙ ( − ) • Diferencia de Cubos: − = ( − ) ∙ ( + + ) • Suma de Cubos: + = ( + ) ∙ ( − + ) • Suma o Diferencia de Potencias Iguales

• Trinomio Cuadrado Perfecto: ± 2 + = ( ± )

• Trinomio de la Forma: + +

• Trinomio de la Forma: + +

• Trinomio Cuadrado Perfecto por Suma o Resta

• Cubo Perfecto de Binomios: ± 3 + 3 + = ( ± )

• Descomposición por Evaluación

Nota. La factorización es la base fundamental para las asignaturas cuantitativas, especialmente el

Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

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EJEMPLOS RESUELTOS DE FACTORIZACIÓN

Factor Común

Ejemplos: Factorar las siguientes expresiones algebraicas:

a) 24x10y20z30 -40x20y30z10 -60y10z20=4y10 z10 (6x10y10z20 -10x20y20 -15z10)

b) (x-y) (3a-4b+5c)-(y-x) (3a+4b-5c)= (x-y) (3a-4b+5c)+(x-y) (3a+4b-5c)=

(x-y)[(3a-4b+5c)+ (3a+4b-5c)] =(x-y) (3a-4b+5c+ 3a+4b-5c)= 6a(x-y)

Factor Común por Agrupación de Términos


a) 35by+12ax-21bx-20ay=12ax-20ay-2bx+35by= (12ax-20ay)-(21bx-35by) =

4a (3x-5y)-7b (3x-5y)= (4a-7b) (3x-5y)

b) 2c+2c3+2c2+2=2c3+2c2+2c+2=2(c3+c2+c+1) = 2[(c3+c2) + (c+1)] =

2[c2(c+1) + (c+1)] =2(c+1) (c2+1)

Diferencia de Cuadrados: x2-y2=(x+y) (x-y)


a) 64b4-121c2= (8b2+11c) (8b2 -11c)

b) 44m16-396n36= 11(4m16-36n36) = 11(2m8+6n18) (2m8-6n18)

Suma o Diferencia de Cubos Perfectos: x3+y3=(x+y) (x2-xy+y2)

x3-y3=(x-y) (x2+xy+y2)


a) 27x3-8= (3x-2) (9x2+6x+4)

b) (2x+3)3+ (4x-5)3= [(2x+3) + (4x-5)] [(2x+3)2-(2x+3) (4x-5)] + (4x-5)2] =

(2x+3+4x-5)[(4x2+12x+9)-(8x2-10x+12x-15)+(16x2-40x+25)]=

(6x-2)(4x2+12x+9-8x2+10x-12x+15+16x2-40x+25)= 2(3x-1) (12x2 -30x+49)

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Trinomio Cuadrado Perfecto: x2±2xy+y2= (x±y)2


a) x2+18xy+81y2= (x+9y)2

b) 9m4-54m2n8+81n16= (3m2-9n8)2

Trinomio de la forma: x2+bx+c


a) a2+21ab+90b2= (a+15b) (a+6b)

b) y4 -24y2z3+143z6= (y2 -13z3) ( y2 -11z3)

c) p40 +4p20q30-480q60= (p20 +24q30) (p20 -20q30)

d) m50 -33m25n35-484n70= (m25-44n35)( m25+11n35)

e) –x2-7x+330=-(x2+7x-330)= -(x+22) (x-15)= (15-x) (x+22)

Trinomio de la forma: ax2+bx+c


a) 6x2-11xy-10y2= (3x+2y) (2x-5y)

b) -20m2+23mn-6n2= -(20m2-23mn+6n2)=-(4m-3n) (5m-2n)= (3n-4m) (5m-2n)

Ruffini


a) x3+2x2-x-2 = (x-1)(x+1)(x+2)

1 2 -1 -2 |

1 3 2 | 1

-------------------- |---

1 3 2 0 | x2+3x+2=(x+2) (x+1)

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b) 3x4-2x3-21x2-4x+12 = (x+1)(x+2)(x-3)(3x-2)

3 -2 -21 -4 12 |

-3 5 16 -12 | -1

-------------------- ------- |---

3 -5 -16 12 | 0 |

-6 22 -12 | -2

-------------------- |---

3 -11 6 0 | 3x2-11x+6= (x-3) (3x-2)

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EJEMPLOS DE FACTORIZACIÓN PARA PRACTICAR

1. 60x15y25z35 -36x25y35z15 -24y15z25 2. 28x10y20z30 -42x20y30z10 -70y10z20

3. (a-b) (5x-6y+7z)-(b-a) (5x+6y-7z) 4. (m-n)(2a-4b+6c)+ (n-m) (2a+4b-6c)

5. 5Y+5Y2+5Y3+5 6. 15Y3-45BY2-5y+15b

7. 42bz-18az-35by+15ay 8. 9x3+6axy+6ay2-9xy2-6ax2 -9x2y

9. 16m2-n4 10. −

11. 72x2n -242y6n 12. 16(x+y)2 -9(x-y)2

13. (b-c)4-(b+c)4 14. (2x-3)4-(2x+3)4

15. 27x3-y9 16. +

17. 64m12+y33 18. −

19. 2y6 -128 20. (x-y)6 - (x+y)6

21. p2 +16pq2+64q4 22. 2+2x10 - 4x5

23. − + + 24. + +

25. x2-30xy+125y2 26. –x2+9x+22

27. 2c4+16c2d-2016d2 28. x10n+x5ny10n -930y20n

29. 6x2-32x+32 30. 30m4-5m2x4-75x8

31. 42x2-58xy-144y2 32. 21+2x-8x2

33. x3+4x2+x-6 34. 2n4-44n2-150

35. 8x3-56x+48 36. x4+4x3-13x2-40x+48

37. 10x5-230x3-60x2+1120x+960 38. 2y5-8y4+3y-12

39. x4-20x2+64 40. 2x4-4x2+2


1. Factorizar y reducir la expresión: ( + ) − ( − ) :

= ( + ) − ( − ) = ( + ) + ( − ) ( + ) − ( − )

= ( + 2 + ) + ( − 2 + ) ( + 2 + ) − ( − 2 + )

= + 2 + + − 2 + + 2 + − + 2 −

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= 2 + 2 4 = 2( + )(4 ) = 8 ( + ) R.

2. Al descomponer la expresión: − , en un producto de factores. ¿Cuántos factores

reales se tiene como resultado?

= − = ∙ ( − 1) = ∙ ( + 1) ∙ ( − 1) = ∙ ( + 1) ∙ ( + 1) ∙ ( − 1) = ∙ ( + 1) ∙ ( + 1) ∙ ( + 1) ∙ ( − 1) = ∙ ( + 1) ∙ ( + 1) ∙ ( + 1) ∙ ( + 1) ∙ ( − 1) R. 6 factores

3. Un factor de la expresión − − 6, es:

a) √ − 3 b) √ − 2 c) √ − 3 d) √ − 2 e) NA

= − − 6 = − 3 + 2

= √ − 3 √ + 2 R. inc.) a

4. Después de factorizar la expresión − 3 + − 3, uno de los factores es:

a) x2+x+1 b) x2+x-1 c) x2-x+1 d) x2 +1 e) NA

= − 3 + − 3 = ( − 3 ) + ( − 3) = ( − 3) + ( − 3) = ( − 3)( + 1) = ( − 3)( + 1)( − + 1) R. inc.) c

5. Después de factorizar la expresión −9 − 15 + 50, la suma de sus factores expresado

en valor absoluto es:

a) 15x b) x c) 15 d) x+15 e) NA

= −9 − 15 + 50 = −(9 + 15 − 50) = −(3 − 5)(3 + 10) = (5 − 3 )(3 + 10) = (5 − 3 ) + (3 + 10) = 15 R. inc.) c

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PRODUCTOS NOTABLES-FACTORIZACIÓN

1. Al factorizar la expresión algebraica ( + )( − ) + 3 ( + ) + ( + ) , se obtiene:

a) 5x(x+y) b) x+y c) 5(x+y) d) x-y e) NA

2. Después de desarrollar la expresión = ( + 1) − ( − 1) − 8 , se obtiene:

a) 8b3 b) 8a3 c) 8b

d) 8a e) NA

3. Después de factorizar la expresión ( − 3)( − 2)( − 1) − 3, uno de los factores es:

a) x2+3x-3 b) x2+3x-9 c) x2+9x-3 d) x2+3x-10 e) NA

4. Un factor de la expresión (2 + 11) + (4 − 7 ) − es: a) 4a2+5 b) 5-2a2 c) 3+2a2 d) 4a2-5 e) NA

5. Después de factorizar el polinomio ( − 4 + + 6), uno de los factores es:

a) x-2 b) x+2 c) x-1 d) x+3 e) NA

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6. Después de factorizar la expresión (2 − 3 − 5 + 6), la suma de sus factores es:

a) 4x b) 4 c) x d) x+4 e) NA

7. Después de factorizar la expresión ( − 15 − 10 + 24), la suma de sus factores es:

a) 4+x b) 4 c) x d) 4x e) NA

8. Después de factorizar y simplificar la expresión ( − ) − ( + ) , se obtiene:

a) −8 ( + ) b) 8 ( + ) c) −8 ( + ) d) −8 ( + ) e) NA

9. Cuántos factores reales se tienen al factorizar la expresión: + + + 1

a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) NA

10. Después de factorizar la expresión ( + 6) − , uno de sus factores es:

a) x+y+3 b) x+y-3 c) x+y d) x-y e) NA

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6. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una Fracción Algebraica consiste en reducir a su mínima expresión un conjunto de fracciones. Para su desarrollo es fundamental aplicar las leyes de exponentes y radicales complementadas con los diferentes casos de factorización. Ejemplos Aclaratorios:

1. Simplificar la expresión: ∙( )( )∙( )

= − ∙( − )( − )∙( − ) = ( + )∙( − )∙ ∙( − )∙( − )∙( − )

= ( ) = (2 − 3 ) R.

