Partículas: a dança da matéria e dos campos

Aula 6 –

Simetrias e leis de conservação –

11.

Cinemática e dinâmica2.

Leis de conservação3.

Lagrange

e o princípio de mínima de ação.4.

Leis de conservação5.

Simetrias na Natureza6.

Simetrias e as leis da física

Cinemática e dinâmicaPelo jeito, será inevitável revisitar alguns dos nossos conceitos queridos. Sendo assim, vamos fazer uma discussão de alguns deles.

A posição de uma partícula é descrita por um vetor (um 3-vetor!) e a variação com o tempo do vetor posição é o vetor velocidade. A variação temporal da velocidade é o vetor aceleração.Já discutimos a lei da inércia (que o livro The force ofsymmetry insiste em atribuir unicamente a Descartes) e sabemos que existe uma equação de movimento relacionando a força que age num corpo com a aceleração: F=ma (segunda lei de Newton).Um aspecto importante é o determinismo embutido nessa segunda lei: basta que se conheça a posição e a velocidade num certo instante inicial, para que o movimento seja completamente conhecido.

Leis de conservaçãoMomento linear: p=mv

Em qualquer processo físico o momento linear antes é igual ao momento linear depois. Exemplo: colisão entre bolas rígidas.

Energia: em um sistema fechado a energia total sempre se conserva.

A soma da energia cinética com a energia potencial é uma constante: E=(1/2)mv²+V(r)

Momento angular: L=r×p (i.e., é um vetor de módulo mrvsinθ, onde θ é o ângulo formado por r e p, que tem direção perpendicular ao plano formado por r e p e cujo sentido é dado pela regra do saca-rolhas/mão direita).

A lei da conservação do momento angular nos diz que se a força depender apenas da distância entre as partículas, o momento angular total é constante.

Leis de conservaçãoA conservação do momento angular pode ser melhor entendida através do exemplo simples do movimento de uma partícula em linha reta. A figura deixa isso claro: em qualquer instante, o momento angular da partícula em relação ao ponto P é dado pelo produto mv(rsinθ)=mvR.Um corolário da lei de conservação do momento angular é a lei das áreas: na figura, as áreas dos triângulos PAB e PBC são iguais. Claro que a conservação do momento angular (ou a lei da áreas) não se limita ao movimento em linha reta. Kepler jáhavia proposto esta lei para descrever o movimento dos planetas em volta do sol A conservação do momento angular nos permite também entender a razão pela qual um patinador, ao fazer uma pirueta, aumenta sua velocidade de rotação ao aproximar os braços do corpo.

Princípio de mínima açãoSerá que a diferença entre a energia cinética e a energia potencial tem algum significado?Lagrange (∼1750) entendeu que sim e reconstruiu a mecânica Newtoniana utilizando coordenadas generalizadas, i.e., um sistema de coordenadas suficiente para descrever de modo não ambíguo a configuração do sistema em estudo, e a função de Lagrange, L, para obter as equações do movimento.

)(21),,( 2 rVmvtvrL −=

Lagrangiana

Dimensão: [Joule]

Princípio de mínima açãoNosso objetivo não é, em absoluto, enveredar pelos caminhos da utilização do método de Lagrange, mas sim apresentar uma rota alternativa de obtenção das equações do movimento, que éo princípio da mínima ação.

Se nos instantes t₁ e t₂ o sistema ocupa as posições determinadas pelas coordenadas x₁ e x₂, entre estas posições o sistema se comporta de modo que a ação assume o menor valor possível.

Vamos apresentar esses conceitos através de alguns exemplos.

∫=2

1

),,(t

tdttvxLA

Ação

Dimensão: [Joule ä

s]

1) Queda livre2

2 )(21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

dttdxmvT m=1 kg

)()( tgxtmghV ==

)(10)(21),,(

2

txdt

tdxtvxL −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

–25t

–5t2

–t3

X(t) [m]

L

–25t –5t2

–t3

Ação mínima?

4687,5 4166,7 4375,0

1)

MHSm=1 kg

Ação mínima?

22 )(21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

dttdxmvT

)(2π

21)(

21 2

22 txtkxV ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

)(2π

21)(

21),,( 2

22

txdt

tdxtvxL ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2π

== mkω

X(t)

t

sen(πt/2)

t2

t sen(πt/2)

t2

L 0,09 0,0 0,42

Princípio de mínima açãoEstudamos o comportamento da ação em alguns casos simples. Nos exemplos apresentados, vimos que a ação assume o valor menor para as trajetórias escolhidas pela mãe Natureza. Isso é um resultado geral e toda a mecânica pode ser formulada a partir de um "Princípio de Mínima Ação": sabendo a lagrangiana e nada mais, o movimento do sistema pode ser obtido. Tentativa e erro seria muito inconveniente e existe um ramo da matemática dedicado a isso, o cálculo das variações.

Princípio de mínima açãoO caminho inverso é também muito rico: conhecendo a "trajetória" (entre aspas, pois podem ser conhecidos outros observáveis e não necessariamente a trajetória) obter a lagrangiana (i.e. qual a força, qual a dinâmica) que dá origem a esse movimento.Mais adiante veremos algo de fundamental importância: a ação estáintimamente ligada à fase dos quanta.

Conservação da energia e mínima ação

Podemos nos perguntar acerca da conservação da energia no caso dos x(t) "não naturais"; as figuras a seguir mostram o que ocorre no caso de movimentos sob a ação da gravidade e de uma força elástica.

