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08/04/2016
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(parte I)Instrumentação eletrônica para sistemas de medição
Capítulo 7Sinais e ruídos em sistemas de
medição
Prof. Lélio R. Soares Júnior – ENE – FT – UnB
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Introdução
• Sinal determinístico – o valor do sinal em qualquer instante futuro de tempo pode ser previsto exatamente
• Sinal aleatório – não é possível prever exatamente o valor em qualquer instante futuro de tempo
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Introdução
Sinal aleatório pode ter seu comportamento estimado a partir das quantidades estatísticas:
• Valor médio (média)• Desvio padrão• Função densidade de probabilidade• Densidade espectral de potência• Função de autocorrelação
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Introdução
Flutuaçãoes aleatórias na variável sendo medida causam flutuações aleatórias no valor medido na saída do sistema de medição
Sinais elétricos indesejados também podem estar presentes nos circuitos do sistema de medição (devido a fontes internas e/ou externas) – podem ser deterministicos ou aleatórios:
• Determinísticos → Sinais de interferência• Aleatórios → Sinais de ruído
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Representação estatística de sinais aleatórios
Amostragem de um sinal aleatório y(t) ao longo de um intervalo de tempo T0.
• ∆T=T0/N deve satisfazer o Teorema de amostragem de Nyquist
• A partir das amostras, quantidades estatísticas são obtidas e poderão caracterizar o comportamento de y(t) para além do intervalo T0, contanto que:
1. T0 é muito longo, ou seja, N é suficientemente grande2. O sinal é estacionário (o comportamento estatístico não muda
ao longo do tempo)
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Valor médio (Média): ӯ
Para sinal discreto (amostrado) no tempo:
Para sinal contínuo no tempo :
Representação estatística de sinais aleatórios
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Desvio padrão: σ (mede o espalhamento das amostras em relação ao valor
médio ӯ) → σ2 é a variância
Para sinal discreto (amostrado) no tempo:
Para sinal contínuo no tempo :
No caso de ӯ=0, o desvio padrão de y é o valor quadrático médio (RMS):
ou
Representação estatística de sinais aleatórios
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Função densidade de probabilidade: p(y) – É uma função da variável y(t)
m seções e N
amostras
nj ocorrências de amostras na seção j (com j=1,2, ...,m)
Probabilidade de se ter amostras na j-ésima seção: N
nP
j
j =
Representação estatística de sinais aleatórios
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Probabilidade acumulativa, Cj – é a probabilidade total de que as amostras estejam nas primeiras j seções.
Representação estatística de sinais aleatórios
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Cj com j = m:
No limite, com ∆y → 0, Cj tende a uma função contínua: Função de distribuição de probabilidade acumulativa, P(y)
Representação estatística de sinais aleatórios
Função densidade de probabilidade
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Probabilidade do sinal de estar entre y e y+∆y:
Probabilidade do sinal de estar entre y1 e y2:
Área total abaixo de p(y) é unitária.
A função densidade de probabilidade normal (gaussiana)normalmente descreve bem a distribuição de amplitude de sinais de ruído aleatório:
Representação estatística de sinais aleatórios
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Ex: Função densidade de probabilidade normal com média nula
Para uma variável
aleatória x(t)com distribuição
normal:
Representação estatística de sinais aleatórios
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Densidade espectral de potência: ϕ(ω) – É uma quantidadade estacionária que indica como a potência é distribuida ao longo das componentes de frequência do sinal aleatório.