2. Simplificar la expresión: ∙

= ∙ = ∙( )∙∙( )

= + +∙ ∙( − )∙ + +∙( − ) = ∙( − )∙( − ) = R.

3. Reducir la expresión:

= + −+− +− = + ( + )∙( − )++−

= = =

= = = √ = R.

4. Simplificar la expresión: ∙ ÷

= − +− ∙ + −+ + ÷ − +− = ( − )∙( − )( + )∙( − ) ∙ ( + )∙( − )+ + ∙ ( − )∙ + +( − )∙( − )

= ( − )∙( − )( + )∙( − ) ∙ ( + )∙( − )+ + ∙ ( − )∙ + +( − )∙( − ) = x−1 R.

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FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. Después de simplificar la expresión , se tiene como resultado:

a) 4x b) 0 c) 1 d) 1/2 e) NA

2. Al simplificar la expresión , se obtiene:

a) 5

b) 5x c) 4 d) 1 e) NA

3. Al reducir la expresión ( ) − 1 ∙ ÷ ( − ) a) a b) -a c) b d) -b e) NA

4. Si = 2 , entonces la expresión = ∙( ) es:

a) 2x/3 b) x/6 c) 3x/10 d) 6x/5 e) NA

5. Al simplificar la expresión ∙

a) t

b) ta

c) tb

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d) ta+b e) NA

6. Después de reducir la expresión ∙

, se obtiene:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) NA

7. Al simplificar la expresión , se tiene como resultado:

a) 5/7 b) -5/7 c) -2/7 d) 1 e) NA

8. Reduciendo la expresión ∙ ÷ , se obtiene:

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) NA

9. Simplificar la expresión: + +− + − + −

a) 200 b) 100 c) 140 d) 165 e) NA

10. Reduciendo la expresión 2 ∙ 3 − 2√2 2√2 + 3 + ( + 12)√ − 6 − 8 , se

tiene como resultado:

a) 1 b) -1 c) x d) -x e) NA

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7. ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad en la que existe una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se cumple para algunos valores de las incógnitas, las cuales se representan por las últimas letras del abecedario. Las raíces o soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación, es decir, que verificados en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad.

Ecuaciones Lineales.- Cualquier ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad de la forma: ax+b=0; donde a, b ε R.

EJEMPLOS RESUELTOS

Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones lineales:

1. (3x+5)2= (3x-5)2+300 60x=300

9x2+30x+25=9x2 -30x+25+300

30x+30x=300 x=5

2. = −

( )( ) = ( )( ) − ( )( ); Cd= (4x+5) (5x-1) (3x+2)

(3x+2)(2x-5) = (4x+5)2 – (5x-1) (2x+3) -10-28 = 27x+11x

6x2 -11x-10 = 16x2+40x+25-10x2-13x+3 38x = -38

6x2 -11x-10 = 6x2 +27x+28 x = -1


1. 14x-(3x-2)= [5x+2-(x-1)] 2. (x+1)3 -6x(x-3)=(x-1)3

3. 5(x+1)2(x-1)+5=5(x-2)2(x+5) 4. (2x+3)2= (2x-5)2+16

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1. Resolver la siguiente ecuación: = +

Factorizando el denominador del primen miembro se tiene: ( ) = +

Multiplicando por ( − 3) se tiene: 4 = 8( − 3) + 1

Realizando operaciones se tiene: 4 = 8 − 24 +

Despejando la variable x tenemos: = R.

2. Determinar la solución para x de la ecuación = ( ) a) b) − c) d) − e) NA

Multiplicando extremos por extremos y medios por medios en el primer miembro:

( )( ) = ( ) ( )( ) = ( )

( ) = 2 + 2 = 3

2 = = R. inc.) c

3. Después de resolver el sistema de ecuaciones 9 + 11 = −146 − 5 = −34 , el valor de y-x es:

a) -4 b) 2 c) 6 d) 0 e) NA

9 + 11 = −146 − 5 = −34 , multiplicando por 5 y por 11 las ecuaciones se tiene:

45 + 55 = −70(1)66 − 55 = −374(2)

Reduciendo (1) y (2) se tiene: 111 = −444

Despejando la variable x se tiene: = −4

Reemplazando x en (1) se tiene: 9(−4) + 11 = −14

Despejando la variable y se tiene: = 2

Teniendo x e y el valor numérico de y-x es:

= − = (2) − (−4) = 2 + 4 = 6 R.

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ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES

1. En la ecuación 5 = + 15; para que la solución sea 10, el valor de m es:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) NA

2. El conjunto solución de la ecuación = − es:

a) {2} b) {4} c) {0} d) { } e) NA

3. Después de resolver la ecuación + = + , el valor numérico de 3x-

19 es:

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) NA

4. Después de resolver la ecuación (5 + 1) − 21 = (18 − 5 ) + 36, el valor numérico

de 5x/2 es:

a) 2 b) 25 c) 52 d) 5 e) NA

5. Después de resolver el sistema de ecuaciones 7 − 5 = 135 + 4 = 20 , el valor numérico de 2x+y

es:

a) 11 b) 4 c) 2 d) 3 e) NA

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6. Después de resolver el sistema − = −+ = , el valor numérico de x+y es:

a) 5 b) 7 c) 2 d) 3 e) NA

7. La solución del sistema de ecuaciones + =− = , es

a) (2,3) b) (2,-3) c) (-2,3) d) (3,3-) e) NA

8. Después de resolver el sistema de ecuaciones 2 − (5 − 3) + 4 + = 144( + 3) − 5 + 8( − ) = 4 , el valor

numérico de − es:

a) -1 b) 1 c) 1/2 d) -2 e) NA

9. Si vendo los 4/7 de una pieza de tela me quedan 36 metros, entonces el número de

metros de tela que tenía la pieza es:

a) 48 b) 80 c) 91 d) 84 e) NA

10. Un estudiante de la UAGRM gasta los 5/8 de su mesada y Bs. 20 más en prepararse para un examen; si se queda con la cuarta parte de la mesada y Bs. 16 más, entonces su mesara (en bolivianos) era de: a) 200

b) 300 c) 248 d) 288 e) NA

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11. La solución del sistema de ecuaciones + =− = , es:

a) (-3,2) b) (-2,3) c) (-2,-3) d) (3,-2) e) NA

12. Resolviendo el sistema de ecuaciones + =− = − , el valor numérico de x/y es:

a) 1/2 b) 2 c) -10 d) 10 e) NA

13. Resolviendo la ecuación − = − , la solución de x es:

a) -1/2 b) 2 c) -2 d) 1/2 e) NA


a) -7 b) 2 c) -2 d) 7 e) NA


a) -1 b) 2 c) -2 d) 1 e) NA

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8. ECUACIONES NO LINEALES

Ecuaciones Cuadráticas.- Una ecuación de segundo que presenta la forma: ax2+bx+c=0; donde a, b y c ε R. Una ecuación cuadrática se puede resolver mediante 3 formas: Factorización, la fórmula cuadrática o el complemento del cuadrado.

Su forma general es: + + = 0.

Fórmula Cuadrática: = ±

Suma de Raíces: = = −

Producto de Raíces: = ∙ =

Diferencia de Raíces: = − =

Condiciones: − 4 > 0, existen dos soluciones reales − 4 < 0, existen dos soluciones imaginarias − = , existe una solución (raíces iguales)

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación cuadrática: 6x2-37x-60=0.

Por Factorización: (2x-15) (3x+4)= 0

(2x-15) = 0 ===> x1= 15/2

(3x+4) = 0 ===> x2= -4/3

Por la fórmula Cuadrática: = ±

= −(−37) ± (−37) − 4(6)(−60)2(6) = 37 ± √1369 + 144012

= 37 ± √280912 = 37 ± 5312

= 37 + 5312 = 9012 = 152

= 37 − 5312 = −1612 = −43

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Sistema de Ecuaciones.- Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones de la misma forma. Los métodos más aplicados en la resolución de sistema de ecuaciones en el álgebra son: Reducción, Sustitución e Igualación.