Queda livre

–25t –5t2 –t3

TE

V

Zoom

E[J]

MHS

T

E

V

Zoom

t

sen(πt/2)

t2

E[J]

Conservação da energia e mínima ação

Em suma, aprendemos que para os movimentos "naturais" (i.e., compatíveis com o princípio de mínima ação) éautomaticamente garantida a conservação da energia. Embora essa verificação tenha sido feita no caso da energia, o mesmo ocorre com outras quantidades conservadas.

SimetriaA simetrias estão presentes no mundo que nos rodeia: estamos cercados do objeto tridimensional mais simétrico que podemos construir, que é a esfera.A própria Natureza nos apresenta belíssimos exemplos de construções simétricas. Vejam algumas das sábias utilizações da simetria hexagonal no mundo animal e no inanimado.

SimetriaOs esqueletos de radiolários são outra manifestação do gosto que Ela tem pelas formas simétricas.Os artistas por sua vez, desde tempos imemoriais têm utilizado simetrias em objetos de ornamentação e isso sem mencionar algum artista moderno como, por exemplo, o monumental Escher.

Simetria

Simetria e as Leis da FísicaMas não é dos porquês da predileção que a Natureza tem por objetos simétricos ou das razões que os artistas encontram para construir belas obras a partir de repetições de um modelo básico que vamos falar. Nosso interesse está ligado à ligação íntima entre simetrias e as leis básicas da Física.Um exemplo de tal ligação é a lei da inércia, que, em última instância, estabelece que todos os estados de movimento uniforme são equivalentes e isto é uma simetria da Natureza.Outras maneiras de denominar esse comportamento: invariância galileana, relatividade galileana ou simetria galileana.

Simetria e as Leis da FísicaA figura mostra uma mulher dentro de um círculo; para ela, a envoltória é invariante por uma rotação arbitrária (seja do círculo, seja da observadora). Já para a mulher dentro do triângulo o mundo éinvariante por rotações de 2π/3 radianos. No primeiro caso, temos uma simetria contínua (o círculo é o mesmo para um número infinito de orientações) e no outro uma discreta.Discreta ou contínua, a mulher não écapaz de dizer qual sua posição angular em relação aos limites do seu "mundo".O conceito de invariante desempenha nesta discussão um papel central; um exemplo de invariante: a distância entre as cidades RJ e SP, d=400=√(a²+b²).

Simetria e as Leis da FísicaSe a mulher fosse daltônica, mesmo que pintássemos a circunferência do círculo ou os lados do triângulo com três cores (Azul (B), Vermelho (R) e Verde (G)), o mundo para ela ainda seria simétrico sob rotações (contínuas ou discretas, conforme o caso). Se, entretanto, ela tivesse visão normal, seria capaz de distinguir a simetria associada à forma da simetria associada à cor. Isso revela um aspecto relevante da simetria em sistemas físicos: uma simetria parcial pode ser quebrada por processos capazes de discernir a simetria completa, i.e., que não sejam cegos à totalidade das simetrias do sistema.

B

R

G

Simetria e as Leis da FísicaA simetria não precisa estar associada a operações finitas ou discretas: um homem próximo a um muro que se estende em todas as direções, sem alterar sua forma, tamanho ou cor não écapaz de definir sua posição. Mesmo um muro enfeitado ajuda pouco: o máximo que ele consegue saber é a posição em relação a um particular desenho, mas não é capaz de voltar à posição original se for levado para outro ponto do muro.

Simetria e as Leis da FísicaO ramo da matemática dedicado ao estudo das simetrias é a teoria de grupos. Os matemáticos associaram a cada simetria possível um grupo de simetria e seu estudo --pelo menos no caso dos grupos contínuos -- foi imaginado ser um exemplo de algo que nunca teria aplicações práticas (mal sabiam eles...)No início do sec. XX, uma matemática alemã, Emmy Noether, mostrou que para cada simetria há uma lei de conservação associada (colocando de modo -- um pouco -- mais preciso: a cada invariância da lagrangianacorresponde uma quantidade conservada).As leis de conservação da mecânica clássica (energia, momento linear e momento angular) estão associadas a simetrias do espaço-tempo

Simetria e as Leis da FísicaSe o resultado de qualquer experiência é independente do particular momento em que ela foi realizado, então a energia tem que ser conservada. em outra palavras, se não existe tempo absoluto, se as constantes básicas da natureza (velocidade da luz, carga do elétron, constante de Planck, etc.) não variam com o tempo, decorre a conservação da energia.

Contra-exemplo: num Universo composto por uma carga positiva ligada a outra negativa por uma mola. Se as cargas aumentassem com o passar do tempo, a mola iria ficando progressivamente mais comprimida adicionando energia potencial à mola: a energia não seria conservada.

Simetria e as Leis da FísicaDe modo análogo, do resultado de qualquer experiência independer da posição decorre a conservação do momento linear.

Contra-exemplo: num Universo composto por duas cargas (uma positiva e outra negativa) ligadas por uma barra rígida e em cujas fronteiras externas houvesse uma carga positiva, o sistema de duas cargas se moveria em direção àcarga positiva e, para um observador nesse Universo, não haveria conservação do momento linear.

Simetria e as Leis da FísicaA conservação do momento angular decorre da invariância rotacional: as leis da Natureza independem de um ângulo de orientação; não há um "zero" para medidas de ângulo.

Contra-exemplo: o mesmo sistema do caso anterior roda em torno do seu centro de massa em um Universo contendo cargas positivas e negativas em suas fronteiras externas (como se estivesse imerso em um capacitor de placas paralelas); nesse Universo anisotrópico, a velocidade de rotação varia com o passar do tempo e o momento angular não éconservado.