Diferentes, mas as potências médias dos trechos de sinal praticamente são iguais
Repete-se o primeiro trecho para uma aproximação periódica
Representação estatística de sinais aleatórios
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Condições para a aproximação:
a) No limite, T0 é altob) Este trecho é usado para calcular a potência média do sinal
Representação estatística de sinais aleatórios
T=T0
y(t)
y(t)
Pode-se calcular a série de Fourier do sinal:
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Usando as amostras yi de y(t):
Se a compontente ancos(nω1t) for aplicada em um resistor de 1Ω a potência instantânea no tempo t vale
an2cos2(nω1t)
E a potência média ao longo do período T0 vale an2/2
Representação estatística de sinais aleatórios
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Se a compontente bnsen(nω1t) for aplicada em um resistor de 1Ω a potência instantânea no tempo t vale
bn2sen2(nω1t)
E a potência média ao longo do período T0 vale bn2/2
A potência da n-ésima harmônica na frequência nω1 será
• Espectro de potência do sinal• A partir de ωMAX desprezam-se as
demais componentes de potência
Representação estatística de sinais aleatórios
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
A potência acumulada, Wn , é a potência total em um resistor de 1Ωdevido às n primeiras componentes harmônicas do sinal e à componente DC a0
Representação estatística de sinais aleatórios
Sinais e ruídos em sistemas de medição
No limite, quando T0 → ∞, ω1 → 0 e Wn se torna contínuo e é chamado de Função de potência acumulada W(ω)
A função densidade espectral de potência, ϕ(ω), é dada como a derivada de W(ω)
A unidade de ϕ(ω) é dada em Watt.s.rad-1, ou Watt/Hz
Representação estatística de sinais aleatórios
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
A potência produzida em um resistor de 1Ω devido às componentes de frequência entre ω e ω+∆ω é dada por
A potência devida às componentes de frequência entre ω1 e ω2 é dada por
Logo
Representação estatística de sinais aleatórios
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Ruídos produzidos internamente em circuitos elétricos frequentemente são considerados brancos (função densidade espectral de potência constante para todo ω)
Uma outra representação de ruídos ou sinais medidos pode ser dada pelo ruído branco de banda limitada (“ruído colorido”)
Representação estatística de sinais aleatórios
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Função de autocorrelação: Ryy(β)
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Correlacionador
Atraso variável no
tempo
Multiplicador
média
Filtro de média medidor
Para um dado β, Ryy é o coeficiente de autocorrelação e Ryy (β) a função de autocorrelação.
Ryy (β) é máximo quando β=0
Representação estatística de sinais aleatórios
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Representação estatística de sinais aleatórios
Para um sinal contínuo y(t), definido em um intervalo T0 tem-se
Ex: Se
Obs. Se perdeu a informação de fase.
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Representação estatística de sinais aleatórios
Um sinal aleatório pode ser dado por um conjunto de N amostras yi, dado um certo intervalo de amostragem ∆T
Coeficiente de correlação para sinais amostrados
Onde:yi é a amostra correspondente ao instante i∆T
yi-m é a amostra correspondente ao instante (i-m)∆T
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Avaliação do coeficiente de autocorrelação Ryy (3∆T)
Representação estatística de sinais aleatórios
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Representação estatística de sinais aleatórios
Relação entre densidade espectral de potência e função de autocorrelação
Seja o sinal periódico
Logo
com período 2π/ω1 em β
Síntese de Fourier
Análise de Fourier
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Representação estatística de sinais aleatórios
Relação entre Ryy (β) e ϕ(ω) ( Relações Wiener-Khinchin)
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Representação estatística de sinais aleatórios
Para um ruído branco com banda limitada
Lóbulo central com largura
2π/ωC
Sinal aleatório com variações rápidas → ϕ(ω) largo e Ryy (β) estreito Sinal aleatório com variações lentas → ϕ(ω) estreito e Ryy (β) largo
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Representação estatística de sinais aleatórios
Especificações de um sinal aleatório em termos do comportamento da amplitude:
• função densidade de probabilidade; ou• valor médio (média) e desvio padrão.
Especificações de um sinal aleatório em termos do comportamento frequência/tempo:
• densidade espectral de potência; ou• função de autocorrelação.
Apenas em termos
numéricosDado o valor Ryy (0) tem-se
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Efeitos de ruído e interferência em circuitos de medição
Transferência de um sinal de tensão entre elementos elétricos distantes:• Interferência no modo série
Com ZL >> ZTh+RC
causará erro de mediçãoThévenin
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Efeitos de ruído e interferência em circuitos de medição
Relação sinal-ruído ou sinal-interferência, S/N, em dB:
valores eficazes potências
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Efeitos de ruído e interferência em circuitos de medição
Transferência de um sinal de corrente entre elementos elétricos distantes:• Interferência no modo série
causará erro de mediçãoNorton
Interferência de corrente
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Efeitos de ruído e interferência em circuitos de medição
Com ZN >> ZL+RC
Como normalmente ZL/ZN<<1, a transmissão de sinal na forma de corrente é bem mais adequada que a transmissão de sinal na forma de tensão, dada uma interferência série.