1. Al resolver la ecuación + √ + 8 = 2√ , la solución para x es:

a) 1 b) 1 y -8/9 c) 1 y 8/9 d) 8/9 e) NA

+ √ + 8 = 2√ Elevando al cuadrado ambos miembros se tiene:

+ √ + 8 = 2√ Desarrollando tenemos:

+ √ + 8 = 4 Dejando en solo miembro la raíz cuadrada se tiene:

√ + 8 = 3 Elevando al cuadrado ambos miembros se tiene:

√ + 8 = (3 ) Desarrollando tenemos:

+ 8 = 9 Igualando a cero tenemos.

9 − − 8 = 0 Factorizando tenemos:

( − 1) ∙ (9 + 8) = 0 Despejando la variable x tenemos:

= 1

= − (No sirve) R. La solución es: x =1, inc.) a

2. La suma de las raíces en la ecuación 5 − 7 = 5 − , es 2/5; entonces el valor de k es: a) 5 b) – 5 c) 1 d) 0 e) NA

Igualando a cero tenemos: 5 + − 7 − 5 = 0

Aplicando la fórmula de la suma de raíces: = + = −

= − = , de donde queda:

− + 7 = 2, Donde el valor de K despejado es: k = 5 R. inc.) a

3. La solución para x de la ecuación 3 − 5 + 2 = 0

a) 1 b) 8/27 c) 1 y 8/27 d) 0 e) NA

Factorizando tenemos: − 1 3 − 2 = 0

Igualando a cero el factor 1: − 1 = 0, tenemos x1 = 1

Igualando a cero el factor 2: 3 − 2 = 0, tenemos x2 = 8/27

R. inc.) c

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ECUACIONES NO LINEALES

1. La ecuación cuadrática que tiene como raíces 3/5 y -2/3 es:

a) 15x2+x-6=0 b) 15x2-x-6=0 c) 15x2-x+6=0 d) 15x2+x+6=0 e) NA

2. Determinar el valor positivo de k en la ecuación x2-kx+120=0, teniendo en cuenta que la

diferencia de sus raíces es 7:

a) 23 b) 20 c) 10 d) 30 e) NA

3. ¿Encontrar el valor de k en la ecuación 2 − + 15 = 0, para que el producto de sus raíces sea igual al triple de la suma de sus raíces?

a) -10 b) 10 c) -5 d) 5 e) NA

4. La suma de las raíces en la ecuación 5 − 7 = 5 − , es 2/5; entonces el valor de k es: a) 5

b) – 5 c) 1 d) 0 e) NA

5. Después de resolver la ecuación √ + + √ = , el conjunto solución es:

a) {-3,2} b) {-3,-2} c) {-2,2} d) {-2,3} e) NA

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6. Después de resolver la ecuación √ + − √ − = √ − , el valor numérico de 3x-

16 es:

a) 5 b) – 5 c) 7 d) 10 e) NA

7. En la ecuación 2 + √ − 5 = √13 − , después hallar la solución el valor numérico de

4x+11 es:

a) 38 b) 40 c) 9 d) 47 e) NA

8. Después de resolver la ecuación √ − − = − , el valor numérico de 25-2x es:

a) 5 b) 1 c) 10 d) 20 e) NA

9. Después de resolver el sistema − + =√ − = − , el valor numérico de x+y es:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) NA

10. Después de resolver el sistema √ + =√ − = , el valor numérico de x-y es:

a) 25 b) 16 c) 20 d) 9 e) NA

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9. INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece la indeterminada x. Es una desigualdad de números reales definida a través de una expresión algebraica. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un punto lleno (círculo con negrita); en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un punto vacío (círculo blanco).

Inecuaciones Lineales.- Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal.

Ejemplo. Resolver la siguiente inecuación lineal: − ≤

14x-9x≤20 x≤4

5x≤20 = −∞, 4

Inecuaciones Cuadráticas.- Las inecuaciones cuadráticas o de segundo grado presentan una forma de solucionar similar al utilizado para resolver las ecuaciones cuadráticas.

Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas:

1. + − 6 ≤ 0 2. 2 2 + 7 − 15 > 0

(x+3) (x-2)≤0 (2x-3) (x+5)>0

(x+3) = 0 x=-3 (2x-3) = 0 x=3/2

(x-2) = 0 x=2 (x+5) = 0 x=-5

S= [-3,2] S=]-∞,-5[ υ ]1.5,+∞[

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Resolver las siguientes inecuaciones:

57. 6x-5<3x+19 58. 15x-90>20x-100

59. + 7 ≤ 8 60. − − 20 > 0

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INECUACIONES

T1. Después de resolver la inecuación − ≤ , la solución es:

a) − ,+∞

b) −∞,

a) , +∞

b) −∞,−

e) NA

2. Después de resolver la inecuación − ≤ + < , la solución es:

a) − ,+∞

b) −∞,

c) − ,

d) c) − ,

e) NA

3. Después de resolver la inecuación 2 − 5 ≤ 12 , la solución es:

a) , 4

b) −4,

c) − , 4

d) , 4

e) NA

4. Después de resolver la inecuación − 9 < 0 , la solución es:

a) −∞,−3 ∪ 0,3 b) −∞,−3 ∪ 3,+∞ c) −∞, 3 ∪ 5,+∞

d) −∞, 0 ∪ 3,9 e) NA

5. La solución de la inecuación ≥ , es:

a) ≤ 2 b) < 2

c) ≤ −2

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d) < −2 e) NA

6. La solución de la inecuación ≤ − , es:

a) 2,3 b) −2,3 c) −2,3 d) c) −1,4 e) NA

7. El conjunto solución de la inecuación | − 3 − 6| ≤ |6 + | , es:

a) −2,0 ∪ 2,6 b) −2,1 ∪ 3,8 c) 2,6 d) −2,0

e) NA

8. Después de resolver la inecuación |4 − 5| < 15 , la suma de los números naturales del

conjunto solución es:

a) 15 b) 11 c) 10 d) 9 e) NA

9. Después de resolver la inecuación |5 + 3| ≤ 23 , la suma de los números enteros del


a) 15 b) 11 c) 10 d) 9 e) NA

10. El conjunto solución de la inecuación ≤ 2 es:

a) 1,+∞ b) −∞, 1 c) −2,+∞ d) −1,+∞ e) NA

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11. La solución de la inecuación | + 2| ≥ |2 − 1| , es:

a) , 3

b) −3,

c) , 3

d) − , 3

e) NA

12. Después de resolver la inecuación |3 − 5| ≤ 7, la suma de los números naturales del


a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) NA

13. Después de resolver la inecuación |2 − 3| < 7, la suma de los números enteros del


a) 14

b) 17

c) 15

d) 10

e) NA

14. Después de resolver la inecuación − ≥ 1 + , solución es:

a) −3,3 ∪ 4 +∞

b) −3,1 ∪ 4 +∞

c) −3,3 ∪ 4,+∞

d) −3,1 ∪ 4,+∞

e) NA

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10. LOGARITMOS

Definición. El logaritmo de un número “x” es el exponente “R” al que se tiene que

elevar una cantidad constante llamada base “a”, para obtener el número dado, es

decir: = ⇔ = PROPIEDADES DE LOGARITMOS

1. ( ∙ ) = + 2. = −

3. = ∙ 4. √ = ∙ =

5. = 6. =

7. ( ) = 8. =

9. = 10. log = log ⟺ =

LOGARITMOS ESPECIALES = 1 1 = 10 = 0 10 = 10 = 1 100 = 10 = 2 1000 = 10 = 3 . . 10 =

CAMBIO DE BASE: =

IMPORTANTE

• El número de un logaritmo para que exista debe ser una cantidad positiva.

• La base de un logaritmo para que exista debe ser un número positivo distinto de 1.

Los logaritmos solo existen para números positivos con base distinta de 1

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1. Simplificando la expresión = log 125 − log √16 + log√ , el resultado es:

a) 23/6 b) 25/6 c) -25/6 d) -23/6 e) NA

= log 125 − log √16 + log√

Desarrollando por separado cada término tenemos:

t = log 125 = = = ∙∙ =

= −log √16 = − √ = − / = − ∙ = −

= log√ = √ = / = ∙∙ = = −4

Reemplazando tenemos:

= − − 4 = = = − R. inc.) d

2. Al reducir la expresión log √ − log √ √0.1 + log√ 2 , se obtiene:

a) 2 b) 4 c) -2 d) 0 e) NA

C = log √ − log √ √0.1+log√ 2

Desarrollando por separado cada término tenemos:

= log √ = √ = // = ∙∙ = −

= −log √ √0.1 = − √ = − // = − ∙∙ = − = =

t = log√ 2 = √ = ∙ = 2

Reemplazando tenemos:

= − + + 2 = = = 0 R. inc.) d

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3. Simplificando la expresión log√ , se obtiene:

a) 1 b) -1 c) 4 d) -4 e) NA

C = log√ = √ = √

= ∙ = ∙ ∙∙ = ∙( ∙ )( )

= ∙( ∙ )( ) = = −4 R. inc.) d

4. Reducir la expresión: 8 √ a) 121 b) 210 c) 150 d) 242 e) NA

= 8 √ = 8 √ ; aplicando = ∙

= 8log2 √1213 ∙ 813 ; aplicando: = √

= (2 )log2 √1213 ∙ √8 ; aplicando: ∙ =

= 2 √ ∙ √2 ; aplicando: =

= √121 . √2 = 121 ∙ 2 = 242 R. inc.) d

5. Al resolver la ecuación log 1 + log (1 + log ) = 0 , el valor numérico de x/4 es:

a) 1 b) 1/4 c) -1 d) 1/2 e) NA

log 1 + log (1 + log ) = 0 ; aplicando: log = ⇔ =

1 + log (1 + log ) = 9 = 1 , simplificando tenemos:

log (1 + log ) = 0 ; aplicando: log = ⇔ =

(1 + log ) = 3 = 1 , simplificando tenemos:

log = 0 ; aplicando: log = ⇔ =

= 3 = 1 R. inc.) a

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6. La solución para x de la ecuación 2 + 2 + 2 + 2 = 480 , es:

a) 1 b) 5 c) 3 d) 4 e) NA

2 + 2 + 2 + 2 = 480 , aplicando factor común tenemos:

2 ∙ (2 + 2 + 2 + 1) = 480 , sumando el paréntesis tenemos:

2 ∙ (15) = 480 , dividiendo entre 15 tenemos: 2 = 32 = 2 , aplicando: = ⇔ =

x=5 R. inc.) b

7. Después de resolver la ecuación log √5 − 9 + log √ − 1 = 3 , el valor numérico de

2x-3 es:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) NA

log √5 − 9 + log √ − 1 = 3 , aplicando: + = log( ∙ ) log √5 − 9 ∙ √ − 1 = 3 , aplicando: log = ⇔ =

√5 − 9 ∙ √ − 1 = 2 , aplicando: √ ∙ = ∙

(5 − 9) ∙ ( − 1) = 8 , elevando al cuadrado a/m y multiplicando tenemos:

√5 − 14 + 9 = (8) , desarrollando los cuadrados e igualando a cero tenemos:

5 − 14 − 55 = 0 , factorizando tenemos:

( − 5) ∙ (5 + 11) = 0 , igualando a cero cada factor y despejando tenemos:

( − 5) = 0 → = 5

(5 + 11) = 0 → = − (No sirve)

R. VN=2x-3=2(5)-3=7 inc. c 8. La solución para x de la ecuación log (5 − ) − log (10 − 2 ) = 1 , es:

a) 3 b) -3 c) 3 d) 4 e) NA

log (5 − ) − log (10 − 2 ) = 1 , aplicando: log = y llevando a base 2

log (5 − ) − ( ) = 1 , como log 4 = 2 tenemos:

log (5 − ) − ( ) = 1 , multiplicando por 2 tenemos:

2 ∙ log (5 − ) − log (10 − 2 ) = 2 , aplicando: ∙ =

log (5 − ) − log (10 − 2 ) = 2 , aplicando: − =

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log ( )( ) = 2 , aplicando: log = ⇔ =

( )( ) = 2 , aplicando ( − ) = − 2 + y realizando operaciones:

25 − 10 + = 40 − 8 , igualando a cero tenemos:

− 2 − 15 = 0 , factorizando tenemos:

( − 5) ∙ ( + 3) = 0 , igualando a cero cada factor y despejando x tenemos:

( − 5) = 0 → = 5 (No sirve)

( + 3) = 0 → = −3 R. inc.) b

9. La solución de x en la ecuación log 75 + 5√ = es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA

log 75 + 5√ = , aplicando: log = ⇔ =

75 + 5√ = 10 / = √100 , elevando al cubo tenemos:

75 + 5√ = √100 , desarrollando y ordenando tenemos:

5√ = 25 = 5 , aplicando: = ⇔ =

√3 − 5 = 2 , elevando al cuadrado tenemos:

√3 − 5 = (2) , desarrollando y ordenando tenemos:

3 = 9 x=3 R. inc.) c

10. La solución de la ecuación 2 log (log ) + log log 2√2 = 1 , es:

a) 1 y 8 b) 1/2 y 1 c) 3 y 8 d) 1/2 y 8 e) NA

2 log (log ) + log log 2√2 = 1 , aplicando: ∙ = y cambio de base

tenemos:

log (log ) − log + log = 1 , por cambio de variable: = log

log ( ) − log + = 1 , aplicando: − =

log = 1 , aplicando: log = ⇔ =

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= 2 , realizando operaciones tenemos:

2 = 6 + 4 , igualando a cero tenemos:

2 − 4 − 6 = 0, dividiendo entre dos tenemos: − 2 − 3 = 0 , factorizando tenemos:

( − 3) ∙ ( + 1) = 0 , igualando a cero y despejando t:

( − 3) = 0 → = 3 ( + 1) = 0 → = −1

= 3 log = 3 ⇔ = 8

= −1 log = −1 ⇔ =

R. 8 inc.) d

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LOGARITMOS Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

1. El valor numérico de la expresión log ( ) + 7 log√ √125 + 5 , es:

a) 4/3 b) 2/3 c) 1 d) 3 e) NA

2. El valor numérico de la expresión − − , es:

a) 4 b) 5 c) 1 d) e e) NA

3. Simplificando la expresión − − , se obtiene:

a) 1 b) 10 c) 10x d) x e) NA

4. El valor numérico de la expresión √ √ , es:

a) - 4 b) -5 c) -3 d) 3 e) NA

5. El valor numérico de la expresión √ , es:

a) 5 b) -5 c) -3 d) 3 e) NA

6. La solución de la ecuación ( − ) − (− − ) = , es: a) 5 b) -5 c) 10

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d) -10 e) NA

7. La solución de la ecuación √ + + √ − = , es: a) 4 b) 5 c) 1 d) 10 e) NA

8. La solución de la ecuación 3 − 3 − 3 = 231 , es: a) 6 b) 9 c) 3 d) 1 e) NA

9. Al resolver la ecuación log(5 − 15) + log(26 − 5 ) = 1 , una de sus soluciones es:

a) 8 b) 4 c) 1 d) 2 e) NA

10. La solución de x de la ecuación = , es:

a) 5 b) 10 c) 25 d) 30 e) NA

11. La solución de x de la ecuación log + log + log = , es:

a) 16 b) 10 c) 24 d) 32 e) NA

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12. La solución de x de la ecuación 10 ( ) = ( ) , es:

a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) NA

13. Después de resolver la ecuación 5 = 125 , la suma de sus raíces es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA

14. La solución de x de la ecuación 5 = 25 ( ) , es:

a) 10/3 b) 40/3 c) 20/3 d) 50/3 e) NA

15. Después de resolver la ecuación 3 + 9 = 108, el valor numérico de 3x/2 es:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 1 e) NA

16. Después de resolver la ecuación 3 = + 25, el valor numérico de 2x/3 es:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) NA

17. La expresión cuyo desarrollo logarítmico es 2 − log + 3 log − 2 log , es:

a) log

b) log

c) log

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d)log

e) NA

18. Después de resolver la ecuación ( ) = , el valor numérico de x/22 es:

a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) NA

19. Después de resolver la ecuación = 5 ( ) , el valor numérico de x/10 es:

a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) NA

20. Después de resolver la ecuación + = , el valor numérico de x/3 es:

a) 1 b) 4 c) 3 d) 0 e) NA

21. Después de resolver la ecuación + = , el valor numérico de x/12 es:

a) 1/4 b) 4/5 c) 1/3 d) 1/2 e) NA

22. La solución de x de la ecuación log ( − 5) − log (10 − ) = 2, es:

a) 3 b) -3 c) 10 d) 3 y -3 e) NA

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23. La solución de x de la ecuación = , es:

a) 7 y -7 b) 7 c) -7 d) 0 e) NA

24. La solución de x de la ecuación log + log√ + log = 4, es:

a) 7 b) 8 c) 6 d) 9 e) NA

25. La solución de x de la ecuación √ = √ , es:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) NA

26. El conjunto solución de la ecuación = 1 , es

a) {2,4} b) {4,4} c) {0,6} d) {2,6} e) NA

27. La solución de x de la ecuación log √ + log √ + log + log , es:

a) b) c)

d) e) NA

28. Al resolver el sistema 3 + 5 = 35− = 1 , el conjunto solución es:

a) (1,10) b) (10,1) c) (5,4) d) (4,5)

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e) NA

29. Al resolver el sistema + = 2525− = 1 , el conjunto solución es:

a) (1,10) b) (10,1) c) (5,50) d) (50,5) e) NA

30. Después de resolver el sistema == ∙ , una de sus soluciones es:

a) (2,4) b) (2,2) c) (4,4) d) (4,2) e) NA

31. La solución de x en la ecuación = , es: a) -16 y 1

b) 1 y 16 c) 2 y -2 d) -1 y 16 e) NA

32. El valor numérico de la expresión log√ ∙ log √ , es:

a)

b) −

c)

d)

e) NA

33. Después de resolver la ecuación 2 − 4 = 64 , el valor numérico de x/8 es: a) 1/2 b) 2 c) 4 d) 8 e) NA

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34. Después de resolver la ecuación 3 + 9 = 324 , el valor numérico de x/6 es: a) 1/2 b) 2 c) 4 d) 8 e) NA

35. La solución para x de la ecuación 5 − 2 ∙ 5 = 15 , es: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) NA

36. La solución para x de la ecuación 3 − 4 ∙ 3 = −3 , es:

a) 3/2

b) 2 y 3/2

c) 4

d) 1

e) NA

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11. TRIGONOMETRÍA

La trigonometría nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por

medio de triángulos, circunferencia y otros. La trigonometría en la vida real es muy aplicada, ya

que podemos medir alturas o distancias, realizar medición de ángulos, entre otras cosas.

Sirve para medir la distancia que existe desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos

como un triángulo rectángulo, escaleno, isósceles y de cualquier tipo. Ayuda también para resolver

situaciones problemáticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento científico.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno,

coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente

en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se

requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica bastante a la geometría.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS = ℎ

= ℎ

=

=

= ℎ

= ℎ

TEOREMA DE PITÁGORAS: = + = + = − = −

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS + = 1 = = = = = = 2 = 2 ∙ 2 = − 2 = ( ± ) = ∙ ± ∙ ( ± ) = ∙ ∓ ∙ ( ± ) = ±∓ ∙

= 2 = 1+2

= = =

ÁNGULOS NOTABLES

FUNCIÓN 0° 30° 45° 60° 90°

Seno 0 12 √22 √32 1

Coseno 1 √32 √22

12 0

Tangente 0 √33 1 √3 ±∞

Cotangente ±∞ √3 1 √33 0

Secante 1 2√33 √2 2 ±∞

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Cosecante ±∞ 2 √2 2√33 1

1лrad=180°


1. Al simplificar la expresión trigonométrica л лл л , se obtiene:

a) 5 − 2√6 b) 3 − 2√6 c) 5 + 2√6 d) 3 + 2√6 e) NA

= л + лл − л , si л = 180 , tenemos:

= ° °° ° = √ √√ √

= √ √√ √ ∙ √ √√ √ = √ √ ∙ √ √√ √

= 3+2√6+23−2 = 5+ 2√6 R. inc.) c

2. Si = 3 , entonces el valor de es:

a) √ b) √ c) √ d) √ e) NA

Como: = =

Calculando el cateto opuesto por Pitágoras: = √ −

= √3 − 1 = √8 = 2√2

Como: = , tenemos:

= √ R. inc.) a

3. Después de simplificar (30° + ) + (30° − ), se obtiene:

a) b) c) d) e) NA

= (30° + ) + (30° − ) , aplicando: ( ± ) = ∙ ± ∙

= ( 30° ∙ + 30° ∙ ) + ( 30° ∙ − 30° ∙ ) = 30° ∙ + 30° ∙ + 30° ∙ − 30° ∙

= 30° ∙ + 30° ∙ , simplificando tenemos:

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= 2 ∙ 30° ∙ , reemplazando 30° = tenemos:

= 2 ∙ ∙ = R. inc.) d

4. Utilizando identidades trigonométricas y simplificando ( ∙ )

, se obtiene:

a) b) c) d) e) NA

= ( + ∙ ) − , aplicando: =

= + ∙ − = + − , aplicando: + = 1

= − = − , aplicando: 1 = +

= − = − = ∙

= 1 = 2 R. Inc.) b

5. Utilizando identidades trigonométricas y simplificando la siguiente expresión: ∙ , se obtiene:

a) b) c) d) e) NA

= ∙ − + − , aplicando las identidades tenemos:

= ∙ =

= − + − ∙∙ = ∙ − + − ∙∙

Aplicando la identidad: = 1 − , tenemos:

= ∙ + − ∙∙ = ∙ , realizando operaciones tenemos:

= ∙ ∙ = = R. inc.) c

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6. La expresión trigonométrica ( + ) + ( − ) , es igual a:

a) 2senx b) 2cosx c) senx d) 2 e) NA

= ( + ) + ( − ) , aplicando: ( ± ) = ± 2 +

= + 2 ∙ + + − 2 ∙ +

Aplicando la identidad: + = 1 → = 1 + 1 = 2 R. inc.) d

7. Simplificar la expresión trigonométrica: ∝ ∝∝ ∝

a) b) c) d) e) NA

= ∝ ∝∝ ∝ , aplicando las siguientes identidades:

+ = 1 − 2 ∙ y + = 1 − 3 ∙

= 1−2 2 ∙ 2(1−3 2 ∙ 2 ) = 1−2 2 ∙ 21−3 2 ∙ 2 , sumando y factorizando tenemos:

= ∙∙ = ∙ ∙∙( ∙ ) = R. Inc.) b

8. Un ángulo de 216 grados sexagesimales en radianes es igual a:

a) л b) л c) л d) л e) NA

Como: 1л = 180°, tenemos:

= 216° = 216° ∙ 1л ° = л R. Inc.) b

9. La solución positiva de la ecuación trigonométrica − = 0 , es:

a) 60° b) 90° c) 50° d) 45° e) NA

− = 0 , aplicando las identidades: = y =

− = , multiplicando por ∙ tenemos:

− = 0 ; reemplazando = 1 − , tenemos:

− (1 − ) = 0 , realizando operaciones tenemos:

2 − 1 = 0 , despejando y tomando x positiva tenemos:

= = ∙∙ = √ → = 45° R. inc.) d

10. El ángulo 400°30´ en radianes es:

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a) 3.25л b) 2.25л c) 2.275л d) 2.225л e) NA

400°30´ = 400 + = 400 =

= 400°30´ = ∙ л = л , reduciendo queda: = л = л , dividiendo tenemos: = 2.225л R. inc.) d

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TRIGONOMETRÍA

1. Después de simplificar la expresión − , se obtiene:

a) b) c) d) e) NA

2. Si = , el valor de es:

a) √3

b) √2

c) √3

d) √3

e) NA

3. El valor numérico de la expresión ° °° ° , es:

a)

b)

c)

d)

e) NA

4. Si = , entonces el valor numérico de = es igual a:

a)

b)

c)

d)

e) NA

5. Después de reducir la expresión = , se obtiene:

a) b)

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c) d) e) NA

6. De un triángulo rectángulo uno de los catetos vale 10 cm, el ángulo opuesto es de 30°, el otro cateto en cm vale:

a) 10√3 b) 10√2 c) 15√3 d) 5√5 e) NA

7. Si = , = √ , entonces cos( + ) es igual a:

a) √13

b) √13

c) √13

d) √3

e) NA

8. Simplificando la expresión trigonométrica , queda como resultado:

a) b) c) d) e) NA

9. Simplificando la expresión trigonométrica = −− − ∙ , queda

como resultado: a) 1 b) c) 0 d) e) NA


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a) 1 b) 2 c) 0 d) e) NA

11. Simplificando la expresión trigonométrica 2 (1 + ) , queda como resultado: a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) NA


a) b) c) d) e) NA

13. Simplificando la expresión trigonométrica cos( + ) + ( + ) , queda como resultado:

a) b) c) d) e) NA

14. Simplificando la expresión trigonométrica ∙ , queda como resultado:

a) 2 b) 1 c) d) e) NA

15. Simplificando la expresión trigonométrica 2 2 + , queda como

resultado:

a) b)

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c)

d)

e) NA

16. Simplificando la expresión ( ∝ − ∝) + ( ∝ + ∝) , queda como resultado:

a) + b) + c) d)

e) NA

17. Al simplificar aplicando identidades trigonométricas − , se tiene:

a) 2senx b) 2 c) 2 d) 2 e) NA

18. Si − = , la es:

a) 20 b) 25 c) 5 d) 2 e) NA

19. Si − = , la es:

a) 2 b) √2 c) √3 d) 3 e) NA

20. Si − = , la es:

a) √5

b) √15

c) √3

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d) √15

e) NA

21. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, donde = 3 60° = 2 30° la expresión 45° , es igual a:

a) 5/2 b) √2/2 c) 1/2 d) √2 e) NA

22. Reduciendo la expresión + − ( + ), queda:

a) senx b) 2 c) d) 1 e) NA

23. Reduciendo la expresión − + , queda:

a) b) 2 c) d) 1 e) NA

24. Resolviendo la ecuación trigonométrica 2 + 3 = 0, una de las soluciones es: a) 150° b) 210° c) 120° d) 90° e) NA

25. Resolviendo la ecuación trigonométrica (45° − ) + (45° − ) = 4, una de las soluciones es:

a) 120° b) 240° c) 180° d) 30° e) NA

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26. La longitud en metros de la sombra proyectada por un edificio de 60 metros de altura

cuando el sol se encuentra elevado 30° sobre el horizonte es:

a) 60√3 b) 40√2 c) 50√3 d) 40√3 e) NA

27. Determinar el largo que tiene una sombra que proyecta una antena de 40 metros de alto,

cuando el sol está a л sobre el horizonte.

a) 40√3 b) 40√2 c) 50√3 d) 40√5 e) NA

28. La distancia entre dos edificios de techo plano es de 60 metros. Desde la azotea del menor

de los edificios, cuya altura es de 30 metros se observa la azotea del otro con un ángulo de

elevación de 45°. La altura en metros del edificio es:

a) 60 b) 90 c) 80 d) 100 e) NA

29. Una torre está situada sobre la orilla de un río. Desde la orilla opuesta, el ángulo de

elevación de la torre es de 60° y desde un punto 100 metros más distante, el ángulo de

elevación es de 30°. La altura de la torre en metros es:

a) 60√2 b) 60√3

c) 50√2 d) 50√3 e) NA

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30. Una palmera proyecta una sombra de 18 metros de largo. Si el ángulo que se forma desde

la punta de la sombra hasta el punto más alto de la palmera es de 30°, entonces la altura

de la palmera en metros es.

a) 6√3 b) 3√3 c) 5√3 d) √3 e) NA

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GEOMETRÍA PLANA

La geometría plana es la rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de

superficies y de figuras planas, como el triángulo o el círculo.

CÓMO SON LOS ANGULOS

Agudos. Si su medida está comprendida entre 0° y 90°.

Rectos. Si su medida es 90°.

Obtusos. Si su medida está comprendida entre 90° y 180°.

Llanos. Si su medida es 180°.

CLASES DE ÁNGULOS EN TÉRMINO DE SUS MEDIDAS

Ángulos Suplementarios. Si la suma de sus medidas es 180°.

Ángulos Rectos. Si los dos ángulos que forman un par lineal, tienen la misma medida, entonces

cada uno de estos ángulos es recto.

Ángulos Complementarios. Si la suma de sus medidas es 90°.

CLASIFICAIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR SUS LADOS Y SUS GRÁFICAS

Triángulo Escaleno. Cuando no tienen ningún lado igual.

Triángulo Isósceles. Cuando tiene dos lados iguales.

Triángulo Equilátero. Cuando tiene los tres lados iguales.

FÓRMULAS BÁSICAS

Área de un Cuadrado: = Perímetro de un Cuadrado: = 4

Diagonal de un Cuadrado: = √2 Área de un Rectángulo: = ∙

Perímetro de un Rectángulo: = 2( + ) Perímetro de un Triángulo: = + +

Diagonal de un Rectángulo: = √ + Área de un Triángulo: = ∙

Área de un Círculo: = л∙ y = л ∙

Perímetro de un Círculo: = л ∙ y = 2л ∙

Área de un Trapecio: ( ) Área de un Triángulo Equilátero: = √

Altura de un Triángulo Equilátero: ℎ = √ Perímetro de un Triángulo Equilátero: = 3

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GEOMETRÍA PLANA

1. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Si el área del triángulo es 24 m2, entonces la longitud en metros de cada lado es:

a) 9, 12, 15 b) 6, 9, 12 c) 6, 8, 10 d) 6, 8, 12 e) NA

2. Las dimensiones en metros de un rectángulo cuya diagonal mide 75 metros, sabiendo que

es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 metros y 48 metros respectivamente

son:

a) 40,60 b) 45,65 c) 40,72 d) 45,60 e) NA

3. Un jardín rectangular de 50 metros de largo por 34 metros de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. La anchura en metros de de dicho camino sabiendo que su área es 261 m2 es:

a) 3 b) 2 c) 1 d) 1.5 e) NA

4. Una cancha de fútbol deberá ocupar una superficie rectangular de 7 500 m2. Si el largo es

25 metros más que su ancho, entonces las dimensiones en metros de la cancha son:

a) 60,85 b) 75,100 c) 80,105 d) 100,125 e) NA

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5. El lado en metros de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de

18 metros de lado es:

a) 24 b) 20 c) 30 d) 25 e) NA

6. El área en m2 del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 metros es:

(л=3.14) a) 18 b) 20 c) 15 d) 24 e) NA

7. El área en cm2 del cuadrado inscrito en la circunferencia de radio 4cm, es: a) 30 b) 40 c) 35 d) 32 e) NA

8. Si en un rombo, la diagonal menor mide 20 cm y el lado 26 cm; entonces la diagonal mayor en cm mide:

a) 36 b) 48 c) 30 d) 50 e) NA

9. El área de una circunferencia que circunscribe a un cuadrado de lado 2√2 es: a) 3л

b) 2л

c) 4л

d) 5л e) NA

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10. Dos rectángulos son semejantes. Los anchos respectivos son 16 y 24 metros y el primero tiene 30 metros de largo. El largo en metros del segundo es:

a) 39 b) 48 c) 45 d) 50 e) NA

11. Un rectángulo tiene 96 m2 de área y 44 m de perímetro. Sus dimensiones en metros son: a) 16 y 9 b) 18 y 6 c) 16 y 6 d) 20 y 4 e) NA

12. Si la base de un rectángulo es el triple de su altura y su área es 432 m2, entonces la base

en metros es:

a) 36 b) 48 c) 24 d) 12 e) NA

13. Si el área de un rectángulo es de 375 m2 y su base es 10 metros más que su altura,

entonces la altura en metros es:

a) 16 b) 28 c) 25 d) 15 e) NA

14. Si la diagonal de un rectángulo mide 10 metros y su altura es 6 metros, entonces su área

en m2, es:

a) 46 b) 48 c) 40 d) 56 e) NA

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15. El área en m2 de un cuadrado cuya diagonal vale 4√2 es:

a) 16 b) 18 c) 20 d) 12 e) NA

16. Si se aumentan 2 metros al lado de un cuadrado, su área aumenta en 36 m2. Entonces el

lado del cuadrado en metros es:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) NA

17. Si el área de un círculo es 256л, entonces su radio es: a) 16 b) 15 c) 18 d) 12 e) NA

18. Si el perímetro de un rectángulo es 72 metros y su longitud es 8 metros más que su ancho, entonces su área en m2 es:

a) 300 b) 400 c) 348 d) 308 e) NA

19. Las dimensiones de un jardín rectangular son 40 m. por 24 m. y alrededor del jardín hay un camino. Si el área del jardín y el camino es de 1232 m2, entonces el ancho del camino en metros es:

a) 2.5 b) 1 c) 2 d) 1.5 e) NA

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20. El perímetro de un triángulo mide 20 cm. Si el lado mayor excede en 6 cm. al menor y el

intermedio es doble del menor más 2 cm, entonces el lado mayor en cm mide:

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) NA

21. El perímetro de un triángulo mide 34 cm. Si el lado mayor es el doble del menor y el lado

intermedio es los 5/12 de la suma de los otros dos, entonces el lado mayor en cm mide:

a) 15 b) 16 c) 19 d) 20 e) NA

22. El perímetro de un triángulo mide 35 cm y uno de sus lados mide 12 cm. Si el producto de

los otros dos lados es 130, entonces sus lados en cm miden: a) 15 b) 16 c) 19 d) 20 e) NA

23. El perímetro de un triángulo ABC mide 11.5 metros. Determinar el lado c, si los lados cumplen las siguientes relaciones: = 3 + 74 , = , = 3 − 14

a) 2.15 b) 2.25 c) 3.05 d) 2.75 e) NA

24. Si P,Q,R son tres rectas paralelas; la recta AB corta a dichas rectas en los puntos A,E y B y la recta CD corta en los puntos C,F y D respectivamente. Si AE=10 cm, EB=5 cm y FD=3 cm, entonces CF en cm mide?

a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) NA

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25. Los lados de un triángulo miden 4cm, 6 cm y 8 cm respectivamente. ¿Cuánto medirán en cm los lados de otro triángulo semejante, si la razón entre los lados correspondientes es de 2/3?

a) 8, 10 y 12 b) 6, 9 y 12 c) 8, 12 y 16 d) 10,15 y 21 e) NA

26. Los lados del triángulo ABC miden: AB=18 cm, BC=15 cm, AC=12 cm. Si por un punto M del lado AB se traza MN paralela a AC. ¿A qué distancia en cm del vértice B debe estar el punto M, para que la razón de semejanza de los lados correspondientes de los triángulos ABC y MBN sea de 3/2?

a) 12 b) 14 c) 10 d) 15 e) NA

27. Un edificio de 15 metros de altura proyecta una sombra de 20. La sombra en metros

proyectada a la misma hora, por una pared de 3 metros de altura es:

a) 5 b) 6 c) 3 d) 4 e) NA

28. Los lados de un pentágono miden 9 cm, 12 cm, 15 cm, 6 cm y 18 cm. Si en otro pentágono

semejante el lado correspondiente al de 12 cm, mide 8 cm, entonces el perímetro en cm

del otro pentágono mide:

a) 50 b) 60 c) 30 d) 40 e) NA

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29. Las dimensiones de un rectángulo son 7 cm y 5 cm. Determinar las dimensiones en cm de

otro rectángulo semejante cuyo perímetro mide 72 cm.

a) 15 y 21 b) 20 y 28 c) 15 y 20 d) 16 y 24 e) NA

30. La altura de una pared es de 7 metros. Si una escalera de 25 metros de longitud se apoya

sobre la pared de modo que sus extremos superiores coinciden, entonces la distancia en

metros que existe del pie de la escalera a la pared es:

a) 25 b) 26 c) 28 d) 24 e) NA

31. Si el perímetro de un rectángulo mide 82 metros y la diagonal 29. El lado menor en metros

mide:

a) 25 b) 18 c) 22 d) 20 e) NA

32. Si los lados de un triángulo miden 11 cm, 18 cm y 20 cm, entonces el número de cm que

deben quitarse a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo es:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) NA

33. El largo de un rectángulo es 320 metros y su ancho 75. Si al largo se le disminuye 20

metros. ¿Cuántos metros habrá que aumentar su ancho para que su área no varíe?

a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) NA

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34. El área del cuadrado resulta duplicado si uno de sus lados se agrega 4 metros y al otro 6,

entonces el lado del cuadrado en metros mide:

a) 15 b) 16 c) 10 d) 12 e) NA

35. La hipotenusa de un triángulo rectángulo forma con el cateto mayor que mide 10√3

metros un ángulo de 60°. El área del triángulo en m2 es:

a) 150√3 b) 100√3 c) 200√3 d) 250√2 e) NA

36. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 metros. Si la diferencia de la

hipotenusa y el otro cateto es 6, entonces el área en m2 del triángulo mide:

a) 50 b) 60 c) 55 d) 54 e) NA

37. El lado de un rombo mide 10 metros. Si sus diagonales están en relación de 3 a 4, entonces

el área en m2 del rombo es:

a) 95 b) 96 c) 90 d) 100 e) NA

38. Si el perímetro de un rombo es 80 m. Si la suma de sus diagonales es 56 m, entonces el

área en m2 del rombo es:

a) 315 b) 400 c) 394 d) 384 e) NA

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39. Si cada una de las dimensiones del rectángulo es aumentada en un 50%, entonces el área

es aumentada en:

a) 155% b) 160% c) 115% d) 125% e) NA

40. El área de un trapecio es 240 m2 y su altura mide 6 m. Si las bases están en la relación de 2

a 3, entonces la longitud en metros de las bases es:

a) 30 y 45 b) 28 y 42 c) 34 y 51 d) 32 y 48 e) NA

41. Los lados no paralelos y la base menor de un trapecio isósceles son iguales entre sí y

miden 25 m. Si la base mayor mide 55 m, entonces el área en m2 del trapecio es:

a) 600 b) 700 c) 800 d) 900 e) NA

42. Si la longitud del arco de un sector circular es 20 metros y la del radio es 8 metros,

entonces el área del sector circular es:

a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) NA

43. Determinar la longitud en metros de una circunferencia, si a un arco de 4 metros le

corresponde un ángulo central de 30°.

a) 60 b) 50 c) 40 d) 48 e) NA

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44. Si el perímetro de un sector circular elevado al cuadrado es igual a 16 veces su área,

entonces su ángulo central mide:

a) 3 rad b) 2.5 rad c) 2 rad d) 1.5 rad e) NA

45. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 40 metros. Si θ es uno de los ángulos

agudos y tag θ = , entonces su perímetro es:

a) 60 m b) 90 m c) 96 m d) 98 m e) NA

46. La suma de dos ángulos es 100°. Si uno de ellos es el doble del complemento de otro,

entonces la razón entre el menor y el mayor es:

a) 1/2 b) 2/3 c) 1/4 d) 1/8 e) NA

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PROGRAMA # 1: OLIMPIADAS DEL SABER 2012

1. El valor numérico de la expresión ( ) ; para = , = : a) 1/4 b) 4 c) -1/4 d) - 4 e) Ninguna 2. Para que el polinomio − + sea divisible entre − , el valor de k es:

a) -1 b) 1/2 c) -1/2 d) 1 e) Ninguna 3. Después de desarrollar y reducir la expresión ( − ) − ( + ) , se obtiene:

a) – 24 b) 24 c) -24 d) 24 e) Ninguna 4. Después de reducir la expresión ( ) el resultado es: a) 2/3 b) 1/3 c) 4 d) 1 e) Ninguna 5. Si vendo los 2/5 de una pieza de tela me quedan 36 metros. Los metros de tela que tenía la

pieza eran: a) 96 b) 80 c) 60 d) 120 e) Ninguna 6. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 10 y el cateto menor 6. El área del triángulo

es:

a) 48 b) 30 c) 24 d) 60 e) Ninguna

7. Del siguiente sistema de ecuaciones + =− = ; el valor numérico de 2x es:

a) 5 b) 10 c) -2 d) -4 e) Ninguna

8. El valor de x de la ecuación = es: a) 4/5 b) 5/4 c) 2 d) -1 e) Ninguna 9. Después de resolver la ecuación ( )= ; el valor numérico de 5x es:

a) 5 b) 1/5 c) 1 d) -1 e) Ninguna 10. El producto de 3 números consecutivos es siempre divisible entre: a) 5 b) 4 c) 10 d) 6 e) Ninguna

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11. Después de resolver la ecuación − = 1, el valor numérico de 2x es: a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) Ninguna 12. El valor de x de la ecuación √ = √ es: a) -4/5 b) 4/5 c) -3/5 d) 3/5 e) Ninguna 13. Después de factorizar la expresión − − , uno de sus factores es: a) 2x+3 b) 5x-3 c) 2x-3 d) 5x+2 e) Ninguna 14. Al reducir la expresión − / − / a) 1/4 b) 4 c) -1/2 d) 1/2 e) Ninguna 15. Si vendo el 60% de mis cerdos me quedan 80. El número de cerdos que tenía es:

a) 120 b) 160 c) 200 d) 240 e) Ninguna

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PROGRAMA # 3: OLIMPIADAS DEL SABER 2012 – MATEMÁTICAS

1. Simplificando la expresión √ √ √√ , el resultado es:

a) 9 b) √2 − 1 c) √2 +1 d) 3 e) NA

2. Resolviendo la ecuación + = , la solución de x es:

a) 2/3 b) 0 c) 3/2 d) 1 e) NA

3. Si tag α = 0.5, entonces cosec α es igual a:

a) √ b) √ c) 5 d) 1 e) NA

4. Después de resolver la ecuación √ − = , el valor numérico de 8x es:

a) 2 b) 1 c) 1/4 d) 1/2 e) NA

5. A un baile asistieron 22 personas. Una dama baila con 3 caballeros, una segunda dama baila con 4; una tercera dama baila con 5; y así sucesivamente hasta que la última baila con todos los caballeros. El número de damas que acudieron al baile era de:

a) 11 b) 15 c) 12 d) 10 e) NA

6. Si cos θ =√ , entonces tag θ es igual a:

a) √ b) √ c) √ d) 14 e) NA

7. Resolviendo la ecuación + + = , la solución de x es:

a) 1 b) 3 c) 2 d) 0 e) NA

8. Resolviendo la ecuación = , la solución de x es:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) NA

9. Simplificando la expresión √√√ , el resultado es:

a) 8 b) 1 c) 4 d) 2 e) NA

10. En un corral hay loros y conejos. Si se cuentan 17 cabezas y 48 patas, entonces el número de loros es:

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a) 9 b) 12 c) 10 d) 7 e) NA

11. Simplificando la expresión ( + ) + ( − ) , el resultado es:

a) 1 b) 2 c) d) e) NA

12. Si se resuelve la ecuación √ − = √ + , la solución de x es:

a) 2 b) 8 c) 4 d) 1 e) NA

13. Después de resolver la ecuación + = , el valor numérico de 2x es:

a) 1 b) 8 c) 16 d) 4 e) NA

14. = , = = ; entonces es:

a) 12 b) 16 c) 6 d) 36 e) NA

15. Entre Pepito y Caito tienen 56 bolillas. Si Pepito le regala a Caito 8, tendrán la misma cantidad; entonces el número de bolillas que tiene Caito es:

a) 18 b) 20 c) 26 d) 36 e) NA

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1. Simplificando la expresión 8 − 16 , el resultado es:

a) 3 b) 1/3 c) 1/2 d) 2 e) NA

2. Racionalizando el denominador √ , el resultado es:

a) √2 b) 5√2 c) 4√2 d) 5√4 e) NA

3. Realizando operaciones de √ − , el resultado es:

a) √ b) √ c) 2√ d) 5√ e) NA

4. Reduciendo la expresión , se obtiene:

a) 5/3 b) 3/5 c) 5/4 d) 4/5 e) NA

5. Simplificando la expresión − ÷ , el resultado es:

a) x+1 b) x c) x-1 d) 1 e) NA

6. Resolviendo la ecuación ( − ) = ( − ), el valor numérico de 2x es:

a) -10 b) 10 c) 5 d) -5 e) NA

7. Realizando operaciones de , se obtiene:

a) 8 b) 4 c) 2 d) 16 e) NA

8. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 18 cm de lado.

a) 20 b) 30 c) 16 d) 24 e) NA

9. El resto de dividir el polinomio (8 − 6 + 3 + 4) entre − ,es:

a) 0 b) 1 c) 5 d) 2 e) NA

10. Si la suma de 4 números consecutivos es 34, entonces el mayor es:

a) 8 b) 10 c) 11 d) 9 e) NA

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11. Simplificando la expresión ÷ , se obtiene:

a) 1 b) 2 c) x d) x+2 e) NA

12. Después de resolver la ecuación ( ) = − , el valor numérico de 3x+2 es:

a) 5 b) 2 c) 10 d) 8 e) NA

13. Después de factorizar la expresión − 5 + 4, la suma de sus factores es:

a) 4 b) x4 c) 4x d) x+2 e) NA

14. El precio de lista de una gorra en el Mercado “Los Pozos” es de Bs. 80. Si se hace un primer descuento del 10% sobre el precio de lista y, luego un segundo descuento del 25% sobre el primer descuento, entonces se pagó por la gorra en bolivianos:

a) 72 b) 70 c) 32 d) 64 e) NA

15. Los lados de un triángulo rectángulo son pares consecutivos. Sabiendo que su área es 24 m2, entonces su perímetro en cm es:

a) 24 b) 48 c) 18 d) 30 e) NA

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1. Simplificando la expresión: = √ , el resultado es:

a) - 8/5 b) 8/5 c) 5/8 d) - 5/8 e) NA

2. Reduciendo la expresión = , el resultado es:

a) 1 b) -1 c) 2 d) 4 e) NA

3. Resolviendo la ecuación √ = ; el valor numérico de 1 − 2 , es:

a) √ b) 5 c) 2 d) 5√ e) NA

4. Resolviendo la ecuación: ( + ) = + ( − ), la solución para x es:

a) 5 b) 4 c) 10 d) 1 e) NA

5. Los lados de un triángulo rectángulo son múltiplos consecutivos de 3. Si su perímetro es 36 cm, entonces su área en cm2 es:

a) 90 b) 45 c) 54 d) 60 e) NA

6. Resolviendo sistema de ecuaciones + =− = , el valor de x es:

a) 4 b) 2 c) 8 d) 16 e) NA

7. Resolviendo la ecuación ( + 5) = ( − 3) , la solución para x es:

a) 4 b) 2 c) 1 d) -1 e) NA

8. Realizando operaciones de: = , el resultado es:

a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) NA

9. Realizando operaciones de = ( )( ) , el resultado es:

a) -1 b) 1 c) sen x d) cos x e) NA

10. Realizando operaciones de = , el resultado es:

a) cotg2x b) tag2x c) sen x d) cos x e) NA

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11. Resolviendo la ecuación ∙ = , el valor numérico de 2x+1 es:

a) 3 b) 7 c) 10 d) 6 e) NA

12. Encontrar el valor de k para que la ecuación 4 − 4 + = 0, tenga raíces iguales:

a) 2 b) 1 c) -1 d) -2 e) NA

13. La suma de las edades de un padre y su hijo es 60 años. Si la edad del hijo es ¼ de la edad del padre, entonces la edad del padre es:

a) 42 b) 40 c) 48 d) 44 e) NA

14. Realizando operaciones de = √ √ , se obtiene:

a) 1 b) 2 c) -1 d) 4 e) NA

15. Encontrar dos números pares consecutivos y positivos cuyo producto sea 528.

a) 20 y 22 b) 18 y 20 c) 24 y 26 d) 22 y 24 e) NA

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1. Para que el producto de las raíces de la ecuación 5 − 3 = 2 − ; sea 3/5, el valor de k es:

a) 5 b) -5 c) 2 d) 4 e) NA

2. El resto de realizar la división ( ) ( ) ( )

, es:

a) 20 b) -10 c) 10 d) 1 e) NA

3. Simplificando la expresión = , el resultado es:

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/2 d) 1/8 e) NA

4. Resolviendo la ecuación √ = √ , la solución para x es:

a) 2/3 b) 5/4 c) 5/2 d) 5/3 e) NA

5. Resolviendo la ecuación + ∙ = + , la solución para x es:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 1 e) NA

6. Los lados de un triángulo rectángulo son múltiplos consecutivos de 2. Si su área es 24 cm2, entonces su perímetro en cm es:

a) 90 b) 45 c) 24 d) 60 e) NA

7. Una tinaja contiene 240 vasos de somó. Si se vende el 45%, entonces el número de vasos que queda es:

a) 108 b) 132 c) 120 d) 140 e) NA

8. En una encuesta a 140 estudiantes sobre las preferencias de refrescarse con chicha y limonada respondieron: 80 prefieren tomar chicha, 70 prefieren tomar limonada y 20 ambos. El número de estudiantes que dijeron ni chicha ni limonada es:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 10 e) NA

9. Realizando operaciones de = , el resultado es:

a) b) c) d) e) NA

10. El valor numérico de , para = = es:

a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) NA

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11. Reducir la expresión: √ √ √√

a) 1 b) 3 c) √3 d) √2 e) NA

12. Después de factorizar la expresión 15 − 8 − 16., la suma de sus factores es:

a) -4x b) 4 c) -8x d) 8x e) NA

13. Si las raíces de una ecuación cuadrática son 3/2 y - 5. ¿Encontrar la ecuación?

a) 2x2+7x−15=0 b) 2x2+7x+15=0 c) 2x2−7x−15=0 d) 2x2−7x+15=0 e) Ninguna de las anteriores

14. Al resolver la ecuación 2 − √ − 4 − √ + 4 = 0, la solución de x es:

a) 3 y 5 b) 3 y 4 c) 4 y 5 d) 0 y 4 e) NA

15. Encontrar la , sabiendo que: − =

a) 1 b) √3 c) 3 d) √2 e) NA

16. Al dividir − + + 0.3 entre − , se obtiene como resto:

a) -4 b) 4 c) 1 d) 0 e) NA

17. El 4º término del desarrollo de ( − 3 ) , es:

a) −945 b) 945 c) −940 d) −945 e) NA

18. La solución de x en la ecuación + = , es:

a) -2 b) -1 c) 1 d) 0 e) NA

19. La solución de x en la ecuación √ − 3 + √ = √ + 9 , es:

a) 4 b) 5 c) 1 d) 7 e) NA

20. Después de resolver la inecuación + 1 − > 0 , la solución es:

a) x<9/4 b) x>9/4 c) x<-9/4 d) x<2 e) NA

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BIBLIOGRAFÍA

1. MATEMÁTICAS SOLUCIONARIO PSA-2011. Avendaño Eudal. UAGRM

2. TRIGONOMETRÍA PLANA Y ESFÉRICA. Ayres Franck. Editorial CHAUM Mc. Graw-Hill

3. ARITMÉTICA. Baldor Aurelio

4. ÁLGEBRA. Baldor Aurelio

5. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA. Zill D y Dewar J. Segunda Edición acualizada. Colombia

Ed. Emmn Ariza H. (Mc. Graw-Hill)

6. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA . Goodman A. y Hirsch L.

México Ed. Prentice Hall Inc.

7. TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA. Baldor Aurelio

8. ÁLGEBRA BÁSICA. Lisky – Alexandrov V. Pasichenko P. Moscú Ed. MIR

9. ÁLGEBRA. Galarza Goñi. Perú. Kalnia. Editorial Mir, Moscú.

10. ARITMÉTICA 1, Repetto, Linsquet y Fesquet. Editorial “KAPELUSZ” Buenos Aires –

Argentina.


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13. ÁLGEBRA, Repetto, Linsquet y Fesquet. Editorial “KAPELUSZ” Buenos Aires – Argentina.

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Parte 6 matematicacdn.uahora.com/psa2014/matematicas.pdf · U.A.G.R.M. SANTA CRUZ DE LA SIERRA – BOLIVIA Prohibida la reproducción total o parcial de la presente obra sin el permiso