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Efeitos de ruído e interferência em circuitos de medição
Transferência de um sinal de tensão entre elementos elétricos distantes:• Interferência de modo comum
Dessa forma VCM pouco influenciará VL
Com ZL >> ZTh+RC
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Fontes de ruído e mecanismos de acoplamento
Fontes internas de ruído:
Ruido térmico (ruído de Johnson): Tensão aleatória que surge devido ao movimento aleatório (por agitação térmica) de portadores de carga em condutores (resistores e semicondutores)
Possui densidade espectral de potência constante (ruído branco) mas dependende da temperatura absoluta θ do condutor
R → resistência ôhmica do condutor (Ω)k → constante de Boltzmann (1.4x10-23JK-1)
Potência total entre as frequências f1 e f2:
Correspondente tensão RMS: (Watts)
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Ex: R = 106Ω, f2-f1 = 106Hz e θ = 300K, tem-se VRMS=130µV
Valor não desprezível em diversas situações
Ruido balístico (shot noise): flutuações aleatórias na taxa de difusão de portadores de carga em junções semicondutoras (transistores).
Também possui densidade espectral de potência praticamente constante sobre uma larga faixa de frequências (ruído branco)
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Fontes de ruído e mecanismos de acoplamento
Fontes externas de ruído e fontes de interferência:
Fonte mais comum: rede de alimentação elétrica (ruído “senoidal” a 60Hz)
Circuitos de potência DC não são prováveis fontes de interferência devido à falta de acoplamento capacitivo e indutivo.
Chaveamento de circuitos de potência DC ou AC (alterações de carga na rede) causam transientes em sistemas de medição.
Ionização do ar devido a altas tensões (AC ou DC) pode ocorrer e as descargas (efeito corona) podem interferir em sistemas de medição.
Em lâmpadas fluorencentes ocorrerem arcos elétricos duas vezes por ciclo da rede e causam interferências.
Outros: equipamentos de soldagem, transmissores de RF, etc.
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Fontes de ruído e mecanismos de acoplamento
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Mecanismos de acoplamento de fontes externas de ruído e interferência:
Acoplamento indutivo (eletromagnético)
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Fontes de ruído e mecanismos de acoplamento
Circuito de medição
Circuito vizinho
Indutância mútua
(parasita)
Tensão de interferência no
modo série:
M depende da geometria dos dois circuitos e na
prática é distribuida e não concentrada
(aproximação)
Acoplamento capacitivo (eletrostático)
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Fontes de ruído e mecanismos de acoplamento
4 capacitâncias parasitas
Na prática as capacitâncias são distribuidas e não
concentradas (aproximação)
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Fontes de ruído e mecanismos de acoplamento
Se forem consideradas apenas as linhas de sinal do circuito de medição, temos divisores capacitivos de tensão:
Aparecem tensões no modo série (VSM=VB-VE) e no modo comum (VCM=VE)
Haveria balanço (VSM=0) se C1=C2 e C1E=C2E. O que não ocorre na prática
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Fontes de ruído e mecanismos de acoplamento
Terras múltiplos:
• No plano de terra o potencial não permanece nulo para todos os pontos• Altas correntes passando pelo plano do terra (devido a cargas de alta
potência) podem causar potenciais distintos em pontos distintos ao longo do caminho de terra.
Fontes de
tensão de
interferência
podem
aparecer nos
modos série
e comum
referência
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Fontes de ruído e mecanismos de acoplamento
• Se o circuito de medição estiver isolado do terra e RL>>RC+RTh, VL≈ETh
• Se existirem os caminhos de ligação ZSE e ZRE e a diferença de potencial VE entre os pontos de terra
Potencial em PPotencial em Q e RPotencial em S
Tensão de interferência de modo comum
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Fontes de ruído e mecanismos de acoplamento
Tensão sobre RL:(assumindo RL>>RC+RTh tem-se aproximadamente a seguinte relação
Tensão de interferência de
modo série
Para iE ser o menor possível, ZSE e ZRE devem ter os maiores valores possíveis
Se o circuito de medição necessitar ser aterrado, isso deve ocorrer em apenas um ponto.
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
a) Separação física: diminui os acoplamentos capacitivos e indutâncias mútuas.
b) Proteção eletromagnética: par trançado para diminuir efeitos de campos magnéticos. Tensões induzidas nos laços j e j+1 (VXY e VYZ) têm mesmo módulo e sinais opostos (|VXY| = |VYZ|). Eles se cancelam.
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
c) Escudo (blindagem) eletrostático: diminui influência do acoplamento capacitivo.
Situação ideal
Retirar ponto
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
• Sistema de medição acomodado no interior de um escudo metálico, aterrado diretamente em apenas um único ponto. Circuito de medição isolado do escudo.
• Em uma situação prática, a fonte e/ou carga podem estar aterrados
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Situação prática
ZL altaZTh baixa
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Situação prática
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Solução:
Interferência de modo série (entre P e S):
Interferência de modo comum (entre S e T):
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Para diminuir VSM e VCM, o seguinte produto deve ser aumentado
Na prática ZE, ZS e RC/2 são pequenos, então deve-se aumentar
Na prática não se pode ter ZSU e ZST altos, ou até ambos são baixos (o escudo ou caixa de blindagem deve ser aterrada)
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Condições para
que é satisfeito por
É impossível ter a blindagem completamente isolada do circuito de medição, ou seja, ZSS e ZRS altos, assim pode-se tentar fazer:
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
d) Uso de amplificadores de diferença: rejeitar interferências de modo comum.
Para um amplificador de diferença:
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Se V2=0 e V1=ETh,VOUT = -(RF/R1)ETh
Se V2=VCM e V1=Eth+VCM,VOUT = -(RF/R1)ETh
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e) Filtragem: usado quando o espectro de potência do sinal medido ocupa uma faixa distinta do sinal de ruído ou interferência.
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
No caso de filtragem analógica o filtro é incorporado ao elemento condicionador de sinal. Já no caso de filtragem digital, o filtro é incorporado ao elemento de processamento de sinal.
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Na banda passante espera-se |G(jω)|=1 e ∟G(jω)=00
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
No caso de sobreposição dos espectros os filtros são pouco eficazes.
f) Modulação: Deslocar o espectro do sinal medido
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
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Filtro passa-faixa
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Relembrando:
Transformada de Fourier de g(t): ∫+∞
∞−
−==ℑ dtetgGtgtjωω )()()(
Convolução entre as funções f(x) e g(x):
∫∫+∞
∞−
+∞
∞−−=−= duuguxfduuxgufxgxf )()()()()(*)(
Propriedade da transformada de Fourier do produto entre f(t) e g(t):
)(*)(2
1)()( ωω
πGFtgtf =ℑ
Propriedade da convolução de uma função com o impulso unitário:
)()()(
)()()(*)(
000
00
xxfduuxxxxf
duuxxufxxxf
−=−−−=
=−−=−
∫
∫∞+
∞−
+∞
∞−
δ
δδ
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
( ) ( ) tFttf00
cos)(2
1cos)( ωω
πω ℑ∗↔
)()()cos(000
ωωδωωδπω ++−=ℑ t
( ) )()(2
1cos)(
000ωωωωω ++−↔ FFttf
convolução
2 impulsos
Demodulação: nova multiplicação por cos(ω0t) e filtragem por filtro passa-baixas ou deteção de pico.
( ) [ ] [ ])2cos()()(2
1)2cos(1)(
2
1cos)(
000
2 ttftfttfttf ωωω +=+=
a ser atenuado com filtro passa-baixas
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g) Filtro de média: para sinais medidos com comportamento repetitivo.
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
De cada seção se obtêm N amostras do sinal repetitivo. Os inícios das seções estão sincronizadas entre si, em relação ao sinal
repetitivo.
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Média das i-ésimas amostras das várias seções:
• Os valores A, B, C, .... são praticamente iguais, assim Zterá a mesma magnitude desses valores.
• Os valores A´, B´, C´, .... são bem distintos (positivos ou negativos), assim Z´ tenderá a ter magnitude menor que esses valores.
• Há uma melhora na relação sinal/ruído
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Seja um ruído com distribuição normal. Suponha que temos p sinais, y1(t) a yp(t), com distribuição normal com desvios padrão de σ1 a σp , respectivamente:
O sinal de média
Também é normal com desvio padrão
Se σ1= σ2=...= σp então
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h) Autocorrelação: detecção de sinais periódicos escondidos em meio a sinais (ruidos) aleatórios.
Não se recupera o sinal original (devido à perda de informação de fase), mas pode-se determinar a amplitude e a frequência do sinal original.
Ex: sinal senoidal contaminado por ruído.
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências
Assumindo que o sinal e o ruído não são correlacionados
Seja o sinal senoidal de amplitude b, frequência ω1 e fase ϕ, e ruído aleatório de faixa limitada (ruido colorido limitado em ωC).
Para altos valores de β o segundo termo tende a zero, sobrando o primeiro termo e permitindo a determinação b e de ω1.
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Sinais e ruídos em sistemas de medição
Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências